UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOSKA FAKULTETA

MARKO GLAVAN

DIEDRSKA SIMETRIJA

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2017

UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOSKA FAKULTETA

Univerzitetni studijski program 1. stopnje: Dvopredmetniucitelj

MARKO GLAVAN

Mentor: doc. dr. BOSTJAN KUZMANSomentor: asist. dr. EVA HORVAT

DIEDRSKA SIMETRIJA

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2017

ZAHVALA

Zahvaljujem se svoji somentorici asist. dr. Evi Horvat in mentorju doc. dr.Bostjanu Kuzmanu za kvalitetno mentorstvo, razumevanje in za ves trud, kista ga prispevala pri nastanku mojega diplomskega dela.

Posebna zahvala pa tudi moji druzini, prijateljem in punci, ki so me pod-pirali, razumeli in spodbujali skozi celoten studij. Brez vas mi ne bi uspelo.

Povzetek

V diplomskem delu obravnavamo diedrsko grupo, njene lastnosti in strukturoter diedrske simetrije razlicnih objektov. Diedrska grupa je ena najenostav-nejsih koncnih grup. Ker v nasprotju s ciklicno grupo ni komutativna, pa jestruktura podgrup diedrske grupe bolj zanimiva.

Pred samo vpeljavo pojma diedrske grupe najprej ponovimo osnovne pojmeiz teorije grup in iz evklidske geometrije, ki jih potrebujemo v nadaljevanju.Nato definiramo diedrsko grupo kot grupo izometrij evklidske ravnine, kiohranjajo pravilni n-kotnik. Poiscemo vse njene elemente in jih razvrstimo vkonjugiranostne razrede. Nato opisemo tudi abstraktno karakterizacijo die-drske grupe in preucimo strukturo njenih podgrup. Za konec pa si ogledamose nekaj konkretnih matematicnih ter ne-matematicnih objektov z diedrskosimetrijo.

Kljucne besede: grupa, pravilni n-kotnik, izometrija, zrcaljenje, rotacija,diedrska grupa, diedrska simetrija

Abstract

In this BCs thesis we describe the dihedral group, its structure and proper-ties, and find certain objects which have dihedral symmetry. Dihedral groupis one of the simplest finite groups. Since it is non-commutative, the struc-ture of subgroups of the dihedral group is more interesting than that of thecyclic group.

Before introducing the concept of the dihedral group, we make a short reviewof the basic notions from group theory and from the euclidean geometry thatwill be used in the thesis. Then we define the dihedral group as the groupof isometries of the euclidean plane which preserve a regular n-gon. We listall its elements and classify them into conjugacy classes. We also find anabstract characterization of the dihedral group and examine the structure ofits subgroups. To conclude, we list some concrete mathematical and non-mathematical objects which have dihedral symmetry.

Keywords: group, regular n-gon, isometry, reflection, rotation, dihedralgroup, dihedral symmetry

Kazalo

1 Uvod 1

2 Osnovni algebrski pojmi 22.1 Podgrupa, edinka, kvocientna grupa . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Homomorfizmi grup, jedro, center . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Generatorji grup in konjugiranostni razredi . . . . . . . . . . . 4

3 Osnovni geometrijski pojmi 6

4 Diedrska grupa 84.1 Karakterizacija diedrske grupe z izometrijami . . . . . . . . . 84.2 Elementi Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3 Povezave med rotacijami in zrcaljenji . . . . . . . . . . . . . . 13

4.3.1 Posledice relacije zrz−1 = r−1 . . . . . . . . . . . . . . 144.4 Konjugiranostni razredi in center grupe Dn . . . . . . . . . . . 14

5 Abstraktna karakterizacija in struktura diedrske grupe 175.1 Abstraktna karakterizacija grupe Dn . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Diedrske grupe in generatorji reda 2 . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Podgrupe Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.4 Neskoncna diedrska grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Drugi objekti z diedrsko simetrijo 256.1 Grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.2 Pravilni zvezdni veckotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.3 Vozli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.4 Diedrska simetrija v nasem vsakdanjiku . . . . . . . . . . . . . 33

7 Zakljucek 36

Literatura 37

Slike

1 Zrcaljenja in rotacije (vir: [3]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Dolocanje tocke veckotnika z razdaljo od dveh sosednjih oglisc 93 zrz−1 = r−1 (vir: [3]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Simetrijske osi za lihi n = 3 in n = 5 (vir: [3]) . . . . . . . . . 155 Simetrijske osi za sodi n = 4 in n = 6 (vir: [3]) . . . . . . . . . 156 Cikli C3, C5 in C10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Cayleyev graf Cay(G = D4;S = {r, r3, z}) . . . . . . . . . . . 278 Cayleyev graf Cay(G = D5;S = {r, r4, zr}) . . . . . . . . . . . 289 Posploseni Petersenov graf GP (4, 1) . . . . . . . . . . . . . . . 2810 Posploseni Petersenov graf GP (5, 1) . . . . . . . . . . . . . . . 2911 Petersenov graf GP (5, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3012 Zvezda {5/2} z diedrsko simetrijo D5 . . . . . . . . . . . . . . 3113 Zvezda {7/2} z diedrsko simetrijo D7 . . . . . . . . . . . . . . 3114 Zvezda {7/3} z diedrsko simetrijo D7 . . . . . . . . . . . . . . 3115 Zvezda {9/4} z diedrsko simetrijo D9 . . . . . . . . . . . . . . 3116 Nekaj primerov torusnih vozlov . . . . . . . . . . . . . . . . . 3217 Diedrska simetrija D1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3318 Diedrska simetrija D1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3419 Diedrska simetrija D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3420 Diedrska simetrija D5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3521 Diedrska simetrija D6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1 Uvod

Simetrija je v matematiki razsirjen in pomemben pojem. Pojavlja se v najra-zlicnejsih vejah matematike, npr. v geometriji, teoriji grafov, kombinatoriki,itd. S pomocjo simetrij lahko spoznavamo strukturo in lastnosti razlicnihmatematicnih objektov.

Diedrska grupa predstavlja grupo simetrij pravilnega n-kotnika. Elementi di-edrske grupe so izometrije evklidske ravnine, ki ohranjajo pravilni n-kotnik.Diedrsko grupo pa lahko opisemo tudi z abstraktno algebrsko karakterizacijo.Diedrska simetrija, ki je osrednja tema te diplomske naloge, se pojavlja nastevilnih podrocjih. Pri matematiki je pomembna predvsem na podrocju ge-ometrije. Ce pa se ozremo na druga podrocja, velja omeniti podrocje kemije.Kemiki namrec preucujejo diedrsko simetrijo za razvrstitev struktur molekulin kristalov.

Na podlagi zgornjega opisa diedrske grupe zelimo nasteti in opisati vse njeneelemente, poiskati generatorje diedrske grupe in zapisati njeno prezentacijo.Diedrska grupa je ena najenostavnejsih koncnih grup. Ker v nasprotju s ci-klicno grupo ni komutativna, pa je struktura podgrup diedrske grupe boljzanimiva. Raziskati zelimo podgrupe diedrske grupe in njihove konjugirano-stne razrede.

Diplomsko delo je razdeljeno na 5 sklopov. V drugem poglavju bralca spo-mnimo osnov teorije grup, ki jih potrebujemo v nadaljevanju. Tretje poglavjeje posveceno osnovnim pojmom s podrocja evklidske geometrije, ki jih po-trebujemo v osrednjem delu diplomske naloge. S cetrtim poglavjem pa seposvetimo bistvu diplomske naloge. Diedrsko grupo karakteriziramo z izo-metrijami, poiscemo vse njene elemente in jih razvrstimo v konjugiranostnerazrede. Preucimo pa tudi povezave med rotacijami in zrcaljenji. V petempoglavju si nato ogledamo karakterizacijo diedrske grupe se na abstraktennacin. V zadnjem poglavju pa opisemo nekaj primerov tako matematicnihkot tudi ne-matematicnih objektov z diedrsko simetrijo.

1

2 Osnovni algebrski pojmi

Pred obravnavo osrednje tematike diplomskega dela si je za boljse razumeva-nje potrebno ogledati nekaj pomembnih pojmov iz teorije grup. Zato bomo vuvodnem poglavju navedli najosnovnejse definicije in trditve iz teorije grup,ki jih bomo v nadaljevanju diplomskega dela tudi potrebovali. Celotno po-glavje je povzeto po [7], [8] in [11].

Definicija. Naj bo G neprazna mnozica in ∗ dvoclena operacija na G (to jefunkcija : G×G→ G). Algebrska struktura (G, ∗) je grupa, ce velja:

• za poljubne g1, g2, g3 ∈ G velja: (g1 ∗ g2) ∗ g3 = g1 ∗ (g2 ∗ g3), torejoperacija ∗ je asociativna na G

• obstaja tak element e ∈ G, da za vse g ∈ G velja: e ∗ g = g ∗ e = g.Temu elementu recemo nevtralni element grupe G.

• za vsak element g ∈ G obstaja tak element g−1 ∈ G, da je g ∗ g−1 =g−1 ∗ g = e. Vsak element ima torej inverz glede na nevtralni element.

Ce dodatno velja se, da je operacija ∗ komutativna, to je, ce za vsak g1, g2 ∈ Gvelja g1 ∗ g2 = g2 ∗ g1, pravimo, da je grupa (G, ∗) komutativna.

V splosnem znak za operacijo obicajno izpuscamo. Tako govorimo kar ogrupi G, o produktu g1g2 v G in podobno. Izjema je komutativna grupa, kjerobicajno za operacijo uporabljamo simbol + in tudi zapisemo g1 + g2.

Trditev 2.1. Naj bo G grupa. Tedaj velja naslednje:

1. V grupi G obstaja natanko en nevtralni element. To je element e ∈ G,za katerega je e2 = e.

2. Za vsak g ∈ G obstaja natanko en inverz, oznacimo ga z g−1.

3. V grupi G veljata pravili krajsanja z desne in z leve.

Definicija. Naj bo G grupa. Red grupe G je kardinalnost njene pripadajocemnozice G (torej |G|). Grupa je koncna, ce je njen red koncen. Za poljubeng ∈ G je red elementa g enak najmanjsemu naravnemu stevilu n, za kateregavelja gn = e, ce tako stevilo obstaja. V nasprotnem primeru recemo, da jered elementa g enak neskoncno.

2

2.1 Podgrupa, edinka, kvocientna grupa

Definicija. Naj bo G grupa. Neprazna podmnozica H ⊆ G je podgrupagrupe G, kar oznacimo z H ≤ G, ce je H grupa za podedovano operacijo.

Trditev 2.2. Naj bo G grupa in H ⊆ G njena neprazna podmnozica. Na-slednje trditve so ekvivalentne:

1. H ≤ G,

2. Za vsaka h1, h2 ∈ H velja h1h2 ∈ H in za vsak h ∈ H velja h−1 ∈ H,

3. Za vsaka h1, h2 ∈ H velja h1h−12 ∈ H.

Definicija. Naj bo G grupa in H ≤ G njena podgrupa. Za poljuben g ∈ Gje levi odsek grupe G po podgrupi H enak mnozici gH = {gh : h ∈ H}.Na podoben nacin definiramo tudi desne odseke. Mnozici vseh levih odsekovgrupe G po podgrupi H recemo kvocientna mnozica grupe G po podgrupiH, in jo oznacimo z G/H.

Definicija. Naj bo G grupa in H ≤ G njena podgrupa, za katero velja, daima G koncno mnogo levih in posledicno tudi desnih odsekov po grupi H.Stevilo levih (desnih) odsekov grupe G po podgrupi H (kardinalnost mnoziceG/H), oznacimo z [G : H] in ji recemo indeks podgrupe H v grupi G.

Trditev 2.3. Naj bo G koncna grupa in H ≤ G njena podgrupa. Potemvelja naslednje:

1. Moc podgrupe deli moc grupe in velja |G| = |H| · [G : H];

2. Red poljubnega elementa g ∈ G je delitelj moci grupe.

3. Za podgrupi K ≤ H ≤ G velja [G : H] · [H : K] = [G : K];

4. Koncna grupa prastevilske moci je ciklicna.

Definicija. Naj bo G grupa in H ≤ G njena podgrupa. Grupa H jepodgrupa edinka grupe G (kar oznacimo s H E G), ce velja katerikoli odnaslednjih ekvivalentnih pogojev:

1. Vsak levi odsek grupe G po podgrupi H je enak pripadajocemu de-snemu odseku: ∀g ∈ G : gH = Hg.

3

2. Vsak levi odsek grupe G po podgrupi H je enak nekemu desnemu od-seku: ∀g1 ∈ G ∃g2 ∈ G : g1H = Hg2.

3. Za ∀g ∈ G velja gHg−1 = H.

Trditev 2.4. Naj bo G grupa in naj bo H podgrupa edinka grupe G.MnozicaG/H = {g1H | g1 ∈ G} je grupa za operacijo, definirano z: g1Hg2H =g1g2H za poljubna g1, g2 ∈ G. Red te grupe je enak [G : H].

Definicija. Kvocientna mnozica z zgoraj opisano operacijo je kvocientnagrupa grupe G po podgrupi edinki H.

2.2 Homomorfizmi grup, jedro, center

Definicija. Naj bosta G1 in G2 grupi. Homomorfizem grup je funkcijaφ : G1 → G2, za katero velja φ(g1g2) = φ(g1)φ(g2) za poljubna g1, g2 ∈ G1.Bijektivnemu homomorfizmu recemo izomorfizem. Izomorfizmu G→ G pra-vimo avtomorfizem.

Trditev 2.5. Naj bo ei nevtralni element Gi (i = 1, 2). Tedaj velja φ(e1) =e2 in φ(g−1) = (φ(g))−1 za poljuben g ∈ G1.

Definicija. Naj bo f : G1 → G2 homomorfizem grup in e nevtralni elementgrupe G2. Prasliki f−1(e) recemo jedro homomorfizma f in ga oznacimo sKerf . Drugace povedano: v jedru so natanko vsi tisti elementi iz grupe G1,ki se s f preslikajo v nevtralni element grupe G2,

Kerf = f−1(e) = {x ∈ G1 | f(x) = e}

Trditev 2.6. Jedro homomorfizma f : G1 → G2 je podgrupa edinka v grupiG1.

Definicija. Center grupe G je mnozica Z(G) = {h ∈ G | ∀g ∈ G, hg = gh}.

Trditev 2.7. Center grupe G je podgrupa edinka grupe G.

2.3 Generatorji grup in konjugiranostni razredi

Definicija. Imejmo grupo G. Mnozica generatorjev grupe G je nepraznapodmnozica S ⊆ G, za katero velja, da se vsak element grupe G lahko izrazikot koncen produkt elementov S in njihovih inverzov.

4

Ce je S mnozica generatorjev grupe G, potem recemo, da mnozica S gene-rira grupo G in to oznacimo z G = 〈S〉, elementom mnozice S pa recemogeneratorji grupe G. V primeru, ko je S prazna mnozica, je 〈S〉 trivialnagrupa {e}.

Definicija. Naj bo G grupa. Elementa a, b ∈ G sta si konjugirana, ce obstajag ∈ G, za katerega velja gag−1 = b.

Trditev 2.8. Relacija konjugiranosti je ekvivalencna relacija na poljubnigrupi G.

Definicija. Za poljubni element a grupe G je konjugiranostni razred ele-menta a ekvivalencni razred tega elementa glede na relacijo konjugiranosti,to oznacimo s

C(a) = {gag−1|g ∈ G} .

5

3 Osnovni geometrijski pojmi

Pred nadaljevanjem si moramo ogledati se nekaj kljucnih geometrijskih poj-mov, ki jih bomo tekom diplomske naloge potrebovali. Privzamemo osnovnepojme in aksiome evklidske geometrije. Naj Σ oznacuje evklidsko ravnino.V tem poglavju izhajamo iz [10].

Definicija. Naj za tocke T1, T2, . . . , Tn velja:

1. obstaja kroznica K(S, r), tako da tocke T1, T2, . . . , Tn vse lezijo nakroznici K(S, r),

2. T1T2 = T2T3 = . . . = Tn−1Tn = TnT1

Oznacimo s Hi tisto polravnino, omejeno s premico←−−→TiTi+1, ki vsebuje tocko

S za i = 1, 2 . . . , n. Oznacimo H i = Hi ∪←−−→TiTi+1 za i = 1 . . . n. Pravilni

n-kotnik Pn je presekH1 ∩H2 ∩ . . . ∩Hn .

Tocko S imenujemo sredisce n-kotnika Pn. Tocke T1, T2, . . . , Tn imenujemooglisca n-kotnika, daljice T1T2, T2T3, . . . , TnT1 pa so stranice n-kotnika. Dveoglisci sta sosednji, ce sta krajisci iste stranice. Pravilni n-kotnik vcasihimenujemo tudi pravilni veckotnik.

Definicija. Imejmo pravilni n-kotnik Pn s srediscem S, kjer je n sodo stevilo.Dve oglisci n-kotnika sta nasprotni, ce diagonala s krajiscema v teh dvehogliscih vsebuje sredisce S. Dve stranici n-kotnika sta nasprotni, ce daljica skrajiscema v razpoloviscih teh dveh stranic vsebuje sredisce S.

Definicija. Naj bo Pn pravilni n-kotnik s srediscem S, kjer je n liho stevilo.Ce daljica s krajiscema v ogliscu A in razpoloviscu stranice s vsebuje sredisceS, potem recemo, da je stranica s nasprotna ogliscu A.

Definicija. Izometrija ravnine Σ je bijektivna funkcija T : Σ → Σ, kiohranja razdalje, torej za poljubni tocki A, B velja T (A)T (B) = AB.

Izrek 3.1. Mnozica vseh izometrij I(Σ) evklidske ravnine Σ je grupa zaoperacijo kompozitum.

Definicija. Zrcaljenje preko premice l je izometrija Zl : Σ → Σ, podanatakole. Za poljubno tocko T ∈ l velja Zl(T ) = T . Za poljubno tocko U ∈ Σ\lpa naj bo m pravokotnica na l, ki vsebuje tocko U ; potem je Zl(U) tista tockana m, ki lezi drugi strani premice l kot U in je enako oddaljena od l kot tockaU .

6

Definicija. Tocki A, za katero velja T (A) = A, recemo negibna tocka alitudi fiksna tocka izometrije T .

Izrek 3.2. Naj bo T izometrija ravnine Σ. Tedaj T ohranja:

1. kolinearnost

2. relacijo vmesnosti med tockama

3. daljice

4. premice

5. trikotnike

Izrek 3.3. Ce imamo skladna trikotnika ∆ABC in ∆DEF , obstaja natankoena izometrija T , za katero velja T (A) = D, T (B) = E in T (C) = F .

Definicija. Naj bodo O, A in B paroma razlicne tocke. Rotacija RAOB ssrediscem v tocki O za kot ∠AOB je izometrija ravnine Σ, definirana takole:

• Ce je−→OA =

−−→OB, je RAOB identicna preslikava.

• Ce so tocke A, O in B nekolinearne, obstaja natanko ena tocka A′ ∈−−→OB, za katero velja OA = OA′. Obstaja natanko ena tocka B′, ki lezi

na drugi strani premice←→OB kot tocka A in za katero velja ∠AOB =

∠BOB′ in OB = OB′. Rotacija RAOB je tedaj edina izometrija, zakatero velja RAOB(O) = O, RAOB(A) = A′ in RAOB(B) = B′.

• Naj bosta poltraka−→OA in

−−→OB nasprotna. Naj bo A′ ∈

−−→OB tocka, za

katero velja OA = OA′. Izberemo tocko C 6= O, za katero velja, da

je premica←→OC pravokotna na

←→AB. Naj bo C ′ tocka na drugi strani

premice←→AB kot tocka C, za katero velja OC = OC ′. Rotacija RAOB je

tedaj edina izometrija, za katero velja RAOB(O) = O, RAOB(A) = A′

in RAOB(C) = C ′.

Definicija. Mnozica tock M je zrcalno simetricna (somerna) glede na pre-mico p, ce se pri zrcaljenju cez premico p preslika sama vase (torej, ce veljaZp(M) = M). Premico p imenujemo simetrala oz. simetrijska os mnoziceM .

7

4 Diedrska grupa

V naslednjih dveh poglavjih si bomo diedrsko grupo ogledali iz dveh perspek-tiv. V tem poglavju jo bomo karakterizirali s pomocjo izometrij, nato pa sibomo v naslednjem poglavju ogledali se abstraktno karakterizacijo diedrskegrupe. Celotno poglavje je povzeto po [3] in [6].

4.1 Karakterizacija diedrske grupe z izometrijami

Definicija. Naj bo Pn ⊂ Σ pravilni n-kotnik. Diedrska grupa Dn je grupaizometrij evklidske ravnine, ki ohranjajo Pn, z operacijo kompozitum.

Dn = {T : Σ→ Σ | T (Pn) = Pn} ≤ I(Σ)

Slika 1: Zrcaljenja in rotacije (vir: [3])

Na sliki 1 so s crtkanimi crtami prikazane simetrijske osi veckotnikov. Obzrcaljenju preko teh osi se veckotniki ohranjajo.

Opomba. Dn je res grupa, ker je zaprta za kompozitum in inverz preslikavin je torej podgrupa v grupi vseh izometrij ravnine I(Σ).

Lema 4.1. Vsaka tocka pravilnega n-kotnika Pn je (med vsemi tockamitega n-kotnika) natanko dolocena z razdaljo do dveh sosednjih oglisc tegaveckotnika.

Dokaz. Naj bosta tocki A in B na sliki 2 sosednji oglisci nasega veckotnika.Naj bo X neka tocka veckotnika, ki je oddaljena od tocke A za razdaljor1 in od tocke B za razdaljo r2. Tocka X torej lezi na preseciscu kroznicK(A, r1) in K(B, r2), zato je bodisi enaka C bodisi enaka D. Daljica AB

8

je ena izmed stranic tega veckotnika. Po definiciji pravilnega n-kotnika jezato celoten veckotnik Pn vsebovan v zaprtju ene od polravnin, omejenih s

premico←→AB. Iz tega sledi, da tocki C in D ne moreta biti obe vsebovani v

tem veckotniku. Tako je iskana tocka X lahko le ena od tock C in D ter jes tem dobro definirana.

Slika 2: Dolocanje tocke veckotnika z razdaljo od dveh sosednjih oglisc

4.2 Elementi Dn

Lema 4.2. Poljubna izometrija ravnine, ki ohranja sredisce n-kotnika Pn inki eno oglisce n-kotnika preslika v neko oglisce n-kotnika, ohranja Pn.

Dokaz. Naj bo Pn pravilni n-kotnik s srediscem S in oglisci T1, T2, . . . , Tn (glejdefinicija pravilnega n-kotnika). Mnozica Pn je unija n skladnih enakokrakihtrikotnikov ∆STiT(i+1)mod n za i = 1, 2, . . . , n. Naj bo f : Σ → Σ izometrija,za katero velja f(S) = S in f(T1) = Ti za nek 1 ≤ i ≤ n. Ker je f izometrija,velja T1T2 = f(T1)f(T2) = Tif(T2) in ST2 = Sf(T2). To pomeni, da se oglisceT2 (ki je sosednje T1) preslika v sosednje oglisce oglisca Ti. Podobno se oglisceT3 preslika v sosednje oglisce oglisca f(T2) itd. Iz tega sledi, da izometrija fohranja tako sredisce S kot tudi mnozico oglisc pravilnega n-kotnika Pn. PoIzreku 3.2 izometrija f ohranja trikotnike, torej velja f(∆STiT(i+1)mod n) =∆STjT(j+1)mod n. Iz tega sledi, da je f(Pn) = Pn.

9

Posledica 4.3. Naj bo Pn pravilni n-kotnik s srediscem S.

1. Ce sta T1 in T2 sosednji oglisci n-kotnika, potem rotacija RT1ST2 ohranjaPn.

2. Ce je n sodo stevilo, potem zrcaljenje preko premice, ki vsebuje dvenasprotni oglisci, ohranja Pn.

3. Ce je n sodo stevilo, potem zrcaljenje preko skupne simetrale dvehnasprotnih stranic prav tako ohranja Pn.

4. Ce je n liho stevilo, potem zrcaljenje preko premice, ki vsebuje nekooglisce in razpolovisce njemu nasprotne stranice, ohranja Pn.

Dokaz.

1. Ker velja bodisiRT1ST2(T1) = T2 bodisiRT1ST2(T2) = T1) terRT1ST2(S) =S, po Lemi 4.2 sledi RT1ST2(Pn) = Pn.

2. Naj bo n sodo stevilo in naj bo p premica, ki vsebuje nasprotni oglisciTi in Ti+n

2veckotnika Pn. Tedaj za zrcaljenje preko premice p velja

Zp(Ti) = Ti in Zp(S) = S. Po Lemi 4.2 sledi Zp(Pn) = Pn.

3. Naj bo n sodo stevilo in naj bo q premica, ki je skupna simetrala dvehnasprotnih stranic TiTi+1 in Ti+n

2Ti+1+n

2. Tedaj za zrcaljenje preko

premice q velja Zq(Ti) = Ti+1 in Zq(S) = S. Po Lemi 4.2 sledi Zq(Pn) =Pn.

4. Naj bo n liho stevilo in naj bo t premica, ki vsebuje oglisce Ti in raz-polovisce njemu nasprotne stranice Ti+n−1

2Ti+n+1

2veckotnika Pn. Tedaj

za zrcaljenje preko premice t velja Zt(Ti) = Ti in Zt(S) = S. Po Lemi4.2 sledi Zt(Pn) = Pn.

Trditev 4.4. Red grupe Dn je enak 2n.

Dokaz. Najprej dokazemo, da je |Dn| ≤ 2n. Nato s konstrukcijo zadostnegastevila izometrij (rotacij in zrcaljenj) pokazemo, da je |Dn| ≥ 2n.

10

1. |Dn| ≤ 2n:

Izberimo poljubni dve sosednji oglisci pravilnega n-kotnika Pn ter juoznacimo z A in B. Poljuben element g grupe Dn je izometrija n-kotnika, ki ohranja sosednost oglisc, torej sta g(A) in g(B) sosednjioglisci. Za vsako tocko T ∈ Pn je tocka g(T ) natanko dolocena zrazdaljama od tock g(A) in g(B) po Lemi 4.1. Ker ima veckotnik noglisc, imamo za izbiro tocke g(A) najvec n moznosti. Ker sta g(A)in g(B) sosednji oglisci, imamo nato za izbiro tocke g(B) najvec 2moznosti (vsako oglisce ima dve sosednji oglisci). Torej imamo najvec2n razlicnih moznosti za izbiro elementa g.

2. |Dn| = 2n

Poskusimo pokazati, da imamo v Dn n rotacij in n zrcaljenj.Naj bo Pn pravilni n-kotnik s srediscem S. Po Posledici 4.3 rotacijaRT1ST2 ohranja Pn. Iz tega sledi, da tudi rotacije RT1ST1+k

= RkT1ST2

ohranjajo Pn za k = 0, 1, 2, . . . , n− 1. Torej grupa Dn vsebuje n rota-cij, ki so paroma razlicne, saj razlicno preslikajo oglisce T1.Vrste zrcaljenj pravilnega n-kotnika pa se razlikujejo glede na parnoststevila n.

• Ce je n liho stevilo:Po Posledici 4.3 vsako zrcaljenje preko premice, ki vsebuje ogliscen-kotnika in razpolovisce nasprotne stranice, ohranja Pn. Kerimamo n oglisc, v tem primeru dobimo tudi n zrcaljenj. Ta zr-caljenja so med seboj razlicna, saj vsako zrcaljenje fiksira svojeoglisce.

• Ce je n sodo stevilo:Po Posledici 4.3 vsako zrcaljenje preko premice, ki vsebuje dvenasprotni oglisci n-kotnika, ohranja Pn - to nam da n

2razlicnih

zrcaljenj. Po isti Posledici vsako zrcaljenje preko premice, ki vse-buje razpolovisci dveh nasprotnih stranic, prav tako ohranja Pn

- tudi tu dobimo n2

zrcaljenj. Vsa nasteta zrcaljenja so paromarazlicna, saj so paroma razlicne premice, ki jih ta zrcaljenja ohra-njajo. Skupno imamo torej n zrcaljenj, ki ohranjajo veckotnikPn.

11

Sedaj vemo, da imamo v diedrski grupi Dn 2n elementov, od tega nzrcaljenj in n rotacij. Zanima nas, kako so posamezne rotacije in zrcaljenjapovezana med seboj. Kako lahko na enostaven nacin izrazimo vse rotacije inkako zrcaljenja?

Poglejmo si najprej rotacije. Naj bo Pn pravilni n-kotnik s srediscemS. Naj bosta T1 in T2 sosednji oglisci veckotnika Pn, tako da je trikotnik∆T1T2S pozitivno orientiran. Rotacijo RT1ST2 oznacimo z r ∈ Dn. Pri temje potrebno biti zelo pozoren na to, da r iz D5 ni enak r iz D6. Torej jerotacija r odvisna od stevila n. Iz rotacije r lahko preostalih n − 1 rotacijgrupe Dn dobimo s potencami r. Torej imamo v grupi Dn ravno n rotacij,zapisanih kot:

1, r, r2, r3, ..., rn−1.

Ostanejo nam se zrcaljenja. Naj bo z eno izmed zrcaljenj, ki ohranjajopravilni n-kotnik Pn. Vsako zrcaljenje je reda 2, torej velja z2 = 1 in z−1 = z.

Izrek 4.5. Podmnozica {r, z} generira grupoDn. Zrcaljenja vDn so elementiz, rz, r2z, . . . , rn−1z. Elementi diedrske grupe so

Dn = {1, r, r2, . . . , rn−1, z, rz, r2z, . . . , rn−1z} .

Dokaz. Najprej dokazemo, da so vsi nasteti elementi grupeDn paroma razlicni.Rotacije 1, r, r2, . . . , rn−1 so paroma razlicne zato, ker razlicno preslikajooglisce T1, saj ob obicajnem oznacevanju oglisc (glej definicija pravilnegan-kotnika) velja ri(T1) = Ti+1 za i = 0, 1, . . . , n − 1. V primeru zrcaljenj pavsako od nastetih rotacij pomnozimo z istim elementom z z desne strani. Iztega sledi, da je tudi riz 6= rjz za 0 ≤ i 6= j ≤ n−1. Torej imamo n razlicnihzrcaljenj z, rz, r2z, . . . ,rn−1z.

Predpostavimo sedaj, da je rkz = rl za neka 0 ≤ k, l ≤ n − 1. Torej jez = rl−k, iz tega pa sledi, da je z rotacija, kar ne more biti res, saj vemo, daje z zrcaljenje. Po Trditvi 4.4 ima grupa Dn natanko 2n elementov, torej resvelja

Dn = {1, r, r2, . . . , rn−1, z, rz, r2z, . . . , rn−1z} .

S tem smo dokazali tudi, da je grupa Dn generirana s podmnozico {r, z}.

12

4.3 Povezave med rotacijami in zrcaljenji

V diedrski grupi Dn izometriji r in z med seboj ne komutirata. Vendar pa jenjuna komutacijska zveza temeljna formula za vse izracune v Dn.

Trditev 4.6. V diedrski grupi Dn velja enakost

zrz−1 = r−1.

Dokaz. Iz Leme 4.1 sledi, da je vsaka izometrija pravilnega n-kotnika natankodolocena s slikama dveh sosednjih oglisc. Da dokazemo to trditev, je torejdovolj dokazati, da imata zrz−1 in r isto vrednost na nekem paru sosednjihoglisc.

Naj bo z zrcaljenje, ki fiksira oglisce A veckotnika Pn. Oznacimo z B inB′ sosednji oglisci oglisca A (glej sliko 3). Simetrijska os vsebuje oglisce Ain jo zrcaljenje z fiksira. Tako imamo v tem primeru:

Slika 3: zrz−1 = r−1 (vir: [3])

r(A) = B, r−1(A) = B′, z(A) = A in z(B) = B′

Vrednosti zrz−1 in r−1 v vozliscu A so:

zrz−1(A) = (zrz)(A) = zr(z(A)) = zr(A) = z(B) = B′ = r−1(A)

Sedaj pa pogledamo ti dve vrednosti se za vozlisce B:

zrz−1(B) = (zrz)(B) = zr(z(B)) = zr(B′) = z(A) = A = r−1(B)

Pokazali smo, da sta vrednosti zrz−1 in r−1 enaki tako v vozliscu A kottudi v vozliscu B. Iz tega torej po Lemi 4.1 sledi, da sta vrednosti tehdveh preslikav enaki v poljubni tocki nasega veckotnika, zato v Dn veljazrz−1 = r−1.

13

4.3.1 Posledice relacije zrz−1 = r−1

Ker smo ze pokazali, da je z−1 = z, imamo razen zrz−1 = r−1 se nekajzapisov, ekvivalentnih le-temu.

1. zr = r−1z in rz = zr−1

To pomeni, da ko racunamo v diedrski grupi Dn, lahko r ”prema-knemo” na drugo stran z-ja, z njegovim inverzom.

2. zrk = r−kz, rkz = zr−k

To relacijo dobimo tako, da k-krat zaporedoma uporabimo relacijo 1.

3. Relacija 1. vkljucuje produkt tocno dolocene rotacije in tocno dolocenegazrcaljenja v Dn. V tocki 2. smo to relacijo razsirili na produkt poljubnerotacije in tocno dolocenega zrcaljenja v Dn. To relacijo pa lahko serazsirimo na produkt poljubne rotacije in poljubnega zrcaljenja v Dn.Poljubno zrcaljenje v Dn se zapise kot riz, torej po tocki 2. dobimo:

(riz)rj = rir−jz

= r−jriz

= r−j(riz).

Se v drugem vrstnem redu:

rj(riz) = rirjz

= rizr−j

= (riz)r−j.

To pa ima tudi lep geometrijski pomen v Dn. Ko v Dn mnozimo, lahkopoljubno rotacijo ”premaknemo”na drugo stran poljubnega zrcaljenjaz njenim inverzom.

4.4 Konjugiranostni razredi in center grupe Dn

Stevilo zrcaljenj v grupi Dn je vedno enako n, medtem ko je geometrijskavsebina zrcaljenj razlicna glede na parnost stevila n. Ko je n liho stevilo, vse

14

Slika 4: Simetrijske osi za lihi n = 3 in n = 5 (vir: [3])

Slika 5: Simetrijske osi za sodi n = 4 in n = 6 (vir: [3])

simetrijske osi zrcaljenja spadajo v isti tip, v primeru, da je n sodo stevilo,pa poznamo dva tipa.

Na slikah 4 in 5 lahko lepo vidimo, da ko je n liho stevilo, obstaja samoen tip simetrijskih osi zrcaljenja - simetrijska os zrcaljenja v tem primeruvsebuje oglisce in razpolovisce nasprotne stranice. Ko pa je n sodo stevilo,imamo dva tipa simetrijskih osi - prvi tip je os, ki vsebuje dve nasprotnioglisci, drugi tip pa os, ki vsebuje razpolovisci dveh nasprotnih stranic.

Trditev 4.7. Konjugiranostni razredi diedrske grupe Dn so:

1. V primeru, ko je n liho stevilo:

• identiteta: {1},• n−1

2konjugiranostnih razredov moci 2: {r±1}, {r±1}, ..., {r±(n−1

2)},

• konjugiranostni razred moci n, ki vsebuje vsa zrcaljenja:{riz : 0 ≤ i ≤ n− 1}.

2. V primeru, ko je n sodo stevilo:

• Dva konjugiranostna razreda moci 1: {1} in {r n2 },

15

• n2−1 konjugiranostnih razredov moci 2: {r±1}, {r±1}, ..., {r±(n

2−1)},

• in pa dva konjugiranostna razreda moci n2, ki vsebujeta zrcaljenja:

{r2iz : 0 ≤ i ≤ n

2− 1}, {r2i+1z : 0 ≤ i ≤ n

2− 1}

Dokaz. Vsak element Dn je oblike ri ali riz za nek indeks 0 ≤ i ≤ n − 1.Iscemo konjugiranostni razred elementa g. Zato moramo izracunati elementa:rigr−i in (riz)g(riz)−1.

Enakosti rirjr−i = rj in (riz)rj(riz)−1 = r−j pokazeta, da sta rj in r−j

edini konjugiranki elementa rj.Za iskanje konjugiranostnega razreda zrcaljenja z izracunamo:

rizr−i = r2iz in (riz)z(riz)−1 = r2iz.

Ko se indeks i spreminja, produkt r2iz zavzame vsa zrcaljenja, pri katerihje eksponent r sodo stevilo. V primeru, ko je n liho stevilo, je vsako celostevilo po modulu n veckratnik stevila 2. Zato sledi:

{r2iz : i ∈ Z} = {riz : i ∈ Z}

Torej je vsako zrcaljenje v Dn konjugirano zrcaljenju z.Ko je n sodo stevilo, pa so le zrcaljenja oblike r2iz konjugirana z za

i = 0, 1, . . . , n−22

. Druga polovica zrcaljenj pa je konjugirana rz:

ri(rz)r−i = r2i+1z in (riz)(rz)(riz)−1 = r2i−1z.

Konjugiranostni razred elementa rz je torej enak {rz, r3z, ..., rn−1z}.

Tudi center grupe Dn je razlicen glede na parnost stevila n.

Trditev 4.8. Za sodo stevilo n ≥ 3 je center diedrske grupe Dn trivialen. Vprimeru, ko je n ≥ 3 liho stevilo, pa je Z(Dn) = {1, r n

2 }.

Dokaz. Center je mnozica elementov, katerih konjugiranostni razredi vse-bujejo le po en element. V Trditvi 4.7 vidimo, da je za liha stevila n toidentiteta, za sode n pa identiteta in r

n2 .

16

5 Abstraktna karakterizacija in struktura di-

edrske grupe

V prejsnjem poglavju smo diedrsko grupo definirali na geometrijski nacin -s pomocjo izometrij. V tem poglavju pa si bomo pogledali se abstraktnokarakterizacijo diedrske grupe, si ogledali njene generatorje in natancno pre-gledali vse podgrupe Dn. Za konec si bomo na kratko ogledali se neskoncnodiedrsko grupo. Celotno poglavje je povzeto po [4].

5.1 Abstraktna karakterizacija grupe Dn

V prejsnjem poglavju smo dokazali, da ima diedrska grupa dva generatorja:rotacijo r, ki je reda n, in zrcaljenje z, ki je reda 2. Generatorja sta medseboj povezana z relacijo zrz−1 = r−1. Pokazali bomo, da je to v resnicitudi natancna karakterizacija diedrske grupe. Pokazali bomo tudi, da sevsaka grupa z generatorjema, kot sta r in z, preslika na Dn s surjektivnimhomomorfizmom, ki je izomorfizem v primeru, ko sta grupi istega reda.

Trditev 5.1. Naj bo G grupa, generirana z elementoma a in b, za kateravelja an = 1 za nek n ≥ 3, b2 = 1 in bab−1 = a−1. Tedaj obstaja sur-jektivni homomorfizem f : Dn → G. Ce je G reda 2n, je ta homomorfizemizomorfizem.

Opomba. Hipoteza an = 1 in b2 = 1 ne pomeni, da je a reda n in b reda 2,ampak zgolj, da njuna reda delita n oziroma 2.

Dokaz. Iz enakosti bab−1 = a−1 sledi bajb−1 = a−j za vsak j ∈ Z. Ker jeb2 = 1, za vsak k ∈ Z velja bkajb−k = a(−1)kj. Iz tega sledi bkaj = a(−1)kjbk.

Tako v poljubnem produktu a-jev in b-jev lahko vse a-je prestavimo nalevo stran in vse b-je na desno stran. Ker imamo se an = 1 in b2 = 1, dobimo:

G = {aj, ajb : 0 ≤ j ≤ n− 1}= {1, a, a2, ..., an−1, b, ab, a2b, ..., an−1b}

Torej je G koncna grupa reda ≤ 2n. Zelimo zapisati homomorfizem iz Dn

na G. Homomorfizem f : Dn → G definiramo s predpisom:

f(rjzk) = ajbk .

17

Da sedaj pokazemo, da je f homomorfizem, uporabimo enakost bkaj =a(−1)kjbk in podobno zkrj = r(−1)kjzk:

f(rjzk)f(rj′zk′) = ajbkaj

′bk′

= aja(−1)kj′bkbk′

= aj+(−1)kj′bk+k′

in

f((rjzk)(rj′zk′)) = f(rjr(−1)kj′zkzk

′)

= f(rj+(−1)kj′zk+k′)

= aj+(−1)kj′bk+k′

Torej je f : Dn → G res homomorfizem. Homomorfizem f je surjektiven,zato ker je vsak element G oblike ajbk, to pa je tudi slika f po definicijihomomorfizma f . Ce je red grupe G enak 2n, potem iz surjektivnosti fsledi, da je f tudi injektiven, to pa pomeni, da je f izomorfizem.

Opomba. Homomorfizem f : Dn → G, konstruiran v zgornjem dokazu, jeedini homomorfizem, za katerega velja f(r) = a in f(z) = b. Iz tega sledi boljsplosna formulacija Trditve 5.1: Za vsako grupo G z dvema generatorjema ain b, kjer velja an = 1 za nek n ≥ 3, b2 = 1 in bab−1 = a−1, obstaja natankoen homomorfizem f : Dn → G, za katerega velja f(r) = a in f(z) = b.

5.2 Diedrske grupe in generatorji reda 2

V Dn lahko element r dobimo iz elementov z in rz (rz · z = rz2 = r). Zatolahko grupo Dn generiramo tudi z izometrijama rz in z. Diedrska grupa jev tem primeru generirana z dvema elementoma reda 2. Ta med seboj nekomutirata: rz · z = r in z · rz = zrz = r−1zz = r−1.

Trditev 5.2. Naj bo grupa G koncna nekomutativna grupa, generirana zdvema elementoma reda 2. Potem je G izomorfna diedrski grupi.

Dokaz. Oznacimo z x in y generatorja grupe G, ki sta reda 2. Ker je Gnekomutativna grupa, generirana z elementoma x in y, x in y med seboj nekomutirata (xy 6= yx). Ker je G koncna grupa, ima produkt xy koncen red.Recimo, da je red elementa xy enak n. Oznacimo a = xy in b = y. Potem

18

je grupa G generirana z elementoma a in b, za katera velja an = 1 in b2 = 1.Ker je a reda n, n deli red grupe G po Trditvi 2.3. Ker b ni vsebovan vpodgrupi G, generirani z elementom a, velja |G| > n, torej je |G| ≥ 2n.Red n elementa a mora biti vecji od 2, saj bi v nasprotnem primeru veljaloa2 = 1 in zato xyxy = 1, ker pa sta x in y reda 2, bi iz tega sledilo xy =y−1x−1 = yx, kar pa je v nasprotju z dejstvom, da x in y ne komutirata.Torej sledi n ≥ 3. Ker velja

bab−1 = yxyy = yx, a−1 = y−1x−1 = yx,

dobimo bab−1 = a−1. Po Trditvi 5.1 obstaja surjektivni homomorfizemf : Dn → G, torej je |G| ≤ 2n. Ze prej smo pokazali, da velja |G| ≥ 2n,torej je |G| = 2n in G ∼= Dn.

5.3 Podgrupe Dn

V tem razdelku si bomo ogledali vse podgrupe diedrske grupe Dn. Ogledalisi bomo tudi, katere izmed njih so podgrupe edinke v grupi Dn.

Trditev 5.3. Vsaka podgrupa Dn je ciklicna ali diedrska. Vse podgrupe sosledece:

1. Podgrupa 〈rd〉 indeksa 2d, kjer je d delitelj stevila n.

2. Podgrupa 〈rd, riz〉 indeksa d, kjer d|n in 0 ≤ i ≤ d− 1.

V tem seznamu se vsaka podgrupa Dn pojavi natanko enkrat. Podgrupeprvega tipa so ciklicne: 〈rd〉 ∼= Z/(n/d), podgrupe drugega tipa pa diedrske:〈rd, riz〉 ∼= Dn/d.

Dokaz. Predpostavimo, da n ≥ 3. Naj bo H podgrupa grupe Dn. Kom-pozitum homomorfizmov f : H ↪→ Dn → Dn/〈r〉 v grupo reda 2 je bodisitrivialen bodisi surjektiven. Njegovo jedro je enako H ∩ 〈r〉.

Ce je homomorfizem f trivialen, potem je H = H ∩ 〈r〉, zato je H ⊂ 〈r〉,kar pomeni, da je H = 〈rd〉 za nek delitelj d stevila n. Red 〈rd〉 je enak n/din indeks [Dn : H] je enak 2n/(n/d) = 2d.

V primeru, ko je homomorfizem f surjektiven, je H/(H∩〈r〉) reda 2, zatoima H ∩ 〈r〉 indeks 2 v H. Oznacimo H ∩ 〈r〉 = 〈rd〉 in torej [H : 〈rd〉] = 2.Ker ima 〈rd〉 red n/d, je |H| = 2n/d in [Dn : H] = 2n/|H| = d. Ce izberemo

19

poljuben h ∈ H, za katerega velja h /∈ 〈rd〉, potem h ni potenca r, saj velja〈rd〉 = H ∩ 〈r〉, torej je h zrcaljenje. Zapisemo h = riz. Potem H vsebuje

{rdk, rdk+iz : 0 ≤ k ≤ n

d− 1},

kar je ze mnozica moci 2(n/d), torej H = 〈rd, riz〉. Ce pomnozimo riz sprimerno mocjo rd-ja, dobimo rjz, kjer 0 ≤ j ≤ d− 1. Zato lahko v mnozicigeneratorjev riz zamenjamo z rjz, kjer je 0 ≤ j ≤ d− 1. Podgrupa 〈rd, riz〉je netrivialna in generirana z elementoma reda 2 (riz in rd · riz), torej jepo Trditvi 5.2 izomorfna diedrski grupi. Ker ima element rd red n/d, je redpodgrupe 〈rd, riz〉 enak 2(n/d), njen indeks v grupi Dn pa je enak d.

Da pokazemo, da se vsaka podgrupa Dn v skupinah 1. in 2. iz Trditve 5.3pojavi natanko enkrat, najprej preverimo, da sta skupini disjunktni. Edinediedrske grupe, ki so ciklicne, so reda 2. Da bo 〈rd, riz〉 reda 2, mora veljatid = n. Podgrupa 〈rn, riz〉 = 〈riz〉 je reda 2 in ker riz ni potenca r-ja, tapodgrupa ni v skupini 1.

V skupini 1. nobena podgrupa ne nastopa dvakrat, saj se red podgrupe〈rd〉 spreminja, ko spreminjamo d. Ce bi v skupini 2. neka podgrupa na-stopala dvakrat, denimo 〈rd, riz〉 = 〈re, rjz〉, potem izracun indeksa v Dn

pokaze, da je d = e. Zrcaljenja v 〈rd, riz〉 so vsa rdk+iz, torej je rjz = rdk+izza nek k. Potem je j ≡ dk + i mod n in ker d|n, dobimo dobimo j ≡ imod d. Iz tega sledi j = i, saj 0 ≤ i, j ≤ d− 1.

Posledica 5.4. Naj bo n liho stevilo in naj m|2n. Ce je m liho stevilo,potem obstaja m podgrup grupe Dn indeksa m. Ce je m sodo stevilo, potempa obstaja ena podgrupa grupe Dn indeksa m.Naj bo n sodo stevilo in naj m|2n.

• Ce je m liho stevilo, potem obstaja m podgrup grupe Dn indeksa m.

• Ce je m sodo stevilo in m ne deli n, potem obstaja ena podgrupa grupeDn indeksa m.

• Ce je m sodo stevilo in m|n, potem obstaja m + 1 podgrup grupe Dn

indeksa m.

Dokaz. Naj bo n ≥ 3. Ce je n liho stevilo, potem so lihi delitelji 2n deliteljin-ja, sodi delitelji 2n pa so delitelji oblike 2d, kjer d|n. Po Trditvi 5.3 je po-ljubna podgrupa lihega indeksa diedrska, poljubna podgrupa sodega indeksa

20

pa je podgrupa grupe 〈r〉. Podgrupa lihega indeksa m je 〈rm, riz〉 za enolicenindeks 0 ≤ i ≤ m−1, torej imamo m takih podgrup. Edina podgrupa sodegaindeksa m pa je 〈rm/2〉 po Trditvi 5.3.

Ce je n sodo stevilo in ce je m lihi delitelj 2n, tedaj m|n in je podgrupaindeksa m natanko 〈rm, riz〉, kjer je 0 ≤ i ≤ m − 1. Ko je m sodi delitelj2n, tako da (m/2)|n, je 〈rm/2〉 podgrupa indeksa m. Ce m ne deli n, potemje 〈rm/2〉 edina podgrupa indeksa m. Ce m deli n, so preostale podgrupeindeksa m podgrupe 〈rm, riz〉, kjer 0 ≤ i ≤ m− 1.

Ogledali smo si, katere podgrupe ima diedrska grupa Dn, in koliko jih je.Sedaj pa si oglejmo njihove konjugiranostne razrede.

Trditev 5.5. Naj bo n liho stevilo in naj m|2n. Ce je m liho stevilo, potemje vseh m podgrup grupe Dn indeksa m konjugiranih podgrupi 〈rm, z〉. Ce jem sodo stevilo, potem je edina podgrupa grupe Dn indeksa m grupa 〈rm/2〉.Torej so vse grupe istega indeksa ena drugi konjugirane.Naj bo n sodo stevilo in naj m|2n:

• Ce je m liho stevilo, potem so vse podgrupe grupe Dn indeksa m ko-njugirane podgrupi 〈rm, z〉.

• Ce je m sodo stevilo in m ne deli n, potem je edina podgrupa grupeDn indeksa m podgrupa 〈rm/2〉.

• Ce je m sodo stevilo in m|n, potem je poljubna podgrupa grupe Dn

indeksa m podgrupa 〈rm/2〉 ali pa je konjugirana natanko eni izmedpodgrup 〈rm, z〉 ali 〈rm, rz〉.

V splosnem je stevilo konjugiranostnih razredov podgrup grupe Dn indeksam enako 1, ce je m sodo stevilo; enako 1, ce je m liho stevilo in m ne deli nin enako 3, ce je m sodo stevilo in m|n.

Dokaz. Naj bo n ≥ 3. Ce sta m in n lihi stevili, tedaj m|n in je vsakapodgrupa Dn indeksa m oblike 〈rm, riz〉. Ker je n liho stevilo, sta z in rizkonjugirana elementa Dn. Edina elementa Dn, ki sta konjugirana elementurm, sta r±m. Vsaka konjugacija, ki poslje z v riz, spremeni podgrupo 〈rm, z〉v 〈r±m, riz〉 = 〈rm, riz〉.

Ce je n liho in m sodo stevilo, je po Trditvi 5.3 edina podgrupa grupe Dn

sodega indeksa m podgrupa 〈rm/2〉.Ce je n sodo stevilo in je m lihi delitelj 2n, tedaj m|n in je podgrupa grupe

Dn indeksa m podgrupa 〈rm, riz〉, kjer 0 ≤ i ≤ m− 1. Ker je riz konjugiran

21

z ali rz (odvisno od parnosti i-ja), in edina elementa, konjugirana rm-ju vDn sta r±m, je podgrupa 〈rm, riz〉 konjugirana bodisi podgrupi 〈rm, z〉 ali papodgrupi 〈rm, rz〉. Vsaka konjugacija, ki poslje rmz v rz, spremeni podgrupo〈rm, z〉 v podgrupo 〈rm, rz〉.

Ce je m sodi delitelj stevila 2n, tedaj (m/2)|n in nam Trditev 5.3 pove,da je 〈rm/2〉 podgrupa indeksa m. Vsaka druga podgrupa Dn indeksa m pa jeoblike 〈rm, riz〉 za nek indeks i, in to le v primeru, ce m|n; tedaj je podgrupa〈rm, riz〉 konjugirana eni izmed podgrup 〈rm, z〉 ali 〈rm, rz〉. Preostane namse pokazati, da sta 〈rm, z〉 in 〈rm, rz〉 nekonjugirani podgrupi grupe Dn. Kerje m sodo stevilo, so zrcaljenja v 〈rm, z〉 oblike riz za sodo stevilo i. Zrcaljenjav 〈rm, rz〉 pa so oblike riz za liho stevilo i. Tako nobeno zrcaljenje iz prvepodgrupe nima konjugiranega elementa v drugi podgrupi, to pa pomeni, dasi ti dve podgrupi nista konjugirani.

Pred koncem tega razdelka moramo ugotoviti se, katere izmed podgrupdiedrske grupe so podgrupe edinke.

Trditev 5.6. V Dn je vsaka podgrupa grupe 〈r〉 podgrupa edinka grupe Dn;to so podgrupe 〈rd〉 indeksa 2d za vsak delitelj d stevila n. S tem opisemovse prave podgrupe edinke grupe Dn v primeru, ko je n liho stevilo. Edinipreostali pravi podgrupi edinki, ko je n sodo stevilo, sta podgrupi 〈r2, z〉 in〈r2, rz〉 indeksa 2.

V splosnem obstaja najvec ena podgrupa edinka danega indeksa v Dn

z izjemo treh podgrup edink 〈r〉, 〈r2, z〉 in 〈r2, rz〉 indeksa 2, ko je n sodostevilo.

Dokaz. Naj bo n ≥ 3. Ker je 〈r〉 ciklicna podgrupa edinka grupe Dn, so vsenjene podgrupe edinke v Dn in imajo obliko 〈rd〉, kjer d|n.

Poiskati moramo se podgrupe edinke v Dn, ki niso znotraj podgrupe 〈r〉.Vsaka taka podgrupa mora vsebovati zrcaljenje.

Najprej predpostavimo, da je n liho stevilo. Po Trditvi 4.7 so vsa zrcalje-nja v Dn med seboj konjugirana, torej mora podgrupa edinka, ki vsebuje enozrcaljenje, vsebovati vseh n zrcaljenj, torej polovico grupe Dn. Taka pod-grupa prav tako vsebuje tudi identiteto, torej je njen red vecji od polovicereda grupe Dn in tako je ta podgrupa kar Dn. Iz tega sledi, da je vsaka pravapodgrupa edinka grupe Dn vsebovana v 〈r〉.

Sedaj pa predpostavimo, da je n sodo stevilo. Zrcaljenja v Dn po Trditvi4.7 razpadejo v dva konjugiranostna razreda velikosti n/2, predstavljena z rin rz. Torej prava podgrupa edinka N grupe Dn, ki vsebuje eno zrcaljenje,

22

vsebuje bodisi polovico zrcaljenj ali pa vsa zrcaljenja. Ker prava podgrupaDn ne more vsebovati vseh zrcaljenj, N vsebuje natanko n/2 zrcaljenj. KerN vsebuje identiteto, sledi |N | > n/2, torej za indeks te podgrupe velja[Dn : N ] < (2n)/(n/2) = 4. Zrcaljenje v Dn, ki ni element N , ima red2 v Dn/N , torej je indeks [Dn : N ] sodo stevilo. Tako je [Dn : N ] = 2 inobratno, vsaka podgrupa indeksa 2 je edinka. Ker ima Dn/N red 2, je r2 ∈N . Podgrupa 〈r2〉 ≤ Dn je podgrupa edinka indeksa 4. Torej podgrupeindeksa 2 v Dn dobimo tako, da poiscemo prasliko v Dn podgrup indeksa 2v Dn/〈r2〉 = {1, r, z, rz} ∼= Z2 × Z2:

• praslika podgrupe {1, r} je podgrupa 〈r〉,

• praslika podgrupe {1, z} je podgrupa 〈r2, z〉,

• praslika podgrupe {1, rz} je podgrupa 〈r2, rz〉.

5.4 Neskoncna diedrska grupa

V tem razdelku si bomo na kratko ogledali in definirali neskoncno diedrskooziroma afino grupo. Zanima nas, kaj se zgodi, ce v Trditvi 5.2 izpustimopredpostavko o koncnosti grupe. Ali torej obstaja neskoncna nekomutativnagrupa, generirana z dvema elementoma reda 2? Izkaze se, da je tako grupomogoce definirati.

Definicija. Neskoncna diedrska grupa ali afina grupa nad Z je grupaAff(Z),katere elementi so linearne funkcije f(x) = ax + b, kjer je a = ±1 in b ∈ Z,grupna operacija pa je kompozitum funkcij.

Ker kompozitum polinomov oblike ax+b deluje na enak nacin kot mnozenjematrik oblike ( a b

0 1 ), lahko grupo takih matrik, kjer je a = ±1 in b ∈ Z, vza-memo za model grupe Aff(Z). Ker je matricna oblika bolj primerna za zapisproduktov in potenc kot polinomska oblika, bomo v nadaljevanju uporabilimatricni model grupe Aff(Z).

Trditev 5.7. Grupa Aff(Z) je generirana z elementoma ( −1 00 1 ) in ( 1 1

0 1 ).

Dokaz. Poljuben element grupe Aff(Z) je polinom oblike x+k ali pa −x+ lza nek k, l ∈ Z. Ta polinom je v matricnem modelu predstavljen z eno od

23

matrik ( 1 k0 1 ) in ( 1 l

0 1 ), za kateri izracunamo:(1 k0 1

)=

(1 10 1

)k

ali

(−1 l0 1

)=

(1 l0 1

)(−1 00 1

)=

(1 10 1

)l ( −1 00 1

)

Element ( −1 00 1 ) je reda 2, medtem ko ima element ( 1 1

0 1 ) neskoncen red.Grupo Aff(Z) pa lahko generiramo tudi z dvema matrikama reda 2.

Posledica 5.8. Grupa Aff(Z) je generirana z elementoma ( −1 00 1 ) in ( −1 −1

0 1 ),reda 2.

Dokaz. Po Trditvi 5.7 zadostuje, da pokazemo, da matriko ( 1 10 1 ) lahko izra-

zimo s produktom matrik ( −1 00 1 ) in ( −1 −1

0 1 ). Ce pogledamo njun produkt vnaslednjem vrstnem redu, dobimo: ( −1 0

0 1 ) ( −1 −10 1 ) = ( 1 1

0 1 ).

24

6 Drugi objekti z diedrsko simetrijo

Do sedaj smo diedrske simetrije natancno spoznali, jih razdelili na zrcaljenjain rotacije in si jih tudi natancno ogledali ter karakterizirali. Sedaj pa sibomo za konec v tem poglavju ogledali se nekaj drugih objektov z diedrskosimetrijo.

6.1 Grafi

Najprej bomo na kratko definirali nekaj osnovnih pojmov, ki jih bomo po-trebovali za boljse razumevanje. Izhajamo iz [2] in [9].

Definicija. Enostaven neusmerjen graf Γ = (V (Γ), E(Γ)) je urejeni par dvehmnozic V (Γ) in E(Γ), kjer je prva mnozica vozlisc, druga pa neka podmnozicamnozice neurejenih parov razlicnih vozlisc iz V (Γ). Elementom mnozice E(Γ)pravimo povezave grafa Γ. Povezavo {u, v} obicajno zapisemo kar kot uv(sledi, da uv = vu). Ce sta u, v ∈ V (Γ) taki vozlisci, da je uv ∈ E(Γ),pravimo, da sta u in v sosednji vozlisci, kar oznacimo z u ∼ v.

Definicija. Naj bosta Γ1 = (V1, E1) in Γ2 = (V2, E2) grafa. Preslikavaϕ : V1 → V2 je izomorfizem grafov, ce je bijektivna in za poljuben par vozliscu1, v1 ∈ V1 velja

u1 ∼Γ1 v1 ⇐⇒ ϕ(u1) ∼Γ2 ϕ(v1).

Grafa Γ1 in Γ2 sta izomorfna (kar oznacimo z Γ1∼= Γ2), ce med njima obstaja

kak izomorfizem grafov.

Simetrije, ki ohranjajo graf kot objekt, so dane z avtomorfizmi grafa.

Definicija. Naj bo Γ = (V,E) graf. Avtomorfizem grafa Γ je tedaj vsakabijekcija ϕ : V → V , ki ohranja sosednost. Za poljuben par vozlisc u, v ∈ Vmora tedaj veljati

u ∼ v ⇐⇒ ϕ(u) ∼ ϕ(v).

Povedano drugace, ϕ je avtomorfizem grafa Γ natanko tedaj, ko je ϕ izo-morfizem grafa Γ vase. Mnozico vseh avtomorfizmov grafa Γ oznacimo zAut(Γ). Mnozici Aut(Γ) z operacijo komponiranja preslikav recemo grupaavtomorfizmov grafa Γ.

Trditev 6.1. Naj bosta Γ1 = (V1, E1) in Γ2 = (V2, E2) izomorfna grafa.Tedaj sta tudi njuni grupi avtomorfizmov izomorfni: Aut(Γ1) ∼= Aut(Γ2).

25

Definicija. Za graf Γ recemo, da ima diedrsko simetrijo, ce njegova grupaavtomorfizmov Aut(Γ) vsebuje podgrupo, ki je izomorfna neki diedrski grupiDn. Graf Γ ima strogo diedrsko simetrijo, ce je njegova grupa avtomorfizmovAut(Γ) izomorfna diedrski grupi Dn.

Sedaj pa si bomo ogledali nekaj primerov grafov, ki imajo diedrsko sime-trijo.

Zgled. Cikli Cn so grafi z mnozico vozlisc V (Cn) = {0, 1, 2, ..., n − 1}, kjerso edine povezave i ∼ i + 1 za i ∈ Zn. Pa si oglejmo grupo avtomorfizmovza Cn.

Trditev 6.2. Cikel Cn ima diedrsko simetrijo za vsak n ≥ 3.

Dokaz. Definiramo preslikavo r : V (Cn)→ V (Cn) s predpisom r(i) = (i+ 1)mod n. Enostavno je videti, da ta preslikava doloca avtomorfizem reda ngrafa Cn. Nadalje definirajmo preslikavo z : V (Cn) → V (Cn) s predpisomz(i) = (n − i) mod n. Ta preslikava doloca avtomorfizem reda 2 grafa Cn.Izracunamo

(zrz−1)(i) = zr(n− i) = z(n− i+ 1) = i− 1 = r−1(i)

za poljuben i ∈ V (Cn), torej velja zrz−1 = r−1. Podgrupa 〈r, z〉 ≤ Aut(Cn)je podgrupa reda 2n, ki je po Trditvi 5.1 izomorfna diedrski grupi Dn. Iztega sledi, da ima graf Cn diedrsko simetrijo.

Iz Trditve 6.2 sledi, da ima cikel Cn diedrsko simetrijo za vsak n ≥ 3.

Slika 6: Cikli C3, C5 in C10.

Zgled. Naj bo G grupa in S ⊆ G taka podmnozica, da je S = S−1 in e /∈ S(S zaprta za inverze). Tedaj je Cayleyev graf Cay(G;S) graf z mnozicovozlisc G, kjer je vsako vozlisce g ∈ G povezano natanko z vsemi vozliscioblike gs, kjer je s ∈ S.

26

Trditev 6.3. Graf Cay(Dn, S) ima diedrsko simetrijo za vsak n ≥ 3.

Dokaz. Oznacimo G = Cay(Dn, S). Za poljuben element a diedrske grupeDn lahko definiramo preslikavo fa : V (G)→ V (G) s predpisom fa(b) = a · b.Ni tezko preveriti, da preslikava fa definira avtomorfizem grafa G za vsaka ∈ Dn. Iz tega sledi, da grupa avtomorfizmov Aut(G) vsebuje podgrupo{fa| a ∈ Dn}, ki je izomorfna grupi Dn. Torej ima graf G diedrsko simetrijo.

Iz Trditve 6.3 sledi, da ima Cayleyev graf Cay(Dn, S) diedrsko simetrijoza vsak n ≥ 3. Spodaj sta na slikah 7 in 8 prikazana dva primera Cayleyevegagrafa z diedrsko simetrijo.

Slika 7: Cayleyev graf Cay(G = D4;S = {r, r3, z})

27

Slika 8: Cayleyev graf Cay(G = D5;S = {r, r4, zr})

Za grafa na slikah 7 in 8 pa se izkaze, da sta izomorfna grafoma iz se eneznane druzine grafov.

Zgled. Naj bo n ≥ 3 in 1 ≤ k ≤ n−1. Posploseni Petersenov graf GP (n, k)ima mnozico vozlisc {ui}∪{vi} in sosednostmi: ui ∼ ui+1, vi ∼ vi+1 in ui ∼ viza vsak i ∈ Zn.

Slika 9: Posploseni Petersenov graf GP (4, 1)

28

Slika 10: Posploseni Petersenov graf GP (5, 1)

Na slikah 9 in 10 vidimo posplosena Petersenova grafa, ki pa sta ze navidez izomorfna Caylejevim grafoma iz prejsnjega zgleda. Po Trditvi 6.1imata dva grafa, ki sta izomorfna, izomorfni tudi grupi avtomorfizmov. Torejsledi, da imata tudi ta dva grafa diedrsko simetrijo. Na podoben nacinlahko najdemo se vec podobnih posplosenih Petersenovih grafov z diedrskosimetrijo.

Bralec se lahko sam preprica tudi, da je hiperkocka Q(3) izomorfna gra-foma na slikah 7 in 9. Iz tega pa sledi, da je tudi slednja eden izmed grafovz diedrsko simetrijo.

Trditev 6.4. Tudi eden izmed najbolj znanih grafov nasploh (slika 11), Pe-tersenov graf GP (5, 2), po katerem so grafi iz prejsnjega zgleda dobili ime,vsebuje podgrupo Aut(GP (5, 2)), ki je izomorfna diedrski grupi D5 [2].

29

Slika 11: Petersenov graf GP (5, 2)

6.2 Pravilni zvezdni veckotniki

V tem razdelku si bomo ogledali druzino podmnozic evklidske ravnine, ki jolahko skonstruiramo iz pravilnih n-kotnikov. Povzeto po [5].

Definicija. Naj bo Pn pravilni n-kotnik z oglisci T1, T2, . . . , Tn (glej definicijopravilnega n-kotnika), kjer je n ≥ 3. Izberemo si celo stevilo d, tako davelja 1 < d < n

2. Veckotnik, ki je omejen z daljicami TiT(i+d) mod n za i =

1, 2, . . . , n, imenujemo zvezdni veckotnik oziroma zvezda {n/d}.

Trditev 6.5. Grupa izometrij evklidske ravnine, ki ohranjajo zvezdo {n/d},je diedrska grupa Dn [5].

Iz Trditve 6.5 sledi, da imajo vse zvezde {n/d} diedrsko simetrijo, karpomeni, da imajo n rotacij in n zrcaljenj, kar lahko hitro opazimo ze na slikah.Katera zrcaljenja in katere rotacije tocno imamo pri posameznih zvezdah, palahko bralec s pomocjo cetrtega poglavja pogleda sam. Na slikah od 12 do15 je prikazanih nekaj zvezdnih veckotnikov, ki po Trditvi 6.5 vse vsebujejodiedrsko simetrijo.

30

Slika 12: Zvezda {5/2} z diedrsko simetrijo D5

Slika 13: Zvezda {7/2} z diedrsko simetrijo D7

Slika 14: Zvezda {7/3} z diedrsko simetrijo D7

Slika 15: Zvezda {9/4} z diedrsko simetrijo D9

31

6.3 Vozli

Vozlov si v tem diplomskem delu ne bomo natancno ogledali. Povemo le,da so vozli geometrijski objekti, katerih simetrije so prav tako zanimive zaraziskavo. Izhajamo iz [1].

Zgled. V teoriji vozlov poznamo neskoncno druzino torusnih vozlov. Prav vsipa imajo diedrsko simetrijo. Na sliki 16 je prikazanih nekaj torusnih vozlov,bralec pa lahko sam poskusa ugotoviti, katere diedrske simetrije imajo. Slikapridobljena iz: http://katlas.org/wiki/36_Torus_Knots.

Slika 16: Nekaj primerov torusnih vozlov

32

6.4 Diedrska simetrija v nasem vsakdanjiku

Diedrska simetrija pa se ne pojavlja zgolj v matematiki. Prakticno jo naj-demo vsepovsod, pa se tega niti ne zavedamo. Uporabljena je v razlicnihdekoracijah tal, zgradb in v umetnostnih delih. Kemiki pa jo uporabljajotudi za dolocevanje struktur molekul in kristalov. Najdemo jo tudi v naraviin celo pri nekaterih zivalih. Pa si jih nekaj oglejmo.

Zgled. Metulj s slike 17 razen identitete (torej rotacije sam vase) nimadruge rotacijske simetrije, prav tako pa ima zgolj eno os zrcaljenja, ki potekanavpicno po sredini metulja in je tudi narisana. Torej ima diedrsko simetrijoD1.

Slika 17: Diedrska simetrija D1

Zgled. Podobno velja tudi za primer diamanta s slike 18. Tudi ta nimanetrivialne rotacijske simetrije ter ima le eno os zrcalne simetrije, ki potekanavpicno po sredini diamanta, tako kot pri metulju. Sledi, da ima tudi ondiedrsko simetrijo D1.

33

Slika 18: Diedrska simetrija D1

Zgled. Tudi vsem znana stiriperesna deteljica ima diedrsko simetrijo. Spomocjo slike 19 (kjer v tem primeru odmislimo steblo) se lahko bralecsam hitro preprica, da stiriperesna deteljica dovoljuje 4 razlicne rotacije in 4razlicna zrcaljenja, ki deteljico ohranjajo. Torej ima diedrsko simetrijo D4.

Slika 19: Diedrska simetrija D4

Zgled. Kako izgleda morska zvezda, verjetno ve vsak. Da ima tudi onadiedrsko simetrijo pa verjetno ne. Simetrijska grupa morske zvezde na sliki20 je D5. Bralec lahko tudi tu sam preveri, katerih 5 zrcaljenj in 5 rotacijohranja morsko zvezdo na sliki.

34

Slika 20: Diedrska simetrija D5

Zgled. Tudi snezinke imajo diedrsko simetrijo. Natancneje diedrsko sime-trijo D6. Torej obstaja 6 razlicnih zrcaljenj in 6 rotacij, ki snezniko ohranjajo.

Slika 21: Diedrska simetrija D6

35

7 Zakljucek

V diplomskem delu smo se ukvarjali z diedrsko grupo in z diedrskimi sime-trijami razlicnih objektov. Struktura diedrske grupe je bila osrednja tematega diplomskega dela.

Zakljucimo lahko, da obravnava diedrske simetrije zahteva doloceno meropoznavanja osnov teorije grup, ter tudi osnov evklidske geometrije. Videlismo, kako diedrsko grupo karakteriziramo s simetrijami pravilnega n-kotnika.Kasneje smo navedli tudi abstraktno karakterizacijo diedrske grupe ter razi-skali njeno grupno strukturo.

Cilj tega diplomskega dela je bil spoznati in razumeti diedrsko simetrijo. Tu-kaj smo tako predstavili osnove in predispozicije diedrske simetrije in njenobistvo. V tem diplomskem delu smo sicer predstavili in si tudi ogledali nekajobjektov, ki vsebujejo diedrsko simetrijo, vendar pa je teh objektov se mnogovec. To diplomsko delo lahko torej sluzi kot osnova in temelj raziskovanjadiedrskih simetrij v ostalih geometrijskih, kot tudi kombinatoricnih objektih.

36

Literatura

[1] Adams, C. (2001). The knot book: An elementary introduction to themathematical theory of knots. New York: W.H. Freeman.

[2] Automorphism groups of simple graphs. Pridobljeno 29.08.2017 s sve-tovnega spleta: https://www.whitman.edu/Documents/Academics/

Mathematics/2014/rodriglr.pdf

[3] Conrad, K. Dihedral groups. Spletni vir: http://www.math.uconn.

edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/dihedral.pdf

[4] Conrad, K. Dihedral groups II. Spletni vir: http://www.math.uconn.

edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/dihedral2.pdf

[5] Coxeter, H.S.M. (1989). Introduction to geometry 2nd ed. New York:Wiley.

[6] Kosmann-Schwartzbach, Y. (2010). Groups and symmetries: from fi-nite groups to Lie groups. New York : Springer.

[7] Malnic, A. (2014). Algebrske strukture, Zapiski predavanj. Ljubljana:PeF.

[8] Sparl, P. (2014). Abstraktna algebra, Zapiski predavanj. Ljubljana: PeF.

[9] Sparl, P. (2017). Teorija grafov, Zapiski predavanj. Ljubljana: PeF.

[10] Venema, G. (2012). Foundations of geometry, 2nd ed. Upper SaddleRiver, N.J: Pearson Prentice Hall.

[11] Webb, P. (2016). A course in finite group representation theory. Cam-bridge: Cambridge University Press.

37