UTILIZAREA SPECTRELOR FOURIER ÎN ANALIZA

MIŞCĂRILOR SEISMICE

Din Transformata Fourier, în special sub forma transformatei Fourier rapide (Fast

Fourier Transform - FFT) este cel mai răspândit instrument de analiză a funcţiilor armonice

complexe.243852

Analiza unidimensională foloseşte FFT după următorul algoritm: accelerograma la

nivelul rocii de bază este descompusă în câmp de frecvenţe care se transmit de la un strat

elementar la celălalt prin intermediul unor funcţii de transfer. La nivelul suprafeţei terenului

accelerograma se recompune.243852

1.1. Definiţia transformatei Fourier

În matematică, transformata Fourier (de obicei abreviată cu TF) este o operaţie ce

transformă o funcţie complexă cu o variabilă reală, într-o altă funcţie complexă. În aplicaţii

precum procesarea semnalelor, domeniul funcţiei originale este în general cel al timpului şi

astfel este numit “domeniul timpului”. Domeniul funcţiei noi este in general domeniul

frecvenţelor, iar noua funcţie însăşi este reprezentarea în domeniul frecvenţelor a funcţiei

originale. Astfel se pot arăta frecvenţele prezente în funcţia originală. Acest process este

analog cu a arăta pentru o coardă, în domeniul muzicii, ce note trebuiesc cântate. De fapt,

transformata Fourier descompune o funcţie în funcţii oscilatorii. Expresia “Transformare

Fourier” se referă atât la reprezentarea în domeniul frecvenţelor a unei funcţii, cât şi la

procedeul (formula) ce transformă o funcţie într-o alta.243852

Transformata Fourier şi generalizările acesteia constituie subiectul analizei Fourier. În

acest caz, atât domeniul timpului cât şi cel al frecvenţelor sunt continui, lineare şi

nemărginite. Astfel este posibil să definim transformata Fourier a unei funcţii cu n variabile,

cu importanţă în studiul mişcării undelor sau în domeniul opticii. De asemenea putem

generaliza transformata Fourier pe structuri discrete, precum grupuri finite.243852

Există mai multe moduri de a defini transformata Fourier a unei funcţii integrabile,

f :R→C. Se vor folosi următoarele relaţii ce pot descrie transformata Fourier şi inversa

transformării Fourier243852:

S (ω )=∫-∞

+∞

s ( t ) e-jωt dt (3.1)

s(t)=12π

∫-∞

+∞

S(ω) e jωt dω (3.2)

Motivul existenţei transformării Fourier vine din studiul seriilor Fourier. Pe parcursul

studiului seriilor Fourier, se poate observa că funcţii periodice complexe sunt scrise ca sumă

de unde simple, matematic reprezentate de sinus şi cosinus Datorită proprietăţilor acestor

funcţii elementare, este posibil să se reconstruiască unda iniţială printr-o însumare sau

integrare.243852

În multe cazuri este de dorit a se folosi formula lui Euler:

e2πiθ=cos2πθ +i sin 2πθ (3.3)

pentru a scrie o serie Fourier cu termeni reprezentând unde simple e2 πiθ .

Această scriere are avantajul de a simplifica o mare parte dintre formulele implicate

precum şi de a oferi o formulare pentru seriile Fourier ce se apropie mai mult de definiţia pe

care a urmat-o această lucrare. Trecerea de la sinus şi cosinus la valori exponenţiale

complexe, implică necesitatea ca toţi coeficienţii Fourier să fie de tip complex. Interpretarea

uzuală a unui număr complex este aceea că îţi oferă atât amplitudinea (sau mărimea) undei

precum şi faza (sau unghiul iniţial) al acesteia. Această trecere introduce de asemenea şi

nevoia de frecvenţe negative. Dacă θ este măsurat în secunde, atunci undele e2πiθ şi e−2πiθ ar

completa un ciclu pe secundă, dar totuşi reprezintă frecvenţe diferite în transformata Fourier.

Prin urmare, frecvenţa nu se mai măsoară în numărul de cicluri pe unitate de timp, dar este

strâns legată de aceasta.243852

1.2. Proprietăţi

Proprietăţi derivate243852:

1. Liniaritate

F { x∝ ( t ) +βy ( t ) }=∫-∞

+∞

( x∝ ( t ) +βy ( t ) ) e-j2πft dt =

= α∫-∞

+∞

x ( t )e-j2πft +β∫-∞

+∞

y ( t ) e-j2πft dt=αX (f ) +βY (f ) .(3.4)

2. Proprietatea de schimbare a variabilei “timp”

F {x ( t- t a) }=∫-∞

+∞

x ( t- ta) e-j2πft dt

=∫-∞

+∞

x (s )e-j2πf ( s+ta )ds=∫-∞

+∞

x (s ) e-j2π f s e-j2π ft a ds = [∫-∞

+∞

x (s )e-j2π fs ds ]e-j2π fta =X (f ) e-j2π fta

(3.5)

Unde (s=t- ta, t=s+ ta, dt=ds )

3. Proprietatea de schimbare a variabilei “frecvenţă”

F {x ( t ) +e j2πf a t }=∫-∞

+∞

[ x (t )e j2π f a t ] e-j2πft dt =

= ∫-∞

+∞

x ( t )e-j2π (f- f a) t dt=X ( f-f a).(3.6)

4. Proprietatea de modulare

X ( f+fa ) +X ( f- fa) =F {x ( t ) e-j2π f a t }+F {x (t )e j2πf a t } (prin schimbare a variabilei

“frecvenţă”)

= F {x (t ) [e-j2π fa t+e j2π f a t ] } (prin linearitate)¿2F {x ( t ) cos2π f a t } , (cu formula lui Euler)

F {x ( t ) cos2π fa t }=12 (X (f+ fa )+X (f- f a)) .

(3.7)

În mod similar,X ( f+fa ) -X (f- fa ) =F {x (t )e-j2π fa t }-F {x ( t ) e j2πf a t } (prin schimbare a variabilei

“frecvenţă”)

= F {x ( t ) [e-j2π fa t- e j2π fa t ] } (prin linearitate)¿2jF {x ( t ) sin 2π f a t } , (cu formula lui Euler)

F {x ( t ) sin 2π f a t }= j2 (X (f+f a) +X (f- fa )) .

(3.8)

5. Proprietatea de scalare a variabilei “timp”

Cazul (i) Când ∝>0, avem:

F {x ( t ) +e j2πf a t }=∫-∞

+∞

[ x ( t ) e j2π fa t ]e-j2πft dt=

= ∫-∞

+∞

x (t )e-j2π (f- f a) t dt=X ( f-f a) =1∝ [∫

-∞

+∞

x (s )e-j2π(f

∝ )s

ds ](s=αt , t= s∝ , dt= 1∝ds)

=1∝ [∫

-∞

+∞

x (s) e-j2π(f

∝ )s

ds ] = 1∝

X(f∝ ) .(3.9)

Cazul (ii) Când ∝<0, noua variabilă s=αt îşi schimbă semnul. Astfel t❑→

-∞, s❑→

∞,

când t❑→

∞, s❑→

-∞. S-a luat în considerare şi schimbarea de semn survenită la limitele de

integrare superioară şi inferioară pentru derivarea de mai jos.

F {x ( t∝ ) }=∫-∞

+∞

x ( t∝ ) e-j2πft dt =

= ∫−∞

+∞

x (s ) e− j2π f s/∝ 1∝ds (s= t schimbă semnul∝ )

(3.10)

Combinând cele 2 cazuri, rezultă:

F {x ( t∝ ) }=1|∝|

X(f∝ ) , ≠0∝ (3.11)

6. Proprietatea de simplificare a funcţiei

Aceasta este rezultatul proprietăţii de scalare a variabilei “timp”: Introducând α = -1 în

formula de scalare de mai sus, vom obţine imediat proprietatea de simplificarea funcţiei.

7. Transformarea unei transformări

x ( t )=F -1 {X (f ) }= ∫-∞

∞

X (f ) e j2πft df (3.12)

x (-t )=∫-∞

∞

X (f ) e-j2πtf df= F {X (f ) }=F {F {x ( t ) }} . (3.13)

8. Transformarea derivatei

F {x ' ( t ) }=∫-∞

+∞

x ' ( t ) e-j2πft dt =

= x ( t ) e-j2πft|−∫

-∞

∞

x (t ) {-j2πfe-j2πft }dt (utilizând integrarea prin părţi )

=j2πf∫-∞

∞

x ( t )e-j2πft dt (presupunând că x (t )❑→

0 pentru |t|❑→

∞

¿ j2πfX (f )

(3.14)

9. Derivarea transformatei

F ' {X' (f ) }=∫-∞

∞

X' (f )e j2πft df (inversa transformării Fourier ¿

-∫-∞

∞

X (f ) { j2πt e j2πft }df (utilizând integrarea prin părţi )

=j2π∫-∞

∞

X (f ) e j2πft df (presupunând că X (f )❑→

0 pentru |f|❑→

∞ ) =j2πtx ( t ) X' ( f )=F {− j 2πtx (t )=− j2πF {tx ( t ) }}

(3.15)

Următoarele relaţii reprezintă inversa şi transformata Fourier care sunt obţinute prin

alegerea a două funcţii de numere complexe periodice x(n) şi X(k) având perioada N:

X (k )= 1N∑n=0

N−1

x (n )e− j2πnk /N (3.16)

x (n )=∑k=0

N−1

X (k )e j2 πnk /N (3.17)

Transformarea are proprietăţi liniare. Funcţia ν (n )=αx (n )+βy (n), cu α şi β scalari,

este o pereche Fourier cu funcţia V (k )=αX (k )+ βY (k )

O translaţie a funcţiei x(n) produce o schimbare de fază pentru X(k) precum şi o

rotaţie a unghiului 2πmk/N:

X m (k )= 1N∑n=0

N−1

x (n−m ) e− j2πnk /N=X (k )e− j2πmk /N (3.18)

Există o simetrie în exprimarea transformării Fourier pentru funcţia x(n) când este

real: numerele X(k) şi X(N-k) sunt complexe conjugate:

X (N−k )= 1N∑n=0

N−1

x (n ) e− j2πn(N−k)/N=X (k) (3.19)

Dacă funcţia x(n) este reală şi pară, atunci secvenţa X(k) este deasemenea reală şi

pară.

Pentru N=2P+1 rezultă:

x (n )=x (−n )=x (N−n )❑⇒

❑⇒X (−k )=X (N−k )= 1

N [ x (0 )+2∑n=1

P

x (n ) cos (2πnk /N )]=X (k)(3.20)

Dacă funcţia x(n) este reală şi impară atunci X(k) este pur imaginară.

Iar, pentru N=2P=1 rezultă:

−x (n )=x (−n )=x (N−n )❑⇒

❑⇒X (−k )=X (N−k )= 1

N [−2 j∑n=1

P

x (n )sin (2πnk /N )]=−X (k)(3.21)

În acest caz x (0 ) =x (N )=0 şi X (0 )=X (N ) =0.

Orice semnal real poate fi descompus într-o sumă de două semnale, unul par şi unul

impar, în aceasta constând importanţa acestei proprietăţi.

Transformarea unui produs compus conduce catre produsul unei transformări Fourier.

Dacă x(n) şi h(n) sunt două funcţii având aceeaşi perioadă N, produsul compus este prin

definiţie:

y (n )=∑m=0

N−1

x (m )h (n−m) (3.22)

Transformarea este prin definiţie:

Y (k )= 1N {∑

n=0

N−1 [∑m=0

N−1

x (m )h (n−m)]e− j2πnk /N }=¿

¿ 1N [∑

m=0

N−1

x (m) e− j2 πmk /N ] [∑n=0

N−1

h (n−m ) e− j2π (n−m)k /N ]=X (k )H (k )

(3.23)

Relaţia lui Parseval stipulează că puterea unui semnal este suma puterii

componentelor, după cum urmează:

1N∑n=0

N−1

x (n ) x (n)= 1N∑n=0

N−1

|x (n)|2= 1N∑n=0

N−1

x (n ) ∑k=0

N−1

X (k ) e− j2πkn /N=¿(3.24)

¿∑k=0

N−1

X (k ) 1N∑n=0

N−1

x (n )e−2πnk /N=∑k=0

N−1

X ( k ) X ( k )=∑k=0

N−1

|X (k )|2

Astfel transformata Fourier are o importanţă crucială în procesarea numerică a

semnalelor.

1.3. Transformata Fourier Rapidă

Transformata Fourier furnizează o relaţie între două seturi de numere

complexe.243852

Pentru o matrice convenabilă, se face următoarea notaţie:

W=e−2 jπnk /N (3.25)

care conduce la:

[X0

X1

X2

…X N−1

]= 1N [

1 1 1 … 11 W W 2 … W N−1

1 W 2 W 4 … W 2(N−1)

… … … … …1 W N−1 W 2 (N−1) … W (N−1) (N−1)

] [x0

x1

x2

…xN−1

] (3.26)

Puterile lui W sunt toate modul unic şi sunt rădăcini de ordinul n. Transformata

inversă Fourier este obţinută prin scoaterea coeficientului 1/N şi prin schimbarea puterilor Wn

în W-n.

Matricea din expresia de mai sus are o structură specială. Ea este simetrică dupa

diagonala principală. Această particularitate este folosită pentru a mări viteza calculului

transformatei Fourier. Un caz special este reprezentat de funcţiile cu perioadă N, când N este

o putere de 2. Prin împărţirea funcţiei x(n) sau X(k) în subfuncţii interpolate, una cu indici

pari şi cealaltă cu indici impair, obţinem:

[X 0

X 1

X 2

…X N /2−1

]= 1N [

1 1 1 … 11 W 2 W 4 … W 2 (N /2−1)

1 W 4 W 8 … W 4 (N /2−1)

… … … … …1 W 2(N /2−1) W 4 (N /2−1) … W 2(N /2−1)(N /2−1)

][x0

x2

x4

…x2(N /2−1)

]+¿

+1N [

1 1 1 … 1W W 3 W 5 … W N−1

W 2 W 6 W 10 … W 2 (N−1)

… … … … …W N /2−1 W 3(N /2−1) W 5(N /2−1) … W (N /2−1)(N−1)

][x1

x3

x5

…xN−1

](3.27)

Folosind notaţia TN/2 pentru matricea ce se înmulţeşte cu vectorul componentelor cu

indici pari din funcţia x(n), cealaltă matrice ce se înmulteşte cu vectorul componentelor cu

indici impair poate fi descompusă în factori conform relaţiei de mai jos:

[X 0

X 1

X 2

…X N /2−1

]= 1NT N /2[

x0

x2

x4

…x2 (N /2−1)

]+ 1N [ 1 0 0 … 0

0 W 0 … 00 0 W 2 … 0… … … … …0 0 0 … W N /2−1

]T N /2[x1

x3

x5

…xN−1

] (3.28)

Conform cu relaţia W N=1, componentele lui X(k) pot fi calculate astfel:

[XN /2

X N /2+1

X N /2+2

…XN−1

]= 1NT N /2[

x0

x2

x 4

…x2(N /2−1)

]− 1N [ 1 0 0 … 0

0 W 0 … 00 0 W 2 … 0… … … … …0 0 0 … W N /2−1

]T N /2[x1

x3

x5

…xN−1

] (3.29)

Diferenţa în calculul celor două jumătăţi ale vectorului X(k) este dată doar de

schimbarea de semn a celui de-al doilea termen al expresiei. Astfel, calculul unei transformate

Fourier de ordinul N este redus la calculul a două funcţii transformate de ordin N/2 la care se

adaugă N/2 înmulţiri de numere complexe. Următoarea schemă este reprezentativă pentru

acest tip de calcul.

Pentru evaluarea pas cu pas culog 2N−1=log2(N /2), se obţine o transformare de

ordinal 2 care are următoarea matrice:

T 2=[1 11 −1] (3.30)

Fig. 3.1: Pas de calcul pentru transformata Fourier de ordinul 2 38

La fiecare pas sunt necesare N/2 multiplicări ale numerelor complexe astfel că întreaga

transformare necesită (N/2) log2(N/2) înmulţiri şi N log2 N însumări de numere complexe. În

mod simplificat, numărul de înmulţiri poate fi redus mai mult, date fiind proprietăţile puterilor

numerelor W. De exemplu, W 0=1 ,W N /4=− j şi W N /8=(1 /√2)(1− j), deci 3 înmulţiri pot fi

stocate în prima etapă a calculului, 3N/8 pot fi eliminate în penultimul pas şi 2N/4 în cel final.

Astfel se ajunge la 5N/4-3 şi minimul de înmulţiri este N/2[ log2(N/2)-5/2] +3. În schimb,

implementările software/hardware nu sunt atât de uşor de făcut.

Matricea pentru o transformare de ordinul 4 ar arăta astfel:

T 4=[1 1 1 11 − j −1 j1 −1 1 −11 j −1 − j ] (3.31)

Diagrama de calcul pentru această situaţie este dată mai jos:

Fig. 3.2: Diagrama de calcul pentru transformata rapidă Fourier de ordinul 4 38

Datorită formei sale, acest tip de diagramă este denumită “Fluture”.

Este o regulă generală ca indicii pentru transformata X (k) să fie trataţi în ordinea lor

naturală şi cei pentru funcţia transformată într-o ordine permutată. Permutarea este produsă

prin intercalaţii successive şi rezultatul ei coincide cu inversarea ordinii biţilor în reprezetare

binară a indicelui funcţiei. Pentru N = 8, de exemplu, avem următoarea schemă:

Fig. 3.3: Schemă grafică a calculului unei transformate rapide Fourier de ordin 8 38

Pe ramuri, cu săgeţi, sunt plasate ca puteri parte din valoarea complexă W, definită

anterior.

Metoda de calcul se regăseşte în literatură sub numele impropriu de decimare în timp.

Se notează că memoria necesară pentru calculul transformării unei funcţii de lungime N este

acela pentru N numere complexe. Calculul se desfăşoară cu perechi de variabile conform

schemei “Fluture” şi rezultatele sunt menţinute în poziţiile din schemă până la

sfârşit.Transformarea inversă este obţinută prin schimbarea semnului exponenţilor lui W. În

mod similar, există o decimare şi în frecvenţă. Schema “Fluture” este aceeaşi, cu menţiunea

că ordinea intercalării este inversată. Interpolările de 4 la 4 sunt în partea din dreapta a

diagramei, pe când cele simple se regăsesc în stânga.243852

1.4. Transformata Rapidă Fourier cu decimare în frecvenţă

Vectorul de elemente X(k) poate fi despărţit în două părţi interpolate, una cu indici

pari şi una cu indici impari. Pentru prima parte cu indici pari, cu presupunearea că W N=1, se

obţine:

[X 0

X2

X 4

…X2 (N /2−1)

]= 1N [

1 1 1 … 11 W 2 W 4 … W 2(N /2−1)

1 W 4 W 8 … W 4(N /2−1)

… … … … …1 W 2(N /2−1) W 4 (N /2−1) … W 2 (N /2−1) (N /2−1)

] [x0+xN /2

x1+ xN /2+1

x2+ xN /2+2

…x N /2−1+xN−1

] (3.32)

pentru cealaltă parte, cu indici impari, avem:

[X1

X3

X5

…X N−1

]= 1N [ 1 W W 2 … W N /2−1

1 W 3 W 6 … W 3(N /2−1)

1 W 5 W 10 … W 5(N /2−1)

… … … … …1 W N−1 W 2 (N−1) … W (N−1) (N /2−1)

] [x0−xN /2

x1−xN /2+1

x2−xN /2+2

…xN /2−1−xN−1

]=¿

¿ [ 1 0 0 … 00 W 0 … 00 0 W 2 … 0… … … … …0 0 0 … W N /2−1

]T N /2[x0−xN /2

x1−xN /2+1

x2−xN /2+2

…xN /2−1−xN−1

](3.33)

folosind notaţia TN/2 pentru matricea utilizată în relaţia pentru partea cu indici pari.

Decimarea în frecvenţă conduce la acelaşi volum de calcul ca şi în cazul interpolării în

timp. Numerele x(n) apar în ordinea naturală. Numerele X(k) sunt cele ce apar de această dată

permutate după regula de inversare a biţilor în expresia binară a indicilor. Algoritmul

prezentat, ca şi cel anterior, este bazat pe descompunerea transformării în transformări

elementare de ordinul 2 care nu necesită înmulţiri reciproce. Aceşti algoritmi sunt denumiţi

algoritmi de a doua rădăcină (radix-2). Alte transformări elementare pot fi folosite, de

exemplu de a patra rădăcină, care utilizează matricea T4, pentru N fiind o putere de 4.243852

Fig. 3.4: Transformata Rapidă Fourier de ordinul 8 prin decimarea în frecvenţă 38

1.5. Densităţi spectrale

1.5.1. Densitatea spectrală de energie (D.S.E.)

Densitatea spectrală de energie descrie distribuţia energiei unui semnal în raport cu

frecvenţa. Dacă f(t) este un semnal de energie finită, densitatea spectrală Φ(ω) a unui semnal

este pătratul mărimii transformatei continue Fourier a acelui semnal24385256:

Φ (ω )=| 1√2π

∫−∞

+∞

f (t)e−iωt dt|2

=F (ω) F¿ (ω)

2π(3.34)

unde ω este frecvenţa unghiulară (ω = 2π ν), iar F(ω) este transformata continuă

Fourier a lui f(t), iar F*(ω) conjugata complexă a acestuia.

Dacă semnalul este discret, cu valori fn, pe un număr infinit de valori, avem în

continuare densitate spectrală de energie:

Φ (ω )=| 1√2π

∑n=−∞

+∞

f n e−iωn|

2

=F (ω )F ¿(ω)

2π(3.35)

unde F(ω) este transformata discretă Fourier a lui fn.

Densităţile spectrale continue şi discrete sunt de cele mai multe ori notate cu aceleaşi

simboluri, cum este cazul mai sus, deşi dimensiunile şi unităţile lor de măsură diferă. Ele pot

fi ajustate pentru a avea aceleaşi dimensiuni şi unităţi de măsură prin măsurarea timpului în

unităţi de interval sau prin scalarea cazului discret la unitatea de timp necesară24385256.

Factorul multiplicativ 1/√2π nu este absolut. El depinde de constantele particulare de

normalizare folosite în definiţia transformatelor Fourier24385256.

1.5.2. Densitatea spectrală de putere (D.S.P.)

Definiţiile de mai sus ale densităţii spectrale de energie necesită ca transformatele

Fourier ale semnalelor să existe, adică semnalele să fie integrabile. O alternativă mult mai

folosită este Densitatea Spectrală de Putere (D.S.P.) care descrie distribuţia puterii unui

semnal în raport cu frecvenţa24385256.

Spectrul de Putere G(f) este definit ca:

S ( f )=∫−∞

+∞

R ( τ ) e−2πifτ dτ (3.36)

cu R(τ) funcţia de autocorelare a semnalului.

Densitatea spectrală a lui f(t) şi autocorelarea lui f(t) formează o pereche de

transformări Fourier (pentru D.S.E. şi D.S.P. se folosesc definiţii diferite ale funcţiei de

autocorelare).

1.6. Analiza spectrală a acţiunii seismice

Ca dată de intrare în analiza efectuată a fost utilizată accelerograma cutremurului din 4

martie 1977 cu componenta sa maximă (direcţia N-S).

0 5 10 15 20 25 30 35 402

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

Timp (s)

Acc

eler

atie

(m

/s²)

Fig. 3.5: Accelerograma seismului din 4 martie 1977 - amax = 1.945 m/s2

0 5 10 15 20 25 30 35 401

0.75

0.5

0.25

0

0.25

0.5

Timp (s)

Vite

za (

m/s

)

Fig. 3.6: Hodograma seismului din 4 martie 1977 - vmax = 0.70 m/s

0 5 10 15 20 25 30 35 400.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Timp (s)

Dep

lasa

re (

m)

Fig. 3.7: Seimograma seismului din 4 martie 1977 - dmax = 0.898 m

Pentru prelucrarea spectrelor Fourier s-au folosit aplicaţiile informatice SeismoSignal

şi MathCAD.

SeismoSignal este o modalitate uşoară şi eficientă de a procesa date din mişcări

seismice. Acest program este capabil să calculeze anumiţi parametri seismici necesari

inginerilor proiectanţi de structuri în zone seismice. Din mulţimea parametrilor seismici

calculaţi de acest program aici vor fi selectaţi doar cei ce fac obiectul studiului, adică Spectrul

Fourier şi Densitatea Spectrală de Putere.

Aplicaţia MathCAD este un produs al companiei PTC specializat în rezolvarea,

verificarea, documentarea calculelor matematice. Printre numeroasele funcţii ale programului

se află şi modulul de calcul simbolic. Calculul spectrelor Fourier este inclus în acest modul.

Am preferat să folosesc din MathCAD funcţiile implementate direct pentru un control

mai bun asupra rezultatelor. Funcţiile disponibile pentru calculul spectrelor Fourier sunt

următoarele:

- cfft(v) - produce Transformata Discretă Fourier a unui vector v cu n elemente,

calculată folosind metoda Singleton, normalizat cu 1/√n- CFFT(v) - produce Transformata Discretă Fourier a vectorului v în mod

echivalent cu fft(v); diferenţa constă în normalizarea spectrului cu 1/n şi folosirea unui

exponent negativ.

Algoritmul de calcul este următorul:

- se defineşte vectorul v, constând, în cazul acesta, în valorile acceleraţiilor la un

interval fix de timp între ele;

- se defineşte variabila N0, numărul de elemente ale vectorului sau lungimea

vectorului v, N 0=length (v );

- se defineşte p, o variabilă cu care se va accesa fiecare element al transformatei

Fourier, p=0…N 0−1;

- se definesc Amplitudinile Fourier în funcţie de normalizarea necesară, TF=cfft (v)

sau TF=CFFT (v);

- se extrage graficul (Spectrul Fourier); frecvenţa va fi dată de pf sN 0

, unde fs este

intervalul de timp dintre citirile pe accelerogramă;

- pentru densitatea spectrală de putere se ridică la pătrat amplitudinea Fourier, iar

frecvenţa se va păstra aceeaşi.

Se vor arăta mai departe rezultatele calculului în cele două programe, în termeni de

Spectre Fourier (S.F.) şi Densitate Spectrală de Putere (D.S.P.)

Fig. 3.8: Comparaţie între Spectrele Fourier

Fig. 3.9: Comparaţie între Densităţile Spectrale de Putere

0.01 0.1 1 10 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

MathCADSeismoSignal

Frecventa (Hz)

Am

plitu

dine

Fou

rier

0.01 0.1 1 10 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

MathCADSeismoSignal

Frecventa (Hz)

Den

sita

te d

e P

uter

e

1.7. Concluzii

De la început se pot observa mici neconcordanţe între spectrele Fourier calculate în

MathCAD şi cele calculate cu SeismoSignal. Aceste diferenţe pot proveni din:

- Algoritmul de calcul al transformatei Fourier (există mai mulţi algoritmi de calcul

rapid - Cooley-Tukey, Bruun, Rader, Bluestein, Split-radix, Prime-factor ş.a.).

- Existenţa zgomotului (o amplitudine a spectrului Fourier mai mult sau mai puţin

constantă la anumite frecvenţe (joase sau înalte) este de obicei un semn că există zgomote de

frecvenţă joasă sau înaltă).

SeismoSignal foloseşte algoritmul Bruun, iar MathCAD foloseşte algoritmul

Singleton, deci micile diferenţe din cauza algoritmului erau anticipabile.

Corectarea zgomotului este necesară şi se poate face cu ajutorul unor filtre de bandă

pasantă, spre exemplu, Seismo Signal are implementate mai multe tipuri de filtre

(Butterworth, Cebyshev, Bessel) şi opţiunea de high-pass, low-pass, band-pass sau band-

stop), dar această corectare este complicată în MathCAD.

Ca o ultimă concluzie trebuie spus că în anumite cazuri graficele densităţii spectrale de

putere pot oferi mai multe informaţii decât spectrele Fourier. Densitatea spectrală de putere,

fiind pătratul spectrelor Fourier (pentru valori reale) măreşte amplitudinile mari şi scade

amplitudinile mici, crescând diferenţele, deci ajutând la observarea lor.