UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA` - auriga.lnl.infn.it · Introduzione III 1 Introduzione alla relativit`a generale 1 ... da R. Hulse e J. Taylor, i quali analizzarono il tempo di

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA

Facolta di Scienze MM.FF.NN.

Dipartimento di Fisica “G.Galilei”

TESI DI LAUREA SPECIALISTICA

CARATTERIZZAZIONE ED OTTIMIZZAZIONE DELMETODO DI RICERCA DI SEGNALI TRANSIENTIDI FORMA SCONOSCIUTA PER IL RIVELATORE

DI ONDE GRAVITAZIONALI AURIGA

Laureando: Marco Drago

Relatore: Prof. Massimo Cerdonio Chiaromonte

Correlatore: Dott. Gabriele Vedovato

Anno Accademico 2005/2006

Indice

Introduzione III

1 Introduzione alla relativita generale 1

1.1 Cenni sulla relativita generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Le onde gravitazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Sorgenti di onde gravitazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 La rilevazione delle onde gravitazionali 9

2.1 Tipi di rivelatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Rivelatori interferometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.2 Rivelatori a barra risonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Il rivelatore Auriga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Metodi di ricerca segnale 19

3.1 Il test di ipotesi e le curve ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Il filtro di Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Ricerca senza templati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Somma sui dati sbiancati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.2 Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Analisi Dati di AURIGA (ADA) 31

4.1 La pipeline di ADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 I veti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 L’algoritmo di ricerca eventi Waveburst 45

5.1 Introduzione alle Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 L’algoritmo WaveBurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3 Waveburst in ADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 Ottimizzazione dei parametri Waveburst 61

6.1 Parametrizzazione dello spazio delle forme d’onda di test . . . . . . . . . . . . 61

6.2 Scelta dei parametri Waveburst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.3 Applicazione dell’algoritmo Waveburst sulle funzioni d’onda di tipo chirplet . . 69

7 Applicazione dell’algoritmo Waveburst all’analisi dati della rete di rivelatoriVIRGO-Barre 75

7.1 Metodi di analisi dati di una rete di rivelatori (accenni) . . . . . . . . . . . . . 75

7.2 VIRGO-Barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

I

7.3 Confronto tra Waveburst e il metodo usato in ADA per la ricerca di segnali diforma sconosciuta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.3.1 Scelta dei parametri per il calcolo dell’efficienza . . . . . . . . . . . . . 817.3.2 Confronto tra l’algoritmo di filtraggio alla Delta e Waveburst . . . . . . 82

7.4 Test Waveburst con Damped Sinusoid su dati reali . . . . . . . . . . . . . . . 86

Conclusioni 95

Ringraziamenti 97

A Comandi ADA 99

B File di configurazione WBA 101

C Energia di una forma d’onda del tipo Damped Sinusoid 105

II

Introduzione

L’esistenza delle onde gravitazionali fu postulata da Einstein come conseguenza della sua nuovateoria della gravitazione descritta dalla relativita generale. Cosı come nell’elettromagnetismouna carica in moto accelerato genera onde elettromagnetiche, analogamente si ipotizza che unaqualsiasi distribuzione di massa in moto accelerato produca onde gravitazionali. Purtropposi prevede che l’interazione gravitazionale di queste onde con la materia sia debolissima. Cioimplica che, al giorno d’oggi, la produzione di onde gravitazionali da parte umana sia estrema-mente proibitiva e non sia stata ancora effettuata una rilevazione diretta. L’unica possibilitaattuabile nel tempo presente di poter rilevare un’onda gravitazionale consiste nell’analisi difenomeni galattici di elevata intensita, nei quali la teoria della relativita generale prevede laformazione di questo tipo di onde, alla ricerca di una conferma o una smentita della loroesistenza.

Una rilevazione indiretta della produzione di onde gravitazionali e stata eseguita nel 1993da R. Hulse e J. Taylor, i quali analizzarono il tempo di rivoluzione del sistema binarioPSR1913+16 costituito da due pulsar che ruotano una attorno all’altra. I due fisici americanimisurarono una diminuzione del periodo di rivoluzione di 2.4 × 10−12 secondi ogni secondo,causato dalla perdita di energia e momento angolare del sistema. I dati sperimentali sono inottimo accordo con la teoria della relativita generale, che prevede che queste diminuzioni dienergia e momento angolare siano dovute ad emissione di onde gravitazionali.

L’importanza della rivelazione delle onde gravitazionali consiste nella possibilita di poterampliare il campo di studi sul cosmo che ci circonda. Le informazioni che l’uomo disponedell’universo sono ricavate dallo studio delle onde elettromagnetiche e delle particelle comeraggi cosmici e neutrini che giungono sulla terra attraversando l’universo. Queste informazionici descrivono pero solamente le zone superficiali degli oggetti galattici, in quanto interagisconofacilmente con la materia circostante e non riescono quindi a portare indicazioni sulle zone piuinterne. Le onde gravitazionali, invece, proprio per la loro caratteristica di debole interazione,permetterebbero di estrapolare informazioni sulla struttura interna dei corpi celesti, ma anchesu fenomeni astrofisici violenti, sulla formazione dell’universo e sull’evoluzione della materianegli istanti primordiali. La rilevazione delle onde gravitazionali porterebbe cosı alla nascitadi una nuova tipologia di indagine nel campo della fisica, con la possibilita di ampliare laconoscenza del genere umano sulla struttura dell’universo.

Tuttavia, al giorno d’oggi, non e stato ancora possibile rilevare un’onda gravitazionale, acausa della loro debole interazione con la materia. Questa caratteristica, infatti, costringe l’u-tilizzo di rivelatori molto sensibili, con l’inconveniente di acquisire continuamente rumore, siaintrinseco che ambientale. La difficolta di distinguere in modo preciso e affidabile la presenzadi un segnale gravitazionale all’interno del rumore ha impedito e ancora impedisce di poteraffermare di aver rivelato l’interazione di un’onda gravitazionale.

La necessita di costruire criteri di decisione sulla presenza effettiva di un segnale di natura

III

gravitazionale all’interno del rumore ha portato alla formulazione e all’implementazione di varimetodi di ricerca.

Come e noto il metodo piu efficace per decidere se un segnale e presente si basa sullapossibilita di conoscere a priori la forma e il tempo di arrivo del segnale gravitazionale.

A parte casi particolari le previsioni teoriche non ci danno un’indicazione univoca sullaforma e tanto meno sul tempo di arrivo. Questa incertezza ci costringe a cercare dei metodidi analisi senza la conoscenza a priori del segnale che siano efficienti per una classe di segnalipiu ampia possibile.

In questi ultimi anni sono stati proposti da vari gruppi di ricerca diverse soluzioni a questoproblema. Un approccio particolarmente interessante applicabile alla rivelazione di segnali ditipo impulsivo e quello adottato dal gruppo di analisi dati del rivelatore interferometrico dionde gravitazionali LIGO (Laser Interferometric Gravitational Observatory).

Questo algoritmo e chiamato Waveburst e la caratteristica che lo rende interessante e l’uti-lizzo della scomposizione tempo-frequenza della trasformata wavelet per l’analisi del segnale.La trasformata wavelet e stata introdotta all’interno del contesto dell’analisi dati implementa-ta mediante l’analisi di Fourier. La trasformata di Fourier permette di passare dal dominio deltempo a quello della frequenza, permettendo cosı di rilevare le frequenze presenti all’interno diun generico segnale. La ricerca delle onde gravitazionali, pero, richiede di conoscere anche ladeterminazione temporale in cui sono presenti le frequenze rilevate. Le wavelet sono funzionicon determinate proprieta che verranno descritte nel capitolo 5, ricercate per permettere lapossibilita di estrarre le bande di frequenza presenti all’interno di limitati intervalli temporali

In questo lavoro di tesi si e analizzata l’efficacia dell’algoritmo Waveburst per la ricercadi eventi impulsivi applicato al rivelatore AURIGA (Antenna Criogenica Risonante per l’In-dagine Gravitazionale Astronomica), un rivelatore di onde gravitazionali che si trova presso iLaboratori Nazionali di Legnaro dell’INFN (Istituto Nazionale di Fisica Nucleare) basato sullemisurazione dell’energia da esse depositata su di una barra di alluminio.

Di seguito e riportato il piano della tesi.

Nel primo capitolo sono introdotti alcuni concetti della relativita generale, descrivendocome si possono derivare le caratteristiche delle onde gravitazionali partendo dalla risoluzionedelle equazioni di Einstein nel vuoto.

Successivamente sono introdotti i tipi di rivelatori di onde gravitazionali presenti sullaterra: interferometrici e a barra risonante, mostrando le caratteristiche di funzionamento e ledifferenze. Il rivelatore AURIGA viene descritto in modo piu dettagliato, soffermandosi sullecaratteristiche tecniche e i miglioramenti apportati rispetto al funzionamento del rivelatoredurante il primo run.

Nel capitolo successivo vengono analizzati alcuni algoritmi di ricerca segnale. Essi nonsono propriamente utilizzati all’interno dell’analisi dati di AURIGA, tuttavia vengono trattatiper dare un esempio di come puo essere trattato analiticamente il problema della ricerca deisegnali gravitazionali all’interno del rumore.

Il quarto capitolo tratta di ADA, l’insieme di librerie e algoritmi utilizzato per l’analisi delsegnale fornito in uscita dal rivelatore AURIGA. Vi e descritto l’insieme dei passi necessariper effettuare il processo di analisi, soffermandosi su quelli piu pertinenti a questa tesi. Vienetrattato anche il problema di definire l’efficienza di un algoritmo, e la parte di veto degli eventispuri che caratterizzano i dati reali del rivelatore.

Nei capitoli successivi viene introdotto ed analizzato l’algoritmo Waveburst. Dopo unabreve introduzione delle caratteristiche delle funzioni wavelet, vengono spiegate le caratteristi-

IV

che tecniche dell’algoritmo e il principio di analisi applicato. Dopo questa descrizione si passaall’applicazione di Waveburst sui dati di AURIGA, sia simulati che reali.

L’algoritmo e stato dapprima ottimizzato e testato sulle chirplet, una forma d’onda che estata ricavata con lo scopo di poter parametrizzare lo spazio dei burst di onde gravitazionali inmodo semplice e completo. L’ottimizzazione dell’algoritmo, infatti, dovrebbe essere controllataed adattata al tipo di forme d’onda che si prevederebbe di rilevare. Questo comporterebbe unlavoro enorme di testing. L’utilizzo delle chirplet e stato pensato per avere una forma d’ondache sia il piu generale possibile e che possibilmente ne comprenda altre che modelli teoriciprevedono come possibili. Questa forma d’onda non assume un vero e proprio significatofisico, ma e stata ricavata con un procedimento matematico che impone di ricercare unaformula con le costrizioni di avere una durata, una banda, un tempo e una frequenza centralidefinite. Le chirplet sono una soluzione approssimata del problema assumendo la costrizionedi massimizzazione dell’entropia.

Nell’ultimo capitolo sono riportate le condizioni e i risultati di alcune prove eseguite suidati simulati allo scopo di confrontare l’algoritmo Waveburst con la ricerca eventi usata perAURIGA nel primo RUN di presa dati ove il segnale da ricercare veniva approssimato ad unaforma di tipo impulsivo della durata di 1 ms e sono esposti i risultati dei test effettuati perverificare l’efficacia dell’algoritmo Waveburst anche sui dati reali di AURIGA.

I risultati positivi delle prove hanno consentito di validare l’algoritmo Waveburst per l’ana-lisi dei segnali impulsivi. Questa analisi e stata infatti applicata per la ricerca di eventi nell’am-bito della collaborazione VIRGO-Barre, il cui scopo e quello di provare possibili metodologieper l’analisi dati in una rete di rivelatori composta dal rivelatore interferometrico italo-franceseVIRGO e i rivelatori a barra risonante italiani AURIGA, NAUTILUS ed EXPLORER.

V

Capitolo 1

Introduzione alla relativita generale

La teoria della relativita generale fu pubblicata per la prima volta da Einstein in un saggiodel 1916 dal titolo: “I fondamenti della teoria generale della relativita”. Dopo aver trattatonella teoria della relativita ristretta le trasformazioni di coordinate fra sistemi inerziali e loroproprieta, il fisico si preoccupo di analizzare le leggi della fisica in sistemi di coordinate noninerziali. Il suo studio porto ad una rivoluzione della teoria della gravitazione Newtoniana,introducendo il concetto innovativo di una connessione tra la materia e la curvatura dellospazio-tempo.

1.1 Cenni sulla relativita generale

Un concetto fondamentale della teoria della relativita generale e che qualsiasi sistema di coordi-nate e equivalente per lo studio di un sistema fisico. Scegliere un sistema particolare significadefinire un osservatore, e costruire di conseguenza il sistema di quattro coordinate spazio-temporali basandosi sulle proprieta dello stesso.Perche quattro coordinate, se lo spazio euclideo possiede tre dimensioni?

Una novita della teoria Einsteniana, gia presente nella relativita ristretta, e quella di uni-ficare lo spazio e il tempo (lo spazio-tempo, appunto), per descrivere la realta. Un genericovettore, quindi, possiede quattro coordinate, tre per il tempo e una per lo spazio, viene chiama-to anche quadrivettore e denotato con xi, ove i=0,1,2,3. Quindi, quando parliamo di distanzatra punti nello spazio fisico, intendiamo una grandezza che coinvolge sia le coordinate spazialiche quella temporale.

Per trattare di uno spazio curvo, pero, necessitiamo di generalizzare grandezze caratteri-stiche di uno spazio euclideo e di definirne altre. [1]

Un vettore generico xi dello spazio curvo possiede quindi quattro coordinate, che sono leproiezioni del vettore stesso sugli elementi della base ei (base che viene definita a secondadella linea universo dell’osservatore). Si puo quindi scrivere che x=xiei, e le componenti delvettore si definiscono controvarianti poiche trasformano come le componenti differenzialidelle coordinate: dxi = ∂xi

∂x′jdx′j. Analogamente possiamo definire un vettore covariante se

le sue componenti trasformano come le derivate di uno scalare, ovvero: dxi = ∂x′j

∂xi dx′j. Un

tensore, invece, e un oggetto che puo possedere sia componenti covarianti che controvarianti.Un vettore generico, non e altro che un tensore di rango 1.

Per convenzione le componenti controvarianti hanno l’indice in alto mentre quelle covariantihanno l’indice in basso.

Per definire sufficientemente e univocamente la curvatura dello spazio tempo, si introduce

1

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLA RELATIVITA GENERALE

il concetto di tensore metrico gij, o semplicemente metrica , una matrice quadrata simme-trica di dimensione 4×4. Per descrivere questa grandezza, ci conviene partire dalla definizionedi elemento di linea, quantita che descrive la distanza infinitesima tra due punti.

In generale l’elemento di linea viene descritto dalla formula ds2 = gijdxidxj, ove si con-

sidera la convenzione di Einstein che indici ripetuti sono sommati. Per esempio, se descriviamoun sistema inerziale nel caso della relativita ristretta, la metrica usata e quella di Minkow-ski, indicata convenzionalmente con ηij. Essa e del tipo diag-1, 1, 1, 1 e le definizioni diparallelismo, ortogonalita, distanza, ecc... sono simili a quelle utilizzate nello spazio euclideo.Unica differenza si trova nel coefficiente metrico negativo per il tempo, per cui il modulo diun vettore puo essere negativo.

Una volta definita la metrica, possiamo definire il prodotto scalare fra i vettori a e b come(a, b) = gija

ibj = gijaibj.Le componenti covarianti del tensore metrico sono definite affinche valgano le relazioni:

gijgjk = δik. Il tensore metrico ci fornisce quindi il legame tra componenti covarianti e contro-varianti, in quanto ha la proprieta di “alzare” e “abbassare” gli indici come specificato nelleseguenti relazioni: Ai = gijAj e Bi = gijB

j.Da qui si puo vedere che in una metrica piatta, componenti covarianti e controvarianti

coincidono, a meno del segno della variabile temporale, e quindi se siamo in una metricaeuclidea non e necessario distinguerle.

Come si vede, nel caso di una metrica curva, le operazioni tra vettori diventano piu com-plicate, in quanto non e possibile confrontare due vettori se non si trovano nello stesso puntodello spazio-tempo. Questo ci rende difficile dare una definizione di derivata fra vettori. Laderivata usuale, Ai,j = ∂Ai

∂xj ,1 non e una grandezza tensoriale, in quanto non trasforma comele componenti di un tensore. Possiamo pero introdurre i concetti di derivata covariante econtrovariante, affinche siano soddisfatte le condizioni di tensorialita, ossia vogliamo che lederivate di un tensore siano tensori. La derivata covariante per un vettore controvariantee definita come:

Ai;l =DAi

∂xl=∂Ai

∂xl+ ΓimlA

m, (1.1)

mentre per un vettore covariante:

Ai;l =DAi∂xl

=∂Ai∂xl

− ΓmilAm. (1.2)

Analogamente, estendendo il concetto per un tensore generico, possiamo scrivere

Ai...j...;l =∂Ai...j...∂xl

+ ΓimlAm...j... − ΓmjlA

i...m... + . . . 2 (1.3)

I termini Γijk sono i Coefficienti di Christoffel , e si costruiscono dalla metrica e dalle suederivate:

Γijk =1

2gis(gjs,k + gks,j − gjk,s) (1.4)

E importante notare che mentre le derivate covarianti di un tensore rimangono dei tensori,infatti sono state definite con questo scopo, i coefficienti di Christoffel non sono affatto deitensori, come si puo dimostrare facendo una qualsiasi trasformazione di coordinate.

Da qui, possiamo definire il concetto di trasposto parallelo, il quale ci permette dicostruire curve, dette geodetiche, che descrivono il moto di una particella non soggetta ad

1Indichiamo indifferentemente la derivata parziale rispetto alla coordinata i con: (·),i, ∂∂xi , ∂i

2Come per la derivata parziale, indichiamo le derivate covarianti o controvarianti con (·);i o con DDxi

2

1.2. LE ONDE GRAVITAZIONALI

alcuna forza. Nel contesto della teoria della relativita, al contrario della meccanica classica, lagravita non produce forze, ma perturba lo spazio, deformando cosı le traiettorie delle particelle.In questo modo possiamo spiegare la deviazione dei raggi luminosi, la luce, infatti, non possiedemassa, e quindi non e soggetta a forze e percorre traiettorie geodetiche, che possono esserecurve in presenza di distribuzioni di massa.

L’equazione della geodetica risulta essere

d2xi

dτ 2+ Γijk

dxj

dτ

dxk

dτ= 0 (1.5)

ove τ e il parametro da cui dipende la geodetica.Derivando ulteriormente i coefficienti di Christoffel, e possibile ricavare un altro importante

strumento, il tensore di Riemann

Rijkl =

∂Γijk∂xm

−∂Γijm∂xk

+ ΓiksΓsjl − ΓilsΓ

sjk. (1.6)

Costruendo la traccia3 di questo tensore si ricava il tensore di curvatura Rij = Rkikj (o curvatura

di Ricci). Questo tensore e fondamentale in quanto compare nelle equazioni di Einstein ,che sono descritte dalla formula:

Rij −1

2Rgij =

8πG

c4T ij, (1.7)

ove R e la costante di curvatura (o di Riemann), ossia la traccia di Rij e T ij e il tensoreenergia-impulso, il quale descrive la struttura della materia.

Le equazioni di Einstein quindi mostrano la relazione che lega la curvatura dello spazio-tempo alla presenza di materia. In altre parole, esse indicano come la distribuzione di materiadeformi lo spazio, causando la deviazione della traiettoria delle particelle, che non seguonouna linea retta in assenza di forze, ma percorrono linee curve, che definiscono le traiettorie diminima distanza fra piu punti.

Considerando le grandezze appena descritte e le loro proprieta, si puo vedere che quandosi risolvono le equazioni di Einstein si devono ricavare dieci variabili incognite utilizzando seiequazioni indipendenti. Il sistema sembrerebbe cosı indeterminato e impossibile da risolvere.Cio, pero, non costituisce un problema, in quanto non possiamo definire univocamente lecoordinate del nostro sistema fisico. E sempre possibile, infatti, operare una trasformazionedi coordinate, la quale ci coinvolge appunto le quattro variabili indeterminate del sistema.

1.2 Le onde gravitazionali

Abbiamo realizzato che la massa produce una curvatura nello spazio tempo. Resta da chiedercise la curvatura dello spazio tempo si propaga nello spazio. Dalla teoria einsteniana si ricavache una qualsiasi distribuzione di massa che si trovi in un moto non uniforme e non abbiasimmetria sferica produce oscillazioni della curvatura dello spazio-tempo, le quali si propaganoalla velocita della luce e vengono chiamate onde gravitazionali.

Per ricavare le caratteristiche di queste onde, dobbiamo risolvere le equazioni di Einsteinnel vuoto. In questo caso, il tensore energia-impulso ha tutte le componenti nulle e anche il

3La traccia di un generico tensore Aijkl··· si costruisce con il tensore metrico: Akl··· = gijAijkl···.

3


coefficiente di Riemann e nullo. Le equazioni da risolvere sono quindi Rij = 0 nelle incognitegij.

Seppur scritte in forma semplice, esse sono complicate da risolvere. Se infatti le consideria-mo attentamente, possiamo notare che sono combinazioni dei coefficienti della metrica e delloloro derivate prime e seconde. Il principio di sovrapposizione, per esempio, non e piu valido,come lo era per la fisica Newtoniana, quindi non e facile trovare soluzioni per situazioni fisicheconcernenti piu corpi.

Per semplificare il problema, ci conviene porre delle approssimazioni. [2] Consideriamo lametrica come composta da due termini: gij = ηij + hij, ove hij e una piccola perturbazionealla metrica piatta di Minkowski (|hij| << 1).

Ricordando che:

Rijkl =

∂Γijk∂xm

−∂Γijm∂xk

+ ΓiksΓsjl − ΓilsΓ

sjk (1.8)

Γijk =1

2gis(gjs,k + gks,j − gjk,s) (1.9)

Possiamo calcolare le derivate parziali delle Γ considerando solo termini del primo ordine in hij.Quindi nel calcolare Rij non consideriamo prodotti fra Γ in quanto termini del secondo ordine.Per semplificare l’espressione possiamo effettuare un cambio di variabile: hij = hij − 1

2gijh

(h = hii), ottenendo hlk,il + hli,kl − h,lik,l = 0.A questo punto ci conviene effettuare una scelta di gauge. Ci e conveniente scegliere la

gauge di Lorentz, hlk,l = 0 e quindi cio ci porta all’espressione:

h,lik,l =∂2hik∂xl∂xl

= 0.4 (1.10)

Possiamo cercare una soluzione del tipo hij = Aijeiklxl , che sostituita nell’equazione del

campo ci fornisce l’espressione: Aijeiklxlkhkh = 0, da cui si ricava che khkh = 0. Se esprimiamo

ki = (ωc,k), otteniamo che ω

c= |k|, ossia abbiamo ottenuto una perturbazione che si propaga

alla velocita della luce.Possiamo scegliere una trasformazione di coordinate che renda nulle alcune componenti

di hij, in particolare vogliamo ottenere le condizioni h = 0 e h0i = 0, i=0,1,2,3. Otteniamocosı due risultati: le componenti indipendenti del tensore sono due e la condizione di Lorentzdiventa hik,i = 0. Esplicitando quest’ultima relazione otteniamo Aike

iklxliki = 0 ovvero hikki =0. La relazione appena ricavata ci indica la trasversalita delle onde e ci permette di ricostruiregli elementi della matrice hij.

Se consideriamo, per esempio, il caso in cui l’onda si propaghi lungo l’asse z (k = (0, 0, k)),otteniamo:

hij =

0 0 0 00 h+ h× 00 h× h+ 00 0 0 0

Le due soluzioni trovate sono quindi:

h+ = A+e

i(ωt−kz)

h× = A×ei(ωt−kz)

Se vogliamo studiare la generazione delle onde, dobbiamo risolvere le equazioni di cam-po linearizzato in presenza di materia. Analogamente al caso delle onde elettromagnetiche,otteniamo:

∂i∂ihki =

16G

c4τ ki e

∂2hki∂xk

= 0, (1.11)

4A rigore non ha senso introdurre la derivata parziale controvariante, in quanto non si puo definire. Siintende pero convenzionalmente con l’espressione A,i la derivata usuale A,i “alzando” l’indice con la metrica:A,i ≡ gijA,j

4

1.3. SORGENTI DI ONDE GRAVITAZIONALI

ove τ ki e un tensore collegato al tensore energia-impulso.

Se combiniamo le due equazioni ricaviamo:∂τk

i

∂xk = 0 che esprime la conservazione dellaquantita di moto.

La soluzione che si ottiene quindi dalle tre equazioni precedenti e del tipo dei potenzialiritardati:

hik = −4G

c4

∫ (τ ki

r(t− r

c

)) dV. (1.12)

Considerando l’espansione in termini di multipolo a distanze grandi dalla sorgente, si vedeche per la legge di conservazione il termine di dipolo e nullo. Questo ci porta a consideraresolamente il termine di quadrupolo, e possiamo scrivere:

hij =1

r

2G

c4d2Qij(t− r/c)

dt2(1.13)

ove Wij e il tensore di quadrupolo della massa della sorgente calcolato nella gauge trasversa ea traccia nulla.5 Mediando su tutte le direzioni, otteniamo per la luminosita:

Lg =G

5c5

∑i,j

(d3Qij

dt3

)2

(1.14)

e per la potenza irraggiata:

W =G

45c4Q2ii (1.15)

Notiamo che la potenza e molto piccola, sia per il valore di G, sia per il termine di c5 checompare al denominatore. E quindi necessario avere una massa molto grande per avere ondedi portata significativa: se, infatti, consideriamo una barra rotante con velocita angolare ω,attorno ad un asse perpendicolare al proprio, otteniamo per la potenza: W = 32G

5c5I2ω6, con

I momento di inerzia della barra, per una barra di lunghezza 20m e raggio 1m che ruota conω = 4.4 rivoluzioni/s (ossia la massima velocita raggiungibile senza rompersi), otteniamo unvalore di W = 2.2× 10−29 watt, valore molto al di sotto della rivelazione permessa in questomomento.

Come abbiamo visto, la produzione di onde gravitazionali e causata da distribuzioni elevatedi massa in moto non uniforme. Le onde trasportano quindi informazioni sulle sorgenti che lehanno prodotte, in particolare le masse coinvolte, gli spin, e alcuni parametri dell’orbita qualil’inclinazione rispetto alla linea di vista.

1.3 Sorgenti di onde gravitazionali

Abbiamo visto che la descrizione delle onde gravitazionali dipende da h+ e h×, i quali possonoassumere diverse forme a seconda del tipo di processo che produce la formazione dell’onda.Possiamo distinguere alcuni tipi principali di sorgenti di onde gravitazionali, a seconda delleloro caratteristiche.

sorgenti periodiche: sono sistemi binari di oggetti rotanti attorno al centro di massadel sistema. I sistemi piu interessanti per la produzione di onde sono quelli formatida oggetti di massa molto grande, come oggetti compatti quali stelle di neutroni o

5Qij =∫

Vρ(x, t)(xixj − δij |x|2)dV , ρ e la densita di massa.

5


buchi neri. La perdita di energia del sistema dovuta all’emissione di onde gravitazionaliprovoca la diminuzione del raggio dell’orbita e del periodo orbitale. Fino ad ora l’unicaprova indiretta dell’esistenza di onde gravitazionali deriva dallo studio di un sistemabinario di pulsar, effettuato da Hulse e Taylor sul sistema binario formato dalla pulsarPSR1913+16 e da una stella di neutroni. Essi misurarono una diminuzione del tempodi rivoluzione dovuto alla perdita di energia e di momento angolare. Questa perditapuo essere imputata, in buon accordo con i modelli teorici, alla produzione di ondegravitazionali.

sorgenti impulsive: usualmente fenomeni violenti come esplosioni di supernove, o altrifenomeni cosmici energetici (Gamma Ray Burst), di solito caratterizzati da una duratabreve (< 1s).

fondo stocastico: dovuto alle fluttuazioni primordiali generate nei primi istanti successivialla formazione dell’universo. Il segnale che si rileva ha caratteristiche simili a quelle delrumore, e possibile quindi descriverlo mediante lo spettro di potenza e la funzione diautocorrelazione.

Abbiamo quindi diversi tipi di fenomeni che possono provocare emissione di onde gravita-zionali. Di seguito presentiamo alcune di queste possibile sorgenti di interesse per l’indagineastrofisica.

? Supernove: Stelle massive, ossia di M >∼ 4 M, alla fine del processo di fusione internosviluppano un nucleo di ferro. Questo nucleo si trova in una posizione di equilibrio instabile,poiche la contrazione gravitazionale non e piu controbilanciata dal processo di fusione, e quindiil nucleo e costretto a collassare. A seguito del collasso, la stella esplode espellendo gli stratiesterni ed emettendo una grande quantita di energia. L’astro aumenta la sua luminosita inmodo improvviso in un breve arco di tempo (qualche settimana) e poi diminuisce di intensitanel giro di un anno. A seconda della massa, il processo avviene in due modi principali.Se la stella ha massa inferiore alle 8-9 M, essa e caratterizzata da una esplosione di tipotermonucleare (supernova di tipo I); tipicamente cio avviene in sistemi binari ove una nanabianca attrae la massa della compagna. Per masse superiori, il nucleo della stella collassa,formando un oggetto compatto, tipo una stella di neutroni (NS), o un buco nero (BH).

Se l’esplosione avviene in modo non simmetrico, parte dell’energia liberata viene emessamediante onde gravitazionali.

? Binarie coalescenti: La coalescenza di stelle binarie viene considerato una delle piuimportanti sorgenti di onde gravitazionali, sia perche e possibile conoscerne la forma d’onda,sia perche le frequenze coinvolte sono rilevabili dai principali rivelatori esistenti. Usualmentesi divide il processo di coalescenza in tre fasi:

– Spiraleggiamento. Una fase spiraleggiante, caratterizzata da una scala di tempo moltopiu grande del periodo di rotazione. Essa termina quando l’orbita della binaria diventarelativisticamente instabile.

– Merging. Una fase di caduta libera reciproca dei due corpi l’uno verso l’altro, chetermina nella collisione finale. Questa fase e molto difficile da modellizzare teoricamentee quindi da analizzare.

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1.3. SORGENTI DI ONDE GRAVITAZIONALI

– Ring-down. La formazione dell’oggetto finale: stella di neutroni o buco nero. Ladinamica del collasso puo essere approssimata mediante la modellizzazione dei modi dioscillazione dell’oggetto finale. I segnali emessi sono sovrapposizioni di Damped Sinusoid(capitolo 7), con una ampiezza e fase a priori sconosciute.

? Stelle di neutroni. Analizzando la formula di quadrupolo dei modi normali di vibra-zione delle stelle rotanti, Chandrasekar scoprı nel 1971 che alcuni modi risultano instabili,ossia che l’accoppiamento dei modi con la radiazione gravitazionale puo rendere instabile unastella di neutroni rotante. Ci sono diversi tipi di modi, a seconda delle loro caratteristiche,per esempio:

– i modi CFS, dal nome degli autori che li hanno analizzati, che sono provocati dallavelocita angolare con cui la cresta del modello di velocita del modo ruota attorno al-l’asse di rotazione. Questi modelli sono stati sviluppati considerando un fluido perfetto.Tuttavia, se si considerano effetti di viscosita, l’instabilita diventa ancora piu intensa alunghezze d’onda maggiori;

– i modi Rosby (R-modi), la cui instabilita si manifesta su stelle piu calde che ruotanopiu velocemente e interessa soprattutto le stelle di neutroni piu giovani. Questo fattosembrerebbe spiegare perche le stelle di neutroni piu vecchie hanno velocita di rotazioneminori delle piu giovani.

Le stelle di neutroni sono caratterizzate anche da modi non normali che possono produrre ondegravitazionali. L’osservazione di questa radiazione permetterebbe di conoscere indirettamentela struttura interna e l’equazione di stato per le stelle di neutroni.

? Gamma Ray Burst (GRB): Sono gli eventi nell’universo piu luminosi, arrivano adavere una energia di circa 1053 erg. Alcuni modelli prevedono che l’emissione di questi raggigamma sia dovuta ad esplosioni molto violente, come lo sono per esempio quelle provocatedai collassi di stelle. L’origine dei GRB si puo imputare anche ad una sorgente compattache produce un flusso di energia il quale si propaga verso l’esterno. Parte di questa energiae tramutata in radiazione dalla collisione dei fronti d’onda della radiazione emessa con quellipiu lenti emessi precedentemente. La parte rimanente viene dissipata urtando contro i detriticircostanti, dando origine ai cosidetti “afterglow”. Un modello proposto che descrive l’inte-razione fra un buco nero e la materia circostante a forma di toro [3] attribuisce l’origine deiGRB lunghi (t > 2s) ad uno stato di arresto della crescita di un buco nero di Kerr rispetto altoro circostante, mentre i GRB corti sono dovuti ad uno stato di iper-crescita del buco nero.Quest’ultimo, quindi, e suggerito come motore di produzione dei burst, mentre la radiazionegravitazionale e attribuita alla materia circostante.

Un’altra teoria prevede che un sistema binario di una stella a neutroni e un buco neroevolva in una forma a toro mediante la disgregazione della stella, accrescendo il buco nero.[4] L’emissione di onde gravitazionali sarebbe dovuta alla materia neutronizzata, in seguitoalla formazione del toro. La frequenza delle onde prevista varierebbe gradualmente e la loroampiezza tenderebbe ad essere costante. Questa configurazione e chiamata Linear Chirp.

Si prevede che anche la fusione di binarie compatte possa provocare short GRB. Alcunistudi indicano che naturalmente questi processi provocano l’emissione di long GRB in fasci diangoli ristretti (qualche decimo di grado), mentre cio non avverrebbe per short GRB.

? Fondo stocastico. Si stima che le prime onde gravitazionali siano state generate nelristretto intervallo di tempo di 10−24 s dopo il big bang. Dato che la radiazione gravitaziona-

7


le interagisce debolmente con la materia, queste onde porterebbero praticamente inalterate leinformazioni sugli istanti successivi alla formazione dell’universo. La teoria dell’inflazione spie-ga la formazione delle prime strutture cosmiche come conseguenza di perturbazioni di densitasufficientemente grandi. Tali perturbazioni sono accompagnate da perturbazioni del campogravitazionale che si propagano in tutto l’universo e che oggi dovrebbero formare un fondostocastico di onde gravitazionali. Queste fluttuazioni avrebbero origine da fluttuazioni quan-tistiche del campo gravitazionale esistenti prima dell’inizio dell’inflazione e che si sarebberotrasformate in vere e proprie onde gravitazionali a seguito dell’espansione enorme avvenutanel periodo inflazionario.

Il fondo stocastico e difficilmente rivelabile da un singolo rivelatore, in quanto si comportacome il rumore proprio degli strumenti. Un’analisi congiunta fra piu rivelatori, invece, po-trebbe rivelare il fondo stocastico mediante una cross-correlazione, sfruttando il fatto che ilrumore del singolo rivelatore e scorrelato mentre il fondo stocastico e lo stesso per entrambii rivelatori, eccetto per le differenze dovute alla diversa posizione del rivelatore sulla terra.Questa metodologia funziona meglio piu i rivelatori sono vicini, cosı che il fondo stocasticorivelato e piu simile fra i due.

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Capitolo 2

La rilevazione delle onde gravitazionali

Abbiamo detto che le onde gravitazionali perturbano la metrica. Per poter cosı rilevare ilpassaggio di un’onda, possiamo studiare la perturbazione dello spazio-tempo che essa provoca.Abbiamo bisogno, quindi, di analizzare il moto di un corpo di prova, con massa sufficientementepiccola affinche il movimento stesso non provochi sostanziali modifiche alla curvatura. Tuttaviaun solo corpo non e sufficiente. Se, infatti, consideriamo un oggetto in caduta libera ed ilsistema di riferimento associato, il suo moto ci e indistinguibile dallo stesso corpo in unospazio-tempo piatto. Questo ci e confermato dal principio di equivalenza. Necessitiamo dellostudio di almeno due corpi, per rivelare il passaggio di un’onda gravitazionale. Questo perchel’onda non modifica le coordinate delle due masse di prova, ma solamente la loro distanza,con una frequenza pari a quella dell’onda stessa, e un’ampiezza proporzionale all’intensitadell’onda e alla distanza tra i due corpi. Questa deformazione avviene in modo opposto indue direzioni perpendicolari, cosı che se consideriamo un cerchio, esso verra alternativamenteallungato e schiacciato nelle due direzioni ortogonali, a seconda della polarizzazione dell’onda(vedi Fig. 2.1). Si calcola che le variazioni relative di posizione sulla terra causate da onde

Figura 2.1: Variazione delle distanze di alcune masse di prova disposte su un cerchio dovuta alpassaggio di un’onda gravitazionale con polarizzazione h+ (sopra) e h× (sotto). Il tempo scorre dasinistra verso destra.

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CAPITOLO 2. LA RILEVAZIONE DELLE ONDE GRAVITAZIONALI

provenienti dallo spazio siano dell’ordine di 10−19. Quindi lo spostamento fra due punti adistanza di un metro, sarebbe di un ordine di grandezza quattro volte inferiore al diametro diun nucleo atomico (10−15m).

Il primo tentativo di misurazione delle onde gravitazionali fu effettuato nel 1957 da JosephWeber, negli USA. Il principio di funzionamento si basava sull’oscillazione di una barra cilin-drica di alluminio, regolata per andare in risonanza alla frequenza prevista per le onde. Labarra era lunga tre metri e pesante tre tonnellate, situata in una camera a vuoto appesa ad uncavo di titanio, isolata dalle vibrazioni esterne. Un trasduttore trasformava le vibrazioni dellabarra in segnali elettrici, i quali venivano misurati per identificare il passaggio di un’onda.

Era il primo rivelatore a barra risonante. Successivamente ne vennero costruiti altri, piuraffinati, in tutto il mondo. La ricerca di altri metodi per ottenere una rivelazione a fre-quenze diverse e piu ampie porto alla progettazione di un altro tipo di rivelatori, chiamatiinterferometrici, i quali hanno un diverso principio di funzionamento.

2.1 Tipi di rivelatori

2.1.1 Rivelatori interferometrici

Il principio di questo tipo di rivelatori deriva dall’esperimento di Michelson-Morley sullamisurazione dell’interferenza di due fasci di luce.

Figura 2.2: Schema di funzionamento di un rivelatore interferometrico.

Vengono posizionati tre specchi agli estremi di due bracci di uguale lunghezza in direzioniperpendicolari. Lo specchio comune ai due bracci (beam-splitter) e semitrasparente e divideil fascio di luce laser in due componenti uguali, i quali percorrono i due diversi bracci dell’in-terferometro. I fasci vengono poi riflessi dagli altri specchi e si ricombinano in opposizione difase sul rivelatore di luce, cosı che, in condizioni normali, non arriva luce sul fotodiodo. Se

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2.1. TIPI DI RIVELATORI

invece i bracci variano la loro distanza a causa dell’interazione di un’onda gravitazionale, ilcammino ottico varia, producendo cosı un sfasamento dei fasci e, di conseguenza, una figuradi interferenza. Analizzando quest’ultima grandezza e possibile ricavare l’ampiezza dell’ondagravitazionale.

Per questo tipo di rivelatori, si richiede una elevata sensibilita, e quindi la lunghezza deibracci dovrebbe essere di molti chilometri. Per ovviare alla difficolta di realizzazione sullaterra, si utilizzano cavita risonanti Fabry-Perot, la quali aumentano la lunghezza ottica dicirca 40 volte, grazie all’utilizzo di riflessioni multiple.

Gli specchi devono essere levigati con una precisione dell’ordine del centesimo di microme-tro, inoltre devono essere caratterizzati da una diffusione e un assorbimento inferiori ad unaparte per milione.

Per cercare di eliminare movimenti spuri dei cammini ottici, viene realizzato un isolamentosismico mediante una catena di filtri, che si trova sospesa ad una piattaforma in una torre davuoto. Essa e capace di correggere moti a bassa frequenza e grandi ampiezze, assicurando ilcontrollo della posizione nell’ordine del micrometro.

Questo tipo di rivelatori riesce ad esplorare una banda di frequenze molto vasta, dalle decinedi Hz alle decine di kHz. Attualmente sono in funzione: LIGO negli USA [5] (tre rivelatori incoincidenza di bracci di lunghezza 2 e 4km), VIRGO a Pisa [6] (con bracci di lunghezza pari a3km), TAMA300 in Giappone [7] e GEO600 in Germania [8] (rispettivamente 300 e 600m dilunghezza per ogni braccio), ed e in progettazione AIGO in Australia [9] (con lunghezza paria 2km).

Le agenzie spaziali europea e americana stanno progettando un grande interferometro(LISA [10]) con l’idea di posizionarlo in un’orbita eliostazionaria, in modo da renderlo sensibilealle frequenze piu basse non rilevabili sulla terra a causa del rumore ambientale. Questointerferometro avra la struttura geometrica di un triangolo equilatero di lato pari a cinquemilioni di chilometri e sara progettato per avere una precisione di misura di 10pm.

2.1.2 Rivelatori a barra risonante

I rivelatori a barra misurano le deformazioni indotte dal passaggio di un’onda gravitazionalesu di un corpo elastico. Esso viene definito antenna e solitamente e di metallo e di formacilindrica. Piu precisamente un rivelatore di questo tipo misura le vibrazioni meccanichedell’estremita della barra dovute all’assorbimento di energia da parte di uno o piu modi normalidel sistema al passaggio di un’onda. Si ha un assorbimento massimo nel caso in cui le frequenzedell’onda e del primo modo longitudinale dell’antenna siano coincidenti.

Per registrare le vibrazioni sopradette, un trasduttore elettromeccanico le converte in se-gnali elettrici, i quali sono amplificati e registrati per essere analizzati. La barra viene iso-lata meccanicamente e posta a temperature criogeniche per permettere la lettura di segnaliestremamente deboli.

Possiamo schematizzare un rivelatore di questo tipo come un sistema costituito da duemasse legate da una forza di tipo elastico. La perturbazione di un’onda su tale sistema provocal’oscillazione dello stesso ad un’ampiezza proporzionale a quella dell’onda e alla frequenza dirisonanza delle due masse.

Questo sistema e equivalente ad un oscillatore smorzato con valori caratteristici che dipen-dono dalla lunghezza e dalla massa della barra (Lb ed Mb) (vedi Fig. 2.3).

Le grandezze caratteristiche sono date da:- massa del sistema: M = Mb/2,- lunghezza della molla a riposo: l = 4Lb/π

2,

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Figura 2.3: Schema equivalente ad un oscillatore smorzato di una barra risonante.

- pulsazione caratteristica: ω0 =√k/M = πvs/Lb,

- costante di decadimento: τ = 2Q/ω0,con k costante elastica della molla, vs velocita di propagazione del suono nel materiale dellabarra e Q fattore di merito alla frequenza di risonanza.

Si richiede che la frequenza di risonanza longitudinale del rivelatore resti costante e pros-sima ad 1 Hz, cio provoca restrizioni sulla lunghezza della barra, come si vede dalle relazioniprecedentemente scritte. Infatti, fissato il materiale, resta fermo il valore di vs, e quindi ancheil valore di Lb rimane vincolato.

La sensibilita del rivelatore dipende dalla massa e dalla lunghezza della barra. Per aumen-tare la sensibilita, bisogna aumentare la massa, senza pero modificare la lunghezza, quindiaumentando la sezione o modificando la forma dell’antenna (per esempio sferica, come e statoproposto). Inoltre per avere una sensibilita massima, si deve avere un alto coefficiente di me-rito, di conseguenza picchi alti e stretti, e una temperatura il piu bassa possibile per rendereminimo il rumore in uscita dovuto al moto browniano degli atomi della barra.

Attualmente sono in funzione sul pianeta: AURIGA a Legnaro [11], NAUTILUS a Frascati[12], EXPLORER in Svizzera [13] e ALLEGRO negli USA [14] (sono tutte antenne cilindri-che con lunghezza 3m e diametro 60cm ed una massa di circa 2.3 tonnellate che lavorano atemperature diverse, rispettivamente: 4.5K, 0.1K, 2K e 4.2K).

2.2 Il rivelatore Auriga

AURIGA (Antenna Ultracriogenica Risonante per l’Indagine Gravitazionale Astronomica) eun rivelatore a barra risonante situato nel laboratorio nazionale di Legnaro.

Figura 2.4: Il rivelatore di onde gravitazionali AURIGA.

La sua antenna e un cilindro di alluminio di massa M = 2300kg, diametro D = 60cme lunghezza Lb = 3m. La lega di alluminio utilizzata permette di ottenere una velocita delsuono di vs = 5400m/s ed un coefficiente di merito Q > 106.

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2.2. IL RIVELATORE AURIGA

Figura 2.5: Sezione della barra di AURIGA e delle sospensioni.

AURIGA ha svolto un primo run di lavoro negli anni 1997-1999, dopodiche la presa dati fuinterrotta per un guasto al sistema criogenico. Ad una temperatura termodinamica minima dicirca 200 mK, la sua sensibilita poteva rivelare eventi gravitazionali con un ampiezza minimahmin ∼ 8 · 10−19 in una banda di circa 1 Hz attorno alle due frequenze di risonanza (913 e 931Hz). Successivamente il rivelatore venne riprogettato per permettere una migliore sensibilitae poter cosı spingere l’osservazione da eventi al centro della Galassia lontani 8 kpc ad eventiprovenienti dal Gruppo Locale, ossia lontani 5 Mpc. Il secondo run di AURIGA e iniziato neldicembre del 2003, con un duty time (ossia il tempo osservativo con dati significativi) attornoal 30% a causa degli eccessi di rumore presenti in banda. Nel maggio del 2005 e stato applicatoun nuovo sistema di sospensioni meccaniche che ha permesso di ridurre gli eccessi di rumorein banda, con un aumento decisivo del duty time, che ora si aggira attorno al 96%.

Per migliorare la caratterizzazione del nuovo readout del rivelatore AURIGA II, e statocostruito un apparato, il Transducer Test Facility (TTF), nel quale la catena di traduzione eidentica a quella dell’antenna originale. Con questo strumento e possibile effettuare misure atemperature criogeniche sulla completa catena di traduzione, con il vantaggio che il tempo perl’intero ciclo termico (ossia raffreddamento e riscaldamento) occupa di qualche giorno, mentreper AURIGA e dell’ordine del mese. Cosı, una volta testato opportunamente il readout, estato possibile installarlo sulla barra di AURIGA. ([15])

Le caratteristiche del nuovo rivelatore sono:

∗ Il sistema criogenico, che e stato modificato rispetto a quello del primo run. Ilrefrigeratore utilizzato nel precedente run, infatti, introduceva troppo rumore termico chedisturbava l’analisi dei dati. Per il secondo run si e pensato di utilizzare un contenitoretermico di 100 litri di elio che permette di stabilizzare il rivelatore alla temperatura di4.5K. Questo contenitore garantisce la temperatura costante per almeno due settimane,che e il tempo che passa tra due successivi rifornimenti di elio liquido. Nel frattempo sistanno studiando le caratteristiche del refrigeratore utilizzato nel primo run per eliminarele sorgenti di rumore in vista di un possibile utilizzo.

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∗ Un nuovo sistema di sospensione meccanico, costruito per attenuare il rumoredi vibrazione meccanica interno ed esterno al criostato. Sono sorgenti di rumore ester-no l’attivita umana e le vibrazioni sismiche ambientali, mentre all’interno l’ebollizionedei liquidi criogenici, il flusso dei gas evaporati e l’emissione acustica di materiali variquando sottoposti a sforzi meccanici. L’ancoraggio della barra e realizzato mediante uncavo tubolare nel suo centro di massa, mentre il filtro meccanico principale e compo-sto da una cascata di sei elementi elastici che formano assieme una colonna. Le nuovesospensioni sono state montate nel Maggio 2005, e si prevede che vicino ai 900 Hz ab-biano un’attenuazione totale sulla risonanza della barra di circa -240dB nella direzioneverticale.

∗ Un nuovo trasduttore capacitivo. Il trasduttore converte le vibrazioni meccanichedella barra in segnali elettrici ed e un piatto circolare vincolato nel suo centro tramiteun picciolo del basamento fissato ad una delle estremita della barra. Un altro piatto evincolato al basamento in modo da non subire deviazioni e fissato rigidamente di fronte alprimo. Insieme i due piatti formano un condensatore caricato a carica costante, in modoche le vibrazioni della barra ne provochino la variazione della capacita, inducendo unatensione ad suoi capi. Per migliorare la rilevazione, si accoppia la frequenza di vibrazionelongitudinale della barra con la risonanza propria del trasduttore (che in questo caso sidice risonante). Si hanno cosı due oscillatori risonanti fortemente accoppiati, i qualipermettono di avere un alto trasferimento di energia dalla barra al trasduttore se ledue frequenze di risonanza sono molto vicine. Cio richiede che il fattore di merito deltrasduttore sia almeno quello della barra, poiche il fattore di merito di due oscillatoriaccoppiati e dello stesso ordine di grandezza di quello minore.

∗ Un nuovo amplificatore, di tipo dc-SQUID (Superconducting Quantum InterferenceDevice) a due stadi, situato all’interno del criostato. Tra lo SQUID e il trasduttoresono stati inseriti una capacita di disaccoppiamento e un trasformatore superconduttivo(risonatore), che permettono il massimo trasferimento del segnale dall’uno all’altro. Simassimizza l’efficienza del trasduttore uguagliando la frequenza di risonanza del modoelettrico e di quelli meccanici.

∗ Il sistema di acquisizione, la cui conversione analogico digitale viene effettuata da unascheda con acquisizione veloce (107 campioni al secondo) e 11 cicli di sottocampionamen-to con un filtraggio passa basso digitale e dimezzamento della banda mediante decimazio-ne (cio porta ad avere una frequenza di campionamento Fc = 107/211 = 4882.8125 Hz).L’acquisizione e stata riprogettata utilizzando la programmazione ad oggetti mediante illinguaggio C++, all’interno dell’architettura CORBA (Common Object Request BrokerArchitecture) [16], e con le librerie e gli strumenti forniti dal software di Linux. L’ac-quisizione consiste di una serie di processi, i quali sono gestiti tra loro dall’architetturaCORBA e da una singola libreria: la Process Control Library (PCL). L’acquisizionepuo essere sintetizzata in tre processi principali: ANT, direttamente collegata all’ADCdel canale principale del rivelatore; AUX, che controlla i vari canali ausiliari di acqui-sizione; e GPS, il quale si occupa della sincronizzazione hardware tramite il sistema dilocalizzazione GPS.

La figura 2.6 mostra un modello linearizzato dell’antenna contenente le varie parti checompongono il rivelatore.

Se ci si restringe alla banda sensibile del rivelatore, ossia attorno a 800 - 1000 Hz, si puodescrivere il rivelatore stesso mediante equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

14


Figura 2.6: Schema linearizzato del rivelatore AURIGA.

Cosı si ricava che sia la funzione di trasferimento che lo spettro di rumore possono essereapprossimati da polinomi a coefficienti reali. Un modello che si adatta allo spettro di potenzadel rumore S(ω) e alla funzione di trasferimento dell’antenna H(ω) si basa su funzioni conpoli e zeri complessi. [17]

S(ω) = S0

NP∏k=1

(qk + iω)(qk − iω)(q∗k + iω)(q∗k − iω)

(pk + iω)(pk − iω)(p∗k + iω)(p∗k − iω)(2.1)

H(ω) = H0(ω)(−iω)NP +2∏NP

k=1(pk − iω)(p∗k − iω)(2.2)

ove qk sono gli zeri, pk i poli, NP il numero di risonanze, S0 e una costante che rappresentail livello di rumore wide-band e H0(ω) e la funzione di calibrazione dell’antenna, che vienefornita dalle procedure di calibrazione effettuate per ogni run del rivelatore.

Per ricavare quindi la densita spettrale della potenza di rumore equivalente all’ingresso delrivelatore basta calcolare il rapporto delle due funzioni precedenti.

Shh =S(ω)

|H(ω)|2(2.3)

L’andamento della quantita√Shh e visualizzato in fig. 2.8.

Per AURIGA, data la presenza di tre diversi risonatori: la barra, il trasduttore e la catenaelettronica, si possono considerare tre poli e tre zeri per un buon fit del modello. Un esempiodi valori dei poli e zeri vicini a quelli di AURIGA sono riportati nella tabella 2.1.

k Re(pk) Im(pk) Re(qk) Im(qk)1 865.7150 0.1746 866.6493 12.40452 914.3891 1.6131 918.2852 386.33003 955.9423 2.8600 931.6006 12.3353

Tabella 2.1: Un esempio dei valori di poli e zeri utilizzati per le simulazioni.

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Figura 2.7: Rappresentazione di H(ω) ricavata dai dati di AURIGA.

Figura 2.8: Figura di sensibilita di AURIGA in funzione della frequenza.

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Figura 2.9: Visualizzazione tempo-frequenza di una serie di dati dal rivelatore AURIGA su tutta labanda di acquisizione. In ascissa si trova la frequenza, mentre in ordinata il tempo. Nel riquadro inbasso e rappresentato l’andamento del segnale in funzione della frequenza ad un determinato intervallodi tempo. Si vede a basse frequenze un rumore di ampiezza piu elevata rispetto alle alte frequenze.Le sospensioni meccaniche funzionano come un filtro passa alto per eliminare il contributo di rumoredelle frequenze piu basse.

Figura 2.10: Visualizzazione tempo-frequenza di una serie di dati dal rivelatore AURIGA sullabanda dove il rivelatore e piu sensibile. In ascissa si trova la frequenza, mentre in ordinata il tempo.Nel riquadro in basso e rappresentato l’andamento del segnale in funzione della frequenza ad undeterminato intervallo di tempo.

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Capitolo 3

Metodi di ricerca segnale

Come abbiamo visto, i segnali gravitazionali che potrebbero provenire dal cosmo, sono moltorari e di intensita bassissima. Il rumore intrinseco del rivelatore, invece, e sempre presente.Si necessita quindi di un metodo che possa distinguere la presenza di un eventuale segnalegravitazionale all’interno del rumore.

Usualmente la regola di decisione della presenza di un segnale si identifica con una sogliadi rilevazione. Una volta trattati i dati con l’algoritmo che si e predisposto, si impone unasoglia su un parametro caratteristico dei dati stessi. Se questa soglia viene superata, il segnalesi considera presente, altrimenti si considera assente.

Si possono distinguere due tipologie principali fra i tanti modi possibili per decidere lapresenza di un segnale. La caratteristica che li distingue consiste nella conoscenza del segnaleche si vuole rivelare. E possibile infatti presuppone di conoscere a priori la forma dell’onda(che si definisce templato) per poi ricavarne le sue proprieta, oppure di non sapere nullaeccetto le caratteristiche di trasversalita e traccia nulla. I due metodi differiscono in quantoil primo e maggiormente efficace per il tipo di onde delle quali si presuppone di conoscernela forma, mentre il secondo non ha una particolare predilezione per alcune forme d’onda adiscapito di altre.

Il primo metodo ha in assoluto l’efficienza migliore per le forme d’onda corrispondenteai templati che si presuppone di conoscere, in questo caso viene definito matching filter, epuo essere utilizzato anche come limite superiore di efficienza. E importante comunque sot-tolineare che, non essendo ancora stata rilevata un’onda gravitazionale, non si conosce concertezza un templato che le descriva, ne se ne esista uno solo che caratterizzi tutte le possibiliforme esistenti. I templati che vengono adottati nell’analisi sono basati su modelli teorici diproduzione di onde da fenomeni galattici.

Di seguito ci soffermeremo su alcuni metodi di ricerca segnale, in particolare quelli stu-diati e utilizzati da AURIGA come candidati alla identificazione degli ETG (Event TriggerGenerator).

3.1 Il test di ipotesi e le curve ROC

Per test d’ipotesi si intende una classe di problemi statistici riguardanti la rilevazione e laclassificazione dei segnali. Questo tipo di test introduce una decisione presa su un segnale,o una classe di segnali, riguardante la natura del segnale stesso. Questa decisione vieneidentificata con il termine di ipotesi. All’interno di un test di questo tipo, le ipotesi possonoessere due, e in questo caso si dice un test binario, oppure piu di due, e allora si denomina come

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CAPITOLO 3. METODI DI RICERCA SEGNALE

test multiplo. Nel caso dei segnali gravitazionali il test presuppone due ipotesi: la presenza el’assenza dell’onda all’interno del rumore del rivelatore.

Si ha, quindi, che ogni istante di tempo considerato e caratterizzato da due possibilita: ilsegnale gravitazionale e presente oppure e assente. Analogamente, analizzando i dati acquisiti,possiamo effettuare una scelta che indichi se, in quell’istante di tempo, il segnale era presenteoppure no. Questa scelta e l’ipotesi del test. Se il segnale si considera assente, l’ipotesi sidice nulla, altrimenti si definisce ipotesi alternativa. Si indica con il nome di test d’ipotesila procedura o la regola che definisce se un campione di dati appartiene all’ipotesi alternativao a quella nulla. Ossia, nel nostro caso il test d’ipotesi e la regola che decide se il segnalegravitazionale e presente oppure no nei dati analizzati.

Non essendo disponibile la conoscenza a priori sulla presenza effettiva del segnale all’internodel rumore, ci sono due possibilita di prendere la decisione corretta, e altre due di prenderequella sbagliata (Fig. 3.1):

– True Alarm: si decide che il segnale e presente quando lo e.

– True Dismissal : si decide che il segnale e assente quando e effettivamente assente.

– False Alarm: si decide che il segnale e presente quando invece e assente.

– False Dismissal : si decide che il segnale e assente quando in realta e presente.

Figura 3.1: Possibilita di effettuare la scelta giusta (rosso) o sbagliata (azzurro) nel decidere lapresenza di un segnale gravitazionale all’interno del rumore.

La regola di decisione adottata dall’algoritmo di ricerca determina i valori numerici diqueste grandezze. Variando questa regola si cambiano i valori dei parametri sopra descritti.Particolare importanza viene data ai True Alarms (che sono legati all’efficienza del metodo)e ai False Alarms. La scelta migliore si otterrebbe con un numero di True Alarms uguale a1 (inteso come rapporto fra eventi ritrovati ed eventi effettivamente presenti) e un numero diFalse Alarm nullo. Tuttavia una regola di decisione che aumenta il numero di True Alarms,aumenta anche il numero di False Alarms. Si cerca percio di ottenere un metodo fra i moltipossibili che fornisca un compromesso fra il numero massimo di True Alarms e il numerominimo di False Alarms (oppure la minima variazione di True Alarms allo stesso rate di FalseAlarms), in modo da ottenere una migliore efficienza sulla rivelazione di eventuali segnaligravitazionali, o della loro assenza.

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3.1. IL TEST DI IPOTESI E LE CURVE ROC

Il test migliore che permette di avere la piu alta probabilita di True Alarms per un deter-minato valore di False Alarms viene definito dal teorema di Neyman-Pearson. Per arrivare allaformulazione del problema introduciamo un linguaggio matematico associato alle grandezzeche abbiamo appena introdotto.

Consideriamo x una variabile casuale osservabile che assume dei valori all’interno di unospazio campione. Un’affermazione qualsiasi sulla distribuzione di x e un’ipotesi statistica,essa viene chiamata semplice se la distribuzione e unica, mentre si definisce composta quando sispecificano piu distribuzioni. Il range di valori che puo assumere la variabile x si dice spaziodi osservazione. La distribuzione della variabile x e descritta da: Fx(x) = P (x < x) o,equivalentemente, dalla sua derivata: la funzione densita di probabilita fx(x) = p(x). Dallafunzione di densita di probabilita si possono definire la media E(x) e la varianza σ2

x come:

E(x) =< E(x) >=

∫ +∞

−∞xp(x)dx (3.1)

σ2x =< [x− E(x)]2 >=

∫ +∞

−∞(x− E(x))2p(x)dx (3.2)

Per esempio, quando la variabile x assume un numero grande di valori indipendenti fra diloro ci si aspetta che la sua distribuzione sia Gaussiana, ossia del tipo:

p(x) =1√2πσ2

x

exp

[−(x− E(x))2

2σ2x

](3.3)

Un processo stocastico viene descritto da una variabile casuale che dipende dal tem-po. Le proprieta di correlazione di questo tipo di segnale sono descritte dalla funzione dicorrelazione:

φnn(τ) =

∫(x(t)− E(x))(x(t+ τ)− E(x))dx (3.4)

o, equivalentemente, dal corrispondente spettro di potenza, o densita spettrale:

Snn(ω) =

∫φnn(τ)e

iωτdτ, (3.5)

ove si e assunto che il processo sia stazionario, ossia le sue proprieta siano indipendenti daltempo.

Consideriamo quindi le due ipotesi introdotte precedentemente: l’ipotesi nullaH0 e l’ipotesicomposta H1, che corrispondono all’assenza e presenza del segnale gravitazionale. La regoladi decisione che adottiamo consiste nell’appartenenza della variabile x all’insieme R, chiamatoanche regione di rifiuto; ossia se x ∈ R si accetta l’ipotesi composta H1, altrimenti si accettal’ipotesi nulla H0. Da qui possiamo ricavare le probabilita di False Alarms, True Alarms, TrueDismissals e False Dismissals.

In particolare, la probabilita di False Alarms e definita come:

PFA(R) = P (x ∈ R|H0) =

∫R

p(x|H0)dx, (3.6)

ossia e la probabilita che x sia contenuto nell’insieme R quando la sua densita di pro-babilita e descritta dall’ipotesi H0. Questa probabilita viene denominata anche livello sisignificativita.

21


Analogamente la probabilita di True Alarms e data da:

PTA(R) = P (x ∈ R|H1) =

∫R

p(x|H1)dx, (3.7)

e viene anche chiamata potenza del test.Da queste definizioni si stabilisce che un test e piu potente di un altro se possiede una

potenza maggiore fra i due.Consideriamo, quindi, una variabile x che possiede due possibili distribuzioni f0(x) e f1(x)

e analizziamo due ipotesi semplici: H0 con densita di probabilita f0(x) e H1 con densita diprobabilita f1(x). Considerando le due distribuzioni si ricava che l’ipotesi alternativa e favoritadalla disuguaglianza f1(x) > f0(x), mentre l’ipotesi nulla dalla disuguglianza opposta. Cioporta a definire la funzione del rapporto di verosimiglianza:

L(x) =f1(x)

f0(x)(3.8)

Il teorema di Neyman-Pearson dimostra che il test piu potente fra tutti quelli possibili allostesso valore di significativita e quello definito dalla regione di rigetto:

R = x : L(x) ≥ η, (3.9)

con η che dipende dal livello di significativita che e stato scelto:

PFA(R) = P (L(x) ≥ η|H0). (3.10)

Il teorema vale solamente se le ipotesi nulla e alternativa sono entrambe semplici, oppure sel’ipotesi nulla e semplice e quella alternativa e composta unilaterale (ossia se e del tipo: x hadistribuzione di probabilita f(x, a) con a > a0). Nel caso che una o entrambe le ipotesi sianocomposte non esiste un teorema analogo, tuttavia Neyman e Pearson hanno mostrato unaprocedura che si chiama test del rapporto di verosimiglianza, che e simile a quella delteorema, solo che invece della grandezza L(x) si considera la statistica di test del rapporto diverosimiglianza Λ(x), che considera il rapporto fra i massimi delle distribuzioni che definisconole due ipotesi. [18]

Dal teorema di Neyman-Pearson si ricava l’utilita dell’utilizzo di una soglia come regola didecisione adottata, come spiegato all’inizio di questo capitolo. L’importanza di questa gran-dezza, assieme ai due parametri di False Alarms e True Alarms, ha portato alla realizzazionedi uno strumento che permette di visualizzare l’andamento dei valori di queste variabili: lecurve ROC.

Una ROC (Receiver Operating Characteristic), e un grafico che mostra l’andamentodell’efficienza in funzione dei falsi allarmi a diverse soglie di rilevazione. Per costruire unacurva ROC si procede nel seguente modo. Consideriamo un certo intervallo di tempo ∆t incui sappiamo essere presenti un numero N di segnali gravitazionali all’interno del rumore delrivelatore. Applicando un algoritmo di ricerca segnale, otterremo una lista di eventi rilevati,che possono corrispondere a quelli iniettati o essere dovuti a fluttuazioni del rumore. Sup-poniamo di poter distinguere quelli che appartengono al primo caso da quelli del secondo (ilche e possibile se stiamo effettuando delle simulazioni). Abbiamo cosı due diverse liste: glieventi (TA, True Alarms) e i falsi allarmi (FA, False Alarms), le cui distribuzioni dipenderannodall’algoritmo utilizzato per la ricerca eventi. Ora selezioniamo una serie di soglie in SNR,

22


che chiamiamo Si, i = 1, . . . , n. Per ogni soglia Si, avremo che ci sono TAi eventi rilevati chehanno un SNR maggiore della soglia. In modo analogo avremo FAi falsi allarmi caratterizzatida un SNR maggiore del valore Si (Fig. 3.2). In un piano efficienza verso falsi allarmi i valoridi TAi/N e FAi/N rappresentano un punto di questo piano, corrispondente alla soglia Si.Quindi, considerando le diverse soglie, otteniamo una curva sul piano efficienza-falsi allarmi,ossia la curva ROC.

Figura 3.2: Esempio di come si costruiscono le curve ROC

Una rappresentazione equivalente delle curve ROC consiste nel visualizzare la probabilitadi True Alarms verso il False Alarm Rate, che si definisce come il rapporto fra i falsi allarmiritrovati ad una certa soglia e l’intervallo di tempo in cui viene effettuata la ricerca. Ossia, ilpunto della curva corrispondente alla soglia Si e dato dalla coppia: TAi/N, FAi/∆t.

Le curve ROC sono molto utili per confrontare diversi algoritmi di ricerca segnale. Esse,infatti, rappresentando l’efficienza di rilevazione in funzione dei Falsi Allarmi, visualizzano unconfronto diretto fra due diversi algoritmi, mostrando quale fra i due puo essere considerato ilmigliore, ossia quello con potenza maggiore. Ossia se confrontiamo due curve ROC derivantida due possibili algoritmi, possiamo dire che l’algoritmo migliore e quello associato alla curvaROC maggiore fra le due, in quanto a parita di falsi allarmi (ovvero la stessa ascissa nel gra-fico), l’efficienza (ossia l’ordinata) migliora.

Applichiamo ora il teorema di Neymann-Pearson nel caso in cui si voglia rilevare un segnaledi forma conosciuta all’interno del rumore. Presupponiamo di conoscere completamente ilsegnale a priori, in particolare la sua forma d’onda e il tempo di arrivo. Consideriamo quindiun intervallo di tempo limitato [t0, tf ] che contenga il tempo di arrivo del segnale e assumiamoche il rumore sia bianco, gaussiano, a media nulla e con densita spettrale pari a N0/2. Inqueste condizioni le due ipotesi, nulla e alternativa, possono essere descritte da:

H0 : x(t) = n(t) t0 ≤ t ≤ tfH1 : x(t) = y(t) + n(t) t0 ≤ t ≤ tf

(3.11)

Prima di procedere oltre, e conveniente passare al caso discreto nel tempo, infatti, il segnalein uscita dal rivelatore e campionato, quindi discreto. Nel caso discreto, quindi:

H0 : xk = nk 1 ≤ k ≤ NH1 : xk = yk + nk 1 ≤ k ≤ N

(3.12)

23


Assumendo che i campioni del rumore siano tra loro indipendenti con media nulla e varianzaσ2, si puo concludere che anche le distribuzioni date dalle due ipotesi siano gaussiane, e quindiil rapporto di verosimiglianza dato dal teorema di Neymann-Pearson viene descritto da:

Λ(x) =p(x|H1)

p(x|H0)=

∏Nk=1

1√2πσ

exp[− (xk−yk)2

σ2 ]∏Nk=1

1√2πσ

exp[− (xk)2

σ2 ](3.13)

e quindi la regola di decisione si scrive come:

Λ(x) ≥ η (3.14)

Per comodita consideriamo i logaritmi di entrambi i membri della regola di decisione. Lopossiamo fare perche il logaritmo e una funzione monotona e quindi la disuguaglianza vienemantenuta. Riarrangiando quindi i termini possiamo scrivere:

N∑k=1

xkyk −1

2

N∑k=1

y2k ≥ σ2ln(η). (3.15)

Possiamo calcolare il valore della varianza ricordando che lo spettro di rumore di un rileva-tore dipende sensibilmente dalla frequenza, ed usualmente l’analisi viene limitato alla bandadove la sensibilita e maggiore. Abbiamo cosı che lo spettro di rumore e limitato in banda,allora nel caso di rumore bianco possiamo scrivere lo spettro di potenza come:

Φ(ω) =

N0

2|ω| < Ω

0 altrove(3.16)

e la funzione di correlazione:

φ(t) =N0Ω

2π

sinΩt

Ωt, (3.17)

da cui si ricava che la varianza del rumore si puo scrivere come:

σ2 =N0Ω

2π(3.18)

Nel limite in cui Ω tende all’infinito il rumore diventa bianco a tutti gli effetti e la suavarianza diventa un impulso di intensita N0/2. Possiamo sostituire quindi il valore ottenutodella varianza nella formula precedente (3.15) e ottenere una formulazione alternativa dellaregola di decisione:

N∑k=1

xkyk −1

2

N∑k=1

y2k ≥

N0

2lnη ≡ γ, (3.19)

o, equivalentemente, nel continuo:∫ tf

t0

x(t)y(t)dt− 1

2

∫ tf

t0

y2(t)dt ≥ N0

2lnη ≡ γ (3.20)

Da qui possiamo calcolarci le probabilita di False Alarms e di True Alarms, ricordando leformule gia introdotte precedentemente:

PFA =

∫ ∞

γ

p(x|H0)dx, (3.21)

24


PTA =

∫ ∞

γ

p(x|H1)dx, (3.22)

Possiamo riscrivere queste due relazioni tenendo conto della statistica. Se consideriamoil primo membro della regola di decisione (Eq. 3.20), e lo indichiamo con I, vediamo chelo possiamo considerare come una variabile gaussiana sotto entrambe le ipotesi di presenza(H1) o assenza (H0) del segnale. Possiamo quindi derivarci la statistica associata calcolandola media e la varianza di questa distribuzione.

Se definiamo l’energia del segnale come:

ε =

∫ tf

t0

y2(t)dt. (3.23)

La speranza della distribuzione I risulta essere nell’ipotesi di presenza del segnale:

E(I|H1) =1

2

∫ tf

t0

y2(t)dt =ε

2, (3.24)

mentre nel caso di assenza e E(I|H0) = −E(I|H1). Si dimostra inoltre che le due varianzecoincidono:

σ2I (H1) = σ2

I (H0) =N0ε

2. (3.25)

Da qui possiamo facilmente calcolare le probabilita di rilevazione e di falsi allarmi. Seintroduciamo le due grandezze:

γ+ ≡ γ + ε/2√N0ε/2

γ− ≡ γ − ε/2√N0ε/2

, (3.26)

possiamo scrivere:

PFA =

∫ ∞

γ+

1√2πe−u

2/2du, (3.27)

PTA =

∫ ∞

γ−

1√2πe−u

2/2du. (3.28)

Da cui si ricava che le due grandezze non dipendono dalla forma d’onda, ma solamentedall’energia e dallo spettro di rumore. Sappiamo inoltre che questo metodo, per definizionedal teorema di Neymann-Pearson, ci permette di ottenere la migliore efficienza a parita di falsiallarmi, per questo possiamo implementarlo per ricavare il limite massimo che ci e possibileraggiungere. In particolare possiamo utilizzare le curve ROC ottenute implementando questometodo per ottenere un grafico di efficienza massima raggiungibile.

Questo procedimento e valido solamente nel caso di rumore bianco. Se il rumore e colorato,abbiamo due possibilita. Possiamo ricavare una formulazione analitica che tenga conto dellecaratteristiche del rumore non bianco, oppure sbianchiamo il rumore colorato per ricondursial caso gia trattato precedentemente. Analizziamo quest’ultima possibilita, in quanto e quellautilizzata all’interno dell’analisi dati di AURIGA.

Abbiamo quindi i dati acquisiti dal rilevatore x(t) e vogliamo trattare i dati sbiancati xw(t)che si ottengono applicando il filtro hw(·, ·). Abbiamo cioe le relazioni:

xw(t) =

∫ tf

t0

hw(t, u)x(u)du =

∫ tf

t0

hw(t, u)y(u)du+

∫ tf

t0

hw(t, u)n(u)du = yw(t)+nw(t) (3.29)

25


ove nel caso in cui non ci sia il segnale y(u) = yw(u) = 0. La funzione hw(·, ·) rappresenta larisposta impulsiva del filtro sbiancante.

Possiamo espandere la funzione di correlazione del rumore colorato φn(t) utilizzando unabase di Karhunen-Loeve [19], nella quale le basi ortonormali gj(t) sono autofunzioni dell’equa-zione: ∫ tf

t0

φn(t, u)gj(u)du = λjgj(t). (3.30)

e dobbiamo scegliere hw(·, ·) in modo che:

φnw(t, u) = E(nw(t)nw(u)) = δ(t− u). (3.31)

Allora si dimostra [20] che il filtro sbiancante hw(·, ·) e descritto da:

hw(t, u) =∞∑i=1

1√λjgj(t)gj(u). (3.32)

Una volta ricavato il filtro sbiancante possiamo ricondurci al caso precedente.

Il procedimento che abbiamo appena descritto, e che possiamo identificare con il nome diFiltro Ottimo, prevede di conoscere sia la forma del segnale che il tempo di arrivo e la stimariguarda solamente l’ampiezza del segnale stesso. In realta, in generale, anche il tempo di arrivonon e a priori conosciuto. Non ci e possibile quindi applicare incondizionatamente questometodo. In questo caso bisogna applicare un procedimento che presupponga di conosceresolamente la forma del segnale e che sia in grado di stimare sia l’ampiezza che il tempo diarrivo. Questa procedura si definisce con il nome di filtro di Wiener e verra descritta nelprossimo paragrafo.

3.2 Il filtro di Wiener

Il filtro di Wiener presuppone di conoscere a priori la forma d’onda del segnale che si vuolerivelare. Esso e il metodo di ricerca maggiormente efficace per la forma d’onda che si utilizza,in quanto ha la caratteristica di massimizzare il rapporto segnale rumore. Tuttavia quando sivogliono rilevare forme d’onda diverse da quella che si utilizza per il filtro, esso non e piu cosıefficiente. Vediamo come si arriva a definire questo tipo di filtro.

Ritornando alla formulazione matematica introdotta nel sottoparagrafo precedente, de-scriviamo con f(t) il segnale in input, n(t) il rumore, che ha quindi media nulla, e con T unsistema lineare che descriva la risposta del rivelatore. Il segnale rilevato si puo scrivere comex(t) = T ∗ f(t) + n(t).1 Il rumore si definisce bianco quando la sua densita spettrale e unacostante, o, equivalentemente, la sua funzione di correlazione e descritta dalla delta di Diracmoltiplicata per una costante.

Abbiamo quindi che il segnale e descritto da: xi = T ∗ fi + ni.Indichiamo con wi il filtro che vogliamo ottenere e l’uscita del filtro con A =

∑iwiui.

Il templato conosciuto a priori e descritto da: ui i = 1, . . . , n, mentre non ne conosciamol’ampiezza A tale che fi = Aui. Conosciamo inoltre la matrice di correlazione del rumoreRij =< ninj >. Supponiamo per il momento di conoscere anche il tempo di arrivo del segnalee di voler stimare la sua ampiezza.

1Con ∗ si intende l’operazione di convoluzione fra funzioni: (f(x) ∗ g(x))(y) =∫f(y − x)g(x)dx.

26

3.2. IL FILTRO DI WIENER

Per ricavare il filtro richiediamo che la sua media sia data da: < A >= A e che la suavarianza σ2

A = 1∑ij Rijuiuj

sia stimata al minimo. Dobbiamo quindi minimizzare la likelihood

data da [21]:

Λ(t) =∑

Rij(xi − Aui)(xj − Auj), (3.33)

che, sviluppando le sommatorie, ed esprimendo A in termini della matrice di correlazione e

del templato noto a priori (A =∑

ij Rijxiuj∑ij Rijuiuj

) si puo scrivere come:

Λ(t) =∑ij

Rijxixj − A2∑ij

Rijuiuj =∑ij

Rijxixj −A2

σ2A

. (3.34)

Da quest’ultima relazione si vede che minimizzare la likelihood e equivalente a massimizzarel’SNR.

Calcoliamo quindi i coefficienti del filtro utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagran-ge. Vogliamo trovare il numero λ che minimizzi il rapporto segnale rumore nelle condizioniche la media di A assuma il valore A:

1

2

∂σ2A

∂wk+λ

2

∂ < A >

∂wk= 0. (3.35)

Calcolando esplicitamente le derivate e sistemando i termini si arriva alla formulazione equi-valente: ∑

j

wjRjk +λ

2Auk = 0. (3.36)

Moltiplichiamo per l’inverso della matrice di correlazione µik = R−1ik :∑

jk

wjRjkR−1ik = wi = −λ

2A∑k

ukR−1ik = −λ

2A∑k

ukµik. (3.37)

Esplicitando il valore di λ si dimostra che il filtro ricercato si puo esprimere come:

wj =

∑j µijuj∑

hk µhkuhuk. (3.38)

I residui di A rispetto al valore della media A si calcolano:

aj =

∑j µijuixj∑hk µhkuhuk

− A =

∑j µijuinj∑hk µhkuhuk

, (3.39)

e la varianza risulta:

σ2A =

1∑hk µhkuhuk

. (3.40)

Il filtro di Wiener viene cosı utilizzato per ricostruire le caratteristiche del segnale, edimporre una soglia in SNR. Ossia, per calcolare la probabilita di False Alarms e di TrueAlarms si considerano gli eventi che soddisfano la condizione |SNR| > SNRT . Si puo vederefacilmente che ci si ricollega al caso dell’applicazione del filtro ottimo. Dalle conclusioni delparagrafo precedente possiamo scrivere per l’ampiezza stimata e la varianza del rumore lerelazioni:

A =

∫x(t)y(t)dt∫y2(t)

=

∫x(t)y(t)dt

ε, σ2 =

N0/2∫y2(t)dt

=N0

2ε(3.41)

27


ove ε e definito in 3.23. Quindi per l’SNR stimato:

SNR2A =

A2

σ2=

(∫x(t)y(t)dt)2

ε22ε

N0

=(∫x(t)y(t)dt)2

N0ε/2. (3.42)

Manipolando la regola di decisione (Eq. 3.20) in modo da ottenere al primo membro ladefinizione di SNR appena ricavata si arriva a scrivere la disuguaglianza:∫ tf

t0x(t)y(t)dt√N0ε

≥ γ + ε/2√N0ε/2

= γ+ (3.43)

ossia possiamo identificare la soglia in SNR fissata come il valore γ+ su cui si calcolano i falsiallarmi nel metodo del filtro ottimo ricavato dal teorema di Neymann-Pearson. Sembra esserciuna differenza rispetto al filtro di Wiener in quanto in quest’ultimo nel calcolare i falsi allarmisi considerano anche gli eventi che hanno un SNR < −SNRT , mentre nella trattazione diNeymann-Pearson si considerano solamente i valori maggiori di γ+. La differenza si risolvetenendo conto che con il filtro ottimo si considera il valore assoluto delle grandezze che entranoin gioco.

Analogamente per calcolare la probabilita di True Alarms si utilizza il valore γ−, che sipuo scrivere come:

γ− = γ+ − ε/2√N0ε/2

= SNRT − SNRA|x=y, (3.44)

ossia e la differenza fra il valore della soglia e il valore dell’SNR ritrovato nel caso in cui lastima sia ottima.

Ora consideriamo il caso in cui non conosciamo il tempo di arrivo a priori. In questasituazione la procedura che si adotta prevede di utilizzare il templato in diversi istanti ditempo: u(t; t0) ≡ u(t− t0), se passiamo al continuo invece di considerare l’analisi discreta.

Quindi, per ogni valore di t0, viene applicato un templato differente, il quale ci porterauna diversa stima della variabile A. Con questo approccio il filtro di Wiener puo essere vistocome un sistema lineare W invariante nel tempo che riceve all’ingresso i dati x(t) e fornisceall’uscita le stime di A(t):

A(t) = W ∗ x(t) (3.45)

Si dimostra quindi [22] che il filtro si definisce come:

w(t) =

∫µ(t− t′)u(−t′)dt′∫ ∫

µ(t′ − t′′)u(t′)u(t′′)dt′dt′′, (3.46)

o, equivalentemente nel dominio della frequenza:

W (ω) =S−1(ω)u∗(ω)∫S−1(ω)|u(ω)|2dω

, (3.47)

Il filtro che si e ottenuto si dice anche Filtro Adattato, si vede che applicare questo tipodi filtro e equivalente a calcolare la correlazione del segnale con la funzione della forma d’ondanota a priori.

Il filtro ottenuto viene cosı applicato sui dati per stimare le ampiezze relative ad ogniistante di tempo in cui viene traslato. L’ampiezza di un evento si definisce come l’ampiezzamassima trovata entro un intervallo di tempo che dipende dalle caratteristiche del filtro stesso.

28

3.3. RICERCA SENZA TEMPLATI

Il tempo di arrivo si definisce come il tempo che corrisponde a questa ampiezza massima.

AURIGA prevede anche l’utilizzo del filtro di Wiener per la ricerca di segnali gravitazionali(Cap. 4). La procedura applicata tuttavia si discosta lievemente da quella appena trattata.Una differenza consiste nell’applicare il filtro in modo continuo nel tempo sul tempo totale,invece di considerare una finestra temporale del tipo [t0, tf ]. Inoltre bisogna considerare che,a seconda delle caratteristiche del filtro, gli eventi che vengono ricostruiti e superano la sogliadi decisione possono essere correlati fra loro, mentre nella trattazione che e stata appenaeffettuata si consideravano scorrelati. L’analisi di AURIGA, una volta trovato un eventosopra soglia, non considera altri eventi sopra soglia per un tempo morto che dipende dalleproprieta del filtro. In questo modo si cerca di non considerare eventi correlati fra di loro. Acausa di queste differenze non e cosı semplice ottenere una trattazione analitica del metodoutilizzato all’interno di AURIGA per ottenere una stima dei Falsi Allarmi e dell’Efficienza,per cui si deve ricorrere a simulazioni per ottenere i valori di queste due grandezze.

Nell’analisi di AURIGA si e utilizzato principalmente come templato per il filtro di Wienerla funzione Delta di Dirac, in quanto la ricerca si basava su segnali impulsivi di breve durata.Questo tipo di ricerca si definisce brevemente come Filtro alla Delta.

Il filtro di Wiener, pero, non e cosı efficiente quando si vuole rilevare forme d’onda non co-nosciute a priori. Per questo si richiederebbe di avere un metodo che non sia legato in manieracosı stretta alla forma d’onda. Una soluzione che si puo adottare consiste nel considerare leampiezze dei campioni rilevati e applicare una regola di decisione su di essi.

3.3 Ricerca senza templati

Abbiamo specificato nel paragrafo precedente che se non si conosce a priori la forma d’ondadel segnale, oppure si ricerca un metodo che non sia strettamente legato ad un solo tipo diforme d’onda, si e costretti a trovare altri metodi che hanno pero un’efficienza minore.

Come nella situazione precedente, si vuole ricercare la presenza di un segnale s[n], (conside-riamo il caso discreto) all’interno del rumore w[n]. Analogamente, i dati rilevati sono espressida: x[n] = s[n] + w[n]. Solitamente si considerano per l’analisi i quadrati delle ampiezze deicampioni (x[n]2), in questo caso il metodo utilizzato viene definito del tipo Excess Power,proprio per questo motivo.

3.3.1 Somma sui dati sbiancati

Il metodo piu semplice di Excess Power che si puo utilizzare consiste nel considerare la sommaquadratica delle ampiezze dei campioni, ossia si impone la soglia di rivelazione sulla grandezzay =

∑Ni=1 x

2[i], se N e il numero di campioni utilizzati.Se il segnale non e presente, la variabile y e la somma di N variabili casuali e indipendenti

a media zero e varianza unitaria. La grandezza y segue una distribuzione del χ2 ad N gradidi liberta e la probabilita di rilevare falsi allarmi si puo scrivere:

PFA =Γ(N/2, γ/2)

Γ(N/2), (3.48)

ove γ e la soglia di decisione e per Γ si intende la funzione Gamma incompleta.2

2Per funzione Gamma incompleta intendiamo: Γ(a, x) =∫∞

xe−tta−1dt

29


Nel caso in cui il segnale sia presente, allora y = f + n e si puo dimostrare [23] chela distribuzione di probabilita e comunque del χ2 con un parametro di non centralita Ps =∑N

i=1 n2[i]. La densita di probabilita e descritta dalla formula:

fy(z) =1

2σ2

(z

Ps

)N−24

e−Ps+z

2σ2 IN2−1

(√z√Ps

σ2

)(3.49)

per z ≥ 0 ove IN2−1 e la funzione di Bessel modificata del primo tipo.

Questo tipo di algoritmo e molto semplice, e quindi facilmente implementabile. Esso quindipuo essere utilizzato come limite inferiore di efficienza. Non e conveniente, infatti, costruireun algoritmo che risulti avere un’efficienza minore, in quanto sarebbe un dispendio inutiledi tempo di calcolo. Con la somma quadratica dei campioni otterremo migliori risultati conminore sforzo.

3.3.2 Wavelet

La tecnica dell’Excess Power mostra una complessita computazionale ridotta, ma anche alcuniproblemi. La sua efficienza, infatti, dipende, oltre che dal templato utilizzato, come ci sipuo aspettare, anche da altri aspetti. Per esempio, se consideriamo un segnale iniettatoall’interno del rumore, non conoscendone ne il tempo di arrivo ne la sua durata, ci aspettiamoche l’efficienza di rilevazione di quel segnale cambi a seconda della finestra temporale cheutilizziamo per costruire la somma dei campioni. Se la finestra sara troppo larga, rischieremmodi includere troppo rumore, d’altra parte, se troppo stretta, potremmo non considerare tutto ilsegnale. Quest’ultima possibilita si realizzerebbe anche se la finestra non fosse adeguatamentecentrata sul segnale, il che puo accadere facilmente quando non si conosce il tempo di arrivo.

Per questi problemi si richiederebbe di possedere un algoritmo che riesca a stabilire do-ve collocare le finestre temporali o di frequenza in cui effettuare la somma quadratica deicampioni. L’utilizzo delle wavelet puo essere una soluzione a questo problema. Le wavelet,infatti, come vedremo nel capitolo 5, producono una scomposizione tempo-frequenza dei da-ti mediante l’applicazione di una trasformata. Accade cosı che le ampiezze rilevate vengonoetichettate con il tempo e la frequenza a cui corrispondono. Utilizzando questa proprieta sicerca di sommare quadraticamente le ampiezze dei dati secondo finestre temporali, o equiva-lentemente in frequenza, adattate al segnale presente. In questo modo si cerca di ridurre lecause di variazione di efficienza solamente al tipo di templato che si rileva.

Riassumendo, possiamo dire che i vantaggi di una scomposizione wavelet consistono:

– nella possibilita di ricostruire le bande di frequenza presenti in un generico segnale negliintervalli di tempo in cui compaiono;

– nella flessibilita di risoluzione nel piano tempo-frequenza, utile per la ricerca di segnalidi forma sconosciuta;

– nella rappresentazione ortogonale, quindi non ridondante, ne incompleta;

– nella complessita computazionale ridotta.

Vedremo nei prossimi capitoli come le wavelet portano ad avere tutti questi vantaggi.

30

Capitolo 4

Analisi Dati di AURIGA (ADA)

Per effettuare l’analisi dati di AURIGA e stata implementata una piattaforma software chepermette di passare dai dati acquisiti alla lista di eventi prodotti. Questa piattaforma vieneidentificata con il nome di ADA (AURIGA Data Analysis) e consiste di un insieme di pro-grammi e di librerie di algoritmi. In questo capitolo verranno trattate alcune caratteristichedi questa piattaforma, soffermandosi su quelle piu pertinenti a questa tesi.

ADA utilizza principalmente le librerie di ROOT, sviluppato al CERN di Ginevra perl’analisi degli eventi prodotti dagli esperimenti di alte energie, e della LAL (LIGO AlgorithmLibrary), sviluppata da LIGO per l’analisi dei dati del rivelatore di onde gravitazionali. [5]

ROOT e stata scelta perche possiede una struttura ad oggetti, basata sul linguaggio diprogrammazione C++ e contiene librerie di tipo grafico, matematico, statistico [24], offrendola possibilita di interagire con i dati, per esempio effettuando dei grafici, o eseguendo dei fitcon funzioni definite dall’utente. ROOT puo essere utilizzato sia mediante programmi compi-lati, sia in modo interattivo. Questa caratteristica e resa possibile dall’interprete di comandiCINT incluso in ROOT, che permette di eseguire delle istruzioni C++ in modalita interattivao tramite degli script, rendendo cosı l’analisi piu flessibile ed immediata.

La LAL invece e stata utilizzata perche molti degli algoritmi contenuti possono essere uti-lizzati anche per il rivelatore AURIGA, ed e composta da una serie di librerie che permettonodi trattare le caratteristiche di un rivelatore di onde gravitazionali, comprendendo, per esem-pio, la descrizione del rivelatore stesso, le modalita di gestione del tempo universale, ecc. [25]

In ADA sono stati implementati tutti gli algoritmi specifici per i rivelatori a barra risonantee la struttura di analisi che permette di eseguire in modo agevole tutti i passi necessari pereffettuare l’intero processo di analisi dei dati (pipeline)

4.1 La pipeline di ADA

In figura 4.1 e riportato lo schema della parte della procedura di ADA [26] pertinente a questolavoro di tesi, in particolare sono illustrati i passaggi successivi per trattare i dati in uscita dalrivelatore fino all’identificazione di eventuali segnali transienti all’interno del rumore.

Acquisizione. Il segnale all’uscita del rivelatore viene campionato a 4882.8125 Hz dalsistema di acquisizione e i dati vengono memorizzati continuamente in appositi dischi di me-

31

CAPITOLO 4. ANALISI DATI DI AURIGA (ADA)

Figura 4.1: Pipeline di ADA, dai dati in uscita dal rivelatore alla ricerca eventi. I cilindri indicanoi punti in cui avviene la memorizzazione dei risultati dei processi.

moria (circa 3Gb al giorno). [27] Il formato dei dati salvati e uno standard che e stato propostoe adottato dagli esperimenti VIRGO e LIGO come formato comune per lo scambio dati, de-nominato frame. Nonostante il rivelatore AURIGA sia sensibile alle onde gravitazionali solonell’insieme dell’intervallo 800-1000 Hz, si acquisisce fino ad una frequenza maggiore (circa2440 Hz, la meta della frequenza di campionamento), in quanto le frequenze non contenuteall’interno della banda sensibile vengono utilizzate per effettuare diagnostica e per l’applicazio-ne dei veti (vedi paragrafo successivo). Vengono acquisiti anche dei canali ausiliari, connessia dispositivi quali sismometri, tilmetri, accelerometri, sonde magnetiche, microfoni [27] perpoter effettuare la diagnostica dei dati del rivelatore.

Stima dei parametri. Una volta ottenuti i dati acquisiti, da questi vengono stimati iparametri della funzione di trasferimento (Eq: 2.2), del modello del rumore (Eq: 2.1) e dellacurva di sensibilita (Eq. 2.3). Questo processo viene chiamato Full Model Estimation(abbreviato con FME) e opera nel seguente modo. La procedura consiste nel raccogliere unnumero definito dall’utente di buffers diversi di dati ed effettuarne per ognuno la trasformata diFourier. Successivamente viene considerata una frazione di questi buffers, definita dall’utentesecondo le caratteristiche del rivelatore, selezionando quelli che presentano un rumore piupulito. Lo spettro ottenuto dall’insieme di questi frames selezionati viene poi fittato neldominio della frequenza con una routine di ROOT (MIGRAD), mediante la funzione a polie zeri caratteristica del rumore (Eq. 2.2). Il fit viene effettuato sulla banda sensibile, comein figura 4.2, che si trova nelle zone che si ritiene possano essere utili per migliorare la stimacomplessiva, e vengono escluse alcune bande di frequenza ove sono presenti spuri conosciutia priori (la parte rossa in figura). Nella fase successiva diverse stime del modello calcolateprecedentemente ad intervalli successivi di tempo, in modo che se sono presenti in certi buffersdelle fluttuazioni rilevanti dei parametri, queste vengono tolte, approssimando i parametristessi secondo l’andamento che possiedono nei buffers vicini. In questo modo si possiede unastima piu globale, mentre con la sola prima fase si era ottenuta una stima locale (ovviamentecon globale e locale si riferisce rispetto al tempo). Con questa operazione si riesce ad otteneredei valori credibili dei parametri anche in periodi di tempo ove compaiono rumori transienti.

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4.1. LA PIPELINE DI ADA

Figura 4.2: Esempio di come viene effettuata la procedura di Full Model Estimation. Vengonoselezionati solo una parte degli spettri ed effettuato il fit sulla banda di sensibilita. I punti in rossonon sono utilizzati per il fit.

Sbiancamento. Come sappiamo (Cap: 2), il rivelatore AURIGA e sensibile solo inun particolare intervallo di frequenza (circa 100 Hz attorno ai 900 Hz). Possiamo pertan-to estrarre l’informazione utile per la ricerca del segnale gravitazionale utilizzando solamenteuna sottobanda specifica.

A questo scopo si utilizza la proprieta dell’aliasing. [28] Si dimostra che, se l’informazionespettrale del segnale gravitazionale e contenuta in una banda data da:

m(νc/2)

D≤ ν ≤ (m+ 1)

(νc/2)

D(4.1)

ove νc e la frequenza di campionamento e D ed m sono numeri interi, allora la stessa infor-mazione puo essere ricavata annullando il contenuto spettrale al di fuori di queste frequenzee decimando successivamente i dati di un fattore D.1 Si e deciso di utilizzare per AURIGA ivalori: D = 12 ed m = 4, da cui risulta che, essendo νc = 4882.8125, la banda estratta e:

813.8Hz ≤ ν ≤ 1017.3Hz. (4.2)

Sui dati decimati viene applicato il filtro sbiancante (Eq: 3.32) i cui parametri sono statistimati nella fase di “Full Model Estimation”. Poiche questo filtro considera solo la parteanalizzata dal modello per poter eliminare le eventuali frequenze spurie su di esse vengonoapplicati dei tagli in modo da eliminarle.

L’utilita della decimazione prima dell’operazione di sbiancamento consiste ridurre l’utilizzodi memoria su cui vengono salvati i dati. Essendo, infatti, i dati sbiancati salvati su disco, epreferibile memorizzare solamente l’informazione necessaria alla ricerca eventi, che e contenutanella banda sensibile, piuttosto che tutta l’informazione contenuta nell’intera banda acquisita,ricordando che fuori dalla banda sensibile non si ricercano eventuali eventi gravitazionali.

1Si noti che se m e dispari c’e un’inversione della parte a frequenza negativa dello spettro che puo esserecorretta moltiplicando ciascun campione del segnale decimato per (−1)m.

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(a) (b)

Figura 4.3: Rappresentazione della procedura di decimazione. Nella figura (a) compare tutto lospettro e la parte che viene annullata e evidenziata in giallo. Nella parte (b) il risultato delladecimazione.

Ricerca eventi. In ADA sono stati implementati due metodi di ricerca eventi. Il primo(filtro ottimo) e quello che prevede la conoscenza a priori della forma d’onda del segnale (Cap:3), il secondo e l’algoritmo Waveburst, che pur potendo avere un’efficienza inferiore al primo,necessita di una minore informazione sul segnale. Il secondo metodo riguarda questo lavorodi tesi e verra spiegato approfonditamente nel Cap. 5, mentre per quanto riguarda il primo,ne accenniamo ora la procedura.

Come abbiamo visto nel capitolo 3 il filtro ottimo di un segnale di cui si conosce la formama non l’ampiezza e il tempo di arrivo si implementa producendo la correlazione del segnalesbiancato (Eq: 3.32) sui dati sbiancati. Questa operazione deve essere ripetuta spostando iltempo di arrivo del segnale sbiancante.

L’uscita di questo processo e la stima dell’ampiezza del segnale per le diverse ipotesi sultempo di arrivo poiche, come abbiamo visto nell’equazione 3.34, la migliore stima del tempodi arrivo e quella che massimizza l’SNR del segnale. Il metodo di ricerca eventi puo esserepertanto pensato come ricerca dei massimi relativi sui dati all’uscita del filtro di Wiener.

Al fine di fissare i falsi allarmi del metodo si selezionano solo quei massimi che superanouna prefissata soglia in SNR. Inoltre, per evitare di selezionare massimi tra loro correlati, cioeappartenenti allo stesso segnale, viene imposto che l’invervallo minimo tra due massimi nonsia inferiore al tempo di correlazione del filtro di Wiener (Max-hold).

Nella pratica, per aumentare la precisione sulla stima del tempo di arrivo, i dati sbiancatidecimati vengono prima riportati a 4882.8125 Hz e su questi ultimi viene quindi applicato ilfiltro ottimo.

Per aumentare ulteriormente la risoluzione temporale si ricorre ad un’interpolazione si-nusoidale (Fig. 4.5) dei dati campionati a 4882.8125 Hz. Questo permette di raggiungere

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Figura 4.4: Risultato dell’applicazione dello sbiancamento e dei tagli in frequenza. In rosso la partedello spettro affetta dagli spuri.

precisioni di 1 µs.

Viene anche effettuato il calcolo del χ2 per verificare la compatibilita dei parametri stimaticon i dati. Il calcolo del χ2 viene eseguito nel dominio della frequenza:

χ2 =∑i

∣∣∣∣∣Xi − AFi,t0Si

∣∣∣∣∣2

, (4.3)

ove Xi, AFi,t0 e Si sono rispettivamente le componenti di Fourier dei dati, del segnale (checomprende la stima dell’ampiezza e del tempo di arrivo) e del rumore in uscita del filtro ottimo.

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Figura 4.5: Rappresentazione della ricerca eventi mediante il matching filter. La ricerca del massimoavviene in un tempo morto stabilito (sopra), mentre per avere una buona risoluzione temporale siricorre ad una interpolazione sinusoidale, ove possibile (sotto).

Nella sommatoria vengono considerate solamente le parti dello spettro non escluse nella fasedi sbiancamento dei dati

Simulazioni. ADA permette di simulare il rumore in uscita dal rivelatore partendo dalmodello parametrico riportato nell’equazione 2.2.

In fase di produzione del rumore simulato possono essere inseriti dei segnali con diverseforme d’onda e con ampiezze e tempi di arrivo impostabili dall’utente. Questa possibilitapermette di avere il pieno controllo dell’intera catena di analisi dei dati.

Le simulazioni sono utilizzate anche per la stima dell’efficienza di rivelazione dell’algoritmousato per la ricerca di segnali gravitazionali.

In particolare, sia per il filtro ottimo che per il metodo Waveburst, esiste in ADA lapossibilita di utilizzare una procedura automatica che permette di iniettare sui dati sbiancatidelle forme d’onda definite dall’utente e di ottimizzare la stima dei parametri.

La procedura di stima consiste nell’iniezione di eventi filtrati con il filtro sbiancante suidati ottenuti dopo la procedura di sbiancamento, distanti temporalmente in modo tale da noninterferire reciprocamente.

Quindi viene applicata la procedura di ricerca eventi impostando una soglia di detectionin SNR. La lista di eventi prodotti viene quindi confrontata con la lista degli eventi iniettati.

La verifica del ritrovamento dell’evento iniettato viene eseguita aprendo una finestra tem-porale ∆t centrata attorno al tempo di iniezione e verificando se in quell’intervallo esiste

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Figura 4.6: Il risultato di una ricerca eventi cosı come si vede tramite il monitor interattivo di ADA.L’evento e stato iniettato nel rumore simulato con un templato alla Delta e ricercato con un MatchingFilter alla Delta.

almeno un evento.2

Il numero degli eventi cosı ritrovati non rappresenta pero la corretta efficienza in quantoparte di questi eventi potrebbero essere dovuti alle fluttuazioni del rumore (ossia i falsi al-larmi). Per calcolare l’efficienza si procede quindi nel modo seguente. Indichiamo con PSSla probabilita di rilevare almeno un evento sopra soglia in ∆t e con PFA la probabilita ditrovare almeno un falso allarme sopra soglia in ∆t. Allora se PFA e PTA sono indipendenti laprobabilita PSS di trovare almeno un evento e data da:

PSS = 1− (1− PTA)(1− PFA), (4.4)

da cui si ricava che:

PTA =PSS − PFA1− PFA

. (4.5)

Da qui possiamo ricavare l’errore su PTA:

σ2TA =

1

(1− PFA)2σ2SS +

(PSS − 1

(1− PFA)2

)2

σ2FA, (4.6)

2Un’altra possibilita potrebbe essere quella di contare il numero di eventi trovati all’interno della finestratemporale di controllo, effettuare una media su tutte le prove e sottrarre alla fine il numero di falsi allarmiprevisti in tale intervallo. Questo metodo potrebbe portare a dei risultati errati qualora il segnale iniettatoalterasse sensibilmente la probabilita dei falsi allarmi. In questo caso, infatti, potrebbe accadere che, incorrispondenza di un evento iniettato vengono prodotti sopra soglia, oltre ai falsi allarmi previsti, piu di unevento, causando cosı una stima errata dell’efficienza.

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ovvero, considerando gli errori relativi:

σ2TA

P 2TA

=

(PSS

PSS − PFA

)2σ2SS

P 2SS

+

(PSS − 1

(PSS − PFA)(1− PFA)

)2σ2FA

P 2FA

. (4.7)

La PFA si ricava dal False Alarm Rate (FAR) ottenuto dal rapporto del conteggio deglieventi sopra soglia in assenza di segnale iniettato e l’intero periodo di ricerca eventi.

La quantita FAR · ∆t rappresenta il numero medio di conteggi osservati in ∆t. Questonumero si approssima a PFA quando il suo valore tende a zero.

Se ne deduce che per ottenere PFA si puo dividere ∆t in N intervalli ognuno di lunghezza∆t/N e calcolare PFA come:

PFA = limN→∞

1−(

1− FAR ·∆tN

)N. (4.8)

La formula 4.5 vale se PFA e PSS sono tra loro indipendenti. In generale questa condizionee vera solo in prima approssimazione in quanto la presenza di un evento iniettato incide sullaprobabilita di falsi allarmi disposti temporalmente vicini a questo. In figura 4.7 sono riportatile distribuzioni delle differenze temporali rispetto al tempo di iniezione degli eventi ritrovaticon un filtro ottimo per un segnale di tipo delta con SNR=4 e Max-hold uguale a 100 ms.

Figura 4.7: Distribuzione temporale degli eventi trovati mediante ricerca eventi. I tempi sono statiriportati rispetto alle iniezioni e poi selezionati entro una finestra di 800 ms. Si puo notare ladiminuzione del numero di falsi allarmi vicino allo zero.

Si vede che per tempi non compresi nell’intervallo di [-100, 100] ms dal tempo di iniezionela distribuzione e piatta e corrisponde a quella dei falsi allarmi in assenza di eventi iniettati.All’interno di tale intervallo, invece, sono presenti degli eventi ritrovati e solo una parte di falsiallarmi presenti in assenza del segnale.

Si puo in generale dedurre che trascurare questo effetto porta a sovrastimare la PFA equindi, per la 4.7 a sottostimare la PTA. Tuttavia, nelle simulazioni effettuate nei capitoliseguenti, questa sottostima non ha influenze rilevanti.

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Il calcolo dell’efficienza deve tenere conto di tutti questi aspetti. Quindi, quando vogliamotrovare l’efficienza di rivelazione di un certo algoritmo abbiamo bisogno di:

– Decidere una finestra temporale

– Decidere una soglia di rilevazione

– Calcolare il FAR corrispondente alla soglia prefissata

E possibile decidere la soglia in SNR a seconda del FAR che vogliamo ottenere, dato chese vogliamo confrontare le efficienze di diversi templati o algoritmi, in questo modo possiamoconfrontarli direttamente allo stesso falso allarme.

Analogamente possiamo scegliere la finestra temporale secondo l’efficienza che vogliamoottenere per ogni templato, una volta stabilita la soglia. Un approccio diverso, invece, puoessere quello di decidere una finestra temporale (e quindi un errore sul tempo di arrivo) ecalcolare l’efficienza che si ottiene selezionata questa finestra.

Tuttavia, la lunghezza della finestra temporale deve essere scelta in modo tale da esse-re sufficientemente larga da contenere con alta probabilita il segnale e simultaneamente nontroppo ampia da avere una probabilita di contenere falsi allarmi capace di alterare la misuradell’efficienza. Infatti, se la probabilita di falsi allarmi non e sufficientemente piccola rispettoa quella di rivelazione, piccoli errori di stima sugli eventi ritrovati possono propagarsi produ-cendo grosse incertezze sulla stima dell’efficienza.

Queste considerazioni sono vere solo per soglie di detection superiori ad un certo valore edipendono dal valore dell’SNR e dalla forma del segnale iniettato. In generale, comunque, sipossono assumere soddisfatte.

Possiamo mostrare quest’ultima affermazione con un esempio, ove sono stati iniettati deglieventi di tipo delta ad SNR 4 e vengono calcolate le efficienze per diverse soglie, con i relativierrori (Fig. 4.8). Si vede appunto che abbassando la soglia in SNR i falsi allarmi aumentano,come ci si aspetta, di conseguenza anche gli errori sulla probabilita di True Alarms aumen-tano. Alzando la soglia, si vede che gli errori diventano piu piccoli, poiche, come abbiamovisto, anche i falsi allarmi diminuiscono. Analogamente si vede che l’efficienza diminuisce conl’aumentare della soglia. Osservando l’andamento dell’efficienza al variare della finestra, sivede che per finestre maggiori ad un valore vicino ai 20 ms l’efficienza non cambia, mentreper valori minori l’efficienza diminuisce sensibilmente. E naturale quindi, nella scelta dellafinestra, assumere il valore di 20 ms, anche se in un caso come questo, si potrebbe prenderequalsiasi valore maggiore, in quanto l’efficienza resta immutata. Notiamo che nella figura 4.8abbiamo rappresentato l’asse delle ascisse in scala logaritmica. Questa scelta non e causale, mae dovuta al fatto che le variazioni di efficienza sono piu marcate quando la finestra e piccola,rispetto a quando la finestra cresce. La rappresentazione logaritmica ci mostra in modo piuchiaro come varia l’efficienza, considerando che essa non muta in modo lineare con la finestra.

Riportiamo inoltre un confronto fra due curve ROC ricavate fissando la finestra a 20 ms,iniettando eventi di tipo Delta ad SNR 4 e 6 e ricercati con il filtro ottimo. Si vede che lacurva ROC ad SNR 6 e migliore di quella ad SNR 4, come ci si puo aspettare.

Nella figura 4.8 si possono vedere molto bene gli effetti dell’utilizzo di una finestra troppopiccola. Si nota infatti un andamento a scalino quando la finestra si avvicina al valore nullo.Questo andamento e dovuto alla distribuzione in tempo degli eventi ritrovati, come si vedein figura 4.10, la quale si puo considerare dovuta al filtro. Esso infatti si puo scomporre indue fattori, una parte modulante a una parte portante. Di conseguenza la distribuzione degli

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Figura 4.8: Efficienza verso finestra temporale per iniezioni di templati di tipo Delta ad SNR 4 conricerca eventi di tipo Delta a diverse soglie.

Figura 4.9: ROC ricavate da iniezioni di templati di tipo Delta ad SNR 4 e 6 e ricerca mediantefiltro alla Delta

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4.2. I VETI

eventi presenta dei picchi. Quando ci restringiamo troppo con la finestra, ci avviciniamo adeventi che sono caratterizzati dallo stesso errore di picco, e quindi basta una lieve diminuzionedella finestra per non considerarli. Quindi l’efficienza peggiora di una quantita significativa sediminuendo la finestra passiamo da un picco all’altro.

Figura 4.10: Distribuzione temporale degli eventi trovati mediante ricerca eventi. I tempi sono statiriportati rispetto alle iniezioni e poi selezionati entro una finestra di 10 ms. Si notino le distribuzionidegli eventi dovuti alla parte modulante e portante del filtro.

4.2 I veti

Abbiamo visto che quando si effettuano simulazioni, ADA simula il rumore del rivelatoresecondo il modello che viene specificato nel file di configurazione. Il rumore generato e statoscelto gaussiano e a media nulla. Nel caso di dati reali, pero, non e tutto cosı semplice.

In generale il rumore in uscita del rivelatore presenta caratteristiche spettrali che si disco-stano da quella del modello di rumore riportato nell’equazione 2.2.

Inoltre nel tempo si possono presentare dei transienti di breve durata non dovuti ad ondegravitazionali (eventi spuri).

Ci sono diverse ipotesi sui fattori che contribuiscono alla formazione degli eventi spuri:disturbi meccanici, perdita di carica istantanea del trasduttore, disturbi elettromagnetici trail trasduttore e lo SQUID, raggi cosmici, ecc... Possiamo caratterizzare questi eventi a secondadella loro origine in relazione alle diverse parti che compongono il rivelatore (Fig. 2.6):

– evento spurio antenna (di tipo meccanico);

– evento spurio trasduttore (di tipo elettrico);

– evento spurio risonatore (di tipo elettromagnetico);

– evento spurio elettrico (di tipo elettromagnetico).

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Figura 4.11: Figura di sensibilita tipica di AURIGA. Le zone evidenziate in giallo costituisconoquello che puo essere definito come rumore spurio.

Per ridurre il problema dovuto alla presenza degli eventi e del rumore spuri, sono statiimplementati dei meccanismi di veto sia in frequenza che in tempo che tolgono alla rilevazionele parti possono disturbare la ricerca di segnali gravitazionali.

Ci sono diversi tipi di veti, secondo le cause che li provocano e il modo in cui si presentano.Durante l’attivita del primo run di AURIGA, erano presenti molti eventi spuri, che impedivanouna facile analisi dei dati rilevati. Con AURIGA run II molti di questi disturbi sono statieliminati, anche se sono sempre presenti segnali spuri durante la rilevazione.

Come detto, la procedura di veto applicata ai dati si basa sul fatto che nella maggior partedei casi i disturbi in banda si manifestano contemporaneamente anche fuori banda.

Gli eventi spuri che maggiormente disturbano sono i cosidetti wideband (wb) che sonodovuti a continue fluttuazioni del rumore di durata molto breve, sui 40 ms, e larghi in banda(wideband, appunto). Essi sembrano essere originati principalmente dal risonatore. Ricor-diamo, infatti, che il sistema equivalente del rivelatore e caratterizzato da quattro sorgenti dirumore (antenna, trasduttore, risonatore, catena elettronica) e si puo vedere che, analizzandole rispettive funzioni di trasferimento, esse si presentano diverse nei quattro casi. L’antennacontiene solamente dei poli, mentre negli altri casi si presentano anche degli zeri. La presenzadi questi zeri fa sı che la curva di sensibilita sia meno attenuata fuori dalla banda sensibiledel rivelatore, e quindi i disturbi che essi originano si manifestano su una banda piu larga.Mediante simulazioni dei diversi tipi di rumore, si e visto che la forma dei transienti originatidal risonatore sono compatibili (che contiene due zeri) con quelli dei wideband. [29]

In figura 4.13 e riportato lo spettro di rumore all’uscita tipico di AURIGA e le curve ditrasferimento, in unita arbitrarie, per un segnale generato nella barra e quella per un segnalegenerato nel risonatore. Risulta evidente che a differenza degli eventi provenienti dalla barra,quelli originati nel risonatore estendono il loro effetto su una banda di frequenze molto piuampia, in particolare fino a frequenze contenute nell’intervallo tra i 600 e gli 800 HZ, dovel’antenna non e sensibile alla rivelazione di onde gravitazionali. Si sfrutta questa proprieta

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4.2. I VETI

Figura 4.12: Esempio di come vengono applicati i veti mediante l’imposizione della soglia. Gli eventiche vengono vetati sono la parte gialla. Il grafico mostra la distribuzione degli eventi di tipo wideband.

per discriminare tra gli eventi visti in banda quelli di tipo risonatore (wideband) del resto.

Figura 4.13: In nero lo spettro del rumore all’uscita tipico di AURIGA, in blu la funzione ditrasferimento dell’antenna, mentre in rosso la funzione di trasferimento del risonatore. Si vedeche a frequenze piu basse la funzione di trasferimento del risonatore e meno attenuata di quelladell’antenna.

A questo scopo si seleziona quella parte di banda compresa tra i 600 e gli 800 Hz che non

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e affetta da rumori spuri (le bande in giallo in figura 4.13) quali quelli dovuti alla linea di rete(armoniche a 50 Hz). Con i dati cosı ottenuti, nel dominio temporale, si estraggono i massimirelativi del modulo del segnale che superano una data soglia. La soglia viene selezionata inmodo tale da discriminare il rumore di tipo Gaussiano dagli eventi di tipo wideband. (Fig.4.12) e deve essere opportunamente adattata alle variazioni di sensibilita di rivelatore neltempo.

Il metodo usato per porre il veto sugli eventi trovati in banda consiste nell’eliminare tuttiquegli eventi che sono in coincidenza entro 40 ms (durata del segnale wideband) con i widebandtrovati fuori banda.

In figura 4.14 sono riportate le distribuzioni in SNR degli eventi di tipo wideband ottenutiapplicando un filtro adattato alla loro forma e quelli che rimangono dopo l’applicazione delveto. Si vede che il loro contributo in ampiezza e molto significativo. Il rate medio osservatoper i wideband si mantiene approssimativamente costante e il suo valore sopra soglia SNR=5e di 140 /ora.

Figura 4.14: Distribuzioni di eventi presi da dati reali di tipo wideband (in rosso) e dopol’applicaazione di tale veto (blu).

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Capitolo 5

L’algoritmo di ricerca eventi Waveburst

5.1 Introduzione alle Wavelet

L’approssimazione di funzioni o di dati mediante l’utilizzo di altre funzioni vanta la sua com-parsa sin dal primo ’800, quando Joseph Fourier illustro la possibilita di poter rappresentarequalsiasi funzione con una composizione lineare di seni e coseni. Questa somma puo essereapplicata sia a funzioni continue che a campioni discreti. La trasformata di Fourier (cosıcome viene chiamata questa rappresentazione) trasferisce la funzione analizzata dal dominiodel tempo a quello della frequenza. In questo modo e possibile determinare le frequenze carat-teristiche della funzione analizzata, ma non il tempo in cui sono presenti. Questa peculiaritaporta degli inconvenienti quando si vuole analizzare un segnale, soprattutto se si ricercanocoincidenze, in cui si desidera conoscere il tempo in cui si manifestano.

Per risolvere questo problema, numerose soluzioni sono state proposte, fra queste, peresempio, una trasformata di Fourier finestrata, ossia che analizzi certi intervalli di tempoestraendone le frequenze presenti. Le risoluzioni in tempo e in frequenza sono tuttavia limitateda un problema legato al principio di indeterminazione di Heisenberg: non e possibile conoscerecontemporaneamente le frequenze presenti in determinati istanti di tempo, ma solamente lebande di frequenza presenti in certi intervalli temporali.

La trasformata di Fourier finestrata si attua mediante l’utilizzo di funzioni finestre w(t),che moltiplicano il segnale x(t). La trasformata di Fourier a tempo continuo:

X(ω) = Fx(t) =

∫ +∞

−∞x(t)e−iωtdt (5.1)

viene sostituita dalla Short Time Fourier Transform:

STFT (w, τ) =

∫ +∞

−∞[x(t)w∗(t− τ)]e−iωtdt. (5.2)

In questo modo si ottiene il contenuto armonico del segnale in un intorno dell’istante di tempoτ in cui e posizionata la finestra. La funzione finestra w(t) determina automaticamente lerisoluzioni in tempo e frequenza, le quali sono fisse e tra loro inversamente proporzionali.

La STFT e una buona soluzione al problema della determinazione in tempo, ma non eancora ottimale in quanto e una tecnica a risoluzione fissa, mentre in certi casi potrebbe essereutile una tecnica a risoluzione variabile.

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CAPITOLO 5. L’ALGORITMO DI RICERCA EVENTI WAVEBURST

Per questo si ricorre ad una proprieta della trasformata di Fourier che dice che unaespansione in frequenza corrisponde ad una compressione in tempo e viceversa:

Fx

(t

s

)= |s|X(sω). (5.3)

Da questa proprieta si sviluppa l’idea di usare invece di un’unica funzione finestra di-verse funzioni scalate, ossia si utilizzano traslazioni e scalamenti di una funzione madre permoltiplicarli alla funzione da analizzare. Si ottiene in questo modo la Continue WaveletTransform:

CWT (s, τ) =

∫ +∞

−∞x(t)ψ∗s,τ (t)dt, (5.4)

ove si definisce:

ψs,τ (t) =1√sψ(t− τ

s), (5.5)

s si chiama parametro di scala e τ parametro di traslazione. La funzione ψ(t) viene chiamatafunzione madre, poiche da essa derivano le funzioni utilizzate per la scomposizione in tempo-frequenza.

Per poter ricostruire un segnale a partire dalla sua trasformata, si necessita della trasfor-mata inversa, la quale per le wavelet e definita solamente se la funzione madre soddisfa la

condizione di ammissibilita : ossia che il valore Cψ dato dall’integrale Cψ =∫ +∞

0|Ψ(ω)|2|ω| dω

sia finito. Allora la formula di ricostruzione del segnale vale:

x(t) =1

Cψ

∫ +∞

0

∫ +∞

−∞CWT (s, τ)

1√sψ

(t− τ

s

)dτds

s2. (5.6)

La condizione di ammissibilita implica che il valore della trasformata di Fourier di ψ(t)sia nullo quando la frequenza e nulla: |Ψ(ω)|

∣∣ω=0

, ossia che la wavelet sia un passa banda neldominio della frequenza. Di conseguenza il valor medio nel dominio del tempo risulta nullo:∫ +∞−∞ ψ(t)dt = 0. La funzione madre deve essere oscillatoria, da cui il nome di wavelet.

Figura 5.1: Alcuni esempi di wavelet madre.

Per applicare l’analisi wavelet allo studio dei segnali campionati, e necessario avere unatrasformata discreta, cosı come possibile per l’analisi di Fourier. Per questa infatti, esistonodue diversi tipi di trasformate discrete:

– DFT, Discrete Fourier Transform, stima la trasformata di Fourier a partire da punticampionati;

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5.1. INTRODUZIONE ALLE WAVELET

– FFT, Fast Fourier Transform, approssima la trasformata mediante una matrice dicampioni.

Analogamente, la Trasformata Wavelet Discreta (DWT, Discrete Wavelet Transform), eil risultato della procedura di campionamento sulla trasformata continua, con una griglia dicampionamento data da:

s = 2−j j ∈ Zτ = n2−j n ∈ Z, j ∈ Z (5.7)

La DWT del segnale x(t) e composta quindi da una serie di coefficienti dati da:

dj,n =

∫ +∞

−∞x(t)ψ∗j,n(t)dt, (5.8)

ove si definisce stavolta:

ψj,n(t) =1√2−j

ψ

(t− n2−j

2−j

). (5.9)

La trasformata inversa risulta essere la combinazione lineare delle wavelet utilizzate per lascomposizione mediante i coefficienti dj,n:

x(t) =∑j∈Z

∑n∈Z

dj,nψj,n(t). (5.10)

E da notare che in questo caso, a differenza della Trasformata Wavelet Continua, lascomposizione non e piu invariante per traslazioni, anzi piccole traslazioni possono cambiarecompletamente i valori dei coefficienti.

La rappresentazione dei valori dei coefficienti trovati nel piano tempo-frequenza viene chia-mato spettrogramma, o anche scalogramma.

Si vede quindi che per la trasformata wavelet sono possibili infinite basi di funzioni, essendoinfinite le possibili wavelet madri. E possibile quindi, e anche conveniente, scegliere la waveletmadre a seconda del tipo di analisi che si vuole effettuare. Spesso le condizioni richieste non sipossono esprimere matematicamente, ma sono necessarie simulazioni per selezionare la waveletappropriata. Tuttavia ci sono alcuni teoremi che aiutano nella ricerca della wavelet madre.

Per esempio, si puo volere la maggior parte dei coefficienti molto piccoli, o nulli. Si dimo-stra che i coefficienti decadono piu velocemente al tendere di |n| e |j| all’infinito, se la waveletmadre ha un numero maggiore di momenti nulli 1, inoltre i coefficienti di valore elevato dellatrasformata diminuiscono se diminuisce il supporto della wavelet madre.2 Queste due gran-dezze sono indipendenti tra loro, si ha pero una restrizione se si considerano basi waveletortogonali: se una wavelet ha N momenti nulli, allora il suo supporto ha dimensione maggioreo uguale ad 2N-1. Si richiede percio un compromesso nella scelta della wavelet fra il numerodi momenti nulli e la dimensione del supporto.

La definizione della wavelet madre e importante per gli obiettivi che ci si vuole prefiggerenell’analisi. L’utilizzo dei parametri s e τ deve essere corretto, al fine di evitare rappresenta-zioni incomplete o ridondanti. La situazione da ricercare e una rappresentazione ortogonale.La ricerca di una rappresentazione ortogonale puo essere collegata all’Analisi Multirisoluzione.[30]

1Si ricorda che il momento di ordine k di una funzione ψ(t) si definisce come: µk =∫ +∞−∞ tkψ(t)dt.

2Il supporto di una funzione e definito come l’insieme dei valori del dominio per cui il valore della funzionee diverso da zero

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Senza entrare nei particolari, per Analisi Multirisoluzione si intende la costruzione di unagerarchia di approssimazioni di un segnale in una sequenza di sottospazi vettoriali lineariannidiati. Muovendosi in una direzione, questi sottospazi approssimano il segnale originalecon precisione maggiore, nell’altra direzione si avvicinano alla funzione nulla. In questo modoogni segnale puo essere approssimato con una precisione arbitaria, che viene definita dal livelloa cui scende l’analisi. Ad ogni livello viene eseguita la proiezione ortogonale del segnale sulsottospazio corrispondente.

Esiste una funzione, detta scaling function, che indichiamo con φ(t), le cui traslazioniformano una base ortogonale per il sottospazio V0, il quale possiede la caratteristica che laproiezione di una funzione nello stesso si risolve nell’identita. Se consideriamo lo spazio V−1,che e il sottospazio inferiore a V0, e indichiamo con W−1 il sottospazio ortogonale a V−1 in V0,allora V−1 ha una base ortogonale definita dalle traslazioni di una funzione ψ(t), che e legataalla scaling function. Si dimostra che le funzioni ψj,n(t)j,n∈Z, definite come in 5.9, formanouna base ortonormale per l’intero spazio dei segnali in L2(R). La funzione ψ(t) e quindi lawavelet madre cercata, e si puo costruire dalla scaling function, la quale si dimostra che puoessere determinata facilmente da un filtro passa basso. Al generico livello j, ogni spazio vet-toriale Vj e definito dalla base φj,n(t), mentre il suo complemento ortogonale a Vj+1, ossia Wj

e caratterizzato dalla base ortonormale ψj,n(t).

Figura 5.2: Alcuni esempi di scaling functions associate alle wavelet madri di Fig. 5.1. A sinistrala scaling functions associata alla Meyer, mentre a destra quella associata alla Haar. Non esistonoscaling functions associate alla Mexican Hat.

Definita la wavelet madre, ci sono diversi modi per ottenere la scomposizione in tempo-frequenza. L’Analisi Multirisoluzione prevede di ottenere le proiezioni del segnale nei livelli Vje in quelli a loro ortogonali Wj. Questa situazione si puo rappresentare graficamente con unalbero, nel quale i rami di sinistra corrispondono ai sottospazi Vj, mentre quelli di destra aiWj. Ad ogni livello, i rami di sinistra hanno sempre due figli, eccetto l’ultimo, mentre quellidi destra non ne hanno. Questo tipo di albero e detto diadico e fornisce una risoluzione loga-ritmica nel tempo e nella frequenza, con risoluzioni migliori in tempo e peggiori in frequenzaper alte frequenze. Il loro prodotto rimane comunque costante per ogni livello. Per ottenereuna risoluzione costante per ogni frequenza, si ricorre alla tecnica dei Wavelet Packet. Essaconsiste in una particolare combinazione lineare di wavelet e permette di ottenere una riso-luzione fine e adattabile anche alte frequenze. Questo sistema consiste nel suddividere anchei sottospazi Wj, oltre a quelli Vj. Riportandosi alla descrizione grafica, cio e equivalente aformare alberi i cui rami hanno o zero o due figli indipendentemente dalla loro posizione (sono

48

5.2. L’ALGORITMO WAVEBURST

chiamati alberi ammissibili). Un albero binario e definito come quell’albero che ha tutti i ramiaperti fino al livello in cui si ferma l’analisi. In questo modo si possono scomporre i segnalicon risoluzioni tempo-frequenza indipendenti dalla frequenza a seconda della precisione che sivuole ottenere.

Figura 5.3: Due esempi di alberi ammissibili: uno diadico (sinistra) e uno binario (destra). Sinotino le differenti risouzioni in tempo e frequenza.

Le proprieta delle wavelet descritte fino ad ora sono state implementate all’interno dell’al-goritmo Waveburst, nel prossimo paragrafo ne descriveremo il metodo di applicazione.

5.2 L’algoritmo WaveBurst

Waveburst e un algoritmo implementato all’interno del gruppo di LIGO, nell’universita dellaFlorida, ed e stato testato sui dati forniti dallo stesso rivelatore interferometrico ([31] e [32]).Per poter essere utilizzato sui dati del rivelatore AURIGA, e stato adattato sulle caratteristichedei rivelatori a barra risonante ed integrato all’analisi dati di AURIGA, permettendo cosı dieffettuare test di efficienza sui dati forniti da AURIGA.

L’algoritmo utilizza la scomposizione in tempo-frequenza del segnale mediante trasformatewavelet per la ricerca di segnali transienti, e non necessita della conoscenza a priori della formadel segnale. E un metodo che si basa sulla tecnica dell’Excess Power (Cap. 3).

Waveburst e caratterizzato da alcuni parametri il cui valore viene impostato dall’utente eche caratterizzano l’esecuzione dello stesso.

Uno di questi parametri definisce il numero di livelli di decomposizione della trasformatawavelet che sono correlati alle diverse risoluzioni nel piano tempo-frequenza. Per i GW burstnon esiste una risoluzione ottimale specifica, ma essa dipende dalle proprieta dei burst stessi.Burst di durata breve e larga banda sono rivelati in modo migliore da una scomposizione conrisoluzione temporale stretta. Al contrario per segnali a banda larga e durata breve. Questoimplica che la selezione di un range di risoluzioni tempo-frequenza restringe lo spazio deiparametri delle possibili onde gravitazionali che possono essere rivelate.L’implementazione dell’algoritmo puo essere sintetizzata in cinque punti principali:

∗ Produzione di serie tempo-frequenza con trasformata wavelet

∗ Condizionamento dei dati nel dominio delle wavelet

∗ Selezione dei campioni (pixel) di dati rappresentativi

49


∗ Costruzione dei cluster e regola di decisione per l’estrazione degli eventi

∗ Stima dei parametri del segnale

? Trasformata Wavelet. Una volta ottenuti i dati discreti, viene applicata la trasformatawavelet discreta (DWT, Discrete Wavelet Transform), e viene prodotta una serie discreta diampiezze ωij ove i indica la traslazione (indice nel tempo) e j la dilatazione nel dominio dellewavelet (indice di scala). La DWT puo essere vista come una mappa che proietta i dati daldominio del tempo a quello delle wavelet. In questo modo si ottiene una rappresentazionetempo-frequenza nel quale ogni scala della wavelet puo essere associata ad una definita bandain frequenza. Lo spettro del tempo scala wavelet puo essere rappresentato mediante unoscalogramma tempo-frequenza (Fig. 5.4).

Il tempo di risoluzione ad ogni scala ∆tj e determinato dal numero di scala j e dal tempodi campionamento ∆t0.

∆tj = 2j∆t0 j = 0, . . . , L (5.11)

E la corrispondente risoluzione in frequenza al livello j e data da:

∆fj =∆f0

2jj = 0, . . . , L (5.12)

dove∆f0 ≡ 1/(2∆t0) (5.13)

e L e il numero di livelli.

Figura 5.4: Un esempio di uno scalogramma prodotto mediante analisi wavelet al settimo livello didecomposizione. Si puo vedere una linea a 60 Hz.

50


? Condizionamento dei dati. Con il termine condizionamento intendiamo l’insieme didue processi: la calibrazione e lo sbiancamento. La calibrazione e una procedura che permettedi poter assegnare le ampiezze corrette ai pixel, secondo la figura di rumore caratteristicadel rivelatore. Infatti, la DWT assegna una calibrazione in energia ai dati nel dominio dellafrequenza che non corrisponde a quella corretta della fase di calibrazione. La calibrazione efondamentale per la ricostruzione dell’energia dei segnali rivelati, parametro molto importanteper l’analisi dei dati.

Lo sbiancamento dei dati permette di portare lo spettro di rumore uniforme in frequenza,come si vede nella figura 4.4. Questo processo permette di poter analizzare piu facilmente idati, infatti l’algoritmo si basa sulla ricerca di segnali che si discostano dal rumore. Questaprocedura e piu semplice una volta sbiancato lo spettro. In questo caso, infatti, la deviazionestandard del rumore e costante su tutto lo spettro di frequenze analizzate e un segnale chesi discosta dal rumore puo essere facilmente caratterizzato dal superamento di una sogliacomune. Viceversa, se il segnale non fosse sbiancato, lo spettro di rumore mostrerebbe unadistribuzione fortemente dipendente dalla frequenza, cosı che non sarebbe possibile utilizzareuna soglia costante per tutta la banda di sensibilita. Bisognerebbe definire una soglia variabiledipendente dalla frequenza, il che renderebbe piu complicata l’implementazione di questaprocedura.

Sebbene l’algoritmo waveburst preveda di poter effettuare la calibrazione e lo sbiancamen-to dei dati, nel caso di AURIGA entrambe queste procedure vengono effettuate dalla pipelinedi ADA (Cap. 4). Questo perche lo sbiancamento e la calibrazione effettuate dall’algoritmowaveburst sono state ottimizzate per LIGO, che e un rivelatore di tipo interferometrico, quindicon caratteristiche diverse da AURIGA. La procedura di sbiancamento di ADA, invece, e sta-ta implementata appositamente per un rivelatore a barra risonante, gia testata con successoe quindi validata ed utilizzata all’interno dell’analisi dati. Waveburst prevede di usare datisbiancati normalizzati rispetto alla deviazione standard del rumore cosicche le componentiwavelet risultano essere espresse in SNR. Anche la calibrazione dei dati viene effettuata all’in-terno di ADA e successivamente l’algoritmo waveburst riceve le informazioni sulla calibrazioneper calcolare l’energia del segnale rivelato.

? Selezione dei dati rappresentativi. Dato che lo scopo dell’algoritmo e la ricerca disegnali transienti, e necessario adottare un criterio di selezione dei pixel piu significativi, ridu-cendo cosı i falsi allarmi dovuti a solo rumore. Un segnale transiente infatti si puo esprimerecome una deviazione all’interno del rumore. La scelta viene fatta selezionando nella coda delladistribuzione delle ampiezze dei pixel solamente una frazione. Questi sono chiamati BlackPixel e la loro frazione e detta Black Pixel Probability (BPP) (Fig. 5.5) e rappresentala frazione di pixel piu significativa della distribuzione, cioe quella che si trova sulla coda.Un altro parametro importante e la Fraction Sub Interval Duration (FSID) e consistenell’intervallo di tempo dopo il quale viene rinnovata la selezione dei black pixel. La scelta diquesto parametro e legata ai tempi scala di variabilita del rumore. Il rinnovo della selezionead ogni intervallo FSID permette di adattare la soglia quando il livello di rumore e variabile.Una volta che i black pixel sono stati individuati, l’ampiezza degli altri pixel non selezionati(White) e posta uguale a zero. Si puo dimostrare che questo tipo di selezione dei black pixel eequivalente ad imporre una soglia sulle ampiezze dei pixel. Per esempio, assumendo un rumorecon distribuzione Gaussiana, un valore di black pixel probability uguale al 10% equivale aduna soglia in unita della deviazione standard del rumore pari a 1.64.

? Costruzione dei cluster. Una volta ottenuti i black pixel per i vari livelli vengono

51


Figura 5.5: Esempio di come vengono selezionati i black pixel (parte rossa).

costruiti i cluster, gruppi di pixel sul piano tempo-frequenza. Questo raggruppamento di pixelviene applicato perche generalmente un solo pixel non e rappresentativo dell’intero segnalequando questo viene scomposto nelle sue componenti wavelet. Per ogni livello vengono costruitiseparatamente i cluster. Essi comprendono i black pixel e i vicini. I vicini di un determinatopixel, sono quei pixel che ne condividono un lato o un vertice (Fig. 5.6). I vicini possono essereindifferentemente white o black, l’insieme di quelli white viene denominato halo. I black pixelcomponenti il cluster sono anche chiamati core , il loro numero e indicato come la size delcluster, mentre il volume e la somma del core e dell’halo.

Costruiti i cluster per i vari livelli, viene effettuata un’analisi a piu cluster (super-cluster).Un super-cluster e formato dall’insieme dei cluster appartenenti ai diversi livelli che possiedononel piano tempo-frequenza parti in comune. Vengono selezionati solamente i super-clustercomposti da almeno due cluster di cui almeno uno con una size > 1. Questa condizione a piulivelli permette di eliminare in modo efficace quei cluster dovuti al solo rumore.

Waveburst considera contemporaneamente piu livelli di decomposizione per cercare di adat-tare la scomposizione tempo-frequenza al segnale rilevato. Ossia, lo scopo e quello di riuscirea scomporre la forma d’onda in un numero di pixel il piu piccolo possibile. In questo modo sicerca di massimizzare il rapporto segnale rumore, in quanto selezionando pochi pixel il rumoreviene meno considerato rispetto ad analizzare piu pixel. Quindi, considerando piu livelli, sihanno diverse scomposizioni tempo-frequenza, in cui il segnale occupera un numero diverso dipixel, e l’algoritmo potra scegliere il livello piu adatto per considerare il numero minore di pixelpossibili. Nella figura 5.7 riportiamo la scomposizione effettuata dall’algoritmo Waveburst diun segnale del tipo:

h(t) = sin(2πνx)e−(xτ )

2

(5.14)

ove in questo caso ν=900 Hz, τ = 100 ms e la frequenza di campionamento dei dati sbiancatidi AURIGA (406.9 Hz) con un’offset in frequenza di 813.8 Hz.

Si vede che i diversi livelli di decomposizione occupano un numero diverso di pixel. Inquesto caso il livello preferibile per l’analisi del cluster e il quarto, in quanto il numero di pixel

52


Figura 5.6: Passaggi successivi dell’algoritmo di costruzione di un cluster: 1) Scomposizione intempo frequenza. 2) Selezione dei Black Pixel. 3) Costruzione del cluster con l’aggiunta dei vicini.

e minore di tutti gli altri.

? Regola di decisione. Per ogni cluster ricostruito, l’algoritmo decide se vi e presenteo assente un segnale che non sia dovuto alle fluttuazioni del rumore. La regola di decisione(Cap: 3) viene implementata basandosi su considerazioni statistiche riguardanti la natura delcluster e dei black pixel che lo compongono.

Nonostante l’algoritmo Waveburst preveda di utilizzare due tipi di statistiche, una para-metrica legata all’ipotesi che il rumore sia Gaussiano, e un’altra non parametrica che non faipotesi sulla distribuzione del rumore, in questa tesi e stato considerato solo il caso parame-

53


Figura 5.7: Scomposizione in tempo-frequenza di una funzione del tipo di eq. 5.14 con ν=900 Hz eτ = 100 ms dal primo al quarto livello di decomposizione (frequenza di campionamento 406.9 HZ,offset 813.8 Hz).

trico, in quanto il rivelatore AURIGA presenta caratteristiche di rumore che si approssimanomolto bene alle caratteristiche di gaussianita. Per completezza, vengono descritte entrambe.

• Statistica non parametrica dei black pixel. L’esatta distribuzione di probabilitadel rumore potrebbe variare per differenti livelli e anche nel tempo, quindi non e ingenerale possibile conoscerla esattamente. Per superare questo problema si ricorre allarank statistic delle ampiezze wavelet ridotte.3 [33] Ad ogni pixel viene associato unrango (rank) Rij (i e l’indice del pixel al livello j), ossia un numero intero da 1 a nj ·BPP ,ove nj e il numero totale di pixel al livello j. Il rank viene assegnato in ordine crescentetenendo conto delle ampiezze dei pixel, al pixel ωij con ampiezza maggiore viene associatoil numero 1, e cosı via fino ad assegnare il rank a tutti i pixel. A questo punto si ricavauna distribuzione dei rank, invece di quella delle ampiezze, definendo per ogni rank Rij

la quantita:

yij = − ln

(Rij

nj ·BPP

)(5.15)

Per costruzione, essendo l’argomento del logaritmo distribuito uniformemente, la statisti-ca di yij cosı definita e distribuita esponenzialmente indifferentemente dalla distribuzione

3Si definisce come ampiezza wavelet ridotta la quantita: ωij(BPP ) = |ωij−λ−j (BPP )| per ωij < λ−j (BPP )e ωij(BPP ) = |ωij − λ+

j (BPP )| per ωij > λ+j (BPP ) dove λ−j (BPP ) e λ+

j (BPP ) sono rispettivamente ilminimo ed il massimo delle ampiezze wavelet selezionate con il parametro BPP.

54


del rumore. Il rapportoRij

nj ·BPP e la probabilita che i black pixel del livello j abbiano am-

piezze maggiori o uguali a ωij. Definiamo yij come la significanza logaritmica deipixel. La significanza dei white pixel viene posta uguale a zero.

Per questo tipo di statistica, Waveburst prevede di poter definire un parametro (SignificanceSub Interval Duration) che indica l’intervallo di tempo in cui viene calcolata la si-gnificanza dei pixel. Questo parametro permette di definire la frequenza con cui vienerinnovata nel tempo la statistica.

• Statistica parametrica dei black pixel. In questo caso si assume che la distribuzionedel rumore per ogni livello sia Gaussiana a media nulla e varianza unitaria. Quindi se rij ela serie di ampiezze dopo lo sbiancamento, la significanza logaritmica parametricae definita come:

yij = − ln

[1− erf(rij/

√2)

BPP

](5.16)

ove erf(z) = 2√π

∫ z0e−t

2dt. Come per il caso precedente, la significanza si distribuisce in

modo esponenziale. Si puo verificare che nel caso di rumore Gaussiano la statistica nonparametrica si approssima molto bene a quella parametrica.

• Statistica parametrica dei cluster. Assumendo che i pixel siano statisticamenteindipendenti, viene costruita la statistica del generico cluster C(k), ove k e la sua size,definendo la grandezza:

Yk =∑

i,j∈C(K)

yij. (5.17)

Ricordando che le yij sono distribuite esponenzialmente e sono statisticamente indipen-denti, risulta che la distribuzione di Yk e una funzione Gamma:

P (Yk) =Y k−1k e−Yk

Γ(k). (5.18)

Questa distribuzione e dipendente dalla grandezza del cluster. Risulta utile introdurrela significanza del cluster :

z = − ln

(∫ ∞

Y

xk−1e−x

Γ(K)dx

)= Y − ln

(k−1∑m=0

Y m

m!

), (5.19)

la quale, se trattata come una variabile statistica, e distribuita esponenzialmente indi-pendentemente dalla grandezza del cluster. Su di essa l’algoritmo prevede di imporreuna soglia (il parametro Merge Black Pixel Probability) per la selezione dei cluster,permettendo cosı di controllare il rate di falsi allarmi.

? Stima dei parametri. Una volta selezionati i cluster che superano la regola di decisionedi presenza del segnale, questi vengono analizzati per la ricostruzione dei parametri del segnalerivelato. Ogni pixel del cluster, infatti, e caratterizzato dalla sua ampiezza, dalla frequenza edal tempo a cui corrisponde nello spettrogramma tempo-frequenza. Dall’insieme dei valori deipixel appartenenti al core del cluster vengono ricostruiti i parametri caratteristici del clusterstesso.

I parametri tempo-frequenza del cluster sono:

55


• tempo iniziale e finale (start & stop);

• durata;

• tempo centrale;

• frequenza minima e massima (low & high);

• banda;

• frequenza centrale.

Lo start e lo stop vengono calcolati dai limiti inferiore e superiore in tempo definiti daipixel del core. Similmente per le frequenze low e high.

Il tempo centrale viene calcolato mediante una media pesata, ove i pesi sono i quadratidelle ampiezze:

Tc =

∑ki=1 tir

2i∑k

i=1 r2i

, (5.20)

ti e definito come il tempo del pixel i, mentre ri e l’ampiezza.4 In modo analogo si calcolaanche la frequenza centrale:

Fc =

∑ki=1 fir

2i∑k

i=1 r2i

, (5.21)

ove fi e la frequenza del pixel i.La durata e la banda vengono calcolate sempre mediante una media pesata:

durata =

√∑ki=1(ti − Tc)2r2

i∑ki=1 r

2i

, (5.22)

banda =

√∑ki=1(fi − Fc)2r2

i∑ki=1 r

2i

. (5.23)

Gli altri parametri caratteristici del cluster sono descritti nella tabella 5.1.

Essendo la componente rij espressa in SNR, risulta che l’SNR corrispondente ad un clustere data da:

SNR2 =k∑i=1

r2i − k, (5.24)

dove il termine −k non e altro che la correzione per il rumore del rivelatore.Un altro importante parametro del cluster e la radice quadrata dell’energia, che viene

denominata hrss (h root square sum). Per un segnale campionato h(ti), se fs e la frequenzadi campionamento si definisce:

hrss ≡√∑

i

h2(ti)

fs. (5.25)

4Ricordiamo che le ampiezze dei pixel sono normalizzate rispetto al rumore e quindi corrispondono al loroSNR.

56


Per la trasformata wavelet ortogonale vale il Teorema di Parseval:∑i

h2(ti) =∑i,j

ω2h(ti, fj), (5.26)

dove la somma a destra e fatta sul piano tempo-frequenza nel dominio delle wavelet e ωh e latrasformata wavelet del segnale h. Pertanto, per ogni cluster, l’hrss puo essere stimato come:

hrss =

√√√√∑ij

ω2ij − ω2

j

fs, (5.27)

con la somma definita su tutti i pixel del cluster. Per ottenere le ampiezze calibrate dei pixele necessario conoscere lo spettro di rumore del rivelatore. Nel caso di LIGO, ove lo sbian-camento viene effettuato dall’algoritmo waveburst, e quindi le calibrazioni vengono effettuatedirettamente dall’algoritmo mediante un processo di inversione delle ampiezze dopo lo sbian-camento. Nel caso di AURIGA, lo sbiancamento viene effettuato dalla procedura di ADA, perle ragioni specificate precedentemente. Per ottenere la calibrazione corretta delle ampiezze deipixel Waveburst utilizza lo spettro di rumore all’ingresso del rivelatore stimato in ADA dal fitparametrico (Paragrafo 4.1).

? Analisi in coincidenza. L’algoritmo prevede anche la possibilita di effettuare un’ana-lisi in coincidenza fra piu rivelatori, ma questa caratteristica non verra usata in questo lavorodi tesi. La coincidenza viene effettuata e verificata a livello dei black pixel. Prese due scom-posizioni in tempo-frequenza derivanti dall’analisi dati di due rivelatori differenti (canali5), siselezionano uno per volta i black pixel del primo, e si rigettano se non viene rispettata unacondizione su un’area tempo-frequenza corrispondente nel secondo canale (Fig. 5.8).

Figura 5.8: Esempio dell’applicazione della coincidenza fra piu rivelatori al livello dei black pixel.

Una volta applicato il procedimento per tutti i pixel del primo canale, si ripete per quellidel secondo. Conseguentemente un numero considerevole di black pixel in entrambi i canali

5Per canale si intende un piano di scomposizione tempo-frequenza. Questa definizione include che ognilivello di decomposizione corrisponde ad un canale, e quindi ogni rivelatore differente produce diversi canali,uno per ogni livello.

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viene rigettato, in quanto prodotto dalle fluttuazioni del rumore. La coincidenza aumentaconsiderevolmente la probabilita di selezionare black pixel prodotti da veri segnali e diminui-sce notevolmente i falsi allarmi.

5.3 Waveburst in ADA

Per poter adattare la libreria software Waveburst implementata da LIGO alla pipeline diAURIGA e stata costruita un libreria: WBA (WaveBurst Analysis). Essa ha lo scopo diunire le librerie di analisi dati di AURIGA e quelle di Waveburst e di realizzare un’interfacciadi utilizzo confortevole.

La libreria comprende diverse macro CINT, che vengono caricate automaticamente ognivolta che ADA viene avviata. Di queste macro una sola viene vista dall’utente, mentre le altrevengono richiamate da quest’ultima.

La lista delle macro con le loro funzioni e la seguente:

wba.C macro principale vista dall’utente;wbaopt.C interpreta le opzioni inserite come argomento di waveburst.C;wbacfg.C interpreta il file di configurazione di waveburst;wbaframes.C legge i frame files per l’analisi wba;wbainj.C inietta eventi simulati per la wba;wbascalogram.C display degli scalogrammi;wbaplugin.C plugin utente.

La sintassi dei comandi e molto semplice, dopo aver avviato ADA, si definisce un oggetto ditipo wba. La funzione processing, che appartiene all’oggetto wba, esegue l’analisi waveburst.Questa funzione necessita solamente del percorso del file di configurazione di tipo wba. Inquesto file, che e diverso da quello per la pipeline di ADA, sono definiti i valori dei parametridell’algoritmo (definiti nel paragrafo precedente), la directory in cui si trovano i dati sbiancatie la directory di output (Per un esempio del file di configurazione si veda l’Appendice B). Epossibile effettuare una iniezione di eventi tramite montecarlo cosı come avviene per ADA,basta specificarlo nel file di configurazione. In questo caso si necessita anche di un file diconfigurazione di tipo ADA per indicare le caratteristiche degli eventi che si vuole iniettare,allo stesso modo di come avviene per il montecarlo di ADA. E stato compiuto un particolaresforzo per permettere la realizzazione del montecarlo all’interno dei Waveburst.

I risultati dell’analisi waveburst sono memorizzati in un tree, nel quale sono contenuti,oltre ai valori riguardanti il segnale, anche le caratteristiche dei cluster costruiti (come la size,il volume, l’halo, etc...) (vedi Tab. 5.1)

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5.3. WAVEBURST IN ADA

Analisi Waveburst

amplitude ampiezza massimaasymmetry (#positivi - #negativi)/sizebandwidth banda nel core [Hz]duration durata del core [s]frequency frequenza minima del core [Hz]

low limite inferiore della frequenza [Hz]high limite superiore della frequenza [Hz]start inizio segnale [s]stop fine segnale [s]hrss energia del core

power ampiezza wavelet/rms rumorerun numero del run analizzatosize numero di pixel nel core

gSNR snr ricostruitotime tempo GPS del core

volume numero totale di pixel

Analisi Montecarlo

dhrss differenza fra energia rilevata ed iniettatadgSNR differenza fra snr rilevato ed iniettatodtime differenza fra tempo di rilevazione e di iniezioneihrss energia iniettata

igSNR snr iniettatoitime tempo di iniezione

Tabella 5.1: Foglie del tree ottenuto dall’analisi Waveburst. Sono riportate solo quelle che sono stateutilizzate in questa tesi.

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Capitolo 6

Ottimizzazione dei parametri Waveburst

Come abbiamo visto nel capitolo precedente, l’algoritmo waveburst e molto complesso e le sueprestazioni dipendono dalla scelta dei vari parametri che lo caratterizzano. Come gia spiegatola scelta dei valori di questi parametri dipende anche dal tipo di forme d’onda che si intendericercare, oltre che, ovviamente, dalle caratteristiche del rivelatore su cui e applicato.

In questo capitolo verra illustrato il procedimento che ha portato alla scelta dei parametriwaveburst, analizzando i risultati ottenuti iniettando su rumore simulato una certa classe diforme d’onda. Questi templati sono stati definiti con il nome di chirplet (termine coniato da S.Mann [34]), sono stati proposti dal gruppo di analisi dati di LIGO [35] come forma d’onda diprova per algoritmi di ricerca eventi basato sull’eccesso di potenza quali Waveburst. Per questomotivo si e pensato di esplorare lo spazio dei possibili segnali transienti con un approccio basatosull’energia del segnale. Utilizzando il principio di massimizzazione dell’entropia, e possibilederivare una famiglia di templati che sia rappresentativo dei segnali transienti che ci si aspettadi rivelare. A differenza delle forme d’onda ricavate dai modelli teorici le chirplet non sonopero specifiche di uno determinato processo astrofisico.

Questa generalita e molto utile per effettuare l’ottimizzazione dei parametri dell’algoritmowaveburst. Questo approccio permette in generale di ottenere l’ottimizzazione dei parametrianche su forme d’onda specifiche di determinati processi astrofisici. L’ottimizzazione che verraeffettuata in questo capitolo sara utilizzata per eseguire l’analisi di altre forme d’onda nelcapitolo successivo. Nel prossimo paragrafo viene esposta la procedura utilizzata per ricavarequesta famiglia di funzioni d’onda di prova.

6.1 Parametrizzazione dello spazio delle forme d’onda ditest

Come gia introdotto all’inizio di questo capitolo, lo scopo e quello di trovare una famigliadi forme d’onda capaci di caratterizzare i possibili segnali associati alle onde gravitazionali.A questo fine e importante notare che il metodo Waveburst e basato su tecniche legate allarivelazione di eccessi di potenza presenti nei dati e di conseguenza e sufficiente prendere inconsiderazione l’energia del segnale.

Il procedimento per ricavare le funzioni di prova, si basa sull’idea che i segnali possano esserecon buona approssimazione rappresentati dai piu bassi momenti della distribuzione della loroenergia, sia nel tempo che in frequenza. In particolare si possono prendere in considerazionela durata, la frequenza centrale, e la larghezza di banda.

La distribuzione dell’energia puo essere scritta come:

61

CAPITOLO 6. OTTIMIZZAZIONE DEI PARAMETRI WAVEBURST

ρT (t) ≡ h+(t)2 + h×(t)2

‖h‖2nel dominio del tempo, (6.1)

ρF (t) ≡ 2|h+(f)|2 + |h×(f)|2

‖h‖2nel dominio della frequenza. (6.2)

Questa viene definita come l’energia del segnale, che pero non corrisponde a quella fisica. Ledistribuzioni sono normalizzate:∫ +∞

−∞ρT (t)dt =

∫ +∞

0

ρF (f)df = 1 (6.3)

e il fattore di normalizzazione ||h2|| e l’hrss (Eq. 5.27) che per il teorema di Parseval soddisfaalle seguenti identita:

‖h‖2 =

∫ +∞

−∞[h+(t)2 + h×(t)2]dt =

∫ +∞

0

[|h+(f)|2 + |h×(f)|2]df. (6.4)

ricordando che i momenti di ordine p sono definiti come:

〈tp〉 =

∫ +∞

−∞dtρT (t)tp in tempo (6.5)

〈fp〉 =

∫ +∞

0

dfρF (t)fp in frequenza (6.6)

allora i primi due momenti in tempo e in frequenza risultano essere:

Tempo centrale :

Durata :

Frequenza centrale :

Banda :

τ ≡ 〈t〉 =

∫ +∞

−∞dtρT (t)t

∆τ 2 = 〈t2〉 − 〈t〉2 =

∫ +∞

−∞dtρT (t)(t− τ)2

ϕ ≡ 〈f〉 =

∫ +∞

0

dfρF (f)f

∆ϕ2 = 〈f 2〉 − 〈f〉2 =

∫ +∞

0

dfρF (f)(f − ϕ)2

(6.7)

Per il principio di indeterminazione, la banda e la durata non possono avere risoluzionicontemporaneamente piccole (∆τ∆ϕ ≥ 1

4π). Questo indica che nello spazio tempo-frequenza

determinato dalla banda e dalla durata, le chirplet spaziano un semipiano (scherzosamentedetto cheese per la forma a triangolo).

Poiche non esiste nessun principio fisico per porre ulteriori restrizioni su questa famiglia difunzioni, l’idea e quella di porre il principio matematico di massima entropia. L’entropia peruna distribuzione ρ(x), ove x puo essere indifferentemente il tempo o la frequenza, e, secondola definizione di Shannon:

S = −∫dxρ(x) ln ρ(x). (6.8)

Essa puo essere vista come una misura della probabilita di generare ρ distribuendo casualmentel’energia nel tempo e nella frequenza e costituisce anche una misura della quantita di strutturecontenute in ρ.

62

6.1. PARAMETRIZZAZIONE DELLO SPAZIO DELLE FORME D’ONDA DI TEST

Figura 6.1: Spazio del ”cheese” possibile per le forme d’onda di tipo chirplet.

La massimizzazione dell’entropia puo essere ottenuta con il metodo dei moltiplicatori diLagrange usando le costrizioni sulla normalizzazione, il tempo centrale e la durata:

S = −∫dxρ(x) ln ρ(x) + λ0

[∫ +∞

−∞dtρT (t)− 1

]+

+ λ1

[∫ +∞

−∞dtρT (t)t− 0

]+ λ2

[∫ +∞

−∞dtρT (t)t2 −∆τ 2

] (6.9)

Derivando l’espressione per ognuna delle quattro incognite ρ(x), λ0, λ1, λ2 otteniamo unsistema che, risolto, ci da un’equazione per l’energia:

ρMET (t) =

1√2π∆τ 2

exp

(− t2

2∆τ 2

)(6.10)

e la corrispondente forma d’onda:

(hME+ + ihME

× )(t) =‖h‖

4√

2π∆τ 2exp

(− t2

4∆τ 2+ iΦ(t)

)(6.11)

con Φ(t) una funzione reale arbitraria dipendente dal tempo.Applicando lo stesso procedimento nel dominio della frequenza per risolvere Φ(t) si ricava

la formula generale:

(h+ + ih×)(t) =‖h‖

4√

2π∆τ 2exp

−1 + iα

4∆τ 2t2 + i2πϕt+ iγ

(6.12)

ove il parametro α e legato alla banda e alla durata: ∆ϕ2 = 1+α2

(4π∆τ)2mentre γ e una fase

arbitratria. La famiglia di funzioni definite in 6.12 e sono delle sinusoidi modulate da una

63


gaussiana e linearmente variabili in frequenza. Le componente h+ e h× sono uguali a meno diuno shift in fase.

Figura 6.2: Esempio di una forma d’onda di tipo chirplet con valori dei parametri: durata 50 ms,frequenza centrale 20 Hz e larghezza di banda 10 Hz.

Le chirplet contengono come casi speciali:

• Gaussiana, quando α, φ, γ = 0

• Sine/Cosine-Gaussian, quando α, γ = 0

• nel caso in cui il parametro α = 0, le forme d’onda soddisfano la condizione: ∆τ∆φ = 14π

.

Poiche h+ e h× sono equivalenti, per le prove abbiamo scelto h+, che esplicitata diviene:

(h+)(t) =‖h‖

4√

2π∆τ 2exp

− t2

4∆τ 2

cos( α

4∆τ 2t2 + 2πϕt+ γ

)(6.13)

γ e stato posto uguale a 0 perche e solo uno shift in fase.

I parametri su cui sono state fatte le prove sono ∆τ , φ e ∆φ (contenuto in α).

6.2 Scelta dei parametri Waveburst

Nel paragrafo 5.2 abbiamo visto che i parametri importanti per la tipologia di applicazioned’interesse per questa tesi sono:

• Wavelet madre;

• Livello di decomposizione;

• Black Pixel Probability (BPP);

• Merge Black Pixel Probability (MBPP);

• Fraction Sub Interval Duration (FSID).

64

6.2. SCELTA DEI PARAMETRI WAVEBURST

Lo scopo che ci si prefigge e quello di ricercare per questi parametri l’insieme dei valoriottimali nel contesto dell’analisi dati di AURIGA. L’idea e quella di ottenere questa ottimizza-zione utilizzando come forme d’onda di prova la famiglia delle chirplet definita nel precedenteparagrafo.

Per quanto riguarda la scelta della wavelet madre la libreria Waveburst mette a disposizionetre tipi di funzioni: Harr, Symlet, Meyer e per ognuna di queste puo essere scelto il numerodi coefficienti che le definiscono.

Il numero di coefficienti e legato alla capacita di risolvere in frequenza le componenti dellatrasformata wavelet; piu componenti hanno le wavelet madre, piu netta e la separazione insottobande della wavelet. Per questo motivo si e scelto tra le wavelet a disposizione quelle conil numero piu alto di componenti, ossia la Symlet60 e la Meyer62. La Meyer62, a differenzedella Symlet60, non e a supporto compatto, e pertanto deve essere troncata e costuituisce unabase che e ortonormale solo in modo approssimato.

La scelta fatta e stata pertanto la Symlet60.1

Figura 6.3: Rappresentazione della Symlet60 utilizzata per l’analisi.

Per quanto riguarda i livelli di decomposizione, sappiamo che ad ogni livello corrispondonodelle definite risoluzioni in tempo e in frequenza. Percio e conveniente scegliere i livelli da uti-lizzare nell’analisi secondo le forme d’onda che vogliamo analizzare. Scegliendo di considerarecome lunghezza massima dei segnali 100 ms, vediamo dalla tabella 6.1 che al quinto livello larisoluzione temporale si avvicina a questo valore, mentre per segnali piu corti sono sufficientii livelli di numero inferiore.

Bisogna inoltre considerare che, per quanto detto precedentemente in questo paragrafo,la risoluzione massima in frequenza per una wavelet con N componenti e con frequenza dicampionamento fs e di circa fs/N , pertanto essendo la frequenza di campionamento dei datisbiancati di AURIGA di 406.9 Hz per le Symlet60 la risoluzione in frequenza e di circa 6.8Hz. Questo significa che usare livelli superiori a 5 non porterebbe nessun ulteriore vantaggio,ma solo un aumento di falsi allarmi.

1Nella versione aggiornata di Waveburst sono state introdotte le wavelet Meyer con 1024 componenti chesono quelle che vengono utilizzate dal gruppo di LIGO. [36]

65


Livello Risoluzione temporale (ms) Risoluzione in frequenza (Hz)1 2.4576 * 21 = 4.9157 203.45 / 21 = 101.722 2.4576 * 22 = 9.8304 203.45 / 22 = 50.863 2.4576 * 23 = 19.6608 203.45 / 23 = 25.434 2.4576 * 24 = 39.3216 203.45 / 24 = 12.715 2.4576 * 25 = 78.6432 203.45 / 25 = 6.35

Tabella 6.1: Risoluzioni in tempo e frequenza ai livelli utilizzati per l’analisi

Mentre la wavelet madre e i livelli di decomposizione sono legati alle proprieta dellatrasformate wavelet, i restanti parametri sono caratteristici dell’algoritmo Waveburst.

Mentre la BPP e la MBPP definiscono delle soglie di selezione degli eventi, la FSID e legataalle caratteristiche di variabilita del rumore, pertanto un vero test per la scelta di quest’ultimadovrebbe essere eseguito su dati reali; si e deciso comunque, a scopo investigativo, di investigarela sua efficacia anche se i test sono eseguiti su dati simulati.

Per questi primi test sono stati selezionati solo tre tipi di chirplet con lo scopo di fornireuna prima indicazione. Le tre chirplet sono state scelte con un’ampiezza di banda ∆φ = 50Hz e di durata 10 ms per tre diverse frequenze centrali (865, 900 e 935 Hz) all’interno dellabanda di sensibilita di AURIGA.

Per ognuna di queste forme d’onda sono state eseguite 720 iniezioni spaziate di 60 secondicon SNR = 6 su rumore simulato di AURIGA.2 Da questi sono stati prodotti i dati sbiancatie successivamente si e applicato la ricerca eventi Waveburst utilizzando come parametri diprova il seguente insieme di valori:

Black Pixel Probability (%): 0.25 - 0.5 - 1 - 1.5;Merge Black Pixel Probability: 0.5 - 1 - 2 - 4;Fraction Sub Interval Duration (s): 12 - 24 - 48 - 96.

Per ognuno dei tre parametri sono stati esaminati quattro valori, tenendo fissi quelli deglialtri due (riportati in grassetto). Le figure 6.2(a/b/c) riportano per ognuno di questi parametrile efficienze dei tre templati di prova in funzione del rate di falsi allarmi. Dalla figura 6.2 (a)di vede che al variare del parametro BPP da 0.5 a 1.5 l’efficienza aumenta di ≈ 10% mentrei falsi allarmi aumentano di ≈ 300%. Pertanto un buon compromesso tra efficienza e falsiallarmi si puo ottenere scegliendo BPP=0.5.3

Lo stesso tipo di considerazioni valgono anche per il parametro MBPP, per il quale unascelta ragionevole e rappresentata dal valore 2. (Fig. 6.2(b))

Per quanto riguarda infine, il parametro SFID, la figura 6.2(c) conferma l’indipendenzadei risultati al variare del suo valore quando viene usato rumore simulato. Nonostante cio si edeciso di scegliere per questo parametro il valore di 24 s; una scala temporale sufficentementepiccola da garantire tempi morti causati da transienti ad alta energia non superiori a questointervallo e nello stesso tempo ragionevolmente grande da permettere, pur con BPP bassi,di raccogliere per i transienti non gaussiani un numero di pixel tale da fornire una statisticasufficiente per la stima corretta dei suoi parametri.

2La scelta di 60 secondi e stata fatta per garantire l’indipendenza dei risultati della ricerca eventidall’interazione reciproca tra due eventi vicini.

3Un motivo ulteriore a favore di questa scelta e l’aumento consistente del tempo di calcolo al crescere delparametro BPP.

66

6.2. SCELTA DEI PARAMETRI WAVEBURST

Figura 6.4: Curve ROC ottenute iniettando chirplet di durata 10 ms, banda 50 ms e frequenzecentrali 865, 900, 935 Hz per diversi valori dei parametri dell’algoritmo Waveburst.

(a) ROC ottenute variando il parametro della Black PixelProbability.

(b) ROC ottenute variando il parametro della Merge BlackPixel Probability.

67


(c) ROC ottenute variando il parametro della Fraction SubInterval Duration.

Figura 6.5: Curva ROC ottenuta con i parametri selezionati variando la soglia in SNR.

68

6.3. APPLICAZIONE DELL’ALGORITMO WAVEBURST SULLE FUNZIONI D’ONDADI TIPO CHIRPLET

In figura 6.2 e riportata la ROC al variare della soglia in SNR. Questa curva permette, aparita di scelta dei parametri Waveburst, di fissare il numero di falsi allarmi finale.

I parametri individuati in questi test sono riassunti nella seguente tabella:

Parametri ValoreLivello di decomposizione 5Black pixel Probability 0.005

Merge Black Pixel Probability 2Fraction Sub Interval Duration 24s

Tabella 6.2: Valori dei parametri utilizzati nell’analisi WaveBurst

6.3 Applicazione dell’algoritmo Waveburst sulle funzioni d’on-da di tipo chirplet

Nel precedente paragrafo sono stati individuati i valori ottimali dell’algoritmo Waveburst. Itest sono stati effettuati usando solo tre forme d’onda di tipo chirplet.

In questo paragrafo verranno esposti i risultati dei test effettuati su una classe di chirpletmolto piu rappresentativa. Lo scopo e dimostrare che i parametri proposti nella tabella 6.2sono una buona scelta anche quando si consideri una classe piu ampia di forme d’onda.

L’insieme dei valori dei parametri delle chirplet usate nei test sono:

∗ Larghezza di banda (Hz): 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500;∗ Durata (ms): 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100;∗ Frequenza (Hz): 865, 900, 935.

Nella figura 6.6 sono riportati graficamente i valori della larghezza di banda in funzionedella durata.

Per ognuna di queste forme d’onda sono stati eseguite 720 iniezioni spaziate di 60 secondicon SNR = 6 e 8 su rumore simulato di AURIGA. Da queste sono stati ricavate le efficienze,l’SNR, la stima dell’hrss e il valore medio della differenza tra il tempo di arrivo stimato equello iniettato.

Sono state utilizzate una soglia in SNR uguale a 4 e una finestra temporale di 200 ms.Questa soglia in SNR comporta un False Alarm Rate di 5.3× 10−2 s−1.

Dalle figure 6.7 e 6.8 si vede che il valore dell’SNR ricostruito sono≈ 90% di quello iniettato,sia per SNR = 6 che SNR =8.

L’efficienza, invece, (Figg. 6.9 e 6.10) mostra differenze piu sostanziali fra l’SNR 6 e 8 diiniezione, in quanto per il primo caso assume i valori compresi tra il 50 e il 70%, mentre peril secondo caso supera l’80%, assestandosi prevalentemente sul 90%.

Per quanto riguarda l’hrss (Figg. 6.11 e 6.12), si vede che i valori sono prossimi ad 1,eccetto per le chirplet a banda maggiore, in cui il rapporto fra hrrs ricostruito ed iniettato caladrasticamente. Questo si spiega in modo semplice. La banda sensibile di AURIGA e larga circa200Hz, percio le chirplet caratterizzate da una larghezza di banda maggiore distribuiscono laloro energia anche in frequenze dove il rivelatore non e sufficientemente sensibile. Accade cosıche l’algoritmo non puo ricostruire totalmente l’energia dell’onda, perche le caratteristiche del

69


Figura 6.6: Valori di durata e banda delle chirplet utilizzate per le simulazioni. Si notino le scalelogaritmiche. La linea blu si riferisce al caso in cui ∆τ∆φ = 1

4π .

rivelatore permettono di considerarne solo una certa frazione, che diminuisce all’aumentaredella banda.

Infine, le figure 6.13 e 6.14 mostrano che il tempo di arrivo calcolato assume valori finoa ≈ 40 ms rispetto al tempo di iniezione. il caso SNR = 8 presenta dei tempi leggermenteminori rispetto a quello SNR = 6. Bisogna tenere presente, pero, che il tempo di iniezione none calcolato come tempo centrale della forma d’onda di tipo chirplet, ma viene semplicementeconsiderato un tempo medio, che corrisponde al tempo centrale nel caso in cui la forma d’ondasia simmetrica, cosa che per le chirplet non e sempre verificato. Si assume comunque chel’errore introdotto in questa misura sia piccolo.

70


Figura 6.7: Valori del rapporto fra SNR ritrovato ed iniettato mediati sulle frequenze sul set dichirplet utilizzato per le simulazioni. L’SNR iniettato e uguale a 6.

Figura 6.8: Valori del rapporto fra SNR ritrovato ed iniettato mediati sulle frequenze sul set dichirplet utilizzato per le simulazioni. L’SNR iniettato e uguale a 8.

71


Figura 6.9: Efficienze mediate sulle frequenze sul set di chirplet utilizzato per le simulazioni. L’SNRiniettato e uguale a 6.

Figura 6.10: Efficienze mediate sulle frequenze sul set di chirplet utilizzato per le simulazioni. L’SNRiniettato e uguale a 8.

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Figura 6.11: Valori del rapporto fra hrss ritrovato ed iniettato mediati sulle frequenze sul set dichirplet utilizzato per le simulazioni. L’SNR iniettato e uguale a 6.

Figura 6.12: Valori del rapporto fra hrss ritrovato ed iniettato mediati sulle frequenze sul set dichirplet utilizzato per le simulazioni. L’SNR iniettato e uguale a 8.

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Figura 6.13: Valori del dtime mediati sulle frequenze sul set di chirplet utilizzato per le simulazioni.L’SNR iniettato e uguale a 6.

Figura 6.14: Valori del dtime mediati sulle frequenze sul set di chirplet utilizzato per le simulazioni.L’SNR iniettato e uguale a 8.

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Capitolo 7

Applicazione dell’algoritmo Waveburstall’analisi dati della rete di rivelatoriVIRGO-Barre

Nel capitolo 6 e stata verificata l’efficacia dell’algoritmo Waveburst per la ricerca eventi nellospazio parametrizzato dalla classe di forme d’onda rappresentato dalle chirplet. Questi test,pero, sono stati fatti su dati simulati, il cui rumore e Gaussiano e stazionario.

In questo capitolo si vuole provare l’efficacia dell’algoritmo anche sui dati reali, dove ilrumore puo essere invece variabile e possono essere presenti segnali spuri che potrebberomodificare l’esito dei test fatti in simulazione. Si vuole inoltre confrontare il metodo Waveburstcon il metodo di ricerca eventi ottimizzato per segnali di tipo delta che viene usato in ADAper l’estrazione di segnali di forma sconosciuta.

La necessita di eseguire questi test ha avuto anche l’obiettivo di verificare la possibilita diutilizzare Waveburst per la ricerca eventi di AURIGA nell’ambito dell’analisi dati della retedi rivelatori VIRGO-Barre.1

In questo capitolo viene brevemente introdotta la problematica di un’analisi dati di unarete di rivelatori, quindi vengono esposti gli obiettivi del progetto VIRGO-Barre, ed infinevengono illustrati i risultati dei test eseguiti sui dati reali.

7.1 Metodi di analisi dati di una rete di rivelatori (accenni)

L’analisi in coincidenza fra piu rivelatori e molto importante per migliorare le prestazioni dellaricerca eventi. Essa ci permette, rispetto al singolo rivelatore, di:

• diminuire il numero di falsi allarmi,

• ottenere un maggiore livello di confidenza nella rivelazione e caratterizzazione di segnaligravitazionali,

• stimare la direzione di arrivo e la polarizzazione di un’onda incidente,

• raggiungere una sensibilita migliore, poiche il rumore caratteristico di un’insieme dirivelatori si comporta in modo isotropico, mentre l’onda gravitazionale e ovviamente

1VIRGO-Barre e un progetto di collaborazione tra l’interferometro VIRGO e le barre italiane AURIGA,NAUTILUS [12], EXPLORER [13] per la ricerca di metodologie per l’analisi congiunta dei dati.

75

CAPITOLO 7. APPLICAZIONE DELL’ALGORITMO WAVEBURST ALL’ANALISIDATI DELLA RETE DI RIVELATORI VIRGO-BARRE

direzionale.

Diversi metodi sono stati sviluppati per sintetizzare le informazioni provenienti da piurivelatori. Un approccio particolarmente vantaggioso per massimizzare le prestazioni di stimae di rivelazione e basato sull’utilizzo di tecniche di analisi coerente che combinano due o piuuscite di strumenti differenti al fine di creare un unico strumento virtuale con caratteristichemigliori.

L’analisi coerente permette di ricostruire le componenti indipendenti del tensore dell’ondagravitazionale e di verificarne la consistenza consentendo di conseguenza di ridurre i falsiallarmi.

Questo tipo di analisi e particolarmente complesso e richiede in genere consistenti risorsedi calcolo. Nonostante questo, questo tipo di analisi e considerata oggi una scelta obbligata alfine di poter ottenere la corretta e necessaria sintesi delle informazioni provenienti dai diversirivelatori.

Il gruppo di analisi di LIGO ha sviluppato di recente diverse metodologie che realizzanoquesto tipo di approccio. Una di queste e la cosidetta tecnica del “Null Stream” [37] chesfrutta la possibilita di combinare linearmente i dati di diversi rivelatori in modo tale daannullare le componenti dell’onda gravitazionale.

Un’altra tecnica, equivalente a quest’ultima, utilizza la massimizzazione della likelihoodglobale. Questo approccio e stato utilizzato nella recente versione del metodo Waveburst(Coherent Waveburst [38]).

Le tecniche piu tradizionali di analisi di rete sono invece basate su metodologie di coinci-denza temporale. In questo approccio i singoli rivelatori producono indipendentemente le listedegli eventi e solo in un secondo tempo queste vengono confrontate per selezionare gli eventiche risultano essere consistenti con l’ipotesi di un’onda gravitazionale.

Questo metodo, pur risultando piu semplice dell’analisi coerente, e tuttavia meno efficacein quanto utilizza un minor numero di informazioni per la ricostruzione del segnale. In questocaso, il maggior contributo alla riduzione dei falsi allarmi si basa sul controllo delle coincidenzetemporali, metodo che risulta tanto piu efficace quanto piu sono ridotti gli errori sulla stimadel tempo di arrivo. A titolo di esempio, riportiamo a grandi linee lo schema per la stimasemi-analitica e quella sperimentale dei falsi allarmi.

Nella stima semi-analitica [39] si considerano M rivelatori, ognuno con il proprio rate difalsi allarmi λk, e la sua finestra di coincidenza ∆tk, e si presuppone che la statistica del rate dibackground sia poissoniana, si ricava che il false alarm rate atteso e: λb =

∑Mk=1

∏h 6=k 2∆th×∏M

k=1 λk. Non e cosı semplice, tuttavia, dare una stima dei valori di λk.

La stima sperimentale dei falsi allarmi si basa sulla strategia dei time-shifts. Essa consistenell’aggiungere dei ritardi sui valori del tempo di arrivo di rivelatori, costruendo cosı delle con-figurazioni indipendenti fra loro, e considerare i conteggi all’interno delle coincidenze shiftatecome se fossero conteggi indipendenti dei falsi allarmi nel caso sincrono. Questa assunzione ecorretta se le prestazioni dei rivelatori sono mediamente le stesse rispetto a quando non sonoapplicati i ritardi, piu precisamente se lo shift in tempo maggiore e piu piccolo del tempo scaladelle strutture di cross-correlazione.

Un esempio di collaborazione fra piu rivelatori che ha utilizzato il metodo delle coinci-denze temporali e l’International Gravitational Event Collaboration (IGEC), che attualmentecomprende la collaborazione di quattro rivelatori a masse risonanti, fra cui AURIGA [40].

76

7.2. VIRGO-BARRE

Oltre ai metodi sopra indicati esistono degli approcci intermedi, uno di quest e quelloimplementato nella versione Waveburst usata in questa tesi. In questo caso viene effettuatoun test di consistenza tra i black pixel derivanti dalla scomposizione wavelet in tempo frequenzadi due diversi rivelatori. (Paragrafo 5.2)

Un’altra importante quantita che e necessario ricavare per tutti questi tipi di approccio eil calcolo dell’efficienza di rivelazione della rete. Questo si ottiene iniettando sui dati reali diogni rivelatore l’insieme delle forme d’onda su cui si vuole calcolare l’efficienza e ricavando lapercentuale degli eventi ritrovati rispetto a quelli iniettati.

Nella collaborazione VIRGO-Barre verranno testate le metodologie di analisi di rete uti-lizzando in una prima fase l’analisi di coincidenza temporale e successivamente tecniche dianalisi semi-coerenti.

7.2 VIRGO-Barre

Lo scopo e il metodo di lavoro della collaborazione VIRGO-Barre e descritto nel White Paper.[41] L’obiettivo e la ricerca di una metodologia ottimale di un’analisi congiunta. La proceduraconsiste nella iniezione di eventi simulati nei dati reali dei singoli rivelatori, con lo scopo diidentificare il metodo piu efficiente per la ricostruzione degli eventi, misurare i falsi allarmidella rete e definire le procedure di scambio dati.

I templati adottati per le simulazioni sono stati selezionati tenendo conto di alcuni fenomeniastrofisici di interesse, come il collasso di Supernove, e i Modi Stellari Quasi-Normali di unastella a neutroni o un buco nero. Nel primo caso si prevede che l’ampiezza tipica delle ondegravitazionali provenienti da supernove galattiche (circa 10 kpc di distanza) sia attorno ah ∼ 10−21, e l’energia totale emessa vari attorno a ∆E ∼ 10−7 − 10−10Mc

2. Tuttavia nellabanda di interesse, si prevede che la minima energia richiesta per ottenere un SNR ∼ 5sia molto lontana da quella aspettata (∆E ∼ 10−4). Si e visto comunque che i collassi diSupernova non sono simmetrici rispetto all’inversione degli assi, al contrario dei modelli cui sifa riferimento. Modelli piu realistici possono cambiare di molto la stima dell’energia. [42]

Per quanto riguarda i modi quasi-normali, possiamo soffermarci sulle stelle a neutroni (NS).Lo spettro di oscillazioni non radiali di una NS possiede una struttura molto ricca e dipendeda come la temperatura e la composizione interna cambino nel tempo. I modi fondamentalihanno una frequenza che scala come il rapporto

√M/R3 (M e la massa e R il raggio della

stella), mentre i modi acustici variano come M/R. Altri modi compaiono e scompaiono pervari motivi. I modi di gravita diminuiscono fino a scomparire quando il gradiente di entropiadella stella descresce con il tempo, mentre differenti composizioni chimiche sulla superficieprovocano discontinuita nei modi di gravita. Altre discontinuita possono essere provocateda un’alta densita nel core piu interno. Un’altra famiglia di modi, w-modi, sono associatialle perturbazioni del campo gravitazionale, e hanno la proprieta che si accoppiano molto de-bolmente con il moto del fluido e dipendono dalla composizione interna della stella. In [43]vengono studiati due modelli di evoluzione di NS per ricavare come si comportino le frequenzee i tempi di smorzamento dei modi quasi-normali.

In questo studio si assume che le forme d’onda associate a questi processi possono esseredescritte dalla seguente forma:

77


(h+

h×

)=

hrssπfgwτ

√1 + 4π2f 2

gwτ2

τ(1 + e−1/2fgwτ )e−t/τ

(cos2ψ −sin2ψsin2ψ cos2ψ

)(1+cos2ι

2Θ(t− 1

4fgv)cos(2πfgwt)

cos(ι)Θ(t)sin(2πfgwt)

)(7.1)

dove fgw e la frequenza di oscillazione dell’onda gravitazionale, τ il tempo di decadimento, ψe ι sono rispettivamente gli angoli di polarizzazione e di inclinazione del sistema che produceil burst rispetto alla linea di vista. La normalizzazione del segnale e stata scelta in modo taleche per ψ = 0 e ι = 0 hrss (Eq. 5.27) risulta essere:

h2rss =

∫ ∞

0

(|h+(t)|2 + |h×(t)|2)dt (7.2)

L’uso di una forma differente di Θ per le due componenti h+ e h× e dovuta alla necessitadi evitare una discontinuita della componente h× del segnale per t = 0 che originerebbeun’energia infinita sebbene hrss rimarrebbe finito.

L’insieme dei segnali usati per il calcolo dell’efficienza e stato generato prendendo delleopportune distribuzioni dei parametri liberi hrss, fgw, ψ = 0 e ι.

In particolare, l’angolo di polarizzazione ψ viene generato con una distribuzione uniformenell’intervallo [0, 2π], mentre cos(ι) ha una distribuzione uniforme nell’intervallo [-1, 1]; questascelta corrisponde ad una distribuzione casuale dell’orientazione del piano dell’orbita. Lefrequenze dell’onda fgw sono state scelte in modo tale da coprire ragionevolmente l’intervallodi frequenze in cui i diversi rivelatori hanno sensibilita comparabili (Fig. 7.1)

A questo scopo e utile notare che approssimativamente l’ampiezza di banda σfgw di ognisegnale e associata al proprio tempo di decadimento secondo la seguente relazione:

σfgw =√< f 2

gw > − < fgw >2 ≈ 1

2πτ(7.3)

Questo significa che per ogni scelta di τ la completa copertura dell’intervallo di sensibilitasi ottiene dividendo questo per σfgw .

In figura 7.1 e riportato l’insieme dei parametri fgw che realizza questa condizione perτ =1, 3, 10, 30, 100 ms. I dieci punti marcati in rosso sono quelli scelti per la prima fase ditest.

Per completezza, in appendice C e riportata la relazione esistente fra i valori di hrss el’energia emessa assumendo la sorgente localizzata ad una certa distanza.

La forma del segnale vista da ogni rivelatore dipende dalla sua curva di risposta in funzionedella direzione di arrivo. Il segnale descritto dall’equazione 7.1 quando viene rivelato assumeuna forma semplificata descritta da:

h(t) = h0e−(t−t0)/τsin(2πfgw(t− t0)), (7.4)

dove h0 e l’energia vista dal rivelatore e t0 il tempo di arrivo. Questo insieme di templativiene indicato con il nome di Damped Sinusoid. In figure 7.2 e 7.3 e riportato un esempiodi Damped Sinusoid con durata 30 ms, frequenza centrale 900 Hz e un valore in SNR ugualea 8.

Il templato delle Damped Sinusoid ha quindi un significato piu fisico di quello delle chir-plet. E naturale percio verificare se, con la configurazione testata nel capitolo precedente, siottengono dei risultati accettabili anche su questo templato. Il primo passo che dobbiamo

78

7.3. CONFRONTO TRA WAVEBURST E IL METODO USATO IN ADA PER LARICERCA DI SEGNALI DI FORMA SCONOSCIUTA.

Figura 7.1: Sensibilita dei rivelatori coinvolti nel progetto VIRGO-Barre nella banda di frequenza diinteresse comune.

effettuare consiste in un confronto con l’algoritmo di ricerca finora utilizzato da AURIGA persegnali transienti, ossia il filtro alla Delta2. Dopodiche, una volta verificato se Waveburst epiu efficiente del filtro alla delta, possiamo vedere se applicando Waveburst sui dati reali cisono problemi o differenze rispetto ai dati simulati.

7.3 Confronto tra Waveburst e il metodo usato in ADA perla ricerca di segnali di forma sconosciuta.

Il filtro alla Delta e stato utilizzato per la ricerca eventi di AURIGA nell’analisi dei dati ottenutidurante il primo run. Si e inoltre continuato ad usare il filtro alla delta anche per analizzare idati all’interno di IGEC-2, una collaborazione di quattro rivelatori a barra risonante, basatasull’esperienza di IGEC-1 [40].

2Per filtro alla Delta si intende la ricerca eventi ottimizzata per segnali di tipo Delta, cioe molto brevi indurata rispetto alla risoluzione temporale del rivelatore (per AURIGA questo valore e attorno al ms.)

79


Figura 7.2: Rappresentazione nel dominio del tempo di una Damped Sinusoid con durata 30 ms,frequenza centrale 900 Hz e un valore in SNR uguale a 8.

Figura 7.3: In rosso, rappresentazione nel dominio della frequenza di una Damped Sinusoid condurata 30 ms, frequenza centrale 900 Hz e un valore in SNR uguale a 8. In blu, la curva di sensibilitatipica di AURIGA

Per operare questo confronto fra Waveburst e filtro alla Delta sono stati applicati i duealgoritmi di ricerca iniettando su rumore simulato gli stessi templati con SNR uguale ad 8.

In entrambi i casi si e provveduto a ripetere per ogni templato la seguente procedura, siaper la ricerca alla Delta che per Waveburst.

Si e usata la pipeline di ADA dallo sbiancamento alla ricerca eventi, iniettando durante laprocedura di sbiancamento. Per confrontare gli eventi ritrovati con quelli iniettati sono stateestratte le informazioni dei parametri dei due tipi di eventi. Le due liste ottenute sono stateraggruppate in una unica ove gli eventi venivano ordinati temporalmente, distinguendoli tra

80


iniezioni e ricostruzioni mediante una variabile. Si e considerato poi il seguente set di sogliedi detection:

? Soglia SNR = 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5.

Per ogni soglia si e costruito un file ove sono stati memorizzati i parametri tipici dellaprocedura di montecarlo. Ossia, per ogni evento iniettato, si e trovato quello piu vicino soprasoglia e si sono calcolate le differenze di SNR, hrss e tempo ricostruiti ed iniettati. In questomodo si e ottenuto un file simile a quello che sarebbe stato prodotto dalla procedura di mon-tecarlo, solo che cosı le efficienze fra i due algoritmi possono essere confrontate.

I templati delle Damped Sinusoid utilizzati nelle analisi seguenti sono caratterizzati daiseguenti valori dei due parametri:

∗ Tempi di decadimento (ms): 1.5, 3, 6, 12.5, 25, 50, 100, 200;

∗ Frequenze (Hz): 855, 865, 875, 885, 895, 905, 915, 925, 935, 945.

7.3.1 Scelta dei parametri per il calcolo dell’efficienza

Ricordiamo che, come abbiamo descritto nel capitolo 4, la procedura per calcolare l’efficienzaprevede di stabilire la finestra temporale e la soglia in SNR.

Per decidere la finestra temporale, analizziamo l’andamento dell’efficienza al variare dellastessa finestra. Abbiamo gia visto nel capitolo 4 che questo confronto non cambia sostanzial-mente per soglie diverse in SNR (Fig. 4.8), quindi possiamo soffermarci solamente ad una dellesoglie coinvolte nell’analisi. Nelle figure 7.4 e 7.5 sono riportate degli esempi dell’andamentodell’efficienza al variare della finestra per una soglia di ricerca uguale a 4 rispettivamente perla ricerca alla Delta e per quella con Waveburst.

Figura 7.4: Efficienza verso finestra di rivelazione per una soglia in SNR uguale a 4 (FAR=5.3×10−2

s−1) e iniezioni di Damped Sinusoid con SNR 8 e la ricerca alla Delta. A sinistra un tempo didecadimento di 25 ms e a destra di 200 ms.

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Figura 7.5: Efficienza verso finestra di rivelazione per una soglia in SNR uguale a 4 (FAR=5.3×10−2

s−1) e iniezioni di Damped Sinusoid con SNR 8 e la ricerca Waveburst. A sinistra un tempo didecadimento di 25 ms e a destra di 200 ms.

Per ogni templato, possiamo allargare o restringere la finestra quanto vogliamo a patto chel’efficienza non cambi. Decidiamo di tenere la finestra costante per tutti i templati che dobbia-mo considerare, cosı definiamo anche l’errore da assegnare sul tempo di arrivo. Considerandoogni templato, la curva di efficienza aumenta all’aumentare della soglia, fino ad un valore limi-te per cui l’efficienza non varia. Il valore limite della finestra in cui avviene questo fatto saradiverso per ogni templato, in generale. La finestra che dobbiamo considerare, quindi, e quellapiu grande fra tutti i valori limite della finestra per i templati considerati. In questo caso, ciconviene scegliere una finestra di 200 ms, sia per il filtro alla delta che waveburst, che ricavia-mo dalle curve di efficienza delle Damped Sinusoid con tempo di decadimento uguale a 200 ms.

Selezionata quindi la finestra di 200 ms, decidiamo la soglia in SNR. Considerando i falsiallarmi di entrambi i metodi, vediamo che una soglia uguale a 4 produce per entrambi lo stessorate di Falsi Allarmi (5.3× 10−2 s−1).

Applichiamo questa soglia e questa finestra per calcolarci l’efficienza e gli altri parametriche ci interessano: l’SNR e l’hrss ritrovati e il dtime.

I parametri dell’algoritmo Waveburst sono quelli riportati nella tabella 6.2, ad eccezionedel livello di decomposizione, che e stato scelto uguale a 4.

7.3.2 Confronto tra l’algoritmo di filtraggio alla Delta e Waveburst

Come abbiamo espresso nel paragrafo precedente, utilizziamo per calcolare i parametri diinteresse una soglia in SNR uguale a 4 e una finestra temporale di 200 ms.

Riportiamo quindi nelle figure 7.6 e 7.7 sono riportati i confronti della ricostruzione del-l’SNR e dell’efficienza degli eventi ritrovati per entrambi i metodi.

Vediamo che Waveburst ha un andamento pressapoco costante per quasi tutti i templatianalizzati. Il filtro alla Delta invece cambia molto la sua stima dell’SNR a seconda del tempo

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Figura 7.6: Rapporto fra SNR ricostruito ed iniettato per filtro alla Delta (sinistra) e Waveburst(destra).

di decadimento. Si vede che per i templati corrispondenti al tempo di decadimento di 200ms i risultati di Waveburst sono peggiori rispetto agli altri templati. Si presume che aumen-tando il livello di decomposizione sia possibile aumentare l’efficienza anche per questi templa-ti. Tuttavia non e stato effettuato questo confronto, in quanto l’obiettivo di ottimizzazionedell’algoritmo era per segnali di durata inferiore ai 100 ms.

Figura 7.7: Efficienza per filtro alla Delta (sinistra) e Waveburst (destra).

L’efficienza del filtro alla Delta e ottima per segnali piu corti. In questo caso, infatti, il filtroe molto simile al templato iniettato. I risultati sono simili ad applicare il matching filter. Si

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vede, pero che Waveburst ottiene risultati simili per questi templati. Inoltre, quando il tempodi decadimento aumenta sopra i 25 ms, il filtro alla delta non riesce piu ad avere una buonaefficienza, mentre Waveburst non cambia sostanzialmente rispetto ai templati corrispondentia tempi piu corti. Da notare che la scala sulle ordinate delle figure non e lineare, e quindilo spazio dai 25 ai 200 ms linearmente occupa quasi il 90% dello spazio completo analizzato.Quindi Waveburst e piu efficiente del filtro alla Delta circa il 90% dei templati utilizzati.

Non ha senso confrontare la ricostruzione dell’hrss, in quanto il filtro alla Delta si calcolal’energia come se il segnale rivelato fosse una Delta, provocando cosı una stima errata diqualunque altro tipo di segnale iniettato.

Possiamo invece fare un confronto fra gli errori sul tempo di arrivo a parita di efficienza.Non possiamo tuttavia calcolare la finestra temporale che permette di ottenere un’efficienzacostante per tutti i templati, perche alcuni potrebbero non raggiungerla affatto per qualsiasifinestra. Per esempio, nella figura 7.4 si vede che alcuni templati non riuscirebbero a raggiun-gere un’efficienza superiore al 50%, quindi non potremmo calcolarci la finestra che ci permettedi ottenere, per esempio, un’efficienza dell’80%. Possiamo pero definire un’efficienza relativa,ossia per ogni templato ci calcoliamo qual e la finestra che raggiunge un’efficienza uguale aduna frazione di quella massima raggiunta dall’analisi sul singolo templato. Consideriamo diseguito tre valori dell’efficienza relativa: 70, 80 e 90%.

Figura 7.8: Andamento della finestra temporale in funzione della frequenza e del tempo di deca-dimento per ottenere una efficienza relativa del 70% con la ricerca del filtro alla Delta a sinistra eWaveburst a destra.

Possiamo notare che il filtro alla Delta richiede una finestra minore in generale di Wa-veburst. Cio era prevedibile, poiche il calcolo del tempo di arrivo per il filtro alla Delta emolto preciso, in quanto risulta da interpolazioni sui campioni del segnale (vedi capitolo 4).Waveburst, invece utilizza una media pesata sui campioni (Eq. 5.20), quindi il tempo di ar-rivo stimato non e cosı preciso. Tuttavia i risultati sono comunque soddisfacenti anche perl’algoritmo Waveburst.

Possiamo notare che per il caso Waveburst, al di sopra del tempo di decadimento di 50 ms,ci sono due frequenze ove la ricostruzione dei parametri peggiora rispetto alle altre frequen-

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ze. Questa caratteristica sembra essere imputabile alla scomposizione non ottimale sul pianotempo-frequenza della trasformata wavelet. Le due frequenze che presentano questo problemasono 865 e 915 Hz. Il problema e causato dal fatto che i templati di prova di durata superiorea 50 ms non sono compresi nella tassellatura scelta nel piano tempo-frequenza riportata nellatabella 6.1 se consideriamo fino una decomposizione fino al livello 4. Questo significa che

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questi segnali vengono scomposti al livello 4 in piu componenti sull’asse temporale. Questasituazione e peggiorata per le frequenze 865 e 915, per le quali il segnale viene ulteriormentesuddiviso sull’asse delle frequenze.

Infatti, se consideriamo la risoluzione in frequenza del livello 4, che e di 12.71 Hz, e cicalcoliamo quali sono gli intervalli di frequenza in cui viene scomposto il segnale su cui sieffettua l’analisi Waveburst, vediamo che le frequenze che si trovano tra un pixel e l’altro sonodate dalla sequenza:

813.8, 826.51, 839.22, 851.93, 864.64, 877.35, 890.06, 902.77, 915.48,928.19, 940.09, 953.61, 966.32, 979.03, 991.74, 1004.45, 1017.16.

Si vede che le due frequenze di 865 e 915 Hz sono le uniche, fra quelle testate, che siavvicinano di piu a quelle appena elencate con una differenze inferiore all’unita.

7.4 Test Waveburst con Damped Sinusoid su dati reali

In questo paragrafo vengono effettuate delle prove con l’obiettivo di verificare l’efficacia diWaveburst anche su dati reali. Questo per poter verificare eventuali problemi che si possonoriscontrare quando l’algoritmo viene applicato a dei dati in cui la situazione non e piu cosıpulita come in simulazione.

Se, infatti, il rumore del rivelatore e reale, non e piu detto che esso sia gaussiano, stazionarioe a media nulla, come assunto nelle simulazioni effettuate precedentemente. Possiamo solopresupporre e verificare che, nei tempi caratteristici coinvolti nell’analisi, le proprieta delrumore si avvicinino a quelle caratteristiche delle simulazioni.

Inoltre i dati reali sono influenzati da eventi e rumori spuri che si presentano a causa dieffetti meccanici dovuti a fattori sismici e disturbi elettrici presenti nella catena di trasduzionedel rivelatore (Cap. 4). Per eliminare la presenza di questi spuri bisogna applicare dei veti(Par. 4.2), con la conseguenza che l’analisi non viene effettuata in certi intervalli di tempoo per certe bande di frequenza. Cio comporta una diminuzione di efficienza sulla rilevazionerispetto ai dati simulati, che, pero, non e possibile eliminare, a meno di non riuscire adeliminare all’origine la causa della loro formazione.

In figura 7.11 (a) e mostrato come sono stati applicati i veti in frequenza sui dati sbiancati.Essi sono utilizzati per eliminare la presenza di picchi di rumore spurio sulla curva di sensibilitadi AURIGA (Fig. 2.8). Per effettuare questo tipo di veti si pongono nulle le ampiezze delsegnale corrispondenti alle frequenze da vetare (Band Cuts).

In figura 7.11 (b) sono riportati i veti di tipo wideband sui dati sbiancati e il risultato dellaloro applicazione. Si vede che i picchi spuri in tempo vengono eliminati e rimane solamente ilrumore.

L’eliminazione dei transienti di tipo wideband e molto importante per l’analisi Waveburst,in quanto questi spuri, come visto nel paragrafo 4.3, sono molto frequenti (220/ora sopra SNR4) e si distribuiscono in modo esponenziale fino ad ampiezze con SNR = 20 per tempi tipicidi osservazione.

Infatti, non essendo l’algoritmo Waveburst efficiente nella rivelazione di eventi se questisono temporalmente vicini ad altri piu energetici, la presenza di spuri di tipo Widebandabbasserebbe di molto l’efficienza di rivelazione.

Nella figura 7.12, invece, sono riportate delle curve ROC calcolate iniettando delle Dampedsinusoid su dati reali ad SNR=8, τ=50 ms e per tre frequenze centrali: 860, 900 e 930 Hz.Le ROC di colore nero, rosso e verde sono state calcolate applicando i veti wideband sui datisbiancati, mentre per le altre non sono stati applicati i veti. Si nota una sostanziale differenza

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7.4. TEST WAVEBURST CON DAMPED SINUSOID SU DATI REALI

Figura 7.11: Esempio dell’applicazione di veti sui dati sbiancati. La parte vetata e evidenziata ingiallo. Nella figura (b) i veti sono ingranditi, in quanto la loro durata in realta e di 40 ms, quindinon sarebbero visibili.

(a) Band cuts: Veti applicati nel dominio della frequenza per eliminare lecomponenti di rumore spurio.

(b) Veti Wideband: Veti applicati nel dominio del tempo per eliminare i transienti spuri di tipowideband.

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fra le diverse curve, sia sul numero di falsi allarmi che sull’efficienza. Si vede quindi l’utilita el’importanza dell’applicazione dei veti sui dati reali.

Figura 7.12: Curve ROC ottenute iniettando delle Damped sinusoid su dati reali. Le curve in nero,rosso, e verde sono ottenute applicando i veti wideband e Band Cuts. Le curve blu, giallo e fucsia siriferiscono rispettivamente alle stesse Damped sinusoid, solo non applicando i veti sui dati.

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Per i test di VIRGO-Barre la collaborazione ha deciso di usare il periodo di un giorno dipresa dati durante il run di commissioning C7 di VIRGO. Questo corrisponde a 24h fra il 14e il 15 Settembre 2005. Pertanto abbiamo deciso di effettuare il test sui dati reali prendendocome esempio 12h di dati compresi nel periodo a partire da 17:02 del 14 Settembre 2005 finoalle le 5:02 del 15 Settembre 2005.

Riferendosi ai parametri di iniezione scelti dalla collaborazione (Fig. 7.1), abbiamo decisodi utilizzare un insieme di parametri diversi ma consistenti con tale scelta.

Le iniezioni sono state effettuate ad SNR costante pari ad 8, mentre per i parametri τ efgw sono stati scelti i seguenti valori:

∗ Tempi di decadimento (ms): 1.5, 3, 6, 12.5, 25, 50, 100, 200;

∗ Frequenze (Hz): 855, 865, 875, 885, 895, 905, 915, 925, 935, 945.

I parametri usati per l’algoritmo sono quelli riportati in tabella 6.2, ad eccezione del livellodi decomposizione massimo che e stato scelto pari a 4. Questo perche, nonostante in VIRGO-Barre sia previsto di testare Damped Sinusoid con tempi di decadimento fino a 100 ms, quelledi maggiore interesse fisico hanno un tempo di decadimento inferiore. Pertanto scegliendocome livello il valore 4, abbiamo preferito privilegiare la riduzione dei falsi allarmi rispettoall’efficienza di rivelazione per i Damped Sinusoid con τ > 50 ms.

Per verificare l’eventuale perdita di efficacia dell’algoritmo Waveburst sui dati reali si edeciso di effettuare lo stesso tipo di analisi anche sostituendo ai dati reali il rumore simulato.

Per ogni forma d’onda si e ricavata l’efficienza di rivelazione con soglia in SNR = 4, e sisono stimati l’SNR, l’hrss e il tempo di arrivo. I risultati sono riportati nelle figure 7.4-7.4, ovesono riportati per ognuno dei parametri stimati i valori ritrovati per i dati reali e il confrontocon i valori ottenuti peri dati simulati.

Si puo notare che non ci sono sostanziali differenze sostanziali tra i due casi, eccetto perla frequenza a 855Hz, la quale e condizionata dai tagli in banda, che hanno l’effetto di ridurrel’efficienza di rivelazione.

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Figura 7.13: Valori del rapporto fra SNR ritrovato ed iniettato sul set di damped sinusoid utilizzatoper le simulazioni. L’SNR iniettato e uguale a 8, iniezioni su dati reali.

Figura 7.14: Valori del rapporto fra SNR ritrovato su dati reali e su dati simulati sul set di dampedsinusoid utilizzato per le simulazioni. L’SNR iniettato e uguale a 8, iniezioni su dati simulati.

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Figura 7.15: Efficienze mediate sulle frequenze sul set di chirplet utilizzato per le simulazioni. L’SNRiniettato e uguale a 8, iniezioni su dati reali.

Figura 7.16: Valori del rapporto fra efficienza ritrovata su dati reali e su dati simulati sul set didamped sinusoid utilizzato per le simulazioni. L’SNR iniettato e uguale a 8, iniezioni su dati simulati.

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Figura 7.17: Valori del rapporto fra hrss ritrovato ed iniettato sul set di damped sinusoid utilizzatoper le simulazioni. L’SNR iniettato e uguale a 8, iniezioni su dati simulati.

Figura 7.18: Valori del rapporto fra hrss ritrovato su dati reali e su dati simulati sul set di dampedsinusoid utilizzato per le simulazioni. L’SNR iniettato e uguale a 8, iniezioni su dati simulati.

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Figura 7.19: Valori del dtime mediati sulle frequenze sul set di chirplet utilizzato per le simulazioni.L’SNR iniettato e uguale a 8, iniezioni su dati reali.

Figura 7.20: Valori del rapporto del dtime su dati reali e su dati simulati sul set di damped sinusoidutilizzato per le simulazioni. L’SNR iniettato e uguale a 8, iniezioni su dati simulati.

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Conclusioni

La rilevazione di onde gravitazionali puo essere il punto di partenza di una nuova frontieradella fisica, rivolta allo studio dei corpi celesti e di fenomeni astrofisici non ancora compresi finoin fondo. Si e visto tuttavia che l’interazione prevista delle onde gravitazionali con la materiae molto debole, e che il rumore all’uscita del rivelatore impedisce una facile determinazionedella presenza di un evento significativo non dovuto a fluttuazioni del rumore stesso.

La necessita di un metodo sicuro ed efficace capace di distinguere il segnale gravitazionaledalle fluttuazioni del rumore ha portato all’implementazione di una serie di metodi ed algo-ritmi con tecniche ed efficienze diverse.

L’algoritmo Waveburst, approfondito in questa tesi, non necessita di conoscere a priorila forma del segnale, non prediligendo quindi particolari forme d’onda a discapito di altre.Waveburst ha il vantaggio di utilizzare la scomposizione tempo-frequenza della trasformatawavelet per caratterizzare il segnale del rivelatore contemporaneamente nel dominio del tempoe in quello della frequenza. La possibilita di operare sia una statistica gaussiana sul modellodel rumore (parametrica) che indipendente dalle caratteristiche del rumore stesso (non pa-rametrica) permette di estendersi all’applicazione in casi di non completo controllo dei datiacquisiti. La selezione dei pixel piu rappresentativi e l’analisi in cluster consente di operareuna scelta efficace sull’efficienza di eventi rappresentativi a discapito del rumore.

In questo lavoro di tesi si e ottimizzato e testato l’algoritmo Waveburst sui dati caratteristicidel rivelatore AURIGA. L’algoritmo ha mostrato dei risultati soddisfacenti, anche a confrontocon il filtro alla Delta, il metodo utilizzato dalla procedura di rivelazione di AURIGA per laricerca di eventi significativi e l’analisi in coincidenza con altri rivelatori.

L’algoritmo non ha mostrato sostanziali differenze dovute alle caratteristiche dello stessofra le simulazioni e l’analisi sui dati reali acquisiti, mostrando quindi una buona efficienzaanche in casi in cui il rumore non e esattamente adattabile al modello teorico utilizzato perle simulazioni. In futuro potrebbe essere possibile uno studio approfondito dell’efficienza del-l’algoritmo nel caso di analisi in coincidenza fra piu rivelatori. LIGO ha gia sviluppato unaprocedura che utilizza una funzione di likelihood per ricavare la direzione e le proprieta diun’onda incidente rilevata dall’analisi congiunta di piu rivelatori. [38]

Nel frattempo, in base ai risultati ottenuti fino ad ora, Waveburst e stato scelto per lagenerazione degli Event Trigger Generator per AURIGA all’interno della collaborazione diVIRGO-Barre.

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Ringraziamenti

E doveroso ringraziare tutti coloro che hanno permesso la realizzazione di questa tesi.Prima di tutti ricordo la mia famiglia, senza il loro primo appoggio non avrei potuto

arrivare fin qui. A mamma Adriana, papa Angelo e mio fratello Emanuele.Un sincero ringraziamento a tutto il gruppo AURIGA per avermi accompagnato in questi

mesi, mentre imprecavo contro il computer, in particolare a Gabriele per avermi seguito du-rante tutto il lavoro. Ma non voglio dimenticare tutti gli altri: Massimo per essersi dimostratodisponibile a fare da relatore, Luca per avermi contattato e per avermi spronato di continuo alavorare, Francesco per gli scambi di idee, Stefano per la consulenza tecnica al computer e lechiacchierate ogni tanto, Martina per i dettagli sulle wavelet, Jean per aver revisionato la par-te riguardante l’hardware, Antonella per le chiacchierate sul mondo, Nicola per la compagniain ufficio, Michele per gli insegnamenti forniti sulla psicologia dell’universo, Emanuele per lapizza, Livia per le battute divertenti ed ironiche, Antonello per i consigli alle riunioni interne.Non voglio risparmiare un ringraziamento a tutti quanti per la compagnia di questi mesi.

Voglio ringraziare i miei compagni di universita, con cui ho condiviso questi anni di studio:Anna, Angela, Claudia, Claudio, Cristiano, Diego, Dina, Edoardo, Elena, Emma, Fabio, Luca,Marta, Massimo, Mia, Paolo, Roberto, Stefano, in particolare Alessandra e Alice che mi hannosopportato in modo particolare, e Alessandra con cui ho condiviso il percorso di Astrofisica ele lunghe passeggiate verso la Specola.

Non posso dimenticare i miei amici, con cui ho condiviso molti bei momenti. Grazie adAndrea, Arianna, Cristian, Devis, Diego, Emilio, Irene, Laura, Luca, Matteo, Omar, Tiziana,Alessandra ed Etienne, Silvia ed Alberto, Valentina e Christian. Ad ognuno di loro andrebbeun ringraziamento particolare.

Un saluto caloroso alla societa di pattinaggio di San Siro che negli ultimi mesi ha sopperitoalla mia mancanza aspettando con pazienza che concludessi la laurea.

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Appendice A

Comandi ADA

Un generico comando di ADA per eseguire un qualsiasi processo e del tipo:

ada -f ada.cfg -r # -t tool [-- macro] [-b sec] [-e sec] [-g #] [-i] [-u] [--verbose][--batch] [--dummy],

ove i primi termini sono indispensabili, mentre fra parentesi quadra si indicano alcune delleopzioni disponibili. Analizzando i termini uno ad uno, di seguito ne specifichiamo la funzione.

• adae il nome che identifica il programma eseguibile di ADA. Esiste anche un altro comando:aia il quale permette aprire una sessione di ROOT in modalita interattiva in cui sonodisponibili anche tutte le librerie e le funzioni di ADA. Nella modalita interattiva e pos-sibile usare un linguaggio interpretativo (CINT) ed eseguire delle istruzioni direttamenteda linea di comando senza bisogno di eseguire prima la fare compilativa.

• -f cfg/ada.cfgIndica il percorso per il file di configurazione, nel quale sono indicate le opzioni per iprocessi da eseguire (Cap. 4). E possibile non specificare nessun file, in questo casoviene utilizzato quello specificato di default.

• -r #

Specifica il numero di run. Se non viene indicato, il programma si blocca e mostraun messaggio di errore. I file prodotti in qualsiasi passo dell’analisi vengono infattisuddivisi in apposite cartelle che si differenziano del numero di run a cui si riferiscono.Valori positivi del numero di run indicano dati reali, mentre valori negativi si riferisconoa simulazioni.

• -t toolSeleziona il tipo di processo da effettuare (Sbiancamento, Ricerca eventi, ... Cap. 4). Icomandi che specificano i diversi processi sono:

– daqs : simula i dati all’uscita del rivelatore;

– fme: ricava i parametri del modello;

– fw : sbianca i dati;

– evt : effettua la ricerca eventi mediante matching filter;

– mtc: utilizza il montecarlo.

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APPENDICE A. COMANDI ADA

Nel caso si utilizzino processi con piu fasi di elaborazione (tipo l’fme o l’mtc), e necessariospecificarla mediante il comando: --phase #. Se si desidera simulare direttamente unodegli ultimi quattro processi, basta aggiungere la lettera S come prefisso al comandodesiderato (ossia: sfme, sfw, sevt, smtc).

• [-b sec] [-e sec]Tempo di inizio e di fine dell’analisi, espresso in UTC. E possibile specificare il tempoin due formati: indicando la data e l’ora oppure semplicemente i secondi corrispondenti.Nel secondo caso il valore 0 in secondi equivale all’istante 00:00:00 del giorno 06-01-1980.

• [-g #]Abilita un output grafico durante l’esecuzione del processo selezionato. Ci sono diverseopzioni di grafica, ognuna corrispondente ad un numero diverso.

• [-i]Abilita la modalita interattiva. Utile soprattutto quando viene richiesta una modalitagrafica.

• [-u]Abilita l’update del modello.

• [--verbose]Durante l’esecuzione, vengono scritti messaggi di debug ed informazioni sullo statodell’analisi.

• [--batch]Permette di saltare le domande che l’utente riceve quando corre il rischio di compieregli errori piu vistosi (come sovrascrivere un file gia esistente). Molto utile quando si esicuri di cio che si sta facendo, da evitare nel caso contrario.

• [--dummy]L’output dei dati non viene salvato, ma si perde alla fine del processo. Si utilizzaquando si vuole fare delle veloci verifiche sulla correttezza del processo, e sui dati stessi,abilitando l’opzione grafica. Infatti in questo modo non si sovrascrivono, per esempio,file gia esistenti.

ADA prevede che dopo la fase di processamento dei dati si possa operare su questi perprodurre informazioni di sintassi nel formato TTree di ROOT oppure per produrre dei reportgrafici. A questo scopo si utilizzano gli stessi comandi sostituendo il -t tool con -D DATA--report, ove questa volta al tipo di processo va sostituito il tipo di dati (DAQ : dati raw,WHT : dati sbiancati, EVT : eventi, MTC : eventi da montecarlo). Bisogna sempre specificareil file di configurazione e il numero del run.

Una piccola lista dei comandi disponibili si trova digitando ada --help. Un manuale inlinea si trova invece digitando Help() dopo essere entrato nell’ambiente interattivo di ADAcon il comando aia.

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Appendice B

File di configurazione WBA

Ecco un esempio del file di configurazione utilizzato per l’analisi WaveBurst. Le righe dopo ilcarattere # sono commenti.

# ===================================================================# WAVEBURST CONFIGURATION FILE# ===================================================================

# ———————————————————————————————————————# first detector input parameters# ———————————————————————————————————————

BEGIN DATE PROCESSING = “00:03:01-06:01:80”END DATE PROCESSING = “00:03:02-06:01:80”

INPUT DIRECTORY NAME 1 = “data”INPUT DATA PREFIX 1 = “AuWHT”INPUT DATA POSTFIX 1 = “”INPUT DATA CHANNEL NAME 1 = “Antenna”INPUT RUN NUMBER 1 = -1

# ———————————————————————————————————————# output dir parameters# ———————————————————————————————————————

OUTPUT DIRECTORY NAME = “wbdata”OUTPUT DATA PREFIX = “Au”OUTPUT DATA POSTFIX = “”

# ———————————————————————————————————————# input data settings# ———————————————————————————————————————

NFRAMES SCRATCH = 10NFRAMES SEGMENT = 140

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APPENDICE B. FILE DI CONFIGURAZIONE WBA

# ———————————————————————————————————————# wavelet transform settings (The wavelet mother is fixed : Symlet)# ———————————————————————————————————————

WAVELET SYMLET ORDER = 60DECOMPOSITION LEVEL = 5LOW FREQUENCY RESOLUTION LEVEL = 1HIGH FREQUENCY RESOLUTION LEVEL = 4LOW PASS FILTER CUT OFF = 830 # HzHIGH PASS FILTER CUT OFF = 990 # Hz

# ———————————————————————————————————————# reconstruction settings# ———————————————————————————————————————

SIGNAL RECONSTRUCTION ENABLED = true # ricostruisce l’hrss

# ———————————————————————————————————————# WB thresholds Vedere il capitolo 5# ———————————————————————————————————————

BLACK PIXEL PROBABILITY = 0.005MERGE BLACK PIXEL PROBABILITY = 2.0PROCESSING HALO PIXELS = trueFRACTION SUB INTERVAL DURATION = 24 # secSIGNIFICANCE SUB INTERVAL DURATION = 32 # sec

# ———————————————————————————————————————# montecarlo sw injected events# ———————————————————————————————————————

INJ ENABLED = true # Abilita l’iniezione automaticaINJ CFG FILE NAME = cfg/ada.cfg

# File di configurazione di ADA per l’iniezione di eventi

# ———————————————————————————————————————# COINCIDENCE Parameters Utilizzati per la ricerca in coincidenza fra piu rivelatori# ———————————————————————————————————————

COINCIDENCE ENABLED = false abilita la coincidenzaCOINCIDENCE WINDOW = 0.064 # secCOINCIDENCE THRESHOLD = 0.25

# ———————————————————————————————————————# time shift analysis settings# ———————————————————————————————————————

LAGS = 1 # numero di tentativi

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TIME INTERVAL BETWEEN LAGS = 4.25 # sec

# ———————————————————————————————————————# second detector input parameters# ———————————————————————————————————————

INPUT DIRECTORY NAME 2 = “data”INPUT DATA PREFIX 2 = “AuWHT”INPUT DATA POSTFIX 2 = “”INPUT DATA CHANNEL NAME 2 = “Antenna”INPUT RUN NUMBER 2 = -2

# ———————————————————————————————————————# whitening settings# ———————————————————————————————————————

WHITENING DATA = falseWHITENING INTERVAL = 60 # sec

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Appendice C

Energia di una forma d’onda del tipoDamped Sinusoid

Abbiamo visto nel capitolo 7 che la forma d’onda del tipo Damped Sinusoid puo essere descrittadall’equazione:(h+

h×

)=

hrssπfgwτ

√1 + 4π2f 2

gwτ2

τ(1 + e−1/2fgwτ )e−t/τ

(cos2ψ −sin2ψsin2ψ cos2ψ

)(1+cos2ι

2Θ(t− 1

4fgv)cos(2πfgwt)

cos(ι)Θ(t)sin(2πfgwt)

)(C.1)

dove abbiamo definito:

h2rss =

∫ ∞

0

(|h+(t)|2 + |h×(t)|2)dt (C.2)

Vogliamo ricavare, considerata un’onda gravitazionale descritta da questo tipo di formad’onda, la relazione esistente tra hrss e l’energia emessa, assumendo che la sorgente sia loca-lizzata ad una distanza r. A questo scopo, consideriamo la definizione standard del flusso dienergia, ossia la quantita di energia emessa per unita di area e di frequenza:

dE

dAdf=πc3

2Gf 2(|h+(f)|2 + |h×(f)|2) (C.3)

dove dA = r2dΩ e G e la costante di gravitazione universale. Da C.1 possiamo calcolare:

|h+(f)|2 + |h×(f)|2 =4τ(1 + 4π2τ 2f 2

gw)h2rss

16π4f 4τ 4 + (1 + 4π2τ 2f 2gw)2 + 8π2f 2τ 2(1− 4π2τ 2f 2

gw)(C.4)

Quindi, calcolando l’integrale sulla frequenza e riscrivendo dA = 4πr2 otteniamo:

E

4πr2=πc3

4G

(f 2gw +

1

4π2τ 2

)h2rss (C.5)

ossia, in termini della massa solare:

M = 4.9255× 10−6 c3

GHz−1 (C.6)

si ottiene:

E

Mc2= 2.12× 10−2

(1 +

1

4π2τ 2f 2gw

)[hrss

10−19/√Hz

]2 [r

10kpc

] [fgw

1kHz

](C.7)

che significa che osservare un hrss ≈ 10−19/√Hz per segnali con frequenza attorno ad 1 kHz

corrisponde ad una sorgente ad una distanza di 10 kpc che emette onde gravitazionali conun’energia pari al 2% di una massa solare.

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Bibliografia

[1] J. Hartle, Gravity, an introduction to Einstein’s general relativity, Addison Wesley, 2003.

[2] G. Pizzella, Fisica sperimentale del campo gravitazionale, La Nuova Italia Scientifica(1993).

[3] S. Poggi, Modello teorico per esplosioni cosmiche di raggi gamma (GRBs) come emettitoridi onde gravitazionali, Tesi di Laurea, Universita di Ferrara, A. A. 2000-2001.

[4] F. Salemi, Data analysis of a coherent network of gravitational wave detectors, Tesi didottorato, Universita di Ferrara, 2004.

[5] http://www.ligo.caltech.edu/

[6] http://www.cascina.virgo.infn.it/

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