Embed Size (px)
Citation preview
Gytautas Karklius
Matematikos olimpiadiniai uždaviniai.
Pirma dalis
Vilnius2011
Užduotys
1. Šešiaženklis skaičius iš kairės prasideda vienetu. Jeigu šį skaičių perkelsime į dešinę pusę, tai
gausime skaičių, tris kartus didesnį už pradinį skaičių. Koks yra pradinis šešiaženklis skaičius?
2. Raskite visus sveikuosius lygties 2 x3+xy=7
sprendinius.
3. Kuris skaičius didesnis 4825
ar 34417
?
4. Jonui ir Petrui, kurių bendrą biblioteką sudaro 378 knygos, tėvai nupirko po vienodą knygų
spintą. Jonas, sudėjęs į kiekvieną spintos lentyną po 16 knygų, sutalpino visas savo knygas. Petrui,
sudėjusiam po 15 knygų į lentyną, dalis knygų netilpo, o dedant po17 knygų, viena lentyna liko
tuščia. Kiek knygų turėjo Petras ir po kiek lentynų buvo kiekvienoje spintoje?
5. Dėžėje yra 70 skirtingų spalvų rutulių: 20 raudonų, 20 mėlynų, 20 juodų, 5 žalių, 5 geltonų.
Rutuliai skiriasi vienas nuo kito tik spalva. Jie iš dėžės imami tamsoje. Kiek mažiausia rutulių reikia
išimti, kad tarp išimtų būtų ne mažiau kaip dešimt tos pačios spalvos?
6. Įrodykite, kad, kai
n∈N , n3+ n
2
2+ n
3
6 yra sveikasis skaičius.
7. Ryšulėlis krapų, surištas siūlu, kainuoja du litus. Kiek kainuoja ryšulėlis krapų, surištas du kartus
ilgesniu siūlu?
8. Įrodykite, kad 3, 5, 7 – vienintelis iš eilės einančių pirminių nelyginių skaičių trejetas.
9. Kiek įstrižainių turi iškilasis daugiakampis, turintis n viršūnių?
10. Veikiant varikliui 6% metanolio priedas sumažina benzino sąnaudas 15%. Vairuotojas
paskaičiavo, kad tokiu būdu buvo sutaupyta 100l benzino. Kiek buvo sunaudota mišinio?
Atsakymą pateikite dešimtųjų tikslumu.
2
11. Kubo paviršius nudažomas. Po to kubas supjaustomas į n3
vienodų kubelių. Atsitiktinai
parenkamas vienas kubelis. Apskaičiuokite tikimybes įvykių:
A – pasirinkto kubelio trys sienos nudažytos;
B – tik dvi sienos nudažytos;
C – tik viena siena nudažyta;
D – pasirinkto kubelio sienos nenudažytos.
12. Įrodykite, kad suma 2+22+23+. ..+299+2100
dalijasi iš 3.
13. Tėvas ir sūnus matavo stačiakampį žemės sklypą. Ilgesniąja kraštine ėjo tėvas, o trumpesniąja
– sūnus. Abu kartu suskaičiavo 300 žingsnių. Po to tėvas nužingsniavo trumpesniąja kraštine, o
sūnus ilgesniąja, ir dabar abu suskaičiavo 330 žingsnių. Koks sklypo plotas, jei tėvo žingsnio ilgis
0,72 m, o sūnaus 0,54 m?
14. Apskaičiuoti x ir y, jeigu (3 x+2 y )2006+( x−2)2008=0
.
15. Raskite visus sveikuosius lygties x2− y2=3
sprendinius.
16. Plaukdamas valtimi upe, žmogus išmetė skrybėlę ir 15 min irklavo prieš srovę. Po to jis
nusprendė skrybėlę susigrąžinti, todėl pasuko atgal ir ištraukė ją iš vandens, jau spėjusią nuplaukti
pasroviui vieną kilometrą. Koks srovės greitis?
17. Raskite sumos
1x+ 1z
mažiausią reikšmę, kai x ir y yra teigiami sveikieji skaičiai, jeigu
x+z=6.
18. Keliais būdais galima sudaryti trispalvę vėliavą, turint 7 skirtingų spalvų audeklus, jei visos
spalvos turi būti skirtingos?
19. Nedžiovintų grūdų drėgnumas 23%, o padžiovintų 12%. Keliais procentais sumažėjo grūdų
svoris padžiovinus juos?
3
20. Raskite tokį natūralųjį skaičių, kurį padalijus iš 45, gaunama liekana, lygi dalmens kvadratui.
21. Trys draugės – Asta, Rasa ir Eglė vilki balta, žalia ir ruda suknelėmis. Jų bateliai taip pat yra
vienos iš šių trijų spalvų. Tik Astos suknelė ir bateliai yra vienos spalvos. Rasos nei suknelė, nei
bateliai nėra balti. Eglė avi žalius batelius. Kokia kiekvienos mergaitės suknelės ir batelių spalva?
22. Raskite mažiausią daugianario y=x ( x+1)( x+2 )(x+3 )
reikšmę.
23. Egzamino darbams užšifruoti pasirinktos aštuonios skirtingos raidės. Kiek iš jų galima sudaryti
šifrų – žodžių, kuriuos sudarytų nemažiau kaip trys ir nedaugiau kaip šešios skirtingos raidės?
24. Raskite dalmenį ir liekaną, kuriuos gausite, padaliję skaičių 1⋅2⋅3⋅.. .⋅15+200
iš 182.
25. Raskite vardiklį trupmenos, kurią gausime suprastinę trupmeną
1⋅2⋅3⋅. . .⋅100
6100
.
26. Spausdinant 25 puslapių tekstą padarytos 102 klaidos. Įrodykite, kad yra puslapis, kuriame
padarytos daugiau nei keturios klaidos.
27. Brėžinyje pavaizduoto trikampio plotas yra 80m2, o kiekvieno skritulio su centru to trikampio
viršūnėje spindulys lygus 2m. Kiek kvadratinių metrų sudaro užspalvintos figūros plotas?
28. Vienas iš trikampio kampų yra lygus 68o. Nubrėžtos kitų dviejų kampų pusiaukampinės. Koks
yra brėžinyje klaustuku pažymėto kampo dydumas?
4
68o
?
29. Jeigu a∇ b=a⋅b+a+b
ir 3 ∇ 5=2 ∇ x
, tai kam lygus x? (čia ženkliukas ∇
reiškia tam tikrą
operaciją, kurią aprašo pirmoji formulė).
30. Masinėse lenktynėse dalyvavo 2009 vaikai. Jonuko aplenktų vaikų buvo trigubai daugiau, negu
jį aplenkusių vaikų. Kelintas buvo Jonukas tose lenktynėse?
31. Pirma krovikų brigada 8 prekinius vagonus gali iškrauti 1 valanda greičiau negu antra brigada.
Jei 7 vagonus iškraus abi brigados, dirbdamos kartu, o paskutinįjį vagoną iškraus tik antra brigada,
tai visam darbui atlikti reikės tik 2 valandų. Per kokį laiką gali atlikti darbą kiekviena iš brigadų,
dirbdamos atskirai?
32. Išspręskite lygčių sistemą
{x+ y=1996 ¿ { y+z=1997 ¿ ¿¿¿
33. Raskite lygties (36−x2)√−2x+8=0
sprendinių sumą.
34. Įrodykite, kad
n12
+ n2
8+ n
3
24 yra sveikasis skaičius, kai n – lyginis skaičius.
35. Suprastinkite reiškinį
a2
(a−b )(a−c )+ b2
(b−c )(b−a )+ c2
(c−a)( c−b ).
36. Duota, kad x=y-1. Įrodykite, kad (x+y)(x2+y2)(x4+y4) = y8-x8 .
5
37. Skaičių 172 parašykite dviejų skaičių skirtumu taip, kad mažesnysis skaičius būtų lygus 80%
didesniojo skaičiaus.
38. Suprastinkite reiškinį √ x2+2 x+1+√x2−2x+1
39. Ar egzistuoja triženklis skaičius abc
, lygus dviženklių skaičių ab
, bc
, ac
sumai?
40. Suprastinkite reiškinį
a2−ac 2+2c2−4a2+2a+2c2−c4
− a2−4 a+4a2+ac2−2a−2c2
.
41. Raskite keturženklį skaičių abca
, jei jis lygus skaičiui (5c+1)2
.
42. Keturių iš eilės einančių skaičių sandauga lygi 7920. Raskite tuos skaičius.
43. Duotas skaičių rinkinys: 3, 6, 12, 15, 21, 27, 42, 51. Ar galima iš šio rinkinio išbraukti kai kuriuos
skaičius taip, kad likusiųjų skaičių suma būtų lygi 100? Kodėl?
44. Kas daugiau: 544
ar 453
?
45. Suprastinkite reiškinį
(√b+c2
c2−√b−c2
b0,5 ) :( b12
√b−c2− c2
b0,5+c2 ).
46. Raskite visus lygties 3⋅2x+1= y2
sveikuosius sprendinius.
47. Ar egzistuoja du iš eilės einantys natūralieji skaičiai, kurių vienas būtų aštuoniolikos kartotinis,
o kitas septyniolikos?
48. Įrodykite, kad jei a+b+c=0, tai a3+a2c−abc+b2c+b3=0
.
6
49. Jei 3m – 2n = 0,8⋅(5m+n)
, tai kam lygi reiškinio
m2−2mnn2
reikšmė?
50. Duota, kad x+y=a ir x2+y2=b. Apskaičiuokite x3+y3.
51. Keturiems sūnums tėvas liepė pasidalyti žemės sklypą, kuriame augo 4 obelys ir 4 kriaušės.
Kad nei vienas nebūtų nuskriaustas, sklypą reikia padalyti į vienodos formos dalis. Kiekvienoje
dalyje turi būti po vieną kriaušę ir po obelį. Kaip tai padaryti?
K
O O
O O
K K K
52. Kaip keturis vienodus butelius pastatyti ant stalo taip, kad jų kamšteliai būtų vienodai nutolę
vienas nuo kito?
7
53. Viena linksma ūkininkų šeima atliko tokį eksperimentą. Paėmė vieną vienintelį viščiuką –
vištytę, ją užaugino ir leido padėti du kiaušinius, iš kurių išperino du viščiukus. Savo eksperimentą
jie grindė tokia taisykle: jeigu užaugęs viščiukas pasirodo esąs gaidys, jį tuojau pat suvalgo, jeigu
vištytė – jai leidžiama padėti du kiaušinius(iš kurių vėl perinami viščiukai) ir tik po to jį patenka ant
stalo. Taigi šis ūkininkų eksperimentas tęsėsi ilgokai ir galų gale baigėsi, nes užauginti buvo abudu
gaidžiai. Keik buvo suvalgyta vištų, jeigu gaidžių buvo suvalgyta 17?
54. Turime du gabalus aukso – 2 ir 3 kg. Tačiau tai skirtingo procentinio kiekio auksas. Iš šio aukso
reikia pagaminti du gabalus aukso, kurie svertų 1 ir 4 kg, bei turėtų vienodą procentinį kiekį aukso.
(galima tik pjaustyti).
55. Visiškai rimtas uždavinys: Gatvės pradžioje stovi namas. Šeštame aukšte gyvena A, o
septintame – B, C, D, kurie yra A broliai. Daugiau brolių A neturi. Yra teisingi šie teiginiai:
a. A bute yra trejos durys ir du langai.
b. B bute yra tiek langų, kiek C bute durų, ir tiek durų, kiek C bute langų.
c. Butuose, kuriuose gyvena D broliai, iš viso yra tiek langų, kiek ir durų.
O dabar pasakykite, ar gyvena šioje gatvėje A uošvė?
56. Kaip nesinaudojant Pitagoro teorema, išmatuoti paprastos statybinės plytos vidinę įstrižainę?
(plyta laikykime stačiakampio gretasienio formos). Norint atlikti matavimus, galima naudoti kelias
plytas.
57. Naudodami laipsnių savybes ir apibrėžimą
k√an=ank
, apskaičiuokite:
a. √3√3√3⋅8√3=
b. √√20−√11⋅¿√√20+√11= ¿
58. Kas daugiau (1977!)2 ar 19771977 (primenu – n! – tai skaičiaus faktorialas, kuris skaičiuojamas
pagal taisyklę n! = 1·2·3·…·(n-1)·n )
8
59. Išspręskite lygčių sistemą:
{2 x+ yz=3 ¿ {2 y+xz=3 ¿ ¿¿¿
60. Raskite a+b+c+d, jei žinoma, kad
{6a+2b=4801 ¿ {6c+3d=2595 ,75 ¿¿¿¿61. Ar galima natūraliuosius skaičius nuo 1 iki 12 suskirstyti į keturias grupes po 3 skaičius taip, kad
kiekvienoje grupėje vienas iš skaičių būtų lygus kitų dviejų sumai?
62. 1000 skirtingų natūraliųjų skaičių suma lygi 1000998. Įrodykite, kad tarp tų skaičių yra bent du
nelyginiai dėmenys.
63. Seka
(an) sudaryta pagal taisyklę
an+2=an+1
an, a1=2 , a2=3
. Raskite
a1989
.
64. Raskite triženklius skaičius abc
, tenkinančius lygybę abc=a !+b !+c !
.
65. Raskite skaičiaus (116+1717)21
dalybos iš 8 liekaną.
66. Raskite skaičiaus 168−531⋅813
dalybos iš 3 liekaną.
67. Raskite skaičiaus 2999+3999
dalybos iš 7 liekaną.
68. Pirminiais skaičiais išspręskite lygtį x2−2 y2=1
. T.y. sprendiniai turi būti pirminiai skaičiai.
69. Raskite visas tokias sekas (xn), kad
x1=1 , x 9=9 , x86=86, o bet kurių trijų iš eilės einančių
narių suma pastovi.
9
AC
D N
B
M
70. Bakterijos dauginasi dalijimosi būdu. Per vieną sekundę iš vieno bakterijos atsiranda dvi. Viena
bakterija kartu su savo palikuonimis užpildo mėgintuvėlį per vieną valandą. Per kokį laiką tą patį
mėgintuvėlį savo palikuonimis užpildys dvi bakterijos?
71. Įrodykite, kad penkių nuoseklių sveikųjų skaičių sandauga dalijasi iš 120. (vienas po kito
einantys skaičiai - nuoseklūs). Nuoroda: išskaidykite 120 pirminiais dauginamaisiais.
72. Kaip padalyti trikampį su kampais 15o, 105o, 60o į tris lygiašonius trikampius?
73. Kam lygus smailusis kampas tarp stataus trikampio smailiųjų kampų pusiaukampinių?
74. Raskite atstumus nuo trikampio pusiaukraštinių susikirtimo taško iki jo viršūnių, jei kraštinės
lygios AB = 6; BC = 5; AC = 8. (Galite pasinaudoti trikampio papildymu iki lygiagretainio ir jo
savybe: jeigu a ir b – lygiagretainio kraštinių ilgiai, o c ir d – jo įstrižainių ilgiai, tai galioja lygybė
2(a2+b2)=c2+d2).
75. Trikampio aukštinė lygi BD = 4. Ji pagrindą dalija į dvi dalis, kurių santykis 1:8 (AD:DC). Rasti
atkarpos (MN), lygiagrečios aukštinei ir dalijančios trikampį į lygias dalis, ilgį.
10
Sprendimai
1. Sprendimą galime rasti nesunkiai, tiesiog užrašykime sąlyga, kaip daugyba iš trijų stulpelių, tada
pradėti reikia nuo to, jog vienetą gauname tik padauginę tris iš septynių, tada kitas skaitmuo bus
penki ir t.t, pažiūrėkite lentelėje.
1 a b c d e
* 3
a b c d e 1
Gaunam
a
4 2 8 5 7
Vadinasi, ieškomas skaičius 142857.
2. Išspręsti šią lygtį sveikaisiais skaičiais galima prieš tai iškėlus bendrąjį dauginamąjį
x (2x2+ y )=7 ;
Tada galime pastebėti, jog turime sandaugą, kurios rezultatas yra pirminis skaičius 7. Tai galima
keturiais atvejais:
a)
{x=1 ; ¿¿¿¿¿
¿b)
{x=−1 ; ¿ ¿¿¿¿
¿c)
{x=7 ; ¿ ¿¿¿¿
¿d)
{x=−7 ; ¿ ¿¿¿¿
¿Atsakymas: (1;5), (-1;-9), (7;-97), (-7;-99).
11
3.
4. Tarkime, kad:
L – lentynų skaičius spintoje;
K – Petro knygų skaičius.
Tuomet biblioteką sudaro 16 L+K=378 knygos.
Be to,
„Petrui, sudėjusiam po 15 knygų į lentyną, dalis knygų netilpo“, todėl 15 L<K ,
„o dedant po 17 knygų, viena lentyna liko tuščia“, todėl 17(L−1)≥K („=“ – kai (L-1) lentyna
užpildytos pilnai, „>“ – kai priešpaskutinėje lentynoje irgi yra mažiau nei 17 knygų).
Taigi, galime sudaryti lygčių sistemą:
{15 L<378−16 L ¿ ¿¿¿¿
¿Kadangi, lentynų skaičius yra sveikas skaičius, tai L=12. Tuomet K=378-16·12=186.
Atsakymas: Petras turėjo 186 knygas; kiekvienoje spintoje buvo 12 lentynų.
5. (Išimame pirma visus žalius ir geltonus, nes jų yra po penkis bei niekada
jų nebus 10 ir tada visų likusių spalvų po 9)
37+1=38 (rutuliukai)
Atsakymas: 38 rutuliukus.
12
4825<4925=(72 )25=750
34417>34317=(73 )17=751
750<751 , taigi 4825<34417
6. Pertvarkome reiškinį:
n3+ n
2
2+ n
3
6=2n+3n2+n3
6=n(2+3n+n2)
6=n(n+1 )(n+2 )
6 .
(skaitiklyje gautą kvadratinį trinarį dauginamaisiais galima išskaidyti dviem būdais:
a) Naudojantis kvadratinės lygties bendrojo sprendinio formulę.
Kiekvienas kvadratinis trinaris gali būti išskaidytas dauginamaisiais tokiu būdu
ax2+bx+c=a( x−x1 )( x−x2 ),
čia x1, x2 – kvadratinės lygties ax2+bx+c=0 sprendiniai, kurie ieškomi pagal formulę
x1,2=
−b±√D2a , D=b2−4 ac .
b) 2+3n+n2=2+4n−n+n2=(2+2n )+(n+n2 )=2 (1+n )+n (1+n )=(1+n ) (2+n )
Šios trupmenos rezultatas bus sveikasis skaičius, jeigu skaitiklis dalinsis iš 6, o tai reiškia, jog jis turi
dalintis ir iš 2, ir iš 3. Panagrinėjame skaitiklį: n( n+1)(n+2 )yra ne kas kita, o trijų iš eilės
einančių skaičių sandauga. Tarp jų būtinai bus vienas lyginis, t.y. dalus iš 2, ir vienas dalus iš 3.
Dalybą iš 3 aptarsime detaliau:
Dalybos iš trijų atžvilgiu kiekvienas skaičius gali būti užrašytas:
3k – jei skaičius dalus iš 3;
3k+1 – jei dalinant iš 3 gaunama liekana 1;
3k+2 – jei dalinant iš 3 gaunama liekana 2;
(čia k – sveikasis skačius.)
Jeigu n=3k, tai akivaizdu, kad sandauga n( n+1)(n+2 ) dalinasi iš 3.
Jeigu n=3k+1, tai skaitiklis perrašomas taip: (3k+1)(3k+2)(3k+3)=3(3k+1)(3k+2)(k+1) ir matome,
kad jis yra dalus iš 3.
Jeigu n=3k+2, tai gauname (3k+2)(3k+3)(3k+4)=3(3k+2)(k+1)(3k+4) – taip pat skaičius dalus iš čius
dalus iš 3.
Taigi, visa sandauga dalinsis iš 6.
13
rR
7. Pavaizduokime ryšulėlių pjūvius:
Čia r-pirmojo ryšulėlio spindulys, o R- antrojo ryšulėlio spindulys.
Siūlo ilgis pirmuoju atveju C1=2 πr . Siūlo ilgis ji padidinus C 2 =2πR=2C 1=4 πr ,taigi, pirmasis
spindulys yra dvigubai mažesnis už antrąjį 2 r=R . Tada skritulių plotai (ryšulėlių pjūvių plotai)
lygus:
S1=πr2
S2=πR2=4 πr2
O tai reiškia, kad pirmasis plotas keturis kartus didesnis už antrąjį.
Vadinasi ir kaina bus keturis kartus didesnė. Ryšulėlis krapų, surištas du kartus ilgesniu siūlu,
kainuos 8 litus.
Atsakymas: 8 Lt.
8. Pažymėkime 3 iš eilės einančius nelyginius skaičius 2n+1 , 2n+3 , 2n+5 .
Jeigu 2n+1 – pirminis skaičius, kuris nelygus trim, tai iš trijų turi dalintis vienas iš kitų skaičių 2n+3
arba 2n+5, bet tada šis skaičius nebus pirminis. Iš tikrųjų, sakykime, kad 2n+1 – yra nelyginis
skaičius, kuris nesidalija iš 3, tuomet šis skaičius gali būti užrašytas
a) 2n+1=3k+1, tuomet 2n+3=3k+3=3(k+1). Antrasis skaičius dalinasi iš 3.
ARBA
b) 2n+1=3k+2, tuomet 2n+5=3k+6=3(k+2). Trečiasis skaičius dalinasi iš 3.
Reiškia, 3, 5, 7 – vienintelis iš eilės einančių pirminių nelyginių skaičių trejetas.
9. Iš kiekvienos viršūnės galima išvesti n-3 įstrižainių, nes į pačią viršūnę ir į gretimas viršūnes
įstrižainės nebrėžiamos. Kadangi yra n viršūnių, tai iš kiekvienos iš jų galima išvesti n-3 įstrižainių.
Tada gausime n(n-3) įstrižainių. Bet įstrižainė AB ir BA yra ta pati (kiekviena įstrižainė kartosis du
kartus), dėl to sumažiname bendrą jų skaičių du kartus. Iškilasis daugiakampis, turintis n viršūnių,
turi
n(n−3)2 įstrižainių.
Atsakymas:
n(n−3)2 .
14
10. 100 litrų mišinyje yra 6 litrai metanolio ir 94 litrai benzino (gryno). Taigi, jau sutaupome 6 litrus
benzino. Iš 94 litrų benzino, esančiųmišinyje, pavyksta sutaupyti dar 0,15·94=14,1 litrų benzino.
Taigi, iš kiekvieno 100 litrų mišinio mes sutaupome 20,1 litrų benzino.
Pasižymėję x – mišinio kiekį (litrais), nuo kurio pavyktų sutaupyti 100 l benzino,sudarome
proporciją:
100 l – 20,1 l
x l - 100 l
Tuomet x=(100·100)/20,1≈497,5 l
Atsakymas: ~497,5 litrų.
11. Po kubo supjaustymo gausime n3
vienodų kubelių. Tai reiškia, kad renkantis vieną kubelį yra
n3 galimybių.
A) tris nudažytas sienas turės tik keturi kampiniai kubeliai, tada tikimybė, kad pasirinkto kubelio
trys sienos nudažytos lygi P( A )= 8
n 3
B) dvi nudažytas sienas turi pagal briaunas išdėstyti kubeliai be kampinių, jų būtų 12(n-2), tada
tikimybė, kad pasirinkto kubelio tik dvi sienos nudažytos lygi P(B)=
12(n−2 )n 3
C) Vieną nudažytą sieną turi tik kubo viduriukas, tokių kubelių būtų 6 (n−2 )2, tada tikimybė, kad
pasirinkto kubelio tik viena siena nudažyta lygi P(C )=
6( n−2 )2
n3
D) Nenudažytas sienas turi tik vidiniai kubeliai, jų yra (n−2)3, tada tikimybė, kad pasirinksim
kubelį, kurio nei viena siena nenudažyta lygi P(D )=
(n−2)3
n 3
15
12. Pertvarkome duotąjį reiškinį:
2+22+23+. ..+299+2100=(2+22 )+(23+24 )+. . .+(299+2100 )=2(1+2)+23 (1+2)+. ..+299(1+2 )=¿3(2+23+25+. ..+299)Dabar akivaizdžiai matome, kad duotasis reiškinys dalijasi iš trijų.
13. Stačiakampio sklypo ilgesniąją kraštinę pažymėkime x, o trumpesniąją y. Tuomet galime
sudaryti tokias lygtis:
x0 ,72
+y0 ,54
=300
x0 ,54
+ y0 ,72
=330subendravardiklinę gauname
3 x2 ,16
+4 y2 ,16
=6482,16
|(⋅2 ,16)
4 x2 ,16
+3 y2 ,16
=712 ,82,16
|(⋅2 ,16 ),
kai padauginame kiekvieną iš lygčių iš bendrojo vardiklio, gauname jau nebe trupmeninius
reiškinius:
3 x+4 y=648|(⋅4 )4 x+3 y=712 ,8|(⋅3 )
padauginę pirmąją lygtį iš 4, o antrąją iš 3, gauname
12 x+16 y=259212 x+9 y=2138 ,4 ,
tada atimkime vieną lygtį iš kitos. Gausime vieną lygtį
7 y=453 ,6
y=64 ,8 (m) , tada x=129 ,6 (m).
Taigi, sklypo plotas yra lygus 64 ,8⋅129 ,6=8398 ,08 (m2).
Atsakymas: 8398,08 m2.
16
14. Panagrinėkime duotąjį reiškinį. Kadangi abu dėmenys pakelti lyginiu laipsniu, abu jie yra
neneigiami skaičiai.Kai sudedame du neneigiamus skaičius, nulis gaunamas tik tada, kai kiekvienas
iš dėmenų yra lygus nuliui. Taigi, gauname dvi lygtis:
3x+2y=0 ir x-2=0.
Iš antrosios lygties gauname, kad x=2.
Tuomet įrašę šią reikšmę į pirmąją lygtį, apskaičiuojame y: y=-0,5·3x=-0,5·3·2=-3.
Atsakymas: (2;-3).
15. x2− y2=3
Naudodamiesi greitosios daugybos formule išskaidome kairiąją pusę dauginamaisiais:
( x− y )(x+ y )=3
Kadangi mus domina tik sveikosios x ir y reikšmės, o sveikųjų skaičių suma ir skirtumas irgi sveikieji
skaičiai, tai pirminį skaičių 3 galime gauti tik keturiais atvejais:
3=1·3=3·1=-1·(-3)=-3·(-1)
Nagrinėjame šiuos atvejus:
1) x-y=1 (1) ir x+y=3 (2)
Iš (1) lygties gauname: x=1+y; įrašome šią išraišką į (2) lygtį: 1+y+y=3, tuomet 2y=2, t.y. y=1,o
x=1+y=1+1=2.
Gavome vieną sprendinį (2;1).
Analogiškai išsprendžiame kitus atvejus:
2) x-y=3 ir x+y=1. Sprendinys (2;-1).
3) x-y=-1 ir x+y=-3. Sprendinys (-2;-1).
4) 4-y=-3 ir x+y=-1. Sprendinys (-2;1).
Atsakymas: (2;1), (2;-1), (-2;-1), (-2;1).
16. Uždavinio esmė tokia, jog skrybėlės atžvilgiu valtis į abi puses plaukia tuo pačiu greičiu, todėl
valtis plaukė 30 min. Per tą laiką skrybėlė nuplaukė vieną km.
Todėl jos greitis 1/30 km/min arba 2 km/h.
Atsakymas: 2 km/h.
17
17. Pertvarkysime šį reiškinį
1x+ 1z= x+zx⋅z , kai x+z=6 , tai gautas reiškinys įgauna pavidalą:
1x+ 1z= x+zx⋅z
= 6x⋅z .
Kai x+z=6 ir x, z yra sveikieji teigiami skaičiai, tai tinka tokios sprendinių poros (x;z): (5;1), (4;2),
(3;3), (2;4) ir (1;5). Kadangi sandauga nesikeičia, kai dauginamuosius sukeičiame vietomis, tai
užtenka išnagrinėti tris pirmuosius atvejus:
1. Kai (x;y)=(5;1), tai
6x⋅z
=65=1
15 ;
2. Kai (x;y)=(4;2), tai
6x⋅z
=68=3
4 ;
3. Kai (x;y)=(3;3), tai
6x⋅z
=69=2
3 ;
18. Pirmąją spalvą mes galime pasirinkti iš septynių galimų, antrąją – iš šešių likusių, trečiąją – iš
penkių. Taigi bendras galimybių skaičius yra 7·6·5=210.
Atsakymas: 210.
19. Geriau spręsti bendruoju atveju, t.y. imti ne 100 kg grūdų, bet pažymėti pradinę grūdų masę
nežinomuoju z. Tada sausų grūdų juose yra 77%, t.y. 0,77·z kg. Kai grūdus džiovina, tai sumažėja
skysčio masė, tačiau sausų grūdų masė išlieka ta pati. Tai reiškia, kad šie 77 kg sausų grūdų sudaro
88% padžiovintų.
Sudarome proporciją:
0,77z kg - 88%
x kg - 100%
x=(0,77z·100)/88=0,875z (kg)
Taigi grūdų masė sumažėjo:
z – 0,875z = 0,125z (kg), t.y. 12,5%
Atsakymas: 12,5%.
18
20. Pagal sąlygą mes ieškome tokius skaičius x, kurios galima išreikšti taip:
x=45⋅q+q2,
čia q – dalmuo.
Kadangi mūsų ieškomas skaičius iš 45 turi dalintis su liekana, tai q2<45 , be to ieškomas skaičius
yra natūralus, tai reiškia, kad dalmuo yra neneigiamas skaičius: q>0 . Taigi, 0≤q≤6 ,
sudarykime lentelę galimų q ir juos atitinkančių x reikšmių lentelę:
q 1 2 3 4 5 6
x 46 94 144 196 250 306
Mes turime šešis skaičius, kuriuos dalindami iš 45 gausime liekaną lygią dalmens kvadratui. Šie
skaičiai: 46, 94, 144, 196, 250, 306.
Atsakymas: 46, 94, 144, 196, 250, 306.
21. Pagal sąlygą rasos nei suknelė, nei bateliai nėra balti, o Eglė avi žalius batelius. Todėl Rasos
bateliai rudi, o suknelė žalia, nes tik Astos suknelė ir bateliai vienos spalvos. Remdamiesi tuo, kad
tik Astos suknelė ir bateliai vienos spalvos, darome išvadą – Astos bateliai ir suknelė yra baltos
spalvos. Lieka – Eglės suknelė yra rudos spalvos. Vadinasi – Astos suknelė ir bateliai balti; Rasos
suknelė žalia, bateliai – rudi; Eglės suknelė ruda, o bateliai – žali.
Atsakymas:
Asta – balti bateliai ir balta suknelė;
Rasa – rudi bateliai ir žalia suknelė;
Eglė – žali bateliai ir ruda suknelė.
22. Prieš ieškodami šio daugianario mažiausią reikšmę, pertvarkykime jį:
y=x ( x+1)( x+2 )(x+3 )=(x2+ x )⋅( x2+3 x+2 ).
Dabar pažymėkime x2+3 x=z , tada mūsų nagrinėjamas reiškinys įgyja pavidalą
y=z ( z+2 )=z2+2 z=z2+2 z+1−1=(z+1 )2−1
Čia po antrosios lygybės pridėjome ir atėmėme vienetą, reiškinio reikšmė nuo to nepasikeitė,
tačiau tai leido mums išskirti pilnąjį kvadratą ( z+1)2, kuris yra neneigiamas skaičius.
Taigi kintamojo y reikšmė bus mažiausia, kai ( z+1)2=0 . Tai yray=−1 .
Atsakymas: y=-1.
19
23. Sakykime, kad n – šifro-žodžio ilgis (raidžių skaičius). Pagal sąlygą 3≤n≤6 , t.y. šifro ilgis gali
būti arba 3, arba 4, arba 5, arba 6 raidės.
1) šifrus iš trijų skirtingų raidžių galima sudaryti 8⋅7⋅6=336 būdais;
2) šifrus iš keturių skirtingų raidžių galima sudaryti 8⋅7⋅6⋅5=1680 būdais;
3) šifrus iš penkių skirtingų raidžių galima sudaryti 8⋅7⋅6⋅5⋅4=6720 būdais;
4) šifrus iš šešių skirtingų raidžių galima sudaryti 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3=20160 būdais;
Taigi, bendras šifrų skaičius yra 336+1680+6720+20160=28896 .
Atsakymas: 28896.
24. Išskaidykime daliklį pirminiais dauginamaisiais: 182=13⋅7⋅2 .
Dabar akivaizdžiai matome, kad skaičius 1⋅2⋅3⋅.. .⋅15 bus dalus iš 182, šių skaičių dalmuo yra:
1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅12⋅13⋅14⋅152⋅7⋅13
=1⋅3⋅4⋅5⋅6⋅8⋅9⋅10⋅11⋅12⋅14⋅15.
Skaičių 200 dalindami iš 182 gausime dalmenį 1 ir liekaną 18.
Taigi, kai 1⋅2⋅3⋅.. .⋅15+200 dalinsime iš 182, gausime dalmenį
1⋅3⋅4⋅5⋅6⋅8⋅9⋅10⋅11⋅12⋅14⋅15+1 ir liekaną 18.
Atsakymas: dalmuo 1⋅3⋅4⋅5⋅6⋅8⋅9⋅10⋅11⋅12⋅14⋅15+1 , liekana 18.
20
25.
1⋅2⋅3⋅. . .⋅100
6100=1⋅2⋅3⋅. ..⋅100
(2⋅3 )100=1⋅2⋅3⋅. ..⋅100
2100⋅3100. Taigi ši trupmena gali būti prastinama iš
dvejetų ir trejetų, kadangi kitų dauginamųjų vardiklyje nėra. Reiškia mums reikia nustatyti, kiek
skaitiklyje yra dvejetų ir kiek yra trejetų, itais žodžiais tariant skaitiklį užrašyti pavidalu a⋅2n⋅3m .
Nustatykime, kiek yra dvejetų:
100:2=50, t.y. 50 skaičių dalinasi iš 2 – turime 50 dvejetų;
100:4=25, t.y. 25 skaičiai dalinasi iš 4=2·2, vieną dvejetą mes jau paskaičiavome pirmuoju veiksmu
– turime dar papildomus 25 dvejetus;
Analogiškai paskaičiuojame, kiek skaičių dalinasi iš 8, 16, 32, 64:
100 :8=12100 :16=6100 :32=3100 :64=1Taigi iš viso dvejetų yra 50+25+12+6+3+1=97.
Dabar visiškai analogiškai suskaičiuokime trejetus:
100 :3=33100 :9=11100 :27=3100 :81=1Iš viso 33+11+3+1=48.
Dabar duotąją trupmeną galime užrašyti taip:
a⋅297⋅348
2100⋅3100, o ją suprestinę iš 2
97⋅348 gausime
a
23⋅352.
Atsakymas: 23⋅352
.
26. Jei 1 puslapyje būtų ne daugiau kaip 4 klaidos, tai jų būtų . Pagal sąlygą klaidų yra
102 t.y. 102 > 100. Taigi pagal Dirichlė principą bus bent vienas puslapis, kuriame tikrai bus
daugiau negu 4 klaidos.
21
C68o
?D
27. Trikampio kampų suma lygi 1800. Kadangi skritulių centrai sutampa su trikampio viršūnėmis,
tai ir uždengtą plotą sudaro 1800. Na o 1800 sudaro ištiestinį kampą, o tai
yra pusė skritulio. Taigi užtušuotos figūros plotas lygus „viso trikampio
plotas“ minus „pusė 1 skritulio ploto“.
Skritulio plotas:
Skritulių uždengiamas plotas:
Visas užtušuotos figūros plotas:
Ats.: Užtušuotos figūros plotas .
28. Pažymime, kad kampas lygus x, o lygus y.
Kadangi trikampio kampų suma lygi 1800, tai
Pažymime, kad lygus z.
Kadangi BD ir CD atitinkamai yra ir pusiaukampinės, tai kampų suma lygi
. Iš čia išeina, kad
Ats.: = z = 1240.
22
A
B
29. a∇ b=a⋅b+a+b
Kadangi , tai ir 23=
Ats.: x = 7.
30. Pažymime, kad Jonuką aplenkė x vaikų, tada jis aplenkė 3x vaikų.
Žinodami visą kiekį, sudarome lygtį:
Jei Jonuką aplenkė 502 vaikai, tai jis buvo 502 + 1 = 503.
Ats.: Jonukas buvo 503.
23
31. Jei x – laikas, per kurį pirma brigada gali atlikti darbą (iškrauti aštuonis vagonus), tai per vieną
valandą ši brigada atliks 1/x dalį darbo. Antroji brigada visą darbą atlieka per (x+1) valandą, o per
vieną valandą atlieka 1/(x+1) dalį darbo. Dirbdamos kartu abi brigados per vieną valandą atlieka
1x+ 1x+1 dalį darbo. 7 vagonai – tai yra 7/8 viso darbo, o vienas vagonas – 1/8 viso darbo. Pagal
užduoties sąlygą sudarome lygtį:
78
1x+
1x+1
+
181x+1
=2
subendravardiklinę ir atlikę visus veikslžmus gauname:
9 x2−22x−15=0D=484+540=1024=322
x1=22−3218
=−59x2=
22+3218
=3
Pirmasis sprendinys netinka, nes laikas turi būti teigiamas skaičius. Reiškia pirmoji brigada gali
atlikti visą darbą per tris valandas, o antroji brigada gali atlikti visą darbą per keturias valandas.
Atsakymas: pirmoji brigada – 3 valandos, antroji brigade – 4 valandos.
32.
{x+ y=1996 ¿ { y+z=1997 ¿ ¿¿¿tuomet
y=1996-998,5=997,5
z=1998-998,5=999,5
Atsakymas: (x;y;z)=(998,5; 997,5; 999,5).
24
33. Sandauga lygi nuliui, kai bent vienas iš dauginamųjų lygus nuliui.
1) (36−x2)=0 => (6−x )(6+x )=0 => x1=6 x2=−6
2) √−2 x+8=0 => (−2x+8 )=0 => x3=4
Tačiau x1=6nėra duotosios lygties sprendinys, nes netenkina kvadratinės šaknies apibrėžimo
srities (pošaknis turi būti neneigiamas).
Taigi sprendinių suma yra lygi: -6+4=-2.
Atsakymas: -2.
34. Subendravardiklinę, gauname
n12
+ n2
8+ n
3
24=2n+3n2+n3
24=n(2+3n+n2 )24
=n (n+1)(n+2 )
3∗2∗2∗2
Skaitiklyje narį 2+3n+n2 išskaidome dauginamaisiais(naudojant formulę
ax 2+bx+c=a( x−x1 )( x−x2 )), tam apskaičiuojame šio kvadratinio trinario diskriminantą ir
sprendinius:
2+3n+n2=0 D=9−8=1 n1=−3−1
2=−2 n2=
−3+12
=−1
Duotoji trupmena bus sveikasis skaičius, jeigu skaitiklis bus dalus iš vardiklio, t.y. iš 3 ir 23
.
Po pertvarkymo trupmenos skaitiklyje yra trijų iš eilės einančių skaičių sandauga, tai reiškia, jog
tarp jų būtinai bus vienas skaičius, dalus iš trijų. Be to, sąlygoje pasakyta, jog n yra lyginis skaičius,
vadinasi (n-2) taip pat yra lyginis skaičius, abu šie lyginiai dalūs iš dviejų, tačiau kadangi tai iš eilės
einantys du lyginiai skaičiai, tai vienas iš jų dalinasi iš keturių. Todėl visas skaitiklis yra dalus iš 24.
35.
a2
(a−b )(a−c )+b
2
(b−c )(b−a )+c
2
(c−a)( c−b )=a
2
( a−b )(a−c )
¿−c−b
2
(b−c )( a−b )
¿−c+c
2
(a−c )(b−c )
¿−b=
¿b(a2+cb )−c( a2+cb)−a(b2−c2)(a−b )(a−c )(b−c )
=( a2+cb )(b−c )−a( b−c )(b+c )( a−b )(a−c )(b−c )
=( b−c )(a2+cb−ab−ac )( a−b )(a−c )( b−c )
=
¿a(a−b )+c (b−a )(a−b )(a−c )
=a (a−b )−c (a−b )(a−b)( a−c )
=(a−c )(a−b )(a−b)( a−c )
=1
25
36. Iš to, kas duota, išreiškiame, kad y−x=1 . Tuomet pertvarkykim lygybės, kurią reikia įrodyti,
kairiąją pusę. Padauginus kairią pusę iš 1, žinoma, niekas nepasikeis. O vietoj vieneto įrašykime
y−x :
( y−x )(x+ y )( x2+ y2 )(x 4+ y4 )=( y2−x2 )( x2+ y2 )( x4+ y4 )=( y4−x 4 )( x4+ y4 )= y8−x8
37. Tarkime, kad didesnis skaičius yra x, tuomet:
x-0,8x=172
x=860
skirtumas 860-688=172
Atsakymas: 172=860-688.
38. Abu pošaknius galima parašyti, kaip sumos ir skirtumo kvadratus, t.y.
x2+2 x+1=( x+1 )2 ir x2−2x+1=( x−1)2, tada reiškinys atrodo taip
√( x+1)2+√( x−1)2=|x+1|+|x−1|, jo reikšmės lygios
1) Kai x≤-1, tai |x+1|+|x−1|=-(x+1)-(x-1)=-2x
2) Kai -1<x≤1, tai |x+1|+|x−1|=(x+1)-(x-1)=2
3) Kai x>1, tai |x+1|+|x−1|=x+1+(x-1)=2x
39. Ne, nes išskaidžius skaičių abc skyriais, gausime abc=100 a+10b+c , jeigu tą patį
padarytumėme su duotaisiais dviženkliais skaičiais ir juos susumuotumėme, suma būtų lygi
ab+bc+ac=10a+b+10b+c+10a+c=20a+11 b+2c .
Taigi gauname lygtį:
100a+10b+c=20a+11b+2c80a=b+ca ir b yra skaitmenys, reiškia jų suma negali būti 80 kartotinis.
40.
a2−ac2+2c2−4a2+2a+2c2−c4
−a2−4 a+4a2+ac2−2a−2c2
=(a−2)(a+2)−c2(a−2)(a−c2 )(a+c2)+2(a+c2)
−(a−2)2
a( a−2 )+c2(a−2)=
¿( a−2 )(a+2−c2)( a+c2)(a+2−c2)
−( a−2 )2
( a−2 )(a+c2)=a−2a+c2
−a−2a+c2
=0
26
41. Išskaidžius skaičių abca skyriais, gauname tokią sumą abca=1000a+100b+10c+a .
Išskaidžius sumos kvadratą (5c+1)2gauname (5c+1)2=25c2+10c+1 .
Sulyginame gautąsias dvi sumas 1000a+100b+10 c+a=25 c2+10 c+1 , iš čia matome, jog
skaitmuo a=1, belieka surasti b ir c. abca=1bc1 , panagrinėkime skaitmenį c.
1000a+100b+10 c+a=25 c2+10 c+1
1000+100b+10 c+1=25c2+10c+11000+100b+10 c+1−25c2−10c−1=01000+100b−25c2=025( 4b−c2 )=−1000|:25
4 b−c2=−40c2=40+4b=4 (10+b )c=√4(10+b)=2√10+b
Kadangi c yra natūralusis skaičius ir 0≤c≤9 , tai vienintelė b reikšmė gali būti 6, nes tik tada
traukiasi kvadratinė šaknis iš reiškinio 10+b. Tada b = 6, o c = 8. Ieškomas skaičius 1681 = 412
Atsakymas: 1681.
42. Išskaidome 7920 dauginamaisiais.
7920=2⋅2⋅2⋅2⋅5⋅3⋅3⋅11=8⋅10⋅9⋅11 .
Kadangi sąlygoje nepasakyta, kokie yra yra pradiniai skaičiai, tai atsakymas yra šie skaičių rinkiniai:
(8, 9, 10, 11), (-11, -10, -9, -8).
Atsakymas: (8, 9, 10, 11), (-11, -10, -9, -8).
43. Ne, nes visi pateiktieji skaičiai yra 3 kartotiniai. Kad ir kuriuos iš jų išbrauktumėme, likusiųjų
suma bus taip pat 3 kartotinis. O 100 nėra 3 kartotinis.
Atsakymas: negalima.
27
44.
Atsakymas: 544< 4 53
45.
28
(√b+c2
c2−√b−c2
b0,5 ) :(b12
√b−c2−c
2
b0,5+c2 )=(√b+c2
c2−√b−c2
√b ):(√b√b−c2−c
2
√b+c2 )=¿b+√b⋅c2−√b⋅c2−c4
c2⋅√b:c2√b+b−c2√b−c4
b−c4=b−c
4
c2√b:b−c4
b−c4=b−c
4
c2 √b
46. Pradžioje pastebėkime, kad jeigu skaičių pora (x;y) yra lygties sprendinys, tai ir (x; -y) bus šios
lygties sprendinys.
Pertkelkime vienetą į kitą pusę: 3⋅2x= y2−1 .
Mes ieškome sveikuosius sprendinius, reiškia dešinė pusė (kai y yra sveikasis skaičius) yra sveikasis
skaičius. Tam, kad kairė pusė būtų sveikasis skaičius, x turi būti neneigiamas sveikasis skaičius.
Tokiu atveju:
3⋅2x≥3 (kai x=0), t.y.
y2-1≥3 => y2≥4 => y¿2 arba y≤-2.
Kai x = 0, tai y = 2 arba y=-2. Gavome pirmuosius sprendinius (0; 2) ir (0;-2) .
Kai x > 0, kairėje lygybės pusėje bus lyginis skaičius, todėl y turi būti nelyginis. Pažymėkime:
y = 2k + 1.
Tuomet:
3⋅2x= y2−1=(2k+1 )2−1=4 k2+4k+1−1=4k2+4 k
3⋅2x=4 (k2+k ) | :4
3⋅2x−2=k (k+1) .
Dešinė pusė – dviejų iš eilės einančių sveikųjų skaičių sandauga, t.y. lyginis skaičius, todėl ir kairė
pusė turi būti lyginis skaičius. Todėl x¿ 3. Tada:
k (k+1)≥6⇒k≥2 .
Vadinasi, vienas iš dauginamųjų - k arba (k + 1) - lygus 3, t.y.
1) k = 3
y=2k+1=7
3·2x=48 => 2x=16 => x=4
Sprendiniai: (4;7) ir (4;-7)
2) k+1=3 => k=2
y=2k+1=5
3·2x=24 => 2x=8 => x=3
Sprendiniai: (3;5) ir (3;-5)
Atsakymas: (0; 2), (0; -2), (3; 5), (3; -5), (4; 7), (4; -7).
29
47. Tarkime, kad vienas skaičius yra 18·a, o kitas yra 17·b.
Tuomet:
18·a+1=17·b
17a+a+1=17b
a+1=17(b-a)
taigi, (a+1) turi būti 17 kartotinis.
1) a+1=17 => a=16 ir pirmas skaičius lygus 18a=18·16=288;
b-a=1 => b=17 ir antrasis skaičius lygus 17b=17·17=289.
2) a+1=34 => a=33 ir pirmas skaičius lygus 18a=18·33=594;
b-a=2 => b=35 ir antrasis skaičius lygus 17b=17·35=595. ir t.t.
Atsakymas: egzistuoja.
48. Išreiškiame sumas:
a+c= -b
c+b= -a
a+b = -c
Tada pertvarkome reiškinį:
a3+a2c−abc+b2c+b3=a2(a+c )−abc+b2( c+b )=−a2b−ab2−abc=−ab( a+b )−abc=
=−ab⋅(−c )−abc=abc−abc=0 . Įrodyta.
49. Iš pirmos lygybės išsireiškiame m = -2,8n ir įrašę į antrąją lygybę gauname 13,44.
Atsakymas.: 13,44.
50. Pirmiausia lygybės x+y=a abi puses pakelkime kvadratu: x2+2 xy+ y2=a2
; vietoj x2+y2
įrašę b, gausim: 2 xy+b=a2
⇒ xy=a
2−b2 .
Dabar skaičiuojame: x3+ y 3=( x+ y )( x2−xy+ y2)=a⋅(b−a
2−b2
)=a⋅(3b−a2 )
2 .
Atsakymas: x3+ y3=
a⋅(3b−a2 )2 .
30
A
B
C
D
51.
K
O O
O O
K K K
52. Plokštumoje išdėstyti keturis taškus taip, kad jie būtų vienodai nutolę vienas nuo kito,
neįmanoma. Tai galima padaryti tik erdvėje. Taisyklingojo daugiasienio tetraedro viršūnės kaip tik
vienodai nutolusios viena nuo kitos. Vieną butelį reikia statyti kaklelių žemyn. (A, B, C, D – žymi
butelių pagrindus, ABDC – taisyklinga trikampė piramidė).
AB = BD = DA = CB = AC = DC
53. Viskas prasidėjo nuo vienos vištytės, o baigėsi dviem gaidžiais. Reiškia, vištyčių buvo suvalgyta
viena mažiau negu gaidžių, t.y. 16.
Atsakymas: 16 vištų.
54. Įsivaizduokime, kad gabalus reikia padalinti po lygiai penkiems žmonėms. Tam tikslui kiekvieną
gabalą padalijame į penkias lygias dalis. Gauname penkias lygias dalių poras, kuriose po vienodai
aukso. Viena pora sveria 1 kg. Joje nuo pirmojo gabalo 0,4 kg, o nuo antrojo - 0,6 kg.
55. Butuose, kuriuose gyvena D broliai, bendras langų ir durų skaičius yra lyginis. B ir C butų langų
ir durų skaičius irgi yra lyginis. Tačiau A bute yra trejos durys ir du langai, t.y. durų ir langų skaičius
– nelyginis. Tad A nėra D brolis. Vadinasi A yra D sesuo. A – moteris, tad ji negali turėti uošvės.
Atsakymas: ne, negyvena.
31
56. Su viena plyta mes negalėsime išspręsti šio uždavinio, tačiau, jeigu sudėsime tris plytas ir
pasinaudosime virvute(mėlyna spalva) – tai įstrižainę išmatuosime tokiu būdu:
57.
58. Pavaizduokime pirmąjį skaičių sandaugos pavidalu:
(1977 ! )2=(1⋅1977 )(2⋅1976 )(3⋅1975)⋅.. .⋅(1975⋅3)(1976⋅2)(1977⋅1 ) kiekvieno iš
dauginamųjų skliaustuose suma yra lygi 1978. Pirmasis ir paskutinis dauginamieji yra lygus 1977,
kiekvienas iš likusiųjų dauginamųjų yra didesnis už 1977, nes tai sandauga dviejų skaičių,
mažiausias iš kurių yra nemažesnis už 2, o didžiausias – ne mažesnis už 1978:2=989. Kadangi
19771977 tai sandauga 1977 skaičių, kurių kiekvienas yra lygus 1977, tai akivaizdu, jog ši sandauga
yra mažesnė už (1977!)2.
32
√√20−√11⋅¿√√20+√11=√(√20−√11)⋅(√20+√11 )=√(√20)2−(√11 )2= ¿=√20−11=√9=3
√3√3√3⋅8√3=√3√3⋅312⋅3
18=√3√3
32⋅3
18 =√3⋅(3
32 )
12⋅3
18 =√3⋅3
34⋅3
18 =√3
74⋅3
18 =(3
74 )
12⋅3
18 =
¿378⋅3
18 =3
88 =3
59. Šią sistemą galima spręsti įvairiai. Parodysiu vieną iš sprendimo būdų. Atsižvelgsime į tai, jog
visų lygčių dešinės pusės yra vienodos. Atėmę iš pirmosios lygties antrąją, gauname
2(x-y)+z(y-x)=0
(x-y)(2-z)=0
Todėl pakanka išnagrinėti du atvejus:
1) x = y 2) z = 2
1) Pirmuoju atveju, kai x = y, pradinė sistema virsta tokia:
{2 x+xz=3¿ ¿¿¿Vėl atėmę šias lygtis viena iš kitos, gauname (2-x)(x-z)=0. Taigi, vėl turime dvi galimybes:
a) x = 2, t.y. x = y = 2
b) 1b) x = z, t.y. x = y = z
Nagrinėjame toliau:
a) atveju x = y = 2 pradinės sistemos lygtys tampa 4 + 2z = 3, todėl z = -0,5, ir turime vieną
sprendinį (2; 2; -0,5)
b) atveju x = y = z pradinė sistema virsta lygtimi 2x + x2 = 3, tada x gali įgyti reikšmes x = 1 arba -3.
Gauname sprendinius (1; 1; 1) ir (-3; -3; -3)
2) Antruoju atveju, kai z = 2, gauname tokią pradinę sistemą:
{x+ y=32
¿ ¿¿¿
Kurios sprendiniai yra (x; y) = (2; -0,5) ir (x; y) = (-0,5; 2). Jie duoda dar du pradinės sistemos
sprendinius (2; -0,5; 2) ir (-0,5; 2; 2)
Atsakymas: (2; 2; -0,5) (1; 1; 1) (-3; -3; -3) (2; -0,5; 2) (-0,5; 2; 2)
60. Galime sumažinti koeficientus, padalindami pirmąją lygybę iš 2, o antrąją - iš 3:
3a+b=2400 ,52c+d=865 ,25a+3b+2d=3821
Matome, kad sudėjus pirmą ir trečią lygybes, a ir b koeficientai pasidaro lygūs 4,
4 a+4b+2d=6221 ,5
kad tokie pas pasidarytų c ir d koeficientai, reikia antrą lygybę padauginti iš 2 ir pridėti prie jau
gautos lygybės.
33
4c+2d=1730 ,5+4a+4b+2d=6221 ,54a+4b+4c+4d=7952Padalijame gautą lygybę iš 4 ir gauname:
a+b+c+d=1988
Atsakymas: 1988.
61. Didžiausias skaičius 12 turi būti lygus kitų dviejų skaičių, esančių toje pačioje grupėje, sumai.
Sakykime, kad 12 = 11+1. Didžiausias iš likusiųjų skaičių 10 turi būti lygus kitų dviejų skaičių,
esančių toje pačioje grupėje, sumai. Kadangi 1 jau užimtas, galimi trys atvejai:
10 = 8+2; 10 = 7+3; 10 = 6+4;
Kai 10 = 8+2, tai didžiausias iš likusiųjų skaičių 9 gali būti išreikštas dviejų skaičių suma dviem
būdais:
9 = 6+3; arba 9 = 5+4 (nes skaičiai 1 ir 2 jau užimti).
Jei 9 = 6+3, tai lieka skačiai 7, 5, 4. Bet 7 ≠ 5 + 4.
Jei 9 = 5+4, tai lieka skaičiai 7, 6, 3. Bet 7 ≠ 6+3.
Kai 10 = 7 + 3, tai 9 = 5+4 (nes 1, 7, 3 jau užimti). Lieka 8 = 6+2. Ir gauname reikiamą skirstinį:
12 = 11+1; 10 = 7+3; 9 = 5+4; 8 = 6+2.
Kai 10 = 6+4, tai turime skirstinį 12 = 11+1; 10 = 6+4; 9 = 7+2; 8 = 5+3;
Ats.: 12 = 11+1; 10 = 6+4; 9 = 7+2; 8 = 5+3.
62. 1000 skirtingų mažiausių lyginių skaičių suma 2+4+6+---+2000 = 1000*1001=
1001000>1000998. Taigi duotoje sumoje yra bent vienas nelyginis dėmuo, o kadangi visa suma
yra lyginė, tai ir bent du skaitmenys bus nelyginiai.
63. Sekos nariai pradeda kartotis kas šeši. Bet 1989 =6*331+3, todėl
34
a1989=a3=32
64. Turime 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040.
Kadangi 7! Keturženklis skaičius, tai skaitmenys a, b, c ne didesni už 6. Bet jie ne didesni už 5, nes
kitaip duotosios lygybės dešinė pusė būtų didesnė už 720, taigi a būtų ne mažesnis už 7.
Bent vienas iš skaitmenų lygus 5, nes kitaip dešinė pusė būtų ne didesnė už 4!+4!+4! = 72. Be to, a
< 4, nes net 5!+5!+5! = 360<400; a ≠ 3, nes net 3!+5!+5! = 246 < 300; a ≠ 2, nes 2! + 5! + 5! = 242,
o 2!+4!+5! < 200. Taigi, a = 1. Ir dešinė pusė lygi 1!+5!+x! = 121+x!. Kadangi kairė pusė mažesnė
už 200, tai x ≤ 4. Bet su x reikšmėmis 1, 2, 3 (ir su reikšme 0, kuri duotų 0! = 1) dešinės pusės suma
neturi skaitmens 5. Lieka x = 4, tada 121+4! = 145, ir gauname lygybę
145 = 1! + 4! + 5!
Ats.: 145 = 1! + 4! + 5!.
65. Raskime kiekvieno šio reiškinio dėmens dalybos iš 8 liekanas:
116 mod 8 = 4
17 mod 8 = 1; 1717 mod 8 = 117 = 1
116 + 1717 mod 8 = 4 + 1 = 5
521 mod 8 = (53)7 mod 8 = 57; 53*(52)2 mod 8 = 5 * 1 = 5
Gavome, kad duotojo reiškinio dalybos iš 8 liekana lygi 5.
Atsakymas: 5.
66. Raskime kiekvieno šio reiškinio dėmens dalybos iš trijų liekanas:
16 mod 3 = 1 168 mod 3 = 18 = 1
5 mod 3 = 2 531 mod 3 = 231 = 2·(22)15; 2 mod 3 = 1; 22 mod 3 = 1; (22)15 mod 3 = 1
8 mod 3 = 2 813 mod 3 = 213 = 2·(22)5 ; 2 mod 3 = 1; 22 mod 3 = 1; (22)5 mod 3 = 1
Vadinasi, jei atliksime visus veiksmus su liekanomis, gausime išraišką:
1 – 1·1·1·1 = 0, tai reiškia, jog duotasis reiškinys dalijasi iš trijų be liekanos.
Atsakymas: reiškinys dalijasi iš 3 be liekanos.
67. Raskime kiekvieno šio reiškinio dėmens dalybos iš 7 liekanas:
2999 mod 7 = (23)333 mod 7 = 1333 = 1
3999 mod 7 = (33)333 mod 7 = (-1)333 = -1
2999+3999 mod 7 = 1 + (-1) = 0
Vadinasi, duotasis reiškinys dalijasi iš 7 be liekanos.
Atsakymas: reiškinys dalijasi iš 7 be liekanos.
35
68. Kadangi 2y2 yra lyginis skaičius, tai x turi būti nelyginis.
Toliau 2y2 = x2 – 1;
2y2 = (x-1)(x+1). Vadinasi, dešinioji pusė dalijasi iš 4. Bet tada y dalijasi iš 2. Kadangi sprendiniai turi
būti pirminiai skaičiai, tai y = 2. Tada 8 = (x - 1)(x + 1), ir x = 3.
x = 3; y = 2.
Atsakymas: (2;3).
69. Kadangi xn+xn+1+xn+2=xn+1+xn+2+xn+3 , tai xn=xn+3 , o tai reiškia, kad kas trečias
sekos narys sutampa. Vadinasi, x9=x6=x3=9 , o x86=x83=. ..=x5=x2=86 . Todėl seka
yra 1, 86, 9, 1, 86, 9….
Atsakymas: 1, 86, 9, 1, 86, 9, 1, ….
70. Iš vienos bakterijos per 1 sekundę atsiranda dvi. Toliau procesas vyksta taip pat, kaip ir
mėgintuvėlyje su dviem bakterijom. Vadinasi, teisingas atsakymas yra 59 min ir 59 s.
Atsakymas: 59 min 59 s.
71. Skaičių 120 išskaidykime pirminiais dauginamaisiais: 120 = 2·2·2·3·5.
Tarp iš eilės einančių penkių skaičių vienas yra skaičius, kuris dalijasi iš 2; yra skaičius, kuris dalijasi
iš 3; yra skaičius, kuris dalijasi iš 4=2·2 ir yra skaičius, kuris dalijasi iš 5.
Belieka įrodyti, kad nagrinėjama sandauga dalijasi iš 8=2·2·2.
Tarp penkių iš eilės einančių skaičių gali būti trys lyginiai ir du nelyginiai arba du lyginiai ir trys
nelyginiai.
Pirmuoju atveju „trys lyginiai ir du nelyginiai“, akivaizdu, kad sandauga dalijasi iš 8 – iš kiekvieno
lyginio daugiklio iškeliamas dvejetas.
Antruoju atveju turime sandaugą:
(2n-1) ·2n·(2n+1) ·(2n+2) ·(2n+3)=4n· (n+1) ·(2n-1)(2n+1) ·(2n+3)
n(n+1) – du iš eilės einantys skaičiai. Vienas iš jų yra lyginis, o kitas nelyginis. Reiškia iš šios
sandaugos gali būti iškeltas daugiklis 2. Ir skaičius 4n(n+1), o kartu ir visa penkių skaičių sandauga,
dalijasi iš 8.
36
A D F C
C B
A
D
K
A
B1
C
B
O
O1
72. Tegul ∟A = 15o, ∟B = 105o, ∟C = 60o.
Išveskime BD⊥BC . Sujungsime
atkarpos CD vidurį su tašku B, gausime
tašką F. F – apie trikampį BCD apibrėžto
apskritimo centras , todėl BF = DF = CF.
Vadinasi ∆BCF ir ∆BFD – lygiašoniai. Kadangi ∠ ABD=105o−90o=15o , tai ir ∆ABD lygiašonis.
Gausime tris lygiašonius trikampius.
73. Tegul ∟C = 90o. BD yra ∟B pusiaukampinė, o AD - ∟A pusiaukampinė. BD ir AD susikerta taške
D. Ieškosime ∟DBK = x, kaip mažiausiojo iš
susidariusių kampų.
Kampas x yra trikampio ABD išorinis kampas,
todėl x=∠DAB +∠DBA . Todėl
x=12∠ A+ 1
2∠B;2x =∠A +∠B=90o ; x=45o ;
74. Taškas O – pusiaukraštinių (BO, CO, AO) susikirtimo taškas.
Pagrindinis uždavinių su pusiaukraštinėmis sprendimo būdas yra trikampio
papildymas iki lygiagretainio.
Atidėkime B1O1=BO1 ir nubraižykime
lygiagretainį ABCB1. Pagal jo įstrižainių savybę:
2( AB2+BC2 )=AC2+BB12 .
Iš čia BB1=√58 .
BO1=12BB1=
12
√58
BO=23BO1=
13√58
.
Analogiškai papildant trikampį ABC iki lygiagretainio, randame AO ir CO:
BD = 4.
37
AO=53
√7 ; CO=13√142
AD:DC = 1:8.
38
AC
D N
B
M
75. Tarkime, kad vienai daliai tenka x vienetų.
Tada AD = x, DC = 8x, AC = 9x.
SABC = 0,5*AC*BD = 18x
Vadinasi, SABMN = SMNC = 9x.
Kadangi SBDC = 0,5*4*8x = 16x, tai atsižvelgiant į tai, jog panašių
figūrų plotai sutinka tokiu pat santykiu, kaip kraštinių kvadratai,
gauname:
SBDC : SMNC = BD2 : MN2
16x : 9x = 16 : MN2
MN2 = 9
MN = 3.
Ats.: MN=3.
39
