Valor del Dinero en el Tiempo

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Ingeniería Económica

Dr. Luis Benites Gutiérrez

Ingeniería Industrial-UNT

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El Valor del Dinero en el Tiempo



INTERÉS SIMPLE

Es el interés por devengado o cobrado linealmente

proporcional al capital (principal), a la tasa de interés y al

número de periodos de interés por los que el principal se

impone.

Donde:

I = Interés

P = Stock inicial, capital

n = Número de periodos de interés

i = Tasa de interés por periodo de interés

LA TASA DE INTERÉS (i)

Es la ganancia del interés expresado en porcentaje de la suma original por unidad de tiempo:

La tasa de interés se expresa siempre con unidades de tiempo; por ejemplo: 8% de interés anual.

La autoridad monetaria publica los tipos de interés diarios mensuales y anuales del sistema financiero.

DEFINICION DE LAS VARIABLES EN LA VALORACIÓN DEL CAPITAL FINANCIERO

Es la medida de un bien económico referido al momento de su disponibilidad o vencimiento.

Magnitudes: valor en unidades monetarias y el momento de su disponibilidad y vencimiento.

Definición y simbología:P = Stock inicial, valor actual

S (F) = Stock final, valor futuro

A = Flujo constante, series de sumas de dinero

consecutivos, iguales en fin de periodo

n = Número de periodos de interés, años, meses, días

i = Tasa de interés por periodo de interés,

porcentaje anual, porcentaje mensual

t = Tiempo expresado en periodos, años, meses, días

DIAGRAMA DE EFECTIVO

Es un segmento de recta en la que se representan los flujos de efectivo.

Este diagrama ilustra la distribución

de los ingresos y salidas en el tiempo.

En los problemas de finanzas corporativas, resulta una herramienta práctica para comprender mejor los problemas y la distribución de la información de las variables financieras en el tiempo del pronóstico.

EJEMPLO

Una decisión de inversión simple implica un desembolso de $100 000 para poder producir a futuro beneficios anuales de $30 000 netos. Se espera un valor de recuperación de la inversión inicial por el 10% ($10 000) al final de la vida del proyecto. En esta inversión los accionistas piden una rentabilidad mínima de 15% anual.

Represente con un diagrama de efectivo la operación de inversión de este proyecto e identifique las variables del problema.

DIAGRAMA DE EFECTIVO PARA UN PROYECTO DE INVERSIÓN

Donde:

P = Inversión del proyecto en el momento de ahora “cero”A = Flujos de caja neto del proyecto (A = Ingresos – egresos)VR = Valor de rescate del proyecto i = Costo de oportunidad (ver capitulo 6 para mayor definición)

CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO

Ecuación financiera o modelo matemático de capitalización compuesta

Concepto de valor futuro

Es la función de capitalización; o sea, el proceso de pasar el valor actual (P) o valor presente al valor futuro (F). Conocido también como el proceso de acumulación de intereses en el tiempo.

F = P (1 + i)n

Valor Futuro

Los términos de la ecuación quedan definidos.

P = Valor presente o stock inicial

I = Tasa de interés expresada generalmente en porcentaje anual

N =Número de periodos (por lo general años, años) en que la cuenta ganará intereses.

F =Valor futuro al cabo de “n” años.

DIAGRAMA DED FLUJO DE EFECTIVO

Valor Futuro

ECUACIÓN SIMPLIFICADA PARA CALCULAR EL

VALOR FUTURO

Ecuación utilizada en los libros de Chan S.Park ,

Leland T.Blank, A. Tarquin

Factor simple de capitalization:

CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE DE UN PAGO ÚNICO

Ecuación financiera o modelo matemático de descuento compuesto:

El concepto de Valor Presente

Es el eje central de las finanzas para la valoración de los problemas económicos y de los proyectos de inversión.

Es el proceso en el que se calculan valores presentes en el tiempo de los flujos de efectivo.

Es un proceso en el que se restan o descuentan los intereses o ganancias del capital futuro.

ni

FP1

1

Ecuación simplificada para calcular el Valor Presente

El cálculo del valor presente se simplifica mediante el Factor Simple de

Actualización (FSA).

Ecuación utilizada en los

libros de Chan S.Park ,

Leland T.Blank, A. Tarquin

Factor simple de actualización=(P/F, i%,n)=

P=F (FSAin)

P=F(P/F ,i% ,n)

ni)1(

1

TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA

Las diferencias básicas entre la tasa nominal y efectiva es la siguiente: el interés efectivo o compuesto incluye el interés sobre interés ganado durante el periodo anterior, mientras que el interés simple o nominal no lo hace.

La tasa de interés nominal

ignora el valor del dinero

en el tiempo y la frecuencia

con la cual se capitaliza

el interés.

Tasa de interés nominal

Se utiliza un tipo de interés referido al año por lo cual la capitalización se realiza en partes del año.

Se denomina tipo de interés nominal anualcapitalizable por

Donde:

JK: Interés nominal anual

K: Periodo de capitalización

Ik: Interés periódico y efectivo

k-ésimo de año (se denomina Jk).

Jk = K * ik

Tasa Efectiva o Real

Es la tasa de interés que se paga o se gana en realidad. En esta tasa se incluye la frecuencia de capitalización de los intereses.

RELACIÓN ENTRE LAS TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y

EFECTIVA

Donde:

i = Tasa efectiva anual

j = Tasa nominal anual

m = Número de periodo de capitalización

j/m =Tasa proporcional o tasa efectiva periódica

m

m

ji

11

La tasa periódica:

Donde i > i’ :

Método abreviado para el cálculo del interés :

Esta ecuación se aplica para calcular el interés de las operaciones de crédito que se cancelan con tasas periódicas efectivas o nominales con frecuencia de menos de un año.

1 + i = (1 + i’)m

I = P * i * nº de días

SERIES UNIFORMES:

Una serie o anualidad es una corriente de flujos de efectivo anual, mensual o equivalentes. Estos flujos de efectivo pueden ser entradas de rendimiento obtenidos sobre inversiones o salidas de fondos invertidos para obtener rendimientos futuros.

Ejemplos de estas series:

Cuotas mensuales de créditos hipotecarios.

Cuotas mensuales de créditos por descuento en planillas.

Intereses pagados por bonos.

Rentas que el estado da a una Universidad.

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Clasificación de las series uniformes

Flujo inmediato vencido

Cuando un préstamo P se empieza a pagar desde el primer periodo (en su etapa final).

Flujo inmediato anticipado

Cuando un préstamo P se empieza a pagar desde el primer periodo (en su etapa inicial).

Flujo diferido vencido

Cuando el préstamo P siempre empieza a devolver después de (m) periodo, pero desde el término del periodo (m + 1) .

El valor futuro de una serie uniforme

En el siguiente ejemplo ilustramos los cálculos requeridos para encontrar el valor futuro de una anualidad, por la que se paga un interés a una tasa específica compuesta anualmente:

“Transportes Lima S.A.” desea determinar la cantidad de dinero que tendrá después de cuatro años si deposita S/. 3000 al final de cada uno de los próximos cuatro años en una cuenta de ahorros del BCP, que paga 4% de interés anual.

Valor futuro de una anualidad de S/. 3000 durante cuatro años compuesta por 4% .

FORMULACIÓN MATEMÁTICA PARA LA CAPITALIZACIÓN DE UNA SERIE UNIFORME

Se trata de una Suma Económica al final del horizonte temporal.

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Hacemos la Suma Económica en el punto (n); sacando (A) como factor común:

El corchete es una progresión geométrica cuya suma se calcula así:

Simplificando:

1)1(

1)1(1

i

iAF

n

i

iAF

n 1)1(

ECUACIÓN SIMPLIFICADA PARA CALCULAR EL

VALOR FUTURO DE UNA SERIE UNIFORME

Los cálculos de una serie uniforme se simplifican mediante el uso de tablas de interés para el valor futuro de una anualidad.

FACTOR DE CAPITALIZACIÓN

DE LA SERIE (FCS)

)( i

nFCSAF

)%,,/( niAFAF

i

iniAF

n 1)1()%,,/

USO DEL EXCEL PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR FUTURO DE SERIE DE INTERESES

Tasa= Tasa de interés

Nper= Número de periodos

Pago= Valor de la serie

Va= Valor actual

Tipo= 0, cuando los pagos son vencidos, 1 cuando los pagos son inicio del periodo

CALCULAR EL DEPÓSITO NECESARIO PARA ACUMULAR UNA SUMA FUTURA

El valor entre corchete recibe el nombre de:

Factor de depósito al fondo de

automatización o acumulación ( )

Formulación abreviada:

A = ( A/F, i %, n)

Calcular el valor de la serie o pago dado el valor futuro

1i)(1

iFA

n

1) i(1

in

)F(FDFAA i

n

i

nFDFA

CALCULAR EL VALOR DE LA SERIE O PAGO DADO EL VALOR FUTURO

Tasa= Tasa de interés

Nper=Número de periodos

Va= Valor actual

Vf= Valor futuro

Tipo=0, si los pagos son vencidos u ocurren a fin de mes. Uno (1), si los pagos son adelantados u ocurren al inicio del mes o periodo.

Importante: la tasa de interés tiene que coincidir con la ocurrencia de los pagos.

VALOR PRESENTE DE UNA SERIE

Ecuaciones simplificadas para calcular el valor

presente de la serie uniforme

Factor de actualización de la serie (FAS)

n

n

ii

iAP

)1(

1)1(

i

n)(FASAP

)%,,/( niAPAP

n

n

ii

iniAP

)1(

1)1()%,,/(

CÁLCULO DEL VALOR DE LA SERIE (A), CONOCIENDO SU VALOR PRESENTE (P)

Partiendo de la ecuación

de valor presente de la serie:

Despejando el valor

de A en la ecuación:

Fórmula abreviada:

Calcular el valor de la serie o pago (A) conociendo su valor presente (P):

n

n

) ii(1

1 ) i(1A P

1) i(1

) ii(1 PA

n

n

n)i%,P(A/P,A

)P(FRCA i

n

Factor de recuperaciones

de capital

FÓRMULAS DE INTERÉS QUE RELACIONAN UNA SERIE DE GRADIENTE UNIFORME (ARITMÉTICA) CON SUS VALORES

PRESENTE Y ANUAL

Fórmula abreviada :

Encontrar A, dada G

Fórmula abreviada :

NN

N

) i(1

N

) ii(l

1) i(1

i

1 P

N)i%,G(P/G,P

1 ) i(1

N1

i

1 xGA

N

) Ni%,G(A/G,A

DERIVACIÓN DEL VALOR PRESENTE DE SERIES GEOMÉTRICAS

n

1n

3

2

21g) i(1

) gd(1....

) i(1

) gd(1

) i(1

) gd(1

) i(1

dP

n

1n

3

2

2 ) i(1

) g(1...

) i(1

g)(1

) i(1

g1

i1

1 dP

ig

1) i(1

) g(1 d

Pn

n

E

ig

EJEMPLO MÉTODO ALEMAN

En un préstamo de S/. 2000 para devolver en un plazo de 3 meses mediante 3 cuotas mensuales (la tasa de interés j = 30% nominal anual). Amortizaciones fijas

1erPaso : Calculemos la tasa mensual i=0.30/3

2do Paso: Llenar el cuadro de intereses y amortizaciones con los datos básicos:

EJEMPLO MÉTODO AMERICANO

Método muy usado por las empresas que

captan fondos del mercado de capitales

emitidos bonos con cupones de interés.

Con los datos del problema anterior y

amortizaciones .

EJEMPLO DE INTERPOLACIÓN LINEAL

Por un crédito de S/.210 nos exigen pagar S/. 120 durante 2 meses. ¿Cuál es el costo del crédito?

SOLUCIÓN:

La tasa de interés se obtiene con la ecuación es el costo del crédito

Probamos por ensayo y error, con i = 10% y 9% .

21 )1(

120

)1(

1202100

ii

INTERPOLACIÓN LINEAL

)109())2(1(

))2(0(

C )1(

3

2C

3

2)10( x

IX = 9,334% Costo del crédito

NTERPOLACIÓN

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APLICACIONES DE LAS SEIS FÓRMULAS



SERIES UNIFORMES GENERALES O SERIES COMPLEJAS

Es la valoración de series distribuidas en el tiempo cuya ocurrencia de pagos no coincide con el periodo de la tasa de interés.

Por ejemplo:

“Pagos A mensuales a la tasa de interés del 24% anual capitalizable mensualmente”.

Aquí hay coincidencia entre el intervalo de A (mensual) y el periodo de la tasa (mensual).

“Pagos A trimestrales a la tasa de interés del 15% anual capitalizable mensualmente”.

Aquí no hay coincidencia entre el intervalo de A (trimestral) y el periodo de la tasa (mensual).

PRIMER CASO

Varios periodos de interés dentro de un intervalo de

pago u ocurrencia de A .

SEGUNDO CASO

Varios intervalos de pago u ocurrencia de (A), dentro de un periodo de interés.

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO PARA DESARROLAR CUALQUIER CASO

PRIMER MÉTODO

Transformar la tasa de interés dada en otra tasa de interés equivalente y coincidente con el intervalo de A.

SEGUNDO MÉTODO

Reemplazar, por artificio matemático, los pagos

A con otros A’ equivalentes y coincidentes con el periodo de capitalización del interés.

TRANSACCIONES FINANCIERAS

Las transacciones financieras se orientan con mayor volumen a los préstamos bancarios con diversas herramientas de créditos y métodos de pago como :

HIPOTECAS, PAGARÉS, LETRAS DE CAMBIO, etc. Los métodos de pago para la cancelación de los préstamos tradicionales se conocen como:

FRANCES ALEMÁN AMERICANO

ESQUEMA DE UNA OPERACIÓN DE PRÉSTAMOS (METODO FRANCES)

DIAGRAMA DE EFECTIVO

NOTACIÓN: P0 = Cuantía del préstamo nominal.

as = Cuantía del término de amortización que vence al final del periodo s.

Cs = Cuantía de la reserva matemática o capital pendiente de amortizar. una vez satisfecho el término amortizativo del periodo s.

Ms = Cuantía del capital amortizado en los primeros períodos.

Is = Cuantía de los intereses correspondientes al periodo s.

As= Cuota de amortización del periodo s.

Is = Tipo de interés del período s.

CUADRO DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO

HIPOTECAS

Es un sistema de préstamos bancarios para la compra de una propiedad como una casa, por ejemplo.

Las hipotecas de vivienda comprenden pagos mensuales.

HIPOTECAS DE PAGOS GRADUADOS A PAGOS FIJOS

EJEMPLO 12:

Considere a una familia que compra un departamento de $41 250 con una cuota inicial o enganche de x y una hipoteca graduada del programa Mi Vivienda. La hipoteca debe pagarse en 30 años, con un pago mensual de $225,14 en el primer año. Durante los cinco primeros años, los pagos mensuales aumentarán cada año en forma escalonada a una tasa del 5% con respecto al pago del año anterior. El pago mensual aumentará a $236,40; en el segundo año a $248,22; en el tercero, a $260,63; en el cuarto, a $273,66 en el quinto; y a $287,35 en los demás años.


La familia solicita a la inmobiliaria le preparación de un calendario de

pagos mensuales iguales equivalentes al plan graduado. ¿Cuánto

será la cuota mensual con un interés del 9.5% anual

(0.76%,mensual)? Calcule el valor de la hipoteca Y.

DIAGRAMA DE EFECTIVO: HIPOTECA DE PAGOS GRADUADOS


Calculamos el valor de los flujos de efectivo al momento “cero” punto donde se establece la equivalencia

1er. Año

P1= $225,40 (P/A, 0,76%,12)

2do. Año

P2 = $236,40 ( P/A, 0,76%,12)(P/F, 0,76%,12)

3er. Año

P3 = $248,22 (P/A, 0,76%, 12) (P/F, 0,76%,24)

4to. Año

P4 = $260,63 (P/A, 0,76%, 12) (P/F, 0,76%, 36)

5to. Año

P5 = $273,66 (P/A, 0,76%, 12) (P/F, 0,76%, 48)

6to. Año

P6 = $287,35 (P/A, 0.76%, 300 (P/F, 0,76%, 60)

Esto es el valor de La hipoteca (Y)

PT= $33 381,05 Valor de la hipotecaEl enganche o pago del inmueble X = Valor del departamento –Valor de lahipoteca.

$ 7869,95(cuota inicial)

654321 PPPPPPPT

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