Uvod u logiku

BibliotekaPrirodno - matematickih nauka

Prof. dr Zana Kovijanic VukicevicProf. dr Slobodan Vujosevic

UVOD U LOGIKUDrugo izdanje

Glavni urednikProf. dr Ilija Vujosevic

RecenzentiProf. dr Predrag ObradovicProf. dr Milojica Jacimovic

Likovni urednikMarina Vesovic

IzdavacUniverzitet Crne GoreCetinjska 2, Podgorica

www.ucg.ac.me

Tiraz300

StampaPobjeda - Podgorica

Podgorica 2009

Zabranjeno prestampavanje i fotokopiranje u cjelini ili u djelovima.Sva prava zadrzava izdavac i autori

Zana Kovijanic Vukicevic

Slobodan Vujosevic

UVOD U LOGIKU

Podgorica2009

Kosti

Sadrzaj

Uvod

Nauka o dedukcijama 9

Logika kao oblast matematike 10

Iskazna logika

Jezik iskazne logike 12

Iskazna formula 13

Indukcija po slozenosti 14

Citanje iskazne formule 14

Semantika iskazne logike 16

Valuacija iskazne formula 16

Tablica iskazne formule 18

Logicki zakon 20

Supstitucija ekvivalentnihformula 21

Logicka svojstva implikacije 22

Logicka svojstva konjunkcije 23

Logicka svojstva disjunkcije 23

Logicka svojstva negacije 24

Normalna forma 25

Logicke posljedice 25

Sintaksa iskazne logike 26

Aksiome iskazne logike 27

Modus ponens 29

Dokaz u iskaznoj logici 31

Izvedena pravila 31

Sintaksa i semantika 32

Teoreme iskazne logike 33

Posljedice aksioma implikacije 34

Teorema dedukcije 35

Pravila supstitucije i sjecenja 37

Posljedice aksiomakonjunkcije 38

Posljedice aksioma disjunkcije 39

Posljedice aksioma negacije 40

Zakon iskljucenja treceg 41

Sintaksna svojstvaekvivalencije 43

De Morganovi zakoni 43

Intuicionisticka logika 45

Teorema potpunosti 47

Opsta teorema potpunosti 50

Kompletni skupovi formula 51

Dokaz opste teoremepotpunosti 52

Posljedice teoreme potpunosti 53

Bernajsov dokaz teoremepotpunosti 55

Predikatska logika

Matematicke srukture 57

Relacije, operacije iistaknuti elementi 58

8

Matematicke formule 59

Jezik predikatske logike 61

Interpretacija jezika 63

Termi i formule 65

Parametri formule 66

Jezik matematickih struktura 68

Semantika predikatske logike 69

Logicki zakoni 71

Korektne supstitucije 72

Svojstva kvantifikatora 74

Ekvivalencija 75

Kvantifikatori i negacija 76

Kvantifikatori i konjunkcija 78

Kvantifikatori i disjunkcija 78

Kvantifikatori i implikacija 79

Preneksni oblik formule 80

Skolemove funkcije 81

Elementarna ekvivalencija 84

Uredenje racionalnih brojeva 86

Teoreije u predikatskoj logici 87

Teorija grupa 89

Teorija linearnog uredenja 90

Parcijalno uredenje 92

Teorija polja 93

Teorija realno zatvorenih polja 95

Teorija uredenih polja 95

Teorija brojeva 97

Sintaksa predikatske logike 100

Pravilo generalizacije 102

Lema o novim konstantama 104

Teorema dedukcije 106

Sintaksa i teorema o preneksnomobliku 107

Teorema korektnosti 109

Teorema potpunosti 111

Egzistencijalno zatvoreniskupovi 112

Kanonski model 113

Posledice teoreme potpunosti 115

Nestandardni prirodnibrojevi 117

Erbranova teorema 118

Napomene 121

Registar 123

9

Uvod

Nauka o dedukcijama

Logika se tradicionalno shvata kao nauka o pravilima korektnog zakljuci-vanja. U zakljucivanju sa jednog skupa recenica prelazimo na novu recenicu.Recenice od kojih polazimo su pretpostavke, a rezultat je zakljucak. Takavprelaz je logicki ispravan ako zadovoljava uslov salva veritate: polazeci odistinitih pretpostavki prelazimo na istinit zakljucak. Prelaz sa pretpostavkina zakljucak vrsi se po odredenim pravilima i primarni zadatak logike jesteda utvrdi i istrazi ta pravila. Zakljucivanje u kome koristimo samo pravilakoja zadovoljavaju uslov salva veritate je dedukcija.

Za logiku su posebno vazna pravila zakljucivanja u kojima se u pret-postavkama i zakljucku javljaju logicki veznici. Uobicajeni logicki veznicisu iskazni veznici: i, ili, ako i nije, njihova svojstva izucavaju se u iskaznojlogici, kao i predikatski veznici: za svako, postoji i jednakost, koji se zajednosa iskaznim veznicima izucavaju u predikatskoj logici. Osim logickih veznika,u pretpostavkama i zakljucku javljaju se i neke druge rijeci, ali je korektnostzakljucivanja zasnovana samo na smislu logickih veznika. Znacenje drugihrijeci ne utice na korektnost dedukcije. Te druge rijeci shvatamo kao prom-jenljive, pa je dedukcija prelazak sa jednog broja formi na novu formu. Iztog razloga, kao sinonim za logiku, koristi se termin formalna logika.

Na primjer, jedna tipicna logicka dedukcija je sljedeca: ako pretposta-vimo A i B, mozemo da zakljucimo B i A. U ovom zakljucivanju napravilismo prelaz sa forme A i B na formu B i A. Korektnost dedukcije ne zavisiod smisla rijeci A i B, vec samo od toga kako shvatamo logicki veznik i. Izovakvih razloga, logika se definise kao nauka o formalnim dedukcijama.

U svakodnevnom zivotu i nauci ne koristimo samo dedukcije. Najvaznijezakljucivanje koje ne zadovoljava uslov salva veritate naziva se induktiv-no zakljucivanje. Logika proucava i takva zakljucivanja, ali je taj njen dioprakticno nevidljiv u odnosu na glavni tok, pa su dedukcija i zakljucivanjesinonimi. Da bi smo otklonili eventualnu zabunu, naglasavamo da matema-ticka indukcija zadovoljava uslov salva veritate, tj. matematicka indukcijajeste dedukcija.

10

Logika kao oblast matematike

Od Aristotelovog doba, kao teorija dedukcije, logika je izucavana u okvirufilozofije. Njegovo ucenje, izlozeno u kolekciji spisa pod nazivom Organon,dominiralo je u logici sve do devetnaestog vijeka. Tada je sa radovima Dzor-dza Bula i posebno Gotloba Fregea uspostavljena tradicija savremene logikekao oblasti matematike. Svakako, logika i danas ima bliske veze sa filozofijomali je ipak grana matematike, a ne filozofije.

Kao njena oblast, logika pripada osnovama matematike. Iz vise razloga.Prije svega, postoji shvatanje da se matematika moze svesti na logiku, ilinesto blaze, da se matematika moze zasnovati i razvijati kao striktno for-malna teorija. Ovaj program potice jos od Gotfrida Vilhema Lajbnica, alisu kljucni napori na njegovoj realizaciji napravljeni krajem devetnaestogvijeka, kada je Gotlob Frege fomulisao predikatsku logiku i pocetkom dvade-setog vijeka, kada je David Hilbert postavio jednu grupu problema iz osnovamatematike. Njihovo otkrice, da se svako korektno matematicko tvrdenjemoze formalno izraziti i svaki dokaz tog tvrdenja prevesti u formalan dokaz(teorije u cijem jeziku je to tvrdenje zapisano), ostavilo je dubok trag umatematici. Medutim, Gedelove teoreme iz tridesetih godina dvadesetog vi-jeka pokazale su da je formalizacija matematike nuzno nepotpuna: u svakojformalizaciji matematike, postoje istinita tvrdenja koja mozemo formalizo-vati ali ne i formalno dokazati.

Za matematiku je formalizacija principijelno vazna zato sto postoje tvr-denja koja sticajem okolnosti nismo u stanju niti da dokazemo, niti daopovrgnemo. U tom slucaju, jedino sto nam preostaje jeste da dokaze-mo da ni takvo tvrdenje, ni njegova negacija nisu dokazivi, tj. da pokazemoda skup svih dokaza odgovarajuce teorije ne sadrzi njihove dokaze. Tadaje formalizacija nezaobilazna, bar kada su u pitanju osnovne matematicketeorije poput aritmetike i teorije skupova.

Logicki sistem u kome se mogu formulisati i dokazivati matematickatvrdenja jeste predikatska logika prvog reda. U okviru nasih razmatranjaizlozicemo njen jezik i sintaksu i podrobno objasniti matematicki smisao, tj.semantiku tog jezika.

Dobra osnova za razumevanje ovde izlozenih ideja, kao i njihova vrlo sa-drzajna dopuna je knjiga Koste Dosena ”Osnovna logika.” Ona je dostupnana adresi kosta@turing.mi.sanu.ac.rs. Autori su zahvalni Kosti Dosenu nakorisnim primedbama.

11

Iskazna logika

Recenica je iskaz ako mozemo sa smislom postaviti pitanje njene istini-tosti. Ako takva recenica moze biti samo istinita ili neistinita, govorimo odvovalentnoj logici. Ako istinitosnih vrijednosti ima vise od dvije, logika jevisevalentna. Osim u jednom slucaju, sto ce biti posebno naglaseno, bavimose isljucivo dvovalentnom logikom, buduci da je sa stanovista matematikeznacaj visevalentnih logika marginalan.

Na primjer, recenica ”zbir dva parna broja je paran broj” je istinit iskaz,a recenica ”broj 727 je deljiv sa tri” je neistinit iskaz, jer zbir njegovih ci-fara nije deljiv sa tri. Takode, recenica ”postoji broj x koji zadovoljavarelaciju x2 + 1 = 0” je iskaz, buduci da je ona ili istinita ili neistinita, uzavisnosti od konteksta u kojem razumijevamo njeno znacenje: ako je tokontekst racionalnih brojeva ona je neistinita, a ako je to kontekst komplek-snih brojeva - istinita. Sa stanovista iskazne logike, irelevantan je smisaopojedinacnog iskaza, interesantna je samo cinjenica da on moze biti ili istinitili neistinit, i da to zavisi samo od njegove logicke strukture.

Strukturu iskaza odreduju iskazni veznici i, ili, ako i nije: ako su A iB proizvoljni izkazi, onda su redom A iB, A iliB, akoA ondaB i nijeAtakode iskazi, sada nesto slozeniji, cija istinitost zavisi od iskaza od kojih susastavljeni.

Iskaz A iB je konjunkcija iskaza A i iskaza B.

Iskaz A iliB je disjunkcija iskaza A i iskaza B.

Iskaz akoA onda B je implikacija iskaza A i iskaza B.

Iskaz nije A je negacija iskaza A.

U logici je danas uobicajeno da konjunkciju iskaza A i B oznacavamosimbolom A∧B, disjunkciju simbolom A∨B, implikaciju simbolom A→ B,a negaciju simbolom ¬A.

12

Iskazi ”271 je prost broj” ili ”361 je potpun kvadrat” ne sadrze logickeveznike i u tom smislu su elementarni. Svaki matematicki iskaz je ili ele-mentaran ili je slozen od elementarnih iskaza pomocu logickih veznika.

Jezik iskazne logike

Iz svega do sada recenog slijedi da jezik u kome bi se mogla izraziti logickastruktura matematickih iskaza treba da sadrzi simbole za elementarne iskazei simbole za logicke veznike, ali to nije sve.

Na primjer, od iskaza A i B mozemo formirati iskaz A → B. Sada, odiskaza A→ B i iskaza A, pomocu implikacije, mozemo formirati novi iskaz.Medutim, ne bi bilo dobro da tako dobijeni iskaz zapisemo sa A→ B → A,buduci da takav zapis moze nastati i kao implikacija iskaza A i B → A, ato nisu isti iskazi. Naime, iskazi (A→ B)→ A i A→ (B → A) nemaju istilogicki smisao. Prvi je lazan ako je A lazan iskaz, a drugi je uvijek istinit, bezobzira na istinitost iskaza A i B. Da bi smo obezbijedili jedinstvenost citanjai razumijevanja svakog zapisa o iskazima, neophodno je da jezik sadrzi dvijemale zagrade - desnu ) i lijevu ( zagradu.

Jezik iskazne logike je skup simbola

L = {s0, s1, s2, . . . } ∪ {∧,∨,→,¬} ∪ {( , )}.

Simboli skupa {s0, s1, s2 . . . }, koga oznacavamo sa P , su iskazni simboliili elementarni iskazi, simboli skupa {∧,∨,→,¬} su simboli iskaznih veznika,a desna i lijeva zagrada su interpunkcijski simboli.

Simboli skupa {∧,∨,→,¬}∪ {( , )} su logicki simboli jezika L, a simboliskupa P su nelogicki simboli. To stoga sto sve iskazne logike imaju istelogicke simbole, dok im nelogicki dio moze biti razlicit.

Na primjer, pretpostavili smo da je skup P iskaznih simbola prebrojivbeskonacan skup, tj. da ima jednak broj elemenata kao i skup prirodnih bro-jeva N = {0, 1, 2, . . . }. Medutim, u logici se razmatraju i jezici u kojimato nije slucaj. Kasnije cemo vidjeti da nase ogranicenje na prebrojive jezikeipak nije sustinsko, utoliko sto se sva svojstva prebrojivog iskaznog racu-na mogu uopstiti na neprebrojive iskazne racune, tj. na racune ciji je skupelementarnih iskaza po kardinalnosti veci od skupa prirodnih brojeva.

13

Iskazne formule

Jezik iskazne logike je mnogo jednostavniji i pravilniji od prirodnog je-zika, ali je u osnovi napravljen na istim principima. Kao sto u prirodnomjeziku, polazeci od njegovih simbola i po odredenim gramatickim pravilima,formiramo smislene rijeci ili recenice, tako od simbola jezika iskazne logike,po strogim pravilima, konstruisemo smislene rijeci, tj. smislene konacnenizove simbola. Definisemo ih induktivno i nazivamo iskaznim formulama:

(1) Elementarni iskazi su iskazne formule,

(2) Ako su A i B iskazne formule, onda su (A ∧B),(A ∨B), (A→ B) i ¬A iskazne formule.

Skup svih iskaznih formula oznacavamo sa F . Smisao prvog uslova jesteda P ⊆ F . Polazeci od elementarnih iskaza, primjenom drugog uslova, korakpo korak pravimo nove formule. Neka je F0 = P i za svako n ≥ 0

Fn+1 = {(A ∧B), (A ∨B), (A→ B),¬A : A,B ∈ F0 ∪ F1 ∪ · · · ∪ Fn}.

Polazeci od nivoa F0, koji se sastoji od elementarnih iskaza, na nivouF1, pravimo formule koristeci jedan od iskaznih veznika i formule nivoa F0,Na nivou Fn+1 pravimo formule koristeci jedan od veznika i formule sa pret-hodnih nivoa F0, . . . Fn, za svaki prirodan broj n ≥ 0. Tako dobijamo sveiskazne formule, tj. F =

⋃n∈N Fn.

Ovakva konstrukcija skupa iskaznih formula omogucava nam da u dokazusvojstava iskaznih formula koristimo matematicku indukciju. Nivo Fn, na ko-me se data formula prvi put javlja, meri slozenost formule, pa indukciju ponivoima Fn, n ≥ 0, nazivamo indukcijom po slozenosti formule.

Zadatak 1. Svakoj iskaznoj formuli odgovara jedno konacno drvo. Drvose grana u cvoru, u kome se nalazi jedna formula. Ako je ona oblika ¬A, iznjega raste jedna grana A, ako ima oblik (A ∧ B), (A ∨ B) ili (A → B), izcvora rastu dve grane A i B, a ako je u cvoru iskazno slovo, iz njega ne rastenista. U cvoru na dnu drveta je polazna formula, a listovi su elementarniiskazi. Odrediti drvo formule ((s1 → ¬s0) ∧ ((s0 ∧ ¬s1) ∨ ¬s0))).

Indukcija po slozenosti formule

Ako formule nultog nivoa imaju svojsto S i ako na osnovu pretpostavkeda formule nivoa n imaju svojsto S dokazemo da svojstvo S imaju i formulenivoa n+ 1, onda sve iskazne formule imaju svojsto S.

14

Lema 1. Svaka formula ima jednak broj lijevih i desnih zagrada.Dokaz. Tvrdenje dokazujemo matematickom indukcijom. Formula nul-

tog nivoa je elementarni iskaz i uopste nema zagrade, pa ima jednak brojlijevih i desnih zagrada. Ako sve formule nivoa n imaju jednak broj lijevihi desnih zagrada i ako je A formula nivoa n+ 1, onda postoje formule Bi C nivoa n, takve da formula A ima jedan od oblika (B ∧ C), (B ∨ C),(B → C) ili ¬B. Po induktivnoj pretpostavci, svaka od formula B i C imajednak broj lijevih i desnih zagrada, pa i formula A ima jednak broj lijevihi desnih zagrada. Dakle, svaka iskazna formula ima jednak broj lijevih idesnih zagrada. C

Zapravo, nivoi mjere slozenost formule, pa se u logici ustalilo da se nave-deni oblik matematicke indukcije naziva indukcija po slozenosti formule iprimjenjuje se u sljedecoj formi:

Ako elementarne formule imaju svojstvo S i ako iz pretpostavke da for-mule A i B imaju svojstvo S slijedi da svojstvo S imaju formule (A ∧ B),(A ∨B), (A→ B) i ¬A, onda sve iskazne formule imaju svojstvo S.

Dakle, ako zelimo da dokazemo da sve formule imaju svojstovo S, do-voljno je dokazati dvije stvari - bazu indukcije i induktivni korak.

Baza indukcije: Sve elementarne formule imaju svojstvo S.Induktivni korak: Iz pretpostavke da formule A i B imaju svojsto S (in-

duktivna pretpostavka) slijedi da svojstvo S imaju formule (A∧B), (A∨B),(A→ B) i ¬A.

Vecina logickih pojmova definise se induktivno, pa je indukcija poslozenosti glavni metod za dokazivanje svojstava logickih pojmova. Poputiskaznih formula, induktivno su definisani pojam dokaza, pojam terma, po-jam predikatske formule itd. pa je u nasim dokazima prirodno javlja in-dukcija po slozenosti dokaza, po slozenosti terma, po slozenosti predikatskeformule.

Citanje iskazne formule

Formula je konacan niz simbola jezika L, tj. formula je rijec jezka L.Ako rijeci X dopisemo rijec Y , dobija se rijec XY . Kazemo da je rijec X jepocetni, a rijec Y zavrsni dio rijeci XY .

Lema 1. Razlika broja lijevih i desnih zagrada je pozitivna na svakompocetnom dijelu formule, ako pocetni dio nije prazan, jednak citavoj formuliili jednom znaku negacije.

15

Dokaz. Posto se odnosi na sve iskazne formule i ovo tvrdenje dokazu-jemo indukcijom po slozenosti formule.

Za svaku rijec X, nekaje nX razlika broja lijevih i desnih zagrada u rijeciX i neka je A iskazna formula jezika L.

Baza indukcije: Ako je A elementarna formula, ona sadrzi samo jedansimbol, pa je svaki pocetni dio formule A prazan ili jednak citavoj formuli,pa tvrdenje vazi.

Induktivni korak: Ako formula A ima oblik ¬B, svaki pocetni dio Y for-mule A koji zadovoljava uslove teoreme je oblika Y = ¬X, gde je X pocetnidio formule B. Ocigledno, nY = nX . Po induktivnoj pretpostavci, nX > 0,pa je nY > 0.

Ako formula A ima oblik (B → C), svaki pocetni dio Y formule A imaoblik Y = (X, gde je X pocetni dio formule B, ili oblik Y = (B → Z, gdeje Z pocetni dio formule C. Po induktivnoj pretpostavci, nX ≥ 0, pa jenY = 1 + nX > 0. U drugom slucaju, po induktivnoj pretpostavci nZ ≥ 0,pa je nY = 1 + nB + nZ . Kako formula B ima jednak broj lijevih i desnihzagrada, nB = 0, imamo da je nY = 1 + nZ > 0.

Na isti nacin postupamo kada formula A ima oblik (B ∧ C) ili (B ∨ C),pa dakle, tvrdenje vazi za svaku formulu A. C

Teorema o citanju formule: Ako je razlicita od iskazne promjenlji-ve, iskazna formula moze biti predstavljena na tacno jedan od cetiri nacina(A ∧ B), (A ∨ B), (A → B) ili ¬A, gde su A i B jedinstveno odredeneformule.

Dokaz. Ako formula pocinje negacijom, mogla je nastati jedino po tre-cem pravilu, tj. ima oblik ¬A. Ako formula pocinje zagradom, uklonimotu zagradu i trazimo najmanji neprazan pocetni dio A formule u kome jerazlika desnih i lijevih zagrada jednaka nuli. Taj pocetni dio jedinstveno jeodreden i predstavlja prvi dio formule. Prvi simbol poslije pocetnog dijelaA je jedan od veznika ∧, ∨ ili →, njega obrisemo i obrisemo zadnju desnuzagradu. Preostali dio je formula B. Tako se formula cita jednoznacno. C

Treba primijetiti da formula moze biti veoma dugacka, pa je izlozenialgoritam daleko od optimalnog.

Zadatak: Napraviti algoritam koji provjerava da li je data rijec jezikaL iskazna formula.

16

Semantika iskazne logike

Jezik iskazne logike definisali smo tako da se u njemu mogu izrazavatilogicka svojstva matematickih iskaza. Madutim, sam po sebi, jezik iskaznelogike je cisto sintaksni objekt, pa se u razlicitim kontekstima njegove for-mule mogu razlicito tumaciti. Sada cemo precizirati kako tumacimo iskazneformule, tj. preciziracemo njihovu semantiku.

Kako smo vec napomenuli, iskaz je recenica koja moze biti ili istinita ilineistinita, pa ako interpretacija iskazne formule treba da odgovara iskazu, lo-gicki veznici ∧,∨,→ i ¬ treba da imaju onaj isti smisao kakav u prirodnomjeziku imaju redom rijeci i, ili, ako i nije. Te rijeci u prirodnom jezikumatematike shvatamo na sljedeci nacin:

Iskaz A iB je istinit ⇔ iskaz A i iskaz B su istiniti.

Iskaz A ili B je istinit ⇔ bar jedan od iskaza A i B je istinit.

Iskaz akoA ondaB je lazan ⇔ A je istinit, a B lazan iskaz.

Iskaz nije A je istinit ⇔ iskaz A je lazan.

Napominjemo da se ova definicija logickih veznika pre svega odnosi namatematicke iskaze. U njenoj osnovi je nase matematicko iskustvo u rasu-divanju o logickim veznicima, tj. u njoj smo logicke veznike definisali onakokako se oni shvataju u matematici. U nekom drugom, nematematickom kon-tekstu, takva definicija ne bi obavezno odgovarala nasem razumijevanju lo-gickih veznika. Na primjer, iz definicije konjunkcije slijedi da je iskaz A∧Bistinit ako i samo ako iskaz B ∧ A je istinit, tj. u matematici ta dva iskazaimaju isto znacenje. Kazemo da je u matematici konjunkcija komutativna.U prirodnom jeziku to nije uvijek slucaj. Na primjer, iskazi ”udala se idobila dijete” i ”dobila dijete i udala se” u prirodnom jeziku nemaju istoznacenje. Jos gore, konjunkcija ”vidio Rim i umro” ima puni smisao, dok jenjena komutacija ”umro i vidio Rim” sasvim besmislena.

Valuacija iskaznih formula

Kako smo iskazne formule definisali polazeci od elementarnih iskaza, is-tinitost formule zavisice od istinitosti elementarnih iskaza od kojih je naprav-ljena. Uobicajeno je da se utvrdivanje vrijednosti istinitosti formule nazivavaluacijom. Valuacija dakle preslikava skup formula F u skup 2 = {0, 1}.Kako smo napomenuli ona je odredena valuacijom elementarnih iskaza:

17

Preslikavanje v : P → 2 je valuacija elementanih iskaza jezika L. Pritom,ako v(p) = 1, elementarni iskaz p je istinit, a ako v(p) = 0, elementarni iskazp je neistinit, za valuaciju v. Skup svih valuacija oznacavamo sa 2P .

Kada je zadata valuacija v ∈ 2P , zadata je istinitost samo elementarnihiskaza, pa sada treba preslikavanje v skupa P ⊆ F prosiriti na cio skupformula F , tj. treba definisati preslikavanje v : F → 2, tako da v(p) = v(p),za svako p ∈ P . Pritom, ako v(A) = 1, formula A je istinita, a ako v(A) = 0,formula A je neistinita, za valuaciju v.

Takode, istinitost iskazne formule treba da bude saglasna sa matema-tickim iskaznim veznicima tako da: logickom simbolu ∧ odgovara vezniki, logickom simbolu ∨ odgovara veznik ili, logickom simbolu → odgovaraveznik ako ... onda i logickom simbolu ¬ odgovara veznik nije.

To znaci da prosirenje v : F → 2 valuacije v ∈ 2P mora da zadovoljavasledece uslove: za sve A,B ∈ F ,

(1) v(A ∧B) = 1 ⇔ v(A) = 1 i v(B) = 1,

(2) v(A ∨B) = 1 ⇔ v(A) = 1 ili v(B) = 1,

(3) v(A→ B) = 0 ⇔ v(A) = 1 i v(B) = 0,

(4) v(¬A) = 1 ⇔ v(A) = 0.

Pritom, umjesto v((A ∧ B)), pisali smo v(A ∧ B) itd. Valuaciju v ∈ 2P

i njeno prosirenje v : F → 2 u daljem tekstu oznaacemo istim slovom v. Toima opravdanje jer vazi sledeca teorema:

Teorema o jedinstvenosti prosirenja valuacije: Svaka valuacijaelementarnih iskaza ima jedinstveno prosirenje na sve iskazne formule.

Dokaz. Zapravo, treba dokazati da za proizvoljna preslikavanja v1 iv2 skupa F iskaznih formula u skup 2 istinitosnih vrijednosti, koja zado-voljavaju uslove (1) - (4), ako v1(p) = v2(p), za svako p ∈ P , ondav1(A) = v2(A), za svaku iskaznu formulu A.

Tvrdenje dokazujemo indukcijom po slozenosti formule A.

Baza indukcije: Ako A ∈ P , onda po uslovu teoreme v1(A) = v2(A).

Induktivni korak: Ako formula A ima oblik (B∧C) i ako v1(A) = 1, ondapo uslovu (1) imamo v1(B) = 1 i v1(C) = 1, tj. po induktivnoj pretpostavci,v2(B) = 1 i v2(C) = 1, pa v2(A) = 1. Slicno postupamo, koristeci preostaleuslove, kada formula A ima oblik (B ∨ C), (B → C) ili oblik ¬A. C

Primjer 1. Ako je v ∈ 2P valuacija

(s0 s1 s2 s3 s4 s5 · · ·0 1 1 1 0 1 · · ·

),

odrediti vrijednost iskazne formule A = ((s0 → s3) → ((s0 ∨ s3) → s0)) zavaluaciju v.

18

Kako je v(s0) = 0, prema uslovu (3), v(s0 → s3) = 1. Prema uslovu(2), v(s0 ∨ s3) = 1, pa je v((s0 ∨ s3)→ s0) = 0. Otuda se prema uslovu (3)dobija da je v(A) = 0. C

Valuacija je beskonacan niz vrijednosti svih iskaznih simbola, ali samokonacan broj tih vrijednosti utice na vrijednost iskazne formule. U prethod-nom primjeru, vrijednost formule A zavisi samo od vrijednosti elementarnihiskaza s0 i s3 za valuaciju v, buduci da se samo oni stvarno javljaju u A,dok vrijednosti v(sn), n 6= 0 i n 6= 3, nijesu uticale na vrijednost formule A.

Iako vrijednost formule zavisi samo od konacnog broje vrijednosti iskaz-nih simbola koji se u njoj zaista javljaju, valuaciju smo ipak definisali kaobeskonacan niz. Nas nece interesovati samo vrijednost jedne, vec i citavogskupa formula za datu valuaciju, a skup moze biti i beskonacan.

Tablica iskazne formule

Definicije istinitosti logickih veznika mogu se pregledno predstaviti tabli-cama:

v(A) v(B) v(A ∧B) v(A ∨B) v(A→ B) v(¬A)

0 0 0 0 1 10 1 0 1 1 11 0 0 1 0 01 1 1 1 1 0

za svaku valuaciju v ∈ 2P i proizvoljne iskazne formule A i B. Tablice lo-gickih veznika su veoma stare. Zna se da je Filon iz Megare, anticki logicariz treceg vijeka prije nove ere, upotrebljavao tablicu implikacije.

Ako je A iskazna formula, sa A(p1, . . . , pn), n ≥ 1, oznacavamo da su svielementarni iskazi koji se javljaju u formuli A, neki od iskaza p1, . . . , pn (neobavezno svi). Ako v(p1) = w(p1), . . . v(pn) = w(pn), onda v(A) = w(A), zaproizvoljne valuacije v, w ∈ 2P

Neka su A(p1, . . . , pn) i A1, . . . , An formule. Formula koja se iz formuleA dobija zamenom svih javljanja promenljivih p1, . . . , pn redom formulamaA1, . . . , An, je supstituciona instanca formule A

Neka je v ∈ 2P valuacija i A iskazna formula. Ako je v(A) = 1 kazemoda valuacija v zadovoljava formulu A ili da formula A vazi za valuaciju v itu cinjenicu oznacavamo sa v |= A. Dakle v |= A ako i samo ako v(A) = 1.

19

Primjer 1. Ako je A(s0, s3) = ((s0 → s3)→ ((s0∨s3)→ s0))), odreditivaluaciju v koja zadovoljava formulu A.

Kako se u formuli A javljaju samo iskazni simboli s0 i s3, vrijednostformule A zavisi samo od mogucih parova (v(s0), v(s3)), za svaku valuacijuv ∈ 2P . Takvih mogucnosti ima cetiri:

v(s0) v(s3) v(A)

0 0 10 1 01 0 11 1 1

Dakle, svaka valuacija v ∈ 2P , za koju je v(s0) = 0 i v(s3) = 1, ne zadovol-java, dok sve ostale valuacije zadovoljavaju formulu A. C

Svakoj formuli A(p1, . . . , pn), n ≥ 1, odgovara tablica njenih vrijednos-ti, za moguce kombinacije (v(p1), . . . , v(pn)) vrijednosti elementarnih iskazakoje se mogu dobiti za razlicite valuacije v ∈ 2P . Tih kombinacija ima kolikoi nizova nula i jedinica duzine n, tj. ima ih 2n, za svako n ≥ 1.

Primjer 2. Odrediti tablicu formule A(p, q, r) = ¬(p → (¬q → r)), zaproizvoljne iskazne simbole p, q, r ∈ P . Odrediti formulu B(p, q, r), razlicituod A, sa istom tablicom kao i formula A.

Tablica formule A je sledeca

v(p) v(q) v(r) v(A)

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 0

Uocimo sve valuacije za koje je v(A) = 1. Iz tablice citamo da su tovaluacije v ∈ 2P , za koje je redom v(p) = 1, v(q) = 0 i v(r) = 0, ili valu-acije w ∈ 2P , za koje je redom w(p) = 1, w(q) = 1 i w(r) = 0. Formirajmokonjunkcije ((p ∧ ¬q) ∧ ¬r) i ((p ∧ q) ∧ ¬r) i napravimo njihovu disjunkciju

B = (((p ∧ ¬q) ∧ ¬r) ∨ ((p ∧ q) ∧ ¬r)).

Lako je provjeriti da za svaku valuaciju v ∈ 2P , v(A) = v(B). C

20

Logicki zakoni

Ako v(A) = v(B), za svaku valuaciju v ∈ 2P , iskazne formule A i B sulogicki ekvivalentne.

Zadatak 1. Formule ((p∧ q)∧ r) i (p∧ (q ∧ r)) su logicki ekvivalentne,za sve p, q, r ∈ P .

Takode, formule ((p ∨ q) ∨ r) i (p ∨ (q ∨ r))) su logicki ekvivalentne, zaproizvoljne p, q, r ∈ P .

Formula koja je istinita za svaku valuaciju iskaznih promjenljivih je tau-tologija. Saglasno nasoj notaciji, formula A je tautologija ako v |= A, zasvaku valuaciju v ∈ 2P . Buduci da je istinita za svaku valuaciju, u oznacitautologije valuacija se ne mora spominjati, pa cinjenicu da je formula Atautologija oznacavamo sa |= A.

Termin tautologija je prvobitno oznacavao formulu (A → A), zato stogrcka rijec tautologija doslovno znaci ista rijec ili ista ideja. U tom smisluon se i danas upotrebljava u retorici i ima pomalo pezorativno znacenje;”prazna tautologija”. U smislu logickog zakona prvi ga je upotrebio filozofLudvig Vitgenstajn u delu Tractatus Logico-Philosophicus objavljenom 1921.godine, a potom je vrlo brzo u tom znacenju preuzet i u matematici.

Nekada, pogotovo u logici, za formulu koja je istinita za svaku valu-aciju, bio je u upotrebi mnogo prirodniji termin logicki zakon. Zanimljivoje da se danas zakon (A → A) nikada ne naziva tautologijom, dok se svedruge tautologije pojedinacno nazivaju zakonima (zakon komutacije, zakondistribucije, De Morganov zakon, Persov zakon). Buduci da logicki zakoninijesu samo puko ponavljanje istog, vec nose vrlo mnogo informacija o oso-binama logickih veznika, u nasim razmatranjima ravnopravno koristimo obatermina.

Osim u iskaznoj, logicki zakoni se javljaju i u predikatskoj logici. Iz ne-kog razloga tamo se vise ne koristi termin tautologija za formulu istinituza svaku valuaciju i u svakoj interpretaciji, vec se odomacio razlicit terminvaljana formula. Posto se u oba slucaja radi o logickim zakonima, poredvaljane formule i u predikatskoj logici koristicemo termin logicki zakon.

Zadatak 2. Dokazati da su formule A i B logicki ekvivalentne ako isamo ako formula ((A→ B) ∧ (B → A)) je tautologija.

Time je definisan novi binarni logicki veznik ↔, koji se naziva ekviva-lencija. Zapis (A↔ B) zamjenjuje iskaznu formulu ((A→ B) ∧ (B → A)).

21

Supstitucija ekvivalentnih formula

Iskazna formula B je potformula formule A, ako se kao formula bar jed-nom javlja u formuli A. Svakako, potformula moze imati vise javljanja uistoj formuli.

Na primjer, u formuli B → (C → B), formula B ima bar dva javljanja.Ako formula B nije potformula formule C, onda B ima tacno dva javljanjau datoj formuli.

Lema o supstituciji ekvivalentnih formula: Ako su A,B i C is-kazne formule i ako sa A(B/C) oznacimo formulu koja se dobija kada se uformuli A neka javljanja formule B zamijene formulom C, onda

|= (B ↔ C)→ (A↔ A(B/C)).

Dokaz. Za date formule B i C, teoremu dokazujemo indukcijom po slo-zenosti formule A. Primetimo da oznaka A(B/C) podrazumeva i mogucnostda nijedno javljanje formule B u formuli A nismo zamenili sa C. U tomslucaju je A(B/C) = A

Baza indukcije: U ovom dokazu, bazu indukcije cine formule cija je slo-zenost manja ili jednaka od slozenosti formule B. Ako formula A ima manjuslozenost od B, onda A(B/C) = A, pa se tvrdenje svodi na

|= (B ↔ C)→ (A↔ A).

Ako formule A i B imaju istu slozenost onda A(B/C) = A ili A(B/C) = C,pa se tvrdenje svodi na prethodni slucaj ili na

|= (B ↔ C)→ (C ↔ C).

U oba slucaja, lako se provjerava da su dobijene formule tautologije.Induktivni korak: Ako formula A ima oblik A1 ∧A2, onda

A(B/C) = A1(B/C) ∧A2(B/C).

Ako v(B ↔ C) = 1, po induktivnoj pretpostavci, v(A1) = v(A1(B/C)) iv(A2) = v(A2(B/C)), pa je v(A) = v(A(B/C)), za svaku valuaciju v ∈ 2P .Na slican nacin postupamo kada formula A ima oblik disjunkcije, implikacijeili negacije. C

U zadacima sledeca tri poglavlja navodimo jedan broj najvaznijih logic-kih zakona. Grupisani su tako da ilustruju znacajna svojstva logickih veznikai njihov medusobni odnos.

22

Logicka svojstva implikacije

Implikacija je kljucni logicki veznik. Svi drugi veznici mogu se prilicnodobro analizirati i algebarskim sredstvima. U sledecem primjeru navedenasu dva najvaznija svojstva implikacije.

Primjer 1. Za proizvoljne iskazne formule A,B i C,

|= (A→ (B → A))|= (A→ (B → C))→ ((A→ B)→ (A→ C)).

Intuitivni smisao prvog svojstva implikacije je pomalo zbunjujuci - akoje A, onda A slijedi iz bilo koje formule B, koja ne mora da ima nista zajed-nicko sa A. Zbog tog i nekih drugih svojstava, koja su navedena u narednimzadacima, logicari ne smatraju da je iskazna logika dobar kontekst za imp-likaciju. Drugo svojstvo izrazava distributivnost implikacije preko same sebei ono se smatra, ne samo pozeljnim, vec i sustinskim za implikaciju.

Dokazacemo drugo tvrdenje, prvo je mnogo lakse. Pretpostavimo sup-rotno, da navedena formula nije logicki zakon. To znaci da postoji valuacijav ∈ 2P , za koju je ta formula lazna, tj. za koju je

v(A→ (B → C)) = 1,v((A→ B)→ (A→ C)) = 0.

Na osnovu drugog uslova, mora biti v(A → B) = 1 i v(A → C) = 0, tj.v(A → B) = 1, v(A) = 1 i v(C) = 0. Iz uslova v(A → B) = 1 i v(A) = 1,dobijamo da je v(B) = 1. Dakle iz drugog uslova gornje relacije dobijamoda mora biti v(A) = 1, v(B) = 1 i v(C) = 0. Medutim, ako v(A) = 1 iv(B) = 1, onda iz prvog uslova slijedi v(C) = 1, a to nije moguce, buducida smo utvrdili da je v(C) = 0. Dakle, ne postoji valuacija za koju biposmatrana formula bila lazna. C

Zadatak 1. Tranzitivnost implikacije: Za proizvoljne formule A, B i C,

|= (A→ B)→ ((B → C)→ (A→ C)).

Tranzitivnost je sasvim pozeljno svojstvo - implikacija se u skupu svihformula iskazne logike ponasa kao poredak. Ali, kako smo napomenuli, uiskaznoj logici implikacija ima i neka sasvim problematicna svojstva. Zaistazbunjuje sto je implikacija kao poredak i linearna: ili iz A slijedi B, ili iz Bslijedi A, za bilo koja dva nicim povezana iskaza A i B.

Zadatak 2. Linearnost implikacije: Za proizvoljne formule A i B,

|= (A→ B) ∨ (B → A).

23

Zadatak 3. Persov zakon: |= ((A → B) → A) → A, za proizvoljneformule A i B.

Logicka svojstva konjunkcije i disjunkcije

Zadatak 1. Svojstva konjunkcije: Za proizvoljne formule A, B i C,

|= (A ∧B)→ A,|= (A ∧B)→ B,|= (C → A)→ ((C → B)→ (C → (A ∧B))).

Navedeni zakoni karakterisu prirodu konjunkcije kao logickog veznika.Ako se implikacija shvati kao poredak medu formulama, onda konjunkcijaima sva svojstva infimuma. Prve dvije formule znace da je konjunkcija A∧Bdonje ogranicenje za A i B, a treca, da je A ∧ B najvece donje ogranicenjeza formule A i B.

Zadatak 2. Svojstva disjunkcije: Za proizvoljne formule A,B i C,

|= A→ (A ∨B),|= B → (A ∨B),|= (A→ C)→ ((B → C)→ ((A ∨B)→ C)).

Navedeni logicki zakoni pokazuju da, u odnosu na implikaciju, dis-junkcija ima svojstvo supremuma. Prve dvije formule znace da je A ∨ Bgornje ogranicenje za A i B, a treca, da je formula A ∨ B najmanje gornjeogranicenje za formule A i B.

Zadatak 3. Zakoni apsorpcije za konjunkciju i disjunkciju: Za proiz-voljne formule A i B,

|= (A ∧ (A ∨B))↔ A, |= (A ∨ (A ∧B))↔ A.

Zadatak 4. Zakoni komutativnosti i asocijativnosti konjunkcije: Zaproizvoljne formule A,B i C,

|= (A ∧B)↔ (B ∧A), |= ((A ∧B) ∧ C)↔ (A ∧ (B ∧ C)).

Zakoni komutativnosti i asocijativnosti disjunkcije: Za proizvoljne for-mule A,B i C,

|= (A ∨B)↔ (B ∨A), |= ((A ∨B) ∨ C)↔ (A ∨ (B ∨ C)).

24

Ekvivalencije iz prethodnog zadatka omogucavaju da, bez opasnosti dadovedemo u pitanje jednoznacno citanje formule, u konjunkcijama i dijunkci-jama vise formula izostavimo zagrade tako sto umjesto ((A∧B)∧C) pisemoA ∧B ∧ C, a umjesto ((A ∨B) ∨ C) pisemo A ∨B ∨ C.

Kada govorimo o datoj formuli, izostavicemo njene spoljne zagrade, alikada ona treba da ude u sastav neke druge formule, zagrade moramo vratiti.

Za svako n ≥ 1, ako su A1, . . . , An formule, njihovu konacnu konjunkciju∧i≤nAi definisemo indukcijom: za n = 1, formula

∧i≤1Ai je formula A1 i

za svako n ≥ 1, formula∧i≤(n+1)Ai je formula (

∧i≤1Ai) ∧ An+1. Na isti

nacin definisemo i konacnu disjunkciju n ≥ 1 formula.

Zadatak 5. Zakon distributivnosti konjunkcije u odnosu na disjunkciju:Za proizvoljne formule A,B i C,

|= (A ∧ (B ∨ C))↔ ((A ∧B) ∨ (A ∧ C)),

Zakon distributivnosti disjunkcije u odnosu na konjunkciju: Za proizvolj-ne formule A,B i C,

|= (A ∨ (B ∧ C))↔ ((A ∨B) ∧ (A ∨ C)).

Logicka svojstva negacije

Zadatak 1. Za proizvoljne formule A,B i C,

|= ¬A→ (A→ B),|= (A→ B)→ ((A→ ¬B)→ ¬A).

Prvi zakon je ex falso quodlibet, tj. iz lazne pretpostavke slijedi sve, adrugi, dobro poznati reductio ad absurdum, tj. ako iz A slijede B i ¬B, onda¬A, za proizvoljne iskazne formule A i B.

Zadatak 2. De Morganovi zakoni: Za proizvoljne formule A, B i C,

|= ¬(A ∧B)↔ (¬A ∨ ¬B),

|= ¬(A ∨B)↔ (¬A ∧ ¬B).

De Morganovi zakoni pokazuju da se konjunkcija i disjunkcija, u pris-ustvu negacije, mogu uzajamno definisati.

Zadatak 3. Zakon kontrapozicije: Za proizvoljne formule A i B,

|= (A→ B)↔ (¬B → ¬A).

25

Zadatak 4. Zakon dvojne negacije: |= A↔ ¬¬A, za svaku formulu A.Zadatak 5. Zakon iskljucenja treceg: |= A ∨ ¬A, za svaku formulu A.Zadatak 6. Za sve formule A i B, |= (A→ B) ↔ (¬A ∨B).

Normalna forma

U nacelu, normalna forma je ekvivalentan oblik formule u kome se ne-gacije javljaju samo uz njena iskazna slova, a svi drugi njeni logicki veznicisu konjunkcija i disjunkcija.

Neka su formule A1, . . . , An iskazni simboli ili negacije iskaznih simbola.Formula oblika

∧i≤nAi je elementarna konjunkcija, a formula

∨i≤nAi je

elementarna disjunkcija.

Zadatak 1. Svaka formula A(p1, . . . , pn) ekvivalentna je konacnoj dis-junkciji elementarnih konjunkcija, tj. moze se predstaviti u obliku

∨j≤k Bj ,

k ≥ 1, gde su formule Bj elementarne konjunkcije iskaznih slova p1, . . . , pn.Takav oblik formule je disjunktivna normalna forma.

Uputstvo: Uocimo valuacije v za koje je v(A) = 1. Njih ima k ≤ n raz-licitih na iskaznim slovima p1, . . . , pn. Za valuaciju v, neka je pvi = pi ako jev(pi) = 1 i pvi = ¬pi ako je v(pi) = 0. Ako je Bj =

∧i≤n p

vi i A′ =

∨j≤k Bj ,

formule A i A′ su ekvivalentne. Ako je k = 0, formula A′ moze biti p ∧ ¬p,za bilo koje iskazno slovo p.

Zadatak 2. Svaka formula A(p1, . . . , pn) ekvivalentna je konacnoj kon-junkciji elementarnih disjunkcija, tj. moze se predstaviti u obliku

∧j≤k Bj ,

gde su formule Bj elementarne disjunkcije is. Takav oblik formule je kon-junktivna normalna forma.

Uputstvo: Uociti valuacije v iskaznih slova p1, . . . , pn za koje je v(A) = 0.Njih ima k ≤ n. Neka je pvi = pi ako v(pi) = 0 i pvi = ¬pi ako v(pi) = 1.Sada su formule Bj , j ≤ k, oblika

∨i≤n p

vi , a formula A′ ima oblik

∧j≤k Bj .

Ako je k = 0, formula A′ moze biti p ∨ ¬p, za bilo koje iskazno slovo p.

Logicke posljedice

Formula A je logicka posljedica skupa pretpostavki Σ ako v(A) = 1, zasvaku valuaciju v, za koju su istinite sve formule skupa Σ. To oznacavamosa Σ |= A, a formule skupa Σ nazivamo logickim pretpostavkama.

Dakle, formula A je logicka posljedica skupa pretpostavki Σ ako je for-mula A istinita kad god su istinite sve pretpostavke skupa Σ. Ako je Σ = ∅,pisemo |= A, sto je u saglasnosti sa pojmom tautologije.

26

Skup formula Σ je logicki konzistentan ili neprotivrecan ako ne postojiiskazna formula A za koju Σ |= A i Σ |= ¬A. U suprotnom, Σ je logickinekonzistentan ili protivrecan skup formula. Skup formula je zadovoljiv akopostoji valuacija za koju su istinite sve njegove formule.

Zadatak 1. Skup formula Σ je logicki konzistentan ako i samo ako Σje zadovoljiv.

Zadatak 2. Skup formula je logicki nekonzistentan ako i samo akosvaka iskazna formula je njegova logicka posljedica.

Ako su A i B iskazne formule i Σ skup formula, cinjenicu da je formulaB logicka posljedica skupa Σ ∪ {A} obelezavacemo sa Σ, A |= B.

Zadatak 3. Teorema dedukcije: Ako su A i B formule i Σ skup formulaiskazne logike, onda

Σ, A |= B ⇒ Σ |= A→ B.

Ovde vazi ekvivalencija Σ, A |= B ⇔ Σ |= A → B, ali je obratna impli-kacija zapravo modus ponens.

Zadatak 4. Teorema interpolacije: Neka je formula A→ B tautologija.Ako formula A nije kontradikcija i formula B nije tautologija, postoji iskaz-na formula C, koja sadrzi samo iskazne promjenljive zajednicke za formuleA i B, takva da su formule A→ C i C → B tautologije.

Uputstvo: formulu A predstaviti u disjunktivnoj, a formulu B u kon-junktivnoj normalnoj formi.

Sintaksa iskazne logike

Skup logickih zakona okarakterisali smo kao skup formula koje su istiniteza svaku valuaciju. Kada je data formula A, napravimo njenu tablicu, paako su sve vrijednosti formule A jedan, formula A je tautologija, a ako tonije slucaj, formula A nije tautologija. Dakle, postoji algoritam koji za ulazA, u konacno mnogo koraka, daje odgovor na pitanje da li je formula A tau-tologija. Kazemo da je predikat ”A je tautologija,” tj. predikat ”|= A”, gdjeje A formula iskazne logike, odluciv predikat. Na isti nacin, konstrukcijomtablice, resava se problem odlucivosti predikata ”A je zadovoljiva formula”,ili ”formule A i B su ekvivalentne.”

Posto postoji efektivan postupak za provjeravanje logickih zakona, iz-gleda kao da je svaka dalja formalizacija iskazne logike pomalo izlisna.

27

Medutim, mi smo u uvodnim napomenama naglasili da je iskazna logikasamo fragment predikatske logike, koja je za matematiku mnogo znacajnija.U predikatskoj logici, predikat ”A je logicki zakon” nije odluciv, pa je njenaformalizacija neminovna. Iz tog razloga, ideju formalizacije logickih zakonaizlozicemo u nesto jednostavnijem kontekstu, a to je iskazni racun.

Formalizacija logickih zakona podrazumijeva dvije stvari:

(1) Izbor skupa logickih zakona, tj. aksioma,

(2) Izbor skupa pravila zakljucivanja,

tako da, polazeci od aksioma, koristeci pravila zakljucivanja, mozemo dobitisve logicke zakone.

Neka je I skup svih logickih zakona, T ⊆ I skup aksioma i Con(T ) skupsvih formula koje se, po pravilima zakljucivanja, mogu dobiti iz T . For-malizacija je korektna ako polazeci od aksioma, po pravilima zakljucivanja,dobijamo samo logicke zakone, tj. ako Con(T ) ⊆ I. Sa druge strane, formal-izacija je potpuna ako I ⊆ Con(T ).

Korektnih i potpunih formalizacija iskaznog racuma ima mnogo. Izboraksioma i pravila izvodenja zavisi od tipa problema zbog kojih definisemoformalni sistem. Na primjer, za analizu svojstava samih dedukcija, pogodnesu formalizacije sa samo jednim tipom aksioma (najcesce to su tautologijeA→ A, za svaku formulu A) i mnostvom pravila zakljucivanja. Takvi logickisistemi su gencenovski sistemi (po Gerhardu Gencenu, koji ih je otkrio) iizucavaju se u teoriji dokaza. Druga krajnost su hilbertovski sistemi (poDavidu Hilbertu, koji je znacajan za samu ideju formalizacije), sa samojednim pravilom zakljucivanja i mnostvom aksioma. U nasim razmatran-jima, opredijelili smo se za hilbertovski sistem, buduci da on vise odgovarapotrebama formalizacije matematike.

Takode, u izboru skupa aksioma nismo se rukovodili zahtjevima mini-malnosti i nezavisnosti. Aksiome smo odabrali tako da pregledno izrazavajusvojstva logickih veznika. To ce nam omoguciti da se osvrnemo i na tako-zvanu intuicionisticku logiku, kao znacajan fragment iskazne logike.

Aksiome iskazne logike

Aksiome smo podijelili u pet grupa. Svaka grupa, izuzimajuci poslednjukoja ima posebnu ulogu, odnosi se na jedan od logickih veznika i karakterisenjegova svojstva. Aksiome su definisane oblikom formule iskazne logike, tj.date su kao sheme.

28

Aksiome implikacije su sve formule oblika

A→ (B → A),

(A→ (B → C))→ ((A→ B)→ (A→ C)),

za proizvoljne iskazne formule A, B i C.

O smislu aksioma implikacije vec je bilo rijeci. Prva aksioma tvrdi: akoje A, onda A slijedi iz bilo koje formule B. Druga aksioma izrazava distri-butivnost implikacije preko same sebe.

Aksiome konjunkcije su sve formule oblika

(A ∧B)→ A,

(A ∧B)→ B,

A→ (B → (A ∧B)),

za sve iskazne formule A i B.

Prve dvije aksiome odreduju konjunkciju kao donje ogranicenje za svakiod njenih sastojaka. Treca aksioma je posebno motivisana (o tome ce bitirijeci kasnije), a na osnovu nje moze se dokazati da je konjunkcija najvecedonje ogranicenje, tj. infimum njenih sastojaka.

Aksiome disjunkcije su sve formule oblika

A→ (A ∨B),

B → (A ∨B),

(A→ C)→ ((B → C)→ ((A ∨B)→ C)),

za sve iskazne formule A, B i C.

Prve dvije aksiome odreduju disjunkciju kao gornje ogranicenje za svakiod njenih sastojaka, a treca, kao najmanje gornje ogranicenje, tj. supremumnjenih sastojaka.

Aksiome negacije su sve formule oblika

¬A→ (A→ B),

(A→ B)→ ((A→ ¬B)→ ¬A),

za sve iskazne formule A i B.

Aksiome negacije su logicki zakoni ex falso quodlibet i reductio ad absur-dum, koje smo ranije razmotrili.

Aksiome zakona iskljucenja treceg su sve formule oblika

A ∨ ¬A,

za svaku iskaznu formulu A.

29

Ovaj logicki zakon, posebno je izdvojen da bi se jasno sagledalo da onzapravo odreduje prirodu iskazne logike. Blisko je povezan sa nasom se-mantickom pretpostavkom da je svaki iskaz ili istinit ili lazan i da trecemogucnosti nema.

Dakle, skup aksioma iskazne logike, koji smo oznacili sa T , sastoji se odjedanaest disjunktnih skupova formula ili shema aksioma:

T1 = {A→ (B → A) : A,B ∈ F},. . .T11 = {A ∨ ¬A : A ∈ F},

tj. T = T1 ∪ · · · ∪ T11.

Zadatak 1. Formulisati algoritam koji, za zadatu formulu A, provjeravada li A ∈ T1. Takav algoritam postoji za svaki od predikata ”A ∈ Tk,” zasve k = 1, . . . , 11, pa mozemo zakljuciti da je predikat ”A ∈ T” odluciv.Drugacije raceno, predikat ”formula A je aksioma” je odluciv predikat.

Modus ponens

Formalizacija iskazne logike, za koju smo se opredijelili, sadrzi jednoosnovno pravilo izvodenja - modus ponendo ponens ili krace:

modus ponens: Za proizvoljne formule A i B,

A, A→ BB

Modus ponens razumijemo na sledeci nacin: iz formula A i A → Bzakljucujemo B, za bilo kakve formule A i B.

Pritom, o formulama A i A → B nismo nista pretpostavili. One mogubiti istinite ili neistinite, dokazane ili nedokazane - ako smo sa formula A iA→ B presli na formulu B, taj prelaz je korektan.

Svakako, modus ponens zadovoljava uslov salva veritate: ako su pret-postavke A i A → B istinite, istinit je i zakljucak B. U antickoj i srednje-vjekovnoj logici, pretpostavka A nazivana je malom, a pretpostavka A→ Bvelikom premisom. Tvrdeci u maloj premisi tvrdimo u zakljucku, pa je stogapravilo nazivano modus (oblik, nacin) ponendo ponens (tvrdim tvrdeci), ali sevremenom ustalio skraceni naziv modus ponens. Jedan broj logicara modusponens naziva pravilom izdvajanja, jer nam omogucava da iz slozenog iskazaA → B izdvojimo kao istinit iskaz B ukoliko smo pretpostavili da su A iA→ B istiniti iskazi.

30

Dokaz u iskaznoj logici

Neka je A proizvoljna formula. Dokaz formule A u iskaznom racunu jekonacan niz formula (A1, . . . , An), n ≥ 1, takav da A = An i za svako i ≤ n,formula Ai je aksioma ili se po modus ponensu dobija iz njoj prethodnihclanova niza (A1, . . . , An).

Formula je dokaziva ili teorema ako ima dokaz. Cinjenicu da je formula Ateorema oznacavamo sa ` A. Skup svih teorema iskazne logike oznacavamosa T . Dakle, T = {A ∈ F : ` A}.

Neka je Σ skup formula. Formula A ima dokaz iz pretpostavki Σ akopostoji konacan niz formula (A1, . . . , An), n ≥ 1, takav da A = An i zasvako i ≤ n, formula Ai je aksioma, pripada skupu Σ ili se po modus ponensudobija iz njoj prethodnih clanova niza (A1, . . . , An). Cinjenicu da formulaA ima dokaz iz pretpostavki Σ oznacavamo sa Σ ` A.

Ako Σ ` A, kazemo da je formula A posljedica skupa pretpostavki Σ.Ako je Σ prazan skup, pisemo ` A, sto jeste saglasno sa definicijom pojmateoreme.

Umjesto, Σ ∪ {A} ` B, pisacemo Σ, A ` B, a umjesto Σ ∪ Γ ` A,pisacemo Σ,Γ ` A, a ako je Σ = {A1, . . . , An}, umjesto Σ ` A, pisacemo:

A1, . . . , An ` A,

gdje su A1, . . . , An sve formule skupa Σ.

Sve posljedice skupa Σ oznacavamo sa Con (Σ). Dakle,

Con (Σ) = {A ∈ F : Σ ` A}.

Skupove iskaznih formula oznacavacemo velikim grckim slovima Σ, Γ,moguce sa indeksima Σ1,Σ2 itd.

Izvedena pravila zakljucivanja

Osim modus ponensa, kao osnovnog pravila, definisacemo i mnoga drugapravila zakljucivanja. Sva pravila iskazne logike, razlicita od modus ponensa,su izvedena pravila. Koristeci samu definiciju dokaza iz pretpostavki, modusponens i aksiome, svako od izvedenih pravila cemo dokazati. Ona nam sluzeda dokaze ucinimo preglednijim i kracim.

31

Primjer 1. Ako su Σ1 i Σ2 skupovi formula, za proizvoljne formule Ai B, vazi sledece pravilo:

Σ1 ` A, Σ2 ` A→ BΣ1,Σ2 ` B

Ovo pravilo je poseban slucaj modus ponensa i pokazuje da on cuva do-kazivost: ako formule A i A→ B imaju dokaze iz skupova pretpostavki Σ1

i Σ2 respektivno, formula B ima dokaz iz skupa pretpostavki Σ1,Σ2.Ako je niz (A1, . . . An) dokaz formule A iz pretpostavki Σ1 i ako je niz

(B1, . . . , Bn) dokaz formule A→ B iz pretpostavki Σ2, onda je niz

(A1, . . . , An, B1, . . . , Bn, B),

dokaz formule B iz pretpostavki Σ1,Σ2. C

Zadatak 1. Ako je Σ skup formula, za proizvoljne formule A i B,

Σ |= A, Σ |= A→ BΣ |= B

Zadatak pokazuje da modus ponens cuva istinitost, tj. da cuva logickeposljedice. Dakle, modus ponens ima one osobine koje ocekujemo od svihkorektnih pravila zakljucivanja: ako su pretpostavke istinite ili dokazive,takav je i zakljucak.

Primjer 2. Pravilo slabljenja: Ako je Σ skup formula, za proizvoljneformule A i B,

Σ ` AΣ, B ` A

Pravilo slabljenja slijedi iz same definicije dokaza: sve sto se mozedokazati iz datog skupa pretpostavki, ima dokaz iz sireg skupa pretpostavki.Naime, svaki dokaz za formulu A iz pretpostavki Σ, istovremeno je dokaz zaA iz pretpostavki Σ, B. C

Primjer 3. Pravilo permutacije pretpostavki. Ako je Σ skup formula,za proizvoljne formule A,B i C,

Σ, B,C ` AΣ, C,B ` A

Pravilo permutacije slijedi neposredno iz definicije dokaza. Naime, u tojdefiniciji govorimo o skupu pretpostavki, a u skupu je irelevantan poredaknjegovih elemenata. C

32

Specificnost pravila permutacije pretpostavki je u tome sto ga moze-mo tumaciti na dolje, ako Σ, B,C ` A, onda Σ, C,B ` A, kao i na gore,ako Σ, C,B ` A, onda Σ, B,C ` A. Takva pravila su dvostrana pravila,a dvostranost naglasavamo dvostrukom crtom izmedu premisa i zakljucka.Na primjer, pravilo slabljenja nije dvostrano pravilo.

Semantika i sintaksa

Skup formula Σ je konzistentan ili neprotivrecan ako ne postoji formulaA, takva da Σ ` A i Σ ` ¬A. U suprotnom, ako takva formula A postoji,skup formula je nekonzistentan ili protivrecan. O pojmu konzistentnog skupabilo je rijeci kada smo govorili o logickoj konzistentnosti. Kasnije cemodokazati da su konzistentnost i logicka konzistentnost isti pojmovi.

Uvod u raspravu o sintaksi iskazne logike, o njegovim aksiomama i pravil-ima zakljucivanja, zavrsicemo sledecom sistematizacijom kljucnih sintaksnihi semantickih pojmova:

Sintaksa Semantika

` A |= A

Σ ` A Σ |= A

konzistentan skup zadovoljiv skup

Ovaj pregled sintaksnih i semantickih pojmova smo napravili da nagovi-jestimo tri kljucne teoreme iskaznog racuna: svaka dva pojma u istom reduse poklapaju. Iste takve teoreme vaze i u predikatskom racunu.

U dosadasnjim izlaganjima ustalili smo obicaj da matematicke promjen-ljive, koje uzimaju vrijednosti iz skupa elementarnih iskaza, oznacavamomalim slovima p, q i r, po potrebi indeksirane p1, p2 itd. Za iskazne formulekoristili smo matematicke promjenljive A,B,C i D, po potrebi i indeksirane,koje uzimaju vrijednosti iz skupa iskaznih formula. Bitno je da naglasimoda, kao graficki simboli, promjenljive p, q i r, kao i promjenljive A,B,C i D,nijesu simboli jezika L, vec simboli svakodnevnog matematickog jezika.

U nacelu, u logici su uvijek prisutna dva jezika: jezik o kome govorimoili objek-tjezik, kao i jezik u kome saopstavamo svojstva objekt-jezika ilimetajezik. Na primjer, objek-tjezik jeste jezik L, a metajezik je svakodnevnimatematicki jezik. Veoma je vazno jasno razdvojiti ova dva jezika. Objekt-jezik je osnova sintakse, dok u metajeziku formulisemo semantiku. Ponekad,takvo razdvajanje uopste nije jednostavno.

33

Na primjer, termini prirodnog jezika, kao sto su ”dokaz” ili ”teorema”,mogu se odnositi na oba jezika. Formalni dokaz u iskaznoj logici (ili objekt-dokaz) je jedna, a matematicki dokaz (ili metadokaz) nekog svojstva kojeimaju formalni dokazi, sasvim druga stvar. Da to ilustrujemo, napominjemoda cemo uskoro dokazati da vazi:

Teorema tautologije: Ako je A formula, A→ A je teorema.

U navedenom tvrdenju, teorema tautologije je metateorema, a njen dokazje zapravo metadokaz. On se sastoji u tome da dokazemo da formula A→ Ajeste objekt-teorema, tj. u tome da dokazemo da postoji objekt-dokaz zaformulu A → A, za svako A ∈ F . Dokaz ove metateoreme izlozicemo nestokasnije.

Treba takode naglasiti da sve logicke veznike koristimo na oba nivoa, umetajeziku i objek-tjeziku. Kada postoji potreba, implikaciju u metajezikuoznacavamo sa ⇒, za razliku od implikacije kao veznika u iskaznoj logici,koju oznacavamo sa →. U metajeziku, ekvivalenciju oznacavamo sa ⇔, a ujeziku iskazne logike, kao objekt-jeziku, ekvivalenciju oznacavamo sa ↔.

Teoreme iskazne logike

Kljucna teorema iskazne logike jeste teorema potpunosti: svaka tau-tologija je teorema iskazne logike. Uz teoremu korektnosti, koja tvrdi daje svaka teorema iskazne logike tautologija, teorema potpunosti potvrdu-je da sintaksa iskazne logike sasvim odgovara njenoj matematickoj seman-tici. Teoremu korektnosti dokazacemo odmah, a dokaz teoreme potpunostiizlozicemo posto detaljnije upoznamo svojstva sintakse iskazne logike.

U dokazu teoreme korektnosti koristicemo jos jednu varijantu principamatematicke indukcije, koja se naziva indukcija po slozenosti dokaza. Onase koristi kada treba dokazati da sve teoreme imaju dato svojstvo.

Teoreme iskazne logike generisemo, polazeci od aksioma, pomocu modusponensa. Svaki korak dokaza je ili aksioma, ili predstavlja primjenu modusponensa na vec dokazane formule. Stoga, bazu indukcije po slozenosti dokazacine aksime, a induktivni korak je primjena modus ponensa. Dakle, principindukcije po slozenosti dokaza glasi:

Ako sve aksiome imaju svojstvo S i ako iz pretpostavke da teoreme Ai A → B imaju svojstvo S slijedi da teorema B ima svojstvo S, onda sveteoreme imaju svojsto S.

34

Teorema korektnosti: Svaka teorema je tautologija.

Dokaz. Teoremu dokazujemo indukcijom po slozenosti dokaza. To znacida treba dokazati da su sve aksiome tautologije i da modus ponens cuvatautologije.

U zadacima poglavlja o logickim zakonima, u kojima se govori o os-novnim svojstvima logickih veznika i o zakonu iskljucenja treceg, dokazanoje da su sve aksiome logicki zakoni, tj. tautologije, sa izuzetkom trece ak-siome konjunkcije:

A→ (B → (A ∧B)),

gdje su A i B proizvoljne formule. Ako je v ∈ 2P valuacija za koju ovaformula nije istinita, po definiciji istinitosti za implikaciju, to znaci da morabiti v(A) = 1 i v(B → (A∧B)) = 0, tj. v(A) = 1, v(B) = 1 i v(A∧B) = 0, stoprotivreci definiciji istinitosti konjukcije. Dakle, treca aksioma konjunkcijeje tautologija.

Pretpostavimo da se teorema B dobija primjenom modus ponensa nateoreme A i A → B. Po induktivnoj pretpostavci, teoreme A i A → B sutautologije, tj. za svaku valuaciju v ∈ 2P , v(A) = 1 i v(A → B) = 1. Podefiniciji istinitosti implikacije, to znaci da mora biti v(B) = 1, za svakuvaluaciju v ∈ 2P . Dakle, teorema B je tautologija. C

Nas sledeci zadatak bice da blize upoznamo posljedice aksioma iskaznogracuna, tj. njegove teoreme. Grupisali smo ih po logickim veznicima. Zasvaki logicki veznik napravili smo pregled najvaznijih posljedica njegovihaksioma i dokazali jedno njegovo vazno pravilo.

Posljedice aksioma implikacije

Implikacija je najvazniji logicki veznik, a njeno najvaznije svojstvo iz-razava Teorema dedukcije. Tu teoremu smo vec spomenuli u semantickojverziji. Prethodno, ilustracije radi, dokazacemo zakon tautologije i zakontranzitivnosti implikacije. Ovi zakoni i teorema dedukcije dokazuju se samona osnovu aksioma implikacije.

Teorema tautologije: Za svaku iskaznu formulu A,

` A→ A.

35

Dokaz. Konstruisacemo konacan niz formula, koji zavrsava sa formu-lom A→ A, a cije su sve formule ili aksiome implikacije ili iz njih slijede pomodus ponensu:

A1 = (A→ ((A→ A)→ A))→ ((A→ (A→ A))→ (A→ A)),A2 = A→ ((A→ A)→ A)),A3 = (A→ (A→ A))→ (A→ A),A4 = A→ (A→ A),A5 = A→ A.

Formula A1 je instanca ili poseban slucaj druge aksiome, u koju je um-jesto formule B stavljena formula A → A, a umjesto formule C formula A.Formula A2 je instanca prve aksiome u koju je umjesto formule B stavljenaformula A → A. Formula A3 se dobija po modus ponensu iz A1 i A2, for-mula A4 je instanca prve aksiome, u kojoj je umjesto formule B stavljenaformula A, a formula A5 dobija se primjenom modus ponensa na formuleA3 i A4. Po definiciji pojma dokaza, to znaci da je formula A→ A teoremaiskaznog racuna. C

U implikaciji oblika A → B, formula A je antecedens, a formula B kon-sekvens. Teorema dedukcije omogucava da implikaciju A → B dokazemotako sto antecedens prenesemo u prtpostavke i dokazemo konsekvens. Umatematici najcesce tako i rasudujemo: pretpostavimo neko tvrdenje A,dokazemo njegovu posljedicu B i zakljucimo tvrdenje A → B. Teoremadedukcije potvrduje formalnu legitimnost takvog rasudivanja.

Teorema dedukcije

Na osnovu aksioma implikacije, moze se dokazati sledece pravilo za do-kazivanje implikacije tj. teorema dedukcije:

Γ, A ` BΓ ` A→ B

za svaki skup formula Γ i proizvoljne formule A i B. Ovo pravilo se mozemoprocitati i na gore: ako Γ ` A → B, slabljenjem imamo Γ, A ` A → B, pazbog Γ, A ` A, po modus ponensu dobijamo Γ, A ` B.

Na taj nacin dobili smo dvostrano pravilo koje pretpostavke prenosi uantecedens i obratno, antecedens prenosi u pretpostavke: za svaki skup for-mula Γ i proizvoljne formule A i B,

Γ, A ` BΓ ` A→ B

36

Teorema o tranzitivnosti implikacije: za sve formule A,B i C,

` (A→ B)→ ((B → C)→ (A→ C)).

Dokaz. Primjenom dvostranog pravila za implikaciju, antecedense re-dom prenesemo u pretpostavke:

` (A→ B)→ ((B → C)→ (A→ C)).A→ B ` (B → C)→ (A→ C),

A→ B,B → C ` A→ C,A→ B,B → C,A ` C.

Sada iz pretpostavki A → B,B → C i A treba dokazati C. Po definicijidokaza, dokaz formule C iz pretpostavki A→ B,B → C i A je niz formula

(A,A→ B,B,B → C,C).

Sada preostaje da, primjenom teoreme dedukcije, pretpostavke vratimo uantecedens, pa u tri koraka dobijamo da zakon tranzitivnosti implikacijejeste teorema iskazne logike. C

Ako je A1, . . . , An, n ≥ 1, dokaz formule A iz pretpostavki Γ, kazemo daformula A ima dokaz duzine n iz pretpostavki Γ.

Teorema dedukcije: Ako je Γ, A,B skup formula,

Γ ` A→ B ⇒ Γ, A ` B.

Dokaz. Teoremu dokazujemo indukcijom po duzini dokaza formule Biz pretpostavki Γ, A.

Pretpostavimo Γ, A ` B, tj. da postoji dokaz (B1, . . . , Bn), duzine n ≥ 1,formule B iz pretpostavki Γ, A. Tvrdimo da Γ ` A→ B.

Ako je n = 1, onda je formula B aksioma ili pripada skupu formula Γ, A.Ako je formula B aksioma ili pripada skupu Γ, onda

Γ ` B (pravilo slabljenja)

Γ ` B → (A→ B) (aksioma implikacije)

Γ ` A→ B, (modus ponens)

a ako je B formula A, onda po teoremi tautologije, Γ ` A→ B.

Neka je n ≥ 1 prirodan broj. Pretpostavimo da (induktivna pretpos-tavka) ako formula C ima dokaz iz pretpostavki Γ, A duzine k ≤ n, ondaΓ ` A→ C, za svaku formulu C.

37

Pretpostavimo sada da formula B ima dokaz (B1, . . . , Bn+1), duzinen+ 1, iz pretpostavki Γ, A. Po definiciji dokaza, formula B = Bn+1 jeaksioma ili pripada skupu Γ, A ili po modus ponensu sledi iz formula Bi iBj , za neke i, j ≤ n. Ako je formula B aksioma ili pripada skupu Γ, A,postupamo isto kao u slucaju n = 1. Ako je formula B dobijena po modusponensu iz formula Bi i Bj , za neke i, j ≤ n, gde je Bj = (Bi → B), poinduktivnoj pretpostavci

Γ ` A→ Bi,

Γ ` A→ (Bi → B).

Po drugoj aksiomi za implikaciju i po pravilu slabljenja imamo

Γ ` (A→ (Bi → B))→ ((A→ Bi)→ (A→ B)),

odakle se dvostrukom primenom modus ponensa dobija Γ ` A → B, cimeje teorema dedukcije u potpunosti dokazana. C

Pravilo supstitucije i pravilo sjecenja

Umjesto u obliku shema, aksiome iskazne logike se mogu zadati samoinstancama svake od shema, ali se u tom slucaju, pored modus ponensa,mora pretpostaviti jos jedno pravilo zakljucivanja - pravilo supstitucije.

Iskazna logika sa supstitucijom je formalni sistem cije su aksiome:

A1 s0 → (s1 → s0),

A2 s0(→ (s1 → s2))→ ((s0 → s1)→ (s0 → s2)),

A3 (s0 ∧ s1)→ s0,

A4 (s0 ∧ s1)→ s1,

A5 s0 → (s1 → (s0 ∧ s1)),

A6 s0 → (s0 ∨ s1),

A7 s1 → (s0 ∨ s1),

A8 (s0 → s2)→ ((s1 → s2)→ ((s0 ∨ s1)→ s2)),

A8 ¬s0 → (s0 → s1),

A10 (s0 → s1)→ ((s0 → ¬s1)→ ¬s0)

A11 s0 ∨ ¬s0,

a pravila zakljucivanja modus ponens i pravilo supstitucije:

A(p1, p2, . . . , pn)A(A1, A2, . . . , An)

38

gde je A(A1, A2, . . . , An) formula koja se iz formule A dobija zamjenom svihjavljanja elementarnih iskaza p1, p2, . . . , pn formulama A1, A2, . . . , An. Neka`s A oznacava da je formula A teorema iskazne logike sa supstitucijom.

Zadatak 1. Dokazati da za svaku formulu A,

` A ⇔ `s A.

Uputstvo: Svaka instanca aksiome iskazne logike moze se dobiti prim-jenom pravila supstitucije na odgovarajucu aksiomu Ai, pa se svaki dokazu iskaznoj logici moze prevesti u dokaz u iskaznoj logici sa supstitucijom.Da bi se dokazalo obratno, treba prvo dokazati da u svakom dokazu prav-ila supstitucije i modus ponensa mogu da promijene poredak, tako da sesupstitucija uvijek vrsi na aksiomama.

Zadatak 2. Dokazati da u iskaznoj logici sa supstitucijom ne vazi teo-rema dedukcije.

Zadatak 2. Pravilo sjecenja: Na osnovu teoreme dedukcije, dokazatipravilo

Σ ` A Γ, A ` BΣ,Γ ` B

za proizvoljne formule A,B i skupove formula Σ,Γ.

Specificnost ovog pravila je u tome sto formula A koja se javlja u pret-postavkama nestaje u zakljucku, pa se iz tog razloga ovo pravilo nazivapravilom sjecenja.

Ako se medu pravilima zakljucivanja nalazi pravilo sjecenja, koje nijemoguce eliminisati, rekonstrukcija pretpostavki iz kojih je dati zakljucak do-bijen prakticno nije moguca. Stoga, eliminacija sjecenja predstavlja kljucniproblem u formalnim sistemima, pogotovo u sistemima gencenovskog tipa.

Posljedice aksioma konjunkcije

Teorema 1. Pravilo konjunkcije: Ako je Σ skup formula, za proizvoljneformule A i B,

Σ ` A Σ ` BΣ ` A ∧B

39

Dokaz. Iz trece aksiome A → (B → (A ∧ B)) i pretpostavki Σ ` A iΣ ` B, dvostrukom primjenom modus ponensa, dobijamo Σ ` A ∧ B, tj.pravilo konjunkcije vazi na dolje.

Ako Σ ` A ∧ B, iz prve aksiome konjunkcije (A ∧ B) → A, po modusponensu, dobijamo Σ ` A, a iz druge aksiome konjunkcije (A ∧ B) → B,po modus ponensu, dobijamo Σ ` B. To znaci da pravilo konjunkcije vazi ikada se cita na gore. C

Na osnovu pravila konjunkcije mozemo zakljuciti da je konjunkcija A∧Bdokazana ako i samo ako su dokazana oba konjunkta A i B.

Zadatak 1. Dokazati teoreme o komutativnosti i asocijativnosti kon-junkcije. Dokazati da ` A↔ A ∧A, za svaku formulu A.

Zadatak 2. Dokazati teoremu infimuma: za sve formule A,B i C,

` (C → A)→ ((C → B)→ (C → (A ∧B))).

Zadatak 3. Dokazati teoremu o konjunkciji pretpostavki: za proizvoljneformule A i B,

` (A→ (B → C))↔ ((A ∧B)→ C).

Zadatak 4. Dokazati pravilo o konjunkciji pretpostavki: za svaki skupformula Σ i proizvoljne formule A,B i C,

Σ, A,B ` CΣ, A ∧B ` C

Posljedice aksioma disjunkcije

Teorema 1. Iz aksioma disjunkcije slijedi dvostrano pravilo disjunkcijeili pravilo dokazivanja po slucajevima:

Γ, A ` C Γ, B ` CΓ, A ∨B ` C

za svaki skup formula Γ i proizvoljne formule A,B i C.

40

Dokaz. Ako Γ, A ` C i Γ, B ` C, po teoremi dedukcije, Γ ` (A→ C) iΓ ` (B → C). Na osnovu trece aksiome disjunkcije

Γ ` (A→ C)→ ((B → C)→ ((A ∨B)→ C)),

po modus ponensu, dobijamo formulu Γ ` (A ∨ B) → C, pa konacno, naosnovu teoreme dedukcije, Γ, A ∨B ` C. Dakle, pravilo disjunkcije vazi nadolje.

Da bi smo dokazali pravilo na gore, dokazimo da vazi teorema

` ((A ∨B)→ C)→ ((A→ C) ∧ (B → C)),

za sve formula A,B i C.Po teoremi dedukcije i pravilu za dokazivanje konjunkcije, na osnovu

pretpostavke (A ∨ B) → C, treba dokazati formule A → C i B → C. Uprvom slucaju redom imamo:

A1 = A→ (A ∨B) (aksioma),A2 = (A ∨B)→ C (pretpostavka),A3 = (A→ (A ∨B))→ (((A ∨B)→ C)→ (A→ C))A4 = ((A ∨B)→ C)→ (A→ C) (modus ponens),A5 = A→ C (modus ponens),

gdje je A3 instanca teoreme tranzitivnosti. Na isti nacin, polazeci od drugeaksiome disjunkcije, iz pretpostavke (A ∨B)→ C, dobijamo B → C.

Ako Γ, A∨B ` C, po teoremi dedukcije Γ ` (A∨B)→ C, pa na osnovuupravo dokazane teoreme, Γ ` A→ C i Γ ` B → C, tj. Γ, A ` C i Γ, B ` C.Dakle, pravilo disjunkcije vazi na gore. C

Zadatak 1. Dokazati teoreme o obostranoj distributivnusti konjunkcijei disjunkcije: za proizvoljne formule A,B i C,

` ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C))↔ ((A ∨B) ∧ C),

` ((A ∨ C) ∧ (B ∨ C))↔ ((A ∧B) ∨ C).

Posljedice aksioma negacije

Teorema 1. Pravilo za dokazivanje negacije: Ako je Σ skup formula,za proizvoljne formule A i B,

Γ, A ` B Γ, A ` ¬BΓ ` ¬A

41

Dokaz. Ako Γ, A ` B i Γ, A ` ¬B, po teoremi dedukcije, Γ ` A→ B iΓ ` A→ ¬B. Otuda, na osnovu druge aksiome negacije

Γ ` (A→ B)→ ((A→ ¬B)→ ¬A),

po modus ponensu, dobijamo Γ ` ¬A, pa pravilo negacije vazi na dolje.Obratno, ako Γ ` ¬A, na osnovu prve aksiome negacije

Γ ` ¬A→ (A→ B),

mora biti Γ ` A → B, tj. Γ, A ` B. Ako u prvoj aksiomi negacije, umjestoformule B, stavimo formulu ¬B, dobijamo Γ, A ` ¬B, pa pravilo negacijevazi na gore. C

Teorema slabe kontrapozicije: Za proizvoljne formule A i B,

` (A→ B)→ (¬B → ¬A)).

Dokaz. Prema teoremi dedukcije, treba dokazati A→ B,¬B ` ¬A, tj.po pravilu za dokazivanje negacije, iz pretpostavki A → B,¬B i A, trebadokazati kontradikciju. Ocigledno, iz ovih pretpostavki slijede formula B iformula ¬B. C

Zadatak 1. Koristeci pravilo za dokazivanje negacije, dokazati teoremuslabe dvojne negacije: ` A→ ¬¬A, za svaku formulu A.

Zadatak 2. Dokazati modus tolendo tolens ili krace modus tolens:

¬B, A→ B¬A

Modus (oblik, nacin) tolendo tolens (poricuci poricem) je pravilo zakljuci-vanja u kome poricuci u maloj premisi poricemo zakljucak.

Zakon iskljucenja treceg

Preostalo nam je da razmotrimo posljedice poslednje aksiome iskaznelogike. To je zakon iskljucenja treceg: za svaku formulu A,

A ∨ ¬A.

42

Posljedice ovog zakona su predmet opsirnih rasprava u logici i matema-tici. Zna se da su anticki logicari znali za zakon iskljucenja treceg, ali nijepoznato da li su ga koristili u matematici. Prvu zabunu oko ovog zakona,krajem devetnaestog vijeka, izazvao je jedan dokaz Davida Hilberta, u komese on pozvao na zakon iskljucenja treceg.

Kako pokusaji matematicara da dokazu tvrdenje A, o postojanju jednefunkcije, dugo nisu dali ploda, Hilbert je pretpostavio ¬A, tj. da takva funk-cija uopste ne postoji. Otuda je lako dobio kontradikciju, tj. da nije ¬A.Pozivajuci se na zakon iskljucenja treceg, zakljucio je A, tj. zakljucio je daje dokazao egzistenciju spomenute funkcije. Buduci da uopste nije odrediotrazenu funkciju, vecina matematicara se pobunila, tvrdeci da se egzistenci-ja nekog matematickog objekta moze dokazati samo njegovom eksplicitnomkonstrukcijom.

Primjer 1. Prva posljedica zakona iskljucenja treceg je teorema jakedvojne negacije: ` ¬¬A→ A, za svaku formulu A

Po teoremi dedukcije, treba dokazati da A∨¬A,¬¬A ` A. Sada mozemoprimijeniti pravilo dokazivanja po slucajevima. Prvi slucaj A,¬¬A ` A jeocigledan, a drugi ¬A,¬¬A ` A vazi, buduci da se iz protivrecnih pret-postavki ¬A i ¬(¬A), po pravoj aksiomi negacije, moze dobiti bilo kojaformula, pa dakle i formula A. C

Primjer 2. Druga vazna posljedica zakona iskljucenja treceg je teoremajake kontrapozicije: za proizvoljne formule A i B,

` (¬B → ¬A)→ (A→ B).

Po teoremi dedukcije, treba dokazati ¬B → ¬A,A ` B, tj. po jakomzakonu dvojne negacije, treba dokazati ¬B → ¬A,A ` ¬¬B. Po praviluza dokazivanje negacije, iz pretpostavki ¬B → ¬A,A i ¬B, treba dokazatikontradikciju, a to su ocigledno formule A i ¬A. C

Zadatak 1. Ako se pretpostavi zakon dvojne negacije, moze se dokazatizakon iskljucenja treceg.

Zadatak 2. Na osnovu zakona iskljucenja treceg i ostalih aksioma, mozese dokazati druga aksioma negacije.

Zadatak 3. Koristeci zakon iskljucenja treceg, dokazati

` ((A ∨B)→ A) ∨ ((A ∨B)→ B),

za proizvoljne formule A i B.

43

Sintaksna svojstva ekvivalencije

Formule A i B su sintaksno ekvivalentne ako ` (A → B) ∧ (B → A).Kao i ranije, navedenu formulu oznacavamo sa A↔ B i tako dobijamo noviiskazni veznik ekvivalenciju. On nije isto sto i semanticka ekvivalencija, osimako imamo dokazanu teoremu potpunosti ili, kao aksiomu, zakon iskljucenjatreceg. U sledecim zadacima navedene su neke njegove osobine, formulisanaje teorema o supstituciji ekvivalenata i jedno pravilo koje nam sluzi da, popotrebi, pretpostavke u dokazu zamenimo ekvivalentnim pretpostavkama.

Zadatak 1. Za sve formule A i B, ` (A ↔ B) → (¬A ↔ ¬B), a uzpretpostavku zakona iskljucenja treceg, vazi i obratna implikacija.

Formula (A ↔ B) ↔ ((A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)), za proizvoljne formule Ai B je teorema iskazne logike, ali se implikacija sa leva na desno ne mozedokazati bez pozivanja na zakon iskljucenja treceg.

Zadatak 2. Dokazati da za proizvoljne formule A,B i C,

` (B ↔ C)→ (A↔ A(B/C)),

gde je A(B/C) formula koja se iz A dobija zamenom nekog, moguce nijednogi ne obavezno svih, javljanja formule B sa formulom C.

Za zadate formule B i C, tvrdenje se dokazuje indukcijom po slozenostiformule A i u tom dokazu ne koristimo zakon iskljucenja treceg. Kadaformula A ima oblik negacije, koristimo teoremu iz prethodnog zadatka.

Zadatak 3. Dokazati pravilo o supstituciji ekvivalentnih pretpostavki:

Γ, A ` C Σ ` A↔ BΓ,Σ, B ` C

De Morganovi zakoni

De Morganove zakoni sastoje se od dvije teoreme oblika ekvivalencije,tj. od cetiri teoreme oblika implikacije. Jedino implikaciju

` ¬(A ∧B)→ (¬A ∨ ¬B),

nije moguce dokazati bez koriscenja zakona iskljucenja treceg. Zapravo, udokazu ove teoreme, treba koristiti jaki zakon dvojne negacije.

44

Zadatak 1. Ne koristeci zakon iskljucenja treceg, dokazati prvi DeMorganov zakon:

` ¬(A ∨B)↔ (¬A ∧ ¬B),

za proizvoljne formule A i B.

Zadatak 2. Koristeci zakon iskljucenja treceg, dokazati drugi De Mor-ganov zakon:

` ¬(A ∧B)↔ (¬A ∨ ¬B),

za proizvoljne formule A i B.

Primjer 1. Koristeci zakon dvojne negacije, dokazati Persov zakon:

` ((A→ B)→ A)→ A,

za proizvoljne formule A i B.Po teoremi dedukcije, iz pretpostavke (A → B) → A, treba dokazati

A, tj. po zakonu dvojne negacije, treba dokazati ¬¬A. Prema pravilu zadokazivanje negacije, iz (A → B) → A i ¬A, treba dobiti kontradikciju.Zbog aksiome negacije ¬A→ (A→ B), po modus ponensu, dobijamo A→B, tj. dobijamo A, dok ¬A vec imamo. C

Aksiome implikacije i Persov zakon od logickih veznika sadrze samo im-plikaciju. Te formule aksiomatizuju implikativni fragment iskaznog racuna,tj. sve teoreme koje u sebi sadrze samo implikaciju.

Zadatak 3. Bez pozivanja na zakon iskljucenja treceg, dokazati negiranizakon iskljucenja treceg: ` ¬¬(A ∨ ¬A), za svaku formulu A.

Zadatak 4. Za formulu A koja ima oblik negacije, ne koristeci zakoniskljucenja treceg, dokazati jaki zakon dvojne negacije ` ¬¬A→ A.

Svi logicki zakoni koje smo dokazali pretpostavljajuci zakon iskljucenjatreceg ne mogu se dokazati bez pozivanja na taj zakon. Ali dokaz da smozakon iskljucenja treceg koristili samo kada smo to zaista i morali uopstenije jednostavan. O tome ce biti reci u okviru rasprave o intuicionistickomiskaznoj logici.

Zadatak 5. Ako se pretpostavi zakon iskljucenja treceg, implikacijapostaje materijalna, tj. za proizvoljne formule A i B,

|= A→ B ↔ ¬A ∨B.

Zadatak pokazuje da se, uz zakon iskljucenja treceg, neki logicki veznicimogu definisati polazeci od drugih. Ali, to vazi samo u klasicnoj semantici,

45

kako smo je mi definisali, ali ne i kada se logicki veznici shvate drugacije.Primjer takvog shvatanja je intuicionisticka logika, o kojoj cemo upravootvoriti raspravu.

Zadatak 6. Neka je A iskazna formula. Postoji formula A′ u kon-junktivnoj normalnoj formi takva da je ` A ↔ A′ i postoji formula A′′ udisjunktivnoj normalnoj formi takva da je ` A↔ A′′ .

Uputstvo: Na osnovu prethodnog zadatka, mozemo prvo pretpostavitida se u formuli A ne javlja implikacija, a zatim, na osnovu De morganovihzakona i zakona dvojne negacije, da se u formuli A negacija javlja samouz iskazna slova. Koristeci teoreme obostrane distributivnosti konjunkcijei disjunkcije dobijamo konjunktivnu (disjunktivnu) normalnu formu dateformule.

Intuicionisticka logika

Kada iz spiska aksioma eliminisemo zakon iskljucenja teceg, preostaleaksiome, sa modus ponensom kao pravilom izvodenja, cine intuicionistickuiskaznu logiku. Da bi se istakla razlika ta dva logicka sistema, prethodnalogika naziva se klasicna iskazna logika. Opstije, matematicka rasudivanjakoja se pozivaju na zakon iskljucenja treceg nazivaju se klasicnim, a ona kojaopravdanost tog argumenta negiraju su intuicionisticka.

Primjer 1. Dokazati da postoje iracionalni brojevi α i β takvi da je αβ

racionalan broj.

Dokaz. Klasicni matematicar bi mogao rasudivati na sledeci nacin: broj√

2√

2ili jeste racionalan ili nije. Ako broj

√2√

2jeste racionalan, onda su

trazeni brojevi α =√

2 i β =√

2, a ako taj broj nije racionalan, α =√

2√

2

i β =√

2 su trazeni brojevi. Dakle, postoje postoje iracionalni brojevi α iβ takvi da je αβ racionalan broj. C

Za intuicionistu, takvo rasudivanje je potpuno neprihvatljivo, buduci dauopse nismo odredili brojeve koji zadovoljavaju trazeni uslov. Primijetimo

da postoji dokaz da broj√

2√

2zaista nije racionalan.

Ilustracije radi, dokazacemo da se zakon iskljucenja treceg ne moze dobitiiz preostalih deset aksioma iskazne logike.

Teorema 1. Formula p ∨ ¬p nije dokaziva u intuicionistickoj logici.

46

Dokaz. Za dokaz ove teoreme neophodno je da bitno promijenimo nasusemantiku. Dopusticemo da iskaz moze biti istinit, lazan ili nesto trece. Totrece dopustamo upravo stoga sto zelimo da zaobidemo zakon iskljucenjatreceg. Svakako, sa tom promjenom, nuzna je i promjena definicije znacenjalogickih veznika.

Skup vrijednosti istinitosti prosiricemo jos jednim elementom koji ozna-cavamo sa 1/2. Dakle, taj skup je sada 3 = {0, 1/2, 1}. Dokazacemo da sveintuicionisticki dokazive formule imaju vrijednost jedan, a da to nije slucaji sa formulom p ∨ ¬p. Da bi se definisalo znacenje formule u trovrednosnojlogici, neophodno je zadati definicije istinitosti logickih veznika:

v(p) v(q) v(¬p) v(p ∧ q) v(p ∨ q) v(p→ q)

0 0 1 0 0 10 1/2 1 0 1/2 10 1 1 0 1 1

1/2 0 0 0 1/2 01/2 1/2 0 1/2 1/2 11/2 1 0 1/2 1 11 0 0 0 1 01 1/2 0 1/2 1 1/21 1 0 1 1 1

za svaku 3-valuaciju v : P → 3. Formula je 3-tautologija ako ima vrijed-nost jedan za svaku 3-valuaciju iskaznih promjenljivih. Tvrdimo da je svakaintuicionisticki dokaziva formula 3-tautologija.

Naime, sve aksiome intuicionistickog iskaznog racuna su 3-tautologije.To se provjerava konstrukcijom tablice svake od deset aksioma. Kako modusponens cuva 3-tautologije, a to slijedi neposredno iz tablice za implikaciju,svaka dokaziva formula je 3-tautologija.

Ostaje jos da naglasimo da formula p∨¬p ima vrijednost v(p∨¬p) = 1/2,za svaku valuaciju v, za koju je v(p) = 1/2, sto znaci da nije 3-tautologija,tj. da nije dokaziva u intuicionistickoj iskaznoj logici. C

Zadatak 1. Svaka 3-tautologija je klasicna tautologija.

Vazno je naglasiti da nije svaka 3-tautologija dokaziva u intuicionistic-koj iskaznoj logici. Na primjer, formula ¬p∨¬¬p jeste 3-tautologija, ali nijeintuicionisticki dokaziva. Dakle, intuicionisticka iskazna logika je korektna,ali nije i potpuna u odnosu na 3-tautologije. Semantika u odnosu na kojuona jeste potpuna prevazilazi okvire nasih razmatranja.

47

Zadatak 2. Poznato je da sledeci klasicni logicki zakoni nisu dokazivi uintuicionistickoj logici: ¬¬p→ p, p∨¬p, ¬p∨¬¬p, (¬q → ¬p)→ (p→ q),¬(p ∧ q)→ (¬p ∨ ¬q), za proizvoljne elementarne iskaze p i q.

Provjeriti koji od navedenih zakona jesu 3-tautologije. Naglasavamo daprethodne tautologije nismo dali u obliku shema formula. Na primjer, nekeinstance formule ¬¬A → A mogu biti intuicionisticke teoreme: ako je Aoblika ¬B, dobija se intuicionisticki dokaziva formula ¬¬¬B → ¬B.

Teorema potpunosti iskazne logike

Dosadasnja izlaganja svojstava iskaznog racuna dovoljna su nam da iz-lozimo nekoliko dokaza teoreme potpunosti: Svaka tautologija je teorema.

Izlozicemo tri dokaza teoreme potpunosti. Prvi je otkrio Emil Post, dva-desetih godina proslog vijeka i sustina tog dokaza sastoji se u formalizacijitablice iskazne formule. Drugi pociva na ideji kompletiranja neprotivrecnogskupa formula i ta se ideja javlja se u dokazima teoreme potpunosti skorosvih formalnih sistema. Treci dokaz otkrio je Pol Bernajs, on je zacudujucekratak i po duhu blizak prvom dokazu.

Pokazacemo da svakom redu tablice formule A(p1, . . . , pn) odgovarajedan dokaz formule A, ako formula A ima vrijednost jedan, tj. formule¬A, ako formula A ima vrijednost nula. Pretpostavke tog dokaza sastoje seod iskaznih slova p1, . . . , pn ili njihovih negacija: ako slovo pi ima vrijednostjedan, onda je pretpostavka pi, a ako slovo pi ima vrijednost nula u tomredu tablice, pretpostavka je ¬pi, za sve 1 ≤ i ≤ n.

Da bi smo razradili i potvrdili ovu ideju, vraticemo se na tablice iskaznihveznika:

v(A) v(B) (A ∧B) v(A ∨B) v(A→ B) v(¬A)

0 0 0 0 1 10 1 0 1 1 11 0 0 1 0 01 1 1 1 1 0

za svaku valuaciju v ∈ 2P i proizvoljne formule A i B.

Za zvaku valuaciju v ∈ 2P , neka je Av formula A ako je v(A) = 1, a akoje v(A) = 0, neka je Av formula ¬A.

48

Teorema o tablici iskaznih veznika: Za proizvoljne formule A i B,

Av, Bv ` (A ∧B)v,

Av, Bv ` (A ∨B)v,

Av, Bv ` (A→ B)v,

Av ` (¬A)v,

za svaku valuaciju v ∈ 2P .

Dokaz. Teorema tvrdi da svakom redu tablice iskaznog veznika odgo-vara jedno tvrdenje oblika Av, Bv ` C. Takvih tvrdenja ima cetrnaest – pocetiri za konjunkciju, disjunkciju i implikaciju, kao i dva za negaciju.

Na primjer, kada citamo treci red tablice konjunkcije, dobijamo tvrdenje

A,¬B ` ¬(A ∧B).

Po pravilu za dokazivanje negacije, iz pretpostavki A,¬B i A ∧ B, trebadokazati kontradikciju. Zbog A ∧ B i aksiome (A ∧ B) → B, po modusponensu, imamo B, dok ¬B vec imamo kao pretpostavku. Na slican nacin,dokazujemo i preostala tri tvrdenja koja se odnose na konjunkciju.

Kada citamo prvi red tablice disjunkcije, dobijamo tvrdenje

¬A,¬B ` ¬(A ∨B).

Po pravilu za dokazivanje negacije, iz pretpostavki ¬A,¬B i A ∨ B, trebadokazati kontradikciju. Po pravilu disjunkcije, kontradikciju treba dokazatiiz pretpostavki ¬A,¬B i A, kao i iz pretpostavki ¬A,¬B i B, a to je uoba slucaja vec imamo. Slicno dokazujemo i preostala tri tvrdenja koja seodnose na disjunkciju.

Kada citamo treci red tablice implikacije, dobijamo tvrdenje

A,¬B ` ¬(A→ B).

Po pravilu za dokazivanje negacije, iz pretpostavki A,¬B i A → B, trebadokazati kontradikciju, a to je ocigledno. Slicno se dokazuju i preostala tritvrdenja koja se odnose na implikaciju.

Konacno, kada citamo tablicu negacije, iz prvog reda dobijamo tvrdenje¬A ` ¬A, a iz treceg reda, tvrdenje A ` ¬¬A. Oba su ocigledna. C

Sada mozemo formulisati teoremu o dokazivosti tablice formule iskaz-nog racuna. Prije nego sto predemo na izlaganje ove teoreme, podsjecamoda oznaka A(p1, . . . , pn) podrazumijeva da su sva slova formule A, neka odiskaznih slova p1, . . . , pn ∈ P.

49

Teorema o tablici: Ako je A(p1, . . . , pn) formula iskazne logike,

pv1, . . . , pvn ` Av,

za proizvoljnu iskaznu formulu A(p1, . . . , pn) i svaku valuaciju v ∈ 2P .

Dokaz. Neka je v ∈ 2P proizvoljna valuacija iskaznih slova. Teoremudokazujemo indukcijom po slozenosti formule A. Ako je A iskazno slovo pi,onda pvi ` pvi , za svako 1 ≤ i ≤ n.

Ako je A formula oblika B ∧C, po induktivnoj pretpostavci i teoremi otablicama iskaznih veznika

pv1, . . . , pvn ` Bv, pv1, . . . , p

vn ` Cv, Bv, Cv ` Av,

pa dvostrukom primjenom pravila sjecenja dobijamo

pv1, . . . , pvn ` Bv Bv, Cv ` Av

pv1, . . . , pvn, C

v ` A pv1, . . . , pvn ` Cv

pv1, . . . , pvn ` Av

Na isti nacin postupamo kada formula ima oblik disjunkcije ili imp-likacije, pa preostaje jos slucaj kada formula A ima oblik ¬B. Po induktivnojpretpostavci, pv1, . . . , p

vn ` Bv.

Ako v(A) = 0, onda v(B) = 1, pa

pv1, . . . , pvn ` B,

pv1, . . . , pvn ` ¬¬B,

pv1, . . . , pvn ` ¬A.

Ako v(A) = 1, onda v(B) = 0, pa

pv1, . . . , pvn ` ¬B,

pv1, . . . , pvn ` A.

To znaci da vazi pv1, . . . , pvn ` Av, sto je i trebalo dokazati. C

Umesto teorema o tablici, u literaturi se ova teorema naziva i Kalma-rovom lemom. To bi znacilo da dokaz teoreme potpunosti iskazne logike,o kome ovde govorimo, nije bilo opravdano pripisati Emilu Postu, koji seu svom dokazu oslanjao na konjunktivnu normalnu formu iskazne formule.Kako su pojmovi tablice i konjunktivne normalne forme bliski, a Postovdokaz znatno stariji, dokaz smo po njemu nazvali.

50

Dokaz teoreme potpunosti: Konacno, iz teoreme o dokazivosti tab-lice slijedi teorema potpunosti iskaznog racuna. Naime, ako je A tautologijacije su sve iskazne promjenljive p1, . . . , pn, n ≥ 1, prema teoremi o doka-zivosti tablice, formula A ima 2n dokaza u kojima su pretpostavke samoiskazne promjenljive ili njihove negacije. Te dokaze razvrstavamo po paro-vima tako da se svaki par razlikuje samo kod promjenljive p1: u jednomdokazu javlja se p1, a u drugom ¬p1. U svakom od tih 2n−1 parova dokazaprimenimo pravilo za uvodenje disjunkcije i dobijamo novi dokaz u kome sekao pretpostavka javlja p1 ∨ ¬p1, a nju mozemo izbrisati, buduci da se radio aksiomi iskaznog racuna. Tako se dobija 2n−1 dokaza formule A u kojimase kao pretpostavka vise ne javlja ni promjenljiva p1, a ni njena negacija.Jasno, ponavljanjem ovog postupka mogu se ukloniti sve pretpostavke, pase tako dobija dokaz tautologije A bez ikakvih pretpostavki. To znaci datautologija A jeste teorema iskaznog racuna. C

Naglasavamo da je navedeni dokaz teoreme potpunosti neposredan uto-liko sto za datu tautologiju konstuisemo njen formalni dokaz. U narednimrazmatranjima izlozicemo i jedan posredan dokaz teoreme potpunosti takosto cemo povezati pojmove potpunosti i korektnosti iskazne logike, sa poj-movima konzistentnog i zadovoljivog skupa formula. Ta veza je posebnoznacajna zato sto neposredan dokaz teoreme potpunosti predikatske logike,poput prethodnog dokaza, uopste ne postoji.

Opsta teorema potpunosti iskazne logike

Iz teoreme korektnosti i teoreme potpunosti slijedi da su pojmovi teoremei tautologije ekvivalentni, tj. da vazi ekvivalencija

` A ⇔ |= A,

za svaku iskaznu formulu A.

Kako smo nagovijestili, izlozicemo jos jedan oblik teoreme potpunosti,ciji dokaz ima uopstenje u predikatskoj logici. Da bi istakli njegov znacaj,taj oblik teoreme nazivamo opstom teoremom potpunosti.

Izlaganje pocinjemo podsjecanjem na definicije pojmova konzistentnogzadovoljivog i skupa formula. Treba primetiti da smo pojam konzistentnogskupa formula ranije definisali pozivajuci se na semantiku, dok ovde gov-orimo o njegovoj sintaksnoj definiciji. (U odeljku o logickim posljedicamavidjeti Zadatak 1.)

51

– Skup formula Γ je konzistentan ako ne postoji iskazna formula A, zakoju istovremeno vazi Γ ` A i Γ ` ¬A.

– Skup formula Γ je zadovoljiv ako postoji valuacija iskaznih promjenlji-vih za koju su sve formule iz Γ istinite.

Formula A je tautologija ako i samo ako skup {¬A} nije zadovoljiv.

Zadatak 1. Opsta teorema korektnosti: Ako Γ ` A, onda Γ |= A, zasvaku formulu A i svaki skup formula Γ.

Kao i teorema korektnosti, opsta teorema korektnosti dokazuje se induk-cijom po slozenosti dokaza formule A iz hipoteza Γ. Sada bazu indukcijecine aksiome iskazne logike i formule skupa Γ, a induktivni korak je modusponens.

Opsta teorema potpunosti: Skup iskaznih formula je zadovoljiv akoi samo ako je konzistentan.

Dokaz. Dokazimo da je svaki zadovoljiv skup formula konzistentan.Pretpostavimo suprotno, tj. da Γ nije konzistentan skup formula i neka jev ∈ 2P valuacija za koju su sve formule iz Γ istinite. Zbog nekonzistentnostiskupa Γ, postoji formula A takva da Γ ` A i Γ ` ¬A, pa opstoj teoremikorektnosti, imamo v(A) = 1 i v(¬A) = 1, a to nije moguce.

Ovdje cemo prekinuti dokaz stava potpunosti da bi smo prvo izlozilinjegovu ideju, zatim dokazali njegove neophodne pretpostavke i na krajuizlozili sam dokaz.

Ideja dokaza: Pretpostavimo da je Γ konzistentan skup. Treba odre-diti valuaciju v ∈ 2P , za koju su sve formule iz Γ istinite. Buduci da svakavaluacija koja zadovoljava skup Γ, zadovoljava i svaku njegovu posljedicu,ako Γ ` p treba staviti v(p) = 1, tj. ako Γ ` ¬p, treba staviti v(p) = 0, zasvako p ∈ P . Ali, ako nije ni Γ ` p, a ni Γ ` ¬p, za neko p ∈ P , onda skupΓ treba prosiriti tako da se u tom smislu izjasni.

Teorema 1. Bar jedan od skupova Γ, A ili Γ, ¬A je konzistentan, zasvaku formulu A i svaki konzistentan skup formula Γ.

Dokaz. U suprotnom, po pravilu za dokazivanje negacije, imali bi smoΓ ` ¬A i Γ ` ¬¬A, a to nije moguce, buduci da je Γ konzistentan skupformula. C

Kompletni skupovi formula

Konzistentan skup formula Σ je kompletan, ako Σ ` A ili Σ ` ¬A, zasvaku iskaznu formulu A.

52

Teorema 1. Svaki konzistentan skup formula ima kompletno prosirenje.

Dokaz. Neka je Γ konzistenntan skup. Skup F svih iskaznih formula jeprebrojiv i neka je (A1, A2, A3, . . . ) jedno prebrojavanje skupa F . Polazeciod skupa Γ, konstruisemo niz konzistentnih skupova

(Γ0,Γ1,Γ2, . . . ),

takav da Γn ⊆ Γn+1, za svako n ≥ 0.

Neka je Γ0 = Γ, i neka je konzistentan skup Γn−1, n > 0, konstruisan.Prema prethodnoj teoremi, bar jedan od skupova Γn−1, An ili Γn−1, ¬Anje konzistentan, pa neka je konzistentan skup Γn jedan od tih skupova. Pokonstrukciji, Γn ⊆ Γn+1, za svako n ≥ 0.

Neka je Γ =⋃n>0 Γn. Jasno, Γ ⊆ Γ. Kako niz (A1, A2, A3, . . . ) sadrzi sve

formule, A ∈ Γ ili ¬A ∈ Γ, za svaku formulu A, pa ako jeste konzistentan,skup Γ je kompletan i sadrzi dati konzistentan skup Γ.

Manje ocigledno je da skup Γ jeste konzistentan, buduci da je napravljenkao beskonacna unija konzistentnih skupova. Pretpostavimo suprotno, dapostoji formula A, takva Γ ` A i Γ ` ¬A.

Niz (A1, A2, A3, . . . ) sadrzi sve iskazne formule, pa dakle i sve formuledokaza A i dokaza ¬A iz pretpostavki Γ. Dokazi su konacni nizovi, papostoji prirodan broj m > 0, koji je veci od indeksa svake od formula, kojese javljaju u dokazima za A i ¬A iz pretpostavki Γ. Niz Γn, n ≥ 0, je rastuci,pa Γm ` A i Γm ` ¬A, a to nije moguce. C

Dokaz opste teoreme potpunosti

Kako se svaki konzistentan skup formula moze kompletirati, za dokazstava potpunosti, preostaje nam da dokazemo da je svaki kompletan skupzadovoljiv.

Teorema 1. Ako je Γ kompletan skup formula, postoji valuacija, zakoju su sve formule skupa Γ istinite.

Dokaz. Ako je Γ kompletan skup formula, za svako iskazno slovo p ∈ P ,Γ ` p ili Γ ` ¬p, pa neka je v(p) = 1 ako i samo ako Γ ` p. Tvrdimo da

v(A) = 1 ⇔ Γ ` A,

za svaku iskaznu formulu A.

53

Zbog kompletnosti skupa formula Γ, dovoljno je dokazati da, za svakuformulu A,

v(A) = 1 ⇒ Γ ` A,

v(A) = 0 ⇒ Γ ` ¬A.

Tvrdenje dokazujemo indukcijom po slozenosti formule A. Ako je Aiskazno slovi, tvrdenje vazi po definiciji valuacije v.

Neka formula A ima oblik B ∧C. Ako v(A) = 1, onda v(B) = v(C) = 1,pa po induktivnoj hipotezi Γ ` B i Γ ` C, odnosno Γ ` B ∧ C, tj. Γ ` A.Ako je v(A) = 0, bar jedna od formula B ili C nije istinita, pa neka je toformula B. Po induktivnoj pretpostavci Γ ` ¬B, pa kako ` ¬B → ¬(B∧C),imamo Γ ` ¬A.

Neka formula A ima oblik B ∨ C. Ako v(A) = 1, onda je bar jedna odformula B ili C istinita. Neka je to formula B. Po induktivnoj pretpostavci,Γ ` B, tj. Γ ` A. Ako v(A) = 0, onda v(B) = 0 i v(C) = 0, pa poinduktivnoj pretpostavci Γ ` ¬B i Γ ` ¬C. Koristeci De Morganove zakone,dobijamo Γ ` ¬A.

Neka formula A ima oblik B → C. Ako v(A) = 1, onda v(B) = 0 iliv(C) = 1. Po induktivnoj pretpostavci, Γ ` ¬B ili Γ ` C. Ako Γ ` ¬B,zbog aksiome negacije ¬B → (B → C), dobijamo Γ ` A. Ako Γ ` C, zbog` C → (B → C), dobijamo Γ ` A.

Preostao je slucaj kada formula A ima oblik ¬B. Ako v(A) = 1, ondav(B) = 0, pa, po induktivnoj pretpostavci, Γ ` ¬B, tj. Γ ` A. Ako v(A) = 0,onda v(B) = 1, pa, po induktivnoj pretpostavci, Γ ` B. Otuda, zbog zakonadvojne negacije ` B → ¬¬B, dobijamo Γ ` ¬¬B, pa konacno Γ ` ¬A. C

Dokaz opste teoreme potpunosti. Preostaje da zakljucimo da jesvaki konzistentan skup zadovoljiv.

Neka je Γ konzistentan skup i Γ njegovo kompletno prosirenje. Defini-simo valuaciju v ∈ 2P tako da v(p) = 1 ako i samo ako Γ ` p. Premaprethodnoj teoremi valuacija v zadovoljava Γ. C

Posljedice opste teoreme potpunosti

Kao njegove prve posljedice, dokazacemo da iz opste teoreme korektnostislijedi teorema korektnosti i da iz opste teoreme potpunosti sledi teoremapotpunostiskazne logike.

Lema 1. Iz pretpostavke da je svaki zadovoljiv skup konzistentan, slijediteorema korektnosti.

54

Dokaz. Ako je formula A teorema, {¬A} je protivrecan skup (iz njegasu dokazive formule A i ¬A). Po pretpostavci, skup {¬A} nije zadovoljiv,pa v(A) = 1, za svaku valuaciju v ∈ 2P , tj. formula A je tautologija. C

Lema 2. Iz cinjenice da je svaki neprotivrecan skup formula zadovoljiv,slijedi teorema potpunosti.

Dokaz. Naime, ako je formula A tautologija, onda skup {¬A} nije za-dovoljiv, pa iz ¬A slijedi protivrecnost. Otuda, po pravilu za dokazivanjenegacije, imamo ` ¬¬A, pa zbog teoreme o dvojnoj negaciji, imamo ` A. C

Teorema kompaktnosti: Ako je svaki konacan podskup skupa for-mula Γ zadovoljiv, Γ je zadovoljiv skup formula.

Dokaz. Ako skup Γ nije zadovoljiv, prema optoj teoremi potpunosti,on je protivrecan. Kako je dokaz protivrecnosti konacan, postoji konacanprotivrecan podskup od Γ. C

Zadatak 1. Dokazati da za svaki skup formula Γ i svaku formulu A,

Γ ` A ⇔ Γ |= A.

Zadatak 2. Neka je rijec je konacan niz nula i jedinica, a kao i ranije,rijec v je pocetna podrijec rijeci u ako postoji rijec w takva da je u = vw.Drvo je skup rijeci koji sa svakom rijeci sadrzi i svaku njenu pocetnu podri-jec. Beskonacna grana drveta T je beskonacan niz nula i jedinica ciji svakikonacan pocetni podniz pripada T . Koristeci stav kompaktnosti, dokazatiKenihovu lemu: svako beskonacno drvo ima beskonacnu granu.

Podsjecamo da smo u ranijim razmatranjima sa Con(Γ) oznacavali sveposljedice skupa formula Γ.

Zadatak 3. Dokazati da operator Con ima sledeca svojstva:

Γ ⊆ Con(Γ),

Con(Con(Γ)) ⊆ Con(Γ),

Γ ⊆ Σ ⇒ Con(Γ) ⊆ Con(Σ),

Con(Σ) ⊆⋃

Γ∈ΣfinCon(Γ),

gdje je Σfin, skup svih konacnih podskupova skupa Σ.

Skup formula Σ je zatvorena teorija u iskaznoj logici ako Con(Σ) = Σ.

Skup formula Γ je skup aksioma teorije Σ ako Con(Γ) = Con(Σ).

Teorija je konacno aksiomatska ako ima konacan skup aksioma.

55

Skup formula Γ je nezavisan ako za svaku formulu A ∈ Γ, formula A nijeposljedica skupa formula Γ− {A}.

Relacija v |= Σ, oznacava da valuacija v ∈ 2P zadovoljava skup Σ.

Zadatak 4. Ako je Γ je skup aksioma teorije Σ, onda v |= Γ ⇔ v |= Σ,za svaku valuaciju v ∈ 2P . Vazi i obratno, tj. ako v |= Γ ⇔ v |= Σ, za svakuvaluaciju v ∈ 2P , onda je Γ skup aksioma teorije Σ

Zadatak 5. Neka su Σ1 i Σ2 teorije takve da v |= Σ1 ⇔ v 6|= Σ2, zasvaku valuaciju v ∈ 2P . Dokazati da su Σ1 i Σ2 konacno aksiomatske teorije.

Zadatak 6. Svaka teorija ima nezavisan skup aksioma.

Bernajsov dokaz teoreme potpunosti

Izlozicemo jos jedan dokaz teoreme potpunosti koji ima slicnu inspiracijukao i Postov dokaz. On se ne oslanja na tablicu iskazne formule, vec na njenukonjunktivnu normalnu formu. Kako normalnu formu neposredno citamo iztablice i obratno, ti dokazi su vrlo bliski. Dokaz potice iz 1914. godine ipronaden je u zaostavstini logicara Pola Bernajsa. Moguce da je to prvidokaz teoreme potpunosti uopste.

Bernajsov dokaz teoreme potpunosti: Neka je A formula koja nijeteorema iskazne logike. Uocimo teoriju Σ cije su sve formule supsitucioneinstance formule A. Tvrdimo da je teorija Σ protivrecna. Ako to dokazemo,formula A nije tautologija, jer bi u suprotnom sve formule iskaznog racunabile tautologije. Dakle, ako formula A nije teorema, onda A nije tautologija,pa |= A implicira ` A, za svaku formulu A.

Neka je A′ konjunktivna normalna forma formule A. Kako ` A ↔ A′,mora biti Σ ` A′. Kako A′ nije teorema iskazne logike, bar jedan njenkonjunkt B nije teorema iskazne logike. Po aksiomi konjunkcije ` A′ → B,pa Σ ` B. Formula B je elementarna disjunkcija, tj. konacna disjunkcijau kojoj se javljaju samo iskazna slova ili njihove negacije. Ako je p iskaznoslovo i ako u formuli B sva iskazna slova koja nisu negirana zamenimo sap, a sva negirana iskazna slova sa ¬p, dobijamo formulu p ∨ ¬¬p, tj. p, padakle Σ ` p. Dakle, Σ je protivrecna teorija. C

56

Predikatska logika

Centralna ideja matematicke logike sastoji u tome da se matematickatvrdenja zapisu u obliku konacnih nizova simbola sa kojima se moze operi-sati po formalnim pravilima tako da se korektnost takvog rasudivanja mozeprovjeriti mehanicki, nezavisno od smisla koji matematicki simboli moguimati.

Sa stanovista tog programa, izrazajne mogucnosti iskaznog racuna suveoma ogranicene. One se uglavnom iscrpljuju na svojstvima logickih vez-nika tako da jezik u kojem bi se sistematski mogla izrazavati svojstva mate-matickih struktura mora biti mnogo bogatiji. Prije nego sto izlozimo jedantakav jezik, preciziracemo kontekst u kojem ce on biti interpretiran - defi-nisacemo pojam matematicke strukture.

57

Matematicke strukture

Kada u matematici govorimo o grupi, prstenu, polju, uredenju, urede-nom polju, vektorskom prostoru, prirodnim brojevima itd, uvijek govorimoo nepraznom skupu na kojem je definisan odreden broj relacija, operacijai istaknutih elemenata, tj. govorimo o strukturi. Prije definicije, navodimonekoliko vaznih primjera matematickih struktura.

Primjer 1. Grupa je struktura G = (G,+, 0) definisana na nepraznomskupu G, sa binarnom operacijom + skupa G i istaknutim elementom 0,koji pripada skupu G. Operacija + je asocijativna, istaknuti element 0 jeneutralni element grupe i svaki element grupe u odnosu na operaciju + imainverzni.

Primjer 2. Polje je struktura F = (F,+ , · , 0, 1) definisana na nepraz-nom skupu F , sa dvije binarne operacije + i · skupa F i dva istakuta ele-menta 0 i 1. Skup F , u odnosu na operaciju +, ima svojstva komutativnegrupe sa neutralnim elementom 0. Skup F − {0}, u odnosu na operaciju ·,ima svojstva komutativne grupe, sa neutralnim elementom 1. Operacija · jedistributivna u odnosu na operaciju +, a istaknuti elemeti 0 i 1 su razliciti,tj. skup F ima bar dva elementa.

Primjer 3. Linearno uredenje je struktura P = (P,<) sa nerefleksiv-nom, tranzitivnom i linearnom relacijom < nepraznog skupa P .

Primjer 4. Uredeno polje je struktura F = (F,+ , · , <, 0, 1) definisanana skupu F , sa dvije binarne operacije + i · skupa F , jednom binarnomrelacijiom < skupa F i dva istaknuta elementa 0 i 1. Skup F sa operacijama+ i · i istaknutim elementima 0 i 1 ima svojstva polja, a relacija < je linearnostriktno uredenje bez krajeva (skup M je beskonacan), koje je saglasno saobje operacije.

Primjer 5. Prirodni brojevi N = (N,+ , · , s, 0) se u matematici uobi-cajeno shvataju kao struktura koja zadovoljava Peanove aksiome. Od tihaksioma, sedam izrazava svojstva sabiranja + , mnozenja · i operacije sled-benika s, dok preostale aksiome izrazavaju princip matematicke indukcije.

Sa ovim primjerima matematickih struktura zeljeli smo da ukazemo ci-taocu da u svim daljim izlaganjima mora imati pred ocima neku matema-ticku strukturu, koja se izucava u algebri, poput grupe i polja, u analizi,poput uredenog polja, aritmetici ili geometriji. Bez toga, smisao pojmova okojima budemo govorili ostace nejasan, a njihov sadrzaj prazan.

58

Predikatska logika ima dovoljno veliku ekspresivnu moc da formalno de-finise sva svojstva koja smo naveli u prethodnim primjerima, kao i mnogadruga znatno slozenija i dublja svojstva navedenih i mnogih drugih struktu-ra. Neka ipak ne moze, tj. njegova ekspresivna moc je ogranicena.

Relacije, operacije i istaknuti elementi

Ako je M neprazan skup, Mn = {(x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ M} je De-kartov n-ti stepen skupa M , za svako n ≥ 0. Dakle, skup Mn sastoji se odnizova duzine n, tj. od uredenih n-torki skupa M .

Ako je n = 1, nizove duzine jedan skupa M identifikujemo sa njegovimelementima, pa je M1 = M . Ako n = 0, jedini niz duzine nula je prazanniz, koji oznacavamo sa ∅, pa je M0 = {∅}, jednoclan skup, za svako M .

Skup r ⊆ Mn je relacija duzine n ≥ 0 skupa M . Ako (x1, . . . , xn) ∈ r,kazemo da su elementi x1, . . . , xn skupa M , tim redom, u relaciji r. Umjesto(x1, . . . , xn) ∈ r, cesto koristimo i oznaku r(x1, . . . , xn).

Napomenimo da se svaka relacija r ⊆ Mn moze shvatiti i kao preslika-vanje r : Mn → {0, 1} takvo da za sve x1, . . . , xn ∈M ,

r(x1, . . . , xn) = 1 ⇔ (x1, . . . , xn) ∈ r.

Specijalno, kada je n = 0, Dekartov stepen M0 = {∅} je jednoclan skup,pa postoje dvije relacije duzine nula:

0 : M0 → {0, 1}, za koju je 0(∅) = 0,1 : M0 → {0, 1}, za koju je 1(∅) = 1.

Ako relaciju 0 identifikujemo sa nulom, a relaciju 1 sa jedinicom, ondasu neistina i istina, relacije duzine nula.

Kada je n = 1, unarne relacije skupa M su njegovi podskupovi, pa akor ⊆M , onda r(x) znaci x ∈ r.

Kada se radi o binarnoj relaciji r ⊆ M2, umjesto (x, y) ∈ r ili r(x, y),cesto koristimo infiksnu notaciju x r y.

Preslikavanje oblika f : Mk →M je operacija duzine k ≥ 0 skupa M.

Ako je k = 0, operacija duzine nula c : M0 → M preslikava jedoclanskup M0 u neprazan skup M , tj. odreduje jedan istaknuti element c(∅) = cskupa M . Ako identifikujemo c i c, istaknuti element je operacija duzinenula skupa M .

59

Kada se radi o binarnoj operaciji, izraz f(x, y) cesto zapisujemo u in-fiksnoj notaciji x f y.

Svaka operacija f : Mn →M , n ≥ 0 odreduje relaciju rf duzine (n+ 1)takvu da za sve x1, . . . , xn, y ∈ A,

rf (x1, . . . , xn, y) ⇔ f(x1, . . . , xn) = y.

To znaci da svaku operaciju f duzine n, mozemo shvatiti kao relaciju rfduzine (n+ 1), koja zadovoljava funkcijske uslove

∀x1 . . . ∀xn ∃y rf (x1, . . . , xn, y),

∀x1 . . . ∀xn ∀y ∀z (rf (x1, . . . , xn, y) ∧ rf (x1, . . . , xn, z)→ y = z).

Vazi i obratno: svaka relacija duzine n+ 1 sa navedenim funkcijskim svoj-stvima, odreduje operaciju duzine n.

U opstem slucaju, struktura M je matematicki objekt koji sadrzi sljedecekomponente:

(1) Neprazan skup M , ili domen strukture M,(2) Skupove relacija, operacija i istaknutih elemenata skupa M .

Opskurnim matematickim jezikom receno, struktura M je niz skupova

M = (M,R, F, C)

u kojem je M neprazan skup, R skup relacija, F skup operacija i C skupistaknutih elemenata skupa M . Pritom, svaki od skupova R, F i C (i svizajedno) moze biti prazan.

Kako se istaknuti elementi mogu shvatiti kao operacije duzine nula, tj.kao relacije duzine jedan, a operacije duzine n ≥ 1 kao relacije duzine n+ 1,sve strukture su zapravo relacijske strukture. Iako smo ih mogli tretiratikao posebne slucajeve relacija i time mozda pojednostavili izlaganje, kakosu pojmovi istaknutog elementa i operacije vazni u matematici ipak ih tre-tiramo zasebno.

Matematicke formule

Vazna prednost matematike u odnosu na sve druge nauke jeste u tomesto ona svoje zakone moze da izrazi sasvim precizno i nedvosmisleno - ma-tematickom formulom. U logici treba precizno i nedvosmisleno da definise-mo samu matematicku formulu. Prije takve definicije, navodimo primjerematematickih formula.

60

Primjer 1. U grupi G = (G,+, 0), asocijativnost operacije + izrazavase matematickom formulom

∀x ∀y ∀z ((x+ y) + z = x+ (y + z)).

Primjer 2. Aksiomu, po kojoj svaki element polja razlicit od nule imainverzni u odnosu na operaciju ·, izrazavamo formulom

∀x (¬(x = 0)→ ∃y (x · y = 1)).

Primjer 3. Svojstva nerefleksivnosti, tranzitivnosti, linearnosti i ne-ogranicenosti relacije < uredenog polja mogu se izraziti formulama

∀x¬(x < x),

∀x ∀y ∀z ((x < y ∧ y < z)→ x < z),

∀x ∀y (x < y ∨ x = y ∨ y < x),

∀x ∃y (x < y) ∧ ∀x ∃y (y < x).

Primjer 4. Prve tri Peanove aksiome govore o svojstvima unarne opera-cije sljedbenika. Jedna tvrdi da nula nije sljedbenik prirodnog broja, drugada je preslikavanje s injektivno, a treca da je svaki prirodan broj razlicit odnule sljedbenik. One se mogu izraziti formulama

∀x (¬(0 = s(x))),

∀x ∀y (s(x) = s(y)→ x = y).

∀x (¬(x = 0)→ ∃y (x = s(y))).

U izrazavanju svojstava relacija, operacija i istaknutih elemenata koristilismo: promjenljive x, y i z, iskazne veznike ∧,∨,→ i ¬, kvantifikatore ∀x,∀yi ∀z, znak jednakosti =, lijevu i desnu zagradu, oznake relacije <, operacija+ , · i s, kao i oznake istaknutih elemenata 0 i 1.

Da se u prethodnim primjerima pojavila i relacija r duzine tri, njen ma-tematicki zapis bio bi r(x, y, z), u kome koristimo i simbol zapete. Iz tograzloga jezik sadrzi i jednu zapetu, kao interpunkcijski simbol.

Kako smo ranije napomenuli, interpunkcijsji simboli osiguravaju jedno-znacno citanje formula formalnog sistema. Treba ipak istaci ta se takvajednoznacnost moze postici i bez interpunkcije. Ako bi smo formulu (A∧B)zapisali sa ∧AB, tj. ako bi smo formule zapisivali u poljskoj notaciji, imalibi smo njihov jednoznacan zapis bez upotrebe zagrada. Takodje, ako u za-pisivanju simbola relacija ne koristimo infiksnu notaciju, oslobodili bi smose upotrebe zagrada i zapete. Ipak, zbog stecenih navika u matematici, uformalizacijama cesto koristimo interpunkciju.

61

Jezik pradikatske logike

Zapisivanje svojstava relacija, operacija i istaknutih elemenata sugeriseda jezik predikatske logike treba da sadrzi sljedece skupove simbola:

(1) Simbole individualnih promjenljivih V = {vn : n ∈ N},(2) Simbole iskaznih logickih veznika ∧,∨,→ i ¬,

(3) Simbole kvantifikatora ∃x i ∀x, za svako x ∈ V ,

(4) Simbol jednakosti =, kao binarni relacijski simbol,

(5) Interpunkcijske simbole: zapetu i male zagrade,

(5) Simbole relacija, operacija i istaknutih elemenata.

Neka je I skup interpunkcijskih simbola, tj. troclani skup koji sadrzi za-petu i obje male zagrade. Kada izrazavamo svojstva bilo koje matematickestrukture koristimo simbole

V ∪ {∧,∨,→,¬} ∪ {∀x : x ∈ V } ∪ {∃x : x ∈ V } ∪ {= } ∪ I,

pa ove simbole nazivamo logickim simbolima.

Simbole relacija, operacija i istaknutih elemenata biramo u zavisnosti odmatematickog konteksta koji formalizujemo, pa takve simbole nazivamo ne-logickim simbolima. Posto su logicki simboli jezika matematickih strukturastalni, taj jezik je potpuno odreden njegovim nelogickim simbolima. Stoga,kada zadajemo jezik konkretne matematicke strukture navodimo samo nje-gove nelogicke simbole, a logicki simboli se podrazumevaju.

Primjer 1. Po njenoj definiciji, grupi G = (G,+G, 0G), odgovara jezikje LG = {+ , 0}, koji sadrzi jedan binarni opercijski simbol + i jedan simbolistaknutog elementa 0. Formule jezika LG mogu se interpretirati u bilo kojojgrupi, pa taj jezik nazivamo jezikom teorije grupa.

Naglasavamo da su simbol + i simbol 0 elementi jezika LG, dakle tosimboli, a da su +G i 0G redom oznake za konkretnu binarnu operaciju, tj.konkretan element skupa G.

Primjer 2. Po njegovoj definiciji, polju F = (F,+F , ·F , 0F , 1F ) odgova-ra jezik LF = {+ , · , 0, 1}, koji sadrzi dva binarna operacijska simbola i dvasimbola istaknutih elemenata. Jezik LF je jezik teorije polja.

Primjer 3. Uredenom polju F = (F,+F , ·F , <F , 0F , 1F ) odgovara jezikLOF = {+ , · , <, 0, 1}, koji sadrzi dva binarna operacijska simbola, jedanbinarni relacijski simbol i dva simbola istaknutih elemenata. Jezik LOF jejezik teorije uredenih polja.

62

Primjer 4. Strukturi N = (N,+N , ·N , sN , 0N ) prirodnih brojeva odgo-vara jezik LPA = {+ , · , s, 0}, koji sadrzi dva binarna operacijska simbola,jedan unarni operacijski simbol i jedan simbol istaknutog elementa. JezikLPA je jezik aritmetike.

Na osnovu prethodnih primjera mozemo zakljuciti da jezik koji odgovarastrukturi M = (M,R, F, C), koji oznacavamo sa LM , pored logickog dijela,treba da sadzi:

(1) Skup R relacijskih simbola ili predikata,

(2) Skup F operacijskih simbola,

(3) Skup C individualnih konstanti.

Pritom, svakoj relaciji rM ∈ R, duzine n ≥ 1, odgovara predikat r ∈ R,duzine n ≥ 1, svakoj operaciji fM ∈ F , duzine k ≥ 1, odgovara operacijskisimbol f ∈ F , duzine k ≥ 1 i svakom istaknutom elementu cM ∈ C, odgovarasimbol konstante c ∈ C. Prirodno, pretpostavljamo da su skupovi R,F i Sdisjunktni u parovima. U suprotnom, smisao jezika L ne bi bio jednoznacan.

Da zakljucimo, ako sa L∅ oznacimo logicki dio jezika, jezik LM struk-ture M = (M,R, F, C) je skup simbola LM = L∅ ∪ R ∪ F ∪ C u kome jesakom relacijskom i svakom operacijskm simbolu zadata njegova duzina, tj.prirodan broj n ≥ 1.

Napominjemo da, kako jezik sadrzi konstante, nijesu nam potrebni funk-cijski simboli duzine nula, a kako simboli istine i lazi nijesu navedeni kaosimboli jezika, nijesu nam potrebni ni predikati duzine nula.

Kako smo vec napomenuli, posto su logicki simboli jezika stalni, jezikje odreden nelogickim simbolima, pa kada zadajemo jezik LM strukture M,navodimo samo njegove nelogicke simbole i naglasavamo njihovu duzinu. Iztih razloga

LM = R ∪ F ∪ C,

gde je za relacijske i operacijske simbole data njihova duzina.

Svaki od skupova R,F i C moze biti prazan, pa dakle i njihova unijamoze biti prazan skup. Ako LM = ∅, struktura M se svodi na njen domen, tj.na neprazan skup M , bez ikakvih relacija, operacija i istaknutih elemenata.Ali, iako je nelogicki dio jezika prazan, u takvom jeziku mogu se formulisatilogicka svojstva jednakosti, buduci da smo u definiciji jezika pretpostavili daon sadrzi jednakost kao logicki simbol. Svaki neprazan skup moze se shvatitikao struktura (sa jednakoscu kao relacijom).

63

Napominjemo da cemo simbol jednakosti = uvijek interpreti kao stvarnujednakost, tj. kao binarnu relaciju iM = {(x, x) : x ∈M}, na nepraznom sku-pu M . Takode naglasavamo da osim kao simbol jezika L∅, simbol jednakosti= ce se javljati i u neformalnim razmatranjima, ali ce iz konteksta biti jasnou kom smislu taj simbol koristimo.

Interpretacija jezika predikatske logike

Kada za datu strukturu M = (M, rM , fM , cM ) definisemo odgovarajucijezik LM = {r, f, c}, taj jezik je sintaksni objekt i moze se interpretirati udrugim strukturama. Formule jezika LM , mozemo tumaciti u svakoj struk-turi H = (H, rH , fH , cH) u kojoj su duzine relacija rM i rH jednake duzinisimbola r i duzine operacija fM i fH jednake duzini simbola f .

Neka je zadat jezik L = R ∪ F ∪ C i neprazan skup M . Interpretacijajezika L na skupu M je preslikavanje

I : R ∪ F ∪ C → Rel (M) ∪ Fun (M) ∪M,

takvo da: interpretacija simbola r ∈ R duzine n ≥ 1 je relacija I(r) duzinen skupa M , interpretacija simbola f ∈ F duzine k ≥ 1 je operacija I(f)duzine k skupa M , interpretacija simbola c ∈ C je element I(c) skupa M ,za sve r ∈ R, f ∈ F i c ∈ C. Pritom, sa Rel (M) i Fun (M) oznacili smoredom skup svih relacija i skup svih operacija skupa M .

Interpretacija I jezika L na skupu M odreduje strukturu

MI = (M, I(R), I(F ), I(C)),

koju nazivamo model jezika L. Kako se jezik Lmoze interpretirati na svakomnepraznom skupu i kako svi neprazni skupovi nisu skup, vec klasa, jeziku Lodgovara klasa Mod (L) njegovih modela.

Jezik L je skup simbola i po potrebi se moze siriti ili redukovati. Ako jeL ⊆ L′, jezik L′ je prosirenje jezika L, a jezik L je redukcija jezika L′.

Neka je M model jezika L. Ako interpretaciju I jezika L u modelu Mprosirimo tako sto svakom novom simbolu s ∈ L′ pridruzimo odgovarajucurelaciju, operaciju ili konstantu I ′(s) skupa M , dobijamo model M ′ jezikaL′. Model M′ je ekspanzija modela M na jezik L′, tj. model M je redukcijamodela M′ na jezik L. Naglasavamo da modeli M i M′ imaju isti domen,skup M . Ekspanzija i redukcija modela ne mijenjaju njegov domen.

64

Primjer 1. Jezik teorije polja LF = {+ · 0, 1} je prosirenje jezika teorijegrupa LG = {+ , 1}.

Ako je Q = (Q,+Q, 0Q) grupa racionalnih brojeva, s obzirom na sabi-ranje, polje Q′ = (Q,+Q, ·Q, 0Q, 1Q) racionalnih brojeva je ekspanzija grupeQ na jezik teorije polja LF .

Sa druge strane, jezik teorije polja LF = {+ · 0, 1} je redukcija jezikateorije uredenih polja LOF = {+ , · , <, 0, 1}.

Ako je Q = (Q,+Q, ·Q, <Q, 0Q, 1Q) uredeno polje racionalnih brojeva,njegova redukcija na jezik teorije polja LF je polje Q′ = (Q,+Q, ·Q, 0Q, 1Q)racionalnih brojeva.

Struktura S = (S,<S) je striktno linearno uredenje ako je binarna relaci-ja <S nerefleksivna, linearna i tranzitivna. Jezik teorije striktnog linearnoguredenja je LS = {<}. Jezik LS je redukcija jezika teorije uredenih poljaLOF . Redukcija uredenog polja Q na jezik teorije linearnog uredenja LS jelinearno uredenje Q′ = (Q,<Q) racionalnih brojeva.

Kada smo precizirali strukturu N prirodnih brojeva naveli smo i nulukao istaknuti element, pa se u jeziku aritmetike LPA prirodno pojavio isimbol konstante 0. Da smo zeleli da istaknemo jedinicu, u jeziku bi sepojavio i njen simbol. U opstem slucaju, ako je M model jezika L, svakomelementu b ∈ M moze se pridruziti konstanta cb. Kazemo da je konstantacb ime elementa b ∈M . Prosirimo li jezik L imenima svih elemenata skupaX ⊆ M , dobijamo jezik L′ = L ∪ {cb : b ∈ X}. Ako u modelu M jezikaL istaknemo elemente b ∈ X, dobija se model MX = (M, b ∈ X) jezika L′,u kome je svaka nova individualna konstanta cb interpretirana elementomb ∈M . Model MX je prosta ekspanzija modela M.

Puni naziv jezika koji smo definisali glasi jezik predikatske logike pr-vog reda. Naime, u toj logici postoje kvantifikatori samo za individualnepromjenljive, koje uzimaju vrijednosi iz domena strukture, a ne kvantifikujese po promjenljivima koje uzimaju vrijednosti u skupovima relacija i opera-cija domena strukture. Jezik u kome takva kvantifikacija postoji jeste jezikdrugog reda, a formalni sistem na tom jeziku je predikatska logika drugogreda. Postoji sustinska razlika izmedu logike prvog i logike drugog reda. Migovorimo samo o predikatskoj logici prvog reda, pa nema posebne potrebeda to naglasavamo u njenom nazivu.

65

Termi i formule predikatske logike

Za razliku od iskazne, predikatska logika sadrzi dvije vrste sintaksnihobjekata: terme i formule. Termi su konacni izrazi koji se mogu dobiti odpromjenljivih, konstanti i operacijskih simbola i koji, kao rijeci, imaju smis-la. Formule su izrazi sastavljeni od predikata nad termima, logickih veznikai kvantifikatora.

Skup terma, kao skup konacnih nizova simbola jezika L, definisan je nasledeci nacin:

(1) Individualne promjenljive i konstante su termi,

(2) Ako su t1, . . . , tn termi, onda je f(t1, . . . , tn) term,za svaki operacijski simbol f duzine n ≥ 1.

Pojam terma definisali smo induktivno. Bazu indukcije cine elementarnitermi, to su individualne promenljive i sve individualne konstante koje datijezik sadrzi. U induktivom koraku, od vec dobijenih terma pomocu operaci-jskih simbola gradimo nove terme. Svojstva terma dokazivacemo indukcijompo slozenosti terma: dokazacemo da svi elementarni termi imaju dato svo-jstvo, za svaki opercijski simbol u jeziku pokazacemo da cuva dato svojstvoi zakljuciti da svi termi u jeziku imaju dato svojstvo.

Skup formula je takode skup konacnih nizova simbola jezika L i defi-nise se indukcijom po slozenosti njegovih elemenata. Bazu indukcije cineelementarne formule:

(1) (t1 = t2) je elementarna formula, za proizvoljne terme t1 i t2,

(2) r(t1, . . . , tn) je elementarna formula, za svakisimbol r duzine n ≥ 1 i proizvoljne terme t1, . . . , tn.

Skup predikatskih formula F je skup konacnih nizova simbola jezika Lkoji definisemo polazeci od skupa elementarnih formula:

(1) Elementarne formule su formule,

(2) Ako su A i B formule, onda su (A ∧B), (A ∨B),(A→ B) i ¬A formule, redom

(3) Ako je A formula, ∀xA i ∃xA su formule, za svakuindividualnu promjenljivu x ∈ V ,

Kao i u iskaznoj logici, svojstva predikatskih formula dokazivacemo in-dukcijom po slozenosti formule. Bazu te indukcije cine elementarne formulea u induktivnom koraku, osim iskaznih veznika, pojavljuju se i formule do-bijene primenom ezistencijalnih i univerzalnih kvantifikatora.

66

Zadatak 1. Svakom termu odgovara jedno konacno drvo. Sta se u ovomslucaju nalazi u cvorovima drveta, od cega zavisi grananje u datom cvoru,koji termi se nalaze na njegovim listovima i sta se nalazi u dnu drveta.Odrediti drvo terma t(x, y, z) = (((x · z) + y) · (x+ (z · y))).

Kako su formule induktivno definisane, za svaku formulu odreden je skupnjenih potformula. Niz susjednih simbola u formuli A koji je sam po sebiformula je potformula formule A. Svakoj formuli odgovara drvo u cijim sucvorovima njene potformule, listovi su elementarne formule, a u dnu drvetaje sama formula.

Zadatak 2. Poput algoritma za citanje iskazne formule, formulisati al-goritam za citanje formule predikatskog racuna.

Parametri formule

U formuli oblika ∃xB, formula B je oblast kvantifikatora ∃x, tj. u formulioblika ∀xB, formula B je oblast kvantifikatora ∀x, za svaku individualnupromjenljivu x ∈ V .

Javljanje promjenljive x u formuli A je vezano ako se, u tom javljanju,promjenljiva x nalazi u oblasti kvantifikatora ∃x ili ∀x. Javljanje promjenlji-ve u datoj formuli koje nije vezano je slobodno. U istoj formuli promjenljivamoze imati i vezana i slobodna javljanja.

Promjenljiva x je parametar ili slobodna promjenljiva formule A, ako imaslobodno javljanje u A. Najcesce, kada govorimo o formuli, ne navodimonjene parametre. Ako to cinimo, navodimo ih sve. Sa A(x1, x2, . . . , xn) bezizuzetka oznacavamo da su svi parametri formule neke (ne obavezno sve) odpromjenljivih x1, x2, . . . , xn. Takode, sa t(x1, x2, . . . , xn) oznacavamo da susvi parametri terma t, neke od promjenljivih x1, x2, . . . , xn.

Svaka formula A(x1, . . . , xn) definise jedan odnos ili relaciju izmedu svo-jih parametara, kada se oni protumace kao elementi domena neke strukture.Ako formula nema parametara (odreduje relaciju duzine nula) ona je u datojstrukturi ili istinita ili lazna, tj. izrazava jedan zakon te strukture.

Primjer 1. Formula ∀x∀y (x+ y = y+x) jezika teorije grupa LG nemaparametara. Ona izrazava zakon komutativnosti i ako vazi u grupi G, grupaG je komutativna.

Primjer 2. Formula ∃x (y = x+ x) jezika Peanove aritmetike LPA imajednu vezanu promjenljivu x i jedan parametar y. Ona u strukturi N pri-rodnih brojeva izrazava relaciju ”y je paran broj” - ona nesto govori o svomparametru y.

67

Primjer 3. Ako je A formula ∃u (x = z · u) ∧ ∃u (y = z · u) jezika LPA,formula A izrazava relaciju ”z je djelilac brojeva x i y.”

Ako je (∃u (x = v · u) ∧ ∃u (y = v · u))→ ∃u (z = v · u) formula B jezikaLPA, smisao formule B je sljedeci: ”ako je v djelilac brojeva x i y, onda jev djelilac i broja z.”

FormulaA∧∀v B izrazava relaciju ”z je najveci zajednicki djelilac brojevax i y” u strukturi N prirodnih brojeva.

Primjer 4. U strukturi N prirodnih brojeva, formulom jezika aritmetikeLPA, moze se predstaviti predikat ”x je ostatak dijeljenja y sa z”.

Po definiciji ostatka x dijeljenja prirodnih brojeva y i z, postoji prirodanbroj u, tako da vazi y = u · z + x i x < z. Pritom, x < z ako i samo akoz = x+ y, za neko y 6= 0. Otuda se dobija formula A jezika LPA:

∃u ((y = u · z + x) ∧ ∃y (¬(y = 0) ∧ (z = x+ y))).

U formuli A, sva javljanja promjenljivih x i z su slobodna, promjenljivay ima jedno slobodno i dva vezana javljanja, a sva javljanja promjenljive usu vezana.

U navedenim primjerim, formula nesto govori mjenim parametrima. Na-vikli smo da parametre u matematickim formulama mozemo zamjenjivatidrugim izrazima. Takva supstitucija je legitimna, pod uslovom da ne mijenjasmisao prvobitne formule.

Promjenljiva y je slobodna za promjenljivu x u formuli A ako x nemaslobodno javljanje u oblasti kvantifikatora ∃y ili ∀y u formuli A.

Term t(x1, x2, . . . , xn) je slobodan za promjenljivu x u formuli A ako susve promjenljive x1, x2, . . . , xn slobodne za promjenljivu x u formuli A.

Zadatak 1. Zatvoreni term je term bez promjenljivih. Zatvoreni termje slobodan za svaku promjenljivu u svakoj formuli.

Svaka slobodna promjenljiva je slobodna za samu sebe u svakoj formuli.

Zadatak 2. Neka je A(x) formula ¬∃y (∃z(z + y = x)) jezika LPA.Svaka promjenljiva razlicita od y i z je slobodna za promjenljivu x. Sta jesmisao redom formula A(x), A(y) i A(z) u strukturi prirodnih brojeva?

Neka je B(x, y) formula ∃z (y = z · x) jezika LPA. Odrediti promjenljiveslobodne za promjenljivu x u formuli B.

Neka je C(x, y) formula aritmetike cije je znacenje da su x i y uzajamnoprosti brojevi. Napisati formulu C i navesti promenljive za koje su njeniparametri slobodni za supstituciju.

68

Svojstva matematickih struktura

Zadatak 1. Formulom jezika grupa LG = {+ , 0} izraziti sledeca svo-jstva: grupa je komutativna, svaki element grupe je reda cetiri, grupa imabar tri elementa, svaki element grupe ima jedinstven inverzni element.

Zadatak 2. Struktura P = (P,≤P ), u kojoj je binarna relacija ≤ re-fleksivna, antisimetricna i tranzitivna, je parcijalno uredenje ili parcijalniporedak. Da li se formulom jezika parcijalnog uredenja LP = {≤} moguizraziti: svojstvo linearnog uredenja, odsustvo najveceg elementa, prisustvomaksimalnog elementa, svojstvo gustine, tj. odsustvo susjednih elemenata.

Svi matematicki objekti su skupovi, pa je za matematiku nesporno vaznateorija skupova. Na prvi pogled, zacuduje da je njen jezik vrlo jednostavan.Sastoji se od jednog jedinog, binarnog relacijskog simbola {∈}. Ipak, u tomjeziku mogu se formulisati sva matematicka tvrdenja. Osnovna svojstvarelacije ∈ su sljedeca:

(1) jednaki skupovi imaju iste elemente;

(2) svaki neprazan skup ima ∈-minimalni element;

(3) svaki skup ima uniju svih svojih elemenata;

(4) za svaki skup x, postoji skup svih podskupova skupa x;

(5) za svaki skup x i svaku formulu A(y), postoji skupsvih y ∈ x, koji imaju svojstvo A(y);

(6) postoji beskonacan skup;

(7) za svaki skup x i svaku funkciju f , definisanu formulom jezikateorije skupova, postoji skup {f(y) : y ∈ x}.

Ako se ovaj skup svojstava relacije ∈ formulise u predikatskoj logici,dobija se formalna Zermelo-Frenkelova teorija skupova. Oznacava sa ZF, anjen jezik je LZF = {∈}.

Zadatak 3. Jedna od aksioma teorije ZF je aksioma ekstenzionalnosti:

∀z(z ∈ x→ z ∈ y)→ (∀z(z ∈ y → z ∈ x)→ x = y).

Ako formula x ∈ y znaci ”skup x je element skupa y,” kakav je smisaoaksiome ekstenzionalnosti, tj. sta ona govori o skupovima x i y?

Zadatak 4. Ako je A(x, z) formula ∀u(u ∈ z → u ∈ x) jezika LZF , staformula A govori o skupovima x i z?

Ako je B(x, y) formula ∀z (z ∈ y ↔ ∀u(u ∈ z → u ∈ x)), sta formula Bgovori o skupovima x i y?

69

Formulom jezika LZF izraziti aksiomu partitivnog skupa: za svaki skup,postoji skup svih njegovih podskupova.

Zadatak 5. Ako je A(x, y) formula ∀z(z ∈ y ↔ ∃u (u ∈ x∧ z ∈ u)), staformula A govori o skupovima x i y?

Formulom jezika LZF izraziti aksiomu unije: za svaki skup, postoji unijasvih njegovih elemenata.

Zadatak 6. Formulom jezika LZF izraziti aksiomu regularnosti: svakineprazan skup ima ∈-minimalni element, tj. element koji sa datim skupomnema zajednickih elemenata.

Zadatak 7. U jeziku teorije polja, izraziti aksiome teorije polja. Moguli se formulom ili skupom formula tog jezika izraziti sledeca tvrdenja: poljeima karakteristiku 2, polje ima konacnu karakteristiku, polje je algebarskizatvoreno.

Zadatak 8. Ako je M neprazan skup, formulom ili skupom formulajezika jednakosti L = ∅ izraziti sledeca tvrdenja: skup M ima bar n eleme-nata, skup M ima tacno n elemenata, skup M je beskonacan, skup M jekonacan.

Semantika predikatske logike

Kako je formula induktivno definisana, njena istinitost odredena je vri-jednostima istinitosti njenih elementarnih formula. Ali, za razliku od ele-mentarnih iskaza, vrijednosti elementarnih formula ne mogu se zadati pro-izvoljno. One zavise od strukture u kojoj ih interpretiramo i odredene suvrijednostima njihovih parametara u domenu te strukture.

Primjer 1. Elementarna formula x+ y = z jezika aritmetike je istinitaza one vrijednosti k,m i n, promjenljivih x, y i z, redom, za koje je zbirbrojeva k i m jednak broju n. Ova formula je lazna u strukturi N za sveostale vrijednosti njenih promjenljivih. To znaci da se valuacija elementarneformule dobija kada svi termi koji se u njoj javljaju, u ovom slucaju to sutermi x + y i z, dobiju svoju vrijednost. Svakako, njihova vrijednost jeodredena kada znamo vrijednosti promjenljivih x, y i z.

Buduci da zelimo da govorimo o istinitosti ne samo jedne, vec i mogu-ce beskonacnog skupa formula, u svakoj valuaciji zadajemo vrijednosti svihpromjenljivih u domenu strukture u kojoj evaluiramo dati skup formula.

70

Ako je M model jezika L, valuacija individualnih promjenljivih u modeluM je niz a = (a0, a1, a2, . . . ) elemenata skupa M . Skup svih valuacija, tj.skup svih prebrojivih nizova skupa M , oznacavamo sa MN .

Neka je t term, M model jezika L i a ∈MN valuacija. Vrijednost termat za valuaciju a u modelu M, u oznaci [t]Ma , definisemo indukcijom po slo-zenosti terma t:

(1) [vn]Ma = an, za svako n ≥ 0,

(2) [c]Ma = cM , za svaku individualnu konstantu c ∈ C,

(3) [f(t1, . . . , tn)]Ma = fM ([t1]Ma , . . . , [tn]Ma ), za svaki operacijskisimbol f , duzine n ≥ 1 i proizvoljne terme t1, . . . , tn,

gdje su cM i fM interpretacije simbola c i f u modelu M.

Ako je a ∈ NM valuacija u modelu M, x promjenljiva i b ∈M , sa a(x/b)oznacavamo valuaciju u kojoj promjenljiva x ima vrijednost b, dok su vri-jednosti ostalih promjenljivih odredene valuacijom a. Na primjer, ako je xpromjenljiva vn,

a(x/b) = (a0, a1, a2, . . . , an−1, b, an+1, . . . ).

Zadatak 1. Svaki term t jezika L ima jedinstveno odredenu vrijednost[t]Ma ∈M u modelu M, za svaku valuaciju a ∈MN .

Interpretacija nelogickih simbola jezika L i denotacija njegovih terma udatom modelu M, omogucava valuaciju svih formula u modelu M.

Neka je M model jezika L i a ∈ MN valuacija promjenljivih. Za svakuformulu A, relaciju ”formula A je istinita za valuaciju a u modelu M”, kojuoznacavamo sa M |=a A, definisemo indukcijom po slozenosti formule A:

(1) Ako je A elementarna formula oblika t1 = t2,

M |=a (t1 = t2) ⇔ [t1]Ma = [t2]Ma ,

(2) Ako je A elementarna formula oblika r(t1, . . . , tn),

M |=a r(t1, . . . , tn) ⇔ rM ([t1]Ma , . . . , [tn]Ma ),

(3) Ako su A i B formule jezika L,

M |=a A ∧B ⇔ M |=a A i M |=a B,

M |=a A ∨B ⇔ M |=a A ili M |=a B,

M |=a A→ B ⇔ M |=a A implicira M |=a B,

M |=a ¬A ⇔ nije M |=a A,

71

(4) Ako je A formula i x promjenljiva jezika L,

M |=a ∃xA ⇔ za neko b ∈M, M |=a(x/b) A,

M |=a ∀xA ⇔ za svako b ∈M, M |=a(x/b) A,

za sve formule A i B, proizvoljne terme t1, . . . , tn i svaku promjenljivu x ∈ V .

Uz denotaciju terma, definicija istinitosti formule moze se shvatiti kaoneka vrsta recnika koji, u zadatom kontekstu, prevodi formule jezika L naneformalni jezik matematike.

Zadatak 2. Indukcijom po slozenosti formule, dokazati da istinitostformule, za datu valuaciju, zavisi samo od njenih slobodnih promjenljivih.

Preciznije, ako su a i b valuacije i [x]Ma = [x]Mb , za svaku slobodnu pro-mjenljivu x formule A,

M |=a A ⇔ M |=b A.

Ako A(x1, . . . , xn), tj. ako su sve slobodne promjenljive formule A nekedo promjenljivih x1, . . . , xn, pored oznake M |=a A, ponekad koristimo ioznaku M |= A[a1, . . . , an], gdje je [xi]

Ma = ai, za sve 1 ≤ i ≤ n.

Logicki zakoni u predikatskoj logici

Formula A je logicka posljedica skupa formula Σ, tj. Σ je skup logickihpretpostavki formule A, u oznaci Σ |= A, ako za svaki model M jezika L isvaku valuaciju a ∈MN ,

M |=a Σ ⇒ M |=a A,

gde M |=a Σ znaci da u modelu M za valuaciju a vaze sve formule skupa Σ.Formula A je istinita u modelu M, tj. M je model formule A, ako M |=a A,

za svaku valuaciju a ∈MN . Tu cinjenicu oznacavamo sa M |= A.Ako M |= A, za svaku formulu A skupa formula Σ, kazemo da je M

model skupa Σ i za to koristimo oznaku M |= Σ.Formulu bez parametara nazivamo recenicom. Nekada je u logici umjes-

to recenice bio u upotrebi termin sud, ali je on sasvim napusten.Ako je A recenica ona nema slobodnih promenljivih, pa valuacija ne utice

na njenu istinitost. U svakom modeu M jezika L, ili M |=a A ili M |=a ¬A.Formula jezika L je logicki zakon predikatske logike ako je istinita u sva-

kom modelu jezika L. Za logicki zakon u predikatskoj logici, matematicarinikada ne koriste termin tautologija. Najcesce se koristi termin valjana for-mula ili rede univerzalno vazeca formula.

72

Kada je vec o terminologiji rijec, ako M |=a A, umjesto, formula A jeistinita u modelu M za valuaciju a, ponekad kazemo da formula A vazi umodelu M za valuaciju a. Ako M |= A, kazemo da formula A vazi u modeluM. Ako je formula A logicki zakon, koristimo oznaku |= A.

Skup logickih zakona predikatske logike, u izvjesnom smislu, sadrzi tau-tologije. Preciznije, ako je iskazna formula tautologija, supstitucijom njenihiskaznih promjenljivih formulama jezika L, dobija se instanca tautologije ujeziku L.

Teorema 1. Svaka instanca tautologije je logicki zakon.

Dokaz. Napomenimo da je po uslovu (3), u definiciji istinitosti formulejezika L, istinitost iskaznih veznika definisana isto kao u iskaznoj logici.Neka je formula B instanca tautologije A(p1, . . . , pn), dobijena supstituciomelementarnih iskaza p1, . . . , pn redom formulama A1, . . . , An jezika L. Akoje a ∈ MN valuacija u modelu M jezika L za koju nije M |= B, neka je vvaluacija elementarnih iskaza p1, . . . , pn takva da

v(pi) = 1 ⇔ M |=a Ai,

kada je 1 ≤ i ≤ n. Zbog spomenutog uslova (3) dobijamo M |=a B ako isamo ako v(A) = 1. Kako nije M |= B, mora biti v(A) = 0, sto protivrecipretpostavci da je A tautologija. C

Zadatak 2. Modus ponens u predikatskoj logici: Za proizvoljne formuleA i B, ako |= A i |= A→ B onda |= B.

Kako se prirodno i ocekuje, postoje mnogi zakoni predikatske logike kojinisu instance tautologija.

Korektne supstitucije

Dokazacemo da, za datu valuaciju u datom modelu jezika L, korektnasupstitucija promjenljivih ne mijenja istinitost formule.

Ako je A formula, u i t termi jezika L i x promjenljiva, sa u(x/t) ozna-cavamo term koji se iz terma u dobija zamjenom svih javljanja promjenljivex termom t. Sa A(x/t) oznacavamo formulu koja se dobija zamjenom svihslobodnih javljanja promjenljive x u formuli A termom t.

Teorema 1. Neka je M model, u i t termi jezika L i x promjenljiva. Zasvaku valuaciju a ∈M ,

[u(x/t)]Ma = [u]Ma(x/[t]Ma ).

73

Dokaz. Tvrdenje dokazujemo indukcijom po slozenosti terma u. Akoje term u promjenljiva razlicita od x, ni smjena promjenljive, a ni izmjenavaluacije ne uticu na njegovu vrijednost. Ako je u promjenljiva x, ondau(x/t) = t, pa je [u(x/t)]Ma = [t]Ma . Sa druge strane, [x]M

a(x/[t]Ma )= [t]Ma , pa

tvrdenje vazi.

Ako je u term oblika f(u1, . . . , un), gde su u1, . . . , un termi jezika L, onda

u(x/t) = f(u1(x/t), . . . , un(x/t)),

pa redom imamo:

[u(x/t)]Ma = fM ([u1(x/t)]Ma , . . . , [un(x/t)]Ma )

= fM ([u1]Ma(x/[t]Ma )

, . . . , [un]Ma(x/[t]Ma )

)

= [u]Ma(x/[t]Ma )

.

U drugom koraku koristili smo induktivnu pretpostavku, tj. da teorema vaziza terme manje slozenosti od slozenosti terma u. C

Teorema 2 Ako je M model jezika L i t term slobodan za promjenljivux u formuli A:

M |=a A(x/t) ⇔ M |=a(x/[t]Ma ) A.

Dokaz. Teoremu dokazujemo indukcijom po slozenosti formule A. Akoje A elementarna formula, tvrdenje slijedi iz prethodne teoreme, a ako je Adisjunkcija, konjunkcija, implikacija ili negacija, iz definicije relacije zado-voljenja.

Jedini zanimljiv slucaj je kada formula A ima oblik ∀y B. Ako x nijeslobodna promjenljiva formule A, formula A(x/t) je isto sto i formula A,a promjena vrijednosti promjenljive x u valuaciji a ne utice na istinitostformule A. Preostaje mogucnost da promjenljiva x jeste parametar formu-le A i sledstveno tome razlicita od promjenljive y. Po definiciji korektnesupstitucije, promjenljiva y se ne javlja u termu t, pa

M |=a ∀y B(x/t) ⇔ za svako c ∈M, M |=a(y/c) B(x/t),

⇔ za svako c ∈M, M |=a(y/c)(x/[t]Ma ) B,

⇔ za svako c ∈M, M |=a(x/[t]Ma )(y/c) B

⇔ M |=a(x/[t]Ma ) ∀y B.

74

Pritom, prelazak sa poretka supstitucije a(y/c)(x/[t]Ma ) u valuaciji a, naporedak a(x/[t]Ma )(y/c) jeste moguc, buduci da se promjenljiva y ne javljau termu t. Slucaj formule oblika ∃y B se dokazuje na isti nacin. C

Logicka svojstva kvantifikatora

Lema o instancama kvantifikatora: Ako je term t slobodan za pro-mjenljivu x u formuli A jezika L,

|= ∀xA→ A(x/t),

|= A(x/t)→ ∃xA.

Dokaz. Ako je formula ∀xA istinita za valuaciju a u modelu M, formulaA je istinita za svaku valuaciju a(x/c), c ∈M , pa je istinita i kada c = [t]Ma ,tj. za valuaciju a(x/[t]Ma ). Kako je term t slobodan za promjenljivu x uformuli A, prema prethodnoj teoremi, formula A(x/t) je istinita u modeluM za valuaciju a.

Kako je term t slobodan za promjenljivu x u formuli A jezika L, ako jeformula A(x/t) istinita za valuaciju a u modelu M, po prethodnoj teoremi,formula A je istinita i za valuaciju a(x/[t]Ma ). To znaci da postoji c ∈ M(zapravo c = [t]Ma ) takvo da je formula A istinita za valuaciju a(x/c) umodelu M, pa po definiciji istinitosti, formula ∃xA je istinita za valuaciju au modelu M. C

Zadatak 1. Navesti primjere terma t i formule A jezika L, za koje nevazi |= ∀xA→ A(x/t), tj. za koje ne vazi |= A(x/t)→ ∃xA.

Lema o Bernajsovim pravilima: Ako su A i B formule i promjenljivax nije slobodna u formuli A,

|= A→ B ⇒ |= A→ ∀xB.

|= B → A ⇒ |= ∃xB → A.

Dokaz. Pretpostavimo da je A → B logicki zakon i da promjenljiva xnije slobodna u formuli A. Neka je a valuacija promjenljivih u modelu M zakoju je formula A istinita. Kako promjenljiva x nije slobodna u formuli A,formula A je istinita za valuaciju a(x/c), za svako c ∈ M . Dakle, formuleA→ B i A su istinite za valuaciju a(x/c), pa je formula B istinita za valua-ciju a(x/c), za svako c ∈M . Po definiciji istinitosti, formula ∀xB je istinitaza valuaciju a.

75

Pretpostavimo da je B → A logicki zakon i da promjenljiva x nije slo-bodna u formuli A. Neka je a valuacija promjenljivih u modelu M za kojuje formula ∃xB istinita. To znaci da postoji c ∈ M za koje je formula Bistinita za valuaciju a(x/c). Dakle, formule B → A i B su istinite za valua-ciju a(x/c), pa je formula A istinita za valuaciju a(x/c). Kako promjenljivax nije slobodna u A, formula A je istinita za valuaciju a. C

Zadatak 2. Navesti primjere formula A i B za koje ne vazi zakljucakprethodne teoreme.

Ekvivalencija u predikatskoj logici

Formule A i B su logicki ekvivalentne ako u svakom modelu M, za svakuvaluaciju a ∈MN ,

M `a A ⇔ M `a B.

Iz definicije istinitosti implikacije slijedi da su formule A i B logickiekvivalentne ako i samo ako

|= (A→ B) ∧ (B → A).

Ovo je razlog da u predikatskoj logici definisemo ekvivalenciju. FormulaA↔ B je zamjena za formulu (A→ B) ∧ (B → A).

Zadatak 3. Ako je A formula i x promjenljiva, |= A ⇔ |= ∀xA.Implikacija ⇒ je pravilo generalizacije, a implikacija ⇐ je dokazana u

lemi o instancama kvantifikatora.

Navesti primjer formule A, za koju ne vazi |= A↔ ∀xA.

Zadatak 4. Svojstva jednakosti: Ako su x, y, z, xi, yi, 1 ≤ i ≤ n, prom-jenljive, t term i A formula,

|= (x = x)

|= (x = y)→ (y = x)

|= (x = y) ∧ (y = z)→ (x = x)

|= ((x1 = y1) ∧ · · · ∧ (xn = yn))→ (t(x1, . . . , xn) = t(y1, . . . , yn)),

|= ((x1 = y1) ∧ · · · ∧ (xn = yn))→ (A(x1, . . . , xn)→ A(y1, . . . , yn)).

Jednakost je refleksivna, simetricna i tranzitivna relacija (relacija ekvi-valencije) koja je saglasna sa operacijama i relacijama definisanih na proiz-voljnom domenu, tj. jednakost je kongruencija u svakoj strukturi.

76

Formula ∀x1 · · · ∀xnA je univerzalno zatvorenje formule A(x1, . . . , xn).Univerzalna zatvorenja navedenih svojstava su aksiome jednakosti.

Zadatak 5. Ako je term t slobodan za promjenljivu x u formuli A,

|= A(x/t)↔ ∀x ((x = t) → A),

|= A(x/t)↔ ∃x ((x = t) ∧ A).

Primjer 1. Ako je A formula, |= ¬∃xA→ ¬∀xA, za svako x ∈ V .

Pretpostavimo da nije M |=a ¬∃xA → ¬∀xA, za valuaciju a ∈ M , unekom modelu M. Po definiciji istinitosti implikacije, imamo M |=a ¬∃xA inije M |=a ¬∀xA, tj. po definiciji istinitosti negacije, nije M |=a ∃xA i jesteM |=a ∀xA. Ovo nije moguce, jer M 6= ∅ (u definiciji strukture pretpostavilismo da njen domen nije prazan). C

Primjer 1. Ako su A i B formule,

|= ∀x (A→ ¬B)→ ¬(∃xA ∧ ∀xB),

|= ∀x (A→ ¬B)→ ¬(∀xA ∧ ∃xB).

Pretpostavimo suprotno. Neka je M model u kome ne vazi data formula.To znaci da M |=a ∀x (A→ ¬B), M |=a ∃xA i M |=a ∀xB, za neku valuacijua ∈MN . Otuda, postoji b ∈M takvo da M |=a (x/b)A, pa za takvo b ∈Mdobijamo da M |=a (x/b)(A → ¬B), tj. nije M |=a (x/b)B, a to protivreciM |=a ∀xB.

Slicno, ako M |=a ∀x (A → ¬B), M |=a ∀xA i M |=a ∃xB, za nekuvaluaciju a ∈ MN , onda postoji b ∈ M , tako da M |=a(x/b) B. Za takvob ∈ M vazi M |=a(x/b) (A → ¬B), tj. M |=a(x/b) (B → ¬A), pa dakle nijeM |=a(x/b) A, a to protivreci M |=a ∀xA. C

Kvantifikatori i negacija

Semantika predikatske logike je takva da se svaki od kvantifikatora mozedefinisati pomocu negacije i drugog kvantifikatora.

Zadatak 1. Uopsteni De Morganovi zakoni: Za svaku formulu A,

|= ¬∀xA↔ ∃x¬A,

|= ¬∃xA↔ ∀x¬A.

77

Ovi zakoni predstavljaju uopstenje De Morganovih zakona zato sto seuniverzalni kvantifikator moze shvatiti kao moguce beskonacna konjunkcija,a egzistencijalni, kao moguce beskonacna diskunkcija. Da to ilustrujemo,podsjetimo se, za svaki model M jezika L, definisali smo njegovu prostuekspanziju MM = (M, b ∈ M), kao model jezika L ∪ {cb : b ∈ M} u komesvaki element b skupa M , ima svoje ime cb.

Zadatak 2. Ako je A formula i M model jezika L, onda

M |=a(x/b) A ⇔ MM |=a A(x/cb),

za svako b ∈M i svaku valuaciju a ∈M .

Zadatak 3. Neka je A formula i M konacan model jezika L. Ako jeM = {b1, . . . , bn}, onda

M |=a ∀xA ⇔ MM |=a A(x/cb1) ∧ · · · ∧A(x/cbn),

M |=a ∃xA ⇔ MM |=a A(x/cb1) ∨ · · · ∨A(x/cbn),

za svaku valuaciju a ∈MN .

U konacnom modelu M, formula ∀xA ekvivalentna je konacnoj kon-junkciji, a formula ∃xA konacnoj disjunkciji, pa se odnos negacije i kvan-tifikatora svodi na De Morganove zakone

M |= ¬(n∧i=1

A(x/cbi)) ↔n∨i=1

¬A(x/cbi),

M |= ¬(n∨i=1

A(x/cbi)) ↔n∧i=1

¬A(x/cbi).

Opstije, ako je A formula i M model jezika L, onda

M |=a ∀xA ⇔ MM |=a

∧b∈M

A(x/cb),

M |=a ∃xA ⇔ MM |=a

∨b∈M

A(x/cb),

za svaku valuaciju a ∈ MN . Pritom, MM |=a∧b∈M A(x/cb), je oznaka za

recenicu ”za svako b ∈M , MM |=a A(x/cb).”

Na taj nacin, odnos iskaznih logickih veznika prema kvantifikatorima,svodi se na njihov odnos prema beskonacnim disjunkcijama i konjunkcijama.

78

Kvantifikatori i konjunkcija

Kao beskonacna konjunkcija, univerzalni kvantifikator se jednostavnodistribuira preko konjunkcije. Medutim, egzistencijalni kvantifikator je bes-konacna disjunkcija, pa njegova distribucija preko konjunkcije, u opstemslucaju, ne vazi.

Zadatak 1. Ako su A i B formule, univerzalni kvantifikator se mozeprenijeti ispred konjunkcije:

|= (∀xA ∧ ∀xB)↔ ∀x (A ∧B).

Medutim, takvo tvrdenje ne vazi za egzistencijalni kvantifikator. Bezogranicenja na parametre formula A i B, on se ne moze prenijeti na pocetak,vec samo prolazi kroz konjunkciju:

Zadatak 2. Za proizvoljne formule A i B,

|= ∃x (A ∧B)→ (∃xA ∧ ∃xB).

Navesti primjere formula A i B, za koje u modelu Q = (Q,<Q) ne vaziformula (∃xA ∧ ∃xB)→ ∃x (A ∧B).

Zadatak 3. Ako formula B ne sadrzi parametar x, za svaku formulu A,

|= (∃xA ∧B)↔ ∃x (A ∧B).

Kvantifikatori i disjunkcija

Kao beskonacna disjunkcija, egzistencijalni kvantifikator se distribuirapreko disjunkcije, ali distribucija univerzalnog kvantifikatora preko dis-junkcije, ne vazi u svim modelima.

Zadatak 1. Ako su A i B formule, egzistencijalni kvantifikator se mozeprenijeti ispred disjunkcije:

|= (∃xA ∨ ∃xB)↔ ∃x (A ∨B).

Medutim, takvo tvrdenje ne vazi za univerzalni kvantifikator. Bez ogra-nicenja na parametre formula A i B, on ne prolazi kroz disjunkciju, vec sesamo moze prenijeti na pocetak:

79

Zadatak 2. Za proizvoljne formule A i B,

|= (∀xA ∨ ∀xB)→ ∀x (A ∨B).

Navesti primjere formula A i B, tako da u modelu Q = (Q,<Q) racio-nalnih brojeva ne vazi formula ∀x (A ∨B)→ (∀xA ∨ ∀xB).

Zadatak 3. Ako formula B ne sadrzi parametar x, za svaku formulu A,

|= (∀xA ∨B)↔ ∀x (A ∨B).

Kvantifikatori i implikacija

Zadatak 1. Ako su A,B formule i x promjenljiva koja nije slobodna uformuli B,

|= (∀xA→ B)↔ ∃x (A→ B),

|= (B → ∀xA)↔ ∀x (B → A),

|= (∃xA→ B)↔ ∀x (A→ B),

|= (B → ∃xA)↔ ∃x (A→ B).

Navesti primjere formula A i B, tako da u modelu Q = (Q,<Q) racio-nalnih brojeva ne vazi formula ∃x (A→ B)→ (∃xA→ ∃B).

Zadatak 2. Navesti primjere formula A i B, tako da u modelu Q =(Q,<Q) racionalnih brojeva ne vazi formula ∀x (A↔ ∀xB)→ ∀x (A↔ B).

Zadatak 3. Navesti primjere formula A i B, tako da u prirodnim bro-jevima N = (N,+N , ·N , sN , 0N ), ne vazi ∀x (A→ ∀xB)→ ∀x (A→ B).

Zadatak 4. Za svaku formulu A,

|= ∃x ∀y A→ ∀y ∃xA.

Navesti primjer formule A, tako da formula ∀x ∃y A → ∃y ∀xA, ne vaziu modelu Q = (Q,<Q) racionalnih brojeva.

Ovaj logicki zakon se moze shvatiti i kao uopstenje jednog iskaznog lo-gickog zakonom. Ako se formula A interpretira u proizvoljnoj strukturi sadvoelementnim domenom, navedeni logicki zakon postaje tautologija

(A ∧B) ∨ (C ∧D)→ (A ∨ C) ∧ (B ∨D).

Ova tautologija se rijetko srece u literaturi. U njoj je cudno sto disjunk-cija implicira konjunkciju, a da istovremeno ne vazi i obratno.

80

Zadatak 5. Navesti primjer formule A, tako da formula ∀x (A→ ∀xA)ne vazi u modelu Q = (Q,<Q) racionalnih brojeva. Isto pitanje za formulu∀x (∃xA→ A).

Sa druge strane, formula ∃x (A→ ∀xA) jeste logicki zakon, za svaku for-mulu A. Njegov smisao je pomalo neocekivan: za svaku formulu A, postojineki poseban x takav da, ako vazi A(x), onda vazi i ∀xA.

Preneksni oblik formule

Uslovi za primjenu logickih zakona o odnosu kavantifikatora i iskaznihveznika, ostvaruju se preimenovanjem promjenljivih i supstitucijom ekviva-lentnih formula.

Zadatak 1. Preimenovanje vezanih promjenljivih: Ako formula A nesadrzi promjenljivu y,

|= ∀xA↔ ∀yA(x/y),

|= ∃xA↔ ∃yA(x/y),

Navesti primjer formule A, tako da ∀xA→ ∀y A(x/y) ne vazi u modeluracionalnih brojeva Q = (Q,<Q). Isto pitanje za ∃xA→ ∃y A(x/y).

Zadatak 2. Navesti primjer formule A, tako da ∀x ∀y A → ∀xA(y/x)ne vazi u strukturi Q = (Q,<Q). Isto pitanje za ∃x ∃y A→ ∃xA(y/x).

Zadatak 3. Supstitucija ekvivalentnih formula: Ako je A(B/C) formulakoja se iz formule A dobija supstitucijom nekih, ne obavezno svih, javljanjanjene potformule B formulom C, onda

|= B ↔ C ⇒ |= A↔ A(B/C).

Formula Q1x1 . . . , QnxnA, gde su Qi kvantivikatori ∀ ili ∃, i gde jeformula A bez kvantifikatora, ima preneksni oblik. Dokazacemo da svakaformula ima ekvivalentni preneksni oblik. Ovde se taj dokaz zasniva na se-mantickim pretpostavkama. Kada definisemo sintaksu predikatske logike,pokazacemo da se ova teorema moze dokazati i u toj sintaksi.

Teorema o preneksnom obliku formule. Za svaku formulu A, pos-toji formula A∗ u preneksnom obliku, takva da

|= A ↔ A∗.

Pritom, pridruzivanje A 7→ A∗ je efektivno.

81

Dokaz. Indukcijom po slozenosti formule A. Ako je A elementarna for-mula, kako elementalne formule ne sadrze kvantifikatore, formula A∗ je for-mula A, pa teorema vazi. Takode, trivijalan je induktivni korak u kome for-mula A ima oblik ∀xB ili ∃xB, za neku formulu B. U preostalim koracima,za svaki iskazni logicki veznik, preimenovanjem vezanih promjenljivih, os-iguravamo pretpostavke za primjenu odgovarajuceg odnosa tog veznika ikvantifikatora. C

Zadatak 4. Detaljno opisati algoritam koji formulu A prevodi u A∗

Zadatak 5. Ako su A i B formule bez kvantifikatora, odrediti preneksnioblik formula: (∃x ∀y A ∧ ∃x ∀y B) i (∃x ∀y A ∨ ∃x ∀y B).

Skolemove funkcije

Kada formulu svedemo na preneksnu formu, jedini nacin da se formuladalje uprosti i smanji njena slozenost jeste da mijenjamo poredak kvantifi-katora ili da ih na neki nacin eliminisemo.

Neka je M model jezika L. Posmatrajmo recenicu ∀x ∃yA(x, y), ciji jesmisao: ”za svako x, postoji neko y, koje je funkcija od x, takvo da vazi A.”Kada bi smo datu recenicu transformisali na sljedeci nacin:

M |= ∀x ∃yA(x, y) ⇔ M |= ∃f ∀xA(x, y/f(x)),

poredak kvantifikatora ∀ ∃ bi se promijenio u poredak ∃ ∀, ali se u takodobijenoj formuli kvantifikuje po funkcijama skupa M , pa to nije formulapredikatske logike prvog reda. U predikatskoj logici kvantifikujemo samo poindividualnim promjenljivim.

Jedini nacin da opisanu transformaciju korektno napravimo jeste dauvedemo novi operacijski simbol f i prosirimo jezik. Sada, u ekspanizijiM′ = (M, fM ) modela M, u kojoj je funkcijom fM , interpretiran novi op-eracijski simbol jezika L ∪ {f}, imamo

M′ |= ∀x ∃yA(x, y) ⇔ M′ |= ∀xA(x, y/f(x)),

svakako, pod uslovom da je promjenljiva y slobodna za x u formuli A.

Ideja da se broj kvantifikatora u formuli smanji uvodenjem novih operaci-jskih i relacijskih simbola, pojavila se u prvoj polovini dvadesetog vijeka uradovima Zaka Erbrana i Torlafa Skolema. Uobicajeno je da se taj metodnaziva skolemizacijom. U narednim primjerima, pretpostavljamo da su svesupstitucije promjenljivih korektne.

82

Formula A je zadovoljiva ako postoji model M i valuacija a ∈MN , tak-va da formula A vazi za valuaciju a u modelu M. Dualno, formula A nijezadovoljiva ako je formula ¬A logicki zakon.

Primjer 1. Neka je A(x, y, z, u, v) formula bez kvantifikatora jezika L.Posmatrajmo recenicu

∀x ∀y ∃z ∀u∃v A(x, y, z, u, v).

Ako je M model jezika L, neka su f i g novi operacijski simboli, duzinedva i tri, redom. Definisimo ekspanziju M′ modela M u prosirenom jezikuL ∪ {f, g}. Fiksirajmo valuaciju a ∈MN modela M i proizvoljne b, c ∈M .

Pretpostavimo da vazi M |=a ∃z ∀u ∃v A[b, c]. Tada, postoji d ∈ M ,takvo da vazi M |=a ∀u∃v A[b, c, d], pa neka je fM (b, c) = d. Dalje, zaproizvoljno t ∈ M , ako vazi M |=a ∃v A(b, c, d, t), postoji s ∈ M , takvo davazi M |=a A(b, c, d, t, s). Neka je g′M (b, c, d, t) = s. Kako je f(b, c) = d, nekaje gM (b, c, t) = g′M (b, c, f(b, c), t).

Ako ne vazi M |=a ∃z ∀u∃v A[b, c], dakle u svim drugim mogucim sluca-jevima, neka je fM (c, d) = gM (b, c, t) = m, gde je m ∈M proizvoljno.

Ako je M′ = (M, fM , gM ) ekspanzija modela M, po konstrukciji

M |=a ∀x ∀y ∃z ∀u∃v A(x, y, z, u, v) ⇔M′ |=a ∀x ∀y ∀uA(x, y, f(x, y), u, g(x, y, u)),

za svaku valuaciju a ∈ MN . Recenica ∀x ∀y ∃z ∀u∃v A je zadovoljiva ako isamo ako je zadovoljiva recenica ∀x ∀y ∀uA(x, y, f(x, y), u, g(x, y, u)).

Uvodenjem novih operacijskih simbola, problem zadovoljivosti receniceoblika ∀ ∃∀ ∃ sveden je na problem zadovoljivosti recenice oblika ∀ ∀∀.

Skup formula ekvivalentnih formuli oblika ∀x1, . . .∀xnA,n ≥ 0, gde je Aformula bez kvantifikatira, uobicajeno se oznacava sa Π1.

Skup formula ekvivalentnih formuli oblika ∃x1, . . .∃xnA,n ≥ 0, gde je Aformula bez kvantifikatira, uobicajeno se oznacava sa Σ1.

Prethodni primer pokazuje da se problem zadovoljivosti svake recenicemoze svesti na recenice klase Π1.

Lema 2. Za svaku recenicu A jezika L, postoji recenica A∗ klase Π1

prosirenog jezika L∗ koja je zadovoljiva ako i samo ako je zadovoljiva recenicaA. Pritom, prosireni jezik L∗ dobija se dodavanjem novih opercijskih sim-bola jeziku L.

Dokaz: Tvrdenje dokazujemo tako sto recenicu A jezika L prevedemou preneksnu formu A′, pa izvedemo konstrukciju iz prethodnog primjera. C

83

Kako smo vec napomenuli, formula A nije zadovoljiva ako je formula ¬Alogicki zakon, pa kako je negacija Π1 formule, formula klase Σ1, prethodnotvrdenje se moze preformulisati na sledeci nacin:

Skolemova teorema: Za svaku recenicu A jezika L, postoji formulaA∗ klase Σ1 jezika L koji je prosiren novim operacijskim simbolima, takvada vazi

|= A ⇔ |= A∗.

Dokaz. Napomenimo da je pridruzivanje A 7→ A∗ efektivno: Negacijurecenice A prevedemo u preneksni oblik A′, taj prelaz je efektivan. Citajuciformulu A′ sa lijeva na desno, za svaku kombinaciju blokova kvantifikatora∀−→x ∃−→y , u kojima se javlja m ≥ 1, tj. n ≥ 1 promjenljivih, redom, uvedemon operacijskih simbola duzine m ≥ 1. Izvrsimo supstituciju promjenljivih −→yodgovarajucim operacijskim simbolima, pa dobijamo formulu A

′′. Formula

A′′

je klase Π1 i nije zadovoljiva ako i samo ako nije zadovoljiva formula ¬A.Kako B ⇔ C ako i samo ako ¬B ⇔ ¬C, iz formule A

′′klase Π1, dobijamo

formulu ¬A′′klase Σ1, pa ako je A∗ formula ¬A′′

, konacno imamo da vazi,|= A ⇔ |= A∗, gde je A∗ formula klase Σ1. C

Svakako najvaznija posljedica prve Skolemove teoreme jeste da ona od-lucivost predikata |= svodi na odlucivost tog predikata za formule klase Σ1,u kojima ucestvuju operacijski simboli.

Napominjemo da, iako efektivan, prelaz sa formule A na formulu A∗,ne donosi mnogo kada, u konkretnom modelu, treba definisati Skolemovefunkcije. Ako M |= ∀x ∃yA(x, y), za svako b ∈M , postoji neprazan skup

Fb = {c ∈M : A[b, c]},

koji uopste ne mora biti jednoclan, niti mora biti konacan. U definiciji funk-cije f , za svako b ∈ M , treba izabrati c ∈ Fb, tako da f(b) = c. Dakle, zafamiliju nepraznih skupova (Fb : b ∈M), treba napraviti funkciju izbora.

Pretpostavka da svaka familija nepraznih skupova ima funkciju izbora,osim kada se radi o familiji konacnih ili bar prebrojivih skupova, vazi zaveoma neefektivnu pretpostavku. Ta pretpostavka naziva se aksioma izbora.Uvodenjem novih operacijskih simbola, ostali smo u predikatskoj logici prvogreda i tako izbegli logiku drugog reda, ali nam je sada neophodan isuvisejak metamatematicki princip - aksioma izbora.

84

Elementarna ekvivalentncija

Ako M1 |= A implicira M2 |= A, za svaku recenicu A, modeli M1 i M2

jezika L su elementarno ekvivalentni. Elementarnu ekvivalenciju oznacava-mo sa M1 ≡M2.

Teorema 1. Ako M1 ≡M2, za svaku recenicu A jezika L,

M1 |= A ⇔ M2 |= A.

Dokaz. Ako, M1 |= A, po definiciji, M2 |= A. Ako nije M1 |= A, ondaM1 |= ¬A, pa po definiciji M2 |= ¬A, tj. nije M2 |= A. C

Elementarno ekvivalentni modeli jezika L imaju ista svojstva izrazenau jeziku L, ali se u matematickom smislu ne mogu identifikovati, tj. nisuobavezno izomorfni.

Modeli M1 i M2 jezika L su izomorfni ako postoji obostrano jednoznacnopreslikavanje g skupa M1 na skup M2, takvo da za sve a1, . . . , an ∈M1,

rM1(a1, . . . , an)⇔ rM2(g(a1), . . . , g(an)),

g(fM1(a1, . . . , an)) = fM2(g(a1), . . . , g(an)),

g(cM1) = cM2 ,

za svaki predikat r, svaki operacijski simbol f i svaku konstantu c jezika L.Izomorfne modele oznacavamo sa M1 'M2.

Dakle, kada treba dokazati da je preslikavanje g izomorfizam modela M1

i M2, treba dokazati da f zadovoljava sledece uslove:

(1) za sve a1, a2 ∈ M1, ako g(a1) = g(a2), onda a1 = a2, tj. trebadokazati da je preslikavanje g obostrano jednoznacno,

(2) za svako b ∈M2, postoji a ∈M , tako da g(a) = b, tj. treba dokazatida g preslikava skup M1 na skup M2,

(3) prvi uslov definicije izomorfizma, tj. treba dokazati da preslikavanjeg cuva relacije modela M1,

(4) drugi uslov definicije izomorfizma, tj. treba dokazati da preslikavanjeg cuva operacije modela M1,

(5) treci uslov definicije izomorfizma, tj. treba dokazati da preslikavanjeg cuva istaknute elemennte modela M1.

85

Zadatak 1. Struktura G = (G,+G , <G, 0G) je uredena grupa, ako jestruktura (G,+G, 0G) grupa i G |= ∀x∀y∀z ((x+ z < y + z) ↔ (x < y)).

Ako je R = (R,+R, <R, 0R) uredena aditivna grupa realnih brojeva iR+ = (R+, ·R+ , <R+ , 1R+) uredena multiplikativna grupa pozitivnih realnihbrojeva, dokazati da je preslikavanje g(x) = ax, a > 1, izomorfizam uredenihgrupa R i R+. Da li je g izomorfizam, ako 0 < a ≤ 1?

Teorema 2. Izomorfni modeli su elementarno ekvivalentni.

Dokaz. Ako su M1 i M2 izomorfni modeli jezika L, treba dokazati daM1 |= A ako i samo ako M2 |= A, za svaku recenicu A jezika L. Me-dutim, recenice nisu induktivno definisane, pa tvrdenje treba dokazati zasve formule jezika L. Preciznije, indukcijom po slozenosti formule A, trebadokazati sledece tvrdenje:

Ako je g izomorfizam modela M1 i M2, za svaku formulu A jezika L,

M1 |=a A ⇔ M2 |=f(a) A,

za svaku valuaciju a ∈ MN1 . Pritom, ako je a = (a0, a1, a2, . . . ) valuacija u

modelu M1, f(a) = (f(a0), f(a1), f(a3), . . . ) je valuacija u modelu M2.Ako je A elementarna formula, tvrdenje vazi po definiciji pojma izomor-

fizma. Svi induktivni koraci dokazuju se neposredno, na osnovu definicijerelacije istinitosti. C

Postoje elementarno ekvivalentni modeli koji nisu izomorfni. Takav pri-mjer su uredenja racionalnih i realnih brojeva. Skup racionalnih brojeva jeprebojiv, dok skup realnih brojeva to nije, pa je jasno da njihova uredenjane mogu biti izomorfna.

Teorema 3. Ako Q = (Q,<Q) i R = (R,<Q), onda Q ≡ R.

Dokaz. Ako je L = {<}, indukcijom po slozenosti formule dokazacemoda za svaku formulu A jezika L,

Q |=a A ⇔ R |=a A,

za svaku valuaciju a ∈ QN . Otuda se po definiciji dobija da Q |= A ako isamo ako R |= A, za svaku recenicu jezika L.

Ako je A elementarna formula, kako Q ⊆ R, trvdenje je ocigledno. Za-pravo, jedini interesantan korak u indukciji jeste kada formula A ima oblik∃xB, za neku formulu B.

Ako Q |=a ∃xB, onda teorema takode vazi neposredno. Naime, ondapostoji q ∈ Q, takvo da Q |=a(x/q) B, pa kako je q ∈ R i po induktivnojpretpostavci R |=a(x/q) B, dobijamo Q |=a ∃xB.

86

Obratno, ako R |=a ∃xB, onda postoji r ∈ R, takav da R |=a(x/r) B.Ali, kako da utvrdimo da je realan broj r istovremeno i racionalan?

Jedan dokaz ove teoreme pociva na cinjenici da uredenje Q racionalnihbrojeva dopusta eliminaciju kvantifikatora, tj. da za svaku formulu A jezikaL = {<}, postoji formula A∗ bez kvantifikatora, takva da Q |=a A ako isamo ako Q |=a A

∗. To zapravo znaci da se teorema svodi samo na formulejezika L bez kvantifikatora. C

Uredenje racionalnih brojeva

Teorema 1. Struktura Q = (Q,<Q) dopusta eliminaciju kvantifikatora.

Dokaz. Indukcijom po slozenosti formule, treba dokazati da za svakuformulu A jezika L = {<}, postoji formula A∗, takva da Q |=a A ako isamo ako Q |=a A

∗, za svaku valuaciju a ∈ QN . Kao u prethodnoj teoremi,interesantna je samo formula oblika

∃xB(x, x1, . . . , xn),

gde je B formula bez kvantifikatora.Moze se pretpostaviti da je formula B zadata u disjunktivnoj normal-

noj formi. To znaci da je B disjunkcija konjunkcija, gde svaka konjunkcijasadrzi samo elementarne formule i njihove negacije.

Kako su sve elementarne formule oblika x = y ili x < y, negacije se mogueliminisati. Formula ¬(x = y) moze se zameniti formulom (x < y)∨(y < x),a formula ¬(x < y) sa (x = y) ∨ (y < x).

Ako se poslije eliminacije negacija elementarnih formula, primijeme za-koni distributivnosti, formula B se dalje svodi se na disjunkciju konjunkcijaelementarnih formula. Ako imamo u vidu logicki zakon

|= ∃x (B1 ∨B2)↔ ∃xB1 ∨ ∃xB2,

formula ∃xB svodi se na disjunkciju formula oblika ∃x (C1 ∧ · · · ∧ Ck), gdesu Ci elementarne formule. Ako promjenljiva x nije slobodna u formuli B1,

|= ∃x (B1 ∧B2)→ B1 ∧ ∃xB2,

pa se dokaz teoreme svodi na formule oblika ∃x (C1 ∧ · · · ∧ Cn), gde svakaelementarna formula Ci, za sve i ≤ k, ima jedan od oblika

x < xi, x = xi, xi < x.

87

Ako je neka od formula Ci jednakost, ona se takode moze eliminisati,tako sto se koristi logicki zakon

|= ∃x ((x = y) ∧ C(x))↔ C(y).

Ostaje dakle slucaj kada se promjenljiva x javlja samo u elementarnim ne-jednakostima.

Ako su sve nejednakosti oblika x < xi, i ≤ n, ili ako su sve nejednakostioblika xi < x, i ≤ n, kako u racionalnim brojevima nema ni najmanjeg, ninajveceg elementa, u oba slucaja, takav x ∈ Q postoji, za svaku valuacijupromjenljivih xi, pa formulu ∃x (E1∧· · ·∧En) mozemo zamijeniti bilo kojomiskaznom tautologijom.

Ostaje slucaj nejednakosti u kojima se javljaju i gornja i donja ograni-cenja za x. Na primjer, ako formula ∃xB ima oblik

∃x ((x1 < x) ∧ (x2 < x) ∧ (x < x3) ∧ (x < x4)),

ekvivalentan uslov koji treba da zadovoljavaju promjenljive x1, x2, x3, x4,jeste da su sva donja ogranicenja manja od svih gornjih ogranicenja, tj.formula A∗ je formula:

(x1 < x3) ∧ (x1 < x4) ∧ (x2 < x3) ∧ (x2 < x4).

Kako je Q gusto uredenje, poslednje dvije formule su ekvivalentne, pa jeteorema dokazana. C

U dokazu prethodne teoreme koristili smo odsustvo najmanjeg i najvecegelementa i gustinu uredenja Q = (Q,<Q), pa teorema vazi za svako linearnogusto uredjenje bez krajeva.

Na osnovu prethodne teoreme, svaka dva linearna gusta uredjenja bezkrajeva su elementarno ekvivalentna. To znaci da je Q ≡ R.

Teorije u predikatskoj logici

Kako smo vec napomenuli, kao specificna grana matematike, logika sebavi izucavanjem jezika u kojem se izrazavaju matematicka tvrdenja. Pre-ciznije, ona se bavi odnosom matematickih teorija izrazenih u formalnomjeziku i matematickih struktura u kojima se takve teorije realizuju. Razmo-tricemo osnove tog odnosa, za nekoliko najvaznijih matematickih teorija. Upredikatskom racunu, matematicke teorije formalizujemo skupovima receni-ca, tj. skupovima formula bez slobodnih promjenljivih.

88

Neka je T skup recenica i M model jezika L. Ako M |= A, za svakurecenicu A ∈ T , rekli smo da je M model skupa recenica T i koristili oznakuM |= T . Takode, rekli smo da je recenica A je logicka posljedica skuparecenica T ako M |= T implicira M |= A, za svaki model M jezika L. SaT |= A oznacili smo cinjenicu da je A logicka posljedica skupa T .

Teorema 1. Neka je T skup recenica jezika L. Za svaku recenicu A,

T |= A ⇔ T,¬A nema model.

Dokaz. Pretpostavimo T |= A. Ako skup T,¬A ima model M, onda bibilo M |= ¬A i M |= A, a to nije moguce.

Obratno, pretpostavimo da skup T,¬A nema model. Ako je je M modelza T , onda u M ne vazi ¬A, tj. u M vazi A. Dakle, recenica A je istinita usvakom modelu skupa T , tj. T |= A. C

Skup recenica je teorija. Jezik teorije je skup svih nelogickih simbola kojise u njoj javljaju. Ako je T skup recenica jezika L, sa Cn(T ) oznacavamoskup svih njegovih logickih posljedica. Ako je Cn(T ) = T , skup recenica Tje zatvorena teorija u jeziku L. U daljim razmatranjima, kada govorimo oteoriji podrazumijevamo i sve njene posljedice, tj. podrazumijevamo da jeteorija zatvorena.

U nacelu, teorije se mogu zadati na dva nacina. Prvi nacin, najcesci inajprikladniji, jeste da se zada konacan ili beskonacan skup aksioma: skuprecenica Γ je skup aksioma teorije T ako Cn(Γ) = T.

Drugi nacin jeste da se teorija zada nekom klasom modela, kao skuprecenica koje zadavoljavaju svi modeli te klase, ukoliko takav skup recenicauopste postoji. Na primer, ako je M model jezika L, sa Th(M), oznacavamoskup svih recenica jezika L, koje vaze u modelu M. Teorija Th(M) je ele-mentarna teorija modela M.

Elementarna teorija Th(M) je kompletna, tj. za svaku recenicu A jezikaL, ili Th(M) |= A ili Th(M) |= ¬A. Po definiciji, svi modeli elementarneteorije su elementarno ekvivalentni.

Teorema 2. Zadovoljiv skup recenica T je kompletan ako i samo akosvaka dva modela skupa T su elementarno ekvivalentna.

Dokaz. Neka je T kompletan skup recenica. Ako modeli M1 i M2 skupaT nisu elementarno ekvivalentni, onda postoji recenica A takva da M1 |= Ai M2 6|= A. Otuda M1 6|= ¬A i M2 6|= A, pa T 6|= ¬A i T 6|= A, a to protivrecikompletnosti skupa T .

89

Obratno, pretpostavimo da su svaka dva modela skupa recenica T ele-mentarno ekvivalentna. Neka je A proizvoljna recenica jezika L. Po pretpos-tavci, T je zadovoljiv skup recenica, pa ima model M0. Kako je A recenica,M0 |= A ili M0 |= ¬A. Ako M0 |= A, za svaki model M skupa T , M ≡ M1,pa M |= A, tj. T |= A. Analogno, ako M0 |= ¬A, onda T |= ¬A. C

Zadatak 1. Neka je E teorija u jeziku bez nelogickih simbola, tj. njenjezik je prazan skup. Aksiome te teorije su recenice koje izrazavaju reflek-sivnost ∀x(x = x), simetricnost ∀x∀y(x = y → y = x), i tranzitivnostjednakosti ∀x∀y∀z((x = y ∧ y = z)→ x = z). Teoriju E nazivamo teorijomjednakosti. Dokazati da teorija jednakosti nije kompletna.

Modeli teorije jednakosti su strukture bez logickih simbola, tj. neprazniskupovi. Njihovi izomorfizmi su obostrano jednoznacne i na funkcije.

Zadatak 2. Ako je A recenica ∀x∀y (x = y), teorija T = E ∪ {A} jekompletna teorija u jeziku jednakosti.

Zadatak 3. Neka je E0 recenica ∃x(x = x) i za svako n > 0, neka jeEn recenica ∀x1 · · · ∀xn∃y (¬(y = x1) ∧ · · · ∧ ¬(y = xn)). Smisao receniceEn jeste da ”domen modela sadrzi vise od n ≥ 0 elemenata.”

Dokazati da je teorija Γ = E∪{En∧¬En+1} kompletna, za svako n ≥ 0.Dokazati da je skup recenica Σ = E ∪ {En : n ∈ N} kompletan. Svi

modeli skupa Σ su beskonacni. Pokazati da postoji kompletno prosirenjeteorije E razlicito od Γ i Σ.

Teorija grupa

Teorija grupa TG je teorija u jeziku LG = {+ , 0}, a njene aksiome susledece tri recenice:

∀x∀y∀z ((x+ y) + z = x+ (y + z)),

∀x (x+ 0 = x ∧ 0 + x = x),

∀x∃y (x+ y = 0 ∧ y + x = 0).

Svaka struktura G u jeziku LG, u kojoj vaze navedene recenice je grupa.Logicke posljedice aksioma teorije grupa su sve recenice jezika teorije grupakoje vaze u svim grupama.

Zadatak 1. Recenica ∀x∀y ((x + y = x ∧ y + x = x) → y = 0) jelogicka posljedica aksioma teorije grupa. Naime, u svakoj grupi neutralnielement je jedinstven. Jezikom teorije grupa izraziti svojstvo: svaki elementgrupe ima jedinstven inverzni element.

90

Zadatak 2. Dokazati da su recenice ∀x (x+ 0 = x) ∀x∃y (x+ y = 0) i∀x∀y∀z ((x+ y) + z = x+ (y + z)) aksiome teorije TG.

Zadatak 3. Dokazati da ni recenica ∀x∀y (x + y = y + x), ni njenanegacija nisu logicke posljedice aksioma grupe.

Ako je x promjenljiva, izraz x+ · · ·x︸ ︷︷ ︸n

oznacavamo sa n · x, dokazati da

recenica ∃x (n · x = 0), nije logicka posljedica aksioma teorije grupa?

Ako je G grupa, prirodan broj n ≥ 1 je red elementa a ∈ G ako n · a = 0i m · a 6= 0, za m < n.

Zadatak 4. Ako je p ≥ 2 prost broj, u jeziku teorije grupa formulisatiteoriju beskonacnih komutativnih grupa ciji su svi elementi reda p. Akoimaju istu kardinalnost, svi modeli ove teorije su izomorfni. Ovo je takodeprimjer kompletne teorije.

Zadatak 5. Grupa G je bez torzije ako su svi njeni elementi beskonac-nog reda. Element a ∈ G je beskonacnog reda, ako na 6= 0, za svako n ≥ 1.Skupom formula jezika LG opisati sve komutativne grupe bez torzije.

Zadatak 6. Grupa G je grupa sa dijeljenjem ako za svako a ∈ G, postojib ∈ G, tako da n · b = a, za svako n ≥ 1. Skupom formula jezika LG opisatisve komutativne grupe sa dijeljenjem.

Primjer 1. Grupe sabiranja cijelih, racionalnih i realnih brojeva nemajutorziju. Grupe racionalnih i realnih brojeva su grupe sa dijeljenjem. Teorijakomutativnih grupa sa dijeljenjem i bez torzije je kompletna.

Teorija linearnog uredenja

Linearno uredenje je struktura P = (P,<P ) jezika L = {<}, koja zado-voljava sledece recenice:

∀x¬(x < x),

∀x∀y∀z (x < y ∧ y < x→ x < z),

∀x∀y (x < y ∨ x = y ∨ y < x).

Navedene recenice su aksiome teorije linearnog uredenja TS . Iz aksiomaslijedi da, ako relacija <⊆ P 2 nije prazan skup, linearno uredenje P ima bardva elementa.

91

Linearno uredenje P = (P,<) je gusto ako za sve a, b ∈ P takve da a < b,postoji c ∈ P , tako da a < c < b. Uredenje P ima najmanji element, akopostoji a ∈ P , takvo da a < b, za svako b ∈ P , tj. ima najveci element, akopostoji a ∈ P , takvo da b < a, za svako b ∈ P.

Zadatak 1. Formulom jezika L izraziti svojstvo gustine linearnog ure-denja. Ako formula A izrazava svojstvo gustine, dokazati da TS 6|= A.

Zadatak 2. Formulisati aksiome teorije T gustog linearnog uredenjabez krajeva. Dokazati da je teorija T kompletna.

Zadatak 3. Ako je Z = (Z,<) uredenje cijelih brojeva, dokazati daza svako a ∈ Z, postoji najmanji b takav da a < b. Izraziti ovo svojstvoformulom jezika L.

Ako su P1 i P2 linearna uredenja, takva da P1 ∩ P2 = ∅. Neka je P =P1 ∪ P2 i P = (P,<P ) uredenje u kome:

(i) Ako a, b ∈ P1, a <P b ako i samo ako a <P1 b,

(ii) Ako a ∈ P1, b ∈ P2, onda a <P b,

(iii) Ako a, b ∈ P2, a <P b ako i samo ako a <P2 b.

Uredenje P je suma linearnih uredenja P1 i P2 i oznacava se sa P1 + P2.

Zadatak 4. Dokazati da su linearna uredenja Z i Z+Z elementarno ek-vivalentna i nisu izomorfna. Modeli Z i Z+Z jezika {<} su iste kardinalnosti(oba su prebrojivi), elementarno su ekvivalentni i nisu izomorfni.

Ovaj pregled svojstava linearnog uredenja zavrsavamo jednom vaznomosobinom uredenja prirodnih brojeva ω = (N,<). Skup prirodnih brojeva jedobro ureden, tj. svaki njegov podskup ima najmanji element.

Ako je P = (P,<) linearno uredenje, uredenje P∗ = (P,<∗) je linearnouredenje u kome a <∗ b ako i samo ako b < a, za sve a, b ∈ P . Na primjer,u uredenju ω, 0 < 1 < 2 < · · · , a u uredenju ω,∗ · · · < 2 < 1 < 0.

Zadatak 5. Dokazati da su ω i ω + ω, linearna dobra uredenja. Da lije uredenje ω + ω∗ + ω, dobro uredenje.

U dobrom uredenju P = (P,<P ), za svako S ⊆ P , skup S ima najmanjielement. U ovoj definicii ne kvantifikuje se po elementima skupa P , vecpo njegovim podskupovima, tj. po unarnim relacijama skupa P . Ona jeformulisana u logici drugog reda i nije jasno da li se moze izraziti u jezikuL = {<}, ili njegovom prosirenju?

U vise navrata smo pretpostavili da svaki prebrojiv skup ima dobro ure-denje. Ako se ta pretpostavka prosiri na sve skupove, dobija se princip dobrog

92

uredenja. Taj princip je ekvivalentan aksiomi izbora. Sva svojstva skupovakoja smo nabrojali u okviru teorije ZF prihvatljiva su svim matematicarima.Svakodnevno ih koriste, ali to posebno ne isticu, dok princip dobrog uredenjauvijek naglase i samo njega nazivaju aksiomom teorije skupova. To cine sarazlogom jer se princip dobrog uredenja ne moze dokazati, niti opovrgnutina osnovu aksioma teorije ZF .

Parcijalno uredenje

Struktura P = (P,≤P ) je parcijalno uredenje ako je binarna relacija ≤Prefleksivna, antisimetricna i tranzitivna:

∀x (x ≤ x)

∀x ∀y ((x ≤ y ∧ y ≤ x)→ x = y)

∀x ∀y ((x ≤ y ∧ y ≤ x)→ x = y).

Jezik parcijalnog uredenja je LP = {≤}, a njegovi modeli, za razliku odlinearnog uredenja, mogu imati i samo jedan element.

Zadatak 1 Neka je < binarna relacija nepraznog skupa P i neka je ≤binarna relacija definisana tako da: a ≤ b ako i samo ako ¬(b < a), za svea, b ∈ P . Relacija < je nerefleksivna i tranzitivna ako i samo ako relacija ≤je refleksivna, antisimetricna i tranzitivna.

Zadatak 2. U jeziku parcijalnog uredenja, formulisati svojstva maksi-malnog, najveceg, minimalnog i najmanjeg elementa.

Dokazati da parcijalno uredenje ima najvise jedan najveci element, tj.da je to logicka posljedica aksioma parcijalnog uredenja.

Navesti primjer parcijalnog uredenja koje nema ni najmanji, ni najvecielement, a ima minimalni i maksimalni element.

Zadatak 3. Ako je P (x) skup svih podskupova skupa x, koji moze bitii prazan, struktura (P (x),⊆) je parcijalno uredenje.

Parcijalno uredenje P je linerano ako a ≤ b ili b ≤ a, za sve a, b ∈ P .Skup L ⊆ P je lanac u parcijalnom uredenju P ako a ≤ b ili b ≤ a, za svea, b ∈ L.

93

Parcijalno uredenje se kao struktura prirodno javlja u svim oblastimamatematike. Stoga je za matematiku vazna jedna verzija principa dobroguredenja koju je pocetkom dvadesetog vijeka, u terminima parcijalnog ure-denja, formulisao Maks Corn. Naziva se Cornova lema i glasi;

Ako svaki lanac u parcijalnom uredenju ima gornje ogranicenje, parci-jalno uredenje ima maksimalni element.

Zadatak 4. Ako r1 ⊆ r2, relacija r2 je prosirenje relacije r1, za proiz-voljne relacije r1 i r2, nepraznog skupa M . Dokazati da se svako konacnoparcijalno uredenje moze prosiriti do linearnog uredenja.

Teorija polja

Aksiome teorije polja izrazavamo u jeziku LF = {+, ·, 0, 1}, sa binarnimoperacijskim simbolima + i · i konstantama 0 i 1:

∀x∀y (x+ y = y + x)∀x∀y∀z ((x+ y) + z = x+ (y + z)),∀x (x+ 0 = x),∀x∃y (x+ y = 0),∀x∀y (x · y = y · x)∀x∀y∀z ((x · y) · z = x · (y · z)),∀x (x · 1 = x),∀x (¬(x = 0)→ ∃y (x · y = 1)),∀x∀y∀z ((x+ y) · z = x · z + y · z),¬(0 = 1).

Teorija polja TF je skup svih logickih posljedica navedenih recenica. Po-lje je struktura jezika LF sa bar dva elementa u kojoj vaze sve receniceteorije TF .

Prototip polja jeste polje Q racionalnih brojeva, sa kojim se u matematicisvakodnevno susrecemo, a zatim dolaze polje R realnih brojeva i polje Ckompleksnih brojeva. Ta polja se ipak sustinski razlikuju i ta se razlikadobro moze predstaviti sredstvima predikatske logike.

Zadatak 1. Dokazati da su recenice ∀x∀y ((x·y = 0)→ (x = 0∨y = 0))i ∀x (x · 0 = 0) logicke posljedice aksioma teorije polja.

Dokazati da recenica ∀x (x + x = 0 → x = 0), nije posljedica aksiomateorije polja.

Zadatak 2. Struktura Z2 jezika LF , ciji je domen skup Z2 = {0, 1}, aoperacije +2 i ·2 sabiranje i mnozenje po modulu 2, jeste polje.

94

U polju Z2 vazi recenica: Z2 |= ∀x (x+ x = 0), pa kazemo da je polje Z2

karakteristike 2.

Polje F je karakteristike n ≥ 2, ako je n najmanji prirodan broj takav dan · a = 0, za svako a ∈ F . Polje je karakteristike nula ako nije karakteristiken, za svako n ≥ 2.

Zadatak 3. Skup Zn, ostataka po modulu n ≥ 2, sa operacijama pomodulu n i konstantama po modulu n, je struktura Zn u jeziku LF . Dokazatida je Zn polje, ako i samo ako n ≥ 2 je prost broj.

Zadatak 4. Karakteristika polja je prost broj ili nula. Svako konacnopolje karakteristike p ima pk elemenata, za neko k ≥ 1.

Zadatak 5. Dokazati da postoji beskonacno polje konacne karakteris-tike. Svako polje karakteristike nula je beskonacno.

Ako je Kp recenica (p · 1 = 0), teorija polja karakteristike p je skup svihlogickih posljedica skupa recenica TF ,Kp, za svaki prost broj p ≥ 2. Dakle,teorija polja karakteristike p ima konacnu aksiomatizaciju.

Teorija polja karakteristike nula dobija se prosirenjem teorije polja TFrecenicama ¬Kp, za svaki prost broj p ≥ 2. Moze se dokazati da teorijapolja karakteristike nula uopste nema konacnu aksiomatizaciju.

Za svaku promjenljivu x, sa xn oznacavamo izraz x · · · · · x︸ ︷︷ ︸n

. Ako se

aksiome teorije polja prosire listom recenica

Pk ∀y0 ∀y1 . . . ∀yk (yk 6= 0→ ∃x (ykxk + · · ·+ y1x+ y0 = 0)),

za svaki prirodan broj k ≥ 1, dobija se teorija algebarski zatvorenih polja.

Smisao aksiome Pk jeste da svaki polinom stepena k ima nulu, za svakok ≥ 1. Dakle, polje F je algebarski zatvoreno ako svaki polinom, sa koefici-jentima iz polja F, ima nulu u polju F.

Polje Q racionalnih i polje R realnih brojeva nisu algebarski zatvorenapolja, a prema osnovnoj teoremi algebre, polje C kompleksnih brojeva, jestealgebarski zatvoreno.

Za svako polje F postoji ”najmanje” algebarski zatvoreno polje F∗, takvoda F ⊆ F ∗. Pritom, ako je F prebrojiv skup, onda je i F ∗ prebrojiv skup.Dakle, polje Q ima prebrojivo algebarsko zatvorenje Q∗. Poznato je da susvaka dva neprebrojiva algebarski zatvorena polja izomorfna, pa se na osnovute cinjenice moze dokazati da je teorija polja iste karakteristike komletna.

95

Teorija realno zatvorenih polja

Jos jedan primjer vazne kompletne teorije jeste teorija realno zatvorenihpolja. To je teorija u jeziku LF , cije su aksiome redom: sve aksiome teorijepolja, recenice oblika P2k+1, za sve k ≥ 0, recenica

∀x ∃y (y2 = x ∨ y2 + x = 0),

kao i recenice Rn, n ≥ 1, oblika

∀x1 · · · ∀xn (x21 + · · ·+ x2

n = 0 → x1 = 0 ∧ · · · ∧ xn = 0).

Polje R realnih brojeva je realno zatvoreno polje: svaki realan polinomneparnog stepena ima nulu, svaki pozitivan realan broj ima kvadratni korijeni svaka kvadratna forma realnih brojeva jednaka je nuli, samo ako su svi njenisabirci jednaki nuli.

Zadatak 1. Dokazati da je svako realno zatvoreno polje beskonacno ikarakteristike nula.

Primjer 1. Kvadratna jednacina sa realnim koeficijentima ima re-alan korijen ako i samo ako njena diskriminanta nije negativna. Ako toprevedemo na jezik teorije realnih polja, dobijamo

R |= ∃x (ax2 + bx+ c = 0) ⇔ R |= b2 − 4ac ≥ 0.

Formula ∃x (ax2 + bx + c = 0), u strukturi R ekvivalentna je formuli bezkvantifikatora b2 − 4ac ≥ 0.

To vazi uopste, za svaku formulu A jezika LF , postoji formula bez kvan-tifikatora A∗ u istom jeziku, koja je u strukturi realnih brojeva ekviva-lentna formuli A. Dakle, polje R dopusta eliminaciju kvantifikatora, pasu svaka dva realno zatvorena polja elementarno ekvivalentna, tj. teorijarealno zatvorenih polja je kompletna.

Teorija uredenih polja

Ako se u teoriji realno zatvorenih polja, realni brojevi sagledavaju sa cistoalgebarskog stanovista, u teoriji uredenih polja sagledavamo ih sa stanovistamatematicke analize.

Jezik teorije uredenih polja je LU = {+ , · , <, 0, 1}, tj. to je jezikteorije polja prosiren binarnim operacijskim simbolom {<}. Aksiome teorije

96

uredenih polja su aksiome teorije polja, aksiome linearnog uredenja i sledecedvije recenice:

∀x ∀y ∀ z(x < y → (x+ z < y + z)),

∀x ∀y ∀ z(0 < z → (x < y → (x · z < y · z))).

Dakle, uredeno polje F je struktura jezika LU cija redukcija na jezik LFje polje, redukcija na jezik linearnog uredenja LS je linearno uredenje, ukojoj je relacija poretka saglasna sa operacijom sabiranja i uslovno saglasnasa operacijom mnozenja (aksioma U2). Ta saglasnost izrazena je navedenimrecenicama. Teoriju uredenih polja oznacavamo sa TU . Njeni najvaznijimodeli su polje Q racionalnih i polje R realnih brojeva.

Lema 1. TU |= (0 < 1).

Dokaz. Neka je F uredeno polje. Po desetoj aksiomi teorije polja, 0 6= 1.Prema aksiomi linearnosti, 0 < 1 ∨ 0 = 1 ∨ 1 < 0, pa 0 < 1 ∨ 1 < 0. Ako1 < 0, prema aksiomi uredenog polja, 1 + (−1) < 0 + (−1), pa 0 < −1.Prema drugoj aksiomi uredenog polja, 0 · (−1) < (−1) · (−1), pa je 0 < 1,tj. 0 = 1, a to nije moguce. Dakle, TU |= 0 < 1. C

Zadatak 1. Dokazati da TU |= ∀x (x < x+ 1).

Lema 2. Svako uredeno polje sadrzi izomorfnu kopiju uredenog poljaracionalnih brojeva.

Dokaz. Neka je N = (N, + , · , 0, 1) struktura prirodnih brojeva (sa uo-bicajenim svojstvima operacija + i · i konstanti 0 i 1) i neka je F uredeno po-lje. Ako je 0 = 0F , 1 = 1F , 2 = 1F +1F , . . . , neka je preslikavanje u : N → Fdefinisano sa u(n) = n, za sve n ∈ N .

Na osnovu aksioma teorije polja, lako se provjerava da je x+ y = x+F yi x · y = x ·F y , pa preslikavanje u cuva operacije + i · . Ako x = y,onda x = y, pa je preslikavanje u obostrano jednoznacno. To znaci da svakouredeno polje sadrzi izomorfnu kopiju prirodnih brojeva.

Kako je N ⊆ Z ⊆ Q, prethodna konstrukcija se lako moze prosiriti prvona cijele, a potom i na racionalne brojeve, pa svako uredeno polje sadrziizomorfnu kopiju uredenog polja Q racionalnih brojeva. C

Uredeno polje realnih brojeva je kompletno. To znaci da svaki neprazanogranicen skup realnih brojeva ima supremum. Kako svako uredeno poljesadrzi izomorfnu kopiju uredenog polja racionalnih brojeva, Dedekind je sje-cenjima dobio kompletiranje polja racionalnih brojeva i tako dokazao da, dona izomorfizam, postoji samo jedno kompletno uredeno polje - polje realnihbrojeva.

97

Problem sa ovim Dedekindovim rezultatom je u tome sto on pociva naprincipu kompletnosti: Svaki neprazan ogranicen podskup skupa realnih bro-jeva ima supremum. Ovdje se kvantifikacija ne vrsi po elementima, vec popodskupovima, tj. po unarnim relacijama skupa realnih brojeva. Dakle,princip kompletnosti je princip logike drugog reda.

Videli smo da problem logickih zakona, u logici prvog reda nije odluciv.Ali, on je ipak parcijalno odluciv, zato sto ima odlucivu aksiomatizaciju, pase svi logicki zakoni mogu generisati polazeci od skupa aksioma. U logicidrugog reda, o logickim zakonima znamo veoma malo. Ona nema rekurzivnuaksiomatizaciju, pa nije logicki sistem u pravom smislu te rijeci.

Sa stanovista predikatske logike, polje realnih brojeva nije jedinstveno.Naime, njegova elementarna teorija Th(R) ima model R∗ koji nije izomor-fan polju realnih brojeva R. Pritom, Th(R) = Th(R∗), tj. polja R i R∗ suelementarno ekvivalentna - imaju ista svojstva prvog reda.

Teorija brojeva

Elementarna teorija Th(N) strukture N = (N,+N , ·N , sN , 0N ), prirodnihbrojeva je kompletna teorija brojeva.

Jezik kompletne teorije brojeva je LPA = {+, ·, S, 0}. Dakle kompletnateorija brojeva je skup svih recenica jezika LPA istinitih u modelu N.

Model N je standardni model kompletne teorije brojeva. Svaki drugimodel te teorije je nestandardni model.

Kao posljedicu stava potpunosti predikatske logike, dokazacemo da kom-pletna teorija brojeva ima prebrojiv nestandardni model.

Prirodno se postavlja pitanje da li kompletna teorija brojeva ima ak-siomatizaciju rekurzivnim, tj. odlucivim skupom aksioma? Najpoznatijarekurzivna aksiomatizacije teorije brojeva je Peanova aritmetika:

Q1 ∀x¬(s(x) = 0),

Q2 ∀x∀y (s(x) = s(y) → x = y),

Q3 ∀x(¬(x = 0) → ∃y(x = s(y))),

Q4 ∀x (x+ 0 = x),

Q5 ∀x ∀y (x+ s(y) = s(x+ y)),

Q6 ∀x (x · 0 = 0),

Q7 ∀x ∀y (x · s(y) = x · y + x),

QA A(0) ∧ ∀x (A(x)→ A(s(x))→ ∀xA(x),

za svaku formulu A(x) jezika LA sa parametrom x ∈ V .

98

Prve tri aksiome izrazavaju svojstva funkcije sledbenika u prirodnim bro-jevima. Po prvoj aksiomi, unarna operacija s, ili operacija sledbenika, jeobostrano jednoznacno preslikavanje skupa prirodnih brojeva, po drugoj ak-siomi, nula nije sledbenik prirodnog broja i po trecoj aksiomi, svaki prirodanbroj razlicit od nule je sledbenik nekog prirodnog broja.

Cetvrta i peta aksioma cine rekurzivnu definiciju sabiranja prirodnihbrojeva. Sabiranje se rekurzivno definise preko funkcije sledbenika: za datiprirodan brojm, po cetvrtoj aksiomim+0 = m, pa ako smo izracunalim+n,po petoj aksiomi sledecu vrijednost m + s(n) izracunavamo kao vrijednostfunkcije sledbenika s(m+ n), za svaki prirodan broj n.

Sesta i sedma aksioma cine rekurzivnu definiciju mnozenja prirodnihbrojeva. Mnozenje se rekurzivno definise preko sabiranja: za dati prirodanbroj m, po sestoj aksiomi, m · 0 = 0, pa ako smo izracunali m ·n, po sedmojaksiomi, sledecu vrijednost m ·s(n) izracunavamo kao zbir m ·n+n, za svakiprirodan broj n.

Poslednja aksioma u ovom nizu je shema aksioma ili aksioma induk-cije. To je beskonacan skup formula {QA : A(x) ∈ F, x ∈ V }, jezika LPA.Aksioma indukcije formalno izrazava princip matematicke indukcije: ako uprirodnim brojevima vazi A[0] i ako A[n] implicira A[s(n)], za svako n ≥ 0,onda u prirodnim brojevima vazi ∀xA(x).

Iz postovanja prema Djuzepeu Peanu, koji je napravio prve pokusaje uformalizaciji svojstava prirodnih brojeva, navedena teorija naziva se Peano-vom aritmetikom i oznacava sa PA.

Teorema 1. PA ⊆ Th(N).

Dokaz. Dovoljno je provjeriti da sve aksime PA vaze u standardnommodelu N, jer onda vaze u svakom modelu teorije Th(N). Dakle, sve njihovelogicke posljedice vaze u svakom modelu kompletne aritmetike. C

Gedelova teorema nepotpunosti, iz 1931. godine, tvrdi da Peanova arit-metika nije kompletna. To znaci da obratna inkluzija u prethodnoj teo-remi ne vazi, tj. kompletna teorija brojeva je prava ekstenzija Peanovearitmetike. Svaka teorija u jeziku LPA sa rekurzivnim skupom aksiomakoja sadrzi Peanovu aritmetiku nije kompletna. Otuda slijedi da svakoprosirenje Peanove aritmetike konacnim skupom aksioma nije kompletno,pa kompletna teorija brojeva nema konacnu aksiomatizaciju nad Peanovomaritmetikom. To znaci da kompletna aritmetika uop]v ste nema konacnuaksiomatizaciju. Koristeci nestandardne modele teorije brojeva, o kojima cekasnije biti reci, dokazano je da ni Peanova aritmetika nema konacan skupaksioma.

99

Interesantna podteorija Peanove aritmetike je Robinsonova aritmetika.To je teorija Q cije su aksiome recenice Q1, . . . , Q7. Teorija Q je znacajnazato sto se u njoj mogu izraziti sve rekurzivne funkcije, tj. u njoj se mozeopisati svaka procedura izracunavanja, na bilo kom racunaru.

Iako se formulama teorije Q mogu predstaviti sve rekurzivne funkcije,ona ipak ne govori sve o svojstvima prirodnih brojeva. Sa druge strane, teskoje zamisliti svojstvo prirodnih brojeva koje se ne moze izraziti i dokazatiu Peanovoj aritmetici. Mi znamo da takva svojstva postoje, jer Peanovaaritmetika nije kompletna, ali je njihov prakticni znacaj prilicno ogranicen.

Napomenimo da teoriju brojeva Peano nije formulisao kao teoriju u pre-dikatskoj logici prvog reda. Njegova aksiomatizacija sastojala se od aksiomaQ1 i Q2 i principa indukcije izrazenog u logici drugog reda:

Za svako P ⊆ N , ako 0 ∈ P i ako n ∈ P implicira s(n) ∈ P , za svakon ∈ N , onda P = N .

Poput uredenog polja realnih brojeva, standardni model prirodnih bro-jeva je u Peanovoj aritmetici drugog reda jedinstveno odreden: svaki modelM je izomorfan standardnom modelu N.

Na kraju ovog pregleda svojstava teorije brojeva, isticuci znacaj prin-cipa matematicke indukcije, navodimo tri njena ekvivalentna oblika: prin-cip potpune indukcije, princip dobrog uredenja prirodnih brojeva i principopadajucih lanaca.

Zadatak 1. Za svaku formulu A(x) jezika aritmetike, logicka posljedicaaksioma Peanove aritmetike je princip potpune indukcije:

∀x (∀z (z < x→ A(z))→ A(x))→ ∀xA(x).

Uputstvo: Primijeniti aksiomu indukcije na formulu ∀z (z < x→ A(z)).

Zadatak 2. Za svaku formulu A(x) jezika aritmetike, logicka posljedicaaksioma Peanove aritmetike je princip dobrog uredenja:

∃xA(x)→ ∃y (A(y) ∧ ∀z (z < y → ¬A(y))).

Uputstvo: Primijeniti princip potpune indukcije na formulu ¬A(x).

Zadatak 3. Za svaku formulu A(x) jezika aritmetike, logicka posljedicaaksioma Peanove aritmetike je princip opadajuceg lanca:

∀x (A(x)→ ∃y (y < x ∧A(y)))→ ∀x¬A(x).

Uputstvo: Primijeniti princip dobrog uredenja.

100

Zadatak 4. Ako se teorija Q prosiri principom dobrog uredenja prirod-nih brojeva, dokazati da je princip matematicke indukcije logicka posljedicatako dobijene teorije.

Sintaksa predikatske logike

Zbog semanticke neodlucivosti predikatskog racuna, poseban znacaj imacinjenica da on ipak ima sintaksu koja potpuno opisuje sve njegove logickezakone. Pomocu pravila zakljucivanja, oni se mogu generisati, polazeci odrekurzivnog skupa aksioma. To znaci da je predikat ”|=” parcijalno odluciv,tj. postoji program koji proizvodi sve logicke zakone predikatskog racuna.

Aksiome predikatske logike su dvije aksiome za implikaciju, tri za kon-junkciju, tri za disjunkciju, dvije aksiome negacije i zakon iskljucenja treceg.Osim tih aksioma, predikatska logika ima jos dvije aksiome za kvantifikatorei pet aksioma jednakosti:

Instance iskaznih aksioma: Sve instance iskaznih aksioma su aksio-me predikatskog racuna prvog reda.

Aksioma univerzalnog kvantifikatora: Ako je term t slobodan zapromjenljivu x u formuli A, formula

∀xA→ A(x/t),

je aksioma predikatske logike.

Aksioma egzistencijalnog kvantifikatora: Ako je term t slobo-dan za promjenljivu x u formuli A, formula

A(x/t)→ ∃xA.

je aksioma predikatske logike.

Ogranicnje na term t koje se javlja u aksiomama za kvantifikatore jeneophodno. U suprotnom, postoje instance tih aksioma koje nisu valjane.

Primjer 1. Formula ∀x∃y A → ∃y A(x/y) je instanca aksiome univer-zalnog kvantifikatora, ali nije logicki zakon.

Ako je x < y formula A, i N′ = (N,<N ), onda N′ |= ∀x∃y (x < y), ali nevazi N′ |= ∃y (y < y), jer ne postoji n ∈ N , takav da n < n.

Primjer 2. Formula ∀xA(y/t(x))→ ∃y ∀xA je instanca aksiome egzi-stencijalnog kvantifikatora, ali nije logicki zakon.

101

Ako je x < y formula A i N′ = (N,<N , sN ), onda N′ |= ∀x (x < s(x)),ali ne vazi N′ |= ∃y ∀x (x < y), jer ne postoji najveci prirodan broj.

Aksiome jednakosti: Ako je f operacijski simbol duzine k ≥ 1, rrelacijski simbol duzine n ≥ 1, x, y, z, x1, . . . xk, y1, . . . , yn individualnepromjenljive jezika L, formule

E1 ∀x (x = x),

E2 ∀x ∀y (x = y → y = x),

E3 ∀x ∀y ∀z (x = y ∧ y = z → x = z),

E4 ∀−→x ∀−→y (∧ki=1(xi = yi)→ f(x1, . . . , xk) = f(y1, . . . , yk)),

E5 ∀−→x ∀−→y (∧ni=1(xi = yi)→ (r(x1, . . . , xk)↔ r(y1, . . . , yk))),

su aksiome predikatske logike.

Prve tri aksiome, izrazavaju refleksivnost, simetricnost i tranzitivnost ikarakterisu jednakost kao relaciju ekvivalencije, a druge dvije, njenu saglas-nost sa operacijama i relacijama svakog modela jezika L.

Predikatska logika ima tri pravila izvodenja, modus ponens i dva Ber-najsova pravila za uvodenje kvantifikatora:

Modus ponens: Ako su A i B formule,

A,A→ BB

Pravilo univerzalnog kvantifikatora: Ako su A i B formule ipromjenljiva x nije slobodna u formuli A,

A→ BA→ ∀xB

promjenljiva x nije slobodna u formuli A.

Pravilo egzistencijalnog kvantifikatora: Ako su A i B formulei promjenljiva x nije slobodna u formuli B,

A→ B∃xA→ B

Pojmovi dokaza, dokaza iz hipoteza, teoreme i sintaksne posljedice se upredikatskom racunu definisu isto kao u iskaznom racunu. Jedina razlika jeu primjeni novih pravila.

102

Neka je Γ skup formula, A formula jezika L i n ≥ 1 prirodan broj. Ko-nacan niz formula (A1, . . . , An) je dokaz formule A iz pretpostavki Γ akoAn = A i za svako k ≤ n, formula Ak je aksioma ili Ak ∈ Γ ili, po nekom odpravila izvodenja, Ak slijedi iz prethodnih clanova niza.

Formula A je sintaksna posljedica skupa formula Γ, u oznaci Γ ` A, akoA ima dokaz iz pretpostavki Γ. Kada je Γ prazan skup, formula A je teoremapredikatskog racuna, u oznaci ` A.

Po definiciji dokaza, ako Γ ⊆ Σ i Γ ` A onda Σ ` A, tj. u predikatskojlogici vazi pravilo slabljenja. Takode, kako je dokaz iz hipoteza konacan niz,ako Σ ` A, postoji konacan skup formula Σ0 ⊆ Σ takav da Σ0 ` A.

Pravilo generalizacije

Teorema 1. U predikatskom racunu vazi pravilo generalizacije: za sva-ku formulu A jezika L,

A∀xA

Dokaz. Pretpostavimo da je formula B instanca bilo koje iskazne ak-siome, u kojoj promjenljiva x nije slobodna, onda redom imamo:

A, (pretpostavka)

A→ (B → A), (aksioma implikacije)

B → A, (modus ponens)

B → ∀xA, (pravilo univerzalnog kvant.)

B, (aksioma)

∀xA. (modus ponens)

Kako promjenljiva x nije slobodna u formuli B, uslov za primjenu pravilaza uvodenje univerzalnog kvantifikatora je ispunjen. C

Zadatak 1. Ako se u predikatskom racunu Bernajsova pravila zamijenepravilom generalizacije i dodaju aksiome

∀x (A→ B)→ (A→ ∀xB),∀x (B → A)→ (∃xB → A),

promjenljiva x nije slobodna u formuli A, dobija se logika sa istim skupomteorema.

103

Teorema 2. Za svaku formulu A, vaze De Morganovi zakoni:

` ∀xA↔ ¬∃x¬A,` ∃xA↔ ¬∀x¬A.

Dokaz. Dokaz formule ∃xA→ ¬∀x¬A, je sledeci niz formula

∀x¬A→ ¬A, (aksioma univerzalnog kvant.)

¬¬A→ ¬∀x¬A, (slaba kontrapozicija)

A→ ¬¬A, (slaba dvojna negacija)

A→ ¬∀x¬A, (tranzitivnost implikacije)

∃xA→ ¬∀x¬A. (pravilo egzistencijalnog kvant.)

Uslov za primjenu aksiome univerzalnog kvantifikatora je ispunjen buducida je promjenljiva x slobodna za samu sebe u formuli ¬A. Promjenljiva xnije slobodna u formuli ¬∀x¬A, pa je uslov za primjenu pravila za uvodenjeegzistencijalnog kvantifikatora takode ispunjen.

Tvrdenje ` ∀xA → ¬∃x¬A dobija se kontrapozicijom iz prethodnogtvrdenja za slucaj formule ¬A.

Tvrdenje ` ¬∃x¬A→ ∀xA dobijamo koristeci aksiomu za egzistencijalnikvantifikator. Njegov dokaz je sledeci niz formula:

¬A→ ∃x¬A, (aksioma egzistencijalnog kvant.)

¬∃x¬A→ ¬¬A, (slaba kontrapozicija)

¬¬A→ A, (jaka dvojna negacija)

¬∃x¬A→ A, (tranzitivnost implikacije)

¬∃x¬A→ ∀xA. (pravilo univerzalnog kvant.)

Kako je promjenljiva x slobodna za samu u sebe u formuli ¬A, ispunjenje uslov aksiome egzistencijalnog kvantifikatora, a kako promjenljiva x nijeslobodna u formuli ¬∃x¬A, ispunjen je uslov za primjenu pravila za uvode-nje univerzalnog kvantifikatora.

Tvrdenje ` ¬∀x¬A → ∃xA dobija se kontrapozicijom iz prethodnogtvrdenja za slucaj formule ¬A. C

Lema 1. Za svaku formulu A, vazi: ` ∃y∀xA→ ∀x∃y A.Dokaz. Dokaz ovog tvrdenja je niz formula: ∀xA → A, A → ∃y A,

∀xA→ ∃y A, ∀xA→ ∀x∃y A, ∃y∀xA→ ∀x∃y A.Prva formula je aksioma univerzalnog, a druga egzistencijalnog kvanti-

fikatora. Treca se dobija iz prve dve po tranzitivnosti, cetvrta uvodenjemuniverzalnog, a peta egzistencijalnog kvantifikatora. Pritom, uslovi za prim-jenu svake od aksioma i svakog od pravila su ispunjeni. C

104

Zadatak 2. Ako je promjenljiva y slobodna za x u formuli A,

` ∀xA→ ∀y A(x/y),

` ∃xA→ ∃y A(x/y).

Lema 2. Dokazati da za proizvoljne formule A i B, u predikatskomracunu vaze sledeca pravila:

A→ B A→ B∀xA→ ∀xB ∃xA→ ∃xB

Ako pretpostavimo A → B, onda redom dobijamo: po aksiomi univer-zalnog kvantifikatora, ∀xA→ A; po pretpostavci, A→ B; po tranzitivnosi,∀xA→ B; kako x nije slobodna u formuli ∀xA, po pravilu za uvodenje uni-verzalnog kvantifikatora, ∀xA → ∀xB. Na isti nacin, polazeci od aksiomeegzistencijalnog kvantifikatora, po pravilu za uvodenje egzistencijalnog kvan-tifikatora, dobijamo da vazi i drugo pravilo. C

Teorema 1. Za svaku formulu A(x1, . . . , xn) jezika L,

` A(x1, . . . , xn) ⇔ ` ∀x1 · · · ∀xnA(x1, . . . , xn).

Dokaz. Ako pretpostavimo ` A, ponavljanjem pravila generalizacijedobijamo ` ∀x1 · · · ∀xnA. Obratno, ako pretpostavimo ` ∀x1 · · · ∀xnA, ka-ko je promjenljiva xk, 1 ≤ k ≤ n, slobodna za sebe samu u formuli A, zbogaksiome univerzalnog kvantifikatora, u n koraka dobijamo ` A. C

Formula ∀x1 · · · ∀xnA(x1, . . . , xn) je univerzalno zatvorenje formule A.Primetimo da prethodna teorema ne tvrdi da je formula dokazivo ekvivalen-tna svom univerzalnom zatvorenju.

Zadatak 3. Postoji formula A za koju ne vazi ` A↔ ∀x1 · · · ∀xnA.

Lema o novim konstantama

Ako je L′ prosirenje jezik L, onda prirodno skup svih teorema T ′ jezikaL′ sadrzi skup T svih teorema jezika L. Medutim, samo po sebi nije jasnoda li postoji formula A jezika L, takva da A ∈ T ′ i A 6∈ T . Odnosno, moze lise u novom, bogatijem jeziku i sa jacim sredstvima, dokazati nova teoremastarog jezika? Odgovor je negativan, takva prosirenja su konzervativna, onane mijenjaju skup teorema polaznog jezika.

Jezik teorije T je skup nelogickih simbola koji se javljaju u formulamateorije T . Ako je T ⊆ T ′, teorija T ′ je konzervativno prosirenje teorije T ,ako za svaku formulu A jezika teorije T , T ′ ` A implicira T ` A.

105

Lema o novoj konstanti: Ako je c konstanta koja se ne javlja uformuli A,

` A(x/c) ⇔ ` A,

za svaku promjenljivu x.

Dokaz. Ako ` A, po pravilu generalizacije ∀xA, pa na osnovu aksiomeuniverzalnog kvantifikatora dobijamo ` A(x/c).

Sustinu leme o novoj konstanti izrazava drugi dio tvrdenja. Ako formuluA(x/c) dokazemo za konstantu c koja se ne javlja u formuli A, time smodokazali A.

Po pretpostavci, neka je (A1, . . . , An) dokaz formule A(x/c), Izaberimopromjenljivu y koja se ne javlja u navedenom dokazu i sva javljanja kon-stante c zamijenimo sa y. Tako se dobija niz (A1(c/y), . . . , An(c/y)), ciji jeposlednji clan An(c/y) = A(c/y), koji jeste dokaz formule A(c/y). Naime,sve kalkulacije sa konstantama i promjenljivim ostaju iste, po promjenljivojy se ne kvantifikuje, a sve supstitucije koje se javljaju u aksiomama, kao iprimjena svih pravila izvodenja, ostaju korektni, pa imamo ` A(c/y).

Kako je A(c/y) teorema jezika L, po pravilu generalizacije ∀y A(c/y),na osnovu ∀y A(c/y) → A(c/y)(y/x), jer x je slobodna u A(c/y) (aksiomauniverzalnog kvantifikatora), dobijamo A(c/y)(y/x), a to je formula A, paje formula A teorema jezika L. C

Lema o novim simbolima: Ako formula A jezika L koja ima dokaz uprosirenom jeziku L′, onda A ima dokaz u jeziku L.

Dokaz. Pretpostavimo da formula A jezika L ima dokaz u prosirenomjeziku L′.

Ako je jezik L′ dobijen dodavanjem novih konstanti, svaku novu kon-stantu u dokazu formule A, zamijenimo novom promjenljivom, koja se unjemu ne javlja. Tako dobijeni niz je dokaz formule A u jeziku L.

Ako je jezik L′ dobijen dodavanjem novih operacijskih simbola jeziku L,u dokazu formule A u jeziku L′, sve terme koji pocinju novim opercijskimsimbolom zamijenimo (jednom istom) novom promjenljivom, koja se u tomdokazu ne javlja. Tako dobijeni niz je dokaz formule A u jeziku L.

Kada je jezik L′ dobijen dodavanjem novih relacijskih simbola jeziku L,u dokazu formule A u jeziku L′, sve elementarne formule koje se odnose nanove simbole, zamijenimo (jednom istom) recenicom jezika L. Tako dobijeniniz formula je dokaz formule A u jeziku L. C

106

Teorema dedukcije u predikatskoj logici

Teorema dedukcije, u sasvim opstem vidu i bez ikakvih ogranicenja, nevazi u predikatskom racunu.

Primjer 1. Ako pretpostavimo formulu x = 0, primjenom generalizaci-je, dobija se ∀x (x = 0), pa dakle (x = 0) ` ∀x (x = 0). Primenom teoremededukcije dobili bi smo ` (x = 0)→ ∀x (x = 0), a to nije valjana formula.

U standardnom modelu prirodnih brojeva N, svaka valuacija, za koju jevrijednost promjenljive x jednaka nuli, zadovoljava formulu x = 0. Dakle,pretpostavka x = 0 je zadovoljena, ali u modelu N niposto ne vazi recenica∀x (x = 0).

Iz takvih razloga, teoremu dedukcije primjenjivacemo samo u slucajukada su sve pretpostavke recenice.

Teorema dedukcije: Ako je Γ, A skup recenica i B formula

Γ, A ` B ⇒ Γ ` A→ B.

Dokaz. Postupamo kao u iskaznom racunu, tj. tvrdenje dokazujemoindukcijom po duzini dokaza. Jedina razlika u tom dokazu je u tome sto uinduktivnom koraku imamo i dva pravila za uvodenje kvantifikatora.

Neka je n ≥ 1 prirodan broj. Pretpostavimo da (induktivna pretpos-tavka) ako formula C ima dokaz iz pretpostavki Γ, A duzine k ≤ n, ondaΓ ` A→ C, za svaku formulu C.

Pretpostavimo sada da formula B ima dokaz (B1, . . . , Bn+1), duzinen+ 1, iz pretpostavki Γ, A. Po definiciji dokaza, formula B = Bn+1 jeaksioma ili pripada skupu Γ, A ili po pravilima izvodenja slijedi iz prethod-nih clanova niza (Bi : 1 ≤ i ≤ n). modus ponensu sledi iz formula Bi i Bj ,za neke i, j ≤ n. Ako je formula B aksioma ili pripada skupu Γ, A ili jedobijena po modus ponensu iz formula Bi i Bj , za neke i, j ≤ n, postupamoisto kao u iskaznoj logici.

Neka je B formula oblika C → ∀xD dobijena je primenom pravila zauvodenje univerzalnog kvantifikatora na formulu Bk, k ≤ n, oblika C → D,gde x nije slobodna u formuli C. Po induktivnoj pretpostavci A→ Bk imadokaz iz hipoteza Γ. Kako je (A → Bk) → (A ∧ C → D) instanca iskazneteoreme, po modus ponensu, dobijamo (A ∧ C) → D i pritom, kako je Arecenica, promjenljiva x nije slobodna u formuli A ∧ C. Primenom pravi-la za uvodenje univerzalnog kvantifikatora dobijamo (A ∧ C) → ∀xD, tj.A → (C → ∀xD), a to konacno znaci da formula A → B ima dokaz izhipoteza Γ.

107

Preostaje jos mogucnost da formula B ima oblik ∃xC → D i dobijenaje primjenom pravila za uvodenje egzistencijalnog kvantifikatora na formuluBk, k ≤ n, oblika C → D, gde x nije slobodna u formuli D. Po induktiv-noj pretpostavci A → Bk ima dokaz iz hipoteza Γ. Kako je (A → Bk) →(C → (A → D)) instanca iskazne teoreme, po modus ponensu, dobijamoC → (A→ D) i pritom, kako je A recenica, promjenljiva x nije slobodna uformuli A→ D. Primjenom pravila za uvodenje egzistencijalnog kvantifika-tora dobijamo ∃xC → (A → D), tj. A → (∃xC → D), a to konacno znacida formula A→ Ci ima dokaz iz hipoteza Γ. C

Teorema o preneksnom obliku

U okviru rasprave o semantici predikatske logike, dokazali smo da svakaformula ima ekvivalentan preneksni oblik. Na osnovu toga, poslije dokazastava potpunosti, mogli bi smo konstatovati da za svaku formulu A postojiformula B bez kvantifikatora takva da

` A↔ Q1x1 · · ·QnxnB.

Ipak, smatramo dobrom vjezbom, da se teorema o preneksnoj formi dokaze isintaksnim sredstvima. Pritom, u indukciji po slozenosti formule, koristimoiste odnose kvantifikatora i iskaznih veznika, koje sada treba dokazati.

Lema o supstituciji ekvivalentnih formula: Ako je A(B/C) for-mula koja se iz formule A dobija supstitucijom nekih, ne obavezno svih,javljanja njene potformule B formulom C, onda

` B ↔ C ⇒ ` A↔ A(B/C).

Dokaz. Za date formule B i C, tvrdenje dokazujemo indukcijom poslozenosti formule A. Postupamo isto kao u iskaznoj logici, osim u slucajukada formula A ima oblik ∀xD ili ∃xD. Po induktivnoj pretpostavci, ako` B ↔ C, onda ` D ↔ D(B/C), pa ako na tu formulu primijenimo jednood ranije dokazanih pravila

A→ B A→ B∀xA→ ∀xB ∃xA→ ∃xB

neposredno dobijamo ` ∀xD ↔ ∀xD(B/C) i ∃xD ↔ ∃D(B/C). C

108

Lema o preimenovanju vezanih promjenljivih: Ako formula A nesadrzi promjenljivu y,

` ∀xA↔ ∀y A(x/y),

` ∃xA↔ ∃y A(x/y).

Dokaz. Prema aksiomi univerzalnog kbantifikatora, kako se prom-jenljiva y ne javlja u formuli A, ` ∀xA→ A(x/y), pa kako x nije slobodnau formuli ∃xA, primjenom pravila za uvodenje univerzalnog kvantifikatoradobijamo ` ∀xA→ ∀y A(x/y).

Obratno, kako je promjenljiva x slobodna za y u formuli A(x/y), premaaksiomi univerzalnog kvantifikatora, ` ∀y A(x/y) → A(x/y)(y/x); kako jeA(x/y)(y/x) formula A, ` ∀y A(x/y) → A; primjenom pravila za uvodenjeuniverzalnog kvantifikatora, ` ∀y A(x/y)→ A.

Drugi dio tvrdenja, dokazuje se na isti nacin, primjenom aksiome i prav-ila za uvodenje egzistencijalnog kvantifikatora. C

Zadatak 1. Za proizvoljne formule A i B,

` ∃xA ∨ ∃xB ↔ ∃x (A ∨B),

` ∀xA ∧ ∀xB ↔ ∀x (A ∧B).

` ¬∀xA↔ ∃x¬A,` ¬∃xA↔ ∀x¬A.

Zadatak 2. Ako promjenljiva x nije slobodna u formuli B, za svakuformulu A,

` (∀xA→ B)↔ ∃x (A→ B),

` (∃xA→ B)↔ ∀x (A→ B).

Zadatak 3. Ako promjenljiva x nije slobodna u formuli A, za svakuformulu B,

` (A→ ∀xB)↔ ∀x (A→ B),

` (A→ ∃xB)↔ ∃x (A→ B).

Zadatak 4. Ako promjenljiva x nije slobodna u formuli B, za svakuformulu A,

` ∃xA ∧B ↔ ∃x (A ∧B),

` ∀xA ∧B ↔ ∀x (A ∧B).

109

Zadatak 5. Ako promjenljiva x nije slobodna u formuli B, za svakuformulu A,

` ∀xA ∨B ↔ ∀x (A ∨B),

` ∃xA ∨B ↔ ∃x (A ∨B).

Teorema o preneksnom obliku: Za svaku formul A, postoji formulau preneksnom obliku A∗ takva da ` A↔ A∗.

Dokaz. Indukcijom po slozenosti formule A. Ako je A elementarna for-mula, tvrdenje vazi samo po sebi. Ako je A formula oblika ¬B, primjenju-jemo tvrdenje o negaciji kvantifikatora. Ako formula A ima jedan od oblikaB ∧ C, B ∨ C ili B → C, preimenovanjem vezanih promjenljivih i supstitu-cijom ekvivalentnih formula stvaraju se uslovi za primjenu distributivnostikvantifikatora i odgovarajucih iskaznih veznika. U slucaju formule A oblika∃xB, formula A∗ je ∃xB∗. Kada je A oblika ∀xB, formula A∗ je ∀xB∗.Dakle, za svaku formulu A, ` A↔ A∗. C

Korektnost predikatske logike

Sintaksu predikatske logike definisali smo tako da generise valjane for-mule i samo takve formule, tj. tako da bude korektna i potpuna u odnosuna semantiku.

Teorema korektnosti predikatske logike: Svaka teorema je lo-gicki zakon.

Dokaz. Teoremu dokazujemo indukcijom po slozenosti dokaza. Trebadokazati da su sve aksiome logicki zakoni i da pravila zakljucivanja cuvajulogicke zakone. U odeljku logicki zakoni u predikatskoj logici, dokazali smoda su sve instance tautologija logicki zakoni, kao i da modus ponens cuvalogicke zakone. U odeljku o logickim svojstvima kvantifikatora, dokazali smoda su aksiome kvantifikatora logicki zakoni, da Bernajsova pravila cuvajulogicke zakone i da su aksiome jednakosti E4 i E5 logicki zakoni.

Preostaju samo aksiome jednakosti E1, E2 i E3. U svakoj interpretaciji,simbol jednakosti definisemo kao stvarnu jednakost na nepraznom skupu M ,tj. kao relaciju {(a, a) : a ∈ M}. Kako je ona refleksivna, simetricna itranzitivna na svakom nepraznom skupu M , aksiome jednakosti su logickizakoni. C

110

Opsta teorema korektnosti: Za svaki skup recenica Σ, A jezika L,

Σ ` A ⇒ Σ |= A.

Dokaz. Ako Σ ` A, kako je dokaz konacan niz, postoji konacan skupΣ0 = {A1, . . . , An} takav da Σ0 ` A. Skup Σ je skup recenica, pa na osnovuteoreme dedukcije, u n koraka dobijamo teoremu

` A1 → (A2 → (· · · → (An → A) . . . )).

Neka je M model skupa recenice Σ, tj. M |= A1, . . . ,M |= An. Prema stavukorektnosti, prethodna teorema vazi u svakom modelu, pa

M |= A1 → (A2 → (· · · → (An → A) . . . )).

Otuda, po definiciji istinitosti implikacije, u n koraka dobijamo M |= A, tj.Σ |= A. C

Skup formula Σ je konzistentan ili neprotivrecan ako ne postoji formulaA za koju Σ ` A i Σ ` ¬A. U protivnom, Σ je nekonzistentan ili protivre-can skup formula. Skup recenica je zadovoljiv, ako je svaka njegova formulazadovoljiva.

Zadatak 1. Ako je Σ nekonzistentan skup formula, onda Σ ` A, zasvaku formulu A.

Zadatak 2. Skup recenica je neprotivrecan ako i samo ako svaki njegovkonacan podskup je neprotivrecan.

Teorema korektnosti predikatske logike: Zadovoljiv skup rece-nica je konzistentan.

Dokaz. Pretpostavimo da zadovoljiv skup recenica Σ nije konzistentan,tj. da postoji recenica A takva da Σ ` A i Σ ` ¬A. Ako je M model skupaΣ, to bi znacilo da M ` A i M ` ¬A, a to nije moguce. C

Zadatak 3. Ako se konstanta c ne javlja u A, B i skupu formula Σ,onda Σ, A(x/c) ` B implicira Σ, ∃xA ` B.

Zadatak 4. Ako se konstanta c ne javlja u skupu formula Σ, za svakuformulu A, Σ ` A(x/c) implicira Σ ` ∀xA(x).

111

Potpunost predikatske logike

Dokazacemo teoremu potpunosti predikatske logike: svaki neprotivrecanskup recenica je zadovoljiv. Postupamo kao u iskaznoj logici: neprotivrecanskup recenica Σ prosirujemo do kompletnog skupa T , za koji konstruisemomodel. Razlika je u izboru kompletiranja koje ovde mora da zadovolja-va uslov egzistencijalne zatvorenosti: za svaku recenicu oblika ∃xA, akoT ` ∃xA onda u jeziku L postoji konstanta c za koju T ` A(x/c).

Poput logicke kompletnosti definisemo i sintaksnu kompletnost: konzis-tentan skup recenica Σ je kompletan, ako Σ ` A ili Σ ` ¬A, za svakurecenicu A.

Zadatak 1. Ako je skup formula Σ konzistentan, bar jedan od skupovaΣ, A ili Σ,¬A je konzistentan, za svaku formulu A.

Zadatak 2. Ako su skupovi formula T0, T1, . . . konzistentni i Ti ⊆ Ti+1,za sve i ∈ N , onda je

⋃i∈N Ti konzistentan.

Lema o kompletiranju: Svaki konzistentan skup recenica ima kom-pletno prosirenje.

Dokaz. Neka je (A0, A1, A2, . . . ) prebrojavanje svih formula jezika L iT neprotivrecan skup formula. Neka je T0 = T i

Ti+1 =

{Ti, Ai ako je Ti, Ai konzistentan,Ti,¬Ai inace.

za sve i ∈ N . Kako su skupovi Ti konzistentni i Ti ⊆ Ti+1, za sve i ∈ N ,skup

⋃i∈N Ti je konzistentan, a kako po konstrukciji sadrzi Ai ili ¬Ai, za

sve i ∈ N , ta unija je kompletan skup formula koji prosiruje skup T . C.

Ako jezik L nije prebrojiv, u prethodnoj teoremi koristimo princip lin-earnog dobrog uredenja, pa dokaz ostaje prakticno isti.

Lema 1. Ako je T kompletan skup formula, A i B recenice jezika L,

T ` A ∧B ⇔ T ` A i T ` B,T ` A ∨B ⇔ T ` A ili T ` B,T ` ¬A ⇔ T 6` A,T ` A→ B ⇔ T 6` A ili T ` B.

Dokaz. Prvo tvrdenje je ocigledno. Pretpostavimo T ` A ∨ B. AkoT 6` A i T 6` B, zbog kompletnosti skupa T , imamo T ` ¬A i T ` ¬B,pa T ` ¬(A ∨ B), a to nije moguce, jer T je konzistentan skup. Slicno sedokazuju sva preostala tvrdenja. C

112

Lema 2. Pretpostavimo da kompletan skup formula T jezika L zado-voljava uslov: ako T ` ∃xA onda T ` A(x/t). Tada vazi

T ` ∃xA ⇔ T ` A(x/t),

T ` ∀xA ⇔ T ` A(x/t),

gde je t term jezika L slobodan za promjenljivu x u formuli A.

Dokaz. Prvi dio tvrdenja slijedi iz pretpostavke, sa jedne, i aksiomeegzistencijalnog kvantifikatora, sa druge strane.

Pretpostavimo da T 6` ∀xA. Zbog kompletnosti skupa T , T ` ¬∀xA, papo De Morganovom zakonu, T ` ∃x¬A. Po pretpostavci, term t je slobodanza promenljivu x u formuli ¬A, pa T ` ¬A(x/t). Skup T je kompletan paT 6` A(x/t). Dakle, T ` A(x/t) implicira T ` ∀xA. Obratno tvrdenje slijediiz aksiome univerzalnog kvantifikatora. C

Lema 3. Ako je y promjenljiva koja se ne javlja u konzistentnom skupuformula T, ∃xA, onda je skup formula T, ∃xA, A(x/y) konzistentan.

Dokaz. Prema lemi o konstanti, sve slobodne promjenljive u skupuformula T, ∃xA mozemo zamijeniti novim konstantama, tj. mozemo pret-postaviti da je T, ∃xA skup recenica. Ako skup T, ∃xA, A(x/y) nije konzis-tentan, onda T, ∃xA ` ¬A(x/y), pa se prema pravilu generalizacije dobijaT, ∃xA ` ∀y ¬A(x/y). Otuda, poslije preimenovanja promjenljivih ima-mo T, ∃xA ` ∀x¬A; pa konacno imamo T, ∃xA ` ¬∃xA, a to protivrecipretpostavci da je skup T, ∃xA konzistentan. C

Egzistencijalno zatvoreni skupovi

Skup formula T jezika L je egzistencijalno zatvoren ako za svaku formuluA jezika L

T ` ∃xA ⇒ T ` ∃A(x/c),

za neki simbol konstante c ∈ L.

Teorema 1. Svaki konzistentan skup formula datog jezika ima kom-pletno egzistencijalno zatvoreno prosirenje u jeziku sa novim konstantama.

Dokaz. Pretpostavimo da je T konzistentan skup formula jezika L i daje L′ = L ∪ {c0, c1, c2, . . . } prosirenje jezika L novim simbolima konstanti.Neka je (A0, A1, A2, . . . ) prebrojavanje svih formula jezika L′ i (c0, c1, c2, . . . )prebrojavanje novih konstanti. Ako je T0 = T i za svako i ≥ 0,

113

Ti+1 =

Ti,¬Ai ako je Ti, Ai nekonzistentan,

Ti,∃xB,B(x/cj) ako je Ti, Ai konzistentan,formula Ai ima oblik ∃xBi cj je prva konstanta kojase ne javlja u skupu Ti, Ai,

Ti, Ai inace,

skupovi formula Ti su konzistentni, za svako i ∈ N , a skup⋃i∈N Ti je

kompletan skup formula.Za svako i ∈ N , prema prethodnoj lemi i prema lemi o konstanti, ako je

skup formula Ti, ∃xB konzistentan, onda je Ti,∃xB, B(x/cj) konzistentanskup formula. Dakle, skup formula Ti je konzistentan, za svako i ∈ N .

Kako Ti ⊆ Ti+1, za sve i ∈ N , skup⋃i∈N Ti je konzistentan, a po kon-

strukciji on je kompletan i egzistencijalno zatvoren skup formula koji sadrzidati skup T . C

Kanonski model

Nad skupom svih zatvorenih terma jezika L, konstruisacemo kanonskimodel kompletnog egzistencijalno zatvorenog skupa recenica.

Teorema 2. Svaki kompletan egzistencijalno zatvoren skup recenica jezadovoljiv.

Dokaz. Neka je T kompletan egzistencijalno zatvoren skup recenica iS skup svih zatvorenih terma jezika L. Kako jezik sadrzi bar jedan simbolkonstante, skup S nije prazan.

Neka je ∼ binarna relacija skupa S, definisana tako da, za proizvoljneu, t ∈ S,

u ∼ t ⇔ T ` u = t,

Na osnovu aksioma jednakosti, relacija ∼ je relacija ekvivalencije. Akoje t klasa ekvivalencije terma t ∈ S, neka je M = {t : t ∈ S}. Na skupu Mkonstruisemo model skupa recenica T .

Ako je c ∈ L simbol konstante, njegova interpretacija u skupu M je klasaekvivalencije c terma c ∈ S.

Ako je f ∈ L opercijski simbol duzine n ≥ 1, njegova interpretacija jeoperacija fM skupa M , takva da za sve t1, . . . , tn ∈ S,

fM (t1, . . . , tn) = f(t1, . . . tn).

114

Ako je r ∈ L relacijski simbol duzine n ≥ 1, njegova interpretacija jerelacija rM skupa M , takva da

rM (t1, . . . , tn) ⇔ T ` r(t1, . . . tn),

za sve t1, . . . , tn ∈ S.

Operacija fM i relacija rM skupa M , definisane su preko predstavnikat1, . . . , tn ∈ S klasa ekvivalencije t1, . . . , tn ∈ M , ali ta definicija ne zavisiod izbora predstavnika:

Ako je t1 = u1, . . . , tn = un, onda T ` t1 = u1, . . . , T ` tn = un, paprema aksiomama jednakosti:

T ` f(t1, . . . tn) = f(u1, . . . un),

T ` r(t1, . . . tn) ⇔ T ` r(u1, . . . un),

sto, po definiciji relacije ∼, znaci da:

fM (t1, . . . , tn) = fM (u1, . . . , un)

rM (t1, . . . , tn) ⇔ rM (u1, . . . , un),

za sve ti, ui ∈ S, 1 ≤ i ≤ n.

Neka je M = (M, (cM , fM , rM : c, f, r ∈ L)). Tvrdimo da M |= T . Da bismo to dokazali, dovoljno je dokazati da

M |= A ⇔ T ` A,

za svaku recenicu A jezika L. Iako recenice nisu induktivno definisane, uovom slucaju, zbog egzistencijalne zatvorenosti skupa T dokaz indukcijompo slozenosti recenice je moguc.

Ako je A elementarna recenica oblika u = t, za neke u, t ∈ S, po definicijirelacije ∼ i definiciji skupa M ,

M |= t = u ⇔ t = u ⇔ t ∼ u ⇔ T ` t = u.

Ako je A elementarna recenica r(t1, . . . tn), za neke t1, . . . tn ∈ S, podefiniciji interpretacije u modelu M,

M |= r(t1, . . . tn) ⇔ rM (t1, . . . , tn) ⇔ T ` r(t1, . . . tn).

Neka je A recenica ¬B. Ako M |= ¬B, onda M 6|= B; po induktivnojpretpostavci, T 6` B; zbog kompletnosti teorije T , T ` ¬B. Obratno, ako

115

T ` ¬B; zbog neprotivrecnosti teorije T , T 6` B; po induktivnoj pretpos-tavci, M 6|= B; po definiciji istinitosti, M |= ¬B.

Ako recenica A ima jedan od oblika B ∧ C, B ∨ C ili B → C, tvrdenjeslijedi neposredno iz Leme 1 poglavlja Potpunost predikatske logike.

Neka je A recenica oblika ∃xB. Ako T ` ∃xB, zbog egzistencijalnezatvorenosti teorije T , postoji konstanta c jezika L takva da T ` B(x/c).Po induktivnoj pretpostavci, M |= B(x/c), a to znaci da M |= ∃xB.

Obratno, ako M |= ∃xB, za neko b ∈M i svaku valuaciju a, M |=a(x/b) B.Kako je svaki element skupa M oblika [t], za neki zatvoren term t, to postojit takvo da b = [t], pa za takvo t, M |= B(x/t). Otuda, po induktivnojpretpostavci, T ` B(x/t), pa prema aksiomi egzistencijalnog kvantifikatora,T ` ∃xB.

Preostala je jos mogucnost da recenica A ima oblik ∀xB(x). Pretpos-tavimo da T ` ∀xB. Po aksiomi univerzalnog kvantifikatora, T ` B(t), papo induktivnoj pretpostavci, M |= B(t), za svaki zatvoren term t ∈ S. Podefiniciji skupa M , to znaci da M |= ∀xB.

Obratno, neka M |= ∀xB(x). Ako T 6` ∀xB, zbog kompletnosti teorijeT imamo T ` ¬∀xB, tj. T ` ∃x¬B. Kako je T egzistencijalno zatvorenateorija, postoji konstanta c takva da T ` ¬B(x/c). Sa druge strane, iz pret-postavke M |= ∀xB slijedi M |= B(x/c), tj. po induktivnoj pretpostavci,T ` B(x/c). Dakle, istovremeno vazi i T ` ¬B(x/c) i T ` B(x/c), a toprotivreci pretpostavci da je teorija T neprotivrecna. C

Teorema potpunosti predikatske logike: Svaki neprotivrecanskup recenica je zadovoljiv.

Dokaz. Ako je T neprotivrecan skup recenica jezika L, njegovo kom-pletno egzistencijalno zatvoreno prosirenje T ∗ ima model M′ u prosirenomjeziku L′, koji sadrzi nove simbole konstanti. Redukcija M modela M′ najezik L, je model skupa recenica T C

Posljedice teoreme potpunosti

Skolemova teorema o prebrojivom modelu: Neprotivrecna teorijau prebrojivom jeziku ima prebrojiv model.

Skolemova teorema neposredno slijedi iz dokaza stava potpunosti, jerkanonski model je prebrojiv. Ova Skolemova teorema ima vrlo zanimljiveposljedice.

116

Opsta teorema potpunosti: Ako je A formula i Σ skup recenica,

Σ ` A ⇔ Σ |= A.

Dokaz. Tvrdenje da Σ ` A implicira Σ |= A je stav korektnosti, kojismo vec dokazali. Pretpostavimo da nije Σ ` A. Po zakonu dvojne negacije,nije Σ ` ¬¬A, pa je Σ,¬A neprotivrecan. Po teoremi potpunosti, Σ,¬A jezadovoljiv skup, tj. nije Σ |= A. C

Teorema kompaktnosti: Ako je svaki konacan podskup skupa rece-nica Γ zadovoljiv, Γ je zadovoljiv.

Dokaz. Ako skup recenica Γ nije zadovoljiv, prema stavu potpunosti, Γje protivrecan, pa Γ ` A ∧ ¬A. Kako je dokaz konacan niz, postoji konacanΓ0 ⊆ Γ takav da Γ0 ` A∧¬A, tj. Γ0 je konacan protivrecan podskup skupaΓ nije zadovoljiv. C

Teorema 1. Ako skup recenica Γ jezika L ima proizvoljno veliki kona-can model, Γ ima beskonacan model.

Dokaz. Prosirimo jezik L beskonacnim skupom simbola konstanti C ={ci : i ∈ ω}. Neka je L∗ = L ∪ C i

Γ∗ = Γ ∪ {¬(ci = cj) : i < j < ω}

skup recenica jezika L∗. Tvrdimo da svaki konacan podskup skupa Γ∗ imamodel.

Ako je Γ∗0 konacan podskup od Γ∗, postoji konacan podskup Γ0 skupa Γi prirodan broj n ∈ ω, takav da

Γ∗0 = Γ0 ∪ {¬(cik = cjk) : k < n}.

Po pretpostavci Γ0 ima model M0 kardinalnosti |M0| ≥ n. Prosirimostrukturu M0 konstantama ci ∈ C. Konstante cik , k < n, koje se javljajuu skupu Γ∗0, njih ima najvise n, interpretiramo razlicitim elementima skupaM0, a sve druge konstante skupa C proizvoljno. Tako se dobija model M∗0skupa recenica Γ∗0.

Kako svaki konacan podskup od Γ∗ ima model, prema stavu kompakt-nosti, skup recenica Γ∗ ima model M∗. Kako to propisuju recenice skupaΓ∗, sve konstante ci ∈ C u modelu M∗ moraju biti interpretirane razlicitimelementima domena M , pa je model M∗ beskonacan. Neka je M redukcijamodel modela M∗ na jezik L. Model M je beskonacan model skupa Γ. C

Zadatak 1. Ne postoji skup recenica predikatskog racuna Γ, takav daM |= Γ ako i samo ako model M je konacan.

117

To znaci da ne postoji aksiomatizacija konacnih skupova, konacnih gru-pa, konacnih polja itd. Svaki skup recenica koji zadovoljavaju konacne gru-pe, zadovoljava i neka beskonacna grupa. Ovaj rezultat valja uporediti sasledecim zadacima.

Zadatak 2. Neka je M model jezika L. Dokazati da za svaki prirodanbroj n ≥ 1, postoji recenica An, takva da M |= An ako i samo ako model Mima kardinalnost n.

Zadatak 3. Neka je M model jezika L. Dokazati da postoji skup rece-nica Γ, takav da M |= Γ ako i samo ako model M je beskonacan. Dokazatida i sam skup Γ mora biti beskonacan.

Dakle, svojstvo beskonacnosti strukture jeste izrazivo skupom recenica.Beskonacnost jeste, a konacnost nije izraziva upredikatskom racunu.

Zadatak 4. Ako je (P,≤) parcijalno uredenje konacnog skupa P , do-kazati da se relacija ≤ moze prosiriti do linearnog uredenja ≤∗ skupa P .

Koristeci stav kompaktnosti, dokazati da se svako parcijalno uredenjemoze prosiriti do linearnog uredenja.

Nestandardni prirodni brojevi

Posledica teoreme potpunosti je egzistencija modela elementarne teorijeprirodnih brojeva Th(N) koji sadrzi beskonacno velike prirodne brojeve.Konstrukcija se moze izvesti i za model elementarne teorije realnih brojevaTh(R) koji, osim beskonacno velikih, sadrzi i beskonacno male velicine.

Teorema 1. Kompletna aritmetika Th(N) ima model koji nije izomor-fan standardnom modelu N prirodnih brojeva.

Dokaz. Neka je L = LPA ∪ {cn : n ≥ 1}, prosirenje jezika aritmetike,dobijeno novim simbolima konstanti. Ako je N standardni model jezikaaritmetike LPA, neka je N′ njegova ekspanzija na jezik L u kojoj svaki novisimbol cn interpretiramo prirodnim brojem n, za svako n ≥ 1.

Neka je c 6∈ L, jos jedan novi simbol konstante i An formula ¬(c = cn),n ≥ 1. Formula An je formula jezika L′ = L ∪ {c}, za sve n ≥ 1.

Posmatrajmo skup recenica Γ = Th(N′) ∪ {An : n ∈ ω}.Ako je Γ0 ⊆ Γ konacan, postoji prirodan broj k ≥ 1, takav da za svako

n ≥ k, formula An ne pripada skupu Γ0. Ako konstantu c interpretiramobrojem k, onda N′ |= Γ0. Dakle svaki konacan podskup skupa Γ ima model,pa prema stavu kompaktnosti, Γ takode ima model M′. Neka je M redukcijamodela M′, na jezik aritmetike LPA.

118

Tvrdimo da je model M nestandardni model prirodnih brojeva, tj. damodel M nije izomorfan sa N. U suprotnom, ako je f : N →M izomorfizammodela N i M, onda postoji n ∈ N , takvo da je f(n) = cM , gde je cM ∈Minterpretacija konstante c. Otuda

M |=a(x/f(n)) ¬(x = cn) ⇔ N |=a(x/n) (x = cn),

a to protivreci pretpostavci da je f izomorfizam. C

Postom < n ako i samo ako postoji k > 0, m+k = n, poredak u strukturiN je izraziv formulom A oblika ∃z (¬(z = 0) ∧ (x+ z = y)). Pritom,

(m < n) ⇔ N |= A[m,n].

Formula A jezika L u modelu M definise poredak <M , pa za svaki priro-dan broj n ≥ 0, M |= (nM < c). Dakle, u nestandardnom modelu M, postojibroj c koji je veci od svakog standardnog prirodnog broja. Kako je M modelkompletne teorije brojeva Th(N), model M ima sva svojstva prirodnih bro-jeva, pa sasvim opravdano mozemo reci da je c beskonacan prirodan broj.

Teorema 2. Postoji prebrojiv nestandardan model prirodnih brojeva.

Dokaz. Kako je jezik L′, definisan u dokazu prethodne teoreme, pre-brojiv, neprotivrecan skup recenica Γ, koji smo takode definisali u dokazuprethodne teoreme, ima prebrojiv model, pa kompletna aritmetika Th(N)ima prebrojiv model M, koji nije izomorfan sa N. C

Zadatak 1. Uvodenjem skupa {cr : r ∈ R} novih simbola konstanti,izvesti konstrukciju nestandardnog modela elementarne teorije Th(R) real-nih brojeva, u jeziku teorije uredenih polja. Ta konstrukcija ne razlikuje seod konstrukcije nestandardnog modela elementarne teorije Th(N).

Ako je R∗ nestandardni model realnih brojeva, dokazati da u modeluR postoje beskonacno male velicine ili infinitezimale, tj. da postoji c ∈ R∗,tako da 0 < c < 1

n , za svaki prirodan broj n ≥ 1.

Erbranova teorema

Na osnovu stava potpunosti, dokazacemo Erbranovu teoremu. Po svojojideji i sadrzaju, ona je bliska Skolemovim teoremama o slozenosti problemalogickih zakona, zato sto taj problem za formule klase Σ1 svodi na logickiekvivalentne formule bez kvantifikatora.

119

U dokazu koji cemo izloziti pozivamo se na stav potpunosti, sto na izves-tan nacin odudara od duha same Erbranove teoreme, kao efektivnog kriter-ijuma logickih zakona. Stoga napominjemo da postoji i njen sintaksni ilidirektan dokaz. On je znatno komplikovaniji, ali moguce prikladniji u prim-jenama.

Erbranova teorema: Ako je A formula bez kvantifikatora jezika L,formula ∃x1 · · · ∃xnA je logicki zakon ako i samo ako postoje zatvoreni termitij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, jezika L, takvi da

|= A(x1/t11, x2/t12, . . . , xn/t1n)∨

∨A(x1/t21, x2/t22, . . . , xn/t2n)∨

· · · · · · · · ·

∨A(x1/tm1, x2/tm2, . . . , xn/tmn).

Dokaz. Oznacimo sa B gornju disjunkciju. Ako |= B, po teoremi osvojstvima kvantifikatora, |= B(xi/tij) → ∃xiB, pa imamo |= ∃xiB. Akoto ponovimo za sve terme tij , dakle mn puta, dobijamo |= ∃x1 · · · ∃xnB,gde su u formuli B eliminisani svi termi tij . Posle eliminacije, formula Bse svodi na disjunkciju u kojoj se mn puta ponavlja A, dakle, svodi se naformulu A. To znaci da vazi |= ∃x1 · · · ∃xnA.

Da dokazemo obratno, pretpostavimo da formula A nema drugih pro-mjenljivih osim x1, . . . , xn, u suprotnom, takve promjenljive zamijenimo no-vim konstantama i radimo u prosirenom jeziku. Posmatrajmo skup T svihrecenica oblika

¬A(x1/t1, . . . xn/tn),

za proizvoljne zatvorene terme t1, . . . tn jezika L.Ako je skup recenica T konzistentan, prema opstoj teoremi potpunosti,

T ima model M. Neka je H ⊆ M , H = {b ∈ M : b = [t]M , za neko t ∈ S},gde je S skup svih zatvorenih terma jezika L.

Za svaki simbol konstante c ∈ L, neka je cH = cM .Za svaki relacijski simbol r ∈ L, duzine n ≥ 1, neka je

rH(a1, . . . , an) ⇔ rM (a1, . . . , an),

za sve a1, . . . an ∈ H.Za svaki operacijski simbol f ∈ L, za sve a1, . . . ak ∈ H, neka je

fH(a1, . . . , ak) ⇔ fM (a1, . . . , ak).

120

Neposredno se provjerava da su obje definicije korektne, pa je time defin-isan model H = (H, rH , fH , cH : r, f, c ∈ L) jezika L. Pritom, po definicijimodela H, za svaku formulu C bez kvantifikatora:

M |=a C ⇔ H |=a C,

za svaku valuaciju a ∈ HN . Kako sve recenice skupa T ne sadrze kvantifika-tore, i kako M |= T , imamo da H |= T .

Po pretpostavci |= ∃x1 · · · ∃xnA, pa postoje a1, . . . , an ∈ H, takvi daH |= A[a1, . . . , an]. Otuda, ako je ai = [ti]

M , 1 ≤ i ≤ n, dobijamo da vaziH |= A(x1/t1, . . . , xn/tn), a to protivreci pretpostavci H |= T .

Dakle, T je protivrecan skup, pa T ` C i T ` ¬C, za neku formulu C.Ako su A1, . . . , An ∈ T , sve recenice u dokazima za C i ¬C iz pretpostavki T ,onda redom imamo: A1∧· · ·∧An ` C∧¬C, ako i samo ako ` ¬(A1∧· · ·∧An),ako i samo ako |= ¬A1 ∨ · · · ∨ ¬An, pa Erbranova teorema vazi. C

Skolemova teorema problem odlucivosti predikata |= za formule sa op-eracijskim simbolima svodi na formule klase Σ1. Kako Erbranova teoremaproblem oducivosti predikata |= za formule klase Σ1 svodi na formule bezkvantifikatora, ispada da je predikat |= odluciv. Medutim, Alonso Cercje 1936. godine dokazao suprotno: predikat |= nije odluciv. Problem je utome sto kada jezik sadrzi operacijske simbole, u disjunkciji koja se javljau Erbranovoj teoremi treba proci kroz beskonacan skup terma, pa to nedaje proceduru odlucivosti. Ako jezik ne sadrzi operacijske simbole, Erbra-nova teorema daje postupak odlucivosti za jednu klasu formula predikatskelogike. Iz tog razloga, u racunarskoj nauci postoji odredeno interesovanjeza fenomen Erbranove teoreme.

Primjer 1. Ako su c i d simboli konstanti, r binarni relacijski simbol iA formula

∃x (r(c, x)→ r(x, d)),

svi zatvoreni termi u formuli A su konstante c i d, a (x/c) i (x/d) sve mogucesupstitucije tih terma u formuli A, pa je Erbranova forma formule A sledecaformula:

(r(c, c)→ r(c, d)) ∨ (r(c, d)→ r(d, d)).

U ovom slucaju ona jeste logicki zakon buduci da je formula r(c, d) kon-sekvens prve i antecedens druge alternative.

121

Napomene

Dio logike koji je obuhvacen ovom knjigom pripada teoriji modela, granilogike koja izucava odnos formalnih teorija i matematickih struktura, u ko-jima se takve teorije realizuju. Kako je osnovna ideja teorije modela dua-lizam sintakse i semantike, ova teorija predstavlja prototip platonistickogshvatanja matematike.

Prema platonistickom shvatanju, matematicki objekti postoje nezav-isno od nas, kao sto nezavisno od nas postoje objekti materijalnog svijeta.Prirodni, racionalni i realni brojevi, grupe kretanja, prsteni realnih funkcija,prostori operatora i citav skupovni univerzum nisu samo mentalne konstruk-cije, vec apstraktni objekti koji postoje nezavisno od iskustva i uslova podkojim saznajemo njihova svojstva. Jezik predikatskog racuna je sredstvo zaizrazavanje svojstava matematickih struktura, a one same postoje nezavisnood toga kako matematika istrazuje njihova svojstva.

Platonisticko shvatanje matematike je dosljedno zastupao Kurt Gedel.Posle Gedelovih rezultata, o kojima je ranije bilo rijeci, logicari prave jasnurazliku izmedu sintakse i semantike, tj. izmedju formalnih jezickih objekatai njihovog znacenja u matematickim strukturama.

Na jedan specifican nacin i Frege je zastupao platonisticko shvatanjematematike. Naime, on je 1879. godine definisao pojam formalnog sistema,ali ne kao sredstvo izrazavanja svojstava matematickih struktura, vec kaopotpunu formalizaciju prirodnog jezika u kojem se problem razlicitih in-terpretacija njegovih simbola uopste ne postavlja. Za razliku od vecinematematicara, koji mogucnost razlicitih interpretacija formalnih simbolasmatraju jednom od kljucnih ideja matematicke logike, Frege je imao u vidupotpuni opis jedinstvenog matematickog univerzuma. Njegovo shvatanjematematike je specificno i utoliko sto je vjerovao da se ona, u sasvim stro-gom smislu, moze svesti na logiku.

122

Napominjemo da u okviru nasih izlaganja nismo zastupali nikakvoposebno filosofsko stanoviste o prirodi matematickih objekata, iako rezultatio kojima smo govorili implicitno podrazumijevaju platonisticko stanoviste.Sasvim uopsteno receno, matematiku shvatamo kao aprioran oblik saznanja,nezavisan od naseg iskustva. Svi njeni pojmovi, definicije pravila ili dokaziimaju nedvosmisleno znacenje, a njeni rezultati ne mogu se preispitivati sastanovista eksperimentalnog iskustva. Eventualno, moze se govoriti o adek-vatnosti pojedinih teorija konkretnom empirijskom problemu, ili o uticajutakvih problema na razvoj odredene matematicke discipline.

Prva verzija predikatske logike, koju je formulisao Frege 1879. godine,znacajno se razlikuje od one koju smo ovdje izlozili. Osim razlika u notaciji,izboru aksioma i pravila izvod. enja, Fregeova formulacija dozvoljavala je ikvantifikaciju preko predikatskih promjenljivih. Uz ostale Fregeove pretpos-tavke, ta je teorija bila protivrecna.

Pojam induktivno definisanog formalnog sistema i pojam njegove induk-tivno definisane interpretacije javlja se eksplicitno dvadesetih godina proslogvijeka, ali je strogu definiciju semantike predikatske logike definisao AlfredTarski 1935. godine. Kasnije, pedesetih godina, on i Abraham Robinson for-mulisali su i vecinu drugih modelsko-teorijskih ideja, ukljucujuci definicijuelementarne ekvivalencije i dokazali kljucne teoreme o eliminaciji kvantifika-tora.

Stav potpunosti predikatske logike dokazao je Gedel u jednom radu iz1930. godine. U istom radu za prebrojive jezike dokazani su prosireni stavpotpunosti i stav kompaktnosti. Metod konstanti koji smo koristili u dokazustava potpunosti formulisao je Leon Henkin 1949. godine.

Da svaka neprotivrecna teorija u prebrojivom jeziku ima prebrojiv modeldokazao je Skolem 1920. godine. On je takode, 1934. godine, definisao prvukonstrukciju prebrojivog nestandardnog modela aritmetike. Na posredannacin i Lajbnic je vjerovao u egzistenciju takvih modela, tj. u postojanjenearhimedovskih prosirenja uredenih polja. U kontekstu nestandardnihmodela realnih brojeva, Abraham Robinson je 1960. godine oziveo Lajbni-cove ideje u diferencijalnom i integralnom racunu i zasnovao nestandardnuanalizu. Pokazalo se da su Lajbnicove pretpostavke o aktualnoj egzistencijibeskonacno malih i beskonacno velikih brojeva bile opravdane.

Index

aksioma iskljucenja treceg, 28aksioma izbora, 83aksiome, 27aksiome disjunkcije, 28aksiome implikacije, 28aksiome jednakosti, 101aksiome konjunkcije, 28aksiome kvantifikatora, 100aksiome negacije, 28algebarski zatvoreno polje, 94algoritam, 15algoritam za citanje formule, 15antecedens, 35

Bernajs, Pol Isak, 55Bernajsov dokaz teoreme

potpunosti, 55Bernajsova pravila, 101Bul, Dzordz, 10

Cermelo-Frenkelova teorijaskupova, 68

Corn, Maks, 93Cornova lema, 93

De Morganovi zakoni, 24, 43, 76dedukcija, 9disjunkcija, 11, 23distributivnost konjunkcije i

disjunkcije, 23, 40dobro uredenje, 91dokaz, 30, 101dokaz iz pretpostavki, 30, 101

drvo formule, 66drvo terma, 66dvojna negacija, 25dvovalentna logika, 11

egzistencijalno zatvorenateorija, 112

ekspanzija modela, 63ekvivalencija, 21, 75elementaran iskaz, 12elementarna disjunkcija, 25elementarna ekvivalencija, 84elementarna formula, 65elementarna konjunkcija, 25elementarna teorija, 88eliminacija kvantifikatora, 86Erbran, Zak, 81Erbranova teorema, 119

formalna logika, 9formula predikatske logike, 65formule klase Π1, 82formule klase Σ1, 82Frege, Gotlob, 10funkcija izbora, 83

Gedel, Kurt, 10, 121Gedelova teorema nepotpunosti, 98gusto linearno uredenje, 91

Hilbert, David, 10

implikacija, 11, 22

123

124 INDEX

individualna konstanta, 62

individualna promenljiva, 61

indukcija, 9

indukcija po slozenostiformule, 13, 65

indukcija po slozenostiterma, 65

indukcija po slozenostidokaza, 33

instanca aksiome, 35

instanca tautologije, 72

interpretacija, 63

interpunkcijski simboli, 12

intuicionisticka logika, 45

iskaz, 11

iskazna formula, 13

iskazne aksiome, 27

iskazni veznici, 9, 11

iskljucenje treceg, 25

istinosna vrijednost formuleza datu valuaciju, 70

izomorfizam, 84

izvedeno pravilo, 30

jaka dvojna negacija, 42

jaka kontrapozicija, 42

jednakost, 61, 75

jezik iskazne logike, 12

jezik linearnog uredenja, 64

jezik predikatske logike, 61

jezik teorije, 104

jezik teorije polja, 64

kanonski model, 113

karakteristika polja, 94

kompletan skup, 51

kompletna teorija, 111

kompletna teorija brojeva, 97

kompletno uredeno polje, 96

konacno drvo, 13

konjunkcija, 11, 23

konsekvens, 35

kontrapozicija, 24

konzervativno prosirenje, 104

konziztentan skup, 26

korektne supstitucijepromenljivih, 72

kvantifikatori, 61

kvantifikatori i dijunkcija, 78

kvantifikatori i implikacija, 79

kvantifikatori i konjunkcija, 78

kvantifikatori i negacija, 76

Lajbnic, Gotfrid Vilhem, 10

lema o novim konstantama, 104

linearno uredenje, 92

logicka posljedica, 25, 71

logicka pretpostavka, 25, 71

logicka svojstvakvantifikatora, 74

logicki simboli, 12, 61

logicki veznici, 9

logicki zakon, 20, 71

logika drugog reda, 64, 97

logika prvog reda, 64

matematicka struktura, 59

metadokaz, 33

metajezik, 32

metateorema, 33

model jezika, 63

modus ponens, 29, 101

modus tolendo tolens, 41

negacija, 11, 24

nekonzistentan skup, 26

nelogicki simboli, 12, 61

neprotivrecan skup, 26

nestandardni prirodnibrojevi, 97, 117

INDEX 125

nestandardni realnibrojevi, 118

nezavisan skupaksioma, 55

normalna forma, 25

objekt-dokaz, 33

objekt-jezik, 32

objekt-teorema, 33

odluciv predikat, 27

opsta teoremapotpunosti, 51

operacijski simbol, 62

parametar formule, 66

parcijalno uredenje, 92

Peanova aritmetika, 97

Persov zakon, 23, 44

polje karakteristike nula, 94

potformula, 21, 66

pravilo negacije, 40

pravilo disjunkcije, 39

pravilo generalizacije, 75, 102

pravilo implikacije, 35

pravilo izvodenja, 29

pravilo konjunkcije, 38

pravilo permutacije, 31

pravilo sjecenja, 38

pravilo slabljenja, 31

pravilo supstitucije, 37

prebrojiv nestandardni modelprirodnih brojeva, 118

predikat, 62

predikatski veznici, 9

preimenovanje promenljivih, 80

preneksni oblik formule, 80, 81, 107

princip dobrog uredenja, 91, 99

princip kompletnosti, 97

princip opadajuceg lanca, 99

princip potpune indukcije, 99

protivrecan skup, 26

recenica, 71redukcija modela, 63relacijski simbol, 62rijec, 16, 54Robinson, Abraham, 122Robinsonova aritmetika, 98

semantika, 10, 16, 69sintaksa, 10, 26, 100sintaksna posljedica, 30, 102sintaksna svojstva ekvivalencije, 43Skolem, Torlaf, 81Skolemova teorema o

prebrojivom modelu, 115Skolemove funkcije, 81slaba kontrapozicije, 41slozenost formule, 13slobodna promenljiva, 66standardni prirodni brojevi, 97supstitucija ekvivalentnih

formula, 21, 43, 80

tablica iskazne formule, 19tablica iskaznih veznika, 18Tarski, Alfred, 122tautologija, 20teorema, 30, 101teorema dedukcije, 26, 36, 106teorema interpolacije, 26teorema kompaktnosti, 54, 116teorema korektnosti, 33, 109teorema potpunosti, 33, 47, 111teorija, 54, 88teorija grupa, 89teorija jednakosti, 89teorija linearnog uredenja, 90teorija polja, 93teorija realno zatvorenih polja, 95teorija uredenih polja, 95

126 INDEX

term, 65tranzitivnost implikacije, 36tri-tautologija, 46

univerzalno zatvorenje, 104univerzalno zatvorenje

formule, 76

valjana formula, 71valuacija, 16, 69vezana promenljiva, 66visevalentna logika, 11vrijednost terma za datu

valuaciju, 70

zadovoljiv skup, 26zagrade, 12zakon iskljucenja treceg, 41zakoni apsorpcije, 23zakoni asocijativnosti, 23zakoni komutativnosti, 23zatvorena teorija, 88zatvoreni term, 67