Utdrag innføring i sannsynlighetsregning og statistikk

Innhold

1 Innledning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1 Hva er statistikk? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Bruk av modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Beskrivende statistikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Beskrivende statistikk med Minitab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Sannsynlighetsregning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1 En enkel sannsynlighetsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Utfall og mengdelære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Regneregler for sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Kombinatorikk og utvalgsmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5 Betinget sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6 Uavhengighet og produktmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 Diskrete stokastiske variabler

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1 Hva er en stokastisk variabel? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2 Sannsynlighetsfordeling og fordelingsfunksjon . . . . . . . . . . . . . 853.3 Forventning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.4 Varians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.5 Flere stokastiske variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.6 Binomisk fordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.7 Hypergeometrisk fordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.8 Poissonfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4 Kontinuerlige stokastiske variabler

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.1 Oppbygging av en kontinuerlig sannsynlighetsmodell . . . . . . . 1314.2 Eksponensialfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.3 Normalfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.4 Tilnærming til normalfordeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

0000 104795 GRMAT #110FC49.book Page 9 Monday, November 3, 2014 10:37 AM

10

INNHOLD

5 Estimering

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.1 Innledning til den statistiske analysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.2 Punktestimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.3 Målemodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.4 Intervallestimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.5 Vurdering av utvalgsstørrelsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6 Hypotesetesting

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.1 Hypotesetest på et eksempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.2 Hypotesetesting i målemodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.3 Hypotesetesting ved normaltilnærming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.4 Styrkefunksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.5 Signifikanssannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.6

t

-fordelingen og

t

-tester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.7 Tosidig test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

7 Korrelasjon og regresjon

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2477.1 Korrelasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2477.2 Regresjonsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.3 Mer om regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8 Sammenligning av to grupper

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2738.1 To grupper i målemodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2738.2 To grupper i binomisk og i hypergeometrisk modell . . . . . . . . 279Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

9 Ikke-parametriske metoder

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2979.1 Parametrisk – ikke-parametrisk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2979.2 Tegntesten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2989.3 Wilcoxons ett-utvalgstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3029.4 Wilcoxons to-utvalgstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

10 Kjikvadrattester og kontingenstabeller

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31510.1 Kjikvadratfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31510.2 Test av modell. Helspesifisert hypotese . . . . . . . . . . . . . . . . . 31610.3 Kontingenstabeller og uavhengighetstest . . . . . . . . . . . . . . . . . 320Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328


INNHOLD

11

11 Statistisk analyse med Minitab

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33711.1 Sannsynlighetsfordelinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33711.2 Intervallestimering og hypotesetesting i målemodellen . . . . . . 34011.3 Korrelasjon og regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34211.4 Sammenligning av to grupper i målemodellen . . . . . . . . . . . . . 34511.5 Ikke-parametriske tester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34611.6 Kjikvadrattester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34811.7 Videre muligheter i Minitab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

Eksamensoppgaver

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353Eksamen 5550 Statistikk I 8.01.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353Eksamen 6005 Statistikk I 3.05.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356Eksamen 6005 Statistikk I 7.01.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359Eksamen 6005 Statistikk I 2.05.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362Eksamen 6005 Statistikk I 3.01.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365Eksamen 6005 Statistikk I 6.05.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Utvalgte svar på oppgavene

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

Tillegg

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Greske bokstaver og summetegn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Tabell over

N

(0, 1)-fordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382Tabell over

t

-fordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384Tabell over kjikvadratfordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

Stikkordregister

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387


Sannsynlighetsregning

2.1 En enkel sannsynlighetsmodellNår vi kaster en mynt eller en terning, kan vi ikke forutsi hva resultatet avhvert enkelt kast vil bli. Vi kan angi en mengde av mulige resultater, og vi viletter hvert knytte sannsynligheter til hvert av de mulige resultatene. Et sliktforsøk kalles et stokastisk forsøk.

Det som generelt kjennetegner et stokastisk forsøk, er:

1) Resultatet av hvert enkelt forsøk kan ikke forutsies.2) En mengde av mulige resultater kan angis.3) Forsøket kan gjentas.

Mengden av mulige resultater kalles utfallsrommet og betegnes med Ω . Ele-mentene i utfallsrommet kalles enkeltutfall, og Ω skal være sammensatt slik atenhver gjentakelse av forsøket resulterer i ett og bare ett enkeltutfall.

I vanlig mengdenotasjon skriver vi

Ω = { u1 , u2 , u3 , … }

der u1 , u2 , u3 , … er enkeltutfallene i utfallsrommet.

For forsøket myntkast består utfallsrommet av de to enkeltutfallene Kron (K) ogMynt (M).

Vi skriver

Ω = { u1 , u2 } = { K , M }

For forsøket terningkast blir utfallsrommet

Ω = { u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

2


36 SANNSYNLIGHETSREGNING

SannsynlighetTil hvert av enkeltutfallene i utfallsrommet vil vi knytte en sannsynlighet. Defleste har en viss forståelse av hva som ligger i dette begrepet. F.eks. er detnaturlig å oppfatte kron og mynt som like sannsynlige resultater når vi kasteren mynt. Hver av de to mulighetene har sannsynlighet 50 % hvis vi bruker enprosentskala fra 0 til 100, og sannsynligheten er 0.50 dersom vi bruker en skalafra 0 til 1.

Begrepet sannsynlighet er helt fundamentalt. La oss se generelt hva som liggeri dette begrepet. Vi betrakter et stokastisk forsøk som har utfallsrom Ω, og u eret enkeltutfall i Ω.

Sannsynligheten til u kan vi tenke oss kommer fram på følgende måte:

Vi kan skrive dette slik:

når antall forsøk n → ∞

Metoden med å gjenta forsøket mange ganger kan i prinsippet brukes til å finnep(u). Vi kan f.eks. kaste en mynt 100 ganger, 1000 ganger, 10.000 ganger ellermer for å bestemme sannsynligheten for kron. Det er lite praktisk! Vi vil hellerut fra vår oppfatning av virkeligheten finne det rimelig at når en kaster en myntsvært mange ganger, vil den relative hyppigheten av kron nærme seg 0.50. Vifår kron i ca. halvparten av kastene. Erfaring fra et stort antall myntkast bekref-ter dette!

Vi får dermed

p(K) = p(M) = 0.50

Vi gjennomfører forsøket mange ganger. I hvert forsøk observerer vi omenkeltutfallet u forekommer eller ikke. Etter n forsøk har u forekommet nuganger. Den relative hyppigheten av u er da nu/n. Sannsynligheten for u ergrenseverdien for den relative hyppigheten nu/n når antall forsøk n vokserover alle grenser. Sannsynligheten for u betegnes p(u).

→ p(u)nu

n-----


SANNSYNLIGHETSREGNING 37

SannsynlighetsmodellUtfallsrommet og sannsynlighetene for alle enkeltutfallene i utfallsrommetkalles en sannsynlighetsmodell eller en stokastisk modell.

Modellen for forsøket myntkast skriver vi slik

Ω = { K , M } p : 0.50 0.50

Tilsvarende kan vi sette opp en modell for forsøket terningkast der vi byggerpå at alle de 6 enkeltutfallene er like sannsynlige og altså har sannsynlighet1/6:

Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } p : 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Vi merker oss at sannsynlighetene i begge modellene er tall mellom 0 og 1, ogsummen av sannsynlighetene for alle enkeltutfallene i utfallsrommet er 1. Dettevil gjelde generelt.

La oss igjen betrakte et generelt stokastisk forsøk med utfallsrom Ω . Den rela-tive hyppigheten for et enkeltutfall u i Ω er som nevnt nu/n.

Vi har

0 ≤ nu ≤ n ⇔ 0 ≤ ≤ 1

La nå utfallsrommet for forsøket være

Ω = { u1 , u2 , u3 , … }

Vi gjennomfører forsøket mange ganger, og etter n gjentakelser har vi fått u1 n1ganger u2 n2 ganger u3 n3 ganger osv. Siden utfallsrommet er bygd opp slik atenhver gjentakelse av et stokastisk forsøk resulterer i ett og bare ett enkeltut-fall, har vi

n1 + n2 + n3 + … = n

Vi dividerer med n i alle ledd og får

= 1

nu

n-----

n1

n-----

n2

n-----

n3

n----- …+ + +



Vi har altså vist at relative hyppigheter er tall mellom 0 og 1, og at summen avde relative hyppighetene for alle enkeltutfallene i et utfallsrom generelt er 1.Dersom vi nå tenker oss at antall forsøk n som gjennomføres vokser over allegrenser, vil de relative hyppighetene gå mot sannsynlighetene for de respektiveenkeltutfallene. Tilsvarende egenskaper vil dermed også gjelde for sannsynlig-hetene.

Vi lar p1 , p2 , p3 , … være sannsynlighetene for u1 , u2 , u3 , …

Da har vi

0 ≤ pi ≤ 1 , i = 1, 2, 3, …

og

p1 + p2 + p3 + … = 1

Modellene for myntkast og terningkast er begge uniforme. Med det mener vi atalle enkeltutfall har samme sannsynlighet. I den generelle uniforme modellensom består av m enkeltutfall u1 , u2 , … , um , har hvert enkeltutfall sannsyn-lighet 1/m.

Vi kan dermed skrive den generelle uniforme modellen slik

Ω = { u1 , u2 , … , um } p : 1/m 1/m … 1/m

Fordelen med en uniform modell er at den er enkel. Men det fins selvsagt situa-sjoner hvor en slik modell ikke er realistisk, og det er naturlig å bruke enmodell der sannsynlighetene for enkeltutfallene varierer.

Eksempel – panelplaterEn bedrift som produserer panelplater, har erfaring for at 50 % av platene somproduseres, kan selges som A-kvalitet, 40 % som B-kvalitet og 10 % må kasse-res. En rimelig modell for kvaliteten av en tilfeldig plate fra produksjonen vilda være

Ω = { u1 , u2 , u3 } p : 0.50 0.40 0.10

der u1 er enkeltutfallet A-kvalitet, u2 B-kvalitet, og u3 er enkeltutfallet at pla-ten må kasseres. Det stokastiske forsøket vi her betrakter, er altså produksjonav en tilfeldig panelplate. ■



Vi må være klar over at det som her er sagt om sannsynlighet og egenskaperved en sannsynlighetsmodell, alene ikke er tilstrekkelig til å avgjøre hvilkenmodell som skal gjelde for et stokastisk forsøk. Dette illustreres i eksempletnedenfor.

Eksempel – to myntkastVi kaster en mynt to ganger. Vi vil vurdere to modeller for dette forsøket.

Modell I: Ω1 = { KK, KM, MM } p : 1/3 1/3 1/3

Modell II: Ω2 = { KK, KM, MK, MM } p : 1/4 1/4 1/4 1/4

I modell I betyr KM én kron og én mynt uavhengig av rekkefølgen. I modell IIbetyr KM kron i første kast og mynt i andre kast, mens MK betyr mynt i førsteog kron i andre kast. Vi ser at de to modellene er forskjellige. F.eks. er sann-synligheten for kron i begge kast 1/3 i modell I og 1/4 i modell II.

Begge de to modellene er i tråd med kravet til oppbygging av utfallsrom. Ibegge modellene er sannsynlighetene mellom 0 og 1, og summen av dem er 1.Både modell I og modell II er således lovlige. Spørsmålet er bare: Hvilken avdem stemmer best med virkeligheten? Gjentar vi forsøket noen ganger, vil vifort finne ut at det er modell II.

Det å få én mynt og én kron vil vi snart erfare forekommer mye oftere enn detå få kron i begge kast.

Vi skal senere se (kapittel 2.6) at modell II kan utledes fra modellen for for-søket myntkast som vi satte opp på grunnlag av vår oppfatning om at kron ogmynt er like sannsynlige resultat i et myntkast. Modellen stemmer bra medvirkeligheten.

Modell I derimot blir som et kart som er tegnet etter alle regler for karttegning,men som ikke stemmer med terrenget! Derfor er den ikke brukbar. Vi må haerfaring fra virkeligheten eller en oppfatning om virkeligheten for å kunne lagemodellen. ■

Eksemplene vi har sett på hittil, er prosessorienterte. De representerer den enehovedtypen av stokastiske forsøk. Vi studerer en prosess (myntkasting, ter-ningkasting, produksjon av panelplater osv.), og prosessen er stokastisk fordi



vi ikke kan forutsi resultatet av hver enkelt realisasjon. Til slutt skal vi ta medet eksempel som er populasjonsorientert, og som dermed representerer denandre hovedtypen av stokastiske forsøk. Karakteristisk for denne typen forsøker at det foregår trekning fra en mengde som vi kaller populasjonen. Vi skalbehandle slike forsøk mer inngående i kapittel 2.4.

Eksempel – skoleklasseEn skoleklasse består av 5 gutter og 7 piker, til sammen 12 elever. Én elev skaltrekkes ut fra klassen, og trekningen skal gjennomføres på en slik måte at allede 12 elevene har samme sjanse til å bli trukket ut. Det kan f.eks. gjøres ved atman lager like store lapper med elevenes navn eller med betegnelser som G1,G2 , G3 , G4 , G5 for guttene og P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 , P7 for pikene. Disselappene blandes godt, og en lapp trekkes ut. På denne måten vil alle elevene hasamme sannsynlighet for å bli trukket ut. Vi sier at trekningen er tilfeldig. Enannen betegnelse som brukes er rettferdig trekning. Slik trekning fører til enuniform modell for forsøket :

Ω = { G1 , G2 , G3 , G4 , G5 , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , P6 , P7 } p : 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12

■

Utfallsrommene for de stokastiske forsøkene vi har studert her, inneholder etendelig antall enkeltutfall. Vi skal senere betrakte stokastiske forsøk der det eruendelig mange muligheter. Anta f.eks. at vi leverer en kupong med 10 Lotto-rekker hver uke, og at vi har tenkt å holde på inntil vi får 7 rette. Hvor mangespilleomganger må vi levere kupongen? Dette er et stokastisk forsøk derutfallsrommet ikke kan avgrenses til å inneholde et endelig antall enkeltutfall.Vi kan ikke være sikker på å få 7 rette innen et bestemt antall uker. Det natur-lige utfallsrommet vil bestå av alle positive heltall. Vi skal komme tilbake tilutfallsrom av denne typen når vi har gjennomgått tilstrekkelig med begreperog regler for å finne sannsynlighetene til enkeltutfallene i en slik modell.

Når utfallsrommet enten inneholder et endelig antall enkeltutfall eller, som iLottoforsøket, et uendelig antall der vi kan ramse opp alle mulighetene, så siesutfallsrommet å være diskret. I matematikken brukes begrepet en tellbarmengde om et slikt utfallsrom. Et diskret utfallsrom gir det vi kaller en diskretsannsynlighetsmodell eller en diskret stokastisk modell.

Vi skal senere (kapittel 4) studere stokastiske forsøk der utfallsrommet ikke erdiskret, men kontinuerlig. Betrakt f.eks. tiden fra en fotballkamp starter og tildet scores et mål. Det kan ta alt fra noen få sekunder og opptil 90 minutter.



Utfallsrommet Ω for dette forsøket vil være tidsintervallet fra 0 til 90 dersomvi regner tiden i minutter : Ω = (0, 90].

2.2 Utfall og mengdelæreEt utfall er en delmengde av utfallsrommet Ω . Et utfall kan bestå av ett ellerflere enkeltutfall. Andre navn som av og til brukes istedenfor utfall er hendelseog begivenhet.

Utfall betegnes gjerne med store bokstaver som A, B, C osv., og de enkeltutfallsom f.eks. A består av, kalles gunstige utfall for A.

Vi sier at utfallet A forekommer eller inntreffer dersom resultatet av det forsøkeller fenomen vi studerer, blir et av enkeltutfallene i A. Dette er i tråd med van-lig språkbruk.

Ytterpunktene for mulige utfall er på den ene side hele utfallsrommet Ω og påden andre side den tomme mengde Ø. Utfallsrommet Ω kalles det sikre utfall.Ω inntreffer alltid fordi utfallsrommet pr. definisjon består av alle mulige resul-tat. Vi regner den tomme mengden Ø som et utfall selv om den ikke inneholdernoen enkeltutfall, og Ø kalles det umulige utfall fordi det aldri inntreffer.

OppsummeringEn diskret sannsynlighetsmodell består av et utfallsrom Ω og sannsynlig-heter for alle enkeltutfallene i Ω.

Ω = { u1 , u2 , u3 , … } p : p1 p2 p3 …

Ved hver gjentakelse av forsøket inntreffer ett og bare ett av enkeltutfal-lene u1 , u2 , u3 , …

Sannsynlighetene for enkeltutfallene tilfredsstiller følgende:

0 ≤ pi ≤ 1 , i = 1, 2, 3, …

p1 + p2 + p3 + … = 1



Eksempel – to myntkastFor forsøket med to myntkast bruker vi følgende utfallsrom

Ω = { u1 , u2 , u3 , u4 } = { KK, KM, MK, MM }

Eksempel på utfall kan være

A = «Kron i første kast» = { KK, KM } = { u1 , u2 }B = «Minst én kron» = { KK, KM, MK } = { u1 , u2 , u3 }C = «Samme resultat i begge kast» = { KK, MM } = { u1 , u4 }

Merk skrivemåten. Utfall kan enten angis med en kort og dekkende tekst, elleren kan bruke vanlig mengdenotasjon. ■

For å være rustet til arbeidet med utfall/mengder i sannsynlighetsregningenskal vi kort gå gjennom viktige mengdebegreper som bl.a. komplement, unionog snitt. Til å illustrere disse begrepene bruker en gjerne såkalte Venn-diagram-mer. Se figur 2.1. Utfallsrommet Ω tegnes som et rektangel, og utfall/mengdermarkeres som flater inne i rektanglet. Hvis en vil, kan enkeltutfallene tegnessom prikker inne i de respektive utfallene, men dette utelates som regel fordidet blir for uoversiktlig.

Venn-diagram

Komplementet til et utfall A, som skrives A, består av de enkeltutfall i Ω somikke er i A. At A inntreffer, er ekvivalent med at A ikke inntreffer.

Komplement

A

Figur 2.2

B

Ω

A

Figur 2.1

Ω

A



Unionen av to utfall A og B, som skrives A ∪ B, består av de enkeltutfall somer i A eller i B medregnet de som er med både i A og i B. At A ∪ B inntreffer,er ekvivalent med at minst et av utfallene A og B inntreffer.

Union

A ∪ B

Figur 2.3

Snittet av to utfall A og B, som skrives A ∩ B, består av de enkeltutfall som ermed i både A og B. At A ∩ B inntreffer, er ekvivalent med at både A og B inn-treffer.

Snitt

A ∩ B

Figur 2.4

To utfall A og B sies å være disjunkte dersom de ikke har noen enkeltutfall fel-les dvs. A ∩ B = Ø.

Disjunkte utfall

Figur 2.5

Utfallet A sies å være inkludert i utfallet B dersom alle enkeltutfallene i A ogsåligger i B. At A inntreffer, vil da innebære at også B inntreffer. I mengdenota-sjon skriver vi A � B.

Inklusjon

Figur 2.6

B

Ω

A

B

Ω

A

B

Ω

A

B

Ω

A



Eksempel – to myntkast (forts.)Vi betrakter igjen forsøket med to myntkast med utfallsrom, og de 3 utfalleneA, B og C som er definert tidligere.

Eksempler på mengdeoperasjoner:

A = «Mynt i første kast» = { MK, MM } = { u3 , u4 }B = «Ingen kron» = { MM } = { u4 }C = «Forskjellig resultat i de to kastene» = { KM, MK } = { u2 , u3 }

Vi kan finne komplementet enten ved å skrive opp det utfall som logisk sett ermotsatt av utgangspunktet, eller vi kan skrive opp de enkeltutfall som er i Ωmen ikke i det utfall vi starter med.

A ∪ B = «Kron i første kast eller/og minst én kron» = { KK, KM, MK } = { u1 , u2 , u3 } = B

Vi skriver gjerne «eller/og» for å markere at i unionen av A og B skal både deenkeltutfall som er i bare A, de som er i bare B og de som er i både A og i B,være med. Vi ser at unionen av A og B her blir lik B, fordi begge enkeltutfal-lene i A også er med i B. A er med andre ord inkludert i B.

A ∩ C = «Kron i første kast og samme resultat i begge kast» = { KK } = { u1 }

A ∩ B = «Mynt i første kast og minst én kron» = { MK } = { u3 }

A ∩ B = «Kron i første kast og ingen kron» = Ø

Også union og snitt av to utfall kan vi resonnere oss fram til gjennom vanliglogisk språkbruk, eller vi kan bruke mengedefinisjonen. Merk at her er A og Bdisjunkte utfall siden de ikke har noen enkeltutfall felles. ■

Begrepene union og snitt kan generaliseres til å gjelde flere enn to utfall.

Unionen av utfallene A1 , A2 , … , An , som skrives A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An , inne-holder de enkeltutfall som er i minst ett av de n utfallene.

Snittet av utfallene A1 , A2 , … , An , som skrives A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An , inne-holder de enkeltutfall som er i alle de n utfallene.



2.3 Regneregler for sannsynlighetSannsynligheten for et utfall A er summen av sannsynlighetene for de enkeltut-fall som A består av. Vi skriver P(A), og P kommer fra det engelske probability.

Vi har altså

P(A) = Σ p(u)

der det summeres over alle enkeltutfallene i A.

Merk at P(Ω) = 1, fordi sannsynligheten for Ω finnes ved å summere sannsyn-lighetene for alle enkeltutfallene i Ω som er 1. Dette samsvarer med at vi harkalt Ω for det sikre utfall.

Av definisjonen følger at

0 ≤ P(A) ≤ 1

siden sannsynlighetene for enkeltutfallene er tall mellom 0 og 1, og summenav sannsynlighetene for alle enkeltutfallene er 1.

Eksempel – to myntkastVi betrakter igjen forsøket med to myntkast med utfallsrom

Ω = { u1 , u2 , u3 , u4 } = { KK, KM, MK, MM }

og uniform modell, altså sannsynlighet 1/4 på hver av de 4 enkeltutfallene.Utfallene A, B og C er gitt ved

A = «Kron i første kast» = { KK, KM } = { u1 , u2 }

B = «Minst én kron» = { KK, KM, MK } = { u1 , u2 , u3 }

C = «Samme resultat i begge kast» = { KK, MM } = { u1 , u4 }

Vi finner sannsynlighetene for A, B og C ved å summere over sannsynlighe-tene for de respektive enkeltutfallene.

P(A) = p( u1) + p(u2) = 14--- 1

4--- + 2

4--- 1

2---= =



P(B) = p( u1) + p(u2) + p(u3) =

P(C) = p( u1) + p(u4) =

Vi ser at A og C som begge består av 2 enkeltutfall får sannsynlighet 2/4, mensB som inneholder 3 enkeltutfall får sannsynlighet 3/4. ■

Generelt i en uniform modell, der altså alle m enkeltutfallene har lik sann-synlighet 1/m, gjelder det at sannsynligheten for et utfall A bare avhenger avantallet enkeltutfall som er i A, ikke av hvilke enkeltutfall A består av. Laoss anta at A består av g enkeltutfall. Vi sier da at A har g gunstige enkeltut-fall av m mulige. Da blir sannsynligheten for A en sum av g ledd hver på1/m, og vi får

P(A) =

Formelen ovenfor er av mange sett på som en generell formel for sannsynlig-heten til et utfall. Her må det imidlertid understrekes at formelen gjelder for etdiskret utfallsrom med et endelig antall enkeltutfall og lik sannsynlighet på alleenkeltutfall. Disse forutsetningene er som regel oppfylt i spill og forskjelligetrekkesituasjoner. Men formelen gjelder ikke generelt!

Vi skal nå gå igjennom fire viktige regneregler for sannsynlighet.

Regelen følger av at summen av sannsynlighetene for enkeltutfallene i A ∪ Bvil være summen av sannsynlighetene for enkeltutfallene i A pluss summen avsannsynlighetene for enkeltutfallene i B, fordi A og B ikke har noen enkelt-utfall felles.

1 Addisjonssetning for disjunkte utfallDersom A og B er disjunkte, har vi

(S.1) P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

2 Komplementsetning

(S.2) P(A) = 1 – P(A)

14--- 1

4--- 1

4--- + + 3

4---=

14--- 1

4--- + 2

4--- 1

2---= =

gm---- gunstige

mulige--------------------=



Regelen følger av at A og A er disjunkte, siden A består av de enkeltutfall somikke er i A. Dessuten er A ∪ A = Ω, fordi alle enkeltutfall i Ω fins enten i Aeller i A.

Dermed har vi

1 = P(Ω) = P(A ∪ A) = P(A) + P(A) ⇒ P(A) = 1 – P(A)

Denne regelen er svært nyttig i situasjoner der det er lettere å regne ut sannsyn-ligheten for komplementet til et utfall enn sannsynligheten til utfallet selv.

Komplementet til hele utfallsrommet Ω er den tomme mengden Ø. Dermed harvi etter regel (S.2)

P(Ø) = 1 – P(Ω) = 1 – 1 = 0

Den tomme mengden eller det umulige utfall har altså sannsynlighet 0. Tidli-gere har vi sett at hele utfallsrommet eller det sikre utfall har sannsynlighet 1.

Regelen kan forstås rent «flatemessig» ved å studere Venn-diagrammet i figur 2.7.

Vi skal finne sannsynligheten for A ∪ B, altså summen av sannsynlighetenefor enkeltutfallene i A ∪ B. Legger vi sammen sannsynlighetene for enkeltut-fallene i A og sannsynlighetene for enkeltutfallene i B, vil enkeltutfallene iA ∩ B komme med to ganger. Disse er som vi vet både med i A og i B. Derformå vi trekke fra igjen på høyresiden sannsynlighetene for enkeltutfallene iA ∩ B, slik at vi får med alle enkeltutfallene nøyaktig én gang.

Merk at dersom A og B er disjunkte, så er A ∩ B = Ø. Da er P(A ∩ B) = 0, ogregel (S.3) blir lik regel (S.1).

3 Generell addisjonssetningFor to utfall A og B gjelder generelt

(S.3) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

BA

Figur 2.7



Eksempel – to myntkast (forts.)Vi betrakter fortsatt eksemplet med to myntkast med uniform modell og medutfall A, B og C som definert tidligere. I forrige avsnitt skrev vi opp noeneksempler på komplement, union og snitt av disse utfallene.

Vi hadde bl.a.

A = «Mynt i første kast» = { MK, MM } = { u3 , u4 }

A ∩ C = «Kron i første kast og samme resultat i begge kast» = { KK } = { u1 }

A ∪ C = «Kron i første kast eller/og samme resultat i begge kast» = { KK, KM, MM } = { u1 , u2 , u4 }

Når vi skal finne sannsynlighetene for utfallene ovenfor, trenger vi ingen reg-neregler fordi modellen er så enkel at vi lett kan skrive opp hvilke enkeltutfallalle komplement, unioner og snitt består av. Sannsynlighetene kan vi dermedfinne ved å summere sannsynlighetene for enkeltutfallene eller ved å bruke«gunstige-på-mulige»-formelen.

P(A) = P(A ∩ C) = P(A ∪ C) =

Vi kan alternativt bruke reglene (S.2) og (S.3) til å finne henholdsvis P(A) ogP(A ∪ C).

P(A) = 1 – P(A) = 1 –

P(A ∪ C) = P(A) + P(C) – P(A ∩ C) =

Når modellen blir mer komplisert, vil det svært ofte være langt enklere å brukeformlene (S.1), (S.2) og (S.3) enn å skrive opp og summere sannsynligheter foralle enkeltutfall i de forskjellige komplementer og unioner. ■

Både (S.1) og (S.3) kan generaliseres til å gjelde flere enn to utfall. Vi skalnøye oss med å generalisere (S.1) til å gjelde for n disjunkte utfall.

Utfallene A1, A2, … , An sies å være disjunkte dersom de ikke har noen ele-menter felles, dvs. Ai ∩ Aj = Ø for i ≠ j.

24--- 1

2---= 1

4--- 3

4---

12--- 1

2---=

12--- 1

2--- 1

4---–+ 3

4---=



Regelen framkommer ved å benytte (S.1) gjentatte ganger.

2.4 Kombinatorikk og utvalgsmodellerI en uniform modell med m enkeltutfall er sannsynligheten for et utfall A gittved

P(A) =

når A består av g enkeltutfall. Vi kjenner formelen som gunstige på mulige.

Vi har i eksemplene hittil lett kunnet finne m og g ved å skrive opp alle enkelt-utfallene og telle opp antall mulige og antall gunstige. Denne metoden blirvanskelig, ja, til og med umulig når situasjonen blir mer komplisert.

Eksempel – skoleklasseVi betrakter igjen skoleklassen som består av 5 gutter og 7 piker, til sammen12 elever. Nå skal det trekkes ut 2 elever fra klassen. Hva er sannsynlighetenfor at det f.eks. blir trukket ut 1 gutt og 1 jente?

Denne trekkesituasjonen er såpass komplisert at det kreves litt arbeid for åsette opp de mulige og de gunstige, men det er overkommelig. Man kan f.eks.lage en liste over alle mulige kombinasjoner av 2 elever der vi angir eleveneved navn eller ved betegnelser som G1 , G2 , G3 , G4 , G5 for guttene og P1, P2,P3 , P4 , P5 , P6 , P7 for pikene. ■

I eksemplet ovenfor lar det seg gjøre å sette opp utfallsrommet, men hva omdet hadde vært 20 elever, 50 elever eller 100 elever, og hva om vi skulle trekkeut 5, 10 eller 15 elever? Vi ser fort at metoden med å skrive opp alle mulighe-tene er uholdbar som en generell strategi. Vi må ha formler.

Vi skal kort gå gjennom seks såkalte kombinatorikk-formler. Formlene angirhvor mange forskjellige kombinasjoner det fins under nærmere gitte betingelser.

4 Addisjonssetning for n disjunkte utfallFor n disjunkte utfall A1, A2, … , An gjelder

(S.4) P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An ) = P(A1) + P(A2) + … + P(An )

gm----


Documents

Utdrag innføring i sannsynlighetsregning og statistikk