84
UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

  • Upload
    others

  • View
    19

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

1

Page 2: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

UML

2

VERJETNOSTNI RAČUN

Page 3: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

Diskretne porazdelitve

• Binomna (Bernoulli-jev dogodek)

• Poisson-ova (zakon redkih dogodkov, potek dogodkov)

3

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 4: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

Binomna porazdelitev

• Bernoulli-jev dogodek – samo dva izhoda - verjetnost dogodka se ne menja in je p - verjetnost q=1-p - neodvisni dogodki (naključno vzorčenje) - število poskusov (velikost vzorca), n

p

A Ā

(1-p)=q

VZOREC n - elementov

• število N (elementi množice) teži v neskončnost

4

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 5: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

• funkcija verjetnosti binomnske porazdelitve B (n, p):

,...n,xqpxn

P(x) xnx 10,)( =⋅⋅

= − za parametri: n, p

• Pričakovana vrednost (aritmetična sredina): pnxE ⋅== )(µ

• varianca: qpn ⋅⋅=2σ

• koeficient asimetrije:

• koeficient zaobljenosti:

( )qpn

q-pM⋅⋅

== 3 33

σα

qpnqpM

⋅⋅⋅⋅−

+==613

44 4 σ

α

- porazdelitev je vedno asimetrična če ne velja p=q=0,5

5

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 6: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

• Vpliv parametrov n in p na obliko binomne porazdelitve:

76543210

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Prob

abili

ty

Binomial; n=10; p=0,2

1086420

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Prob

abili

ty

Binomial; n=10; p=0,5

11109876543

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Prob

abili

ty

Binomial; n=10; p=0,8

543210

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Prob

abili

ty

Binomial; n=5; p=0,2

76543210

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Prob

abili

ty

Binomial; n=10; p=0,2

121086420

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Prob

abili

ty

Distribution PlotBinomial; n=20; p=0,2

6

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 7: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

• ‘Galtonova’ deska – binomnski eksperiment – Kroglico spuščamo skozi žebljičke, ki so zloženi v pravilno trikotno rešetko – Pri padcu na žebelj, kroglica lahko zavije na levo ali desno (Bernouli-jev dogodekj) – deska je pravilna, kar pomeni, da so verjetnosti dogodka enako verjetni p=0.5 – n – število vrst postavljenih žebljičkov

7

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 8: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

– primer ‘Galtonove’ deske z n=4 vrste žebljičkov:

- neodvisna spremenljivka ima v našem primeru vrednosti: 0 - za 1 kombinacijo 1 - za 4 kombinacije 2 – za 6 kombinacij 3 – za 4 kombinacije 4 – za 1 kombinacijo

- splošno:

8

Velja: p + q = 1

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 9: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

BINOMSKA PORAZDELITEV

PRIČAKOVANA VREDNOST

STANDARDNI ODKLON

KOEFICIENT ASIMETRIČNOSTI

KOEFICIENT ZAOBLJENOSTI

( )E X n p= ⋅

npqσ =

3q p

npq−

α =

41 63 pq

npq−

α = +

Če je p = q = 0.5, binomska je porazdelitev simetrična

9

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 10: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

• Primer 1. Binomska porazdelitev: Pri vsakem odvzetem vzorcu vode je verjetnost 10%, da je kontaminiran z odpadno snovjo.

Predpostavimo da se vzorci jemljejo neodvisno glede na prisotnost odpadnih snovi. Izračunajte:

a) Verjetnost, da bo v vzetih 18 vzorcev točno 2 vzorca kontaminirana?

284,0)2(

9,01,02

18)2(

181,0

162

==

⋅⋅

==

==

xP

xP

np

Verjetnost, da sta točno 2 kontaminirana vzorca

10

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 11: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

• Primer 1. Binomska porazdelitev: b) Verjetnost, da bodo od vzetih 18 vzorcih, vsaj 4 kontaminirani?

0,1 ; 18( 3) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3)( 4) 1 [ ( 3)] 0,098

p nP x P x P x P x P xP x P x

= =≤ = = + = + = + =≥ = − ≤ =

11

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 12: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

- grafični prikaz (binomna porazdelitev):

76543210

76543210

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Prob

abili

ty

20 6

0,284

Binomial; n=18; p=0,1

a)

76543210

76543210

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Prob

abili

ty40

0,0982

Binomial; n=18; p=0,1

b)

12

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 13: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

13

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

BINOMSKA PORAZDELITEV B (n, p) – EXCEL (Izračun verjetnosti)

Page 14: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

14

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

BINOMSKA PORAZDELITEV B (n, p) – EXCEL (KUMULATIVA)

Page 15: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

• Primer 2. Uporaba binomske porazdelitve: Delo enega avtomatskega stroja kontrolira se z vzorčenjem po 15 izdelkov. V vsakem vzorcu se ugotavlja število neustreznih izdelkov. Pri kontroli smo vzeli 200 vzorcev, dobljeni rezultati vzorčenja so podani v tabeli. Potrebno je ugotoviti ustrezno porazdelitev po kateri se obnašajo podatki in verjetnost dogodka z največ 2 neustrezna izdelka v vzorcu.

x 0 1 2 3 4 5 6 fi 77 81 31 7 2 1 1

6543210

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

xi

Freq

uenc

y

Histogram of xi

- govorimo o Binomni porazdelitvi (n končno število):

061,0;15;915,0 ====nxpnx

9876543210

9876543210

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Prob

abili

ty

2

0,941

4

Binomial; n=15; p=0,061

941,0)2();2(

)1()0()2(

939.0061,015

)( )15(

=≤=+

=+==≤

⋅⋅

= −

xPxP

xPxPxPx

xP xx

15

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 16: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

xn ∑P(x)x px q(n-x) P(x)

0 1 1 0,389031 0,389031 0,389031

1 15 0,061 0,414303 0,379087 0,768118

2 105 0,003721 0,441217 0,172386 0,940504

3 455 0,000227 0,46988 0,048528 0,989032

4 1365 1,38E-05 0,500405 0,009457 0,998489

5 3003 8,45E-07 0,532913 0,001352 0,999841

6 5005 5,15E-08 0,567532 0,000146 0,999987

7 6435 3,14E-09 0,6044 1,22E-05 0,999999

8 6435 1,92E-10 0,643664 7,94E-07 1

9 5005 1,17E-11 0,685478 4,01E-08 1

10 3003 7,13E-13 0,730009 1,56E-09 1

11 1365 4,35E-14 0,777432 4,62E-11 1

12 455 2,65E-15 0,827936 1E-12 1

13 105 1,62E-16 0,881721 1,5E-14 1

14 15 9,88E-18 0,939 1,39E-16 1

15 1 6,02E-19 1 6,02E-19 1

- tabela verjetnosti za Primer 2.

16

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 17: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

17

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 18: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

18

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

V računalniškem centru za obdelavo podatkov imajo 8 serverjev. Verjetnost delovanja vsakega serverja je 0,92. Obdelava podatkov je možna, v kolikor deluje minimalno 7 serverjev. Kolikšna je verjetnost:

a) da bodo podatki obdelani, b) da ne delujejo trije (3) serverji.

• Primer 3. Uporaba binomske porazdelitve:

Rešitev: a) Verjetnost, da bodo podatki obdelani – mora vsaj 7 serverjev delovati

Page 19: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

19

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 20: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

20

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 21: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

21

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Verjetnost, da je izdelek v skladišču nedelujoč je 0,01. Iz skladišča se prevzema 100 izdelkov. Kolikšna je verjetnost:

a) da bo točno pet (5) izdelkov nedelujočih, b) število nedelujočih izdelkov ni večje kot 2.

• Primer 4. Uporaba binomske porazdelitve:

Rešitev: a) Verjetnost, da bo točno pet (5) izdelkov nedelujočih

Page 22: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

22

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

• Primer 4. Uporaba binomske porazdelitve:

Rešitev: b) Verjetnost, da število nedelujočih izdelkov ni večje kot 2

Page 23: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

23

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 24: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

POISSONOVA PORAZDELITEV

Uporablja se za opis redkih dogodkov (dogodki, ki imajo velik vzorec in majhno verjetnost)

če je p ≤ 0.1, in n ≥ 50, takrat binomne verjetnosti lahko izračunamo aproksimativno s pomočjo izraza:

kjer je λ ≈ np , e = 2.71828... To porazdelitev imenujemo kot Poissonova porazdelitev. In je

mejni primer binomne porazdelitve.

( ) , 0 , 0,1, 2,...!

xep x xx

−λ ⋅λ= λ =

24

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 25: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

POISSONOVA PORAZDELITEV

PRIČAKOVANA VREDNOST

STANDARDNI ODKLON

KOEFICIENT ASIMETRIČNOSTI

KOEFICIENT ZAOBLJENOSTI

Če se v konkretnem primeru ne more določiti verjetnost “a priori”, potem se eksperimentiranjem lahko določi aritmetična sredina empirijske frekvenčne porazdelitve podatkov.

σ = λ

31

α =λ

413α = +λ

xmXE ≅=== λµ)(

25

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 26: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

26

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Primer 5. Uporaba Poisson-ove porazdelitve:

Verjetnost, da je izdelan proizvod nedelujoč je 0,003. Izračunajte verjetnost, da bo med 1000 proizvedenimi izdelki:

a) štirje (4) proizvodi so nedelujoči, b) vsaj eden (1) proizvod je nedelujoč, c) število nedelujočih proizvodov ni večje kot 2.

Slučajna spremenljivka x je porazdeljena po binomni porazdelitvi

X: B (1000, 0,003)

Ad a) štirje (4) proizvodi so nedelujoči,

Rešitev:

Page 27: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

27

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Primer 5. Uporaba Poisson-ove porazdelitve:

Ad a) štirje (4) proizvodi so nedelujoči, Rešitev:

Page 28: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

28

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Primer 5. Uporaba Poisson-ove porazdelitve:

Ad a) štirje (4) proizvodi so nedelujoči, Rešitev:

Ad b) vsaj eden (1) proizvod je nedelujoč,

Ad c) število nedelujočih proizvodov ni večje kot 2

Page 29: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

29

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Primer 5. Uporaba Poisson-ove porazdelitve:

Rešitev: Ad c) število nedelujočih proizvodov ni večje kot 2

Page 30: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

30

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Primer 5. Uporaba Poisson-ove porazdelitve:

Na opazovanem cestnem odseku se v enem letu zgodijo povprečno tri prometne nesreče. Izračunajte verjetnost, da se bo v naslednjem letu zgodilo: a) pet prometnih nesreč, b) največ tri nesreče, c) le ena prometna nesreča.

Page 31: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

31

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 32: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

Primer 6. Uporaba Poisson-ove porazdelitve: Primer: V primeru tanke bakrene žice, predpostavljamo da število razpok

sledi zakonu Poisson-ove porazdelitve s pričakovanjem 2.3 mikrorazpoke po milimetru. Potrebno je določiti:

a) verjetnost,da se zgodijo ravno 2 mikrorazpoke po (enem) 1 milimetru žice.

- spremenljivka x – št. mikrorazpok po 1 mm žice

32)( ,xmxE =≅=

3,2

!3,2 −⋅= ex

P(x)x

265,0!23,22 3,2

2

=⋅== −e)P(x

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Prob

abili

ty

2

0,265

0 8

Distribution PlotPoisson; Mean=2,3

32

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 33: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

b) Verjetnost, da se pojavi vsaj ena mikrorazpoka v 2 mm žice.

- spremenljivka x – število mikrorazpok na 2mm žice

64322)( ,,xE =⋅=

6,4

!6,4 −⋅= ex

P(x)x

9899,0)0(11 ==−=≥ xP)P(x

0101,0!06,40 6,4

0

=⋅== −e)P(x

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Prob

abili

ty

10

0,9899

Distribution PlotPoisson; Mean=4,6

33

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 34: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

34

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Ob λ= konst, za redke odpovedi velja Poissonova porazdelitev, pa se uporablja izraz:

kjer je:

P(r)i – verjetnost, da je i “r” ali manj zahtev (ali odpovedi) za i-ti rezervni (nadomestni) del, N – število tehničnih sistemov/sklopov (za katere se določajo n/d), ni – število i-tih sestavov/sklopov, za katere računamo potrebno število nadomestnih delov, v vsakem tehničnem sistemu, λi – pogostnost odpovedi i-tega sestava/sklopa, t – čas delovanja tehničnega sistema, za katere računamo število potrebnih nadomestnih delov ri – količina (število) nadomestnih delov za i-ti sestav/klop, Pz – zahtevana verjetnost po oskrbi iz zaloge za posamezni nadomestni del.

Definiramo pojem POVPRAŠEVANJE: p (ali µ) = N * ni * λi * t

Uporaba Poisson-ove porazdelitve: OSKRBA (nabava/oskrba skladišča)

Tabela - Poissonova porazdelitev.pdf

Page 35: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

35 Povpraševanje

Pz

Odčitamo r – število potrebnih nadomestnih delov NOMOGRAM

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 36: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

36

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

P O V P R A Š E V A N J E

3.0 4 4 4 5 5 6 8 8 10

2.5 3 3 4 4 5 5 7 7 9

2.0 3 3 3 3 4 6 6 6 8

1.8 2 3 3 3 4 4 6 6 7

1.6 2 2 3 3 3 4 5 6 7

1.4 2 2 2 3 3 4 5 5 6

1.2 2 2 2 2 3 3 4 5 6

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0,99 0.995 0,999

Zahtevana zanesljivost

Uporaba tabele za izračun potrebnih nadomestnih delov za nabavo/zalogo

Page 37: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

37

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Če je povpraševanje: p = N*ni*λi*t > 20 velja naslednji izraz za izračun količine nadomestnih delov:

r = p + Uβ . (p)1/2

Primer 2:

Tabela - Poissonova porazdelitev.pdf

Page 38: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

38

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

V tehničnem sistemu je agregat (blok, modul), ki ima po podatkih proizvajalca MTBF = 30000 ur.

a) Koliko kosov teh agregatov je potrebno imeti v rezervi enega tehničnega sistema, ki deluje 24/7, da bi se zahteva za njegovo zamenjavo izpolnila s 99% verjetnostjo, v času enega leta?

b) Koliko kosov teh agregatov je potrebno imeti v rezervi za 55 tehničnih sistemov, ki delujejo s koeficientom uporabe Kupor = 0.6, da bi se zahteva za njihovo zamenjavo izpolnila s 95% verjetnostjo, v času treh let?

• Primer 7. Uporaba Poissonove porazdelitve:

Rešitev: Ad a)

Page 39: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

39

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

2.korak

V nomogramu povlečemo vertikalno črto na izračunanem povpraševanju, do presečišča z zahtevano verjetnostjo Pz (to je do krivulje za 0,99).

3.korak

Odčitamo za kateri r je izpolnjen pogoj (odčitek je med 1 in 2; okoli 1,6)

Zaokrožimo r na prvo večji celo števiko (r = 2)

Odgovor pod a): Na zalogi je potrebno imeti 2 kosa agregata za dobo enega leta.

Page 40: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

40

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Rešitev: Ad b)

2.korak

Če je povpraševanje: p = N*ni*λi*t > 20 velja naslednji izraz za izračun količine nadomestnih delov:

r = p + Uβ . (p)1/2

Odgovor pod b): Na zalogi je potrebno imeti 38 kosov agregatov za dobo treh let.

Tabela - Poissonova porazdelitev.pdf

Page 41: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

Zvezne porazdelitve

• Normalna porazdelitev • Standardizirana normalna porazdelitev

41

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 42: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

Normalna porazdelitev • prvi jo je definiral Abraham de Moivre • uporabil jo je Gauss (Gauss-ova razpodelitev) • najpogosteje uporabljena porazdelitev– celo 33% procesov v naravi

sledi zakonu normalne razpodelitve • funkcija gostote verjetnosti f(x) – zveznost • nastanek normalne porazdelitve - binomni izrek (razvijanje binomov v

vrsto, A. de Moivre)

2

21

0

21)(

i 50pogoju ob

)( )(

)(...)()()(

=

⋅⋅

=⇒

∞→==

=→⋅⋅

=+

=+⋅⋅+⋅+=+

σµ

πσ

x

xnxn

x

xxnn

n

exfP(x)

n,qp

qpxn

xPbaxn

ba

babababa

binomna porazdelitev

funkcija gostote verjetnosti normalne porazdelitve

42

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 43: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

• funkcija gostote verjetnosti normalne porazdelitve f(x):

∞≤≤∞⋅⋅

=

xexfx

- za 2

21

21)( σ

µ

πσ

• Pričakovana vrednost: E(x)= μ

parametri: μ i σ2(x)

• varianca: σ2(x) • koeficient asimetrije: α3= 0 - simetrična razdelitev • koeficient zaobljenosti: α4= 3 (α’4= 0) – normalno zaobljena • lastnosti funkcije gostote verjetnosti f(x):

1.

2.

3.

xxf vsakiza 0)( ≥

∫∞

∞−=1)( dxxf

∫ ≤≤=2

121 )()(

x

xxxxPdxxf

43

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 44: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

• poveza funkcije gostote verjetnosti f(x) in funkcije porazdelitve F(x) normalne porazdelitve:

∫=2

1

)()(x

xdxxfxF

44

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 45: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

• Verjetnosti pod normalno porazdelitvijo N{μ, σ2}:

• Vpliv parametarov μ in σ2 na obliko normalne porazdelitve:

45

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 46: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

Standardizirana normalna porazdelitev N{0,1} • standardizirana normalna porazdelitev s parametri μ=0 i n σ2=1 • Vse normalne porazdelitve lahko transformiramo (z-transformacija) na

standardizirano (enotno) normalno porazdelitev • Katerakoli vrednost x se lahko zapiše kot μ ± k·σ

σµ−

=x

z• transformacija:

46

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 47: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

• funkcija gostote verjetnosti standardizirane normalne porazdelitve f(z):

1;0;21)( 2

221

==⋅=−

σµπ

z

ezf

• Z uporabo stand. normalne porazdelitve standardiziramo odstopanja preko parametra z:

1. |z|=1 → P(z)=0,6827 2. |z|=1,96 → P(z)=0,9500 3. |z|=2,0 → P(z)=0,9545 4. |z|=3 → P(z)=0,9973

• področje ±3σ ki se uporablja v konstrukcijah imenujemo toleranca • danes procesi v području ±3σ niso več dovolj dobri, pa se prehaja

na sistem ±6σ • področje ±6σ zajema verjetnost dogodkov s 99,9999998 %

47

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 48: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

• ostale verjetnosti normalne porazdelitve:

48

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 49: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

STANDARIZIRANI ZAPIS

Za standardizirano oblika zapisa velja:

0=z

1=zδ

Standardizirana oblika zapisa je oblika linearne transformacije zapisa in prikazuje odstopanje zapisa od povprečja izražena v standardnim odklonih.

δδ

⋅+=⇒−

= iii

i zxxxxz

0)(1

=−

=

==∑∑∑

N

xx

N

xx

Nz

zi

i

i δδ

11)(1)( 22

2

2

2

222 ==

−=

==−

= ∑∑∑∑ δδδ

δδN

xxN

xx

Nz

Nzz i

i

iiz

49

Page 50: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

50

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Število točk na izpitu, ki ga je opravljalo 250 studentov, ima normalnu razpodelitev s srednjo vrednostjo 8,0 in standardnim odklonom 2,5.

Če je potrebno 8,6 točk, da se izpit opravi pozitivno, koliko odstotkov studentov ni opravilo izpit?

Če je izpit je opravljalo 250 studentov, koliko studentov ga ni opravilo s pozitivno oceno?

1. Izračunajte vrednost z 2. Določite površino levo od z in jo izrazite v % 3. Izračunatjte število študentov iz dobljenega %

Primer 8: Normalna porazdelitev – izračun verjetnosti (ploščine)

Page 51: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

51

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Določitev površine za z < 0,24

z

0,24 0 x

8,6 8

μ = 8 σ = 2,5

μ = 0 σ = 1

P(x < 8,6) P(z < 0,24)

Page 52: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

52

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Površina za z < 0,24)

0,5948

z

0,24 0,00

P(x < 8,6) ) = P(z < 0,24) = 0,5948

Z ,00 ....

0,0 0,5000 .... 0,5080

0,5398 ....

0,2 0,5793 .... 0,5948

0,3 0,6179 ....

,04

0,1 0,5478

Tabela standardizirane normalne razpodelitve

59,48% študentov ima manj kot 8,6 točk 149 (250 x 0,5948) ima manj od 8,6 točk

Page 53: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

53

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

53

Površina t.i. verjetnost Katera je verjetnost, da ima student točno 8,6 točk? P(x = 8,6) = P(z = 0,24) = 0

Page 54: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

54

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Spremenljivka x je normalno porazdeljena s srednjo vrednostjo 8,0 in standardnim odklonom 2,5.

Določite P(x > 8,6)

x

8,6

8,0

Page 55: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

55

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

P(x > 8,6) = P(z > 0,24) = 1,0 – P(z ≤ 0,24) = 1,0 – 0,5948 = 0,4052

Z

0,24 0

Z

0,24

0,5948

0

1,000 1,0 – 0,5948 = 0,4052

40,52% študentov ima več kot 8,6 točk 101 (250 x 0,4052) študentov ima več kot 8,6 točk

Page 56: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

56

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

56

P(8 < x < 8,6)

= P(0 < z < 0,24)

02,5

88σ

μxz =−

=−

=

Izračunajte vrednost z :

Varijabla x je normalno porazdeljena s srednjo vrednostjo 8,0 in standardnim odklonom 2,5.

Določite P(8,0 < x < 8,6)

z 0,24 0

x 8,6 8

Page 57: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

57

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Določitev vrednosti P(0 < z < 0,24)

P(8 < X < 8.6) = P(0 < z < 0,24) = = P(z < 0,24) – P(z ≤ 0) = = 0,5948 – 0,500 = 0,0948

z

0,24

0,0948

0,00

0,5000

Z ,00 ....

0,0 0,5000 .... 0,5080

0,5398 ....

0,2 0,5793 .... 0,5948

0,3 0,6179 ....

,04

0,1 0,5478

Tabela standardizirane normalne razpodelitve

Page 58: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

58

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Primer 9: Normalna porazdelitev – izračun verjetnosti (ploščine)

Predpostavimo, da ima f(x) normalno porazdelitev z 𝜇𝜇 =3 in 𝜎𝜎 = 0,5. Izračunajmo verjetnost, da se x nahaja v območju med 2 in 3,5. Določite verjetnosti za normalno porazdelitev.

Page 59: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

59

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 60: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

60

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Tabela 1: Površine izpod standardizirane normalne porazdelitve

Page 61: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

61

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Tabela 1: Površine izpod standardizirane normalne porazdelitve

Page 62: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

62

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Rešitev: Ad a)

Page 63: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

63

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 64: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

64

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Rešitev: Ad a)

Page 65: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

65

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Rešitev: Ad a)

Rešitev: Ad b)

Page 66: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

66

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 67: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

67

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Rešitev: Ad c)

Page 68: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

68

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Rešitev: Ad c)

Page 69: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

69

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Dolgoročno tehtanje hlebcev kruha je dalo podatke, da poteka proces peke hlebcev kruha po normalni porazdelitvi in da je povprečna teža hlebca kruha 150 dag in standardni odklon 0,9 dag. Ker so podatki zbrani na osnovi vsakodnevnega tehtanja hlebcev v času več let, se lahko smatra, da izračunane vrednosti veljajo za populacijo. A. Zanima nas, kašen odstotek hlebcev kruha bo predvidoma imel težo manjšo od

148 dag.

Primer 10: Normalna porazdelitev – izračun teže hlebca kruha (kontrola proizvoda)

Page 70: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

70

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

B. Zanima nas, kašen odstotek hlebcev kruha bo imel predvidoma težo med 149 dag in 152 dag.

Page 71: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

71

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Rešitev B:

Page 72: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

72

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

C. Želimo, da bi le 5% hlebcev kruha imelo težo manjšo od 149 dag. Kolikšen bi moral biti 𝜇𝜇, da bi bilo to izpolnjeno?

Rešitev C:

Izračun novega 𝝁𝝁, glede na zahtevani x in ploščino (manj kot 5%)

Page 73: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

73

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Rešitev C:

Iz priložene tabele vidimo, da je za 5% ploščine Z = 1,6449.

Page 74: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

74

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Rešitev C:

.

Page 75: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

75

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Rešitev C:

Page 76: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

76

Primer 11. Uporaba normalne porazdelitve:

V podjetju “ALFA” je narejena tabela po zaposlenem glede na delovno dobo in plačo. Primerjajte zaposlene po dohodku in delovni dobi grafično !

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 77: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

77

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 78: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

Primer 12. Uporaba normalne porazdelitve: Primer: Predpostavimo da se vrednost toka (v mA) v vodniku obnaša po zakonu normalne porazdelitve s pričakovanjem μ=10 mA in varianco σ2=4 mA2. Kolikšna je verjetnost, da bo tok večji od 13 mA?

17,515,012,510,07,55,0

17,515,012,510,07,55,0

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Den

sity

1310

Normal; Mean=10; StDev=2

06681,0)5,1(1)5,1()13(

5,12

)1013()(

=≤−=>=>

=⇒−

=−

=

zPzPxP

zxz σµ

3210-1-2-3

3210-1-2-3

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

z

Den

sity

1,5

0,0668

0

Normal; Mean=0; StDev=1

78

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 79: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

79

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Primer 13. Uporaba normalne porazdelitve:

Verjetnost, da je izdelan proizvod nedelujoč je 0,05. Izračunajte verjetnost, da bo med 500 slučajno izbranimi proizvedenimi proizvodi med 5 in 15 nedelujočih!

Rešitev:

Proizvodi oz. slučajna spremenljivka x se spreminja po binomni porazdelitvi 𝑋𝑋:𝐵𝐵(500; 0,05) s parametri:

𝑛𝑛 = 500, 𝑝𝑝 = 𝑃𝑃 𝐴𝐴 = 0,05, 𝑞𝑞 = 𝑃𝑃 �̅�𝐴 = 0,95

𝑃𝑃 5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 15 = � 500𝑘𝑘 ∙ 0,05𝑘𝑘

15

𝑘𝑘=5

∙ 𝑞𝑞500−𝑘𝑘

= 5005 ∙ 0,055 ∙ 0,95495 + 500

6 ∙ 0,056 ∙ 0,95494 + ⋯ . + 50015 ∙ 0,0515 ∙ 0,95485

= 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

Page 80: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

80

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Primer 13. Uporaba normalne porazdelitve:

Ker je 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝 = 25 > 10 lahko binomno porazdelitev aproksimiramo z uporabo normalne porazdelitve s parametri

𝑃𝑃 5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 15 = 𝑃𝑃5 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 𝑞𝑞 ≤

𝑥𝑥 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 𝑞𝑞 ≤

15 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 𝑞𝑞

= 𝑃𝑃5 − 25

500 ∙ 0,05 ∙ 0,95≤𝑥𝑥 − 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 𝑞𝑞 ≤

15 − 25500 ∙ 0,05 ∙ 0,95

= 𝑃𝑃(−4,1

≤ 𝑍𝑍 ≤ −2,05)

𝑃𝑃 −4,1 ≤ 𝑍𝑍 ≤ −2,05 = 𝑃𝑃 2,05 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 4,1 = 1 − 0,9798 = 0,0202

Page 81: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

81

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 82: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

82

Primer 14.

Rešitev:

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 83: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

83

Primer 14.

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE

Page 84: UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI - IC GEOSS...UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje VERJETNOSTNE PORAZDELITVE 1

84

UML VERJETNOSTNE PORAZDELITVE