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Université du Québec à Chicoutimi MODULE D’INGÉNIERIE
Génie mécanique
6GIN333 Projet de conception en ingénierie
Rapport final
Optimisation d’une planche de Kite Surf
Préparé par
Jonathan Allard
Danick Boivin
Pour
Julien Racca
Evasion KiteSurf
22 avril 2010
CONSEILLER : Gilles Bouchard, ing.
COORDONNATEUR : Jacques Paradis, ing.
1
Approbation du rapport d’étape pour diffusion Nom du conseiller Date Signature
2
Sommaire Introduction ................................................................................................................................................... 4
2 Présentation du projet ............................................................................................................................... 5
2.1 Description de l’entreprise .................................................................................................................. 5
2.2 Description de l’équipe de travail ....................................................................................................... 5
2.3 Problématique et état de l’art reliés au projet ................................................................................... 5
2.4 Objectifs généraux et spécifiques du projet........................................................................................ 6
3 Aspects techniques et éléments de conception relatifs au projet ............................................................. 6
3.1 Caractérisation des matériaux ............................................................................................................ 6
3.2 Choix des matériaux ............................................................................................................................ 7
3.3 Éléments de conception ...................................................................................................................... 9
4 Bilan des activités ..................................................................................................................................... 14
4.1 Arrimage formation pratique/universitaire ...................................................................................... 14
4.2 Travail d’équipe ................................................................................................................................. 14
4.3 Respect de l’échéancier ..................................................................................................................... 15
4.4 Analyse et discussion ......................................................................................................................... 16
5. Conclusion et recommandations ............................................................................................................. 16
La fatigue ................................................................................................................................................. 16
Prototypage ............................................................................................................................................. 17
Structure en nid d’abeille ........................................................................................................................ 17
Annexe I ....................................................................................................................................................... 18
Annexe II ...................................................................................................................................................... 19
Référence bibliographique .......................................................................................................................... 21
3
Introduction
Un promoteur de la région, Julien Racca, a été rencontré pour soumettre un projet d’optimisation d’une planche de kite surf. Ce sport aquatique requière une planche ressemblant à un wakeboard. Toutefois, cette dernière a des particularités propres à ses conditions d’utilisation. Lors de la pratique de ce sport, et surtout en compétition, l’adepte fait des enchainements de manœuvres complexes allant de la simple prise de planche aux rotations très techniques. Pour cette raison, la planche doit être la plus légère possible, ainsi, l’exécution de toutes ces manœuvres sera facilitée. Malgré ce besoin de légèreté, la planche doit absolument avoir une bonne résistance pour qu’elle ne se fracasse pas en deux lors des virages rapides et des amerrissages.
Cette étude est réalisée pour analyser les configurations possibles d’assemblage des matériaux en cause. L’objectif principal est de réduire le poids et de garder la même rigidité que le modèle de 2009. Le travail a été divisé en deux parties. D’une part, l’optimisation du poids se fait avec les matériaux d’origine afin de répondre aux demandes du promoteur. Les différentes possibilités d’épaisseur du noyau ainsi que le nombre de couche de fibre de verre sont donc analysées. D’autre part, le poids est optimisé en changeant la nature des composantes. Cette option est envisagée afin d’assembler la meilleure planche possible avec des matériaux de haute performance.
La procédure employée consiste à concevoir la planche sur le logiciel Solidworks. Afin d’entrer les bonnes caractéristiques du bois dans le programme, un test en flexion suivant les normes ASTM a été utilisées. Ensuite, la validation est obtenue après de nombreux ajustements entre le modèle conçu et la planche réelle testée en laboratoire. Une fois cette correspondance établie, les modifications apportées aux modèles d’origine peuvent donc être considérée comme réaliste. Plusieurs données sont tirées à même les simulations des différentes planches sur l’ordinateur.
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2 Présentation du projet
2.1 Description de l’entreprise
Evasion Kiteboards est spécialisé dans la fabrication de planche de waterkite et de snowkite. L’entreprise est jeune mais offre déjà des produits de performances et personnalisés. Leurs produits sont produits dans leurs ateliers au Lac‐Saint‐Jean. Une équipe en recherche et développement élabore et utilise les plus récentes technologies des matériaux en composite pour leurs produits. Cette petite entreprise est présidée par le concepteur Julien Racca. Il travaille de concert avec des adeptes du Kite Surf afin de tester la fiabilité de ses planches sur le terrain.
2.2 Description de l’équipe de travail
L’équipe de travail s’est divisée en fonctions des tâches à accomplir. D’abord, les tests en laboratoire ainsi que le choix et la caractérisation des matériaux ont été réalisés sous la responsabilité de Jonathan Allard. La partie conception assistée par ordinateur a été assurée par Danick Boivin. Monsieur Gilles Bouchard, ingénieur et professeur, a supervisé le projet depuis le début.
2.3 Problématique et état de l’art reliés au projet
Le premier problème rencontré était le manque d’information dans la littérature sur le bois de Paulownia. Des tests en laboratoire pour caractériser le cœur de la planche ont été faits afin de rectifier la situation. Ensuite, la conception assisté par ordinateur s’est rapidement compliquée. La géométrie de la planche est très particulière. Les courbes particulières et l’utilisation de matériau composite ont engendrées beaucoup d’erreur lors de la simulation de la flexion. Le bois et la fibre de verre réagissent de manière anisotrope. Une mauvaise connaissance de cette aspect a faite en sorte que la planche modélisée était beaucoup trop résistante comparativement à la planche réelle. Il était pratiquement impossible de caractériser un mélange de fibre de verre et d’époxy avec les équipements disponibles à l’école. Les propriétés mécaniques du revêtement sont basées sur les informations recueillies de la littérature. Les matériaux de remplacement disponible sur le marché ne sont pas nombreux. Afin d’optimiser le poids et garder la même résistance, le choix des matériaux se limites très rapidement. Lorsque le coût de production devient une contrainte, on constate que le choix actuel des matériaux est très judicieux.
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2.4 Objectifs généraux et spécifiques du projet
La planche fabriquée par le promoteur pèse présentement 2.6 kg. L’objectif est de diminuer son poids d’environ 200 à 400 grammes, soit une amélioration de 7 à 15%. De plus, la résistance à la flexion doit demeurer au‐dessus des spécifications des planches de 2009.
3 Aspects techniques et éléments de conception relatifs au projet
3.1 Caractérisation des matériaux
La planche originale est composée d’un noyau de bois en Paulownia. Ce bois de Chine est une vraie merveille. Son rapport résistance/densité est parmi les meilleurs. Dans la littérature, on retrouve peu d’information sur ce type de bois, il a donc été nécessaire de le tester en laboratoire. Un test en flexion pure a été réalisé afin de connaître le module d’élasticité du matériau suivant la norme ASTM D3043 (center point flexure test). La norme stipule que pour une flexion tel qu’illustrée à la figure 1, la longueur de la planche doit être plus grande que 48 fois son épaisseur plus 50,8 mm pour ainsi négliger l’effet tranchant.
48t + 50,8 mm = L
W
Figure 1. Norme ASTM D3043
t
Afin de trouver le module d’élasticité (E), le manuel de référence nous propose donc l’équation 1 suivante :
Équation (1) où
6
Il est a noté que cinq essais ont été effectués afin de vérifier la constance des résultats. De plus, il a été impossible de comparer les résultats obtenues expérimentalement et ceux théoriques, puisqu’ils étaient introuvables. Nous avons donc caractérisé le noyau avec les planches de fabrication de l’entreprise.
Le cœur de la planche est recouvert de fibre de verre de type E‐glass 0‐90°. Ce matériau, composé de résine d’époxy et de fibre de verre, est appliqué à une température d’environ 60°C et pressé. La fibre de verre réagie de façons différentes dépendant de l’orientation dans laquelle on la sollicite. Les données considérées pour la fibre de verre sont tirées de la littérature sauf pour l’épaisseur qui a été mesurée.
Une fine couche de thermoglass de type PBT coex est appliquée sur toute la planche. Ce matériau n’a pas été considéré dans cette étude car son module d’élasticité est négligeable et on le retrouvera également sur les nouvelles planches. Ce plastique permet au concepteur de créer le graphisme sur les planches et offre une protection à la fibre de verre. Ainsi, il faut conserver ce matériel dans les calculs du poids, mais il est négligé pour les simulations assistées par ordinateur. Les propriétés compilées se rapportant aux matériaux d’origine sont présentés dans le tableau #1.
Tableau #1 Propriétés mécaniques des matériaux d’origine
Densité (kg/m3)
E moyen (GPa)
Limite d’élasticité Sy (MPa)
Inertie de l’échantillon I
(mm4)
Épaisseur t (mm)
Paulownia 211,43 4 55 18,55x103 8 Fibre de
verre E‐glass avec 50 % d’époxty
1900 25 425 ‐ 0,4
Thermoglass PBT coex
971,7 2,7 ‐ ‐ 0,52
3.2 Choix des matériaux
Afin de fabriquer une planche plus légère, plusieurs options s’offrent à l’entreprise Evasion Kiteboards. L’une d’elle consiste à changer la nature des matériaux de fabrication. On peut voir sur le graphique de l’annexe I, les matériaux vers lequel orienter la recherche. En ce sens, une investigation bibliographique sur les différents matériaux disponibles a permis de mettre sur pied une liste de matériaux potentiels compris dans le tableau #2. Il s’est avéré qu’aucun autre type de bois ne pouvait remplacer l’original, à l’exception du balsa. Le gain en masse n’était pas très significatif, en dessous des objectifs visés. Une autre solution pouvait donc être envisagée, c'est‐à‐dire les mousses en polymères. Celles se retrouvant dans le tableau sont dans les plus légère et performante que l’on retrouve sur le marché. Leur efficacité en tant que matériau de remplacement pour le cœur de la planche n’est pas assurée. Leur capacité de résistance en compression sont sujette à être étudier en fatigue.
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Enfin, concernant le revêtement externe du noyau, il est possible de remplacer la fibre de verre de type E pour un autre type plus performant, le type S. La fibre de verre de type S possède de meilleures propriétés mécaniques que les autres types, mais coûte beaucoup plus cher. Dans l’optimum, l’utilisation de la fibre de carbone pourrait être envisagée. En sommes, le Paulownia et la fibre de carbone ont le meilleur rapport module d’élasticité/densité.
Tableau #2 Propriétés mécaniques des matériaux d’origine et de remplacement
Composante Matériaux Densité (kg/m3)
Module d’élasticité E (GPa)
Limite d’élasticité Sy (MPa)
Ratio E/ρ
Module de cisaillement (GPa)
Module en compression (MPa)
Noyau Paulownia 211.43 4 55 0.019 ‐ ‐
Mousse en polymère HCP 30
200 0.24 7.1 0.0012 0.085 ‐
Mousse en polymère HT 131
130 0.175 4.8 0.0013 0.05 17
Structure en nid d’abeille avec membrane
80 ‐ 0.5 ‐ 5 15
Fibre Externe
E‐glass/époxy
50‐50% vol. 1900 25 425 0.013 ‐ ‐
Carbone/époxy
50‐50% vol. 1600 70 600 0.043 ‐ ‐
Kevlar/époxy
60‐40% vol. 1450 30 480 0.021 ‐ ‐
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3.3 Éléments de conception
Premièrement, il nous fallait confirmer que les simulations dans Solidworks donnent des résultats dans l’ordre de grandeur des résultats théoriques obtenus avec les calculs de résistance des matériaux. La méthodologie utilisée pour cette étape est bien simple. On cherche d’abord à modéliser sur l’ordinateur un panneau en composite de 2 cm par 80 cm appuyé aux deux extrémités, ce qui est fidèle aux normes ASTM pour obtenir de la flexion pure. Ensuite, on fait une simulation de flexion simple avec une force de 10 N pour connaître la flèche obtenue durant l’essai assisté par ordinateur. On valide le résultat obtenu avec les calculs analytiques de la flexion d’une poutre en composite. S’il s’avère que les deux résultats se rejoignent, alors on peut conclure que le modèle est bon. Le tableau 3 présente les comparaisons entre les calculs analytiques conventionnels et le test assisté par ordinateur. Les figures 2 et 3 représentent l’essai simulé et la planche respectivement.
2mm de fibre
8mm de noyau
2mm de fibre
Figure 2. Géométrie de référence pour la simulation par ordinateur
Figure 3. Géométrie de référence pour les calculs analytiques
Tableau #3 Comparaison de la flèche entre le calcul analytique conventionnel et le test assisté par ordinateur
Calcul analytique conventionnel
Test assisté par ordinateur
Pourcentage d’erreur
Flèche obtenue 1.662 mm 1,666 mm 0.2%
*Le calcul analytique conventionnel est détaillé à l’annexe II
9
Étant donné que la comparaison entre l’ordinateur et les calculs conventionnels est très satisfaisante, nous avons pu commencer la modélisation de la planche du promoteur. Premièrement, la courbure dans le sens de la longueur et de la largeur a été mesurée. Nous avons fait une série d’esquisse sur la courbe longitudinale et avons produit un volume à l’aide de la fonction d’extrusion par lissage.
Figure 4 : Création du noyau par lissage
Ensuite est venue l’étape de l’application de la fibre de verre. Pour cette étape, beaucoup d’options ont été essayées. Par contre la plupart ne fonctionnaient pas. Le premier essai a été d’appliquer seulement un corps surfacique sur la surface inférieur et supérieure du noyau et ensuite d’entrer les propriétés de la fibre de verre dans la simulation. Le problème de cette méthode est que Solidworks avait beaucoup de misère à mailler le tout, ainsi qu’il y avait une erreur de plus de 15% sur les essais de la géométrie de référence. Cette option a donc été écartée. Après plusieurs tentatives, nous avons réussi à ajouter un volume avec la fonction d’extrusion par lissage avec un amalgame de surfaces décalés. Une simplification a du être utilisée pour permettre de faire l’extrusion de la fibre de verre. Les bords de la planche ont été grandement simplifiés. De plus, le logiciel ne pouvait faire un volume de moins de 1.5mm pour la fibre, nous utilisons donc une correspondance dans la simulation. Cette correspondance est présentée à la page suivante. Enfin, une symétrie par rapport au centre de la planche a donné un résultat final fidèle à la planche du promoteur.
Figure 5 : Simplification du bord de la planche
Figure 6 : Planche finale
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Pour la conception des autres planches, nous avons simplement fait varier l’épaisseur du noyau. Voici les configurations étudiées :
Tableau #4 Configurations qui seront étudiées
Épaisseur du noyau Couches de fibres Type de fibre
8mm 2 Fibre de verre type E 9mm 1 Fibre de verre type E 9mm 2 Fibre de verre type E 10mm 1 Fibre de verre type E 10mm 2 Fibre de verre type E
6mm 1 Fibre de carbone 6mm 2 Fibre de carbone 7mm 1 Fibre de carbone 7mm 2 Fibre de carbone 8mm 1 Fibre de carbone 10mm 1 Fibre de carbone
Simulation des planches modélisées
Correspondance pour les couches de fibre :
Étant donné que Solidworks ne pouvait pas faire un lissage de moins de 1.5mm, nous en avons fait un de 2mm. La correction qui prendra compte de ce petit problème peut être réglé en faisant un ratio entre le vrai module de Young de la fibre et celui utilisé sur le 2mm de fibre. C’est sur le calcul de l’inertie que ce ratio peut être trouvé.
Prenons l’exemple de la planche du promoteur :
0.8mm de fibre / E=25GPa 2mm de fibre / E=?
8mm de noyau
E=4GPa
8mm de noyau
E=4GPa
Figue 7 : Équivalence du module de Young pour la fibre
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Calcul des équivalences
Pour la simulation de la planche du promoteur, nous avons appliqué les appuis exactement où se trouvaient les appuis lors des essais au laboratoire de résistance des matériaux. Nous avons utilisé les tests avec la charge appliquée en plein centre de la planche pour vérifier la rigidité. Une force de 446N (100 lb) a été utilisée.
Figure 8. Simulation de la planche du promoteur
Tableau #5 Flèche obtenue en laboratoire et par CAO pour une force de 446 N (100 lb)
Test en
laboratoire Test par CAO
Pourcentage d’erreur
Flèche obtenue 47.24mm (1.86po)
48.48mm (1.897po)
2%
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Tableau #6 Résultats obtenues après simulation par CAO des configurations suggérées
Épaisseur du noyau
Couches de fibres
Type de fibre Variation
de rigidité
Variation de masse
Variation de coût
Notes
8mm 2 Type E ‐ ‐ Planche 2009 9mm 1 Type E ‐12% ‐23% ‐ 9mm 2 Type E +19% +4% = 10mm 1 Type E +8% ‐20% ‐ Optimum 10mm 2 Type E +33% +8% ‐
6mm 1* Fibre de carbone ‐24% ‐38% + 6mm 2* Fibre de carbone +29% ‐15% + 7mm 1* Fibre de carbone +3% ‐35% + Optimum 7mm 2* Fibre de carbone +43% ‐12% + 8mm 1* Fibre de carbone +22% ‐31% + 10mm 1* Fibre de carbone +47% ‐24% +
*À noter que l’épaisseur des couches de fibre de carbone ont été posés égales à la fibre de verre
Les variations contenues dans le tableau 6 sont calculées par rapport à la planche originale. Le modèle de 2009 est composé d’un noyau de 8 millimètres d’épaisseur et est recouvert de deux couches de fibres de verre de type E. Les volumes des composantes sont tirés directement des simulations faites. Il ne faut pas oublier les objectifs initiaux qui sont d’obtenir la même résistance et une diminution de poids par rapport au modèle de 2009. Ainsi, la planche qui répond le mieux aux exigences est celle composée d’un noyau de 10 mm et une seule couche de fibre de verre. On note une diminution de poids de 20%, soit approximativement 500 grammes. Le coût de production se retrouve diminué par l’abolition d’une couche de fibre de verre. De plus, le temps de production se retrouve diminué également, car le promoteur reçoit des panneaux avec 10 mm d’épaisseur.
Du côté de la planche idéale, la fibre de carbone est impressionnante. Le meilleur gain en masse s’évalue à environ 900 grammes. La fibre de carbone est plus résistante et plus légère. Par contre, le coût de production est beaucoup plus élevé que pour la fibre de verre. L’option de la fibre de carbone a déjà été abordée par le promoteur et a été rejetée dû au coût plus élevé. Il en reste pas moins que la planche idéale serait de haute qualité.
Les planches optimales ainsi que le modèle de 2009 ont été sollicités par ordinateur de plusieurs manières. Que ce soit en torsion ou sur les talons la résistance des planches modélisés répondent aussi bien dans ces directions. Le tableau 7 présente ces résultats.
Tableau #7 Résultats obtenues après simulation par CAO des planches optimales par rapport à la planche originale
Planche Variation de la rigidité en torsion Variation de la rigidité en format talon Fibre de verre +9.33% + 9.4 %
Fibre de carbone +6.5% +4.56 %
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4 Bilan des activités
4.1 Arrimage formation pratique/universitaire
Ce projet a permis de mettre en pratique différentes notions acquises durant notre formation. Le choix des matériaux s’est fait selon la procédure vue lors du cours « caractérisation et choix des matériaux ». De plus, il fallait démontrer une connaissance approfondie du logiciel SolidWorks pour mener à bien ce projet. En effet, la géométrie complexe de la planche a rendu difficile les différentes simulations imposées. Le cours, conception assistée par ordinateur, a grandement manqué pour un membre de l’équipe puisque celui‐ci est prévu qu’à la quatrième année du BAC d’ingénierie de l’aluminium. Les connaissances acquises en résistance des matériaux a été très utiles pour valider la première modélisation assistée par ordinateur. Ensuite, il a été très enrichissant de faire des tests en laboratoire suivant des normes officielles. Cela a permit de comprendre et de réaliser à quel point il est facile de produire des résultats peu fiables. Ainsi, la rigueur et la précision deviennent des atouts majeurs pour tirer de bonnes conclusions.
4.2 Travail d’équipe
Durant ce projet, les rencontres interpersonnelles se sont multipliées. Les rendez‐vous avec le conseiller, les techniciens ainsi que le promoteur font partie intégrante d’un projet. Il est fort important de respecter son vis‐à‐vis et de travailler en collaboration avec lui. Il n’était pas toujours facile de se rencontrer en même temps, on a donc profité au maximum lorsque l’occasion se présentait.
Voici un bel exemple de collaboration : afin de réaliser les essais au laboratoire de mécanique, nous devions d’abord améliorer le système d’acquisition de donnée. Il va s’en dire que nous avons consacré quelques heures afin d’aider le technicien de l’école pour la réalisation de cette tâche. Cela a donc profité aux deux parties, car sans cette nouvelle méthode, il était impossible d’effectuer les tests sur la planche réelle, les forces appliquées étant trop petites. Le travail d’équipe a été enrichissant dans le sens où on a tiré le meilleur de nos forces respectives.
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4.3 Respect de l’échéancier
L’échéancier a été modifié pour cause de nombreux problèmes. D’abord, la prise de données sur la planche réelle a été retardée de deux semaines car le laboratoire n’était pas encore équipé pour les besoins précis de la simulation. Ensuite, des problèmes de conceptions sont survenus. Il a été grandement difficile de modéliser le plus fidèlement possible la géométrie de la planche originale. Une fois le tout réussi, après de nombreuses heures, les simulations imposées ne marchaient tout simplement pas. Dans ce sens, des simplifications et des équivalences ont été apportées à la planche afin de régler le problème. Il a été possible par la suite de simuler les différentes configurations suggérées. Les résultats sont donc sortis en début d’avril au lieu de la mi‐mars. Le tableau suivant illustre le temps consacré à chaque tâche.
Tableau #8 Durée des étapes du projet
Tâches Durée
Caractérisation 15 heures
Choix des matériaux 5 heures
Mise à jour des cellules de charges du laboratoire
30 heures
Validation des simulations 20 heures
Conception de la planche 70 heures
Simulation des configurations 5‐8 heures
Rédaction 20 heures
Rencontres d’équipe 20 heures
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4.4 Analyse et discussion
La méthodologie utilisée durant ce projet a été efficace. La validation des données recueillies par le logiciel reste des approximations, mais en demeure tout de même près de la réalité. Le faible pourcentage d’erreur entre le modèle de base et le calcul analytique conventionnel démontre la fiabilité de la démarche. La répétition des essais est une lacune dans cette étude. L’exactitude des résultats obtenus aurait pu être ainsi vérifiée. D’un autre côté, les propriétés mécaniques des matériaux d’origine ont été bien étudiées afin d’entrer le plus d’information dans le programme lors des simulations.
5. Conclusion et recommandations
Les objectifs de diminuer la masse jusqu’à 15 % ont été atteints avec les matériaux d’origine. En épaississant le noyau de 2 millimètres et en enlevant une couche de fibre de verre, une diminution de la masse de l’ordre de 20% est obtenue. De plus, la résistance de la planche se voit augmentée de quelques pourcents. Les coûts relatifs à la production sont diminués puisqu’une couche de fibre de verre est appliquée en moins. Étant donné que le promoteur achète des panneaux de 1500mmX500mmX10mm, il n’aura pas à changer les dimensions des matériaux qu’il utilise.
Les objectifs se rapportant à la planche optimale sont concluants également. En conservant un noyau en bois de Paulownia, en le diminuant à 7mm et en appliquant une couche de fibre de carbone standard, on obtient dans le meilleur des cas une diminution de 35 % du poids et un petit gain en résistance. Cette planche est sans doute la meilleure configuration possible.
La fatigue
Les mousses en polymère sont susceptibles d’être moins efficaces que le bois. Les points critiques où sont appliquées les plus grandes forces risquent de ne pas résister en compression après de nombreuses répétitions. Les mousses sont moins denses que le bois, mais plus fragile. Des tests en fatigue pour connaître la durée de vie des mousses en polymère et sur le bois sont recommandés avant d’employer la mousse comme matériau de remplacement.
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Prototypage
Il est recommandé de faire un prototype de la planche avec un noyau de 10 millimètres et une seule couche de fibre des verres avant la mise en vente. La présente étude ne tient pas compte de la fatigue des matériaux. Des essais dans les vraies conditions d’utilisation pourront confirmer la fiabilité du nouveau produit.
Structure en nid d’abeille
La structure en nid d’abeille a été envisagée. Celle‐ci offrirait certainement un poids minimum pour le cœur de la planche. Par contre, la durée de vie de cette avenue n’est pas garantie. De plus, l’étude de remplacer le cœur en une structure de nid d’abeille a déjà été réalisée par les grandes compagnies de ski et les résultats sont très peu convaincant. En effet, la résistance en fatigue devient une lacune.
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Annexe I
Paulownia
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Annexe II Calcul
E = 30 GPa
E = 4 GPa
Calcul de l’inertie
DCL de la poutre F =10 N
Calcul de l’effort tranchant
y
0.4m 0.4m x
Rb =5 N Ra= 5 N
V M x
Ra= 5 N
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Calcul de l’angle par intégrale
Condition limite : à x=0,4 ;
Calcul de la flèche par intégrale
Condition limite : à x=0 ;
Donc
Calcul de la flèche à x=0.4
Le calcul analytique de la flèche donne 1,6619 mm vers le bas.
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Référence bibliographique
Références en lien avec la fibre de verre et l’epoxy : Automation Creations inc. Matweb metreial preperty data, [En ligne]. Disponible sur : <http://www.matweb.com/search/DataSheet.aspx?MatGUID=d9c18047c49147a2a7c0b0bb1743e812&ckck=1>. (Consulté le 12 février 2010) Cardarelli, François. Materials handbook, 2e édition, Springer, London, New York, Heidelberg, 2008, 1340 pages. (ISBN : 978‐1‐846‐286‐681) Wilfried Kurz, Jean Pierre Mercier et Gérald Zambelli. Introduction à la science des matériaux, volume 1, 3e édition revue et augmenté, Presses polytechniques et universitaires romandes, 2002, 520 pages. (ISBN : 2‐88074‐402‐4) Références en lien avec le thermoplastique : Automation Creations inc. Matweb metreial preperty data, [En ligne]. Disponible sur : <http://www.matweb.com/search/DataSheet.aspx?MatGUID=781bd0e9d0854fd5a919866c39ea3065&ckck=1>. (Consulté le 12 février 2010) Le groupe Weka, Techniques de l’ingénieur, [En ligne]. Disponible sur : <http://www.matweb.com/search/DataSheet.aspx?MatGUID=781bd0e9d0854fd5a919866c39ea3065&ckck=1>. (Consulté le 12 février 2010) Référence en lien avec le bois Paulownia : Northern rivers regional plantation committee, Wood property report on camphor laurel. [En ligne]. Disponible sur : <http://www.privateforestry.org.au/camwp_4.htm>. (Consulté le 12 février 2010) Paulownia supply inc. Paulownia lumber characteristics, [En ligne]. Disponible sur : <http://www.paulowniasupply.com/paulownia_lumber_characteristics.htm>.(Consulté le 12 février 2010) Annual book of ASTM, Volume 04.10, ASTM international, West Conshohockeh, Baltimore, 2004, 800 pages. (ISBN : 0‐8031‐3718‐4) Référence en lien avec les calculs : André Bzergui, Thang Bui‐Quoc, André Biron et al. Résistance des matériaux, 3e édition, Canada, Presses internationales polytechnique, 2002, 715 pages. (ISBN : 978‐2‐553‐01034‐7)