Université Paris VII – Denis Diderot Institut de Physique du Globe de

Universit Paris VII Denis DiderotInstitut de Physique du Globe de Paris

quipe de Sismologie UMR CNRS 7154

Mmoire

prsent par

Yann CAPDEVILLE

pour obtenir

LHabilitation Diriger les Recherches

Contributions aux problmes direct et inverse en sismologie

soutenu le 11/03/2011 devant le jury compos de Madame et Messieurs :Marianne Greff (Prsidente, IPGP)Jean Virieux (Rappoteur, LGIT)Yvon Maday (Rapporteur, Paris 6)John Woodhouse (Examinateur, Oxford)Claude Boutin (Examinteur, ENTPE)Nikolai Shapiro (Examinateur, IPGP)

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4 Place Jussieu, Tour 24, Case 89, 75252 Paris cedex 05 Tl : 01.44.27.24.69 Fax : [email protected]

Table des matires

Rsum sur loriginalit des recherches 5

1 Expos synthtique des recherches 7

1.1 Introduction au cadre de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Type de donnes en imagerie sismique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2 Le problme direct en sismologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.3 Le problme inverse en sismologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Mon travail dans ce cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 Contributions au problme direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2 Contributions au problme inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.3 Homognisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Rfrences 38

2 Persectives de recherche court et moyen termes 39

2.1 Perspectives court terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Perspectives moyen ou long termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 CV, activit dencadrement, liste des publications 43

3.1 CV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Activits dencadrement, denseignement et administratifs . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Collaborations et sjour ltranger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Transfert de technologie, relations industrielles et valorisation . . . . . . . . . . 45

3.5 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3

4 TABLE DES MATIRES

3.5.1 Publications dans des revues de rang A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5.2 Brevet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5.3 Communications orales et posters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6 Recueil des articles et travaux significatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6.1 Normal modes Born, 2005, GJI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6.2 SEM-Normal mode soupling, 2003, GJI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.6.3 Stacked sources waveform tomography, 2005, GJI . . . . . . . . . . . . 93

3.6.4 Shallow layer correction, 2008, GJI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.6.5 Non periodic homogenization, 1-D case, 2010, GJI . . . . . . . . . . . . 123

3.6.6 Non periodic homogenization, 2-D P-SV case, 2010, GJI . . . . . . . . . 137

TABLE DES MATIRES 5

Rsum sur loriginalit des recherches

Le cadre de ma recherche est principalement centr sur la sismologie comme outil permettantdimager lintrieur de la terre. Ce cadre ma amen contribuer aux tudes la fois du prob-lme direct et du problme inverse en sismologie. Pour ce qui est du problme direct, jai surtouttravaill sur les mthodes de modes propres et sur les lments spectraux. Mes principales contri-butions pour le problme direct ont t le dveloppement dun couplage entre les lments spec-traux et la mthode des modes propres pour la terre lchelle globale et le dveloppement dunemthode base sur les perturbations au premier ordre des modes propres proche des mthodesdadjoints utilises pour le problme inverse. Ces travaux mont naturellement amen min-tresser aux mthodes de tomographie bases sur linversion des formes dondes compltes dessignaux sismiques. Jai dvelopp une mthode utilisant la mthode couple lments spectraux- modes pour rsoudre le problme direct et les perturbations de modes pour calculer les drivespartielles des formes dondes par rapport aux paramtres du modle. Loriginalit de lapprochedveloppe ici est lie lutilisation des formes dondes sommes pour toutes les sources pluttque les formes dondes individuelles comme cela est fait classiquement. Lintrt de cette astuceest de diminuer le cot de calcul de linversion de faon considrable. Finalement, les diffi-cults lies au maillage des modles lastiques pour les lments spectraux et celles lies laparamtrisation du problme inverse, rencontres lors de ces travaux mont amen mintresser lhomognisation de lquation des ondes lastiques. Ma contribution dans ce domaine a tle dveloppement dune mthode dhomognisation deux chelles valable pour les milieuxnon priodiques que sont les milieux lastiques gologiques. De mon point de vue, lutilisationde lhomognisation en sismologie est une avance importante. Ces travaux permettent de fairele lien entre le modle tomographique (ne contenant que des grandes chelles) obtenu par uneinversion de formes dondes et le modle lastique rel (contenant des petites chelles).

Mes perspectives de recherches sont nombreuses, mais la principale moyen terme est de ter-miner les avances sur lhomognisation en sismologie en dveloppant un outil complet adaptaux milieux gologiques 3-D et en lappliquant un certain nombre de problmes en go-physique. Parmi ceux-ci, je vais mintresser la gnration anormale dondes S par les ex-plosions, aux problmes des htrognits de petites chelles proches de la surface libre et ladistinction de lanisotropie induite de lanisotropie intrinsque. long terme, mon objectif estde contribuer au dveloppement de limagerie sismique en reprenant mes travaux sur les sourcessommes en y incluant les rsultats de lhomognisation.

6 TABLE DES MATIRES

Chapitre 1

Expos synthtique des recherches

1.1 Introduction au cadre de recherche

En sismologie, deux grands axes de recherche peuvent tre dgags : le premier concerne ltudedes sources sismiques et lautre ltude des structures du sol. Pour le premier, on sintresse auxsignaux sismiques gnrs par un tremblement de terre afin de contraindre notre comprhensionde la rupture le long dune faille sismique. Dans ce cas, on considre en gnral comme connule milieu gologique transportant les ondes sismiques pour ne sintresser quau processus quiles a gnres. Pour le deuxime, on sintresse des signaux sismiques afin de contraindre lemilieu travers par les ondes lastiques. Dans ce cas, on considre comme connu le processus quignre les ondes sismiques pour ne sintresser principalement qu la structure lastique ayantservi de support aux ondes.

Lun ayant besoin de lautre, ces deux axes de recherche ne sont bien sr pas dcorrls. Ils ontnotamment en commun la rsolution du problme direct (la propagation des ondes pour milieulastique et une source donns) et les observations.Dans ce cadre trs gnral, mon travail sest principalement ax sur la rsolution du problmedirect et son application au problme de limagerie sismique par inversion de la forme donde.

Bien quayant une signification plus spcifique dans le domaine de lexploration ptrolire, jem-ploierai le terme imagerie sismique pour dsigner lutilisation de donnes sismiques pourretrouver des informations sur les proprits du sous-sol par la rsolution dun problme inverse.

Dans cette introduction au contexte de mon travail de recherche, je vais dabord brivement par-ler des donnes utilises dans ce domaine, puis des diffrentes mthodes utilises pour rsoudrele problme direct et enfin du problme inverse. Cet ordre de prsentation (dabord les donnes,puis le problme direct et enfin le problme inverse) peut sembler naturel dans le sens o lesobservables conditionnent le problme direct qui lui mme impose des contraintes sur la rsolu-tion du problme inverse. En pratique, linteraction donnes-problme direct-problme inverse

7

8 CHAPITRE 1. EXPOS SYNTHTIQUE DES RECHERCHES

FIGURE 1.1 Un exemple de don-ne brute pour le sisme du 07/09/97,Ms=6.8 au Venezuela. En bas, le grandcercle entre la source et la station. droite, le signal enregistr sur la com-posante verticale de la station SSB.

est plus complexe que ce simple enchanement. En effet, notre capacit rsoudre le problmedirect conditionne aussi le choix des donnes de mme que notre capacit rsoudre le problmeinverse conditionne le problme direct et les donnes. Par exemple, le succs de lutilisation destemps darrives des phases sismiques est, par bien des gards, d la rapidit et la simplicitdu problme direct et du problme inverse associs. Cette remarque tant faite, je men tiendrai une prsentation simplifie et rapide des donnes puis du problme direct et enfin du problmeinverse utilis en sismologie pour les problmes de tomographie et dimagerie.

1.1.1 Type de donnes en imagerie sismique

La donne de base en sismologie ou en exploration sismique est lenregistrement des dplace-ments du sol (ou de leurs drives en temps) gnrs par un tremblement de terre, par une sourceactive (une explosion ou un tir de canon air) ou par une source de bruit (un exemple de signalbrut enregistr par un sismomtre est donn figure 1.1). Ce type de donnes peut tre enregistrsur trois composantes ou seulement sur la composante verticale et dans des bandes de frquencesvariables selon le type de rcepteurs. Cette donne, la plus gnrale, est appele la forme donde.Elle contient linformation sur le sous-sol la plus riche disponible en sismologie.Bien que ce soit de ce type de donnes que lon pourrait extraire le plus dinformations sur lemilieu travers par les ondes, la forme donde nest jamais utilise brute en pratique, du moinsjusqu prsent. La principale raison de ce fait est que le problme inverse associ la formedonde brute est trop coteux et trop complexe pour tre envisag pour linstant (Ceci est nan-moins en train de changer pour la forme donde dans des bandes frquences rduites, cest direpour des donnes filtres). En gnral, les mthodes dimageries sont bases sur des donnesrduites pour lesquelles le problme direct et le problme inverse sont beaucoup plus simples(du moins avec certaines hypothses) que pour la forme donde brute. Ces donnes rduites sontprincipalement constitues des temps darrives des principales phases sismiques (ondes P, S, PP,

1.1. INTRODUCTION AU CADRE DE RECHERCHE 9

etc) pour les ondes de volumes, des vitesses de phases ou de groupe pour les ondes de surface(ondes de Love, de Rayleigh, phases X) et des frquences de modes propres de la Terre. Pourlexploration sismiques, ce ne sont pas forcement les temps darrives qui sont utiliss directe-ment mais plutt la cohrence des signaux diffrents offsets, mais lide est similaire que pourles temps darrives ou les vitesses de phases : cest linformation de phase qui prime.

Enfin, un nouveau type de dobservables est apparu rcemment avec les corrlations du bruitsismique entre deux stations. Il a t montr que ces corrlations, dans le cas idal, permettent deretrouver les fonctions de green entre les deux stations (Shapiro & Campillo, 2004). Ces donnessont de plus utilises pour faire de limagerie de la crote, mais encore une fois seules les vitessesde phases des ondes de surface identifies sur les corrlations de bruit sont utilises.

1.1.2 Le problme direct en sismologie

Lquation de base en sismologie est lquation des ondes lastiques qui, si on nglige la gravit,peut scrire comme,

ttu = f , (1.1)o u(x, t) est le vecteur dplacement du sol en tout point x et temps t, tt la drive seconde entemps, le vecteur gradient ( et la divergence) (x, t), le tenseur des contraintes et f(x, t)la force externe rsultant par exemple dun tremblement de terre. Cette quation est associe larelation constitutive entre la contrainte et la dformation, qui dans le cas lastique peut scrire

= c : (u) , (1.2)

o (u) = 12(u+tu) est le tenseur de dformation, t la transposition et c le tenseur lastique.

Pour complter ces quations, on ajoute des conditions initiales sur le dplacement et la vitesseainsi que des conditions limites aux bords du domaine. Pour lquation des ondes lastiques ouacoustiques dans un cadre plus gnral (avec la gravit, lattnuation intrinsque, ...) on pourrapar exemple se rfrer Dahlen & Tromp (1998).

Le systme dquation ci-dessus est un systme dquations aux drives partielles hyperboliquesqui ne prsente pas de difficult thorique particulire pour sa rsolution numrique (sauf dans lecas o les perturbations au potentiel de gravit ne peuvent tre ngliges en prsence de liquidecomme cest le cas dans la graine externe et pour les trs longues priodes, voir par exempleDahlen & Tromp 1998 ou Chaljub & Valette 2004). Cependant, pour les applications pratiquesdans la terre, le nombre de longueurs donde propager, le nombre de sources et rcepteurs prendre en compte, la complexit des modles gologiques (par modle gologique jentends icila description de (, c) en fonction de la position) peuvent tre tels que cette rsolution se rvletre extrmement difficile, en particulier si on a besoin deffectuer cette rsolution rapidementdans loptique de rsoudre le problme inverse. Il existe de nombreuses mthodes pour rsoudreces quations et je ne vais brivement parler que de certaines dentre elles et surtout celles quejai rencontres, de plus ou moins prs, dans mon travail.


La mthode des rayons est sans doute un des outils les plus populaires en sismologie. Cetoutil est base sur une approximation hautes frquences de lquation des ondes et permet demodliser trs efficacement des donnes rduites comme les temps darrives des premiresphases des ondes de volumes. Sa facilit dinterprtation, lis sa similitude avec loptiquegomtrique, ainsi que sa grande efficacit expliquent cette popularit. Il existe de nombreusesvariantes et de trs nombreuses applications de cette mthode. Une bonne introduction sur lesrais en sismologie est donne par Slawinski (2009).

La mthode des modes propres est aussi une mthode trs populaire notamment en sismolo-gie globale o les ondes de surface sont trs utilises. Elle consiste calculer dabord lesmodes propres dun modle de terre en rsolvant lquation des ondes en frquence sans sec-ond membre, puis obtenir des sismogrammes synthtiques en les sommant. Contrairementaux tracs de rayons qui sont bass sur une hypothse hautes frquences, les mthodes demodes propres rsolvent lquation des ondes sous sa forme la plus complte (notamment enincluant la perturbation au potentiel de gravit). Nanmoins, le calcul des modes propres nepeut se faire efficacement que pour des milieux 1-D, cest dire pour des milieux stratifis ou symtrie sphrique pour la terre globale. La mthode pour calculer les modes est en gnralbase sur une dcomposition spectrale horizontalement (des harmoniques sphriques pour laterre globale), une rsolution des quations sous forme forte verticalement et en frquences.Toute la difficult consiste trouver toutes les frquences propres. Pour des dtails sur ce typede mthode, on pourra consulter par exemple Takeuchi & Saito (1972), Woodhouse (1988),Dahlen & Tromp (1998) ou, pour une version simplifie, ma thse de doctorat (Capdeville,2000) et les rfrences qui sy trouvent. Ces mthodes permettent de calculer trs efficace-ment, pour un modle de terre 1-D donn, les donnes rduites comme les courbes de vitessesde phases et de groupes des ondes de surface.

Les perturbations des modes propres en milieux faiblement htrognes. Comme il la t ditci-dessus, les calculs des modes propres ne sont efficaces que pour des milieux 1-D. Ceci estlargement suffisant si on ne sintresse quaux vitesses de phases et de groupe des ondes desurface, et que lon considre que la terre est suffisamment peu latralement htrogne pourquun modle moyen 1-D par couple source-rcepteur constitue une bonne approximation.Maintenant, si on sintresse la forme dondes de certaines phases, que lon considre que leshtrognits latrales sont de faibles amplitudes, les mthodes de perturbations des modespropres sont adaptes. Ces mthodes sont asymptotiques, elles sont dautant plus prcises quelamplitude des contrastes dhtrognits est faible. Elles permettent de prendre en comptela propagation des ondes dans un milieu 3-D partir de la base des modes propres 1-D. Il existede nombreuses rfrences sur ce sujet, par exemple Woodhouse & Dahlen (1978), Tanimoto(1984), Romanowicz & Snieder (1988), Lognonn & Romanowicz (1990), Dahlen & Tromp(1998), etc.

les diffrences finies. Si on veut saffranchir de la limitation de faible amplitude des htrognits,il nexiste pas beaucoup dautre choix que dutiliser des mthodes numriques pour rsoudredirectement lquation des ondes (ou lquation de leikonal si on sintresse aux temps dar-rives des ondes balistiques. Ce genre de mthode commence a tre appliqu par lindustrieptrolire pour des migrations itratives). Une des mthodes les plus populaires et les plusutilises est sans doute la mthode des diffrences finies. Les diffrences finies, en temps ou


en frquence, sont bases sur une discrtisation des quations du mouvement sous forme forte(base sur la version locale des quations de llastodynamique). Elles ont souvent t util-ises avec succs pour rsoudre lquation dondes deux ou trois dimensions lchellergionale (voir par exemple Alterman & Karal 1968; Alterman et al. 1970; Boore 1972; Al-ford et al. 1974; Kelly et al. 1976; Virieux 1986 ou Moczo et al. (2007) et les nombreusesrfrences qui sy trouvent. Certaines applications deux dimensions (axisymtrique) pourles ondes SH ont t un succs dans la Terre globale (e.g. Chaljub & Tarantola, 1997). Cettemthode est trs comptitive et trs utilise en gophysique acadmique et industrielle. Saprincipale limitation est sans doute la surface libre avec topographie qui est difficile prendreen compte avec prcision avec cette mthode, comme cest le cas pour la plupart des mthodesrsolvant lquation des ondes sous forme forte.

les lments frontires. Les lments frontires (voir par exemple Bouchon & Sanchez-Sesma2007) sont bass sur le thorme de reprsentation qui permet de ne discrtiser que les fron-tires dlments. Cette mthode est trs efficace tant que les fonctions de Green ncessaires la mthode peuvent tre calcules simplement.

les lments finis Les lments finis, quant eux, sont bass sur une formulation faible (basesur la version intgrale des quations de llastodynamique) des quations, en temps ou enfrquence, qui intgre naturellement les conditions aux limites telle que la surface libre etdonc parfaitement adapts aux ondes de surface. Ces mthodes, avec des bases polynmialesdordre faible, sont malheureusement peu prcises, dispersives (Dupond, 1973; Backer, 1976;Marfut, 1984) et finalement assez peu utilises en gophysique.

les mthodes spectrales ou pseudo spectrales rsolvent les quations des ondes sous formeforte et sont bases sur un dveloppement en Fourier ou en polynmes des solutions en es-pace (voir par exemple Gazdag (1981) ou Kosloff et al. (1990)). Ces mthode sont parmi lesplus efficaces pour des milieux lastiques relativement simples, mais souffrent de difficultsen prsence dune surface libre avec topographie et des milieux complexes avec des disconti-nuits. Ces mthodes sont finalement assez peu utilises en gophysique.

les lments spectraux La mthode des lments spectraux (Patera, 1984; Maday & Patera,1989) est une mthode dlments finis qui utilise des bases polynmiales orthogonales dor-dre lev, issues des mthodes pseudo-spectrales. Le choix de cette approximation spatialeet dune quadrature numrique adapte conduit des rsultats remarquables de convergencenotamment dans lapproximation des systmes elliptiques dquations aux drives partielles(Azaiez et al., 1994). Cette mthode, applique lquation de llastodynamique, donnedes rsultats tout aussi remarquables dans le sens o toutes les ondes, depuis les ondes devolume jusquaux ondes de surface, sont bien modlises. De plus, pour des maillages hex-adriques, cette mthode conduit par construction une matrice de masse diagonale, ce quipermet dutiliser des schmas en temps explicite et dune grande efficacit. Il existe de nom-breuses rfrences sur ce sujet (voir Priolo et al. 1994; Seriani & Priolo 1994; Faccioli et al.1996; Komatitsch & Vilotte 1998; Komatitsch & Tromp 1999; Vai et al. 1999 ou Chaljub et al.2007 et les rfrences qui sy trouvent).

Les mthodes de Galerkin discontinues ; Depuis peu, les mthodes de Galerkin discontinuessont applique lquation des ondes en sismologie (voir, par exemples, Dumbser & Kser(2006), Grote et al. (2006), Etienne et al. (2009)). Pour ce type de mthodes, la diffrence des


mthode de type lments finis comme les lments spectraux, la continuit des solutions entreles lments nest pas assures par construction, mais par des changes de flux (il existeplusieurs choix de flux possibles). Ces mthodes ont lavantage de pouvoir accommodernaturellement les discontinuits du dplacement pour, par exemple, des interfaces solides-fluides ou de part et dautre dune faille en rupture. Cette mthode a aussi lavantage dtrebien adapte aux maillages ttradriques et de permettre les discontinuits dordre polynomialdun lment lautre.

Il existe de nombreuses variantes de toutes ces mthodes (en temps, en frquence etc), mais, pourlinstant, il nexiste pas de solution numrique universelle dominant toutes les autres et la plupartsont couramment utilises et ont leurs adeptes selon les applications.

1.1.3 Le problme inverse en sismologie

Comme il la t dit plus haut, un des objectifs de la sismologie est de retrouver des informa-tions sur les proprits structurales, de densit, lastiques, an-lastiques, etc, de la Terre. Ondsigne cet objectif sous les noms de problme inverse, imagerie, tomographie et dautres nomsencore selon les variantes des mthodes, selon les communauts scientifiques et les contextesdans lesquels ces techniques sont utilises. Compar aux problmes dimagerie rencontrs dansle domaine mdical, le problme en sismologie prsente bien des difficults. En effet, un desatouts de limagerie mdicale est que les proprits acoustiques du corps humain sont bien con-nues et varient trs peu par rapport celles de leau (voir table 1.1). Dans ce cas, en choisissantune source dondes acoustiques pour laquelle la mthodes des rayons est valable, cest dire desuffisamment hautes frquences, le problme inverse pour repositionner les rflecteurs est trivial.En effet, au vu des valeurs prsentes table 1.1, considrer le corps humain comme homogne estune bonne approximation. Dans ce cas, les rayons des ondes acoustiques sont de simples droitesentre les sources et les rcepteurs et, connaissant la vitesse des ondes acoustiques, linversionest une simple conversion du temps denregistrement en distance la source. Cest le principede base de lchographie mdicale, technique qui permet dimager lintrieur du corps humainsans avoir daccs quantitatif aux proprits lastiques de la zone image. Avec ces mthodes,les rflecteurs (interface avec un contraste de vitesse) sont seulement positionns spatialement.Pour le cas de la terre, bien que lide soit la mme que pour limagerie mdicale, les choses sonten pratique plus compliques.

trs grandes chelles (plusieurs milliers de kilomtres), la principale difficult vient des sourcessismiques et de la rpartition des rcepteurs. ces chelles, seules les sources sismiques na-turelles comme les tremblements de terre, et ventuellement quelques explosions nuclaires,ont lnergie ncessaire pour clairer de telles distances. Par ailleurs, les rcepteurs sismiquesne sont places que trs irrgulirement sur la Terre (trs peu de stations au fond des mers etsur terre, la plupart des stations sont placs dans lhmisphre nord). En consquence, mme sila terre grande chelle est relativement bien connue et que tracer des rayons dans des mod-les de rfrence (comme, par exemple, le modle PREM, Dziewonski & Anderson 1981) estrelativement simple, les mthodes types rflections utilises en chographie mdicale sont dif-


materiaux vitesse (m/s)lair 330la graisse 1450les tissus 1540le cerveau 1541le sang 1570leau 1480

TABLE 1.1 Vitesses des ondes acoustiques dans le corps humain en m/s

ficilement transposables la terre grande chelle. Les mthodes de tomographie (qui existentaussi en imagerie mdicale) bases sur un problme inverse plus sophistiqu quune simple con-version temps-distance sont alors utilises. Cette technique nest pas adapte pour positionnerdes rflecteurs, mais permet daccder certaines proprits lastiques de la terre. Linversion sefait le plus souvent avec les donnes rduites comme les temps darrive des principales ondesde volume balistiques et les vitesses de phase et de groupe, mais aussi avec la forme dondesen association avec un problme direct appropri. De nombreux modles de manteau ont tainsi obtenus avec les temps darrives de certaines ondes balistiques en utilisant la mthodedes rais dans un modle de rfrence symtrie sphrique (il existe un nombre importants depublications sur le sujet, dont, par exemple Romanowicz (2003), pour une revue sur les mod-les tomographiques globaux). De nombreux modles du manteau suprieur sont obtenus grceaux mesures des vitesses de phase des ondes de surface. Les formes dondes ont t utilisestrs tt associes un problme direct une dimension (Woodhouse & Dziewonski, 1984), puisassocies un problme direct 2-D (Li & Romanowicz, 1995). Enfin, les formes des ondescommencent tre timidement utilises grande chelle associ un problme direct 3-D (leslments spectraux) (Fichtner et al., 2009). Pour linstant ces travaux utilisent des fonctions cotsqui favorisent largement la phase du signal, et dans un certain sens, ne sont pas compltementdes inversions de forme donde au sens strict.

Pour les chelles locales (de quelques kilomtres lchelle de la crote), dun ct le problmese rapproche des conditions de lchographie mdicale du point de vue des sources et des rcep-teurs, mais sen loigne du point de vue de la connaissance du modle de rfrence. En effet, ces chelles, on utilise des sources actives (explosifs, canons air, camions vibrateurs) con-trles et un grand nombre de rcepteurs bien rpartis. Par contre les variations des propritslastiques du sol cette chelle sont importantes (voir table 1.2) et a priori mal connues. De cefait, la technique lmentaire consistant simplement transformer laxe des temps en distancele long de rayons en ligne droite nest pas aussi simple pour la terre que pour le corps humain.Pourtant, dans le domaine de lexploration sismique, il existe nombre de mthodes bases sur lamme ide : la migration. Il existe un trs grand nombre de variantes de la mthode de migrationtrs utilise en exploration ptrolire (par exemple, migration zro offset aprs normal moveout (Claerbout, 1985), la migration de Kirchoff (Schneider, 1978), migration par retournementtemporel (Baysal et al., 1983), etc) et cela depuis longtemps (voir, par exemple, Bednar (2005) et


matriau onde P (km/s) onde S (km/s)eau 1.5granite 5.6 2.9grs 1.4-4.3 0.7-2.8calcaire 5.9-6.1 2.8-3.0argile 1.0-2.5 0.4-1.0

TABLE 1.2 Vitesses dondes P et S (en km/s) dans diffrents matriau de la crote.

les rfrences qui sy trouvent). Comme pour lchographie, les techniques de migration perme-ttent principalement de positionner des rflecteurs mais pas daccder aux paramtres lastiquesdu sous-sol explor. De plus, lide de la migration est dutiliser la cohrence en temps des tracesentre diffrents offsets aprs la migration, et donc seule une information de temps darrive dusignal sismique est utilise.

Pour aller plus loin, il a t reconnu trs tt en exploration sismique que lutilisation de la formedonde complte associe avec un problme direct adapt la gomtrie et des milieux forte-ment htrognes a un potentiel dinformations trs important. Bien quune mthode de typeMonte Carlo pour linversion serait lapproche la plus complte pour rsoudre ce type de prob-lme, seule les inversions locales de type moindre carr (Tarantola & Valette, 1982) ont tenvisages et testes sur des problmes ralistes. Un pas significatif vers ce type dimagerie a tfranchi lorsquil a t montr que le gradient de la fonction cot de problme inverse par rapportaux paramtres du modle peut tre calcul de faon trs efficace par la rsolution dun problmedirect et dun problme adjoint (Lailly, 1983; Tarantola, 1984). Ce type de mthode peut tre im-plement en temps (voir par exemple Tarantola (1986), Mora (1987)) ou en frquences (voir parexemple Pratt & Worthington (1990)). Du aux problmes de cot de calcul, de telles approcheset dalgorithme (problme des minimums locaux de la fonction cot de problme inverse), cetype de mthodes na commenc tre envisageables pour des cas rels que rcemment et desrsultats prometteurs sont montrs 2-D et 3-D (voir Virieux & Operto (2009) pour une revuede ce domaine).

Dune manire gnrale, il semble que lobjectif long terme des communauts travaillant lchelle globale et lchelle locale est bien daller vers linversion de la forme donde totale.Cet axe de recherche a toujours t en avance dans le domaine de lexploration ptrolire, maisfinalement, au moment o ces travaux commencent aboutir, les communauts travaillant grande chelle, voire lchelle globale, se rapprochent de plus en plus des techniques utilisesen exploration ptrolire.

1.2. MON TRAVAIL DANS CE CADRE 15

1.2 Mon travail dans ce cadre

Depuis le dbut de ma carrire en recherche, cest dire depuis mon stage de DEA, jai contribude manire plus ou moins significative la plupart des tapes mthodologiques de la sismolo-gie vue comme un outil pour imager la terre. Jai divis ces contributions en Contributions auproblme direct et Contributions au problme inverse bien que ces distinctions ne soient pastout fait videntes. Par exemple, la rsolution du problme direct oriente vers la rsolution duproblme adjoint pourrait se trouver dans la section problme inverse. Mon travail sur lho-mognisation appliqu lquation des ondes lastiques ayant des applications aussi bien dansla rsolution du problme direct que du problme inverse, se trouve dans une section part.

1.2.1 Contributions au problme direct

Les perturbations de modes propres au premier ordre : couplage de modes

Mon premier travail en sismologie a consist calculer leffet dun hypothtique point chaudsur les ondes de surfaces longues priodes. Ce travail a t publi dans larticle Capdeville et al.(2000). Les panaches mantelliques tant supposs constituer une htrognit de relativementfaible contraste en termes de vitesses sismiques et de densit, une mthode de perturbation parrapport un modle de rfrence sans le point chaud semble une bonne approche. Pour desdonnes longues priodes lchelle globale, pour un modle de rfrence symtrie sphrique(1-D), la mthode des modes propres est trs efficace. Si on rcrit les quations des ondesprsentes section 1.1.2 en frquence comme :

L()u = f (1.3)

avecL()u = 2u + Au (1.4)

o, par exemple, Au = dans le cas lastique sans gravit. La base de modes propres estconstitue de lensemble des solutions

L(k)uK = 0 , (1.5)

o k est la frquence propre associe aux modes uK . Ces solutions ne peuvent tre calculesde faon relativement simple uniquement pour les modles de terre symtrie sphrique, etdans ce cas, les modes sont dgnrs. Ceci explique quil y ait plusieurs modes propres uK parfrquences propres k, et cest pour cette raison que lon utilise deux indices K = (q, n, l,m)et k = (q, n, l), o q est le type de solution (sphroidale (Rayleigh) et toroidal (Love)), n estlordre radial, l lordre angulaire et m lordre azimutal. Pour des modles plus complexes brisantcette symtrie, on ne cherche pas les modes de faon direct, mais comme une solution perturbedun modle de rfrence 1-D. Au premier ordre (approximation de Born au premier ordre), la


perturbation de dplacement u due la perturbation du modle symtrie sphrique L scritcomme :

u(rr, t) v =

KK

gkk(t)

V

RK(rr)LKK(r)SKdr , (1.6)

o rr est la position du rcepteur, v est un vecteur rcepteur, RK(rr) un terme rcepteur associau mode K, SK un terme source associ au mode K , gkk un terme en temps qui nimplique queles frquences k et K et dont les expressions peuvent tre trouves dans Capdeville (2005), etle terme de couplage des modes K et K ,

LKK(r) = u?K(r) L(r)uK(r) . (1.7)

Lintgrale sur le volume de lquation (1.6) peut tre calcule grce une intgration numriqueou par une mthode spectrale. Pour une htrognit localise comme un point chaud, il estjudicieux de passer par une intgration numrique car la mthode spectrale ncessiterait un de-gr dexpansion trs lev pour reprsenter correctement lhtrognit. Lavantage de ce typede formulation est que lon peut examiner explicitement les couplages entre les diffrents har-moniques et les types de modes (Love et Rayleigh). Le dsavantage est le cot calcul qui aug-mente de faon vertigineuse avec le nombre de mode (avec la frquence la puissance 4 parpoint dintgration). Pour ce qui est de leffet de points chauds proprement dit, la conclusion dece travail est que cet effet est relativement faible et malgr la conclusion relativement optimistede larticle, il est clair quobserver cet effet sur les donnes longues priodes est difficile.

Les perturbations de modes propres au premier ordre : problme adjoint

Aprs ce premier travail sur les modes, jai repris cette mthode 4 ans plus tard avec pour objec-tif de calculer les drives partielles des fonctions de Green par rapport au paramtre dcrivantle modle de terre (drives de Frchet) du problme inverse de forme donde avec les sourcessommes lchelle globale (voir section 1.2.2). En effet, pour un modle de terre de dpart symtrie sphrique lapproximation de Born au premier ordre est un calcul exact des drives deFrchet. Il est possible de reprendre le travail de la section prcdente et de lappliquer directe-ment au problme du calcul des drives de Frchet. Cependant, dans le cas de terre globale,lintgrale de lquation (1.6) portant sur tout le volume de terre et plus seulement sur le volumetrs rduit dun panache mantellique, ce calcul devient vite extrmement lourd. Pour rduirece cot de calcul, une ide assez simple est dutiliser les rsultats de Lailly (1983) et Taran-tola (1984) montrant que le gradient de la fonction cot du problme inverse associ la formedonde peut tre calcul avec deux problmes directs seulement, un depuis la source et un adjointdepuis les rcepteurs et en convoluant ces deux champs de manire adquate en tous points de laterre. Ce rsultat peut tre facilement obtenu en partant des mmes quations qui aboutissent aucouplage des modes quations (1.6) pour aboutir :

u(rr, t) v =

V

+

B(r, , rr) L(r)F(r, t)ddr , (1.8)


o le champ calcul depuis les rcepteurs aux points dintgrations est,

B(r, t, rr) =

K

u?K(r)RK(rr)gak(t) , (1.9)

et celui depuis la source aux points dintgrations est,

F(r, t) =

K

uK(r)SKgbk(t) , (1.10)

o gak et gbk sont des fonctions du temps, qui nimpliquent que la frquence k, dont les expres-

sions peuvent tre trouves dans Capdeville (2005). La perturbation de dplacement v due uneperturbation du modle de terre donnant une perturbation L de loprateur lastique se calculecomme la convolution dun champ direct F et dun champ adjoint B, ces deux champs tantcalculs dans le modle de dpart symtrie sphrique. Avec un tel algorithme, si fmax est lafrquence maximum de la source, le cot calcul pour un point diffractant croit comme f 2max comparer avec f 4max quand on couple les modes. Cet algorithme rend possible lutilisation desmodes propres pour calculer les drives partielles dans le modle de dpart symtrie sphriquepour linversion de forme donde. Ce travail est publi dans Capdeville (2005) o des exemplesde comparaisons dans le cas anisotrope avec les lments spectraux sont donns. Cet algorithmepeut aussi tre utilis comme problme direct au premier ordre. Les limites dune telle utilisationsont montres dans Capdeville (2005).

Le couplage lments spectraux avec les modes

Comme il peut ltre vu dans les exemples donns dans Capdeville (2005), lutilisation de lamthode de perturbations au premier ordre pour la rsolution du problme direct est trs limite.En effet, les effets non linaires (diffractions multiples) apparaissent rapidement sauf pour destemps de propagation trs courts ou des modles 3D avec des amplitudes dhtrognits trsfaibles. lchelle globale, la crote et la couche D sont des zones suffisamment htrognespour rendre inutilisable les mthodes de perturbation, mme longue priode, sauf pour lesmodes de vibrations les plus graves. Pour la terre globale, une ide attrayante est dutiliser unemthode numrique directe non limite sur le type dhtrognit, mais numriquement lourde,pour rsoudre lquation des ondes dans la crote ou dans la couche D et une mthode demode o la terre peut tre considre comme symtrie sphrique. Cest sur cette ide de dpartqutait base la plus grosse partie de mon travail de thse. Par chance, en 1997, au dbut dece travail, les lments spectraux bass sur la quadrature de Gauss-Lebatto-Legendre venaientdtre introduits en sismologie lIPGP (Komatitsch, 1997; Komatitsch & Vilotte, 1998) et Em-manuel Chaljub commenait sa thse sur son application lchelle globale (Chaljub, 2000).Les lments spectraux tant la premire mthode numrique directe capable de rsoudre tousles types dondes avec prcision pour un modle de terre complexe, le couplage lments spec-traux - modes sest impos naturellement. Les lments spectraux sont bass sur la forme faiblede lquation des ondes. Cette dernire peut tre obtenue en multipliant lquation (1.1) par une


fonction de dplacement admissible w, en intgrant sur le volume et en utilisant la formule deGreen pour le terme lastique. La forme faible des quations est alors, pour tout dplacementadmissible w,

(ttu,w) + a(u,w) T,w = (f ,w) , (1.11)o

(u,v) =

+u(x).v(x)dx, (1.12)

a(u,w) =

+[u : c : w](x)dx (1.13)

etT,w =

(T.w)(x)dx . (1.14)

T est la traction appliqu par le domaine o les modes sont utiliss sur celui des lmentsspectraux. Les dfinitions de , + etc sont donnes figure 1.2.

FIGURE 1.2 Gauche : schma en coupe de la terre avec la surface libre () de rayon r,les zones solides (S) les zones fluides (F ), les interfaces solides-solides (FF ) et solides-fluides (FS). Droite : un exemple de dcomposition de domaine o les lments spectraux sontutiliss dans le domaine + et les modes dans . est linterface de couplage. Il ny a danscet exemple quune seule interface de couplage, mais il est possible den avoir plus notammentpour les applications la couche D (voir figure 1.3).

Le couplage seffectue par le terme de surface (1.14). La solution modale permet de calculer unoprateur A tel que

T = A(u) , (1.15)o u est le dplacement du ct des lments spectraux sur linterface de couplage. Cet opra-teur est un oprateur Dirichlet to Neumann (DtN) car il transforme une condition un dplacementen une condition limite en traction. Cet oprateur est global sur . Une des principales difficultsde ce couplage vient du fait que cet oprateur est calcul en frquence alors que les lmentsspectraux sont ici utiliss en temps. Cette oprateur ne pouvant pas tre numriquement calculsur une bande de frquence infinie, une troncature en frquence est introduite. Cette troncatureest quivalente un filtre passe bas, et ce genre de filtre est acausal. Loprateur causal A devient


donc numriquement acausal, ce qui devrait rendre le couplage impossible. La solution adopteici est une rgularisation avec un oprateur asymptotique de A vers les hautes frquences quipeut tre pass en temps analytiquement. En pratique, le couplage donne de trs bons rsultatscomme le montrent les publications Capdeville et al. (2003) et Capdeville et al. (2003). Cettemthode a t applique pour une tude des htrognits dans la couche D pouvant expliquerles anomalies observes sur les ondes Sdiff (To et al. (2005), voir figure 1.3), pour des tests devalidations (Capdeville et al., 2002; Capdeville, 2005; Capdeville & Marigo, 2008; Romanowiczet al., 2008; Panning et al., 2009) pour tester les modles tomographiques (Qin et al., 2006; Qinet al., 2008; Qin et al., 2009) et pour linversion de forme donde lchelle globale (Capdevilleet al., 2005).

FIGURE 1.3 Schma dun couplage lments spectraux - modes utilis pour la couche D. Leslments spectraux, utiliss pour la couche D, sont pris en sandwich entre deux domaines desolutions modales pour le manteau et la graine. Le maillage est reprsent pour deux rgionssur 6 et les couleurs reprsentent les variations de vitesses dondes S du modle SAW12d (Li &Romanowicz, 1996)

Comparaison lments spectraux - perturbations de modes

Une des difficults importantes des travaux de dveloppement de solutions numriques est lie leur validation. Cest un travail souvent difficile faute de solution de rfrence adquate. Pour


la terre lchelle globale et dans des modles symtrie sphrique, la solution modale nestpas une solution analytique (elle est quasi analytique pour une boule homogne, voir Capdeville(2000)), mais est dune prcision telle quon peut la considrer comme une solution de rfrencevis vis des lments spectraux utiliss dans le mme contexte. La solution modale a t utilisecomme solution de rfrence pour plusieurs travaux dont Capdeville (2000), Capdeville et al.(2003), Chaljub (2000), Chaljub et al. (2003), Chaljub & Valette (2004) ou Komatitsch & Tromp(2002). Pour le cas latralement htrogne, les choses ne sont pas aussi simples. Si on se placedans le cas de contrastes dhtrognits latrales damplitudes tendant vers zro, alors la mth-ode de perturbations de modes propres au premier ordre constitue, quelques dtails prs, unemthode exacte. Dans ce cas, les perturbations de modes propres sont une mthode de rfrencepour les lments spectraux et elle a t utilise dans ce sens dans Capdeville (2005). Si lescontrastes dhtrognits latrales deviennent non ngligeables, cest linverse, les lmentsspectraux, tant capables de capturer les effets de diffractions multiples, deviennent la solutionde rfrence pour tester les limites des perturbations de modes dans ce contexte. Cela t le casdans Capdeville et al. (2002) et Capdeville (2005).

Le renversement temporel en sismologie

Jai particip aux travaux de thse de Carne Larmat sur le retournement temporel en sismolo-gie, notamment en crivant un programme de retournement temporel, bas sur les modes propres,pour des modles de terre symtrie sphrique. Ce programme est toujours utilis et sert actuelle-ment pour la thse de Huong Phung sous la direction de Jean-Paul Montagner. En principe, leretournement temporel est bas sur linvariance de lquation des ondes (1.1) avec le changementt t. Si on considre un contour volume fictif V de contour V , le thorme de reprsenta-tion (Aki, 1981), crit de manire simplifie, permet de calculer le dplacement u en tout pointy de V comme :

u(y) =

V

G(x,y)f(x)dx3 (1.16)

+

V

G(x,y)T(u)(x)dx2 (1.17)

+

V

u(x)c : G(x,y) ndx2 (1.18)

+

V

G(x,y) u0(x)dx3 (1.19)

+

V

G(x,y) u0(x)dx3 (1.20)

o G(x,y) est la fonction de Green dun point x un point y, , lopration de convolutionen temps et de produit scalaire, T(u) la traction due au champ u sur linterface V , n la nor-male sortante du contour V , u0 et u0 les conditions initiales du champ de dplacement et devitesse. Le dplacement u(y) scrit comme une somme de contributions o (1.16) correspond


la contribution des sources externes dans V , (1.17) aux contributions des tractions sur le con-tour V , (1.18) aux contributions des dplacements sur V , et (1.19) et (1.20) aux contributionsdes conditions initiales dans V . Pour une exprience de retournement temporel, on considre unproblme direct pour une force ponctuelle dans V . On enregistre le dplacement u et la tractionT(u) sur le contour V jusqu un temps tmax tel quil ny ait plus dnergie lastique dans V .Si on inverse le temps partir de tmax et quon injecte les enregistrements de dplacement et detraction sur le contour V , on peut montrer, en se basant sur le thorme de reprsentation, quele champ dondes va se propager vers la source, puis re-focaliser avant de re-diverger (voir, parexemple, Cupillard 2008) . Cest le retournement temporel tel que le pratique lquipe de Math-ias Fink (voir, par exemple, Fink 1992). Maintenant, si on applique le mme principe la terre,il y a un problme. En effet, les rcepteurs tant la surface libre, le contour V se confond avecla surface libre. Dans ce cas, la traction enregistre au bord T(u) et la traction de la fonction deGreen au bord c : G(x,y) n sont, par dfinition, nulles pour tous les temps et ne contribuentpas au thorme de reprsentation. Par contre, si on ne considre pas lattnuation, les conditionsfinales ne seront jamais nulles dans V et ce sont elles qui permettent de faire du retournementtemporel dans ce cas. Par exemple, pour une simulation numrique, un pas temps donn, ilsuffit dinverser le signe du champ de vitesse, puis de continuer la simulation pour observer unere-focalisation la source. Malheureusement, pour la terre, nous ne disposons pas de rcepteurdans le volume et le renversement temporel est impossible.

Pour autant, tout nest pas perdu et on peut faire quelque chose proche du retournement temporeldans la terre. En effet, en injectant le champ de dplacement enregistr au bord V dans la ligne(1.17) la place de la traction, on observe une re-focalisation la source. Linterprtation duphnomne est la suivante : si on considre le problme de minimisation dun systme de forcesf(x, t) sur la surface libre tel que

C(f) = (dG f)2 , (1.21)

o d reprsente lensemble des donnes, une convolution la fois spatiale et temporelle, Glensemble des fonctions de Green depuis les points de la surface vers les rcepteurs. Lobjectifest de trouver f tel que C(f) soit minimum. Le calcul de linverse de G par rapport loprationde convolution spatiale et temporelle ntant pas trivial, on peut au moins calculer le gradient dela fonction cot par rapport f . Le gradient de C(f) par rapport aux paramtres du problme(cest dire la nappe de force f(r) o r appartient la surface de la terre), est

C

f|f=0 = 2GT d , (1.22)

o T est la transposition. G tant symtrique, cest exactement ce quon a fait en injectant lechamp de dplacement enregistr au bord V dans la ligne (1.17) la place de la traction, onminimise donc C(f). Ceci permet dexpliquer la re-focalisation dans ce cas et galement le faitque le mcanisme au foyer peut tre observ sur les images de re-focalisation. Cest lquation(1.22) qui est implmente dans le programme bas sur la mthode des modes voque au dbutde cette section.


1.2.2 Contributions au problme inverse

Aprs avoir travaill sur le problme direct, notamment les lments spectraux, il semble asseznaturel de sintresser au problme inverse. Lapport des lments spectraux la sismologietant une bonne modlisation de la forme donde complte et ayant pour ma part principalementtravaill lchelle globale durant ma thse et les premires annes de mon post-doc Berkeley,le problme inverse de la forme donde longue priode et lchelle globale sest impos delui mme.

Inversion de la forme donde complte : la mthode des sources sommes lchelle globale

Au moment o jai commenc ce travail (en 2002), lutilisation des lments spectraux tait en-core trop lourde numriquement pour envisager un problme inverse par couple source - stationcomme cela est fait pour les temps darrives. Pour rduire considrablement le cot de cal-cul dun problme inverse de forme donde avec les lments spectraux (ou une autre mthodenumrique) lide utilise dans Capdeville (2005) est la suivante : les lments spectraux peu-vent modliser la propagation des ondes de plusieurs sources en mme temps sans augmenter lecot de la simulation. Bien sr, aux rcepteurs, on enregistre la somme des sismogrammes dechaque source prise sparment sans aucun espoir de pouvoir les sparer a posteriori. Si on nepeut obtenir de cette manire les enregistrements aux rcepteurs dus chaque source individu-elle, on peut par contre sommer les donnes relles aux stations pour toutes les sources. Par ceprocd, les donnes relles sommes sont comparables la simulation des sources sommeset un problme inverse peut tre construit sur cette observable secondaire. Les tests effectus

FIGURE 1.4 Configuration sources - stations utilise pour lexprience dinversion par la mth-ode des sources sommes avec des donnes relles.

dans Capdeville (2005) montrent que cette ide peut donner de bons rsultats et ceci est con-firm par les travaux utilisant la mme ide mais lchelle de lexploration sismique (Krebs


et al., 2009; Ben Hadj Ali et al., 2009a; Ben Hadj Ali et al., 2009b). Pour lchelle globale, unedes grandes difficults de la mthode est lie aux donnes manquantes. Ces dernires doiventidalement tre remplaces par des donnes synthtiques calcules dans les modles intermdi-aires obtenus au cours du processus dinversion itratif. Les donnes manquantes tant souventnombreuses, calculer ces synthtiques peut tre un problme majeur. La solution adopte parCapdeville (2005) est de remplacer ces donnes manquantes par des synthtiques calculs aupremier ordre avec des perturbations de modes propres. Une inversion sur des donnes rellesavec cette mthode a t tente en 2003 en collaboration avec Y. Gung et B. Romanowicz. Lesrsultats tant peu concluants, cette dernire na jamais t publie, mais en voici une partie. La

FIGURE 1.5 Statistique de la prsence de donnes pour lexprience. En ligne les vnements,en colonnes les stations. Un carr noir indique le prsence de la composante Z de la donne.Il y a ici 84.6% de prsence de donnes. Le graphique gauche indique la prsence ou nondvnements dans les 8 heures avant ou les 6 heures aprs lvnement principal. La taille descarrs correspond la magnitude (le gros carr bleu correspond une magnitude 4.5)

configuration sources - stations de lexprience est montre figure 1.4. Le point difficile est trou-ver un maximum de donnes pour cette configuration. Il apparat que pour cette configuration,


Exemple de traces sommes pour la station CMB (Berkeley). La bande de priode slectionneest 160 s-300 s.

FIGURE 1.6

84.6% des donnes sont disponibles et la statistique de prsence des donnes est montre figure1.5. Un exemple de donne somme est montr figure 1.6 pour la station CMB. Un rsultat delinversion aprs trois itrations est montr figure 1.7 et compar avec le modle tomographiqueSAW24 (Mgnin & Romanowicz, 2000) tronqu au degr 8. Le modle obtenu nest pas com-pltement stupide, mais de nombreux problmes sont visibles, notamment on peut voir la sig-nature du maillage utilis pour la paramtrisation du modle (concentration des htrognitssur les coins du maillage). De mon point de vue, le problme principal de cette exprience estque seules les htrognits dondes S sont inverses et que, pour la forme donde, ce nest plusle paramtre dominant (les htrognits anisotropes ont aussi un effet trs important sur lesformes dondes). Ces effets constituent un bruit important pour ce problme inverse et polluentles rsultats. Pour un meilleur rsultat, il faut donc, soit inverser un jeu de donnes massif (cequi est loin dtre le cas ici), soit inverser les paramtres manquants (comme lanisotropie). Cest


ce deuxime chemin que je commenais emprunter quand les problmes de paramtrisationsverticales et les htrognits dans la crote mont amen lhomognisation. Jespre revenir ce problme inverse prochainement.

FIGURE 1.7 Comparaison de linversion de forme donde avec la mthode des sources sommes( gauche) avec le modle tomographique SAW24 (Mgnin & Romanowicz, 2000) tronqu audegr 8 ( droite).

Benchmark des mthodes tomographiques lchelle globale

La prcision des lments spectraux peut tre mise profit pour tester les mthodes tomo-graphiques existantes et aussi tester les modles tomographiques existants. Cest ce qui a tfait durant la thse de Yilong Qin et publi dans Qin et al. (2006), Qin et al. (2008) et Qin et al.(2009).

Pour ce qui est de tester les mthodes tomographiques existantes, nous sommes partis du constatquil existe actuellement de nombreuses mthodes tomographiques (une par groupe de recherchedans ce domaine, ou presque). Ces mthodes ont produit de nombreux modles, et ce qui est


remarquable est que ces modles, mme sils sont diffrents dans les dtails, ont, pour la plupart,leurs grandes lignes en commun (voir figure 1.8).

FIGURE 1.8 Diffrents modles tomographiques lchelle globale par diffrents groupes(SAW24B16 : Berkeley ; S362D1 : Havard, SB4L18 : Scrippys ; S20RTS : Oxford ; Grand :Haustin). Figure daprs B. Romanowicz.

Ces points communs entre les diffrents modles existent-ils car ils correspondent des struc-tures relles de la terre ou bien parce que ces mthodes ont toutes une base commune ? moinsque ce ne soit un peu des deux. Dans le but de tenter de rpondre ces questions, dans le cadre duprojet europen SPICE, un test en aveugle a t dvelopp. Il est constitu dun jeu de donnessynthtiques gnr dans un modle de terre raliste et complexe grce aux lments spectraux.Ces donnes devaient ensuite tre utilises par diffrents groupes (du projet SPICE et extrieur)de faon aveugle (c..d sans rien connatre du contenu du modle retrouver) et ainsi dter-miner les succs mais aussi les erreurs individuelles et communes de ces diffrentes techniques.Le modle de terre raliste a t gnr en collaboration avec V. Maupin (Universit dOslo).Cette base de donnes a eu un succs mitig car seulement deux groupes ont test leur mthodesur ce modle (un 3eme est en train de lutiliser actuellement). Ces tests montrent dabord unecertaine robustesse de ces mthodes mais permettent de quantifier plusieurs problmes connusde ces mthodes bass sur les ondes de surface, comme limportance des corrections de crote,la perte de rsolution en profondeur, ltalement des htrognits, la difficult de retrouver lavraie amplitude des htrognits notamment pour lanisotropie, etc. A posteriori, pour fournirun meilleur test la communaut sismologique, il aurait fallu fournir des bases de donnes pourplusieurs modles synthtiques (un facile, un plus complet et un difficile avec notamment deshtrognits de petites chelles) et une bande de frquence plus large (mais cela ncessiteraitbeaucoup plus de ressources informatiques que ce que nous avons utilis). Ces travaux sont pub-lis dans Qin et al. (2006) et Qin et al. (2008).

Un test proche du prcdant consiste tenter dvaluer la qualit de certains modles tomo-graphiques avec les lments spectraux. Lide est cette fois de collecter un jeu de donnes rellesde bonne qualit, de modliser ces donnes dans diffrents modles tomographiques grce SEMet de comparer la qualit des prdictions des diffrents modles. Cest cette ide qui a t utilise


dans Qin et al. (2009). Si ce travail montre que tous les modles tests amliorent la qualit de laforme donde par rapport un modle de rfrence symtrie sphrique, il apparat aussi quiltrs difficile de distinguer les diffrents modles de cette manire. En effet, il apparat dabordquaucun de ces modles nest adapt au calcul de la forme donde. Ceci est principalement daux corrections de crote qui sont apportes ces modles. En effet, la crote est trop fine et tropcomplexe pour tre inverse avec ces mthodes et, pour viter quelle ne pollue les modles, soneffet est corrig avec plus ou moins de succs grce un modle de crote a priori. Malheureuse-ment, leffet de cette crote doit tre pris en compte dans les simulations et il faut donc re- inclurecet effet qui a t si difficile enlever. Malheureusement, il est presque impossible dinclure lacrote dans les lments spectraux de faon consistante avec la mthode de correction utilisedans les mthodes tomographiques (qui sont de plus diffrentes pour chaque modle). De plus,a posteriori, cette faon de tester les modles nest probablement pas trs pertinente. En effet,lobjectif de ces mthodes tomographiques nest pas de bien prdire la forme donde mais deretrouver linformation sur la terre. Si on recherche un modle de terre exhaustif (cest direavec tout ce que lon peut imaginer influencer la forme donde), un bon modle de terre devraitbien prdire les formes dondes. En pratique, ce nest pas ncessairement le cas, par exemple, siune mthode est uniquement faite pour retrouver les htrognits donde P. Dans ce cas, mmesi leffet de londe P nest pas dominant sur la forme donde pour les signaux sismiques prisindividuellement, on va slectionner un grand nombre de donnes et les traiter de telle faon quetous les autres effets (htrognits dondes S, de densit etc) deviennent, par effet statistique,le plus faible possible par rapport celui des htrognits de londe P. De cette faon on peutretrouver les htrognits de londe P sans pour autant expliquer beaucoup deffets sur les don-nes. De manire gnrale, le meilleur modle dun paramtre donn nest pas forcement celuiqui explique le mieux les formes dondes, et, pour conclure par un exemple, il se peut quun trsbon modle donde P explique moins bien les formes donde quun mauvais modle donde S.

Utilisation de la forme donde des corrlations de bruit

Un domaine trs la mode ces dernires annes concerne lobtention de fonctions de Greenentre deux rcepteurs en corrlant les donnes de bruit (sans sisme). Il a t en effet montrque, si le bruit est idal, ces corrlations du bruit sismique entre deux rcepteurs permettent deretrouver les fonctions de Green entre les deux stations sismiques utilises (Lobkis & Weaver,2001). Ce procd est trs sduisant car il permet dobtenir des donnes sans sisme et il a djt utilis pour produire des images tomographiques partir des vitesses de phases dondes desurface (voir, par exemple, Shapiro et al. 2005). Pour linversion de forme donde, ces donnessont potentiellement trs intressantes pour la mthode des sources sommes car il nexiste au-cune donne manquante dans ce cas. Lobjectif de ce travail tait donc dvaluer notre capacit modliser ces fonctions de Green rsultant des corrlations de bruit. Ce travail sest fait dansle cadre de la thse de Paul Cupillard (soutenue en avril 2008). La principale difficult de cetravail vient du fait que le bruit rel est loin dtre idal et que lhypothse dune vraie fonc-tion de Green nest pas valable pour une propagation 3D. Par exemple, ces corrlations nontpratiquement pas de modes harmoniques alors que les vraies fonctions de Green en ont. La pre-


mire partie de ce travail a t de montrer que lon retrouve bien la forme donde dans un milieuanlastique malgr les traitements non linaires appliqus aux donnes (Cupillard & Capdeville,2010). Du fait de la rpartition du bruit rel, les corrlations de bruit ne donnent pas vraiment desfonctions Green, mais plutt des fonctions de green convolues partialement et temporellementpar une source dterminer. Lide ici tait de trouver un contour de stations autour de la stationsource, de retourner temporellement le signal sur ce contour grce au thorme de reprsentationpour retrouver des conditions initiales les plus centres possible sur la station source. Ces con-ditions initiales peuvent tre considres comme la source des corrlations centre sur la stationen question. Il a t montr durant la thse de Paul Cupillard que cette approche est possibleet les essais sur des donnes relles ont t concluants. Cependant, le procd est suffisammentcomplexe pour que linversion des formes donde des corrlations par la mthode des sourcessommes ne soit pas envisage pour linstant.

1.2.3 Homognisation

Depuis 2006, mon activit principale de recherche est axe sur laspect multi-chelles de lapropagation dondes et de limagerie sismique. De 2006 2009, jai effectu ce travail dans lecadre de lANR blanche MUSE que jai dirig. Bien que je lai pour linstant principalementappliqu au problme direct, ce travail rentre aussi bien dans la catgorie du problme direct quedu problme inverse.

Pour le problme direct, lide est que dimportantes limitations et difficults des mthodes nu-mriques telles que les lments spectraux sont lis aux chelles plus petites que la longueurdonde. Ces petites chelles imposent un maillage fin, souvent difficile raliser et impliquant uncot de calcul trs important. Une solution serait de remplacer les dtails du milieu plus petits quela longueur donde par un milieu quivalent effectif, mais il nexistait pas de solution pour trouverce milieu effectif jusqu prsent. Lobjectif de ce travail est de trouver le milieu effectif ainsique les quations effectives pour un modle lastique et pour une bande de frquences donnes.Ces problmes multi-chelles sont trs tudis et bien connus en mcanique des matriaux etont donn lieu la thorie de lhomognisation des milieux priodiques. Nous appliquons ettendons ces techniques au cas dynamique et non priodique. La principale difficult apparatpour le cas non-priodique et pour les dimensions spatiales strictement suprieures un.

Pour le problme inverse, les progrs dans le problme direct permettent maintenant daborder leproblme de linversion de la forme donde complte, mais, pour des raisons de cot, uniquementdans une bande de frquences limite. Dans ces conditions, les modles tomographiques obtenusne sont en aucun cas le vrai modle, mais une version effective de ce modle. Il est doncprimordial de comprendre la relation entre un vrai modle et celui vue par le champ dondesdans cette bande de frquences. Lhomognisation est donc indispensable dans un but din-terprtation des modles tomographiques. Pour un problme dimagerie, nous pouvons utiliserles rsultats dhomognisations pour trouver une paramtrisation consistante avec la bande defrquences utilise et ensuite pour trouver les modles de terre a priori compatibles avec le mod-


le tomographique obtenue par imagerie.

Principe

Le principe de base de lhomognisation stablit pour les milieux priodiques (pour le cas dy-namique, on peut se rfrer Sanchez-Palencia (1980)). Cest dans ce cas que les rsultats delhomognisation sont dmontrs. Les cas qui nous intressent sont bien sr non priodiqueset lextension de la thorie de lhomognisation du cas priodique au cas non priodique pourlquation des ondes lastique est ma principale contribution dans ce domaine. Lhomognisa-tion priodique repose sur lintroduction dun petit paramtre

=`

min, (1.23)

o ` est une grandeur caractristique du milieu priodique et min la longueur donde minimumdu champ dondes dont lexistence est garantie si la source a une frquence coin fmax (ou si lesdonnes sont filtres au del de fmax). On construit une srie de modles indexs par , ce quiimplique de renommer la masse volumique et le tenseur lastique et c. De mme, la solutionque lon cherche est aussi indexe sur et est nomme u. On introduit une nouvelle variabledespace dite microscopique

y =x

. (1.24)

Bien que y et x ne soient pas indpendants au vue de la dfinition prcdente, on les considrecomme tel dans la construction du problme homognis. Le petit paramtre et la sparationexplicite des chelles va permettre la construction dune srie asymptotique de problmes deuxchelles indpendantes x et y qui va tendre vers un problme une chelle quand tend verszro. Pour cette construction, on transforme les gradients tel que

x +1

y , (1.25)

o x et y sont les gradients par rapport x et y respectivement, et on cherche une solutioncomme

u(x) = u0(x,y) + u1(x,y) + 2u2(x,y) + ... (1.26)

o y est pris en x/. On construit une masse volumique et un tenseur lastique, dits de cellule,qui ne dpendent pas de

(y) = (x)

c(y) = c(x)(1.27)

La construction (1.27) est triviale dans le cas priodique, mais cest cette dernire qui constitue laprincipale difficult dans le cas non-priodique. En introduisant (1.25) et (1.26) dans lquationdes ondes, on obtient une srie dquations que lon doit rsoudre une une :

ttui x i y i+1 = fi,0 , (1.28)

i = c :(x(ui)

+ y(ui+1

)), (1.29)


o les i correspondent au mme dveloppement que (1.26) mais pour la contrainte, x et y auxoprateurs dformations par rapport aux variables x et y respectivement. La rsolution de cesquations permet de montrer que, lordre zro, u0 ne dpend pas de la variable rapide y. Cest un rsultat fondamental bien

connu en sismologie : le dplacement du sol ne dpend pas fortement de la structure localeautour du rcepteur (ce qui nest pas le cas de la dformation ou la contrainte par exemple).Ce dplacement lordre 0 est solution dune quation donde lastique classique mais pourune masse volumique et un tenseur lastique effectifs. Le tenseur lastique effectif ncessitele calcul dun correcteur du premier ordre, solution dune quation de type quilibre statique(qui implique une rsolution de type lments finis) pose sur une cellule priodique que lonappelle problme de cellule.

lordre 1, les conditions limites doivent tre changes. lordre 2 et plus, lquation effective rsoudre nest plus une quation donde classique et

implique des drives spatiales dordres levs.

Voil pour le cas priodique. Pour le cas non priodique, toute la difficult est de construire unproblme deux chelles qui ait un sens. Pour cela, la premire tape est dintroduire un filtrepasse bas F 0 avec un nombre donde de coupure k0 (0 = (mink0)1) dfini par lutilisateur.Ce filtre permet de sparer manuellement les nombres dondes macroscopiques (k < k0) desnombres dondes microscopiques (k > k0). Ensuite, ltape la plus difficile est la constructiondes et c de ltape (1.27) mais dans le cas non priodique. Le cas priodique est idal, car,quelque soit la manipulation non linaire applique et c, le rsultat sera toujours priodiqueet les deux chelles bien spares. Pour le cas non priodique, cest une autre paire de manches ettoute la difficult est de bien construire les champs et c tels que les chelles soient bien spares.Pour cela on distingue deux cas : le cas stratifi o on peut compter sur une solution analytique auproblme de cellule pour faire les bons choix (Capdeville & Marigo, 2007; Capdeville & Marigo,2008; Capdeville et al., 2010a) et le cas gnral o cette solution analytique nexiste pas et oulon doit sen remettre une construction implicite (Capdeville et al., 2010a; Guillot et al., 2010;Capdeville et al., 2010b). Cette construction est donne dans larticle Capdeville et al. (2010b)en annexe.

Lhomognisation des milieux stratifis

Les milieux les plus simples pour la thorie de lhomognisation sont les milieux stratifis, cest dire les milieux pour les quels les variations rapides nont lieu que dans une seule direction.Cest en effet le seul cas o il existe une solution analytique au problme de cellule. Lavantagede cette solution analytique est quelle permet de connatre explicitement sur quelles quantits leschelles doivent tre spares. Par exemple, dans le cas dune barre de paramtre lastique E, lasolution analytique du problme de cellule permet de savoir que le paramtre lastique effectifE

sobtient comme la moyenne harmonique de E et non comme la moyenne arithmtique commeon aurait pu le penser. Pour le cas non-priodique, si on utilise un filtre spatial passe bas Fpour sparer les chelles, il est intuitivement raisonnable dutiliser E1 = F(E1) et cest


effectivement ce qui est montr dans Capdeville et al. (2010a). Applique aux milieux stratifisdans Capdeville & Marigo (2007), cette thorie lordre 0 permet de retrouver les rsultatsde Backus (1962). Elles permet aussi de trouver les correcteurs des effets des structures fineslocales la source et aux rcepteurs. Pour ce qui est de la source, le correcteur dordre 0 donneun rsultat trs proche de celui obtenu par Woodhouse (1981) pour une source place de part etdautre dune discontinuit lastique.

Lhomognisation des milieux plus gnraux

Notre principale avance dans ce domaine ces deux dernires annes a t lextension de lho-mognisation non priodique du cas 1D au cas 2D ou 3D (voir la figure 1.9). Cette extensionconstituait la principale difficult de ce travail, cest dire la construction implicite des champs et c mentionns plus haut. Avec ce travail, nous sommes maintenant en mesure de trouver un mi-lieu effectif pour nimporte quelles structures gologiques (voir (Capdeville et al 2010b, Guillotet al 2010 et lexemple donn figure 1.9). Le calcul de ces milieux effectifs dans le cas non-priodique nest pas simple et implique la rsolution dquations de type quilibre statique,soit sur lensemble du domaine (de rsoudre le problme de cellule sur une seule grande cel-lule), soit sur chaque sous-domaine dun pavage du domaine (et de rsoudre un grand nombrede problmes de cellules sur des petits domaines). Dans les deux cas, ces problmes de cellulesimpliquent un maillage ttrahdrique de la structure fine et un cot de calcul non ngligeable.Nanmoins ce calcul ne doit tre fait quune seule fois pour un milieu donn. Ce travail a donnlieu trois publications (Capdeville et al 2010a, 2010b, Guillot et al 2010) et a impliqu le travaildun post-doc, Laurent Guillot, financ par lANR MUSE. Une demande de brevet a aussi tdpose par le CNRS sur ce thme (Capdeville, 2009).


FIGURE 1.9 a : Modle lastique 2D Marmousi2. Les couleurs reprsentent les vitesses desondes P. Les traits gris les interfaces physiques.b et c : Le modle homognis (valable pour une frquence coin de la source jusqu 15Hz) estun modle compltement anisotrope (lanisotropie totale est reprsente en b) et sans interface(lisse, comme on peut le voir pour les variations des ondes S en c), mme si le modle originalest isotrope et avec de multiples interfaces.d : calculer une solution de rfrence dans le modle original avec les lments spectraux nces-site de gnrer un maillage complexe et coteux (ce qui nest possible que dans ce cas 2D. Untel maillage nest pas envisageable 3D). Le calcul de rfrence de cet exemple a ncessit unesemaine de calcul sur 64 processeurs.e : Le modle homognis tant lisse, le maillage est trivial. Le calcul de la solution ho-mognise na ncessit quune heure de calcul, toujours sur 64 processeurs ( comparer avecles 7 jours de calculs ncessaires pour obtenir la solution de rfrence).f : La solution de rfrence (noir) et la solution homognise (pointills rouges) pour un exem-ple de rcepteur en profondeur sont en trs bon accord. Pour comparaison, la solution calculedans un milieu lisse, obtenu en filtrant les vitesses des ondes S et P ainsi que la densit avec lemme niveau de dtails que pour le milieu homognis, est trace en vert et nest pas en accordavec la solution de rfrence.

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Chapitre 2

Persectives de recherche court et moyentermes

2.1 Perspectives court terme

Pour les 4 ou 5 prochaines annes, mon objectif principal est de dvelopper et de complterlhomognisation dun milieu gologique dans toute sa complexit, en incluant les effets prsde la surface libre, les grandes variations de vitesses avec la profondeur etc, dappliquer les outilsdvelopps certains problmes dintrt ainsi que de fournir les programmes correspondants la communaut sismologique. Un projet de recherche dans ce sens a t dpos lANR (ANRmm) et vient dtre accept.

Dans le dtail, lobjectif principal de ces prochaines annes est dabord de dvelopper un outildhomognisation non-priodique pour les milieux 3-D. Dun point de vue thorique, peu dedifficults sont attendues. En effet, la principale difficult, cest dire passer du 1-D au 2-D, a tleve et la solution adopte 2-D est aussi valable 3-D. Du point de vue pratique, les chosesseront plus difficiles 3-D qu 2-D dans la mesure o la rsolution du problme de cellule 3-D peut tre numriquement coteux. La mthode numrique dvelopper pour obtenir unoutil dhomognisation 3-D optimis ncessitera un travail important. Le second objectif estde prendre en compte de faon consistante les petites htrognits prs de la surface libre.Ce travail a dj t fait pour le cas des milieux stratifis (1-D) en se basant sur une mthodede sries asymptotiques raccordes (Capdeville & Marigo 2008). Ce dveloppement doit tregnralis au cas 3-D et ce travail ncessite un effort thorique non ngligeable. Un troisimeobjectif est dadapter la mthode des milieux gologiques pour lesquels la longueur dondedominante varie fortement ave

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Université Paris VII – Denis Diderot Institut de Physique du Globe de