USPOREDBA KVANTITATIVNIH EFEKATA DVAJU KLASIČNIH MODELA OTPLATE ZAJMA

mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač, Tehničko veleučilište u Zagrebu, Zagreb

1. MODEL OTPLATE ZAJMA NOMINALNO JEDNAKIM RATAMA (MODEL A)

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu 2

� zajam se otplaćuje nominalno jednakim ratamakrajem svakoga obračunskoga razdoblja(najčešće: mjesečno)

� krajem svakoga razdoblja se plaćaju cjelokupnekamate u tom razdoblju i promjenjiv (varijabilan)dio glavnice (odobrenoga iznosa zajma)

� nominalni godišnji kamatnjak je stalan tijekomcijeloga razdoblja otplate zajma, a odnosi se naosnovno razdoblje ukamaćivanja

� obračun kamata je složen i dekurzivan

� razdoblje između dospijeća dvaju uzastopnihrata jednako je osnovnom razdobljuukamaćivanja

� Prednost (?) za dužnika: nije potrebno računatiiznos rate u svakom razdoblju

2. MODEL OTPLATE ZAJMA PROMJENJIVIM RATAMA S NOMINALNO JEDNAKIM OTPLATNIM KVOTAMA

(MODEL B)

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu 3

� zajam se otplaćuje promjenjivim ratama krajemsvakoga obračunskoga razdoblja (najčešće:mjesečno)

� krajem svakoga razdoblja se plaćaju cjelokupnekamate u tom razdoblju i jednak dio glavnice(odobrenoga iznosa zajma)

� nominalni godišnji kamatnjak je stalan tijekomcijeloga razdoblja otplate zajma, a odnosi se naosnovno razdoblje ukamaćivanja

� obračun kamata je složen i dekurzivan� razdoblje između dospijeća dvaju uzastopnih

rata jednako je osnovnom razdobljuukamaćivanja

� Nedostatak (?) za dužnika: nužno je računatiiznos rate u svakom pojedinom razdoblju

3. PRETPOSTAVKE ZA USPOREĐIVANJE KVANTITATIVNIH EFEKATA NAVEDENIH MODELA

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko

veleučilište u Zagrebu4

� jednaki odobreni iznosi zajma� jednako ukupno vrijeme otplate zajma� jednaka osnovna razdoblja ukamaćivanja� jednaki nominalni kamatnjaci koji se

odnose na osnovna razdobljaukamaćivanja

�obračun kamata je složen i dekurzivan�plaćanje svake rate krajem razdoblja� razdoblje između dospijeća dviju

uzastopnih rata jednako je osnovnomrazdoblju ukamaćivanja

4. OSNOVNE FORMULE

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu5

0

:

početna vrijednost glavnice;

kamatnjak;

ukupno vrijeme kapitalizacije

konačna vrijednost glavnice

na kraju vremena kapitalizacije

:

Jednostavni kamatni račun: 1

n

n

C

p

n

C

C

−

−

−

−

= +

Oznake

Osnovne formule

0

0

;100

Složeni kamatni račun: 1 .100

n

n

p nC

pC C

⋅ ⋅

= ⋅ +

5. PROBLEM

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu 6

�Uz navedene pretpostavke,koji od navedenih dvajumodela je bolji sa stanovišta

dužnika?

�Ekvivalentno: koji odnavedenih dvaju modelagenerira manji nominalan

iznos ukupnih kamata?

6. OZNAKE KORIŠTENE U RJEŠENJU PROBLEMA

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu 7

• C – odobreni iznos zajma

• p – kamatnjak

• r := 1 + p% - kamatni faktor

• n – ukupan broj rata

7. UKUPAN NOMINALNI IZNOS SVIH PLAĆENIH RATA U MODELU A

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu 8

�Iznos jedne rate jednak je:

�Ukupan nominalan iznossvih plaćenih rata jednak je:

1

( 1)

1

n

n

r ra C

r

⋅ −= ⋅

−

1

( 1):

1

n

n

n r rA n a C

r

⋅ ⋅ −= ⋅ = ⋅

−

8. DOKAZ

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu 9

( )sadašnja

2

2

Sadašnja (početna) vrijednost rate plaćene

na kraju toga razdoblja:

Zbroj sadašnjih vrijednosti svih rata treba

biti jednak iznosu zajma:

...

1 1

1 1 1 1...1

n

n n

n

n

n

aa

r

a a aC

r r r

a C

r r r r

r

−

=

= + + + ⇒

= ⋅ = + + +

⋅

( 1)

11

11

n

n n

r rC C

r

r

⋅ −⋅ = ⋅

−−

−

9. UKUPAN NOMINALNI IZNOS SVIH PLAĆENIH RATA U MODELU B

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu 10

�Iznos ukupnih kamata jednak je:

�Ukupan nominalan iznos svihplaćenih rata jednak je:

2

( 1):

200

C p nK

⋅ ⋅ +=

2

( 1) ( 1): 1

2

n rB C K C

+ ⋅ − = + = + ⋅

10. DOKAZ

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu 11

Na kraju toga razdoblja ostatak glavnice iznosi:

1 11 , za 1,..., .

Stoga je iznos kamata u tom razdoblju jednak:

1 11 , za 1,..., ,

100 100

pa je iznos

k

kk

k

k kC C C C k n

n n

k

C p C p kI k n

n

−

− − = − ⋅ = − ⋅ =

−

⋅ ⋅ ⋅ − = = ⋅ − =

2

1 1 1 1

1

0

2

ukupnih kamata jednak:

1 11 1 ( 1)

100 100

1 1 ( 1) ( 1).

100 100 2 200

Ukupan plaćeni iznos jednak je:

1

n n n n

k

k k k k

n

k

C p k C pK I k

n n

C p C p n n C p nn k n

n n

B C K

= = = =

−

=

⋅ − ⋅ = = ⋅ − = ⋅ − ⋅ − =

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

= + =

∑ ∑ ∑ ∑

∑

( 1) 100 ( 1) ( 1)1

200 200

( 1) ( 1)1

2

p n r nC C

n rC

⋅ + ⋅ − ⋅ + + ⋅ = + ⋅ =

+ ⋅ − = + ⋅

11. RJEŠENJE PROBLEMA

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu 12

�Model B nije lošiji od modelaA.

�Za n = 1 modeli su jednakodobri (generiraju nominalnojednake iznose ukupnihkamata).

�Za n > 1 model B je bolji odmodela A.

12. NAPOMENA

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu 13

�Valjanost rješenja za n = 1 se lakoprovjeri.

�Ako je n > 1, tvrdnja se možedokazati koristeći diferencijalniračun.

�Zbog toga pretpostavljamo

�iako zapravo vrijedi .

0,p ∈ +∞

p ∈Q

13. LEMA

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu 14

�

1

Za svaki i svaki 1 vrijedi nejednakost:

( 1) ( 1) ( 1) 1 0.n n

n r

n r n r n r n+

∈ >

− ⋅ − + ⋅ + + ⋅ − + ≥

N

14. DOKAZ LEME

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu 15

1

2 2 1

Za 1 (ne)jednakost očito vrijedi za svaki .

Neka je , 2, proizvoljan, ali fiksiran.

Neka je:

( ) ( 1) ( 1) ( 1) 1.

Tada su:

'( ) ( 1) ( ) 1,

''( ) ( 1) ( 1)

n n

n n

n r

n n

f r n r n r n r n

f r n r n n r n

f r n n n

+

−

= ∈

∈ ≥

= − ⋅ − + ⋅ + + ⋅ − +

= − ⋅ − + ⋅ + +

= − ⋅ ⋅ + ⋅

R

N

2( 1) .

Za svaki 1 vrijedi:

''( ) 0 '( ) '(1) 0 ( ) (1) 0.

Dakle, za 1 vrijedi ( ) 0, što je i trebalo dokazati.

nr r

r

f r f r f f r f

r f r

−− ⋅

>

> ⇒ > = ⇒ > =

≥ ≥

15. DOKAZ RJEŠENJA PROBLEMA

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu 16

1

Lema

0

( 1) ( 1) ( 1)1 0

1 2

( 1) ( 1) ( 1) 1 0

O.K.

n

n

n n

A B

n r r n rC C

r

n r n r n r n+

− ≥ ⇔

⋅ ⋅ − + ⋅ − ⇔ ⋅ − + ⋅ ≥ −

⇔ − ⋅ − + ⋅ + + ⋅ − + ≥

⇔

16. NAPOMENA

• Rješenje problema ostaje nepromijenjeno i akose pretpostavka o plaćanju rata krajemrazdoblja zamijeni pretpostavkom o plaćanjurata početkom razdoblja. (Dokaz je analogan.)

• Stoga se može zaključiti da rješenje problemane ovisi o tome plaćaju li se rate početkom ilikrajem razdoblja.

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu 17

17. NUMERIČKI PRIMJER

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu18

�Kolinda i Zoran (svatko zasebno) otplaćuju zajam u iznosu od120 000 CHF odobren na 25 godina uz godišnji kamatnjak 5.97.

� Zoran otplaćuje zajam nominalno jednakim mjesečnim ratamakrajem svakoga mjeseca.

�Kolinda otplaćuje zajam promjenjivim mjesečnim ratama snominalno jednakim otplatnim kvotama krajem svakogamjeseca.

�Izračunajte nominalne iznose ukupnih kamata u oba slučaja.(Primijenite konformne kamatnjake.)

�Za koliko je postotaka nominalni iznos ukupnih kamata koje ćeplatiti Zoran veći u odnosu na analogni iznos koji će platitiKolinda?

18. RJEŠENJE PRIMJERA

• Zoran će platiti kamate u iznosu od 107 842.52CHF, a Kolinda kamate u iznosu od 87 479.89 CHF.

• Prvi iznos je veći od drugoga za približno 23.277%.

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu 19

PITANJA? KOMENTARI?

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu20

mr.sc. Bojan Kovačić, Tehničko veleučilište u Zagrebu 21