Valutazione delle cadute di tensione nelle travi in c.a.p Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2005/06 a

Valutazione delle cadute di tensione nelle travi in c.a.p

Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2005/06

a cura di Enzo MartinelliBozza del 4/05/2006

PERDITE DI TENSIONE ISTANTANEEPERDITE DI TENSIONE ISTANTANEE



Cadute di tensione Istantanee

Post-Tensione

Pre-Tensione

Rientro dei blocchi di ancoraggio in testata

Attrito tra cavi e guaina

Riduzione dello sforzo N0 di tiro per effetto della deformazione elastica della trave

TRAVE PRE-TESATRAVE PRE-TESAPerdite di tensione a causa della deformazione Perdite di tensione a causa della deformazione

elasticaelastica



Lo sforzo N0 di tiro registrato ai martinetti non sarà mai applicato all’elemento precompresso (ovvero dopo il taglio dei trefoli), che vedrà su di esso applicato sin dal disarmo direttamente lo sforzo ridotto Nd=N0-N (sforzo al disarmo)

psc

d

AElN

AE

lN

A

AnN

AE

AENN p

dc

ps

d

Per congruenza deve aversi che

AE)AA(nAE

NN

)AA(nA

nANN

)AA(nAnAA

NAnA

ANNNN s

pscc

00

psc

p00

psc

sc0

p00d

Da cui si può valutare la relazione tra la caduta di tensioni dovuta alla deformazione elastica e lo sforzo al disarmo Nd:

Da cui può determinarsi quest’ultimo in funzione dello sforzo normale iniziale N0:

Consideriamo il caso di cavo di precompressione centrato.

TRAVE PRE-TESATRAVE PRE-TESAPerdite di tensione a causa della deformazione Perdite di tensione a causa della deformazione

elasticaelastica

ps0,c0d AENN



)AA(nA

N

nAA

N

psc

0

sc

dc

0,c0p

dd n

A

N

In termini di tensione di trazione nel trefolo all’atto del disarmo si ha:

In generale, allora, nel caso di trefoli eccentrici si può calcolare la tensione nel trefolo sottraendo da quella al tiro il valore della caduta di tensione dovuto alla deformazione della fibra di calcestruzzo al livello del trefolo:

Quanto al calcestruzzo le tensioni possono essere calcolate indifferentemente considerando lo sforzo normale al disarmo Nd agente sulla sezione omogeneizzata di calcestruzzo ed armatura “dolce”, ovvero lo sforzo normale al tiro N0 agente sulla sezione trasversale alla quale siano state omogeneizzate anche i trefoli di precompressione:

j

1

minj

1

00

1

0spispi y

I

My

I

eN

A

Nn'

La seconda possibilità è operativamente più conveniente e nel caso di sforzo di precompressione eccentrico porta alla relazione:

- e0: eccentricità cavo risultante;- yj: eccentricità trefolo j-esimo;

yW

My

IeN

AN

ys

min

1c

11

00

TRAVE POST-TESATRAVE POST-TESAPerdite di tensione dovute al rientro degli Perdite di tensione dovute al rientro degli

apparecchiapparecchi



Consideriamo la possibilità che si abbia un rientro degli apparecchi in testata. Ad esempio un rientro di 2 mm su di una trave di 10 m:

Effetto della trazione dei cavi in fasi successive. Consideriamo una

trave precompressa con tre cavi posti tutti alla stessa quota ed immaginiamo

che ciascuno di essi provochi nella sezione più sollecitata in fase di tiro

una tensione nel calcestruzzo sulla fibra al livello dei cavi di 8 N/mm2; allora la

tesatura del secondo provoca sul primo una perdita di tensione (per

deformazione elastica): MPa 48868

EE

nc

scem

032.0000.190/200.1

000.10/2

spi

ra

spi

ra

TRAVE POST-TESATRAVE POST-TESAPerdite di tensione dovute all’attrito cavo-Perdite di tensione dovute all’attrito cavo-

guainaguaina



r

N N+dN

d

pn

tp

Valutiamo la pressione che il cavo esercita sulla superficie interna della guaina. Prendendo in considerazione un tronco infinitesimo di cavo con raggio di curvatura r, l’equilibrio alla traslazione in direzione normale all’asse del cavo, tenendo conto che l’angolo d è infinitesimo, e trascurando pertanto l’infinitesimo di ordine superiore

dN d, vale dN2)d2(rpn r

Npn

rN

fpfp nt

Dall’equilibrio alla traslazione in direzione parallela all’asse del cavo:

)dNN(drpN t dfNdN

feNN 0

La Normativa Italiana prescrive una relazione lineare per la valutazione delle cadute di tensione

istantanee:

)z(f1NN A,0B,0

cls-cavo 5.0

guaina-cavo 3.0f rad/m 01.0

TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITOTRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO- esempio numerico -- esempio numerico -






sez cavo xi

[cm]1 1600

1 2 16003 1600

1 15002 2 1500

3 1500

1 14003 2 1400

3 1400

1 700

4 2 700

3 700

1 0

5 2 0

3 0

1 2 3

4 5

yi ei

[cm] [cm]140.00 -31.00110.00 -1.0080.00 29.00

125.47 -16.4797.89 11.1171.52 37.48

111.88 -2.8886.56 22.4463.59 45.41

42.97 66.03

29.14 79.86

23.40 85.60

20.00 89.00

10.00 99.00

10.00 99.00

tgi

i sen

i cosi

0.1500 0.1489 0.1483 0.98890.1250 0.1244 0.1240 0.99230.0875 0.0873 0.0872 0.9962

0.1406 0.1397 0.1393 0.99030.1172 0.1167 0.1164 0.99320.0820 0.0818 0.0818 0.9967

0.1313 0.1305 0.1301 0.99150.1094 0.1089 0.1087 0.99410.0766 0.0764 0.0763 0.9971

0.0656 0.0655 0.0655 0.9979

0.0547 0.0546 0.0546 0.9985

0.0383 0.0383 0.0383 0.9993

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

spi

(i) N0i Ni Ti

[kg/cm2] [kg] [kg] [kg]12000 133780 132300 1984512000 178370 176993 2212412000 178370 177691 15548

N0,i

)j(p

)j(spi

)j( AN i,0

i)j()j( cosNN i,0i

i)j(

i)j()j(

i,0i,0i NsinNT

11963 133412 132112 1857811969 177958 176748 2071311977 178079 177483 14559

11927 133043 131912 1731311937 177546 176494 1930411954 177789 177270 13572

11669 130450 130170 8542

11718 174653 174393 9537

11792 175754 175626 6723

11415 127885 127885 0

11501 171791 171791 0

11632 173737 173737 0




sez cavo xi

[cm]1 1600

1 2 16003 1600

1 15002 2 1500

3 1500

1 14003 2 1400

3 1400

1 700

4 2 700

3 700

1 0

5 2 0

3 0

1 2 3

4 5

yi ei

[cm] [cm]140.00 -31.00110.00 -1.0080.00 29.00

125.47 -16.4797.89 11.1171.52 37.48

111.88 -2.8886.56 22.4463.59 45.41

42.97 66.03

29.14 79.86

23.40 85.60

20.00 89.00

10.00 99.00

10.00 99.00

tgi

i sen

i cosi

0.1500 0.1489 0.1483 0.98890.1250 0.1244 0.1240 0.99230.0875 0.0873 0.0872 0.9962

0.1406 0.1397 0.1393 0.99030.1172 0.1167 0.1164 0.99320.0820 0.0818 0.0818 0.9967

0.1313 0.1305 0.1301 0.99150.1094 0.1089 0.1087 0.99410.0766 0.0764 0.0763 0.9971

0.0656 0.0655 0.0655 0.9979

0.0547 0.0546 0.0546 0.9985

0.0383 0.0383 0.0383 0.9993

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

spi

(i) N0i Ni Ti

[kg/cm2] [kg] [kg] [kg]12000 133780 132300 1984512000 178370 176993 2212412000 178370 177691 15548

MPa 3.1196

z01.01397.01489.0f11200

zf1 )1()2()1()2(spispi

Sezione n.2

11963 133412 132112 1857811969 177958 176748 2071311977 178079 177483 14559

11927 133043 131912 1731311937 177546 176494 1930411954 177789 177270 13572

11669 130450 130170 8542

11718 174653 174393 9537

11792 175754 175626 6723

11415 127885 127885 0

11501 171791 171791 0

11632 173737 173737 0




sez cavo xi

[cm]1 1600

1 2 16003 1600

1 15002 2 1500

3 1500

1 14003 2 1400

3 1400

1 700

4 2 700

3 700

1 0

5 2 0

3 0

1 2 3

4 5

yi ei

[cm] [cm]140.00 -31.00110.00 -1.0080.00 29.00

125.47 -16.4797.89 11.1171.52 37.48

111.88 -2.8886.56 22.4463.59 45.41

42.97 66.03

29.14 79.86

23.40 85.60

20.00 89.00

10.00 99.00

10.00 99.00

tgi

i sen

i cosi

0.1500 0.1489 0.1483 0.98890.1250 0.1244 0.1240 0.99230.0875 0.0873 0.0872 0.9962

0.1406 0.1397 0.1393 0.99030.1172 0.1167 0.1164 0.99320.0820 0.0818 0.0818 0.9967

0.1313 0.1305 0.1301 0.99150.1094 0.1089 0.1087 0.99410.0766 0.0764 0.0763 0.9971

0.0656 0.0655 0.0655 0.9979

0.0547 0.0546 0.0546 0.9985

0.0383 0.0383 0.0383 0.9993

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

spi

(i) N0i Ni Ti

[kg/cm2] [kg] [kg] [kg]12000 133780 132300 1984512000 178370 176993 2212412000 178370 177691 15548

N0 e0 y

[kg] [cm] [cm]

486984 1.80 107.20

486343 13.24 95.76

485676 23.95 85.05

480188 78.21 30.79

473413 96.30 12.70

j)j(

00 NN

j

)j(0

j)j(

0)j(

00

N

eNe

0i,G eyy

CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITICADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITIsecondo il D.M. 9 Gennaio 1996secondo il D.M. 9 Gennaio 1996



Effetti del ritiro del calcestruzzoEffetti del ritiro del calcestruzzo

Effetti del fluage del calcestruzzoEffetti del fluage del calcestruzzo

00030.0r

00025.0r

valori della deformazione

[MPa] 8.48000.19500025.0r

[MPa] 5.58000.19500030.0r

(applicazione dopo i 14 gg)

(applicazione prima di 14 gg)

La fibra di calcestruzzo posta a distanza ei dal baricentro (ed in corrispondenza del j-esimo trefolo/cavo è sottoposta alla seguente tensione per effetto dei carichi permanenti:

I

eM

I

eeN

AN i

*i

i,c00

c

i,ci,e

c

i,ci,e

i,ei,v

E0.20.2

E3.23.2

i,ci,vpi,v nE

[MPa] 8f9500E 3/1ckc

CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITICADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITIsecondo il D.M. 9 Gennaio 1996secondo il D.M. 9 Gennaio 1996



Effetti del rilassamento dell’acciaioEffetti del rilassamento dell’acciaio

Se l’armatura da pretensione viene inizialmente sollecitata a livelli superiori al 50% della tensione di rottura (sspi >0.5fptk), si osserva che, a deformazione imposta costante, la tensione si riduce nel tempo.

Tipo di armatura r fili trafilati 0.15

spi

Trecce 0.20spi

Trefoli 0.18spi

barre laminate 0.12 spi

r

ptk

spiril

2

5.0f

16

Per la contemporanea presenza di ritiro e fluage le armature di precompressione non hanno una deformazione imposta costante; pertanto la caduta di tensione per rilassamento risulta minore e valutabile come segue:

rilspi

vrril

)(5.21

Armature post-tese: spi va considerato al netto delle cadute per attrito;

Armature pre-tese: spi è depurata delle cadute per def. elastica (tensione al disarmo);

CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITICADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI- esempio numerico: sezione di mezzeria -- esempio numerico: sezione di mezzeria -


Bozza del 4/05/2006

MPa 0.6020000000030.0r

MPa 23.14698.103.279.5σΔ )1(v

MPa 41.3353.114118.05.01900

53.114116σΔ

2)1(

ril

MPa 32.1841.3352.1141

23.1460.605.21'σΔ )1(

ril

kN 28.102232.1823.14600.6053.11411115N )1(

kN 6773NNj

)j( 29.137674843

NN

β 0

n= 5.79

r= 0.0003 = 2.3

EP= 2000000 kg/cm2

Cavo n°1:e1= 89.00 cm

sspi

(1)= 1141.53 MPas

c= 10.98 MPa AP(1)= 11.15 cm2

Dsr(1)= 60.00 MPa Ds

sp(1)= 224.55 MPa

Dsf(1)= 146.23 MPa s

sp(1)= 916.98 MPa

Dsril

(1)= 33.41 MPa N(1)= 1022.28 kNDs

ril' (1)= 18.32 MPa

Cavo n°2:e2= 99.00 cm

sspi

(2)= 1150.12 MPas

c= 11.40 MPa AP(2)= 14.86 cm2


sp(2)= 231.68 MPa

Dsf(2)= 151.86 MPa s

sp(2)= 918.44 MPa

Dsril

(2)= 36.74 MPa N(2)= 1365.18 kNDs

ril' (2)= 19.82 MPa

Cavo n°3:e3= 99.00 cm

sspi

(3)= 1163.17 MPas

c= 11.40 MPa AP(3)= 14.86 cm2


sp(3)= 234.83 MPa

Dsf(3)= 151.86 MPa s

sp(3)= 928.34 MPa

Dsril

(3)= 42.17 MPa N(3)= 1379.91 kNDs

ril' (3)= 22.97 MPa

CONCLUSIONICONCLUSIONI


Bozza del 4/05/2006

Nella presente unità didattica sono state esposte le problematiche relative alla valutazione delle cadute di tensioni istantanee e differite nelle travi precompresse. La valutazione esplicita delle cadute di tensione è stata valutata con riferimento alle cadute istantanee per attrito tra cavo e guaina o calcestruzzo, caratteristiche del sistema ad armature post-tese.La valutazione degli cadute di tensione per effetti differiti è stata, invece, condotta sia per il caso di sistema pre-teso che post-teso considerando le prescrizioni della normativa italiana.Anche se non mostrato esplicitamente, il calcolo delle cadute di tensione per effetti differiti condotto nella sezione di mezzeria deve essere effettuato anche nelle altre 4 sezioni di controllo seguendo un procedimento analogo. I risultati sono riassunti nelle due tabelle precedenti.

RISULTATI NUMERICIRISULTATI NUMERICI- Cadute di tensione istantanee -- Cadute di tensione istantanee -


Bozza del 4/05/2006

sez cavo xi yi ei tgai

ai sena

i cosai

sspi

(i) N0i N0icosi N0isin

i N0 e0 y

[cm] [cm] [cm] [kg/cm2] [kg] [kg] [kg] [kg] [cm] [cm]

1 1600 140.00 -31.00 0.1500 0.1489 0.1483 0.9889 12000 133780 132300 198451 2 1600 110.00 -1.00 0.1250 0.1244 0.1240 0.9923 12000 178370 176993 22124 486984 1.80 107.20

3 1600 80.00 29.00 0.0875 0.0873 0.0872 0.9962 12000 178370 177691 15548

1 1500 125.47 -16.47 0.1406 0.1397 0.1393 0.9903 11963.3 133371 132072 185732 2 1500 97.89 11.11 0.1172 0.1167 0.1164 0.9932 11968.7 177904 176695 20706 486197 13.24 95.76

3 1500 71.52 37.48 0.0820 0.0818 0.0818 0.9967 11976.9 178026 177430 14555

1 1400 111.88 -2.88 0.1313 0.1305 0.1301 0.9915 11926.7 132963 131832 173033 2 1400 86.56 22.44 0.1094 0.1089 0.1087 0.9941 11937.4 177439 176388 19292 485384 23.95 85.05

3 1400 63.59 45.41 0.0766 0.0764 0.0763 0.9971 11953.7 177682 177164 13564

1 700 42.97 66.03 0.0656 0.0655 0.0655 0.9979 11669.2 130092 129813 8519

4 2 700 29.14 79.86 0.0547 0.0546 0.0546 0.9985 11717.8 174176 173916 9511 478876 78.21 30.79

3 700 23.40 85.60 0.0383 0.0383 0.0383 0.9993 11791.8 175276 175147 6705

1 0 20.00 89.00 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 11415.3 127261 127261 0

5 2 0 10.00 99.00 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 11501.2 170955 170955 0 471112 96.30 12.70

3 0 10.00 99.00 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 11631.7 172896 172896 0

RISULTATI NUMERICIRISULTATI NUMERICI- Cadute di tensione per effetti differiti -- Cadute di tensione per effetti differiti -


Bozza del 4/05/2006

M* sc(i) Ds

r(i) Ds

v(i) Ds

ril(i) Ds

ril'(i) Ds

diff(i) s

sp(i) Ni Nicos

i Nisini N0 e0 y

[kgcm] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg] [kg] [kg] [kg] [cm] [cm]

73.95 600.00 985.24 598.34 400.73 1985.97 10014.03 111639.7 110405 165610 74.58 600.00 993.65 598.34 399.68 1993.33 10006.67 148740.8 147095 18449 404487 1.71 107.29 1.20

75.21 600.00 1002.05 598.34 398.64 2000.69 9999.31 148631.4 146987 12956

73.26 600.00 976.12 579.15 388.40 1964.52 9998.83 111470.3 110384 155233366600 75.30 600.00 1003.25 581.92 387.04 1990.29 9978.39 148320.4 147312 17263 405260 13.20 95.80 1.20

77.25 600.00 1029.19 586.18 386.84 2016.02 9960.83 148059.5 147564 12105

74.00 600.00 985.96 560.33 374.06 1960.02 9966.71 111112.2 110167 144596516000 77.11 600.00 1027.37 565.78 372.95 2000.32 9937.07 147706.3 146831 16060 403939 23.89 85.11 1.21

79.93 600.00 1064.94 574.17 374.24 2039.19 9914.55 147371.5 146941 11250

97.13 600.00 1294.08 438.05 260.30 2154.38 9514.82 106074.4 105847 6946

22480200 102.11 600.00 1360.41 459.82 267.50 2227.91 9489.93 141059.8 140849 7703 388070 78.18 30.82 1.25

104.17 600.00 1387.95 494.11 285.86 2273.81 9518.01 141477.2 141374 5412

109.75 600.00 1462.32 334.07 183.19 2245.50 9169.78 102227.8 102228 0

27801600 113.98 600.00 1518.59 367.45 198.23 2316.82 9184.35 136517.8 136518 0 376736 96.29 12.71 1.29

113.98 600.00 1518.59 421.68 229.67 2348.25 9283.44 137990.7 137991 0

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Valutazione delle cadute di tensione nelle travi in c.a.p Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2005/06 a