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Universita degli Studi di Firenze
Facolta di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Tesi di laurea in Fisica
di
Riccardo Ranieri
Anno Accademico 1998/99
15 Febbraio 2000
RICERCA DEL BOSONE DI HIGGS
DEL MODELLO STANDARD A LEP2
CON IL RIVELATORE L3
Candidato: R. Ranieri
Relatore: Dott. M. Pieri
Correlatore: Prof.ssa A.M. Cartacci
2
Indice
Introduzione 5
1 Il Modello Standard delle interazioni elettrodeboli 7
1.1 Le particelle elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Unificazione della teoria delle interazioni deboli ed elettromagnetiche . . . 8
1.2.1 Definizione degli stati di elicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Lagrangiana di gauge SU(2)W ⊗ U(1)Y . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Meccanismo di rottura spontanea della simmetria . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Costanti di accoppiamento g e g′ e carica e . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Il settore di Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Vertici di interazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Masse dei fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 La fisica dell’Higgs a LEP2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Processi di produzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Higgs-strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.3 Fusione WW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Processi di decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Decadimenti fermionici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.2 Decadimenti gluonici e in quark leggeri . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.3 Decadimento in bosoni W virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Ricerca sperimentale del bosone di Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1 Limiti sulla massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.2 Strategia della ricerca diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Il rivelatore L3 a LEP 27
2.1 L’anello di accumulazione e+e− LEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1
2.2 Il rivelatore L3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 Rivelatore di microvertice SMD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Rivelatore centrale di tracce TEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3 Calorimetro elettromagnetico BGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.4 Calorimetro adronico HCAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.5 Camere per muoni MUCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.6 Altri rivelatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.7 Monitor di luminosita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Il sistema di trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Metodo di analisi 43
3.1 Generatori di Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1 Monte Carlo del fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2 Monte Carlo del segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Ricostruzione degli eventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1 Simulazione del rivelatore L3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2 Struttura generale di un evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.3 Procedura di ricostruzione degli eventi . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Algoritmo di ricostruzione dei jet: DURHAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1 Definizione analitica di un jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.2 Fit cinematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.3 Riconoscimento dei quark b: b-tagging . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Definizione delle variabili topologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Errori statistici e sistematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Ricerca del bosone di Higgs nel canale 4 jet 59
4.1 Preselezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.1 Tagli di preselezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.2 Risultati della preselezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Ottimizzazione dei tagli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Selezioni di Alta e Bassa Purezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Metodo dei pesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5 Analisi combinata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2
5 Interpretazione dei risultati e limiti combinati 91
5.1 Calcolo dei limiti di esclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Livello di confidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Livello di confidenza medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4 Scelta dell’estimatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.5 Risultati dell’analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.5.1 Analisi del canale 4 jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.5.2 Analisi combinata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5.3 Incremento della sensibilita dell’analisi con la ricombinazione delle
due selezioni di Alta e Bassa Purezza . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.5.4 Evento candidato per√s=196 GeV e mH=102 GeV . . . . . . . . . 104
Conclusioni 107
A Rottura spontanea di una simmetria di gauge SU(2) locale i
Bibliografia vii
Ringraziamenti xiii
3
4
Introduzione
Il Modello Standard e una teoria di gauge locale non abeliana basata sul gruppo di simme-
tria SU(2)⊗U(1) che descrive le interazioni elettrodeboli tra le particelle elementari. La
materia, cosı come e descritta nell’ambito del Modello Standard, e costituita da fermioni,
suddivisi in tre famiglie di quark e tre di leptoni, che interagiscono tra di loro tramite lo
scambio di bosoni vettoriali intermedi: fotoni γ e bosoni pesanti W± e Z0. La descrizione
lagrangiana della teoria necessita della definizione di una nuova particella neutra, il bosone
di Higgs, per poter descrivere la massa dei bosoni vettori e dei fermioni. L’introduzione
di un potenziale la cui simmetria e rotta spontaneamente produce sia i termini di massa
necessari per la descrizione fisica dei bosoni intermedi dell’interazione debole sia quelli
relativi ai fermioni con l’unica introduzione nell’universo delle particelle elementari del
bosone di Higgs neutro, la cui massa rimane un parametro libero della teoria.
Con il rivelatore L3, installato sull’anello LEP al CERN di Ginevra, e studiata dal
1989 la fisica delle interazioni elettrodeboli originate dalla collisione di due fasci collimati
e+e−, con energie nel centro di massa che nel corso degli anni dall’iniziale energia di
91 GeV del picco risonante della Z0 sono arrivate fino ai 202 GeV con i quali si e conclusa
la stagione di presa dati 1999. Durante questo decennio si sono avute saldissime conferme
della validita del Modello Standard, del quale sono state misurate con precisione le masse
dei bosoni W± e Z0 raccogliendo una alta statistica, che ha permesso di verificarne lo
sviluppo perturbativo ad ordini superiori. L’ultima scommessa ancora aperta, prima che
LEP venga dismesso per far posto a LHC, acceleratore circolare di protoni, e la scoperta del
bosone di Higgs, che completerebbe lo studio delle particelle del Modello Standard aprendo
nuove strade per la ricerca di estensioni di esso, tra le quali il Modello SuperSimmetrico
Minimale.
Nel corso di questa tesi ho dato il mio contributo alla ricerca del bosone di Higgs sia
analizzando i dati raccolti nel 1999 ad energie del centro di massa tra 192 e 202 GeV,
sia partecipando attivamente ai turni di presa dati durante il mese di Agosto 1999. Ho
presentato i risultati preliminari a quelli esposti in queste pagine ad un meeting del gruppo
di studio dell’Higgs dell’esperimento L3 (Higgs working-group) il 15 Dicembre 1999, dopo
essere stato introdotto in estate nell’ambiente della ricerca scientifica.
Per poter comprendere sotto tutti i punti di vista cosa e che i fisici ambiscono a rivelare,
ho strutturato la tesi in modo da introdurre la fenomenologia del bosone di Higgs a partire
5
dall’aspetto teorico della questione, costruendo nel corso del primo capitolo passo dopo
passo la teoria di unificazione delle interazioni elettromagnetiche e deboli. I termini di
massa delle particelle nella teoria di unificazione elettrodebole sono realizzati tramite il
meccanismo di rottura spontanea della simmetria, che viene spiegato piu in dettaglio in
appendice. Questo da origine ad una nuova particella osservabile, il bosone di Higgs, i
cui accoppiamenti con i fermioni e i bosoni intermedi proposti dalla teoria ne definiscono
i processi principali di produzione e decadimento. Il loro studio ha permesso al gruppo di
ricerca di impostare l’analisi dei dati in tre canali: 4 jet, leptonico e invisibile.
I dati sperimentali sono raccolti per mezzo del rivelatore L3, che si compone di tanti
moduli di rivelazione, descritti brevemente nelle loro funzioni e prestazioni nel secondo
capitolo, che si conclude con un accenno ai criteri per i quali vengono immagazzinati i
dati da analizzare.
L’analisi sui dati e realizzata con l’ausilio di tecniche di simulazione di Monte Carlo, che
riproducono la complessa fenomenologia delle interazioni elettrodeboli che si sviluppano
all’interno del rivelatore. Il confronto tra i dati raccolti e quelli simulati e il metro di
valutazione che il fisico sperimentale delle particelle elementari possiede per confermare o
meno le teorie connesse alla ricerca di nuove particelle. Il terzo capitolo di questo lavoro
descrive il software di L3 che permette di ricostruire gli eventi e di simularne degli altri in
modo da definire le variabili cinematiche e dinamiche che serviranno a definire la strategia
di analisi, descritta in dettaglio nel quarto capitolo.
L’analisi e impostata sulla ricerca del bosone di Higgs nel canale 4 jet. E questa la
fase piu importante dell’analisi dati, perche e il momento di scegliere i tagli da imporre
alle variabili per poter avere campioni di dati in cui il segnale ricercato sia esaltato al
massimo e contemporaneamente siano ridotti gli eventi di fondo, processi per i quali gli
stati finali sono simili a quelli degli eventi di segnale. In questo capitolo della tesi risiede
il nucleo principale del mio lavoro; la novita che ho apportato rispetto al modo classico di
effettuare l’analisi dei dati e stata quella di utilizzare due selezioni complementari, formate
da eventi che nel complesso avevano passato tutte le selezioni e realizzate per mezzo di
ulteriori tagli, per migliorare la sensibilita totale dell’analisi.
Una volta definito il campione con il quale lavorare, la mia analisi del canale 4 jet e
stata integrata da quelle relative agli altri due canali, effettuate da altri membri dell’Higgs
working-group, per presentare nel quinto capitolo il risultato finale, che e un limite inferiore
di esclusione dell’esistenza del bosone di Higgs per un dato valore della sua massa.
6
Capitolo 1
Il Modello Standard delle interazionielettrodeboli
In questo capitolo saranno introdotti i concetti base della teoria di unificazione elettrode-
bole e i problemi connessi con la descrizione lagrangiana dei fenomeni ad essa legati.
A partire dalla simmetria di gauge SU(2)W ⊗ U(1)Y verranno definiti i bosoni di gauge
coinvolti nei processi fisici (W+, W− e Z0 per le interazioni deboli e il fotone per le in-
terazioni elettromagnetiche) tramite il meccanismo di rottura spontanea della simmetria,
che introduce una nuova particella nella teoria, il bosone di Higgs. Nell’ultima parte del
capitolo sara descritto il campo di Higgs e come per mezzo di questo sono generate oltre
alle masse dei bosoni di gauge anche le masse dei fermioni. A completamento dell’intro-
duzione teorica saranno presentati i processi di produzione e decadimento del bosone di
Higgs nell’ambito del Modello Standard.
Nel corso di quasi tutto questo lavoro si utilizzeranno le unita di misura naturali,
per cui, se non specificato altrimenti, sia nelle formule che nei risultati sperimentali sara
implicitamente posto h = c = 1.
1.1 Le particelle elementari
Nel Modello Standard i fermioni elementari sono i leptoni, i quark e le loro anti-particelle.
Essi sono classificati in tre famiglie:(νee
) (νµµ
) (νττ
)(ud
) (cs
) (tb
)
La materia e costituita da leptoni e adroni, questi ultimi suddivisi in mesoni (formati
da un quark e un anti-quark) e barioni (formati dalla combinazione di tre quark).
7
Tutti gli elementi appartenenti alle tre famiglie sono stati direttamente o indiretta-
mente osservati e per ora non ci sono evidenze sperimentali dell’esistenza di una quarta
generazione di particelle elementari.
1.2 Unificazione della teoria delle interazioni deboli
ed elettromagnetiche
1.2.1 Definizione degli stati di elicita
Lo studio della fenomenologia delle interazioni deboli, le sole che non conservano la parita
tra gli stati iniziale e finale, ha portato alla formulazione della teoria di Glashow [1], Salam
[2] e Weinberg [3] (1967)1, che assume l’esistenza di una lagrangiana invariante sotto
trasformazioni di gauge SU(2)⊗ U(1). Questa ipotesi porta all’impossibilita di includere
termini di massa per i campi fermionici, cosı l’operatore γ52 coincide con l’operatore di
elicita. Si possono cosı definire spinori di Dirac a 2 × 4 componenti con elicita definita
destrorsi (ψR) e sinistrorsi (ψL) per le famiglie di leptoni � tramite gli opportuni proiettori:
L =
(ν�
)L
=1− γ5
2
(ν�
)(1.1)
R =(�)R=
1 + γ5
2
(�)
(1.2)
Non e incluso nella teoria il singoletto destrorso del neutrino ν, dato che i neutrini
sono almeno in principio privi di massa e hanno elicita negativa. Per le famiglie di quark
si procede analogamente, con l’unica differenza che i singoletti destrorsi sono due, uno per
ogni quark.
La descrizione dei processi di interazione tramite correnti deboli cariche di natura sia
vettoriale che assiale (teoria V-A) conduce alla corretta formulazione della teoria di gauge
SU(2)W ⊗ U(1)Y con l’introduzione di nuovi numeri quantici, l’Isospin debole T (con la
sua proiezione T3) e l’Ipercarica debole Y, definita dalla relazione
Y = 2(Qem − T3) (1.3)
1Premi Nobel 1979 per la fisica “for their contributions to the theory of the unified weak and electro-magnetic interaction between elementary particles, including inter alia the prediction of the weak neutralcurrent”.
2L’operatore γ5 e definito come γ5 = γ5 = iγ0γ1γ2γ3. Le γµ (µ = 0, 1, 2, 3) sono le matrici diDirac definite dalla relazione di anti-commutazione {γµ, γν} = 2gµν , dove gµν e il tensore metrico diMinkoski gµν = diag {1;−1,−1,−1}, e dalla proprieta di hermitianita (per γ0) o anti-hermitianita (perle γi, i = 1, 2, 3): (γµ)† = γµ = gµνγ
ν. Le proprieta di hermitianita e unitarieta di γ5 sono riassunte in{γ5, γµ
}= 0, γ†5 = γ5, (γ5)
2 = 1.
8
dove Qem rappresenta il valore della carica elettrica in unita di carica3 e.
Per la prima famiglia di leptoni e quark nella tabella 1.1 sono riportati i numeri quantici
citati.
Fermioni Numeri quanticiQem T T3 Y
νeL 0 12
+12
-1e−L -1 1
2-12
-1e−R -1 0 0 -2uL +
23
12
+12
+13
dL -13
12
-12
+13
uR +23
0 0 +43
dR -13
0 0 -23
Tabella 1.1: Numeri quantici della prima famiglia di leptoni e di quark.
Da questo punto di vista risultera chiara la notazione
L ∈ (2,−1) (1.4)
R ∈ (1,−2) (1.5)
se si identifica con il primo numero la dimensionalita della rappresentazione del gruppo
SU(2)W e con il secondo il valore dell’ipercarica, che fa riferimento al gruppo U(1)Y .
1.2.2 Lagrangiana di gauge SU(2)W ⊗ U(1)Y
La Lagrangiana che soddisfa la simmetria di gauge richiesta per i campi definiti in
precedenza si ottiene sostituendo nella lagrangiana di Dirac libera4
L0 = ψ(x) (iγµ∂µ −m)ψ(x) (1.6)
le derivate ordinarie con le derivate covarianti introducendo le costanti di accoppiamento
g e g′/2 per l’isospin e l’ipercarica deboli con i rispettivi campi �W µ e Y µ
Dµ = ∂µ + ig′
2(Y )Yµ + ig
�τ
2· �Wµ (1.7)
con Y che indica il valore del numero quantico di ipercarica associato al campo ψ.
3e = 1.60217733(49)× 10−19 C [5] e il valore assoluto della carica elettrica dell’elettrone, che perciorisulta avere carica -e.
4ψ = ψ†γ0
9
L’equazione 1.6 con la sostituzione 1.7 rappresenta la parte cinetica dello spinore
coinvolto e la sua interazione con i campi di gauge; a questa andranno aggiunti i termini
cinetici propri dei campi di gauge:
Lkin = −1
4�Wµν · �W µν − 1
4BµνB
µν (1.8)
con
�Wµν = ∂µ �Wν − ∂ν �Wµ + g(�Wµ × �Wν
)(1.9)
Bµν = ∂µYν − ∂νYµ (1.10)
La lagrangiana invariante in forma SU(2)W ⊗U(1)Y per la I famiglia leptonica puo essere
ora scritta nella sua forma completa:
L1 = Lγµ[i∂µ − g
�τ
2· �Wµ − g′
2(−1)Bµ
]L+Rγµ
[i∂µ − g′
2(−2)Bµ
]R+
− 1
4�Wµν · �W µν − 1
4BµνB
µν
(1.11)
L’equazione 1.11 descrive bosoni di gauge e fermioni a massa nulla.
La richiesta di bosoni di gauge senza massa e usuale nella teoria, mentre un termine
di massa per i fermioni
−m�� = −m
(�R�L + �L�R
)(1.12)
vıola manifestamente l’invarianza di gauge dal momento che �L e membro di un doppietto
di isospin e �R di un singoletto.
1.2.3 Meccanismo di rottura spontanea della simmetria
Il meccanismo di rottura spontanea di una simmetria di gauge SU(2) locale e dovuto a
P.W.Higgs [4], che introduce un nuovo campo complesso di massa µ a due componenti
nella lagrangiana (doppietto di Higgs) corredato di un opportuno potenziale. L’interazione
del campo di Higgs, sviluppato intorno al suo valore di vuoto, con il campo di gauge SU(2)
da origine ai termini di massa delle tre componenti di quest’ultimo. Per una trattazione
piu completa del meccanismo di rottura della simmetria si rimanda alla Appendice A.
Il fine di questo procedimento e dare massa ai bosoni vettori delle interazioni deboli
mantenendo pero il fotone, mediatore delle interazioni elettromagnetiche, a massa nulla.
In altre parole le simmetrie da rompere sono SU(2)W e U(1)Y , ma non la simmetria interna
10
U(1)em, dal momento che la richiesta da soddisfare e quella di mantenere il fotone senza
massa.
La scelta del campo di Higgs adatto a generare tutto questo fu operata da Weinberg
(1967) [3], che introdusse un doppietto complesso φ ∈ (2,+1) del tipo
φ =
(φ+
φ0
)(1.13)
da inserire nella lagrangiana
L2 =
[(i∂µ − g
�τ
2· �Wµ − g′
2(+1)Bµ
)φ
]†·[(
i∂µ − g�τ
2· �W µ − g′
2(+1)Bµ
)φ
]− V (φ)
(1.14)
invariante SU(2)W ⊗ U(1)Y per quattro campi scalari.
Il potenziale scelto e quello usuale (eq. A.11):
V (φ) = µ2(φ†φ)+ λ
(φ†φ)2
= µ2 |φ|2 + λ |φ|4
con µ2 < 0 e λ > 0. La limitazione dei termini di auto-interazione del potenziale di
Higgs al IV ordine (|φ|4) e dovuta alla necessita che il campo di Higgs 1.13 dia luogo ad
una teoria rinormalizzabile. Infatti mentre la rinormalizzabilita della teoria con µ2 > 0
e immediata (ma purtroppo non produce gli effetti desiderati), con µ2 < 0 il problema e
stato risolto completamente da G.’tHooft5 all’inizio degli anni ’70.
La scelta del valore di vuoto del campo di Higgs idoneo a mantenere la massa del
fotone al valore nullo non puo che essere la A.16:
φ0 =1√2
(0v
)
dato che possiede i numeri quantici giusti (T = 12, T3 = −1
2, Y = +1, ma soprattutto
Q = 0) per mantenere l’invarianza per U(1)em6.
Il termine rilevante in 1.14 che restituisce la massa dei bosoni di gauge e
Lmass =
[(−g�τ
2· �Wµ − g′
2Bµ
)φ0
]† [(−g�τ
2· �W µ − g′
2Bµ
)φ0
](1.15)
Sviluppando la 1.15 si ottiene l’espressione
Lmass =1
8g2v2
[(W 1
µ
)2+(W 2
µ
)2]+
+1
8v2(g′Bµ − gW 3
µ
) (g′Bµ − gW 3µ
) (1.16)
5Premio Nobel 1999 per la fisica insieme a M.J.G.Veltman “for elucidating the quantum structure ofelectroweak interactions in physics”.
6Il generatore di U(1)em e la carica elettrica Q definita come Q = T3+ Y2 , percio Qφ0 = 0 e l’invarianza
e garantita: φ0 → φ′0 = eiα(x)Qφ0 = φ0 ∀α(x).
11
che e costituita da due termini. Il primo si discute operando la sostituzione sui campi
W± =W 1 ∓ iW 2
√2
(1.17)
arrivando a
1
8g2v2
[(W 1
µ
)2+(W 2
µ
)2]=
(1
2gv
)2 (W+
)µ
(W−)µ (1.18)
e notando che per un campo complesso il termine di massa e della formaM2W (W+)µ (W
−)µ
si puo identificare il valore della massa delle W+ e W−: MW = 12gv. Il secondo termine
della 1.16 deve essere discusso piu in dettaglio, dal momento che dovra descrivere un
bosone massivo (corrispondente fisicamente alla Z0) e il campo del fotone (A) privo di
massa. Si puo riscrivere il tutto nella forma
1
8v2(W 3
µ Bµ
)( g2 −gg′−gg′ g′2
)(W 3µ
Bµ
)(1.19)
ed e quindi sufficiente ruotare il sistema(W 3
µ Bµ
)in modo da diagonalizzare la matrice
delle masse
Mmass =1
4v2
(g2 −gg′
−gg′ g′2
)(1.20)
Gli autovalori della 1.20 sono λ1 = 0 (come richiesto dall’ipotesi che ha permesso di
sviluppare tutto il formalismo) e λ2 =14v2(g2 + g′2
); questo permette di identificare gli
autostati di massa secondo la relazione(Aµ
Zµ
)=
1√g2 + g′2
(g g′
−g′ g
)(Bµ
W 3µ
)(1.21)
e di definire un parametro della teoria molto importante, l’angolo di Weinberg7 θW
tan θW =g′
g(1.22)
A questo punto la lagrangiana delle masse dei bosoni di gauge 1.15 ha assunto la forma
Lmass = M2W
(W+
)µ
(W−)µ + 1
2M2
ZZµZµ +
1
2M2
AAµAµ (1.23)
con le identificazioni
MW =1
2gv (1.24)
7Sperimentalmente viene misurato [5] sin2 θW = 0.23124(24).
12
MZ =1
2v
√g2 + g′2 (1.25)
MA = 0 (1.26)
Inoltre si ottiene la relazione
MW
MZ= cos θW (1.27)
fondamentale dal punto di vista sperimentale perche lega il parametro della teoria θW alle
due quantita misurabili MW e MZ .
La disuguaglianza MZ �= MW e dovuta al mescolamento tra i campi W 3µ e Bµ, nel cui
settore gli autostati di massa sono un fotone senza massa (Aµ) e un campo con massa
(Zµ) con MZ > MW (nel limite θW → 0, MZ → MW ). Il modello e stato costruito con
la richiesta che il fotone fosse senza massa, cosı il risultato 1.26 e solo un controllo di
consistenza e non una predizione. E invece una predizione la relazione fondamentale 1.27.
I valori misurati sono i seguenti [5]:
• MW = 80.41± 0.10 GeV/c2
• ΓW = 2.06± 0.06 GeV
• MZ = 91.188± 0.007 GeV/c2
• ΓZ = 2.491± 0.007 GeV
• Mγ < 2× 10−16 eV/c2 @ 95% CL
1.2.4 Costanti di accoppiamento g e g′ e carica e
La lagrangiana 1.11 puo essere nuovamente studiata nell’ottica delle definizioni 1.21 e
1.17. Imponendo che descriva correttamente il settore elettromagnetico della teoria con le
appropriate costanti di accoppiamento e necessario legare tra loro g, g′ e θW con la carica
elementare e
e = g sin θW = g′ cos θW (1.28)
e tramite la definizione della costante di Fermi delle interazioni deboli8 si ricava
GF√2=
g2(2√2)2 · 1
M2W
(1.29)
8La costante di Fermi, il cui valore [5] e GF
(hc)3 = 1.16639(1)× 10−5 GeV−2, fu utilizzata dallo stessocome costante di accoppiamento del vertice di interazione debole nella teoria che prevedeva un’interazionepuntuale e non mediata da bosoni intermedi.
13
che permette con la 1.24 di fissare il parametro v che compare nel valore di vuoto del
campo di Higgs (A.15):
v2 =1√2GF
� (246 GeV)2 (1.30)
Un’altra importante relazione che si ottiene e quella che lega insieme GF , θW e la costante
di struttura fine9 αem tra loro attraverso il valore della massa della Z0:
M2Z =
παem√2GF sin
2 θW cos2 θW(1.31)
Per riassumere tutto il discorso fino a qui intrapreso osserviamo come il modello di
Weinberg e Salam sia una unificazione delle interazioni deboli ed elettromagnetiche visto
che g � g′ � e. La differenza fisica emerge quando il meccanismo di rottura spontanea del-
la simmetria riduce lo schema iniziale SU(2)W⊗U(1)Y alla sola simmetria elettromagnetica
U(1)em dal momento che W± e Z0 acquistano massa.
1.3 Il settore di Higgs
1.3.1 Vertici di interazione
Lo sviluppo del campo di Higgs intorno al suo valore di vuoto (A.16)
φ(x) =1√2
(0
v + h(x)
)(1.32)
da luogo se inserito nella 1.14 ad una nuova particella con massa mh =√−2µ2 (cfr.
Appendice A ricordando che µ2 < 0), le cui interazioni si studiano ricavando i fattori
di vertice dei processi che la vedono coinvolta direttamente dalla lagrangiana 1.14. Essi
sono:
hW+W− −→ igMW (1.33)
hhW+W− −→ 1
4ig2 (1.34)
hZZ −→ 1
2
ig
cos θWMZ (1.35)
9La costante di struttura fine e definita come rapporto tra la velocita dell’elettrone nell’orbita di Bohrdell’atomo di idrogeno con L=1 e la velocita della luce. Nel sistema MKS assume la forma αem = e2
4πε0(hc)
e il suo valore indipendentemente dalle unita di misura usate e [5] αem = 1137.0359895(61) .
14
hhZZ −→ 1
8
ig2
cos2 θW(1.36)
e sono utilizzati per calcolare le ampiezze invarianti (e da qui le sezioni d’urto per esempio)
attraverso le regole di Feynman.
1.3.2 Masse dei fermioni
L’importanza della scelta di Weinberg (A.16) riserva ancora una sorpresa nella evoluzione
della teoria del modello elettrodebole. Essa e sufficiente per generare attraverso un accop-
piamento invariante di Yukawa con costante di accoppiamento Gf anche le masse di tutti
i fermioni della teoria, che come si era visto davano origine a violazioni della simmetria
richiesta (1.12).
La lagrangiana di massa dei fermioni puo essere espressa nella forma
L3 = −Gf [LφR+Rφ†L] (1.37)
Limitandosi per semplicita al caso della I famiglia leptonica la 1.37 diventa
Llept3 = −Ge[LφR+Rφ†L] (1.38)
che attraverso la 1.32 e ricordandosi le definizioni di L (1.1) e R (1.2) risulta della forma
Llept3 = −Gev√
2(eLeR + eReL)− Ge√
2(eLeR + eReL)h(x) (1.39)
con Ge costante di accoppiamento elettronica.
L’immediata identificazione della massa dell’elettrone
me =Gev√2
(1.40)
conduce a
Llept3 = −meee− 1
2gme
MWeeh(x) (1.41)
tenendo presente la 1.24. Essendo Ge arbitrario, la massa dell’elettrone non si puo predire
e il suo valore sperimentale10 aggiusta solamente il valore del parametro Ge.
Il secondo termine della 1.41 e il fattore di vertice per l’interazione tra Higgs e coppia
e+e− (o piu in generale qualsiasi coppia fermione–anti-fermione ff)
hff −→ −1
2igmf
MW
(1.42)
10me = 0.51099906(15) MeV/c2 [5].
15
e mostra come siano favorite le interazioni con i fermioni piu pesanti vista la dipendenza
dal rapportomf
MW.
Anche le masse dei quark sono generate allo stesso modo facendo ricorso al coniugato
di carica11 del doppietto di Higgs 1.13
φc =
( −φ0
φ−
)−→ 1√
2
(v + h(x)
0
)(1.43)
tale che φc ∈ (2,−1).Le interazioni deboli comportano un mescolamento degli stati di sapore dei quark,
percio la lagrangiana delle masse per le tre famiglie di quark deve essere scritta nella
forma
L4 = − (Gd)ij (
ui d′i)L
(φ+
φ0
)(dj)R− (Gu)
ij (ui d′i
)L
( −φ0
φ−
)(uj)R+ h.c.
(1.44)
ricordando che ui e d′i rappresentano gli autostati di interazione debole12 al variare di
i = 1, 2, 3 per le tre famiglie ed e sottointesa la somma sugli indici ripetuti i e j che
variano da 1 a 3. In questo modo anche i quark acquistano massa e la 1.44 assume la
forma
L4 =
3∑i=1
[−mi
ddidi −miuuiui −
1
2
g
MWmi
ddidih(x)−1
2
g
MWmi
uuiuih(x)
](1.45)
con
midδij =
(GTd
)ik
(U †)
kj√2
v (1.46)
miuδij =
(Gu)ij√2
v (1.47)
e si ha come conseguenza che l’accoppiamento dell’Higgs con i quark conserva il sapore
di questi ultimi.
1.3.3 Conclusioni
La scelta minimale di un singolo doppietto di Higgs e sufficiente per generare sia le masse
dei bosoni di gauge che dei fermioni, ma queste ultime sono solo parametri e non sono
11L’operatore di Charge Conjugation o Coniugazione di Carica trasforma la funzione d’onda φ diparticella in quella φc della rispettiva anti-particella.
12d′i =∑N
k=1 Uikdk dove N e il numero di famiglie di quark (N = 3), Uik la matrice di mixing diCabibbo-Kobayashi-Maskawa [5] e dk con k = 1, 2, 3 rispettivamente i quark d, s e b.
16
previsioni del modello: i loro valori sperimentali devono essere degli input per la teoria. E
pero previsto dalla teoria che l’accoppiamento dell’Higgs con i fermioni sia proporzionale
alle loro masse, affermazione che potra essere verificata quando, e se, la particella sara
osservata. Una seconda carenza risiede nell’impossibilita di ricavare teoricamente il valore
mh =√2λv2 =
√−2µ2 della massa dell’Higgs neutro non potendo esprimere nessuno dei
due parametri λ o µ in funzione di grandezze misurabili sperimentalmente (cosa che invece
accade per v ma non e sufficiente).
Il bosone di Higgs e una particella difficile da scoprire a causa della sua caratteristi-
ca proprieta di accoppiarsi con i fermioni in proporzione alla loro massa. Le particelle
sperimentalmente piu accessibili sono i fermioni piu leggeri (e;u,d,s), pero essi hanno ac-
coppiamenti con l’Higgs troppo deboli. I fermioni piu pesanti (τ ;c,b,t) si accoppiano piu
intensamente all’Higgs, ma e molto piu difficile produrli.
1.4 La fisica dell’Higgs a LEP2
1.4.1 Processi di produzione
Il meccanismo principale di produzione dell’Higgs nelle collisioni e+e− alle energie di LEP2
(√s � 200 GeV) e la cosiddetta Higgs-strahlung, ovvero la produzione radiativa attraverso
una Z0 virtuale:
Higgs− strahlung : e+e− → Z0H
�Z0
e+
e−
H
Z0
Alle energie di LEP2 il processo concorrente di formazione e originato da una collisione
tra W+ e W−
fusione WW : e+e− → νeνeH
�W
W
e+
e−
νe
νe
H
17
e ha una sezione d’urto cosiderevolmente piu bassa trattandosi di un processo di un
ordine superiore al precedente nella costante di accoppiamento debole. Esiste anche un
terzo processo di formazione, chiamato fusione ZZ, la cui dinamica diferisce da quella
della fusione WW perche nello stato finale si ha la produzione di un bosone di Higgs e di
una coppia e+e−, ma la sua sezione d’urto e inferiore di due ordini di grandezza rispetto
a quest’ultima.
Gli andamenti delle sezioni d’urto per questi due processi principali in funzione della
massa del bosone di Higgs alle energie nel centro di massa di 192 e 196 GeV sono riportati
in figura 1.1.
Figura 1.1: Andamento della sezione d’urto per i due processi piu importanti di produzionedell’Higgs per energie del centro di massa di circa 192 GeV e 196 GeV.
18
1.4.2 Higgs-strahlung
La sezione d’urto per il processo di Higgs-strahlung e solitamente scritta nella forma
compatta [7]:
σ(e+e− → Z0H
)=G2Fm
4Z
24πs
((C
(e)V )2 + (C
(e)A )2
)λ
12λ+ 12m2
Z/s
(1−m2Z/s)
2 (1.48)
dove√s indica l’energia del centro di massa (a LEP coincide con quella del laborato-
rio), C(e)A = −1/2 e C
(e)V = −1/2 + 2 sin2 θW sono i coefficienti vettoriale e assiale per
l’elettrone13, λ = (1−m2H/s−m2
Z/s) − 4m2Hm
2Z/s
2 e il fattore di spazio delle fasi per
un sistema di due particelle finali di massa mH e mZ . Le correzioni radiative per questa
sezione d’urto sono ben conosciute e per energie√s � 200 GeV sono minori dell’1.5%.
In figura 1.2 e riportata la sezione d’urto per tre energie nel centro di massa in funzione
della massa dell’Higgs tenuto conto delle correzioni elettrodeboli e di QED14.
Il bosone Z0 finale puo essere anche virtuale, per questo motivo le curve si estendono
anche oltre il limite cinematico mH = (√s−mZ).
Dal momento che il bosone di Higgs decade in prevalenza in coppie bb e τ+τ− (1.42), lo
stato finale osservabile consistera in due coppie fermione–anti-fermione, una per ognuna
delle due particelle neutre prodotte.
1.4.3 Fusione WW
Lo stato finale e la produzione associata del bosone di Higgs con una coppia neutrino–anti-
neutrino di tipo elettronico [8]. Anche il precedente processo tra i canali di uscita ammette
la produzione associata dell’Higgs con una coppia νν, percio nel canale elettronico νeνe i
due processi interferiscono. Il termine di interferenza e calcolato e riportato in figura 1.3
in funzione della massa dell’Higgs insieme alle sezioni d’urto dei singoli processi di Higgs-
13I fermioni L e R hanno due diverse costanti di carica per la corrente di interazione debole neutra.Esse sono: gfL = T f3 − Qf sin2 θW e gfR = −Qf sin2 θW e possono essere riarrangiate per dare origine ai
coefficienti vettoriale e assiale CfV =(gfL + gfR
)e CfA =
(gfL − gfR
)secondo la relazione
JZµ =∑f
[gfLfLγµfL + gfRfRγµfR
]=∑f
f12
[CfV γµ + CfAγµγ5
]f
L’interazione di corrente neutra si puo riscrivere per mezzo della lagrangiana
LNC =−g
cos θWJZµ Z
µ
14QED=Quantum ElectroDynamics, elettrodinamica quantistica.
19
Figura 1.2: Andamento della sezione d’urto di Higgs-strahlung per diversi valori di energiadel centro di massa al variare della massa del bosone di Higgs.
strahlung e fusione WW e alla sezione d’urto totale di produzione per√s = 192 GeV.
Come si puo notare dalla 1.48 la sezione d’urto di Higgs-strahlung sopra la soglia di
produzione della coppia ZH e proporzionale a g4 (G2F ) mentre sotto la soglia viene ridotta
notevolmente dall’ulteriore fattore dovuto al vertice di interazione Z0 → f f . La sezione
d’urto di fusione WW e invece sempre di ordine g6 e puo essere espressa [9] nella forma
σ(e+e− → νeνeH
)=G3Fm
4W
4√2π3
∫ 1
xH
dx
∫ 1
x
dyF (x, y)
[1 + (y − x)/xW ]2(1.49)
F (x, y) =
[2x
y3− 1 + 3x
y2+2 + x
y− 1
] [z
1 + z− log(1 + z)
]+
x
y3
z2(1− y)
1 + z(1.50)
con xH = m2H/s, xW = m2
W/s e z = y(x− xH)/(xxW ).
Il peso relativo dei vari contributi alla sezione d’urto totale del processo che porta alla
formazione del bosone di Higgs e di una coppia neutrino–anti-neutrino e mostrata nella
figura 1.3 per√s = 192 GeV, con la Higgs-strahlung che include tutti e tre i neutrini nello
stato finale. Il valore della soglia di produzione di Z0 reali e posto in corrispondenza di
mH = 101 GeV a√s = 192 GeV. Pochi GeV sopra questa massa il meccanismo di fusione
20
�(e+e� ! H + neutrinos) [fb]ps = 192 GeV
thr
95 100 105 110 1151
2
5
10
20
50
100
tot
Higgs-
strahlung
fusion
int
mH [GeV]
Figura 1.3: Sezione d’urto dei processi di produzione dell’Higgs congiuntamente a unacoppia νν (invisible Higgs) per Higgs-strahlung e fusioneWW con il termine di interferenza(int) calcolato senza correzioni radiative per energia nel centro di massa di 192 GeV. Lalinea continua indica la sezione d’urto totale comprensiva di quest’ultimo termine. Lafreccia indica la soglia (threshold) oltre la quale termina la produzione di Z0 reali.
diventa dominante, mentre la Higgs-strahlung e dominante per valori di massa dell’Higgs
minori.
1.5 Processi di decadimento
Il Modello Standard prevede una larghezza di decadimento molto stretta per l’Higgs,
ΓH ≤ 3 MeV per mH ≤ 100 GeV. La larghezza della risonanza non puo percio essere
risolta sperimentalmente.
I principali canali di decadimento alle energie di LEP2 possono essere suddivisi nel
modo seguente:
1) decadimenti in quark: H → bb (Br � 85%) e cc (Br � 4%)
2) decadimenti leptonici: H → τ+τ− (Br � 8%)
�Hb,c,τ+
b,c,τ−
21
3) decadimenti gluonici: H → gg (Br � 2÷ 4%)
�QH
g
g
4) decadimento in bosoni W : H → WW ∗ (Br < 1%)
�W∗
WH f ′
f
Il decadimento nella coppia di quark bb e di gran lunga il canale di decadimento piu
probabile, seguito dal canale τ , charm e decadimenti gluonici a livelli inferiori al 10%.
Per quanto riguarda il canale di decadimento in due W , solamente per masse superiori a
110 GeV inizia ad essere non trascurabile. La figura 1.4 mostra i rapporti di decadimento
del bosone di Higgs in funzione della sua massa mH .
1.5.1 Decadimenti fermionici
La larghezza parziale di decadimento nella coppia τ+τ− e data [10] da
Γ(H → τ+τ−
)=GFm
2τ
4√2π
mH (1.51)
invece per i decadimenti in coppie bb e cc devono essere incluse correzioni radiative di
QCD15 fino al secondo e terzo ordine (in δ′t) nella costante di accoppiamento forte16 αs
per arrivare all’espressione
Γ (H → qq) =3GF
4√2π
m2q(mH)mH
[1 + 5.67
(αsπ
)+ (35.94− 1.36Nf + δt + δ′t)
(αsπ
)2]
(1.52)
15QCD=Quantum ChromoDynamics, la cromodinamica quantistica e lo studio dei processi diinterazione forte tra le cariche di colore dei quark.
16αs = 12π(33−2Nf ) ln(Q2/Λ2) e detta running coupling constant perche diminuisce all’aumentare dell’ener-
gia. Nf e il numero dei sapori dei quark, Q2 il quadri-impulso trasferito e Λ=140 MeV per Q < 10 GeV.Il valore di αs per energie dell’ordine della massa della Z0 e αs(mZ) = 0.118± 0.006.
22
Standard Model
bb_
τ+τ-
cc_
gg
BR(H)
W*W*
Z*Z*
mH [GeV]
10-2
10-1
1
60 70 80 90 100 110 120
Figura 1.4: Rapporti di decadimento del bosone di Higgs nell’ambito del Modello Standard.Le bande includono le incertezze dovute agli errori sulle masse dei quark e sulla costantedi accoppiamento di QCD.
dove δt tiene conto dell’accoppiamento triangolare del quark top (di massa Mt) nello
stato finale qq al secondo ordine con scambio di due gluoni nel canale s17, mentre δ′t del
decadimento dell’Higgs in due gluoni con uno di questi che forma una coppia qq. La
costante di accoppiamento αs e valutata al valore di energia corrispondente alla massa
mH e Nf = 5 e il numero dei sapori dei quark q con 2mq < mH18, inoltre mq(mH)
racchiude le correzioni di QCD apportate alla massa dei quark a causa della dipendenza
di αs dall’energia del processo che la vede coinvolta.
17δt = 1.57− 23 log(m2
H/M2t ) +
19 log2(m2
q(mH)/m2H)
18Si suppone mH < 2Mt dal momento che al Tevatron [5] e stato misurato che Mt = 173.8± 3.5± 3.9GeV/c2.
23
1.5.2 Decadimenti gluonici e in quark leggeri
Nella teoria del Modello Standard i decadimenti gluonici sono mediati da loop che interes-
sano il quark t [11], ma dal momento che il range di masse dell’Higgs a LEP2 e ben al di
sotto dalla sua soglia di produzione19 la larghezza di decadimento gluonica si schematizza
Γ (H → gg(g), qqg) =GFα
2s(mH)
36√2π3
m3H
[1 +
(95
4− 7
6Nf
)αs(mH)
π
](1.53)
tenendo presente che per riferirla solamente ai tre quark piu leggeri (u,d,s) deve essere
valutata con Nf = 3.
1.5.3 Decadimento in bosoni W virtuali
Il canale H → WW ∗ → 4fermioni diventa rilevante per mH > mW quando una delle
due W puo essere prodotta nella shell di massa20.
La larghezza parziale di decadimento e data da
Γ (H → WW ∗) =3G2
Fm4W
16π3mHR(x) (1.54)
dove R(x) e una funzione semiempirica del parametro adimensionale x =(mW
mH
)2
.
1.6 Ricerca sperimentale del bosone di Higgs
1.6.1 Limiti sulla massa
Una evidenza indiretta del bosone di Higgs proviene dalle misure di alta precisione effet-
tuate a LEP e in altri esperimenti. La teoria del Modello Standard e rinormalizzabile se e
solo se si includono sia il quark top che il bosone di Higgs nei loop delle correzioni di or-
dine superiore agli osservabili elettrodeboli. Il valore utilizzato per la massa del bosone di
Higgs influenza queste grandezze in modo logaritmico21, tuttavia la crescente precisione
degli esperimenti ha reso possibile il calcolo della curva del χ2 del fit degli osservabili
elettrodeboli in funzione della massa mH dell’Higgs. Alla luce della recente scoperta al
Tevatron del quark top [12], l’analisi di mH attraverso un fit globale di tutti i dati elet-
trodeboli fa propendere il risultato a favore di un bosone di Higgs leggero. Le misure di
precisione utilizzate sono quelle delle masse dei bosoni W± e Z0 e delle loro larghezze di
19La soglia di produzione del quark top e circa 2Mt � 350 GeV per interazione e+e−.20Una particella intermedia e prodotta nella shell di massa quando l’energia disponibile e superiore
alla sua massa. La particella non e virtuale, ma reale e sussiste percio la relazione massa/energia:E2 − |(p|2 = m2.
21La dipendenza principale dalla massa del quark top e quadratica.
24
decadimento, le asimmetrie delle frazioni di decadimento di quark e rispettivi anti-quark,
angolo di Weinberg e massa del quark top.
Al momento le incertezze teoriche sulla determinazione dei parametri del Modello
Standard dalle misure elettrodeboli sono piccole rispetto all’incertezza sul valore della
costante di struttura fine alla massa della Z0, α(m2Z). L’incertezza principale e dovuta ai
contributi dei quark leggeri alla polarizzazione del vuoto, ∆α(5)had(m
2Z).
In figura 1.5 sono riportate le curve di ∆χ2 = χ2 − χ2min in funzione della massa mH
per il fit che include tutti i dati. La curva a tratto continuo e il risultato di tale fit, la
banda rappresenta l’incertezza che deriva dal trascurare correzioni di ordine superiore. Il
limite superiore alla massa dell’Higgs con il 95% di livello di confidenza, tenendo conto
della banda di incertezza, e 262 GeV [13]. Il limite inferiore di mH utilizzato vale approssi-
mativamente 90 GeV ed e stato ottenuto dalla ricerca diretta [14]. La curva tratteggiata
si ottiene con una diversa valutazione di α(5)(m2Z). E chiaro che i limiti indiretti su mH
non possono assicurare l’esistenza di un bosone di Higgs leggero, comunque il fatto che il
best fit sui dati recenti tende ad evidenziare la presenza dell’Higgs di massa inferiore a 100
GeV, indica che questa particella potrebbe essere trovata sia a LEP che a LHC in futuro.
1.6.2 Strategia della ricerca diretta
La ricerca diretta del bosone di Higgs ha, fino ad oggi, solamente fornito come risultato
l’esclusione di valori della sua massa. Il risultato piu recente della collaborazione dei
quattro esperimenti di LEP e mH > 95.2 GeV/c2 @ 95% CL [15].
Gli algoritmi di selezione sviluppati dai quattro esperimenti di LEP per la ricerca del
bosone di Higgs sono riassunti nelle seguenti topologie [47]:
1) 4 jet Z → qq H → bb, cc, gluoni Br � 64%2) energia mancante Z → νν H → qq Br � 18%3) canale leptonico Z → e+e−, µ+µ− H → qq Br � 6.2%4) canale τ Z → τ+τ− H → qq Br � 3.1%
Z → qq H → τ+τ− Br � 5.4%
La mia tesi consiste nello studio del canale 4 jet analizzando i dati raccolti dall’esperimento
L3 alle energie√s =192, 196, 200 e 202 GeV. Il limite inferiore sulla massa dell’Higgs del
Modello Standard e stimato combinando la mia analisi con quelle degli altri canali22 e con
la statistica accumulata negli anni precedenti sui dati a energia inferiore.
22Il canale leptonico insieme al canale τ e complessivamente chiamato canale leptonico e il canale dienergia mancante canale invisibile.
25
0
2
4
6
10 102
103
mH [GeV]
∆χ2
Excluded Preliminary
∆αhad =∆α(5)
0.02804±0.000650.02784±0.00026
theory uncertainty
Figura 1.5: Curve di ∆χ2 = χ2 − χ2min in funzione di mH . La linea continua e il risultato
del fit utilizzando tutti i dati, la banda rappresenta la stima dell’errore teorico dovutoalla mancanza di correzioni di ordine superiore. La zona oscurata e quella con il limitedi esclusione al 95% di livello di confidenza per la massa mH data dalla ricerca diretta.I valori utilizzati per la costante di struttura fine sono: 1/α(5) = 128.878 ± 0.090 (lineacontinua) e 1/α(5) = 128.905± 0.036 (linea tratteggiata).
26
Capitolo 2
Il rivelatore L3 a LEP
In questo capitolo sara descritto il rivelatore L3, che insieme ad ALEPH, DELPHI
e OPAL fa parte degli esperimenti installati sull’anello di accumulazione e+e− LEP al
laboratorio europeo per la fisica delle particelle CERN di Ginevra. La descrizione delle
componenti di L3 e finalizzata alla comprensione delle misure che vi sono effettuate e dei
processi che vi hanno origine, oggetto di studio dei prossimi capitoli.
2.1 L’anello di accumulazione e+e− LEP
L’anello di accumulazione e+e− LEP (Large Electron-Positron collider) [16] e situato in un
tunnel sotterraneo presso il confine franco-svizzero al CERN di Ginevra ad una profondita
media di 100 m. La sua forma e approssimativamente circolare, essendo costituito da 8
archi di circonferenza connessi da altrettante sezioni rettilinee.
La circonferenza di LEP misura 26.66 Km. Nelle sezioni curvilinee (circa 2840 m)
sono installati piu di 3000 dipoli magnetici che deflettono le particelle cariche, mentre nelle
sezioni rettilinee si trovano le 4 aree sperimentali con i rispettivi rivelatori (Aleph, Delphi,
L3 e Opal), in corrispondenza dei quali sono fatti interagire i due fasci che percorrono
LEP in versi opposti, e le cavita a radiofrequenza necessarie a rifornire elettroni e positroni
dell’energia persa per radiazione di sincrotrone. Inoltre vi sono presenti anche 8 quadrupoli
superconduttori necessari a ridurre la sezione dei fasci in corrispondenza dei punti di
interazione per aumentare la luminosita.
Il sistema di iniezione delle particelle nell’anello principale (figura 2.2) e costituito da
un acceleratore lineare (LIL), da un anello di accumulazione per positroni (EPA) e dagli
acceleratori circolari PS e SPS, che forniscono ai due fasci l’energia iniziale di 22 GeV.
Entrato in funzione ufficialmente il 13 Agosto 1989 con lo scopo di studiare la fisica
dei bosoni Z0 e W±, LEP ha raggiunto durante la cosiddetta “fase 2”, nel 1997, l’energia
27
POINT 4.
LAKE GENEVA GENEVA
CERN Prévessin
POINT 6.
POINT 8.
POINT 2.
CERN
SPS
ALEPH
DELPHI
OPAL
L3
LEP
e Electron -
+e Positron
R. Lew
i
jan. 1990s
(a)
1 kmL PE
ALEPH
L3
DELPHI
OPAL
SPS
PS
France
Suisse
(b)
Figura 2.1: Mappa di LEP con i suoi esperimenti.
28
Figura 2.2: Sistema di iniezione di LEP.
nel centro di massa di 184 GeV (92 GeV per fascio). Il 2 Agosto 1999 ha portato il suo
limite a√s = 200 GeV operando con le 288 cavita risonanti in condizioni di gradienti
medi di campo di 7 MV/m con un voltaggio di 3400 MV per bilanciare la potenza di 18
MW dissipata per radiazione di sincrotrone. Alla fine della presa dati 1999 per poche ore
sono stati effettuati run1 a√s = 204 GeV.
Ogni fascio di e+ e di e− e costituito da pacchetti (bunch) di lunghezza approssimati-
vamente 1 cm, che interagiscono in corrispondenza di ogni area sperimentale ogni 22 µs
(beam-crossing) con un angolo inferiore al µrad.
Ogni pacchetto contiene in media 5 × 1011 particelle e la sua sezione trasversale puo
essere schematizzata con una ellisse di assi di 200 µm e 8 µm.
La luminosita L, costante di proporzionalita tra la frequenza R di un evento e la sua
sezione d’urto σ
R = L · σ (2.1)
e definita, per l’interazione di due fasci composti da nb pacchetti di Ne+ e Ne− particelle
1Un run e il tempo durante il quale all’interno dell’anello sono mantenuti nelle loro orbite stabilmentei due fasci e dura in media 2 ore circa.
29
che collidono ad una frequenza f , come:
L = fNe+Ne−nb4πσxσy
(2.2)
dove σx e σy caratterizzano i profili orizzontale e verticale della sezione dei pacchetti. Le
unita di misura della luminosita sono cm−2s−1 o pb−1s−1, con 1pb−1s−1 = 1036cm−2s−1.
2.2 Il rivelatore L3
Il rivelatore L3 ha la forma di prisma a base ottagonale con l’asse disposto lungo la
direzione dei fasci.
Le sue dimensioni sono di circa 14 m parallelamente ai fasci e 16 m trasversalmente.
e-
e+
Circuito di raffreddamento esterno
Camere Per Muoni
Microvertice SMD
Camera a fili TEC
Calorimetro Adronico
PortaCoron
a
Ferro di ritorno
Spire
Circuito Di Raffreddamento Interno
Calorimetro Elettromagnetico
Figura 2.3: Il rivelatore L3.
Esso consiste in un ampio volume occupato da un solenoide (campo magnetico 0.5 T),
un piccolo sistema tracciante centrale con una alta risoluzione spaziale racchiuso da un
30
calorimetro elettromagnetico, un calorimetro adronico utilizzato anche come filtro per
muoni e una camera tracciante per muoni. Il rivelatore e stato progettato per misurare
energia e posizione dei leptoni con risoluzioni sulla massa di stati finali leptone–anti-
leptone ∆m/m � 2% alla massa della Z0 e per avere un’ottima risoluzione sulla rivelazione
dei fotoni.
Il sistema di riferimento usato per individuare le coordinate spaziali degli eventi in
L3 e in coordinate polari cosı definite: l’origine e il centro nominale di incrocio dei fasci,
l’asse polare z e dato dalla direzione e verso di moto del fascio di elettroni. Fissati l’asse
y verso l’alto ortogonalmente al piano individuato dall’anello di LEP e l’asse x che punta
verso il centro di LEP a completamento della terna ortogonale destra, sono immediate le
identificazioni dell’angolo polare θ e di quello azimutale φ. Inoltre, poiche i due fasci sono
composti da particelle con la stessa massa e di uguale energia aventi nel loro punto di
impatto stessa direzione e versi opposti, il sistema di riferimento solidale con il laboratorio
e quello del centro di massa coincidono; non si avra percio ambiguita da ora in avanti a
parlare di energia totale senza specificare il sistema di riferimento utilizzato.
Detta r la coordinata radiale, la descrizione dei rivelatori che compongono L3 e agevole
data la sua simmetria cilindrica partendo dal centro verso l’esterno.
Questi sono i blocchi principali che si incontrano [17]:
• SMD (Silicon Microvertex Detector) 6 cm<r<8 cm
• TEC (Time Expansion Chamber) 8 cm<r<50 cm
• BGO (Be4Ge3O12) 50 cm<r<87 cm
• HCAL (Hadron CALorimeter) 88 cm<r<213 cm
• MUCH (MUon CHambers) 220 cm<r<568 cm
2.2.1 Rivelatore di microvertice SMD
Installato nel 1993 per migliorare la risoluzione spaziale con la quale vengono ricostruite
le tracce delle particelle cariche, sfrutta dei rivelatori a microstrip di silicio a doppia
faccia [18]. SMD comprende 96 sensori al silicio spessi 300 µm riuniti in 24 moduli
(ladders) sistemati in due strati cilindrici concentrici coassiali al fascio di raggio 6 cm e
8 cm.
La misura delle coordinate r e φ si effettua per mezzo di strip p+, realizzate con passo
di 25 µm su un substrato di silicio di tipo n e impiantate parallelamente al fascio sulla
31
Time Expansion
Chamber (TEC)
Plastic Scintillating
Fibres (PSF)
Z-Measuring
Strip Chamber
Electromagnetic
Calorimeter (BGO)
Scintillator
Counters
Hadron Calorimeter
(Uranium-MWPC)
Muon Filter
(Brass-MWPC)
Muon Chambers
(MO, MM, MI)
•• • •
• • •
•
•
-6 -3 0 3 6 metres
Figura 2.4: Sezione sul piano rφ di L3 perpendicolare all’asse dei fasci.
faccia esterna dei sensori rispetto al vertice di interazione. Il passo di lettura delle strip e
di 50 µm, quindi solo una strip su due viene letta.
La misura della coordinata z e resa possibile dalle impiantazioni n+ disposte orto-
gonalmente rispetto all’asse del fascio, con un passo che varia da 75 µm a 100 µm e
passo di lettura che varia da 100 µm a 200 µm nelle due regioni 0 < | cos θ| < 0.53 e
0.53 < | cos θ| < 0.93.
I ladder dello strato interno sono leggermente sovrapposti per coprire al meglio tutto
l’angolo solido, mentre quelli dello strato esterno sono ruotati di 2o rispetto all’asse del
fascio per risolvere le ambiguita nella ricostruzione delle tracce. Considerando le regioni
di sovrapposizione, ad ogni traccia possono essere associati fino a 6 punti: due sul lato
rφ interno (rin, φin), due sul lato z interno (zin) e uno ciascuno sui lati φ esterno (φout)
e z esterno (zout). La risoluzione nella direzione perpendicolare al fascio vale σrφ �6 µm,mentre parallelamente σz �20 µm.
32
(a)
lato zlato r φ
74 000 Canali
Risoluzione : σ
r. φ 6 mµφ 0.3 mradz 20 mµθ 1 mrad
Passo di Lettura:
r. φ 50 mµ=
z 100 mµ= (centrale)200 mµ= (in avanti)
(b)
Figura 2.5: Vista prospettica (a) del rivelatore di microvertice e (b) dei ladders.
2.2.2 Rivelatore centrale di tracce TEC
La TEC e una camera a drift di forma cilindrica con asse lungo la direzione dei fasci, di
raggio 45 cm e lunghezza 98 cm, che permette di coprire la regione angolare 0 < φ < 2π e
45o < θ < 135o. A causa delle sue ridotte dimensioni e ottimizzata per localizzare e iden-
tificare impulso e carica di particelle con energia non superiore a 50 GeV ricostruendone
anche la traccia. E divisa in due cilindri concentrici (Inner TEC e Outer TEC) suddivisi a
loro volta in 12 e 24 settori rispetto alla coordinata φ (figura 2.6a). Il rivelatore e riempito
di una miscela composta per l’80% da CO2 e 20% da iC4H10 alla pressione di 2 bar.
I fili anodici e catodici di ciascun settore garantiscono un basso campo elettrico nelle
vicinanze del piano catodico, separato dal piano anodico da una griglia oltre la quale
il campo elettrico assume valori elevati per permettere la moltiplicazione degli elettroni
prodotti dal passaggio di una particella carica nella zona di campo minore. Le linee di
flusso del campo elettrico sono schematizzate nella figura 2.6b. La velocita di deriva degli
elettroni e dell’ordine di 6 µm/ns e il campionamento degli impulsi anodici viene effettuato
con flash ADC a 100 MHz.
Per ciascun settore della Inner TEC vi sono 8 fili anodici, mentre per la Outer TEC
54. La misura della coordinata rφ e effettuata con fili standard (6 per la Inner TEC, 31
33
{GrigliaAnodiGriglia
CatodiCamera Z
TracciaParticellaCarica
SMD
TECInterna
TECEsterna
Y
X
B
(a)
Regione diamplificazione
Regione di deriva
Filoanodico
Fuoco
Griglia Griglia Tracciacarica
Pianocatodico
.
.
.
(b)
Figura 2.6: Disposizione dei fili della TEC e dello z detector (a) e linee di flusso del campoelettrico all’interno della TEC (b).
34
per la Outer TEC); per la coordinata z si utilizzano fili a divisione di carica (2 per la Inner
TEC, 9 per la Outer TEC); l’ambiguita destra-sinistra sulla direzione di provenienza degli
elettroni rispetto agli anodi e risolta con 14 fili di pick-up sulla Outer TEC disposti su
ciascun lato della regione ad alto campo elettrico.
La risoluzione spaziale per ogni filo sulle coordinate x e y e in media 61 µm per i fili
interni e 51 µm per quelli esterni. La coordinata z non puo essere risolta complessivamente
al meglio di 2 ÷ 3 cm, percio per una sua misura piu precisa esternamente alla TEC si
trova lo “z-detector” formato da due sottili camere proporzionali multifili cilindriche, che
abbassano l’incertezza a 320 µm.
L’impulso trasverso misurato attraverso la deflessione di Lorentz delle particelle cariche
e risolto con una precisione
σp⊥|�p⊥|2
= 0.022(GeV/c)−1 (2.3)
2.2.3 Calorimetro elettromagnetico BGO
Il calorimetro elettromagnetico e il cuore di L3. Composto da 10752 cristalli di ortoger-
manato di bismuto (BGO) letti singolarmente da fotomoltiplicatori, ha una risoluzione in
energia per sciami elettromagnetici pari a
∆E
E=
(1.5√E(GeV)
+ 0.3
)% (2.4)
valutata attraverso i dati riportati in figura 2.7.
La forma dei cristalli e a tronco di piramide a base quadrata con la faccia minore rivolta
verso la regione di interazione (figura 2.8). Ogni cristallo e lungo 24 cm (corrispondenti a
circa 22 lunghezze di radiazione2) e i lati delle basi misurano 2 cm e 3 cm.
Il BGO e composto da due parti: la parte cilindrica, denominata barrel (48 anelli di
160 cristalli), che copre la regione centrale −0.72 < cos θ < 0.72 (44o < θ < 136o) e i due
dischi alle estremita, le end-cap (1536 cristalli), che coprono le regioni piane perpendicolari
ai due fasci 0.8 < | cos θ| < 0.98 (11.5o < θ < 37o e 143o < θ < 168.5o). Le caratteristiche
del rivelatore sono riassunte nelle tabella 2.1.
Oltre all’ottima risoluzione in energia questo rivelatore possiede alcune particolarita:
la piccola lunghezza di radiazione (λrad = 1.2 cm) ha permesso di ridurre notevolmente
le dimensioni dei cristalli e il basso valore del rapporto tra lunghezza di radiazione e di
2La lunghezza di radiazione e la distanza media che percorre un elettrone di alta energia prima diperdere la frazione (1− 1/e) della sua energia iniziale per bremsstrahlung.
35
Test Beam
LEP
Risoluzione BGO
10 1 10 10
0
2
4
6
8
10
-1 2
E (GeV)
/E (
%)
σ
Figura 2.7: Risoluzione del BGO in funzione dell’energia rilasciata al suo interno daelettroni. I punti vuoti sono riferiti a misure effettuate a LEP, mentre i punti pieni sonorelativi alla calibrazione effettuata con fasci di test.
Densita 7.13 g/cm3
Lunghezza di radiazione 1.12 cmRaggio di Moliere 2.3 cmdE/dx (MIP) 9 MeV/cmLunghezza di interazione 22 cm
Tabella 2.1: Caratteristiche del BGO
interazione nucleare3 (λrad/λI � 0.05) permette di discriminare la risposta associata al
passaggio di elettroni o fotoni e adroni. Con questo rivelatore si riesce ad ottenere una
risoluzione spaziale del punto di impatto delle particelle prodotte nelle interazioni e+e−
all’interno del calorimetro migliore di 1 mm per fotoni ed elettroni di 45 GeV, perche le
dimensioni trasversali dei cristalli sono dell’ordine del raggio di Moliere4 (r = 2.3 cm).
3La lunghezza di interazione nucleare e il libero cammino medio che percorre un adrone prima di avereun’interazione nucleare all’interno di un materiale.
4Il raggio di Moliere da la scala delle dimensioni trasversali dello sciame elettromagnetico che si evolveall’interno di un calorimetro.
36
Photodiode
To ADC
Xenon lamp fibersBGO crystal
Carbon fiber wall (0.2 mm)
2 cm
3 cm
24 cm
Figura 2.8: Visione schematica di un cristallo del BGO. La luce prodotta per scintillazionee rivelata da due fotodiodi incollati sulla faccia posteriore. Le fibre ottiche sono utiliz-zate per inviare sul cristallo la luce di lampade allo Xenon per calibrare la risposta delrivelatore.
2.2.4 Calorimetro adronico HCAL
Il calorimetro adronico e un calorimetro a sampling [19] di forma cilindrica suddiviso in
tre parti, ognuna con una funzione specifica: barrel, muon filter e end-caps.
barreladronico
barrel
end capelettromagnetica
end capadronica
filtro per muoni
Figura 2.9: Calorimetro adronico HCAL.
37
• Barrel
Formato da 9 anelli di 16 moduli ciascuno, copre la parte centrale di L3 (35o < θ < 145o).
Ogni modulo e composto da camere proporzionali a molti fili per la rivelazione del
segnale e da lastre assorbitrici di uranio impoverito 235U. La segmentazione degli
angoli θ e φ e di circa 2o, mentre lo spessore equivalente e di circa 4 lunghezze di
interazione.
• Muon Filter
Situato all’esterno del barrel, copre la regione 45o < θ < 135o ed e suddiviso in 8
ottanti lunghi 4 m. Ogni ottante e formato da 5 strati di camere proporzionali e
lastre assorbitrici di ottone. Il suo spessore equivalente e di circa 1 lunghezza di
interazione.
• End-Caps
Sono 12 semi-anelli strutturati allo stesso modo dei moduli del barrel il cui compito
e di aumentare la copertura angolare nelle zone 5.5o < θ < 35o e 145o < θ < 174.5o.
In totale HCAL copre il 99.5% dell’angolo solido e la risoluzione complessiva che si riesce
ad ottenere dipende dall’energia secondo la relazione
∆E
E=
(55√
E(GeV)+ 5
)% (2.5)
Lo spessore equivalente varia in θ tra 5 e 7 lunghezze di radiazione, cosı HCAL ha anche
il compito di schermare le camere per muoni dalle particelle degli sciami adronici che sono
prodotte al suo interno.
2.2.5 Camere per muoni MUCH
E il rivelatore piu esterno ed ha la funzione di misurare l’impulso dei muoni, che riescono a
penetrare attraverso tutti i rivelatori piu interni, rilasciando solo l’energia corrispondente
al minimo di ionizzazione (MIP) nel calorimetro adronico. Il rivelatore e formato da 16
ottanti suddivisi in 3 strati di camere a deriva (camere p) e 8 strati di camere a deriva
con i fili ortogonali all’asse del fascio (camere z).
Combinando le informazioni dei vari fili al passaggio dei muoni deflessi dal campo
magnetico (risoluzione camere p: 90 ÷ 250 µm per filo, camere z: 500 µm per filo) e
possibile ricostruire il loro impulso con una risoluzione
σ|*p⊥||�p⊥| � 2% (2.6)
38
2.9 m
Camera Esterna
Camera Mediana
Camera Interna
16 fili
24 fili
16 fili
Figura 2.10: Disposizione delle camere a deriva in un ottante delle camere per muoni.
per |�p⊥| � 50 GeV/c.
2.2.6 Altri rivelatori
Nel corso degli anni questo apparato di rivelatori e stato integrato con altri elementi,
come il calorimetro a lastre di piombo ALR5 (1992), il calorimetro a “spaghetti” [20]
EGAP (1996) e gli scintillatori per la misura del tempo di volo dei muoni, installati
tra il calorimetro adronico e quello elettromagnetico. La disposizione di questi rivelatori
all’interno dei blocchi principali di L3 e visibile in figura 2.11.
2.2.7 Monitor di luminosita
La misura della luminosita a L3 e effettuata per mezzo di due calorimetri situati sim-
metricamente rispetto al vertice di interazione, come si puo vedere in figura 2.11. Questi
costituiscono il cosiddetto monitor di luminosita.
Ogni calorimetro e costituito da una matrice di 304 cristalli di BGO disposti in due
sezioni semi-cilindriche, che coprono la regione di angolo polare 24.93 < θ < 49.94 mrad
sia in avanti che indietro (π−θ). Ogni cristallo e letto da un fotodiodo. I segnali analogici
dei fotodiodi sono usati per il trigger di luminosita e quelli digitalizzati sono utilizzati per
determinare l’energia depositata nei cristalli.
La risoluzione energetica dei calorimetri e circa il 2% a 45 GeV, la risoluzione angolare
0.4 mrad in θ e 0.5o in φ.
Per migliorare la risoluzione spaziale del monitor di luminosita di fronte ai calorimetri
5ALR=Active Lead Ring.
39
sono installati due rivelatori a microstrip di silicio (SLUM). Ciascun rivelatore e suddiviso
in tre dischi di sensori di silicio per la misura rispettivamente delle coordinate r, φ e di
nuovo r.
Barrel Calorimetro Adronico
Calorimetro AdronicoEndcaps
Monitor di Luminosita'
FTC
BGOBarrel
BGOEndcaps
SMD
HC1
HC3 HC2 Camera Z
TEC
ALR
SLUM
Figura 2.11: Sezione longitudinale di L3.
2.3 Il sistema di trigger
Un evento prima di essere scritto su nastro deve superare una serie di vincoli imposti
attraverso lo studio delle risposte dei vari rivelatori.
La frequenza del beam-crossing e di 45 KHz, in quanto il tempo tra due collisioni
successive dei fasci e di circa 22 µs.
Il trigger e stato progettato per ridurre il tempo morto del rivelatore al solo tempo
necessario a digitalizzare i segnali raccolti dai rivelatori ed e percio stato suddiviso in tre
livelli. Ogni livello applica criteri di selezione ridondanti in sequenza logica di OR tra di
loro. Un evento e acquisito e trascritto su nastro se supera tutti e tre i livelli di trigger.
40
Primo livello di trigger
Il primo livello di trigger elimina il rumore elettronico e gli eventi del fondo di raggi cosmici
imponendo limiti inferiori principalmente ai segnali analogici dei calorimetri. La decisione
se accettare o meno un evento viene presa entro 22 µs e se l’evento e “buono” tutti i segnali
vengono digitalizzati in 500 µs, altrimenti l’elettronica di lettura viene azzerata. Il trigger
da risposta positiva con una frequenza di 8 Hz e il suo tempo morto e inferiore al 5%.
Secondo livello di trigger
Il trigger di secondo livello analizza gli eventi in maggior dettaglio ed elimina il fondo
dovuto a interazioni spurie tra fascio e gas o pareti scartando circa il 30% degli eventi che
hanno superato il primo livello. Si possono utilizzare algoritmi piu sofisticati che tengano
conto delle informazioni provenienti da tutti i rivelatori e dal trigger di primo livello senza
aumentare il tempo morto.
Terzo livello di trigger
Il trigger di terzo livello raffina l’analisi degli eventi perche ha a disposizione tutto l’evento
digitalizzato a differenza degli altri due livelli che sfruttano solamente segnali analogi-
ci. Con un programma di ricostruzione delle tracce e delle informazioni provenienti dai
calorimetri applica ai muoni criteri piu stringenti di coincidenze temporali e spaziali con
gli scintillatori, per ridurre ulteriormente il fondo. La frequenza di scrittura su nastro si
riduce a circa 2 Hz.
41
42
Capitolo 3
Metodo di analisi
In fisica delle alte energie a causa della complessita dei fenomeni studiati e quasi impos-
sibile predire analiticamente i risultati di una misura. La verifica sperimentale di una
teoria e percio subordinata ad un modello che descriva l’evoluzione degli eventi presi in
esame. La realta indagata attraverso il complesso sistema di rivelatori introdotto nel
capitolo precedente deve essere confrontata con le nostre aspettative. L’analisi in fisica
delle alte energie si sviluppa parallelamente lungo due direzioni convergenti: da una parte
l’esperimento produce tutti i fenomeni reali, dall’altra attraverso simulazioni di Monte
Carlo1 (che utilizzano generatori di numeri casuali [21]) si riproduce in modo fittizio la
fenomenologia di un esperimento sulla base della teoria. Sia gli eventi reali che quelli
simulati sono studiati in base alle informazioni energetiche e alle tracce delle particelle ri-
lasciate all’interno dei vari rivelatori. Con programmi di ricostruzione delle tracce e delle
variabili cinematiche si analizzano gli eventi con metodi statistici sempre piu raffinati,
soprattutto nel campo della ricerca di nuove particelle.
3.1 Generatori di Monte Carlo
La simulazione degli eventi che sono prodotti dall’interazione dei fasci a LEP e delegata
ad alcuni programmi che utilizzano librerie di generatori di numeri casuali per ricreare
i fenomeni elettrodeboli associati all’interazione e+e− e tutti i sottoprocessi di QED e
QCD, che si sviluppano quando sono prodotte particelle instabili che decadono all’interno
del rivelatore. I programmi che cercano di riprodurre la realta sono basati o su ben
note e confermate nozioni di teoria delle particelle elementari o su modelli fenomenologici
che hanno raggiunto un grado di validita molto elevato nella descrizione delle complesse
1Abbreviazione: MC.
43
evoluzioni adroniche di sistemi qq. Anche i segnali di nuova fisica sono simulati facendo
riferimento unicamente alla teoria.
Quando si affronta lo studio della produzione di nuove particelle abbiamo bisogno
di valutare attentamente quali sono gli eventi di segnale tra la molteplicita di fenomeni
cosiddetti di fondo, che producono effetti simili sui rivelatori ma sono causati da processi
fisici diversi da quelli di interesse.
3.1.1 Monte Carlo del fondo
Stati finali leptonici
La simulazione delle interazioni elettrodeboli e+e− → µ+µ− e e+e− → τ+τ− e delegata
al programma KORALZ [22], che a sua volta utilizza il generatore YFS2 [23] per simulare la
radiazione dello stato iniziale e della libreria TAUOLA [24] per i decadimenti del leptone τ .
Le correzioni radiative elettrodeboli in potenze di αem sono arrestate al primo ordine.
Stati finali adronici
Sono i piu difficili da simulare perche la teoria di QCD gia alla scala di energie di 1
GeV non e piu una teoria perturbativa (αs(1 GeV) � 1) e quindi va abbandonata per
ricorrere a modelli fenomenologici come anticipato. I processi e+e− → qq sono simulati
usando principalmente due programmi, JETSET [25] e HERWIG [26] che ricostruiscono la
fenomenologia dei processi adronici con il metodo del parton-shower [27], che considera
solo pochi diagrammi di Feynman principali, ma a tutti gli ordini dello sviluppo in potenze
di αs.
Stati finali a 4 fermioni
Sono processi con piccola sezione d’urto rispetto agli altri, ma sono importanti per l’ana-
lisi che andro a presentare perche rappresentano il fondo principale al segnale di Higgs,
che come visto decade prevalentemente nel canale 4 jet. I programmi utilizzati sono:
KORALW [28] per produzione e decadimento di coppieW+W−, PYTHIA [29] per analoghi pro-
cessi che coinvolgono una o piu Z0 intermedie. Entrambi sono integrati da EXCALIBUR [30],
che include tutti i possibili diagrammi e ne calcola i termini di interferenza.
Interazioni a 2 fotoni
Le interazioni a due fotoni con coseguente decadimento in canali leptonici e+e− → e+e−τ+τ−
sono simulate da DIAG36 [31], che deve il suo nome alla sua caratteristica di includere nel
44
suo calcolo, peraltro molto preciso, ben 36 diagrammi di Feynman diversi tra loro. I canali
di decadimento adronici sono simulati da PHOJET [32].
3.1.2 Monte Carlo del segnale
Bosone di Higgs
I generatori di eventi non ancora osservati pongono l’attenzione sia sui calcoli delle sezioni
d’urto e dei rapporti di decadimento, che su tutti gli aspetti importanti di cinematica
perche il loro uso e particolarmente importante per valutare l’efficienza sul segnale di una
data selezione.
I programmi utilizzati sono PYTHIA [29] e HZHA [33] che include i calcoli teorici piu
recenti sia per il Modello Standard che per il Modello SuperSimmetrico Minimale2. En-
trambi utilizzano JETSET [25] per i decadimenti adronici dei prodotti primari (nel nostro
caso Z0 e H).
Nella tabella 3.1 sono riassunti i processi fisici e i rispettivi generatori di Monte Carlo
usati nel corso di questa tesi.
Generatori Processi fisici
KORALW e+e− → WW → allEXCALIBUR e+e− → e+νeudEXCALIBUR e+e− → e−νeudEXCALIBUR e+e− → e+νecsEXCALIBUR e+e− → e−νecsPYTHIA e+e− → ZZ → allPYTHIA e+e− → Zee → allPYTHIA e+e− → Z/γ∗ → qqPYTHIA e+e− → e+e−ccDIAG36 e+e− → γγ → e+e−τ+τ−
PHOJET e+e− → e+e−qqKORALZ e+e− → Z/γ∗ → τ+τ−
PYTHIA Z → qq; H → bb,cc,gg
Tabella 3.1: Generatori Monte Carlo per fondo e segnale e processi a cui si riferiscono.
2MSSM [34] e un ampliamento del Modello Standard SM che, data la non rinormalizzabilta di quest’ul-timo, estende l’universo delle particelle ammettendo che per ogni particella elementare SM esista unasuper-particella il cui spin differisce di 1/2 dalla sua partner SM. Il settore di Higgs consta di 3 doppiettiche danno origine a 5 particelle osservabili, 3 neutre (h0, H0 e A0) e 2 cariche (H+ e H−). Nel limiteper cui MA0
MZ0� 1 (MA0 � 300 GeV) il modello MSSM e quello SM sono praticamente indistinguibili alle
energie che puo raggiungere LEP2 perche le costanti di accoppiamento di h0 con i fermioni e i bosoni digauge assumono i valori SM.
45
3.2 Ricostruzione degli eventi
3.2.1 Simulazione del rivelatore L3
Gli eventi prodotti dai vari generatori MC sono processati dal programma SIL3, che simula
a sua volta le interazioni delle particelle con i materiali del rivelatore e le risposte elettroni-
che delle parti attive di quest’ultimo. SIL3 e basato su due programmi specifici, GEANT [35]
e GHEISHA [36]. Il primo riceve tutte le informazioni sulla geometria dei vari apparati e
simula le interazioni delle particelle all’interno dei componenti del rivelatore, tenendo
conto delle loro caratteristiche e arrestandosi quando l’energia delle particelle secondarie
prodotte dai vari sciami scende sotto la scala del MeV. Per le interazioni adroniche GEANT
utilizza GHEISHA.
Gli effetti prodotti dal passaggio di particelle sono caratterizzati da depositi di energia
nei vari strati del rivelatore e sono convertiti in segnali elettronici per mezzo di ADC3 o
TDC4.
La simulazione delle risposte elettroniche e ad opera di SIL3, sotto l’ipotesi che tutto
sia perfettamente funzionante. Questo non e realistico, per esempio durante alcuni run di
presa dati ci possono essere dei problemi, ad esempio settori della TEC con problemi di alta
tensione rivelano le tracce cariche con minore efficienza oppure per problemi di elettronica
regioni del BGO risultano talvolta inattive o ancora col passare degli anni settori interi dei
rivelatori si possono deteriorare perdendo in parte il loro potere di risposta. Per supplire a
tutto questo si registrano tutte queste informazioni nel database DBL3; alla fine dei turni
annuali di presa dati le varie informazioni raccolte online durante l’esperimento sono
utilizzate per processare piu in dettaglio i dati raccolti in periodi diversi e per simulare
le inefficienze che dipendono dal tempo. Tali inefficienze sono simulate durante la fase di
ricostruzione degli eventi per ragioni di tempo di calcolo, perche puo capitare che debbano
essere ripetute piu volte ed e piu facile tenerne conto in fase di ricostruzione.
3.2.2 Struttura generale di un evento
I conteggi ADC e TDC che quantificano l’interazione di particelle vere o simulate con
il rivelatore sono processati dal terzo pacchetto software di L3, REL3 [37]. Attraverso la
ricostruzione degli oggetti a partire dalle singole unita che compongono L3 (TEC, BGO,
HCAL, . . . ), REL3 associa ad ogni evento le appropriate variabili topologiche richieste da
coloro che devono effettuare l’analisi fisica degli eventi.
3Analog-to-Digital Converter, convertitore analogico-digitale.4Time-to-Digital Converter, convertitore digitale di intervalli di tempo.
46
Per agevolare la comprensione della topologia di un evento, REL3 e provvisto di un’in-
terfaccia grafica che permette di visualizzare un evento con l’ausilio di proiezioni orto-
gonali del rivelatore L3. Per convenzione si sono stabiliti simboli grafici di immediata
comprensione:
• Linee−→tracce ricostruite (SMD+TEC).
• Torri−→depositi di energia nei cristalli del BGO (altezza proporzionale all’energia
rilasciata).
• Quadrati−→depositi di energia nei moduli di HCAL (area proporzionale all’energia
rilasciata).
Le varie particelle che attraversano il rivelatore possono essere riconosciute a prima
vista dalle tracce lasciate all’interno dei vari rivelatori, secondo lo schema esemplificativo
di figura 3.1.
Magnete
Magnete
MuoniAdroni
Elettroni/PositroniFotoni
Elettroni Positroni
Figura 3.1: Interazione delle particelle che passano all’interno dei vari rivelatori checompongono L3.
Elettroni, positroni e fotoni interessanno il BGO e possono essere distinti per la carica
elettrica. Infatti i leptoni carichi vengono accompagnati da una traccia, mentre il fotone
neutro non interagisce nel rivelatore di tracce.
Gli adroni rilasciano piccole frazioni della propria energia all’interno del calorimetro
elettromagnetico, ma riescono a penetrare fino a quello adronico HCAL.
47
I muoni sono le particelle piu penetranti e infatti le camere per muoni sono poste
all’esterno degli altri rivelatori.
Nelle figure 3.2-3.7 si possono ammirare alcuni esempi di reazioni elettrodeboli con
produzione di differenti particelle, la cui rivelazione interessa diversi moduli di L3.
3.2.3 Procedura di ricostruzione degli eventi
Tutti i simboli che riempiono pittorescamente l’interfaccia grafica di REL3 sono frutto
di complessi procedimenti di ricostruzione basati sulle informazioni fornite dai canali di
elettronica disponibili. Ad ogni evento sono associate diverse grandezze che mi accingo
a presentare brevemente senza la pretesa di risultare completo ed esaustivo su ognuna di
loro.
Tracce
Sono ricostruite a partire dagli hit, il numero di fili o strip che danno segnale nella TEC e
in SMD. Si effettua un fit con una circonferenza sugli hit del piano rφ in modo da valutare
il valore del raggio di curvatura R ∝ |�p⊥|, proporzionale al modulo dell’impulso trasverso,e della distanza rispetto al vertice di interazione medio (DCA5). Dagli hit di SMD o delle
camere z si ricava l’angolo polare θ e da questo il modulo |�p| dell’impulso e il DCA nel
piano rz.
Cluster calorimetrici
Si cercano i massimi locali delle energie rilasciate sui cristalli del BGO e da questi si da
il via ad una procedura iterativa raggruppando i cristalli in matrici 3× 3 e 5× 5 centrate
sui piu energetici. Allo stesso modo all’interno del calorimetro adronico si raggruppano i
fili attigui che hanno dato un segnale. Se le coordinate polari θ e φ sono vicine, i depositi
locali di energia si riuniscono in unico deposito di energia detto cluster, che puo essere
formato o da segnali di un solo calorimetro, elettromagnetico o adronico, o di entrambi.
Muoni
L’impulso di una traccia nelle camere per muoni si misura se si hanno a disposizione
almeno due raggruppamenti di hit in una camera per muoni, detti segmenti P. Si puo
definire la distanza dal vertice di interazione medio (DCA) analogamente alle tracce di
5DCA=Distance of Closest Approach.
48
++++
(a)
++++
(b)
Figura 3.2: Evento di scattering bhabha e+e− → e+e− generato tramite Monte Carlo: a)visione laterale nel piano xz; b) visione frontale nel piano xy.
++++
(a)
++++
(b)
Figura 3.3: Evento di produzione di muoni e+e− → µ+µ− generato tramite Monte Carlo:a) visione laterale nel piano xz; b) visione frontale nel piano xy.
49
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
(a)
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
(b)
Figura 3.4: Evento di produzione di W+W− che decadono in adroni per formare 4 jete+e− → W+W− → 4 jet generato tramite Monte Carlo: a) visione laterale nel piano yz;b) visione frontale nel piano xy.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
(a)
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
(b)
Figura 3.5: Evento di produzione di 2 jet tramite una Z0 o un fotone intermedio e+e− →Z0/γ∗ → qq generato tramite Monte Carlo: a) visione laterale nel piano yz; b) visionefrontale nel piano xy.
50
++++++++++++++++++++
(a)
++++++++++++++++++++
(b)
Figura 3.6: Evento con produzione di neutrini e+e− → e+νeud generato tramite MonteCarlo: a) visione laterale nel piano xz; b) visione frontale nel piano xy. I neutrini, nonrivelati, sono i responsabili dell’impulso mancante.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
(a)
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
(b)
Figura 3.7: Evento di segnale del bosone di Higgs prodotto per Higgs-strahlung di unaZ0 con decadimento finale in 4 jet e+e− → Z0 → Z0H → 4 jet generato tramite MonteCarlo: a) visione laterale nel piano yz; b) visione frontale nel piano xy.
51
SMD e TEC, estrapolando all’indietro attraverso i segnali dei calorimetri tenendo conto
del campo magnetico. Il tempo di volo si ricava dagli scintillatori associati.
Jet
I jet, o getti di particelle, sono insiemi di particelle generati dal decadimento a cascata
di quark o gluoni di alta energia. Con un processo iterativo possono essere ricostruiti
partendo dalle quantita definite in precedenza riunendo gruppi di tracce vicine con l’ausilio
di appropriati algoritmi. Data l’importanza del ruolo dei jet nel corso dell’analisi effettuata
e opportuno descrivere piu in dettaglio l’algoritmo con il quale sono ricostruiti.
3.3 Algoritmo di ricostruzione dei jet: DURHAM
3.3.1 Definizione analitica di un jet
I jet sono definiti utilizzando un algoritmo di ricombinazione: coppie di particelle spazial-
mente vicine sono raggruppate a formare pseudo-particelle, queste a loro volta sono unite
a particelle vicine fino a che l’evento si compone solo di poche pseudo-particelle ben se-
parate tra di loro. L’algoritmo DURHAM [38] provvede a tutte queste operazioni basandosi
sul seguente meccanismo.
Per ogni coppia di particelle i,j si calcola la quantita Yij definita come
Yij = 2min
(E2i , E
2j
)Evis
(1− cos θij) (3.1)
con Ei ed Ej energie delle particelle i e j, Evis energia visibile rivelata (non comprendente
le energie di eventuali particelle neutre non rivelate direttamente, ma ricostruite attraverso
l’impulso mancante) e θij angolo tra le direzioni delle traiettorie descritte dalle particelle
i e j.
Fissato un valore limite Ycut si raggruppano particelle in pseudo-particelle fino a che
sussiste la relazione Yij < Ycut. Il parametro Ycut si chiama parametro di risoluzione del jet
ed e misura di quanto si riescano a risolvere i jet originati da partoni collineari. Il numero
dei jet ricostruiti dipende dal valore assegnato a Ycut, questo vuol dire che si puo forzare
un evento ad essere composto da un numero n di jet. Si definisce Yn−1,n quel valore limite
di Ycut per cui il numero di jet ricostruiti passa da n− 1 a n. Nell’analisi del canale 4 jet
di decadimento dell’Higgs associato a quello della Z0 il parametro fondamentale dei jet
risulta essere Y34.
52
3.3.2 Fit cinematico
La ricostruzione dei parametri cinematici in eventi a molti jet puo essere implementata
con il metodo del cosiddetto fit cinematico. Si sfruttano la conservazione dell’impulso
e dell’energia insieme a vincoli addizionali opzionali per operare con un fit su gruppi di
jet. Per il decadimento Z0 → 2 jet, H → 2 jet si devono gestire 4 jet con l’intento
di ricostruire la massa6 della Z0 con una delle tre possibili coppie di jet che si possono
formare.
Il fit richiede di minimizzare il χ2 rispettando un certo numero di vincoli. Per ogni jet
e ricostruito il quadri-impulso in funzione di quello misurato per le particelle e di altri 4
parametri liberi. I parametri liberi per il fit sono 16, ma si riducono a 12 perche si assume
che la massa invariante dei jet ricostruiti scali con l’energia mantenendo costante e uguale
a quello misurato il rapporto E/|�p|.I vincoli da soddisfare sono generalmente o 4 (conservazione del quadri-impulso) o 5
(conservazione del quadri-impulso e valore della massa invariante di una coppia di jet pari
a MZ).
3.3.3 Riconoscimento dei quark b: b-tagging
I mesoni e i barioni che contengono almeno un quark b decadono con vite medie lunghe
τ = 1.2 ÷ 1.6 × 10−12 s in jet di forma particolare in cui sono presenti leptoni con alto
impulso sia totale |�p| che trasverso |�p⊥|. Tali particelle (soprattutto mesoni B) sono
prodotte con energia molto maggiore della loro massa, che varia da 5 a 11 GeV e possono
essere “riconosciute” tramite una analisi particolare.
La procedura di “etichettatura” (tagging) del quark b [39] in un evento ha inizio con la
ricostruzione tridimensionale del vertice primario. Questo si realizza tramite un fit sulle
tracce che passano una certa selezione con DCA proiettato nel piano rφ, drφ < 5σrφ (σrφ e
la deviazione standard di drφ) e nel piano sz (con s versore della proiezione della traiettoria
orientata della traccia nel piano xy), dsz < 100 mm. Il procedimento e poi ripetuto
correggendo progressivamente i parametri di ricostruzione fino a raggiungere la migliore
risoluzione sulle distribuzioni di drφ e dsz, che dipendono fortemente dall’ubicazione degli
hit in SMD. Poiche persino le simulazioni di Monte Carlo piu realistiche non riproducono
risultati identici a quelli reali, queste sono usate per individuare la frazione delle tracce
che devono essere eliminate artificialmente per continuare il tagging.
Il passo successivo e valutare per ogni traccia selezionata la lunghezza di decadimento
6MZ = 91.188± 0.007 GeV/c2 [5].
53
lungo la direzione del jet. Una volta che il vertice primario e stato ricostruito, questo e
usato come punto di riferimento di tutte le tracce dell’evento. Le distanze tra il vertice e
il punto di intersezione di ogni traccia con l’asse del jet proiettate nei piani rφ e sz sono
indicate con Lrφ e Lsz, come illustrato in figura 3.8.
����
V
Traccia
Jet
x
y
L r φ
φ
φ
j
(a) Piano rφ.
���
���
z
Lsz
z
s
∆Ζθ
jθ
Traccia
Jet
V
(b) Piano sz.
Figura 3.8: a) Ricostruzione di Lrφ nel piano rφ; b) Ricostruzione di Lsz nel piano sz; ijet devono essere visti in 3 dimensioni, mentre le tracce sono le proiezioni sui rispettivipiani.
Le espressioni analitiche che le identificano sono:
Lrφ =drφ
sin(φj − φ) sin θj(3.2)
Lsz =dsz
sin θj (cos θ cos(φj − φ)− sin θ cot θj)(3.3)
dove (φj, θj) determinano la direzione del jet e (φ, θ) quella della traccia. Definite in
questo modo, Lrφ e Lsz rappresentano approssimativamente misure indipendenti della
lunghezza di decadimento dei mesoni B e possono essere mediate per formare la variabile
della lunghezza di decadimento L:
L =
Lrφ/σ2Lrφ
+ Lsz/σ2Lsz
− (Lrφ+Lsz)σLrφLsz
σ2Lrφ
σ2Lsz
1/σ2Lrφ
+ 1/σ2Lsz
− 2σLrφLsz
σ2Lrφ
σ2Lsz
(3.4)
con σ2Lrφ
, σ2Lsz
e σLrφLsz elementi della matrice degli errori di (Lrφ,Lsz).
54
Per valutare la probabilita che una traccia sia compatibile con il vertice primario di in-
terazione si utilizza la funzione S = L/σL (σL e la deviazione standard della distribuzione
di L) e le probabilita delle singole tracce sono combinate tra loro attraverso un algoritmo
di reti neurali, che tiene conto anche di variabili aggiuntive (vita media, vertici secon-
dari, impulso dei leptoni, forma dei jet) per ricavare il parametro discriminante di b-tag
tridimensionale.
3.4 Definizione delle variabili topologiche
Un importante mezzo per la ricerca di nuove particelle e la definizione di variabili che
discriminano il piu possibile gli eventi di segnale da quelli del fondo. Per identificare
opportunamente tali variabili e necessario un trattamento iniziale sui dati (preselezione
e selezione) che imponga alcuni “tagli”, imposizioni di limiti inferiori o superiori di al-
cune grandezze (energia rivelata, numero di tracce cariche lasciate sui calorimetri, . . . )
coerentemente con le caratteristiche degli stati finali cercati. Ottimizzare tali tagli signifi-
ca esaltare il piu possibile la presenza di eventi di segnale rispetto al fondo in accordo
con il Monte Carlo utilizzato, riducendo il fondo e contemporaneamente mantenendo alta
l’efficienza del segnale.
Nel seguito saranno descritte brevemente le variabili piu importanti utilizzate nel corso
di questa analisi.
Variabili di carattere generale
• Evis
Energia visibile, e l’energia complessiva misurata all’interno del rivelatore.
• NGTK
Numero di tracce “buone”. Una traccia e “buona” se ha nella TEC un impulso
superiore a 0.5 GeV, la distanza di minimo avvicinamento al vertice di interazione
nel piano trasversale all’asse del fascio e minore di 10 mm, e composta da almeno
20 hit.
• NCL
Numero di cluster nel calorimetro adronico HCAL con energia totale superiore a
100 MeV.
55
• Emiss‖
Impulso mancante nella direzione parallela ai fasci, sotto l’ipotesi di particelle ultra-
relativistiche7.
• Emiss⊥
Impulso mancante trasversale (piano rφ).
• sin θ*pmiss
Valore del seno dell’angolo polare θ*pmissdel vettore �pmiss che descrive l’impulso
mancante.
• ELUM
Energia depositata nei monitor di luminosita.
• EALR
Energia depositata nei Lead Ring.
• EEGAP
Energia depositata nel calorimetro EGAP.
• Mvis
Massa invariante dell’evento. La massa invariante M di n particelle e definita come
M2 =
(n∑i=1
Ei
)2
−∣∣∣∣∣
n∑i=1
�pi
∣∣∣∣∣2
(3.5)
con Ei e �pi energia ed impulso delle singole particelle.
• √s
Energia nel centro di massa di LEP.
• √s′
Massa invariante dei prodotti dello stato finale corrispondente alla massa invariante
del sistema e+e− dopo l’eventuale emissione di radiazione di stato iniziale.
7Una particella si dice ultra-relativistica se sussiste E/m� 1, cosı |(p|2 = E2−m2 � E2 e pµ = (|(p|; (p).
56
• Btag3D
E la variabile [39] che viene usata per quantificare il riconoscimento in un evento di
produzione del quark b, secondo il procedimento di b-tagging descritto nel paragrafo
3.3.3. Piu e alto il valore di questa variabile e maggiore e la probabilita di aver
individuato un evento che contiene adroni B.
Variabili relative alla presenza di jet
• Y34
Introdotta nel paragrafo 3.3.1, indica il valore limite del parametro di ricostruzione
dei jet Ycut per cui si possono individuare 4 jet. Ovviamente piu e alto il suo valore
e maggiore e la probabilita che lo stato finale sia effettivamente composto da 4 jet.
• EdifJ
Massima differenza di energia tra 2 jet:
EdifJ = max
i,j=1,... ,4
(EJi − EJ
j
)(3.6)
dove EJi e l’energia attribuita all’i-esimo jet.
• EminJ
Energia del jet di energia minima:
EminJ = min
i=1,... ,4
(EJi
)(3.7)
• Acollinearita
Ampiezza dell’angolo tra le direzioni nello spazio di 2 jet, quando l’evento e formato
da 2 jet.
• Acoplanarita
Ampiezza dell’angolo tra le proiezioni sul piano rφ delle direzioni spaziali dei 2 jet
di un evento a 2 jet.
• M4kinZ
Massa della Z0 ricostruita con il fit cinematico a 4 vincoli.
57
• M4kinH
Massa del bosone di Higgs ricostruita con il fit cinematico a 4 vincoli utilizzando i
2 jet non usati per il fit della massa della Z0.
• M5kinH
Massa del bosone di Higgs ricostruita con il fit cinematico a 5 vincoli con i 2 jet che
non realizzano MZ0 .
3.5 Errori statistici e sistematici
Il risultato finale della ricerca di nuove particelle, espresso in termini di livello di confidenza
per l’esclusione o di probabilita di fluttuazione del fondo nel caso di osservazione di un
segnale (cfr. paragrafo 5.2), non e corredato da un errore.
Le fluttuazioni statistiche del numero di eventi osservati sono tenute esattamente in
conto nel calcolo delle probabilita a differenza degli errori sistematici sulla stima di effi-
cienza e fondo, che devono essere studiati perche influenzano il risultato finale. Assumendo
che gli errori siano dell’ordine di qualche percento e gaussiani, il loro effetto per limiti di
esclusione e trascurabile.
L’errore sul numero di eventi di segnale aspettato deriva da molteplici fattori, tra i
quali:
• incertezze di misura di energia e direzione di particelle e jet,
• stima della luminosita integrata,
• limiti della teoria che influenzano la simulazione del segnale,
• rumore nel rivelatore,
• errore statistico sulla stima dell’efficienza.
Lo studio accurato di questi processi [40] si conclude con la valutazione dell’errore
sistematico da applicare intorno al 5%.
L’errore sul fondo aspettato e dominato dall’errore statistico causato dal numero limi-
tato nb di eventi simulati e sara tenuto in conto nei risultati finali.
58
Capitolo 4
Ricerca del bosone di Higgs nelcanale 4 jet
L’analisi effettuata nel corso di questo lavoro di tesi riguarda la ricerca del bosone di Higgs
nell’ambito del Modello Standard attraverso lo studio del canale di decadimento principale
in 4 jet. I dati sperimentali utilizzati sono quelli raccolti dal rivelatore L3 durante l’anno
1999 con energie medie nel centro di massa di circa 192, 196, 200 e 202 GeV e luminosita
indicate in tabella 4.1.
√s (GeV)
∫Ldt (pb−1)
191.60 29.72195.54 83.69199.54 82.80201.75 37.04
Tabella 4.1: Luminosita integrate raccolte alle varie energie del centro di massa.
Dopo una preselezione comune si sono effettuate analisi diversificate ottimizzate per
ognuna delle quattro diverse energie. Per ogni energia si definiscono due diverse selezioni
(Alta Purezza e Bassa Purezza) analizzate singolarmente con il metodo dei pesi [41] e poi
riunite insieme per migliorare la sensibilita dell’analisi.
I quattro risultati cosı ottenuti costituiscono il cosiddetto input del canale 4 jet, che nel
prossimo capitolo sara combinato con le analisi per gli altri canali (leptonico e invisibile)
e con la statistica raccolta ad energie piu basse. Se si osservera il segnale sara stimata la
massa del bosone di Higgs che lo ha prodotto, nel caso in cui la ricerca dara esito negativo
gli input serviranno per valutare il limite di massa dell’Higgs con livello di confidenza del
95%.
59
4.1 Preselezione
La preselezione e necessaria per ridurre la mole dei campioni di dati e Monte Carlo che in
seguito saranno oggetto dell’analisi vera e propria. I tagli che sono imposti alle variabili in
questa fase sono molto larghi e comprendono interamente quelli che saranno effettuati in
seguito. La loro funzione e quella di far risaltare fin dall’inizio le caratteristiche principali
degli eventi a 4 jet.
4.1.1 Tagli di preselezione
0.6< Evis/√
s <1.4
Il taglio degli eventi a bassissima ed altissima energia e sempre utilizzato per eliminare di-
sturbi dovuti alla rivelazione di raggi cosmici che abbiano fatto scattare il trigger, ad eventi
γγ che rilasciano poca energia nel rivelatore o semplicemente a rumore nel rivelatore.
NGTK >15
Si riducono cosı gli eventi a bassa molteplicita richiedendo un sufficiente numero di tracce
“buone” nella TEC.
NCL >20
Riduzione di eventi adronici a bassa molteplicita, con pochi cluster ricostruiti all’interno
del calorimetri elettromagnetico e adronico.
{Emiss‖ /
√s < 0.3
Emiss⊥ /√
s < 0.3
Un evento a 4 jet non comporta la produzione primaria di particelle non direttamente
rivelabili (neutrini), percio si richiedono valori delle componenti longitudinale e trasver-
sale dell’impulso sfuggito alla rivelazione inferiori al 30% dell’energia alla quale LEP sta
lavorando.
4.1.2 Risultati della preselezione
Questi tagli sono comuni a tutte e quattro le energie del centro di massa e come si puo
notare dalla tabella 4.3 eliminano completamente il fondo dei canali di produzione di
coppie τ+τ−, che a priori avrebbero potuto contribuire al fondo.
60
La richiesta che si fa ad una selezione in generale e quella di mantenere alta l’efficien-
za del segnale riducendo quella del fondo, cosa soddisfatta ampiamente confrontando le
tabelle 4.3 e 4.4, che riportano per ogni massa mH del bosone di Higgs indicata il numero
di eventi di Monte Carlo disponibili e l’efficienza di selezione.
In tabella 4.4 si puo notare come il numero di eventi simulati e l’efficienza siano
gli stessi per le energie 192-196 GeV e 200-202 GeV. Questo e dovuto all’enorme tempo
macchina richiesto per la creazione degli eventi di Monte Carlo, che al momento sono stati
simulati solo per le energie di 196 e 200 GeV. Per questo motivo i Monte Carlo del segnale
di Higgs per√s = 196 GeV e
√s = 200 GeV sono utilizzati anche per
√s = 192 GeV e
√s = 202 GeV rispettivamente.
Come si puo osservare in tabella 4.3 i fondi principali sono dati dai decadimenti adronici
di coppie W+W− in canale t o con vertici multipli e da emissioni di gluoni da parte di
una Z0 di annichilazione con conseguente formazione di due coppie qq che adronizzano
in jet. Tre esempi di diagrammi di Feynman relativi ai processi citati sono riportati di
seguito.
�W−W+
e−
e+
f ′
f
f ′′′
f ′′
�γ/Z0
W−
W+
e−
e+
f ′
f
f ′′′
f ′′
�γ/Z0γ/Z0g
e−
e+ f
f
f ′′
f ′
61
Energie√s (GeV)
Eventi 192 196 200 202
Dati 1137 3005 2916 1298MC 1160.5 3169.9 2952.1 1320.6
Tabella 4.2: Numero degli eventi reali (Dati) e di Monte Carlo del fondo attesi (MC) chesi ottengono dopo la preselezione.
Energie√s (GeV)
Canale 192 196 200 202di decadimento Eventi eff. Eventi eff. Eventi eff. Eventi eff.
WW → all 299.0 0.59 842.0 0.59 817.4 0.57 365.6 0.57ee → eνeud,cs 6.9 0.31 20.3 0.32 19.8 0.31 8.9 0.31Z/γ∗ → qq 817.5 0.29 2203.3 0.29 2011.4 0.28 899.8 0.28ZZ → all 20.1 0.57 56.5 0.57 57.1 0.55 25.5 0.55Zee → all 5.6 0.05 15.9 0.05 14.8 0.05 6.6 0.05ee → eeqq 11.3 0.00 31.9 0.00 31.6 0.00 14.1 0.00ee → γγ → eeττ 0.0 0.00 0.0 0.00 0.0 0.00 0.0 0.00Z/γ∗ → ττ 0.0 0.00 0.0 0.00 0.0 0.00 0.0 0.00
Tabella 4.3: Eventi di fondo attesi ed efficienze dopo la preselezione.
Energie√s (GeV)
mH 192-196 200-202(GeV) Eventi eff. Eventi eff.
90 3602 0.99 3535 0.9795 3603 0.99 3522 0.9796 3356 0.99 3523 0.9797 3518 0.99 3542 0.9798 3579 0.99 3496 0.9799 3574 0.99 3519 0.97100 3509 0.99 3538 0.97101 3494 0.99 3529 0.97102 1721 0.99 3479 0.97103 1684 0.99 3475 0.97104 3309 0.99 3449 0.97105 3234 0.99 3449 0.97
Tabella 4.4: Efficienza del segnale e+e− → ZH → qqbb dopo la preselezione per diversemasse del bosone di Higgs con il numero di eventi simulati.
62
Il numero di eventi di dati ottenuti e quelli di Monte Carlo attesi si possono leggere
nella tabella 4.2 e sono tutti in accordo entro 3σ.
Nelle figure 4.1-4.4 sono mostrati alcuni istogrammi per diversi valori di√s e mH , che
illustrano come generalmente Monte Carlo e dati siano in accordo. Il segnale e amplificato
di un fattore variabile da 20 a 400 per poter essere visibile all’interno dello stesso grafico
del fondo.
4.2 Ottimizzazione dei tagli
La presenza di molte variabili sulle quali poter lavorare e un bene prezioso quando si
devono effettuare analisi su segnali molto piccoli rispetto al fondo.
Tenuto conto dei risultati degli anni precedenti1 e del limite cinematico, la regione di
sensibilita per la massa del bosone di Higgs sara quella da 95 a 110 GeV. Assumendo
che la massa dell’Higgs sia intorno a 100 GeV, si calcola la sezione d’urto di produzione
attraverso il programma HZHA [33] e vale2 σe+e−→ZH � 0.266 pb per√s =200 GeV. Il
processo dominante che origina il fondo di eventi adronici ha sezione d’urto per√s =200
GeV pari a σe+e−→ff � 120 pb. Il rapporto tra gli eventi di segnale e di fondo che
si producono si ottiene, ricordando che i rapporti di decadimento di H e Z0 in coppie
quark–anti-quark valgono rispettivamente BrH→qq � 0.914 e BrZ0→qq � 0.699, dalla
formula 4.1:
No eventi SegnaleNo eventi Fondo
∣∣√s=200 GeV =
σ(√s=200GeV)
e+e−→ZH · BrH→qq · BrZ0→qq ·∫ Ldt∣∣√
s=200GeV
σ(√s=200GeV)
e+e−→ff· ∫ Ldt∣∣√
s=200GeV
� 1.4× 10−3
(4.1)
Questo risultato evidenzia la necessita di procedere nel modo migliore possibile nel
tentativo di restringere i valori delle variabili che aiuteranno a distinguere regioni in cui
la presenza di segnale e amplificata al massimo rispetto al fondo.
La possibilita di giostrare le nostre scelte su di un numero abbastanza consistente
di parametri rende difficile la visualizzazione delle correlazioni che si instaurano tra le
diverse variabili ogniqualvolta si effettui un nuovo taglio su una di esse. E praticamente
impossibile ottimizzare “a occhio” i tagli all’interno di questo spazio multidimensionale
se non si ha una visione globale di cio che il taglio stesso comporta.
1mH >95.3 GeV @ 95% CL [48].2Gli input utilizzati sono: MZ = 91.1890 GeV/c2, ΓZ = 2.4970 GeV, Mt = 174.0000 GeV/c2,
GF = 0.1166×10−4 GeV−2, Λ(5)QCD = 0.2080 GeV e con
√s = 200 GeV e mH = 100 GeV/c2 si ottengono
i seguenti risultati: ΓH = 0.003 GeV e BrH→gg = 0.17346%, BrH→cc = 3.67239%, BrH→bb = 82.05076%,BrH→ss = 0.00000%.
63
Btag3D
Num
ero
di e
vent
i/bin
1
10
10 2
10 3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
(a)
sinθpmiss
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
25
50
75
100
125
150
175
200
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
(b)
Figura 4.1: Istogrammi della variabile di b-tag (a) e del seno dell’angolo polare dell’impulsomancante (b) per dati e Monte Carlo per
√s = 192 GeV e mH = 102 GeV dopo la
preselezione. Il segnale e amplificato di un fattore 400 per poter essere visibile.
64
Btag3D
Num
ero
di e
vent
i/bin
10-2
10-1
1
10
10 2
10 3
0 2 4 6 8 10 12
(a)
E Jdif /√s
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
25
50
75
100
125
150
175
200
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
(b)
Figura 4.2: Istogrammi della variabile di b-tag (a) e della massima differenza di energiatra due jet (b) per dati e Monte Carlo per
√s = 196 GeV e mH = 102 GeV dopo la
preselezione. Il segnale e amplificato di un fattore 30 per poter essere visibile.
65
MZ 4kin (GeV)
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
100
200
300
400
500
600
700
20 40 60 80 100 120 140 160 180
(a)
Y34
Num
ero
di e
vent
i/bin
1
10
10 2
10 3
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
(b)
Figura 4.3: Istogrammi della massa della Z0 ricostruita con il fit cinematico a 4 vincoli(a) e della variabile dei jet (b) per dati e Monte Carlo per
√s = 200 GeV e mH = 103 GeV
dopo la preselezione. Il segnale e amplificato di un fattore 30 per poter essere visibile.
66
E Jdif /√s
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
20
40
60
80
100
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
(a)
MH 4kin (GeV)
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
20
40
60
80
100
20 40 60 80 100 120
(b)
Figura 4.4: Istogrammi della massima differenza di energia tra due jet (a) e della massadell’Higgs ricostruita con il fit cinematico a 4 vincoli (b) per dati e Monte Carlo per√s = 202 GeV e mH = 103 GeV dopo la preselezione. Il segnale e amplificato di un
fattore 20 per poter essere visibile. 67
Il metodo utilizzato per l’ottimizzazione [44] ha inizio con la definizione della funzione
di sensibilita:
S =ε∑∞
n=0 knP(n)(4.2)
dove ε e l’efficienza sul segnale, Pb(n) =e−bbn
n!e la distribuzione di Poisson per n eventi
osservati con b eventi di fondo attesi e kn e soluzione dell’equazione [45]:
e−(b+kn)∑n
j=0(b+kn)j
j!
e−b∑n
j=0(b)j
j!
= 0.05 (4.3)
Il valore di kn rappresenta il limite superiore agli eventi di segnale con livello di confidenza
95%. Si fissa kn tale che un qualsiasi esperimento casuale con numero di eventi di segnale
kn e stesso numero di eventi di fondo b < n osserverebbe con probabilita 0.05 piu di n
eventi totali. La funzione S esprime una valutazione del rapporto tra segnale e fondo.
I tagli ottimali sono quelli che rendono massimo tale rapporto perche sia ε che b sono
strettamente correlati ai tagli imposti. Il valore di ε e mediato sulle efficienze dei segnali
cercati. Naturalmente i dati non intervengono in questo procedimento.
La complessita dell’ottimizzazione rende necessario l’uso del programma di minimiz-
zazione MINUIT [43], che e in grado di elaborare processi di minimizzazione a molte va-
riabili. Se una variabile non influenza significativamente la ricerca del punto di minimo
assoluto di −S, MINUIT mantiene per essa i tagli larghi determinati dalla preselezione
dei dati. Per valutare tale punto di minimo si usano soltanto meta eventi, l’altra meta
e utilizzata per valutare l’efficienza del segnale in modo indipendente, evitando di creare
correlazioni tra le due grandezze.
I tagli alle variabili ottenuti con questo procedimento sono riportati nella tabella 4.5.
4.3 Selezioni di Alta e Bassa Purezza
Una volta completata la selezione dei dati e degli eventi simulati si procede a definire la
strategia di analisi che si vuole applicare alla statistica di cui siamo in possesso.
Le variabili che piu discriminano la presenza di segnale e di fondo sono identificate in
Btag3D, Y34, EdifJ , Emin
J come si puo notare dagli istogrammi alle varie energie nelle figure
4.5-4.8. Le variabili Btag3D e Y34 sono state scelte perche sono quelle che identificano
appieno la presenza di 4 jet e dei quark b, mentre le altre due sono utili perche, come e
evidente guardando gli istogrammi c,d delle figure 4.5-4.8, offrono una chiara distinzione
tra le zone in cui il segnale e il fondo hanno il massimo della loro intensita.
68
Btag3D
Num
ero
di e
vent
i/bin
10-2
10-1
1
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(a)
Y34
Num
ero
di e
vent
i/bin
10-1
1
10
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
(b)
E Jdif /√s
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
(c)
E Jmin /√s
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25 0.275 0.3
(d)
Figura 4.5: Istogrammi per dati e Monte Carlo per√s = 192 GeV e mH = 102 GeV dopo
la selezione. Il segnale e amplificato di un fattore 100 per poter essere visibile.
69
Btag3D
Num
ero
di e
vent
i/bin
10-2
10-1
1
10
10 2
0 2 4 6 8 10 12
(a)
Y34
Num
ero
di e
vent
i/bin
10-1
1
10
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
(b)
E Jdif /√s
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
(c)
E Jmin /√s
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
2
4
6
8
10
12
14
0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25 0.275 0.3
(d)
Figura 4.6: Istogrammi per dati e Monte Carlo per√s = 196 GeV e mH = 102 GeV dopo
la selezione. Il segnale e amplificato di un fattore 10 per poter essere visibile.
70
Btag3D
Num
ero
di e
vent
i/bin
10-1
1
10
0 1 2 3 4 5 6
(a)
Y34
Num
ero
di e
vent
i/bin
10-1
1
10
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
(b)
E Jdif /√s
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
(c)
E Jmin /√s
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25 0.275 0.3
(d)
Figura 4.7: Istogrammi per dati e Monte Carlo per√s = 200 GeV e mH = 103 GeV dopo
la selezione. Il segnale e amplificato di un fattore 5 per poter essere visibile.
71
Btag3D
Num
ero
di e
vent
i/bin
10-2
10-1
1
10
0 1 2 3 4 5 6
(a)
Y34
Num
ero
di e
vent
i/bin
10-2
10-1
1
10
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
(b)
E Jdif /√s
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
(c)
E Jmin /√s
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25 0.275 0.3
(d)
Figura 4.8: Istogrammi per dati e Monte Carlo per√s = 202 GeV e mH = 103 GeV dopo
la selezione. Il segnale e amplificato di un fattore 10 per poter essere visibile.
72
√s
Variabile 192 GeV 196 GeV 200 GeV 202 GeV
Evis (GeV) 117.6÷274.6 117.6÷274.6 117.6÷274.6 117.6÷274.6Evis/
√s 0.6÷1.4 0.6÷1.4 0.6÷1.4 0.6÷1.4
Emiss⊥ /
√s <0.3 <0.3 <0.3 <0.3
Emiss‖/√s <0.3 <0.3 <0.3 <0.3
NCL >50 >50 >49 >49NGTK >14 >14 >22 >22|�pmiss| · sin θ*pmiss
(GeV) >0.070 >0.070 >0.070 >0.070sin θ*pmiss
>0.00195 >0.00195 >0.00195 >0.00195EEGAP/
√s <0.575 <0.575 <0.575 <0.575
Btag3D >0 >0 >0 >0ELUM (GeV) <70.3 <70.3 <70.3 <70.3EALR (GeV) <74.7 <74.7 <74.7 <74.7π−Acollinearita >0.913×10−3 >0.913×10−3 >0.913×10−3 >0.913×10−3
Mvis/√s >0.56 >0.56 >0.56 >0.56
Y34 > 0.245× 10−4 > 0.245× 10−4 > 0.245× 10−4 > 0.245× 10−4
EdifJ /
√s > 0.773× 10−2 > 0.773× 10−2 > 0.773× 10−2 > 0.773× 10−2√
s′ (GeV) >140.4 >140.4 >140.4 >140.4EminJ /
√s > 0.82× 10−3 > 0.82× 10−3 > 0.82× 10−3 > 0.82× 10−3
Tabella 4.5: Tagli alle variabili ottenuti con il programma di ottimizzazione. La variabile|�pmiss| · sin θ*pmiss
e la proiezione dell’impulso mancante sul piano xy.
Si e deciso di incrementare i tagli relativi alle quattro variabili indipendentemente per
ogni valore dell’energia nel centro di massa secondo i valori di tabella 4.6.
L’analisi che deriva da questo ulteriore ridimensionamento del campione e detta di
Alta Purezza, perche e finalizzata all’inclusione nella statistica degli eventi che abbiano il
miglior rapporto tra segnale e fondo.
√s
Variabile 192 GeV 196 GeV 200 GeV 202 GeV
Btag3D >1.1 >1.1 >1.1 >1.1Y34 >0.015 >0.015 >0.015 >0.015
EdifJ /
√s <0.20 <0.22 <0.22 <0.22
EminJ /
√s >0.14 >0.15 >0.16 >0.16
Tabella 4.6: Tagli relativi alle quattro variabili che definiscono le analisi ad Alta Purezzae Bassa Purezza.
I tagli alle variabili sono applicati implicitamente in una sequenza logica di AND, un
evento sopravvive alla selezione se e solo se verifica tutti i requisiti richiesti.
73
p q (p ∧ q) (p ∧ q) (p ∨ q)
V V V F FV F F V VF V F V VF F F V V
Tabella 4.7: Tabella di verita logica di AND, AND e OR degli intervalli complementari.
Tutti gli eventi che hanno passato l’ottimizzazione, ma non la selezione di Alta Purez-
za, non vengono abbandonati, ma riuniti insieme in una seconda selezione, detta di Bassa
Purezza, analizzata parallelamente all’altra. L’idea che sta alla base di questo procedi-
mento risiede nel fatto che l’analisi a Bassa Purezza possa contribuire ad incrementare
la sensibilita di quella ad Alta Purezza. La selezione a Bassa Purezza si ottiene o re-
cuperando gli eventi scartati da quella ad Alta Purezza (AND in tabella 4.7) oppure
riprocessando gli eventi con la selezione complementare, che applica in sequenza logica di
OR gli intervalli dei tagli complementari a quelli di Alta Purezza all’interno degli intervalli
ottimizzati.
Il numero di eventi di fondo attesi e di dati ottenuti sono riportati nelle tabelle 4.8
per l’analisi ad Alta Purezza e 4.11 per quella a Bassa Purezza.
La discrepanza tra dati selezionati e attesi si mantiene al di sotto di 3 deviazioni
standard, ma per l’analisi di Alta Purezza e sempre inferiore a 1σ.
L’efficienza del segnale di Higgs, che dopo l’ottimizzazione era intorno al 65-70%, e in
media equamente distribuita tra le due analisi, come riportano le tabelle 4.10 e 4.13.
Gli eventi di fondo sono quelli gia ampiamente descritti tramite i diagrammi di Feynman
nel paragrafo 4.1.2.
Le due selezioni ottenute per ognuna delle quattro energie con le rispettive variabili
sono analizzate in dettaglio per estrarre da ognuna di esse la grandezza che abbia la
migliore sensibilita possibile per arrivare al risultato finale.
4.4 Metodo dei pesi
Di consuetudine l’analisi viene impostata su un’unica variabile finale (la massa dell’Higgs
ricostruita) per mezzo della quale ricavare la variabile discriminante, ma in questo caso
abbiamo cercato di sviluppare un percorso leggermente diverso per definire la cosiddetta
variabile di peso.
Per migliorare la sensibilita dell’analisi invece di utilizzare solamente le informazioni
74
Energie√s (GeV)
Eventi 192 196 200 202
Dati 10 20 20 11MC 6.9 21.4 18.0 8.1
Tabella 4.8: Numero degli eventi reali (Dati) e di Monte Carlo del fondo attesi (MC) chesi ottengono per l’analisi ad alta purezza.
Energie√s (GeV)
Canale 192 196 200 202di decadimento Eventi eff. Eventi eff. Eventi eff. Eventi eff.
WW → all 4.7 0.0092 13.3 0.0092 12.1 0.0085 5.4 0.0085ee → eνeud,cs 0.002 0.0001 0.01 0.0002 0.009 0.0002 0.004 0.0002Z/γ∗ → qq 0.4 0.0001 2.9 0.0004 1.7 0.0002 0.8 0.0002ZZ → all 1.8 0.0518 5.2 0.0518 4.1 0.0396 1.9 0.0396Zee → all 0.04 0.0004 0.06 0.0002 0.06 0.0002 0.03 0.0002ee → eeqq 0.0 0.0000 0.0 0.0000 0.0 0.0000 0.0 0.0000ee → γγ → eeττ 0.0 0.0000 0.0 0.0000 0.0 0.0000 0.0 0.0000Z/γ∗ → ττ 0.0 0.0000 0.0 0.0000 0.0 0.0000 0.0 0.0000
Tabella 4.9: Eventi di fondo attesi ed efficienze dell’analisi ad alta purezza.
Energie√s (GeV)
mH 192 196 200 202(GeV) Eventi eff. Eventi eff. Eventi eff. Eventi eff.
90 607 0.33 608 0.33 470 0.26 470 0.2695 699 0.38 687 0.38 487 0.27 487 0.2796 583 0.34 587 0.35 543 0.30 543 0.3097 639 0.36 638 0.36 528 0.29 528 0.2998 652 0.36 650 0.36 524 0.29 524 0.2999 645 0.36 650 0.36 582 0.32 582 0.32100 675 0.38 682 0.38 592 0.33 592 0.33101 676 0.38 680 0.38 598 0.33 598 0.33102 326 0.38 322 0.37 566 0.32 566 0.32103 329 0.39 331 0.39 612 0.34 612 0.34104 610 0.37 616 0.37 600 0.34 600 0.34105 629 0.38 633 0.39 564 0.32 564 0.32
Tabella 4.10: Efficienza del segnale H → bb dell’analisi ad alta purezza per diverse massedel bosone di Higgs con il numero di eventi simulati.
75
Energie√s (GeV)
Eventi 192 196 200 202
Dati 51 143 139 63MC 45.7 128.2 113.1 50.6
Tabella 4.11: Numero degli eventi reali (Dati) e di Monte Carlo del fondo attesi (MC) chesi ottengono per l’analisi a bassa purezza.
Energie√s (GeV)
Canale 192 196 200 202di decadimento Eventi eff. Eventi eff. Eventi eff. Eventi eff.
WW → all 24.5 0.0480 68.8 0.0480 63.2 0.0443 28.3 0.0443ee → eνeud,cs 0.09 0.0039 0.2 0.0032 0.1 0.0018 0.05 0.0018Z/γ∗ → qq 17.4 0.0062 48.5 0.0065 39.5 0.0056 17.7 0.0056ZZ → all 3.5 0.0988 9.9 0.0989 9.6 0.0921 4.3 0.0921Zee → all 0.2 0.0024 0.7 0.0026 0.6 0.0020 0.3 0.0020ee → eeqq 0.0 0.0000 0.0 0.0000 0.0 0.0000 0.0 0.0000ee → γγ → eeττ 0.0 0.0000 0.0 0.0000 0.0 0.0000 0.0 0.0000Z/γ∗ → ττ 0.0 0.0000 0.0 0.0000 0.0 0.0000 0.0 0.0000
Tabella 4.12: Eventi di fondo attesi ed efficienze dell’analisi a bassa purezza.
Energie√s (GeV)
mH 192 196 200 202(GeV) Eventi eff. Eventi eff. Eventi eff. Eventi eff.
90 651 0.36 649 0.36 694 0.38 694 0.3895 621 0.34 633 0.35 679 0.37 679 0.3796 550 0.33 546 0.32 625 0.34 625 0.3497 574 0.32 574 0.32 651 0.36 651 0.3698 586 0.32 588 0.33 622 0.35 622 0.3599 611 0.34 606 0.34 613 0.34 612 0.34100 561 0.32 554 0.31 612 0.34 612 0.34101 541 0.31 537 0.30 586 0.32 586 0.32102 252 0.29 256 0.30 596 0.33 596 0.33103 267 0.31 265 0.31 585 0.33 585 0.33104 518 0.31 512 0.31 576 0.33 575 0.32105 529 0.32 525 0.32 562 0.32 561 0.32
Tabella 4.13: Efficienza del segnale H → bb dell’analisi a bassa purezza per diverse massedel bosone di Higgs con il numero di eventi simulati.
76
sulla massa dell’Higgs ricostruita con gli eventi candidati, si ricorre alla combinazione di
alcune variabili per ogni selezione effettuata [41].
Il primo passo consiste nella scelta di un gruppo di variabili cosiddette di peso (weight),
attraverso le quali stimare evento per evento il rapporto tra gli eventi di segnale e di fondo
che avrebbero la stessa configurazione dei candidati effettivamente osservati. Dato che
non si ha abbastanza statistica di Monte Carlo si considera come peso Wh degli eventi
il prodotto dei rapporti segnale/fondo calcolati indipendentemente per ogni variabile di
peso scelta. Questo procedimento non e una valutazione esatta di quello che si vuol
fare e percio la nuova variabile Wh appena costruita e trattata come una nuova variabile
ed e ricavata indipendentemente dai dati e dal Monte Carlo. La Wh diventa quindi la
miglior variabile per poter ottenere, nel caso della ricerca del bosone di Higgs del Modello
Standard, il livello di confidenza in funzione della massa mH dell’Higgs stesso.
Ho provato diverse combinazioni di variabili e alla fine e risultata ottimale quella
formata da:
Btag3D variabile di b-tag.
M5kinH massa dell’Higgs ricostruita dal fit cinematico a 5 vincoli.
Y34 parametro di risoluzione della ricostruzione dei 4 jet.
Esse sono utilizzate in questo lavoro per valutare Wh sia per i dati che per il Monte
Carlo; solitamente per semplicita di calcolo viene usato il peso logaritmico, log10 Wh. La
scelta di una variabile di peso siffatta permette di riconoscere subito gli eventi che si
prestano maggiormente a divenire candidati alla scoperta del segnale di Higgs, perche
maggiore e il valore di Wh e maggiore e il rapporto segnale/fondo di un dato. Questo
permette di poter raffinare l’analisi tagliando sul rapporto segnale/fondo con il limite
inferiore opportuno. Per poter effettuare il calcolo di log10 Wh per valori di massa mH
non disponibili nel Monte Carlo, si utilizza un algoritmo che effettua una traslazione della
distribuzione con il valore di mH piu vicino a quello richiesto. Dopo aver centrato la
distribuzione sul valore mH , questa viene rinormalizzata alla media pesata degli integrali
delle due distribuzioni piu vicine, con pesi inversamente proporzionali alla differenza delle
masse alle quali sono centrate rispetto a quella da interpolare.
Gli istogrammi relativi alla variabile di peso log10 Wh per le analisi di Alta Purezza
e Bassa Purezza alle energie di 192, 196, 200 e 202 GeV con segnali di Higgs di masse
diverse sono mostrati nelle figure 4.9-4.12.
77
In figura 4.10a si puo notare la presenza di un dato che occupa una zona del grafico
in cui il rapporto tra segnale e fondo e dell’ordine di 102. Verra mostrato nel seguito
perche candidato alla scoperta del bosone di Higgs di massa mH = 102 GeV prodotto ad
un’energia di 196 GeV.
4.5 Analisi combinata
Per ogni energia del centro di massa disponiamo adesso di due diverse analisi al varia-
re della massa del bosone di Higgs. Come si puo notare dagli istogrammi relativi alle
stesse energia e massa mH per le analisi di Alta Purezza e Bassa Purezza, il rapporto
segnale/fondo e migliore per le prime. Questo non toglie che le analisi a Bassa Purez-
za presentino zone di dati con rapporto segnale/fondo confrontabili con porzioni di dati
delle analisi ad Alta Purezza. Il tutto suggerisce di ricombinare le due analisi comple-
mentari riclassificando le variabili log10 WHighh e log10 W
Lowh relative rispettivamente alla
Alta Purezza e alla Bassa Purezza con raziocinio. Si costruisce un nuovo istogramma dei
pesi i cui canali (bin) sono riempiti con il contenuto di Monte Carlo e dati dei bin dei
due istogrammi originari classificati in base al miglior rapporto segnale/fondo. Questo
procedimento e utile per visualizzare i risultati, in verita non aggiunge niente all’analisi,
perche il metodo di estrazione dei livelli di confidenza tiene conto automaticamente delle
due analisi.
Da quest’ultimo istogramma si possono estrarre i grafici relativi al numero di segnali
attesi in funzione del numero di eventi di dati e Monte Carlo selezionati per le varie energie
e diversi valori di mH . Quattro di essi sono riportati nelle figure 4.13-4.16 con mH = 102
GeV per√s = 192 e 196 GeV e con mH = 103 GeV per
√s = 200 e 202 GeV.
Il numero di segnali attesi e dato da
No eventi Segnaleexp.mH
∣∣√s= ε(
√s)
mH× BrZ→qq × BrH→bb × σ
(√s)
e+e−→ZH(mH)×∫
Ldt∣∣∣∣√
s
(4.4)
con ε(√s)
mH efficienza del segnale di Higgs di massa mH all’energia√s, BrZ→qq e BrH→bb
frazioni di decadimento di Z0 e H nei prodotti indicati (e che contribuiscono a for-
mare 2+2=4 jet), σ(√s)
e+e−→ZH(mH) sezione d’urto di produzione per energia di LEP√s
dell’Higgs di massa mH per Higgs-strahlung (il processo di formazione dominante) e∫ Ldt∣∣√sluminosita integrata per i dati raccolti all’energia
√s.
78
log10Wh
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(a) Alta Purezza
log10Wh
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(b) Bassa Purezza
Figura 4.9: Istogrammi della variabile finale log10 Wh per√s = 192 GeV emH = 102 GeV.
Il segnale e amplificato di un fattore 30 (a) e 80 (b) per poter essere visibile.
79
log10Wh
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
1
2
3
4
5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(a) Alta Purezza
log10Wh
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(b) Bassa Purezza
Figura 4.10: Istogrammi della variabile finale log10 Wh per√s = 196 GeV e
mH = 102 GeV. Il segnale e amplificato di un fattore 3 (a) e 8 (b) per poter esserevisibile.
80
log10Wh
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(a) Alta Purezza
log10Wh
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(b) Bassa Purezza
Figura 4.11: Istogrammi della variabile finale log10 Wh per√s = 200 GeV e
mH = 103 GeV. Il segnale e amplificato di un fattore 2 (a) e 5 (b) per poter esserevisibile.
81
log10Wh
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(a) Alta Purezza
log10Wh
Num
ero
di e
vent
i/bin
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
22.5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(b) Bassa Purezza
Figura 4.12: Istogrammi della variabile finale log10 Wh per√s = 202 GeV e
mH = 103 GeV. Il segnale e amplificato di un fattore 4 (a) e 10 (b) per poter esserevisibile.
82
Analisi combinata
Figura 4.13: Risultati dell’analisi combinata per√s = 192 GeV e mH = 102 GeV. Si
riporta il numero di eventi di dati e MC al variare del numero di eventi di segnale aspettati.
83
Analisi combinata
Figura 4.14: Risultati dell’analisi combinata per√s = 196 GeV e mH = 102 GeV. Si
riporta il numero di eventi di dati e MC al variare del numero di eventi di segnale aspettati.
84
Analisi combinata
Figura 4.15: Risultati dell’analisi combinata per√s = 200 GeV e mH = 103 GeV. Si
riporta il numero di eventi di dati e MC al variare del numero di eventi di segnale aspettati.
85
Analisi combinata
Figura 4.16: Risultati dell’analisi combinata per√s = 202 GeV e mH = 103 GeV. Si
riporta il numero di eventi di dati e MC al variare del numero di eventi di segnale aspettati.
86
I valori del numero dei dati e degli eventi di Monte Carlo attesi sia per il fondo che
per il segnale sono riportati in tabella 4.14. Le masse del bosone di Higgs sono analizzate
a passi di 1 GeV tra 90 e 110 GeV. Alle energie di 200 e 202 GeV e presente un eccesso di
dati pari a circa due deviazioni standard, ma potrebbe non essere un eccesso sufficiente a
confermare la presenza di un numero elevato di eventi di segnale.
Energie√s (GeV)
mH 192 196 200 202(GeV) Dati MC Sig. Dati MC Sig. Dati MC Sig. Dati MC Sig.
90 17 14.9 3.6 41 37.4 10.7 125 109.3 13.4 23 21.6 5.291 38 28.8 4.0 40 39.2 10.4 127 110.2 12.8 26 21.3 5.092 29 28.3 3.7 60 52.5 10.9 53 49.7 10.6 27 21.9 4.893 19 18.8 3.1 57 51.5 10.5 88 74.5 11.0 42 32.4 5.194 19 18.6 2.9 89 81.2 10.9 84 72.4 10.5 46 32.0 4.995 33 27.3 2.9 156 144.6 11.2 81 71.4 10.0 57 44.4 4.996 17 15.4 2.1 39 39.4 7.5 144 124.3 10.5 42 30.8 4.497 17 15.4 1.9 42 37.2 7.1 41 36.0 7.7 42 32.5 4.398 20 19.4 1.6 139 124.9 8.0 55 47.9 7.7 19 14.8 3.499 20 18.2 1.3 53 50.3 6.2 53 48.7 7.6 42 31.2 3.9100 21 19.6 0.9 53 51.0 5.9 83 73.1 7.6 26 20.9 3.4101 22 19.0 0.6 103 79.4 5.2 60 48.2 6.5 47 30.5 3.4102 17 17.4 0.3 35 36.2 3.6 50 44.9 5.8 38 30.1 3.2103 15 13.7 0.2 57 53.2 3.1 80 70.7 5.7 35 31.1 2.9104 15 13.8 0.2 55 55.1 2.2 78 66.2 5.0 19 13.8 2.3105 34 29.0 0.2 61 53.5 1.4 92 71.5 4.1 42 31.8 2.3106 19 19.3 0.1 58 52.9 0.9 93 71.5 3.4 41 31.9 2.0107 31 28.1 0.1 54 55.4 0.6 79 70.4 2.7 38 30.7 1.7108 31 27.3 0.1 52 53.2 0.5 81 69.8 1.9 38 30.2 1.4109 15 12.5 0.1 51 49.8 0.4 82 66.8 1.1 40 29.4 1.1110 29 26.9 0.1 133 121.4 0.4 73 63.2 0.7 36 27.8 0.8
Tabella 4.14: Numero di dati, di eventi MC di fondo e di segnale aspettati per le varieenergie nel centro di massa.
Posso affermare tutto cio perche si puo notare in figura 4.18 che l’eccesso di dati si ha
per valori del rapporto segnale/fondo bassi e quindi non sembra indicativo il disaccordo
superiore a 2.5σ che si ha tra dati e MC e che si osserva in figura 4.17.
87
Analisi combinata
Figura 4.17: Risultati dell’analisi combinata per√s = 196 GeV e mH = 101 GeV. Si
riporta il numero di eventi di dati e MC al variare del numero di eventi di segnale aspettati.Si ha un eccesso di dati superiore a 2σ rispetto al MC.
88
Peso combinato
Num
ero
di e
vent
i/bin
10-2
10-1
1
10
Figura 4.18: L’eccesso di dati dell’analisi con√s = 196 GeV emH = 101 GeV (figura 4.17)
non e significativo perche e concentrato in una zona dove il rapporto segnale/fondo einferiore a 1. La scala sull’asse delle ascisse e solamente indicativa.
89
90
Capitolo 5
Interpretazione dei risultati e limiticombinati
I risultati delle analisi combinate alle energie di 192, 196, 200 e 202 GeV presentati nel
capitolo precedente hanno evidenziato un eccesso di dati rispetto agli eventi attesi di fondo
valutati con il Monte Carlo. Questo eccesso pero non e significativo ed e compatibile
con le fluttuazioni statistiche del fondo. Per questo motivo i risultati ottenuti possono
essere interpretati come limite di esclusione di intervalli di massa per il bosone di Higgs.
La mia analisi e utilizzata congiuntamente a quelle di altri colleghi, che hanno studiato i
decadimenti nel canale leptonico (2 jet+�+�−) e in quello invisibile (2 jet+νν), e ai risultati
di L3 ottenuti ad energie piu basse negli anni precedenti.
5.1 Calcolo dei limiti di esclusione
Quando un esperimento ha esito negativo e importante esprimere tale risultato in forma
quantitativa. In particolare nel caso di ricerca di nuove particelle il risultato di un esperi-
mento che non ha evidenziato la presenza di eventi del segnale cercato sara la “probabilita”
che la particella cercata abbia una certa massa o meno. Questo risultato e generalmente
espresso in termini di livello di confidenza.
5.2 Livello di confidenza
Per poter esprimere il livello di confidenza e possibile seguire due strade: l’approccio
Bayesiano o quello classico, detto anche frequentistico.
Il livello di confidenza Bayesiano cerca di esprimere il “grado di confidenza1” facen-
do uso, attraverso il teorema di Bayes [46], del risultato dell’esperimento e delle nostre
1degree of belief.
91
conoscenze a-priori del fenomeno studiato. Questo grado di confidenza corrisponde, in un
certo qual modo, alla probabilita del valore vero di una certa quantita fisica. In pratica,
nel caso della ricerca del bosone di Higgs, si da il valore di mH con annessa la probabilita
che sia proprio il valore vero.
L’approccio classico invece non si pone l’obiettivo di determinare la probabilita che
la massa del bosone di Higgs sia mH ma, ammettendo di conoscere il valore vero della
quantita fisica misurata, si limita ad esprimere la probabilita che il risultato dell’esperi-
mento sia in maggiore disaccordo con l’ipotesi di esistenza del segnale di nuova particella
rispetto al risultato effettivamente ottenuto. Nel corso dell’analisi sara questo il metodo
che useremo.
I risultati della misura devono essere confrontati con le ipotesi teoriche utilizzate per
impostare l’analisi. Il livello di confidenza associato all’esclusione dell’ipotesi iniziale
(esistenza del bosone di Higgs di massa mH) da la probabilita che il disaccordo tra la
misura (i dati raccolti da L3) e l’ipotesi (gli eventi di Monte Carlo che ne riproducono
la fenomenologia) sia peggiore di quanto osservato. Ad esempio, escludere l’esistenza del
bosone di Higgs di una determinata massa al 95% di livello di confidenza significa che
solamente nel 5% dei casi avremmo la possibilita di ottenere un risultato che si discosta
dall’ipotesi di presenza del segnale piu di quello realmente ottenuto.
Il calcolo del livello di confidenza puo essere svolto per mezzo di esperimenti simulati
con tecniche di Monte Carlo. Questo vuol dire che si riproducono le misure piu volte,
simulando la distribuzione nei dati delle variabili di peso Wh, utilizzate per definire gli
istogrammi 4.13-4.16, e introducendo ogni volta un numero di eventi di segnale e di fondo
in accordo con la distribuzione di Poisson, con valor medio pari alla somma del numero
di eventi di fondo e di segnale attesi secondo la nostra ipotesi. Naturalmente occorre
un criterio che stabilisca quando un risultato e compatibile con la presenza di eventi di
segnale o del solo fondo. Per fare questo abbiamo bisogno di definire un estimatore, una
funzione delle variabili in gioco, per mezzo della quale dare una valutazione del livello di
confidenza. Nel caso di semplici conteggi l’estimatore sara il numero di eventi osservati;
nel nostro caso piu complesso l’estimatore terra conto sia del numero di eventi sia del
valore delle variabili di peso di ciascun evento. Vedremo nel paragrafo 5.4 l’espressione
usata per calcolare il nostro estimatore.
Sono simulati sia esperimenti in cui e ipotizzata la presenza di eventi di segnale e
di fondo sia esperimenti in cui si suppone che vi sia solo fondo. Nei due casi si calcola
la frazione di esperimenti per cui l’estimatore risulta inferiore a quello effettivamente
92
osservato nei dati e poi se ne fa il rapporto.
Il fondo simulato non deve avere fluttuazioni piu grandi del numero di eventi osservati
nel corso dell’esperimento, perche altrimenti calcoleremmo un limite di esclusione per
eventi di segnale+fondo [44], quindi la sua distribuzione e limitata superiormente. Se non
si tenesse conto di questo si potrebbe derivare l’assurda conclusione [45] che ogni segnale,
persino con sezione d’urto molto piccola, puo essere escluso attraverso grandi fluttuazioni
del fondo verso valori piu bassi di quello medio.
L’espressione analitica del livello di confidenza esatto ottenuto tramite esperimenti
MC e data da [42]:
1− CL =
∫ X(mH )
0Nexp
(X(mH)s+b < X(mH)
)dX(mH)s+b∫ X(mH )
0Nexp
(X(mH)b < X(mH)
)dX(mH)b
(5.1)
con X(mH) valore dell’estimatore X(mH) ottenuto dai dati e Nexp numero di esperimenti
MC con valore dell’estimatore nell’ipotesi di esistenza del segnale (X(mH)s+b) o del solo
fondo (X(mH)b) minore di quello osservato. Maggiore e il numero di esperimenti simulati
(tipicamente superiore a 1000) e piu accurata e la valutazione di CL, che puo variare per
fluttuazioni statistiche.
Si utilizza questo procedimento di Monte Carlo come definizione di livello di confidenza
e tutto cio e un mezzo molto potente, perche si puo usare qualsiasi estimatore che si ritenga
opportuno valutandone la probabilita come ho appena spiegato. Inoltre il metodo basato
sul Monte Carlo ha il grande vantaggio che permette di includere sia gli errori statistici
che quelli sistematici sull’efficienza per segnale e fondo durante il calcolo del livello di
confidenza, facendo semplicemente fluttuare i numeri di eventi aspettati di segnale e di
fondo per ogni esperimento simulato.
Dal punto di vista dell’analisi dei dati la procedura usuale che viene seguita e questa:
si calcola il livello di confidenza CL(mH) per un intervallo di masse appropriato (per
esempio da 90 GeV a 110 GeV) a passi di 1 GeV e si definisce come limite inferiore di
mH il valore precedente al primo per cui vale (1− CL(mH)) > 0.05 (CL(mH) < 0.95).
La definizione appena data del livello di confidenza e detta frequentistica e, come dice
il nome, ha senso solamente in situazioni dove, in linea di principio, gli esperimenti sono
ripetibili.
93
5.3 Livello di confidenza medio
La valutazione a-priori dell’efficacia di una analisi, indipendentemente dai risultati ot-
tenuti, puo essere realizzata utilizzando lo stesso metodo di simulazione di Monte Carlo.
Ripetendo per molte volte la simulazione di un esperimento sotto l’ipotesi che il segnale
non esista, siamo in grado di produrre un campione di valori del livello di confidenza sul
quale studiare la statistica.
Si definisce livello di confidenza medio < CL > la media sul campione dei CL, ottenuto
secondo l’equazione 5.1.
Le tipiche distribuzioni che si ottengono per CL non sono simmetriche, quindi il valore
medio < CL > non corrisponde a quello mediano, per cui si ha una probabilita del 50% di
trovare valori di CL maggiori, ma questa probabilita dipende dalle specifiche distribuzioni
e risulta tipicamente intorno al 30-40%. La sensibilita di una analisi si ottimizza rendendo
massimo il valore di CL, assumendo che il segnale cercato non esista o che il bosone di
Higgs abbia massa piu alta.
Ogni volta che riportero in grafico le stime di Monte Carlo dei livelli di confidenza
utilizzero sempre < CL >, detto livello di confidenza medio o anche livello di confidenza
aspettato.
5.4 Scelta dell’estimatore
L’estimatore usato nel caso di questa analisi e il livello di confidenza bayesiano per un
dato numero di eventi di segnale aspettati s(mH) secondo la formula [47]:
X(mH) =
∫∞s(mH )
L(x)dx∫∞0
L(x)dx � 1− CL (5.2)
E da notare che il valore di tale estimatore approssima molto bene il valore del livello
di confidenza frequentistico. Esso e realizzato attraverso la definizione della funzione L(x)di verosimiglianza (likelihood).
Nel nostro caso la funzione di verosimiglianza, definita come la probabilita a-posteriori
di ottenere da un esperimento l’esito realmente ottenuto, e data dal prodotto di due
termini: il primo si riferisce al numero di eventi di segnale e di fondo che si sono contati
ed e governato dalla statistica di Poisson
Pλ(k) =e−λλk
k!(5.3)
94
con valore di aspettazione < k >= λ e varianza σ2k = λ; il secondo termine fa intervenire
le distribuzioni alle quali appartengono gli eventi candidati. L’espressione analitica e data
da [47]:
L(x) =N∏i=1
exp[−(xsi(mH )s(mH )
+ bi(mH))] (
xsi(mH)s(mH)
+ bi(mH))ni
ni!×
ni∏j=1
xsi(mH )s(mH)
Si(mH ,Wij) + bi(mH)Bi(mH ,Wij)
xsi(mH )s(mH)
+ bi(mH)
(5.4)
con x = 0 nell’ipotesi di solo fondo e x = s(mH) nel caso di segnale e fondo. Nella
5.4, N e il numero di canali nei quali e stata suddivisa l’analisi e che devono essere
combinati assieme, ni e il numero di candidati osservati nel canale i e Wij e il valore della
variabile discriminante nel caso del j-esimo candidato dell’i-esimo canale. Le quantita
si(mH) e bi(mH) sono gli eventi di segnale (nell’ipotesi di massa mH) e fondo presenti
nell’i-esimo canale; se sommati su tutti gli N canali di ricerca si ottengono i valori totali
aspettati di segnale s(mH) =∑N
i=1 si(mH) e di fondo b(mH) =∑N
i=1 bi(mH). Il secondo
termine contiene come anticipato le funzioni di distribuzione di probabilita per il segnale
Si(mH ,Wij) e per il fondo Bi(mH ,Wij). Anche la distribuzione Bi(mH ,Wij) e il numero
totale di eventi b(mH) di fondo dipendono dalla massa dell’Higgs mH , perche la variabile
di peso dipende non solo dal segnale, ma anche dal fondo stesso.
L’uso dell’estimatore 5.2 con la definizione 5.4 permette quindi di valutare il livello
di confidenza da associare all’ipotesi iniziale, la ricerca del bosone di Higgs di massa mH
fissata.
In figura 5.1 vediamo la differenza tra il limite di confidenza bayesiano e quello
frequentistico.
Il vantaggio della scelta dell’estimatore 5.2 e che per valori di 1−CL molto piccoli si
puo riscalare il valore del livello di confidenza bayesiano per avere il CL frequentistico,
dato che servirebbero moltissimi esperimenti simulati per stimarlo con precisione.
5.5 Risultati dell’analisi
5.5.1 Analisi del canale 4 jet
La stima del livello di confidenza CL per l’esclusione viene effettuata secondo le procedure
illustrate nei paragrafi precedenti in funzione della massa del bosone di Higgs nell’inter-
vallo da 90 a 110 GeV a passi di 1 GeV. Sia il livello di confidenza CL che quello medio
< CL > sono stati calcolati per mezzo della simulazione di 10000 esperimenti di Monte
95
m (GeV)
1-C
L
10-1
1
100 102 104 106 108 110
Figura 5.1: Livello di confidenza (CL) bayesiano e frequentistico in funzione della massadel bosone di Higgs tra 100 e 110 GeV a passi di 1 GeV per l’analisi combinata ad energie√s = 192÷ 202 GeV.
Carlo per ciascuna massa mH , applicando un taglio inferiore al rapporto tra segnale e
fondo al valore 0.1. La simulazione riguarda il numero di eventi candidati all’interno delle
distribuzioni di segnale e fondo della variabile finale, e per questo motivo che si parla di
simulazione dell’esperimento, perche si riproducono i suoi possibili esiti.
Considerando soltanto la mia analisi, che interessa il canale di decadimento in 4 jet,
si ottiene il risultato mostrato in figura 5.2. Il limite inferiore di massa atteso si aggira
intorno a 100 GeV, mentre il limite osservato e di 94 GeV. Questo e dovuto alla presenza
di candidati alla scoperta ed in particolare al piu significativo, che sara descritto nel
paragrafo 5.5.4.
Per avere una visione globale, in termini di candidati, della combinazione di diversi
canali (figure 4.13-4.16) per tutte le energie al variare della massa mH si procede nel
96
CL Frequentistico
mH (GeV)
1-C
L
mH (GeV)
CL bk
g
10-2
10-1
1
90 95 100 105 110
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1
89 91 93 95 97 99 101 103 105 107 109 111
Figura 5.2: Livello di confidenza (CL) per l’esclusione del segnale e livello di confidenza(CLbkg) dell’ipotesi di assenza di segnale in funzione della massa del bosone di Higgs tra90 e 110 GeV a passi di 1 GeV per l’analisi Alta+Bassa Purezza del canale 4 jet ad energie√s = 192÷ 202 GeV.
97
seguente modo. Tutte le distribuzioni dei vari canali degli istogrammi sono riunite insieme
in un’unica distribuzione, in ordine decrescente del rapporto segnale/fondo. Una volta
fatto questo si procede al raggruppamento di ogni bin, facendo in modo che ognuno di
essi contenga 0.1 eventi di MC del fondo, in questo modo ogni 10 canali si avra 1 evento di
fondo atteso. Contemporaneamente anche il contenuto di dati e di MC del segnale viene
raggruppato sui nuovi bin. La figura 5.3 mostra un esempio di istogramma che si ottiene
procedendo secondo questa prassi. Si tratta dell’istogramma della variabile finale per
l’analisi del solo canale 4 jet. I primi canali dell’istogramma sono quelli piu importanti,
perche il rapporto tra segnale e fondo e maggiore ed e proprio in questi primi bin che si ha
un leggero eccesso di dati, anche se non abbastanza significativo da far ritenere probabile
la scoperta di una nuova particella. La conferma o meno di un segnale di scoperta del
bosone di Higgs si potra avere nel momento in cui i dati saranno analizzati piu in dettaglio
congiuntamente a quelli che quest’anno saranno raccolti ad energie superiori a 202 GeV.
bin
Eve
nti/b
in
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Figura 5.3: Istogramma della variabile finale per l’analisi combinata del canale 4 jetper mH = 101 GeV utilizzando 10000 esperimenti di Monte Carlo per la valutazionedell’estimatore. Nel grafico sono riportati solo i primi canali dell’istogramma, perche sonoquelli piu significativi, avendo il piu alto rapporto tra segnale e fondo.
98
La presenza di alcuni eventi candidati alla scoperta e chiara se si fa riferimento al
grafico di CLbkg in figura 5.2, che rappresenta la probabilita di ottenere un limite migliore
nel caso il segnale non ci sia, ovvero la massa del bosone di Higgs sia troppo alta per essere
prodotta a LEP. L’accordo tra i dati e il comportamento atteso del fondo non e rispettato
tanto bene, perche il valore della probabilita di trovare una statistica migliore di quella
trovata si aggira intorno al 97%. L’analisi da me effettuata ha evidenziato la presenza di
molti eventi candidati, con valori delle variabili discriminanti (Btag3D e Y34 su tutte)
alti, seppur non sufficientemente significativi. Solitamente, infatti, si inizia a parlare di
scoperta quando il disaccordo tra dati e fondo e maggiore di 3÷5σ, corrispondenti aprobabilita inferiori a 10−3. Infatti, dato che negli esperimenti di fisica delle alte energie
vengono ricercate molteplici tipologie di segnale di particelle inquadrate in teorie diverse,
se ci si limitasse a probabilita dell’ordine dell’1% molto spesso si avrebbero fluttuazioni
statistiche del fondo, che simulano una scoperta.
5.5.2 Analisi combinata
L’analisi completa della ricerca del bosone di Higgs del Modello Standard deve contem-
plare tutti i possibili canali di decadimento della particella da ricercare e deve far uso di
tutta la statistica raccolta negli anni precedenti, che ha prodotto i risultati di esclusione
mH >95.3 GeV @ 95% CL [48] ad energie del centro di massa fino a 189 GeV.
L’innalzamento dell’energia del centro di massa fino a 202 GeV aumenta l’importanza
delle ricerche effettuate alle energie superiori, che disponendo di uno spazio delle fasi
maggiore permettono lo studio della produzione del bosone di Higgs con massa piu alta
che in precedenza. Questo non toglie che, seppur con un piccolo peso, la statistica raccolta
a 189 GeV non possa dare il suo contributo all’analisi combinata.
I canali di ricerca che ho incluso quindi nell’analisi combinata sono:
• canale 4 jet: qqqq
• canale leptonico: qq�+�−
• canale invisibile: qqνν
studiati per energia del centro di massa che varia da 189 a 202 GeV.
I risultati evidenziano il passaggio di 1 − CL da una zona di non esclusione a valori
di mH per cui il segnale del bosone di Higgs e escluso con CL >95%. In figura 5.4 e
riportato l’andamento di 1 − CL al variare della massa mH da 90 a 110 GeV a passi di
1 GeV.
99
Il risultato finale della ricerca del bosone di Higgs del Modello Standard ad energie√s = 192÷ 202 GeV produce quindi il seguente risultato:
mH > 101 GeV @ 95% CL
Il limite atteso, ricavato attraverso il valore medio < CL > in funzione di mH , e
mH > 105 GeV @ 95% CL.
La figura 5.4 evidenzia che l’ipotesi di solo fondo CLbkg presenta ancora un certo
eccesso di dati, perche il suo valore si mantiene sempre sopra al 90% anche in presenza delle
altre analisi. Questo e in accordo con l’istogramma della variabile finale permH = 101 GeV
di figura 5.5, che evidenzia un certo eccesso di dati nei primi canali, dove il rapporto tra
segnale e fondo e massimo. I dati che saranno raccolti quest’anno con energie superiori a
202 GeV serviranno ad analizzare piu in dettaglio il significato di questo eccesso di eventi,
in virtu dell’esistenza di un candidato con mH =102 GeV.
5.5.3 Incremento della sensibilita dell’analisi con la ricombi-
nazione delle due selezioni di Alta e Bassa Purezza
Uno degli interrogativi da porsi quando si intraprende un nuovo modo di sviluppare
un’analisi e quello di chiedersi di quanto si riesca a migliorare il risultato finale rispetto a
quello che si otterrebbe con le procedure usate fino a quel momento.
Il metro di valutazione che posso usare per confrontare quale analisi sia la migliore nel
caso del livello di confidenza di esclusione di un segnale e il valore aspettato della massa
per cui si realizza 1− < CL >= 0.05.
In figura 5.6 si puo osservare come dall’analisi combinata nella quale per il canale
4 jet si utilizzano solo i dati relativi alla selezione di Alta Purezza (in chiaro) si ricava il
limite aspettato mH > 104 GeV @ 95% CL. Utilizzando come e stato fatto le due selezioni
ricombinate Alta+Bassa Purezza si riesce a spingere il limite aspettato fino a 105 GeV.
100
CL Frequentistico
mH (GeV)
1-C
L
mH (GeV)
CL bk
g
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1
90 95 100 105 110
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
89 91 93 95 97 99 101 103 105 107 109 111
Figura 5.4: Livello di confidenza (CL) per l’esclusione del segnale e livello di confidenza(CLbkg) dell’ipotesi di assenza di segnale in funzione della massa del bosone di Higgs tra90 e 110 GeV a passi di 1 GeV utilizzando le analisi relative a tutti i canali di decadimentoad energie
√s = 192÷ 202 GeV e l’analisi effettuata a
√s = 189 GeV, cha ha prodotto il
risultato mH >95.3 GeV @ 95% CL [48].
101
bin
Eve
nti/b
in
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Figura 5.5: Istogramma della variabile finale per l’analisi combinata dei vari canali permH = 101 GeV utilizzando 10000 esperimenti di Monte Carlo per la valutazione dell’esti-matore. Nel grafico sono riportati solo i primi canali dell’istogramma, perche sono quellipiu significativi, avendo il piu alto rapporto tra segnale e fondo.
102
CL Frequentistico
mH (GeV)
1-C
L
10-2
10-1
1
100 102 104 106 108 110
Figura 5.6: Livello di confidenza medio frequentistico per l’esclusione del segnale utiliz-zando per l’analisi combinata la ricombinazione Alta+Bassa Purezza (linea scura) o lasola selezione di Alta Purezza (linea chiara) in funzione della massa del bosone di Higgstra 100 e 110 GeV a passi di 1 GeV. L’andamento delle due curve evidenzia come la ricom-binazione delle selezioni complementari conduca ad un valore di aspettazione del limitesulla massa del bosone di Higgs di circa 105 GeV contro i 104 GeV ottenuti con la solaselezione di Alta Purezza.
103
5.5.4 Evento candidato per√s=196 GeV e mH=102 GeV
Un esempio di evento candidato alla scoperta del bosone di Higgs e quello riporta-
to in figura 5.8. Si tratta di un evento che ha un alto valore della variabile di peso
(log10 WHighh =1.6963) perche presenta un valore della variabile di b-tag molto elevato.
L’istogramma della variabile di b-tag di figura 5.7 infatti evidenzia la presenza di un even-
to in una zona con poco fondo (bisogna tener presente che il segnale e amplificato di un
fattore 8 nel grafico).
Btag3D
Num
ero
di e
vent
i/bin
10-2
10-1
1
10
0 2 4 6 8 10 12
Figura 5.7: Istogramma relativo alla variabile di b-tag dell’analisi di Alta Purezza con√s = 196 GeV e mH = 102 GeV, in cui e manifesta la presenza di un evento candidato
alla scoperta in una zona dove il segnale, seppur moltiplicato per 8, e confrontabile con ilvalore del fondo.
104
Run # 758503 Event # 4534
Transverse Imbalance : Longitudinal Imbalance :
Thrust : Major : Minor :
Event DAQ Time :
Total Energy : 203.75 GeV
.0652 .0061
.7412 .5781 .1729
990717 22333
3 6
1 72 51 8
4 63 32 42 3
3 5
3 8
2 1
1 4
1 6
9
2 6
1 0
4 0
2 8
3 2
1 91 31 1
1 2
2 2
2 9
1 5
3 7
2 0
2 7
3 1
4 74 2
6 56 2
4 3
4 1
5 76 6 6 3
6 1
5 5
5 4
5 2
5 1
5 0
4 9
4 8
4 5
4 4
3 9
3 4
3 0
++
3 4
++3 9
++
4 4
++
4 5
++4 8
++
4 9
++5 0
++
5 1
++
5 5
++6 1
++
6 3
++
6 6
++
5 7
++
6 2
++
6 5
++
4 7
++
2 7
++3 7
++
1 5
++
2 2
++
1 1
++
1 3
++
1 9
++3 2
++
2 8
++
1 0
++
9
++
1 6
++
1 4
++
2 1
++
3 5
++
2 3
++
2 4
++
3 3
++
4 6
++
1 8
++
3 6
x
y
z
Figura 5.8: Evento candidato per√s = 196 GeV e mH = 102 GeV proiettato sul piano
xy.
105
106
Conclusioni
In questa tesi e stata descritta la ricerca del bosone di Higgs teorizzato dal Modello
Standard utilizzando i dati raccolti a LEP2 dal rivelatore L3 nel 1999 alle energie nel
centro di massa del sistema e+e− di 191.6, 195.5, 199.5 e 201.8 GeV con luminosita
integrata di 29.7, 83.7, 82.8, 37.0 pb−1 rispettivamente.
L’analisi svolta si e concentrata sul processo di formazione e decadimento del bosone
di Higgs e+e− → Z0H → qqbb, il cosiddetto canale 4 jet. La selezione dei dati e stata
ottimizzata attraverso un programma che definisce i tagli alle variabili, tenendo conto
delle correlazioni tra le stesse per ottenere la massima sensibilita.
Una volta definita la selezione finale si sono imposti dei tagli piu stringenti a quattro
variabili, tra le quali la variabile di b-tag, che identifica la presenza di quark b che danno
origine ai jet, e il parametro dei jet, che da una misura della sensibilita di ricostruzione
di un evento a 4 jet. La selezione ricavata con questo ulteriore ridimensionamento del
campione e chiamata di Alta Purezza, mentre tutti quegli eventi che avevano passato la
selezione, ma non gli ultimi tagli, sono stati riuniti nella selezione di Bassa Purezza.
Il passo successivo e stato quello di definire una variabile di peso che discrimini al
meglio gli eventi di segnale da quelli di fondo, combinando insieme le informazioni su
segnale e fondo associate a tre variabili di importanza fondamentale: la variabile di b-tag,
la massa dell’Higgs ricostruita dai jet con un fit a 5 vincoli e il parametro di ricostruzione
dell’evento a 4 jet. Sono state analizzate le analisi di Alta e Bassa Purezza ottenute
tramite le variabili di peso.
Tutto il procedimento fino a qui descritto e stato applicato ai dati di ognuna delle
quattro energie nel centro di massa.
Sebbene si sia osservato un certo eccesso di dati rispetto al fondo aspettato, il signi-
ficato statistico non e sufficiente per indicare la scoperta. Per il momento ho fornito un
nuovo limite di esclusione per la massa del bosone di Higgs del Modello Standard, utiliz-
zando anche le analisi sugli altri canali di decadimento e la statistica raccolta ad energia
di 189 GeV.
Il limite di esclusione, ricavato al 95% di livello di confidenza, risulta:
mH > 101 GeV/c2
con un limite aspettato di 105 GeV/c2, in accordo con il valore dei risultati preliminari di
107
L3, presentati al comitato di LEP il 9 Novembre 1999. La differenza tra limite osservato
e aspettato rispecchia la presenza di eventi candidati alla scoperta, in particolare quello
di massa mH =102 GeV osservato all’energia di 196 GeV.
Per chiarire il significato dell’eccesso di dati sara molto importante combinare i risultati
di L3 con quelli ottenuti dagli altri esperimenti di LEP (sara fatto nel mese di Febbraio
per le conferenze invernali) e analizzare i dati che verranno raccolti quest’anno ad energie
superiori a 202 GeV.
108
Appendice A
Rottura spontanea di una simmetriadi gauge SU(2) locale
Definiamo la lagrangiana di un campo complesso a due componenti scalari [6]:
L = T − V = (∂µφ)† (∂µφ)− µ2
(φ†φ)− λ
(φ†φ)2
(A.1)
dove
φ =
(φαφβ
)=
1√2
(φ1 + iφ2
φ3 + iφ4
)(A.2)
e un doppietto complesso di campi scalari (φ1, φ2, φ3 e φ4 ). La A.1 e manifestamente
invariante per una trasformazione SU(2) globale
φ′ = U(�α)φ = ei*α·�τ2φ (A.3)
dove �τ indica un vettore a tre componenti formato dalle matrici di Pauli1. Per rendere la
A.1 invariante sotto una trasformazione di gauge SU(2) locale
φ′(x) = U(�α(x))φ(x) = ei*α(x)·�τ2φ(x) (A.7)
1Le matrici di Pauli sono cosı definite:
τ1 =(
0 11 0
)(A.4)
τ2 =(
0 −ii 0
)(A.5)
τ3 =(
1 00 −1
)(A.6)
i
nella quale il parametro a tre componenti �α dipende dalle coordinate x dalle quali dipende
il campo φ, e sufficiente sostituire ∂µ con la derivata covariante tramite la sostituzione
minimale
Dµ = ∂µ + ig�τ
2· �Wµ (A.8)
Il campo di gauge �Wµ trasforma secondo la legge
�Wµ → �Wµ − 1
g(∂µ�α)− �α× �Wµ (A.9)
e la lagrangiana invariante completa del termine cinetico dello stesso assume la forma
L = (Dµφ)† (Dµφ)− V (φ)− 1
4�Wµν · �W µν (A.10)
Il potenziale
V (φ) = µ2(φ†φ)+ λ
(φ†φ)2
(A.11)
e fondamentale per il proseguimento di questa breve trattazione ed e percio importante
soffermarsi sul suo significato. La forma di A.11 e diversa nel caso in cui il segno di µ2
sia positivo o negativo. L’andamento del potenziale V in funzione di |φ| e riportato in
grafico in figura A.1.
µ2 > 0
Il potenziale A.11 in questo caso descrive semplicemente la dinamica di quattro campi
scalari di massa µ. Il termine(φ†φ)2
= |φ|4 che vi compare rappresenta l’accoppiamento
tra i quattro campi φi con diagrammi di vertice a quattro particelle con costante di
accoppiamento λ.
µ2 < 0
Questa volta A.11 ha un termine di massa di segno “sbagliato” e il grafico cartesiano del
potenziale ha due punti estremanti corrispondenti alle soluzioni di ∂V∂|φ| = 0. Il punto di
minimo e raggiunto per
|φ|2 = −µ2
2λ=
1
2
(φ2
1 + φ22 + φ2
3 + φ24
)(A.12)
e vale
Vmin = −1
4
µ4
λ(A.13)
ii
Figura A.1: Forma del potenziale nei due casi µ2 > 0 e µ2 < 0.
La superficie quadridimensionale che minimizza A.11 e invariante per trasformazioni
SU(2), cosı possiamo espandere V (φ) attorno ad un particolare valore di minimo, che
viene definito come valore di vuoto φ0 per il campo φ. Possono essere scelti per esempio
i seguenti valori:
φ1 = φ2 = φ4 = 0 (A.14)
φ23 = −µ2
λ≡ v2 (A.15)
cosicche il valore di vuoto φ0 risulta
φ0 =1√2
(0v
)(A.16)
Lo sviluppo intorno a questo valore puo essere parametrizzato
φ(x) = ei*τ ·�θ(x)
v
(0
v+h(x)√2
)(A.17)
iii
(con �θ(x) ∈ R3, h(x) ∈ R e τi (i=1,2,3) le matrici di Pauli) senza perdita di generalita,
dal momento che
φ(x) �(1 + i�τ ·
�θ(x)
v
)1√2
(0
v + h(x)
)� 1√
2
(θ2 + iθ1
v + h− iθ3
)
= φ0 +
(θ2 + iθ1
h− iθ3
)= φ0 + δφ
(A.18)
L’importanza di questa scelta risiede nel fatto che la A.17 e la definizione di una trasfor-
mazione di gauge SU(2) per il campo
φ(x) =
(0
v+h(x)√2
)(A.19)
definita nel modo seguente:
φ′(x) = ei*τ ·�θ(x)
v
(0
v+h(x)√2
)= U
(2�θ(x)
v
)φ(x) (A.20)
Quindi per l’invarianza di gauge di A.10 l’unico campo che rimane tra θ1(x), θ2(x), θ3(x)
e h(x) e proprio quest’ultimo. La lagrangiana A.10 non conterra piu alcuna traccia dei
tre campi �θ(x), che vengono detti bosoni di Goldstone e sono privi di massa.
Il potenziale A.11 assume la forma
VHiggs = −λv4
4+1
2(2λv2)h2(x) + o
(h(x)2
)(A.21)
con mθ1 = mθ2 = mθ3 = 0 e
mh =√2λv2 =
√−2µ2 (A.22)
Le masse dei bosoni di gauge sono determinate inserendo la A.19 nella A.10.
Sviluppando i calcoli per il termine
Lmass =
(ig�τ
2· �Wµφ
)†(ig�τ
2· �W µφ
)(A.23)
si ottiene2
Lmass =g2v2
8
[(W 1
µ
)2+(W 2
µ
)2+(W 3
µ
)2](A.24)
che permette di identificare il termine di massa per un bosone3
MW =1
2gv (A.25)
2La notazione (Wµ)2 e una abbreviazione per WµW
µ.3Per un bosone Bµ il termine di massa risulta essere 1
2M2 (Bµ)
2.
iv
La lagrangiana A.10 descrive ora tre campi di gauge ( �Wµ) e un campo scalare (h(x))
massivi. I campi di gauge hanno “mangiato” i bosoni di Goldstone e hanno acquistato
massa, i tre gradi di liberta scalari sono diventati le polarizzazioni longitudinali dei bosoni
vettori �Wµ.
Questo e un esempio di meccanismo di Higgs, la cui evoluzione e riassunta nel modo
seguente:
µ1
µW2
Wµ3
mW
mW
mW
φ1
φ2
φ3
φ4
m =1
m =2
m =3
m =4
(θ )2(θ )1
(−θ )3
m h
Wµ1
µW2
mW=1/2gv
mW=1/2gv
m
W
W
3 bosoni di gauge
=1/2gvWµ3
Prima
µµµµ
111
1
Gradi di libertà
hscalari massive4 particelle
scalare massiva1 particella
=
=
=
0
0
0 2
2
2
Gradi di libertà
//1/
3
3
3massivi
3 bosoni di gauge
Dopo
a massa nulla
v
vi
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Ringraziamenti
Il ringraziamento principale va alla mia famiglia, mamma, babbo e Save, senza la quale
non sarei mai arrivato fino a questo punto.
Poi desidero ringraziare di cuore le persone che hanno sempre creduto in me, i professori
delle superiori G.Betti e G.Giovacchini, che mi hanno insegnato moltissimo.
Ma tutto questo lavoro non sarebbe stato possibile senza l’aiuto di M.Pieri, con il quale
ho lavorato benissimo e grazie al quale ho potuto vivere in prima persona nell’ambiente
della ricerca.
E un abbraccio va a tutti i componenti del Gruppo 1, ad iniziare dalle gentilissime
signore Guglielma e Gabriella fino alla Prof.ssa A.M.Cartacci, Raffaello, Marco, Carlo e
agli amici laureandi e dottorandi con i quali ho trascorso le mie giornate in allegria.
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