USAHA DAN ENERGI

USAHA DAN ENERGIUsaha dalam pengertian di Fisika sebanding dengan gayadan perpindahan

Usaha yang dilakukan makin besar jika gaya yang bekerjapada benda juga besarJika gaya yang bekerja pada benda besar namun bendabelum bergerak maka tidak ada usaha

Energi didefinisikan sebagai kemampuan untuk melakukanusahaBeberapa contoh energi

Energi yang dimiliki oleh benda yang bergerak dinamakanenergi kinetik

Energi yang ada karena letak atau konfigurasi sistem dinamakanenergi potensial

Contoh mobil yang bergerak akan memiliki energi kinetik

UsahaUsaha disimbolkan dengan lambang W memiliki satuan Interna-sional Joule [J]Jika gaya (F) konstan dan berimpit dengan perpindahan (∆r) benda maka F

A BWAB=F(∆r)

Jika gaya (F) konstan dan tidak berimpit dengan perpindahan (∆r) benda maka

rF

θcos)(. rFrFW ∆=∆=r

Secara umum jika gaya tidak konstan dan/atau lintasan tidak membentukgaris lurus maka

..∫=B

AAB rdFW rr

θ

A BF

AB

ContohGaya bekerja pada sebuah partikel. Dengan gayatersebut partikel berpindah dari titik A(0,0) ke titik B(2,4). Hitungusaha yang dilakukan gaya tersebut jika lintasan partikel adalah

( )NjxiyF ˆ2ˆ +=r

a. Garis patah ACBb. Garis patah ADBc. Garis lurus ABd. Garis parabola

x(m)

y(m)

A

B

C

D

Usaha yang dilakukan gaya tsbdari A ke B adalah

( )( )dyjdxijxiyWB

AAB

ˆˆ.ˆ2ˆ ++= ∫( )xdyydxW

B

AAB 2+= ∫

a. Melalui lintasan ACB

( ) ( )xdyydxxdyydxWWWB

C

C

ACBACAB 22 +++=+= ∫∫

( ) ( )xdyydxxdyydxWAB 22)4,2(

)0,2(

)0,2(

)0,0(

+++= ∫∫

Untuk lintasan AC hanya koordinat x yang berubah sementaray tetap, yaitu y=0 (dy=0), Sedangkan untuk lintasan CB koordinat x tetap, yaitu x=2 (dx=0) dan koordinat y berubah.

JdyxdyWAB 16424

0

)4,2(

)0,2(

=== ∫∫

b. Melalui lintasan ADB

( ) ( )xdyydxxdyydxWWWB

D

D

ADBADAB 22 +++=+= ∫∫

( ) ( )xdyydxxdyydxWAB 22)4,2(

)4,0(

)4,0(

)0,0(

+++= ∫∫

Untuk lintasan AD hanya koordinat y yang berubah sementarax tetap, yaitu x=0 (dx=0), Sedangkan untuk lintasan DB koordinat y tetap, yaitu y=4 (dy=0) dan koordinat x berubah.

JdyydxWAB 842

0

)4,2(

)4,0(

=== ∫∫

c. Melalui lintasan garis lurus ABPersamaan garis lurus AB adalah

dxdyxy 22 =→=

Usaha yang dilakukan melalui garis lurus AB adalah

( ) ( )xdyydxxdyydxWB

AAB 22

)4,2(

)0,0(

+=+= ∫∫

( ) ∫∫ =+=2

0

2

0

642 xdxxdxxdxWAB

Ganti variabel y dan dy sesuai dengan persamaan garis ABsehingga

JWAB 12=

c. Melalui lintasan garis parabola ABPersamaan garis parabola AB adalah

xdxdyxy 22 =→=Usaha yang dilakukan melalui garis lurus AB adalah

( ) ( )xdyydxxdyydxWB

AAB 22

)4,2(

)0,0(

+=+= ∫∫

Ganti variabel y dan dy sesuai dengan persamaan garis para-bola AB sehingga

∫∫ =+=2

0

22

0

22 54 dxxdxxxWAB

JWAB 3/40=

Usaha Gaya Konservatif dan Non KonservatifGaya Konservatif (Fk) adalah gaya yang usahanya tidak ber-gantung pada lintasan tempuhGaya Non Konservatif (Fnk) adalah gaya yang usahanya ber-gantung pada lintasan tempuh

Gaya pada contoh di atas termasuk gaya nonkonservatif karena usaha yang dilakukan gaya ini dari A ke B melalui tiap lintasan berbeda-beda nilainya

( )NjxiyF ˆ2ˆ +=r

Untuk Gaya Non Konservatif (Fnk), usaha yang dilakukan gayaini pada suatu lintasan tertutup tidak nol,

0.....

2121

≠−=+== ∫∫∫∫∫B

CA

nk

B

CA

nk

A

CB

nk

B

CA

nknk rdFrdFrdFrdFrdFW rrrrrrrrrr

A B

C1

C2

Usaha Gaya Konservatif dan Non Konservatif (2)Gaya gesekan juga termasuk gaya non konservatif karena gaya gesekanadalah gaya disipasif yang usahanya selalu negatif (gaya gesekan arahnyaselalu melawan perpindahan) sehingga usahayang dilakukan gaya gesekanpada suatu lintasan tertutup tidak akan pernah nolContoh gaya konservatif adalah gaya gravitasi, gaya pegas, dan gayaListrik. Ketiga gaya ini usahanya tidak bergantung lintasan.Gaya adalah contoh lain gaya konservatif, karena gaya initidak bergantung pada lintasan tempuh. Coba kita masukkan gaya ini padacontoh sebelumnya.

( )NjxiyF ˆˆ +=r

( )( ) ∫∫ +=++=B

A

B

AAB xdyydxdyjdxijxiyW ˆˆ.ˆ2ˆ

∫∫ ==+=)4,2(

)0,0(

)4,2(

)0,0(

8)( JxydxdyydxWAB

DayaDaya menyatakan seberapa cepat usaha berubah terhadapwaktu atau didefinisikan sebagai laju usaha yang dilakukanper detik Daya disimbolkan dengan P memiliki satuan Joule/detik atauWatt

vFdt

rdFdt

dWP rrrr

..===

dengan F adalah gaya yang bekerja dan v adalah kecepatan benda

Contoh :Sebuah pompa air tertulis 100 Watt artinya dalam satu detik pompatersebut memiliki usaha 100 J. Jika dibutuhkan usaha10 KJoule untukmemompa 100 liter air dari kedalaman 10 m maka pompa tersebutdapat memompa 100 liter dalam waktu100 detik.

Energi KinetikEnergi kinetik adalah energi yang dimiliki oleh setiap bendayang bergerak

Energi kinetik sebanding dengan massa benda dan sebandingjuga dengan kuadrat laju benda

Jika suatu gaya F bekerja pada benda bermassa m maka usahayang dilakukan gaya tsb dari A ke B adalah

∫=B

AAB rdFW rr

. drdtvdm

B

A

.∫=r

Ingat Hk. Newton F=ma

ABAB

B

A

EkEkmvmvvvmd −=−== ∫ 2212

21.rr

dengan EkB adalah energi kinetik di B dan EkA energi kinetik di A

Dari persamaan terakhir disimpulkan :Usaha = Perubahan Energi Kinetik

ContohSebuah benda bermassa 2 kg dilepaskan dari ketinggian 5 m. Berapausaha yang dilakukan gaya gravitasi dan berapa laju benda setelahsampai di tanah?

B

A

mgh

Usaha gaya gravitasi

∫ ====B

AgravAB JmghmgdyWW 100

Mencari kecepatan di tanah (B)

smv

mvmgh

mvmvW

B

B

BBAB

/10

221

2212

21

=

=

−=

Pembahasan Usaha dari GrafikJika gaya yang bekerja pada benda adalah satu dimensi, dan gaya tersebut dinyatakan dalam bentuk kurva atau grafik makausaha adalah luas daerah di bawah kurva

x

F(x)

A B

∫=B

AAB dxxFW )(

= luas daerah arsir

ContohGaya yang bekerja pada benda 2kgdigambarkan dalam grafik di samping. Jika kecepatan awal benda 2 m/s, berapa kecepatannya setelah 6 detik?

F(N)

X(m)2 4 6

8

Usaha = luas daerah di bawah kurvamWAB 328168 =++=

Usaha = perubahan energi kinetiksmvvmvmvWAB /6)2)(2()2(32 2

212

212

0212

21 =→−=→−=

Contoh 2 Balok 2 kg meluncur ke kanan denganlaju 10 m/s pada lantai kasar denganµk seperti grafik di samping

x(m)

µk

4 10

0,5

Tentukan :Usaha yang dilakukan oleh gayagesekan dari x=0 sampai x=10 m

Kecepatan balok saat sampai pada titik x=10 m

Besar gaya gesekan adalahkkkk mgNf µµµ 20===

Usaha yang dilakukan gaya gesekan adalah

Jkurvadaerahluasx

dxdxfWx

xk

x

xkges

80)31(20)(20

2010

0

10

0

−=+−=−=

−=−= ∫∫=

=

=

=

µ

Usaha=perubahan energi kinetik

2212

21

202

1221

)10)(2()2(80 −=−

−=

v

mvmvWges

smv /20=

(tanda minus pada usaha yang dilakukan gaya gesekan disebabkanKarena gaya gesekan berlawanan arah dengan perpindahan balok)

Ada gesekan menyebabkankecepatan balok menjadi ber-kurang (perlambatan)

Energi PotensialJika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatifmaka usaha yang dilakukan gaya ini tidak bergantung padalintasan tempuh, usahanya hanya bergantung pada titik awaldan titik akhir saja (usahanya hanya bergantung pada posisi)

Oleh karena itu dapat didefinisikan besaran U yang merupakanfungsi dari posisi

( ))()(. AUBUrdFWB

AkAB −−−== ∫rr

dengan U(B) adalah energi potensial di titik B danU(A) adalah energi potensial di titik A

Biasanya dalam pendefinisian energi potensial digunakan titikacuan, yaitu suatu titik yang diketahui energi potensialnya.

Energi Potensial (2)Misalnya dalam kasus di atas diambil titik A sebagai acuan, dimana U(A)=0 maka

( ) )()()(. BUAUBUrdFWB

AcuankAB −=−−−== ∫rr

Dengan kata lain, untuk sembarang posisi r, energi potensialdi posisi r tersebut adalah

∫−=r

Acuank rdFrU rr.)(

Jadi energi potensial di titik r adalah usaha untuk melawan gayaKonservatif yang bekerja pada benda agar benda berpindah dari

Titik acuan ke titik r tersebut

ContohEnergi potensial benda bermassa m yang terletak pada keting-gian h :

mghdyjjmghUh

=−−= ∫0

ˆ).ˆ()(

Titik acuan diambil di permukaan h=0 dengan energi potensialsama dengan nolEnergi potensial benda bermassa m yang terletak pada sistempegas yang teregang sejauh x :

221

0

)( kxkxdxxUx

=−−= ∫Titik acuan diambil di x=0, yaitu saat pegas dalam keadaanKendur, dengan energi potensial sama dengan nol

Hukum Kekal EnergiJika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatifmaka usaha yang dilakukan gaya ini dari A ke B adalah

( ))()(. AUBUrdFWB

AkAB −−−== ∫rr

Di sisi lain semua usaha yang dilakukan suatu gaya dari A ke Bsama dengan perubahan energi kinetik

AB

B

AkAB EkEkrdFW −== ∫rr

.

Dari dua pernyataan di atas dapatdisimpulkan jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif maka

( ))()( AUBUEkEk AB −−−=−atau

)()( BUEkBUEk AB +=+

Hukum Kekal Energi (2)Pernyataan di atas dikenal dengan Hukum Kekal Energi (HKE),yang arti fisisnya adalah bahwa energi total di titik B sama de-ngan energi total di titik A (energi di semua titik adalah sama)

)()( BUEkBUEk AB +=+

Energi total di suatu titik adalah jumlah semua energi potensialpada benda tersebut ditambah energi kinetiknya

)(rUEkE +=Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya gravitasi makahukum kekal energi menjadi

AABB mghmvmghmv +=+ 2212

21

dengan vB dan vA adalah kecepatan di titik B dan A, sertahB dan hA adalah ketinggian titik B dan A

Contoh 1Balok 2 kg meluncur pada bidang miring dari titik A tanpa kecepa-tan awal menuju titik B. Jika bidang miring 37o licin dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :

Usaha yang dilakukan gayagravitasi dari A ke BKecepatan balok di BA

B37o

mg

N

mgsin37

x

hA

Usaha yang dilakukan gaya gravitasi adalah

∫∫ =====B

A

B

Agravgrav JABmgdxmgrdFW 60)5)(6,0)(10)(2()(37sin37sin. rr

Pada balok hanya bekerja gaya gravitasi yang termasuk gayaKonservatif sehingga untuk persoalan di atas berlaku HukumKekal Energi

AABB mghmvmghmv +=+ 2212

21

,)10(200)2( 221

AB hv +=+ mABhA 337sin)( ==←

smvB /60=

Menentukan kecepatan balok di titik B dapat pula dicari dengancara dinamika (Bab II), dengan meninjau semua gaya yang bekerja, kemudian masukkan dalam hukum Newton untuk mencari percepatan, setelah itu cari kecepatan di B.

Contoh 2

Balok m=2 kg bergerak ke kanandengan laju 4 m/s kemudian me-nabrak pegas dengan konstantapegas k.

m

A B CJika jarak AB=2m, BC=0,5m dan titik C adalah titik pegas tertekanmaksimum, tentukan

kecepatan balok saat manabrak pegas di Bkonstanta pegas k

Penyelesaian :Gunakan hukum kekal energi untuk titik A sampai B

)()( 2212

21 AUmvBUmv AB +=+

karena energi potensial di A dan di B tidak ada U(A)=U(B)=0maka kecepatan di B sama dengan kecepatan balok di A, yaitu4 m/s

Kecepatan balok di C adalah nol karena di titik C pegas tertekanmaksimum sehingga balok berhenti sesaat sebelum bergerakkembali ke tempat semula

Gunakan hukum kekal energi untuk titik B sampai C

2212

212

212

21

BBCC kxmvkxmv +=+

mNk

k

BCk

/128

)4)(2()(

0)4)(2()(02

212

21

21

2212

21

=

=

+=+

Contoh 3

A

B

C

R

mg

T

Benda bermassa m diputar dengan tali sehinggamembentuk lintasan lingkaran vertikal berjejari R

berapa kecepatan awal minimum di titik A agar m dapat mencapai ¼ lingkaran (titik B)berapa kecepatan awal minimum di titik A agar m dapat mencapai satu putaran penuh

Tinjau benda m di titik B, gaya yang bekerja pada m adalah mg dan TUsaha yang dilakukan T adalah nol karena tegak lurus perpindahan

Penyelesaian

Gunakan hukum kekal energi di titik A dan B

AABB mghmvmghmv +=+ 2212

21

00 221 +=+ AmvmgR gRvA 2=→

A

B

C

RmgT

Agar m dapat mencapai satu putaran penuhmaka saat m mencapai titik C semua komponengaya pada m yang berarah ke pusat lingkaranharus bertindak sebagai gaya sentripetal, shg

gRmTRv

Rv

mFmgT

C

Csp

+=

==+

2

2

Gunakan Hukum kekal energi di titik A dan C

CCAA mghmvmghmv +=+ 2212

21

RmggRmmv mTR

A 2)(0 212

21 ++=+

gRv mTR

A 52 += gRvA 5min =→ (ambil T=0)

Hukum Kekal Energi dalam gaya non konservatifJika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif dan gayanon konservatif maka gaya total

nkk FFFrrr

+=Usaha yang dilakukan gaya total ini dari A ke B adalah

( ) nkAB

B

Ank

B

AkAB

WAUBUW

rdFrdFW

+−−−=

+= ∫∫)()(

.. rrrr

dengan adalah usaha yang dilakukan gaya non konservatif∫=B

Anknk rdFW rr

.

Ruas kiri WAB adalah sama dengan perubahan energi kinetik, sehingga

nkAB WAUEkBUEk ++=+ )()(Persamaan terakhir ini yang disebut dengan Hukum Kekal Energi

dalam gaya konservatif dan non konservatif

Contoh 1Balok 2 kg meluncur pada bidang miring dari titik A tanpa kecepa-tan awal menuju titik B. Jika bidang miring 37o kasar dengan µk=1/2 dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :

Usaha yang dilakukan gayagesekan dari A ke BKecepatan balok di BA

B37o

mg

N

mgsin37

x

hA

fk

Usaha yang dilakukan gaya gesekan adalah

∫∫ −=−=−==B

Ak

B

Agesges JdxmgmrdFW 30)5)(6,0)(10)(2)(2/1(37cos. rr

Tanda minus diatas karena gesekan berlawanan arah dengan perpindahan

Gaya gesekan adalah gaya non konservatif sehingga dalam per-soalan di atas terdapat Wnk

JWW gesnk 30−==

Selain gesekan, pada balok hanya bekerja gaya gravitasi yang termasuk gaya Konservatif sehingga untuk persoalan di atas berlakuHukum Kekal Energi dalam gaya konservatif dan non konservatif

nkAABB Wmghmvmghmv ++=+ 2212

21

mABhA 337sin)( ==←,30)10(200)2( 221 −+=+ AB hv

smvB /30=

Contoh 2

Balok 0,1 kg didorong pada bidangmiring dengan gaya horisontal F=1 N di titik A tanpa kecepatan awal. Jikabidang miring 37o kasar dengan µk=1/2 dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :

B

A37o

F

Usaha yang dilakukan gaya gravitasi sepanjang ABUsaha yang dilakukan gaya gesekan sepanjang ABUsaha yang dilakukan gaya F sepanjang ABKecepatan balok di titik B

PenyelesaianUsaha yang dilakukan gaya gravitasi sepanjang AB

∫∫ =====B

A

B

Agravgrav JABmgdxmgrdFW 3)5)(6,0)(10)(1,0()(37sin37sin. rr

Usaha yang dilakukan gaya gesekan sepanjang AB

JW

dxFmgrdFW

ges

B

Ak

B

Agesges

3)5)}(6,0)(1()6,0)(10)(1,0){(2/1(

)37sin37cos(.

−=+−=

+−== ∫∫ µrr

Usaha yang dilakukan gaya F sepanjang AB

∫∫ ====B

A

B

AF JdxFrdFW 3)5)(6,0)(1(37cos. r

r

Kecepatan di titik B dapat dicari dengan menggunakan konsepusaha total = perubahan energi kinetik

ABFgesgravAB EkEkWWWW −=++=

0)1,0(333 221 −=+−= BAB vW

smvB /60=

Soal

1. Balok dengan massa 20 kg didorong sepanjang permukaanmendatar tanpa gesekan dengan gaya F yang membentuk sudutθ dengan permukaan. Selama gerakannya gaya bertambah mengi-kuti hubungan F=6x, dengan F dalam Newton dan x dalam meter. Sudut θ pun berubah menurut cos θ = 0,7 − 0,02x. Berapa kerjayang dilakukan oleh gaya bila balok bergerak dari x = 10 m sampaix = 20 m.

2. Benda seberat 20 N didorong ke atas bidang miring yang panjang-nya 30 cm (kemiringan 30o), tanpa gesekan dengan gaya horizontal F. Bila laju di dasar adalah 6 cm/s dan di puncak adalah 30 cm/s, a. berapa usaha yang dilakukan F

b. Berapa besar gaya Fc. Bila bidang adalah kasar dengan µk=0,15, berapa jarak mak-

simum yang dapat ditempuh benda.

Sebuah benda diputar dengan tali sehingga membentuk lintasan lingkaran vertikal dengan jari−jari R.a. Tentukan kecepatan minimum di titik A agar

dapat menempuh ¼ lingkaran (titik B)b.Tentukan kecepatan minimum di titik A agar

benda dapat mencapai satu lingkaran penuh.

A

B

C

3.

A

B

F

Sebuah benda 0,1 kg ada di atas bidang miring dengan sudut kemiringan 37o. Pada benda ini bekerja gaya F=1 N mendatar. Mula−mula benda diam di A kemudian bergerak ke B, panjang AB=5 m. Jika koefisien gesekan kinetis bidang adalah 0,5 tentukanlah kecepatan bendaketika sampai di Bdengan cara energi

4

MOMENTUM LINIER

IMPULS DAN MOMENTUM LINIER

Momentum linier atau ditulis momentum saja adalah kuantitasgerak yang bergantung pada massa dan kecepatan benda (v)

Definisi Momentum

Momentum adalah vektor dan besarnya disimbolkan dengan Pmemiliki satuan kg m/s

vmp rr=

Secara matematis impuls didefinisikan sebagai integral darigaya yang bekerja pada benda terhadap waktu

Definisi Impuls

Impuls juga besaran vektor, disimbolkan dengan I memilikisatuan Ns

∫=t

t

dtFI0

rr

Hukum Newton dalam Impuls

( )rmdtd

dtpdF rrr==

Hukum Newton dapat ditulis kembalidalam bentuk

Jika gaya F tersebut diintegralkan untuk seluruh waktu makapersamaan di atas menjadi

000 0

vmvmpppddtFp

p

trrrrrr

r

r−=−== ∫∫

dengan p adalah momentum akhir, p0 momentum awal, v kecepatanakhir dan v0 kecepatan awal

Dengan definisi impuls dan momentum maka diperoleh

pppI rrrr∆=−= 0

Atau dengan kata lain :Impuls = perubahan momentum

ContohFx (N)

t(s)24

5

-5

Benda bermassa 2 kg bergerak dengankecepatan awal 2 m/s dalam arah sb x, dan 4 m/s dalam arah sb y. Kemudianpada benda bekerja gaya dalam arahsb y Fy=2t N, dan gaya dalam arah sb xseperti gambar di samping.

Tentukan : a. Impuls antara t=0 sampai t=4 sb. Kecepatan saat t=4 s

Penyelesaiana. Impuls pada benda yang gayanya dua dimensi ditulis dalam

bentukjIiII yxˆˆ +=

r

dengan Ix dan Iy adalah komponen impuls dalam arah sumbu xdan sumbu y

Komponen impuls dalam arah sumbu x dapat diperolah dengancara mencari luas daerah dari grafik, yaitu

0)5)(2()5)(2( 21

21 =−+=xI

Komponen impuls dalam arah sumbu y adalah

NsttdtI y 1624

0

24

0

=== ∫Jadi : NsjI ˆ16=

r

b. Impuls = perubahan momentum

( )jipjppI ˆ4ˆ22ˆ160 +−=⇒−=rrrr

skgmjip /ˆ12ˆ4 −=r

Sehingga kecepatan saat t=4 s adalahsmji

mpv /ˆ6ˆ2 +==r

r

Sistem Banyak PartikelTinjau suatu sistem yang terdiri atas banyak partikel, katakan-sejumlah N partikelMomentum total sistem adalah resultan dari momentum setiappartikel

Nppppp rL

rrrr++++= 321

Jika pada partikel 1 dalam sistem tersebut bekerja gaya ekster-nal Fe

1 maka dinamika partikel 1 adalah

Ne FFFF

dtpd

1131211

rL

rrrr

++++=

dengan F12, F13,…, F1N adalah gaya internal/interaksi antaraPartikel ke-1 dengan ke-2, dengan ke-3, ….., dengan ke-N

Sistem Banyak Partikel (2)Hal yang sama akan terjadi pada partikel ke-2, ke-3, …, ke-N, jika pada setiap partikel tsb bekerja gaya eksternal

Ne FFFF

dtpd

2232122

rL

rrrr

++++=

Ne FFFF

dtpd

3323133

rL

rrrr

++++=

)1(21 −++++= NNNNe

NN FFFF

dtpd r

Lrrrr

Dinamika sistem banyak partikel ini akan ditentukan oleh resultandari dinamika masing-masing partikel, yaitu

112112321

321 )...(

NNe

Neee

N

FFFFFFFF

ppppdtd

rrL

rrrrrr

rrrr

++++++++=

++++

Sistem Banyak Partikel (3)Pasangan gaya interaksi antar partikel saling meniadakan karenamasing-masing gaya interaksi besarnya sama dan berlawananarah.Jadi dinamika sistem hanya dipengaruhi gaya eksternal saja

eN

eee FFFFdtpd rrrrr

++++= ....321

Jika dihubungkan dengan Impuls dan momentum maka persama-an di atas menjadi

( ) pdtFFFFI eN

eee

N

rrrrrr∆=++++= ∫∑ ....321

Impuls total yang bekerja pada sistem sama dengan perubahanMomentum sistem

Pusat MassaDalam sistem banyak partikel, momentum total sistem adalahresultan dari momentum setiap partikel penyusunnya

Nppppp rL

rrrr++++= 321

NN vmvmvmvmp rL

rrrr++++= 332211

dtrd

mdtrd

mdtrd

mdtrd

mp NN

r

L

rrrr

++++= 33

22

11

Jika massa total sistem adalah M=m1+m2+m3+….+mN makamomentum total sistem dapat ditulis

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

=M

rmrmrmrmdtd

Mp 111111111

rL

rrrr

pmVMprr

=

Pusat Massa (2)dengan

pmpm RdtdVrr

=

disebut dengan kecepatan pusat massa sistem banyak partikel, dan

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

=M

rmrmrmrmdtdR NN

pmLr

332211

adalah posisi pusat massa

ContohTentukan letak pusat massa sistem yang tersusun atas empatbuah partikel yang bermassa m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, danm4=4kg. Keempat partikel terletak pada titik sudut bujur sangkaryang memiliki panjang sisi 1 m

Dengan sumbu koordinat seperti gambarmaka posisi pusat massa terbagi 2 kom-ponen

mxpm 5,04321

0.41.31.20.1=

++++++

=

m1m2

m3m4

x

y

mypm 7,04321

1.41.30.20.1=

++++++

=

Pusat massa untuk benda kontinuPada prinsipnya sama dengan benda yang tersusun atas banyakTitik, hanya notasi sigma diganti dengan integral

dmrM

rpm ∫=rr 1

Massa total sistem

∫= dmM

ContohBatang yang panjangnya 10 m dibentangkan pada sumbu x dariX=0 sampai dengan x=10 m. Jika batang tidak homogen, rapatmassanya fungsi dari posisi λ =12x kg/m, tentukanlah pusat massaBatang!

elemen kecil batang pada posisi x yang panjangnya dx akanmemiliki elemen kecil massa dm= λdx

Massa total batang

kgxdxdxdmM 6001210

0

10

0

==== ∫∫∫ λ

Pusat massa batang

mdxxM

xpm 3201

== ∫ λ

Hukum Kekal MomentumJika resultan gaya eksternal pada benda atau sistem sama dengannol maka

0=dtPdr

tankonsP =r

atau

Momentum total sistem tetap (tidak berubah terhadap waktu)Momentum tiap bagian boleh berubah, tetapi momentum totalsistem adalah tetap.

Sebagai contoh berlakunya hukum kekal momentum adalah padaperistiwa tumbukan, misalnya dua buah benda bertumbukan maka2 benda tsb dipandang sebagai satu sistem, sehingga momentumtotal sistem sebelum tumbukan sama dengan momentum sistemsesudah tumbukan

TumbukanDalam setiap tmbukan berlaku hukum kekal momentum, meski-pun dalam tumbukan antara 2 benda bekerja gaya yang sangatsingkat (gaya impulsif) namun jika 2 benda dipandang sebagaisatu sistem masing-masing gaya impulsif dapat dipandang se-bagai pasangan gaya aksi-reaksi.

Ada 3 jenis tumbukan :Tumbukan lenting sempurna(pada tumbukan lenting sempurna berlaku hukum kekalenergi kinetik)

Tumbukan tidak lenting sama sekaliTumbukan lenting sebagian

Contoh

Benda m1=2 kg bergerak dengan kecepatan 13 m/s ke kanan me-numbuk benda lain m2=4 kg yang sedang bergerak ke kiri denganlaju 2 m/s. Setelah tumbukan kedua benda bersatu. Tentukan :

Kecepatan kedua benda setelah tumbukanEnergi kinetik kedua benda sebelum dan setelah peristiwatumbukan terjadi

Penyelesaian :Berlaku hukum kekal momentumMomentum awal sistem = momentum akhir sistem

smvvvmvmvmvm

/3'')42()2(4)13(2'' 22112211

=+=−++=+

Energi kinetik benda 1 sebelum tumbukan

JvmEk 1692112

11 ==

Energi kinetik benda 1 sebelum tumbukan

JvmEk 82222

12 ==

Energi kinetik kedua benda setelah tumbukan

JvmmEk 27')( 2212

11 =+=

Energi kinetik kedua benda sebelum dan setelah tumbukantidak sama

Soal

1. Sebuah pesawat angkasa 1000 kg bergerak dengan kecepatan2000 i m/s. Sebuah meteor menumbuk pesawat tsb sehinggakecepatannya menjadi 2000 i +2000 j m/s. Berapa Impulstumbukkan ?

2. Sebuah bola 0,5 kg bertumbukan lenting sempurna dengan bolakedua yang sedang diam. Bola kedua tersebut menjauh dengan laju setengah laju awal bola. Berapa persen energi kinetik yang dipindahkan ke bola kedua

3. Sebuah bola bilyar bergerak dengan kecepatan 4 m/s menum-buk bola lain yang identik dalam keadaan diam. Setelah tumbu-kan bola pertama membentuk sudut 30o terhadap arah semula. Bila tumbukkan lenting sempurna, tentukan kecepatan masing−masing bola setelah tumbukan.

R

Sebuah peluru bermassa m dan kecepatan v menembus balok bermassa M, dan keluar dgnkecepatan v/2. Balok ini ada pada ujung talidengan panjang R. Berapa kecepatan minimum peluru agar balok berayun satu lingkaran penuh ?

5.

6. Rakit bujur sangkar 18 m kali 18 m, dengan massa 6200 kg digunakan sebagai perahu feri. Jika tiga mobil masing−masing dengan massa 1200 kg diletakkan di sudut timur laut, tenggara,dan barat daya, tentukan pusat massa dari feri.

7. Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 80i +60j m/s. Pada ketinggian tertentu peluru meledak menjadi dua bagian. Ba-gian pertama bermassa 1/3 dari massa semula jatuh pada jarak200 m dari titik asalnya. Kedua benda tiba di tanah pada waktu bersamaan. Dimana letak jatuhnya bagian kedua.

8. Sebuah roket bergerak dalam ruang bebas tanpa meda gravitasidengan kecepatan awal 500 i m/s. Roket menyemburkan gas dengan laju relatif terhadap roket 1000 m/s dalam arah berlawanandengan gerak roket. a. Tentukan kecepatan akhir roket ketika massanya tinggal sete-

ngah kali massa semula, b. Berapa besar gaya dorong selama perjalanan ini bila laju

penyemburan gas adalah 10 kg/s