Valutazione delle resistenze al

trasferimento di materia nei

processi biologici

Cinetica delle reazioni biologiche

Il principale obiettivo dei trattamenti biologici di depurazione è la rimozione della sostanza organica contenuta nel substrato da trattare tramite la crescita attiva dei microorganismi presenti, generalmente batteri. L’effetto della depurazione si ottiene così tramite un’associazione tra la crescita batterica e la rimozione del substrato, cosicché la cinetica di entrambe le reazioni è strettamente collegata.

La crescita batterica è definita dall’incremento del numero di organismi vivi nel tempo ma spesso questo parametro è difficilmente misurabile per cui si ricorre si ricorre a stime associate al metabolismo. I vincoli associati al metabolismo si dividono in anabolici e catabolici.

La descrizione cinetica può essere più o meno complicata dipendentemente

dalla complessità della situazione fisica in cui la crescita avviene e dall’utilizzo

che si vuole fare della cinetica stessa.

L’interazione che esiste tra l’ambiente (medium o mezzo) e la tipologia della

biomassa cellulare è indicata dallo schema seguente che evidenzia l’interazione

tra la popolazione cellulare e il mezzo che è multicomponente e multifase.

Esso è multicomponente perché contiene vari nutrienti e, in più, i prodotti del

metabolismo cellulare; è multifase poiché composto almeno da una fase liquida

e da una gas.

Un’ulteriore difficoltà da tenere in conto è relativa alla reologia del mezzo che

non è assimilabile a quella di un liquido newtoniano ma, in virtù dell’alta

viscosità e della varietà di fasi e componenti, è quella di un liquido non-

newtoniano.

N on stru tturato Stru tturatoN

on s

egre

gato

Segr

egat

oPo p o la zio ne c e llula retra tta ta c o m e un m o no -c o m p o ne ntec o n p ro p rie tà m e d ie

M ultic o m p o ne nte ;d e sc rizio ne d e llap o p o la zio ne c e llula rec o m e m e d ia

C o m p o ne nte sing o laPo p o la zio ne c e llula ree te ro g e ne a

M ultic o m p o ne nte ;Po p o la zio ne c e llula ree te ro g e ne a

cr escita

bil an ciata

cr escita

bil an ciata

cellu

la

“med

iata

”

cellu

la

“med

iata

”

La cinetica di crescita di popolazione a cui si farà riferimento nel seguito è quella ottenuta nell’ipotesi di modello non strutturato - ovvero la massa cellulare, o la sua concentrazione, sono sufficienti a caratterizzare l’intera fase biologica (cinetica di crescita bilanciata).

La velocità di crescita cellulare netta, ri, sarà espressa come

ri =X dove è la velocità di crescita specifica e X la

concentrazione di microorganismi.

la gp h a se

fase

di c

resc

itaes

pone

nzia

le

log

num

ero

di c

ellu

le

te m p o

F a s e s ta z io n a ria

F as e “ d i mo rte ”

Ponendo una piccola quantità di microrganismi in presenza di un eccesso di substrato, la produzione di nuovo materiale cellulare segue l’andamento qualitativo riportato in figura dal cui esame è possibile individuare 5 distinte fasi di crescita.

1) fase di induzione e di crescita accelerata. Rappresenta il tempo

necessario ai microrganismi per acclimatarsi al nuovo ambiente e

per sintetizzare gli enzimi e i coenzimi specifici per i substrati da

metabolizzare. Tale periodo è ovviamente funzione delle condizioni

ambientali, e può essere praticamente annullato utilizzando, come

inoculo, cellule in crescita esponenziale provenienti dallo stesso

substrato;

2) fase di crescita esponenziale. Durante questo periodo i substrati

sono ancora presenti in eccesso, la singola cellula si riproduce ad

una velocità determinata dal suo caratteristico tempo di generazione

e quindi la velocità di crescita della biomassa, dX/dt, dipende

soltanto dalla concentrazione X dei microrganismi.

dove X è la concentrazione della biomassa e è il suo tasso di crescita.Integrando questa equazione si ottiene:

dove max indica il massimo tasso di crescita della biomassa.

Il tempo di generazione (tg) che serve alla popolazione microbica per raddoppiarsi è, pertanto,:

Il tempo di duplicazione oscilla in genere tra qualche decina di minuti a diverse ore.

maxdt

dX

X

1X

dt

dX

tX

X

0

maxln t0 eXX max

max

ln

2

tg

3) fase di crescita rallentata. Rappresenta il periodo dello sviluppo della coltura microbica nel quale una delle sostanze nutritive cade in difetto e diventa pertanto limitante per la crescita dei microrganismi; una relazione che lega il tasso di crescita della biomassa alla concentrazione S del substrato limitante è (Monod, 1942):

dove S è la concentrazione del substrato e K è la costante di semisaturazione (ovverola concentrazione del substratoin corrispondenza della quale la velocità di crescita è la metà

di quella massima).

SK

S

max

La rappresentazione grafica della equazione è riportata in figura.

4) fase di crescita stazionaria. In questa fase la popolazione rimane costante ( = 0). Questo fatto può essere interpretato sia considerando che in queste condizioni non c’è più crescita in quanto il substrato è usato dai microrganismi come energia di mantenimento, sia ipotizzando che la crescita dei nuovi microrganismi è compensata dalla morte di altri più “vecchi”;

5) fase di declino. Questa fase è caratterizzata dalla diminuzione della concentrazione dei microrganismi (<0) e si verifica quando il substrato è esaurito; la variazione di concentrazione dei microrganismi è rappresentata da:

Dove b è il tasso di respirazione endogena che può essere interpretato sia come costante di mantenimento che come tasso di morte cellulare.

b

I sistemi microbici che operano negli impianti di depurazione si

trovano nelle fasi 1) e 2) durante l’avviamento degli impianti e nelle

fasi 3) 4) e 5) nelle condizioni di marcia a regime. Pertanto

l’equazione cinetica che regola il processo biologico assume

l’espressione generale:

bSK

S

dt

dX

X

1

max

A queste equazioni va aggiunta l’espressione del bilancio di materia:

dove Y è il rendimento di crescita pari alla massa di microrganismi prodotti per unità di substrato consumato.

In definitiva si ottiene:

dove v è il tasso di utilizzazione del substrato.

Quest’ultima espressione è nota come equazione di Michaelis e Menten (dove k=max/Y).

bXdtdS

YdtdX

SKS

Yv

dtdS

X1 max

SKS

kv

Le equazioni appena illustrate descrivono il comportamento cinetico di un sistema biomassa-substrato nel caso particolare che tale sistema possa essere considerato omogeneo (cioè costituito da un’unica fase) e quindi con resistenze diffusionali, dovute al trasporto del substrato, praticamente nulle.

Tali resistenze, però, possono avere un ruolo molto importante in quanto i microorganismi, se ben adattati, tendono ad aggregarsi naturalmente in forma di biofiocco (sospeso nel bulk liquido) o di biofilm (aderente ad un supporto solido).

Sebbene i biofiocchi e i biofilm abbiamo caratteristiche specifiche differenti ciò che li accomuna è la presenza di un gradiente di concentrazione del substrato causato dalla resistenza al trasporto di materia dal bulk liquido al sito attivo. Questo gradiente di concentrazione provoca una disuniformità spaziale tra la velocità di utilizzazione del substrato e quella di crescita cellulare.

Schema delle resistenze incontrate dall’ossigeno per raggiungere i siti attivi cellulari

In condizioni stazionarie la quantità di substrato trasportata dal bulk del liquido alla superficie esterna della biomassa è uguale alla quantità di substrato consumato tramite le reazioni biochimiche:

Dove KL è il coefficiente di trasporto di materia in fase liquida e ai la superficie esterna della biomassa per unità di volume di bioreattore. Ricordando l’espressione di v la precedente equazione diviene:

Questa relazione è fondata sull’assunzione che in ogni punto all’interno del biofiocco la concentrazione del substrato sia pari al valore SS.

)-S(SaKv SBiL

)(maxSBiL

S

S SSaKSK

SX

Y

IL BIOFIOCCO – controllo diffusionale esterno

Il numero di parametri può essere ridotto da 4 a 2 adimensionalizzando l’equazione ottenuta nel caso precedente. I parametri adimensionali introdotti sono: x=SS/SB; Da=max/(KLSB); k=K/SB.

Dove Da è il numero di Damköhler che rappresenta il rapporto tra la massima velocità di reazione e la massima velocità di trasferimento di materia. Quindi, ad esempio, se Da<<1 la resistenza è unicamente di tipo cinetico. L’equazione di progetto ottenuta nel caso di controllo del trasferimento di massa esterno al substrato diventa:

La soluzione analitica di tale equazione è:

dove il segno è + se >0 e viceversa.

1x0 dove xk

xDa

x1

1-kDa dove 1k4

12

x 2

Si introduce a questo punto il fattore di efficienza definito come:

Che diviene, nel nostro caso:

Quindi se <1 l’attività catalitica è ridotta dall’incremento della resistenza esterna. Se invece Da0 si ha:

)SS (i.e.materia di ntotrasferimeal resistenza

fosseci non seottenuta sarebbe chevelocità osservata enteeffettivam ionedella reazvelocità

SB

)1k/(1)xk/(x

B

Bmax

SKS

v ;1

Riferiamoci ora alla diffusione dei substrati attraverso la matrice biologica porosa (così come attraverso un supporto poroso di enzimi immobilizzati).

I simboli Des e v denotano, rispettivamente, il coefficiente di diffusione effettiva e la velocità locale di utilizzazione del substrato.

Si tenga presente che il coefficiente Des è influenzato dalla porosità p del solido, dalla tortuosità dei pori, e, nel caso di diametri molto piccoli di questi ultimi (micropori) dal parametro Kp/Kr.

Quindi Des = Ds0 = p /· Kp/Kr.

Dove Ds0 è la diffusività nel bulk.

è in genere compreso tra 1.4 e 7.

IL BIOFIOCCO – controllo diffusionale interno

Il parametro Kp/Kr è ottenibile dalla:

Dove rsubstrato è il raggio molecolare equivalente del substrato e rporo quello

caratteristico del poro.

Il bilancio di materia scritto sull’anello sferico e riportato nella figura precedente presuppone di conoscere la forma di v per la quale sarà assunta valida l’equazione di Michaelis-Menten. Il parametro di massima velocità sarà dato da:

Dove eimm [mol/g supporto] rappresenta la concentrazione di enzima, p [g supporto/unità di volume di supporto] la densità e qE, imm [mol substrato convertito /( s mol enzima)] l’attività specifica dell’enzima immobilizzato.

Le due condizioni al contorno necessarie sono: (ds/dr)r=0=0 e sr=R=sS.

4

porosubstrato

r

pr

r1K

K

imm,Epimmmax qe

La portata complessiva di utilizzazione del substrato v0 uguale al flusso che diffonde nel pellet (accumulo=0) per cui:

Dove Vp e Ap sono il volume della particella e la sua superficie esterna. Anche in questo caso si definisce in modo analogo il coefficiente di efficienza .

L’equazione che rappresenta il bilancio di materia non può però essere risolta in modo semplice essendo non lineare e, di conseguenza, v0 non è ottenibile in forma algebrica. La soluzione dovrebbe quindi essere numerica ma, essendo quest’ultima difficoltosa, si preferisce adimensionalizzare l’equazione. I parametri derivati da tale procedura sono:il numero di Thiele e il numero .

Rres

p

p0 dr

dsV

Av

Ks

K/

3R B

es

max

Il quadrato del numero di Thiele rappresenta il rapporto tra la velocità di reazione del 1° ordine e la velocità di diffusione. Alti valori di indicano invece che la reazione diventa di ordine 0.

La forma ottenuta di fè però ancora di difficile valutazione perché dipende da parametri quali max e K difficile da ottenere. Per questo motivo si prosegue ad un’ulteriore manipolazione ottenendo, infine,: =f(, ) dove:

2

p

p

0es

0

A

V

sv

La =g(, ) è rappresentata in forma grafica dalla seguente figura.

Come si evince dalla figura:

Se <0.3 =1 (controlla la reazione)

Se >3 (controlla la diffusione)

Si è appena visto come risolvere il problema del bilancio di massa in due casi: controllo della resistenza esterna o della resistenza interna. Vediamo ora come si opera nel caso in cui entrambe le resistenze devono essere considerate.

Si consideri ad esempio una piastra di enzima immobilizzato. Il bilancio allo stazionario si scrive:

Risolvendo tale equazione si ottiene:

BsLx

es0x

2

2

es

s)L(skdxds

- ;0dxds

:contornoal condizioni seguenti le con 0ksdx

sd

icellare intrapartdiffusionedi velocità filmnel trasportodi velocità Lk

Bi dove

;Bi/tanh1

tanh

es

s

s

Bi

11 2

s

/tanh dove

Il coefficiente rappresenta il fattore di efficienza in assenza della resistenza al trasporto attraverso il film. Il reciproco del fattore di efficienza può essere visto come una misura della resistenza alla reazione del substrato a causa dei limiti al trasporto del substrato stesso.

La seguente equazione consente di individuare la resistenza controllante. Infatti se:

allora l’influenza del film esterno è trascurabile.

Se, al contrario, è >>1 la resistenza interna può essere ignorata.

1kkL

BiBi s

2