VALOR ESPERADO DE LA DISTRIBUCIÓN

Se define el valor esperado de una distribución discreta de probabilidad como sigue

E(Xj) = Ʃ Xj*Pj

VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN

Se define la varianza de una distribución discreta de probabilidad como:

V(Xj) = Ʃ[Xj – E(Xj)]² * P(Xj)

Ejemplo:

Suponga que el 10% de los rollos de tela que se fabrican en una compañía textil tienen varios tipos de defectos, si se tiene un lote de producción de 100 rollos de tela.

a. Cuántos de esos rollos se espera que estén defectuosos?

b. Cuál es la variabilidad promedio del número de rollos de tela que se espera estén defectuosos

Respuesta:

a. Se trata del valor esperado:

V(Xj) = 100 rollos por la probabilidad de rollos con defectos

V(Xj) = 100 * 0,10 = 10

Se espera que 10 de los 100 rollos tengan defectos

b. Se trata de la variabilidad esperada

V(Xj) = 100 * 0,10 * 0,9 = √9 = 3

Se puede concluir que el número estimado de rollos con defectos que se espera encontrar en el lote tiene una variabilidad promedio de 3 rollos

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

•Tiene sentido utilizarla cuando se está interesado en encontrar la probabilidad de que existan “x” éxitos en un proceso de “n” pruebas, si existe la probabilidad “p” de éxito en cada prueba

b(x;n,p) =

CARACTERÍSTICAS

•Existen solo dos resultados posibles: éxito y fracaso•La probabilidad de un éxito es la misma en

cada ensayo•Hay n ensayos en donde “n” es constante•Los “n” ensayos son independientes

Ejemplo

Se lanza al aire una moneda normal tres (3) veces, determine la probabilidad de que aparezcan dos (2) coronas.

Respuesta:c=0,5

e=0,5

c=0,5

e=0,5

c=0,5

e=0,5

c= 0,5

e =0,5

c=0,5e=0,5c=0,5

e=0,5c=0,5

e=0,5

Cuál es su espacio muestral?

E= ccc, cce, cec, cee, ecc, ece, eec, eee

Por lo tanto P(2 coronas) = Por fórmula Binomial

b(2;3,0,5)= * 0,5 * (1 - 0,5) = 0,3753 -22

Ejemplo• Cada muestra de aire tiene 10% de posibilidades de contener

una molécula rara particular. Suponga que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula rara.

• Encuentre la probabilidad de que en 18 muestras, exactamente 2 contengan la molécula rara.

Sea X = número de muestras de aire que contienen la molécula rara en las siguientes 18 muestras autorizadas. Entonces X es una variable aleatoria binomial con p = 0,1 y n = 18. Por lo tanto:

P(X=2) = *(0,1) * (0,9) = 0,284

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Cuando se pregunta la probabilidad de que exactamente algo suceda, se debe tener presente:

b(x; n, p)

la fórmula siempre va a calcular la exacta.

Pero si la pregunta es: “al menos”, “a lo sumo”, “a lo más”, “más de”, “menos de”, etc., el cálculo de éstas cambia, ya que se habla de probabilidades acumuladas

B(x; n, p)

Se puede utilizar la fórmula para calcularlas, pero tiene cierto grado de dificultad, por lo tanto, se hace uso de la tabla de probabilidades acumuladas de la distribución binomial

Se debe recordar que los valores son acumulados y se utilizan las siguientes reglas:

• Si nos preguntan “a lo sumo”, “a lo más”, “menos de” B(x; n, p) = Será lo que diga la tabla

•Si nos preguntan “al menos”, “más de”, B(x; n, p) = 1 – B(x – 1;n, p)

•Si nos preguntan “exactamente” b(x; n, p) = B(x; n, p) – B(x - 1; n, p)

Cómo se utiliza la tabla?

Ejemplo:

Se sabe que el 60% de los ratones vacunados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad. Si se vacunan 5 ratones, encuentre la probabilidad de que:

a. 1 contraiga la enfermedadb. Menos de 2 contraigan la enfermedadc. Más de 3 contraigan la enfermedad

d. A lo sumo 3 contraigan la enfermedad

Esta tiene en su encabezado los valores de “ p” (probabilidades) que van desde 0.05 hasta 0.95

Además, tiene 2 columnas principales con los valores de “n” (Tamaño de la muestra) y “x” (éxitos o fracasos)

Respuesta 

a. Significa exactamente 1, por lo que se emplea

b(1; 5, 0.6) = B(1; 5, 0.6) – B(0; 5, 0.6) = 0.0870 – 0.0102 = 0.0768  b. Menos de 2 contraigan la enfermedad significa a lo sumo 1, entonces será la acumulada de 1 y se busca en la tabla.  B(1; 5, 0.6) = 0.0870 c. Más de 3 significa de 4 a 5, entonces se utiliza B(4; 5, 0.6) = 1 – B( 1 - 4; 5, 0.6) = 1 – B(3; 5, 0.6) = 1 – 0.6630 = 0.337  d. En este punto se trata de a lo sumo 3 y se utiliza lo que diga la tabla en ese punto B(3; 5, 0.6) = 0.6630

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

 Su fórmula es la siguiente: 

h(x ;n, a, N) = * ------------------

Determina la probabilidad de encontrar “x” éxitos en una muestra de tamaño “n”, extraída mediante muestreo sin remplazo de una población finita de tamaño “N”, en la cual existen “a” éxitos

Características:N: Tamaño de la población n – x ≤ N - aa: Número total de éxitos o fracasosn: Tamaño de la muestrax: Probabilidad de éxito o fracaso x ≤ a 

Ejemplo:

h(4 ; 8, 10, 18) = * = 0.3359 ------------------------

 

¿Cuál es la probabilidad de que una auditoría de hacienda detecte solamente 4 declaraciones de impuestos con deducciones ilegales, si selecciona aleatoriamente 8 de 18 declaraciones, 10 de las cuales contienen declaraciones ilegales?

Se refiere a exactamente y se utiliza la fórmula:

Ejemplo

Si 6 de 15 edificios en una ciudad violan el código de construcción, ¿cuál es la probabilidad de que un inspector de edificios, quien selecciona aleatoriamente 4 de ellos para inspección, descubra: 

a. Ninguno de los edificios viola el código de construcción

b. Uno viola el código de construcciónc. Dos violan el código de construcciónd. Al menos tres violan el código de construcción

Lo anterior son combinaciones, que al igual que en la distribución binomial, h(x; n, a, N) se refiere a exactamente, además existe una tabla para las probabilidades acumuladas para la distribución hipergeométrica y que se utiliza de forma similar a la tabla de la distribución binomial, lógicamente cambiando la nomenclatura.

Solución:

a. Se trata de la exacta de 0 y se toma el valor de la tabla en h(0, 4, 6, 15) = 0.0923

b. Se trata de exactamente 1h(1, 4, 6, 15) = H(1, 4, 6, 15) = H(0, 4, 6, 15) = 0.3692

c. Se trata de exactamente 2h(2, 4, 6, 15) = H(2, 4, 6, 15) - H(1, 4, 6, 15) = 0.3956

d. Se refiere a que de 3 a 4 violan el códigoh(3, 4, 6, 15) = 1 – (3 – 1; 4, 6, 15) = 0.1429

APROXIMACIÓN DE HIPERGEOMÉTRICA A BINOMIAL

Se puede asegurar que cuando en una distribución hipergeométrica, N ∞ y n es pequeño comparado con N, podemos hacer una aproximación a la binomial utilizando los parámetros

h(x; n, a, N) = b(x; n, ) 

Ejemplo:

Un cargamento de 120 alarmas contra robo contienen 5 defectuosas. Si 3 de ellas son seleccionadas aleatoriamente y embarcadas para un cliente, encuentre la probabilidad de que al cliente le toque una defectuosa: 

a. Por fórmula Hipergeométrica

b. Por aproximación a la distribución binomial

¡ Muchas gracias !