Click here to load reader

Uvod u osnove operacionih istrazivanja

  • View
    94

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Prvo predavanje iz OOI sa korisnim informacijama o ovoj oblasti, kao i literaturi

Text of Uvod u osnove operacionih istrazivanja

  • OSNOVE OPERACIONIH ISTRAIVANJA1. OPERACIONA ISTRAIVANJA PROBLEMI PROGRAMIRANJA k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. O OPERACIONIM ISTRAIVANJIMA1. UVOD1.1. Predmet Operacionih Istraivanja (OI)1.2. Karakteristike OI1.3. Faze primjene OI

    2. PROBLEMI PROGRAMIRANJA2.1. Opa forma matematikog programiranja2.2. Konveksno programiranje2.3. Primjeri k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.1. Predmet Operacionih Istraivanja (OI)

    OI su skup metoda, koje imaju za cilj nalaenje najboljih (optimalnih) rjeenja sloenih problemaNaziv je relativno nov i potie iz vremena neposredno prije Drugog svjetskog rataSmatra se da, kao nauka, operaciona istraivanja (OI) postoje od 1940-te godine. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.1. Predmet Operacionih Istraivanja (OI)

    Kao i u ratnim operacijama, tako se i u mnogim drugim oblastima, problem postavljao na slian nain raspoloivim (ogranienim) resursima potrebno je postii najbolje rezultate. Tako su metode OI (pored ostalih podruja) nali iroku primjenu na podruju poslovnog odluivanja i upravljanja. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.1. Predmet Operacionih Istraivanja (OI)

    Jedna od definicija, koja dosta dobro odreuje sadraj OI, je sljedea:

    Operaciona istraivanja predstavljaju skup kvantitativnih i drugih naunih metoda pomou kojih se odreuju (pronalaze) optimalna ekonomsko-tehnika rjeenja sloenih problema. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.1. Predmet Operacionih Istraivanja (OI)

    OI se bave istraivanjem operacija (aktivnosti)Bavi se problemima u kojima treba rijeiti kako voditi ili koordinirati operacije (aktivnosti) da bi se postigli najbolji efekti u skladu sa nekim kriterijem uz odreena ogranienjaOvakva definicija OI omoguuje njihovu primjenu u vrlo razliitim oblastima kao to su: proizvodnja, transport, trgovina, konstrukcije, telekomunikacije, financijsko planiranje, zatita zdravlja, vojska, policija, javni servisi, ... k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.1. Predmet Operacionih Istraivanja (OI)

    Dio naziva istraivanja znai da OI koriste nauni pristup pri rjeavanju zadataka sa kojima se susreu.Nauni metod se koristi i za nauno (najee matematiko) modeliranje realnih problema koje je potrebno rijeitiOI su ukljuena u kreativna nauna istraivanja fundamentalnih osobina operacija (aktivnosti)OI moraju osigurati pozitivne razumljive zakljuke donosiocima odluka k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.1. Predmet Operacionih Istraivanja (OI)

    U najveem broju primjena, metode OI imaju za cilj nai najbolje rjeenje (optimalno rjeenje) problema koji ima ogranienjaNajee se podrazumijeva da je zadatak metoda OI nalaenje najboljih rjeenja mada to ne mora uvijek biti sluajPonekad je i nalaenje mogueg rjeenja zadatka sa ogranienjima jako sloen problem (na pr. odreivanje vremenskog rasporeda po mainama), tako da je tada optimizacija u drugom planu k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.1. Predmet Operacionih Istraivanja (OI)

    Razvoj informacionih tehnologija (IT) je dao snanu osnovu i poticaj za razvoj i primjenu metoda OIPovezivanje poslovnih IS i OI je proizvelo novi kvalitet IS za podrku upravljanjuOva veza je omoguila, s jedne strane, daleko ire i efikasnije koritenje klasinih metoda OI (linearno programiranje, mreno planiranje, upravljanje zalihama, optimalno rezerviranje, simulacije, ...) k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.1. Predmet Operacionih Istraivanja (OI)

    S druge strane, potakla je razvoj novih naina koritenja metoda za nalaenje najboljih rjeenja kroz:'Sisteme za podrku odluivanju' (Decision Suport Systems DSS)'Sisteme za podrku izvravanju' (Execution Suport Systems ESS)'Ekspertne sisteme' (Expert systems ES)'Vjetaku inteligenciju' (Artificiel Intelligence - AI) k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.1. Predmet Operacionih Istraivanja (OI)

    Posljednih godina poseban interes je usmjeren na primjenu raznih matematikih pristupa u analizi velikih skupova podataka

    U velikim organizacionim sistemima, kroz sve ire koritenje IT, formiraju se ogromni skupovi podataka koje je vrlo teko analizirati tj. dobiti odgovarajue informacije ili znanja koja su u njima sadrana k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.1. Predmet Operacionih Istraivanja (OI)

    Ovi problemi, traganje za podacima i otkrivanje skrivenih odnosa i znaenja meu njima, predstavljaju jednu od suvremenih interesantnih oblasti operacionih istraivanjaTakvi pristupi se mogu nai u okviru naziva:Analitika obrada podataka u realnom vremenu (On Line Analytic Processing - OLAP)Rudarenje podataka (Data Mining)Poslovno istraivanje (Business Intelligence). k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.1. Predmet Operacionih Istraivanja (OI)

    Razni sistemi za Planiranje resursa preduzea (Enterprise Resource Planning ERP) koji su donedavno bili (a esto su i danas) jedna od najznaajnijih komponenti integralnih IS za upravljanje preduzeima, u pravilu, nisu sadravali nikakve metode planiranja nego su samo omoguavali odreenu integraciju podataka iz raznih informacionih podsistema to se moglo koristiti u procesu planiranja k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.1. Predmet Operacionih Istraivanja (OI)

    Pokazalo se, meutim, da je za efikasno planiranje i upravljanje neophodno koristiti formalne metode analize i optimizacijeTako se danas pojavljuju:Napredni sistemi za planiranje i raspore-ivanje (Advanced Planning and Scheduling APS)Napredni sistemi za planiranje i optimizaciju (Advanced Planning and Optimization APO)Ovi sistemi predstavljaju, u stvari, razne oblike implementacije metoda OI k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.1. Predmet Operacionih Istraivanja (OI)

    Danas velika veina zemalja ima svoja nacionalna profesionalna udruenja za OI koja organiziraju svoje skupove i izdaju asopise i biltene Nacionalna udruenja se esto povezuju u regionalne organizacije kao to su na pr. Evropska asocijacija EURO (European Associations of Operations Research Societes)Meunarodna federacija za operaciona istraivanja IFORS (International Federation of Operational Research Societes)Institut za operaciona israivanja INFORMS (Institut for Operational Research and the Management Science). k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.2. Karakteristike OI

    Osnovne karakteristike OI kao naune discipline su:

    Usredsreenost na probleme upravljanja u sloenim sistemimaSistemski pristup problemimaTimski radNauni metod nalaenja rjeenja k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.2. Karakteristike OI - Usredsreenost na probleme upravljanja u sloenim sistemima

    Uveanje znanja i usvravanje tehnologija uvjek su uveavali 'nivoe ambicijaZadaci koji se rjeavaju su sve sloenijiIzvanredne mogunosti IT i stalni razvoj metoda za nalaenje najboljih rjeenja omoguuju rjeavanje ambicioznih zadataka upravljanja u sloenim organizacionim sistemima k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.2. Karakteristike OI - Usredsreenost na probleme upravljanja u sloenim sistemima

    U pravilu se rjeavaju zadaci za koje ne postoje predhodna iskustva koji ukljuuju veliki broj nepoznatih veliina iji se uvjeti ne ponavljaju vie puta pod istim okolnostima

    Rjeavanje takvih zadataka je najee ozbiljan istraivaki poduhvat k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.2. Karakteristike OI - Sistemski pristup problemima

    Cjelina je vie nego zbir dijelova' (Aristotel)Optimazirajui dijelove, ne mora se uvjek dobiti (a najee se i ne dobije) optimalno rjeenje za cjelinu (optimalni nivo zaliha sa stanovita prodaje, ne mora biti optimalan sa stanovita preduzea) Problemi sloenih organizacionih sistema (preduzee, vojna jedinica, bolnica, regija) moraju se jeavati sa saznanjem da su to jedinstveni subjekti (cjeline) k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.2. Karakteristike OI - Timski rad

    U rjeavanju zadataka OI, od samog poetka, istrazivai su bili organizirani u timoveTo je bilo nuno jer su problemi, koji su se rjeavali, zhtijevali znanja razliitih oblastiFormirani su timovi od strunjaka koji su prije toga rijetko radili zajedno (inenjeri, mate-matiari, psiholozi, ekonomisti, sociolozi, pravnici, medicinari, ...) k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.2. Karakteristike OI - Timski rad

    Zajedniki rad strunjaka razliitih oblasti imao pozitivan uticaj i na unapreenje metoda, jer su razliiti strunjaci unosili u timski rad razliite pristupe i na taj nain obogatili metode u mnogim naunim podrujimaZbog uea, u timu, strunjaka razliitih profila (disciplina), ovakav timski pristup se esto naziva i multidisciplinarni pristup k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.2. Karakteristike OI - Nauni metod nalaenja rjeenja

    OI koriste matematiki jezik za opisivanje i rjeavanje postavljenih zadataka. Prednosti ovakvog pristupa su sljedee:Jezik matematike je precizan i koncizanMogu se koristiti postojei rezultati (veliki broj dokazanih teorema i stavova)Sloene veze izmedju raznih veliina u realnom sistemu, jednostavnije i jasnije se prikazuju u matematikom obliku (jednaine, nejednaine, ...) k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.2. Karakteristike OI - Nauni metod nalaenja rjeenja

    Postoje miljenja da matematiki jezik esto previe pojednostavljeno predstavlja stvarni problem. Meutim:osnovni zadatak modeliranja i jest u tom da se doe do (matematikog) modela koji jedovoljno 'slian' stvarnom problemu da bi mogao da bude njegova zamjenadovoljno jednostavan da bi mogao biti rjeiv k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.2. Karakteristike OI - Nauni metod nalaenja rjeenja

    uproenja i zanemarenja, koja se ine pri matematikom modeliranju su esto uoljiva, pa se to moe iskoristiti, u sluaju neslaganja modela sa ponaanjem realnog sistemaUpotreba matematikih modela (i matematikih pristupa) je, takoer, jedan od uslova za koritenje IT u rjeavanju konkretnih problema upravljanja u raznim podrujima primjene. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI

    Kvanitativne metode predstavljaju najvei dio onoga to se danas naziva OI, tako da emo se mi baviti matematikim metodama OIMeutim, to ne znai da osnovnu teinu, pri praktinom koritenju OI, ine matematike analize. One (matematike analize) esto predstavljaju samo mali dio napora koji je potrebno uloiti. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI

    Standardno, proces implementiranja metoda OI (OI studija), ima sljedee faze:Definiranje problema i prikupljanje odgovajuih podatakaFormiranje matematikog modela koji predstavlja problemRazvoj (raunarski bazirane) procedure za nalaenje rjeenja problema iz matematikog modelaTestiranje modela i rjeenjaPriprema modela za korienjeImplementacija k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Definiranje problema i prikupljanje odgovarajuih podataka

    Najvei dio praktinih problema, koje treba rijeiti, u poetku je definiran nejasno i nepreciznoesto postoji niz elemenata koji uestvuju u realnoj situaciji a koji nisu bitni za sam problem (nejasni su kriteriji na osnovu kojih e se odrediti uspjenost rjeenja, posmatrani problem je manje ili vie povezan sa nekim drugim procesima pa je sloeno pitanje odreivanje granice problema i sl.) k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Definiranje problema i prikupljanje odgovarajuih podataka

    S druge strane, da bi primjena metoda OI bila uspjena, potrebno je jasno odrediti ciljeve, ogranienja i interakcije sa 'okolinom' (drugim dijelovima sistema)esto je, u realnim primjenama, potrebo voditi rauna i o vremenskim ogranienjima za donoenje odluke k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI - Definiranje problema i prikupljanje odgovarajuih podataka

    Ne postoje stroga pravila koja bi pomogla u pravilnoj identifikaciji i formulaciji problema. U ovoj fazi najvei znaaj imaju iskustvo i kreativnost istraivaa. Ipak mogu se primjeniti slijedee preporuke:Definirati ko je korisnik istraivanja i koje su granice sistema koji se analizira k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI - Definiranje problema i prikupljanje odgovarajuih podataka

    Moraju biti precizno definirati ciljevi korisnika istraivanjaUtvrditi kojim instrumentima upravljanja raspolae korisnikto preciznije odrediti skup alternativnih rjeenja i odrediti ogranienja u okviru kojih treba traiti optimalnu odluku k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Definiranje problema i prikupljanje odgovarajuih podataka

    Upravljaki problem se u ovoj fazi ne postavlja u matema-tikom obliku. OI tim prikuplja osnovne informacije o problemu koji treba rijeiti.Prvi podzadatak je ustanoviti da li je problem mogue i/ili potrebno rastaviti na odreeni broj manjih problemaRastavljanjem se dobiju manji i jednostavniji zadaci. U pravilu, su vei izgledi da se uspjeno moe rijeiti vie manjih nego jedan vei i kompleksniji zadatak. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Definiranje problema i prikupljanje odgovarajuih podataka

    Drugi podzadatak je utvrivanje granice problema koji e se rjeavati i odreivanje nivoa detalja.

    Na ove odluke direktno utiu ciljevi korisnika, zatim, planirani trokovi i planirano vrijeme za razvoj modela. Utvrene granice problema i definirani nivo detalja, vie ili manje, direktno odreuju dimenzionalnost problema, tj. ustanovljavaju se zavisne i nezavisne promjenljive, ili u terminologiji koja se koristi u zadacima upravljanja, upravljake ili kontrolabilne promjenljive i parametri sistema i/ili nekontrolabilne promjenljive. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Definiranje problema i prikupljanje odgovarajuih podataka

    Trei podzadatak je izbor kriterija na osnovu kojeg e se mjeriti uspjenost rjeenja

    Izbor kriterija e direktno utjecati na to koje e, iz skupa moguih rjeenja, biti odreeno kao optimalno ili, u praksi, biti ocijenjeno kao uspjeno.

    (Tako je, na primjer, za vrijeme II svjetskog rata, odlueno da se trgovaka mornarica Velike Britanije opremi protivavionskim orujem. Poslije godinu dana je analizirana uspjenost ovog zahvata. Prvo je za kriterij uspjenosti uzet broj oborenih neprijateljskih aviona. Ustanovljeno je da je u samo 4% napada oboren neprijateljski avion. Na osnovu toga bi se moglo zakljuiti da je ovaj zahvat dao slabe rezultate. Mautim, kada se kao kiterij uzeo postotak potopljenih brodova sa naoruenjem u odnosu na one bez, dobio se potpuno razliit rezultat. Naime, pokazalo se da su brodovi sa naoruanjem imali daleko veu ansu da preive napad neprijateljske avijacije u odnosu na one bez naoruanja) k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    Pojam "model" se najee intuitivno prihvata kao "apstrakcija" neega to je dio realnosti (EDEN I HARIS 1975)RIVET (1972) ukazuje da su "svi naunici saglasni da je kljuna aktivnost svake naune metode kreiranje modela".Prapoeci modeliranja (astronomski modeli) se mogu nai jo u Vavilonskoj civilizaciji (750 godina prije nove ere) k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    PETRI i dr.: "modeli su veoma iroko korieno sredstvo za opis, objanjenje, predvianje i upravljanje pojavama u realnom svijetu, oni predstavljaju "sintetsku apstrakciju realnosti".Zajednika karakteristika modela je da nikada ne mogu biti vjerna slika stvarnosti. Oni obuhvataju samo bitne osobine pojave koju predstavljaju, i pri tom, nuno zanemaruju niz osobina te iste pojave. Saznajna vrijednost modela je bazirana na injenici da je rijetko potrebno sve znati o nekoj pojavi, odnosno, da je potrebno znati samo one veliine koje su bitne za pojedino razmatranje. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    Koritenje modela ima slijedee prednosti:Omoguuju analizu i eksperimentisanje sa sloenim problemimaObezbjedjuje ekonomisanje resursima koji se koriste za analizu date pojaveVrijeme za analizu pojave se moe znatno skratiti (produiti)Obezbjeuje koncentraciju na bitne karakteristike pojave k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    RIVET je (1972) dao sljedeu definiciju modela:

    "Model, odnosno, hipoteza je skup logikih relacija, bilo kvantitativnih, bilo kvalitativnih, koje e zajedno povezati relevantne karakteristike stvarnosti bitne za problem koji se rjeava". k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    U nauci i biznisu se koristi jeko veliki broj meusobno vrlo razliitih modela: model atoma, model genetike strukture, fiziki zakoni i kemijske reakcije se opisuju matematikim jednainama - modelima, veliki broj realnih zadataka se predstavlja pomou grafova ili mrenih planova, postoje modeli organizacione strukture, tokova novca u preduzeima, ... k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    Posebna klasa modela su matematiki modeli. Matematiki modeli za opisivanje problema, koriste matematike izraze i simbole. Na primjer, matematiki izrazi F = m a, U = R I, E = m c2, su matematiki modeli odreenih fizikalnih zakonitosti. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    Matematiki modeli imaju niz prednosti u odnosu na verbalne modele. Matematiki model opisuje problem koncizno, jednoznano odreuje uzrono-posljedine veze pojedinih veliina. Posebna prednost je u mogunosti koritenja vrlo monih matematikih tehnika i raunara pri analizi problema. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    Pri izgradnji modela treba zadovoljiti dva, u odredjenom smislu proturjena, zahtjeva:

    model mora biti to jednostavniji (to jednostavniji ali ne vie od toga)model mora obuhvatiti sve osobine sistema koje su bitne za problem koji se rjeava k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    Ovo je dosta sloen zahtjev i on se uobiajeno rjeava u interakciji sa fazom identifikacije i formulacije problema

    Dobro formuliran problem relativno je lako prevesti u odgovarajui matematiki model i obratno.U najveem broju sluajeva primjene metoda OI kao model problema, koji je potrebno rijeiti, javljae se matematiki model, a cilj e biti nai najbolje (optimalno) rjeenje. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    Da bi se moglo govoriti o problemu izbora najboljih rjeenja (problem optimizacije) mora postojati slijedee:

    mogunost izbora izmeu vie razliitih rjeenjakriterij na osnovu kojeg e se uporeivati 'kvalitet' pojedinih rjeenjaogranienja koja moraju biti zadovoljena

    Problem izbora najboljih rjeenja moe a ne mora biti postavljen u matematikom obliku, meutim, u ovoj knjizi, mi emo se baviti samo problemima koji su zadani u matematikom obliku. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    Formalna matematika struktura za izbor najboljih rjeenja sadri:

    skup promjenljivih i skup parametaraspoljnje promjenljive koje mogu biti upravljane (organizirane) i neupravljane (neorganizirane)unutarnje promjenljive na ije vrijednosti se utie preko spoljnih promjenljivihparametri u pravilu nisu kontrolabilni i u formalnoj strukturi su odreeni k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    model sistem matematikih relacija koje povezuju skupove promjenljivih i skupove parametara (ogranienja)kriterij koji zavisi od promjenljivih i parametarametoda za nalaenje najboljeg rjeenja, to je procedura koja sadri 'strategiju traenja najboljeg rjeenja'(U literaturi, koja se bavi OI, najee se pod nazivom model podrazumjeva i skup ogranienja i funkcija cilja, pa emo mi u nastavku koristiti takav pristup). k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    Formalna matematika struktura izbora najboljih rjeenja se moe ematski predstaviti sljedeom slikom: k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    Primjer 1.1.Proizvodja A proizvodi jedan proizvod ija je cijena c1.Za proizvodnju koristi mainu iji jekapacitet b1 sati nedjeljno. Za obradu proizvoda P1 na maini M1 potrebno je a11 sati (tehnoloki normativ). Cilj je maksimizirati prihod. Treba odrediti broj proizvoda (x1) koje treba proizvesti. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    Proizvoa moe utjecati na to koliki e broj proizvoda proizvesti ali ne moe utjecati na cijenu proizvoda, kapacitet maine niti na tehnike normative.

    Napraviti matematiki model i predstaviti ematski formalnu matematiku strukturu zadatka u skladu sa Sl. 1.1.

    k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    RjeenjeU matematikom obliku problem se moe napisati na sljedei nain:Nai:max Z = c1 x1 pod uslovom:a11 x1 = 0x1, N >= 0

    gdje je Z prihod a N je neiskoriteni dio kapaciteta maine. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    Formalna matematika struktura se moe ematski predstaviti sljedeom slikom: k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    Ovaj zadatak je trivijalan i rezultat se moe dobiti intuitivno.

    Naime, jasno je da e najvei prihod biti kada se proizvodi to je mogue vie tj. proizvoa bi trebao koristiti cjelokupan kapacitet maine X1 = b1/a11. \ ---------- k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    Na kraju ove faze konstruira se konkretni model kojim se uspostavljaju relacije meu promjenljivim i parametrimai definira kriterij na osnovu kojeg e se ocjenjivatikvalitet (efektivnost) rjeenja. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modela

    Model, koji se sastoji od funkcije cilja (kriterij) ija se ekstremalna vrijednost trai i skupa ogranienja koja odreuju dopustivi skup rjeenjaje najei oblik modela OI i naziva se matematiki program. Oblast OI koja se bavi ovom vrstom modela naziva se matematiko programiranje. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Nalaenje rjeenjaRijeiti matematiki model znaiodrediti veliine upravljakih (kontrolabilnih) promjenljivih i veliine nekontrolabilnih promjenljivih? za zadane veliine parametara. Poto je u OI cilj nai najbolje (optimalno) rjeenje, potrebno je, znai, odrediti takve veliine upravljakih promjenljivih koje zadovoljavaju sva ogranienja i koje funkciji cilja daju ekstremalnu vrijednost. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Nalaenje rjeenjaDa bi se to postiglo, potrebno nai ili razviti odgovarajuu (najee raunarski potpomognutu) proceduru za rjeavanje postavljenog modela. Mada moe izgledati da je to glavna teina ukupnog zadatka, to najee nije sluaj. Ponekad je ova faza stvarno jednostavna ako se problem moe rijeiti nekim od standardnih algoritama OI za koji postoji raspoloiv softverski paket.Najvei napori su u predhodnim i narednim koracima u to je ukljuena i postoptimalna analiza o emu e kasnije biti rijei. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Nalaenje rjeenja

    Za rjeavanje matematikih modela OI se mogu koristiti:

    Metode analitikog rjeavanjaMetode numerikog rjeavanjaMetode simulacije k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Nalaenje rjeenja

    Izraunati vrijednost zadanog integrala koristei analitiki, numeriki i simulacioni pristup.

    1 S f(x) dx 0

    gdje je podintegralna funkcija f(x) = x k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Nalaenje rjeenja

    Rjeenje

    analitiko rjeenje 1 2 1S x dx = [x / 2] = 0,5 0 0 k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Nalaenje rjeenja

    - numeriko rjeenje

    Numeriko rjeenje je uvjek priblino rjeenje

    Posmatrani interval (0,1) se moe podijeliti na pet podintervala duine 0,2. Na granicama tih podintervala vrijednosti funkcije f(x) = x su redom: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.Ako se ove vrijednosti pomnoe sa duinom podintervala i saberu povrine tako dobijenih pravoguaonika dobie se:0,2*0,2 + 0,2*0,4 + 0,2*0,6 + 0,2*08 + 0,2*1 = 0,6

    Dobijena vrijednost 0,6 se razlikuje od tane vrijednosti integrala. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Nalaenje rjeenja

    k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Nalaenje rjeenja

    - numeriko rjeenje

    Ako sada interval (0,1) podijelimo na deset podintervala duine 0,1 dobiemo deset vrijednosti funkcije. Ako sad te vrijednosti pomnoimo sa duinom podintervala i izraunamo povrinu dobiemo taniju vrijednost (0,55)

    Drugim rjeima, smanjivanjem podintervala poveavamo tanost izrunavanja. Ako bismo, teoretski, pustili da duina podintervala tei nuli, broj vrijednosti funkcije, koji bi se uzimao u raun, bi teio u beskonano. Tada bismo dobili beskonanu sumu beskonano malih povrina (to u stvari predstavlja integral funkcije) i tanu vrijednost integrala k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Nalaenje rjeenja

    - simulacijsko rjeenje

    Formira se kvadrat sa stranicama duine 1 i smjesti u pravougli koorinatni sistem tako da mu vrhovi budu takama (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). Funkcija f(x) = x u intervalu (0,1) predstavljae dijagonalu ovog kvadrata. Zatim se generiraju sluajni brojevi iz intervala (0,1) (metoda Monte-Karlo). Pretpostavimo da svaka dva uzastopno izabrana broja predstavljaju koordinate taaka u pravouglom koordinatnom sistemu. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Nalaenje rjeenja

    Sve e take, dakle, biti unutar ili na granici naprijed definiranog kvadrata. Meutim, neke od taaka e biti ispod dijagonale (funkcije f(x)) a neke iznad. Odnos broja taaka ispod funkcije i ukupnog broja taaka daje priblinu vrijednost odnosa povrina ispod funkcije (vrijednost integrala) i povrine kvadrata. Vrijednost e biti priblinija to je broj generiranih taaka vei. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Nalaenje rjeenja

    k.god. 2007/2008.dr Tadej MateljanxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxPint Nint----- = -----Pkv Nuk

    Pkv = 1

    NintPint = ----- Nuk

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Nalaenje rjeenja

    U najveem broju situacija cilj metoda OI je nai najbolje, optimalno rjeenje. Meutim, prema Nobelovcu Herbertu Simonu, u praktinim problemima ee je cilj nai dovoljno dobro (engl. satisficing to je kombinacija rijei satisfactory i optimizing) nego optimalno rjeenje. To prije svega zato, to esto postoji konflikt izmeu razliitih eljenih ciljeva kriterija. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Nalaenje rjeenja

    Efikasniji i realniji pristup je nai rjeenje koje u odreenoj mjeri zadovoljava sve postav-ljene kriterije (dovoljno dobro rjeenje).Razlika izmeu optimalnog i dovoljno dobrog je razlika izmeu teorije i prakse. Jedan od vodeih OI istraivaa u Engleskoj Samuel Eilon je rekao: Optimizacija je nauka krajnosti (ekstrema), dovoljno dobro je umjetnost izvodljivog. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Nalaenje rjeenja

    U procesu izbora metoda za rjeavanje, moe se, dakle, primijeniti jedan od sljedea dva pristupa:Nai optimalno rjeenje uprotene verzije problemaNai priblino rjeenje tanijeg i sloenijeg modela razmatranog problema.U praksi se pogodniji drugi pristup jer, s jedne strane, uprotavanja mogu dovesti u pitanje validnost modela, dok s druge strane, zbog uvjek prisutne priblinosti u odreivanju parametara modelaNaime, optimalno rjeenje za model ne mora biti optimalno rjeenje realnog problema. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Nalaenje rjeenja

    Vrlo je korisna dodatna analiza u smislu ta ako, tj. analiza ta e se desiti sa optimalnim rjeenjem ako se neke pretpostavke promijene.Takva analiza se radi kada je ve naeno optimalno rjeenje modela i naziva se postoptimalna analiza.U postoptimalnu analizu je ukljuena i senzitivna analiza u okviru koje se pronalaze parametri koji su najkritiniji za naeno optimalno rjeenje senzitivni parametri. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Nalaenje rjeenja

    Uobiajen definicija senzitivih parametara je sljedea:Za matematiki model, koji ima specificirane vrijednosti za sve parametre, senzitivni prametri modela su parametri koji se ne mogu promijeniti a da se ne promjeni optimalno rjeenjeIdentificiranje senzitivnih parametara je vrlo bitno.Greke u procjeni vrijednosti senzitivnih parametra mogu dovesti do sutinski pogrenih rjeenja.Takoer, ako u fazi koritenja modela doe promjene vrijednosti senzitivnog parametra onda je to siguran znak da treba mijenjati rjeenje. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Testiranje modela i rjeenjaRazvoj sloenog matematikog modela je u odreenom smislu slian razvoju sloenog raunarskog programa. Naime, prva verzija raunarskog programa uvjek ima odreeni broj greaka. Testiranjem se greke otkrivaju i popravljaju. Bez obzira to neke sitnije greke nee biti otkrivene u procesu testiranja, bitne greke e se otkriti i zadovoljavajue popraviti i tada e program biti spreman za realnu upotrebu. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Testiranje modela i rjeenjaSlino, prva verzija sloenog matematikog modela sadri mnogo nedostataka. Neki bitni faktori i/ili meuveze mogu biti zanemareni, a neki parametri mogu biti pogreno procijenjeni. Kroz proces testiranja nastoje se otkloniti svi bitni nedostaci modela. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Testiranje modela i rjeenjaTaj proces testiranja i poboljanja modela se naziva validacija modela (model validation).Vrlo je teko preciznije definirati pravila za validaciju modela jer taj proces dominantno zavisi od prirode problema koji se modelira. Meutim, postoje neki postupci koji uvjek pomau u ovom procesu kao na pr. provjera da li su u svim matematskim izrazima konzistentno koritene jedinice mjera, zatim da li se sa promjenama vrijednosti upravljakih promjenljivih izlazne vrijednosti modela mijenjaju na prihvatljiv nain i slino. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Testiranje modela i rjeenjaSistematiniji je pristup je koritenje retrospektivnog testa. Naime, kada je to izvodivo, koriste se historijski podaci i provjerava da li model daje iste rezultate kao to se to deavalo u prolosti. Nedostatak retrospektivnog testa je u tom to historije ne mora uvjek biti stvarni reprezent budunosti k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Priprema modela za koritenjeKada je zavreno testiranje modela, sljedei korak je instaliranje dobro dokumentiranog sistema za primjenu modela prema uputstvima menadmenta. Taj sistem ukljuuje model, proceduru za dobijanje rjeenja (ukljuujui postoptimalnu analizu) i operativne procedure za implementaciju. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Priprema modela za koritenje

    U ovoj se fazi ispituju i uvjeti pod kojim vrijedi dobijeno rjeenje. Ako se mijenjaju parametri modela (veliine na koje se ne moe utjecati) ili se mijenjaju odnosi izmeu veliina (relacije), moe se desiti da se mijenja i optimalno rjeenje. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Priprema modela za koritenje

    Mogu se postaviti dva pitanja:Da li vae pretpostavke o veliini parametaraKoliko je optimalno rjeenje osjetljivo na promjene parametara ili izmjenu relacija u modelu. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Priprema modela za koritenjeDa bi se imala kontrola nad rjeenjem moraju se razviti metode za ustanovljavanje znaajnih promjena parametara, kao i pravila za modifikaciju rjeenjau tim sluajevima. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Priprema modela za koritenjeSistem je u pravilu raunarski realiziran i moe sadravati vei broj raunarskih programa.Baze podataka i upravljaki informacioni sistemi mogu osiguravati aurne ulaze za model i u tom sluaju su potrebni programi za interfejs (interface). Poslije koritenja programa za dobijanje rjeenja, dodatni programi mogu automski implementirati dobijene rezultate. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Priprema modela za koritenjeU drugom sluaju, koristi se interaktivni raunarski podran sistem - Sistem za podr-ku odluivanju (Decision Support System DSS). Drugi programi mogu generirati upravljake izvjetaje kako bi interpretirali izlaze iz modela i implikacije koje rezulati izrau-navanja predviaju. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Implementacija

    Posljednja faza OI studije je njegova imlementacija, tj. ostvarivanje efekata iz znanja koja su ugraena u kompletno rjeenje. Vrlo je bitno da OI tim uestvuje u poetnoj fazi implementacije da bi se utvrdilo da li je sistem operativno upotrebljiv i da provjeri da li su sve bitne greke otklonjene. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Implementacija

    Metode operacionih istrazivanja su, u pravilu, orjentirane na konkretnu upotrebu.

    Naalost, daleko je vei broj optimalnih rjeenja, koja su dobijena na papiru, od onih koji su praktino primjenjena. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Implementacija

    Primjena rjeenja zahtijeva od operacionih istraivaa posebnu vjetinu komuniciranja sa korisnicima. Potrebno je motivirati i rukovodioce i izvrioce da primjene predloena rjeenja. Problemi u primjeni se mogu svrstati u dvije velike grupe:Rukovodioci i izvrioci nee ili nisu sposobni da prihvate i sprovedu predloeno rjeenje.Tim operacionih istraivaa nije dovoljno osposobljen da rukovodiocima i izvriocima, na pravilan nain, obrazloi rezultate istraivanja i nain njihog koritenja. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI ImplementacijaJedno istraivanje osnovnih problema u primjeni operacionih istraivanja dalo je slijedee rezultate:

    Tekoe plasiranja metoda operacionih istrazivanja na tritu intelektualnih usluga.Nedostaci u obrazovanju visokih i srednjih rukovodilaca i nemogunost da prihvate metode operacionih istraivanjaNedostatak odgovarajuih podataka za primjenu modela.Nedostatak vremena za analizu problema na naunoj osnoviNesposobnost korisnika da razumije metode i rezultateTeskoe u definiranju problema iz (poslovne) prakseZadovoljavajui kvalitet rezultata dobijenih uobiajenim metodama, bez primjene nauke o poslovnom upravljanjuNedovoljan broj OI istrazivaaLoa reputacija naunika istraivaa u rjeavanju praktinih problemaOsjeaj straha kod pojedinih rukovodilaca

    k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Implementacija

    Najdelikatnije faze operacionih istrazivanja nisu predmet predavanja na univerzitetskim kursevima.

    Kao to se plivanje moze uiti jedino u vodi, da bi neko bio uitelj plivanja mora najmanje znati plivati. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Implementacija

    Tako je za rjeavanje sloenih zadataka iz prakse potrebno, pored poznavanja metoda i modela operacionih istrazivanja, razumjevanja teorijskih osnova na koje se ovi modeli oslanjaju, imati i praktina iskustva koja se jedino mogu stei kroz praktine primjene ovih metoda i modela. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 1. UVOD1.3. Faze primjene OI Implementacija

    Jer, OI istraiva mora znati identificirati probleme koje OI metode mogu rijeiti, mora znati kako struktuirati problem u neki od standardnih matematikih modela i, na kraju, mora znati kako primijeniti ili razviti raunarske alate da bi naao rjeenja problema. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE

    Skup problema opisanih matematikim jezikom, kod kojih je zadatak nai ekstrem neke funkcije uz zadana ogranienja, naziva se problemima (zadacima) matematikog programiranja (MP). k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJEVrlo je vano razlikovati znaenje rijei programiranje u ovom kontekstu od njenog znaenja u raunarskom programiranju. Ovdje programiranje treba shvatiti kao planiranje, tj. kao postupak koji nam pomae da doemo do odreenog cilja, to je procedura traenja takvih vrednosti promenljivih u zadatku koje istovremeno zadovoljavaju ogranienja i daju funkciji cilja optimalnu vrijednost. U drugom sluaju, to znai pisanje koda, niza instrukcija koje raunar treba da obavi. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE

    MP istovremeno pripada Matematici, Operacionim istraivanjima, Teoriji upravljanja, Sistemskoj analizi i drugim tehnikim naukama i disciplinama, a po znaaju i obimu korienja, svakako je jedan od najznaajnijih alata ukupne nauke i tehnike. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE

    Klasini matematiki pristupi, koji se koriste za nalaenje ekstrema funkcija pod ogranienjima (metod Lagrange-a, metod Kuhn-Tucker-a), nisu pogodni za rjeavanje zadataka MP, jer su ovi zadaci u pravilu vrlo sloeni sa velikim brojem promjenljivih i velikim brojem ogranienja, koja su najee u obliku nejednaina. Zato je razvijena posebna teorija i izgraeno je niz metoda pomou kojih su se rjeavali ovi zadaci. Ove metode su uglavnom razvijene pod predpostavkom da e biti relizirane uz pomo raunara. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE

    Postoji vie klasifikacija problema MP, ali je najea podjela na Linearno programiranje (LP) i Nelinearno programranje (NLP). Meutim, susree se i podjele problema na neprekidne i diskretne, deterministike i stohastike, jednokriterijske i viekriterijske. Posebnu klasu MP ini dinamiko programiranje (DP) koje rjeava probleme (optimalnog) sekvencijalnog odluivanja. Sve navedene klase imaju svoje podklase, a irok spektar algoritama u svakom od ovih 'segmenata' MP jo uvjek se iri. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE

    Posebno interesantan skup problema, u MP, su problemi konveksnog programiranja (KP) kod kojeg je potrebno maksimizirati konkavnu (minimizirati konveksnu) funkciju na konveksnom skupu. Ovaj tip problema MP je zanimljiv jer spada u tzv. jednoekstremalne zadatke.

    Takoer je zanimljivo rjeavanje problema bez ogranienja jer postoje pristupi kojima se problemi sa ogranienjima svode na probleme bez ogranienja. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.1. Opa forma problema Matematikog programiranja

    Opa forma problema matematikog programiranja zadana je u sljedeem obliku:Optimizirati Z = f(x)(2.1)uz ogranienja x e M (2.2)gdje je x = (x1, x2, ..., xn) e Rn vektor kolona, M je skup iz Euklidskog prostora R na n, a f(x) je opa (realna) funkcija vektora x. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.1. Opa forma problema Matematikog programiranja

    Ogranienje (2.2) je najee zadano u obliku jednaina i/ili nejednaina:

    gi(x)

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.1. Opa forma problema Matematikog programiranja

    Poto je min f(x) = max (- f(x)), svaki problem traenja minimuma moe biti preveden u problem traenja maksimuma, zatim, poto se svako ogranienja u obliku jednaine, moe prevesti u dva ogranienja u obliku nejednaina h(x) = 0 moemo zamijeniti parom nejednaina h(x) = 0 i poto, u najveem broj sluajeva, promjenljive predstavljaju razne vrste resursa (ljudi, maine, novac, ...) koji ne mogu biti negativni, bez umanjenja optosti, problem MP moemo napisati u obliku: k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.1. Opa forma problema Matematikog programiranja

    Max Z = f(x)(2.4)uz ogranienja gi(x) = 0Zadatak je, dakle, nai vektor kolonu x* tako da maksimizira funkciju cilja (2.4) uz zadovoljenje ogranienja (2.5). k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.1. Opa forma problema Matematikog programiranja

    U terminilogiji OI svaki vektor x predstavlja rjeenje problema matematikog programiranja.Vektori x koji se nalaze u dopustivom prostoru su dopustiva rjeenja, a dopustivo rjeenje koje daje optimalnu vrijednost funkciji cilja je optimalno rjeenje.Moe se, dakle, rei da se MP bavi izuavanjem problema oblika (2.4), (2.5) i metodama za njihovo rjeavanje uz razliite uvjete koji se postavljaju na funkcije f i g. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.1. Opa forma problema Matematikog programiranja

    Ako pretpostavimo postoji takvo x* e M, (koje zadovoljava ogranienja (2.4)) da je

    f(x*) > = f(x), Vx e M(2.6)

    onda kaemo da je x* taka globalnog (apsolutnog) maksimuma funkcije f na skupu M, dok je f* = f(x*) vrijednost globalnog (apsolutnog) maksimuma funkcije f na skupu M. Ako je u relaciji (2.6) znak nejednakosti < za x e M i x # x*, onda kaemo da je x* taka strogog (izolira-nog) globalnog (apsolutnog) maksimuma funkcije f na skupu M, dok je f* = f(x*) vrijednost strogog (izoliranog) globalnog (apsolutnog) maksimuma funkcije f na skupu M.

    Na slian nain definiraju se i ostali tipovi ekstrema funkcije cilja. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.2. Konveksno programiranje

    Skup problema MP, kod kojeg je potrebno maksimizirati konkavnu (minimizirati konveksnu) funkciju na konveksnom skupu, naziva se problemima konveksnog programiranja (KP).Ovaj skup problema MP je zanimljiv jer spada u tzv. jednoekstremalne zadatke. To znai, da je dovoljno za neku taku dokazati da predstavlja taku lokalnog maksimuma (minimuma), pa da time bude dokazano da je ta taka ujedno i taka globalnog maksimuma (minimuma). Na ovaj nain je izbjegnut teak zadatak nalaenja globalnog ekstrema. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.2. Konveksno programiranje

    Opi oblik problema KP je:Max f(x)(2.8)uz ogranienjagi(x) R konkavna funkcija i funkcije ogranienja gi: R**n -> R, i = 1, 2, ..., m su konveksne funkcije. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.2. Konveksno programiranje

    Za konveksne zadae vrijedi:

    Svaki lokalni ekstrem na M (dopustivi prostor) je ujedno i globalniAko je M neprazan i ogranien onda zadaa ima barem jedno rjeenjeAko je f strogo konveksna funkcija onda zadaa moe imati najvie jedno rjeenje k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.2. Konveksno programiranje

    Za skup C e R**n kaemo da je konveksan ako za bilo koje dvije take x1 i x2, koje se nalaze u skupu C, vrijedi da se u skupu C nalazi i du koja ih spaja, tj. ako vai:l x1 + (1-l) x2 e C za svako x1, x2 e C i za svako l e [0,1]. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.2. Konveksno programiranje

    Za funkciju f:R**n -> R kaemo da je konveksna na konveksnom skupu C ako vrijedi:f(l x1 + (1-l) x2)

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.2. Konveksno programiranje

    Za funkciju f:R**n -> R kaemo da je konveksna na konveksnom skupu C ako vrijedi:f(l x1 + (1-l) x2)

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJENeki oblici konveksnih funkcija dati su na Sl. 2.3.

    k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.2. Konveksno programiranje

    Za funkciju f:R**n -> R kaemo da je strogo konveksna na konveksnom skupu C ako vrijedi:f(l x1 + (1-l) x2) < l f(x1) + (1-l) f(x2)za svako x1, x2 e C, x1 # x2 i za svako l e (0,1). Sluajevi x1 = x2, l = 0 i l = 1 su iskljueni jer tada vai jednakost. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.2. Konveksno programiranje

    Iz predhodnih definicija je jednostavno je zakljuiti da je linearna funkcija koveksna ali da nije strogo konveksna.Takoer, ako je funkcija f konveksna (strogo konveksna), onda je funkcija f konkavna (strogo konkavna). Vrijedi i obrnuto. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.2. Konveksno programiranje

    Ako je funkcija f diferencijabilna, konveksnost funkcije se moe definirati na sljedei nain:Fukncija f, diferencijabilna na skupu C, je konveksna ako i samo ako vai: f(x1) (x2 x1)

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.2. Konveksno programiranjeUstanovljavanje konveksnosti (konkavnosti) funkcije f na osnovu gornjih relacija nije jednostavno. Ako je funkcija f dva puta diferencijabilna tada se konveksnost (konkavnost) moe ustanoviti na osnovu matrice drugih izvoda funkcije f. Naime, ako je nabla**2 f(x) pozitivno (negativno) semidefinitna matrica za svako x e C, tada je f konveksna (konkavna) na C. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.2. Konveksno programiranjePozitivnu (negativnu) semidefinitnost je mogue ustanoviti (kod velikih matrica to iziskuje prilino raunanje) ispitivanjem znakova svih minora simetrinih u odnosu na glavnu dijagonalu, to se ovi dovoljni uslovi mogu ustanoviti. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    Naveemo nekoliko primjera kroz koje emo prikazati osnovne osobenosti zadataka traenja ekstrema uz ogranienja. Zadaci su jednostavni i rijeeni su uglavnom grafiki, koristei geometrijska razmatranja. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    Primjer 2.1.Nai :Min Z = Min f(x1, x2) = (x1 8)**2 + (x2 6)**2uz ogranienjag1(x1,x2) = 3 x1 + 6 x2 48

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    RjeenjeDopustivi prostor, tj. skup moguih rjeenja, formira pet ogranienja - nejedaina. Svaka nejednaina dijeli x1,x2 ravan na dva poluprostora od kojih je jedan dopustiv a drugi nedopustiv. Granice dopustivih poluprostora su: k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    koordinatne ose, zbog pozitivnosti promjenljivih dopustivi prostor se nalazi u prvom kvadrantupravac 3 x1 + 6 x2 48 = 0, dopustivi poluprostor je ispod ovog pravca pravac x1 + x2 10 = 0, dopustivi poluprostor je ispod ovog pravcapravac 7 x1 + 2 x2 56 = 0, dopustivi poluprostor je ispod ovog pravca k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    Presjek ovih dopustivih poluprostora daje dopustivi prostor zadatka. Taj prostor je lik OABCD na Sl. 2.5., gdje je O(0,0), A(8,0), B(7.2,2.8), C(4,6) i D(0,8).Funkcija cilja je rotacioni paraboloid i moemo je prikazati linijama koje predstavljaju njene konstantne vrijednosti nivo linijama. Nivo linije se dobiju kada se funkcija cilja izjednai sa konstantom. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    U ovom sluaju dobiemo jednainu kruga oblika:(x1 8)**2 + (x2 6)**2 = Cgdje je C proizvoljna konstanta koja moe biti vea ili jednaka nuli (konstanta C ne moe biti manja od nule jer tada gornja relacija ne bi imala realna rjeenja). Dajui konstanti C niz konkretnih vrijednosti dobiemo niz meusobno koncentrinih krugova. Za C = 0 dobiemo taku sa koordinatama x1 = 8 i x2 = 6. Ta taka je ujedno minimum funkcije cilja, tj. bezuvjetni minimum. Vrijednost funkcije cilja u toj taci je dakle jednaka nuli. Iz slike je jasno da ta taka ne zadovaljava ogranienja, a to nije teko pokazati i analitiki, stavljajui vrijednosti koordinata u nejednaine ogranienja (na primjer, 8 + 6 = 14 nije manje ili jednako 10). k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    Za veu vrijednost konstante C dobiemo krug veeg prenika sa centrom u taci (8,6). To znai da je vrijedost funkcije cilja vea to je krug nivo linije vei tj. to je dalji od take minimuma. Poto je na cilj da neemo minimalnu dopustivu taku, ona e oigledno biti na krugu koji je najblii taki minimuma a ima makar jednu dopustivu taku. To je oigledno krug koji tangira dopustivi prostor i koji je na Sl. 2.1. predstavljen crtkanom linijom. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    Ta se taka nalazi na presjeku pravca koji predstavlja granicu ogranienja g2 i pravca koji prolazi kroz centar krunice a okomit je na granicu ogranienja g2. Granica ogranienja g2 je:x1 + x2 10 = 0 to se moe napisati:x2 = - x1 + 10 koeficijent smjera normale je: 1 1 kn = - ---- = - ---- = 1 kg2 - 1pa je jednaina normale koja prolazi kroz taku (8,6):(x2 6) = (x1 8) to daje:x2 = x1 2 k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    Oigledno je da je taka x* taka strogog lokalnog minimuma jer se minimum nalazi samo u jednoj taci. Ujedno, to je taka strogog globalnog minimuma jer su dopustivi prostor i funkcija cilja konveksni. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE k.god. 2007/2008.dr Tadej MateljanCB

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    Primjer 2.2.Nai :Min Z = Min f(x1, x2) = (x1 4)**2 + (x2 3)**2uz ogranienjag1(x1,x2) = 3 x1 + 6 x2 48

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    Rjeenje

    Dopustivi prostor, tj. skup moguih rjeenja, formira pet ogranienja nejedaina kao i u predhodnom primjeru. Taj prostor je lik OABCD na Sl. 2.2., gdje je O(0,0), A(8,0), B(7.2,2.8), C(4,6) i D(0,8).

    k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    Konstantne vrijednosti nivo linije su krugovi oblika:(x1 4)**2 + (x2 3)**2 = Cgdje je C proizvoljna konstanta koja moe biti vea ili jednaka nuli. Minimalnu vrijednost funkcije cilja se dobije za vrijednost kostante C = 0. Za C = 0 dobiemo taku sa koordinatama x1 = 4 i x2 = 3.

    Ta taka je ujedno bezuvjetni minimum funkcije cilja. Vrijednost funkcije cilja u toj taci je dakle jednaka nuli. Iz slike se vidi da ova taka zadovaljava ogranienja, to se moe provjeriti i analitiki, stavljajui vrijednosti koordinata u nejednaine ogranienja (3*4+6*3=40

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    Dakle taka x* = (4,3) je optimalno rjeenje a f*=0 je optimalna vrijednost funkcije cilja.Taka x* taka strogog lokalnog minimuma jer se minimum nalazi samo u jednoj taci. Ujedno, to je taka strogog globalnog minimuma jer je funkcija cilja konveksna. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE k.god. 2007/2008.dr Tadej MateljanADCB

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    Primjer 2.3.

    Nai:Max Z = Max f(x1,x2) = x1 + 4x2

    uz ogranienjag1(x1,x2) = (x1-5)**2 x2 1 = 0 k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    RjeenjeDopustivi prostor, tj. skup moguih rjeenja, formiraju etiri ogranienja. Svako ogranienje dijeli x1,x2 ravan na dva poluprostora od kojih je jedan dopustiv a drugi nedopustiv. Granice dopustivih poluprostora su:koordinatne ose, zbog pozitivnosti promjenljivih dopustivi prostor se nalazi u prvom kvdrantupravac x1 + x2 10 = 0, dopustivi poluprostor je ispod ovog pravcaparabola (x1-5)**2 x2 1 = 0, dopustivi poluprostor je unutar parabolePresjek ovih dopustivih poluprostora daje dopustivi prostor zadatka. Taj prostor je lik ABCD gdje je A(4,0), B(4,0), C(7,3) i D(2,8). k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    Funkciju cilja moemo prikazati linijama koje predstavljaju njene konstantne vrijednosti nivo linijama. Nivo linija se dobiju kada se funkcija cilja izjednai sa konstantom. U ovom sluaju dobiemo jednainu pravca:

    x1 + 4x2 = C

    gdje je C prizvoljno izabrana konstanta. Dajui konstanti C niz konkretnih vrijednosti dobiemo niz meusobno paralelnih pravaca. Neki e od tih pravaca mimoilaziti dopustivi prostor, neki e ga sjei, a neki e ga tangirati. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    Poto je funkcija cilja linearna, poveavanje konstante C e davati pravce koji e se pomjerati u istom smjeru, okomito na same pravce. Zadatak pronai dopustivu taku u kojoj funkcija cilja ima najveu vrijednost.Zato se poveava konstanta C to e imati za posljedicu pomjeranje pravaca preko dopustivog prostora, sve dok ne dobijemo pravac ije bi dalje pomjeranje dovelo do naputanja dopustivog prostora. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    U naem primjeru to je pravac koji tangira dopustivi prostor u taci D. Jednaina tog pravca je x1 + 4x2 = 34. To znai da je taka D(2,8) taka u kojoj funkcija cilja ima maksimum i da je vrijednost tog maksimuma jednaka 34. Dakle:x* = (2,8) if* = 34Oigledno je da je taka x* taka strogog globalnog maksimuma jer je dopustivi prostor konveksan skup, a funkcija cilja je konkavna (linearna funkcija je i konveksna i konkavna). k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    Primjer 2.4.

    Posmatraemo zadatak slian predhodnom s tim to emo u ogranienju g1 promijeniti predznake. Treba, dakle, nai:

    Max Z = Max f(x1,x2) = x1 + 4x2

    uz ogranienjag1(x1,x2) = -(x1-5)**2 + x2 + 1 = 0 k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    RjeenjeGranice dopustivih poluprostora su sada:koordinatne ose, zbog pozitivnosti promjenljivih dopustivi prostor se nalazi u prvom kvdrantupravac x1 + x2 10 = 0, dopustivi poluprostor je ispod ovog pravcaparabola (x1-5)**2 x2 1 = 0, dopustivi poluprostor je izvan parabolePresjek ovih dopustivih poluprostora daje dopustivi prostor zadatka. Taj prostor se sastoji iz dva dijela: lika OADG gdje je O(0,0), A(4,0), D(2,8) i G(0,10) i lika BFC gdje je B(4,0), F(10,0) i C(7,3) . k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    Ako se ponovi postupak pomjeranja nivo linija funkcije cilja poveavajui vrijednost konstante C, vidjee se da e posljednja dopustiva taka biti taka F(0,10). Jednaina pravca koji prolazi kroz taku F je x1 + 4x2 = 40. To znai da je taka F(0,10) taka u kojoj funkcija cilja ima maksimum i da je vrijednost tog maksimuma jednaka 40. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 2. MATEMATIKO PROGRAMIRANJE2.3. Primjeri

    Dakle, sada je:x* = (0,10) if* = 40

    Taka F(0,10) predstavlja lokalni strogi maksimum ali, poto dopustivi prostor nije konveksan, on ne mora biti i globalni.Ova funkcija cilja ima jo jedan strogi lokalni maksimum koji se nalazi u taci C(7,3). U toj taci funkija cilja ima vrijednost f* = 19. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan

  • 3. LITERATURABrontejn I.N. i dr., Matematiki prirunik, Golden marketing-Tehnika knjiga, Zagreb, 2004.Carter M.W., Price C.C., Operations Research A Practical Introduction, CRC Press, 2001.Chandrasekhara Rao K., Operations Research, Alpha Science International Ltd., 2005.Cvjetianin D., Operaciona istraivanja, Ekonomski fakultet, Beograd, 1992.upi M.: Uvod u teoriju odluivanja, Nauna knjiga, Beograd, 1987.Hillier F.S., Lieberman G.J., Introduction to Operations Research, McGrow-Hill, New York, 2005.Krevinac S. i dr., Operaciona istraivanja, Fakultet organizacionih nauka, Beograd, 2004. Nerali L., Uvod u matematiko programiranje 1, Element, Zagreb, 2003.Petri J., Operaciona istraivanja, Knjiga prva, Savremena administracija, Beograd, 1983. Petri J.: Operaciona istraivanja, Nauka, Beograd, 1997. k.god. 2007/2008.dr Tadej Mateljan