UniversitasGadjahMada FakultasTeknik’ Jurusan’Teknik’Sipil ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/statistika/ST07 Rentang Keyakinan.pdf · Statistika’ Rentang’Keyakinan’ ’

Statistika Rentang Keyakinan

15-‐Oct-‐15

h2p://is7

arto.staff.ugm.ac.id

1

Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi S2 Teknik Sipil

Rentang Keyakinan •  Es7masi Parameter •  Distribusi probabilitas memiliki sejumlah parameter. •  Parameter-‐parameter tsb umumnya tak diketahui. •  Nilai parameter tersebut diperkirakan (di-‐es7masi-‐kan) berdasarkan nilai yang diperoleh dari pengolahan data.

•  Es7masi •  Es7masi tunggal (point es)mates) •  Rentang keyakinan (confidence intervals)

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


2

Rentang Keyakinan •  Es7masi tunggal •  Contoh

•  Nilai rata-‐rata sampel sbg es7masi nilai rata-‐rata populasi.

•  Nilai simpangan baku sampel sbg es7masi nilai simpangan baku populasi.

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


3

X →µ

sX →σX

Rentang Keyakinan

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


4

•  Es7masi parameter θ

θ̂

estimasi! → θ

parameter!

Dicari suatu interval [L,U] yang memiliki probabilitas (1 – α) bahwa interval tsb mengandung θ.

prob(L < θ < U) = (1 – α)

L = batas bawah rentang keyakinan. U = batas atas rentang keyakinan. (1 – α) = 7ngkat keyakinan (confidence level, confidence coefficient). L dan U = variabel random

à Pers (1)

Rentang Keyakinan •  Contoh •  Data debit Sungai A selama tahun 1981 s.d. 2000 menunjukkan bahwa debit rata-‐rata adalah 77 m3/s. •  Kita dapat memperkirakan debit rata-‐rata Sungai A adalah 77 m3/s.

•  Kita menyadari bahwa perkiraan tsb dapat salah; bahkan dari sisi penger7an probabilitas, kita tahu bahwa debit rata-‐rata sama dengan 77 m3/s adalah hampir 7dak mungkin terjadi:

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


5

prob Q = 77 m3 s( ) = 0

Batas Bawah dan Batas Atas •  Metode Ostle: method of pivotal quan))es •  Dicari variabel random V yang merupakan fungsi parameter θ (θ = unknown), tetapi distribusi V ini 7dak bergantung pada parameter yang 7dak diketahui.

•  Ditentukan v1 dan v2 sedemikian hingga:

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


6

prob v1 <V < v2( ) =1−α à Pers. (2)

Batas Bawah dan Batas Atas •  Metode Ostle: method of pivotal quan))es

•  Persamaan di atas diubah kedalam bentuk prob(L < θ < U) = 1− α

•  L dan U adalah variabel random dan fungsi V, tetapi bukan fungsi θ.

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


7

prob v1 <V < v2( ) =1−α

Interval Keyakinan: μ suatu distribusi normal, σ tidak diketahui

•  Mencari interval [L,U] yang mengandung µ, prob(L < µ < U) = 1 – α

•  Misalkan variabel random V:

•  V berdistribusi t dengan (n – 1) degrees of freedom •  n adalah jumlah sampel yang dipakai untuk menghitung nilai rata-‐rata sampel,

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


8

V =

X −µsX

X

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


9

V =

X −µsX

à berdistribusi t?

•  Buk7

Distribusi t: X =Y

ν

U, ν = degree of freedom

V =X −µ

sX

=X −µ

sX

2 n=

X −µ( ) σs

X

2 σ n=

X −µ( )σ n

⋅1

sX2 σ2

=X −µ( )σ n

⋅n−1

Xi −X( )2∑ σ2=Y ⋅

ν

U

→Y =

X −µ

ν n, U =

Xi −X( )2∑σ2

, ν = n−1

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


10

•  Pers (2):

prob v1 <V < v2( ) =1−α ⇒ prob v1 <

X −µsX

< v2

$

%&

'

() =1−α

luas = (1 – α) luas = αa luas = αb

atα b

t α−1

αa + αb = α

prob(t < v1) = αa

prob(t > v2) = αb

dengan (n – 1) degrees of freedom

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


11

prob v1 <X −µ

sX

< v2

"

#$

%

&' =1−α

prob tαa ,n−1 <X −µ

sX

< tαb ,n−1

"

#$

%

&' =1−α

prob X + tαa ,n−1 ⋅ sX <µ < X + tαb ,n−1 ⋅ sX( ) =1−α

ℓ u

ℓ = X + tαa ,n−1 ⋅ sX

u = X + tαb ,n−1 ⋅ sX

Jadi, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan:

sX = sX n

tαa ,n−1→ tabel distribusi t

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


12

•  Jika dikehendaki probabilitas rentang keyakinan simetris, maka v1 dan v2 dipilih sedemikian hingga prob(t < v1) = prob(t > v2).

•  Karena simetri, maka αa = αb = α/2 •  Yang dicari adalah rentang keyakinan (1 – α) = 100(1 – α)% à maka: prob(t < v1) = α/2 = prob(t > v2)

luas = (1 – α)/2 luas = (1 – α)/2

luas = α/2 luas = α/2

tα 2 = −t1−α 2

t1−α 2

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


13

luas = 1 – α/2 luas = 1 – α/2

luas = α/2 luas = α/2

2αt 21 α−t

2αt 21 α−t

luas = 1 – α luas = α/2 luas = α/2

21 α−− t

Distribusi t

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


14

ℓ = X − t1−α 2,n−1 ⋅ sX

u = X + t1−α 2,n−1 ⋅ sX

•  Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan jika probabilitas rentang keyakinan simetris adalah:

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


15

luas = 1 – α luas = 1 – α luas = α luas = α

n  Kadang dikehendaki probabilitas rentang keyakinan satu sisi q  batas bawah à prob(t < v1) = α q  batas atas à prob(t > v2) = α

prob V > v1( ) =1−α ⇒ probX −µ

sX

> v1

$

%&

'

() =1−α

prob V < v2( ) =1−α ⇒ probX −µ

sX

< v2

$

%&

'

() =1−α

αt α−1t

Distribusi t •  Notasi •  tγ,n = nilai t sedemikian hingga probabilitas variabel random t dengan n degrees of freedom adalah lebih kecil daripada γ.

•  misalkan: t0.95,50 = nilai t sedemikian hingga prob(t < t0.95,50) = 0.95 untuk t yang memiliki 50 degrees of freedom.

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


16

Distribusi t •  Dapat dibaca di tabel distribusi t •  Tabel Distribusi t

•  Dapat dihitung dengan perintah/fungsi MSExcel •  T.DIST(t,ν,true)

•  menghitung nilai prob(T < t) •  untuk menghitung nilai prob(T > t) à 1 – T.DIST(t,ν,true) •  t = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusinya •  ν = degree of freedom •  one-‐tailed distribu)on

•  T.INV(p,ν) •  mencari nilai t jika nilai p = prob(T < t) diketahui •  one-‐tailed distribu)on

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


17

Distribusi t

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


18

untuk 50 degrees of freedom

t = 1.6

t = 1.6 t = –1.6

t

0.95

t –t

0.95

prob(T < 1.6) = T.DIST(1.6,50,TRUE) = 0.942

prob(T < 1.6) = 1 – T.DIST.RT(1.6,50) = 0.942

prob(–1.6 < T < 1.6) = 1 – T.DIST.2T(1.6,50) = 0.884

prob(T < t ) = 0.95

t = T.INV(0.95,50) = 1.68

prob(-‐t < T < t ) = 0.95

t = T.INV.2T(1-‐0.95,50) = 2

Rentang Keyakinan: µ suatu distribusi normal, σ diketahui

•  Apabila variansi populasi diketahui, maka variabel random V didefinisikan sbb.:

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


19

V =

X −µσX

, σX = σX n

à V berdistribusi normal

Rentang Keyakinan: µ suatu distribusi normal, σ diketahui

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


20

•  Rentang keyakinan

ℓ = X + za ⋅σX

n

u = X + zb ⋅σX

n bz

1−α αb αa

ℓ = X − z1−α 2 ⋅σX

n

u = X + z1−α 2 ⋅σX

n zα 2 = −z1−α 2

z1−α 2

1−α α 2 α 2

•  Jika probabiitas rentang keyakinan diinginkan simetris

za

Rentang Keyakinan: σ2 suatu distribusi normal •  Mencari interval [L,U] yang mengandung σ2 dengan peluang prob(L < σ2 < U) = 1 – α. •  Didefinisikan variabel random V:

• à V berdistribusi chi-‐kuadrat dengan (n – 1) degrees of freedom.

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


21

V =

n−1( ) sX2

σX2

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


22

prob v1 <V < v2( ) =1−α

prob v1 <n−1( ) sX

2

σX2

< v2

$

%&&

'

()) =1−α

Pilih:

v1 = χα 2,n−12

v2 = χ1−α 2,n−12

prob χα 2,n−12 <

n−1( ) sX2

σX2

< χ1−α 2,n−12

%

&''

(

)** =1−αsehingga:

atau:

probn−1( ) sX

2

χ1−α 2,n−12

< σX2 <

n−1( ) sX2

χα 2,n−12

%

&''

(

)** =1−α

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


23

§  Jadi batas bawah dan batas atas rentang yang mengandung σX2 dengan 7ngkat keyakinan (1 – α) adalah:

ℓ =n−1( ) sX

2

χ1−α 2,n−12

u =n−1( ) sX

2

χα 2,n−12

•  batas bawah:

•  batas atas:

Catatan: X berdistribusi normal

χ2 berdistribusi chi-‐kuadrat

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


24

§  Distribusi chi-‐kuadrat 7dak simetris:

sX2 − ℓ ≠ u − sX

2

n » → (n – 1) » → distribusi mendeka7 distribusi simetris,

sX2 berada kira-‐kira di tengah-‐tengah rentang [L,U].

χα 2

2

χ1−α 2

2

1−α α 2

α 2

Rentang Keyakinan Satu Sisi •  Hanya diinginkan satu sisi rentang keyakinan saja •  hanya batas bawah rentang keyakinan µ

•  hanya batas atas saja rentang keyakinan µ

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


25

prob L < θ( ) =1−α ⇒ ℓ = X − t1−α ,n−1

prob θ <U( ) =1−α ⇒ u = X + t1−α ,n−1

15-‐Oct-‐15

h2p://is7


26

Documents

UniversitasGadjahMada FakultasTeknik’ Jurusan’Teknik’Sipil ...istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/statistika/ST07 Rentang Keyakinan.pdf · Statistika’ Rentang’Keyakinan’ ’