Uvod u osnove operacionih istrazivanja

OSNOVE OSNOVE OPERACIONOPERACIONIHIH ISTRAISTRAŽŽIVANJAIVANJA

11. . OPERACIONA ISTRAŽIVANJA –OPERACIONA ISTRAŽIVANJA –PROBLEMI PROGRAMIRANJAPROBLEMI PROGRAMIRANJA

šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan

11. . O OPERACIONIM ISTRAŽIVANJIMAO OPERACIONIM ISTRAŽIVANJIMA

1.1. UVODUVOD1.1. Predmet Operacionih Istraživanja (OI)1.1. Predmet Operacionih Istraživanja (OI)

1.2. Karakteristike OI1.2. Karakteristike OI

1.3. Faze primjene OI 1.3. Faze primjene OI

2.2. PROBLEMI PROGRAMIRANJAPROBLEMI PROGRAMIRANJA2.1. Opća forma matematičkog 2.1. Opća forma matematičkog

programiranjaprogramiranja

2.2. Konveksno programiranje2.2. Konveksno programiranje

2.3. Primjeri2.3. Primjeri


1. UVOD1. UVOD1.1. Predmet Operacionih Istraživanja (OI)1.1. Predmet Operacionih Istraživanja (OI)

• OIOI su skup metoda, koje imaju za cilj su skup metoda, koje imaju za cilj nalaženje nalaženje najboljihnajboljih (optimalnih) (optimalnih) rješenja rješenja složenih problemasloženih problema

• Naziv je Naziv je relativno novrelativno nov i potiče iz i potiče iz vremena neposredno prije vremena neposredno prije Drugog Drugog svjetskog ratasvjetskog rata

• Smatra se da, Smatra se da, kao naukakao nauka, operaciona , operaciona istraživanja (OI) postoje istraživanja (OI) postoje od 1940-teod 1940-te godine.godine.



• Kao i u ratnim operacijama, tako se i u Kao i u ratnim operacijama, tako se i u mnogim drugim oblastima, problem mnogim drugim oblastima, problem postavljao na sličan način – postavljao na sličan način – raspoloživim (ograničenim) raspoloživim (ograničenim) resursima potrebno je postići resursima potrebno je postići najbolje rezultatenajbolje rezultate. .

• Tako su metode Tako su metode OIOI (pored ostalih (pored ostalih područja) našli široku primjenu na područja) našli široku primjenu na području području poslovnog odlučivanja i poslovnog odlučivanja i upravljanja.upravljanja.



Jedna od Jedna od definicijadefinicija, koja dosta dobro , koja dosta dobro određuje određuje sadržajsadržaj OIOI, je sljedeća:, je sljedeća:

„„Operaciona istraživanja predstavljaju Operaciona istraživanja predstavljaju skup kvantitativnihskup kvantitativnih i i drugih naučnih drugih naučnih metodametoda pomoću kojih se određuju pomoću kojih se određuju (pronalaze) (pronalaze) optimalna ekonomsko-optimalna ekonomsko-tehnička rješenja složenih tehnička rješenja složenih problemaproblema.“.“



•OIOI se bave se bave istraživanjem operacijaistraživanjem operacija (aktivnosti) (aktivnosti)

•Bavi se problemima u kojima treba riješiti – Bavi se problemima u kojima treba riješiti – kako kako voditi voditi ili ili koordinirati operacijekoordinirati operacije (aktivnosti) da (aktivnosti) da bi se postigli bi se postigli najbolji efektinajbolji efekti u skladu sa nekim u skladu sa nekim kriterijem uz određena ograničenjakriterijem uz određena ograničenja

•Ovakva definicija Ovakva definicija OIOI omogućuje njihovu primjenu omogućuje njihovu primjenu u u vrlo različitim oblastimavrlo različitim oblastima kao što su: kao što su: proizvodnja, transport, trgovina, proizvodnja, transport, trgovina, konstrukcije, telekomunikacije, financijsko konstrukcije, telekomunikacije, financijsko planiranje, zaštita zdravlja, vojska, policija, planiranje, zaštita zdravlja, vojska, policija, javni servisi, ...javni servisi, ...



•Dio naziva – Dio naziva – istraživanjaistraživanja – znači da – znači da OIOI koriste koriste naučni pristupnaučni pristup pri rješavanju pri rješavanju zadataka sa kojima se susreću.zadataka sa kojima se susreću.

•Naučni metodNaučni metod se koristi i za se koristi i za naučnonaučno (najčešće (najčešće matematičkomatematičko) ) modeliranje modeliranje realnih problemarealnih problema koje je potrebno riješiti koje je potrebno riješiti

•OIOI su uključena u kreativna naučna su uključena u kreativna naučna istraživanja istraživanja fundamentalnih osobina fundamentalnih osobina operacijaoperacija (aktivnosti) (aktivnosti)

•OIOI moraju osigurati moraju osigurati pozitivne razumljive pozitivne razumljive zaključkezaključke donosiocima odluka donosiocima odluka



•U najvećem broju primjena, metode U najvećem broju primjena, metode OIOI imaju imaju za cilj naći za cilj naći najbolje rješenjenajbolje rješenje (optimalno (optimalno rješenje) problema koji rješenje) problema koji ima ograničenjaima ograničenja

•Najčešće se Najčešće se podrazumijevapodrazumijeva da je zadatak da je zadatak metoda metoda OIOI nalaženje najboljih rješenja mada nalaženje najboljih rješenja mada to to ne mora uvijek biti slučajne mora uvijek biti slučaj

•Ponekad je i nalaženje Ponekad je i nalaženje mogućeg rješenjamogućeg rješenja zadatka sa ograničenjima zadatka sa ograničenjima jako složen jako složen problemproblem (na pr. određivanje vremenskog (na pr. određivanje vremenskog rasporeda po mašinama), tako da je tada rasporeda po mašinama), tako da je tada optimizacija u drugom planuoptimizacija u drugom planu



•Razvoj Razvoj informacionih tehnologijainformacionih tehnologija ( (ITIT) je ) je dao snažnu dao snažnu osnovuosnovu i i poticaj za razvojpoticaj za razvoj i i primjenuprimjenu metoda metoda OIOI

•Povezivanje Povezivanje poslovnih ISposlovnih IS i i OIOI je proizvelo je proizvelo novi kvalitet – novi kvalitet – IS za podršku upravljanjuIS za podršku upravljanju

•Ova veza je omogućila, s jedne strane, daleko Ova veza je omogućila, s jedne strane, daleko širešire i i efikasnijeefikasnije korištenjekorištenje „klasičnih“ „klasičnih“ metoda metoda OIOI ( (linearno programiranje, mrežno linearno programiranje, mrežno planiranje, upravljanje zalihama, optimalno planiranje, upravljanje zalihama, optimalno rezerviranje, simulacijerezerviranje, simulacije, ...), ...)



S druge strane, potakla je razvoj S druge strane, potakla je razvoj novih načina novih načina korištenjakorištenja metoda za nalaženje najboljih metoda za nalaženje najboljih rješenja kroz:rješenja kroz:

• 'Sisteme za podršku odlučivanju''Sisteme za podršku odlučivanju' ( (Decision Decision Suport SystemsSuport Systems – – DSSDSS))

• 'Sisteme za podršku izvršavanju''Sisteme za podršku izvršavanju' ( (Execution Execution Suport SystemsSuport Systems – – ESSESS))

• 'Ekspertne sisteme''Ekspertne sisteme' ( (Expert systemsExpert systems – – ESES))

• 'Vještačku inteligenciju''Vještačku inteligenciju' ( (Artificiel IntelligenceArtificiel Intelligence - - AIAI))



Posljednih godina poseban interes je usmjeren Posljednih godina poseban interes je usmjeren na primjenu raznih matematičkih pristupa u na primjenu raznih matematičkih pristupa u analizi velikih skupova podatakaanalizi velikih skupova podataka

U velikim organizacionim sistemima, kroz sve U velikim organizacionim sistemima, kroz sve šire korištenje šire korištenje ITIT, formiraju se ogromni , formiraju se ogromni skupovi podataka koje je skupovi podataka koje je vrlo teško vrlo teško analiziratianalizirati tj. dobiti odgovarajuće tj. dobiti odgovarajuće informacijeinformacije ili ili znanjaznanja koja su u njima koja su u njima sadržanasadržana



Ovi problemi, Ovi problemi, traganje za podacima i traganje za podacima i otkrivanje skrivenih odnosa i značenja otkrivanje skrivenih odnosa i značenja među njimameđu njima, predstavljaju jednu od , predstavljaju jednu od suvremenih interesantnih oblasti suvremenih interesantnih oblasti operacionih istraživanjaoperacionih istraživanja

Takvi pristupi se mogu naći u okviru naziva:Takvi pristupi se mogu naći u okviru naziva:

• Analitička obrada podataka u realnom Analitička obrada podataka u realnom vremenuvremenu ( (On Line Analytic ProcessingOn Line Analytic Processing -- OLAPOLAP))

• Rudarenje podatakaRudarenje podataka ( (Data MiningData Mining))

• Poslovno istraživanjePoslovno istraživanje ( (Business Business IntelligenceIntelligence).). šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan


Razni sistemi za Razni sistemi za Planiranje resursa Planiranje resursa preduzećapreduzeća ( (Enterprise Resource PlanningEnterprise Resource Planning – – ERPERP) koji su donedavno bili (a često su i ) koji su donedavno bili (a često su i danas) jedna od najznačajnijih komponenti danas) jedna od najznačajnijih komponenti integralnih ISintegralnih IS za za upravljanje upravljanje preduzećimapreduzećima, u pravilu, nisu sadržavali , u pravilu, nisu sadržavali nikakve metode planiranjanikakve metode planiranja nego su samo nego su samo omogućavali omogućavali određenu integracijuodređenu integraciju podatakapodataka iz raznih informacionih podsistema iz raznih informacionih podsistema što se moglo koristiti u procesu planiranja što se moglo koristiti u procesu planiranja



Pokazalo se, međutim, da je za efikasno Pokazalo se, međutim, da je za efikasno planiranje i upravljanje planiranje i upravljanje neophodno koristiti neophodno koristiti formalne metode analize i optimizacijeformalne metode analize i optimizacije

Tako se danas pojavljuju:Tako se danas pojavljuju:

• Napredni sistemi za planiranje i raspore-Napredni sistemi za planiranje i raspore-đivanjeđivanje ( (Advanced Planning and SchedulingAdvanced Planning and Scheduling – – APSAPS))

• Napredni sistemi za planiranje i Napredni sistemi za planiranje i optimizacijuoptimizaciju ( (Advanced Planning and Advanced Planning and OptimizationOptimization – – APOAPO))

Ovi sistemi predstavljaju, u stvari, Ovi sistemi predstavljaju, u stvari, razne oblike razne oblike implementacije metoda OIimplementacije metoda OI šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan


Danas velika većina zemalja ima svoja Danas velika većina zemalja ima svoja nacionalna nacionalna profesionalna udruženjaprofesionalna udruženja za OI koja organiziraju za OI koja organiziraju svoje svoje skupoveskupove i i izdaju časopiseizdaju časopise i i biltenebiltene

Nacionalna udruženja se često povezuju u Nacionalna udruženja se često povezuju u regionalne regionalne organizacijeorganizacije kao što su na pr. kao što su na pr.

• Evropska asocijacijaEvropska asocijacija EUROEURO ( (European Associations of European Associations of Operations Research SocietesOperations Research Societes))

• Međunarodna federacija za operaciona istraživanjaMeđunarodna federacija za operaciona istraživanja IFORSIFORS ( (International Federation of Operational International Federation of Operational Research SocietesResearch Societes))

• Institut za operaciona israživanjaInstitut za operaciona israživanja INFORMSINFORMS ( (Institut Institut for Operational Research and the Management for Operational Research and the Management ScienceScience).).


1. UVOD1. UVOD1.2. Karakteristike OI1.2. Karakteristike OI

Osnovne karakteristike Osnovne karakteristike OIOI kao naučne kao naučne discipline su:discipline su:

•Usredsređenost na probleme upravljanja u Usredsređenost na probleme upravljanja u složenim sistemimasloženim sistemima

•Sistemski pristupSistemski pristup problemima problemima

•Timski radTimski rad

•Naučni metodNaučni metod nalaženja rješenja nalaženja rješenja


1. UVOD1. UVOD1.2. Karakteristike OI - 1.2. Karakteristike OI - Usredsređenost na Usredsređenost na

probleme upravljanja u složenim sistemimaprobleme upravljanja u složenim sistemima

•Uvećanje znanjaUvećanje znanja i i usvršavanje usvršavanje tehnologijatehnologija uvjek su uvjek su uvećavali 'nivoe uvećavali 'nivoe ambicija‘ambicija‘

•Zadaci koji se rješavaju su Zadaci koji se rješavaju su sve složenijisve složeniji

• Izvanredne mogućnosti IT i Izvanredne mogućnosti IT i stalni razvoj stalni razvoj metoda zametoda za nalaženje najboljih rješenjanalaženje najboljih rješenja omogućuju rješavanje ambicioznih zadataka omogućuju rješavanje ambicioznih zadataka upravljanja u složenim organizacionim upravljanja u složenim organizacionim sistemimasistemima


1. UVOD1. UVOD1.2. Karakteristike OI - 1.2. Karakteristike OI - Usredsređenost na Usredsređenost na

probleme upravljanja u složenim sistemimaprobleme upravljanja u složenim sistemima

U pravilu se rješavaju zadaciU pravilu se rješavaju zadaci

za koje za koje ne postojene postoje predhodna iskustvapredhodna iskustva

koji uključuju koji uključuju veliki broj nepoznatih veliki broj nepoznatih veličinaveličina

čiji se uvjeti čiji se uvjeti ne ponavljaju više puta pod ne ponavljaju više puta pod istim okolnostimaistim okolnostima

Rješavanje takvih zadatakaRješavanje takvih zadataka je najčešćeje najčešće ozbiljan istraživački poduhvatozbiljan istraživački poduhvat


1. UVOD1. UVOD 1.2. Karakteristike OI - 1.2. Karakteristike OI - Sistemski pristup Sistemski pristup

problemimaproblemima

• ‘‘Cjelina je više nego zbir dijelova'Cjelina je više nego zbir dijelova' (Aristotel) (Aristotel)

• Optimazirajući dijeloveOptimazirajući dijelove,, ne mora se uvjek ne mora se uvjek dobiti (a najčešće se i ne dobije) dobiti (a najčešće se i ne dobije) optimalno optimalno rješenje za cjelinurješenje za cjelinu

(optimalni nivo zaliha sa stanovišta prodaje, ne (optimalni nivo zaliha sa stanovišta prodaje, ne mora biti optimalan sa stanovišta preduzeća) mora biti optimalan sa stanovišta preduzeća)

• Problemi Problemi složenihsloženih organizacionih sistema organizacionih sistema (preduzeće, vojna jedinica, bolnica, regija) (preduzeće, vojna jedinica, bolnica, regija) moraju se ješavati sa saznanjem da su to moraju se ješavati sa saznanjem da su to jedinstveni subjektijedinstveni subjekti (cjeline) (cjeline)


1. UVOD1. UVOD 1.2. Karakteristike OI - 1.2. Karakteristike OI - Timski radTimski rad

• U rješavanju zadataka U rješavanju zadataka OIOI, od samog , od samog početka, istrazivači su bili početka, istrazivači su bili organizirani u organizirani u timovetimove

• To je bilo nužno jer su problemi, koji su se To je bilo nužno jer su problemi, koji su se rješavali, zhtijevali rješavali, zhtijevali znanja različitihznanja različitih oblasti oblasti

• Formirani su timovi od stručnjaka koji su Formirani su timovi od stručnjaka koji su prije toga prije toga rijetko radili zajednorijetko radili zajedno ( (inženjeri, inženjeri, mate-matičari, psiholozi, ekonomisti, mate-matičari, psiholozi, ekonomisti, sociolozi, pravnici, medicinarisociolozi, pravnici, medicinari, ...), ...)


1. UVOD1. UVOD 1.2. Karakteristike OI - 1.2. Karakteristike OI - Timski radTimski rad

• Zajednički rad stručnjaka različitih oblasti Zajednički rad stručnjaka različitih oblasti imao pozitivan uticaj i na imao pozitivan uticaj i na unapređenje unapređenje metodametoda, jer su , jer su različiti stručnjacirazličiti stručnjaci unosili u timski rad unosili u timski rad različite pristuperazličite pristupe i i na taj način na taj način obogatili metode u obogatili metode u mnogim naučnim područjimamnogim naučnim područjima

• Zbog učešća, u timu, stručnjaka različitih Zbog učešća, u timu, stručnjaka različitih profila (disciplina), ovakav timski pristup profila (disciplina), ovakav timski pristup se često naziva i se često naziva i multidisciplinarni multidisciplinarni pristuppristup


1. UVOD1. UVOD 1.2. Karakteristike OI - 1.2. Karakteristike OI - Naučni metod Naučni metod

nalaženja rješenjanalaženja rješenja

OI OI koriste koriste matematički jezikmatematički jezik za opisivanje za opisivanje i rješavanje postavljenih zadataka. i rješavanje postavljenih zadataka. Prednosti ovakvog pristupa su sljedeće:Prednosti ovakvog pristupa su sljedeće:

• Jezik matematike je Jezik matematike je precizan precizan ii koncizankoncizan• Mogu se koristiti Mogu se koristiti postojeći rezultatipostojeći rezultati

(veliki broj dokazanih teorema i stavova)(veliki broj dokazanih teorema i stavova)• Složene vezeSložene veze izmedju raznih veličina u izmedju raznih veličina u

realnom sistemu, jednostavnije i jasnije realnom sistemu, jednostavnije i jasnije se prikazuju se prikazuju u matematičkom oblikuu matematičkom obliku (jednačine, nejednačine, ...)(jednačine, nejednačine, ...) šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan



Postoje mišljenja da matematički jezik često Postoje mišljenja da matematički jezik često previše previše pojednostavljenopojednostavljeno predstavlja predstavlja stvarni problem. Međutim:stvarni problem. Međutim:

• osnovni osnovni zadatak modeliranjazadatak modeliranja i jest u tom i jest u tom da se dođe do (matematičkog) modela koji da se dođe do (matematičkog) modela koji jejeo dovoljno 'sličan'dovoljno 'sličan' stvarnom problemu da stvarnom problemu da

bi mogao da bude njegova zamjenabi mogao da bude njegova zamjenao dovoljnodovoljno jednostavanjednostavan da bi mogao biti da bi mogao biti

rješivrješiv šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan



• uprošćenja i zanemarenja, koja se čine pri uprošćenja i zanemarenja, koja se čine pri matematičkom modeliranju su često matematičkom modeliranju su često uočljivauočljiva, pa se to može iskoristiti, u slučaju , pa se to može iskoristiti, u slučaju neslaganja modela saneslaganja modela sa ponašanjem ponašanjem realnog sistemarealnog sistema

• Upotreba Upotreba matematičkih modelamatematičkih modela (i (i matematičkih pristupa) je, također, jedan od matematičkih pristupa) je, također, jedan od uslovauslova za korištenjeza korištenje ITIT u rješavanju u rješavanju konkretnih problema upravljanja u raznim konkretnih problema upravljanja u raznim područjima primjene. područjima primjene. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan

1. UVOD1. UVOD 1.3. Faze primjene OI 1.3. Faze primjene OI

KKvanitativne metodevanitativne metode predstavljaju predstavljaju najveći dio onoga što se danas naziva najveći dio onoga što se danas naziva OIOI, , tako da ćemo se mi baviti tako da ćemo se mi baviti matematičkim metodamamatematičkim metodama OIOI

Međutim, to ne znači da Međutim, to ne znači da osnovnu težinuosnovnu težinu,, pri praktičnom korištenju pri praktičnom korištenju OIOI,, čine čine matematičke analizematematičke analize. One . One (matematičke analize) često predstavljaju (matematičke analize) često predstavljaju samo samo mali dio naporamali dio napora koji je potrebno koji je potrebno uložiti.uložiti. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan

1. UVOD1. UVOD 1.3. Faze primjene OI 1.3. Faze primjene OI

Standardno, proces implementiranja metoda Standardno, proces implementiranja metoda OIOI ((OI studijaOI studija)), ima sljedeće faze:, ima sljedeće faze:

• Definiranje problemaDefiniranje problema i i prikupljanjeprikupljanje odgovajućih odgovajućih podatakapodataka

• Formiranje matematičkog modelaFormiranje matematičkog modela koji koji predstavlja problempredstavlja problem

• RazvojRazvoj (računarski bazirane) (računarski bazirane) procedureprocedure za za nalaženje rješenja problema iz matematičkog nalaženje rješenja problema iz matematičkog modelamodela

• TestiranjeTestiranje modela i rješenjamodela i rješenja• Priprema modela za korišenjePriprema modela za korišenje• ImplementacijaImplementacija šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan

1. UVOD1. UVOD• 1.3. Faze primjene OI - 1.3. Faze primjene OI - Definiranje problema Definiranje problema

i prikupljanje odgovarajućih podatakai prikupljanje odgovarajućih podataka

Najveći dio praktičnih problema, koje treba Najveći dio praktičnih problema, koje treba riješiti, u početku je definiran riješiti, u početku je definiran nejasnonejasno i i nepreciznoneprecizno

Često postoji niz elemenata koji učestvuju u Često postoji niz elemenata koji učestvuju u realnoj situaciji a koji realnoj situaciji a koji nisu bitninisu bitni za sam za sam problemproblem

((nejasni su kriterijinejasni su kriteriji na osnovu kojih će se na osnovu kojih će se odrediti uspješnost rješenja, posmatrani odrediti uspješnost rješenja, posmatrani problem je manje ili više problem je manje ili više povezanpovezan sa nekim sa nekim drugim procesima pa je složeno pitanje drugim procesima pa je složeno pitanje određivanje graniceodređivanje granice problema problema i sl.) i sl.) šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan

1. UVOD1. UVOD• 1.3. Faze primjene OI - 1.3. Faze primjene OI - Definiranje Definiranje

problema i prikupljanje odgovarajućih problema i prikupljanje odgovarajućih podatakapodataka

S druge strane, da bi primjena metoda S druge strane, da bi primjena metoda OIOI bila uspješna, potrebno je bila uspješna, potrebno je jasno odrediti jasno odrediti ciljeveciljeve, , ograničenjaograničenja i i interakcije sa interakcije sa 'okolinom''okolinom' (drugim dijelovima sistema) (drugim dijelovima sistema)

Često je, u realnim primjenama, potrebo Često je, u realnim primjenama, potrebo voditi računa i o voditi računa i o vremenskim vremenskim ograničenjima za donošenje odlukeograničenjima za donošenje odluke


1. UVOD1. UVOD1.3. Faze primjene OI - 1.3. Faze primjene OI - Definiranje Definiranje


Ne postoje stroga pravilaNe postoje stroga pravila koja bi koja bi pomogla u pravilnoj identifikaciji i pomogla u pravilnoj identifikaciji i formulaciji problema. U ovoj fazi najveći formulaciji problema. U ovoj fazi najveći značaj imaju značaj imaju iskustvoiskustvo i i kreativnost kreativnost istraživačaistraživača. Ipak mogu se primjeniti . Ipak mogu se primjeniti slijedeće preporuke:slijedeće preporuke:

• Definirati ko je Definirati ko je korisnik istraživanjakorisnik istraživanja i i koje su koje su granice sistemagranice sistema koji se analizira koji se analizira šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan

1. UVOD1. UVOD1.3. Faze primjene OI - 1.3. Faze primjene OI - Definiranje Definiranje


• Moraju biti precizno definirati Moraju biti precizno definirati ciljevi ciljevi korisnikakorisnika istraživanja istraživanja

• Utvrditi kojim Utvrditi kojim instrumentima instrumentima upravljanjaupravljanja raspolaže korisnik raspolaže korisnik

• Što preciznije odrediti skup Što preciznije odrediti skup alternativnih rješenjaalternativnih rješenja i odrediti i odrediti ograničenjaograničenja u okviru kojih treba tražiti u okviru kojih treba tražiti optimalnu odlukuoptimalnu odluku šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan

1. UVOD1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - 1.3. Faze primjene OI - Definiranje Definiranje


Upravljački problem se u ovoj fazi Upravljački problem se u ovoj fazi ne ne postavlja u matema-tičkom oblikupostavlja u matema-tičkom obliku. . OIOI tim prikuplja tim prikuplja osnovne informacijeosnovne informacije o o problemu koji treba riješiti.problemu koji treba riješiti.

• Prvi Prvi podzadatakpodzadatak je ustanoviti da li je je ustanoviti da li je problem moguće i/ili potrebno problem moguće i/ili potrebno rastavitirastaviti na na određeni broj određeni broj manjihmanjih problemaproblema

Rastavljanjem se dobiju Rastavljanjem se dobiju manjimanji i i jednostavnijijednostavniji zadaci. U pravilu, su veći zadaci. U pravilu, su veći izgledi da se uspješno može riješiti izgledi da se uspješno može riješiti više više manjihmanjih nego nego jedan većijedan veći i i kompleksniji kompleksniji zadatak.zadatak. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan

1. UVOD1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - 1.3. Faze primjene OI - Definiranje problema i Definiranje problema i

prikupljanje odgovarajućih podatakaprikupljanje odgovarajućih podataka

• Drugi Drugi podzadatakpodzadatak je utvrđivanje je utvrđivanje granicegranice problema koji će se rješavati i određivanje problema koji će se rješavati i određivanje nivoa detaljanivoa detalja. .

Na ove odluke direktno utiču Na ove odluke direktno utiču ciljeviciljevi korisnikakorisnika, , zatim, zatim, planirani troškoviplanirani troškovi i i planirano vrijeme planirano vrijeme za razvoj modelaza razvoj modela. . Utvrđene granice problema Utvrđene granice problema i definirani nivo detalja, više ili manje, direktno i definirani nivo detalja, više ili manje, direktno određuju određuju dimenzionalnost problemadimenzionalnost problema, tj. , tj. ustanovljavaju se ustanovljavaju se zavisnezavisne i i nezavisnenezavisne promjenljive, ili u terminologiji koja se koristi u promjenljive, ili u terminologiji koja se koristi u zadacima upravljanja, zadacima upravljanja, upravljačkeupravljačke ili ili kontrolabilnekontrolabilne promjenljive i promjenljive i parametriparametri sistema i/ili sistema i/ili nekontrolabilnnekontrolabilnee promjenljive. promjenljive.


1. UVOD1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - 1.3. Faze primjene OI - Definiranje problema i prikupljanje Definiranje problema i prikupljanje

odgovarajućih podatakaodgovarajućih podataka

• Treći Treći podzadatakpodzadatak je izbor je izbor kriterijakriterija na osnovu na osnovu kojeg će se mjeriti kojeg će se mjeriti uspješnostuspješnost rješenja rješenja

Izbor kriterija će Izbor kriterija će direktno utjecatidirektno utjecati na to koje će, iz na to koje će, iz skupa mogućih rješenja, biti određeno kao skupa mogućih rješenja, biti određeno kao optimalnooptimalno ili, u praksi, biti ocijenjeno kao ili, u praksi, biti ocijenjeno kao uspješnouspješno. .

((Tako je, na primjer, za vrijeme II svjetskog rata, odlučeno da se Tako je, na primjer, za vrijeme II svjetskog rata, odlučeno da se trgovačka mornarica Velike Britanije opremi protivavionskim oružjem. trgovačka mornarica Velike Britanije opremi protivavionskim oružjem. Poslije godinu dana je analizirana uspješnost ovog zahvata. Prvo je za Poslije godinu dana je analizirana uspješnost ovog zahvata. Prvo je za kriterij uspješnosti uzet kriterij uspješnosti uzet broj oborenih neprijateljskih avionabroj oborenih neprijateljskih aviona. . Ustanovljeno je da je u samo 4% napada oboren neprijateljski avion. Ustanovljeno je da je u samo 4% napada oboren neprijateljski avion. Na osnovu toga bi se moglo zaključiti da je ovaj zahvat dao slabe Na osnovu toga bi se moglo zaključiti da je ovaj zahvat dao slabe rezultate. Mađutim, kada se kao kiterij uzeo rezultate. Mađutim, kada se kao kiterij uzeo postotak potopljenih postotak potopljenih brodovabrodova sa naoruženjem u odnosu na one bez, dobio se potpuno sa naoruženjem u odnosu na one bez, dobio se potpuno različit rezultat. Naime, pokazalo se da su brodovi sa naoružanjem različit rezultat. Naime, pokazalo se da su brodovi sa naoružanjem imali daleko veću šansu da »prežive« napad neprijateljske avijacije u imali daleko veću šansu da »prežive« napad neprijateljske avijacije u odnosu na one bez naoružanjaodnosu na one bez naoružanja)) šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan

1. UVOD1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija Konstrukcija

modelamodela

• Pojam "Pojam "modelmodel" se najčešće intuitivno " se najčešće intuitivno prihvata kao "prihvata kao "apstrakcijaapstrakcija" nečega što je " nečega što je dio realnostidio realnosti (EDEN I HARIS 1975) (EDEN I HARIS 1975)

• RIVET (1972) ukazuje da su RIVET (1972) ukazuje da su ""svi naučnici svi naučnici saglasni da je ključnasaglasni da je ključna aktivnost svake aktivnost svake naučne metode – kreiranje modelanaučne metode – kreiranje modela".".

• Prapočeci modeliranja (astronomski Prapočeci modeliranja (astronomski modeli) se mogu naći još u modeli) se mogu naći još u Vavilonskoj Vavilonskoj civilizacijicivilizaciji (750 godina prije nove ere) (750 godina prije nove ere) šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan

1. UVOD1. UVOD 1.3. Faze primjene OI - 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modelaKonstrukcija modela

• PETRIĆ i dr.: PETRIĆ i dr.: ""modeli su veoma širokomodeli su veoma široko korišćeno sredstvo za opis, objašnjenje, korišćeno sredstvo za opis, objašnjenje, predviđanje i upravljanje pojavama u predviđanje i upravljanje pojavama u realnom svijeturealnom svijetu“,“, oni predstavljaju oni predstavljaju "sintetsku "sintetsku apstrakciju realnostiapstrakciju realnosti".".

• Zajednička karakteristika modela je Zajednička karakteristika modela je da nikada da nikada ne mogune mogu biti vjerna slika stvarnostibiti vjerna slika stvarnosti. Oni . Oni obuhvataju obuhvataju samo bitne osobinesamo bitne osobine pojave koju pojave koju predstavljaju, i pri tom, predstavljaju, i pri tom, nužno zanemaruju niz nužno zanemaruju niz osobina te iste pojaveosobina te iste pojave. Saznajna vrijednost . Saznajna vrijednost modela je bazirana na činjenici da je modela je bazirana na činjenici da je rijetko rijetko potrebno sve znatipotrebno sve znati o nekoj pojavi, odnosno, da o nekoj pojavi, odnosno, da je je potrebno znatipotrebno znati samo one veličine koje su samo one veličine koje su bitnebitne za pojedino razmatranje. za pojedino razmatranje. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan


modelamodela

Korištenje modela ima slijedeće prednosti:Korištenje modela ima slijedeće prednosti:

• Omogućuju Omogućuju analizuanalizu i i eksperimentisanjeeksperimentisanje sasa složenim problemimasloženim problemima

• Obezbjedjuje Obezbjedjuje ekonomisanje resursimaekonomisanje resursima koji se koriste za analizu date pojavekoji se koriste za analizu date pojave

• VrijemeVrijeme za analizu pojave za analizu pojave se može se može znatno skratiti (produžiti)znatno skratiti (produžiti)

• Obezbjeđuje Obezbjeđuje koncentraciju na bitne koncentraciju na bitne karakteristike pojavekarakteristike pojave šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan


modelamodela

RIVET je (1972) dao sljedeću definicijuRIVET je (1972) dao sljedeću definiciju modela:modela:

""ModelModel, , odnosnoodnosno,, hipoteza hipoteza jeje skup skup logilogiččkih relacijakih relacija, , bilobilo kvantitativnih kvantitativnih, , bilobilo kvalitativnih kvalitativnih, , kojekoje ć ćee zajedno zajedno povezatipovezati relevantne karakteristike relevantne karakteristike stvarnosti bitne za problem koji se stvarnosti bitne za problem koji se rjerješšavaava".". šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan


modelamodela

U U naucinauci i i biznisubiznisu se koristi jeko veliki broj se koristi jeko veliki broj međusobno vrlo različitih modela: međusobno vrlo različitih modela: model model atoma, model genetičke strukture, fizički atoma, model genetičke strukture, fizički zakoni i kemijske reakcije se opisuju zakoni i kemijske reakcije se opisuju matematičkim jednačinama - modelima, matematičkim jednačinama - modelima, veliki broj realnih zadataka se predstavlja veliki broj realnih zadataka se predstavlja pomoću grafova ili mrežnih planova, pomoću grafova ili mrežnih planova, postoje modeli organizacione strukture, postoje modeli organizacione strukture, tokova novca u preduzećimatokova novca u preduzećima, ... , ...



modelamodela

Posebna klasa modela su Posebna klasa modela su matematički matematički modelimodeli. Matematički modeli za opisivanje . Matematički modeli za opisivanje problema, koriste problema, koriste matematičke izrazematematičke izraze i i simbolesimbole.. Na primjer, matematički izrazi Na primjer, matematički izrazi F F = m a= m a, , U = R IU = R I, , E = m c2E = m c2, su matematički , su matematički modeli određenih fizikalnih zakonitosti.modeli određenih fizikalnih zakonitosti.



modelamodela

Matematički modeli imaju niz Matematički modeli imaju niz prednosti prednosti u u odnosu na verbalne modele. Matematički odnosu na verbalne modele. Matematički model opisuje problem model opisuje problem konciznokoncizno, , jednoznačno određuje uzročno-jednoznačno određuje uzročno-posljedične vezeposljedične veze pojedinih veličina. pojedinih veličina. Posebna prednost je u mogućnosti Posebna prednost je u mogućnosti korištenja vrlo moćnih matematičkih korištenja vrlo moćnih matematičkih tehnika i računara pri analizi problema. tehnika i računara pri analizi problema.



Pri izgradnji modela treba zadovoljiti dva, u Pri izgradnji modela treba zadovoljiti dva, u odredjenom smislu odredjenom smislu proturječnaproturječna, zahtjeva:, zahtjeva:

• model mora biti što model mora biti što jednostavniji jednostavniji (“što (“što jednostavniji ali ne više od toga”)jednostavniji ali ne više od toga”)

• model mora obuhvatiti model mora obuhvatiti sve osobine sistema sve osobine sistema koje su bitnekoje su bitne za problem koji se rješava za problem koji se rješava



Ovo je dosta složen zahtjev i on se uobičajeno Ovo je dosta složen zahtjev i on se uobičajeno rješava u interakciji sa fazom rješava u interakciji sa fazom identifikacijeidentifikacije i i formulacije problemaformulacije problema

• Dobro formuliran problemDobro formuliran problem relativno je lako relativno je lako prevesti u odgovarajući matematički model i prevesti u odgovarajući matematički model i obratno.obratno.

• U najvećem broju slučajeva primjene metoda U najvećem broju slučajeva primjene metoda OIOI kao model problema, koji je potrebno riješiti, kao model problema, koji je potrebno riješiti, javljaće se javljaće se matematički modelmatematički model, , aa cilj cilj će biti će biti naći najbolje (optimalno) rješenje.naći najbolje (optimalno) rješenje.



Da bi se moglo govoriti o problemu Da bi se moglo govoriti o problemu izbora najboljih izbora najboljih rješenjarješenja (problem optimizacije) mora postojati (problem optimizacije) mora postojati slijedeće:slijedeće:

• mogućnost mogućnost izboraizbora između više različitih rješenja između više različitih rješenja

• kriterijkriterij na osnovu kojeg će se upoređivati 'kvalitet' na osnovu kojeg će se upoređivati 'kvalitet' pojedinih rješenjapojedinih rješenja

• ograničenjaograničenja koja moraju biti zadovoljena koja moraju biti zadovoljena

Problem izbora najboljih rješenja može a Problem izbora najboljih rješenja može a ne mora biti ne mora biti postavljen u matematičkom oblikupostavljen u matematičkom obliku, međutim, u , međutim, u ovoj knjizi, mi ćemo se baviti samo problemima koji su ovoj knjizi, mi ćemo se baviti samo problemima koji su zadani u zadani u matematičkom oblikumatematičkom obliku. .



Formalna matematička struktura za izbor Formalna matematička struktura za izbor najboljih rješenja sadrži:najboljih rješenja sadrži:

• skup skup promjenljivihpromjenljivih i skup i skup parametaraparametara– spoljnje promjenljivespoljnje promjenljive koje mogu biti koje mogu biti

upravljane (organizirane) i neupravljane upravljane (organizirane) i neupravljane (neorganizirane)(neorganizirane)

– unutarnje promjenljiveunutarnje promjenljive na čije vrijednosti na čije vrijednosti se utiče preko spoljnih promjenljivihse utiče preko spoljnih promjenljivih

– parametri parametri u pravilu nisu kontrolabilni i u u pravilu nisu kontrolabilni i u formalnoj strukturi su određeniformalnoj strukturi su određeni



• modelmodel – sistem matematičkih relacija koje – sistem matematičkih relacija koje povezuju skupove povezuju skupove promjenljivihpromjenljivih i skupove i skupove parametaraparametara ( (ograničenjaograničenja))

• kriterijkriterij koji zavisi od koji zavisi od promjenljivihpromjenljivih i i parametaraparametara

• metodametoda za nalaženje najboljeg rješenja, to je za nalaženje najboljeg rješenja, to je proceduraprocedura koja sadrži koja sadrži 'strategiju traženja 'strategiju traženja najboljeg rješenjanajboljeg rješenja''

• ((U literaturi, koja se bavi U literaturi, koja se bavi OIOI, najčešće se pod nazivom , najčešće se pod nazivom »model« podrazumjeva i »model« podrazumjeva i skupskup ograničenja ograničenja i i funkcija funkcija ciljacilja, pa ćemo mi u nastavku koristiti takav pristup, pa ćemo mi u nastavku koristiti takav pristup).).


1. UVOD1. UVOD1.3. Faze primjene OI - 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modelaKonstrukcija modela

Formalna matematička strukturaFormalna matematička struktura izbora najboljih rješenja se izbora najboljih rješenja se može šematski može šematski predstaviti sljedećom slikom:predstaviti sljedećom slikom:


U L A Zvan kontrole upravljanja

M O D E L

I Z L A Zrezultati koji nisu ciljevi

I Z L A Zrezultati koji su ciljevi

U L A Zkontrolirani

Sl. 1.2.

1. UVOD1. UVOD• 1.3. Faze primjene OI - 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija Konstrukcija

modelamodela

Primjer 1.1.Primjer 1.1.Proizvodjač Proizvodjač AA proizvodi jedan proizvod čija je proizvodi jedan proizvod čija je

cijena cijena c1.c1.Za proizvodnju koristi mašinu čiji jeZa proizvodnju koristi mašinu čiji je

kapacitet kapacitet b1b1 sati nedjeljno. sati nedjeljno. Za obradu proizvoda Za obradu proizvoda P1P1 na mašini na mašini M1M1 potrebno je potrebno je

a11a11 sati (tehnološki normativ). sati (tehnološki normativ). Cilj je Cilj je maksimizirati prihodmaksimizirati prihod. . Treba odrediti Treba odrediti

broj proizvodabroj proizvoda ( (x1x1) koje treba proizvesti.) koje treba proizvesti. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan


modelamodela

Proizvođač Proizvođač može utjecatimože utjecati na to na to koliki koliki će će broj broj proizvodaproizvoda proizvesti ali proizvesti ali ne može utjecatine može utjecati na na cijenu proizvodacijenu proizvoda, , kapacitet mašinekapacitet mašine niti na niti na tehničke normativetehničke normative..

Napraviti Napraviti matematički modelmatematički model i predstaviti i predstaviti šematski šematski formalnuformalnu matematičku strukturumatematičku strukturu zadatka u skladu sa Sl. 1.1.zadatka u skladu sa Sl. 1.1.


1. UVOD1. UVOD1.3. Faze primjene OI - 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija Konstrukcija modelamodela

RješenjeRješenjeU matematičkom obliku problem se može napisati U matematičkom obliku problem se može napisati

na sljedeći način:na sljedeći način:Naći:Naći:

max Z = c1 x1max Z = c1 x1 pod uslovom:pod uslovom:

a11 x1 <= b1a11 x1 <= b1 iliili a11 x1 + N = b1a11 x1 + N = b1x1 >= 0x1 >= 0 x1, N >= 0x1, N >= 0

gdje je gdje je ZZ prihod a prihod a NN je neiskorišteni dio je neiskorišteni dio kapaciteta mašine.kapaciteta mašine. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan

1. UVOD1. UVOD1.3. Faze primjene OI - 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija modelaKonstrukcija modela

Formalna matematička strukturaFormalna matematička struktura se može šematski se može šematski predstaviti sljedećom slikom:predstaviti sljedećom slikom:


U L A Zvan kontrole upravljanja

c1,a11,b1

M O D E L Z = c1 x1 A11x1+N=b1 X1,N>=0

I Z L A Zrezultati koji nisu ciljevi

N

I Z L A Zrezultati koji su ciljevi

Z

U L A ZKontrolirani

X1

Sl. 1.2.


modelamodela

Ovaj zadatak je trivijalan i rezultat se može Ovaj zadatak je trivijalan i rezultat se može dobiti intuitivno. dobiti intuitivno.

Naime, jasno je da će najveći prihod biti Naime, jasno je da će najveći prihod biti kada se proizvodi kada se proizvodi što je moguće višešto je moguće više tj. tj. proizvođač bi trebao koristiti cjelokupan proizvođač bi trebao koristiti cjelokupan kapacitet mašine – kapacitet mašine – X1 = b1/a11. X1 = b1/a11.

\ ---------- \ ---------- šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan


modelamodela

Na kraju ove faze konstruira se Na kraju ove faze konstruira se

konkretni modelkonkretni model

kojim se uspostavljaju kojim se uspostavljaju

relacijerelacije među među promjenljivimpromjenljivim i i parametrimaparametrima

i definira i definira

kriterijkriterij na osnovu kojeg će se ocjenjivati na osnovu kojeg će se ocjenjivati

kvalitetkvalitet (efektivnost) (efektivnost) rješenjarješenja. . šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan

1. UVOD1. UVOD1.3. Faze primjene OI - 1.3. Faze primjene OI - Konstrukcija Konstrukcija modelamodela

Model, koji se sastoji od Model, koji se sastoji od

funkcije ciljafunkcije cilja (kriterij) čija se (kriterij) čija se

ekstremalnaekstremalna vrijednost traži i vrijednost traži i

skupa ograničenjaskupa ograničenja koja određuju koja određuju

dopustivi skup rješenjadopustivi skup rješenja

je najčešći oblik modela je najčešći oblik modela OIOI i naziva se i naziva se

matematički programmatematički program. .

Oblast Oblast OIOI koja se bavi ovom vrstom modela koja se bavi ovom vrstom modela naziva se naziva se matematičko programiranjematematičko programiranje..


1. UVOD1. UVOD1.3. Faze primjene OI – 1.3. Faze primjene OI – Nalaženje rješenjaNalaženje rješenja

Riješiti matematički model značiRiješiti matematički model znači

odrediti veličine upravljačkihodrediti veličine upravljačkih (kontrolabilnih) (kontrolabilnih) promjenljivihpromjenljivih i i veličine veličine nekontrolabilnih promjenljivih?nekontrolabilnih promjenljivih? za za zadane veličine parametarazadane veličine parametara. .

Pošto je u Pošto je u OI OI cilj naći cilj naći najboljenajbolje (optimalno) (optimalno) rješenje, potrebno je, znači, odrediti takve rješenje, potrebno je, znači, odrediti takve veličine upravljačkih promjenljivih koje veličine upravljačkih promjenljivih koje zadovoljavaju zadovoljavaju sva ograničenjasva ograničenja i koje i koje funkciji cilja daju funkciji cilja daju ekstremalnu vrijednostekstremalnu vrijednost. .



Da bi se to postiglo, potrebno naći ili razviti Da bi se to postiglo, potrebno naći ili razviti odgovarajuću (najčešće računarski odgovarajuću (najčešće računarski potpomognutu) potpomognutu) proceduruproceduru za rješavanje za rješavanje postavljenog modela. postavljenog modela.

Mada može izgledati da je to Mada može izgledati da je to glavna težinaglavna težina ukupnog zadatka, to najčešće nije slučaj. ukupnog zadatka, to najčešće nije slučaj. Ponekad je ova faza Ponekad je ova faza stvarno jednostavnastvarno jednostavna ako ako se problem može riješiti nekim od standardnih se problem može riješiti nekim od standardnih algoritama algoritama OIOI za koji postoji raspoloživ za koji postoji raspoloživ softverski paketsoftverski paket..

Najveći napori su u predhodnim i narednim Najveći napori su u predhodnim i narednim koracima u što je uključena i koracima u što je uključena i postoptimalna postoptimalna analizaanaliza o čemu će kasnije biti riječi o čemu će kasnije biti riječi.. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan

1. UVOD1. UVOD1.3. Faze primjene OI – 1.3. Faze primjene OI – Nalaženje Nalaženje rješenjarješenja

Za rješavanje matematičkih modela Za rješavanje matematičkih modela OIOI se mogu koristiti:se mogu koristiti:

•Metode Metode analitičkoganalitičkog rješavanjarješavanja

•Metode Metode numeričkognumeričkog rješavanja rješavanja

•Metode Metode simulacijesimulacije



Izračunati vrijednost zadanog integrala Izračunati vrijednost zadanog integrala koristeći analitički, numerički i simulacioni koristeći analitički, numerički i simulacioni pristup.pristup.

11

S S f(x) dx f(x) dx 00

gdje je podintegralna funkcija gdje je podintegralna funkcija f(x) = xf(x) = x šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan


Rješenje Rješenje

– analitičko rješenjeanalitičko rješenje

11 22 11

S S x dx = [x / 2] = 0,5 x dx = [x / 2] = 0,5 0 00 0



- numeričko rješenje- numeričko rješenje

Numeričko rješenje je uvjek Numeričko rješenje je uvjek približno rješenjepribližno rješenje

Posmatrani interval Posmatrani interval (0,1)(0,1) se može podijeliti na pet se može podijeliti na pet podintervala podintervala dužine dužine 0,20,2. Na granicama tih . Na granicama tih podintervala vrijednosti funkcije podintervala vrijednosti funkcije f(x) = xf(x) = x su redom: su redom: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.

Ako se ove vrijednosti pomnože sa dužinom podintervala i Ako se ove vrijednosti pomnože sa dužinom podintervala i saberu saberu površinepovršine tako dobijenih pravoguaonika tako dobijenih pravoguaonika dobiće se:dobiće se:0,2*0,2 + 0,2*0,4 + 0,2*0,6 + 0,2*08 + 0,2*1 = 0,60,2*0,2 + 0,2*0,4 + 0,2*0,6 + 0,2*08 + 0,2*1 = 0,6

Dobijena vrijednost Dobijena vrijednost 0,60,6 se se razlikujerazlikuje od tačne vrijednosti od tačne vrijednosti integrala.integrala. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan



Sl. 1.3.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x

f(x)


- numeričko rješenje- numeričko rješenje

Ako sada interval Ako sada interval (0,1)(0,1) podijelimo na deset podintervala podijelimo na deset podintervala dužine dužine 0,10,1 dobićemo deset vrijednosti funkcije. Ako dobićemo deset vrijednosti funkcije. Ako sad te vrijednosti pomnožimo sa dužinom sad te vrijednosti pomnožimo sa dužinom podintervala i izračunamo površinu dobićemo tačniju podintervala i izračunamo površinu dobićemo tačniju vrijednost vrijednost (0,55)(0,55)

Drugim rječima, Drugim rječima, smanjivanjem podintervala smanjivanjem podintervala povećavamo tačnostpovećavamo tačnost izrčunavanja. izrčunavanja. AAko bismo, ko bismo, teoretski, pustili da dužina podintervala teoretski, pustili da dužina podintervala teži nuliteži nuli, , broj vrijednosti funkcijebroj vrijednosti funkcije, koji bi se uzimao u račun, , koji bi se uzimao u račun, bi težio bi težio u beskonačnou beskonačno. Tada bismo dobili . Tada bismo dobili beskonačnu sumu beskonačno malih površinabeskonačnu sumu beskonačno malih površina (što u stvari predstavlja integral funkcije) i tačnu (što u stvari predstavlja integral funkcije) i tačnu vrijednost integralavrijednost integrala



- simulacijsko rješenje- simulacijsko rješenje

Formira se kvadrat sa stranicama dužine Formira se kvadrat sa stranicama dužine 11 i i smjesti u pravougli koorinatni sistem tako da smjesti u pravougli koorinatni sistem tako da mu vrhovi budu tačkama mu vrhovi budu tačkama (0,0), (1,0), (1,1), (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).(0,1). Funkcija Funkcija f(x) = xf(x) = x u intervalu u intervalu (0,1)(0,1) predstavljaće dijagonalu ovog kvadrata. predstavljaće dijagonalu ovog kvadrata. Zatim se generiraju slučajni brojevi iz Zatim se generiraju slučajni brojevi iz intervala intervala (0,1)(0,1) (metoda (metoda Monte-KarloMonte-Karlo). ). Pretpostavimo da svaka dva uzastopno Pretpostavimo da svaka dva uzastopno izabrana broja predstavljaju izabrana broja predstavljaju koordinate koordinate tačakatačaka u pravouglom koordinatnom sistemu. u pravouglom koordinatnom sistemu.



Sve će tačke, dakle, biti unutar ili na granici Sve će tačke, dakle, biti unutar ili na granici naprijed definiranog kvadrata. Međutim, naprijed definiranog kvadrata. Međutim, neke od tačaka će biti neke od tačaka će biti ispod dijagonaleispod dijagonale (funkcije (funkcije f(x))f(x)) a neke a neke iznadiznad. Odnos broja . Odnos broja tačaka tačaka ispod funkcijeispod funkcije i i ukupnog broja ukupnog broja tačakatačaka daje daje približnu vrijednostpribližnu vrijednost odnosa odnosa površina ispod funkcije (vrijednost površina ispod funkcije (vrijednost integrala) i površine kvadrata. Vrijednost će integrala) i površine kvadrata. Vrijednost će biti biti približnijapribližnija što je što je broj generiranih broj generiranih tačaka veći.tačaka veći. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan



x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Pint Nint

----- = -----

Pkv Nuk

Pkv = 1

Nint

Pint = -----

Nuk


U najvećem broju situacija cilj metoda U najvećem broju situacija cilj metoda OIOI je je naći naći najboljenajbolje, optimalno rješenje. , optimalno rješenje.

Međutim, prema Nobelovcu Herbertu Simonu, Međutim, prema Nobelovcu Herbertu Simonu, u u praktičnim problemima praktičnim problemima češće je cilj češće je cilj naći naći dovoljno dobrodovoljno dobro (engl. (engl. satisficingsatisficing što što je kombinacija riječi je kombinacija riječi satisfactory satisfactory i i optimizingoptimizing) nego optimalno rješenje. ) nego optimalno rješenje.

To prije svega zato, što često postoji To prije svega zato, što često postoji konfliktkonflikt između različitih željenih ciljeva – kriterija. između različitih željenih ciljeva – kriterija.



Efikasniji i realniji pristup je naći rješenje koje Efikasniji i realniji pristup je naći rješenje koje u u određenoj mjeriodređenoj mjeri zadovoljava sve zadovoljava sve postav-ljene kriterije (dovoljno dobro postav-ljene kriterije (dovoljno dobro rješenje).rješenje).

Razlika između Razlika između optimalnogoptimalnog i i dovoljno dovoljno dobrogdobrog je razlika između je razlika između teorijeteorije i i prakseprakse. . Jedan od vodećih Jedan od vodećih OI OI istraživača u Engleskoj istraživača u Engleskoj Samuel Eilon je rekao: Samuel Eilon je rekao: „Optimizacija je „Optimizacija je nauka krajnosti (ekstrema), dovoljno dobro nauka krajnosti (ekstrema), dovoljno dobro je umjetnost izvodljivog“.je umjetnost izvodljivog“. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan


U procesu izbora metoda za rješavanje, može se, U procesu izbora metoda za rješavanje, može se, dakle, primijeniti jedan od sljedeća dva pristupa:dakle, primijeniti jedan od sljedeća dva pristupa:

• Naći Naći optimalno rješenje uproštene verzije optimalno rješenje uproštene verzije problemaproblema

• Naći Naći približno rješenje tačnijegpribližno rješenje tačnijeg i i složenijeg složenijeg modelamodela razmatranog problema. razmatranog problema.

U praksi se pogodniji U praksi se pogodniji drugi pristupdrugi pristup jer, s jedne jer, s jedne strane, uproštavanja mogu dovesti u pitanje strane, uproštavanja mogu dovesti u pitanje validnostvalidnost modelamodela, dok s druge strane, zbog , dok s druge strane, zbog uvjek prisutne uvjek prisutne približnostipribližnosti u određivanjuu određivanju parametara modelaparametara modela

Naime, Naime, optimalno rješenje za model ne mora optimalno rješenje za model ne mora biti optimalno rješenje realnog problema.biti optimalno rješenje realnog problema.



Vrlo je korisna dodatna analiza u smislu Vrlo je korisna dodatna analiza u smislu šta – šta – akoako, tj. analiza , tj. analiza štašta će se desiti sa optimalnim će se desiti sa optimalnim rješenjem rješenjem akoako se se neke pretpostavke neke pretpostavke promijene.promijene.

Takva analiza se radi kada je Takva analiza se radi kada je većveć nađeno nađeno optimalnooptimalno rješenje modelarješenje modela i naziva se i naziva se postoptimalna analiza.postoptimalna analiza.

• U U postoptimalnu analizupostoptimalnu analizu je uključena i je uključena i senzitivna analizasenzitivna analiza u okviru koje se u okviru koje se pronalaze parametri koji su pronalaze parametri koji su najkritičnijinajkritičniji za za nađeno optimalno rješenje – „nađeno optimalno rješenje – „senzitivni senzitivni parametriparametri““. . šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan


Uobičajen definicija senzitivih parametara je sljedeća:Uobičajen definicija senzitivih parametara je sljedeća:

„„Za matematički model, koji ima specificirane Za matematički model, koji ima specificirane vrijednosti za sve parametre, senzitivni prametri vrijednosti za sve parametre, senzitivni prametri modela su parametri koji se ne mogu promijeniti a modela su parametri koji se ne mogu promijeniti a da se ne promjeni optimalno rješenje“da se ne promjeni optimalno rješenje“

IdentificiranjeIdentificiranje senzitivnih parametara je vrlo bitno.senzitivnih parametara je vrlo bitno.

Greške u procjeni vrijednosti senzitivnih parametra Greške u procjeni vrijednosti senzitivnih parametra mogu dovesti do mogu dovesti do suštinski pogrešnih rješenjasuštinski pogrešnih rješenja..

Također, ako u fazi korištenja modela dođe Također, ako u fazi korištenja modela dođe promjene vrijednosti senzitivnog parametrapromjene vrijednosti senzitivnog parametra onda je to siguran znak da treba onda je to siguran znak da treba mijenjati mijenjati rješenjerješenje..


1. UVOD1. UVOD1.3. Faze primjene OI – 1.3. Faze primjene OI – Testiranje Testiranje modela i rješenjamodela i rješenja

Razvoj Razvoj složenog matematičkog modelasloženog matematičkog modela je je u određenom smislu u određenom smislu sličan razvoju sličan razvoju složenog računarskog programasloženog računarskog programa. . Naime, prva verzija računarskog Naime, prva verzija računarskog programa uvjek ima određeni broj programa uvjek ima određeni broj grešakagrešaka.. Testiranjem se greške Testiranjem se greške otkrivajuotkrivaju i i popravljajupopravljaju.. Bez obzira što Bez obzira što neke sitnije greške neće biti otkrivene u neke sitnije greške neće biti otkrivene u procesu testiranja, procesu testiranja, bitne greškebitne greške će se će se otkritiotkriti i zadovoljavajuće i zadovoljavajuće popravitipopraviti i tada i tada će program biti spreman će program biti spreman za realnu za realnu upotrebuupotrebu.. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan


Slično, prva verzija Slično, prva verzija složenogsloženog matematičkog modelamatematičkog modela sadrži mnogo sadrži mnogo nedostatakanedostataka. Neki bitni . Neki bitni faktorifaktori i/ili i/ili međuvezemeđuveze mogu biti zanemareni, a mogu biti zanemareni, a neki neki parametriparametri mogu biti pogrešno mogu biti pogrešno procijenjeni. Kroz proces testiranja procijenjeni. Kroz proces testiranja nastoje se nastoje se otklonitiotkloniti svi svi bitni bitni nedostacinedostaci modela. modela.


1. UVOD1. UVOD1.3. Faze primjene OI – 1.3. Faze primjene OI – Testiranje modela i Testiranje modela i rješenjarješenja

Taj proces Taj proces testiranjatestiranja i i poboljšanjapoboljšanja modela se modela se naziva naziva validacija modelavalidacija modela ( (model validationmodel validation).).

Vrlo je teško preciznije definirati Vrlo je teško preciznije definirati pravila za pravila za validacijuvalidaciju modela jer taj proces dominantno modela jer taj proces dominantno zavisi od zavisi od prirode problemaprirode problema koji se modelira. koji se modelira. Međutim, postoje neki postupci koji uvjek Međutim, postoje neki postupci koji uvjek pomažu u ovom procesu kao na pr. provjera da pomažu u ovom procesu kao na pr. provjera da li su u svim matematskim izrazima li su u svim matematskim izrazima konzistentno korištene jedinice mjerakonzistentno korištene jedinice mjera, , zatim da li se sa promjenama vrijednosti zatim da li se sa promjenama vrijednosti upravljačkih promjenljivih upravljačkih promjenljivih izlazne vrijednostiizlazne vrijednosti modela modela mijenjaju na prihvatljiv načinmijenjaju na prihvatljiv način i slično. i slično. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan


Sistematičniji je pristup je korištenje Sistematičniji je pristup je korištenje retrospektivnog testaretrospektivnog testa. Naime, kada . Naime, kada je to izvodivo, koriste se je to izvodivo, koriste se historijski historijski podacipodaci i provjerava da li model daje i provjerava da li model daje iste rezultateiste rezultate kao što se to dešavalo u kao što se to dešavalo u prošlosti. Nedostatak retrospektivnog prošlosti. Nedostatak retrospektivnog testa je u tom što testa je u tom što historije ne mora historije ne mora uvjek biti stvarni reprezent uvjek biti stvarni reprezent budućnostibudućnosti


1. UVOD1. UVOD1.3. Faze primjene OI – 1.3. Faze primjene OI – Priprema Priprema modela za korištenjemodela za korištenje

Kada je završeno testiranKada je završeno testiranje modela, je modela, sljedeći korak je instaliranje sljedeći korak je instaliranje dobro dobro dokumentiranog sistema za dokumentiranog sistema za primjenu modela prema uputstvima primjenu modela prema uputstvima menadžmenta. Taj sistem uključuje menadžmenta. Taj sistem uključuje model, proceduru za dobijanjemodel, proceduru za dobijanje rješenjarješenja (uključujući (uključujući postoptimalnu postoptimalnu analizuanalizu) i ) i operativne procedureoperativne procedure za za implementaciju. implementaciju.



U ovoj se fazi ispituju i U ovoj se fazi ispituju i uvjeti pod kojim uvjeti pod kojim vrijedi dobijeno rješenjevrijedi dobijeno rješenje.. Ako se Ako se mijenjaju parametrimijenjaju parametri modela (veličine modela (veličine na koje se ne može utjecati) ili se na koje se ne može utjecati) ili se mijenjaju mijenjaju odnosi izmeđuodnosi između veličinaveličina (relacije), može se desiti da se mijenja i (relacije), može se desiti da se mijenja i optimalno rješenje.optimalno rješenje.



Mogu se postaviti dva pitanja:Mogu se postaviti dva pitanja:

• Da li važe Da li važe pretpostavke o veličini pretpostavke o veličini parametaraparametara

• Koliko je optimalno rješenje Koliko je optimalno rješenje osjetljivo osjetljivo na promjene parametarana promjene parametara ili ili izmjenu izmjenu relacijarelacija u modelu. u modelu.



Da bi se imala kontrola nad rješenjem Da bi se imala kontrola nad rješenjem moraju se razviti moraju se razviti

metode za ustanovljavanje značajnih metode za ustanovljavanje značajnih promjena parametarapromjena parametara, ,

kao i kao i

pravila za modifikaciju rješenjapravila za modifikaciju rješenja

u tim slučajevima.u tim slučajevima.



Sistem je u pravilu Sistem je u pravilu računarski realiziranračunarski realiziran i i može sadržavati veći broj računarskih može sadržavati veći broj računarskih programa.programa.

Baze podatakaBaze podataka i i upravljački informacioni upravljački informacioni sistemisistemi mogu osiguravati mogu osiguravati ažurne ulazeažurne ulaze za model i u tom slučaju su potrebni za model i u tom slučaju su potrebni programi za interfejsprogrami za interfejs (interface). Poslije (interface). Poslije korištenja programa za dobijanje rješenja, korištenja programa za dobijanje rješenja, dodatni programi mogu dodatni programi mogu automski automski implementirati dobijene rezultateimplementirati dobijene rezultate. . šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan


U drugom slučaju, koristi se U drugom slučaju, koristi se interaktivni interaktivni računarski podržan sistem - računarski podržan sistem - Sistem za Sistem za podr-šku odlučivanjupodr-šku odlučivanju ( (Decision Decision Support SystemSupport System – – DSSDSS). ).

Drugi programi mogu generirati Drugi programi mogu generirati »upravljačke izvještaje«»upravljačke izvještaje« kako bi kako bi interpretirali izlaze iz modela i interpretirali izlaze iz modela i implikacije koje rezulati izraču-navanja implikacije koje rezulati izraču-navanja predviđaju.predviđaju.


1. UVOD1. UVOD1.3. Faze primjene OI – 1.3. Faze primjene OI – ImplementacijaImplementacija

Posljednja faza Posljednja faza OIOI studije je njegova studije je njegova imlementacija, tj. imlementacija, tj. ostvarivanjeostvarivanje efekata iz znanjaefekata iz znanja koja su ugrađena u koja su ugrađena u kompletno rješenje. Vrlo je bitno da kompletno rješenje. Vrlo je bitno da OIOI tim učestvuje u tim učestvuje u početnoj fazipočetnoj fazi implementacije da bi se utvrdilo da li je implementacije da bi se utvrdilo da li je sistem sistem operativno upotrebljivoperativno upotrebljiv i da i da provjeri da li su sve bitne greške provjeri da li su sve bitne greške otklonjene.otklonjene.



Metode operacionih istrazivanja su, u Metode operacionih istrazivanja su, u pravilu, pravilu, orjentirane na konkretnu orjentirane na konkretnu upotrebuupotrebu. .

Nažalost, daleko je veći broj optimalnih Nažalost, daleko je veći broj optimalnih rješenja, koja su rješenja, koja su dobijena na papirudobijena na papiru, , od onih koji su praktično primjenjena.od onih koji su praktično primjenjena.



Primjena rješenja zahtijeva od operacionih Primjena rješenja zahtijeva od operacionih istraživača istraživača posebnu vještinu komuniciranja posebnu vještinu komuniciranja sa korisnicimasa korisnicima. Potrebno je motivirati i . Potrebno je motivirati i rukovodioce i izvršioce da primjene predložena rukovodioce i izvršioce da primjene predložena rješenja. Problemi u primjeni se mogu svrstati u rješenja. Problemi u primjeni se mogu svrstati u dvije velike grupe:dvije velike grupe:

• RukovodiociRukovodioci i i izvršiociizvršioci nećeneće ili ili nisu sposobninisu sposobni da prihvate i sprovedu predloženo rješenje.da prihvate i sprovedu predloženo rješenje.

• Tim operacionih istraživačaTim operacionih istraživača nije dovoljno nije dovoljno osposobljenosposobljen da rukovodiocima i izvršiocima, na da rukovodiocima i izvršiocima, na pravilan način, obrazloži rezultate istraživanja i pravilan način, obrazloži rezultate istraživanja i način njihog korištenja.način njihog korištenja.



Jedno istraživanje Jedno istraživanje osnovnih problemaosnovnih problema u primjeniu primjeni operacionih operacionih istraživanja dalo je slijedeće rezultate:istraživanja dalo je slijedeće rezultate:

• Teškoće plasiranjaTeškoće plasiranja metoda operacionih istrazivanja na tržištu metoda operacionih istrazivanja na tržištu intelektualnih usluga.intelektualnih usluga.

• Nedostaci u obrazovanjuNedostaci u obrazovanju visokih i srednjih rukovodilaca i visokih i srednjih rukovodilaca i nemogućnost da prihvate metode operacionih istraživanjanemogućnost da prihvate metode operacionih istraživanja

• NedostatakNedostatak odgovarajućih odgovarajućih podatakapodataka za primjenu modela.za primjenu modela.• Nedostatak vremena za analizuNedostatak vremena za analizu problema na naučnoj osnovi problema na naučnoj osnovi• Nesposobnost korisnikaNesposobnost korisnika da razumije metode i rezultate da razumije metode i rezultate• Teskoće u definiranju problemaTeskoće u definiranju problema iz (poslovne) prakse iz (poslovne) prakse• Zadovoljavajući kvalitet rezultata dobijenih uobičajenim Zadovoljavajući kvalitet rezultata dobijenih uobičajenim

metodamametodama, bez primjene nauke o poslovnom upravljanju, bez primjene nauke o poslovnom upravljanju• Nedovoljan broj OI istrazivačaNedovoljan broj OI istrazivača• Loša reputacija naučnika istraživačaLoša reputacija naučnika istraživača u rješavanju praktičnih u rješavanju praktičnih

problemaproblema• Osjećaj strahaOsjećaj straha kod pojedinih rukovodilaca kod pojedinih rukovodilaca



Najdelikatnije faze operacionih Najdelikatnije faze operacionih istrazivanja nisu predmet istrazivanja nisu predmet predavanja na univerzitetskim predavanja na univerzitetskim kursevimakursevima. .

Kao što se plivanje moze učiti jedino u vodi, Kao što se plivanje moze učiti jedino u vodi, da bi neko bio da bi neko bio učitelj plivanja mora učitelj plivanja mora najmanje znati plivati. najmanje znati plivati.



Tako je za rješavanje složenih zadataka iz Tako je za rješavanje složenih zadataka iz prakse potrebno, prakse potrebno, pored poznavanja pored poznavanja metodametoda i i modelamodela operacionih operacionih istrazivanja, istrazivanja, razumjevanja teorijskih razumjevanja teorijskih osnovaosnova na koje se ovi modeli oslanjaju, na koje se ovi modeli oslanjaju,

imati i praktična iskustva koja se imati i praktična iskustva koja se jedino mogu steći kroz praktične jedino mogu steći kroz praktične primjene ovih metoda i modela.primjene ovih metoda i modela.



Jer,Jer, OIOI istraživač mora znati istraživač mora znati identificirati identificirati problemeprobleme koje koje OIOI metode metode mogu mogu riješitiriješiti, mora znati kako , mora znati kako struktuirati struktuirati problemproblem u neki od u neki od standardnih standardnih matematičkih modelamatematičkih modela i, na kraju, i, na kraju, mora znati kako mora znati kako primijenitiprimijeniti ili ili razviti razviti računarske alateračunarske alate da bi da bi našao našao rješenja problemarješenja problema. .


2. MATEMATIČKO 2. MATEMATIČKO PROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJE

Skup problema opisanih Skup problema opisanih matematičkim matematičkim jezikom, kod kojih je zadatak naći jezikom, kod kojih je zadatak naći ekstremekstrem neke neke funkcijefunkcije uz uz zadana zadana ograničenjaograničenja, naziva se problemima , naziva se problemima (zadacima) (zadacima) matematičkog matematičkog programiranjaprogramiranja ( (MPMP)). .



Vrlo je važno razlikovati značenje riječi Vrlo je važno razlikovati značenje riječi „programiranje“„programiranje“ u ovom kontekstu od u ovom kontekstu od njenog značenja u njenog značenja u računarskom računarskom programiranjuprogramiranju. .

Ovdje programiranje treba shvatiti kao Ovdje programiranje treba shvatiti kao planiranjeplaniranje, tj. kao , tj. kao postupakpostupak koji nam koji nam pomaže da dođemo pomaže da dođemo do određenog ciljado određenog cilja, , to je to je procedura traprocedura tražženjaenja takvih vrednosti takvih vrednosti promenljivihpromenljivih u zadatku u zadatku koje koje istovremeno istovremeno zadovoljavaju ogranizadovoljavaju ograniččenjaenja i i daju daju funkciji cilja optimalnu vrijednostfunkciji cilja optimalnu vrijednost. U . U drugom slučaju, to znači drugom slučaju, to znači pisanje koda,pisanje koda, niza instrukcijaniza instrukcija koje računar treba da koje računar treba da obavi.obavi. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan


MPMP istovremeno pripada istovremeno pripada MatematiciMatematici, , Operacionim istraživanjimaOperacionim istraživanjima, , Teoriji Teoriji upravljanjaupravljanja, , Sistemskoj analiziSistemskoj analizi i i drugim drugim tehnitehniččkim naukama i disciplinamakim naukama i disciplinama, , a po a po znaznaččaju i obimu koriaju i obimu korišćšćenjaenja, , svakako je svakako je jedan od najznajedan od najznaččajnijih alata ajnijih alata ukupne nauke i tehnikeukupne nauke i tehnike..



Klasični matematički pristupi, koji se koriste za Klasični matematički pristupi, koji se koriste za nalaženje ekstrema funkcija pod ograničenjima nalaženje ekstrema funkcija pod ograničenjima (metod (metod LagrangeLagrange-a, metod -a, metod Kuhn-TuckerKuhn-Tucker-a), -a), nisu pogodni za rješavanje zadataka nisu pogodni za rješavanje zadataka MPMP, jer su , jer su ovi zadaci u pravilu ovi zadaci u pravilu vrlo složenivrlo složeni sa velikim sa velikim brojem brojem promjenljivihpromjenljivih i velikim brojem i velikim brojem ograničenjaograničenja, koja su najčešće u obliku , koja su najčešće u obliku nejednačinanejednačina. .

Zato je razvijena Zato je razvijena posebna teorijaposebna teorija i izgrađeno je i izgrađeno je niz metodaniz metoda pomoću kojih su se rješavali ovi pomoću kojih su se rješavali ovi zadaci. Ove metode su uglavnom razvijene pod zadaci. Ove metode su uglavnom razvijene pod predpostavkom da će biti relizirane uz predpostavkom da će biti relizirane uz pomoć pomoć računara.računara. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan


Postoji više Postoji više klasifikacijaklasifikacija problema problema MPMP, ali je , ali je najčešća podjela na najčešća podjela na Linearno programiranjeLinearno programiranje ((LPLP) ) i i Nelinearno programranjeNelinearno programranje ( (NLPNLP). ). Međutim, susreće se i podjele problema naMeđutim, susreće se i podjele problema na neprekidneneprekidne i i diskretnediskretne, , determinističkedeterminističke i i stohastičkestohastičke, , jednokriterijskejednokriterijske i i višekriterijskevišekriterijske. .

Posebnu klasu Posebnu klasu MPMP ččini ini dinamidinamiččko programiranjeko programiranje ((DPDP) ) koje rjekoje rješšava problemeava probleme ( (optimalnogoptimalnog) ) sekvencijalnog odlusekvencijalnog odluččivanjaivanja. . Sve navedene Sve navedene klase imaju svoje podklaseklase imaju svoje podklase, , aa š širok spektar irok spektar algoritama u svakom od ovihalgoritama u svakom od ovih ' 'segmenatasegmenata' ' MPMP jojoš š uvjek seuvjek se š širiiri.. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan


Posebno interesantan skup problema, u Posebno interesantan skup problema, u MPMP, su problemi , su problemi konveksnog konveksnog programiranjaprogramiranja ( (KPKP) kod kojeg je ) kod kojeg je potrebno potrebno maksimizirati konkavnumaksimizirati konkavnu ((minimizirati konveksnuminimizirati konveksnu) funkciju na ) funkciju na konveksnomkonveksnom skupu. Ovaj tip problema skupu. Ovaj tip problema MPMP je zanimljiv jer spada u tzv. je zanimljiv jer spada u tzv. jednoekstremalne zadatkejednoekstremalne zadatke..

Također je zanimljivo rješavanje problema Također je zanimljivo rješavanje problema bez ograničenjabez ograničenja jer postoje pristupi jer postoje pristupi kojima se kojima se problemi sa ograničenjima problemi sa ograničenjima svode na probleme bez ograničenjasvode na probleme bez ograničenja..



2.1. Opća forma problema 2.1. Opća forma problema Matematičkog programiranjaMatematičkog programiranja

Opća forma problema matematičkog Opća forma problema matematičkog programiranja zadana je u sljedećem programiranja zadana je u sljedećem obliku:obliku:

Optimizirati Z = f(Optimizirati Z = f(xx)) (2.1)(2.1)

uz ograničenja uz ograničenja

xx MM (2.2)(2.2)

gdje je gdje je xx = (x1, x2, ..., xn) = (x1, x2, ..., xn) Rn Rn vektor kolona, vektor kolona, MM je skup iz Euklidskog prostora je skup iz Euklidskog prostora R na nR na n, a , a f(f(xx)) je opća (realna) funkcija vektora je opća (realna) funkcija vektora xx. . šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan



Ograničenje (2.2) je najčešće zadano u Ograničenje (2.2) je najčešće zadano u obliku jednačina i/ili nejednačina:obliku jednačina i/ili nejednačina:

gi(gi(xx) <= 0, i = 1, 2, ..., m) <= 0, i = 1, 2, ..., m (2.3)(2.3)

hj(hj(xx) = 0, j = 1, 2, ..., n) = 0, j = 1, 2, ..., n

gdje su gdje su g(g(xx)) i i h(h(xx)) realne funkcije vektora realne funkcije vektora xx..



2.1. Opća forma problema Matematičkog 2.1. Opća forma problema Matematičkog programiranjaprogramiranja

Pošto je min Pošto je min f(f(xx) = max (- f() = max (- f(xx)),)), svaki svaki problem problem traženja minimumatraženja minimuma može biti može biti prevedenpreveden u u problem traženja maksimumaproblem traženja maksimuma, zatim, , zatim, pošto se svako pošto se svako ograničenja u obliku ograničenja u obliku jednačinejednačine, može , može prevesti prevesti u u dva dva ograničenja u obliku nejednačinaograničenja u obliku nejednačina – – h(h(xx) = ) = 00 možemo zamijeniti parom nejednačina možemo zamijeniti parom nejednačina h(h(xx) ) <= 0<= 0 i i h(h(xx) >= 0) >= 0 – i pošto, u najvećem broj – i pošto, u najvećem broj slučajeva, slučajeva, promjenljivepromjenljive predstavljaju predstavljaju razne razne vrste resursavrste resursa ( (ljudi, mašine, novac,ljudi, mašine, novac, ...) koji ...) koji ne mogu biti negativnine mogu biti negativni, bez umanjenja , bez umanjenja opštosti, problem opštosti, problem MPMP možemo napisati u možemo napisati u obliku:obliku: šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan



MaxMax Z = f( Z = f(xx)) (2.4)(2.4)

uz uz ograničenja ograničenja

gi(gi(xx) <= 0, i = 1, 2, ..., m) <= 0, i = 1, 2, ..., m (2.5)(2.5)

xx >= 0 >= 0

Zadatak je, dakle, Zadatak je, dakle, naći vektornaći vektor kolonukolonu x*x* tako da tako da maksimiziramaksimizira funkciju ciljafunkciju cilja (2.4) uz zadovoljenje (2.4) uz zadovoljenje ograničenjaograničenja (2.5). (2.5).




U terminilogiji U terminilogiji OIOI svaki vektor svaki vektor xx predstavlja predstavlja rješenje problema matematičkog rješenje problema matematičkog programiranjaprogramiranja..

Vektori Vektori xx koji se nalaze u dopustivom prostoru su koji se nalaze u dopustivom prostoru su dopustiva rješenjadopustiva rješenja, a dopustivo rješenje koje , a dopustivo rješenje koje daje daje optimalnu vrijednost funkciji ciljaoptimalnu vrijednost funkciji cilja je je optimalno rješenjeoptimalno rješenje..

Može se, dakle, reći da se Može se, dakle, reći da se MPMP bavi bavi izučavanjem izučavanjem problema oblikaproblema oblika (2.4), (2.5) i (2.4), (2.5) i metodamametodama za za njihovo rješavanjenjihovo rješavanje uz uz različite uvjeterazličite uvjete koji koji se postavljaju na se postavljaju na funkcije funkcije ff i i gg.. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan



Ako pretpostavimo postoji takvo Ako pretpostavimo postoji takvo xx* * M M, (koje zadovoljava , (koje zadovoljava ograničenja (2.4)) da je ograničenja (2.4)) da je

f(f(xx*) > = f(*) > = f(xx), V), Vxx M M (2.6)(2.6)

onda kažemo da je onda kažemo da je xx** tačka tačka globalnog (apsolutnog) globalnog (apsolutnog) maksimumamaksimuma funkcije funkcije ff na skupu na skupu MM, dok je , dok je f* = f(f* = f(xx*)*) vrijednost globalnogvrijednost globalnog (apsolutnog) (apsolutnog) maksimumamaksimuma funkcijefunkcije f f na skupu na skupu M.M. Ako je u relaciji (2.6) znak Ako je u relaciji (2.6) znak nejednakosti nejednakosti < < za za xx M i M i xx # # xx*,*, onda kažemo da je onda kažemo da je xx** tačka tačka strogog strogog (izolira-nog) (izolira-nog) globalnogglobalnog (apsolutnog) (apsolutnog) maksimumamaksimuma funkcije funkcije ff na skupu na skupu MM, dok je , dok je f* = f(f* = f(xx*)*) vrijednost vrijednost strogog (izoliranog) globalnog (apsolutnog) strogog (izoliranog) globalnog (apsolutnog) maksimuma funkcije maksimuma funkcije f f na skupu na skupu M.M.

Na sličan način definiraju se i ostali tipovi ekstrema funkcije Na sličan način definiraju se i ostali tipovi ekstrema funkcije cilja.cilja. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan



Skup problema Skup problema MPMP, kod kojeg je potrebno , kod kojeg je potrebno maksimizirati konkavnumaksimizirati konkavnu (minimizirati (minimizirati konveksnu) funkciju na konveksnu) funkciju na konveksnom skupukonveksnom skupu, , naziva se problemima naziva se problemima konveksnog konveksnog programiranjaprogramiranja ( (KPKP).).

Ovaj skup problema Ovaj skup problema MPMP je zanimljiv jer spada u je zanimljiv jer spada u tzv. tzv. jednoekstremalne zadatkejednoekstremalne zadatke. To znači, . To znači, da je dovoljno za neku tačku dokazati da da je dovoljno za neku tačku dokazati da predstavlja tačku predstavlja tačku lokalnog maksimumalokalnog maksimuma (minimuma), pa da time bude dokazano da je (minimuma), pa da time bude dokazano da je ta tačka ujedno i tačka ta tačka ujedno i tačka globalnog globalnog maksimumamaksimuma (minimuma). Na ovaj način je (minimuma). Na ovaj način je izbjegnut težak zadatak nalaženja globalnog izbjegnut težak zadatak nalaženja globalnog ekstrema.ekstrema.




Opći oblik problema Opći oblik problema KPKP je: je:

Max f(Max f(xx)) (2.8)(2.8)

uz ograničenjauz ograničenja

gi(gi(xx) <= 0, i = 1, 2, ..., m) <= 0, i = 1, 2, ..., m (2.9)(2.9)

kod koga je kod koga je funkcija ciljafunkcija cilja f: R**n -> Rf: R**n -> R konkavna funkcijakonkavna funkcija i i

funkcije ograničenjafunkcije ograničenja gi: R**n -> R, i = 1, gi: R**n -> R, i = 1, 2, ..., m2, ..., m su su konveksne funkcijekonveksne funkcije..




Za Za konveksne zadaćekonveksne zadaće vrijedi: vrijedi:

• Svaki lokalni ekstremSvaki lokalni ekstrem na na M M (dopustivi (dopustivi prostor) je prostor) je ujednoujedno ii globalniglobalni

• Ako je M Ako je M neprazanneprazan i i ograničenograničen onda onda zadaća ima zadaća ima barem jedno rješenjebarem jedno rješenje

• Ako je Ako je ff strogo konveksna funkcijastrogo konveksna funkcija onda zadaća može imati onda zadaća može imati najviše jedno najviše jedno rješenjerješenje




Za skup Za skup C C R**n R**n kažemo da je kažemo da je konveksankonveksan ako ako za bilo koje dvije tačkeza bilo koje dvije tačke x1x1 i i x2x2, , koje se nalaze u skupu koje se nalaze u skupu CC, vrijedi da se u , vrijedi da se u skupu skupu CC nalazi i nalazi i dužduž koja ih spaja, tj. koja ih spaja, tj. ako važi:ako važi:

x1 + (1-x1 + (1-) x2 ) x2 C C

za svako za svako x1x1, , x2x2 C C i za svako i za svako [0,1].[0,1].




Skup je Konveksan Skup nije Konveksan

Sl. 2.1.



Za funkciju Za funkciju f:R**n -> Rf:R**n -> R kažemo da je kažemo da je konveksnakonveksna na konveksnom skupu na konveksnom skupu CC ako vrijedi:ako vrijedi:

f(l x1 + (1-l) x2) <= l f(x1) + (1-l) f(x2)f(l x1 + (1-l) x2) <= l f(x1) + (1-l) f(x2)

za svako za svako x1x1, , x2 x2 C C i za svako i za svako [0,1].[0,1].

Pojednostavljeno rečeno, to znači, da su Pojednostavljeno rečeno, to znači, da su sve tačke dužisve tačke duži, koja spaja bilo koje , koja spaja bilo koje dvije tačke funkcije, dvije tačke funkcije, viševiše ili ili jednakejednake od od odgovarajućih tačaka funkcije odgovarajućih tačaka funkcije ff (Sl. (Sl. 2.2.). 2.2.). šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan



Za funkciju Za funkciju f:R**n -> Rf:R**n -> R kažemo da je kažemo da je konveksnakonveksna na konveksnom skupu na konveksnom skupu CC ako vrijedi:ako vrijedi:

f(l x1 + (1-l) x2) <= l f(x1) + (1-l) f(x2)f(l x1 + (1-l) x2) <= l f(x1) + (1-l) f(x2)

za svako za svako x1x1, , x2 x2 C C i za svako i za svako [0,1].[0,1].

Pojednostavljeno rečeno, to znači, da su Pojednostavljeno rečeno, to znači, da su sve tačke dužisve tačke duži, koja spaja bilo koje , koja spaja bilo koje dvije tačke funkcije, dvije tačke funkcije, viševiše ili ili jednakejednake od od odgovarajućih tačaka funkcije odgovarajućih tačaka funkcije ff (Sl. (Sl. 2.2.). 2.2.). šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan



Sl. 2.2.

f(x1) + (1-) f(x2)

f( x1 + (1-) x2)

Grafik funkcije je ispod grafika sječice

x1 x2


Neki oblici konveksnih funkcija dati su na Neki oblici konveksnih funkcija dati su na Sl. 2.3.Sl. 2.3.


Sl. 2.3.



Za funkciju Za funkciju f:R**n -> Rf:R**n -> R kažemo da je kažemo da je strogo konveksnastrogo konveksna na konveksnom na konveksnom skupu skupu CC ako vrijedi: ako vrijedi:

f(f( x1 + (1- x1 + (1-) x2) < ) x2) < f(x1) + (1- f(x1) + (1-) f(x2)) f(x2)

za svako za svako x1x1, , x2x2 C C, , x1 # x2x1 # x2 i za svako i za svako ((0,1).0,1). Slučajevi Slučajevi xxxx, , = 0 i = 0 i = 1 = 1 su isključeni jer tada važi jednakost.su isključeni jer tada važi jednakost.




Iz predhodnih definicija je jednostavno je Iz predhodnih definicija je jednostavno je zaključiti da je zaključiti da je linearna funkcija linearna funkcija koveksnakoveksna ali da ali da nije strogo nije strogo konveksnakonveksna..

Također, ako je funkcija Također, ako je funkcija ff konveksnakonveksna ((strogo konveksnastrogo konveksna), onda je funkcija ), onda je funkcija – – ff konkavnakonkavna ((strogo konkavnastrogo konkavna). ). Vrijedi i obrnuto.Vrijedi i obrnuto.




Ako je funkcija Ako je funkcija ff diferencijabilnadiferencijabilna, , konveksnost funkcije se može definirati na konveksnost funkcije se može definirati na sljedeći način:sljedeći način:

Fukncija Fukncija ff, diferencijabilna na skupu , diferencijabilna na skupu C,C, je je konveksna ako i samo ako važi:konveksna ako i samo ako važi:

f’(x1) (x2 – x1) <= f(x2) – f(x1)f’(x1) (x2 – x1) <= f(x2) – f(x1)za svako za svako x1x1, , x2 x2 C C..Slično se može definirati Slično se može definirati stroga stroga

konveksnostkonveksnost. Naime ako u gornjoj relaciji . Naime ako u gornjoj relaciji znak znak <=<= zamjenimo znakom zamjenimo znakom << dobićemo dobićemo uvjet za strogu konveksnost funkcije fuvjet za strogu konveksnost funkcije f..




Sl. 2.4.

f(x2) – f(x1)f '(x1) (x2 – x1)

x1 x2



Ustanovljavanje konveksnostiUstanovljavanje konveksnosti (konkavnosti) funkcije (konkavnosti) funkcije ff na osnovu na osnovu gornjih relacija gornjih relacija nije jednostavnonije jednostavno. Ako . Ako je funkcija je funkcija ff dva puta diferencijabilnadva puta diferencijabilna tada se konveksnost (konkavnost) može tada se konveksnost (konkavnost) može ustanoviti na osnovu ustanoviti na osnovu matrice drugih matrice drugih izvodaizvoda funkcije funkcije ff. Naime, ako je . Naime, ako je nabla**2 f(x)nabla**2 f(x) pozitivno (negativno) pozitivno (negativno) semidefinitna matricasemidefinitna matrica za svako za svako x x C C, , tada je tada je ff konveksna (konkavna) na konveksna (konkavna) na CC..




Pozitivnu (negativnu) Pozitivnu (negativnu) semidefinitnostsemidefinitnost je je moguće ustanoviti (kod velikih matrica moguće ustanoviti (kod velikih matrica to iziskuje prilično računanje) to iziskuje prilično računanje) ispitivanjem znakova svih minora ispitivanjem znakova svih minora simetričnih u odnosu na glavnu simetričnih u odnosu na glavnu dijagonaludijagonalu, to se ovi dovoljni uslovi , to se ovi dovoljni uslovi mogu ustanoviti.mogu ustanoviti.




Navešćemo nekoliko primjera kroz koje Navešćemo nekoliko primjera kroz koje ćemo prikazati ćemo prikazati osnovne osobenostiosnovne osobenosti zadataka zadataka traženja ekstrema uz traženja ekstrema uz ograničenjaograničenja. Zadaci su . Zadaci su jednostavnijednostavni i i riješeni su uglavnom riješeni su uglavnom grafičkigrafički, koristeći , koristeći geometrijska razmatranja.geometrijska razmatranja.




Primjer 2.1.Primjer 2.1.

Naći :Naći :

Min Z = Min f(x1, x2) = (x1 – 8)**2 + Min Z = Min f(x1, x2) = (x1 – 8)**2 + (x2 – 6)**2(x2 – 6)**2


g1(x1,x2) = 3 x1 + 6 x2 – 48 <= 0g1(x1,x2) = 3 x1 + 6 x2 – 48 <= 0

g2(x1,x2) = x1 + x2 – 10 <= 0g2(x1,x2) = x1 + x2 – 10 <= 0

g3(x1,x2) = 7 x1 + 2 x2 – 56 <= 0g3(x1,x2) = 7 x1 + 2 x2 – 56 <= 0

x1 >= 0, x2 >= 0x1 >= 0, x2 >= 0 šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan



RješenjeRješenje

Dopustivi prostorDopustivi prostor, , tj. tj. skup mogućih skup mogućih rješenjarješenja, formira pet ograničenja - , formira pet ograničenja - nejedačina. Svaka nejednačina dijeli nejedačina. Svaka nejednačina dijeli x1,x2 – ravan na dva x1,x2 – ravan na dva poluprostorapoluprostora od od kojih je jedan kojih je jedan dopustivdopustiv a drugi a drugi nedopustivnedopustiv. Granice dopustivih . Granice dopustivih poluprostora su:poluprostora su:




• koordinatne osekoordinatne ose, zbog pozitivnosti , zbog pozitivnosti promjenljivih dopustivi prostor se nalazi promjenljivih dopustivi prostor se nalazi u u prvom kvadrantuprvom kvadrantu

• pravacpravac 3 x1 + 6 x2 – 48 = 03 x1 + 6 x2 – 48 = 0, dopustivi , dopustivi poluprostor je ispod ovog pravca poluprostor je ispod ovog pravca

• pravacpravac x1 + x2 – 10 = 0x1 + x2 – 10 = 0, dopustivi , dopustivi poluprostor je ispod ovog pravcapoluprostor je ispod ovog pravca

• pravacpravac 7 x1 + 2 x2 – 56 = 07 x1 + 2 x2 – 56 = 0, dopustivi , dopustivi poluprostor je ispod ovog pravcapoluprostor je ispod ovog pravca




PresjekPresjek ovih dopustivih poluprostora daje ovih dopustivih poluprostora daje dopustivi prostor zadatkadopustivi prostor zadatka. Taj . Taj prostor je lik prostor je lik OABCDOABCD na Sl. 2.5., gdje je na Sl. 2.5., gdje je O(0,0), A(8,0), B(7.2,2.8), C(4,6) i D(0,8).O(0,0), A(8,0), B(7.2,2.8), C(4,6) i D(0,8).

Funkcija ciljaFunkcija cilja je je rotacioni paraboloidrotacioni paraboloid i i možemo je prikazati linijama koje možemo je prikazati linijama koje predstavljaju njene predstavljaju njene konstantne konstantne vrijednostivrijednosti – – nivo linijamanivo linijama. Nivo linije se . Nivo linije se dobiju kada se funkcija cilja dobiju kada se funkcija cilja izjednači izjednači sa konstantomsa konstantom..




U ovom slučaju dobićemo jednačinu kruga oblika:U ovom slučaju dobićemo jednačinu kruga oblika:(x1 – 8)**2 + (x2 – 6)**2 = C(x1 – 8)**2 + (x2 – 6)**2 = C

gdje je gdje je CC proizvoljna konstanta koja može biti veća ili proizvoljna konstanta koja može biti veća ili jednaka nuli (konstanta jednaka nuli (konstanta CC ne može biti manja od nule ne može biti manja od nule jer tada gornja relacija ne bi imala realna rješenja). jer tada gornja relacija ne bi imala realna rješenja). Dajući konstanti Dajući konstanti CC niz konkretnih vrijednosti niz konkretnih vrijednosti dobićemo dobićemo niz međusobno koncentričnih krugovaniz međusobno koncentričnih krugova. . Za Za C = 0C = 0 dobićemo tačku sa koordinatama dobićemo tačku sa koordinatama x1 = 8x1 = 8 i i x2 = 6x2 = 6. Ta tačka je ujedno . Ta tačka je ujedno minimum funkcije ciljaminimum funkcije cilja, , tj. tj. bezuvjetni minimumbezuvjetni minimum. Vrijednost funkcije cilja u . Vrijednost funkcije cilja u toj tačci je dakle jednaka nuli. Iz slike je jasno da ta toj tačci je dakle jednaka nuli. Iz slike je jasno da ta tačka tačka ne zadovaljava ograničenjane zadovaljava ograničenja, a to nije teško , a to nije teško pokazati i analitički, stavljajući vrijednosti koordinata pokazati i analitički, stavljajući vrijednosti koordinata u nejednačine ograničenja (na primjer, u nejednačine ograničenja (na primjer, 8 + 6 = 148 + 6 = 14 nije manje ili jednako nije manje ili jednako 1010). ).




Za veću vrijednost konstante Za veću vrijednost konstante CC dobićemo dobićemo krug većeg prečnika sa centrom u tačci krug većeg prečnika sa centrom u tačci (8,6).(8,6). To znači da je To znači da je vrijedost funkcije vrijedost funkcije cilja veća što je krug nivo linije većicilja veća što je krug nivo linije veći tj. što je tj. što je dalji od tačke minimumadalji od tačke minimuma. . Pošto je naš cilj da neđemo minimalnu Pošto je naš cilj da neđemo minimalnu dopustivu tačku, ona će očigledno biti dopustivu tačku, ona će očigledno biti na krugu koji je na krugu koji je najbliži tački najbliži tački minimumaminimuma a ima a ima makar jednu makar jednu dopustivu tačkudopustivu tačku. To je očigledno krug . To je očigledno krug koji koji tangiratangira dopustivi prostor i koji je na dopustivi prostor i koji je na Sl. 2.1. predstavljen Sl. 2.1. predstavljen crtkanom linijom.crtkanom linijom. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan



Ta se tačka nalazi na Ta se tačka nalazi na presjekupresjeku pravca koji pravca koji predstavlja granicu ograničenja predstavlja granicu ograničenja g2g2 i pravca koji i pravca koji prolazi kroz centar kružnice a okomit je na prolazi kroz centar kružnice a okomit je na granicu ograničenja granicu ograničenja g2g2. Granica ograničenja . Granica ograničenja g2 g2 je:je:x1 + x2 – 10 = 0x1 + x2 – 10 = 0 što se može napisati:što se može napisati:x2 = - x1 + 10x2 = - x1 + 10

koeficijent smjera normale je:koeficijent smjera normale je: 1 1 1 1

kn kn = - ---- = - ---- = 1 = - ---- = - ---- = 1 kg2 - 1 kg2 - 1

pa je jednačina normale koja prolazi kroz tačku pa je jednačina normale koja prolazi kroz tačku (8,6):(8,6):(x2 – 6) = (x1 – 8)(x2 – 6) = (x1 – 8) što daje: što daje:x2 = x1 – 2x2 = x1 – 2 šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan



Očigledno je da je tačka Očigledno je da je tačka xx** tačka tačka strogog strogog lokalnog minimumalokalnog minimuma jer se minimum jer se minimum nalazi samo u jednoj tačci. Ujedno, to je nalazi samo u jednoj tačci. Ujedno, to je tačka tačka strogog globalnogstrogog globalnog minimumaminimuma jer su dopustivi prostor i funkcija cilja jer su dopustivi prostor i funkcija cilja konveksnikonveksni. .




Sl. 2.5.

A

B

C

D

3x1+6x2-48=0

7x1+2x2-56=0

O

x1+x2-10=0

2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

C

B




Naći :Naći :

Min Z = Min f(x1, x2) = (x1 – 4)**2 + Min Z = Min f(x1, x2) = (x1 – 4)**2 + (x2 – 3)**2(x2 – 3)**2


g1(x1,x2) = 3 x1 + 6 x2 – 48 <= 0g1(x1,x2) = 3 x1 + 6 x2 – 48 <= 0

g2(x1,x2) = x1 + x2 – 10 <= 0g2(x1,x2) = x1 + x2 – 10 <= 0

g3(x1,x2) = 7 x1 + 2 x2 – 56 <= 0g3(x1,x2) = 7 x1 + 2 x2 – 56 <= 0




RješenjeRješenje

Dopustivi prostor, tj. skup mogućih Dopustivi prostor, tj. skup mogućih rješenja, formira pet ograničenja – rješenja, formira pet ograničenja – nejedačina kao i u predhodnom nejedačina kao i u predhodnom primjeru. Taj prostor je lik primjeru. Taj prostor je lik OABCDOABCD na Sl. na Sl. 2.2., gdje je 2.2., gdje je O(0,0), A(8,0), O(0,0), A(8,0), B(7.2,2.8), C(4,6)B(7.2,2.8), C(4,6) i i D(0,8)D(0,8)..




KKonstantne vrijednosti – nivo linijonstantne vrijednosti – nivo linijee su krugovi oblika:su krugovi oblika:

(x1 – 4)**2 + (x2 – 3)**2 = C(x1 – 4)**2 + (x2 – 3)**2 = C

gdje je gdje je CC proizvoljna konstanta koja može biti veća ili jednaka nuli. proizvoljna konstanta koja može biti veća ili jednaka nuli. Minimalnu vrijednost funkcije cilja se dobije za vrijednost Minimalnu vrijednost funkcije cilja se dobije za vrijednost kostante kostante C = 0C = 0. Za . Za C = 0C = 0 dobićemo tačku sa koordinatama dobićemo tačku sa koordinatama x1 = x1 = 4 i x2 = 34 i x2 = 3. .

Ta tačka je ujedno Ta tačka je ujedno bezuvjetni minimum funkcije ciljabezuvjetni minimum funkcije cilja. Vrijednost . Vrijednost funkcije cilja u toj tačci je dakle jednaka nuli. Iz slike se vidi da funkcije cilja u toj tačci je dakle jednaka nuli. Iz slike se vidi da ova tačka ova tačka zadovaljava ograničenjazadovaljava ograničenja, što se može provjeriti i , što se može provjeriti i analitički, stavljajući vrijednosti koordinata u nejednačine analitički, stavljajući vrijednosti koordinata u nejednačine ograničenja ograničenja (3*4+6*3=40<=48, 4+3=7<=10, (3*4+6*3=40<=48, 4+3=7<=10, 7*4+2*3=34<=56). 7*4+2*3=34<=56).




Dakle tačka Dakle tačka xx* = (4,3)* = (4,3) je optimalno rješenje a je optimalno rješenje a f*=0f*=0 je optimalna je optimalna vrijednost funkcije cilja.vrijednost funkcije cilja.

Tačka Tačka xx** tačka tačka strogog lokalnog minimumastrogog lokalnog minimuma jer se minimum nalazi jer se minimum nalazi samo u jednoj tačci. Ujedno, to je tačka samo u jednoj tačci. Ujedno, to je tačka strogog globalnogstrogog globalnog minimumaminimuma jer je funkcija cilja jer je funkcija cilja konveksnakonveksna. .




Sl. 2.6.

A

B

C

D3x1+6x2-48=0

7x1+2x2-56=0

O

x1+x2-10=0

2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

A

D

C

B




Naći:Naći:

Max Z = Max f(x1,x2) = x1 + 4x2Max Z = Max f(x1,x2) = x1 + 4x2


g1(x1,x2) = (x1-5)**2 – x2 – 1 <= 0g1(x1,x2) = (x1-5)**2 – x2 – 1 <= 0g2(x1,x2) = g2(x1,x2) = x1 + x2 – 10 <= 0 x1 + x2 – 10 <= 0




RješenjeRješenjeDopustivi prostor, tj. skup mogućih rješenja, formiraju Dopustivi prostor, tj. skup mogućih rješenja, formiraju

četiri ograničenja. Svako ograničenje dijeli četiri ograničenja. Svako ograničenje dijeli x1,x2x1,x2 – – ravan na dva ravan na dva poluprostorapoluprostora od kojih je jedan od kojih je jedan dopustivdopustiv a drugi a drugi nedopustivnedopustiv. Granice dopustivih . Granice dopustivih poluprostora su:poluprostora su:

• koordinatne osekoordinatne ose, zbog pozitivnosti promjenljivih , zbog pozitivnosti promjenljivih dopustivi prostor se nalazi u dopustivi prostor se nalazi u prvom kvdrantuprvom kvdrantu

• pravacpravac x1 + x2 – 10 = 0x1 + x2 – 10 = 0, dopustivi poluprostor je , dopustivi poluprostor je ispod ovog pravcaispod ovog pravca

• parabolaparabola (x1-5)**2 – x2 – 1 = 0(x1-5)**2 – x2 – 1 = 0, dopustivi , dopustivi poluprostor je unutar parabolepoluprostor je unutar parabole

Presjek ovih Presjek ovih dopustivih poluprostoradopustivih poluprostora daje daje dopustivi dopustivi prostorprostor zadatka. Taj prostor je lik zadatka. Taj prostor je lik ABCDABCD gdje je gdje je A(4,0), B(4,0), C(7,3)A(4,0), B(4,0), C(7,3) i i D(2,8)D(2,8).. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan



Sl. 2.7.

A B

C

D

x1+4x2=0

x1+4x2=34

x1+4x2=4



Funkciju cilja možemo prikazati linijama koje Funkciju cilja možemo prikazati linijama koje predstavljaju njene predstavljaju njene konstantne vrijednosti konstantne vrijednosti – nivo linijama– nivo linijama. Nivo linija se dobiju kada se . Nivo linija se dobiju kada se funkcija cilja izjednači sa konstantom. U ovom funkcija cilja izjednači sa konstantom. U ovom slučaju dobićemo jednačinu pravca:slučaju dobićemo jednačinu pravca:

x1 + 4x2 = Cx1 + 4x2 = C

gdje je gdje je CC prizvoljno izabrana konstanta. Dajući prizvoljno izabrana konstanta. Dajući konstanti konstanti CC nizniz konkretnih vrijednosti konkretnih vrijednosti dobićemo dobićemo niz međusobno paralelnih niz međusobno paralelnih pravacapravaca. Neki će od tih pravaca . Neki će od tih pravaca mimoilazitimimoilaziti dopustivi prostor, neki će ga dopustivi prostor, neki će ga sjećisjeći, a neki će , a neki će ga ga tangiratitangirati..




Pošto je funkcija cilja linearna, Pošto je funkcija cilja linearna, povećavanjepovećavanje konstante konstante CC će davati pravce koji će se će davati pravce koji će se pomjerati u istom smjeru, pomjerati u istom smjeru, okomito na okomito na same pravcesame pravce. .

Zadatak pronaći Zadatak pronaći dopustivu tačkudopustivu tačku u kojoj u kojoj funkcija cilja ima funkcija cilja ima najveću vrijednostnajveću vrijednost..

Zato se Zato se povećavapovećava konstanta konstanta CC što će imati što će imati za posljedicu za posljedicu pomjeranje pravacapomjeranje pravaca preko dopustivog prostora, sve dok ne preko dopustivog prostora, sve dok ne dobijemo pravac čije bi dalje pomjeranje dobijemo pravac čije bi dalje pomjeranje dovelo do dovelo do napuštanja dopustivog napuštanja dopustivog prostoraprostora. . šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan



U našem primjeru to je pravac koji U našem primjeru to je pravac koji tangira tangira dopustivi prostor u tačci dopustivi prostor u tačci DD.. Jednačina tog Jednačina tog pravca je pravca je x1 + 4x2x1 + 4x2 = 34= 34. To znači da je tačka . To znači da je tačka D(2,8)D(2,8) tačka u kojoj funkcija cilja ima tačka u kojoj funkcija cilja ima maksimummaksimum i da je vrijednost tog maksimuma i da je vrijednost tog maksimuma jednaka jednaka 3434. Dakle:. Dakle:

xx* = (2,8) * = (2,8) ii f* = 34f* = 34

Očigledno je da je tačka Očigledno je da je tačka xx** tačka tačka strogog strogog globalnog maksimumaglobalnog maksimuma jer je dopustivi prostor jer je dopustivi prostor konveksankonveksan skup, a funkcija cilja je skup, a funkcija cilja je konkavnakonkavna (linearna funkcija je i konveksna i konkavna).(linearna funkcija je i konveksna i konkavna).





Posmatraćemo zadatak sličan predhodnom Posmatraćemo zadatak sličan predhodnom s tim što ćemo u ograničenju s tim što ćemo u ograničenju g1g1 promijeniti predznake. Treba, dakle, promijeniti predznake. Treba, dakle, naći:naći:

Max Z = Max f(x1,x2) = x1 + 4x2Max Z = Max f(x1,x2) = x1 + 4x2


g1(x1,x2) = -(x1-5)**2 + x2 + 1 <= 0g1(x1,x2) = -(x1-5)**2 + x2 + 1 <= 0g2(x1,x2) = g2(x1,x2) = x1 + x2 – 10 <= 0 x1 + x2 – 10 <= 0




RješenjeRješenjeGranice dopustivih poluprostora su sada:Granice dopustivih poluprostora su sada:• koordinatne osekoordinatne ose, zbog pozitivnosti , zbog pozitivnosti

promjenljivih dopustivi prostor se nalazi u promjenljivih dopustivi prostor se nalazi u prvom prvom kvdrantukvdrantu

• pravacpravac x1 + x2 – 10 = 0x1 + x2 – 10 = 0, dopustivi poluprostor , dopustivi poluprostor je ispod ovog pravcaje ispod ovog pravca

• parabolaparabola (x1-5)**2 – x2 – 1 = 0(x1-5)**2 – x2 – 1 = 0, dopustivi , dopustivi poluprostor je poluprostor je izvan paraboleizvan parabole

Presjek ovih dopustivih poluprostora daje dopustivi Presjek ovih dopustivih poluprostora daje dopustivi prostor zadatka. Taj prostor se sastoji iz dva prostor zadatka. Taj prostor se sastoji iz dva dijela: lika dijela: lika OADG OADG gdje je gdje je O(0,0), A(4,0), D(2,8)O(0,0), A(4,0), D(2,8) i i G(0,10)G(0,10) i lika i lika BFCBFC gdje je gdje je B(4,0), F(10,0)B(4,0), F(10,0) i i C(7,3)C(7,3) . .




Sl. 2.8.

A B

C

D

x1+4x2=0

x1+4x2=40

x1+4x2=4O

F

G

x1+4x2=19



Ako se ponovi postupak pomjeranja nivo Ako se ponovi postupak pomjeranja nivo linija funkcije cilja povećavajući linija funkcije cilja povećavajući vrijednost konstante vrijednost konstante CC, vidjeće se da će , vidjeće se da će posljednja dopustiva tačkaposljednja dopustiva tačka biti tačka biti tačka F(0,10).F(0,10). Jednačina pravca koji prolazi Jednačina pravca koji prolazi kroz tačku kroz tačku FF je je x1 + 4x2 = 40x1 + 4x2 = 40. To znači . To znači da je tačka da je tačka F(0,10)F(0,10) tačka u kojoj tačka u kojoj funkcija cilja ima funkcija cilja ima maksimummaksimum i da je i da je vrijednost tog maksimuma jednaka vrijednost tog maksimuma jednaka 40.40.




Dakle, sada je:Dakle, sada je:

xx* = (0,10) * = (0,10) ii f* = 40f* = 40

Tačka Tačka F(0,10)F(0,10) predstavlja predstavlja lokalni strogi lokalni strogi maksimummaksimum ali, pošto dopustivi prostor ali, pošto dopustivi prostor nije konveksannije konveksan, on , on ne mora biti i ne mora biti i globalniglobalni..

Ova funkcija cilja ima Ova funkcija cilja ima još jedanjoš jedan strogi strogi lokalni maksimum koji se nalazi u tačci lokalni maksimum koji se nalazi u tačci C(7,3)C(7,3).. U toj tačci funkija cilja ima U toj tačci funkija cilja ima vrijednost vrijednost f* = 19f* = 19.. šk.god. 2007/2008. dr Tadej Mateljan

3. LITERATURA3. LITERATURA1.1. Bronštejn I.N. i dr., Bronštejn I.N. i dr., „„Matematički priručnik”Matematički priručnik”,, Golden Golden

marketing-Tehnička knjiga, Zagreb, 2004.marketing-Tehnička knjiga, Zagreb, 2004.2.2. Carter M.W., Price C.C., Carter M.W., Price C.C., ““Operations Research – A Practical Operations Research – A Practical

Introduction”Introduction”,, CRC Press, 2001. CRC Press, 2001.3.3. Chandrasekhara Rao K., Chandrasekhara Rao K., ““Operations Research”Operations Research”,, Alpha Alpha

Science International Ltd., 2005.Science International Ltd., 2005.4.4. Cvjetićanin D., Cvjetićanin D., ““Operaciona istraživanja”Operaciona istraživanja”,, Ekonomski Ekonomski

fakultet, Beograd, 1992.fakultet, Beograd, 1992.5.5. Čupić M.: Čupić M.: ““Uvod u teoriju odlučivanjaUvod u teoriju odlučivanja”,”, Naučna knjiga, Naučna knjiga,

Beograd, 1987.Beograd, 1987.6.6. Hillier F.S., Lieberman G.J., Hillier F.S., Lieberman G.J., ““Introduction to Operations Introduction to Operations

Research”Research”,, McGrow-Hill, New York, 2005. McGrow-Hill, New York, 2005.7.7. Krčevinac S. i dr., Krčevinac S. i dr., ““Operaciona istraživanja”Operaciona istraživanja”,, Fakultet Fakultet

organizacionih nauka, Beograd, 2004. organizacionih nauka, Beograd, 2004. 8.8. Neralić L., Neralić L., „„UvodUvod u matematičko programiranje 1”u matematičko programiranje 1”,,

Element, Zagreb, 2003.Element, Zagreb, 2003.9.9. Petrić J., Petrić J., „„Operaciona istraživanja”Operaciona istraživanja”,, Knjiga prva, Savremena Knjiga prva, Savremena

administracija, Beograd, 1983.administracija, Beograd, 1983.10.10. Petrić J.: Petrić J.: ““Operaciona istraživanjaOperaciona istraživanja”,”, Nauka, Beograd, 1997. Nauka, Beograd, 1997.


Documents

Uvod u osnove operacionih istrazivanja