UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO Dipartimento di Ingegneria Corso di Economia e Organizzazione Aziendale … EOA 7. Introduzione all... · Università degli Studi di Bergamo Dipartimento

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO

Dipartimento di Ingegneria

Corso di Economia e Organizzazione Aziendale Allievi Meccanici

Stefano Pedrini, PhD

Introduzione all’Analisi degli Investimenti

Università degli Studi di Bergamo Dipartimento di Ingegneria

Economia e Organizzazione aziendale (Meccanica)

Sommario della lezione

• Matematica finanziaria

– Valore temporale e costo opportunità del capitale

– Valore futuro e composizione degli interessi

– Attualizzazione a valore attuale

– Annuity e Perpetuity

– Piano di ammortamento del debito

– Tassi nominali vs Tassi reali

• Analisi degli investimenti

– Valutazione dei flussi di cassa

– Overview tecniche di valutazione degli investimenti

Introduzione all’Analisi degli Investimenti pagina 2



Matematica finanziaria – Valore temporale del capitale

• Valore temporale del capitale: tiene conto del fatto che 1 € disponibile oggi può essere investito per generare nel futuro un ritorno positivo; pertanto è valutato più di 1 € disponibile domani.

• Esempio: se è possibile investire € 100 al 10% annuo, € 100 oggi diventano € 110 tra un anno.

Al 10%, € 110 tra un anno hanno lo stesso valore di € 100 oggi!

• Se r è il tasso di interesse annuo e C il capitale, l’investimento cresce di 1 + r per ogni € investito. In formule:

C ---> C (1 + r)


1 € di oggi vale più, meno o come 1 € tra un anno?



Matematica finanziaria – Costo opportunità del capitale

• Costo opportunità del capitale: definito come il miglior rendimento alternativo a cui si rinuncia quando viene effettuato un investimento.

• Esempio: vi propongono due opportunità di investimento:

– Investire 100.000 € oggi in un progetto per avere tra un anno un ritorno atteso di 110.000 €

– Investire in titoli di stato al tasso annuo del 3%

• Investendo nel progetto avete un rendimento atteso del 10%, ma rinunciate al rendimento offerto dall’impiego alternativo del capitale (3%), che pertanto costituisce il vostro costo opportunità del capitale.

• Nella realtà, con diverse opportunità di investimento, il confronto deve essere effettuato tra investimenti caratterizzati dal medesimo profilo di rischio.




Matematica finanziaria – Valore futuro (FV)

• Valore Futuro (FV): Il Valore Futuro è l’ammontare raggiunto da una somma di denaro, come conseguenza della maturazione di interessi in un determinato periodo.

• Esempio: Singolo Periodo Investite € 1.000 al 12% annuo. Qual è il valore futuro tra un anno?

FV = € 1.000 x (1 + 0.12) = € 1.120

determinato dalla somma iniziale di € 1.000 più € 120 di interessi [12%(€ 1000) = 120]




Matematica finanziaria – Composizione degli interessi

• Composizione degli interessi Qual è il Valore Futuro di € 1,000 investiti per 2 anni al 12% annuo?

– Dopo un anno avete € 1.120 [€ 1.000 x (1 + 0.12)]

– Questa somma viene investita per un altro anno, sempre al 12%. Alla fine del secondo anno avete pertanto:

FV = € 1.120 x 1,12 = € 1.000 x 1,12 x 1,12 = € 1.254,4

– Nel secondo periodo la crescita del capitale è pari a

€ 1.254,4 – € 1.120 = € 134,4

– Così composto:

• 12% sulla somma iniziale (€ 1.000): € 120,0

• 12% sugli interessi del primo anno (€ 120): € 14,4

€ 134,4





• Composizione degli interessi Il calcolo egli interessi viene effettuato anche sugli interessi maturati nei periodi precedenti:

• Se si investe ad un tasso annuo r per t anni, il valore futuro di ogni € investito è pari a:

(1 +r) x (1 + r) x …. x (1 + r) = (1 +r)t

• Esempio:

a. Interesse composto - t periodi Il valore futuro di € 1.000 investiti al 12% annuo per 6 anni è:

FV = € 1.000 x (1,12)6 = € 1.973,8

b. Interesse semplice – gli interessi vengono calcolati solamente sulla somma iniziale

FV = € 1.000 x (1+0.12*6) = € 1.720




Interesse composto: (1 +r) x …. x (1 + r) = (1 +r)t

Interessi su €1000 dopo t anni (€)

r t= 1 t= 5 t= 10 t= 20

10% 100 610.5 1,583.7 5,727.5

20% 200 1,488.0 5,191.7 37,337.6

2x 2.4x 3.3x 6.5x


0

10000

20000

30000

40000

0 5 10 15 20 25

r=10%

r=20%




Matematica finanziaria – Valore Attuale (VA)

• Attualizzazione e Valore Attuale (VA) Qual è il valore oggi di € 2.000 tra 5 anni, all’11% annuo?

• Esempio: Attualizzazione - 1 periodo

– Quanto si deve investire oggi con un tasso annuo dell’11% per ottenere € 2.000 tra un anno?

– La risposta a questa domanda è il Valore Attuale di € 2.000 tra un anno all’11%

– Sappiamo dalle formule del valore futuro che VA x 1.11 = € 2.000

– pertanto VA = € 2.000 = € 1.801,8

1,11

• Esempio: Attualizzazione - t periodi

– per ottenere € 2.000 tra 5 anni?

VA x (1,11)5 = € 2.000 VA = € 2.000/ (1,11)5 = € 1.186,9





• Attualizzazione e Valore Attuale (VA)

VF = VA (1 + r)t

– Quattro variabili: VF, VA, r, t

– Date 3 qualsiasi di esse è possibile risolvere per la quarta

r = [VF/VA]1/t – 1

t = lnVF – lnVA = ln (VF/VA)

ln(1 + r) ln(1 + r)

VA = VF

(1 + r)t





• Attualizzazione e Valore Attuale (VA)

PV = FV / (1 + r)t

• Esempio:

– Se il vostro investimento raddoppia in 5 anni, qual è il tasso annuo?

r= (2/1)1/5 – 1 = 0,1487 = 14,87%

– Ad un tasso del 30% quanto tempo ci vuole affinché l’investimento raddoppi?

t= ln(2/1) / ln(1,3)= 2,64 years




Matematica finanziaria – Future Value (FV) e Valore Attuale (VA)

Valore Attuale (VA)

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0 5 10 15

Time

PV

Fa

cto

rr = 5%

r = 10%

r = 15%

Valore Attuale (VA)

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0 5 10 15

Time

PV

Fa

cto

rr = 5%

r = 10%

r = 15%

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

0 5 10 15

Time

FV

Facto

r

r = 15%

r = 5%

r = 10%

Future Value (FV)

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

0 5 10 15

Time

FV

Facto

r

r = 15%

r = 5%

r = 10%

Future Value (FV)




Matematica finanziaria – Flussi di cassa multipli

• Flussi di cassa multipli

• Esempio: r = 9% con flussi di cassa alla fine del periodo

Anno 1 4 6

Flusso (€) 2.500 900 3.600


– Qual è il VA della serie e qual è il VF dopo sette anni?

VA (PV) = 2.500 + 900 + 3.600 = 5.077,7

(1,09)1 (1,09)4 (1,09)6

VF (FV) = 2.500 (1,09)6 + 900 (1,09)3 + 3.600 (1.09)1 = 9.282,3

= PV (1 + r)t = 5.077,7 (1,09)7 = 9.282,3



Matematica finanziaria – Annuity

• Annuity: Serie di flussi di cassa regolari e costanti in un periodo.

– Qual è il VA di una serie di flussi costanti C per t anni al tasso r?

VA = C + C + C + … + C + C

(1 +r)1 (1 +r)2 (1 +r)3 (1 +r)t-1 (1 +r)t

moltiplicando per (1+r):

(1+r) VA = C + C + C + … + C + C

(1 +r)1 (1 +r)2 (1 +r)t-2 (1 +r)t-1

sottraendo la (1) dalla (2) si ottiene:

r VA = C – C/(1+r)t VA = C {1 – [1/(1+r)t]}

r


(1)

(2)



11*

1*1

11*FV

sum) (lump 1*FV

1

11*

t

t

t

t

t

rr

C

rrr

C

rPV

rr

CPV


• Annuity:

VA = C {1 – [1/(1+r)t]}

r




• Annuity: Numero di pagamenti / flussi di cassa


r

C

rFV

t

C

rFVrtr

rC

rFV

rr

CFV

t

t

t

1ln

*1ln

*1ln1ln*1ln

1*

1

11*




1

11*

trr

CPV

Present Value

11* t

rr

CFV

Future Value

rC

rFV

t

1ln

*1ln

Number of payments

11

*

tr

rFVC

Cash flow

• Annuity:





• Annuity:

• Esempio

Qual è il VA di un’ annuity della durata di 6 anni con pagamenti di € 4.000 al tasso: r = 8%?

PV = C x {1 – [1/(1+r)t] } /r = 4.000 x {1 – [1/(1.08)6] } /0,08

= € 18.491,5

Prendete a prestito € 30.000 oggi al tasso del 12% e scegliete di ripagarlo con un’annuity di 10 anni. Qual è il pagamento annuale?

30.000 = C x {1 – [1/(1,12)10] } /0,12 C = 30.000/5,65

= € 5.309,5





• Esempio: Valore attuale dei rimborsi

– Miss Smart accetta di ripagare il suo prestito bancario in 24 rate mensili da € 500 ciascuna. Se il tasso di interesse applicato dalla banca è dello 0,75% su base mensile, qual è il valore attuale della serie di pagamenti?

r= 0,75%, CF= € 500, t=24

PV = C x {1 – [1/(1+r)t]}/r

PV24=500 x {1-[1/(1,0075)24]}/0,0075= € 10.944,57





Matematica finanziaria – Perpetuity

• Perpetuity si tratta di un’annuity con flussi di cassa che continuano all’infinito

VA = C + C + C + …

(1 +r)1 ( 1 +r)2 (1 +r)3

moltiplicando per (1+r) si ottiene:

(1+r) VA = C + C + C + …

(1 +r)1 (1 +r)2

sottraendo la (1) dalla (2) otteniamo:

r VA = C VA = C/r

Se i flussi crescono ad un tasso g costante VA = C/(r-g)


(1)

(2)



Matematica finanziaria – Piano di ammortamento del debito

• Piano di ammortamento del debito Suddivide ciascun pagamento nella componente di rimborso del capitale e nella componente di interessi.

• Esempio: Rimborso a rate costanti Il signor Rossi prende a prestito € 1.000 che decide di rimborsare in cinque rate annuali costanti a partire dalla fine del prossimo anno. A quanto ammonta ciascuna rata se il tasso di interesse applicato dalla banca e pari al 10% annuo?




• Esempio: Rimborso a rate costanti VA= € 1.000, t=5, r=10%, rata annuale ?


1

11*

trr

CPV

tr

rPVC

)1(1

*

8.263%)101(1

%10*000,15

C




• Piano di ammortamento del debito

0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Payment

Interest

Principal


Example Constant Payment Mortgage

Interest rate:

Payment:

Year Beg. Bal. Principal Interest payment End Bal.

1 1000,0 163,8 100,0 263,8 836,2

2 836,2 180,2 83,6 263,8 656,0

3 656,0 198,2 65,6 263,8 457,8

4 457,8 218,0 45,8 263,8 239,8

5 239,8 239,8 24,0 263,8 0,0

264

Term:

Loan amount 1.000

5

10%




Matematica finanziaria – TAN vs TAEG

• Tasso Annuo Nominale (TAN) ed Effettivo (TAEG) I tassi di interesse sono solitamente indicati su base annua (TAN), ma il calcolo degli interessi può avvenire più di una volta all’anno.

• Esempio: Investendo € 100 per un anno ad un tasso del 10%, si ottiene con:

– Composizione annuale 100 x (1,1)1 = 110 € 10 interest

– Composizione semestrale 100 x (1 +0,1/2)2 = 110,25 € 10,25 interest

– Composizione mensile 100 x (1 +0,1/12)12 = 110,47 € 10,47 interest




• Tasso Annuo Effettivo (TAE) Il tasso annuo effettivo corrispondente ad un tasso nominale del 10% è:

Componendo m volte all’anno con un TAN pari a r,

TAE = (1 + r/m)m – 1

r = m x [ (1 + TAE)1/m - 1 ]

Investendo una somma C per t anni ad un tasso annuo nominale r, con m composizioni degli interessi all’anno, il valore futuro sarà:

FV = C (1 +r/m) m x t


Compounding period TAE

semiannual monthly weekly

10.25% 10.47% 10.51%




• Tasso Annuo Nominale (TAN) ed Effettivo (TAE)

TAE = (1 + r/m)m – 1

TAN = r = m x [ (1 + TAE)1/m - 1 ]

• Esempio: Se ad un prestito è associato un TAN del 16%, qual è il tasso annuo effettivo con rimborsi su base semestrale?

Il tasso semestrale è pari a TAN/2, cioè 8%.

TAE = (1 + r/m)m – 1= (1,08)x(1,08)-1=0,1664 o 16,64%





• Esempio Qual è il valore futuro di € 25 investiti alla fine di ognuno dei prossimi tre anni se il tasso di interesse di riferimento è pari al 9% composto annualmente? Un’annuity di 25 € su tre anni al 9% può essere illustrata in questo modo:


Matematica finanziaria



• Esempio (cont.) Come cambia il risultato se il tasso annuale (9%) viene composto mensilmente?


Il totale di € 82,26 dato dalle tre

somme è maggiore del valore di €

81,95 prima calcolato per l’annuity

con composizione annuale perchè la

composizione degli interessi

all’interno dei periodi aumenta il

tasso effettivo dell’investimento.

Matematica finanziaria



• Tassi di interesse non costanti

• Esempio: Se si investe € 100 e si ottiene l’11% durante il primo anno, il 9% durante il secondo anno e il 13% durante il terzo, quale sarà il valore futuro dopo 3 anni?

FV = 100 x (1,11) x (1,09) x (1,13) = 136,72

Qual è il VA di € 100 tra 4 anni se i tassi di interesse sono l’8% (year 1), il 12% (year 2), il 6% (year 3) e il 13% (year 4)?

PV = 100 = € 69,02

(1,08) x (1,12) x (1,06) x (1,13)


Matematica finanziaria – Tassi nominali vs Tassi reali



• Tasso di interesse Reale vs Nominale

– Tasso di interesse nominale = tasso di mercato Investendo € 100 per un anno al 10% € 110

– Cosa succede se l’inflazione annuale è pari al 7%? Avete bisogno di € 107 all fine dell’anno per mantenere inalterato il potere d’acquisto dell’investimento iniziale.

– Qual è il vostro “real return”?

(1+10%)/(1+7%) = The real return is 2.8%.

Attualizzare i flussi di cassa reali con tassi reali !

Attualizzare i flussi di cassa nominali con tassi nominali !






Siano

– r il tasso di sconto reale,

– p il tasso di inflazione,

– i il tasso di sconto nominale.

Il legame tra r e i è dato dalla Relazione di Fisher:

(1+i) = (1+r) x (1+p)

È possibile utilizzare questa equazione per convertire tassi di interesse nominali in reali e viceversa.






(1+i) = (1+r) x (1+p)

• Esempio:

Si consideri una perpetuity che stacca il primo pagamento di € 100 (nominali) al periodo 4. Si supponga che i flussi di cassa crescano in termini reali del 2% (r) per periodo e che il tasso di inflazione (p) sia pari al 5%. Qual è il VA con un tasso di sconto del 10%?

• Soluzione Il tasso di crescita nominale è (1,05) x (1,02) –1 = 0,071

591,2€7513.0029.0

10010.1

071.0

3

i

CPV





ANALISI degli INVESTIMENTI




Analisi degli investimenti – Valutazione dei flussi di cassa

• I metodi per la valutazione degli investimenti devono essere in grado di fornire risposte alla seguenti domande:

1. Il progetto aumenterà il valore dell’impresa?

2. Il ritorno dell’investimento compensa adeguatamente per il rischio da sostenere?

3. Qual è la sensitività del progetto ai cambiamenti in ciascuno degli elementi di costo?

4. Le misure di profittabilità sono un buon indicatore del valore di un investimento?

5. I principi su cui si fonda l’analisi sono economicamente validi?


pagina 34




• Come si può valutare un progetto di investimento?

1. Calcolare i flussi di cassa incrementali attesi dall’investimento;

2. Calcolare gli incrementi nelle imposte associati all’attuazione del progetto;

3. Calcolare i flussi di cassa attesi “after tax”;

4. Individuare il tasso di attualizzazione appropriato;

5. Attualizzare i flussi utilizzando il tasso individuato.





• Calcolo dei flussi di cassa incrementali

– I flussi di cassa incrementali sono quei flussi che si rilevano esclusivamente in seguito all’accettazione del progetto.

– Sono questi flussi che determinano il valore del progetto stesso.

– I flussi di cassa incrementali vengono rilevati seguendo una logica di tipo “if – then”.

– “Se l’investimento viene effetuato, come cambieranno in ogni anno i flussi di cassa dell’impresa lungo tutta la vita utile del progetto?”

– La valutazione di un progetto deve prevedere la stima dei flussi di cassa su base incrementale


pagina 36




• Calcolo dei flussi di cassa incrementali: i costi

Gli attributi che una voce di costo deve possedere per essere classificata come “incrementale” sono:

1. Innanzitutto deve essere strettamente attinente all’obiettivo del business, che coincide, nei private sector, con la massimizzazione del benessere degli azionisti. Pertanto, per essere incrementale, il costo deve avere un impatto sul benessere.

2. In secondo luogo un costo incrementale deve variare a seguito di decisioni che riguardano il futuro dell’impresa. Secondo questo principio, le spese passate sono irrilevanti, in quanto il loro ammontare non cambia qualunque siano le decisioni prese per il futuro.





• Sunk cost

– Col termine sunk cost (costi affondati) si fa riferimento ai costi sostenuti dall’impresa nel passato e non più recuperabili.

– Sono la conseguenza di decisioni irrevocabili prese nel passato dall’impresa.

– Inoltre, i sunk cost non possono essere considerati costi incrementali ai fini della valutazione di un investimento, in quanto non è possibile decidere se sostenerli o meno.

– Ai fini delle decisioni presenti, devono essere considerate solamente le conseguenze future associate alle diverse alternative, ovvero ciò che può essere influenzato dai comportamenti presenti.

Pertanto, i sunk costs devono essere ignorati.





• Opportunity cost

– Il costo opportunità può essere definito come il valore, in termini monetari, dell’essere privati della migliore opportunità alternativa al raggiungimento di un particolare obiettivo.

– In altre parole, il costo opportunità è il valore di una risorsa nel suo migliore uso alternativo.

– Nell’analisi finanziaria il costo opportunità di un input è sempre il suo prezzo di mercato.

– Nell’analisi economica il costo opportunità di un input è il valore marginale prodotto nel suo migliore uso alternativo al di fuori del progetto per i beni intermedi ed i servizi, o il suo valore in uso (misurato dalla disponibilità a pagare) se si tratta di un bene finale.

Il costo opportunità di ognuna delle risorse impiegate in un progetto deve essere incluso nell’analisi.


pagina 39




• Esempio (Dati - 1/3):

– All’impresa Y è stato chiesto di determinare il costo di un progetto speciale che richiederà una settimana per essere portato a termine. Le informazioni relative all’assorbimento di lavoro da parte del progetto sono riportate nella seguente tabella:

Tipo di lavoro

Ore richieste

Costo orario

Skilled 21 €9

Semi-skilled 14 €7

Unskilled 19 €5.50


– Una scarsità di skilled labour comporta che questo debba essere reperito da altri lavori (che pertanto si dovrebbero fermare) che stanno attualmente fornendo un contributo di € 9,25 all’ora ed assorbono materiali per € 7 all’ora.





– Il semi-skilled labour sta attualmente svolgendo attività di tipo unskilled al costo orario di € 7. Se questi lavoratori verranno impiegati nel progetto dovrà essere assunto personale non qualificato per rimpiazzarli durante la settimana.

– Infine, l’impresa dovrà impiegare 19 ore di unskilled labour per lavorare esclusivamente sul progetto.

– Si stima che gli overheads cresceranno di € 270 a seguito dell’inizio del progetto speciale.

– Tale progetto richiederà l’utilizzo di macchinari specifici. L’impresa è già in possesso di questi asset, ammortizzati ad un tasso di € 100 alla settimana, ed attualmente utilizzati da un altro progetto che genera introiti pari a € 160 a settimana.

3.1 Analisi degli Investimenti: Concetti introduttivi

pagina 41





– Per effettuare tutte le stime, l’impresa ha speso € 1.250 in materiale specifico

(documenti, disegni). Nel caso il progetto non venga portato avanti, tale materiale può essere rivenduto per € 250.

– Una stima della quota di affitto per la settimana è pari a € 190.

Analizzare e calcolare i costi incrementali associati a ciascuna delle seguenti voci come conseguenza del nuovo progetto:

a. Skilled labour b. Semi-skilled labour c. Unskilled labour d. Overhead di produzione e. Macchinari f. Materiale specifico g. Affitto

3.1 Analisi degli Investimenti: Concetti introduttivi pagina 42




• Esempio (Soluzione 1/2):

a. Skilled labour

– I costi incrementali associati al lavoro qualificato sono nulli, in quanto i lavoratori saranno impiegati e retribuiti a prescindere dal progetto.

– Ma, se il progetto viene approvato, l’impresa perderà la produzione generata nell’attività alternativa. – Il costo effettivo di questa perdita sarà dato dai ricavi delle vendite perse, a cui va dedotto il risparmio nei costi

dovuto al non utilizzo dei materiali. – Il costo che ne deriva è pertanto:

€ 2.25 (=9.25-7.00) (opportunity cost) x 21 hours = € 47,25

b. Semi-skilled labour

– Viene impiegato a prescindere dal progetto. Pertanto il relativo compenso non costituisce un costo incrementale. – Il costo addizionale legato a questa voce è dato dalla retribuzione dei lavoratori non qualificati assunti per sostituire

lo staff impegnato nel progetto. Pertanto:

€ 5.50 for unskilled labour x 14 hours = € 77

c. Unskilled labour

– Il lavoro non qualificato impiegato specificamente nel progetto costituisce un costo incrementale da considerare. Pertanto:

€ 5.50 hourly rate for unskilled staff * 19 hours = € 104.50





• Esempio (Soluzione 2/2):

d. Overhead di produzione – L’incremento dei costi generali generato dal nuovo progetto è dato da:

€ 270

e. Ammortamento – Non costituisce un costo incrementale, in quanto il macchinario viene ammortizzato indipendente

dal proprio utilizzo. La componente da considerare è il costo opportunità dato dagli introiti generati dall’impiego alternativo:

€ 160

f. Materiale specifico – Gli € 1.250 già spesi per il materiale costituiscono un costo affondato (sunk cost). La componente da

considerare è data dalla possibilità di rivendita del materiale: € 250

g. Affitto – I costi di affitto non devono essere considerati, in quanto sostenuti a prescindere dallo svolgimento

del progetto.

Totale dei Costi Incrementali: € 908,75

Questo valore può essere considerato come il prezzo minimo del progetto

3.1 Analisi degli Investimenti: Concetti introduttivi

pagina 44



Alcuni punti da ricordare

• Il Valore Futuro è l’ammontare raggiunto da un investimento lungo un periodo di tempo. Il processo di calcolo del VF è chiamato composizione.

• Il Valore Attuale esprime il valore di un investimento in termini presenti, mediante l’attualizzazione dei flussi di cassa rilevanti.

• Il legame tra VF e VA è dato dalla relazione

VF = VA (1 + r)t

• Annuity e Perpetuity costituiscono particolari conformazioni di flussi di cassa.

• Relazione di Fisher : (1+i) = (1+r) x (1+p)

• I sunk costs di un investimento non devono essere inclusi nell’analisi.

• Il costo opportunità di ognuna delle risorse impiegate in un progetto deve essere incluso nell’analisi.


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