UTILIZACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES CANÓNICAS EN LA SOLUCIÓN DIRECTA DE LOS MOVIMIENTOS CLÁSICOS

Índice Introducción Objetivos Marco Teórico Exposición y Discusión Conclusiones Bibliografia

UTILIZACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONESCANÓNICAS EN LA SOLUCIÓN DIRECTA DE

LOS MOVIMIENTOS CLÁSICOS

Jose Quiñonez ChoquecotaUniversidad Nacional del Altiplano - PunoEscuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas

Puno, 22 de noviembre de 2010

Jose Quiñonez Choquecota (UNA. FIS-MAT.) Utilización Transformaciones Canónicas en la Sol. Direc. de Mov.


Índice1 Índice2 Introducción3 Objetivos4 Marco Teórico

Sistemas mecánicosEcuación de LagrangeEcuación de HamiltonCoordenadas Cíclicas y Teoremas de ConservaciónTransformaciones Canónicas

5 Exposición y DiscusiónVariación de una Función Mediante una T.C.I.Función Trayectoria en Términos de Corchetes de PoissonAplicaciones

6 Conclusiones7 Bibliografia



Introducción



Introducción

El propósito del presente trabajo de investigación es ilustrar la utilizacióndel concepto de las transformaciones canónicas para encontrar la trayec-toria de forma directa y las soluciones en función del tiempo de problemasdentro del marco de la mecánica clásica, sin resolver ecuación diferencial ointegrar alguna. El elemento que contiene la información básica es desdeluego la hamiltoniana del sistema y la transformación canónica que ella ge-nera a través de las traslaciones en el tiempo.Para lo cual una transformación canónica que depende del parámetro con-tinuo el tiempo, se interpreta como el movimiento de un punto figurativodel sistema a lo largo de la trayectoria continua en el espacio de las fases.En ese sentido el cambio de la función trayectoria son provenientes de unasucesión de transformaciones canónica infinitesimales (T.C.I) generadaspor la hamiltoniana del sistema, que serán expresados en términos de cor-chetes los de Poisson. En virtud a este último el desarrollo de solución dela función trayectoria se podrá expresar en función del polinomio de Taylor.



Introducción

El propósito del presente trabajo de investigación es ilustrar la utilizacióndel concepto de las transformaciones canónicas para encontrar la trayec-toria de forma directa y las soluciones en función del tiempo de problemasdentro del marco de la mecánica clásica, sin resolver ecuación diferencial ointegrar alguna. El elemento que contiene la información básica es desdeluego la hamiltoniana del sistema y la transformación canónica que ella ge-nera a través de las traslaciones en el tiempo.Para lo cual una transformación canónica que depende del parámetro con-tinuo el tiempo, se interpreta como el movimiento de un punto figurativodel sistema a lo largo de la trayectoria continua en el espacio de las fases.En ese sentido el cambio de la función trayectoria son provenientes de unasucesión de transformaciones canónica infinitesimales (T.C.I) generadaspor la hamiltoniana del sistema, que serán expresados en términos de cor-chetes los de Poisson. En virtud a este último el desarrollo de solución dela función trayectoria se podrá expresar en función del polinomio de Taylor.



Introducción

El método se aplicara para encontrar la trayectoria y la solución del mismoen función del tiempo, de una partícula en movimiento en: una dimensión,en dos dimensiones, en especial se hace una aplicación al problema deKepler en coordenadas “cartesianas” y, en tres dimensiones para elmovimiento de una partícula en una campo magnético uniforme.



Objetivos



Objetivos

Aplicar la teoría de transformaciones canónicas para obtener directamentela ecuación de la trayectoria y la solución en función del tiempo, deproblemas dentro de la mecánica clásica.

Interpretar los cambios de valores de una función trayectoria comoprovenientes de cambios debido a una T.C.I. dependiente del tiempoy, expresar en términos del generador asociado de dicha T.C.I que nosdefinirán los problemas.Desarrollar una misma ecuación de donde se obtenga de maneraindependiente, la solución en función del tiempo y la ecuaciónimplícita de la trayectoria para el sistema, en términos de corchetes dePoisson entre la hamiltoniana y las variables dinámicas de interés, engeneral para n variables.



Objetivos





Objetivos





Objetivos

Obtener la trayectoria y la solución en función del tiempo en formadirecta de los movimientos clásicos con uno y dos y tres grados delibertad, sin necesidad de resolver ecuación diferencial o integralalguna.Encontrar trayectorias para problemas especiales como: una partículasujeta al campo central (K/r)(problema de Kepler) en coordenadascartesianas y el movimiento de una partícula con carga eléctrica enuna campo magnético.



Objetivos

Obtener la trayectoria y la solución en función del tiempo en formadirecta de los movimientos clásicos con uno y dos y tres grados delibertad, sin necesidad de resolver ecuación diferencial o integralalguna.Encontrar trayectorias para problemas especiales como: una partículasujeta al campo central (K/r)(problema de Kepler) en coordenadascartesianas y el movimiento de una partícula con carga eléctrica enuna campo magnético.



Marco Teórico



Marco TeóricoLigaduras y Coordenadas Generalizadas

1 Sistemas de referencia basados en los conceptos de espacio y tiempoque son triedro de ejes, coordenadas o parámetros no relativista.

2 Ligadura holónomos: estas imponen relaciones exactas entre lascoordenadas que permiten escribir algunas de las coordenadas enfunción de otras de la forma: f(r1, r2, r3, . . . , t) = 0

3 Coordenadas generalizadas: Es el mínimo número de parámetros pormedio de la cual se puede determinar, las posiciones de las partículasde un sistema:

(q1, q2, . . . , qn)

Las derivadas con respecto al tiempo qi, son velocidadesgeneralizadas. Con las coordenadas generalizadas permite formular ladinámica con ligaduras holónomas, de tal forma que las fuerzas deligadura desaparecen de la descripción.







(q1, q2, . . . , qn)








(q1, q2, . . . , qn)




Marco TeóricoEcuación de Lagrange

Definiendo la lagrangiana L(qi, qi, t):

L = T − V

Las ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos (fuerzas de ligaduraque no realizan trabajo virtual.) que en donde las fuerzas aplicadas sederivan de un potencial, para sistemas conservativos son:

d

dt

(∂L

∂qi

)− ∂L

∂qi= 0 ; i = 1, . . . , n

Si la lagrangiana no es función explícita del tiempo, la energía del sistemase conserva.



Marco TeóricoEcuación de Hamilton

A partir de la Transformación de Legendre aplicado a la lagrangianase determina la hamiltoniana:

H(qi, pi, t) =n∑i=1

piqi − L(qi, qi) i = 1, . . . , n

donde se ha introducido los momentos generalizados:

pi = ∂L

∂qi

Las ecuaciones canónica de Hamilton son:

qi = ∂H

∂pi; pi = −∂H

∂qi; ∂H

∂t= −∂L

∂t

Para sistemas conservativos se identifica con la energía total:H = T + V = E






piqi − L(qi, qi) i = 1, . . . , n


pi = ∂L

∂qi


qi = ∂H

∂pi; pi = −∂H

∂qi; ∂H

∂t= −∂L

∂t







piqi − L(qi, qi) i = 1, . . . , n


pi = ∂L

∂qi


qi = ∂H

∂pi; pi = −∂H

∂qi; ∂H

∂t= −∂L

∂t





Se utilizará las ecuaciones de Hamilton en notación matricial osimpléctica:

η = J∂H∂η

o en forma explícita:

q1...qnp1...pn

=

. . . 1 . .

. . . . 1 .

. . . . . 1−1 . . . . .. −1 . . . .. . −1 . . .

∂H∂q1...∂H∂qn∂H∂p1...∂H∂pn



Marco TeóricoCoordenadas Cíclicas y Teoremas de Conservación

1 Una coordenada cíclica qj es aquella coordenada que no apareceexplícitamente en el L ó H. Entonces el momento conjugado pj seconserva:

pj = ∂L

∂qj= −∂H

∂qj= 0 ⇒ pj = cte

2 Si el tiempo no aparece explícitamente en L, tampoco estará presenteen H y esta será una constante con el tiempo:

dH

dt= ∂H

∂t= −∂L

∂t= 0 ⇒ H = cte



Marco TeóricoCoordenadas Cíclicas y Teoremas de Conservación

1 Una coordenada cíclica qj es aquella coordenada que no apareceexplícitamente en el L ó H. Entonces el momento conjugado pj seconserva:

pj = ∂L

∂qj= −∂H

∂qj= 0 ⇒ pj = cte

2 Si el tiempo no aparece explícitamente en L, tampoco estará presenteen H y esta será una constante con el tiempo:

dH

dt= ∂H

∂t= −∂L

∂t= 0 ⇒ H = cte



Marco TeóricoTransformaciones Canónicas

Son las transformaciones:

Qi = Qi(qi, pi, t); Pi = Pi(qi, pi, t)

que conservan la estructura de las ecuaciones canónicas es decir:

Qi = ∂H∂Pi

; Pi = − ∂H∂Qi

La caracterización de las T.C. puede ser dados bajo tres aspectos:

Formalismo Generador

Sabemos que:

L =n∑i

piqi −H y L =n∑i

PiQi −H

la validez simultanea del principio de Hamilton implica que:Jose Quiñonez Choquecota (UNA. FIS-MAT.) Utilización Transformaciones Canónicas en la Sol. Direc. de Mov.



Son las transformaciones:

Qi = Qi(qi, pi, t); Pi = Pi(qi, pi, t)

que conservan la estructura de las ecuaciones canónicas es decir:

Qi = ∂H∂Pi

; Pi = − ∂H∂Qi

La caracterización de las T.C. puede ser dados bajo tres aspectos:

Formalismo Generador

Sabemos que:

L =n∑i

piqi −H y L =n∑i

PiQi −H

la validez simultanea del principio de Hamilton implica que:Jose Quiñonez Choquecota (UNA. FIS-MAT.) Utilización Transformaciones Canónicas en la Sol. Direc. de Mov.



n∑i

piqi −H(qi, pi, t) =n∑i

PiQi −H(Qi, Pi, t) + dF

dt

La dependencia de la función generatriz F puede elegirse de cuatro formas:

Función generatriz F Ecuac. de transformación

F1(qi, Qi) pi = ∂F1∂qi

; Pi = ∂F1∂Qi

F2(qi, Pi) pi = ∂F2∂qi

; Qi = ∂F2∂Pi

F3(pi, Qi) qi = −∂F3∂pi

; Pi = −∂F3∂Qi

F4(pi, Pi) qi = −∂F4∂pi

; Qi = ∂F4∂Pi




Formalismo Simpléctico

Adoptando las notaciones simplécticas:

η = J∂H∂η

Para el nuevo sistema Qi, Pi definimos una matriz columna ξ de 2nelementos Qi, Pi. Por lo que la transformación se escribe como:

ξ = ξ(η)

La condición necesaria y suficiente para que una transformación seacanónica es:

J = MJMT




Formalismo Simpléctico

Adoptando las notaciones simplécticas:

η = J∂H∂η

Para el nuevo sistema Qi, Pi definimos una matriz columna ξ de 2nelementos Qi, Pi. Por lo que la transformación se escribe como:

ξ = ξ(η)

La condición necesaria y suficiente para que una transformación seacanónica es:

J = MJMT




Donde:M = ∂ξ

∂η; J =

(0 I−I 0

)

Transformaciones canónicas Infinitesimales T.C.I.

Son transformaciones que dependen de un parámetro (en particular eltiempo) en donde las nuevas variables (Qi, Pi) difieren de las antiguas(qi, pi) en infinitésimos:

ξ = η + δη

en donde el cambió infinitesimal de coordenadas y momentos son:

δη = δtJ∂G∂η




Por lo que la evolución temporal de un sistema puede ser visto como:

δqiδt

= ∂G

∂pi; δpi

δt= −∂G

∂qi; y δη

δt= J∂G

∂η

que representa una aproximación a primer orden en δt para las ecuacionesde Hamilton, cuando G = H. Pero si δt→ 0 tenemos las mismasecuaciones de Hamilton, es la razón por lo que se considera a H como lageneradora que nos va dando la descripción de un sistema.




Corchetes de Poisson

Considerando dos funciones u(qi, pi, t) y v(qi, pi, t), el corchete dePoisson de estas funciones con respecto a sus variables se definecomo:

[u, v]q,p =n∑k=1

(∂u

∂qk

∂v

∂pk− ∂u

∂pk

∂v

∂qk

)

La condición simpléctica toma la forma:

[ξ, ξ]η = J

Corchetes de Poisson fundamentales:

[η,η] = J, [ξ, ξ] = J






[u, v]q,p =n∑k=1

(∂u

∂qk

∂v

∂pk− ∂u

∂pk

∂v

∂qk

)


[ξ, ξ]η = J


[η,η] = J, [ξ, ξ] = J






[u, v]q,p =n∑k=1

(∂u

∂qk

∂v

∂pk− ∂u

∂pk

∂v

∂qk

)


[ξ, ξ]η = J


[η,η] = J, [ξ, ξ] = J




Las ecuaciones de Hamilton se expresan de la forma:

qi = [qi, H] = ∂H

∂pi, pi = [pi, H] = −∂H

∂qi, η = [η, H] = J∂H

∂η

El corchete de Poisson de las η y la generadora G es:

[η, G] = J∂G∂η

Para una T.C.I. dependiente del parámetro tiempo. El cambioinfinitésimas es:

δη = δt[η, G]




Las ecuaciones de Hamilton se expresan de la forma:

qi = [qi, H] = ∂H

∂pi, pi = [pi, H] = −∂H

∂qi, η = [η, H] = J∂H

∂η

El corchete de Poisson de las η y la generadora G es:

[η, G] = J∂G∂η

Para una T.C.I. dependiente del parámetro tiempo. El cambioinfinitésimas es:

δη = δt[η, G]




Invariantes Canónicos

Los corchetes de Poisson son invariantes ante las transformacionescanónicas:

[u, v]η = [u, v]ξ

Si una función u que no depende explícitamente del tiempo, es unaconstante de movimiento se cumple:

[u,H] = 0

El corchete de Poisson de dos constantes de movimiento cualesquieraes también una constante de movimiento:

[H, [u, v]] = 0






[u, v]η = [u, v]ξ


[u,H] = 0


[H, [u, v]] = 0






[u, v]η = [u, v]ξ


[u,H] = 0


[H, [u, v]] = 0



Exposición y Discusión



Exposición y DiscusiónVariación de una Función Mediante una T.C.I.

El punto de vista activode una T.C. es mover unpunto figurativo delsistema con continuidadsobre al trayectoria delsistema (si G=H).El cambio de valor de unafunción ante una T.C.I.ocurre en ε. Elmovimiento del sistema esvisto como una secuenciafinita de una T.C.I.
















El cambio de valor de u:

∂u = u(B)− u(A)

en términos de corchetes de Poisson, cuando ε→ 0 es:

∂u = ε[u,G]

El cambio de la hamiltoniana ∂H es la diferencia entre los valores dela hamiltoniana de una y otra interpretación esta es:

∂H = εdG

dt

Las constantes de movimiento son las funciones que generan aquellasT.C.I. que dejan invariante H.



Exposición y DiscusiónFunción Trayectoria en Términos de Corchetes de Poisson

Considerando u = u(X1, . . . , Xn) derivable infinitamente. El desarrollo deu en serie de Taylor entonando a un punto inicial Xi0 es:

u(Xi) = u(X0i)+n∑i

∂u

∂Xi

∣∣∣∣0

(Xi−X0i)+12!

n∑i,j

∂2u

∂Xj∂Xi

∣∣∣∣∣0

(Xi−X0i)(Xj−X0j)

+ 13!

n∑i,j,k

∂3u

∂Xk∂Xj∂Xi

∣∣∣∣∣0

(Xi −X0i)(Xj −X0j)(Xk −X0k) + · · ·

Los cambios infinitesimales de u y Xi que aparecen en las derivadasparciales provienen de una transformación canónica generada por unafunción G de la forma:

∂u = ε[u,G]; ∂Xi = ε[Xi, G]




Finalmente la solución para la trayectoria u es:

u(Xi) = u(X01, . . . , X0n) +n∑i

[u,G][Xi, G]

∣∣∣∣0

(Xi −X0i)

+ 12!

n∑i,j

[ [u,G][Xi, G] , G

][Xj , G]

∣∣∣∣∣0

(Xi −X0i)(Xj −X0j)

+ 13!

n∑i,j,k

[

[u,G][Xi,G] , G

][Xj , G] , G

[Xk, G]

∣∣∣∣∣0

(Xi −X0i)(Xj −X0j)(Xk −X0k) + · · ·

Que nos sirve especialmente para determinar la solución o trayectoria demanera implícita.




Cuando tomamos que t es la única variable, y ui función posición omomento, tenemos:

ui(t) = ui(t0)+[ui, H]0t+12! [[ui, H], H]0 t

2 + 13! [[[ui, H], H] , H]0 t

3 + · · ·

Estas nos proporcionan la solución paramétrica o las ecuacionesparamétricas para la trayectoria.



Exposición y DiscusiónAplicaciones

Aplicación en Una Dimensión

Para el movimiento de una partícula en un campo uniforme, con eldesarrollo:

q(t) = q(t0)+[q,H]0t+12! [[q,H], H]0 t

2 + 13! [[[q,H], H] , H]0 t

3 + · · ·

Siendo: H = p2

2m −F

mq se obtiene la solución concreta:

q(t) = q0 + p0mt+ F

m

t2

2

Para el oscilador armónico, se obtuvo la solución coherente en funcióndel tiempo.

q(t) = q0 cosωt− p0mω

senωt




Aplicación en Una Dimensión

Para el movimiento de una partícula en un campo uniforme, con eldesarrollo:

q(t) = q(t0)+[q,H]0t+12! [[q,H], H]0 t

2 + 13! [[[q,H], H] , H]0 t

3 + · · ·

Siendo: H = p2

2m −F

mq se obtiene la solución concreta:

q(t) = q0 + p0mt+ F

m

t2

2

Para el oscilador armónico, se obtuvo la solución coherente en funcióndel tiempo.

q(t) = q0 cosωt− p0mω

senωt




Aplicación en Dos Dimensión

Para el movimiento de un proyectil en coordenadas cartesianas:la función trayectoria es:

y(x) = y(x0) + [y,H][x,H]

∣∣∣∣0

(x− x0) + 12!

[ [y,H][x,H] , H

][x,H]

∣∣∣∣∣0

(x− x0)2

+ 13!

[

[y,H][x,H] , H

][x,H] , H

[x,H]

∣∣∣∣∣0

(x− x0)3 + · · ·

llegamos a la solución de la trayectoria de forma implícita:

y(x) = tan θ0 · x−12

g

v20 cos2 θ0

x2




Aplicación en Dos Dimensiones

La solución en función del tiempo se obtiene con las ecuaciones:

x(t) = x(t0)+[x,H]0t+12! [[x,H], H]0 t

2+ 13! [[[x,H], H] , H]0 t

3+· · ·

y(t) = y(t0)+[y,H]0t+12! [[y,H], H]0 t

2 + 13! [[[y,H], H] , H]0 t

3 + · · ·

por lo que la solución paramétrica para la trayectoria es:

x(t) = v0 cos θ0 · t, y(t) = v0 sen θ0 · t−12gt

2





Para el Problema de Kepler en dos dimensiones de coordenadascartesianas

Desarrollando y2 como función de x de la forma:

y2(x) = y2(x0) + [y2, H][x,H]

∣∣∣∣∣0

(x− x0) + 12!

[[y2, H][x,H] , H

][x,H]

∣∣∣∣∣0

(x− x0)2

+ 13!

[

[y2,H][x,H] , H

][x,H] , H

[x,H]

∣∣∣∣∣0

(x− x0)3 + · · ·

llegando a la solución de la trayectoria:Jose Quiñonez Choquecota (UNA. FIS-MAT.) Utilización Transformaciones Canónicas en la Sol. Direc. de Mov.




y2(x) = y2(x0) + 2bpy0

px0x+ (

p2y0

p2x0

− mk

bp2x0

)x2

La solución en función del tiempo se obtiene mediante:

x2(t) = x2(t0)+[x2, H]0t+12![[x2, H], H

]0t2+ 1

3![[

[x2, H], H], H]

0t3+· · ·

y2(t) = y2(t0)+[y2, H]0t+12![[y2, H], H

]0t2+ 1

3![[

[y2, H], H], H]

0t3+· · ·

resultando la solución en función del tiempo:

x2(t) =p2x0

m2 t2; y2(t) = y2(t0) + 2bpy0

mt+ (

p2y0

m2 −k

mb)t2




Aplicación en Tres Dimensiones

Para el movimiento de un partícula cargada en un campo magnéticoconstante y uniforme

Mediante el desarrollo:

x2(y, z) = x2(y0, z0)+ [x2, H][y,H]

∣∣∣∣∣0y+ [x2, H]

[z,H]

∣∣∣∣∣0z+ 1

2!

[[x2, H][y,H] , H

][y,H]

∣∣∣∣∣0

y2

+

[[x2, H][y,H] , H

][z,H]

∣∣∣∣∣0

yz +

[[x2, H][z,H] , H

][y,H]

∣∣∣∣∣0

yz +

[[x2, H][z,H] , H

][z,H]

∣∣∣∣∣0

z2





Calculando los corchetes de Poisson solo hasta los términos de segundogrado ecuación de la trayectoria resulta ser:

x2(y, z) = x2(y0, z0)−x0qB

(y2

py0 + 12qBx0

+ 2yzpz0

+(py0 + 1

2qBx0)z2

P 2z0

)+· · ·

Para la solución en función del tiempo función: se desarrolla:

x(t) = x(0) + [q,H]0t+ 12! [[x,H], H]0 t

2 + 13! [[[x,H], H] , H]0 t

3

+ 14! [[[[x,H], H] , H] , H]0 t

4 + 15! [[[[[x,H], H] , H] , H] , H]0 t

5 + · · ·





y(t) = y(0) + [q,H]0t+ 12! [[y,H], H]0 t

2 + 13! [[[y,H], H] , H]0 t

3

+ 14! [[[[y,H], H] , H] , H]0 t

4 + 15! [[[[[y,H], H] , H] , H] , H]0 t

5 + · · ·

z(t) = z(0) + [q,H]0t+ 12! [[z,H], H]0 t

2 + 13! [[[z,H], H] , H]0 t

3 + · · ·

obteniendo las ecuaciones paramétricas:

x(t) = 2py0

qBcos(qBt

m); y(t) = 2py0

qBsen(qBt

m)

z(t) = pz0

mt



Conclusiones



Conclusiones

� A partir del concepto de transformación canónicainfinitesimal se desarrolla funciones de variables dinámicas entérminos del generador de la transformación (corchete dePoisson).� Se encontraron las trayectorias y la solución en función deltiempo de las mismas con este desarrollo planteado paraproblemas de hasta tres dimensiones. Es mas podemos afirmarque de la obtención de la trayectoria de forma paramétrica esla mas conveniente para encontrar la solución de los problemasen función del tiempo, sin embargo la obtención de ecuacióntrayectoria de forma implícita proporciona de manera directa laecuación de la trayectoria.



Conclusiones

� Con el desarrollo propuesto en el presente trabajo las ventajas que sehan ilustrado es:- No se han resuelto ecuaciones diferenciales o integrales en formadirecta.

- Sólo se necesita calcular paréntesis de Poisson de la hamiltoniana(generadora de las transformaciones) con las variables dinámicas deinterés.

- En una misma fórmula, ecuación, se tiene la solución formal paratrayectorias y solución en función del tiempo.

- En el caso del problema de Kepler, se a obtenido la solución de latrayectoria en coordenadas que no son separables (y por lo tanto noconvenientes) para el problema.

- Para el movimiento en un campo magnético uniforme se hadesarrollado una solución paramétrica de forma directa.



Conclusiones

� Por ultimo, se ha ilustrado mostrado la bondad y alcancede las transformaciones canónicas. Por otro lado, hay quetener precaución en considerar a esta alternativa como unmétodo competitivo para resolver problemas en mecánicaclásica, no obstante nos haya permitido resolver un problemaconsiderado “imposible” en los cursos tradicionales, comofue la obtención de la trayectoria en el problema de Kepleren coordenadas cartesianas.El desarrollo planteado todavía tiene que demostrar su valorpara considerarlo como un método práctico de solución deproblemas.



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Jose Quiñonez Choquecota~~ (UNA. FIS-MAT.) Utilización Transformaciones Canónicas en la Sol. Direc. de Mov.


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UTILIZACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES CANÓNICAS EN LA SOLUCIÓN DIRECTA DE LOS MOVIMIENTOS CLÁSICOS