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1Automatique
Correction des systèmes linéaires continus asservis (2)
UV Automatique
ASI 3
Cours 7
2Automatique
Contenu
q Exemples de synthèse de correcteurs dans le domaine fréquentiel
u Correcteur PI et retard de phase
u Correcteur à avance de phase
u Correcteur PID
q Méthodes empiriques de réglage des correcteurs
u Méthode de Ziegler-Nichols
u Méthode de Broïda
q Techniques de correction parallèle et par anticipation
3Automatique
Exemple : synthèse d'un correcteur PI
q Système asservi
q Cahier de charges
q Eléments de réglage
H(s) y yc + - ε
C(s) ( )21)(
TsKsH
+=
?)( =sC
1=T
§ Erreur statique nulle
§ Marge de phase de 60° avec une bande passante [0 ωc0],
Système non corrigé est de classe 0 ⇒ introduction d'un intégrateur en BO ⇒ utilisation d'un correcteur PI
Pour satisfaire mϕ=60°, on joue sur K ⇒ K=4
4Automatique
Exemple : synthèse d'un correcteur PI
q Réponses fréquentielles
Le correcteur PI est placé de façon à ne pas modifier sensiblement le réglage de la marge de phase
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -100
-50
0
50
PI
H BONC
Amplitude (dB)
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2
-180
-120
-60
0
Phase (°)
mϕ=60° PI
HBONC
Réglage de PI
101 0c
iTω
≤
5Automatique
Exemple : synthèse d'un correcteur PI
q Réponse fréquentielle du système corrigé
§ Le correcteur PI a modifié légèrement le réglage de la marge de phase
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -100
-50
0
50
HBOC
HBONC
Amplitude (dB) §Le diagramme de gain de HBOC a une pente de –1 aux basses fréquence ⇒ annulation erreur statique
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -200
-150
-100
-50
0
Phase (°)
HBONC
HBOC
6Automatique
Exemple : synthèse d'un correcteur PI
q Réponse temporelle du système asservi
§ Le correcteur PI a annulé l'erreur statique
0 5 10 15 20 25 30 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Avec correcteur PI
Sans correcteur PI
εp
§ La réponse est lente pour atteindre la valeur de consigne. Pour y remédier, on baisse Ti mais cela modifiera le réglage de la marge de phase
7Automatique
Exemple : correcteur à retard de phase
q Cahier des charges
q Réglage du correcteur à retard de phase
Reprenons l'exemple précédent
§ Erreur statique de 5%
§ Marge de phase de 60° avec une bande passante [0 ωc0],
§ Pour satisfaire mϕ=60°, on joue sur K ⇒ K=4
§ Erreur statique pour K=4 : %201
1 =+
=Kpε
§ FT du correcteur :sbT
sTbsC
c
c
++
=11
)(
2)1)(1(1
TssbTsT
KbHc
cBOC ++
+=⇒
75.4%51
1 =⇒=+
=⇒ bKbpε
8Automatique
Exemple : correcteur à retard de phase (RP)
q Réponses fréquentielles
Le correcteur à RP est placé de façon à ne pas modifier le réglage de la marge de phase
Réglage du RP
10 -2
10 -1
10 0
10 1
10 2 -80
-60
-40
-20
0
20
RP
HBONC
Amplitude (dB)
10 -2
10 -1
10 0
10 1
10 2
-180
-120
-60
0
Phase (°)
mϕ=60° RP
HBONC 10
1 0c
cTω
≤
9Automatique
Exemple : correcteur à retard de phase (RP)
q Réponse fréquentielle du système corrigé
10 -2
10 -1
10 0
10 1
10 2 -80
-60
-40
-20
0
20
40
HBOC
HBONC
Amplitude (dB)
10 -2
10 -1
10 0
10 1
10 2 -200
-150
-100
-50
0
Phase (°)
HBONC
HBOC
§ Légère modification de la marge de phase
§Le diagramme de gain de HBOC a subi, aux basses fréquences, une translation de 20log10bpar rapport à celui de HBONC
10Automatique
Exemple : correcteur à retard de phase (RP)
q Réponse temporelle du système asservi
§ Le correcteur à RP a diminué l'erreur statique
§La réponse est un peu lente pour atteindre la valeur de consigne
0 5 10 15 20 25 30 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Avec correcteur PI
Sans correcteur PI
εp
εpc
11Automatique
Correcteur à avance de phase
)1()(
ssKsH BONC τ+
=TsaTsKsC c +
+=1
1)( )()()( sCsHsH BONCBOC =
10 -2 10 -1 10 0 10 2 10 3 -100
-50
0
50
100
0cω
HBONC
C
Amplitude (dB)
10 -2
10 -1
10 0
10 2
10 3 -200
-150
-100
-50
0
50
0cω
Phase (°)
mϕ
ϕc,max
10 -2
10 -1
10 0
10 1
10 2
10 3 -100
-50
0
50
100
HBOC
Amplitude (dB)
10 -2
10 -1
10 0
10 1
10 2
10 3 -180
-160
-140
-120
-100
-80
mϕ
Phase (°)
12Automatique
Exemple : correcteur PID
q Système asservi
q Cahier de charges
q Analyse du système à asservir
H(s) y yc + - ε
C(s) 22 2)(
nnssKsH
ωξω ++=
300 ,rad/s3 ,2.0 === Knωξ
§ Erreur statique nulle
§ Dépassement de 10%
§ Temps de montée de 0.277s
%532.0 % =⇒= Dξ
Le système à asservir a un comportement très oscillatoire
13Automatique
Exemple : correcteur PID
q Réponse fréquentielle du système à asservir
Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg);
Bode Diagrams
-40 -30 -20 -10
0 10 20 30 40 50
Gm = Inf, Pm=2.303° (at 17.4 rad/sec)
10 -1 10 0 10 1 10 2 -200 -180 -160 -140 -120 -100
-80 -60 -40 -20
0
Mag
nitu
de (
dB)
Marge de gain satisfaisante mais marge de phase très petite
14Automatique
Exemple : correcteur PID
q Eléments de réglage du correcteur
sTsTsT
KsCi
dic '
''' )1)(1(
)(++
=
Formules d'approximation
§ Compte tenu du cahier des charges (erreur statique nulle, dépassement de 10%) et des caractéristiques du système (D=53%), on utilise un PID
§ FT du correcteur
§ Traduction du cahier de charges
rad/s1077.26.0 ,, =⇒=⇒= BFnmBFnBF t ωωξ
6.0 %10% =⇒= BFBFD ξ
⇒
++= sT
sTKsC d
ic
11)(
°=⇒= 60 100 ϕϕ ξ mm BF rad/s10 ,0 == BFnc ωω
15Automatique
Exemple : correcteur PID
q Eléments de réglage du correcteur
sTsTsT
ssKKsHsCsH
i
di
nncBOC '
''
22' )1)(1(
2)()()(
++++
==ωξω
§ FT du système corrigé en BO
2.01)()( '00 =⇒=
cKjHjC cc ωω
s110
1 '0' =⇒≤ i
c
iT
Tω
3)()arctan()arctan(
2 0
'0
'0
πωϕωωππϕ =+++−= cBONCdcic TTm
s19.0 ' =dT
§ Paramètres du correcteur
16Automatique
Exemple : correcteur PID
q Réponses fréquentielle et temporelle du système corrigé
-40
-20
0
20
40
60
80 Gm = Inf, Pm=60.085° (at 10 rad/sec)
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -200
-150
-100
-50
Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg);
Bode Diagrams
Mag
nitu
de (
dB)
0 1 2 3 4 5 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
17Automatique
Méthode de Ziegler-Nichols
q Principe
q Approche 1 : système stable en boucle ouverte
Détermination du réglage d'une correction P, PI, PID associée à un système sans connaissance précise de la FT du système
Si le système admet une réponse indicielle apériodique, on caractérise le système par un modèle simplifié identifié ci-dessous
Tangente au point d’inflexion
Tr α
L
E0
M
sTresasH −=)(
Intégrateur avec retard
)tan(α=a
Tr et a s'obtiennent à partir du tracé de la tangente au point d'inflexion M
18Automatique
Méthode de Ziegler-Nichols
q Approche 2 : système instable en boucle ouverteOn étudie le comportement du système en boucle fermé avec un correcteur proportionnel de gain k.On augmente le gain k jusqu'à l'obtention d'oscillations entretenues : c'est le phénomène de pompage
Processus y E + - ε
k
Tosc
Phénomène de pompageSchéma d'asservissement
Le phénomène de pompage est caractérisé par le gain limite kosc et la période des oscillations Tosc.
19Automatique
Méthode de Ziegler-Nichols
q Réglage des paramètres des correcteursA partir des paramètres identifiés précédemment, Ziegler et Nichols ont proposé des réglages qui assurent un dépassement de 30 à 50%de la réponse indicielle du système en BF
Essai de pompage (kosc,Tosc)
Essai indiciel en BO (a, Tr)
Correcteurs C(s)
cK
sTsT
Ki
ic
+1
++ sT
sTK d
ic
11
PI
PID
P rc aT
K 1=oscc kK 5.0=
rc aT
K 9.0= ri TT 3.3= oscc kK 45.0=
osci TT 83.0=
oscc kK 6.0=
osci TT 5.0=
oscd TT 125.0=
rc aT
K 2.1=
ri TT 2= rd TT 5.0=
20Automatique
Autres méthodes de réglage simplifié
q Réglage type d'un système intégrateur avec retard srTesasH −=)(
PID mixtePID sériePIPCorrecteur
Paramètres
cK
iT
dT
raT8.0
raT8.0
raT85.0
raT9.0
rT5 rT8.4
rT4.0
rT2.5
rT4.0
§ PID série § PID mixte
++ sT
sTK d
ic
11( )( )
sTsTsT
Ki
dic
++ 11
21Automatique
Autres méthodes de réglage simplifié
q Réglage type d'un système 1er ordre avec retards
aesHsTr
τ+=
−
1)(
Si le système admet une réponse indicielle apériodique en BO, onidentifie un modèle du système sous la forme d'un 1er ordre avec retard
Méthode de Broïda
saesH
sTr
τ+=
−
1)(
y∞
E∞
0.28y∞ 0.4y∞
t1 t2
∞
∞=Ey
a
Paramètres du modèle
( )125.5 tt −=τ
21 8.18.2 ttTr −=
22Automatique
Autres méthodes de réglage simplifié
q Réglage type d'un système 1er ordre avec retard
PID mixtePID sériePIPCorrecteur
Paramètres
cK
iT
dT
raTτ8.0
raTτ85.0
+ 4.0
2.11
rTaτ
τ τ
rT4.0 ττ
5.2+r
r
TT
§ PID série § PID mixte
++ sT
sTK d
ic
11( )( )
sTsTsT
Ki
dic
++ 11
saesH
sTr
τ+=
−
1)(
raTτ8.0
rT4.0+τ
23Automatique
Correction série : imbrication des correcteurs
q Intérêts et réglage
H1(s) ys u yc + - ε
d
- +
C1(s)
C2(s)
H2(s)
G1(s)
d
G2(s)
Boucle secondaire
Boucle primaire
Correcteur secondaire
Correcteur primaire
§ Boucles internes rapides réalisant des régulations partielles
§ Variables internes du processus bien asservies
§ Elimination rapide des perturbations internes
§ Réglage de la boucle interne en premier (rapidité, bande passante)
§ Réglage de la boucle externe ensuite
24Automatique
Imbrication des correcteurs : exemples
q Régulation de vitesse d'un moteur à courant continu
q Régulation de position (table traçante, enregistreur, …)
u
ωc + - ε
- +
Régulateur de vitesse
MCC
Dynamo tachymétrique
Régulateur de courant
I ω
Saturation
u θc + -
ε - +
Régulateur de vitesse
MCC
Dynamo tachymétriqu
e
Régulateur de courant
I ω
Saturation
Régulateur de position + -
Potentiomètre
k/s θ
25Automatique
Correction parallèle
q Schéma de l'asservissement
H3(s)
G(s)
H2(s) ys yc + - ε
d
+ + - +
C(s)
H1(s)
)()()()(1
)()()( 3
2
21 sGsH
sHsCsH
sHsH BOC +=
Boucle interne Boucle ouverte corrigée
)()(1)(
2
2
sHsCsH
+
Intérêt § rendre la boucle interne plus rapide et donc le
système corrigé plus rapide
26Automatique
Correction parallèle : exemple
q Correction par retour tachymétrique
y yc + - ε
- +
λ
Kc sTK
m
m+1
ω θ
Génératrice tachymétrique
sµ
Moteur
Principe : réinjecter à l'entrée du moteur une tension fournie par la génératrice et fonction de la vitesse de rotation
Asservissement de position par un moteur à courant continu
Boucle interne :
Boucle ouverte corrigée :
sTK
m
m'
'
1+m
mm
K
KK
λ+=
1'
m
mm
K
TT
λ+=
1'avec et
En jouant sur λ, on augmente la rapidité de la boucle interne
µ)1(
)( '
'
sTsK
KsHm
mcBOC +
=
27Automatique
Correction parallèle : exemple
q Application numériqueLe système sans correction tachymétrique (λ=0) a une marge de phase °= 45ϕm
10 -2 10 -1
10 0 10 1
10 2 -100
-50
0
50 A m plitude (dB)
ω c0 ω c0
10 -2 10 -1
10 0 10 1
10 2 -180
-135
-90
λ=0
Phase (°)
λ=1
λ=5
m ϕ=45°
Pour λ>0 le système corrigé présente une marge de supérieure à 45°.
Si on veut conserver la valeur de 45°, on joue sur Kc.
La bande passante est alors élargie ⇒système plus rapide en BF
28Automatique
Correction par anticipation
q Schéma de l'asservissement
q Expression de la sortie du système asservi
H(s)
G(s)
Ha(s) ys u yc + - ε
y
d
+ +
F(s)
+
Wc(s)
H1(s)
Wd (s)
− −
avec
)()()()(1)()()(
)()()()(1
)()()()()(
21
2
21
221 sDsGsHsHsHsWsF
sYsGsHsH
sHsWsHsHsY d
cc
s +−
++
−=
)()()(2 sHsHsH a=
29Automatique
Correction par anticipation
q Compensation de la perturbation
q Anticipation de la consigne
Si la perturbation est mesurable, elle est totalement éliminée en choisissant le correcteur Wd tel que
⇒=− 0)()()( 2 sHsWsF d )()()(
2 sHsFsWd =
Le but de l'asservissement est que la sortie ys(t) suive la consigne yc(t) c'est-à-dire ys(t) = ys(t) ∀ t . Si d(t)=0 on a :
)()(1)(
2 sGsHsWc −=
⇒= )()( sYsY cs
=−=
1)()()()(0)()()(
221
21
sHsWsHsHsGsHsH
c
)()()()(1)()()(
)()()()(1
)()()()()(
21
2
21
221 sDsGsHsHsHsWsF
sYsGsHsH
sHsWsHsHsY d
cc
s +−
++
−=
30Automatique
Correction par anticipationq Remarques
u Les correcteurs Wd et Wc ne sont pas en général réalisables physiquement (contrainte de causalité non satisfaite). On réalise alors une approximation en ajoutant des pôles
u Une correction par anticipation réalisable physiquement n'affecte pas la stabilité du système
u Le modèle du système doit être précis pour une bonne correction par anticipation
u En général, la perturbation n'est pas mesurable d'où la difficulté de la compenser
