Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)

Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /

3rd Lecture / 3. Vorlesung

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /

Informatik (FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Markleinmarklein@uni-kassel.de

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of KasselDept. Electrical Engineering /

Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

Finite Difference (FD) Method / Finite Differenzen (FD) Methode

1-D FD Operators / 1D-FD-Operatoren

2

d ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d

d ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

d

d ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ]

d 2 2

f x f x x f x f x xf x x

x x x

f x x f x f x x f xf x x

x x x

f x x f x x f x x f x xf x x

x x x

+O

O

O[

Backward FD Operator /Rückwärts-FD-Operator

Forward FD Operator /Vorwärts-FD-Operator

Central FD Operator /Zentraler FD-Operator

x xxx x x x

x

( )f x

( )f x x

( )f x x

FD Method - 1-D FD Operator of Second Order / FD-Methode - 1D-FD-Operator zweiter Ordnung

Derivative of the second order /Ableitung der zweiten Ordnung

2

2 2

d ( ) 2 ( ) ( )( )

d

f x x f x f x xf x

x x

2 2 3 3 4 45

2 3 4

2 2 3 3 4 45

2 3 4

d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( )( ) ( ) + + ( )

d 2! 3! 4!d d d

( ) ( )

d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( )( ) ( ) + + ( )

d 2! 3! 4!d d d

f x x f x x f x x f xf x x f x x x

x x x x

f x f x

f x x f x x f x x f xf x x f x x x

x x x x

2 2 3 3 4 45

2 3 4

2 2 3 3 4 45

2 3 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + + ( )

2! 3! 4!

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + + ( )

2! 3! 4!

df x x d f x x d f x x d f xf x x f x x x

dx dx dx dxf x f x

df x x d f x x d f x x d f xf x x f x x x

dx dx dx dx

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(1)

Taylor series expansions / Taylor-Reihenentwicklungen

Multiply (2) with α, (3) with β, and (4) with γ / Multipliziere (2) mit α, (3) mit β und (4) mit γ

FD Method - 1-D FD Operator of Second Order / FD-Methode - 1D-FD-Operator zweiter Ordnung

2 2

2

3 3 4 4

3 4

5 5 6 67

5 6

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +( )

2!

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +( )

3! 4!

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +( ) ( )

5! 6!

f x x f x f x x

df x x d f xf x x

dx dx

x d f x x d f x

dx dx

x d f x x d f xx

dx dx

0

0 2

Add Equations (5)-(7) / Addiere die Gleichungen (5)-(7)

FD Method - 1-D FD Operator of Second Order / FD-Methode - 1D-FD-Operator zweiter Ordnung

1

2

2 2 4 4 6 68

2 4 6

1 2 3 4 24 1 2 3 4 5 6 720

2 2 4 6 68

2 2 4 6

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) 2 2 2 ( )

2 4! 6!

( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

12 360( )

( )

x d f x x d f x x d f xf x x f x f x x x

dx dx dx

f x x f x f x x d f x x d f x x d f xx

x dx dx dx

d f x

dx

4

2

2 4 4 68

2 2 4 6

[( ) ]

2 2 4 4 68

2 2 4 6

[( ) ]

( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

12 360( )

( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

12 360( )

x

x

f x x f x f x x x d f x x d f xx

x dx dx

d f x f x x f x f x x x d f x x d f xx

dx x dx dx

22

2 2

( ) ( ) 2 ( ) ( )[( ) ]

( )

d f x f x x f x f x xx

dx x

With the parameters /Mit den Parametern

FD Method - 1-D FD Operator of Second Order / FD-Methode - 1D-FD-Operator zweiter Ordnung

2 2

2

3 3 4 45

3 4

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +( )

2!

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +( ) ( )

3! 4!

f x x f x f x x

df x x d f xf x x

dx dx

x d f x x d f xx

dx dx

0

0 2

1

2

2 2 4 46

2 4

1 2 3 4 24

2 2 44

2 2 4

2 2 4

2 2 4

( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) 2 2 ( )

2 4!

( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

12( )

( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )( )

12( )

x d f x x d f xf x x f x f x x x

dx dx

f x x f x f x x d f x x d f xx

x dx dx

d f x f x x f x f x x x d f xx

dx x dx

2

4

[( ) ]

22

2 2

( ) ( ) 2 ( ) ( )[( ) ]

( )

x

d f x f x x f x f x xx

dx x

With the parameters /Mit den Parametern

FD Method - 1-D FD Operators of Second Order / FD-Methode - 1D-FD-Operatoren zweiter Ordnung

22

2 2

22

2 2

d ( ) 2 ( ) ( )( ) [( ) ]

d ( )

d ( ) 2 ( ) ( )( ) [( ) ]

d ( )

f x x f x f x xf x x

x x

f t t f t f t tf t t

t t

+

+

Function of one variable /

Funktion einer Variablen

Function of two variables /Funktion von zwei Variablen

22

2 2

22

2 2

( , ) 2 ( , ) ( , )( , ) [( ) ]

( )

( , ) 2 ( , ) ( , )( , ) [( ) ]

( )

f x x t f x t f x x tf x t x

x x

f x t t f x t f x t tf x t t

t t

+

+

FD Method – 1-D Wave Equation / FD-Methode – 1D Wellengleichung

22

2 2

22

2 2

( , ) 2 ( , ) ( , )( , ) [( ) ]

( )

( , ) 2 ( , ) ( , )( , ) [( ) ]

( )

x x xx

x x xx

E z z t E z t E z z tE z t z

z z

E z t t E z t E z t tE z t t

t t

+

+

Central FD Operators /Zentrale FD-Operatoren

2 2

m 0 e2 2 20 0

0 e

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )

x x y x

x

E z t E z t J z t J z tz tz c t

J z tt

e ee

( , ) ( , )( , ) ( )x xx

J z t J z t tJ z t tt t

e e02 2 2

0

2 2

( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )1

( ) ( )

[( ) ] [( ) ]

x x x x x x x xE z z t E z t E z z t E z t t E z t E z t t J z t J z t t

tz c t

z t

+

Backward FD Operator /Rückwärts-FD-Operator

FD Method – 1D Wave Equation / FD-Methode – 1D Wellengleichung

, 1, ,

, 1, ,z z z

t t t

z n z n N

t n t n N

220 2

2 2 20 0 e e

( )( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )

( )

( , ) ( , ) [( ) ] [( ) ]

x x x x x x

x x

tE z t t E z t E z t t c E z z t E z t E z z t

z

c t J z t J z t t z t

+

2( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, ) ( , ) ( , 1)2 2

0 0 0 e e2

( )2 2

( )z t z t z t z t z t z t z t z tn n n n n n n n n n n n n n n n

x x x x x x x xt

E E E c E E E c t J Jz

( , )

( , )e e

( , )

( , )

z t

z t

n nx x

n nx x

E z t E

J z t J

?

?

z

t

Explicit FD algorithm in the time domain of 2nd order in space and time /Expliziter FD-Algorithmus im Zeitbereich 2ter Ordnung in Raum und Zeit

Marching-on-in-time algorithm /„Marschieren in der Zeit“-Algorithmus

FD Method – Properties / FD-Methode - Eigenschaften

Spatial and Temporal Discretization / Räumliche und zeitliche Diskretisierung

Consistency / Konsistenz

Dissipation / Dissipation

Stability Condition / Stabilitätsbedingung

Convergence / Konvergenz

?

?

z

t

( )t f z

FD Method – 1-D, 2-D, 3-D Grid System / FD-Methode – 1D-, 2D- und 3D-Gittersystem

1-D Node-Based Grid /1D knotenbasiertes Gitter

2-D Node-Based Grid /2D knotenbasiertes Gitter

x x x x

Nodes with Assigned Field Quantities /Knoten mit zugeordneten Feldgrößen:

[V], [V/m], [A/m], [Vs/m] E H A

y

x

3-D Node-Based Grid /3D knotenbasiertes Gitter

FD Method – Grid Size / FD-Methode - Gittergröße

min

2x

min

:

:

x

Spatial grid size /

Räumliche Gittergröße

Minimal wavelength /

Minimale Wellenlänge

Sampling Theorem in Space / Abtastkriterium im Raum

min

min min min

10, ,30

= , ,10 30

G Gx

xG

minmin

max

c

f

min

max

:

:

c

f

Minimal phase velocity /

Minimale Phasengeschwindigkeit

Maximal frequency /

Maximale Frequenz

Sampling Resolution / Abtastauflösung

Rule of thumb / Daumenregel

FD Method – Stability Condition / FD-Methode - Stabilitätsbedingung

1 xt

cD

1,2,3 :

:c

D Spatial dimension of the problem /

Räumliche Dimension des Problems

Maximal Energy Propagation Velocity /

Maximale Energieausbreitungsgeschwindigkeit

Stability Condition for an FD algorithm of 2nd order in space and time– CFL-Condition /Stabilitätsbedingung für einen FD-Algorithmus zweiter Ordnung in Raum und Zeit–

CFL-Bedingung

CFL: Courant, Friedrichs, Lewy / CFL: Courant, Friedrichs, Lewy /

Courant, R., K. Friedrichs und H. Lewy: Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. Mathematische Annalen, Vol. 100, S. 32-74, 1928. / Courant, R., K. Friedrichs, and H. Lewy: On the partial differential equations of mathematical physics. IBM Journal, pp. 215-324, March 1967.

max

max

max

1-D / 1D: 1

1 12-D / 2D: 0.707

2 21 1

3-D / 3D: 0.5773 3

xt t t

cx

t t tc

xt t t

c

ref

ref

: t

tt

xt

c

Courant number /

Courant - Zahl

FD Method – Normalization / FD-Methode – Normierung

refref ref

ref

ref

ref

ref

2ref ref ref ref

ref

refee e ref e ref ref

ref

ˆ

ˆ

x x

xx

xt t t t

c

z x z

c c c

c

E E E

J J J J Et

ref

ref

ref

Reference cell width in m / Referenz-Zellenweite in m

Reference propagation velocity in m/s / Referenz-Ausbreitungsgeschwindigkeit in m/s

Reference permittivity in As/Vm / Referenz-Permi

x

c

ref

ttivität in As/Vm

Reference electric field strength in V/m / Elektrische Referenz-Feldstärke in V/mE

FD Method – Normalization / FD-Methode – Normierung

2( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, ) ( , ) ( , 1)2 2

0 0 0 e ref e e2

( ) ˆ ˆ2 2( )

z t z t z t z t z t z t z t z tn n n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x

tE E E c E E E c tJ J J

z

2 222 2 ref0 ref2 2

ref

22 ref

ref2ref 2

ref

2

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( )

( )

t ttc c

z x

xt

cc

x

t

ref

ref 00 0

ref 0

ref

1=

1 V/m

z x

c c

E

2 2 ref0 0 e ref ref ref ref ref

ref

c tJ c t t Et

t

( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, ) ( , ) ( , 1)2e e

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2z t z t z t z t z t z t z t z tn n n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x xE E E t E E E t J J

With / Mit

FD Solution of the 1-D Wave Equation / FD-Lösung der 1D Wellengleichung

2 2

0 e2 2 20

01( , ) ( , ) ( , ) for / für

0x x xz Z

E z t E z t J z tt Ttz c t

1-D wave equation / 1D Wellengleichung

Causality / Kausalitäte

e e0 0 0

( , ) ( , ) 0 0

( , ) ( ) ( ) ( ) 0x x

x

E z t J z t t

J z t K z z f t t

(0, ) 0

( , ) 0x

x

E tt

E Z t

Initial condition / Anfangsbedingung

Boundary condition for a perfectly electrically conducting (PEC) material /

Randbedingung für ein ideal elektrisch leitendes Material

Hyperbolic initial-boundary-value

problem /Hyperbolisches

Anfangs-Randwert-Problem

Z

0z z Z

( , ) 0xE Z t (0, ) 0xE t ( , )xE z t

FD Solution of the 1-D Wave Equation / FD-Lösung der 1D Wellengleichung

Normalized 1-D FD wave equation / Normierte 1D FD Wellengleichung

(Causality / Kausalität)

0 0

( , ) ( , )e

( ) ( )( , ) ( )e e

0 1

1

z t z t

z zz t t

n n n nx x t

n nn n nx x t

E J n

J K f n

(1, )

( , )

01

0

t

z t

nx

t tN nx

En N

E

Initial condition / Anfangsbedingung

Boundary condition / Randbedingung

Discrete hyperbolic initial-boundary-value problem /

Diskretes hyperbolisches

Anfangs-Randwert-Problem

( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, )2

( , ) ( , 1)e e

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2 for / für1

ˆ ˆ

z t z t z t z t z t z t

z t z t

z zn n n n n n n n n n n nx x x x x x

t t

n n n nx x

n NE E E t E E E

n N

t J J

z z z z

zZ zN

1zn z zn N

( , ) 0z tN nxE (1, ) 0tn

xE ( , )z tn nxE

FD Method – 1D FD Wave Equation – Flow Chart / FD-Methode – 1D FD-Wellengleichung - Flussdiagramm

( , ) ( , 1) ( , 2) ( 1, 1) ( 1, 1)2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( )z t z t z t z t z tn n n n n n n n n nx x x x xE t E E t E E

( , ) ( , ) ( , 1) ( , 2)e e

ˆ ˆ ˆ ˆz t z t z t z tn n n n n n n nx x x xE E t J J

Start

Stop

1t tn n

t tn N

1tn

For all nx : 1-D FD wave equation / 1D FD Wellengleichung

For all nx : Excitation / Anregung

NoNo

YesYes

FD Method – 1D Wave Equation – Poynting Vector – Energy Density

Flow / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Poynting-Vektor – Energiedichtefluss

0

0

0

0

00 0

( , )

00

1( , ) ( , )

1 1( , ) ( , ) ( , )

1( , ) ( , )

y

y x

t

y x xt t

H z t

t

y xt t

H z t E z tt z

H z t E z t E z t dtz z

H z t E z t dtz

em

em

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )z x y

t t t

S z t E z t H z t

S R E R ×H R

0

0

0

0

0 0

00

0 00

0 00

1, ,

2 2 2

1( , ) ( , ) ( , )

1( , ) ,

2

( , ) ,2

x x

t t

y y xt t

t t

y xt t

t

y x

t tE z z t E z z t

z

H z t H z t E z t dtt z

tH z t E z t dt

z

t tH z t E z t

z

Applying the mid-point rule / Wende die Mittelpunktsregel

an

FD Method – 1D Wave Equation – Poynting Vector – Energy Density

Flow / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Poynting-Vektor – Energiedichtefluss

0 0 00

1 1( , ) ( , ) , ,

2 2 2y y x xt t t

H z t H z t E z z t E z z tt z

ref

ref 00 0

ref 0

ref

1=

1 V/m

z x

c c

E

ref ref0

0

ref ref 0

ref

ref refref ref refref ref ref ref

ref ref ref ref ref

2ref

em zem z em ref em ref ref refref

ˆ

ˆ

ˆ

x x

y y

zt t t t

c

c c c

E E E

E EH H H H E E

c Z

ES S S S E H

Z

ref refref ref 0 ref 0 0

ref refref ref

ref0 ref 0 0

ref refref ref

1 1 ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2

1 1 1 ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2

y y x x

y y x x

t z t tE H z t E H z t E E z z t E z z t

z c

t z t tH z t H z t E E z z t E z z t

z cE

0 0 0

refref ref

1 1 ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2y y x xt t t

H z t H z t E z z t E z z tc

FD Method – 1D Wave Equation – Poynting Vector – Energy Density

Flow / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Poynting-Vektor – Energiedichtefluss

( , ) ( , 1) ( 1, ) ( 1, )ˆ ˆ ˆ ˆ

2z t z t z t z tn n n n n n n n

y y x xt

H H E E

0 0 0refref ref

0 0 0

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( , ) , ,2 2 2

y y x x

y y x x

t t tH z t H z t E z z t E z z t

c

t t tH z t H z t E z z t E z z t

em

em

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )z x y

t t t

S z t E z t H z t

S R E R ×H R

( , ) ( , ) ( , )em

ˆ ˆ ˆz t z t z tn n n n n ny y xS H E

FD Method – 1D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel

00 0

0

2( 1)1 cos cos 2 0

( ) 2

0 else / sonstn

n

RC

f nt f t t nT T

f t n f

Raised cosine pulse with n cycles / Aufsteigender Kosinus-Impuls mit n Zyklen

2

0 0 00

1 21 cos cos 2 0 2

2( )

0 else / sonstRC

f t f t t T Tff t

Raised cosine pulse with 2 cycles / Aufsteigender Kosinus-Impuls mit 2 Zyklen

Time / Zeit t

00

1f

T

00

2

T

Frequency / Frequenz

Circular Frequency / Kreisfrequenz

02T T

0T

2( )RCf t

FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel

0e 0 RC2 RC2

0

( , ) ( ) ( , )x xz z

J z z t f t E z t f tc

Electric current density excitation: broadband pulse / Elektrische Stromdichteanregegung: breitbandiger Impuls

RC2

1

1

e m 1

( , )

( , )

( , )

x

y

z

f t

E z t

H z t

S z t

Sn

ap

sh

ots

/ S

ch

nap

psch

üsse

Source point / Quellpunkt

xE xE

yH yH

emzS emzS

End of Lecture 3 /Ende der 3. Vorlesung