Unscharfe Optimierung Wintersemester 2005/2006. Vorlesung Dienstags, 09.15–11.00, MIB-1107 Übung Dienstags (gerade Woche), 11.00–13.00, MIB-1107 Veranstalter

Unscharfe Optimierung

Wintersemester 2005/2006

Vorlesung

Dienstags, 09.15–11.00, MIB-1107

Übung

Dienstags (gerade Woche), 11.00–13.00,

MIB-1107

VeranstalterDr. Tatiana Starostina

E-mail: [email protected] Tel. 3786

Sprechstunde nach Vereinbarung


mailto:[email protected]


1). M. Delgado, J. Kacprzyk, J.-S. Verdegay, M.A. Vila (ed.) Fuzzy Optimization: Recent Advances Physica-Verlag, Heidelberg, 1994.

2). H. Bandemer and S. Gottwald Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Fuzzy Methods with ApplicationsJohn Wiley & Sons, Chichester 1995.

3). H.-J. ZimmermannFuzzy Set Theory and its Applications2nd ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991.

4). C.R. Bector, Suresh Chandra Fuzzy Mathematical Programming and Fuzzy Matrix GamesSpringer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2005.

Literatur


Überblick

Optimierung

1) im Sinne der Mathematik:die Bestimmung optimaler zulässiger Punkte eines Optimierungsproblems hinsichtlich einer gegebenen Zielfunktion

2) in der Informatik: die Verbesserung der Effizienz eines Computerprogramms

3) Umgangssprachlich:meist eine Verbesserung eines Vorgangs oder Zustands bzgl. Qualität,Kosten, Geschwindigkeit, Effizienz und Effektivität.


ÜberblickMathematische

Optimierung

Minimieren oder maximieren f(x),

Xx ,

wobei f(x) – Zielfunktion des Optimierungsproblems; x – zulässige Lösung;

X – zulässiger Bereich.

Lineare Optimierung

Nichtlineare Optimierung

Konvexe Optimierung

Dynamische Optimierung

Diskrete Optimierung

ParametrischeOptimierung

Nichtkonvexe Optimierung


Problembereich „Unschärfe“ bei Optimierungsmodellen

Optimierungsmodell

Algorithmus

Problembereich „Unschärfe“

Modell- beschreibung

Daten


Die Bedeutung der unscharfen Daten und Modelle

Unscharfe Daten:

„X gehört zu den großen Menschen“: Jemand, der 1,60 m groß ist, wird mit einer Zugehörigkeit von 0,2 zu den großen Menschen gerechnet.

Dagegen wird jemand, der 1,85 m groß ist, mit einer Zugehörigkeit von 0,8 zu den großen Menschen gerechnet.

Die Aussage „Y ist dick“hängt von den Attributen Körpergröße, Körperumfang und Gewicht ab.



Unscharfe Daten:

Die Auffassung über die Daten beeinflusst auch die Werte von Daten.

Beispiel:Die Frage ist „Wann schließen die Geschäfte?“

Die Antwort „Um 18 Uhr“.

Das kann bedeuten: 1) alle Geschäfte sind um 18 Uhr zu;2) einige Geschäfte schließen bereits um 17 Uhr, andere dagegen erst um 20 oder 21 Uhr.

Eine entsprechende Zugehörigkeitsverteilung zur Aussage „Die Geschäfte sind geschlossen“ lässt sich dann über die Zeit aufstellen.



18 x

1

)(x

1

17 18 21 x

)(x

Scharfe Zahl:

x =18Unscharfe Zahl:

x = „etwa 18“



Unscharfe Daten:

Scharfe und unscharfe Regionen

(a)scharfe Darstellung;

(b) unscharfe

Darstellung

See

.9

1

1111

1

1

1

1

1 1

1 1

111 1

1

1 1 1

1 1

1111

1

1

1

1

.7

111

1 1

.9

.8

.8

.9

.8

.4

.4

.4

.5

.5

.5

.7

.4

.6

.1

.1

.2

.1

.1

.1

.2

.1

0 0

0 0 0 0

000

0 0 00000

0

0 0 0 0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

00

0

0

0

0

001

11 11

1

1

11

11

1 1 1

1

111

1

1111

1

111

11

.9

.8

.8

.9.4

.5

.5

.3

.6

.2

.1

.1

.2

.10 .50 0 0

1 1 1 1 1 1

1

11

11

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

00

0 0 .9

.6

.9

.3

.6.2 .9

.9.6

Wald

(a)

(b)

Unscharfe Region: See Unscharfe Region: Wald



Unscharfe Modelle:

Beispiele:

1v

2v

3v 4v

5v

0,9

0,5

0,3

0,7

0,1

1

0,4

0,2

Unscharfer Graph Unscharfe Relation

x2

x1

x3

y1

y2

y3

y4

z1

z2

z3

1/5

1/9

1/8

1

1/2

1/6

1/3

1/7

1

1/51

1/4

1/9

1/6

2/3

1/3

2/3


Arten der Unschärfe

„Unschärfe“:

• nichtexakte Bedeutung des Wortes oder • mangelnde Information und die fehlende Möglichkeit, einen Begriff

exakt beschreiben zu können

Unsicherheit

zufällige Unsicherheit

emotionale Unsicherheit

informelle Unsicherheit

Abb. Arten der Unsicherheit

Wahrscheinlichkeiten für das menschliche Komplexität in der Eintreten von Ereignissen Empfindungen Beschreibung des

Begriffs


Quellen der Unschärfe

nicht genug Informationen liegen in der augenblicklichen

Situation vor

Unschärfe

das Erfassen und Abbildendes Systems ist subjektiv verschieden

Klassische Mengen Unscharfe Optimierung

Es sei X die Grundmenge und A eine Teilmenge von X: XA .

Ein Element gehört in der klassischen Mengenlehre entweder zu einer Menge A, oder aber es gehört nicht zu dieser Menge.

Wenn ein Element x von X zu A gehört, schreibt man: Ax .

Definition. Es sei X eine Grundmenge und A eine Teilmenge von X. Dann heißt die Funktion χA: X →{0,1} mit

Ax

AxA ,0

,1

Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion der Menge A.


A~

ist eine unscharfe Teilmenge von X, wenn die Zugehörigkeit der Elemente x von

X zu A~

durch eine Zugehörigkeitsfunktion )(~ xA charakterisiert wird.

Die Werte der Zugehörigkeitsfunktion liegen im Intervall [0,1].

Beispiel: )(~ x

A =0 wenn Ax

~ , )(~ x

A =1 wenn Ax

~ vollständig,

)(~ xA =0,8 wenn Ax

~ mit einem der Zahl 0,8

entsprechenden Zugehörigkeitsgrad.

Definition. Ist X eine Menge (von Objekten, die hinsichtlich einer unscharfen Aussage zu bewerten sind), so heißt

XxxxAA

:)(,:~

~ .

eine unscharfe Menge auf X.

)(~ xA wird Zugehörigkeitsfunktion genannt und ist eine reellwertige Funktion,

]1;0[)(~ xA , Xx .

Unscharfe Menge zur Modellierung der Unschärfe



Beispiel: (Modellierung unscharfer Begriffe)

Unscharfe Begriffe in der Umgangssprache:

”groß“, ”klein“, ”schnell“, ”reich“, ”schön“, ”warm“, ”kalt“, ”heiß“ usw.

Kontext beachten!

Beispiel:

Betrachten den unscharfen Begriff ”klein“ mit Bezug auf Kosten. Grundmenge: X = {10, 20, 50, 100, 150, 200, 400, 700, 1000}.

„Kleine“ Kosten: {(10; 1), (20; 0,97), (50; 0,85), (100; 0,75), (150; 0,7), (200; 0,6), (400; 0,5), (700; 0,25), (1000; 0,1)}.



Beispiel:Abb. A): Menge A - die Menge der günstigen Preise für ein Paar Schuhe. Dann stellt 49,98 EURO noch einen günstigen Preis dar, dagegen würde ein um 3 Cent höherer Preis von 50,01 EURO nicht mehr als günstig angesehen werden.

Abb. B): Darstellung der unscharfen Menge der günstigen Preise für ein Paar Schuhe. Die Gleichung (x) = 0,7 besagt, dass der Wert x=23 mit dem Zugehörigkeitsgrad

=0,7 als günstiger Preis angesehen wird.

25 50 x

1

)(x A 1

A~

)(x

25 50 x Abb. A) Abb. B)

Unscharfe Mengen Unscharfe Optimierung

Unscharfe Mengen werden durch Zugehörigkeitsfunktionen (ZGF) repräsentiert.Die Art der Darstellung ist von Grundmenge X abhängig

X hat endlich viele Elemente Besitzt X sehr viele Elemente oder ist X ein Kontinuum, z.B. kontinuierliche Messgrößen

diskrete Darstellung von ZGF parametrische Darstellung von ZGF

1 3 4 7 9 12 x

1 0,9

0,7 0,6 0,4 0,3

)(x

Unscharfe Mengen Unscharfe Optimierung

Operationen A~ und B

~ seien zwei unscharfe Teilmengen der Grundmenge X: A~ X , B

~ X. Grundmenge X : 1)( xX Enthaltensein A

~ X: )()(~ xx XA

Komplement: )(1)( ~~ xxAA

Schnittmenge: ))(),((min)( ~~~~ xxxBABA

Vereinigung: ))(),((max)( ~~~~ xxxBABA

Algebraisches Produkt: )()()( ~~~~ xxxBABA

Algebraische Summe: )()()()()( ~~~~~ˆ~ xxxxxBABABA

Differenz: )()( ~~~\

~ xxBABA

Disjunkte Summe: )()()

~~()

~~(

~~ xxBABABA

Xx .


Unscharfe Modelle

UnscharfeRelationen

UnscharfeGraphen

Klassifizierung der unscharfen Optimierungsprobleme

Unscharfe Optimierungsprobleme

Modelle mit unscharfen Daten


Optimierungsmodelle mit unscharfen Daten

Optimierungsmodelle

UnscharfeLineare

Optimierungs-modelle

UnscharfeNichtlineare


UnscharfeDynamische


UnscharfeDiskrete


UnscharfeParametrischeOptimierungs-

modelle

Unscharfe Entscheidungen

Entscheidungen mit mehreren Zielen

Entscheidungen mit mehreren Attributen


Unscharfe GraphenEs gibt zwei Typen von unscharfen Graphen.

Definition 1

Ein unscharfer ungerichteter Graph des ersten Typs )~

,(~

EVG besteht aus zwei Mengen:

V ist eine nichtleere scharfe Menge von Knoten, }{ ivV , iI = {1,2,...,n};

},:)),/(),({(~

VvvvvvvE jkjkjkE ist eine unscharfe Menge von Kanten,

wobei Vvv jk , und ),( jkE vv - der Wert der Zugehörigkeitsfunktion E

für die Kante ),( jk vv , njk ,...,1, .

1v

2v

3v 4v

5v

0,9

0,5

0,3

0,7

0,1

1

0,4

0,2

Beispiel 1)

~,(

~EVG ,

},,,,{ 54321 vvvvvV ,

))}.,/(2,0()),,/(4,0(

)),,/(1()),,/(1,0(

)),,/(3,0()),,/(7,0(

)),,/(5,0()),,/(9,0{(~

5554

4152

4233

3221

vvvv

vvvv

vvvv

vvvvE


Unscharfe Graphen des ersten Typs

Definition 2

Beispiel 2

Ein unscharfer gerichteter Graph des ersten Typs EVG~

,~ besteht aus zwei

Mengen: V ist eine scharfe Menge von Knoten, }{ ivV , iI = {1,2,...,n};

},:),/),({(~

VvvvvvvE jkjkjkE ist eine unscharfe Menge von Kanten

oder Pfeilen, wobei VVvv jk , und ),( jkE vv ist der Wert der

Zugehörigkeit der gerichteten Kante jk vv , zur unscharfen Menge der

gerichteten Kanten (Pfeilen) E~

.

1v

2v

3v 4v

5v

0,4

0,8

0,7

0,6

0,1 0,9

0,5

1

EVG~

,~ ,

},,,,{ 54321 vvvvvV ,

)}.,/9,0(),,/1,0(

),,/6,0(),,/1(

),,/5,0(),,/7,0(

),,/8,0(),,/4,0{(~

1555

5434

3152

4321

vvvv

vvvv

vvvv

vvvvE


Die Mengen der Nachbarn, Vorgänger undNachfolger in unscharfen Graphen

Gibt es in einem ungerichteten unscharfen Graphen )~

,(~

EVG eine Kante ( jk vv , ), so heißen kv Nachbar von jv und jv Nachbar von kv .

)(~

kvN - die Menge der Nachbarn eines Knotens kv .

Gibt es in einem gerichteten unscharfen Graphen EVG~

,~ einen Pfeil

jk vv , , dann heißen kv Vorgänger von jv und jv Nachfolger von kv .

)(~

kvP - die Menge der Vorgänger eines Knotens kv ;

)(~

kvS - die Menge der Nachfolger von kv .

Die Mengen )(~

kvN , )(~

kvP und )(~

kvS sind unscharf.


Die Mengen der Nachfolger in unscharfen Graphen

Beispiel

Wir definieren den gerichteten unscharfen Graph EVG~

,~ aus dem

Beispiel 2 in folgender Form: )~

,(~

SVG :

},,,,{ 54321 vvvvvV ,

)}/5,0(),/4,0{()(~

321 vvvS ;

)}/7,0{()(~

52 vvS ;

)}/8,0{()(~

43 vvS ;

)}/6,0(),/1{()(~

534 vvvS ;

)}/1,0(),/9,0{()(~

515 vvvS .

1v

2v

3v 4v

5v

0,4

0,8

0,7

0,6

0,1 0,9

0,5

1


Beispiel 3

Sei },...,{ 1 nvvV die Knotenmenge des unscharfen Graphen (Digraphen).

Dann heißt die dem unscharfen Graphen des ersten Typs )~

,(~

EVG zugeordnete

n×n Matrix nnkjV uGU

)~

( mit den Elementen ),( jkEkj vvu , njk ,...,1,

Adjazenzmatrix von G~

.

Für einen unscharfen gerichteten Graph EVG~

,~ wird eine Adjazenzmatrix

nnkjV uGU

~

mit jkEkj vvu , , njk ,...,1, gebildet.

Matrixform der unscharfen Graphen

1v 2v 3v 4v 5v

1v 2v 3v 4v 5v

1v 0 0,9 0 1 0 1v 0 0,4 0,5 0 0

2v 0,9 0 0,5 0,3 0,1 2v 0 0 0 0 0,7

3v 0 0,5 0,7 0 0 3v 0 0 0 0,8 0

4v 1 0,3 0 0 0,4 4v 0 0 1 0 0,6

)~

(GUV

5v 0 0,1 0 0,4 0,2

GUV

~

5v 0,9 0 0 0 0,1

Ein unscharfer ungerichteter Graph hat immer eine symmetrische

Adjazenzmatrix. D.h. njk ,...,1, gilt: ),( jkE vv = ),( kjE vv .


Definition 3

A ist eine Grundmenge. Gegeben ist eine unscharfe Menge V~

in A, wobei )}/)({(

~vvV A , Av .

Ein Graph )~

,~

(~

EVG ist ein unscharfer ungerichteter Graph des zweiten Typs, wenn

V~

eine unscharfe Menge von Knoten ist: )}/)({(~

vvV A , Av , nV ~ und

)},/(),({(~

jkjkE vvvvE ist eine unscharfe Menge von Kanten, wobei

Vvv jk , , njk ,...,1, . Hier V heißt Träger der Menge V~

.

V~

ist die Mächtigkeit oder Kardinalität.

Als Träger V bezeichnet man den Bereich der Grundmenge A, dem eine Zugehörigkeit μV>0 zugeordnet ist.

Unscharfe Graphen des zweiten Typs


Unscharfe Graphen des zweiten Typs

Definition 4

A ist eine Grundmenge. Gegeben ist eine unscharfe Menge V~

in A, wobei )}/)({(

~vvV A , Av .

Ein Graph EVG~

,~~

ist ein unscharfer gerichteter Graph des zweiten Typs,

wenn

V~

eine unscharfe Menge von Knoten ist: )}/)({(~

vvV A , Av , nV ~

und },/,{(~

jkjkE vvvvE ist eine unscharfe Menge von gerichteten

Kanten (Pfeilen), wobei Vvv jk , , njk ,...,1, und V ist der Träger der

Menge V~

.


Unscharfe Graphen des zweiten TypsBeispiel 4

)~

,~

(~

EVG , )}/8,0(),/4,0(),/2,0(),/7,0(),/1{(~

54321 vvvvvV ,

))}.,/(5,0()),,/(4,0(

)),,/(1,0()),,/(9,0()),,/(3,0()),,/(7,0()),,/(8,0()),,/(6,0{(~

2544

534342325131

vvvv

vvvvvvvvvvvvE

Beispiel 5

EVG~

,~~

, )}/7,0(),/5,0(),/9,0(),/6,0(),/2,0{(~

54321 vvvvvV ,

)}.,/1(),,/2,0(),,/4,0(

),,/8,0(),,/5,0(),,/9,0(),,/3,0(),,/6,0{(~

155553

4333523221

vvvvvv

vvvvvvvvvvE

1v

2v

3v

4v

5v

0,7

0,3

0,9

0,6

0,8

0,1

1v

2v

3v 4v

5v

0,6

0,3 0,4

0,5

0,9

1

0,8

0,2

0,5

0,4

0,7

1

0,2

0,4

0,8 0,6

0,7

0,2

0,5 0,9


Transformation der unscharfen GraphenUnscharfer

gerichteter Graph des zweiten Typs

EVG~

,~~

'~

,'~

EVG

Unscharfer gerichteter Graph des ersten Typs

gekoppelte Graphen

In diesem Fall ist V der Träger der Menge V~

und die unscharfe Menge von gerichteten Pfeilen '

~E ist die folgende:

},:),/),({('~

' VvvvvvvE jkjkjkE , wobei VVvv jk , und die Funktion

)(&)(&),(),(' jVkVjkEjkE vvvvvv .

Mit minimax Operation: ))(),(),,((min),(' jVkVjkEjkE vvvvvv .

Mit Wahrscheinlichkeitsrechnung:

)()(),(),(' jVkVjkEjkE vvvvvv .


Eingangs- und Ausgangsgrad eines Knotens in unscharfen Graphen

Die Anzahl der Nachbarn eines Knotens iv eines Graphen heißt Grad )( iv von iv . Die Anzahl der Nachfolger eines Knotens iv eines gerichteten

Graphen heißt positiver Grad oder Ausgangsgrad )( iv von iv . Die Anzahl der Vorgänger eines Knotens iv heißt negativer Grad

oder Eingangsgrad )( iv :

)()( ii vNv ; )()( ii vSv ; )()( ii vPv .

Hier, )( ivN ist der Träger der unscharfen Menge )(~

ivN der Nachbarn des Knotens iv .

)( ivS und )( ivP sind entsprechend die Träger der unscharfen

Menge )(~

ivS der Nachfolger und der Menge )(~

kvP der Vorgänger des Knotens iv .


Numerische Charakteristiken der Knoten der unscharfen Graphen

Konjunktiver Eingangsgrad des Knotens iv :

),(&)()(

& ijEvPv

i vvvij

Konjunktiver Ausgangsgrad des Knotens iv :

),(&)()(

& jiEvSv

i vvvij

Disjunktiver Eingangsgrad des Knotens iv :

),()()(

ijEvPv

i vvvij

Disjunktiver Ausgangsgrad des Knotens iv :

),()()(

jiEvSv

i vvvij

Mittelwert des Eingangsgrads

des Knotens iv :

)(

),()(

1)(

ij vPvijE

iiav vv

vPv

Mittelwert des Ausgangsgrads

des Knotens iv :

)(

),()(

1)(

ij vSvjiE

iiav vv

vSv


Unscharfe Teilgraphen

Definition 6

Ein unscharfer Graph )'~

,'(~

EVH heißt Teilgraph des Graphen

)~

,(~

EVG , wenn VV ' und EE~

'~ , wobei

}',:)),/(),({('~

' VvvvvvvE slslslE und ),(),(' slEslE vvvv

', Vvv sl . Definition 7 Ist VV ' , so hat der durch 'V induzierte Teilgraph

)'~

,'(~

EVH von )~

,(~

EVG die Knotenmenge 'V und enthält

genau alle Kanten ),( sl vv von G~

mit ', Vvv sl , wobei

}',:)),/(),({('~

' VvvvvvvE slslslE und ),(),(' slEslE vvvv ,

', Vvv sl .



1

~H und 2

~H sind induzierte unscharfe

Teilgraphen von )~

,(~

EVG

1v 3v 4v 5v

0,8

0,6

0,1

0,9

0,3

2

~H 1

~H

1v 2v 3v 4v 5v 0,4

0,8 0,7

0,6

0,1

0,9

0,5

0,3

)~

,(~

EVG

Beispiel 6



3

~H ist ein unscharfer Teilgraph von )

~,(

~EVG

1v 2v 3v 4v 5v

0,2 0,6

0,3

0,8

0,5

0,3

1v 2v 3v 4v 5v 0,4

0,8 0,7

0,6

0,1

0,9

0,5

0,3

)~

,(~

EVG

3

~H

Beispiel 7


Unscharfes Enthaltsein und unscharfe Gleichheit von unscharfen Graphen

Der Grad des Enthaltenseins des Graphen 1

~G im Graphen 2

~G wird

wie folgt definiert:

))()((&&)~

,~

( 2121211

yyGG vvVVyVv

.

Ein Wert

))()((&&)~

,~

( 1212212

yyGG vvVVyVv

.

heißt der Grad des Enthaltenseins des Graphen 2

~G im Graphen 1

~G .

Ein Wert

)~

,~

(&)~

,~

()~

,~

( 122121 GGGGGG .

heißt der Grad der unscharfen Gleichheit von unscharfen Graphen

1

~G und 2

~G .


Unscharfes Enthaltsein und unscharfe Gleichheit von unscharfen Graphen

Beispiel 8

1v

2v

3v 0,6

0,7

1v 2v

3v

0,2

0,5

0,8

0,3

1

~G 2

~G

7,0)~

,~

( 21 GG

21

~~~GG

8,0)

~,

~( 12 GG

12

~~~GG

7,0)~

,~

( 21 GG

21

~~~GG


Operationen von unscharfen Graphen

Es seien 111

~,

~SVG und 222

~,

~SVG unscharfe gerichtete Graphen.

Definition 8 Ein unscharfer Graph

SVVGG~

,~~

2121

wird die Vereinigung von 111

~,

~SVG und 222

~,

~SVG genannt, wobei

))(~

)(~

)(~

()( 2121 vSvSvSistVVv . Definition 9 Ein unscharfer Graph

SVVGG~

,~~

2121

wird der Durchschnitt von 111

~,

~SVG und 222

~,

~SVG genannt, wobei

))(~

)(~

)(~

()( 2121 vSvSvSistVVv .




111

~~SVG

wird das Komplement von 111

~,

~SVG genannt, wobei

11

~\)(

~SVvS .


\2121

~,\

~\

~SVVGG

wird Differenz von 111

~,

~SVG und 222

~,

~SVG genannt, wobei

))(~

)(~

)(~

()\( 21\21 vSvSvSistVVv .




SVVGG~

,:~~

2121

wird disjunkte Summe von 111

~,

~SVG und 222

~,

~SVG genannt,

wobei

))(~

)(~

())(~

)(~

()(~

)( 212121 vSvSvSvSvSistVVv .



1v

2v

3v

0,3 0,4

4v

5v 3v

0,2

0,6

0,8

1 1

~G

4v

0,7

0,2 0,5 0,8

0,6

0,8

0,3

0,9

2

~G

1v

2v

3v

0,3

0,4

5v

1

21

~~GG

4v

0,7

0,2 0,8 0,8

0,6

0,9

0,3

0,6

0,8

21

~~GG

0,2

4v

3v

0,5

1

~G

1v

2v

3v

0,7

1

1

4v

0,3

0,8 0,5 0,2

0,4 1

1

1

1

0,6

1 1

1v

2v

0,3

21

~\

~GG

0,8

0,6

21

~~GG

0,3

1v

2v

0,8

5v

0,6


Operationen von unscharfen Graphen Definition 13

Ein unscharfer Graph G~

heißt das Produkt von Graphen 111

~,

~SVG und

222

~,

~SVG . G

~ wird definiert als

SVVGGG~

,~~~

2121 ,

wobei 21 VV kartesisches Produkt der Mengen von Knoten 1V und 2V ist;

21

~~~SSS .

Dabei wenn

}|)/)({()(~

)( 1111 VvvvvSistVv kkkii und

}|)/)({()(~

)( 2222 VyyyySistVy jjjjj , dann

}),(|)),/(),({(),(~

)),(( 2121 VVyvyvyvyvSistVVyv jijijijiji , wobei

)}(),(min{),( 21 jiji yvyv .



Beispiel

1v 1y 2y 3y 1

0,8

0,7 2v 0,6

2

~G 1

~G

Kartesisches Produkt 21

~~~GGG :

),( 21 yv

),( 22 yv

),( 31 yv

),( 32 yv

),( 11 yv

0,6

0,6

0,8

0,7


Operationen von unscharfen Graphen Definition 14 Ein unscharfer Graph

)~

,(~~~

2121 SVVGGG

wird Summe von unscharfen Graphen 1

~G und 2

~G genannt, wobei

21 VV kartesisches Produkt der Mengen von Knoten 1V und 2V ist, und

))(~

}({}){)(~

(),(~

)),(( 2121 jijijiji ySvyvSyvSistVVyv .

1v

1y 2y 3y 1

0,8

0,7

2v 0,6

2

~G

),( 21 yv

),( 22 yv

),( 31 yv

),( 11 yv

),( 12 yv

),( 32 yv

0,6

0,8

0,8

0,8

0,6 1

1

0,7

0,7

0,6

1

~G 21

~~~GGG

Beispiel

Documents

Unscharfe Optimierung Wintersemester 2005/2006. Vorlesung Dienstags, 09.15–11.00, MIB-1107 Übung Dienstags (gerade Woche), 11.00–13.00, MIB-1107 Veranstalter