Documentv3

Uvod v osnove ra~una dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij Vaja 25

1

Za konstrukcijo na sliki dolo~i {tevilo dinami~nih prostostnih stopenj, njihovo lego in izra~unaj lastne frekvence in nastavi gibalne ena~be. Izra~unaj {e kriti~no uklonsko silo za primer koncentrirane vertikalne sile na vrhu konstrukcije.

M1=1.5 104 kg M2=2.0 104 kg EI=140 GNm2

RE[ITEV Konstrukcijo sestavljata dve koncentrirani masi (4 prostostne stopnje v ravnini) in dve osno nedeformabilni palici (dve pogoja): sistem ima tako dve prostostni stopnji. Lastne frekvence pa bomo izra~unali za {est razli~nih izbir prostostnih stopenj, kar bomo uporabili za kontrolo, saj je jasno, da morajo biti lastne frekvence, ki so lastnost konstrukcije in so neodvisne od izbire prostostnih stopenj, vedno enake. I. izbira dinami~nih prostostnih stopenj

Prostostne stopnje poskusimo izbrati ~im bolj pravokotno na elemente. Tam, kjer to ni enoli~no mogo~e (stik obeh elementov), izberemo pa~ eno izmed mo`nosti.

Izra~un podajnostne matrike

2.5EI

M2

EI

M1

3.0

2.5

2.5EI

u2EI

u1

3.0

2.5


2

2.5--3.0

-

x1=1

3.0

-5.5[M1]

2.5

-

x2=1

3.0

2 5 2.[M2]

^lene podajnostne matrike dobimo z integriranjem diagramov momentov, ki nastopijo zaradi enotnih sil x1=1 in x2=1, ki delujeta v smereh izbranih prostostnih stopenj. Tako dobimo:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

dM M

EIdx

d

d

d

iji j

x

=

=

+

+ + +

=

=

+

=

=

11 9

99

12 9 99

22

3 0 3 0 3 03 140 10

55 2 55 30 3 0 55 2 3 0 2 5 26 140 10

10

30 35355 2 5 22 140 10

2 5 35355 2 5 23 140 10

10

35355

. . .

. . . . . . .

. . . . . .

.

0.5335857506428571

0.2083333333328571

( )

= 35355 2 5 2

3 140 10109

9. . 0.1052242233571428

[ ]d =

0.5335857506428571 0.20833333333285710.2083333333328571 0.1052242233571428

10 9

Masna matrika:

2.5EI

M2

u1M1

3.0

2.5

2.5

v12

M2 u2

M1

3.0

2.5

P


3

Kinemati~ne zveze so:

uu

vu u

22

122 2

3 23 2

33 2

32

= =

= =

=

Kineti~na energija je tako:

TM u M u M v M u M u M u

Tu

M uM u

ddt

Tu

M u

Tu

M u M u

ddt

Tu

MM

=

+

+

=

+

+

=

=

=

=

+

= +

1 12

2 22

1 122

1 12

2 22

1 22

1

1 11 1

11 1

2

2 2 1 2

22

1

2 2 2 2 2 2 2

22

22

22 2

2

& & & & & &

&

&&

&&&

&

& &

&

[ ]

= =+

= +

&&

..

.

u

MM

MM

2

1

21

40

02

15 00 2 0

152

10M

Sedaj izra~unamo dinami~no matriko kot:

[ ] [ ] [ ]DM d M= =

+

=

0.5335857506428571 0.20833333333285710.2083333333328571 0.1052242233571428

8.003786259642856 5.729166666653573.124999999992857 2.893666142321427

1015 00 2 0

152

10

10

9 4

6

..

.

Izra~unajmo sedaj lastni vrednosti dinami~ne matrike DM. I{~emo torej ni~li kvadratne ena~be: 8.003786259642856 5.72916666665357

3.124999999992857 2.893666142321427

5.256639476654513 1.089745240196428

= =

+ =

10 1010 10

01

10 10 0

6 6

6 6 2

12 5 2

ki sta:


4

1

51

21

27

22

2

1010

= = =

= = =

1.039159760701879 96231.59381427264 310.21217547716055.058547949454874 1.976851875265436 10 1406.005645531146

Lastna vektorja, ki jo dobimo s pomo~jo re{itve sistema ena~b, in ju nato normiramo na masno matriko, sta:

[ ]$ =

7.110832519052568 4.012820398753372.963664275488996 5.25169786124703

10 3

II. izbira prostostnih stopenj

Oglejmo si sedaj drugo mo`nost izbire druge prostostne stopnje.


2.5--3.0

-

x1=1

3.0

-5.5[M1]

2.5

-

x2=1

3.0

-2.5

[M2]


2.5EI

u2

EI

u1

3.0

2.5


5

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

dM M

EIdx

d

d

d

iji j

x

=

=

+

+ + +

=

=

+

=

=

11 9

99

12 9 99

22

3 0 3 0 3 03 140 10

55 2 55 30 3 0 55 2 3 0 2 5 26 140 10

10

30 2 5 2 5 22 140 10

2 5 2 5 2 5 253 140 10

10

2 5

. . .

. . . . . . .

. . . . . .

.

0.5335857506428571

0.1473139127142857

( )

= 2 5 2 5 2

3 140 10109

9. . 0.05261211169285715

[ ]d =

0.5335857506428571 0.14731391271428570.1473139127142857 0.05261211169285715

10 9

Masna matrika:

2.5EI

M2

u1M1

3.0

2.5

2.5

v12

M2 u2

M1

3.0

2.5

P

v22u2"

Iz slike vidimo, da veljajo naslednje kinemati~ne zveze: v u u

uu u u

vu

u

22 2 2

22 2 2

122

2

45

452

23 2

3

33

3

= =

= =

= =

= = =

tan

cos"



6

TM u M u M v M u M u M v M v

M u M u M u M u M u M u M u

Tu

M u

ddt

Tu

=

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

=

1 12

2 22

1 122

1 12

2 22

2 222

1 122

1 12

2 22

2 22

1 22

1 12

2 22

1 22

1

1 1

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 22

2 2

22

& & " & & & & &

& & & & & & &

&

&

&

( )

[ ]

11 1

2

2 2 1 2

22 1 2

1

2 1

4

22

22

2

2

00 2

15 00 2 2 0 15 10

=

=

+

= +

= = +

= +

M u

Tu

M u M u

ddt

Tu

M M u

MM

M M

&&

&

& &

&&&

.. .

M


[ ] [ ] [ ]DM d M= =

=

0.5335857506428571 0.14731391271428570.1473139127142857 0.05261211169285715

1015 00 55

10

0800371875 0810218750 22096875 0 289363839 10

9 4

5

..

. .. .

Izra~unajmo sedaj lastni vrednosti dinami~ne matrike DM. I{~emo torej ni~li ena~be: 8.003786259642856 8.102265199285715

2.209708690714285 2.893666143107143

10.89745240275 5.2566394908611341039159760640763 96231.59381993231 310.21217548628275.05854796342364 .976851869806523 10 1406.0056435898556

=

+ =

+ =

= = =

= = =

10 1010 10

0

2 315986712 10 10 89735705 10 1790330244 10 010 10 0

1010 1

6 6

6 6

11 6 2 11

2 6 12

16

12

1

27

22

2

. . .

Odstopanje med rezultati nastopi zaradi numeri~ne napake in ne zaradi sistemske napake. Lastna vektorja, ki jo dobimo s pomo~jo re{itve sistema ena~b, in ju nato normiramo na masno matriko, sta:


7

[ ]$ =

7.11083251911238 4.012820398647381

2.095627106303234 3.713511170461910 3

Vidimo, da lastna vetorja nista enaka kot v I. pristopu (prva ~lena sta slu~ajno enaka). Lastne nihajne oblike, ki so lastnost konstrukcije, so neodvisne od izbire prostostnih stopenj, lastni vektorji, s katerimi pa opisujemo lastne nihajne oblike (so torej orodje za opis lastnih nihajnih oblik), pa so seveda odvisni od izbire prostostnih stopenj, ki v resnici predstavljajo neko vrsto koordinatnega sistema v vektorskem prostoru. Gre torej za isto nihanja, opisano z razli~nimi koordinatnimi sistemi. III. izbira prostostnih stopenj

2.5EI

u2EI

u1

3.0

2.5 Gre za dokaj nenaravno izbiro. Izra~un podajnostne matrike

2.5- 15 2.

-

x1=1

3.0

4 2[M1]

2.5

-

x2=1

3.0

2 5 2.[M2]



8

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

dM M

EIdx

d

d

iji j

x

=

=

+

+

+

+

=

=

+

11 9 9

99

12 9

15 2 15 2 33 140 10

4 2 2 4 2 15 2 2 5 26 140 10

15 2 4 2 2 15 2 2 5 26 140 10

10

15 2 2 5 2 2 5 22 140 10

2 5 2 2 5 2 2

. . . .

. . .

. . . . .

0.440412844

( ) ( )

.

. . .

5 23 140 10

10

2 5 2 2 5 2 2 5 253 140 10

10

99

22 99

=

=

=

0.1999260245

0.1052242233571428d

[ ]d =

0.440412844 0.19992602450.1999260245 0.1052242233571428

10 9

Masna matrika:

2.5EI

M2

u1M1

3.0

2.5

u1'

v11

2.

v12

M2

u2

M13.

2.5

P

Iz slik vidimo, da velja:

u u

v u u u

1 1

11 1 1 1

222

222

22

'

'

=

= = = ali kar tan tan45 4511

111 1 1= = =

vu

v u u

in

uu

v u

22

12 2

15 215 2

15 2

= =

= =

..

.



9

( ) ( )

( )

( )

TM u M u M v v M u M u M u u

Tu

M u M u u

ddt

Tu

M u M u u M u M u

Tu

=

+

+

=

+

+

=

+

= + =

=

1 12

2 22

1 11 12

2

1 12

2 22

1 1 2

2

1

1 1 1 1 2

11 1 1 1 2 1 1 1 2

2

2 2 2 2 2 2

22

22

2

& & & & & & & &

&

& & &

&&& && && && &&

&

( )( )

( ) ( )

[ ]

22

22

1

2 2 15 1515 15 2 0

10

2 2 1 1 2

22 2 1 1 2 1 1 1 2 2

1 1

1 1 2

4

+

= = + +

= =

+

=

+

M u M u u

ddt

Tu

M u M u u M u M M u

MM MM M M

& & &

&&& && && && &&

. .. . .

M


[ ] [ ] [ ]DM d M= =

=

0.440412844 0.19992602450.1999260245 0.1052242233571428

1.02134949525 0.039121819750.4419417384642858 6.8395745

103 0 1515 35 10

10

9 4

5

. .. .

Izra~unajmo sedaj lastni vrednosti dinami~ne matrike DM. I{~emo torej ni~li karakteristi~ne ena~be:

1.02134949525 0.039121819750.4419417384642858 6.8395745

10.89745240249999 5.256639460079616 1.039159760925856 96231.59379353118 44372945.058547932414287 1.976851881924802 10 1406.0056478993256

=

+ =

= = =

= = =

10 1010 10

0

10 10 010 310.21217510

5 5

5 5

2 6 12

15

12

1

27

22

2

Odstopanje med rezultati nastopi zaradi numeri~ne napake. Lastna vektorja, ki jo dobimo s pomo~jo re{itve sistema ena~b, in ju nato normiramo na masno matriko, sta:

[ ]$ . =

6.509950031829596 2.1164358559677332.963664275955339 5.251697860983862

10 3

Vidimo, da sta sedaj dobljena lastna vetorja popolnoma druga~na kot v prej{njih izbirah prostostnih stopenj.


10

IV. izbira prostostnih stopenj

Gre za najbolj nenaravno izbiro, ki je v praksi najverjetneje ne bi nikoli uporabili.


2.5- 15 2.

-

x1=1

3.0

4 2[M1]

2.5

-

x2=1

3.0

-2.5[M2]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

dM M

EIdx

d

d

iji j

x

=

=

+

+

+

+

=

=

+

11 9 9

99

12 9

15 2 15 2 33 140 10

4 2 2 4 2 15 2 2 5 26 140 10

15 2 4 2 2 15 2 2 5 256 140 10

10

15 2 2 5 2 5 22 140 10

2 5 2 2 5 2 5

. . . .

. . .

. . . . . .

0.440412844

( ) ( )

=

=

=

23 140 10

10

2 5 2 5 2 5 23 140 10

10

99

22 99

0.1413690476428571

0.05261211169285715d. . .

2.5EI

u2

EI

u1

3.0

2.5


11

[ ]d =

0.440412844 0.1413690476428571

0.1413690476428571 0.0526121116928571510 9

Masna matrika:

2.5EI

M2

u1M1

3.0

2.5

u1'v11

2.5

v12

M2 u2

M13.0

2.5

P

v22u2"

Iz slik vidimo, da veljajo naslednje kinemati~ne zveze:

u u

v u u u

1 1

11 1 1 1

222

222

22

'

'

=

= = = in

v u u

uu u

u

uu u u

vu

u

22 2 2

22 2

2

22 2 2

122

2

45

452

22

15 215 2

215 2 15

15 215

15 2 2

= =

= =

=

= =

=

=

= = =

tan

cos

.. . .

..

.

"

""



12

( )

( )

( )

( )

TM u M u M v M v v

M u M u M u M u u

M u M u M u u

Tu

M u M u u

ddt

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

=

+

1 12

2 22

2 222

1 11 12

2

1 12

2 22

2 22

1 1 2

2

1 12

2 22

1 1 2

2

1

1 1 1 1 2

2 2 2 2

2 2 22

2

22

22

2

22

22

2

& & & & &

& & & & &

& & & &

&

& & &

( )

( ) ( )

Tu

M u M u u

M u M u M u M u M u

Tu

M u M u u

ddt

Tu

M u M u u

&&& && &&

&& && && && &&

&

& & &

&&& && &&

11 1 1 1 2

1 1 1 1 1 2 1 1 1 2

2

2 2 1 1 2

22 2 1 1 2

2

2 2 2

22

22

22

2

2

= +

= + =

=

+

= + ( ) ( )

( )

[ ] ( ) ( )

= + + = + +

= =

+

=

+

2 2

2 2 2 2 2

2 22 2

2 15 2 152 15 2 15 2 0

10

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2

1 1

1 1 2

4

M u M u M u M u M M u

MM M

M M M

&& && && && &&

. .. . .

M


[ ] [ ] [ ]DM d M= =

=

0.440412844 0.14136904764285710.1413690476428571 0.05261211169285715

1.021349495285554 0.055326607957840890.3125000000768814 0.06839574513555472

103 0 15 2

15 2 710

10

9 4

5

. ..

Izra~unajmo sedaj lastni vrednosti dinami~ne matrike DM. I{~emo torej ni~li karakteristi~ne ena~be: 1.021349495285554 5.532660795784089

3.125000000768814 6.839574513555472

10.89745240421109 5.2566394782799371.039159760921615 96231.59379392397 310.21217544436245.058547949949392 1.976851875072182 10 1406.0056454624156

=

+ =

= = =

= = =

10 1010 10

0

10 10 01010

5 7

6 7

2 6 12

15

12

1

27

22

2


13

Odstopanje med rezultati o~itno nastopi zaradi numeri~ne napake (zaokro`evanje decimalk). Lastna vektorja, ki jo dobimo s pomo~jo re{itve sistema ena~b, in ju nato normiramo na masno matriko, sta:

[ ]$ . =

6.50995003184295 2.116435851859796

2.095627106454009 3.71351117037681410 3

V. izbira prostostnih stopenj

Ta izbira se od prej{nje razlikuje samo po usmerjenosti u1, zato se v podajnostni matriki spremeni samo predznak izvendiagonalnih ~lenov.

[ ]d =

0.440412844 0.1413690476428571

0.1413690476428571 0.0526121116928571510 9

Masna matrika:

2.5EI

M2

u1

M1

3.0

2.5

u1'v11

2.5

v12

M2 u2

M13.0

2.5

P

v22u2"

Iz slik vidimo, da velja:

u u

v u u u

1 1

11 1 1 1

222

222

22

'

'

=

= = = in

2.5EI

u2

EI

u1

3.0

2.5


14

2u25.15.1

u25.1v

5.1u

25.12u

25.1u

25.1u

2u22u

45cosu

u

u45tanuv

22

12

22"2"2

222

"2

2222

===

=

=

==

=

==

==


( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( ) ( )( )

[ ]( ) ( )

4

211

11

22111222111

211222

21122

2

2111211111

211111

21111

1

2

2112

222

11

2

2112

222

222

11

212111

2222

222

211

100.25.125.12

5.125.12MM2M2

M2M2M

uMM2uM2uM2u2Mu2M

22uuMuM2uT

dtd

22

2uuM2

2uM2

2uT

uM2uM22uMuMuM

2uuMuMuT

dtd

22uuM

22

uM2

uT

22uuM

2uM2

2uM

22uuM

2uM

2uM

2uM

2vvM

2vM

2uM

2uM

T

+

=

+

==

++=++=

++=

++

=

+=++=

++=

++

=

++

+

=

++

+

+

=

++

+

+

=

M

&&&&&&&&&&

&&&&&&&

&&&

&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&

&&&

&

&&&&

&&&&&

&&&&&


[ ] [ ] [ ]DM d M= =

=

0.440412844 0.14136904764285710.1413690476428571 0.05261211169285715

1.021349495285554 0.055326607957840890.3125000000768814 0.06839574513555472

1030 15 2

15 2 710

10

9 4

5

. ..


15

Izra~unajmo sedaj lastni vrednosti dinami~ne matrike DM. I{~emo torej ni~li karakteristi~ne ena~be: 1.021349495285554 5.532660795784089

3.125000000768814 6.839574513555472

10.89745240421109 5.2566394782799371.039159760921615 96231.59379392397 310.21217544436245.058547949949392 1.976851875072182 10 1406.0056454624156

=

+ =

= = =

= = =

10 1010 10

0

10 10 01010

5 7

6 7

2 6 12

15

12

1

27

22

2

Rezultata sta seveda enaka kot v prej{njem primeru. Lastna vektorja, ki jo dobimo s pomo~jo re{itve sistema ena~b, in ju nato normiramo na masno matriko, sta:

[ ]$ . =

6.50995003184295 2.1164358518597962.095627106454009 3.713511170376814

10 3

VI. izbira dinami~nih prostostnih stopenj

2.5EI

u2EI

u13.0

2.5 Izra~un podajnostne matrike


16

2.5-

22

3-

x1=1

3.0

2

23

[M1]

2.5

-

x2=1

3.0

2 5 2.[M2]


( )

( ) ( )

dM M

EIdx

d

d

d

iji j

x

=

=

+

=

=

=

=

=

11

2

9

2

99

12 911

22 9

22

30 30

3 140 10

22

3 0 2 5 2

140 1010

22

3 0 2 5 2 2 5 2

2 140 1010

2 5 25 2 5 2 2 5 23 140 10

10

. . . .

. . .

. . .

0.1457850184285714

9.470180107142857

0.1052242233571428 9

[ ]d =

0.1457850184285714 0.094701801071428570.09470180107142857 0.1052242233571428

10 9

Masna matrika:


17

2.5EI

M2

u1M1

3.0

2.5

v11

2.5

v12

M2 u2

M1

3.0

2.5 Kinemati~ne zveze so: v uv u

11 1

12 2

==


( ) ( )

( )T

M u M u M v v M u M u M u u

Tu

M u M u u

ddt

Tu

M u M u

Tu

M u M u u

=

+

+ +

=

+

+ +

=

+ +

= +

=

+ +

1 12

2 22

1 11 12

2

1 12

2 22

1 1 2

2

1

1 1 1 1 2

11 1 1 2

2

2 2 1 1

2 2 2 2 2 2

22

22

2

22

2

& & & & & & & &

&

& & &

&&& &&

&

& & &

( )

( )

[ ]

2

21 1 1 2 2

1 1

1 1 2

4

2

2 3 1515 35

10

ddt

Tu

M u M M u

MM M

M M M

&

&& &&

.. .

= + +

= =

+

=

M


[ ] [ ] [ ]DM d M= =0.1457850184285714 0.09470180107142857

0.09470180107142857 0.1052242233571428

10 93 15

15 35104

.. .

=

5.794077568928571 5.5013383139285734.419417382499998 5.103374833571429 10

6

Izra~unajmo sedaj lastni vrednosti dinami~ne matrike DM. I{~emo torej ni~li


18

ena~be: 0.5794077568928571 0.5501338313928573

0.4419417382499998 0.5103374833571429

1.08974524025 5.2566394774416231.03915976075023 96231.5938097951 310.2121754699436 5.058547949976956 1.97685187506141 10 1406.0056454585846

= =

+ =

= = =

= = =

10 1010 10

01

10 10 010

10

5 5

5 5 2

2 5 12

15

12

1

27

22

2

Primer je pokazal, da so lastne frekvence, ki so lastnost konstrukcije, resni~no neodvisne od izbire prostostnih stopenj. V {estih razli~nih pristopih smo dobili {est razli~nih podajnostnih in masnih matrik in s tem tudi razli~ne dinami~ne matrike, vendar je v vseh primerih kot rezultat dobljen enak karakteristi~ni polinom, katerega re{itve so kvadrati lastnih frekvenc. Primer je dalje pokazal, da ima lahko masna matrika, v odvisnosti od izbranih prostosnih stopenj, tudi izvendiagonalne ~lene. Ker zanemaritev teh ~lenov vodi do napake, je potrebna skrbnost pri prou~evanju kinemati~nih verig. Re{evanje s pomo~jo metode kon~nih elementov Vhodna datoteka za program FEMVB: 3 1 0.0 0.0 2 -2.5 2.5 3 -2.5 5.5 2 1 1 2 10000 1 140e9 0 0. 2 2 3 10000 1 140e9 0 0. 2 2 2.0e4 3 1.5e4 3 1 1 1 2 1 3 Opazimo, da sta povr{ini obeh palic zelo veliki, vztrajnostni moment pa enak 1 (ko ga pomno`imo z elasti~nim modulom, dobimo korektno vrednost za EI, za EA pa zelo veliko vrednost, kar predstavlja osno nedeformabilnost). Rezultati se izredno dobro ujemajo z prej dobljenimi, vendar se sedaj moramo


19

zavedati, da so v realnosti palice tudi osno deformabilne, kar pomeni, da z 'pe{' postopkom dobimo nekoliko druga~ne vrednosti. Dobljeni frekvenci sta:

1

2

==

310.212037219221405.97283144788

Stabilnost - dolo~itev interpolacijskih funkcij I. izbira prostostnih stopenj Prva interpolacijska funkcija

Robni pogoji so: v11(0)=0 pomik v11'(0)=0 zasuk v11(2 5 2. )=0 pomik v12(3.0)=u1 pomik v12(0)=0 pomik v12''(3.0)=0 moment Pogoja zveznosti v11'(2 5 2. )=v12'(0) zasuk EI1v11''(2 5 2. )=EI2v12''(0) moment

Pomike opi{emo s polinomi tretjega reda:

( )v xC x C x

C x C111

32

2

3 46 2=

+

+ + in ( )v x

C x C xC x C12

53

62

7 86 2=

+

+ +

Ob upo{tevanju robnih pogojev in pogojev zveznosti dobimo:

u1

v12

v11


20

( )( )

v x = 0.01251150951414057 u x - 0.04423486610164401 u xv x = -0.009829970244809784 u x + 0.08846973220328806 u x

+ 0.1563938689267572 u x

11 13

12

12 13

12

1

8.2 Druga interpolacijska funkcija

Robni pogoji so: v21(0)=0 pomik v21'(0)=0 zasuk v21(2 5 2. )=u2 pomik

v22(0)= u2

2 pomik

v22(3.0)=0 pomik v22''(3.0)=0 moment Pogoja zveznosti v21'(2 5 2. )=v22'(0) zasuk EI1v21''(2 5 2. )=EI2v22''(0) moment

Pomike izrazimo s polinomi tretjega reda:

( )v xC x C x

C x C211

32

2

3 46 2=

+

+ + in ( )v x

C x C xC x C22

53

62

7 86 2=

+

+ +

Ob upo{tevanju robnih pogojev in pogojev zveznosti dobimo:

( )( )

v x = -0.0360852335159054 u x + 0.2075805665989839 u xv x = 0.01946234813310755 u x - 0.1751611331979679 u x

+ 0.1146200060004201 u x + 0.7071067811865474 u

21 23

22

22 23

22

2 2

Diagram osnih sil

u2

v22

v21

u22


21

Iz diagrama osnih sil vidimo, da nastopa v obeh elementih razli~na tla~na osna sila, kar upo{tevamo pri integraciji po elementih.

kP

v v dx P v v dxgukl

i jx

ukl i jxi j,

' ' ' '.

= + =

= 2 1 10

2 5 2

2 20

3

Tako dobljena geometrijska togostna matrika je:

[ ]k Pg ukl=

0.3602708918513183 0.2779771887007990.277977188700799 0.4684716127576747

^lene togostne matrike izra~unamo s pomo~jo inverzije `e znane podajnostne matrike kot:

[ ] [ ]k d= =

1 9108.257175012208696 16.3483724500157

16.3483724500157 41.87164121064276

Alternativna mo`nost je seveda s pomo~jo izpeljanih interpolacijskih funkcij:

k EI v v dx EI v v dxi j i jx

i jx

,

.

" " " "= + =

= 1 1

0

2 5 2

2 20

3

kar vodi do:

[ ]k =

0.8257175005640222 1.63483724318103581.634837243181035 4.187164116125686 10

10

Malenkostna razlika nastopi zaradi numeri~nega zaokro`evanja. Izra~un kriti~ne uklonske sile Pukl Problem dolo~itve kriti~ne uklonske sile se prevede v obliko:

[ ] [ ]( )k k uug

=

1

2

00

Kriti~no uklonsko silo dobimo iz ena~be:

[ ] [ ]k kP P

g

ukl ukl

=

+ =

0

10 10 02 9 190.09150536829723325 9.864436390050547 7.84721877602548

2.5

[N]

-Pukl-

Pukl

3.0

Pukl

2

-


22

Iz ena~be dobimo kriti~ni uklonski sili: P NP N

ukl

ukl

= =

= =

8.64897040307993 10 8.649 GN9.915275285766128 10 99.153 GN

9

10

Neodvisen izra~un uklonske sile z metodo kon~nih elementov da rezultat: Pukl=8648437722.18987 N=8.648 GN. Vidimo, da je ujemanje rezultatov dobro. Stabilitetni problem za horizontalno silo na stiku obeh palic Diagram osnih sil

Iz diagrama osnih sil vidimo, da tla~na osna sila nastopa samo v spodnjem elementu, kar upo{tevamo pri integraciji po elementih.

kP

v v dxgukl

i jxi j,

' '.

= =

2 1 102 5 2

Sedaj dobljena geometrijska togostna matrika je:

[ ]k Pg ukl=

0.008153014079293232 0.0050834277938063760.005083427793806376 0.228169531891337

Kriti~no uklonsko silo dobimo iz ena~be:

[ ] [ ]k kP P

g

ukl ukl

=

+ =

0

10 10 02 9 190.001834428167840973 2.059204295802172 7.84721877602548

Iz ena~be dobimo kriti~ni uklonski sili:

TN 1.083N1088113681.08303418P

GN 39.498N10416190539.4977979P12

ukl

9ukl

==

==

Neodvisen izra~un uklonske sile z metodo kon~nih elementov da rezultat: Pukl=39375624406.0869 N=39.376 GN.

2.5

[N]

Pukl

3.0

Pukl

2

-


23

Vidimo, da je ujemanje rezultatov tudi sedaj dobro. Ker je sedaj osno obremenjena samo spodnja palica, ki predstavlja konzolo (pokon~na palica je sedaj ~isto nepomembna), lahko za izra~un kriti~ne uklonske sile uporabimo kar izraz za tla~no obremenjeno konzolo. V literaturi dobimo podatek, da se kriti~na sila izra~una po ena~bi:

( ) 2

2

2 9 2

2 2

10

4140 10

4 2 5 22 763489232 10 27 63489232

=

= =

EIL

Nm

mN GN

.. .

Ker pa je osna sila v po{evni palici samo komponenta kriti~ne uklonske sile Puk, velja:

GN92916077.27P22N10416190539.4977979

22P uk

9ukl ==

kar izkazuje dobro ujemanje z `e dobljenima rezultatoma.

Documents

Documentv3