UPG 2 Interes Compuesto.pdf

8/17/2019 UPG 2 Interes Compuesto.pdf

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CONTENIDOCONTENIDOIntroducciIntroduccióónn

Monto aMonto a interesinteres compuestocompuesto

ComparaciComparacióón de intern de interéés simple e inters simple e interéésscompuestocompuesto

DenominaciDenominacióón de las tasas en eln de las tasas en el interesinterescompuestocompuesto

RelacionRelacion entre tasa nominal y tasa efectiva.entre tasa nominal y tasa efectiva.

Valor actual aValor actual a interesinteres compuestocompuesto


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CONTENIDOCONTENIDODescuento compuestoDescuento compuesto

Equivalencia entre tasa de interEquivalencia entre tasa de interéés ys y

descuento compuestodescuento compuestoAnualidades. ( Series uniformes)Anualidades. ( Series uniformes)

Gradiente. ( Series aritmGradiente. ( Series aritmééticas).ticas).Factores financierosFactores financieros

RelaciRelaci

óó

n de factores financierosn de factores financieros

Factores financieros y formulas conFactores financieros y formulas concapitalizacicapitalizacióón continuan continua


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INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO

1.1. INTRODUCCIONINTRODUCCIONEn una operaciEn una operacióón financiera a inter n financiera a inter éés compuesto, els compuesto, el

capital aumenta en cada final de periodo por adicicapital aumenta en cada final de periodo por adicióón de losn de losintereses vencidos a la tasa (tasa efectiva) convenida porintereses vencidos a la tasa (tasa efectiva) convenida por periodo. periodo.

1

CAPITALIZACICAPITALIZACI

ÓÓ

NN

. Es el proceso de conversi

. Es el proceso de conversióó

n deln del

inter inter éés en capital al final de cada periodo des en capital al final de cada periodo decapitalizacicapitalizacióón pactada.n pactada.PERIODO DE CAPITALIZACIPERIODO DE CAPITALIZACIÓÓN.N. Es el intervaloEs el intervalo

de tiempo ( anual, semestral, trimestral, etc ) convenidode tiempo ( anual, semestral, trimestral, etc ) convenidoen la obligacien la obligacióón para capitalizar los intereses.n para capitalizar los intereses.TASA DE INTERES COMPUESTO.TASA DE INTERES COMPUESTO. Es el inter Es el inter ééss

fijado por periodo de capitalizacifijado por periodo de capitalizacióón. Esta tasa se len. Esta tasa se leconoce como tasa efectiva por periodo de capitalizaciconoce como tasa efectiva por periodo de capitalizacióón.n.


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Ejemplo Ejemplo..Un capital de 1000 u.m en cuanto se convierte al final de 5Un capital de 1000 u.m en cuanto se convierte al final de 5 periodos, si genera uno tasa del 20% compuesto por periodo. periodos, si genera uno tasa del 20% compuesto por periodo.

a)a) Por definiciPor definicióónn

b) Flujo de cajab) Flujo de caja.


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2. MONTO A INTERES COMPUESTO2. MONTO A INTERES COMPUESTO2Sea el capital P colocado al inter Sea el capital P colocado al inter éés i por periodo des i por periodo decapitalizacicapitalizacióón ( i expresado en tanto por uno y porn ( i expresado en tanto por uno y por periodo ). Calcular el monto F al final de n periodos. periodo ). Calcular el monto F al final de n periodos.Sea el flujo de caja que se presenta a continuaciSea el flujo de caja que se presenta a continuacióón.n.

Es importante anotar que tanto la tasa de interés como el

número de períodos deberán estar en unidades consistentes;

esto quiere decir que si la tasa es mensual, los períodos deben estar expresados en meses; si la tasa es anual, los

períodos deberán estar expresados en años, etc


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Ejemplo Ejemplo..Un banco ofrece la tasa del 15 % para los depUn banco ofrece la tasa del 15 % para los depóósitos ensitos encuentas de ahorros, Calcular el monto de un depcuentas de ahorros, Calcular el monto de un depóósito desito de

1000 al cabo de 10 a1000 al cabo de 10 a

ññ

os.os.


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3. COMPARACION DE INTERES SIMPLE E3. COMPARACION DE INTERES SIMPLE EINTERES COMPUESTO.INTERES COMPUESTO.3

Comparando las f Comparando las f óórmulas del monto a inter rmulas del monto a inter éés simple es simple einter inter éés compuesto, observamos que la primera es unas compuesto, observamos que la primera es una

funcifuncióón lineal ( ecuacin lineal ( ecuacióón de una recta), mientras que lan de una recta), mientras que lasegundo tiene funcisegundo tiene funcióón exponencial.n exponencial.

FunciFuncióón lineal ( ecuacin lineal ( ecuacióón de la recta)n de la recta)

Donde: Y = F; a = P; b = Pi; X = n

FunciFuncióón exponencial.n exponencial.

Donde: Y = F; a = P; b = (1 +i); X = n

( )F = P 1+ in F P Pin= +Y a bX= +

( )F = P 1 + i n

Y abX

=


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GRAFICO DE AMBAS CURVASGRAFICO DE AMBAS CURVAS


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COMPARACICOMPARACIÓÓN DE AMBOS SISTEMASN DE AMBOS SISTEMAS

En los cuadros que se muestran a continuación se observa:a)a) En interés simple el INTERES por periodo es constante ( 100.00 u.m.); la pendiente de la curva es constante en cada periodo.b)b) En interés compuesto el INTERES por periodo es diferente ( 100, 110,121 etc. ); la pendiente de la curva es diferente en cada periodo.


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TASA NOMINAL. ( iTASA NOMINAL. ( i nn )) Es la tasa bEs la tasa báásica o aparentesica o aparenteconvenida para aplicar en una operaciconvenida para aplicar en una operacióón financiera.n financiera.

TASA EFECTIVA. ( iTASA EFECTIVA. ( i ee )) Es la tasa que efectivamenteEs la tasa que efectivamente(realmente) act(realmente) actúúa sobre el capital de las operacionesa sobre el capital de las operacionesfinancieras.financieras.

TASA PROPORCIONAL. ( iTASA PROPORCIONAL. ( i pp )) Es la tasa que resultaEs la tasa que resultade dividir la tasa nominal entre el nde dividir la tasa nominal entre el núúmero demero de

capitalizaciones en una unidad de tiempo definido.capitalizaciones en una unidad de tiempo definido.

TASA REAL. ( iTASA REAL. ( i rr )) Es la tasa que resulta de descontar aEs la tasa que resulta de descontar a

la tasa efectiva la tasa de inflacila tasa efectiva la tasa de inflacióón ( por la pn ( por la péérdida delrdida del poder adquisitivo) poder adquisitivo)

4. DENOMINACI4. DENOMINACIÓÓN DE LAS TASAS EN ELN DE LAS TASAS EN ELINTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO

4


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5.5. RELACION ENTRE TASA NOMINAL YRELACION ENTRE TASA NOMINAL YTASA EFECTIVA.TASA EFECTIVA.

5

El monto de una unidad monetaria colocado a una tasa de InterEl monto de una unidad monetaria colocado a una tasa de Interééssefectiva anual debe producir el mismo monto la operaciefectiva anual debe producir el mismo monto la operacióón colocada an colocada auna tasa nominal anual capitalizado m veces al auna tasa nominal anual capitalizado m veces al añño.o.

Igualando ambas expresiones y despejando la tasa efectiva se tieIgualando ambas expresiones y despejando la tasa efectiva se tiene:ne:


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Ejemplo Ejemplo..

Calcular la tasa efectiva equivalente anual a una tasa nominal dCalcular la tasa efectiva equivalente anual a una tasa nominal del 30 % si lael 30 % si lacapitalizacicapitalizacióón es: anual, semestral trimestral, mensual, quincenal, semanal,n es: anual, semestral trimestral, mensual, quincenal, semanal,diario, hora, minuto y continua.diario, hora, minuto y continua.

Aplicando la f Aplicando la f óórmula anterior los resultados se muestran en el cuadrormula anterior los resultados se muestran en el cuadroanterior.anterior.


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CAPITALIZACICAPITALIZACIÓÓ N CONTINUA. Cuando la N CONTINUA. Cuando lacapitalizacicapitalizacióón es instantn es instantáánea la tasa efectiva tienen lanea la tasa efectiva tienen la

siguiente relacisiguiente relacióón.n.

ie

in= −e 1

EjemploEjemplo

Hallar la tasa efectiva anual de una tasa del 30% conHallar la tasa efectiva anual de una tasa del 30% concapitalizacicapitalizacióón continuan continua óó instantinstantáánea.nea.

ie

0.3

= − =e 1 0 34985881.

ie = 34.985881 %


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Curva de la tasa efectiva en funciCurva de la tasa efectiva en funcióón del nn del núúmero demero decapitalizaciones por acapitalizaciones por aññoo


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Del cuadro y gr Del cuadro y gr ááfico anterior se tiene las siguientesfico anterior se tiene las siguientes

conclusiones:conclusiones:a)a) Si la capitalizaciSi la capitalizacióón es anual ambas tasas sonn es anual ambas tasas soniguales.iguales.

b)b) Si se da mas de una capitalizaciSi se da mas de una capitalizacióón por an por añño lao latasa efectiva es mayor que la nominal.tasa efectiva es mayor que la nominal.

c)c) La tasa efectiva crece si el nLa tasa efectiva crece si el núúmero demero decapitalizaciones por acapitalizaciones por añño creceo crece

d)d) El lEl líímite de crecimiento de la tasa efectiva esmite de crecimiento de la tasa efectiva escuando la capitalizacicuando la capitalizacióón es continua o instantn es continua o instantáánea.nea.


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6. VALOR ACTUAL A INTERES COMPUESTO6. VALOR ACTUAL A INTERES COMPUESTO6Sea el un stock de capital final F descontado al inter Sea el un stock de capital final F descontado al inter éés is i

por periodo de capitalizaci por periodo de capitalizacióón ( i expresado en tanto porn ( i expresado en tanto poruno y por periodo ). Calcule el stock de capital inicial Puno y por periodo ). Calcule el stock de capital inicial Pal final de n periodos.al final de n periodos.

Sea el flujo de caja que se presenta a continuaciSea el flujo de caja que se presenta a continuacióón.n.


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Ejemplo.Ejemplo.Hallar el valor actual de 5000 u.m pagaderos en 5 aHallar el valor actual de 5000 u.m pagaderos en 5 añños a la tasaos a la tasa

del 15% anual.del 15% anual.


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7. DESCUENTO COMPUESTO7. DESCUENTO COMPUESTO7

El descuento compuesto es el inter El descuento compuesto es el inter éés compuesto que ses compuesto que secobra anticipadamente por pagar un documento comercialcobra anticipadamente por pagar un documento comercialantes de la fecha de vencimiento y se calcula por el tiempoantes de la fecha de vencimiento y se calcula por el tiempo

comprendido entre la fecha de descuento y la fecha decomprendido entre la fecha de descuento y la fecha dettéérmino.rmino.


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Sea el un stock de capital final F descontado al interSea el un stock de capital final F descontado al interéés i (tasa des i (tasa dedescuento i = d ) por periodo de capitalizacidescuento i = d ) por periodo de capitalizacióón (i expresado en tanton (i expresado en tanto

por uno y por periodo ). Calcular el stock de capital inicial Ppor uno y por periodo ). Calcular el stock de capital inicial P al final deal final den periodos.n periodos.Sea el flujo de caja que se presenta a continuaciSea el flujo de caja que se presenta a continuacióón.n.

El descuento compuesto presenta las siguientes caracterEl descuento compuesto presenta las siguientes caracterí í sticas:sticas:a)a) Los descuentos calculados periLos descuentos calculados perióódicamente se van restando al valordicamente se van restando al valor

nominalnominalb)b) El horizonte temporal "n" es un exponente.El horizonte temporal "n" es un exponente.c)c) El valor lEl valor lí í quido o valor actual varquido o valor actual varí í a regresivamente y en formaa regresivamente y en formaexponencial a lo largo del tiempo.exponencial a lo largo del tiempo.

( )P = F 1- d n


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Ejemplo. Ejemplo.

Hallar el valor actual y el descuento compuesto de 5000 u.mHallar el valor actual y el descuento compuesto de 5000 u.mpagaderos en 5 apagaderos en 5 añños a la tasa del 10% anual.os a la tasa del 10% anual.

( )P = 5000 1- 0.1 5

( )F P F F 1 d n

− = − −

( )( )D F 1 1 d n= − −

P = 2952.45 ( )5000 1 5− = − −2952 45 5000 5000 01. .

( )( )D 1 1 5= − −5000 01.D = 2047.55


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Ejemplo.Ejemplo.Hallar el valor actual y el descuento compuesto deHallar el valor actual y el descuento compuesto de

5000 u.m pagaderos en 5 a5000 u.m pagaderos en 5 añños a la tasa del 15% anual,os a la tasa del 15% anual, bajo el sistema bancario y racional compuesto. bajo el sistema bancario y racional compuesto.a) Sistema bancarioa) Sistema bancario

b) Sistema racionalb) Sistema racional


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SoluciSolucióón del ejemplo anterior haciendo uso de la definicin del ejemplo anterior haciendo uso de la definicióón.n.

8


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8.8. EQUIVALENCIA ENTRE TASA DEEQUIVALENCIA ENTRE TASA DEINTERES Y DESCUENTO COMPUESTOINTERES Y DESCUENTO COMPUESTO

8

Veamos el siguiente ejemplo una persona pide en calidadVeamos el siguiente ejemplo una persona pide en calidadde pr de pr ééstamo 100 u.m; su acreedor otorga el pr stamo 100 u.m; su acreedor otorga el pr ééstamo bajostamo bajo

la siguiente condicila siguiente condicióón; plazo un mes, 10% por mes y pagon; plazo un mes, 10% por mes y pagode inter de inter éés:s:a)a) Al final del prAl final del prééstamo.stamo.

b) Al momento de otorgar el prb) Al momento de otorgar el prééstamo.stamo.


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ObservaciObservacióón:n:La forma de pago del inter La forma de pago del inter éés influye en la tasa efectivas influye en la tasa efectiva(tasa de rendimiento); mientras que en el caso a, la tasa(tasa de rendimiento); mientras que en el caso a, la tasaefectiva es exactamente igual a lo solicitado por el acreedor,efectiva es exactamente igual a lo solicitado por el acreedor,

10%; en cambio la modalidad b produce una tasa efectiva10%; en cambio la modalidad b produce una tasa efectivamayor al solicitado por el acreedor, 11.11%. Es mejor paramayor al solicitado por el acreedor, 11.11%. Es mejor parael acreedor; esta forma de pagar inter el acreedor; esta forma de pagar inter éés y se conoce con els y se conoce con el

nombre de sistema bancario.nombre de sistema bancario.

Aplicando la f Aplicando la f óórmula bancaria se tiene:rmula bancaria se tiene:

P = F(1P = F(1--d) = 100( 1d) = 100( 1-- 0.1) = 900.1) = 90


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FORMULAS DE EQUIVALENCIA DE TASA DE

INTERES Y DESCUENTO( )P = F 1- d n d =

i

1+ i

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

( )P = F1

1 + i n i = d

1 - d ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

En el ejemplo anterior para el caso ( b ) aplicamos laEn el ejemplo anterior para el caso ( b ) aplicamos laf f óórmula anterior se tiene:rmula anterior se tiene:

i =0.1

1 - 0.1

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

i = 0.111i = 0.111i = 11.11%i = 11.11%

9 ANUALIDADES ( SERIES UNIFORMES)9 ANUALIDADES ( SERIES UNIFORMES)

9


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9. ANUALIDADES. ( SERIES UNIFORMES)9. ANUALIDADES. ( SERIES UNIFORMES)9

Es una sucesiEs una sucesióón de pagos perin de pagos perióódicos iguales; sedicos iguales; seclasifican en vencidas (ordinarias ) y anticipadas;clasifican en vencidas (ordinarias ) y anticipadas;tambitambiéén pueden clasificarse en diferidas, perpetuas yn pueden clasificarse en diferidas, perpetuas y

perpetuas diferidas. Es una de las modalidades m perpetuas diferidas. Es una de las modalidades máássusadas en el sistema financiero para el otorgamientousadas en el sistema financiero para el otorgamientode pr de pr ééstamos y cr stamos y cr ééditos.ditos.

( )F R

1 i n

1

i=

+ −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Ej lEj l


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EjemploEjemplo

Una persona realiza depUna persona realiza depóósitos de 300 u.m., cada fin desitos de 300 u.m., cada fin demes durante dos ames durante dos añños, en su cuenta de ahorros. Si laos, en su cuenta de ahorros. Si laentidad financiera donde realiza los depentidad financiera donde realiza los depóósitos anunciasitos anunciaque paga una tasa de inter que paga una tasa de inter éés del 12% con capitalizacis del 12% con capitalizacióónn

mensual.mensual. ¿¿CuCuáánto habr nto habr áá acumulado al realizar elacumulado al realizar el úúltimoltimodepdepóósito ?sito ?

( )F 300

1 0.01 24 1

0.01=

+ −⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

= 8 092 04, .


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a)a) Valor actual de una anualidad.Valor actual de una anualidad.

( )

( )

P R 1 i

n1

i 1 in

= + −

+

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥


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Ejemplo Ejemplo

Una persona tiene proyectado recibir 36 mensualidadesUna persona tiene proyectado recibir 36 mensualidadesde 500 u.m., siendo el primero exactamente dentro de 2de 500 u.m., siendo el primero exactamente dentro de 2aañños; si la persona requiere de liquidez en cuantoos; si la persona requiere de liquidez en cuantovender vender íía hoy la anualidad si el comprador desea una hoy la anualidad si el comprador desea unrendimiento efectivo del 4% por mes.rendimiento efectivo del 4% por mes.

a)a) Flujo de caja del problema:Flujo de caja del problema:


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b)b) CCáálculo del valor actual de la anualidad al final dellculo del valor actual de la anualidad al final del

mes 23.mes 23.

c)c) CCáálculo del valor actual del monto final al principiolculo del valor actual del monto final al principiodel mes 1 ( Hoy).del mes 1 ( Hoy).

1010 GRADIENTE ( SERIES ARITMGRADIENTE ( SERIES ARITMÉÉTICAS)TICAS)

10


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10.10. GRADIENTE. ( SERIES ARITMGRADIENTE. ( SERIES ARITMÉÉTICAS).TICAS).10

Una serie aritmUna serie aritméética representa que existe una variacitica representa que existe una variacióónnconstante en los ingresos o egresos a travconstante en los ingresos o egresos a travéés del tiempos del tiempodurante cada periodo. La variacidurante cada periodo. La variacióón constante toma eln constante toma el

nombre de gradiente ( raznombre de gradiente ( razóón aritmn aritméética)tica)a) Monto de una gradiente puraa) Monto de una gradiente pura..

( )F G

1

i

1 in

1

in=

+ −⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ −

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥


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Ejemplo Ejemplo

Hallar el monto del siguiente flujo de caja si los periodos sonHallar el monto del siguiente flujo de caja si los periodos sontrimestres y la tasa es 2% efectivo mensual.trimestres y la tasa es 2% efectivo mensual.

( )F 200

1

0.061208

1 0.061208 48 1

0.06120848 714,127.51=

+ −⎛

⎝ ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =


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b) Valor actual de una gradiente purab) Valor actual de una gradiente pura..

( )

( ) ( )

P G1

i

1 i n

1

i 1 i

n

n

1 i

n=

+ −

+

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ −

+

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

1111 FACTORES FINANCIEROSFACTORES FINANCIEROS

11


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11.11. FACTORES FINANCIEROSFACTORES FINANCIEROS11

a) Factor simple de capitalizacia) Factor simple de capitalizacióón.n. i ni n FSCFSC ..Sea el siguiente flujo de cajaSea el siguiente flujo de caja

b) Factor simple de actualizacib) Factor simple de actualizacióón. i n FSA .n. i n FSA .Sea el siguiente flujo de cajaSea el siguiente flujo de caja


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c) Factor de capitalizacic) Factor de capitalizacióón de series uniformesn de series uniformes.. i ni n FCSUFCSU..

Sea el siguiente flujo de caja.Sea el siguiente flujo de caja.

dd) Factor de dep) Factor de depóósito a fondo de amortizacisito a fondo de amortizacióónn.. i ni n FDFAFDFA..

Sea el siguiente flujo de caja.Sea el siguiente flujo de caja.

) F t d t li i) F t d t li ióó d i ifd i if FASUFASU


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e) Factor de actualizacie) Factor de actualizacióón de series uniformesn de series uniformes.. i ni n FASUFASU..Sea el siguiente flujo de caja.Sea el siguiente flujo de caja.

f) Factor de recuperacif) Factor de recuperacióón de capitaln de capital.. i ni n FRCFRC.. Sea elSea el

siguiente flujo de caja.siguiente flujo de caja.

) F t d it li ig) Factor de capitalizacióó d i itn de series aritméétiticas


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g) Factor de capitalizacig) Factor de capitalizacióón de series aritmn de series aritmééticasticas.. i ni nFCSAFCSA.. Sea el siguiente flujo de caja.Sea el siguiente flujo de caja.

h) Factor de actualizacih) Factor de actualizacióón de series aritmn de series aritmééticasticas.. i ni nFASAFASA.. Sea el siguiente flujo de caja.Sea el siguiente flujo de caja.


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i) Factor de series aritmi) Factor de series aritmééticas a series uniformesticas a series uniformes..i ni n FSASUFSASU.. Sea el siguiente flujo de caja.Sea el siguiente flujo de caja.

12. RELACION DE FACTORES12. RELACION DE FACTORES

12


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12. RELACION DE FACTORES12. RELACION DE FACTORESFINANCIEROSFINANCIEROS

12

a) El producto del factor simple de capitalizacia) El producto del factor simple de capitalizacióón por el factorn por el factorsimple de actualizacisimple de actualizacióón es uno.n es uno.

b) El producto del factor de capitalizacib) El producto del factor de capitalizacióón de series uniformesn de series uniformespor el factor de deppor el factor de depóósito a fondo de amortizacisito a fondo de amortizacióón es uno.n es uno.

c) El producto del factor de actualizacic) El producto del factor de actualizacióón de series uniformesn de series uniformespor el factor de recuperacipor el factor de recuperacióón de capital es uno.n de capital es uno.

i n

FSC

i n

FSA 1=

i nFCSU

i nFDFA 1=

i nFASU

i nFRC 1=


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d) La sumatoria de del FSC desde 0 hasta nd) La sumatoria de del FSC desde 0 hasta n--1 es igual al1 es igual alFCSU.FCSU.

e) La sumatoria de del FSA desde 1 hasta n es igual ale) La sumatoria de del FSA desde 1 hasta n es igual alFASU.FASU.

f) El FDFA mf) El FDFA máás la tasa de inters la tasa de interéés es igual al FRCs es igual al FRC

i nFCSU

i k FSC

k = 0

n -1= ∑

i nFASU

i k FSA

k = 1

n

= ∑

i nFDFA + i =

i nFRC

13. FACTORES FINANCIEROS Y FORMULAS13. FACTORES FINANCIEROS Y FORMULASÓ

13


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CON CAPITALIZACICON CAPITALIZACIÓÓN CONTINUAN CONTINUA13

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