Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

b

c

c

b

a

a

321 PPP

c²b²a²

Czy suma pól figur zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta będzie równa polu figury zbudowanej na przeciwprostokątnej?

Co będzie, jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy inne figury geometryczne?

Czy otrzymamy twierdzenie prawdziwe?

c

2c

a2a

b

2b

c²b²a²

2c · c2b · ba·2a

2c²2b²2a² 2:/

c

a

b

½c

½b

1/2a c²b²a²

c · c2

1 bb

2

1a · a

2

1

c²2

1b²

2

1a²

2

1 ·2/

c

x

ax

b

xc b a

x · c P

x· b P

x· a P

3

2

1

xc x · b x · a x:/

321 P P P

Twierdzenie jest prawdziwe ale tylko w przypadku prostokątów o bokach:

Twierdzenie jest fałszywe gdy zbudujemy prostokąty

o bokach:

c2

1c b,

2

1b a,

2

1a

2cc 2b,b a,2a

dc ,b d,a d

WNIOSEK:Twierdzenie jest prawdziwe jeżeli na bokach trojkata prostokatnego zbudujemy prostokąty podobne.

c

ca

a

b

b

2 /2

1

2

1

2

1 222 cba

222 cba

a

b

c

h

h

hah

2

1

2

ha P1

bh2

1

2

hb P2

ch2

1

2

hc P3

321 )(2

1

2

1

2

1PbahbhahPP

Twierdzenie jest prawdziwe ale tylko w przypadku trójkątów o bokach równych ich wysokościom:

Twierdzenie jest fałszywe gdy zbudujemy trójkąty o wysokościach różnych od podstaw :

cc b,b a,a

hc ,b ,h a h

WNIOSEK:Twierdzenie jest prawdziwe jeżeli na bokach trojkata prostokatnego zbudujemy trójkąty podobne.

322222

21 4

3)(

4

3

4

3

4

3PcbabaPP

2

2

1 4

3

221

1

221

1

2

)21

(a

aaaaaaP

2

2

2 4

3

221

1

221

1

2

)21

(b

bbbbbbP

2

2

3 4

3

221

1

221

1

2

)21

(c

ccccccP

c2

1

a

b

c

a

c

a2

1

b2

1

WNIOSEK:Twierdzenie jest prawdziwe jeżeli na bokach trojkata prostokatnego zbudujemy trapezy podobne.

c

b

a

y

b

y½b

z

c

z

½cx

ax

½a

c²b²a²

c2

1 · cb

2

1 · ba

2

1 · a

c² 2

1b²

2

1a²

2

1 2 ·/

WNIOSEK:Twierdzenie jest prawdziwe jeżeli na bokach trojkata prostokatnego zbudujemy równoległoboki podobne.

c

b

ac

c

cc

aa

a

aa

bb

b b

b

c

222a cb

4

36

4

36

4

36

222 cba 6: /

4

3

4

3

4

3 222 cba 4/

333a 222 cb 3: /

WNIOSEK:Twierdzenie jest prawdziwe jeżeli na bokach trojkata prostokatnego zbudujemy sześciokąty podobne.

2rPkoło

?P P P

Czy

321

ab

c

a2

1c

2

1

b2

1

322222

21 4

1)(

4

1

4

1

4

1PcbabaPP

221 4

1)

2

1( aaP

222 4

1)

2

1( bbP

223 4

1)

2

1( ccP

ab

c

a2

1c

2

1

b2

1

WNIOSEK:Twierdzenie jest prawdziwe jeżeli na bokach trojkata prostokatnego zbudujemy pólkola podobne.

Jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy figury podobne,to suma pól figur zbudowanych na przyprostokątnych będzie równa polu figury zbudowanej na przeciwprostokątnej.

Uogólnione twierdzenie Pitagorasa

DZIĘKUJEMY ZA UWAGE

Maciej ŁukaszewskiMaksymilian Pasternak 2c