Urednici: Ninoslav Kunc i Petar Mladinić · Urednici: Ninoslav Kunc i Petar Mladinić Petar Mladinić, Ninoslav Kunc: Cudesni svijet Matkeˇ Zagreb, 2018. Recenzentice: Sanja

Urednici: Ninoslav Kunc i Petar Mladinic

Petar Mladinic, Ninoslav Kunc:

Cudesni svijet Matke

Zagreb, 2018.

Recenzentice: Sanja Antolis, Jelena Gusic, Nikol Radovic

Lektorica: Ivana Babic

Korektori: Nikol Radovic, Hrvoje Horvat

Nakladnik: Proven Grupa d.o.o., Zagreb

c©Petar Mladinic i Ninoslav Kunc

Ova knjiga ne smije se umnazati ili preslikavati bez pismenog dopustenja autora.

CIP zapis je dostupan u racunalnom katalogu Nacionalne i sveucilisne knjiznice u Zagrebu

pod brojem 000982971

ISBN 978-953-7369-12-5

Slog i prijelom: Petar Mladinic i Ninoslav Kunc

Tisak: Tiskara Zelina d.d.

Rijec, dvije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Zgode i mozgalice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Tko ima prednost? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Kako posteno podijeliti? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Kako razdijeliti? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Moze li se dobiti 100? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Koliko je do cilja? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6. Koliko ce dobiti? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7. Zasto je parnica izgubljena? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8. Koliko kasni? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.9. Tko ima smede oci? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.10. Koliko ima godina? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.11. Postoji li tijelo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.12. Je li to moguce? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.13. Cega ima vise? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.14. Zna li Ante? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.15. Koliko traje natjecanje? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.16. Tko je ciji? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.17. Koliko je sati? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.18. Kako podijeliti nasljedstvo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.19. Ima li pronevjeritelj posteno sudenje? . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.20. Moze li se rijesiti kucni problem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.21. Je li moguce? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.22. Jesu li slon i komarac jednaki? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.23. Koliko macic pojede? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.24. Kako do cetvrtice? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.25. Tko laze? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.26. Kome vjeruje sudac? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.27. Kolika je cijena? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.28. Koliko ih ima krvnu grupu O? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.29. Sto je skuplje? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.30. Koliko je duga staza? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.31. Tko zna racunati? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.32. Hoce li pas uloviti zeca? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

iv Cudesni svijet Matke

1.33. Zna li ministar racunati? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.34. Znaju li pisati? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.35. Koliko je duboka lucica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.36. Moze li se uravnoteziti? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.37. Koliko ima slucajeva? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.38. Kako izgledaju? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.39. Koliko je dobio glasova? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.40. Koliko je osoba? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.41. Sto pise na papiru? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.42. Koliko ima jabuka? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.43. Moze li se razmijeniti? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.44. Koliko stoji popravak? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.45. Koliko je veliko naselje? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.46. Koja je ponuda bolja? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.47. Koliko treba minuta? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.48. Tko je dizac utega? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.49. Tko je pobijedio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.50. Tko je pogodio u sridu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.51. Sto pise? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2. Rjesenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Tko ima prednost? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Kako posteno podijeliti? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Kako razdijeliti? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Moze li se dobiti 100? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Koliko je do cilja? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Koliko ce dobiti? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Zasto je parnica izgubljena? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Koliko kasni? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Tko ima smede oci? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Koliko ima godina? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Postoji li tijelo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Je li to moguce? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Cega ima vise? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Zna li Ante? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Koliko traje natjecanje? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Tko je ciji? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Koliko je sati? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Kako podijeliti nasljedstvo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Ima li pronevjeritelj posteno sudenje? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Moze li se rijesiti kucni problem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Je li moguce? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Jesu li slon i komarac jednaki? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Koliko macic pojede? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Kako do cetvrtice? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

v

Tko laze? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Kome vjeruje sudac? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Kolika je cijena? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Koliko ih ima krvnu grupu O? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Sto je skuplje? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Koliko je duga staza? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Tko zna racunati? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Hoce li pas uloviti zeca? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Zna li ministar racunati? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Znaju li pisati? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Koliko je duboka lucica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Moze li se uravnoteziti? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Koliko ima slucajeva? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Kako izgledaju? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Koliko je dobio glasova? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Koliko je osoba? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Sto pise na papiru? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Koliko ima jabuka? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Moze li se razmijeniti? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Koliko stoji popravak? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Koliko je veliko naselje? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Koja je ponuda bolja? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Koliko treba minuta? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Tko je dizac utega? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Tko je pobijedio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Tko je pogodio u sridu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Sto pise? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3. Popis mozgalica prema sadrzaju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5. Biljeska o autorima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

vii

Rijec, dvije . . .

Za vecinu ucenica i ucenika osnovnih i srednjih skola matematika je tradicionalno nepopula-

ran predmet. Mnogi je dozivljavaju kao suhoparnu, dosadnu, zamornu i tesku, a razmjerno

je malo onih koji vide i osjecaju kako je matematika lijepa, zanimljiva i poticajna. Razlozi

koji jos uvijek dovode do takvih gledanja nisu u matematici samoj: oni su u nedostatcima i

nedorecenosti nastavnih planova i programa, u udzbenicima, a i u pojedinim nastavnicima.

Jedan od najzasluznijih hrvatskih srednjoskolskih nastavnika i autora matematickih

udzbenika, Stjepan Skreblin, znao je reci da za uspjesno svladavanje gradiva iz matematike

ucenicima nije potrebna posebna nadarenost, jedino ne smiju biti izrazito nenadareni. Dobar

nastavnik matematike znat ce za nju zainteresirati svoje ucenike koji ce je uvijek nestrpljivo

iscekivati i s radoscu stvaranja sudjelovati u rjesavanju matematickih zadataka i problema.

Na tragu tog pokusaja povecavanja razumijevanja i zainteresiranosti za matematiku je i ova

knjiga matematickih stripova. Nastala je na temelju visegodisnje rubrike na zadnjoj stranici

casopisa za mlade matematicare Matka. Ona je i u skladu s odlukama 1. kongresa nastavnika

matematike RH o popularizaciji matematike, kao i o matematizaciji situacija s kojima ucenici

svakodnevno imaju posla. Ova knjiga skroman je doprinos u ostvarivanju standarda iznijetih

u Standardima za nastavu matematike.

Cudesni svijet ”Matke” moze se uporabiti za uvodne price/probleme u razredu prilikom

obrade novoga gradiva ili na neki drugi nacin, i u tom su smjeru namijenjene nastavnicima i stu-

dentima nastavnickih studija. Mogu posluziti i roditeljima u pokusaju shvacanja gradiva koje

njihova djeca uce u skoli. U tu svrhu na kraju je knjige dan popis prica prema matematickim

podrucjima: Brojevni sustavi, Djeljivost, Jednadzbe i nejednadzbe, postotak, Diofantske jed-

nadzbe, Algebarski izrazi, Logicki zadatci, Dirichletovo pravilo, Geometrija, Grafovi, Kombi-

natorika, Vjerojatnost i statistika te Domisljatost.

Citav tekst je, u obliku razgovora, raden tako da citatelja vodi od jednoga problema do

sljedeceg. Zadatci i problemi odabrani su tako da ima laksih i tezih, jednostavnijih i teze

formuliranih, raspravljenih i rjesavanih, cime mladi citatelj moze razviti prvi osjecaj za bogat-

stvo i raznolikost matematicke problematike. Nadarenijem citatelju bit ce i poticajem da se i

sam okusa ne samo u rjesavanju postavljenih zadataka, nego i u postavljanju i konstruiranju

vlastitih.

Knjiga je osmisljena kao zgode i mozgalice skupine ucenika u jednoj skoli. Autorove zamisli

oslikao je i likove “ozivio” Ninoslav Kunc. On je svojom doradom likova i/ili komentiranjem te

uvodenjem ”sporednih” likova/ikona matematickom zadatku dao dodatnu dimenziju i atmos-

feru. Njegovi su komentari duhoviti i ironicni u pozitivnom smislu i sami za sebe daju zivotniji

okvir zadatcima.

Naravno, zadatci su ugradeni u moguce realno okruzenje, ali svakome tko ih cita jasno je

da su oni izmisljeni, tj. da takva realnost ne postoji.

Temeljne ideje zadataka su ili autorski kreirane ili su uocene u navedenoj literaturi, s

posebnim izborom ideja iz povijesti matematike. Razrada temeljne ideje, uoblicavanje teksta

i ilustriranje u obliku stripa iskljuciva su kreacija autora.

viii Cudesni svijet Matke

U nasoj, ali ni u svjetskoj literaturi, nema ovakvog obuhvatnog pokusaja zadavanja

matematickih problema u obliku stripa.

Postoje pokusaji klasicnog pisanja prica/romana u kojima se nalaze matematicki problemi

i njihovo rjesavanje kao uzgredna aktivnost glavnih likova. Jedan od rijetkih pokusaja (a

mozda i jedini) u nas objavila je izdavacka kuca Mate d.o.o. iz Zagreba. U pokusaju ovakvog

drukcijeg pristupa matematici objavila je 2010. godine prijevod knjige Stripologikon Apostolosa

Doxiadisa i Christosa Papadimitrioua te Alecosa Papadatosa u kojoj je u formi stripa ispricana

prica o modernoj matematickoj logici i akterima njezine izgradnje. I to je sve.

Knjiga stripova Cudesni svijet ”Matke” obuhvaca novi izbor zadataka i ona je prirodni

nastavak objavljene knjige Zgode i mozgalice druzbe Matkaci koju je napisao Petar Mladinic,

a ilustrirala Zrinka Ostovic.

Prica kojom je zadan problem cesto je okvir u kojemu tek treba osmisliti nacin rjesavanja,

kao i unijeti dodatne uvjete uz koje se problem moze ili ne moze rijesiti.

Pri kraju knjige nalazi se popis prica svrstanih prema matematickome okviru rjesavanja.

Taj popis sluzi citatelju kao moguci putokaz rjesavanja, ali i u izboru price kao uvodnom

zadatku kad to nastavniku u skoli zatreba.

Na kraju se nalazi popis literature u kojoj je nadena inspiracija za niz uoblicenih prica.

Svojim recenzijama i savjetima bitno su pomogli i tekst popravili Sanja Antolis, prof.,

Jelena Gusic, prof. i mr. sc. Nikol Radovic.

Mr. sc. Nikol Radovic svojim je korektorskim rjesenjima i prijedlozima bitno poboljsala ovu

knjigu, dok su prof. Sanja Antolis i prof. Jelena Gusic provjerom rjesenja zadataka otklonile

velik dio mogucih nejasnoca, ali i predlozile niz jednostavnijih rjesavanja problema.

Svima njima od srca zahvaljujem!

Zahvalan sam i citateljima koji ce mi, citajuci i rjesavajuci ove mozgalice, ukazati na

pogrjeske ili bolja i ljepsa rjesenja, a koja cu, nadam se, u nekom sljedecem izdanju ugraditi u

Cudesni svijet Matke.

[email protected]

Masta je vaznija od znanja.

Albert Einstein

Dijete je vatra koju treba razbuktati, a ne posuda koju treba napuniti.

Aristotel

Ante, Ivan, Luka, Jurica i Danica ucenici su jedne zagrebacke skole i glavni su likovi ove

nase price. Slicni su djevojcicama i djecacima u nama i oko nas. Dobri su prijatelji, sportasi i

streberi, mangupi i intelektualci. I stalno im se dogadaju neke zanimljive zgode. A ako im se

i ne dogode, sami ih smisljaju i izmisljaju, i tako im nikad nije dosadno. A susrest cemo ih u

razredu, na ulici, u trgovini, u stanu, na trznici, u knjizari, na moru. . .

Uz njih cemo upoznati i jos neke ucenike iz razreda: Kresimira, Vinka, Tomislava, Petra;

profesore Matka i Eugena; susjeda Martina; trgovce Marka i Anu; Antinu baku Maricu i djeda

Antu; podvornika Jozu. . .

Sigurno cete zajedno s njima uspjeti rijesiti sve matematicke probleme, a mozda i sami

smisliti neke nove zadatke za neku drugu pricu.

Evo nekih spomenutih Matkaca:

2 Cudesni svijet Matke

reklama

1. Zgode i mozgalice


1.1. Tko ima prednost?

Rjesenje je na stranici 56.

1. Zgode i mozgalice 5

1.2. Kako posteno podijeliti?



1.3. Kako razdijeliti?



1.4. Moze li se dobiti 100?



1.5. Koliko je do cilja?



1.6. Koliko ce dobiti?



1.7. Zasto je parnica izgubljena?


2. Rjesenja


Tko ima prednost?

Uvijek pobjeduje drugi igrac sa sljedecom strategijom:

drugi igrac precrta ostatak reda (nakon sto je prvi igrac precrtao od 1 do 9 kvadratica).

Prvi je poceo Ivan. U ovoj igri obojica su igraca pogrijesila. Prvo je pogrijesio Luka jer u

drugom redu nije isao do kraja retka, a onda Ivan jer u cetvrtom redu nije isao do kraja retka.

Dakle, mogli su igrati bolje.

Kako posteno podijeliti?

Tri su prijatelja putovala jos 11 dana i potrosila 11 000 eura - svaki po11 000

3eura.

Marko je imao 7 000 =21 000

3eura i od toga iznosa potrosio je na sebe

11 000

3eura, a na

Jerka preostalih10 000

3eura.

Petar je imao 4 000 =12 000

3eura i od toga iznosa potrosio je na sebe

11 000

3eura, a na

Jerka preostalih1 000

3eura.

Jerko je, dakle, ”posudio” od prijatelja10 000

3+

1 000

3=

11 000

3eura.

Marko i Petar trebaju podijeliti iznos od 11 000 eura, koji im je nakon putovanja dao Jarko,

u omjeru njihove ”posudbe”. Marko je ”posudio” Jerku 10 puta veci iznos nego je to ucinio

Petar.

Dakle, Marko treba dobiti 10 000 eura, a Petar 1 000 eura. Markov je zahtjev posten!

Kako razdijeliti?

Lopta je stajala 450 kn. Svaki bi Matkac trebao platiti 112, 5 kn.

Iz izjava Matkaca mozemo sastaviti sustav linearnih nejednadzbi gdje su j, i, l iznosi koje

su za kupovinu lopte dali Jurica, Ivan i Luka.

j + i + l = 450 . . . cijena lopte

j ≤ i + l . . . Jurica

2i ≤ j + l . . . Ivan

5l ≤ j + i . . . Luka

Iz prve jednakosti izracunamo redom i + l, j + l te j + i.

Dakle, iz j + i + l = 450 slijedi da je

i + l = 450− j,

j + l = 450− i,

j + i = 450− l.

2. Rjesenja 57

Uvrstimo li ove vrijednosti u drugu, trecu i cetvrtu nejednakost, dobit cemo da je

j ≤ 225, i ≤ 150 i l ≤ 75.

Kako je j + i + l = 450, onda slijedi da je

j = 225, i = 150 i l = 75.

Dijeljenje Antinog novca stvar je dogovora. Ocito je da Luka nije uplatio svoju cetvrtinu i

zato ne moze sudjelovati u razdiobi. On ce nakon svega prijatelju/prijateljima dugovati 37, 5

kuna.

Jurica ili Ivan mogu se ”namiriti” tako da Luka duguje samo jednome od njih.

Druga je mogucnost da Jurica najprije uzme 75 kn i tako se u uplati izjednaci s Ivanom,

a nakon toga ostatak (112, 5− 75 = 37, 5) podijele na jednake dijelove. U tom slucaju Luka

svakome od njih duguje jednak iznos.

Moze li se dobiti 100?

Broj 100 moguce je dobiti u pet koraka:

1 · 5 = 5,

5 + 5 = 10,

10 + 5 = 15,

15 + 5 = 20,

20 · 5 = 100.

Dakle, Ante je pobijedio u igri jer je pomocu pribrojnika i faktora 5 te pocetnog broja 1

na racunalu dobio zadani broj 100.

Koliko je do cilja?

Na kartu upisimo spomenute podatke.

Uocimo da su △ABD i △DBG sukladni jer su to trokuti sa sukladnim stranicama.

Na karti oznacimo kutove. Neka je α = 6 BAD i β = 6 ABD.


Trokuti ABD i DBG sukladni su jednakokracni, pa je 6 ADB = α, 6 BDG = 6 DGB = α

i 6 DBG = β.

Vanjski kut trokuta ABD je 6 BCD = α + β. To je i suplementni kut za 6 ADB = α.

Odavde slijedi da je 6 CDG = β.

Trokut EDG jednakoracni je trokut s β u vrhu nasuprotnom osnovici, pa vrijedi

α = 6 DEG = 6 DGE.

Trokut DEG slican je trokutu BAD jer su to trokuti s jednakim kutovima, pa vrijedi

|EG|

24=

24

40,

odnosno |EG| = 14, 4 km.

Pogledajmo trokut EGC i njegove kutove.

Kut 6 EGC = β jer je 180◦ − 2α = β. Kut 6 CEG = 180◦ − α jer je to suplementni kut za6 DEG. Odavde dobivamo da je

γ = 6 ECG = 180◦ − (180◦ − α) − β,

tj.

γ = α − β.

Trokuti CGE i CBD slicni su jer imaju jednake kutove, pa vrijedi

2. Rjesenja 59

|EG|

|CG|=

|DB|

|BG| + |CG|.

Uvrstimo li ovdje izracunane podatke, dobit cemo da je trazena udaljenost

|GC| = 22, 5 km.

Podatak da su Matkaci poveli u utrci ne daje nam argumente iz kojih bismo mogli zakljuciti

da su i pobjednici utrke.

Koliko ce dobiti?

Postoje dva rjesenja tako da svaki brat dobije jednak broj bacava i jednaku kolicinu vina:

a) Dva ce brata dobiti po 3 pune, 1 polupunu i 3 prazne bacve, a treci ce dobiti 1 punu, 5

polupunih i 1 praznu bacvu.

b) Dva ce brata dobiti po 2 pune, 3 poluprazne i 2 prazne bacve, a treci ce dobiti 3 pune,

1 polupunu i 3 prazne bacve.

Zasto je parnica izgubljena?

Ako je nasljedstvo x, onda je najstariji nasljednik dobio 2 +x − 2

7, pa je ostalo nasljedstva

x − 2 −x − 2

7. Tada je drugi nasljednik dobio 4 +

x − 2−x − 2

7− 4

7.

Ako su dobili jednako, onda je

2 +x − 2

7= 4 +

x − 2 − x−27

− 4

7.

Rjesenje jednadzbe je x = 72.

Provjerimo tablicom da i ostali nasljednici dobivaju jednako, i vidimo koliko ih ima.

dobiva iznos (u milijunima dolara) ostatak nasljedstva

1. nasljednik 2+17· 70 = 12 72-12=60

2. nasljednik 4+17· (60− 4) = 12 60-12=48

3. nasljednik 6+17· (48− 6) = 12 48-12=36

4. nasljednik 8+17· (36− 8) = 12 36-12=24

5. nasljednik 10+17· (24− 10) = 12 24-12=12

6. nasljednik 12+17· (12− 12) = 12 12-12=0

Ima 6 nasljednika. Svaki je nasljednik dobio 12 milijuna dolara, pa je najmladi nasljednik

izgubio parnicu.

3. Popis mozgalica prema sadrzaju


Kao mogucu pomoc u snalazenju evo vam, na kraju, ovaj popis zgoda i mozgalica prema

matematickim podrucjima.

1. Brojevni sustavi:

• 1.8. Koliko kasni?

• 1.21. Je li moguce?

2. Djeljivost:

• 1.4. Moze li se dobiti 100?

• 1.14. Zna li Ante?

• 1.16. Tko je ciji?

3. Jednadzbe i nejednadzbe, postotak:

• 1.3. Kako razdijeliti?

• 1.7. Zasto je parnica izgubljena?

• 1.16. Tko je ciji?

• 1.19. Ima li pronevjeritelj posteno sudenje?

• 1.20. Moze li se rijesiti kucni problem?

• 1.21. Je li moguce?

• 1.23. Koliko macic pojede?

• 1.27. Kolika je cijena?

• 1.31. Tko zna racunati?

• 1.32. Hoce li pas uloviti zeca?

• 1.33. Zna li ministar racunati?

• 1.36. Moze li se uravnoteziti?

• 1.39. Koliko je dobio glasova?

• 1.46. Koja je ponuda bolja?

4. Diofantske jednadzbe:

• 1.40. Koliko je osoba?

• 1.42. Koliko ima jabuka?

• 1.43. Moze li se razmijeniti?

3. Popis mozgalica prema sadrzaju 91

5. Algebarski izrazi:

• 1.22. Jesu li slon i komarac jednaki?

6. Logicki zadatci:

• 1.9. Tko ima smede oci?

• 1.24. Kako do cetvrtice?

• 1.25. Tko laze?

• 1.26. Kome vjeruje sudac?

• 1.48. Tko je dizac utega?

7. Dirichletovo pravilo:

• 1.15. Koliko traje natjecanje?

8. Geometrija:

• 1.38. Kako izgledaju?

• 1.45. Koliko je veliko naselje?

• 1.5. Koliko je do cilja?

• 1.11. Postoji li tijelo?

• 1.29. Sto je skuplje?

• 1.30. Koliko je duga staza?

• 1.35. Koliko je duboka lucica?

9. Grafovi:


• 1.24. Kako do cetvrtice?

10. Kombinatorika:

• 1.6. Koliko ce dobiti?

• 1.37. Koliko ima slucajeva?

• 1.44. Koliko stoji popravak?

• 1.47. Koliko treba minuta?

• 1.49. Tko je pobijedio?


11. Vjerojatnost i statistika:

• 1.10. Koliko ima godina?

• 1.12. Je li to moguce?

12. Domisljatost:

• 1.1. Tko ima prednost?

• 1.2. Kako posteno podijeliti?

• 1.13. Cega ima vise?


• 1.17. Koliko je sati?

• 1.18. Kako podijeliti nasljedstvo?

• 1.28. Koliko ih ima krvnu grupu O?

• 1.31. Tko zna racunati?

• 1.34. Znaju li pisati?

• 1.41. Sto pise na papiru?

• 1.44. Koliko stoji popravak?

• 1.47. Koliko treba minuta?

• 1.50. Tko je pogodio u sridu?

• 1.51. Sto pise?

4. Literatura

1. Bunt, L. N. H.; Jones, P. S.; Bedient, J. D. (1976): The historical roots of elementary mathematics,

Dover, New York.

2. Castello, M. J. (1998): The Greatest Puzzles of All Time, Dover, New York.

3. Cistjakov, V. D. (1978): Starnie zadaci po elementarnoi matematike, Visa skola, Minsk.

4. Dalle, A. (1988): 2000 Theoremes et Problemes de Geometrie avec Solutions, Namur, Seilles.

5. Dejic, M.; Dejic, B. (1987): Zanimljivi svet matematike, Tehnicka knjiga, Beograd.

6. Devide, V. (1988): Zabavna matematika, Skolska knjiga, Zagreb.

7. Dudeney, H. E. (1958): Amusements in Mathematics, Dover, New York.

8. Dorrie, H. (1965): 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Dover, New York.

9. Ferachoglou, R.; Lafond M. (2002): 100 friandises mathematiques, Ellipses, Paris.

10. Friedland, A. J. (1970): Puzzles in Math and Logic, Dover, New York.

11. Fourrey, E. (2001): Recreations arihmetiques, Vuibert, Paris.

12. Fourrey, E. (2001): Curiosites geometriques, Vuibert, Paris.

13. Gardiner, T. (2002): Mathematical challenge, Cambridge University Press, Cambridge.

14. Gardiner, T. (2000): Maths challenge 1, 2, 3, Oxford University Press, Oxford.

15. Gardner, M. (1959): Mathematical Puzzles and Diversion, Penguin Book, London.

16. Gardner, M. (1959): Mathematical Puzzles of Sam Loyd, Dover, New York.

17. Gardner, M. (1960): More Mathematical Puzzles of Sam Loyd, Dover, New York.

18. Gardner, M. (1956): Mathematiccs, Magic and Mystery, Dover, New York.

19. Gik, E. J. (1987): Zanimatelnije matematiceskie igri, Znanie, Moskva.

20. Giovanangeli, B. (2004): 100 Enigmes de geometrie, Eureka, Paris.

21. Ignatev, E. J. (1978): V carstve smekalki, Nauka, Moskva.

22. Klepic, D. (1972): Zabavna matematika, Tehnicka knjiga, Zagreb.

23. Konforovic, A. G. (1987): Matematika labirinta, Radjanska skola, Kiev.

24. Kordemsky, B. (1971): The Moscow Puzzles, Dover, New York.

25. Kordemskii, B. A. (1956): Matematiceskaja smekalka, Gosud. izdat. tehniko-teoreticeskoi litera-

turi, Moskva.

26. Kostic, Z. (1970): Izmedu igre i matematike, Tehnicka knjiga, Beograd.


27. Lehmann, J. (1980): Kurzweil durch mathe, Urania, Leipzig.

28. Libbrecht, U. (1973): Chinese Mathematics in the Thirteenth Century, Dover, New York.

29. Loyd, S. (1982): Male price za bistre glave, Sportska tribina, Zagreb.

30. Maxwell, E. A. (2006): Fallacies in Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge.

31. Modenov, P. S. (1957): Sbornik zadac po specialnomu kursu elementarnoi matematiki, Sovetskaja

nauka, Moskva.

32. Olehnik, S. N.; Nesterenko, J. V.; Potapov, M. K. (1985): Starinie zanimatelnie zadaci, Nauka,

Moskva.

33. Pappas, T. (2009): The Mathematics Calendar 2009, Wide World Publishing/Tetra, San Carlos.

34. Pappas, T. (2008): Mathematical Snippets, Wide World Publishing/Tetra, San Carlos.

35. Perelman, J. I. (1974): Zivaja matematika, Nauka, Moskva.

36. Perelman, J. I. (1974): Zanimatelnaja algebra, Nauka, Moskva.

37. Perelman, J. I. (1972): Zanimatelnie zadaci i opiti, Detskaja literatura, Moskva.

38. Petrovic, L. (2006): Golovolomki i zanimatelnie zadaci, Nauka, Moskva.

39. Petrovic, M. (1985): Zanimljivi matematicki problemi, Naucna knjiga, Beograd.

40. Polonijo, M. (1979): Matematicki problemi za radoznalce, Skolska knjiga, Zagreb.

41. Polonijo, M. (1995): Matematicke razbibrige, Element, Zagreb.

42. Schuh, F. (1968): The Master Book of Mathematical Recreations, Dover, New York.

43. Smith, D. E.; Mikami, J. (2004): A history of Japanese mathematics, Dover, New York.

44. Smith, L. D. (1943): Cryptography The Science of Secret Writing, Dover, New York.

45. Steinhaus, H. (1958): Sto zadan, Panstwowe wydawniectwo naukowe, Warszawa.

46. Sapiro, S. J. (1984): Resenie logiceskih i igrovih zadac, Radio i svjazi, Moskva.

47. Thepault, L. (2008): Le chat a six pattes et autres casse-tete, Dunod, Paris.

48. Townsed, Ch. B. (1976): Merlin’s puzzle pestimes, Dover, New York.

49. Trigg, Ch. W. (1967): Mathematical Quickies, Dover, New York.

50. Tahan, M. (2003): Covjek koji je brojio, Izvori, Zagreb.

5. Biljeska o autorima

Ninoslav Kunc roden je 1957. u Zagrebu. Tijekom svoje umjet-

nicke karijere objavio je velik broj stripova, ilustracija, a bavio se i

dizajnom, te animiranim filmom. Ilustrirao je brojne udzbenike za

osnovnu i srednju skolu koji su se tiskali u milijunskim nakladama,

vise prirucnika, rjecnika i drugih izdanja vezanih za obrazovanje.

Knjiga za djecu koje je ilustrirao toliko je da ih odavno ne zna

nabrojiti. Desetljecima je suradivao s mnogim casopisima za djecu

i mlade, ponajvise s Modrom lastom, Smibom i Matkom.

Ilustrator je iznimne osjecajnosti i prepoznatljivog stila. Jedan je od rijetkih ilustratora

koji svoj crtez, prozet humorom, zna pribliziti djetetu a da pritom nista ne gubi na likovnosti

i minucioznoj perfekciji koja je svojevrsni zastitni znak ovoga darovitog umjetnika.

Ilustrirao je niz poznatih djecjih klasika koji su neizbjezni dio lektire. Neke naslove, poput

Petrice Kerempuha Slavka Mihalica i Bon - ton Zvonimira Baloga, ilustrirao je u vise navrata

za razlicite izdavace. Svako od ta dva izdanja (objavljena po tri puta) nastojao je dodatno

likovno obogatiti, sto je uvijek poseban izazov za ilustratora.

Svoje radove Ninoslav Kunc izlagao je na mnogim skupnim i samostalnim izlozbama, a

dobitnik je i vise nagrada za svoj rad.

Svoju strip djelatnost Kunc je profesionalno zapoceo jos sedamdesetih godina u casopisu

Polet. Bio je clan kultne grupe Novi kvadrat koja je unijela dasak svjezine u tradicionalnu

strip scenu. Stripom se kontinuirano bavi sve do danas, a poseban izazov bile su mu serije za

najmladu publiku.

U suradnji s profesorom povijesti Petrom Bucevicem objavio je knjige 100 slavnih izreka

i Anegdote o slavnim osobama, a u izdanju udruge Strip forum objavljena je zbirka njegovih

stripova Najzabavnije Kuncutarije.

Ninoslav Kunc godinama ilustrira i oblikuje matematicke casopise Matka i Poucak.

U suradnji s profesorom Petrom Mladinicem smislja stripove koji krase zadnju stran-

icu Matke. Te matematicke zagonetke u stripu jedan su od njenih prepoznatljivih zastitnih

znakova. Ova duhovita serija, koja izlazi godinama, na koncu je zasluzila da bude malo dot-

jerana i objavljena u knjizi.

* * * * *

Petar Mladinic roden je 1950. godine u Zagrebu, gdje je diplomi-

rao matematiku na Prirodoslovno-matematickom fakultetu.

Njegov rad ima dugotrajan ucinak na poboljsanje odgojne i

obrazovne prakse. Kao voditelj Nastavne sekcije Hrvatskoga

matematickog drustva pridonosio je razvoju profesionalnih potreba

ucitelja/nastavnika, ucenika i studenata u formalnome i neformal-

nome svakidasnjem i cjelozivotnom ucenju i poucavanju.

Organizirao je vise od 150 predavanja, mnogobrojne radionice, pokrenuo Ljetnu skolu

Rudera Boskovica te Ljetnu skolu V. gimnazije i HMD-a.

Za profesionalne potrebe ucitelja, ucenika i studenata utemeljio je cetiri matematicka

casopisa: Poucak, Matka, Playmath i math.e te inicirao izdavanja knjiga u sklopu Male

matematicke i Matkine biblioteke.

Napisao je stotinjak strucnih clanaka, knjiga, udzbenika, prijevode knjiga te organizirao

na desetke radionica za nastavnike i ucenike.

Pridonio je razvoju sustava obrazovanja u matematickom podrucju kao clan Vijeca za

nacionalni kurikulum i clan Radne skupine za izradu Nacionalnoga okvirnog kurikuluma za

matematiku.

Godine 2011. prijavio je projekt V. gimnazije IPAQ Peta - afirmativna nastava i inovativno

poucavanje u gimnazijama u okviru HKO koji je realiziran s timovima cetiriju gimnazija: iz

Vukovara, Pakraca, Knina i Metkovica te Prirodoslovno-matematickim fakultetom iz Zagreba,

uz sudjelovanje 1 200 ucenika i 1 000 nastavnika.

Osmislio je i organizirao projekt dvogodisnjih okupljanja ucitelja i nastavnika matematike

(susreti i kongresi nastavnika matematike) na kojima su izlagali hrvatski nastavnici, kao i

najugledniji strani strucnjaci iz podrucja nastave matematike.

Utemeljio je hrvatski ogranak TTT (Teacher Teaching Technology).

Utemeljio je i vise godina vodio Geometrijske radionice HMD-a.

Kao nastavnik, a posebno kao ravnatelj V. gimnazije, aktivno je bio ukljucen u zajednicu,

osnazivao demokratske procese, toleranciju i solidarnost medu mladim ljudima i njihovim

roditeljima.

U slobodnom vremenu bavio se i sudenjem rukometnih utakmica. Prvi je hrvatski

medunarodni sudac koji je licencu postigao u Lijepoj Nasoj. Od 1993. - 1999. godine bio

je clan tzv. elitne liste sudaca IHF-a (International handball federation). Sudio je utakmice na

Olimpijadi u Atlanti, 4 svjetska prvenstva, 3 europska, 2 azijska i mediteranske igre. Sudio je

zavrsnu utakmicu japanskog prvenstva kao i tuniskog. Takoder je sudio 7 zavrsnih utakmica

europskih kupova, utakmice na dva svjetska kupa te prvi europski super kup. Na obiljezavanju

100 godina sporta u Austriji sudio je utakmicu izmedu zenskih reprezentacija Austrije i Svijeta.

Ukupno je sudio vise od 250 medunarodnih utakmica.

Odlikovan je Spomenicom Domovinskog rata 1990.–1992., odlicjem Red hrvatskog pletera

i dobitnik je nagrade Ivan Filipovic.

Documents

Urednici: Ninoslav Kunc i Petar Mladinić · Urednici: Ninoslav Kunc i Petar Mladinić Petar Mladinić, Ninoslav Kunc: Cudesni svijet Matkeˇ Zagreb, 2018. Recenzentice: Sanja