Université Pierre et Marie Curie - ressources …...Université Pierre et Marie Curie PROMOTION 2009 Mémoire présenté devant l’Institut de Statistique de l’Université Pierre

Université Pierre et Marie Curie

P R O M O T I O N 2 0 0 9

Mémoire présenté devant

l ’ I n s t i t u t d e S t a t i s t i q u e de l’Université Pierre et Marie Curie

Pour l’obtention du

D i p l ô m e d e S t a t i s t i c i e n M e n t i o n A c t u a r i a t

A s s u r a n c e F i n a n c e

Par : Anne-Laure KERVELLA Sujet : Définition d’une allocation stratégique d’actifs ex-ante dans un cadre d’ALM avec

contrainte de solvabilité et prise en compte du risque inflation. Responsable du stage : Florent COMBES Tuteur de stage : Jacques CHEVALIER

CONFIDENTIEL

Définition d’une Allocation Stratégique d’Actifs ex-ante

Dans un Cadre d’ALM

Avec Contrainte de Solvabilité et Prise en Compte du Risque Inflation

RESUME L’objet de ce mémoire est de déterminer une allocation stratégique d’actifs entre les trois supports d’investissements suivants : monétaire, obligataire et action. Cette allocation est déterminée pour un passif constitué de contrats d’épargne en euros de durée 8 ans. Ce mémoire se place dans le cadre du nouveau référentiel de solvabilité des compagnies d’assurance : Solvabilité II. Dans cette nouvelle réglementation, les assureurs doivent évaluer le plus justement possible les risques auxquels ils sont soumis, dans le but de déterminer le niveau minimal de fonds propres leur permettant d’éviter la ruine avec une probabilité élevée. Dans ce contexte, il est important pour les assureurs de long terme, de prendre en compte le risque lié à l’inflation. En effet l’actif de ces assureurs est majoritairement composé de produits obligataires, dont le rendement à long terme est fortement lié à l’évolution des taux d’intérêts et donc de l’inflation. Ainsi, nous avons fait le choix de prendre en compte l’inflation dans la modélisation du rendement monétaire et du rendement obligataire. Le modèle retenu pour l’inflation est un modèle à états construit à partir des chaînes de Markov. Il présente la particularité d’autoriser le passage de l’économie d’un état inflationniste à un état non inflationniste avec une probabilité plus ou moins forte. L’allocation d’actifs est déterminée à partir d’un programme de maximisation des fonds propres économiques, présentant l’avantage de déterminer conjointement les besoins en fonds propres et l’allocation optimale en fonction d’un critère de ruine que se fixe l’assureur. Le mémoire est divisé en quatre parties. Les modèles stochastiques utilisés et les méthodes d’estimation adaptées à chaque modèle sont exposés en première partie. Le générateur de scénarios économiques et les résultats des estimations se trouvent dans la seconde partie. La troisième partie présente la réforme Solvabilité II, la méthode d’allocation d’actifs, et enfin les résultats obtenus. Dans la quatrième partie, une couverture du risque de hausse des taux et du risque de dépréciation de la valeur des actions est envisagée. Mots-clefs : Modélisation, inflation, Solvabilité II, allocation stratégique d’actifs, chaîne de Markov.

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REMERCIEMENTS Je remercie mes responsables de stage Florent Combes, directeur de la gestion taux au sein d’Ecofi Investissements, et Jacques Chevalier, professeur à l’ISUP. Ils m’ont permis de réaliser un mémoire portant sur un sujet actuel mêlant actuariat et finance, et répondant complètement à mes attentes. Leurs conseils et leur expérience ont enrichi mes connaissances tant sur le plan financier qu’actuariel. Je remercie particulièrement Tony Boisseau de m’avoir accompagnée tout au long du stage. Ses précieux conseils, son soutient permanant, sa grande disponibilité, ainsi que sa relecture attentive du mémoire ont été indispensables à la réalisation de ce travail. Je remercie par la même occasion toutes les personnes qui m’ont aidées à un moment ou à un autre de mon stage.

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SOMMAIRE

RESUME ERREUR ! SIGNET NON DEFINI.3 RESUME 3 REMERCIEMENTS 4 SOMMAIRE 5 INTRODUCTION 9

PREAMBULE : L’ACTIVITE D’ASSURANCE 11 1 ENVIRONNEMENT COMPTABLE ET REGLEMENTAIRE 12

1.1 Les Provisions Techniques 12 1.2 Les Placements 12

1.2.1 La réglementation des Placements 12 1.2.2 Comptabilité des Placements 13

2 LA GESTION ACTIF PASSIF (ALM) 15 3 CADRE DU MEMOIRE : LES CONTRATS D’EPARGNE EN EUROS 17

3.1 Présentation 17 3.2 Risques liés aux Contrats d’Epargne en Euros 17 3.3 Périmètre de l’Etude 18

PARTIE 1 : MODELISATION D’ACTIFS 19 1 LA MODELISATION DES TAUX D’INTERETS 20

1.1 Le Modèle de Vasicek 21 1.2 Le Modèle de Cox, Ingersoll, Ross 22 1.3 Estimation 23

1.3.1 Méthode d’estimation par adéquation 24 1.3.2 Méthode de Régression 24 1.3.3 Méthode du Maximum de Vraisemblance 26

2 LA MODELISATION DES ACTIONS 28 2.1 Présentation de Deux Modèles 28 2.2 Estimation 29

2.2.1 Le Modèle de Black et Scholes 29 2.2.2 Le Modèle de Heston 30

3 LA MODELISATION DE L’INFLATION 32 3.1 Le Modèle 33 3.2 Estimation 37

PARTIE 2 : MISE EN ŒUVRE PRATIQUE 41 1 CHOIX DU MODELE 41 2 RESULTATS DES ESTIMATIONS 44

2.1 Les Taux 44

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2.1.1 Le Taux Réel 1 An 45 2.1.2 Le Taux Réel 10 Ans 47 2.1.3 Le Taux Nominal 1 an 48 2.1.4 Le Taux Nominal 10 ans 50

2.2 Les Actions 51 2.2.1 La Volatilité Stochastique 51 2.2.2 Le Rendement 54

2.3 L’Inflation 55 2.4 Les Corrélations entre Actifs 59

3 APPLICATION 62 3.1 Simulation à Horizon 8 ans pour les Taux et l’Inflation 62 3.2 Simulation du Rendement des Actifs Financiers à Horizon 8 ans 65

3.2.1 1er Cas : Modélisation sans Prise en Compte du Risque Inflation 69 3.2.2 2ème Cas : Modélisation avec Prise en Compte du Risque Inflation 70

PARTIE 3 : L’ALLOCATION STRATEGIQUE D’ACTIFS 73 1 LA REFORME SOLVABILITE II 74

1.1 Pilier I : Exigences Quantitatives 74 1.1.1 Les Provisions Techniques 75 1.1.2 Le Minimum Capital Requirement ou MCR 75 1.1.3 Le Solvency Capital Requirement ou SCR 76

1.1.3.1 La Formule Standard 76 1.1.3.2 Le Modèle Interne 78

1.2 Pilier II : Activités de Surveillance 80 1.3 Pilier III : Information et Discipline de Marché 80

2 UNE METHODE D’ALLOCATION D’ACTIFS 82 2.1 Présentation de la Méthode 82 2.2 Etude de la Fonction Objectif 85 2.3 Probabilité de Ruine 85

3 APPLICATION 87 3.1 Mise en Place 87 3.2 Résultats 88

3.2.1 Etude de la Probabilité de Ruine 88 3.2.2 L’allocation Optimale 90

PARTIE 4 : LA COUVERTURE FINANCIERE 95 1 LES INSTRUMENTS FINANCIERS 96

1.1 Les Options 96 1.2 Couverture du Risque de Dépréciation des Actions 98

1.2.1 Valorisation 98 1.2.2 Le Smile de Volatilité 99 1.2.3 Mise en Place 100

1.3 Couverture du Risque de Hausse des Taux 102 1.3.1 Futures et Options sur Futures 103

1.3.1.1 Fonctionnement des Marchés à Termes 103

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1.3.1.2 Description du Contrat EuroBund 104 1.3.1.3 Options sur Futures 105

1.3.2 Valorisation 105 1.3.3 Mise en Place 107

2 APPLICATION 109 2.1 Options sur Actions 109 2.2 Options sur Futures 113 2.3 Options sur Futures et Options sur Actions 114

CONCLUSION 117

ANNEXES 119 1 Le Lemme d’Itô 120 2 Les tests de validité des modèles 121 3 Générateur de Variable Aléatoires 123 4 Calcul des Taux ZC 124 5 Les Données 125 6 Récapitulatif des Estimations 126 7 Algorithme d’Approximation du Maximum de Vraisemblance pour le Modèle de L’Inflation 127

BIBLIOGRAPHIE 129

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INTRODUCTION La commission Européenne a engagé une réforme du système de solvabilité des compagnies d’assurance, avec la mise en place, prévue pour 2012, du nouveau référentiel Solvabilité II. L’objectif est d’une part d’harmoniser la réglementation au sein de l’union Européenne, et d’autre part d’améliorer la protection des assurés. Dans ce contexte, la réglementation prudentielle des placements va considérablement évoluer, et les assureurs devront notamment évaluer le risque associé à leur politique d’allocation d’actifs. Dans le rapport annuel « l’assurance française en 2008 », publié par la FFSA en juin 2009, on peut lire que l’actif des compagnies d’assurance est composé à près de 70% par des obligations et titres assimilés. A long terme, le rendement de ces actifs, lié à l’évolution des taux d’intérêts, pourrait être fortement altéré par un scénario inflationniste défavorable. L’incertitude liée à l’évolution des prix accroît les risques pour les acteurs économiques, en particulier pour les assureurs dont une partie de l’activité peut se faire à long terme. L’inflation peut donc représenter un risque majeur dont un modèle de prévision et de gestion doit tenir compte. Un des principaux objectifs de Solvabilité II est une meilleure prise en compte des risques auxquels est exposé l’assureur. Alors que dans l’actuel référentiel, la détermination du niveau de solvabilité de l’entreprise se fait indépendamment du choix de l’allocation d’actif, dans le nouveau référentiel, ces besoins dépendront directement de la politique d’allocation d’actifs. Le niveau de fonds propres pourra être calculé par une formule standard ou bien par un modèle interne. Cependant, le module risque de marché de la formule standard testée jusqu’à présent ne prévoit pas la prise en compte du risque inflation. Or, Pour les assureurs de long terme, soumis à un risque inflation plus élevé que les assureurs de court terme, il est important de prendre en compte ce risque dans les anticipations de rendements. Afin de mieux modéliser leurs risques, ces assureurs devraient privilégier un modèle interne intégrant une modélisation de l’inflation. L’étude menée consiste à déterminer l’allocation optimale d’actifs pour un assureur vie de long terme, dans le cadre de Solvabilité II, et avec prise en compte du risque inflation. Dans un premier temps nous nous attardons sur l’activité de l’assurance en France, en rappelant les caractéristiques ainsi que les principales règles prudentielles auxquelles sont soumis les assureurs. Le cadre du mémoire ainsi que les objectifs seront définis. Ensuite nous mettrons en place un générateur de scénarios économiques à l’aide de modèles stochastiques. La première partie expose les modèles utilisés pour les taux et les actions, puis la modélisation de l’inflation, réalisée à l’aide d’un modèle à états. Ce modèle permet de prendre en compte avec une probabilité plus ou moins forte le retour à un état inflationniste. Des méthodes d’estimations adaptées à chaque modèle sont présentées. La seconde partie présente le générateur de scénarios économiques, et expose les résultats des estimations. Afin d’analyser l’impact du risque inflation sur l’allocation d’actifs, nous envisagerons différentes modélisations :

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• Modélisation directe des taux nominaux : le risque inflation est implicitement pris en compte dans la modélisation du taux nominal. Cette méthode fournit une modélisation non adaptée de l’inflation en sous estimant ce risque.

• Modélisation distincte des taux réels et de l’inflation : Dans cette modélisation le risque inflation est explicitement pris en compte, il est évalué plus justement.

La troisième partie est consacrée d’une part à la présentation de la réforme Solvabilité II, et d’autre part à la présentation d’un programme de détermination de l’allocation stratégique d’actifs. Ce programme présente l’avantage de déterminer conjointement les besoins en fonds propres et l’allocation optimale en fonction d’un critère de ruine que se fixe l’assureur. Nous appliquerons ce modèle pour différents critères de ruine, mais aussi pour différents scénarios économiques (prise en compte explicite ou non de l’inflation) Comme nous le verrons dans la partie 3, le mode de comptabilisation des actifs prévu par solvabilité II augmente la volatilité des résultats de l’assureur, ce phénomène est amplifié lorsque l’horizon de placement se fait à long terme. Le modèle d’allocation d’actifs utilisé compense cette volatilité par un besoin en fonds propres élevé. Ainsi, pour diminuer les besoins en fonds propres, nous envisageons dans la partie 4 une couverture financière contre le risque de dépréciation de la valeur du portefeuille d’actifs. La couverture est mise en place sur les actions et les obligations à l’aide d’options. Les résultats de l’allocation d’actifs avec couverture financière sont exposés dans la partie 4.

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PREAMBULE : L’Activité d’Assurance

PREAMBULE

L’ACTIVITE D’ASSURANCE Une des principales caractéristiques de l’activité d’assurance est l’inversion de son cycle de production : les sociétés perçoivent les primes avant de payer les prestations. Cette particularité nécessite la constitution de provisions techniques destinées à payer les sinistres futurs. Le montant des provisions techniques est placé sur les marchés financiers, ainsi la compagnie doit se doter d’outil de gestion afin de répartir de façon optimale ses actifs, tout en veillant à sa solvabilité à court, moyen, et long terme. La figure ci-dessous présente le bilan simplifié d’une compagnie d’assurance, et permet de visualiser la répartition de l’actif et du passif.

ACTIF

Placements Financiers

Réassurance

Autres

PASSIF

Fonds Propres

Provisions Techniques

Autres

L’actif des compagnies d’assurance est composé majoritairement de placements financiers, ils représentent en moyenne 70% à 80% de l’actif. Ces placements sont soumis à un ensemble de règles prudentielles que nous détaillons dans la suite. La section 1 est consacrée à l’environnement comptable et réglementaire actuel des compagnies d’assurance, cette section est divisée en deux parties : la 1ère est consacrée aux provisions techniques, et la 2nd est consacrée aux placements financiers. La section 2 présente les objectifs de la gestion actif-passif en assurance vie. Le cadre du mémoire est exposé dans la section 3.

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1 ENVIRONNEMENT COMPTABLE ET REGLEMENTAIRE

1.1 LES PROVISIONS TECHNIQUES

La réglementation impose aux sociétés d’assurance de constituer des provisions techniques pour faire face aux engagements pris envers les assurés. Elles sont constituées de deux provisions qui sont :

• Les Provisions Mathématiques ou PM

Elles représentent la part la plus importante des provisions techniques. Le code des assurances les définit comme étant la valeur des engagements pris par l’assureur moins la valeur des engagements pris par l’assuré. Elles doivent être calculées de façon prudente et brute de réassurance, la part des réassureurs apparaît à l’actif du bilan.

• La Provision pour Participation aux Bénéfices ou PPB

C’est une obligation légale : les entreprises d’assurance vie doivent faire participer leurs assurés à leurs bénéfices techniques et financiers. Le code des assurances fixe une participation égale au minimum à 85% des résultats financiers et 90% des autres résultats. Le montant de la participation aux bénéfices peut être doté intégralement ou partiellement à la PPB. Toutefois, l’assureur a 8 ans pour affecter le montant total de la participation aux bénéfices aux PM.

1.2 LES PLACEMENTS

Les placements en représentation des engagements réglementés doivent respecter des règles définies par le code des assurances. Une fois qu’elle a couvert les provisions techniques, la société d’assurance est libre de placer comme elle l’entend les fonds restant.

1.2.1 La réglementation des Placements

La compagnie d’assurance doit disposer d’un montant suffisant d’actifs de « bonne qualité ». Ces actifs doivent répondre à plusieurs critères, énoncés ci-dessous :

• Exigence de Sécurité, de Liquidité et de Rendement

La liste exhaustive des placements admis en représentation des engagements réglementés est donnée par l’article R-332-2. Ces actifs sont subdivisés en deux parties : l’article R-332-19 concerne les titres obligataires, et l’article R-332-20 recense essentiellement les actions, les obligations indexées, les FCC et l’immobilier. Ces actifs doivent être liquides, ie facilement et rapidement revendables sur les marchés financiers. Cependant la compagnie ne doit pas perdre de vue qu’elle garantie des taux de revalorisation, ainsi les actifs doivent apporter un rendement suffisant.

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• Règle de Congruence

Les engagements pris dans une monnaie doivent être représentés par au moins 80% d’actifs congruents, ie libellés dans la même monnaie.

• Règle de Localisation

Les engagements pris en France doivent être représentés par des placements localisés dans la communauté Européenne.

• Règles de Répartition

Ces règles, définies par l’article R-332-3 fournissent les plafonds suivants :

− Les actions représentent un poids maximum de 65% ; − A l’intérieure de cette poche actions, les actions d’entreprise n’ayant pas leur siège au sein

de l’OCDE, les actions non cotées, les parts de FCP à risques ne peuvent dépasser 5% ; − Les actifs immobiliers ne peuvent dépasser 40% ; − Le monétaire est plafonné à 10%.

• Règles de Dispersion

Elles sont définies par l’article R-332-1 :

− Le poids des actifs d’un même organisme ne peut excéder 5%, ce plafond peut atteindre 10% si la somme des émetteurs dépassant 5% restent inférieure à 40% ;

− Les placements d’une même société foncière ne peuvent excéder 10%

1.2.2 Comptabilité des Placements

En France, la réglementation actuelle prévoit que les placements soient comptabilisés en valeur historique, le prix d’achat (valeur nette comptable) s’entend hors intérêt couru, impôts, courtages, et commissions. Avec ce mode de comptabilisation l’assureur n’enregistre pas les éventuelles baisses des marchés financiers, qui engendrent la baisse de la valeur de son portefeuille financier. Pour remédier à ce problème, la réglementation impose un certain nombre de provisions liées aux placements financiers de l’assureur. L’objectif de ces provisions est donc de compenser une baisse de rendement de l’actif.

• La Réserve de Capitalisation

Elle ne concerne que les actifs de l’article R-332-19, cette réserve peut être dotée ou bien reprise selon que le taux de rendement actuariel d’un titre est inférieur ou bien supérieur au taux de rendement actuariel au moment de l’achat du titre. Cette provision présente une particularité puisqu’elle est constitutive de fonds propres.

• La Provision pour Risque d’Exigibilité ou PRE

Elle concerne les actifs de l’article R-332-20, elle est dotée s’il existe une moins-value latente sur l’ensemble de ces placements. La provision est égale à la différence constatée entre la valeur nette comptable et la valeur de réalisation.

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• La Provision pour Dépréciation Durable ou PDD

Elle n aleur de l’actif est durablement amoindrie. Le

• La Provision pour Aléas Financiers ou PAF

C’e n ire et destinée à couvrir une baisse de rendement des

co cerne tous les placements, et elle est dotée si la vmontant de la dotation correspondant à l’évaluation de la diminution de valeur de l’actif considérée. Le caractère durable de la dépréciation s’apprécie au travers de l’ampleur, de la durée, et de l’impact de la baisse sur les marchés financiers. Le calcul de la PDD est effectué actif par actif.

st u e provision d’assurance vie. Elle est obligatoactifs face au passif. Elle se déclenche si :

AssurésauxServiTauxActifldendementdeTaux ' Re 54

<

ien que les limites de l’actuel référentiel n’aient pu être observées que très rarement, de nombreuses

a principale critique de Solvabilité I repose sur la mauvaise prise en compte des risques auxquels font face

’autres critiques sont également reprochées à Solvabilité I, comme la non distinction entre assureur et

Bcritiques ont conduit à la mise en place d’une réforme. Lles assureurs. D’autre part, ce référentiel se base sur une vision rétrospective, considérant que le passé est une bonne estimation du futur. Dréassureur, ou encore le faite que les assureurs prudents sont soumis à une exigence de marge plus élevée.

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2 LA GESTION ACTIF PASSIF (ALM)

Elle consiste à identifier les flux générés par les engagements au passif et à rechercher les investissements les mieux à même de les couvrir. C’est un outil d’aide à la décision dont le rôle est de déterminer une stratégie financière qui permette à la compagnie d’optimiser son rendement tout en maîtrisant ces risques. Par stratégie financière, il faut entendre allocation stratégique d’actifs, ie la répartition entre classes d’actifs. Il existe plusieurs outils de gestion actif passif. Il est possible de les classer en 4 générations :

• Les Outils de 1ère Génération

Ils sont basés sur la projection et la comparaison de flux financiers à l’actif et au passif. La comparaison de ces flux fait apparaître des excédents ou bien des insuffisances de trésorerie. Les projections sont statiques, autrement dit elles ne prennent pas en compte d’éventuelles hypothèses sur l’activité future de la société.

• Les Outils de 2ème Génération

Ce sont des modèles déterministes passant par la mise en place de simulation du bilan, qui permettent la projection des résultats financiers et comptables en fonction de jeux d’hypothèses, appelés scénarios. Les scénarios portent aussi bien sur l’environnement économique et financier que sur la production et le comportement des assurés.


Ils sont construits à partir des modèles stochastiques. Ils utilisent des techniques de simulation semblables à celles des modèles de 2ème génération, à la seule différence que les hypothèses ne sont plus fixées par l’utilisateur. Ces modèles sont basés sur un principe de base appelé « méthode de Monte-Carlo ».


Tout comme les modèles de 3ème génération, ils passent par la mise en place de modèles stochastiques. L’assureur définit ensuite une fonction objectif, qui permet par un algorithme d’optimisation, de rechercher directement l’allocation d’actifs.

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Encadré n°1 : La Méthode de Monte-Carlo Il s’agit d’une méthode numérique utilisant des tirages aléatoires pour calculer une quantité. Cette méthode utilise la loi des grands nombres : Soit une suite de variable aléatoires indépendantes et identiquement ( ) Ν∈nnX

distribuées, ayant une espérance ( )XE et une variance finie. La loi faible des grands nombres stipule que

( )XEn

XX proba

nn ⎯⎯ →⎯

++∞→

...1

Avec l’hypothèse supplémentaire ( ) ∞<XE , la loi forte des grands nombres nous

assure la convergence presque sûre.

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3

CADRE DU MEMOIRE : LES CONTRATS D’EPARGNE EN EUROS

3.1 PRESENTATION

Les contrats d’épargne en euros se caractérisent par une garantie exprimée en euros, en opposition aux contrats en unités de compte (UC), pour lesquels la garantie est exprimée en nombre d’UC. Dans ce type de contrats (€), l’assureur s’engage à restituer le capital initial majoré d’intérêts. Trois critères permettent de caractériser les contrats d’épargne en euros :

• La garantie de la valeur de rachat

Les assurés peuvent racheter à tout moment leurs contrats. L’assuré peut alors subir une pénalité, qui ne peut dépasser 5% de la valeur des PM, et qui est nulle pour un contrat de plus de 10 ans.

• La Participation aux Bénéfices (PB)

Selon le code des assurances, les compagnies d’assurance vie doivent distribuer au minimum 90% du résultat technique, et au minimum 85% du résultat financier. Toutefois, certain contrat prévoit des taux de PB plus élevés.

• Le Taux minimum garanti (TG)

Ce taux correspond à un engagement de rendement de l’assureur qui peut éventuellement être nul. Le code des assurances fixe un plafond qui est de 60% du taux moyen des emprunts d‘Etat1 (TME), avec une limite fixée à 3.5%, pour les contrats à versements libres ou périodiques et pour les contrats à prime unique au-delà de 8 ans ; ce plafond s’élève à 75% du TME pour les contrats à prime unique sur une durée au plus égale à 8 ans.

3.2 RISQUES LIES AUX CONTRATS D’EPARGNE EN EUROS

Une compagnie commercialisant ce type de contrat est potentiellement soumise aux risques financiers :

• Le risque de change

Il est lié aux variations des cours des monnaies. Les compagnies d’assurance sont soumises à ce risque si leurs actifs sont libellés dans une monnaie et leurs engagements dans une autre. Ce risque n’a pas véritablement cours en assurance puisque les assureurs sont tenus, par la réglementation, de couvrir leurs engagements par au moins 80% d’actifs congruents.

1 Le TME est le taux de rendement, sur le marché secondaire, des emprunts d’état à taux fixe supérieur à 7 ans. Il correspond à une moyenne arithmétique des rendements hebdomadaires des emprunts d’état.

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• Le risque de signature, ou risque de contrepartie

Ce risque est lié à la dégradation de la solvabilité d’un émetteur. La perception de cette insolvabilité par les marchés financiers se traduit généralement par une chute des cours boursiers, avant même que l’émetteur soit en défaut de paiement. Le spread d’un titre obligataire est représentatif de ce risque, ainsi l’écart entre les taux des emprunts d’Etats et les taux des emprunts obligataires est d’autant plus élevé que le risque est élevé.

• Le risque de taux.

Il s’agit du risque lié à la variation des taux d’intérêts, il se manifeste soit à la hausse, soit à la baisse. La baisse des taux engendre un risque de réinvestissement. Ce risque a lieu si les investissements futurs se font à un taux de rendement inférieur au taux garanti. La hausse des taux conduit au risque de liquidation. C’est le risque de devoir céder ses titres obligataires avant leur échéance, au moment où ils seraient en moins-value. Ce risque survient si les assurés souhaitent racheter leur contrat avant l’échéance (risque de rachat).

L’assureur, soumis à des contraintes de solvabilité annuelles, subis également le risque de dépréciation de la valeur de son portefeuille d’actifs. Cette dépréciation peut-être liée à la chute des cours boursiers et/ou à la hausse des taux, elle peut mener l’assureur en situation d’insolvabilité.

3.3 PERIMETRE DE L’ETUDE

Le cadre du mémoire reprend celui de l’article [21] « Méthodes Financières et Allocation d’actifs en Assurance ». Autrement dit, on se place dans le cadre d’un contrat épargne en euros ayant les caractéristiques suivantes :

- Taux minimum garanti : 2.5% - Participation aux bénéfices financiers : 90% - Durée : 8 ans

L’objectif est de déterminer une allocation stratégique d’actifs dans le cadre du nouveau référentiel solvabilité II, et d’étudier l’impact du risque inflation sur cette allocation. Les hypothèses suivantes ont été posées :

- Il n’y a pas de frais de gestion - L’assuré ne peut pas racheter son contrat - Il n’y a pas de production de nouveaux contrats - Le contrat est à prime unique

Il est supposé que la seule source de risque influant sur les résultats de l’assureur est le risque de dépréciation de son portefeuille financier. Ce risque découle des conséquences de l’évolution des scénarios économiques. Nous devons donc disposer de modèles stochastiques permettant de générer des scénarios économiques, afin de projeter le bilan de l’assureur tout au long de la durée du contrat.

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PARTIE 1 : Modélisation de l’Actif

PARTIE 1

MODELISATION D’ACTIFS L’actif a été décomposé entre les supports d’investissement suivants :

• Le monétaire • Les obligations • Les actions

Le choix de la modélisation des actifs par les compagnies d’assurance s’avère être important pour une gestion optimale. En effet, des modèles cohérents avec le long terme doivent être utilisés car les compagnies d’assurance, en particulier celles d’assurance vie, s’inscrivent dans une logique de long terme. Cependant, le court terme garde toute son importance puisqu’un assureur long terme reste soumis à des contraintes de court terme, comme la présentation annuelle d’un rapport de solvabilité ou bien le respect de l’exigence de marge de solvabilité. Nous avons fait le choix d’intégrer l’inflation dans la modélisation de l’actif, car c’est un facteur qui permet d’être cohérent à long terme avec les équilibres macro-économiques. Cette partie est consacrée à décrire les modèles utilisés pour notre modélisation, ainsi qu’à la présentation de méthodes d’estimations adaptées à chaque modèle. Les modèles utilisés pour la modélisation sont exposés dans trois sections, consacrées respectivement à la modélisation des taux d’intérêts, des actions, et de l’inflation. Le choix du modèle final est exposé dans la partie 2.

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1 LA MODELISATION DES TAUX D’INTERETS

D’après l’historique des mouvements de la courbe des taux, plusieurs critères caractérisent le modèle de taux idéal :

1. Les taux d’intérêts nominaux ne sont pas négatifs ; 2. Les taux d’intérêts sont affectés par des effets de retour à la moyenne (mean reversion) ; 3. Les taux de différentes maturités n’évoluent pas de façon parfaitement corrélée ; 4. Les taux à court terme sont plus volatiles qu’à long terme ; 5. Trois facteurs sont à l’origine de plus de 95% des mouvements de la courbe des taux : niveau,

pente et courbure. Une multitude de modèles de taux d’intérêt stochastiques se sont développés, on peut distinguer deux catégories :

• Ceux reposant sur une approche dite d’évaluation d’équilibre :

Il s’agit de l’équilibre entre l’offre et la demande. Une telle approche implique de poser des hypothèses restrictives qui peuvent entraîner un biais dans la modélisation.

• Ceux reposant sur une approche dite d’évaluation d’arbitrage : Cette approche est moins restrictive, puisque l’approche précédente basée sur une économie globale en équilibre implique toujours l’absence d’opportunité d’arbitrage, la réciproque n’est pas toujours vérifiée.

De façon générale, les modèles de taux sont construits sur la base de l’équation différentielle stochastique (EDS) suivante :

( ) ( ) tttt dBtrdttrdr ,, σμ += (1.1)

Les modèles les plus classiques sont :

• Le modèle de VASICEK • Le modèle de COX, INGERSOLL, ROSS (CIR) • Le modèle de NELSON-SIEGEL • Le modèle de HEATH, JARROW, MORTON (HJM) • Les modèles multifactoriels

Nous présentons les deux premiers car ce sont ceux que nous allons utiliser pour notre modélisation. Il existe des modèles qui permettent de représenter plus fidèlement la courbe de taux, cependant l’objectif du mémoire n’est pas concentré sur la modélisation des taux d’intérêts, mais sur une modélisation globale des actifs financiers et de l’inflation en particulier. Nous avons donc opté pour un modèle de taux classique, et plus facilement estimable.

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1.1 LE MODELE DE VASICEK

Le modèle de Vasicek (1977) est l’un des premiers modèles stochastiques de taux d’intérêt, il repose sur une approche d’évaluation d’arbitrage. Le processus de taux est :

trtt dBdtrrdr σα +−= )( (1.2)

Où α représente la vitesse de retour à la moyenne, r représente le taux d’intérêt réel à long terme, rσ représente la volatilité,

est un mouvement brownien standard. tB Cette modélisation présente l’avantage d’être simple et intuitive. Elle prend en compte le phénomène de mean reversion observé sur les taux d’intérêt, elle admet une solution exacte et donc une discrétisation exacte. C’est une modélisation simple d’utilisation et d’implémentation, qui possède une expression analytique pour le prix des zéro coupon (ZC). Cette modélisation présente cependant des inconvénients, elle autorise par exemple les taux à devenir négatifs. DISCRETISATION Ce processus possède une solution exacte et donc une discrétisation exacte. Le lemme d’Itô2, appliqué à l’EDS (1.2) avec la fonction :

( ) ( ) terxtxf α−=, Permet d’obtenir la solution :

( ) ∫Δ+

Δ−Δ−Δ−Δ+ +−+=

tt

ts

str

ttttt dBeeererr αααα σ1

Qui conduit à la discrétisation exacte :

( ) t

t

rtt

ttteererr εα

σα

αα

211

2 Δ−Δ−Δ−

Δ+−

+−+=

Où ( ) Ν∈ttε forme une suite iid de variables aléatoires gaussiennes centrées et réduites.

PRIX DES ZERO COUPON (ZC) 2 Le lemme d’Itô est donné en annexe 1

21


Lorsque le taux court est modélisé par un processus de Vasicek, il existe une formule fermée pour le prix des ZC. Notons , le prix à la date t d’un ZC d’échéance T . ( TtP , ) Sous la probabilité historique :

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫ t

T

ts rdsrETtP exp,

En utilisant la formule suivante (vraie pour X gaussienne) :

( ) ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= XVarXEXE

21exp)exp(

On trouve que :

( ) ( ) ( )( )TtBrTtATtP t ,,exp, −=

Avec

( ) ( ) ( )( ) ( )α

σ4

,,,

22 TtBtTTtBRTtA r−−−= ∞

( )( )

α

α tTeTtB−−−

=1,

1.2 LE MODELE DE COX, INGERSOLL, ROSS

Le modèle de Cox, Ingersoll, Ross (CIR), proposé en 1985, repose sur une approche d’évaluation d’équilibre. L’équation différentielle stochastique (EDS) est :

ttrtt dBrdtrrdr σα +−= )( (1.3)

Où α représente le niveau de retour à la moyenne, r représente le taux d’intérêt réel à long terme, rσ représente la volatilité,

est un mouvement brownien standard. tB

Cette modélisation possède la propriété de mean reversion, et sous la condition 22 σα >r la modélisation supprime l’inconvénient du taux négatif. Cependant, le processus n’admet pas de solution exacte, il est ainsi nécessaire de recourir à une discrétisation approchée. Plusieurs méthodes sont envisageables, comme les schémas d’EULER ou de MILSTEIN. DISCRETISATION

22


Le schéma d’EULER est un développement de TAYLOR à l’ordre 1 :

( ) ttrtttt trtrrrr εσα Δ+Δ−+=Δ+

Le schéma de MILSTEIN est un développement de TAYLOR à l’ordre 2 :

( ) ( )14

22

−Δ+Δ+Δ−+=Δ+ tr

ttrtttt ttrtrrrr εσ

εσα


Remarque Dans la suite de ce mémoire, nous utilisons la méthode de discrétisation d’Euler. Nous

renvoyons le lecteur à l’article [26] « Simulation de Trajectoires de Processus Continus » pour plus de détails sur les méthodes de discrétisation.

PRIX DES ZC Soit le prix en t d’un ZC d’échéance ( TtP , ) T . ( )TtP , est donné par la formule suivante :

( ) ( ) ( )( )TtBrTtATtP t ,exp,, −=

Où - ( )

( )( )

( ) ( ){ }( )

22

21exp2

exp2,

r

r

tT

tT

TtA

σα

γγαγ

αγγ

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−−+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+

=

- ( ) ( ){ }( ) ( ){ }( ) γγαγ

γ21exp

1exp2,+−−+

−−=

tTtTTtB

- 22 rσαγ +=

1.3 ESTIMATION

L’estimation des paramètres peut s’avérer délicate, en effet plusieurs problèmes peuvent conduire à privilégier une méthode à une autre :

- Si le processus n’admet pas de discrétisation exacte, il est impossible d’utiliser la méthode du maximum de vraisemblance, on peut cependant utiliser des approximations et obtenir un pseudo estimateur du maximum de vraisemblance.

- La variable modélisée n’est pas toujours observable, il est alors difficile de caler le modèle.

C’est le cas par exemple du taux instantané. Trois méthodes d’estimation sont présentées :

23


- Méthode d’estimation par adéquation - Méthode de régression - Méthode du Maximum de Vraisemblance

1.3.1 Méthode d’estimation par adéquation

Cette méthode peut-être utilisée lorsque la grandeur modélisée n’est pas l’intérêt. Dans notre cas, le taux est modélisé dans le but de déterminer le prix des ZC. Il est ainsi primordial que le modèle représente correctement la courbe du prix des ZC, ou bien de manière bijective celle des taux. Le principe de cette estimation est de déterminer les paramètres qui minimisent la distance entre les prix des ZC prédits par le modèle et les prix observés sur le marché. Les modèles de VASICEK et de CIR fournissent directement le prix des ZC. Soit le prix en t d’un

ZC d’échéance

),( TtP

T donné par l’un des deux modèles, et soit ( )TtP ,~ le prix d’un ZC d’échéance T observé

en t , le programme d’optimisation s’écrit :

( ) ( )( )∑∑ −T tr

TtPTtP2

,,,~,min

σα

Pour mettre en place cette méthode, il faut disposer d’un panel de ZC de maturités différentes, pour lesquels on a observé l’évolution du prix.

1.3.2 Méthode de Régression

Modèle de VASICEK La discrétisation exacte du processus conduit à un modèle auto régressif d’ordre 1, : ( )1AR

( )trt

t

t

rtt

ttt

bra

eererr

εσ

εα

σα

αα

~2

112

++=

−+−+=

Δ−Δ−Δ−

Δ+

En effectuant la régression linéaire de sur , on obtient les valeurs des paramètres etttr Δ+ tr ba, rσ~ . On en

déduit alors r,α et rσ :

24


( )

( )

( )

( )( )⎪

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Δ−=

−=

Δ−=

⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Δ−−=

=

−=Δ−

Δ−

tbb

bar

tb

t

ebera

rrrr

t

t

1ln~

1

ln

22exp1~

1

2

2

σσ

α

αασσ

α

α

MODELE DE CIR La discrétisation approchée du processus conduit à un modèle auto régressif d’ordre 1, : ( )1AR

( ) ttrtttt trtrrrr εσα Δ+Δ−+=Δ+

En divisant par tr , on obtient :

( )

( ) trt

tt

tt

trttt

t

t

tt

ttrr

trr

r

ttrrrr

rr

r

εσαα

εσα

Δ+Δ+Δ−=

Δ+Δ−+=

Δ+

Δ+

11

Ce qui peut se réécrire :

trtt tAXz εσ Δ+=

Où - t

ttt

rr

z Δ+=

- ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

t

tt

tt

rr

XX

X1

2

1

- ( ) ( )ttraaA Δ−Δ== αα 121

En effectuant la régression linéaire de sur et , on obtient les valeurs des paramètres : tz 1tX 2

tX

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

Δ−

=⇔

⎩⎨⎧

Δ−=Δ=

2

1

2

2

1

1

1

1a

ar

ta

tatra

α

αα

25


1.3.3 Méthode du Maximum de Vraisemblance

Encadré n°2 : La Méthode du Maximum de Vraisemblance Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité , telle que : f

+ℜ→Θ×ℜ:f

Soit Θ∈θ , et soient , n réalisations iid de la variable aléatoirenxxx ,...,, 10 X .

La vraisemblance du modèle est donnée par :

( ) ∏=

=→n

iin xfxxxV

110 ;;,...,, θθθ ( )

Et la log-vraisemblance est donnée par :

( ) ( )( ) ( )∑=

==n

iinnnn xfxxxVxxxl

11010 ;ln;,...,,ln;,...,, θθθ ( )

L’estimateur de maximum de vraisemblance de θ θ est celui qui maximise la vraisemblance du modèle (ou de manière équivalente la log-vraisemblance) :

( )θθθ

;,...,,maxargˆ10 nn xxxl=

Modèle de VASICEK La discrétisation exacte du processus permet de déterminer la densité de sachant , il s’agit d’une loi

gaussienne de moyenne ttr Δ+ tr

( )trm et de variance ( )trv :

( ) ( )( )tt

L

tt rvrmNr ,=Δ+

Avec - ( ) ( )tttt ererrm Δ−Δ− −+= αα 1

- ( ) ( )α

σα

21 2

2t

rterv

Δ−−=

Soient les observations, la log vraisemblance est donnée par : nrr ,...,0

( )( )

( )( )∑

−

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1

0

11ln,,n

t t

tt

trn rv

rmrrv

rl φσα

26


Où φ est la densité de la loi normale centrée et réduite : ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2exp

21 2xxπ

φ .

Les paramètres obtenus par cette méthode sont ceux qui maximisent la log vraisemblance :

( ) ( )rnr

r rlrr

σασασα

,,maxargˆ,ˆ,ˆ,,

=

Remarque D’après l’article [26] « Simulation de Trajectoires de Processus Continus » de

F.PLANCHET, dans le cas du modèle de VASICEK, les estimateurs du maximum de vraisemblance coïncident avec les estimateurs obtenus par régression.

MODELE DE CIR La solution exacte de l’EDS du modèle de CIR n’est pas connue, par conséquent il n’est pas possible de déterminer l’expression de la densité de sachant . Cependant, on peut calculer les deux premiers

moments du processus : ttr Δ+ tr

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=

=−+=

Δ−Δ−Δ−Δ+

Δ−Δ−Δ+

tttt

tttt

ttt

tttt

rvereerrrV

rmererrrE

22

22

12

1

ααα

αα

ασ

ασ

Cf [28] « Working with the Cox-Ingersoll-Ross Model » En approximant la densité de sachant par celle d’une loi gaussienne, on peut déterminer des

pseudos estimateurs du maximum de vraisemblance, la log-vraisemblance s’écrit alors : ttr Δ+ tr

( )( )

( )( )∑

−

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1

0

11ln,,n

t t

tt

trn rv

rmrrv

rl φσα

Où sont les observations, et nrr ,...,0 φ est la densité de la loi normale centrée et réduite.

Les paramètres obtenus par cette méthode sont ceux qui maximisent la log vraisemblance. Remarque La discrétisation d’Euler permet d’obtenir une formule approchée pour l’expression de la

moyenne et de la variance :

( ) ( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

Δ≈=

−Δ+≈=

Δ+

Δ+

trrvrrVar

rrtrrmrrE

ttttt

tttttt

2σ

α

27


2 LA MODELISATION DES ACTIONS

2.1 PRESENTATION DE DEUX MODELES

Le modèle classique pour modéliser la dynamique des actions est celui de BLACK et SCHOLES (1973). L’évolution du cours d’une action ne versant pas de dividende est modélisée par un mouvement brownien géométrique :

tt

t dBdtS

dSσμ += (1.4)

Avec : le cours de l’action à la date tS t μ : le rendement de l’action

σ : la volatilité du rendement de l’action : un mouvement brownien standard sous la probabilité historique tB Bien que ce modèle soit très largement utilisé, il présente un inconvénient majeur puisque la volatilité du rendement de l’action est supposée constante dans le temps. Le graphique suivant présentant l’évolution de la volatilité implicite du DAX, l’indice boursier de référence de la bourse Allemande, montre qu’il est légitime de remettre en cause l’hypothèse de volatilité constante. En effet, on constate une succession de périodes plus ou moins volatiles :

Graphique 1.1 : Volatilité Implicite du DAX

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

janv.-95 janv.-97 janv.-99 janv.-01 janv.-03 janv.-05 janv.-07 janv.-09

HESTON (1993) a généralisé le modèle de BLACK et SCHOLES en introduisant une volatilité stochastique. Il propose de modéliser le rendement et la variance des actions grâce aux EDS suivantes :

28


stt

t

t dBdtS

dSωμ += (1.5)

( ) ( )2; ttvtttt dBdtd ωννδνθλν =+−= (1.6)

Avec : le cours de l’action à la date t tS μ : le rendement de l’action

tω : la volatilité du rendement de l’action à la date t

: le mouvement brownien standard sous la probabilité historique associé au rendement StB

λ : la vitesse du retour à la moyenne de la variance du rendement θ : la moyenne de long terme de la variance δ : la volatilité de la variance

: le mouvement brownien standard sous la probabilité historique associé à la volatilité vtB

Les browniens et présentent une corrélation, celle-ci fera l’objet d’une estimation dans la partie

suivante : « Mise en Œuvre Pratique ».

StB v

tB

Remarque HESTON a utilisé le processus de CIR pour la volatilité stochastique, ce qui permet de

modéliser uniquement des valeurs positives.

2.2 ESTIMATION

On note la série des rendements observés. nRR ,...,1

2.2.1 Le Modèle de Black et Scholes

En appliquant le lemme d’Itô à l’équation (1.4), avec la fonction ( ) ( )xxf ln= , on obtient :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ+Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ+ tttt ttSS εσσμ

2exp

2


On en déduit, le rendement sur la période ] ]ttt Δ+, :

tt

tt ttS

Sεσσμ Δ+Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ+

2ln

2

29


Sous la probabilité historique, le rendement suit donc une loi normale ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ttN 2

2

,2

σσμ .

La méthode des moments et la méthode du maximum de vraisemblance conduisent aux mêmes résultats.

La moyenne tΔ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

2

2σμ s’estime par la moyenne empirique, et la variance s’estime par la

variance empirique :

tΔ2σ

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−Δ

=

+Δ

=⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=Δ

==Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∑∑

∑

==

=

n

ii

n

ii

n

ii

RRtn

tR

RRn

t

Rn

Rt

1

2

2

1

22

1

2

1ˆ

2ˆˆ

1ˆ

12ˆˆ

σ

σμ

σ

σμ

2.2.2 Le Modèle de Heston

En appliquant le lemme d’Itô à l’équation (1.5), avec la fonction ( ) ( )xxf ln= , on obtient :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫∫∫

Δ+Δ+Δ+

Δ+

tt

t

vtt

t

tt

tttt dBddSS τττ ωτωτμ 2

21exp

On en déduit :

∫∫Δ+Δ+

Δ+ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ tt

t

vtt

tt

tt dBdtS

Sτττ ωτωμ 2

21ln

Afin de simplifier le problème nous supposerons la volatilité constante par morceau, ie égale à tt Δ+ω sur

chaque intervalle de temps . ] ]ttt Δ+, On obtient alors :

ttttt

t

tt ttS

Sεω

ωμ Δ+Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ+

Δ+Δ+

2ln

2


Afin d’estimer l’ensemble des paramètres du modèle, on estime dans un premier temps ceux du modèle de la volatilité, ie les paramètres δθλ ,, du modèle (1.6). Pour cela, on utilise par exemple la méthode du

30


maximum de vraisemblance présentée à la section 2 pour le modèle de CIR. On obtient alors des

estimations de δθλ ˆ,ˆ,ˆ δθλ ,, .

Ensuite, on estime μ en utilisant la méthode décrite pour le modèle de Black et Scholes, et en prenant

comme valeur de :

θ2σ

2

ˆˆ θμ +

Δ=

tR

Remarque θ est la moyenne de long terme de la variance du rendement des actions.

31


3 LA MODELISATION DE L’INFLATION

En France, l’inflation est définie comme la variation relative de l’indice des prix à la consommation, calculé et publié mensuellement par l’INSEE (Institut National des Statistique et des Etudes Economiques). Le taux d’inflation représente une augmentation générale d’un panier de biens. Sur le graphique suivant, on observe l’inflation annuelle française depuis 1960 :

Graphique 1.2 : Inflation Annuelle Française

-2%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

janv.-61 janv.-69 janv.-77 janv.-85 janv.-93 janv.-01 janv.-09

Plusieurs auteurs se sont déjà attachés à modéliser l’inflation dans le cadre de modèles actuariels, on peut par exemple citer les travaux de WILKIE (1995), BRENNAN et XIA (2000) ou encore AHLGRIM, D’ARCY et GORVETT (2003). Ces auteurs ont proposé une modélisation de l’actif par un modèle intégré prenant en compte le facteur inflation. Dans ce type de modèle, il existe une variable, ici l’inflation, qui permet d’influencer la dynamique des autres variables. Dans chacun de ces travaux, l’inflation a été modélisée par un processus d’ORNSTEIN-UHLENBECK. Soit

le taux d’inflation au temps t , le processus est : ty

( ) ttt dBdtyydy σα +−= (1.7)

Où α représente le niveau de retour à la moyenne, y représente la moyenne de long terme de l’inflation, σ représente la volatilité de l’inflation, est un mouvement brownien standard. tB Le graphique 1.2 nous montre, premièrement, que la volatilité de l’inflation n’est pas constante dans le temps, et deuxièmement que l’inflation peut s’écarter durablement de sa moyenne.

32


Ainsi, on distingue clairement une période inflationniste (1969 – 1980), caractérisée à la fois par une inflation élevée et une volatilité élevée, et une période de relative stabilité des prix, caractérisée par une inflation plus faible accompagnée de faible volatilité. L’étude de la série d’inflation à partir des données de FRIGGITT, de 1803 à 2005, met en évidence l’alternance de ces périodes dans l’histoire contemporaine française :

Graphique 1.3 : Inflation Annuelle Française depuis 1800

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

1801 1821 1841 1861 1881 1901 1921 1941 1961 1981 2001

De plus, après 20 années de stabilité des prix, au cours desquelles l’inflation annuelle a été maintenue à un niveau proche de 2%, la France a vu son taux d’inflation annuelle passé au dessus de 3% en mai 2008. Cette augmentation a ravivé les craintes d’un retour à un état inflationniste similaire à celui des années 1970, lorsque l’inflation s’établissait autour de 10%. C’est pourquoi nous n’utilisons pas le modèle (1.7) en l’état, mais une variante explicitée dans la suite.

3.1 LE MODELE

Afin d’obtenir un modèle plus en adéquation avec les observations historiques, nous choisissons de modéliser l’inflation par un modèle à changement de régimes, construit à partir des chaînes de MARKOV. On suppose qu’il existe états dans lesquels l’inflation est modélisée par l’équation (1.7), les valeurs des paramètres diffèrent suivant l’état dans lequel se trouve l’inflation.

N

Remarque Le taux d’inflation pouvant être négatif, cette modélisation est appropriée. Le modèle est donc :

( ) ttt ttt ρρρ dBdtyydy σα +−= (1.8)

33


est la variable d’état, elle indique le régime dans lequel l’inflation se situe sur l’intervalle [ [tρ ttt ,Δ−

t

et

prend donc ses valeurs dans l’ensemble { }. N;...;2;1

ρ n’est pas observable, et qu’elle évolue selon un processus de Markov. On suppose que

34


Encadré n°3 : Les Chaînes de Markov Une chaîne de Markov ou un processus de Markov est une suite ( ) Ν∈nnX de variables aléatoires à valeurs

dans un espace mesurable ( )Σ,E , définies sur un espace de probabilité ( )P,,ℑΩ :

( ) ( )Σ→ℑΩ ,,,: EPX n

Et telle que pour tout on ait la propriété suivante (propriété de MARKOV) : n

( ) ( )101 ,..., −− = nnnn XXPXXXP

Autrement dit, l’état de la chaîne au temps n dépend uniquement de son état au temps . 1−n Dans la suite, on se place dans le cadre d’une chaîne de Markov à valeur dans un espace d’état discret, et on note l’ensemble de tous les états possibles. { NE ,...,2,1= } Définitions Probabilité de Transition : C’est la probabilité de passer d’un état à l’autre

, la probabilité de transition est donnée par ( )iXjXPP nnn

ij === +1 . ( ) 2,,0 Ejin ∈∀≥∀

Si de plus on a ,( ) 2,,0 Ejin ∈∀≥∀ ( ) ( )iXjXPiXjXP nn =====+ 011 , on dira que la chaîne

est homogène, c'est-à-dire que la probabilité de transition ne dépend pas du temps. On notera alors la ijPprobabilité de passer de l’état i à l’état . j Dans la suite, on se place dans le cadre de chaînes homogènes. Matrice de Transition : C’est la matrice des probabilités de transition Elle est donnée par :

( )( ) 2, EjiijPP∈

= , avec ( )iXjXPP nnij === −1

P est une matrice stochastique, la somme de ces lignes est égale à 1. Loi Initiale : C’est la loi de la variable aléatoire 0X

Soit 0μ la loi initiale, c’est un vecteur de taille ( )N×1 donné par :

( ) ( ) ( ) ( )( )NXPiXPXPXP ===== 00000 ,...,,...,2,1μ

Une chaîne de Markov est entièrement caractérisée par sa loi initiale et sa matrice de transition.

35


Loi Stationnaire : C’est la loi π vérifiant :

( ) PN ππππ == ,...,1

Matrice de Transition d’Ordre k : C’est la matrice de transition pour pas, elle est égale à la puissance kk de la matrice de transition P .

) la probabilité de transition d’ordre , alors k ( )( ) 2,)(

Ejik

ijk PP

∉= . On note ( iXjXPP nkn

kij === +

)(

kn + : C’est la loi de , elle est donnée par : knX +Loi au temps

( ) ( )( )NXPXP knknkn === +++ ,...,1μ

Où , ( ) ( ) ( )∑∑==

++ ======N

i

kijn

N

inknkn PiXPiXjXPjXP

1

)(

1, Nj ,...,1=

En notation matricielle on obtient :

knknkn PP +

+ == 0μμμ

36


3.2 ESTIMATION

La méthode utilisée pour l’estimation de ce modèle est celle du maximum de vraisemblance. Notations

- Θ : les paramètres à estimer ;

- ( )Θ⋅ − ;,..., 01 yyf t : la densité de sachant ; ty 011 ,,..., yyyt−

- ( Θ⋅ − ;,...,, 01 yyf ttρ ) : la densité de sachant que le régime estty tρ et sachant ; 011 ,,..., yyyt−

- ( Θ− ;,..., 01 yyP ttρ ) : la probabilité que sur la période [ [tt ,1− le régime soit tρ sachant ; 011 ,,..., yyyt−

- ( )Θ−− ;,...,,, 011 yyyf tttt ρρ : la densité du vecteur ( )ttt y,, 1−ρρ sachant ; 011 ,,..., yyyt−

- ( 0,..., yytt )σ=ℑ : la tribu engendrée par les variables aléatoires ; 0,..., yyt

- ( ) 2/2

21 xex −=π

φ : la densité de la loi gaussienne standard.

La vraisemblance du modèle s’écrit

( ) ( )∏=

− Θℑ=Θn

tttyfL

11;

On peut calculer ( Θℑ − ;1ttyf ) de façon récursive :

• ( ) ( )∑=

−−− Θℑ===ΘℑN

jitttttt ijyfyf

1,111 ;,,; ρρ

• ( ) ( ) ( )Θℑ×Θℑ=Θℑ −−−−−− ;,;,,;,, 111111 ttttttttttt Pyfyf ρρρρρρ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )Θℑ×Θ×Θℑ=

Θℑ×Θℑ×Θℑ=

−−−−

−−−−−

;;;,

;;,;,

1111

11111

ttttttt

tttttttt

PPyf

PPyf

ρρρρ

ρρρρ

• ( ) ( )( )

( ) ( )( )Θℑ

Θℑ=Θℑ==

Θℑ

Θℑ=Θℑ

−−

−−=

−−−−

−−

−−−−−

∑;

;.;,,

;;,

;21

221

2211

21

21111

tt

tt

N

itttt

tt

ttttt yf

iPiyf

yfyf

Pρρρρ

ρ

Remarque En se référant à la partie consacrée au processus de VASICEK (page 21), on montre que

l’EDS (1.8) peut se mettre sous la forme :

tttt ttttttybay εσ ρρρ Δ+Δ+Δ+++=Δ+

~

37


On en déduit que ( ) ( )2~;, jttjj

L

tttt ybaNyjy σρ Δ−Δ− += = .

Décomposons le calcul de la vraisemblance :

Etape 1 : Calcul de ( )Θ;01 yyf

( ) ( )∑∑= =

Θ===ΘN

j

N

iyijyfyyf

1 1001101 ;,,; ρρ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

44 344 214444 34444 21444 3444 213

00

2

001

1

011

00100110011

;;,;,

;,;,,;,,

Θ=Θ==Θ==

Θ==Θ===Θ==

yiPyijPyjyf

yijPyijyfyijyf

ρρρρ

ρρρρρρ

Terme 1

( ) ( )20011

~;, jjj

L

ybaNyjy σρ += =

Donc ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=Θ=

j

jj

j

ybayjyf

σφ

σρ ~~

1;, 0011

Terme 2

( ) ijPyijP =Θ== ;, 001 ρρ

Terme 3 Pour initialiser cette valeur, on utilise la loi stationnaire, on a donc

( ) iyiP πρ == 00

Cf. encadré n°3 : « Les chaînes de Markov » pour la définition de la loi stationnaire

Etape 2 : Calcul de ( )Θ;, 012 yyyf

( ) ( )∑∑= =

Θ===ΘN

j

N

iyyijyfyyyf

1 101122012 ;,,,;, ρρ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

444 3444 214444 34444 214444 34444 213

011

2

0112

1

0122

01120112201122

;,;,,;,,

;,,;,,,;,,,

Θ=Θ==Θ==

Θ==Θ===Θ==

yyiPyyijPyyjyf

yyijPyyijyfyyijyf

ρρρρ

ρρρρρρ

38


Terme 1

( ) ( )210122

~;,, jjj

L

ybaNyyjy σρ += = donc ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=Θ=

j

jj

j

ybayyyjyf

σφ

σρ ~~

1;,, 120122

Terme 2

( ) ijPyyijP =Θ== ;,, 0112 ρρ

Terme 3

( ) ( )( )

( )( )Θ

Θ===

Θ

Θ==Θ=

∑=

;

;,,

;;,

;,01

10011

01

011011 yyf

yliyf

yyfyiyf

yyiP

N

lρρρ

ρ

Les termes de cette somme ont été calculés à l’étape précédente.

De manière générale, à l’étape t on obtient :

( ) ( )∑∑= =

−−− Θ===ΘN

j

N

itttttt yyijyfyyyf

1 101101 ;,...,,,;,..., ρρ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

444 3444 214444 34444 21444 3444 213

11

2

11

1

1

111111

;;,;,

;,;,,;,,

Θℑ=Θℑ==Θℑ==

Θℑ==Θℑ===Θℑ==

−−−−−

−−−−−−

tttttttt

ttttttttttt

iPijPjyf

ijPijyfijyf

ρρρρ

ρρρρρρ

Terme 1

( ) ( )211

~;, jtjj

L

ttt ybaNjy σρ −− +ℑ= = donc

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=Θℑ= −

−j

tjjt

jttt

ybayjyf

σφ

σρ ~~

1;, 11

Terme 2

( ) ijttt PijP =Θℑ== −− ;, 11ρρ

Terme 3

( ) ( )( )

( )( )Θℑ

Θℑ===

Θℑ

Θℑ==Θℑ=

−−

=−−−−

−−

−−−−−

∑;

;,,

;;,

;21

12211

21

21111

tt

N

ltttt

tt

ttttt yf

liyf

yfiyf

iPρρρ

ρ

Les termes de cette somme ont été calculés à l’étape précédente.

39


Notations

- ( )Θℑ== − ;, 1, ttttj jyf ρη ;

- ( )( )

( ) ( )Θℑ=

Θℑ

Θℑ===ℑ==

−

=−

−

=−− ∑∑

;;

;,,

1

11,,

1

111

,tt

N

ltlliti

tt

N

ltttt

ttti yf

P

yf

liyfip

ξηρρρξ .

Avec ces notations on obtient :

( ) ∑∑= =

−− =ΘN

j

N

itiijtjtt Pyyyf

1 11,,01 ;,..., ξη

Où ( )21

12,1,

1,−−

=−−

− ℑ=∑

tt

N

ltlliti

ti yf

P ξηξ .

On peut ainsi calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance deΘ Θ :

( )Θ=ΘΘ

Lmaxargˆ

Et ( ) ∏ ∑∑= = =

− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Θ

n

t

N

j

N

itiijtj PL

1 1 11,, ξη

40

PARTIE 2 : Mise en Œuvre Pratique

PARTIE 2

MISE EN ŒUVRE PRATIQUE

1 CHOIX DU MODELE

L’objectif principal de la modélisation de l’inflation est d’obtenir un modèle d’actifs cohérent à long terme avec les équilibres macro-économiques reliant l’inflation et les taux d’intérêt. A long terme, il est considéré qu’il existe un lien étroit entre le taux d’intérêt nominal prévalent sur les marchés financiers, le taux d’inflation, et le taux d’intérêt réel. Cette relation d’équilibre est connue sous le nom de relation de Fisher (1930) :

Taux Nominal = Taux Réel + Taux d’Inflation Ci-dessous nous présentons sur un même graphique les taux d’emprunt de l’Etat Français 10 ans ainsi que l’inflation annuelle française :

Graphique 2.1 : Inflation Annuelle Française et Taux 10 ans

-2%

0%

2%

4%

6%

8%


Taux 10 ans

Inflation

Relier l’inflation aux taux d’intérêt assure la cohérence des simulations, ainsi la relation de Fisher semble adaptée pour notre modélisation. Nous devons donc simuler un taux réel, puis simuler un taux d’inflation, le taux nominal correspond alors à la somme des deux simulations.

41


Nous reprenons l’idée de BRENNAN et XIA [6], qui font le choix de modéliser le taux réel par un processus d’ORNSTEIN-UHLENBECK (O-U) :

( ) trtt dBdtrrkdr σ+−=

Où - représente le niveau de retour à la moyenne, k - r représente le taux d’intérêt réel à long terme, - rσ représente la volatilité du taux réel,

- est un mouvement brownien standard. tB Remarque Le taux d’intérêt réel pouvant être négatif, cette modélisation est appropriée. Rappelons que le cadre de ce mémoire reprend celui de l’article [21], le portefeuille d’actifs est donc investi dans trois actifs financiers :

• Un ZC un an, faisant référence au monétaire • Un ZC 8 ans, faisant référence à l’obligataire • Un indice boursier

Les simulations effectuées dans la suite du mémoire se font avec un pas annuel. Ainsi, le rendement de l’actif monétaire est répliqué avec la simulation d’un taux 1 an. Pour l’actif obligataire, nous supposons que l’assureur achète un ZC 8 ans en (date de création du

contrat) et qu’il le conserve jusqu’à échéance. Pour répliquer l’évolution de la performance annuelle de ZC, nous devons donc disposer d’un taux 8 ans la 1

0t

ère année, d’un taux 7 ans la 2ème année, d’un taux 6 ans la 3ème année… D’autre part, dans la section 3 nous mettons en place une couverture à l’aide d’un instrument financier d’échéance 10 ans, nous devrons donc également disposer des taux 9 ans et 10 ans. Afin de simplifier le problème, nous simulons uniquement un taux 10 ans et un taux 1 an, les taux de maturité intermédiaire sont alors obtenus par interpolation des taux 10 ans et 1 an. La technique d’interpolation est décrite dans la section 6. Finalement, le modèle final fait intervenir le taux réel 1 an, le taux réel 10 ans, l’inflation, ainsi que le rendement des actions et sa volatilité :

42


• TR 1 an 1

1)( 11

rtrtt dBdtrrkdr σ+−=

• TR 10 ans 10

10)( 1010


• Action

( ) ( )2; ttvtttt

stt

t

t

dBdtd

dBdtS

dS

ωννδνθλν

ωμ

=+−=

+=

• Inflation ( ) yttt dBdtyydy

dttdttdtt ++++−= ρρρ σα

Où tρ est un processus de Markov à états. N

Cette modélisation nécessite la simulation de cinq mouvements browniens corrélés. L’étude des corrélations entre les différents actifs est réalisée dans la section suivante. Remarque Afin d’analyser l’impact du risque inflation sur l’allocation d’actifs, nous utilisons

également un modèle ne prenant pas explicitement en compte ce risque : Nous modélisons donc directement les taux nominaux, le modèle sera alors :

• TN 1 an 1

1)( 11


• TN 10 ans 10

10)( 1010


• Action

( ) ( )2; ttvtttt

stt

t

t

dBdtd

dBdtS

dS

ωννδνθλν

ωμ

=+−=

+=

Dans la suite du mémoire, par abus de langage, nous ferons référence à ce modèle en parlant de modélisation ne prenant pas en compte le risque inflation.

43


2 RESULTATS DES ESTIMATIONS

Des méthodes d’estimations adaptées à chaque modèle ont été présentées dans la partie précédente, cette section présente uniquement les résultats. Les séries utilisées sont présentées dans l’annexe 5. Remarque Les tests statistiques évoqués dans cette section sont présentés en annexe 2. Pour l’interprétation des tests statistiques, on se fixe un niveau de 10%. Concrètement, si la p-value associée à un test est supérieure à 10%, l’hypothèse nulle de ce test sera acceptée. Si au contraire elle est inférieure à 10%, alors l’hypothèse nulle sera rejetée.

2.1 LES TAUX

Les taux 1 an et 10 ans (nominaux et réels) sont modélisés à partir du modèle de VASICEK. Les modèles sont paramétrés avec les séries en fréquence mensuelle des taux d’emprunts de l’état Allemand 1 an et 10 ans, sur une période s’étalant de Janvier 1995 à Juin 2009. La série des taux réels est obtenue en retranchant l’inflation annuelle allemande à la série des taux nominaux. Les graphiques suivant représentent les séries étudiées :

Graphique 2.2 : Taux d’Emprunt de l’Etat Allemand 1 an

Graphique 2.3 : Taux d’Emprunt de l’Etat Allemand 10 ans

0%

2%

4%

6%

8%

janv.-95 janv.-98 janv.-01 janv.-04 janv.-07

Taux Réel

Taux Nominal

-2%

0%

2%

4%

6%

janv.-95 janv.-98 janv.-01 janv.-04 janv.-07

Taux Réel

Taux Nominal

Les estimations sont effectuées avec la méthode de régression grâce au logiciel EViews. Rappel : Discrétisation du processus de Vasicek

( ) t

tk

rtktk

ttt keererr εσ2

112 Δ−

Δ−Δ−Δ+

−+−+=

trttt brar εσ~++=Δ+

44


( )( )

( )( )⎪

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Δ−=

−=

Δ−=

⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

=

−=

Δ−

Δ−

Δ−

tbb

bar

tbk

ke

ebera

rr

tk

rr

tk

tk

1ln~

1

ln

21~

1

2

22

σσσσ

, 121

=Δt pour une fréquence mensuelle.

2.1.1 Le Taux Réel 1 An

La sortie suivante présente les résultats obtenus :

Sortie EViews 2.1 : Estimation des Taux Réels 1 an

On constate que les p-values associées au test de nullité des paramètres sont égales respectivement à 5.47% pour la constante et 0% pour le coefficient. On en déduit que les coefficients sont significatifs. On trouve alors pour les paramètres :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

%084.1ˆ%541.1ˆ

796.0ˆ

%3029.0~935826.0ˆ000989.0ˆ

1

1

1

r

r

k

b

a

σσ

Remarque correspond à la variable, à la variable TR1(-1), a b σ~ est le S.E of regression. Validation du modèle

• Autocorrélation des Résidus La sortie suivante présente l’auto corrélogramme, l’auto corrélogramme partielle, et la p-value associée au test d’auto corrélation des résidus (LJUNG BOX) :

45


Sortie EViews 2.2 : Autocorrélation des Résidus – Taux Réel 1 an

Toutes les p-values sont supérieures à 10%, on en déduit que les résidus ne sont pas auto corrélés. D’autre part, la statistique de DURBIN-WATSON est égale à 1.994. Cette valeur est proche de 2, ce qui confirme la non auto corrélation des résidus à l’ordre 1.

• Normalité des Résidus Sur la figure suivante, on peut lire que la p-value associée au test de JARQUE-BERA est égale à 1.25%. On en déduit qu’on rejette l’hypothèse de normalité des résidus.

Sortie EViews 2.3 : Histogramme des Résidus – Taux Réel 1 an

Conclusion : Bien que les résidus ne soient pas gaussiens, ils sont non auto corrélés, et les coefficients sont significatifs au niveau 90%, nous retenons donc cette modélisation qui, dans l’ensemble, reste satisfaisante.

46


2.1.2 Le Taux Réel 10 Ans


Sortie EViews 2.4 : Estimation des Taux Réels 10 ans

On constate que les p-values associées aux tests de nullité des paramètres sont égales respectivement à 4.7% pour la constante et 0% pour le coefficient. On en déduit que les coefficients sont significatifs. On trouve alors pour les paramètres :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

%071.1ˆ%886.2ˆ

58.0ˆ

%3020.0~952846.0ˆ001316.0ˆ

10

10

10

r

r

k

b

a

σσ

Validation du modèle

• Autocorrélation des Résidus La sortie suivante présente l’auto corrélogramme, l’auto corrélogramme partielle, et la p-value associée au test d’autocorrélation des résidus :

Sortie EViews 2.5 : Autocorrélation des Résidus – Taux Réel 10 ans

47


On constate dans l’ensemble que la plupart des p-values sont proches voir supérieures à 10%, on en déduit que les résidus ne sont pas auto corrélés. La valeur de la statistique de DURBIN-WATSON est proche de 2 (2.13), ce qui confirme la non auto corrélation des résidus à l’ordre 1.

• Normalité des Résidus Sur la figure suivante, on peut lire que la p-value associée au test de JARQUE-BERA est égale à 40% (supérieure à10%). On en déduit qu’on accepte l’hypothèse de normalité des résidus.

Sortie EViews 2.6 : Histogramme des Résidus – Taux Réel 10 ans

Conclusion : Les coefficients sont significatifs au niveau 90% et les résidus forment un bruit blanc fort, ce modèle est donc retenu pour la modélisation.

2.1.3 Le Taux Nominal 1 an


48


Sortie EViews 2.7 : Estimation des Taux 1 an

D’après la valeur de la statistique de DURBIN-WATSON, on peut constater qu’il y a auto corrélation des résidus à l’ordre 1. Le modèle est estimé une seconde fois en prenant en compte cette nouvelle information :

Sortie EViews 2.8 : Estimation des Taux 1 an avec Auto Corrélation

Les estimations sont significatives, sauf pour la constante, pour laquelle la p-value est légèrement supérieur à 10%. La valeur n’étant pas très éloignée de 10%, nous admettons l’estimation significative pour la suite, les valeurs des paramètres sont :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

%712.0ˆ%817.2ˆ

709.0ˆ

%1995.0~942641.0ˆ001616.0ˆ

1

1

1

r

r

k

b

a

σσ


Les p-values associées au test d’auto corrélation sont supérieures à 10% dans l’ensemble, on en déduit que les résidus ne sont pas auto corrélés. En revanche, la p-value associée au test de JARQUE-BERA est 0%, les résidus ne sont pas gaussiens.

49


Conclusion : Les coefficients sont significatifs au niveau 90% et les résidus forment un bruit blanc faible. L’estimation est satisfaisante dans l’ensemble, ce modèle est donc retenu pour la modélisation.

2.1.4 Le Taux Nominal 10 ans


Sortie EViews 2.9 : Estimation des Taux 10 ans

On constate que les p-values associées au test de nullité des paramètres sont égales respectivement à 3.48% pour la constante et 0% pour le coefficient. On en déduit que les coefficients sont significatifs. On trouve alors pour les paramètres :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

%685.0ˆ%045.4ˆ

456.0ˆ

%1941.0~962723.0ˆ001508.0ˆ

10

10

10

r

r

k

b

a

σσ


L’auto corrélogramme confirme l’absence d’auto corrélation des résidus, et la p-value associée au test de JARQUE-BERA est égale à 45%. On en déduit que les résidus du modèle forment un bruit blanc fort.

Conclusion : Les coefficients sont significatifs au niveau 90% et les résidus forment un bruit blanc fort. L’estimation est très satisfaisante, ce modèle est donc retenu pour la modélisation.

50


2.2 LES ACTIONS

Le rendement moyen est paramétré à partir du rendement annuel du Dax, l’indice de référence de la bourse Allemande. Le modèle de volatilité stochastique est paramétré à partir de l’indice VDax, l’indicateur de volatilité du Dax. Nous utilisons des séries en fréquence mensuelle sur la période Janvier 1995 – Juin 2009.

Rappel Le modèle utilisé est stt

t

t dBdtS

dSωμ +=

( ) ( )2; ttvtttt dBdtd ωννδνθλν =+−=

2.2.1 La Volatilité Stochastique

Rappelons que nous modélisons la variance stochastique avec le modèle de CIR. La méthode du maximum de vraisemblance et la méthode de régression ont été appliquées avec le logiciel EViews.

• Méthode du Maximum de Vraisemblance


Sortie EViews 2.10 : Estimation de la Volatilité - MV

Les coefficients sont significatifs au seuil 10%.

La forme de la vraisemblance a été écrite de telle sorte que

( )( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Δ=

==

tc

cc

2

3

21

δ

θλ

.

On obtient alors les estimations suivantes :

51


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=

%268.3ˆ06510.0ˆ08806.0ˆ

δ

θ

λ

• Méthode de Régression


Sortie EViews 2.11 : Estimation de la Volatilité - Régression

On constate que les p-values associées aux tests de nullité des paramètres sont égales respectivement à 2.26% pour le 1er coefficient, et à 0% pour le 2ème. On en déduit que les coefficients sont significatifs au seuil 10%. On trouve alors pour les paramètres :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=Δ=

=−

=

=−=

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

%288.3ˆˆ

06511.0ˆ1

ˆˆ

08796.0ˆ1ˆ

113899.0ˆ912039.0ˆ005727.0ˆ

2

1

2

2

1

t

aa

a

aa

σδ

θ

λ

σ


• Autocorrélation des Résidus La sortie suivante présente l’auto corrélogramme, l’auto corrélogramme partielle, et la p-value associée au test d’autocorrélation des résidus :

52


Sortie EViews 2.12 : Autocorrélation des Résidus – Volatilité

L’ensemble des p-values est supérieur à 10%, on en déduit que les résidus ne sont pas auto corrélés. La valeur de la statistique de DURBIN-WATSON est proche de 2 (1.99), ce qui confirme la non auto corrélation des résidus à l’ordre 1.

• Normalité des Résidus Sur la figure suivante, on peut lire que la p-value associée au test de JARQUE-BERA est égale à 0%, le test est donc rejeté : Les résidus ne sont pas gaussiens.

Sortie EViews 2.13 : Histogramme des Résidus – Volatilité

Conclusion : Pour chacune des estimations, les coefficients sont significatifs au seuil 10%. On constate par ailleurs, que les résultats sont similaires pour les deux méthodes. Les valeurs retenues pour la modélisation sont :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

%288.30651.0088.0

δθλ

53


Avec ces valeurs, la condition nous assurant une simulation strictement positive est respectée. 22 δλθ >

2.2.2 Le Rendement

La moyenne empirique du rendement pour la série du Dax est estimée à 5.66% pour la période Janvier 1995 – Juin 2009. On en déduit l’estimation suivante deμ :

%91.82

0651.0%66.52

ˆ%66.5ˆ =+=+=

θμ

Soit une valeur de 8.54% en taux continu.

54


2.3 L’INFLATION

Intéressons nous au graphique suivant, représentant l’inflation annuelle française sur la période 1940-2005

Graphique 2.4 : Inflation Annuelle – Données de FRIGITT

-2%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Nous pouvons distinguer deux types de période : des périodes à volatilité élevée et des périodes à volatilité plus faible. De plus, lors des périodes à volatilité élevée, l’inflation atteint des niveaux supérieurs à ceux atteints dans l’autre période. Ainsi, nous distinguons deux états que notre modèle se doit de répliquer :

• Etat 1 : Régime instable, dans lequel l’inflation et sa volatilité sont élevées ; • Etat 2 : Régime stable, dans lequel l’inflation et sa volatilité sont plus faibles.

Remarque Le choix pour un modèle à deux états est également dû aux problèmes liés à l’estimation.

En effet, plus le nombre d’états est important et plus le nombre de paramètres à estimer est élevé.

Rappelons que l’inflation est modélisée par un processus de d’ORSTEIN-UHLENBECK, la discrétisation est la même que pour les taux. Le modèle à estimer est donc :

Régime 1

( ) yttt dBdtyydy 111 σα +−=

12P 21P

Régime 2

( ) yttt dBdtyydy 222 σα +−=

55


Où ( )ijPP ttij === −1ρρ 2,1, =∀ ji, et tρ est la variable d’état qui évolue selon un processus de

MARKOV.

Remarque Le Brownien est simulée indépendamment de la variable d’étatytB tρ . Autrement dit

l’état de la chaîne est simulé indépendamment de l’inflation. Il y a 8 paramètres à estimer : { }2112212121 ,,~,~,,,, PPbbaa σσ . Nous utilisons la méthode du maximum de vraisemblance décrite dans la section 3.2. Les estimations sont réalisées sur l’inflation annuelle française en fréquence mensuelle, sur la période Janvier 1961-Juin 2009. Ne disposant pas de logiciel permettant de calculer les estimateurs du maximum de vraisemblance d’un tel modèle, nous avons dans un premier temps utilisé le solveur d’Excel avec la méthode du gradient conjugué. Or, la forme de la vraisemblance n’est pas régulière, et cette fonction admet certainement des points critiques, ie des points pour lesquels le gradient est nul sans pour autant qu’ils représentent des points de maximum de la vraisemblance. Ainsi les estimations obtenues avec le solveur sont très sensibles à l’initialisation. Pour remédier au problème, nous avons effectué une estimation en deux étapes :

• Etape 1 : Dans un premier temps, un maillage des valeurs pouvant être prises par les paramètres a été effectué. Ensuite, un programme VB calculant les valeurs de la vraisemblance pour l’ensemble des valeurs définies par le maillage a été mis en place. Le programme renvoie le jeu de paramètres pour lequel la vraisemblance est maximale.

• Etape 2 : Le solveur d’Excel est utilisé, avec la méthode du gradient conjugué, en prenant comme initialisation les valeurs obtenues à l’étape 1.

Remarque La description de l’algorithme correspondant à la 1ère étape se trouve en annexe 7. L’étape 1 fournit les résultats suivants :

Tableau 2.1 : Estimation – Etape 1

Estimation Inflation

1α 0.49 2α 0.54

1y 7.75% 2y 1.82%

1σ 1.94% 2σ 0.96%

12P 1% 21P 1% Pour ces paramètres la valeur de la log-vraisemblance est 2 418.9. L’étape 2 fournit les résultats suivants :

56


Tableau 2.2 : Estimation – Etape 2

Estimation Inflation

1α 0.13325 2α 0.54088

1y 8.12778% 2y 1.95625%

1σ 1.84835% 2σ 0.90845%

12P 0.29097% 21P 0.47927% Pour ces paramètres la valeur de la log-vraisemblance est 2 426,1 L’estimation obtenue semble satisfaisante puisqu’elle met clairement en évidence les deux régimes identifiés auparavant. Le premier état correspondant à l’état instable, il possède un niveau de retour à la moyenne plus faible que celui de l’état 2. La volatilité de l’état 1 s’élève à 1.85% contre 0.91% pour l’état 2. L’estimation de la moyenne de long terme du régime 1 est supérieure à celle du régime 2, elle vaut 8.13% pour l’état 1 contre 1.96% pour l’état 2. D’autre part, les probabilités de transition sont faibles ce qui semble cohérent avec les observations. En effet, elles laissent penser que l’inflation passe un temps assez long dans chaque régime. En se référant au graphique 2.4, on constate que nous avions distingué seulement 4 périodes en 40 ans. Remarque L’estimation de la moyenne de long terme du régime stable est en accord avec la politique

monétaire de la Banque Centrale Européenne (BCE), qui est de maintenir au sein de la zone Euro, l’inflation à un niveau proche et inférieur à 2%.

Les paramètres du tableau 2.2 sont retenus pour la suite de l’étude. Sur le graphe suivant, on observe la série utilisée pour l’estimation et la probabilité d’appartenir au régime

1, cette probabilité est calculée page 40 : ( )ttt p ℑ== 1,1 ρξ

Graphique 2.5 : Probabilité d’Appartenir au Régime 1

0%

20%

40%

60%

80%

100%

janv.-61 sept.-68 mai-76 janv.-84 sept.-91 mai-99 janv.-07

Prob

abilit

é

-4%

0%

4%

8%

12%

16%

Infla

tion

²

57


Les probabilités obtenues sont en accord avec les observations. On constate que pour la période 1960 – 1980 la probabilité d’appartenir au régime 1 est élevée, le modèle classe donc cette période comme période instable. On remarque le même phénomène sur la période 1980 – 2008 pour le régime stable. Toutefois, sur la fin de l’historique, ie d’Octobre 2008 à Juin 2009, le modèle place la période dans l’état instable. Or on constate que le niveau d’inflation ne s’élève pas, et qu’au contraire il diminue, avec une inflation qui se rapproche de 0%. Le classement en régime instable sur la fin de l’historique est donc dû à la volatilité de la période plus qu’au niveau de l’inflation. On peut donc penser qu’il existe un troisième état correspondant à un niveau d’inflation très faible, ie proche de zéro voir même négatif. Cet état correspondrait à la situation actuelle du Japon, pays dans lequel l’inflation se situe autour de 0%. Un tableau résumant l’ensemble des estimations se trouve en annexe 6.

58


2.4 LES CORRELATIONS ENTRE ACTIFS

L’aléa du générateur de scénarios se trouve dans la simulation des browniens associés à chaque modèle. Ainsi, pour tenir compte de la corrélation entre les différentes classes d’actifs, nous devons introduire une corrélation sur les browniens, et pour cela nous utilisons la décomposition de CHOLESKY.

Encadré n°4 : La Décomposition de CHOLESKY C’est un algorithme permettant de résoudre le théorème suivant : Soit A une matrice symétrique définie positive, alors il existe une matrice L triangulaire inférieur telle que :

L LA t= En imposant que les éléments de la diagonale de L soient positifs, la solution est unique.

Notons et ( ) njnijiaA ,...,1

,...,1,=

== ( ) nij

nijilL ,...,,...,1,

=

== , ij l ji <∀= 0, .

Les coefficients de la ième colonne s’obtiennent par récurrence à partir de ceux des (i-1) colonnes précédentes.

( ) 0, =< ijl ij

( ) ∑−

=

−==1

1

2,

i

kkiiiii lal ij

( )ii

i

kkjkiji

ij l

llal ij

,

1

1,,,

,

∑−

=

−=>

Le brownien correspond aux résidus du modèle, nous devons donc estimer la corrélation des résidus estimés de chaque modèle. Nous obtenons ainsi une matrice de corrélation des résidus. Toute matrice de corrélation étant définie positive, le théorème cité dans l’encadre n°4 s’applique. Donnons un Exemple : Corrélation entre inflation et taux réel 1 an Les processus utilisés sont :

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

+−=

+++

yttt

rtrtt

dBdtyydy

dBdtrrkdr

dttdttdtt ρρρ σα

σ 1

1)( 11

59


Rappelons que les estimations sont réalisées sur des séries en fréquence mensuelle, sur une période s’étalant de janvier 1995 à juin 2009. On admet que l’inflation se situe dans le régime 2 sur toute cette période. La discrétisation conduit aux modèles suivants :

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

Δ+Δ−+Δ=

Δ+Δ−+Δ=

Δ+

Δ+

ytttt

rtrttt

ttytyy

ttkrtrkr

εσαα

εσ

2222

111

1

11

On en déduit :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

yCovtbrCovtbyrCovbbyrCovCov

r

rttry

yttrttyrtttty

trt Δ

Δ−Δ−−= Δ+Δ+

2

2

1

1,,,,

,σσ

εσεσεε

Avec - ( )tkbr Δ−= 11

- ( )tby Δ−= 21 α

On détermine la série des résidus de chaque modèle, puis on calcule directement la corrélation entre les résidus. Le graphique suivant présente la série observée, la série estimée, et le bruit pour les taux réels 1 an.

Graphique 2.6 : Taux Réel 1 an observé, estimé et résidus

-1%

0%

1%

2%

3%

4%

5%


TR 1 anEstiméRésidus

Remarque La série estimée est obtenue de la façon suivante :

( )tkrtrkr ttt Δ−+Δ=Δ+ 111* 1

Le bruit est alors *1

1tttt

rtr

rt rrt Δ+Δ+ −=Δ= εση

La corrélation est estimée par la corrélation empirique, les résultats sont les suivants :

60


Tableau 2.3 : Corrélations

Inflation TR 1 an TR 10 ans Rdt Action Volatilité Inflation 1 TR 1 an -25% 1

TR 10 ans -31% 78% 1 Rdt Action 11% 16% 17% 1 Volatilité -15% -11% -10% -55% 1

TN 1 an TN 10 ans Rdt Action Volatilité TN 1 an 1

TN 10 ans 52% 1 Rdt Action 42% 12% 1 Volatilité -25% -26% -55% 1

61


3 APPLICATION

3.1 SIMULATION A HORIZON 8 ANS POUR LES TAUX ET L’INFLATION

Nous avons simulé 1 000 trajectoires3, l’intervalle de confiance à 95% et la moyenne sont représentés en bleu, la courbe historique est tracée en noir. Les simulations sont effectuées avec un pas de temps annuel. On suppose qu’à l’instant initial l’inflation se trouve dans le régime 2, ie le régime stable. Intéressons nous dans un premier à l’adéquation entre le modèle et les données observées. Pour cela, nous effectuons des simulations sur la période 1985 – 2009. Le graphique suivant présente les résultats :

Graphique 2.7 : Comparaison Prévisions / Historique de l’Inflation

-2%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%


On constate d’une part qu’un grand nombre de trajectoires correspondent au régime stable (état 2). Sur les 30 trajectoires qui ont été représentées, il semblerait qu’une seule ait changé d’état. D’autre part, on peut voir que l’inflation suit d’assez près la moyenne des trajectoires. Le modèle est donc en adéquation avec les données observées. Enfin, la moyenne des trajectoires convergent vers 2.4%, un niveau intermédiaire aux moyennes de long terme du régime 1 et du régime 2. Intéressons nous maintenant à la prédiction de l’inflation et des taux sur un horizon de 8 ans.

3 Seules 30 trajectoires sont tracées pour plus de visibilité.

62


Remarque Les valeurs initiales sont celles de Janvier 2009.

Graphique 2.8 : Prévision de l’Inflation à 8 ans

-2%

-1%

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%


On constate ici que l’inflation converge vers une moyenne de 2.02%. Le fait que cette valeur soit plus faible que celle obtenue précédemment peut-être lié d’une part à l’horizon de simulation, et d’autre part à la valeur initiale de l’inflation. En effet pour le graphique précédent, les simulations ont été effectuées pour un horizon de 24 ans avec une valeur initiale de 6.3% ; alors que pour le graphique 2.2 l’horizon est 8 ans et la valeur initiale de l’inflation est 0.7% Pour les taux d’intérêt, nous présentons deux cas selon que le risque inflation est explicitement pris en compte ou non. Rappelons que s’il n’est pas explicitement pris en compte, les taux nominaux sont directement simulés par un processus de VASICEK, le risque inflation est alors confondu avec le risque de taux et donc très probablement sous-estimé. En revanche, si le risque inflation est pris en compte, les taux nominaux sont obtenus en effectuant la somme du taux d’inflation et du taux réel, ce dernier étant modélisé par un processus de VASICEK et l’inflation par un modèle à deux états. Remarque Dans la suite nous noterons S0 le scénario ne prenant pas en compte l’inflation, et S2 le

scénario prenant en compte l’inflation avec un modèle à deux états.

Graphique 2.9 : Taux Nominal 1 an – S0 Graphique 2.10 : Taux Nominal 1 an – S2

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

janv.-95 janv.-99 janv.-03 janv.-07 janv.-11 janv.-15

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%


63


La moyenne des trajectoires converge vers 2.82% lorsque le risque inflation n’est pas pris en compte. Avec la prise en compte du risque, celle valeur s’élève à 3.61%. On constate que l’inflation induit bien un risque supplémentaire. L’intervalle de confiance pour la modélisation avec inflation se situe aux alentours de [ ]%7%;1 , alors que sans l’inflation il est plutôt

proche de [ ] . %4%;3.1 Sur le graphique 2.10, on peut voir qu’une trajectoire sort nettement de la borne de confiance. Pour cette trajectoire l’inflation est passée dans l’état instable ce qui se traduit par une forte hausse des taux d’intérêt.

Graphique 2.11 : Taux Nominal 10 ans – S0 Graphique 2.12 : Taux Nominal 10 ans – S2

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

janv.-95 janv.-99 janv.-03 janv.-07 janv.-11 janv.-150%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%


La moyenne du taux nominal 10 ans converge vers 4% lorsque le risque inflation n’est pas pris en compte. Avec la prise en compte du risque, celle valeur s’élève à 4.95%. On constate une nouvelle fois que la taille de l’intervalle de confiance relatif au modèle avec inflation est supérieure à celle du modèle sans inflation. Le modèle à états permet de prendre en compte le risque de hausse brutale des taux d’intérêt lié à l’inflation. Remarque Dans les deux cas les simulations des taux nominaux sont positives.

64


3.2 SIMULATION DU RENDEMENT DES ACTIFS FINANCIERS A HORIZON 8 ANS

Nous avions supposé que l’actif de l’assureur était investit dans un ZC 1 an (monétaire), un ZC 8 ans (obligataire) et un indice action. Nous cherchons donc à simuler le rendement de ces trois actifs. Le rendement du ZC 1 an correspond au taux nominal 1 an. Afin de déterminer l’évolution du rendement du ZC 8 ans (performance annuelle), nous calculons dans un premier temps l’évolution du prix d’un ZC 8 ans distribuant 1 en . Soient 8t ( )Tt,τ le taux ZC prévalant en

pour l’échéance t T , et le prix en t d’un ZC distribuant son coupon en ( TtP , ) T .

• Prix en 0t ( )( )( )880

80 ,11,

ttttP

τ+=

• Prix en 1t ( )( )( )7

8181 ,1

1,tt

ttPτ+

=

• Prix en jt ( ) ( )( ) jj

j ttttP

−+= 8

88 ,1

1,τ

• Prix en 8t ( ) 1, 88 =ttP La performance du ZC 8 ans entre les dates et est : jt 1+jt

( )( )

( )( )( )( ) 1

,1

,11

,,

1881

88

8

811 +

+

+=−=

−−+

−+

+ jj

jj

j

jj tt

ttttPttP

Rτ

τ

Remarque ( Tt, )τ est un taux de maturité tT − . Le calcul du rendement obligataire nécessite la connaissance des taux ZC de maturité 1 an à 8 ans, or, la modélisation effectuée jusqu’à présent permet de simuler uniquement l’évolution annuelle des taux de maturité 1 an et 10 ans. Une simulation de ces deux taux permet par exemple d’obtenir le graphique suivant :

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

Aujourd'hui Dans 2 ans Dans 4 ans Dans 6 ans Dans 8 ans

Taux 1 an

Taux 10 ans

65


Afin d’obtenir une courbe de taux ZC, nous déterminons les taux nominaux de maturité intermédiaire (2 ans, 3 ans, …, 9 ans) à l’aide de la méthode d’interpolation décrite ci-dessous, puis nous calculons les taux ZC en suivant la méthode décrite dans l’annexe 4. Interpolation des Taux Le graphique suivant, présentant la courbe des taux ZC fin Septembre 2009 publiée par l’Institut des Actuaires, montre qu’une interpolation linéaire n’est pas adaptée. Nous faisons donc le choix d’effectuer une interpolation d’ordre 2.

Graphique 2.13 : Courbe des Taux ZC de l’Institut des Actuaires

0%

1%

2%

3%

4%

5%

1 an 5 ans 9 ans 13 ans 17 ans 21 ans 25 ans

Maturité du Taux ZC

La méthode utilisée est décrite par le schéma suivant :

• x est la maturité du taux.

• est le taux nominal de maturité xR x .

• représente l’interpolation linéaire en ( )xy x entre les taux de maturité et , soit : 1x 0x

( ) ( )0

010

01x

xx RxxxxRR

xy +−−

−= .

• est un polynôme de degrés 2, nul en et , il est donc de la forme : f 1x 0x

( ) ( )( )10 xxxxaxf −−=

66


La fonction atteint son maximum en f2

10* xxx

+= , et le maximum vaut ( ) ( )2

01*

4xxaxf −−= .

On impose à cette valeur d’être égale à un pourcentage de l’écart entre les taux de maturité et : 1x 0x

( ) ( )01

*xx RRxf −= β avec ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈

21;0β . En effet, ( )

201* xx RR

xy+

= , si 21

>β alors . 1

* xxRR >

On obtient alors :

( )201

014xxRR

a−

−−= β

En étudiant la courbe de l’institut des actuaires entre les maturités 1 an et 10 ans, on constate que 51

=β

fournit une bonne adéquation avec les taux interpolés. Le graphique suivant présente les interpolations pour différentes valeurs de β :

Graphique 2.14 : Interpolation des Taux Nominaux

1%

2%

3%

4%

5%

1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans 6 ans 7 ans 8 ans 9 ans 10 ans

Tx IA Int. Linéaire1/3 1/51/9

0%

1%

2%

3%

4%


Tx IAInt. Linéaire1/5f(x)

La méthode d’interpolation est décrite ci-dessous : Pour : ansx 9,...,3,2=

( ) ( )(44 344 21

444 3444 21 2'

1110 1011

9ordredPolynôme

LinéaireionInterpolat

x xxaRxRR

R −−++−−

= )

Avec

2110

954 RR

a−

−= .

Le graphique suivant présente l’évolution annuelle des taux de maturité 1 an à 10 ans, obtenus avec la méthode d’interpolation :

67


Graphique 2.15 : Evolution annuelle des taux de maturité un à dix ans

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

Aujourd'hui Dans 2 ans Dans 4 ans Dans 6 ans Dans 8 ans

Tx 1 an Tx 2 ans Tx 3 ans Tx 4 ansTx 5 ans Tx 6 ans Tx 7 ans Tx 8 ansTx 9 ans Tx 10 ans

Le graphique suivant présente la courbe des taux zéro coupon. Les simulations sont effectuées sur un horizon de 8 ans, autrement dit la courbe « 0 » correspond à la courbe des taux à l’instant initial, la courbe « 1 » correspond à la courbe des taux dans 1 an,…, la courbe « 8 » correspond à la courbe des taux dans 8 ans. L’axe des abscisses représente l’horizon du taux.

Graphique 2.16 : Evolution de la Courbe des Taux ZC

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%


Maturité du Taux

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Exemple Le point rouge correspond au taux zéro coupon de maturité 2 ans dans 1 an. Nous sommes à présent en mesure de simuler l’évolution du rendement de nos actifs financiers. Les valeurs initiales suivantes ont été prises :

• Inflation : %5.10 =y

• Taux Réel 1 an : %10 =r

• Taux Nominal 1 an : %5.20 =r

• Taux Réel 10 ans : %5.20 =r

• Taux Nominal 10 ans : %40 =r

• Volatilité Action : %200 =ω

68


Remarque Dans la suite du mémoire, les simulations sont toujours effectuées avec ces valeurs initiales.

Les simulations sont effectuées pour deux cas : avec inflation et sans inflation. Dans chaque cas 1 000 simulations ont été réalisées et 30 trajectoires sont représentées, la moyenne est tracée en noir. L’axe des abscisses représente l’horizon.

3.2.1 1er Cas : Modélisation sans Prise en Compte du Risque Inflation

Les taux nominaux sont directement modélisés.

Taux Nominaux 1 an Taux Nominaux 10 ans

0%

2%

4%

6%

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1%

3%

5%

7%

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Performance Annuelle du ZC 8 ans Performance Annuelle du ZC 1 an

0%

2%

4%

6%

1 2 3 4 5 6 7 8

-6%

-3%

0%

3%

6%

9%

12%

15%

1 2 3 4 5 6 7 8

Rendement des Actions

-60%

-30%

0%

30%

60%

90%

1 2 3 4 5 6 7 8

69


3.2.2 2ème Cas : Modélisation avec Prise en Compte du Risque Inflation

Le taux nominal est obtenu en effectuant la somme du taux réel et du taux d’inflation.

70


Rendement des Actions Inflation

-60%

-30%

0%

30%

60%

90%

1 2 3 4 5 6 7 8

-1%

1%

3%

5%

7%

9%

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Taux Réels 10 ans Taux Nominaux 10 ans

-1%

1%

3%

5%

7%

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0%

2%

4%

6%

8%

10%

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Taux Réels 1 an Taux Nominaux 1 an

-2%

0%

2%

4%

6%

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0%

2%

4%

6%

8%

10%

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Performance Annuelle du ZC 1 an Performance Annuelle du ZC 8 ans

0%

2%

4%

6%

8%

10%

1 2 3 4 5 6 7 8

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

1 2 3 4 5 6 7 8

71


CONCLUSION DE LA PARTIE 2 On remarque que la volatilité des rendements des produits de taux est supérieure lorsque l’inflation est prise en compte. Ce résultat n’est pas surprenant, en effet, en s’intéressant aux estimations des modèles de taux, on remarque que la volatilité du taux réel est supérieure à la volatilité du taux nominal. Ce résultat est également dû à la façon dont le taux nominal est obtenu (relation de FISHER) pour le modèle prenant en compte l’inflation. Deux générateurs de scénario économique, permettant de simuler l’évolution du rendement des actifs monétaire, obligataire, et action, ont été mis en place. Le premier générateur simule les taux nominaux sans prendre explicitement en compte le risque inflation, alors que le second prend en compte ce risque à l’aide d’un modèle ayant la particularité de tenir compte d’un éventuel retour de l’économie à un état inflationniste. Ces générateurs vont nous permettre de simuler l’évolution annuelle du compte de résultats d’un assureur, dont le passif est constitué de contrats d’épargne en €, et de déterminer la répartition optimale entre les classes d’actifs citées plus haut.

72

PARTIE 3

ALLOCATION STRATEGIQUE D’ACTIFS L’allocation stratégique d’actifs consiste à déterminer la répartition optimale d’un portefeuille entre différents actifs financiers (monétaire, obligataire, action, immobilier…). L’objectif est d’obtenir un portefeuille de rendement maximal, tout en diminuant le risque grâce à la diversification. Pour l’assureur, cette problématique est double puisqu’il doit :

• Evaluer les besoins en capitaux de la compagnie afin de faire face à des situations exceptionnelles, et éviter la ruine. Il s’agit principalement d’évaluer les provisions et de déterminer le niveau de fonds propres.

• Trouver une clé de répartition de ces ressources entre les différentes classes d’actifs. Dans l’actuel référentiel, Solvabilité I, les sociétés d’assurance doivent détenir un niveau de fonds propres minimum afin de respecter l’exigence de marge de solvabilité. La marge de solvabilité d’un assureur est principalement composée de ses fonds propres, des plus ou moins values latentes, et de la réserve de capitalisation. Solvabilité I, fixe des règles portant sur l’estimation des provisions, sur l’exigence de marge de solvabilité, et sur les contraintes pour les placements. Par exemple, pour un contrat d’épargne en euros, l’exigence de marge de solvabilité est la somme de 4% des provisions mathématiques et de 0.3% des capitaux sous risques4. Ce mode de fonctionnement a pour conséquence directe que les problématiques de détermination des fonds propres et d’allocation d’actifs sont distinctes. Ainsi deux assureurs possédant le même passif, mais des actifs plus ou moins risqués, seront soumis à la même exigence de marge de solvabilité. D’autre part, un assureur prudent qui aura tendance à surestimer ces provisions sera pénalisé par un besoin en fonds propres plus important. En revanche, dans le nouveau contexte réglementaire, Solvabilité II, le niveau des fonds propres est directement lié aux risques auxquels est exposé l’assureur, le risque financier est pris en compte et impacte les besoins en capitaux de l’assureur. Cette partie est divisée en trois sections, la première est consacrée à la présentation du nouveau référentiel Européen de solvabilité des compagnies d’assurance ; la seconde présente une méthode d’allocation stratégique d’actifs selon le critère de maximisation des fonds propres économiques ; enfin, la troisième partie expose les résultats.

4 Les capitaux sous risques sont définis comme la différence entre les sommes dues en cas de décès et la PM.

73

PARTIE 3 : Allocation Stratégique d’Actifs

1

LA REFORME SOLVABILITE II

Suite à un rapport datant de 1997, la commission Européenne a engagé une réflexion sur une réforme du système de solvabilité des compagnies d’assurance en Europe. L’objectif est de mettre en place un régime harmonisé et plus en adéquation avec les risques auxquels font face les assureurs, dans le but d’améliorer la protection des assurés. Solvabilité II permettra par la même occasion de respecter le nouveau cadre comptable induit par la phase II de la norme IFRS, qui prévoit notamment la comptabilisation en fair value. Remarque La fair value correspond à la notion de « juste valeur » reposant sur la réalité

économique et financière. La réforme est faite selon le modèle du changement de référentiel dans le milieu bancaire : Bâle 2, construit également sur une structure à trois piliers :

• Exigences quantitatives

• Activités de surveillance

• Information et discipline de marché

1.1 PILIER I : EXIGENCES QUANTITATIVES

Ce pilier a pour objectif de définir des seuils quantitatifs aussi bien pour les provisions techniques que pour les fonds propres. Les éléments à valoriser pour déterminer les besoins en fonds propres sous Solvabilité II sont :

• Les actifs : ils sont quotidiennement négociables sur les marchés financiers, il est donc facile de déterminer leur valeur de marché.

• Les provisions : contrairement aux actifs, il n’est pas simple de déterminer leur valeur de marché car il n’existe pas de marché où s’échangent les passifs d’assurance. Les provisions en norme Solvabilité II devront donc être estimées à l’aide d’un best estimate et d’une prime de risque.

• Les exigences de marges de solvabilité : La nouvelle réglementation prévoit deux niveaux d’exigence en capital. Le premier est le Minimum Capital Requirement (MCR), il représente le niveau minimum de fonds propres en dessous duquel l’intervention de l’autorité de contrôle sera automatique. Le second est le Security Capital Requirement (SCR), il représente le capital cible nécessaire pour absorber un choc provoqué par une sinistralité exceptionnelle

Le bilan d’une compagnie d’assurance évalué en norme Solvabilité II, doit refléter la valeur économique des passifs et des actifs, il se présente de la façon suivante (simplifiée) :

74


ACTIF

Actifs en va

PASSIF

leur deé

march Fonds Propres

Provisions

SCR

1.1.1 Les Provisions Techniques

es provisions sont estimées à partir du best estimate et d’une prime de risque ou marge de risque.

e Best Estimate

MCR

L L

uelle probable des cash-flows futurs jusqu’à extinction du portefeuille. Les flux sont

a Marge de Risque

C’est la valeur actactualisés au taux d’actualisation sans risque fourni par la courbe des taux du CEIOPS5. Ce taux d’actualisation est fonction de la longueur de l’engagement. Nous ne sommes donc plus dans un schéma avec un taux d’actualisation constant comme ce que nous observons aujourd’hui. C’est une différence fondamentale par rapport au système actuel. L

de risque sert à couvrir le risque lié à l’évaluation des provisions techniques en best

suivant la méthode Cost of capital (CoC) : elle représente le coût

existe plusieurs simplifications pour le calcul de la marge de risque, elles sont présentées dans les études

1.1.2 Le Minimum Capital Requirement ou MCR

e MCR est le montant minimum de fonds propres à détenir pour une compagnie d’assurance. Il représente

Par définition, la margeestimate. Mais plus encore, elle doit être déterminée de manière à représenter une valeur additionnelle de transfert des engagements. Autrement dit, c’est le montant qu’un repreneur éventuel du passif d’assurance exigerait au-delà du Best Estimate. La marge de risque est calculée d’immobilisation des fonds propres, couvrant l’ensemble des engagements de l’assureur jusqu’à leur extinction. Ilquantitatives d’impact6.

Lun filet de sécurité en dessous duquel l’entreprise opère avec un risque trop élevé. En effet, le non respect de ce seuil conduit les autorités de contrôle à prendre des mesures de redressement contre la compagnie d’assurance, ces mesures peuvent aller jusqu’au retrait de l’agrément.

5 Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors 6 QIS: Quantitative Impact Study

75


Il doit être simple, robuste et facilement auditable, il n’existe donc pas de modèle interne pour son calcul, toutes les entreprises utiliseront la même méthode. Calcul Dans le QIS4, c’est l’approche linéaire qui est mise en avant sans pour autant que nous

sachions si c’est celle qui sera retenue. Pour les activités d’assurance vie, le MCR est une combinaison linéaire fonction des provisions et des capitaux sous risque, segmentée par type d’assurance pratiquée.

Il existe un plancher absolu pour le MCR qui est de 2 millions d’€ en vie et de 1 million d’€ en non vie. Le calcul se fait net de réassurance.

1.1.3 Le Solvency Capital Requirement ou SCR

Le CEIOPS propose deux possibilités de calcul, soit par la formule standard déjà prédéfinie, soit par un modèle interne. Les modèles internes sont vivement recommandés car ils permettent aux assureurs, en tenant compte des risques inhérents à leurs activités, de déterminer des niveaux de besoin en capitaux appropriés.

1.1.3.1 La Formule Standard Le calcul du SCR avec la formule se fait en fonction de différents modules de risque. Ces modules sont présentés par le schéma suivant :

Source : www.acam.fr

76


La formule standard du SCR repose sur la relation : OPSCRAdjBSCRSCR +−=

Avec

• BSCR le capital de solvabilité requis de base ; • la charge de capital pour le risque opérationnelOPSCR 7 ;

• Adj est l’ajustement au titre de l’effet d’absorption des risques des futures participations aux bénéfices et des impôts différés.

Les risques inclus dans le calcul du BSCR sont les suivants :

• Le risque de souscription non vie • Le risque de marché • Le risque de souscription vie • Le risque de souscription santé • Le risque de défaut des contreparties

Tous ces risques sont eux mêmes subdivisés en sous facteurs de risques. Le BSCR

Il est obtenu par la formule suivante :

∑ ××=ji

jiji SCRSCRCorrSCRBSCR,

,

Avec

• , le SCR relatif au risque i iSCR

• , la corrélation entre les risques et . jiCorrSCR , i j La matrice de corrélation est fournie par le CEIOPS :

Source : www.acam.fr

7 Le risque opérationnel est défini à la page 74.

77


Prenons l’exemple du risque de marché, le SCR correspondant à ce risque est le , il tient compte

des sous modules de risques suivants : mktSCR

mktSCR

• Le risque de taux d’intérêt • Le risque immobilier • Le risque de devise • Le risque de spread • Le risque de concentration

On obtient alors de la façon suivante :

∑×cr

rccrmkt , ××= MktMktCorrMktSCR

cMkt rMkt c

Avec et , les charges en capital pour les sous modules de risques et r , et la

corrélation entre les sous modules de risques etrcCorrMkt ,

c r . Prenons l’exemple d’un portefeuille soumis au seul risque de taux d’intérêt du module risque de marché, le calcul nécessite de choquer les taux d’intérêt. Le choc de taux d’intérêt impacte l’actif et le passif. En effet, à l’actif, la courbe des taux d’intérêt donne la valeur des obligations détenues en portefeuille, et au passif, une variation de la courbe des taux entraîne une variation des taux d’actualisation et donc des provisions. Le besoin en capital relatif au module risque de marché sera alors :

( ) ( )chocaprèsNAVchocavantNAVSCRmkt −=

NAV BEActifNAV

−= . Où la est la valeur nette de l’actif, i.e

Le SCR Opérationnel

Le risque opérationnel est le risque de perte résultant de processus, de personnes, de systèmes internes ou d’événements inadéquats ou défaillants. Il inclut également les risques juridiques. Le SCR opérationnel se calcule à partir du SCR de base. :

{ } ululOP EXPOOPBSCRMINSCR × += 25,;3,0 ln

techniqueprovision 003,003,0ln

×

×+×= primesOP ul

ulEXP

Où

le montant annuel des dépenses (brute de réassurance) pour les contrats en unités de

comptes.

1.1.3.2 Le Modèle Interne Les compagnies d’assurance pourront opter pour un modèle interne notamment quand :

78


• Elles auront un profil de risque particulier et qu’elles désireront intégrer la spécificité de leur portefeuille aux calculs des exigences en capital.

• Un modèle interne reflète plus la réalité que la formule standard. En général, il s’agit d’implémenter des modèles stochastiques de sorte à simuler le résultat à un an. Le but est alors de répondre aux exigences de la réforme Solvabilité II en déterminant le besoin en capital nécessaire au travers d’une méthode du type Risk Based Capital (RBC)8. Actuellement, la dernière étude d’impacte, QIS 4, préconise de calculer le SCR selon une méthode de Value at Risk (VaR). Le SCR doit correspondre au capital minimum dont doit disposer l’assureur pour que sa probabilité de ruine à un an soit au maximum égale à 0.5%. Le BSCR

Dans le cadre du modèle interne, le calcul du besoin en capital passe par le calcul du résultat technique. La mise en œuvre du modèle interne passe donc par l’utilisation de modèles stochastiques de taux d’intérêt, de mortalité… afin de simuler les variations possibles des différents postes du compte de résultat. Voici les postes du compte de résultat qui interviennent dans le calcul du SCR.

• Les primes • Les prestations • La provision d’ouverture • La provision de clôture • Les produits financiers • Le résultat

Le résultat s’obtient de la façon suivante :

Résultat = Primes – Prestations + Provision d’ouverture – Provision de clôture + Produits financiers

Chaque poste est simulé, il est donc possible d’obtenir la distribution actualisée du résultat technique. A partir de là, il est simple de déterminer le capital nécessaire pour couvrir une probabilité de ruine de 0,5% sur un horizon de un an. Remarque Le calcul suppose que l’allocation stratégique d’actifs est connue.

8 Le principe de RBC est d’associer à chacun des principaux risques pesant sur les compagnies d’assurance un besoin en capital. Le capital global en FP est obtenu en associant les besoins en FP liés à chaque risque.

79


Le Risque Opérationnel

La gestion du risque opérationnel demande la mise en place d’un dispositif de mesure et de contrôle du risque, qui englobe des aspects traités par des entités différentes d’une compagnie d’assurance. Plusieurs étapes sont nécessaires à l’évaluation du risque opérationnel. En effet, il faut définir les risques et les délimiter pour ensuite mettre en place les outils qui permettront de les mesurer. Il existe plusieurs méthodes de calcul. Ces méthodes supposent une bonne connaissance des risques de l’entreprise ainsi que de disposer d’un grand nombre de données sur l’historique de ces risques Remarque Nous ne tenons pas compte de ce risque dans la suite.

1.2 PILIER II : ACTIVITES DE SURVEILLANCE

Le deuxième pilier a pour objectif de fixer des normes qualitatives de suivi des risques en interne, et de définir comment l'autorité de contrôle doit exercer ses pouvoirs de surveillance dans ce contexte. Les entreprises d’assurance et de réassurance doivent mettre en place un système de gouvernance efficace pour garantir une gestion prudente de leur activité. Les autorités de contrôle auront un droit de regard sur le fonctionnement et la gestion de la compagnie d’assurance ainsi que sur l’ensemble de ses risques.

1.3 PILIER III : INFORMATION ET DISCIPLINE DE MARCHE

Le troisième pilier a pour objectif de définir l'ensemble des informations détaillées que les autorités de contrôle jugeront nécessaires pour exercer leur pouvoir de surveillance. Les assureurs et réassureurs auront donc à fournir les informations clés nécessaires à la détermination de leur exigence de capital.

80


Encadré n°5 : La Value at Risk et la Tail Value at Risk

La VaR et la TVaR sont des mesures de risque. Soit X , une variable aléatoire de loi de probabilité P et de fonction de répartition F. La VaR de niveauα de X est le quantile d’ordre α−1 de la distribution de X :

( ) ααα =>VaRXPVaR : ie ( ) ( )αα1−= FXVaR

La TVaR de niveauα de X est définie par :

( ) ( ) ( )( )XVaRXXEdyXVaRXTVaR y ααα α>=

−= ∫

1

11

Une mesure de risqueμ est dite cohérente si elle vérifie les propriétés suivantes :

- homogénéité ( ) ( ) 0, >∀≥ cXccX μμ

- Invariance ( ) ( ) ccXcX ∀+=+ , μμ

- Monotonie Soient X etY , 2 risques tels que YX ≤ : ( ) (YX )μμ ≤

- Sous-additivité Soient X etY , 2 risques : ( ) ( ) (YXYX )μμμ +≤+ La TVaR est cohérente mais la VaR ne l’est pas car elle ne vérifie pas la propriété de sous additivité. Le schéma suivant permet de visualiser la VaR et la TVaR :

Les deux approches sont complémentaires :

-La VaR indique la charge de sinistre au-delà de laquelle il y a ruine ; -La TVaR indique le montant moyen des pertes au-delà de la VaR.

81


2 UNE METHODE D’ALLOCATION D’ACTIFS

L’objectif principal de ce mémoire est de déterminer une allocation optimale d’actifs sous les contraintes de solvabilité décrites ci-dessus, et avec prise en compte du risque inflation. Dans la plupart des approches, les auteurs donnent une allocation d’actifs puis déterminent le niveau de capital, appelé capital cible, qui contrôle le risque global de la société. Une méthode d’allocation d’actifs selon le critère de maximisation des fonds propres économiques (MFPE) a été décrite par F.PLANCHET et P.THEROND. Dans cette approche les interactions entre capital cible et allocation sont explicitement prises en compte, les auteurs cherchent alors directement à déterminer le couple « capital – allocation » optimal. Cette approche a été traitée dans [24] en 2004 dans le cadre de l’assurance non-vie. Elle a ensuite été reprise dans [23] en 2008, et publiée dans le Bulletin Français d’Actuariat n°17. L’objet de cette section est de présenter la méthode, puis de l’appliquer avec notre générateur de scénarios économiques.

2.1 PRESENTATION DE LA METHODE

Notations et hypothèses

• L’actif est investi dans actifs financiers dans les proportionsm ( ) ωωω =m,...,1 avec , et 11

=∑=

m

jjω

0≥jω

• Valeur de l’actif financier en t : j jtA

• Rendement de l’actif financier sur la périodej [ ]tt ,1− : jttRa ,1−

• Valeur de l’actif de la compagnie en t : tA

• Rendement de l’actif de la compagnie sur la période [ ]tt ,1− : ttRa ,1−

• Montant initiale investi par l’assurée : 0L

• Fonds propres initiaux : 0E• Taux minimum garanti :TG • Participation aux bénéfices : PB• Rendement servi par l’assureur pour la période [ ]tt ,1− : ttRs ,1−

• l’échéance de l’assureur T Le taux servi par l’assureur est :

( )TGRaPBTGRs tttt −×+= −− ,1,1 ,0max ,

Où :

82


∑=

−− =m

j

jttjtt RaRa

1,1,1 ω ,

Et

jt

jt

jtj

tt AAA

Ra1

1,1

−

−−

−= .

Le bilan de l’assureur à l’instant initial se présente de la façon suivante : Le bilan évolue de la façon suivante :

A échéance, l’assureur devra verser à chaque assuré. A la même date, ses ressources

seront constituées par ses provisions, ses fonds propres et les produits financiers qu’ils ont engendrés, soit

.

(∏=

−+T

tttRsL

1,10 1* )

( ) ( )∏=

−++T

tttRaLE

1,100 1

Définitions

• Provision Economique

C’est la quantité qu’il faut placer en début de période selonω pour être capable, en espérance, de payer les prestations en fin de période.

On la note ( )ω0ΛE , avec

( )

( )∏

∏

=−

=−

+

+=Λ T

ttt

T

ttt

Ra

RsL

1,1

1,10

0

1

1*ω . correspond à la charge de prestations actualisée

au taux de rendement du portefeuille financier.

ω0Λ

• Fonds Propres Economiques

Actif Passif

000 LEA +=

0E

0L

Actif Passif

( )tttt RaAA ,11 1 −− +=

ttt LAE −=

( )tttt RsLL ,11 1 −− +=

83


Ils correspondent à une actualisation, sous l’opérateur espérance, de la valeur de la compagnie à la fin du

contrat. Soit ( )ω0ΣE cette quantité, elle est obtenue de la façon suivante :

( ) ( ) ( )ωω0000 Λ−+=Σ ELEE

A la fin du contrat, l’assureur devra verser , à la même date ces ressources seront

constituées par . Après le paiement des prestations, il lui restera :

(∏=

−+T

tttRsL

1,10 1* )

)( ) (∏=

−++T

tttRaLE

1,100 1

( ) ( ) ( )∏∏=

−=

− +−++T

ttt

T

ttt RsLRaLE

1,10

1,100 1*1

En actualisant cette valeur au taux de rentabilité du portefeuille financier, on obtient :

( ) ω000 Λ−+ LE

La méthode consiste à maximiser les fonds propres économiques en référence aux capitaux propres de la société par le biais de l’allocation d’actifs, ie choisir le couple ( )ω,0E qui maximise la quantité :

( ) ( )0

00 ,

EE

Eω

ωϕΣ

=

Nous désignons dans la suite ce programme comme étant le critère de maximisation des fonds propres économiques : MFPE. Remarque -ϕ s’appelle la fonction objectif.

-Le rendement de l’assureur à la fin du contrat est 10

−EET , soit un rendement annuel

équivalent égale à 11

0

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ TT

EE

.

84


2.2 ETUDE DE LA FONCTION OBJECTIF

Réécrivons la fonction objectif :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

00

0

000

0

0 1EEL

EELE

EE ωωω

ωϕΛ−

+=Λ−+

=Σ

=

Calcul de la dérivée par rapport à : 0E

( )20

00

0 EEL

E

ωϕ Λ−−=

∂∂

Variation deϕ :

La fonction objectif peut-être soit croissante, soit décroissante, suivant le signe de ( )ω00 Λ− EL . Si

( ) 00 LE >Λω alors ϕ est croissante, et inversement si ( ) 00 LE <Λω alors ϕ est décroissante. Les

variations vont donc dépendre de la valeur de la provision économique ( )ω0ΛE , qui dépend de l’allocation

ω . Remarque ( ) 1

0

=∞→

ωϕELim , et ( ) ∞−+∞=

→/

00

ωϕELim .

2.3 PROBABILITE DE RUINE

L’assureur doit en parallèle contrôler sa probabilité de ruine, qui dépend de l’allocation d’actifs et du

niveau des FP, notons la ( )ωπ ,0E . Le couple optimal ( )**0 ,ωE choisit avec le programme MFPE doit

respecter un niveau maxπ de ruine maximum que l’assureur se fixe, c'est-à-dire ( ) max**

0 , πωπ ≤E .

Nous définissons la probabilité de ruine au travers d’un critère de VaR. Nous envisageons deux cas.

• 1er cas : Probabilité de Ruine à 1 an

L’assureur se place dans le cadre de Solvabilité II, il s’agit donc d’une probabilité de ruine égale à 0.5%

calibrée sur un horizon de 1 an. Le couple optimale de l’assureur doit donc vérifier ( ) %5.0, ** ≤oEωπ , où

π est donnée par la formule suivante :

( ) ( )( ) ( )( )[ ]TGRaPBTGLRaELPE −++<++= 1,001,0000 ,0max*1*1,ωπ

85


• 2ème cas : Probabilité de Ruine Annuelle

L’assureur prend en compte son horizon d’investissement. On dira alors qu’il est ruiné si ses fonds propres deviennent négatifs au moins une fois au cours de la vie du contrat. Dans ce cas la probabilité de ruine se définit de la façon suivante :

( ) ( ) ( ) (( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−++<++== =

−=

− ∏∏IT

s

s

iii

s

iii TGRaPBTGLRaELPE

1 1,10

1,1000 ,0max*1*1,ωπ )

Le critère MFPE doit être combiné avec un ou plusieurs critères de VaR que l’assureur se fixe. L’assureur détermine dans un premier temps les couples admissibles, ie ceux vérifiant les probabilités de ruine qu’il s’est fixées. Puis il applique le critère MFPE aux couples admissibles. De cette façon il obtient un couple optimal correspondant à ses critères de ruine. Dans la pratique, on teste différentes valeurs des fonds propres et différentes allocations. Soient

{ }dEE 010 ,...,=Ε l’ensemble des fonds propres testés, et { }nωω ,...,1=Ω l’ensemble des allocations

testées. Pour chaque couple ( )jiE ω,0 on calcule la probabilité de ruine, on obtient un tableau de la forme

suivante :

1ω 2ω … jω … nω

( )110 ,ωπ E ( )21

0 ,ωπ E ( )jE ωπ ,10 … ( )nE ωπ ,1

0 10E

… … … … … … …

( )10 ,ωπ iE ( )jiE ωπ ,0 … ( )niE ωπ ,0 iE0

… … … … … … …

( )10 ,ωπ dE dE0 … ( )ndE ωπ ,0

Notons l’ensemble des couples admissibles : Α

( ) ( ){ }max00 , ,...,1 ,...,1 , πωπω ≤===Α jiji EnjetdiE

Le couple optimal est alors donné par :

( )( )

( )ωϕωω

,maxarg, 0,

**0

0

EEE Α∈

=

Comme nous l’avons déjà mentionné précédemment, dans le cadre de Solvabilité II, la mesure de risque est une probabilité de ruine à un an inférieure à 0.5%. Toutefois les sociétés d’assurance ne sont pas contraintes de fonder leur gestion des risques sur ce critère. Ainsi la gestion des risques peut se fonder sur une autre mesure tant qu’il est possible de démontrer que la mesure retenue est au moins aussi prudente qu’une VaR d’un niveau 0.5% à horizon un an.

86


3

)

APPLICATION

3.1 MISE EN PLACE

Rappel Le cadre du mémoire est celui d’un contrat d’épargne de durée 8 ans avec clause de

participation aux bénéfices et taux minimum garanti. Pour un couple ( ω,0E donné, le programme simule l’évolution annuelle du compte de résultat. Chaque

année la valeur de l’actif, la valeur de la PM, et la valeur des FP sont calculées. En effectuant 20 000 simulations, les techniques de Monte Carlo permettent de calculer le niveau de probabilité de ruine des couples ( )ω,0E (nombre de trajectoires ruinées/20 000) :

Différents scénarios sont envisagés :

• Scénario 0 (S0) : Modélisation sans prise en compte du risque inflation.

• Scénario 1 (S1) : Modélisation avec prise en compte du risque inflation par un modèle à 1 état. La probabilité de transition de l’état 2 à l’état 1 est fixée à 0.

• Scénario 2 (S2): Modélisation avec prise en compte de l’inflation par un modèle à 2 états. Remarque S1 correspond au cas où on ne prend pas en compte l’éventuel retour de l’économie à un

état inflationniste. Les calculs sont réalisés pour différentes valeurs des fonds propres, et pour différentes allocations. Les valeurs suivantes ont été testées :

• Fonds Propres 0.5%, 1%, 1.5%, 2%, 2.5%,…,14.5%, 15%. Ils sont exprimés en pourcentage de la PM initiale . 0L

87


• Poids des Actifs -La part de monétaire varie de 0% à 10% par pas de 1 % ; -La part d’action varie de 0% à 25% par pas de 1% ; -La part d’obligataire représente le reste, elle peut donc varier de 65% à 100%.

3.2 RESULTATS

Le programme de l’assureur dépend à la fois d’une contrainte de probabilité de ruine et d’une contrainte de maximisation des fonds propres.

3.2.1 Etude de la Probabilité de Ruine

Les graphiques suivants représentent la probabilité de ruine de l’assureur pour une part de monétaire fixée à 10%. L’axe des abscisses correspond à la part d’action et chaque courbe correspond un niveau de fonds propres. Les graphiques suivants sont obtenus à partir du modèle ne prenant pas en compte l’inflation.

Graphique 3.1 : Probabilité de Ruine à 1 an Graphique 3.2 : Probabilité de Ruine Annuelle

0%

20%

40%

60%

80%

0% 5% 10% 15% 20% 25%Part Action

1% 2% 4%6% 8% 10%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

0% 5% 10% 15% 20% 25%Part Action

1% 2% 4%6% 8% 10%

Exemple Pour un actif composé de 10% de monétaire, 81% d’obligations et 9% d’actions, l’assureur

aura une probabilité de ruine annuelle égale à 20% si ses fonds propres initiaux s’élèvent à 4% de la PM.

Avec cette allocation d’actifs et ce niveau de fonds propres, la probabilité de ruine à horizon 1 an est d’environ 3%. Le niveau induit par Solvabilité II n’est donc pas respecté. Si l’assureur souhaite conserver cette allocation, alors pour respecter le niveau de ruine prévu par Solvabilité II, il devra élever ses fonds propres à environ 6% de la PM

Dans les deux cas, la courbe représentant la probabilité de ruine est décroissante puis croissante. Plus l’actif de l’assureur est risqué, ie plus il contient d’actions, et plus les probabilités de ruine sont élevées. La probabilité de ruine à 1 an atteint son minimum pour un actif investit dans 6% à 7% d’actions. Pour la probabilité de ruine annuelle, ce niveau est plus faible, il se situe aux environs de 4% d’actions.

88


Quelque soit le niveau de fonds propres, la probabilité de ruine atteint toujours son minimum pour la même part d’action. Les fonds propres agissent donc uniquement sur le niveau de ruine (courbe translatée) et non sur la forme de la courbe représentant le probabilité de ruine. Remarque Il s’agit des résultats obtenus avec le modèle S0. Comparaison de la Probabilité de Ruine en Fonction des Scénarios Economiques S0, S1 et S2 Les graphiques suivants superposent la probabilité de ruine des différents modèles envisagés. Les courbes correspondent à un niveau initial de fonds propres égale à 4% de la PM. L’axe des abscisses représente la part d’action, la part de monétaire est fixée à 10%.

Graphique 3.3 : Comparaison des Scénarios - Probabilités de Ruine à 1 an

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

0% 5% 10% 15% 20% 25%Part Action

Sans Inflation1 Etat2 Etats

Graphique 3.4 : Comparaison des Scénarios - Probabilités de Ruine Annuelle

0%

20%

40%

60%

80%

0% 5% 10% 15% 20% 25%Part Action


Si les fonds propres initiaux s’élèvent à 6% de la PM, on obtient les graphiques suivants :

Graphique 3.5 : Comparaison des Scénarios - Probabilités de Ruine à 1 an

0%

5%

10%

15%

20%

0% 5% 10% 15% 20% 25%Part Action


Graphique 3.6 : Comparaison des Scénarios - Probabilités de Ruine Annuelle

0%

20%

40%

60%

80%

0% 5% 10% 15% 20% 25%Part Action


89


On constate immédiatement que l’inflation joue un rôle fondamental. En effet, les probabilités de ruine des modèles prenant en compte l’inflation sont nettement supérieures à celles du modèle sans inflation. En revanche, l’impact d’un modèle à états n’est pas perceptible puisque les probabilités de ruine des modèles à 1 état et 2 états sont quasiment confondues. La forme de la courbe représentant la probabilité de ruine est principalement liée au critère de ruine et au scénario utilisé. Quelque soit le critère de ruine, on remarque que lorsque l’inflation est prise en compte, le minimum de la probabilité est atteint pour une part d’action supérieure. Pour un horizon d’un an et avec prise en compte de l’inflation, le minimum de la probabilité de ruine est atteint pour une part d’action égale à environ 15%, ce niveau est proche de 5% lorsque l’inflation n’est pas prise en compte. Si le critère de ruine est annuel avec un horizon de 8 ans, le minimum de la probabilité de ruine est atteint pour une part d’action égale à environ 6%, ce niveau est de 3% lorsque l’inflation n’est pas modélisée. Remarque Ces niveaux d’actions ne reflètent pas forcément l’allocation optimale de l’assureur selon

la fonction objectif définit par le critère MFPE. En ce qui concerne les fonds propres, on constate qu’ils n’impactent pas la forme de la probabilité de ruine. L’augmentation de fonds propres permet essentiellement de diminuer la probabilité, on peut donc penser qu’ils n’interviendront pas dans l’allocation optimale.

3.2.2 L’allocation Optimale

Afin de déterminer son allocation optimale, l’assureur doit dans un premier temps déterminer ses couples admissibles. Ses couples diffèrent en fonction du critère de ruine de l’assureur. Si le critère est une probabilité de ruine annuelle d’un niveau 20%, alors les couples admissibles sont ceux se situant au dessous du trait rouge sur le graphique suivant :

Graphique 3.7 : Probabilité de Ruine Annuelle – Couples Admissibles

0%

20%

40%

60%

80%

0% 5% 10% 15% 20% 25%Part Action

1% 2% 4%6% 8% 10%

90


Remarque -Une courbe correspond à un niveau de FP fixé. -Nous avons pris l’exemple du modèle sans inflation. -On remarque que l’ensemble des couples ( )ω,0E avec %20 ≤E n’est pas admissible

puisque leur probabilité de ruine est supérieure à 20% quelque soit la part d’action. Parmi tous les couples admissibles, il existe un couple optimal, il s’agit du couple maximisant la fonction objectif. Le graphique suivant la représente pour une part de monétaire fixée à 10% :

Graphique 3.8 : Fonction Objectif

0% 5% 10% 15% 20% 25%1%

6%11%-8

-7-6

-5-4

-3-2

-1

0

1

Part ActionFP

Remarque La fonction objectif est représentée en fonction de la part d’action et du niveau des fonds

propres. Elle est tracée pour tous les couples, ie également le couples ne vérifiant pas le critère de ruine de l’assureur (non admissibles).

En effectuant un zoom on obtient le graphique suivant :

Graphique 3.9 : Fonction Objectif

0% 3% 6% 9%1% 4% 7% 10% 13%0.66

0.69

0.72

0.75

0.78

0.81

0.84

0.87

0.90

0.93

0.96

Part Action FP

91


On constate que si l’assureur n’associe pas de contrainte de ruine, alors le critère MFPE conduira l’assureur à détenir des fonds propres très élevés. En effet; la fonction tend vers 1 lorsque les fonds propres tendent vers l’infini, elle atteint donc son max pour des fonds propres infini. La combinaison d’une probabilité de ruine et du critère MFPE conduit aux résultats suivants : Rappel S0 correspond au modèle sans inflation, S1 est le modèle avec inflation 1 état, et S2 est le

modèle inflation 2 états.

Tableau 3.1 : Allocation Optimale – Proba de Ruine à 1 an = 0.5%

Fonds

Propres Monétaire Obligataire Action

Proba de Ruine Ann

Rendement sur FP

S0 6.5% 9% 88% 3% 0.87% 2.22% S1 13.5% 9% 86% 5% 1.81% -0.8% S2 14% 9% 85% 6% 1.92% -0.59%

Tableau 3.2 : Allocation Optimale – Proba de Ruine Annuelle = 15%

Fonds


Proba de Ruine 1 an

Rendement sur FP

S0 3.5% 8% 88% 4% 4.03% 0.45% S1 11.5% 8% 77% 15% 0.98% -2.64% S2 11.5% 9% 76% 15% 0.92% -2.63%


Fonds


Proba de Ruine 1 an

Rendement sur FP

S0 4% 10% 86% 4% 2.64% 1.05% S1 14% 9% 75% 16% 0.24% -1.23% S2 12.5% 9% 77% 14% 0.50% -1.66%


Fonds


Proba de Ruine 1 an

Rendement sur FP

S0 5% 7% 89% 4% 1.43% 1.58% S1 14.5% 10% 76% 14% 0.15% -0.5% S2 13.5% 10% 78% 12% 0.31% -0.69%

92


INTERPRETATION 1. L’horizon d’investissement est primordial. Avec un horizon d’un an l’allocation optimale contient une

part d’action plus faible. Ce phénomène est amplifié lorsque le risque inflation est pris en compte.

En effet, lorsque le risque inflation est pris en compte, l’allocation optimale à horizon 1 an contient une part d’action proche de 5% ; en fonction du niveau de ruine annuelle considéré, ce niveau s’élève à près de 15% si l’horizon est de 8 ans.

En revanche, si l’inflation n’est pas modélisée, la différence entre les allocations à horizon un an et 8 ans n’est pas significative.

Ces résultats s’expliquent par la faible probabilité d’observer une période inflationniste la première année, puisque l’état initial est supposé non inflationniste. De ce fait, les produits de taux sont moins risqués à court terme. En revanche, à long terme l’inflation devient un facteur de risque de plus en plus important pour les produits de taux, alors que l’augmentation du risque engendré par les actions ne croît pas dans les mêmes proportions.

2. La part de monétaire est toujours proche de 9%. 3. Les fonds propres obtenus pour le modèle sans inflation et avec le critère de ruine annuelle sont

proches du niveau requis par le système actuel (4%).

Avec un critère de ruine à horizon 1 an le niveau est plus élevé (6.5%). 4. A court terme l’inflation n’a pas réellement d’impact sur l’allocation d’actifs. On remarque néanmoins

que les fonds propres relatifs aux modèles avec inflation sont très élevés même à horizon 1 an. Ces résultats sont dus au fait que la modélisation avec l’inflation ajoute un risque supplémentaire sur les taux quelque soit l’horizon. Ainsi, un plus grand nombre de trajectoires sont ruinées, et pour compenser cette ruine le programme MFPE retient un niveau élevé de fonds propres.

Cependant, le niveau de FP n’intervient pas dans la forme de l’allocation (part action) mais dans la valeur de la probabilité de ruine. Effectivement, pour les trois niveaux de ruine annuelle considérés l’allocation est sensiblement la même, mais plus le niveau de ruine exigé est faible et plus le niveau de fonds propres est élevé.

Pour le modèle avec inflation, on constate que les allocations obtenues avec les probabilités de ruine annuelle de 5% et 10% permettent de respecter le critère à horizon 1 an induit par solvabilité II. En revanche avec le modèle sans inflation, pour lequel les fonds propres sont d’un niveau raisonnable, la probabilité de ruine à 1 an est supérieure à 0.5% quelque soit le niveau de ruine annuelle.

5. On constate que l’impact du modèle à états n’est pas significatif. 6. Les rendements sur fonds propres négatifs signifient qu’une partie des fonds propres a été absorbée.

Quelque soit le critère de ruine, le rendement sur fonds propres des modèles prenant en compte l’inflation est négatif, mais il est positif si l’inflation n’a pas été modélisée.

7. Les modélisations prenant en compte l’inflation conduisent à des niveaux de fonds propres bien trop

élevés. Une façon de réduire le besoin en fonds propres est de mettre en place une couverture financière contre le risque de dépréciation de la valeur du portefeuille d’actifs.

93


CONCLUSION DE LA PARTIE 3 Les allocations obtenues avec les modèles inflation représentent une part d’action supérieure à celle obtenue avec le modèle sans inflation. Ce résultat est influencé par le fait que dans les modèles inflation les taux sont plus risqués puisque le risque inflation est pris en compte. Ces premiers résultats nous enseignent que l’inflation joue un rôle non négligeable dans l’allocation stratégique d’actifs à long terme. En effet, la prise en compte de l’inflation introduit un risque supplémentaire pour les produits de taux, négligé dans la 1ère modélisation. Le risque lié aux obligations étant mieux pris en compte, leur allocation se doit de diminuer au profit des actions. Le niveau élevé des fonds propres est lié d’une part au risque induit par l’inflation, et d’autre part à la comptabilisation en fair value. En effet, ce mode de comptabilisation fait subir à l’assureur les fluctuations du compte de résultats d’une année sur l’autre, et donc augmente la volatilité de ses résultats. Pour un assureur de long terme, ce risque est amplifié car il possède des produits de taux dont la duration est proche de celle de son passif (ici 8 ans à la création du contrat). Or, ces actifs fournissent des performances annuelles volatiles les premières années (cf. graphiques pages 69 et 71). Une façon de diminuer la probabilité de ruine et d’obtenir un niveau de fonds propres raisonnable pour l’assureur, est de mettre en place une couverture financière sur les taux. Le rendement de l’actif financier utilisé pour la couverture viendra compenser une baisse de rendement des obligations, ainsi le nombre de trajectoire ruinée diminuera et le besoin en fonds propres sera amoindri. Remarque La couverture financière des actions est également envisagée.

94

PARTIE 4 : Couverture des Risques Financiers

PARTIE 4

COUVERTURE DES RISQUES FINANCIERS Définition « Une opération de couverture est destinée à réduire le risque affectant à l’instant futur

H une position préexistante donnée. Elle se traduit par une prise de position nouvelle impliquant un aléa en H corrélé négativement avec le risque préexistant. Lorsque la couverture permet l’élimination totale du risque, on dit qu’elle est parfaite, mais elle n’est en générale que partielle. »

D’une façon générale, nous cherchons donc à mettre en place une couverture contre le risque de dépréciation de notre portefeuille, qui peut-être lié soit au risque action, soit au risque de hausse des taux. Le risque action se manifeste simplement par une baisse du cours des actions, entraînant une baisse de rendement des actions et donc une baisse de rendement du portefeuille financier. Une hausse des taux entraîne une baisse du prix des produits de taux, et donc une baisse de leur rentabilité. Dans un tel contexte, l’assureur ne serait plus en mesure de servir le taux garanti à ses assurés. Par ailleurs, il pourrait se retrouver en situation de ruine comptable, ses FP pouvant être absorbés par la baisse de rentabilité de son actif. Remarquons que ce risque est amplifié par le projet de réforme solvabilité II, qui prévoit la comptabilisation des actifs en valeur de marché. Deux types d’actifs sont principalement utilisés dans les opérations de couverture : il s’agit des options et des contrats à terme. Cependant leur objectif est différent :

• Les Options permettent de limiter les pertes tout en profitant des plus-values ;

• Les Contrats à terme permettent de neutraliser la valeur d’un portefeuille, ie de s’assurer du prix d’un actif à un horizon donné. Ce type de couverture permet de neutraliser les pertes mais également les gains.

Nous utilisons les options car c’est un actif répondant à nos attentes en matière de couverture : tronquer nos pertes sans entamer le potentiel de gains. Cette partie est divisée en deux sections, la première présente les instruments financiers utilisés pour la couverture, la seconde est consacrée aux résultats de l’allocation d’actifs avec couverture financière.

95


1 LES INSTRUMENTS FINANCIERS

1.1 LES OPTIONS

Définition «L’option est un contrat entre deux personnes appelées acheteur et vendeur. Pour ce

contrat l’acheteur a le droit (et non l’obligation) d’acheter ou de vendre un bien, appelé le sous-jacent à un prix fixé et ce, pendant une durée future elle aussi fixée. Au prix de ce droit, l’acheteur verse au vendeur une somme appelée prime. Si l’acheteur a le droit d’acheter, l’option est un call ; s’il a le droit de vendre, l’option est un put. Le prix fixé s’appelle aussi prix d’exercice ou strike. La période pendant laquelle s’exerce le droit peut-être soit réduite à l’échéance, l’option est alors Européenne ; soit égale à l’intervalle de temps entre la signature et l’échéance du contrat, l’option est alors Américaine ».

En résumé, une option est caractérisée par :

• Sa nature : Européenne ou Américaine ; • Son type : option d’achat (Call) ou de vente (Put) ; • Son strike K ; • L’actif sous-jacent, de prix ; tS• Son échéance T .

Dans la suite, nous considérons uniquement des options Européennes. Les opérations sur ces options sont les suivantes :

• Achat d’un Call : L’acheteur possède le droit, moyennant le versement d’une prime, d’acheter l’actif sous-jacent en T au prix K . Il exercera son droit si . KST >

• Vente d’un Call : Le vendeur s’engage à livrer à l’acheteur le sous-jacent au prix convenu K . L’acheteur exercera son droit si . KST >

• Achat d’un Put L’acheteur possède le droit, moyennant le versement d’une prime, de vendre l’actif sous-jacent en T au prix K . Il exercera son droit si KST < .

• Vente d’un Put : Le vendeur de l’option a l’obligation d’acheter à l’acheteur le sous-jacent au prix convenu K , si l’acheteur de l’option en fait la demande. L’acheteur exercera son droit si

. KST < On appelle Pay-off de l’option sa valeur à échéance. Pour un Call, le pay-off est , et pour un

Put il vaut . Le gain d’une option (pour l’acheteur) est donc égale au pay-off diminué de la

prime de l’option.

( +− KST ))( +− TSK

Les graphiques suivants présentent le gain des différents types d’options en fonction du cours de l’actif sous-jacent :

96


Graphique 4.2 : Gain d’un Put Graphique 4.1 : Gain d’un Call

-6

-3

0

3

6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20St

AcheteurVendeur

-9

-6

-3

0

3

6

9

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20St

AcheteurVendeur

Remarque Le strike est supposé égale à 6. L’achat d’une option est une stratégie moins risquée que la vente puisque la perte de l’acheteur est toujours limitée au montant de la prime de l’option. Avec la mise en place du nouveau référentiel solvabilité II, l’assureur sera tenu de comptabiliser ses actifs en valeur de marché. A la fin de chaque année, il inscrira à l’actif de son bilan la valeur de réalisation de ses actifs. Afin de limiter les fluctuations du bilan d’une année sur l’autre, l’assureur peut choisir d’investir dans des options de vente (Put). Ainsi, au 31 décembre de chaque année, la baisse du cours des actifs (s’il y a eu baisse) sera compensée en partie par le gain des options. Dans la suite de cette étude, nous mettons en place le même type de stratégie pour le risque de hausse des taux et le risque de dépréciation des actions :

• Risque action : Achat de Put dont l’actif sous-jacent est l’indice action que nous simulons ; • Risque de Taux : Achat de Put dont l’actif sous-jacent est un produit de taux.

97


1.2 COUVERTURE DU RISQUE DE DEPRECIATION DES ACTIONS

La couverture de ce risque se fait par l’achat de Put sur action. Nous devons donc déterminer la prime de cet instrument financier.

1.2.1 Valorisation

Nous utilisons le modèle d’évaluation de BLACK et SCHOLES (1973). Notons la prime en d’un Put d’échéance ( Ttp , ) t T . Hypothèses :

• Le marché est parfait, liquide, sans coût de transaction ; • Il y a absence d’opportunité d’arbitrage ; • Le taux sans risque r est constant entre les instants t et T ;

• L’actif sous-jacent ne verse pas de dividende, et son prix suit la dynamique : tt

t dBdtS

dSσμ += , où

est un mouvement brownien sous la probabilité historique. tB

En appliquant le théorème de GIRSANOV, on montre que trBW tt σμ −

+= est un mouvement brownien

sous la probabilité risque neutre ∗P , et sous cette probabilité on a :

tt

t dWrdtS

dSσ+=

De plus, sous les prix actualisés sont des martingales, ie ∗P ( )( )trt Ttpe ,− est une martingale. Notons *E

l’opérateur espérance sous la probabilité risque neutre.

Il vient ( ){ } ( TtpeTTpeE rtt

rT ,,* −− =ℑ ), avec ( ) ( )+−= TSKTTp , .

On en déduit :

( ) ( ) ( )( )tTtTr SKeETtp ℑ−= +−−,

En appliquant le lemme d’Itô à l’EDS du cours du sous-jacent, on trouve :

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= εσσ tTtTrSS tT 2

exp2

εOù est une gaussienne centrée et réduite.

98


On obtient alors :

( ) ( ) ( ) ( )21, dSdKeTtp t

tTr φ−= −−

( )

tT

tTrSK

d t

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=σ

σ2

ln2

1 Où -

-

( )

tT

tTrSK

tTdd t

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=−−=σ

σ

σ2

ln2

12

emarque R -σ est la volatilité implicite.

répartition d’une gaussienne centrée et réduite : - est la fonction de Φ

( ) ∫∞−

−x u

221

=Φ duex2π

.

1.2.2 Le Smile de Volatilité

a courbe de volatilité n’est pas plate, elle dépend de la maturité et du strike de l’option. Souvent, pour une

ous souhaitons pouvoir utiliser des options en dehors de la monnaie, ie des options dont le strike est plus

fin de pouvoir prendre en compte le smile de volatilité dans la prime de l’option, nous utilisons le modèle

Lmaturité donnée, la volatilité implicite par rapport au strike a une forme de sourire appelé smile. Nfaible que le cours du sous-jacent. Ces options offrent une protection inférieure à celle des options à la monnaie, mais elles ont l’avantage d’être moins chère. Il faudra alors trouver le bon compromis entre couverture et prix de l’option. Adécrit dans l’article [18], qui consiste à faire passer un polynôme de degrés 2 par 3 points. Les trois points étant la volatilité à la monnaie, la volatilité tel que 09.0 SK = , et la volatilité tel que 01.1 SK = .

Le modèle retenu pour la volatilité implicite est le suivant :

( )2

00

ln4ln21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

SK

SKK atσσ

ù O ( )Kσ est la volatilité implicite d’une option de strike K ;

atσ e st la volatilité implicite de l’option à la monnaie ;

est le cours du sous-jacent. 0S

99


Le graphique suivant présente le smile de volatilité lorsque la volatilité implicite de l’option à la monnaie est égale à 20%, et le cours du sous-jacent est égal à 100 :

Graphique 4.3 : Smile de Volatilité

10%

15%

20%

25%

30%

35%

90 95 100 105 110Strike

1.2.3 Mise en Place

Les hypothèses suivantes ont été réalisées

1. Les options sont de maturité un an ; 2. Le taux sans risque est simulé annuellement, il est représenté par le taux ZC 1 an ; 3. La volatilité implicite est simulée annuellement par un processus de CIR (cf. Partie 1 – Section 2).

Remarque La volatilité implicite utilisée pour pricer les options est la même que la volatilité utilisée

pour simuler le rendement des actions. Rappelons qu’on se place dans le cadre d’un contrat d’épargne de durée 8 ans. Soient la date de création

du contrat, et les échéances annuelles. Autrement dit 0t

81 ,..., tt jj tt −+1 représente une année, On suppose

que , et pour Nt /01/01=0 :8,...,1=j 1/12/31 −+= jNt j

70=j

jt

.

Pour : ,...,1,

- En : L’assureur achète une option de strike jSk = , et d’échéance t . 1+j

( )1+j La valeur de son portefeuille « option » est ,j ttp

1+j

- En t , la valeur de son portefeuille « option » est ( )++− 1jj SS

Il enregistre donc un rendement « option » égale à ( )

( ) 1, 1

1 −−

+

++

jj

jj

ttpSS

sur la période ] ]1, +jj tt .

100


Exemple

En simulant une trajectoire du cours de l’indice boursier et de la volatilité sur 8 ans nous obtenons les résultats suivants :

Date Cours Rdt De

l’action Pay-off

Prime de l’option

Rdt de l’option

0 100 4.12 1 115 15% 0 4.53 -100% 2 111 -3% 3 5.49 -28% 3 94 -15% 17 5.54 209% 4 92 -2% 2 5.49 -62% 5 100 8% 0 6.35 -100% 6 123 23% 0 8.74 -100% 7 116 -5% 7 8.06 -23% 8 129 11% 0 -100%

Caractéristiques des Put :

Put 1 Put 2 Put 3 Put 4 Put 5 Put 6 Put 7 Put 8

Date Achat

0 1 2 3 4 5 6 7

Echéance 1 2 3 4 5 6 7 8

Strike 100 115 111 94 92 100 123 116

r 2.5% 3.6% 3.5% 2.9% 4.5% 4.2% 3.7% 3.6%

Vol imp. 13% 14% 17% 19% 21% 22% 23% 22%

4.12 4.53 5.49 5.54 5.49 6.35 8.74 8.06 Prime Remarque L’exemple est réalisé avec des Put à la monnaie. On constate que la valeur de l’option augmente lorsque le cours baisse. En cas de hausse la plus-value latente du portefeuille est seulement diminuée de la prime.

101


1.3 COUVERTURE DU RISQUE DE HAUSSE DES TAUX

C’est un risque majeur pour les assureurs vie, dont les portefeuilles financiers sont composés de 70% à 80% par des produits de taux. De plus l’hypothèse de hausse interviendrait après une période assez longue, au cours de laquelle les taux ont été historiquement bas. En effet, depuis le début des années 90, les taux à long terme ont été ponctués par des variations autour d’une tendance baissière générale, comme illustré par le graphique suivant :

Graphique 4.3 : Taux d’emprunt de l’Etat Français 10 ans

2.5%

3.5%

4.5%

5.5%

6.5%

7.5%

8.5%

janv.-95 nov.-97 oct.-00 août-03 juil.-06 mai-09

Rappelons que nous avons fait le choix d’utiliser les options car c’est l’instrument qui s’avère le mieux adapté à notre situation. En effet, le risque de perte est limité à la prime, et les options permettent de profiter de conditions favorables (baisse des taux) tout en se protégeant contre la hausse des taux. Il existe trois types d’option permettant de se couvrir contre le risque de taux :

• Les Put sur obligations

• Les Swaptions : option dont le sous-jacent est un swap de taux d’intérêts

• Les Caps : Option d’achat dont le sous jacent est un taux Cf. [7] A.BURGER « ALM en Assurance Vie. Couverture du risque de taux par des produits dérivé » pour une description précise de chaque type d’option. Notons que les Caps sont essentiellement utilisés pour se couvrir contre le risque de rachat. Notre problématique est différente puisque nous souhaitons seulement limiter les fluctuations de la performance annuelle du ZC 8 ans, qui ont lieu les premières années du contrat. Le graphique suivant présente 50 simulations de la performance annuelle d’un ZC 8 ans :

102


Graphique 4.4 : Evolution de la Performance Annuelle d’un ZC 8 ans

-6%

-3%

0%

3%

6%

9%

12%

15%

1 2 3 4 5 6 7 8

n constate que le risque de taux subit par l’assureur diminue au cours du temps. Il n’est donc pas

ans la suite, nous faisons le choix d’utiliser les options sur obligations, et plus précisément les Put sur

1.3.1 Futures et Options sur Futures

1.3.1.1 Fonctionnement des Marchés à Termes

éfinition Un contrat à terme signé en t , liant un acheteur et un vendeur, constitue pour l’acheteur

existe une multitude de marché à terme, qui se distingue essentiellement par le sous-jacent et le mode

cent peut-être un actif physique (blé, maïs, pétrole, …) ou bien un actif financier (action,

• tre négocié sur un marché de gré à gré, il s’agit dans ce cas d’un Forward ;

ans le cadre de cette étude, nous considérons les futures sur obligations d’Etat, et plus

Onécessaire de mettre en place une couverture contre le risque de taux sur la durée totale du contrat. D’après le graphique, les quatre premières années semblent être les plus risquées. Dfutures, pour lesquels le sous jacent est une obligation.

Dun droit et une obligation d’acheter à l’échéance T un objet déterminé, nommé support ou actif sous-jacent du contrat, à un prix déterminé en t . Pour le vendeur, ce contrat confère le droit et l’obligation, symétriques à ceux de l’acheteur, de vendre le support à ce prix.

Ild’organisation :

• Le sous-jadevises, taux d’intérêts).

Le contrat à terme peut-êou bien sur un marché organisé, on parle alors de Future.

Dparticulièrement le marché de l’EuroBund situé à Frankfort.

103


1.3.1.2 Description du Contrat EuroBund Le contrat porte sur une obligation fictive appelée obligation notionnelle (ON) ayant les caractéristiques suivantes :

• Nominal : 100 000€ ; • Maturité : 10 ans ; • Coupon annuel : 6% ; • Remboursable in fine.

L’échéance d’un contrat à lieu l’un des quatre mois suivants : Mars, Juin, Septembre, Décembre. Les contrats sont créés neuf mois avant leur échéance. Par exemple, le contrat décembre 2010 sera crée en Mars 2010. Le contrat définit une liste d’obligations (les Bunds), appelée gisement, qui pourront être livrée à échéance. Ces obligations doivent avoir une durée de vie résiduelle entre 8.5 ans et 10.5 ans. Supposons qu’un contrat Eurobund d’échéance T soit vendu en t . Alors on note le prix stipulé en t

pour une livraison en T . tF

Détermination du prix future

Pour fixer le prix d’un contrat en t , le vendeur détermine l’obligation du gisement maximise son gain à échéance. Une fois cette obligation choisie, le prix future est donné par :

( ) ( )tTrtt eIOF −−=

tO

Où - est le prix en t de l’obligation livrable (prix spot) ;

est le taux sans risque pour la période [ ]Tt, ; r-

- I est la valeur actuelle des coupons payés entre t et T . Donnons un exemple : le graphique suivant présente les flux de l’obligation livrable t :

En notant r le taux ZC pour une durée i , on trouve : i

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+= −

=

−− ∑ 999

0

r

i

irt eCeeO i xrxCeI −=xrx et

104


Donc

( ) ( ) ( ) xrtT

i

irtTrtt

xi eCeeIOF −−

=

−−

⎠⎜⎜⎝

⎛

⎠⎜⎝

⎛+=−= ∑

9

0

rr eC−⎟⎟⎞

−⎟⎞

99

1.3.1.3 Options sur Futures Il s’agit d’une option classique dont l’actif sous-jacent est un future, qui porte lui-même sur un actif sous-jacent. Dans notre étude, nous supposons que l’actif sous-jacent du future est le Bund. Le schéma suivant synthétise le fonctionnement d’une telle option :

Rappelons que nous utilisons des options de vente (Put), plus précisément :

K est fixé ; - En t l’acheteur du Put (assureur) verse une prime au vendeur, le strike 0

- En l’acheteur exerce son droit si , autrement dit il devient vendeur d’un future de

prix au prix

1t 1tFK >

F K . 1t

K en t . - Si l’option a été exercée, l’assureur livre les Bunds et encaisse le montant dû 2

2t 2

( )Ttp ,

Remarque La grande majorité des contrats future est dénouée avant la livraison du sous-jacent. Il

suffit de prendre la position inverse. Dans notre exemple, si le vendeur souhaite dénouer sa position avant la date , il lui suffit d’acheter un contrat future d’échéance t sur le même sous-jacent.

1.3.2 Valorisation

Afin de déterminer la prime d’un Put sur contrat future, nous réutilisons le principe du modèle de BLACK et SCHOLES en modifiant certaines hypothèses. Notons la prime en t d’un Put d’échéance T .

105


Hypothèses :

• Le marché est parfait, liquide, sans coup de transaction ; • Il y a absence d’opportunité d’arbitrage ;

r est constant entre les instants t et T ; • Le taux sans risque • Le prix actualisé du future est modélisé par un brownien géométrique.

Soit le prix actualisé du future en t : tF~ ( )tTrtt eFF −−=~

, l’équation de BLACK et SCHOLES devient :

tt dBdtFd

σμ +=~

tBtF~

Où est un mouvement brownien sous la probabilité historique.

En utilisant le même raisonnement que pour les actions, on montre que :

tt

t dWrdtFFd

σ+=~~

t

( )

Où W est un mouvement brownien sous la probabilité risque neutre, et :

( ) ( )( )tTTtp ℑ+, tTr FKeE −= −−*

En appliquant le lemme d’Itô à l’EDS suivie par le prix actualisé, on trouve :

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= εσσ tTtTrFF tT 2

exp~~ 2

Soit

( ) ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−+−−= εσσ tTtTFF exp2

⎠⎝

tT 2

ε est une gaussienne centrée et réduite. Où On obtient alors :

( ) ( ( ) ( )( ) )21, dFdKeTtp ttTr Φ−Φ= −−

106


Où -

( )

tT

tTF

d t

−

−+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝=

σ

2ln

1

K ⎞⎛ σ 2

-

( )

tT

tTF

tTdd t

−

−−⎟⎟⎠

⎜⎜⎝=−−=

σσ

2ln

12

K ⎞⎛ σ 2

Remarque -σ est la volatilité du prix future.

- est la fonction de répartition d’une gaussienne centrée et réduite : Φ

( ) ∫∞−

−=Φ x

x udue 2

2

21π

FK =

1.3.3 Mise en Place

Les hypothèses suivantes ont été faites :

1. L’assureur investit dans des options à la monnaie, pour une option achetée en t : ; t

2. Les options sont de maturité un an ; 3. Le taux sans risque est simulé annuellement, il est représenté par le taux ZC 1 an ; 4. La volatilité implicite est constante au cours du temps ; 5. Le gisement contient une seule obligation de maturité 10 ans au moment de l’achat de l’option ; 6. L’échéance de l’option est la même que celle du future ; 7. La couverture est mise en place les quatre premières années du contrat ; 8. La volatilité du prix du future est supposée constante et égale à 4.5%.

Remarque L’hypothèse 6 implique que le prix du future en T est égale au prix de l’obligation

livrable en T : . En effet, les prix futures convergent vers les prix au comptant. TT OF =

L’obligation du gisement a une maturité 10 ans à la date d’achat de l’option, sa maturité est donc de 9 ans à l’échéance de l’option.

La volatilité du prix du future a été estimée sur la série des cours EuroBund sur une période s’étalant de Janvier 1995 à Juin 2009.

107


Pour 7,...,1,0=j

• En : jt

- L’assureur achète une option de strike jFK = , et d’échéance 1+jt

- La valeur de son portefeuille « option » est ( )1, +jj ttp

- Le gisement contient une obligation de maturité 10 ans

• En : 1+jt

- la valeur de son portefeuille « option » est ( ) ( )+++ −=− 11 jjj OFFK

- est le prix de l’obligation du gisement, sa une maturité est 9 ans 1+jO

- Il enregistre donc un rendement « option » égale à ( )

( ) 1, 1

1 −−

+

++

jj

jj

ttpOF

sur la période ] ]1, +jj tt .

Remarque En réalité il n’existe pas de Futures de maturité 1 an, puisque les contrats sont créés 9

mois avant leur échéance. Néanmoins, nous faisons l’hypothèse que le contrat Décembre de l’année N est créé en Décembre de l’année N-1. Dans la pratique, l’assureur qui investit dans cet actif devra roller sa position au cours de l’année.

108


2 APPLICATION

Le principe est le même que celui exposé dans la partie 3, mais il y a maintenant 5 classes d’actifs qui sont :

• Monétaire • Obligataire • Options sur Futures • Actions • Options sur Actions

Il n’est donc pas évident d’obtenir les mêmes représentations graphiques que dans la partie 3. Ainsi, nous présentons directement les résultats de l’allocation d’actifs obtenus par combinaison d’un critère de ruine et du programme MFPE. Nous avions remarqué que les résultats étaient similaires pour les trois critères annuels (cf. page 93 remarque 4), afin de ne pas alourdir le mémoire nous présentons uniquement les résultats du critère à horizon 1 an et du critère annuel de niveau 10%. Quelques graphiques illustrant ces résultats sont donnés à la fin.

2.1 OPTIONS SUR ACTIONS

En observant les cotations des options, on constate que le strike le plus faible est de l’ordre de 90% du cours du sous-jacent. Nous choisissons donc de déterminer l’allocation stratégique d’actifs dans trois cas : options à la monnaie, options en dehors de la monnaie avec un strike égale à 95% du cours, et options en dehors de la monnaie avec un strike égale à 90% du cours. Remarque La part « action » correspond à la part d’actions et à la part d’options sur actions, la part

« option » correspond à la part d’options à l’intérieur de la poche action. Autrement dit, si la part d’actions est 10% et la part option est 6% alors le portefeuille contient

d’actions et %4.9%94%10 =× %6.0%6%10 =× d’options sur actions.

• Option à la Monnaie


Fonds Propre

Monétaire Obligataire Action Options Actions

Proba de Ruine Ann

Rendement sur FP

S0 6.5% 9% 88% 3% 1% 0.85% 2.21% S1 12.5% 10% 81% 9% 5% 2.24% -0.73% S2 13% 10% 81% 9% 4% 2.37% -0.62%


Fonds


Options Actions

Proba de Ruine 1an

Rendement sur FP

S0 4% 10% 85% 5% 3% 2.52% 1.30% S1 13% 10% 74% 16% 1% 0.30% -1.14% S2 11.5% 10% 75% 15% 2% 0.67% -1.45%

109


• Option en dehors de la Monnaie – Strike = 95% Cours


Fonds Propre


Proba de Ruine Ann

Rendement sur FP

S0 6.5% 7% 87% 6% 6% 0.89% 2.42% S1 12.5% 10% 80% 10% 6% 1.82% -0.30% S2 12.5% 10% 77% 13% 8% 2.19% -0.18%


Fonds


Options Actions

Proba de Ruine 1an

Rendement sur FP

S0 4% 9% 83% 8% 6% 2.40% 1.36% S1 10.5% 10% 66% 24% 6% 0.56% -1.16% S2 10.5% 10% 67% 23% 6% 0.62% -1.14%

• Option en dehors de la Monnaie – Strike = 90% Cours


Fonds Propre


Proba de Ruine Ann

Rendement sur FP

S0 6.5% 9% 86% 5% 6% 0.74% 2.39% S1 12.5% 10% 81% 9% 7% 1.93% -0.56% S2 12.5% 10% 79% 11% 6% 2.41% -0.39%


Fonds


Options Actions

Proba de Ruine 1an

Rendement sur FP

S0 4% 9% 85% 6% 5% 2.55% 1.32% S1 11% 10% 72% 18% 4% 0.63% -1.24% S2 11% 9% 72% 19% 5% 0.69% -1.22%

INTERPRETATION On tire les mêmes conclusions qu’à la partie 3 : 1. L’impact du modèle à états n’est pas significatif. 2. La prise en compte de l’inflation ajoute un risque sur les taux, qui se traduit par une augmentation de

l’investissement en actions. Cette augmentation est plus élevée lorsque l’horizon du critère de ruine correspond à l’horizon d’investissement.

3. Les niveaux de fonds propres relatifs aux modèles avec inflation sont toujours élevés, ce qui semble

logique puisque aucune couverture sur les taux n’a encore été mise en place. On constate tout de même

110


une légère diminution des fonds propres avec la probabilité de ruine annuelle. Le besoin en FP pour respecter une probabilité de ruine annuelle de 10% est passé de 14% (sans option) à une valeur proche de 11% (avec options).

4. La prise en compte des options sur actions a permis d’augmenter la part d’actions. Par exemple pour les

modèle avec inflation, si on considère le critère de ruine à horizon 1 an, on constate que la part d’actions est passée de 5% à environ 10%.

En revanche, si on considère une probabilité de ruine annuelle égale à 10%, l’augmentation de la part d’actions dépend du strike envisagé. Pour des options à la monnaie il n’y a pas de changement significatif, mais si le strike est égale à 95% du cours alors la part d’action passe de 14% (sans option) à 23% (avec options).

Les options sur actions ont donc remplie leur rôle : diminution du risque des actions permettant un investissement en actions plus important. On constate cependant qu’avec les options à la monnaie les changements ne sont pas significatifs, ce qui est certainement lié au coût de celles-ci. On peut penser que les options dont le strike est égale à 95% du cours correspondent à un bon compromis entre le niveau de couverture et le coût de la couverture. En effet, c’est avec ces options que l’allocation optimale contient le plus d’actions, et que le rendement sur fonds propres est le plus élevé. Le choix du strike est propre à chaque assureur, il dépend de son aversion pour le risque. Certains assureurs préfèreront payer plus afin de diminuer plus fortement la volatilité de leurs résultats, alors que d’autres opteront pour des solutions moins onéreuses mais avec un risque plus élevé. Les fonctions d’utilité peuvent être utilisées pour départager les cas envisagés, et retenir une solution optimale. Il en existe de nombreuses qui dépendent de chaque individu. On peut par exemple utiliser la fonction suivante, exprimant l’utilité de l’assureur en fonction de son espérance de rendement sur fonds propres et de la volatilité de ce rendement :

( ) ( )RREU λσ−= La valeur de cette fonction dépend du coefficient d’aversion pour le risque λ , propre à chaque assureur. Si

0=λ , autrement dit si l’assureur n’est pas sensible au risque, cette fonction le conduira à retenir l’allocation fournissant le rendement sur fonds propres maximal. Dans notre cas, il s’agit des options dont le strike est égale à 95% du cours. En utilisant la fonction d’utilité ci-dessous, pour un critère de ruine à horizon 1 an, un assureur ayant un coefficient d’aversion pour le risque inférieur à 0.3 choisira un strike égale à 95% du cours, si son coefficient est supérieur à 0.3 alors il investira dans des options dont le strike est égale à 90% du cours. Si le critère est une probabilité de ruine annuelle inférieure à 10%, le choix du strike en fonction du coefficient d’aversion pour le risque est le suivant :

• Si 2.00 <≤ λ alors Strike = 95% Cours ; • Si 4.02.0 <≤ λ alors Strike = 90% Cours ; • Si 14.0 ≤≤ λ alors Strike = Cours.

111


Remarque Il ne s’agit que d’un exemple, les résultats dépendent de chaque assureur. L’autre objectif des options est de diminuer la probabilité de ruine de l’assureur. Les graphiques suivants confrontent les probabilités de ruine annuelle pour différentes parts d’options :

Graphique 4.5 : Probabilités de Ruine Annuelle en fonction de la part d’Options Sans Inflation

0%

20%

40%

60%

80%

0% 5% 10% 15% 20% 25%Part Action

0%2%4%6%8%

Avec Inflation

20%

40%

60%

80%

100%

0% 5% 10% 15% 20% 25%Part Action

0% 2%4% 6%8%

Remarque L’axe des abscisses représente la part d’action, la part de monétaire est fixée à 10%, et le

niveau des fonds propres est 4% de la PM. Chaque Courbe représente une part d’options sur actions. Nous avons pris le cas des options à la monnaie.

Lorsqu’il y a peu d’actions on ne constate pas de diminution de la probabilité de ruine, en revanche plus la part d’action est importante et plus la diminution de la probabilité de ruine est importante. Les allocations sans inflation sont constituées de 5-6% d’actions donc l’impacte des options sur le niveau des FP est négligeable. Il est sensiblement plus important pour le modèle avec inflation puisque les parts actions sont de l’ordre de 15 à 20%. Ceci étant, les fonds propres restent élevés car l’essentiel du risque de ruine provient des produits de taux, présent à plus de 70% dans les portefeuilles optimaux. Si nous souhaitons diminuer le niveau des fonds propres, pour une même probabilité de ruine, il est capital de mettre en place une couverture sur les taux.

112


2.2 OPTIONS SUR FUTURES

Les résultats sont résumés dans les tableaux suivants :


Fonds

Propres Monétaire Obligataire

Options Futures

Action Proba de

Ruine Ann Rendement

sur FP S0 3% 10% 88% 1% 2% 1.91% 2.56% S1 2.5% 10% 87% 2% 3% 14.51% 4.75% S2 2.5% 10% 87% 2% 3% 14.9% 4.78%


Fonds

Propres Monétaire Obligataire

Options Futures

Action Proba de

Ruine 1 an Rendement

sur FP S0 2.5% 10% 88% 1% 2% 0.87% 2.31% S1 3% 10% 87% 2% 3% 0.01% 4.71% S2 3% 10% 87% 2% 3% 0.01% 4.74%

INTERPRETATION 1. L’impact du modèle à états n’est pas significatif.

2. Pour un même modèle, l’allocation obtenue est la même quelque soit le critère envisagé. La seule différence se trouve au niveau des fonds propres : plus la probabilité de ruine exigée est faible et plus le besoin en fonds propres est élevé. Le critère à horizon 8 ans permettant de respecter les exigences de Solvabilité II (probabilité de ruine à 1 an inférieure à 0.5%) est une probabilité de ruine annuelle inférieure à 15%.

3. Pour le modèle avec inflation, la part d’action a nettement diminué au profit des obligations. Pour une probabilité de ruine annuelle inférieure à 10%, l’allocation optimale contenait 14% d’actions lorsque la couverture des taux n’était pas prise en compte, cette part est maintenant de 3%.

4. Lorsque l’inflation est prise en compte, la part d’options sur futures est plus importante. Le résultat n’est pas surprenant, il vient du fait qu’avec l’inflation les taux sont plus risqués et donc demande une couverture supérieure.

5. Les fonds propres ont retrouvé un niveau raisonnable. Notons que dans chaque cas le niveau des fonds propres est inférieur à celui prévu par la réglementation actuelle.

Les graphiques suivants présentent les probabilités de ruine annuelle des modèles avec inflation et sans inflation pour différentes parts d’options sur futures.

113


Graphique 4.5 : Probabilités de Ruine Annuelle en Fonction de la Part d’Options sur Futures

Sans Inflation

0%

20%

40%

60%

80%

100%

0% 5% 10% 15% 20% 25%Part Action

0%1%2%3%4%5%

Avec Inflation

0%

20%

40%

60%

80%

100%

0% 5% 10% 15% 20% 25%Part Action

0%1%2%3%4%5%

Pour le modèle sans inflation, on constate que la probabilité de ruine diminue pour 1% et 2% d’options. En revanche si la part d’options sur futures est supérieure à 3% elle augmente. La probabilité de ruine est minimale pour environ 1% d’options. Si l’inflation est modélisée, la probabilité de ruine diminue nettement quelque soit la part d’options sur futures. Cette probabilité est minimale pour environ 2% d’options

2.3 OPTIONS SUR FUTURES ET OPTIONS SUR ACTIONS

Cette partie présente les résultats du programme MFPE lorsque les deux types d’options sont envisagés. Les résultats sont présentés uniquement pour les options sur actions dont le strike est égale à 95% du cours.


Fonds

Propres Monét. Oblig.

Options Futures

Action Options Actions

Proba Ann

Rdt sur FP

S0 3% 10% 86% 1% 4% 6% 1.99% 2.83% S1 2% 10% 85% 2% 5% 7% 18.44% 5.21% S2 2% 10% 85% 2% 5% 7% 18.93% 5.25%


Fonds

Propres Monét. Oblig.

Options Futures

Action Options Actions

Proba à 1 an

Rdt sur FP

S0 2% 10% 86% 1% 4% 6% 2.54% 2.33% S1 3% 10% 85% 2% 5% 7% 0.00% 4.99% S2 3% 10% 85% 2% 5% 7% 0.00% 5.02%

114


INTERPRETATION On tire les mêmes conclusions qu’au 2.2, à la seule différence que la part d’action a légèrement augmenté grâce aux options sur actions. Pour le modèle sans inflation (S0), elle est passée de 2% à 4%, et pour le modèle avec inflation (S1 et S2), elle est passée de 3% à 5%. On constate d’autre part que le rendement sur fonds propres maximal est obtenu lorsque les deux types d’option sont pris en compte. Une probabilité de ruine annuelle à horizon 8 ans inférieure à 20% permet de respecter le calcul du SCR recommandé par Solvabilité II. Néanmoins, un niveau de ruine annuelle égal à 20% paraît élevé, ce qui nous laisse penser que la méthode préconisée par Solvabilité II n’est pas adaptée aux assureurs de long terme. Si l’assureur ne tient pas compte de son horizon d’investissement, le besoin en fonds propres est relativement faible, ce qui le met dans une position risquée à long terme. Ces conclusions nous enseignent qu’il est dans l’intérêt des assureurs de long terme d’intégrer leur horizon d’investissement à leur politique d’allocation d’actifs afin de mieux maîtriser leurs risques. Les graphiques suivants présentent les probabilités de ruine, en fonction de la part d’action, du modèle sans inflation et du modèle avec inflation. La part de monétaire est égale à 10% et les fonds propres sont égaux à 4%. Chaque courbe correspond à des parts d’options sur actions et d’options sur futures fixes.

Graphique 4.6 : Probabilités de Ruine Annuelle en Fonction des Parts d’Options

Sans Inflation

0%

20%

40%

60%

80%

100%

0% 5% 10% 15% 20% 25%Part Action

Sans CouverureOF=1%OA=6%OA=6% - OF=1%

Avec Inflation

0%

20%

40%

60%

80%

100%

0% 5% 10% 15% 20% 25%Part Action

Sans CouvertureOF=2%OA=6%OA=6% - OF=2%

Si l’inflation n’est pas modélisée, ce sont les options sur actions qui participent majoritairement à la baisse de la probabilité de ruine. Sauf pour une part d’actions faible vis-à-vis de la part des produits de taux. Si l’inflation est modélisée, on constate l’inverse : les options sur futures procurent une baisse plus importante de la probabilité de ruine.

115


Dans les deux cas, la combinaison des deux types d’options conduit à une probabilité de ruine encore plus faible.

116

CONCLUSION Ce mémoire se plaçait dans le domaine de l’assurance vie à long terme, et plus particulièrement dans le cas d’un contrat d’épargne en euros de durée 8 ans. Nous avons décomposé l’actif en trois supports d’investissement : le monétaire, l’obligataire et les actions, et nous avons mis en place un générateur de scénarios économiques à l’aide de modèles stochastiques, dans le but de modéliser l’actif. L’objectif de l’étude était de définir une allocation stratégique d’actifs dans le cadre du nouveau référentiel Solvabilité II, et d’étudier l’impact du risque inflation sur cette allocation. Ainsi, nous avons construit un simulateur prenant en compte le risque inflation indépendamment du risque de taux, et un simulateur ne prenant pas explicitement en compte le risque inflation, ce dernier étant directement intégrer au risque de taux. Dans les circonstances économiques actuelles, les investisseurs craignent un retour à un état inflationniste, comme celui qu’à connu la France après les années 70. Pour les assureurs de long terme, cela engendrerait des pertes considérables. En effet, un tel scénario pourrait altérer de manière non négligeable le rendement des produits de taux, dans lesquels l’actif des assureurs est investit à plus de 70%. Nous avons donc fait le choix de modéliser l’inflation à l’aide d’un modèle à changement d’états, permettant de prendre en compte le retour à un état inflationniste avec une probabilité non nulle. Les résultats ont montré que le critère induit par Solvabilité II conduit l’assureur à détenir une part d’action plus faible que s’il prend en compte son horizon d’investissement. Ce résultat est accentué lorsque l’inflation est modélisée, car le risque des obligations est plus élevé. Avec la prise en compte de l’inflation, la part d’action est multipliée par environ 3 lorsque l’horizon d’investissement intervient (Cf. Tableau 3.1 à 3.4). Les résultats de l’allocation avec couverture financière sur les taux et les actions ne présentent pas de différence suivant que l’horizon soit pris en compte ou non. En revanche, l’allocation optimale résultant du modèle avec inflation présente une part d’actions légèrement supérieure à celle du modèle sans inflation, bien que la différence ne soit pas aussi significative que lorsque la couverture n’était pas prise en compte. Nous retiendrons également que le critère induit par Solvabilité II correspond à une probabilité de ruine annuelle proche de 20% lorsque l’inflation est prise en compte (Cf Tableau 4.9). Ainsi ce critère peut conduire les assureurs de long terme à opter pour des positions plus risquées que s’ils prennent en compte leur horizon d’investissement. D’autre part, nous avons pu constater que les contrats d’épargne en € sont des produits très risqués pour les assureurs, et que dans le contexte actuel (taux relativement bas), les assureurs peuvent rencontrer des difficultés pour servir le rendement garanti aux assurés. C’est la raison pour laquelle nous assistons ces dernières années au développement des produits en unités de compte pour lesquels le risque est porté par les assurés.

117

Concernant l’impact d’un modèle à états pour l’inflation, nous n’avons pas constaté de différence notoire dans les allocations entre les modèles à un état et à deux états. Ce résultat pourrait être lié aux probabilités de transitions, dont les valeurs estimées sont très faibles (Cf. Annexe 6). Par curiosité, nous avons déterminé l’allocation d’actifs en prenant des probabilités plus élevées. Les résultats ont montré que plus la probabilité de passer d’un état stable à un état inflationniste est élevée, autrement dit plus le risque inflation est élevé, et plus la part optimale d’action est élevée. Par exemple, pour une probabilité de transition égale à 10%, la part d’action s’élève à 7%, contre 5% lorsque la probabilité est celle estimée sur les données historiques. Il faut donc garder en tête que les estimations sont réalisées sur des données historiques ne reflétant pas forcément le futur. Ainsi, dans un contexte économique où un scénario inflationniste deviendrait très probable, une probabilité de transition élevée serait plus en adéquation avec la réalité. Afin d’être cohérent, l’assureur doit adapter son modèle aux évolutions économiques, réglementaires, ou bien encore aux politiques des états en matière d’inflation.

118

ANNEXES

119

1 LE LEMME D’ITO Soient un espace probabilisé muni d’une filtration et ( )( ΡΩ ≥ ,,, 0ttFF ) ( ) 0≥ttW un -mouvement

brownien standard. On appelle processus d’Itô, un processus tF

( ) TttX ≤≤0 à valeurs réels tel que :

∫∫ +++=≤∀Ρt

uu

t

ut dWHduKXXTtps00

0 -

Avec - est -mesurable, 0X 0F

- ( ) et des processus adaptés à , TttK ≤≤0 ( ) TttH ≤≤0 tF

- psduKT

u −Ρ+∞<∫ 0

- psduHT

u −Ρ+∞<∫ 0

2

Soient un processus d’Itô, et ( ) TttX ≤≤0 ( ) ( )xtfxtf ,,: → une fonction deux fois continûment

différentiable en x et une fois continûment différentiable en t , de dérivées continues en , alors : ( xt, )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ +++=t

uuuu

t

uuu

t

uut XXdXfdXXufduXufXfXtf0

''

0

'

0

'0 ,

21,,,0,

Où, par définition :

∫=t

utduHXX

0

2,

Et :

( ) ( ) ( )∫∫∫ +=t

uuuu

t

uuu

t

uuu dWHXufduKXufdXXuf0

'

0

'

0

' ,,,

120

2 LES TESTS DE VALIDITE DES MODELES Notons ( )iε la série des résidus du modèle considéré.

• Autocorrélation des Résidus

Il existe 2 tests permettant de tester l’auto corrélation des résidus. Le test de DURBIN-WATSON qui teste uniquement l’autocorrélation d’ordre 1, et le test de LJUNG-BOX qui teste la nullité des autocorrélations jusqu’à l’ordre , pour un lag donné. p p Le Test de DURBIN-WATSON

Le modèle autorégressif suivant est utilisé :

iii u+= −1ρεε

Où les sont des variables i.i.d de loi gaussienne iu ( )2,0 uN σ .

Le test consiste à tester l’hypothèse 0:0 =ρH contre 0:1 ≠ρH . La statistique utilisée est la statistique

de DURBIN-WATSON :

( )

∑

∑

=

=−−

= n

ii

n

iii

d

0

2

1

21

ε

εε

Cette loi est tabulée en fonction du niveau du test et du nombre de résidus. n Généralement, on ne rejette pas lorsque la valeur de la statistique est proche de 2. 0H Le Test de LJUNG-BOX

Soit p le rang fixé. Pour , on note pk ,...,0= ( )( )( )

( )∑

∑

=

−

=+

−

−−= n

ii

kn

ikii

k

1

2

1ˆεε

εεεερ où ∑

=

=n

iin 1

1 εε .

Le teste consiste à tester ( ) 0ˆ:0 pktoutpourkH ≤=ρ contre L’alternative. La statistique de

test est :

:1H

∑= −

+=p

k knknnpQ

1

)(ˆ)2()( ρ

Sous , suit une loi du . 0H )( pQ )1(2 −pχSoit α le niveau que l’on se fixe. Si la p-value associé au test est supérieure à α , alors on accepte l‘hypothèse nulle, ie les résidus ne sont pas auto corrélés.

121

• Normalité des Résidus

Le test de JARQUE BERA consiste à tester l’hypothèse Les données suivent une loi normale contre

L’alternative. La statistique de teste est :

:0H

:1H

)4

)²3(²(6

−+=

KSnJB

Où est le nombre d’observations n

est le coefficient d’asymétrie de la série de données S2

3

2

31

μ

μγ =

K est le coefficient de kurtosis de la série de données 22

42 μ

μβ =

Et ( )∑=

−=n

i

jij n 1

1 εεμ .

Asymptotiquement, sous , la statistique de Jarque-Bera suit une loi du Chi-2 à deux degrés de

liberté. La statistique de Jarque-Bera prend des valeurs d’autant plus élevées que l’écart entre la distribution empirique et la loi normale est manifeste.

0H )(JB

Soit α le niveau que l’on se fixe. Si la p-value associé au test est supérieure à α , alors on accepte l‘hypothèse nulle, ie les résidus sont gaussiens. Le coefficient d’asymétrie (skewness) est nul pour une distribution parfaitement symétrique, inférieur à zéro si la distribution est oblique à droite (queue de distribution étalée vers la gauche), et supérieur à zéro si la distribution est oblique à gauche (queue de distribution étalée vers la droite). Le coefficient de kurtosis mesure l’aplatissement d’une courbe. Si celui-ci est égal à 3, la distribution est une loi normale standard, on parle de distribution mésokurtique. Si le coefficient est supérieur à 3, la distribution est dite leptokurtique, s’il est inférieur à 3, elle est dite platikurtique.

122

3 GENERATEUR DE VARIABLE ALEATOIRES Dans ce mémoire, les variables aléatoires ont été générées à l’aide d’un générateur congruentiel linéaire. La Loi Uniforme

Le générateur permet de simuler une suite de variables aléatoires uniformes sur [ ]1,0 . Il fonctionne avec 4 paramètres :

• , le module m• , le multiplicateur a• , l’incrément c• , la valeur de départ 0X

On obtient alors une séquence ( d’entiers aléatoires compris entre 0 et de la façon suivante : )iX m

mcaXX nn mod )(1 +=+ , 0≥n En divisant chaque nombre par le module , on se ramène sur l’intervallem [ ]1,0 . Le choix des paramètres est déterminant pour la construction de l’échantillon. En effet, ces méthodes fournissent des cycles de nombres qui se répètent sans fin. Il est ainsi primordial d’avoir la période la plus grande possible pour permettre de constituer la plus grande chaîne sans répétition. Nous utiliserons le générateur suivant, établi par LAVAUX et JANSSENS [9] :

481 2 mod )131167285( +=+ nn XX

La Loi Gaussienne

Pour générer une suite de variables aléatoires suivant une loi de Laplace-Gauss, nous utilisons l’algorithme de Box-Muller : Soient U etV deux variables aléatoires indépendantes de loi uniformes sur [ ]1,0 , posons :

)2cos()ln(2

)2sin()ln(2

VUZ

VUY

π

π

−=

−=

Alors, Y et Z sont deux variables aléatoires indépendantes de loi gaussienne standard.

123

4 CALCUL DES TAUX ZC On note le taux ZC et le taux actuariel pour une maturité i (année), ir ix Nous disposons des taux actuariels , et nous souhaitons déterminer les taux ZC . 101 ,..., xx 101 ,..., rr Le prix d’une obligation de maturité T distribuant un coupon est donné par : c

( ) ( ) ( ) ( )∑∑== +

++

=+

++

=T

iT

Ti

T

T

iT

Ti

iT xx

crr

cP11 1

10011

1001

On suppose que . 11 xr = Calcul de : 2r

( ) ( ) ( ) ( )222

22

11

2 1100

11100

1 xc

xc

rc

rcP

++

++

=++

++

= donc ( )

( )112

22

1

1001

rcP

cr

+−

+=+ et :

( )

1

1

100

11

2

2 −

+−

+=

rcP

cr

Calcul de : 3r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33

233

33

221

3 1100

111100

11 xc

xc

xc

rc

rc

rcP

+

++

++

+=

++

++

++

=

donc ( )

( ) ( )221

3

33

11

1001

rc

rcP

cr

+−

+−

+=+ et

( ) ( )

1

11

100

31

221

3

3 −

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

+−

+=

rc

rcP

cr

D’une façon générale, on obtient :

( )

1

1

100

1

1

1

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

+=

∑−

=

T

T

ii

iT

T

rcP

cr

Où ( ) ( )∑

= ++

+=

T

iT

Ti

TT xx

cP1 1

1001

124

5 LES DONNEES Les données ont été récoltées sur le logiciel BLOOMBERG. Il s’agit d’une vaste base de données rassemblant les données de la bourse en temps réel. Les séries suivantes ont été utilisées en fréquence mensuelle, sur une période s’étalant de Janvier 1995 à Juin 2009. Taux Nominal 1 an : Taux d’emprunt de l’état allemand 1 an.

Taux Nominal 10 ans : Taux d’emprunt de l’état allemand 10 ans.

Taux Réel 1 an : Taux d’emprunt réel de l’état allemand 1 an. Cette série est obtenue en retranchant l’inflation allemande à la série des taux d’emprunt 1 an de l’état allemand.

Taux Réel 10 ans : Taux d’emprunt réel de l’état allemand 10 ans. Cette série est obtenue en retranchant l’inflation allemande à la série des taux d’emprunt 10 ans de l’état allemand.

Rendement Action : Rendement du DAX, l’indice de référence de la bourse allemande.

Volatilité Action : Volatilité implicite du DAX.

La série inflation est obtenue à partir de l’indice des prix à la consommation des ménages français de Janvier 1960 à Juin 2009, publié mensuellement :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−1

lnt

tt IPC

IPCInflation

Nous obtenons donc une série de inflation annuelle française, en fréquence mensuelle, sur une période s’étalant de Janvier 1961 à Juin 2009.

125

6 RECAPITULATIF DES ESTIMATIONS Le tableau suivant rassemble les estimations de chaque modèle :

Récapitulatif des Estimations

TR 1 an TN 1 an TR 10 ans TN 10 ans Action

1k 0.796 0.709 10k 0.580 0.456 μ 8.54%

1r 1.541% 2.817% 10r 2.886% 4.045% λ 0.088

1rσ 1.084% 0.712%

10rσ 1.071% 0.685% θ 0.0651

δ 3.288%

Inflation

1α 0.133 2α 0.541

1y 2y 8.128% 1.956%

1σ 1.848% 2σ 0.908%

12P 0.291% 21P 0.479%

Corrélations

Inflation TR 1 an TR 10 ans Rdt Action Volatilité Inflation 1 TR 1 an -25% 1

TR 10 ans -31% 78% 1 Rdt Action 11% 16% 17% 1 Volatilité -15% -11% -10% -55% 1

TN 1 an TN 10 ans Rdt Action Volatilité

TN 1 an 1 TN 10 ans 52% 1 Rdt Action 42% 12% 1 Volatilité -25% -26% -55% 1

126

7 ALGORITHME D’APPROXIMATION DU MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE POUR LE MODELE DE L’INFLATION

Le programme contient plusieurs étapes : la première consiste à chercher de façon grossière une valeur pour chacun des paramètres, les autres étapes affinent la recherche. Exemple de calcul

Etape Valeurs Testées Résultats a 0.005 et 0.005 0.005 0.01 0.015 0.02

b 0.8 et 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 σ 0.005 et 0.005 0.005 0.01 0.015 0.02

P 0.2 et 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0.005 et 0.003

1a et 2a 0.001 0.003 0.005 0.007 0.009

0.7 1b 0.7 0.8 0.9

0.1 2b2 0.1 0.2 0.3

0.007 et 0.003 1σ et 2σ 0.001 0.003 0.005 0.007 0.009

0.2 et 0.1 12P et 21P 0.1 0.2 0.3

0.004 1a 0.004 0.005 0.006

0.004 2a 0.002 0.003 0.004

0.75 1b 0.65 0.7 0.75

0.05 2b 0.05 0.1 0.15

3 0.006

1σ 0.006 0.007 0.009

0.004 2σ 0.002 0.003 0.004

0.15 12P 0.15 0.2 0.25

0.05 21P 0.05 0.1 0.15

0.004 et 0.0045 1a et 2a 0.0035 0.004 0.0045

0.77 1b 0.71 0.73 0.75 0.77 0.79

0.01 2b 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09

0.0065 1σ4 0.0055 0.006 0.0065

0.004 2σ 0.0035 0.004 0.0045

0.13 12P 0.11 0.13 0.15 0.17 0.19

0.05 21P 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09

0.004 1a5 0.0036 0.0038 0.004 0.0042 0.0044

0.0043 2a 0.0041 0.0043 0.0045 0.0047 0.0048

0.77 1b 0.76 0.77 0.79

0.01 2b 0.01 0.02 0.03

0.0063 1σ 0.0061 0.0063 0.0065 0.0067 0.0069

0.0038 2σ 0.0036 0.0038 0.004 0.0042 0.0044

127

0.12 12P 0.12 0.13 0.14

0.04 21P 0.04 0.05 0.06

0.004 1a 0.0039 0.004 0.0041

0.0043 2a 0.0042 0.0043 0.0044

6 0.0063

1σ 0.0062 0.0063 0.0064

0.0038 2σ 0.0037 0.0038 0.0039

Au total, 5 affinements sont effectués, ce qui conduit le programme à calculer 224 053 vraisemblances.

128

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Université Pierre et Marie Curie - ressources …...Université Pierre et Marie Curie PROMOTION 2009 Mémoire présenté devant l’Institut de Statistique de l’Université Pierre