Uso de tecnología para el aprendizaje de aspectos relevantes en el razonamiento geométrico: exploración, conjetura y estructura de validación matemática

Lourdes Guerrero (lguerrero@fismat.umich.mx)UMSNH

¿Qué formas de validación del conocimiento matemático son útiles en el quehacer matemático?

¿Qué tipo de pruebas es importante promover en la actividad matemática?

¿Qué tipo de actividades pueden ayudar a los estudiantes a disminuir sus dificultades con la demostración?

Formas de validar el conocimiento matemático

Ejemplificación

Verificación

ExplicaciónConstrucción

Justificación

Prueba

Argumentar y demostrar

— Balacheff (1988): Distingue entre razonamiento argumentativo y razonamiento deductivo.

— Harel y Sowder (1998): Hablan de diferentes tipos de prueba (empírica y deductiva).

Argumentar y demostrar

— La argumentación como una forma de exponer y defender las ideas y resultados.

— Duval (1991, 1995): Existe un distanciamiento entre argumentación y demostración.

Argumentar y demostrar

Duval (1991):

Demostración: prueba matemática formal que establece que un resultado es válido bajo un sistema deductivo.

En una argumentación: se busca convencer a un posible interlocutor.

Argumentar y demostrar

Lógica

DemostraciónDemostración

ArgumentaciónArgumentación

Busca la validez de un razonamiento

Busca la validez de un razonamiento

Busca su pertinenciaBusca su

pertinencia

Determina el valor de verdad de una afirmación

Determina el valor de verdad de una afirmación

Credibilidad y el convencimientoCredibilidad y el convencimiento

Para los alumnos argumentar y demostrar son casi sinónimos.

―Poseen formas lingüísticas semejantes.

―En la vida diaria el alumno argumenta para sustentar y validar sus hipótesis.

Argumentar y demostrar

El desarrollo de la argumentación, no abre una vía de acceso a la demostración.

Es necesario un aprendizaje específico e independiente.

(Duval,1999)

Argumentar y demostrar

El planteamiento de conjeturas puede ayudar a obtener un camino para la demostración; sin embargo, en matemáticas, esto no siempre sucede así.

EJEMPLO

Dado un triángulo acutángulo ABC, inscribir un triángulo PQR cuyo perímetro sea el más pequeño posible (Coxeter, 1969).

Ejemplo

Conjetura

El triángulo PQR tiene perímetro mínimo cuando los puntos P, Qy R son los pies de las alturas del triángulo ABC.

Proposición

Dado un triángulo acutángulo ABC, demostrar que el triángulo PQR, inscrito a ΔABC, tiene perímetro mínimo si los puntos P, Q y R son los pies de las alturas de ΔABC.

Demostración

Sean P’ y P’’ los puntos simétricos de P respecto a AC y AB, respectivamente.

Demostración

Unimos P’’ con R y P’ con Q.

Entonces

PQ = P’Q; AP =AP’;

RP = RP’’; AP = AP’’

PQ + QR + RP = P’Q + QR + RP’’

AP’ = AP’’

Demostración

P’Q + QR + RP’’ es igual al perímetro del ΔPQR;

P’Q + QR + RP’’ es una forma de ir de P’ a P’’

Ésta es mínima cuando corresponde a P’P’’

R y Q deben estar sobre la línea P’P’’ .

Demostración

ΔAP’P’’ es isósceles y la base P’P’’ es mínima cuando AP tenga longitud mínima.

Esto sucede cuando AP sea perpendicular a BC.

Estructura binaria y ternaria

Estructura de la inferencia

Término medio (axiomas, teoremas, definiciones, …)Término medio (axiomas,

teoremas, definiciones, …)

Comprobación de condiciones

Regla de inferencia

Premisas o hipótesisPremisas o hipótesis ConclusiónConclusiónEntrada Proposición inferida

Ejemplo

Los ∠ en la base de un Δisósceles son congruentesLos ∠ en la base de un Δ

isósceles son congruentes

Comprobación de condiciones:ΔABC isósceles

Regla de inferencia

ΔABC tal que AB ≅ ACΔABC tal que AB ≅ AC ∠ B ≅ ∠ C∠ B ≅ ∠ CEntrada Proposición inferida

La imposición del valor de verdad de las

proposiciones.

No verificamos que las premisas cumplan con

todas las condiciones de la regla.

Valor de verdad

Ejemplo

Demostrar que todo ‘papalote’ tiene un par de ángulos opuestos congruentes

es isósceles

es isósceles

ABDABAD Δ⇒≅

BCDBCCD Δ⇒≅

ABDADB ∠≅∠⇒

CBDCDB ∠≅∠⇒

Ejemplo

Lo que implica que

CDBADBD ∠+∠=∠

CBDABDD ∠+∠=∠

B∠=

Ejemplo

Demostrar que todo papalote tiene un par de ángulos opuestos congruentes

La congruencia de los lados AD y AB (premisa) precede a la congruencia de los ángulos ∠D y ∠B (prop. inferida).

Ejemplo

Demostrar que todo papalote tiene un par de ángulos opuestos congruentes

La congruencia de los lados ya es cierta, no la de los ángulos.

Esta última requiere de la congruencia

Ejemplo

El estudiante no podrá comprender que en una demostración, no son los enunciados lo que se valida, sino el razonamiento mismo (Duval, 1995).

No se trata de que produzca enunciados verdaderos, sino razonamientos válidos.

Ejemplo

Propuesta de actividades

Actividades que pongan el acento en la organización deductiva de las demostraciones (Tanguay, 2006).

Particularmente en:

• La estructura local ternaria de las inferencias

• El papel que juegan las reglas

• Arreglo no lineal de las inferencias en la

estructura global de una demostración

Un ejemplo

Propuesta de actividades

En la escuela Siete Garrapatas, el profesor de

matemáticas afirmó que las tres mediatrices de

todo triángulo son concurrentes.

Tomás, que nunca cree lo que le dicen sus

profesores, dijo que eso es falso y le mostró al

profesor la siguiente figura:

Propuesta de actividades

Propuesta de actividades

1. Tu tarea es escribir un mensaje para convencer

a Tomás de la verdad del enunciado: “las tres

mediatrices de todo triángulo son concurrentes”

2. Tu mensaje debe incluir una demostración

matemática

Propuesta de actividades

La figura sobre la que vamos a razonar:

Tu tarea consistirá en reconstruir la cadena deductiva que permita demostrar que el punto Wtambién está sobre la recta L y, por tanto, es la intersección de las tres mediatrices.

Propuesta de actividades

Las actividades incluyen:

Un diagrama

Una lista de proposiciones de base

Una lista de justificaciones

Para el ejemplo (diagrama)

BW = CW AW = BWW es un punto de 

la recta n

W es un punto de la recta m

m es mediatriz de AB

W es un punto de la recta l

n es mediatriz de BC

AW = CWl es mediatriz de 

AC

Proposiciones de base

1. Transitividad de una igualdad: Si x = y y y = z entonces x = z

2. Un punto sobre la mediatriz de todo segmento PQ, necesariamente está a la misma distancia de los extremos P y Q.

3. Un punto a la misma distancia de dos puntos P y Q necesariamente está sobre la mediatriz del segmento PQ.

4. Definición de mediatriz de PQ: es la única recta que pasa por el punto medio de PQ y que hace un ángulo recto con la recta PQ.

5. Definición de punto medio de PQ: es el punto entre P y Q sobre la recta PQ que está a la misma distancia de P que de Q.

6. Definición de congruencia de dos triángulos: dos triángulos son congruentes cuando sus elementos homólogos (lados y ángulos) tienen la misma medida.

7. Criterio de congruencia LLL: dos triángulos que tienen sus tres pares de lados homólogos de la misma medida, son congruentes.

8. Criterio de congruencia LAL: dos triángulos que tienen dos ángulos homólogos de la misma medida, comprendidos entre lados homólogos de la misma medida, son congruentes.

9. Criterio de congruencia ALA: dos triángulos que tienen dos lados homólogos de la misma medida, comprendidos entre ángulos homólogos de la misma medida, son congruentes.

10. Si el punto O está entre P y Q, sobre la recta PQ, entonces todo punto Z en el exterior del PQdetermina los ángulos suplementarios ∠ZOP y ∠ZOQ.

11. Un ángulo de la misma medida que su suplementario es recto.

Justificaciones

1. Transitividad de una igualdad: Si x = y y y = zentonces x = z

Justificaciones

1. Los estudiantes pueden llegar a realizar demostraciones muy complejas.

2. Una cuestión importante: El ‘desprendimiento de la herramienta’ (diagrama) a través del cambio de registro (hipótesis).

Resultados (lápiz y papel)

Diseño de actividades

Llevar las actividades a un software de geometría dinámica.

¿Qué cambios deben presentar las actividades cuando se implementan en software?

¿Cómo caracterizar los aprendizajes con el uso de ambas herramientas?

Diseño de actividades

Conclusiones

¿Qué pueden aportar los instrumentos tecnológicos al aprendizaje de las matemáticas?

Las TIC son herramientas de trabajo fundamentales.

Necesidad de generar materiales de aprendizaje que hagan uso efectivo de estas herramientas.

Conclusiones

Las actividades mostradas promueven la organización deductiva de una de mostración.

Paulatina desaparición de la demostración en geometría

La demostración no sólo busca probar y validar resultados, sino también promover formas de razonamiento cada vez más sofisticadas.

Conclusiones

En el bachillerato, es posible que el rigor matemático sea mediado por procesos de exploración

Un argumento presentado con suficiente rigor, puede convencer a un mayor número de estudiantes (Hanna, 2007).

Conclusiones

Las actividades que se están diseñando permitirán al profesor contar con recursos para dar oportunidades a sus estudiantes de desarrollar habilidades relacionadas con la organización deductiva en geometría, así como de realizar exploraciones a través del uso de software de geometría dinámica.