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Richiami di calcolo delle probabilità Variabili casuali Processi stocastici Moto Browniano Equazioni Differenziali Stocastiche Spazio di probabilità Uno spazio di probabilità è una terna , A, P ), dove Ω è un insieme qualunque (in genere pensato come l’insieme dei risultati possibili di un esperimento casuale), A è detta σ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali si può calcolare una probabilità,e P () è appunto una misura di probabilità su Ω (P [0, 1]). Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi tali che ∅∈A; se A ∈A allora anche il suo complementare ¯ A è in A; unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora ad A.

Variabili casuali Processi stocastici Moto Browniano ...iacus.economia.unimi.it/finance/processi.pdfVariabili casuali: distribuzione Nella prassi comune di costruisce una tantum la

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  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Spazio di probabilità

    Uno spazio di probabilità è una terna (Ω,A, P), dove Ω è uninsieme qualunque (in genere pensato come l’insieme deirisultati possibili di un esperimento casuale), A è dettaσ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali sipuò calcolare una probabilità,e P() è appunto una misura diprobabilità su Ω (P : Ω 7→ [0, 1]).

    Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi taliche

    ∅ ∈ A;se A ∈ A allora anche il suo complementare Ā è in A;unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora adA.

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    Spazio di probabilità

    Uno spazio di probabilità è una terna (Ω,A, P), dove Ω è uninsieme qualunque (in genere pensato come l’insieme deirisultati possibili di un esperimento casuale), A è dettaσ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali sipuò calcolare una probabilità,e P() è appunto una misura diprobabilità su Ω (P : Ω 7→ [0, 1]).

    Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi taliche

    ∅ ∈ A;se A ∈ A allora anche il suo complementare Ā è in A;unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora adA.

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    Spazio di probabilità

    Uno spazio di probabilità è una terna (Ω,A, P), dove Ω è uninsieme qualunque (in genere pensato come l’insieme deirisultati possibili di un esperimento casuale), A è dettaσ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali sipuò calcolare una probabilità,e P() è appunto una misura diprobabilità su Ω (P : Ω 7→ [0, 1]).

    Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi taliche

    ∅ ∈ A;se A ∈ A allora anche il suo complementare Ā è in A;unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora adA.

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    Spazio di probabilità

    Uno spazio di probabilità è una terna (Ω,A, P), dove Ω è uninsieme qualunque (in genere pensato come l’insieme deirisultati possibili di un esperimento casuale), A è dettaσ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali sipuò calcolare una probabilità,e P() è appunto una misura diprobabilità su Ω (P : Ω 7→ [0, 1]).

    Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi taliche

    ∅ ∈ A;se A ∈ A allora anche il suo complementare Ā è in A;unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora adA.

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    Spazio di probabilità

    Uno spazio di probabilità è una terna (Ω,A, P), dove Ω è uninsieme qualunque (in genere pensato come l’insieme deirisultati possibili di un esperimento casuale), A è dettaσ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali sipuò calcolare una probabilità,e P() è appunto una misura diprobabilità su Ω (P : Ω 7→ [0, 1]).

    Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi taliche

    ∅ ∈ A;se A ∈ A allora anche il suo complementare Ā è in A;unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora adA.

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    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Spazio di probabilità

    Ad esempio: nell’esperimento “lancio di un dado”,Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A è la σ-algebra generata dagli eventielementari di Ω, cioè di fatto, quelli per i quali è possibilecalcolare una probabilità.

    Ad esempio E = “numero pari” = {2, 4, 6}, F = “numeromaggiore di 4” = {5, 6}. G = “numero 7” appartiene a A?

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    Spazio di probabilità

    Ad esempio: nell’esperimento “lancio di un dado”,Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A è la σ-algebra generata dagli eventielementari di Ω, cioè di fatto, quelli per i quali è possibilecalcolare una probabilità.

    Ad esempio E = “numero pari” = {2, 4, 6}, F = “numeromaggiore di 4” = {5, 6}. G = “numero 7” appartiene a A?

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    Spazio di probabilità

    Ad esempio: nell’esperimento “lancio di un dado”,Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A è la σ-algebra generata dagli eventielementari di Ω, cioè di fatto, quelli per i quali è possibilecalcolare una probabilità.

    Ad esempio E = “numero pari” = {2, 4, 6}, F = “numeromaggiore di 4” = {5, 6}. G = “numero 7” appartiene a A?

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    Esempio di misura di probabilità

    Se il dado non è truccato, cioè gli eventi elementari sonoequiprobabili, allora

    P(E) =#casi favorevoli a E#casi possibili di Ω

    cioè, negli esempi di sopra

    P(E) =#{2, 4, 6}

    #{1, 2, 3, 4, 5, 6}=

    36

    =12

    P(F ) =#{5, 6}

    #{1, 2, 3, 4, 5, 6}=

    26

    =13

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    Outline

    1 Richiami di calcolo delle probabilitàVariabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Variabili casuali

    Dato un spazio di probabilità (Ω,A, P), si definisce variabilecasuale X una funzione misurabile da Ω in R(X : Ω 7→ R),ovvero

    ∀A ∈ B(R),∃B ∈ A : X−1(A) = B

    cioè tale per cui è sempre possibile misurare attraverso Pl’insieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura diprobabilità P sullo spazio di partenza:

    P(X ∈ A) = P({ω ∈ Ω : ω ∈ X−1(A)}) = P(B), A ⊂ R, B ∈ A

    Nella notazione di sopra B(R) è detta σ-algebra di Borel su R.Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B è unaparticolare σ-algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.

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    Variabili casuali

    Dato un spazio di probabilità (Ω,A, P), si definisce variabilecasuale X una funzione misurabile da Ω in R(X : Ω 7→ R),ovvero

    ∀A ∈ B(R),∃B ∈ A : X−1(A) = B

    cioè tale per cui è sempre possibile misurare attraverso Pl’insieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura diprobabilità P sullo spazio di partenza:

    P(X ∈ A) = P({ω ∈ Ω : ω ∈ X−1(A)}) = P(B), A ⊂ R, B ∈ A

    Nella notazione di sopra B(R) è detta σ-algebra di Borel su R.Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B è unaparticolare σ-algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.

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    Variabili casuali

    Dato un spazio di probabilità (Ω,A, P), si definisce variabilecasuale X una funzione misurabile da Ω in R(X : Ω 7→ R),ovvero

    ∀A ∈ B(R),∃B ∈ A : X−1(A) = B

    cioè tale per cui è sempre possibile misurare attraverso Pl’insieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura diprobabilità P sullo spazio di partenza:

    P(X ∈ A) = P({ω ∈ Ω : ω ∈ X−1(A)}) = P(B), A ⊂ R, B ∈ A

    Nella notazione di sopra B(R) è detta σ-algebra di Borel su R.Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B è unaparticolare σ-algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.

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    Variabili casuali

    Dato un spazio di probabilità (Ω,A, P), si definisce variabilecasuale X una funzione misurabile da Ω in R(X : Ω 7→ R),ovvero

    ∀A ∈ B(R),∃B ∈ A : X−1(A) = B

    cioè tale per cui è sempre possibile misurare attraverso Pl’insieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura diprobabilità P sullo spazio di partenza:

    P(X ∈ A) = P({ω ∈ Ω : ω ∈ X−1(A)}) = P(B), A ⊂ R, B ∈ A

    Nella notazione di sopra B(R) è detta σ-algebra di Borel su R.Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B è unaparticolare σ-algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.

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    Variabili casuali

    Dato un spazio di probabilità (Ω,A, P), si definisce variabilecasuale X una funzione misurabile da Ω in R(X : Ω 7→ R),ovvero

    ∀A ∈ B(R),∃B ∈ A : X−1(A) = B

    cioè tale per cui è sempre possibile misurare attraverso Pl’insieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura diprobabilità P sullo spazio di partenza:

    P(X ∈ A) = P({ω ∈ Ω : ω ∈ X−1(A)}) = P(B), A ⊂ R, B ∈ A

    Nella notazione di sopra B(R) è detta σ-algebra di Borel su R.Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B è unaparticolare σ-algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.

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    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Variabili casuali: misurabilità

    Ad esempio, sia Ω lo spazio campionario relativoall’esperimento “lancio di un dado”. E sia X la variabile casualedefinita come segue: X (ω) = -1, per ω = 1 o 2, X (ω) = 0, per ω= 3, 4, 5 e +1 altrimenti. Per calcolare P(X ≥ 0) si devericorrere agli eventi su Ω, ovvero

    P(X ≥ 0) = P(X ∈ {0,+1})= P({ω ∈ Ω : X (ω) = 0} ∪ ({ω ∈ Ω : X (ω) = +1})= P({ω ∈ Ω : ω ∈ X−1({0,+1})})

    = P({3, 4, 5, 6}) = 46

    come si vede, X−1({0,+1}) = B deve essere un insieme dellaσ-algebra A per poterne calcolare la probabilità e quindiottenere P(X ≥ 0).

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    Variabili casuali: misurabilità

    Ad esempio, sia Ω lo spazio campionario relativoall’esperimento “lancio di un dado”. E sia X la variabile casualedefinita come segue: X (ω) = -1, per ω = 1 o 2, X (ω) = 0, per ω= 3, 4, 5 e +1 altrimenti. Per calcolare P(X ≥ 0) si devericorrere agli eventi su Ω, ovvero

    P(X ≥ 0) = P(X ∈ {0,+1})= P({ω ∈ Ω : X (ω) = 0} ∪ ({ω ∈ Ω : X (ω) = +1})= P({ω ∈ Ω : ω ∈ X−1({0,+1})})

    = P({3, 4, 5, 6}) = 46

    come si vede, X−1({0,+1}) = B deve essere un insieme dellaσ-algebra A per poterne calcolare la probabilità e quindiottenere P(X ≥ 0).

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    Variabili casuali: misurabilità

    Ad esempio, sia Ω lo spazio campionario relativoall’esperimento “lancio di un dado”. E sia X la variabile casualedefinita come segue: X (ω) = -1, per ω = 1 o 2, X (ω) = 0, per ω= 3, 4, 5 e +1 altrimenti. Per calcolare P(X ≥ 0) si devericorrere agli eventi su Ω, ovvero

    P(X ≥ 0) = P(X ∈ {0,+1})= P({ω ∈ Ω : X (ω) = 0} ∪ ({ω ∈ Ω : X (ω) = +1})= P({ω ∈ Ω : ω ∈ X−1({0,+1})})

    = P({3, 4, 5, 6}) = 46

    come si vede, X−1({0,+1}) = B deve essere un insieme dellaσ-algebra A per poterne calcolare la probabilità e quindiottenere P(X ≥ 0).

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Variabili casuali: distribuzione

    Nella prassi comune di costruisce una tantum la funzione diripartizione di X :

    F (x) = P(X ∈ (−∞, x ]), x ∈ R

    e da questa si derivano tutte le altre probabilità di interessesenza dover ricorrere alla misura di probabilità sullo spazio dipartenza.

    La questione della misurabilità delle variabili aleatorie èrilevante, e lo sarà soprattutto nello studio dei processi, poichéalle σ-algebre è legata la nozione di informazione di unesperimento (soprattutto in ambito finanziario).

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Variabili casuali: indipendenza

    Due variabili casuali X ed Y si dicono indipendenti se

    P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B)

    ciò vuol dire che la probabilità con cui X assume i suoi valorinon è influenzata da quella con cui Y assume i suoi.Ovviamente A e B sono due sottoinsiemi di R.

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    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

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  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Processi stocastici

    Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali {Xγ ,γ ∈ Γ} definita su Ω× Γ a valori in R. Quindi le variabilialeatorie (misurabili per ogni γ ∈ Γ) che costituiscono ilprocesso sono funzioni del tipo X (γ, ω) 7→ R.

    Per un fissato valore di ω, diciamo ω̄, X (γ, ω̄), vista comefunzione di γ ∈ Γ rappresenta l’evoluzione del processo el’insieme dei valori

    {X (γ, ω̄), γ ∈ Γ}

    viene chiamato traiettoria del processo .

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    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Processi stocastici

    Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali {Xγ ,γ ∈ Γ} definita su Ω× Γ a valori in R. Quindi le variabilialeatorie (misurabili per ogni γ ∈ Γ) che costituiscono ilprocesso sono funzioni del tipo X (γ, ω) 7→ R.

    Per un fissato valore di ω, diciamo ω̄, X (γ, ω̄), vista comefunzione di γ ∈ Γ rappresenta l’evoluzione del processo el’insieme dei valori

    {X (γ, ω̄), γ ∈ Γ}

    viene chiamato traiettoria del processo .

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Traiettorie dei processi

    Ad esempio, se Γ = N, e le Xn, n ∈ N sono indipendenti e conla stessa legge, siamo di fronte ad una successione di variabilicasuali i.i.d. Questa successione, che è un processo in tempodiscreto, è a volte chiamato campione bernoulliano ed è allabase delle più utilizzate procedure statistiche.

    Se invece come Γ prendiamo l’asse dei tempi [0,∞), allora (Xt ,t ≥ 0), viene detto processo in tempo continuo e ogni traiettoriadel processo rappresenta l’evoluzione temporale del processoX .

    Quindi, ogni valore di ω ∈ Ω genera una traiettoria del processoal variare di t . Ciascuna di queste traiettorie è una possibilerealizzazione del processo.

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    Traiettorie dei processi

    Ad esempio, se Γ = N, e le Xn, n ∈ N sono indipendenti e conla stessa legge, siamo di fronte ad una successione di variabilicasuali i.i.d. Questa successione, che è un processo in tempodiscreto, è a volte chiamato campione bernoulliano ed è allabase delle più utilizzate procedure statistiche.

    Se invece come Γ prendiamo l’asse dei tempi [0,∞), allora (Xt ,t ≥ 0), viene detto processo in tempo continuo e ogni traiettoriadel processo rappresenta l’evoluzione temporale del processoX .

    Quindi, ogni valore di ω ∈ Ω genera una traiettoria del processoal variare di t . Ciascuna di queste traiettorie è una possibilerealizzazione del processo.

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    Traiettorie dei processi

    Ad esempio, se Γ = N, e le Xn, n ∈ N sono indipendenti e conla stessa legge, siamo di fronte ad una successione di variabilicasuali i.i.d. Questa successione, che è un processo in tempodiscreto, è a volte chiamato campione bernoulliano ed è allabase delle più utilizzate procedure statistiche.

    Se invece come Γ prendiamo l’asse dei tempi [0,∞), allora (Xt ,t ≥ 0), viene detto processo in tempo continuo e ogni traiettoriadel processo rappresenta l’evoluzione temporale del processoX .

    Quindi, ogni valore di ω ∈ Ω genera una traiettoria del processoal variare di t . Ciascuna di queste traiettorie è una possibilerealizzazione del processo.

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Processi stocastici e finanza

    In finanza modelleremo le dinamiche dei prezzi (ad esempio)attraverso processi stocastici. L’osservazione empirica di unasuccessione di quotazioni/prezzi/etc sarà l’osservazione di una(e una sola) particolare traiettoria del processo.

    Fissato invece un istante t = t̄ , se facciamo variare ω ∈ Ω,allora X (̄t , ω) fornisce la distribuzione del processo al tempo t̄ .In finanza ha senso chiedersi, per un valore di t + h avanti neltempo (h > 0), quali saranno i valori più probabili (quotazioni) diun particolare prodotto finanziario alla luce dell’informazioneraccolta sul fenomeno sino al tempo t .

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    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Processi stocastici e finanza

    In finanza modelleremo le dinamiche dei prezzi (ad esempio)attraverso processi stocastici. L’osservazione empirica di unasuccessione di quotazioni/prezzi/etc sarà l’osservazione di una(e una sola) particolare traiettoria del processo.

    Fissato invece un istante t = t̄ , se facciamo variare ω ∈ Ω,allora X (̄t , ω) fornisce la distribuzione del processo al tempo t̄ .In finanza ha senso chiedersi, per un valore di t + h avanti neltempo (h > 0), quali saranno i valori più probabili (quotazioni) diun particolare prodotto finanziario alla luce dell’informazioneraccolta sul fenomeno sino al tempo t .

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Filtrazioni

    Ad ogni processo, ad esempio (X (t), t ≥ 0), si può associare,per ogni t una σ-algebra che indichiamo conFt = σ(X (s); 0 ≤ s ≤ t) (la σ-algebra generata da X (t)), cioè lapiù piccola σ-algebra di A che rende X (s, ω) misurabile perogni 0 ≤ s ≤ t . Questa σ-algebra (che deve contenere anchegli insiemi di misura nulla di A) è l’insieme più piccolo disottoinsiemi di Ω che ci permette di calcolare tutte le probabilitàrelative ad eventi che riguardano X (t).

    La famiglia di σ-algebre (Ft , t ≥ 0) viene chiamata filtrazionenaturale del processo ed è tale per cui Fs ⊂ Ft , per s < t .

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    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Filtrazioni

    Ad ogni processo, ad esempio (X (t), t ≥ 0), si può associare,per ogni t una σ-algebra che indichiamo conFt = σ(X (s); 0 ≤ s ≤ t) (la σ-algebra generata da X (t)), cioè lapiù piccola σ-algebra di A che rende X (s, ω) misurabile perogni 0 ≤ s ≤ t . Questa σ-algebra (che deve contenere anchegli insiemi di misura nulla di A) è l’insieme più piccolo disottoinsiemi di Ω che ci permette di calcolare tutte le probabilitàrelative ad eventi che riguardano X (t).

    La famiglia di σ-algebre (Ft , t ≥ 0) viene chiamata filtrazionenaturale del processo ed è tale per cui Fs ⊂ Ft , per s < t .

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Filtrazioni: esempio

    Le filtrazioni sono dunque successioni di σ-algebre crescenti.Vediamo un esempio. Pensiamo al lancio di una moneta. Irisultati sono T o C con uguale probabilità. Possiamo associarea questo esperimento la σ-algebra costruita su [0, 1] nelseguente modo: associamo al risultato T l’intervallo [0, 1/2) e aC l’intervallo [1/2, 1] e le relative probabilità alle lunghezzedegli intervalli corrispondenti (mis. Lebesgue), ovveroP(T ) = P([0, 1/2)) = 1/2, P(C) = P([1/2, 1]) = 1/2. quindi

    F1 = {∅, [0, 1/2), [1/2, 1], [0, 1]}

    è una σ-algebra.

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Filtrazioni: esempio

    Supponiamo ora che l’esperimento continui con un lanciosuccessivo della moneta. Se è uscita T al primo lancio, puòancora uscire T o C. Associamo [0, 1/4) all’evento = “T alsecondo lancio e al primo”, e [1/4, 1/2) all’evento = “C alsecondo lancio e T al primo”. Analogamente per [1/2, 3/4) e[3/4, 1]. Quindi

    F2 ={∅, [0, 1/2), [1/2, 1], [0, 1/4), [1/4, 1/2),[1/2, 3/4), [3/4, 1], [0, 1], . . .}

    è ancora una σ-algebra (con . . . s intende l’insieme di tutte lepossibili unioni degli intervalli elencati) e F1 ⊂ F2.

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Filtrazioni: esempio

    Pensando all’n-esimo lancio della moneta si arriverà asuddividere [0, 1] in intervalli di ampiezza 1/2n e alla σ-algebraFn che include tutte le precedenti.

    Indichiamo con Xi il risultato del lancio della moneta allai-esima prova. Allora, X1 è F1 misurabile, X2 è F2 misurabile,ecc.

    Ovvero (Fi , i ≥ 1) è una filtrazione per il processo {Xi , i ≥ n}.

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Filtrazioni: esempio

    È utile per un processo essere misurabile rispetto ad unfiltrazione?

    Se al secondo lancio abbiamo X2 = T e X−2 1(T ) è l’intervallo

    [1/4, 1/2), sappiamo esattamente cosa è successo anche nellancio precedente X1, ovvero è uscita T . Viceversa, nonsappiamo nulla su cosa accadrà per X3, ecc.

    Le filtrazioni sono dunque un modo per descrivere l’aumento diinformazione che si ha col trascorrere del tempo.

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Processi adattati

    Dato un processo (Xt , t ≥ 0) e una filtrazione (Ft , t ≥ 0), si diceche X è adattato ad (Ft , t ≥ 0) se per ogni t ≥ 0, X (t) èFt -misurabile.

    In finanza la filtrazione rappresenta tutta l’informazione raccoltasul processo fino al tempo t . Richiedere che il processo siaadattato ad una filtrazione, vuol dire poterne studiare lecaratteristiche.

    L’idea di σ-algebra minimale (e quindi di filtrazione naturale) èda intendersi in questo senso: visto che per poter lavorare conle variabili casuali (e quindi i processi) serve la misurabilità(altrimenti non posso calcolare alcuna probabilità), la σ-algebraFt è costruita in modo tale da contenere “tutta l’informazionerilevante” sul processo con il minimo “ingombro”.

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Processi adattati

    Dato un processo (Xt , t ≥ 0) e una filtrazione (Ft , t ≥ 0), si diceche X è adattato ad (Ft , t ≥ 0) se per ogni t ≥ 0, X (t) èFt -misurabile.

    In finanza la filtrazione rappresenta tutta l’informazione raccoltasul processo fino al tempo t . Richiedere che il processo siaadattato ad una filtrazione, vuol dire poterne studiare lecaratteristiche.

    L’idea di σ-algebra minimale (e quindi di filtrazione naturale) èda intendersi in questo senso: visto che per poter lavorare conle variabili casuali (e quindi i processi) serve la misurabilità(altrimenti non posso calcolare alcuna probabilità), la σ-algebraFt è costruita in modo tale da contenere “tutta l’informazionerilevante” sul processo con il minimo “ingombro”.

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  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Caratteristiche dei processi

    In genere l’introduzione dei processi serve a modellare unaqualche struttura di dipendenza. Se pensiamo all’andamento diun indice azionario, è impensabile immaginare che laquotazione precedente non influenzi la successiva in unaqualche misura, cioè non si può assumere l’indipendenza. Iprocessi di uso corrente nelle applicazioni sono costruiti apartire dalle proprietà che si vogliono modellare. Ci sono quindidiversi approcci, tra questi la modellazione degli incrementi edella funzione di covarianza del processo.

    Xt − Xs : incremento del processo tra s e t , s < tCov(Xs, Xt) : la covarianza del processo

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Moto Browniano

    Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) unprocesso (B(t), t ≥ 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, conle seguenti proprietà:

    (i) è un processo ad incrementi indipendenti: ovveroB(t)− B(s) è indipendente da B(u)− B(v) pert > s ≥ u > v ≥ 0;

    (ii) è un processo a incrementi stazionari: cioè la distribuzionedi B(t)− B(s) per t > s ≥ 0 dipende solo dalla distanzat − s e non da t e/o s separatamente;

    (iii) è un processo ad incrementi Gaussiani: cioèB(t)− B(s) ∼ N (0, t − s)

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Moto Browniano

    Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) unprocesso (B(t), t ≥ 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, conle seguenti proprietà:

    (i) è un processo ad incrementi indipendenti: ovveroB(t)− B(s) è indipendente da B(u)− B(v) pert > s ≥ u > v ≥ 0;

    (ii) è un processo a incrementi stazionari: cioè la distribuzionedi B(t)− B(s) per t > s ≥ 0 dipende solo dalla distanzat − s e non da t e/o s separatamente;

    (iii) è un processo ad incrementi Gaussiani: cioèB(t)− B(s) ∼ N (0, t − s)

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    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Moto Browniano

    Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) unprocesso (B(t), t ≥ 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, conle seguenti proprietà:

    (i) è un processo ad incrementi indipendenti: ovveroB(t)− B(s) è indipendente da B(u)− B(v) pert > s ≥ u > v ≥ 0;

    (ii) è un processo a incrementi stazionari: cioè la distribuzionedi B(t)− B(s) per t > s ≥ 0 dipende solo dalla distanzat − s e non da t e/o s separatamente;

    (iii) è un processo ad incrementi Gaussiani: cioèB(t)− B(s) ∼ N (0, t − s)

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Moto Browniano

    Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) unprocesso (B(t), t ≥ 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, conle seguenti proprietà:

    (i) è un processo ad incrementi indipendenti: ovveroB(t)− B(s) è indipendente da B(u)− B(v) pert > s ≥ u > v ≥ 0;

    (ii) è un processo a incrementi stazionari: cioè la distribuzionedi B(t)− B(s) per t > s ≥ 0 dipende solo dalla distanzat − s e non da t e/o s separatamente;

    (iii) è un processo ad incrementi Gaussiani: cioèB(t)− B(s) ∼ N (0, t − s)

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Moto Browniano

    Altra caratterizzazione: sia X1, X2, . . . , Xn una successionei.i.d. di variabili aleatorie che assumono solo i valori -1 e +1 conprobabilità 12 . Sia

    Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

    allora (S[nt]√

    n, t ≥ 0

    )→ (B(t), t ≥ 0)

    dove la convergenza è in distribuzione.

    Il moto Browniano è il limite di una passeggiata aleatoria [ ].

    Si noti che il teorema del limite centrale garantisce già che Sn/√

    n → N (0, 1), qui laconvergenza, per ogni t > 0 è ad una Gaussiana centrata di varianza t .

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Moto Browniano

    Altra caratterizzazione: sia X1, X2, . . . , Xn una successionei.i.d. di variabili aleatorie che assumono solo i valori -1 e +1 conprobabilità 12 . Sia

    Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

    allora (S[nt]√

    n, t ≥ 0

    )→ (B(t), t ≥ 0)

    dove la convergenza è in distribuzione.

    Il moto Browniano è il limite di una passeggiata aleatoria [ ].

    Si noti che il teorema del limite centrale garantisce già che Sn/√

    n → N (0, 1), qui laconvergenza, per ogni t > 0 è ad una Gaussiana centrata di varianza t .

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Moto Browniano

    Altra caratterizzazione: sia X1, X2, . . . , Xn una successionei.i.d. di variabili aleatorie che assumono solo i valori -1 e +1 conprobabilità 12 . Sia

    Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

    allora (S[nt]√

    n, t ≥ 0

    )→ (B(t), t ≥ 0)

    dove la convergenza è in distribuzione.

    Il moto Browniano è il limite di una passeggiata aleatoria [ ].

    Si noti che il teorema del limite centrale garantisce già che Sn/√

    n → N (0, 1), qui laconvergenza, per ogni t > 0 è ad una Gaussiana centrata di varianza t .

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Variazioni del moto browniano

    La nozione di variazione semplice di un processo FV (X ) èlegata alla differenziabilità delle sue traiettorie ed è definitacome segue

    FVt(X ) =∫ t

    0|X ′(t)|dt

    e per il moto browniano non esiste in quanto B′(t) non esiste.

    Si indica con [X , X ](t) la variazione quadratica di un processoX calcolata all’istante t e la sua espressione è

    [X , X ](t) limn→∞

    |X (si+1)− X (si)|

    con 0 < s1 < · · · < si < · · · < sn < t . Per il moto browniano[B, B](t) = t .

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Outline

    1 Richiami di calcolo delle probabilitàVariabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Dinamiche dei prezzi

    Si supponga di avere un processo (S(t), t ≥ 0) cherappresenta il valore di un’azione all’istante t .

    Consideriamo un intervallo di tempo infinitesimale dt dopo ilquale il prezzo è variato da S a S + dS (indicando con dS lavariazione di S nell’intervallo di tempo dt , cioèdS = S(t + dt)− S(t)). Il rendimento dell’azione viene valutatoattraverso il rapporto dS/S.

    Possiamo pensare di modellare questo rendimento comesomma di due contributi: uno deterministico ed uno stocastico.

    dSS

    = contributo deterministico + contributo stocastico

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Dinamiche dei prezzi: input deterministico

    Il contributo della parte deterministica è legato ai tassi diinteresse o ai rendimenti costanti legati ad operazionifinanziarie senza rischio (cioè il trend o drift = “deriva”).Indicando con µ il rendimento medio, allora il contributo saràproporzionale a µ rispetto al tempo intercorso

    contributo deterministico = µdt

    In modelli più generali, si può anche assumere che µ siafunzione di S, di t o tutti e due.

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Dinamiche dei prezzi: input stocastico

    Il contributo stocastico è quello dovuto a fattori esogeni comenotizie inattese o altri shock esterni al mercato. Si puòimmaginare che questo contributo sia la realizzazione di unavariabile casuale Gaussiana di media nulla (shock gaussiani).

    Chiamiamo questo contributo dX , e scriviamo

    contributo stocastico = σdX

    La costante σ > 0, chiamata volatilità rappresenta la variabilitàintrinseca dei rendimenti (anche σ si può assumere funzione diS, di t o tutti e due) e sostanzialmente fa si che la variabilitàdegli shock sia proporzionale a quella dei rendimenti, cioèσdX ∼ N (0, cσ2) dove c è la varianza di dX .

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Dinamiche dei prezziequazioni differenziali stocastiche (eds)

    Mettendo assieme i due contributi arriviamo alla seguenteequazione

    dSS

    = µdt + σdX

    chiamata equazione differenziale stocastica che, seppurmeramente una rappresentazione matematica formale, cipermette di descrivere un semplice modello per la variazionedei rendimenti.

    Si noti che dX non è ancora chiaro che cosa rappresenti.

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Supponiamo che non vi sia la parte stocastica, ovvero poniamoσ = 0, allora si può scrivere qualche cosa di più preciso

    dS(t)S(t)

    = µdt

    ovverodS(t)

    dt= µS(t)

    passando al limite per dt → 0 otteniamo

    S′(t) = µS(t)

    meglioS′(t)S(t)

    =ddt

    ln S(t) = µ

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Risolvendo l’equazione differenziale ordinaria

    ddt

    ln S(t) = µ

    come

    ln S(t)− ln S(t0) =t∫

    t0

    µds = µ(t − t0)

    (ovvero integrando) e passando alla forma esponenzialeabbiamo

    S(t) = S(t0)eµ(t−t0)

    ovvero, il prezzo al tempo t > t0 è calcolabiledeterministicamente a partire dal prezzo di partenza S(t0) e dalvalore del rendimento medio costante µ.

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Il passaggio successivo è quello di scrivere più adeguatamentela parte stocastica. Abbiamo detto che dX è solo una notazioneper indicare una particolare variabile gaussiana di media nullae varianza assegnata. È ragionevole assumere che la varianzadi dX non sia costante ma dipendenda anch’essa dall’intervallodi tempo considerato dt . Poniamo dunque

    dX ∼ N (0, dt)

    il che, come prima, equivale a scrivere che dX = Z√

    dt conZ ∼ N (0, 1). Se pensiamo a due intervalli di tempo distinti dt edu, le rispettive versioni di dX possono considerarsiindipendenti quando gli intervalli non sono sovrapposti, maallora tutto ciò ci conduce naturalmente ad associare dX agliincrementi di un moto Browniano.

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Infatti, gli incrementi del moto Browniano nell’intervallo [t , t + dt)hanno la seguente proprietà

    B(t + dt)− B(t) ∼ N (0, dt)

    Perché si riscala la varianza di dX a dt? Uno dei motivi è chenoi siamo interessati al limite per dt → 0 dell’equazionedifferenziale stocastica. Se la varianza di dX non fosseproporzionale a dt allora, la varianza di S sarebbe pari a 0 o a+∞! Un altro motivo è ovviamente la relazione con il motobrowniano: cioè si associa la parte di variabilità stocastica alletraiettorie del moto browniano.

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    proprietà di dS = σSdX + µSdt

    Ricordando che per ipotesi EdX = 0 e Var(dX ) = dt , si ottiene

    EdS = E(σSdX + µSdt) = µSdt

    e

    Var(dS) = EdS2 − (EdS)2

    = E(σ2S2dX 2 + (µSdt)2 + 2(µSdt)(σSdX ))− (µSdt)2

    = E(σ2S2dX 2) = σ2S2dt

    Si evince che valore atteso e varianza dei rendimentidipendono direttamente da µ e σ. Quindi, identificato il modellofunzionale, per poter prevedere il comportamento di S ènecessario stimare µ e σ sui dati di mercato [ ].

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Le due ipotesi su cui stiamo tacitamente lavorando e cheuseremo anche in futuro sono le seguenti

    la storia passata viene interamente riflessa nel valoreattuale dell’asset e non contiene informazioni sul futuro;

    i mercati rispondono immediatamente ad ogni nuovainformazione si abbia sull’asset.

    Quindi ciò che andremo a modellare è sempre l’effettodell’arrivo di nuove informazioni sul prezzo dell’asset, cioè gliincrementi del processo. I processi che descrivono una taledinamica dei prezzi sono anche detti Markoviani .

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Ricordiamo che la derivazione di dS = σSdX + µSdt è del tuttointuitiva ma molti dettagli tecnici non sono stati affrontati.

    Inoltre la scrittura in forma differenziale è solo una scrittura chedal punto di vista matematico vuol dire poco.

    Per dt piccolo, ma positivo, è corretto dire che dX si comportacome gli incrementi di un moto browniano, ma se dt → 0, cioèlo interpretiamo come variazione infinitesima della traiettoriadel moto browniano, allora cade l’analogia in quanto talitraiettorie sono ovunque non differenziabili.

    Per capire meglio di cosa stiamo parlando, vediamo le cosesotto un altro punto di vista...

  • Richiami di calcolo delle probabilità

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Se riscriviamo in modo esplicito l’eds dS = σSdX + µSdtusando il moto browniano per modellare la variazione dXabbiamo

    dS = σSdB + µSdt

    S(t + dt)− S(t) = σS(t)(B(t + dt)− B(t)) + µS(t)dt

    S(t + dt)− S(t)dt

    = σS(t)B(t + dt)− B(t)

    dt+ µS(t)

    passando al limite per dt → 0, otterremo la scrittura formale

    S′(t) = σS(t)B′(t) + µS(t)

    dove compare la derivata della funzione B(t), ovvero dellatraiettoria del moto browniano

    Richiami di calcolo delle probabilitàVariabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche