Utsignalsberäkning m.h.a. z-transformen Utsignalsberäkning ......Kap 5 – z-transformanalys av tidsdiskreta system 4 TSDT18,84 SigSys Utsignalsberäkning m.h.a. z-transformen Repetera

Copyright © Lasse Alfredsson, LiU

Kap 5 – z-transformanalys av tidsdiskreta system

1 TSDT18,84 SigSys

Utsignalsberäkning m.h.a. z-transformen y[n] = yzs[n] = H{x[n]}|Energifritt system x[n] LTI

yzs[n] kan beräknas ”enkelt”, tack vare linjäritetsegenskapen:

x n⎡⎣ ⎤⎦ = a1x1 n⎡⎣ ⎤⎦ + a2x2 n⎡⎣ ⎤⎦ + a3x3 n⎡⎣ ⎤⎦ +! ⇒

ym=H{xm }y n⎡⎣ ⎤⎦ = a1y1 n⎡⎣ ⎤⎦ + a2y2 n⎡⎣ ⎤⎦ + a3y3 n⎡⎣ ⎤⎦ +!

x n⎡⎣ ⎤⎦ = x m⎡⎣ ⎤⎦δ n −m⎡⎣ ⎤⎦

m=−∞

∞

∑ ⇒ y n⎡⎣ ⎤⎦ = x n⎡⎣ ⎤⎦ ∗h n⎡⎣ ⎤⎦ = x m⎡⎣ ⎤⎦h n −m⎡⎣ ⎤⎦m=−∞

∞

∑

Andra lämpliga linjärkombinationer, för vilka H{xm[n]} är lätta att beräkna?

xm n⎡⎣ ⎤⎦ = zm( )n

Tidsdomän-lösning (kap. 3; xm[n] = δ [n‒m] ):

H zm⎡⎣ ⎤⎦ = Z h z⎡⎣ ⎤⎦{ } z=zm zm = rm ⋅e

jΩm = H zm⎡⎣ ⎤⎦ zm( )

n

⇒ ym n⎡⎣ ⎤⎦ = zm( )n∗h n⎡⎣ ⎤⎦

= zm( )n−k h k⎡⎣ ⎤⎦

k=−∞

∞

∑ = h k⎡⎣ ⎤⎦ zm( )−k

k=−∞

∞

∑⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ zm( )n



2 TSDT18,84 SigSys

Utsignalsberäkning m.h.a. z-transformen

x n⎡⎣ ⎤⎦ = X zm⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ zm( )n

m∑ ⇒ y n⎡⎣ ⎤⎦ = X zm⎡⎣ ⎤⎦ ⋅H zm⎡⎣ ⎤⎦ zm( )n

m∑Dvs:

Summera, längs en sluten cirkel C, över ett kontinuum av komplexvärda z :

x n⎡⎣ ⎤⎦ =

12π j

X z⎡⎣ ⎤⎦ ⋅zn−1dz

C!∫ ⇒ y n⎡⎣ ⎤⎦ =

12π j

X z⎡⎣ ⎤⎦ ⋅H z⎡⎣ ⎤⎦zn−1dz

C!∫

Identifiera/definiera: x n⎡⎣ ⎤⎦ = Z

−1 X z⎡⎣ ⎤⎦{ } ⇒ y n⎡⎣ ⎤⎦ = Z−1 Y z⎡⎣ ⎤⎦{ }

⇒ Y z⎡⎣ ⎤⎦ = X z⎡⎣ ⎤⎦H z⎡⎣ ⎤⎦

Y z⎡⎣ ⎤⎦ = Z y n⎡⎣ ⎤⎦{ },X z⎡⎣ ⎤⎦ = Z x n⎡⎣ ⎤⎦{ }H z⎡⎣ ⎤⎦ = Z h n⎡⎣ ⎤⎦{ }⎧⎨⎪

⎩⎪

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

y[n] = yzs[n] = H{x[n]}|Energifritt system x[n] LTI

=am ∈!"#$ %$

=xm m⎡⎣ ⎤⎦!"#

=am!"# $#

=ym m⎡⎣ ⎤⎦! "## $##



3 TSDT18,84 SigSys

Utsignalsberäkning m.h.a. z-transformen

h[n], H[z]

Energifritt LTI-system x n⎡⎣ ⎤⎦ y n⎡⎣ ⎤⎦ = x n⎡⎣ ⎤⎦ ∗h n⎡⎣ ⎤⎦

(y0[n] = 0)

X z⎡⎣ ⎤⎦

Z −1

Z

Ofta ”lättare” att gå via transformdomänen än att falta:

x n⎡⎣ ⎤⎦ →Z

X z⎡⎣ ⎤⎦ → Y z⎡⎣ ⎤⎦ = X z⎡⎣ ⎤⎦H z⎡⎣ ⎤⎦ →Z −1y n⎡⎣ ⎤⎦

H z⎡⎣ ⎤⎦ !Y z⎡⎣ ⎤⎦X z⎡⎣ ⎤⎦ Energifritt

system

LTI-systemets systemfunktion: (”transfer function”)

H[z] (behöver bara beräknas en gång!)

Y z⎡⎣ ⎤⎦ = X z⎡⎣ ⎤⎦H z⎡⎣ ⎤⎦

Z −1

Z



4 TSDT18,84 SigSys

Utsignalsberäkning m.h.a. z-transformen Repetera själv z-transformen & dess egenskaper ‒ se kap. 5.1‒5.2:

•  Dubbelsidig (”bilateral”) z-transform: X z⎡⎣ ⎤⎦ = Z x n⎡⎣ ⎤⎦{ } = x n⎡⎣ ⎤⎦z−n

n=−∞

∞

∑

Om kausal funktion/signal ⟹ •  Enkelsidig (”unilateral”) z-transform:

X z⎡⎣ ⎤⎦ = Z x n⎡⎣ ⎤⎦{ } = x n⎡⎣ ⎤⎦z−n

n=0

∞

∑•  z-transformen är bara entydigt definierad tillsammans med angivet konvergensområde (”ROC, Region Of Convergence”):

z > R0•  Kausal x[n], dvs. x[n < 0] = 0:

z < R1•  Antikausal x[n], dvs. x[n ≥ 0] = 0: R0 < z < R1

•  Generellt x[n], dvs. x[n] ≠ 0 för både n ≥ 0 och n < 0:

x n⎡⎣ ⎤⎦ = Z

−1 X z⎡⎣ ⎤⎦{ } = 12π j X z⎡⎣ ⎤⎦zn−1dz

C!∫•  Invers z-transform:

•  Beteckning, transformpar: x n⎡⎣ ⎤⎦ ⇔ X z⎡⎣ ⎤⎦



5 TSDT18,84 SigSys

Beräkning av y[n] vid differensekvationsbeskrivning av systemet

Antag kausal insignal till kausalt system ⟹ enkelsidiga transformer :

Q D( )y t( ) = P D( )x t( )

⇒ Y s( ) =Y0 s( )+ X s( ) ⋅H s( )

⇒ y t( ) = y0 t( ) + x t( )∗h t( )( )

Tidskoninuerligt system Tidsdiskret system

Q E⎡⎣ ⎤⎦y n⎡⎣ ⎤⎦ = P E⎡⎣ ⎤⎦ x n⎡⎣ ⎤⎦

Skriv om på negativ form, y[n‒k]

dy t( )dt

⇔L

sY s( )− y 0−( ) osv. y n −1⎡⎣ ⎤⎦ ⇔Z

z−1Y z⎡⎣ ⎤⎦ − y −1⎡⎣ ⎤⎦ osv.

där H s( ) = P s( )Q s( ) =

bN− jsj

j=0

M

∑

aN−isi

i=0

N

∑

⇒ Y z⎡⎣ ⎤⎦ =Y0 z⎡⎣ ⎤⎦+ X z⎡⎣ ⎤⎦ ⋅H z⎡⎣ ⎤⎦

där H z⎡⎣ ⎤⎦ =P z⎡⎣ ⎤⎦Q z⎡⎣ ⎤⎦

=bN− jz

j

j=0

M

∑

aN−izi

i=0

N

∑

⇒ y n⎡⎣ ⎤⎦ = y0 n⎡⎣ ⎤⎦ + x n⎡⎣ ⎤⎦ ∗h n⎡⎣ ⎤⎦( )

y n −1⎡⎣ ⎤⎦u n⎡⎣ ⎤⎦( )

1

4

5

3

2



6 TSDT18,84 SigSys

Stabilitet (extern) ‒ för LTI-system

Stabilt LTI-system ⟺ jω -axeln ligger i konvergensområdet för H(s)

Tidskontinuerligt system Tidsdiskret system

Stabilt LTI-system ⟺ enhetscirkeln ligger i konvergensområdet för H[z]

Marginellt stabilt LTI-system ⟺ • Enkelpol(er) hos H(s) på jω -axeln • jω -axeln = en rand till konvergensområdet • Antal poler ≥ Antal nollställen (egentligen #P≥#N−1)

Instabilt LTI-system ⟺ • jω -axeln ligger inte i konvergensområdet eller • Multipelpol(er) på jω -axeln, som utgör en rand till konvergensområdet

Marginellt stabilt LTI-system ⟺ • Enkelpol(er) hos H[z] på enhetscirkeln • Enhetscirkeln = en rand till konvergensområdet

Instabilt LTI-system ⟺ • Enhetscirkeln ligger inte i konvergensområdet eller • Multipelpol(er) på enhetscirkeln, som utgör en rand till konvergensområdet

Bivillkor, H(s): Antal poler ≥ Antal nollställen Antal poler ≥ Antal nollställen hos H[z] är inte nödvändigt för stabilitet − men för kausalitet!



7 TSDT18,84 SigSys

Samma typ av blockdiagram & direktformsrealiseringar som för tidskontinuerliga LTI-system!

Blockdiagram & Systemrealisering

Från info om viktning av kurslitteraturen (se kurswebbsidan, Allmän kursinfo): ” Du behöver inte lära dig de olika realisationsformerna (direktformerna). Du behöver bara kunna utföra någon slags realisering av (del-)system av högst ordning 2. Exempel 4.19 på sid. 403-404 (tidskontinuerligt system) och Exempel 5.8 på sid. 526-528 (tidsdiskret system) är bra exempel på vilka typer av realiseringar du skall kunna hantera (i valfri direktform).”

( ) ( )1t

x d X ss

τ τ−∞

⇔∫

Tidskontinuerligt system

[ ] [ ]11x n X zz

− ⇔

Tidsdiskret system

Läs själv kap. 5.4! Copyright © Lasse Alfredsson, LiU


8 TSDT18,84 SigSys

Frekvenssvar/frekvensfunktion för LTI-system

H es0t{ } = H s0( )es0t

Tidskontinuerligt system Tidsdiskret system

H z0

n{ } = H z0⎡⎣ ⎤⎦z0n

⇒

s= jωH e jω0t{ } = H jω0( )e jω0t ⇒

z=e jΩ

H e jΩ0n{ } = H e jΩ0⎡⎣ ⎤⎦e jΩ0n

x t( ) = C + Acos ω0t +θ( )

x n⎡⎣ ⎤⎦ = C + Acos Ω0n +θ( )

⇒ y t( ) = C ⋅H j0( ) + A H jω0( ) cos ω0t +θ + argH jω0( )( )

⇒ y n⎡⎣ ⎤⎦ = C ⋅H e

j0⎡⎣

⎤⎦ + A H e

jΩ0⎡⎣

⎤⎦ cos Ω0n +θ + argH e

jΩ0⎡⎣

⎤⎦( )

C = e j0t , cosα = Re e jα{ } medför följande samband :



9 TSDT18,84 SigSys

Frekvenssvar/frekvensfunktion för LTI-system Systemets frekvensfunktion:

H ω( ) = H s( )s= jω

= H jω( )( )= H ω( ) e j argH ω( )

Faskarakteristik resp.

Amplitudkarakteristik resp. H ω( )

argH ω( )med

H Ω⎡⎣ ⎤⎦ alt. H jω( ) resp. H e jΩ⎡⎣⎢⎤⎦⎥

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

argH Ω⎡⎣ ⎤⎦, ∠H

alt. argH jω( ) resp. argH ejΩ⎡⎣ ⎤⎦( )

Även det tidsdiskreta LTI-systemet utför en frekvensselektiv filtrering (amplitudskalning och fasförskjutning) av inkommande frekvenssignaler!

H Ω⎡⎣ ⎤⎦ = H z⎡⎣ ⎤⎦ z=e jΩ = H ejΩ⎡

⎣⎤⎦( )

= H Ω⎡⎣ ⎤⎦ ej argH Ω⎡⎣ ⎤⎦



10 TSDT18,84 SigSys

H Ω0⎡⎣ ⎤⎦ = H z⎡⎣ ⎤⎦ z=e jΩ0 =

K ⋅e jΩ0 − n1( ) e jΩ0 − n2( )! e jΩ0 − nM( )e jΩ0 − p1( ) e jΩ0 − p2( )! e jΩ0 − pN( ) = K ⋅

r1ejφ1 ⋅ r2e

jφ2 ⋅!⋅ rMejφM

d1ejθ1 ⋅d2e

jθ2 ⋅!⋅dNejθN

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

|H[ejΩ]| & arg H[ejΩ] från pol-nollställediagram

K r2

φ2

r1 φ1

r3φ3

d3θ3

θ2

d2

Låt Ω0 : 0 ⟶ π

d1θ1

H Ω0⎡⎣ ⎤⎦ ej argH Ω0⎡⎣ ⎤⎦

K ⋅

r1 ⋅ r2 ⋅!⋅ rMd1 ⋅d2 ⋅!⋅dN

argK + φ1 +φ2 +!+φM( )− θ1 +θ2 +!+θN( )

•

Re{

z}

Im{z}

1‒1

‒j

j

Ω0

Exempel:

0je Ω



11 TSDT18,84 SigSys

Tidsdiskreta frekvensselektiva filtertyper Lågpass (LP) Högpass (HP)

Bandspärr (BS) Bandpass (BP)

Ω

|H[Ω]| 1

π Ωp 2π Ω

|H[Ω]| 1

π Ωp 2π

Ω

|H[Ω]| 1

π Ωp1 2π Ωp2 Ω

|H[Ω]| 1

π Ωp1 2π Ωp2

θ1 0.5 θp

( |H[θ]| )

θ1 0.5 θp

( |H[θ]| )

θ1 0.5 θp1 θp2

( |H[θ]| )

θ1 0.5 θp1 θp2

( |H[θ]| )



12 TSDT18,84 SigSys

Exempel ‒ poler & nollställen för LP-filter

Ωp,röd π Ω

1

12

T.ex. butterworthfilter ‒ poler hos H(s) längs en halvcirkel:

[ ]ΩHRe{z}

Im{z}

1‒1

‒j

j

(4)

Poler & nollställen hos H[z]:

jωp

–jωp

⟵ 3 dB-gränsvinkel- frekvensen

Ωp,blå Ωp: normerad 3 dB-gränsvinkelfrekvens θ0.5 θp,blåθp,röd

Ωp



13 TSDT18,84 SigSys

•  Om x[n] är icke-kausal ( x[n

Documents

Utsignalsberäkning m.h.a. z-transformen Utsignalsberäkning ......Kap 5 – z-transformanalys av tidsdiskreta system 4 TSDT18,84 SigSys Utsignalsberäkning m.h.a. z-transformen Repetera