Variabili statistiche - Sommario · Statistica - M.Grosso Variabili Statistiche 3 Statistica descrittiva Introduzione • La Statistica Descrittiva è la branca della Statistica che

Statistica - M.Grosso Variabili Statistiche 1

Variabili statistiche - Sommario

• Definizioni preliminari• Statistica descrittiva• Statistica descrittiva

• Misure della tendenza centrale e della dispersione di un campione

1

Introduzione

• La variabile statistica rappresenta i risultati di un’analisi effettuata su un campione estratto da una un analisi effettuata su un campione estratto da una popolazione statistica.

• Il settore della statistica che si preoccupa dello studio di queste variabili prende il nome di statistica descrittiva.

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Definizioni preliminari

• Interpretazione graficaPopolazione

Statistica

Campione

3

Campagna sperimentale

Statistica descrittivaIntroduzione

• La variabile statistica rappresenta i risultati di un’analisi effettuata su un campione estratto da una un analisi effettuata su un campione estratto da una popolazione statistica.

• Il settore della statistica che si preoccupa dello studio di queste variabili prende il nome di statistica descrittiva.

4

CampioneScopo:

Caratterizzazione del campione


Statistica descrittivaIntroduzione

• La Statistica Descrittiva è la branca della Statistica che studia i criteri di rilevazione, di classificazione e che studia i criteri di rilevazione, di classificazione e di sintesi delle informazioni relative a una popolazione oggetto di studio.

• Ha come obiettivo il sintetizzare i dati di un campione in una scrittura di facile lettura.

Definizione• Definizione• Dimensione N del campione: numero di osservazioni

di cui è costituito il campione

5

Statistica descrittiva – Esempio discreto

• Una azienda intende monitorare i giorni di assenza dal lavoro dei propri impiegati.p p p g

• X : numero di giorni di assenza per ogni impiegato• L’indagine viene eseguita su 20 dipendenti scelti a

caso, osservando i seguenti risultati

• X : {5, 6, 4, 4, 10, 4, 8, 7, 5, 7, 3, 2, 1, 6, 6, 5, 6, 6, 8, 3}

O i di d t i id i è t

6

• Ogni dipendente preso in considerazione è un eventoovvero un esito dell’esperienza che non è noto a priori

• La dimensione del campione a disposizione e’ N = 20.


Statistica descrittiva – Esempio discreto• I dati sono riportati nella seguente tabella riassuntiva

DefinizioniNumero di giorni d' Ri ti i d i 20 F F l ti

La frequenza assolutarappresenta il numero di volte che un dato

risultato si osserva nel campione considerato

La frequenza relativa

d'assenza X

Ripartizione dei 20 impiegati

Frequenza f

Frequenza relativa f/n

1 ∏ 1 0.05

2 ∏ 1 0.05

3 ∏∏ 2 0.10

4 ∏∏∏ 3 0.15

5 ∏∏∏ 3 0.15

6 ∏∏∏∏∏ 4 0.25

7 ∏∏ 2 0.10

7

La frequenza relativa si ottiene dividendo la

frequenza per il numero totale di prove

8 ∏∏ 2 0.10

9 0 0.00

10 ∏ 1 0.05

n = 20 1.00

Statistica descrittiva – Esempio discreto • Rappresentando i risultati in un grafico

(ISTOGRAMMA) è possibile ottenere informazioni qualitative sul comportamento dei dipendentiqu u mp m p

freq

uenz

a

2 0.1

4 0.2

Frequenzarelativa

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8

• Per esempio, esistono dei risultati più ricorrenti?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Statistica descrittiva –Frequenza relativa

1. La frequenza relativa può assumere valori almeno uguali a zero e al più uguali a 1uguali a zero e al più uguali a 1

2. La somma delle frequenze relative è sempre pari a 1• I valori che possono assumere i risultati del campione

vanno da 1 a 10. È possibile osservare m = 10 distinti valori interi. Per definizione:

ii

Nf i mN

= ∀ ∈ Essendo Ni il numero di volte che i è t il l i i

• Da notare che

if N si è osservato il valore i-esimo

1

1.0m

ii

f=

=∑

Statistica descrittiva –Frequenza relativa e cumulativa

• Da notare che la frequenza relativa, dal punto di vista matematico, può essere vista come una funzione:matematico, può essere vista come una funzione

( )0

j jf se y yf y

altrove=⎧

= ⎨⎩


Statistica descrittiva –Frequenza cumulativa

• Ci si può porre il problema di determinare quale è la frazione delle osservazioni che assume valori inferiori frazione delle osservazioni che assume valori inferiori ad un certo valore

• Ad ogni y si associa la somma di tutte le frequenze relative corrispondenti ai valori del campione più piccoli o uguali ad y.

( ) ( )∑= tfyF ( ) ( )∑≤ yt

tfyF


0 25

0.30

1 0

1.2

numero di giorni di assenza

0 2 4 6 8 10 12

freq

uenz

a re

lati

va

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

numero giorni di assenza

0 2 4 6 8 10

freq

uenz

a cu

mulat

iva

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

g g

Frequenza relativa Frequenza cumulativa

La frequenza cumulativa è una funzione a gradini, crescente, che parte da 0 e arriva a 1



• La distribuzione cumulativa è molto importante:• Si consideri per esempio di voler sapere la frazione • Si consideri per esempio di voler sapere la frazione

del campione di dipendenti che ha maturato tra le 5 e le 8 giornate di malattia

• % impiegati con X ≤ 8 = 0.95• % impiegati con X < 5 = % impiegati con X ≤ 5 = 0.35

• La percentuale di impiegati con 5 ≤X ≤8 = 0.95-0.35 = 0.60

Statistica descrittiva – Esempio continuo• Si consideri una serie di 50 misure di concentrazione

di composti azotati su un’acqua di scarico di un impianto industriale. impianto industriale.

• Le misure sono state effettuate sempre nelle stesse condizioni (esercizio dell’impianto costante etc.)

• Le fluttuazioni presenti nella misura possono essere dovute a:– Errori di misura– Fluttuazioni nella corrente di scarico dovute a

14

Fluttuaz on nella corrente d scar co do ute a variazioni delle condizioni esterne (meteo, temperatura, etc.)

– altro


Statistica descrittiva – Esempio continuo

• Esempio di misure:

• X = {1.434, 1.401, 1.464, …, 1.478, 1.490, 1.405, 1.394}

• In questo caso non abbiamo più un numero finito (o numerabile) di possibili risultati ma ciascun elemento del campione può assumere un qualunque numero reale

• N B nonostante la concentrazione sia stata riportata

15

N.B. nonostante la concentrazione sia stata riportata con una precisione alla terza cifra decimale, il numero di cifre significative può essere infinito

Statistica descrittiva – Esempio continuo

• Non si può parlare di frequenza di un valore specifico di X (non si avrà mai lo stesso valore per due ( pdifferenti misure).

• Su un istogramma costruito con la filosofia del caso discreto avremmo tanti picchi di altezza unitaria in corrispondenza di ciascuna misura sperimentale, il che non avrebbe senso dal punto di vista applicativo.

• Al contrario si può determinare il numero di volte che si osserva un valore in un certo intervallo finito

16

si osserva un valore in un certo intervallo finito (classe) Δx

• Tale numero prende il nome di frequenza assoluta corrispondente alla classe


Statistica descrittiva – Esempio continuo• Considero, per esempio, 9 distinte classi che partono

da 1.15 sino a 1.60 ciascuna delle quali è costituita da un intervallo pari a 0 05:

1 3 6 4 7 7 15 5 2 0

un intervallo pari a 0.05:

n = 50

17Misura della concentrazione

1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65

Statistica descrittiva – Esempio continuo• I risultati possono ancora essere rappresentati in un

istogramma

5 0 10requ

enza

frequenza rel

15 0.30

10 0.2012%

8%

14% 14%

30%

10%

18

Misura della concentrazione

1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65

5 0.10frlativa2%

6% 8%4%


Statistica descrittiva – Percentili• Gli istogrammi delle frequenze (sia assolute che

relative) sono molto utili e permettono con una semplice ispezione grafica di trarre conclusionip p g f

• Per esempio si consideri una misura di concentrazione pari a 1.24. Tale misura si trova nell’estremità superiore della seconda classe e si possono per esempio valutare quante sono le osservazioni sperimentali con valore inferiore. In questo caso:

( ) ( )% d% i l l 1 201 1 2515 1 20

19

• Il valore di concentrazione 1.24 cade nell’8mo percentile

( ) ( )% seconda c% prima cl lasse 1.20asse 1 1.25.15 1.202 % %6 8%

+ =

+ =

÷÷

Statistica descrittiva – Percentili

• Percentili importanti:– Primo quartile: è il percentile 25° ovvero il 25% del – Primo quartile: è il percentile 25 , ovvero il 25% del

campione assume valore inferiore– Mediana: è il percentile 50°, corrisponde al valore

centrale che divide in dati in due parti uguali – Terzo quartile: è il percentile 75°, solo il 25% delle

osservazioni assume un valore superiore

20


Statistica descrittiva – Percentili

• Per l’esempio corrente:x=1.33 x=1.47

Primo quartile Terzo quartile

21

1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65

x=1.43Mediana

Minimo valore del campione

Massimo valore del campione

Statistica descrittiva – Percentili• Rappresentazione del campione tramite “diagrammi a

scatola” (in inglese: “box-plots”)

22

1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65

Valore minimo

1° quartile mediana 3° quartile

Valore massimo


Statistica descrittivaEsercizio riepilogativo

• In un’università americana un campione scelto a caso di 5 professori di sesso femminile ha fornito la di 5 professori di sesso femminile ha fornito la seguente distribuzione dei salari annuali (Katz, 1973)

• Y = {9, 12, 8, 10, 16}

• I dati sono forniti in Kdollari• Tracciare i diagrammi a scatola del campione in esame

S i di i d i i d

23

• Suggerimento : ordinare i dati in senso crescente ed individuare l’osservazione “centrale” per la mediana. Per i percentili si ha che il 25% di 5 è circa 1 e quindi sono le osservazioni alle estremità

Statistica descrittivaEsercizio riepilogativo

• Nella stessa università, un campione di 25 professori maschi ha fornito la seguente distribuzione di salari annuali (stessa fonte. unità di misura sempre in Kdollari)unità di misura sempre in Kdollari)

• X = {13, 11, 19, 11, 22, 27, 14, 16, 13, 24, 21, 18, 11, 9, 13, 22, 13, 11, 17, 13, 31, 9, 12, 15, 15}

• Tracciare i diagrammi a scatola del campione in esame• Suggerimento : ordinare i dati in senso crescente la mediana

sarà il valore per cui 12 punti siano inferiori e 12 superiori. Per i quartili si ha che il 25% di 25 è circa 6 e dobbiamo quindi

24

q qprendere il 6° e il 19° punto della successione.

• Da una analisi qualitativa, è possibile concludere se ci sono differenze tra i due campioni?

• Classificare inoltre i dati in classi di centro 10, 15,20,25,30


Misure centro di una distribuzione di dati

• Con la rappresentazione grafica delle frequenze è possibile ottenere delle informazioni qualitative sul possibile ottenere delle informazioni qualitative sul nostro campione

• Ci sono differenti modi per rappresentare il centro di una distribuzione di dati

25


• Moda

il valore più frequente nel campione di dati

– ovvero quello cui corrisponde il maggior numero di osservazioni

– Esempi:• Esempio discreto col numero dei giorni di

malattia: moda = 6 giorni

26

malattia: moda = 6 giorni• Esempio continuo con le misure di

concentrazione: moda corrisponde alla classe [1.45 - 1.50] ~ 1.475



• Mediana

il 50° percentile

– Esempi:• Esempio discreto col numero dei giorni di

malattia: mediana = 5.5 giorni• Esempio continuo con le misure di

27

pconcentrazione: mediana = 1.4276


• Media aritmetica• Corrisponde alla somma di tutte le osservazioni diviso • Corrisponde alla somma di tutte le osservazioni diviso

per il numero N di osservazioni

• Esempio discreto numero giorni di malattia

Nxxx

N

xx N

N

ii +++==

∑= ...211w

28

p g

• Esempio continuo con le misure di concentrazione

5+6+4+6+1+10+...+0+3+3+13+8 4.937550

x = =

1.43+1.27+1.47...+1.40+1.46 1.405950

x = =



• Nel caso di campioni di grandi dimensioni l’applicazione della formula per la media può risultare oneroso, se della formula per la media può risultare oneroso, se eseguito manualmente senza l’ausilio di strumenti di calcolo.

• Ma i calcoli possono essere significativamente ridotti ricorrendo ai dati raggruppati in classe

• Consideriamo una generica collezione di dati da sommare e ordiniamoli in ordine crescente

29

sommare e ordiniamoli in ordine crescente • All’interno di ciascun insieme di dati appartenenti alla

stessa classe approssimiamo ogni osservazione con il centro della rispettiva classe

Misure centro di una distribuzione di dati• Si può scrivere

x cade nella prima classe Ø x1p

x cade nella seconda classe Ø x2

( ) ( )( ) [ ]KKKK ++=++++++≅ 22112211

11 fxfxN

xxxxN

x

La x cade f La x cade f

30

La x cade f1volte nella

classe rappresentata

da x1

La x cade f2volte nella

classe rappresentata

da x2

x ~ x1 x ~ x2

f1 , f2, … frequenze assolute relative alle classi

x1, x2, …



• In conclusione per una serie di dati raggruppati possiamo scriverepossiamo scrivere

• Essendo f la frequenza assoluta delle osservazioni nelle classi

• Nel caso si usi la frequenza relativa f:

1Ax x f

N= ∑ fA: frequenza assoluta

31

1

p

j jj

x x f=

= ∑Essendo p il numero di classi in cui è stato suddiviso il campione

xj è il valore associato ad ogni classe, fjè la frequenza relativa osservata per la classe j-esima


• Esercizio 1:• Si stimi la media degli stipendi universitari sia per la • Si stimi la media degli stipendi universitari sia per la

distribuzione maschile che per quella femminile• Nel caso del campione maschile si sfrutti

l’approssimazione per i dati raggruppati

• Nota: la media del campione maschile è pari a 16.00 se i i ll i i i

32

non si ricorresse alle approssimazioni



• Esercizio 2:• Si considerino i due campioni di dati A e B di seguito • Si considerino i due campioni di dati A e B di seguito

riportati e si valutino per essi media e mediana

• A = {1.01, 1.49, 0.99, 2.01, 2.50}• B = {1.594, 1.604, 1.589, 1.604, 1609}

33

Statistica descrittivaOsservazioni sull’esercizio

• La valutazione del centro della distribuzione dei dati è un’informazione utile ma non esaustiva.un informazione utile ma non esaustiva.

• Nel secondo esercizio si era visto come due campioni che presentano lo stesso valore di media, sono comunque ben differenti (perché?)

• Il secondo campione di dati registra infatti delle fluttuazioni intorno al valore medio che sono molto più piccole

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piccole.

• Potrebbe per esempio essere associato ad una misura più precisa


Statistica descrittivaMisure dispersione di una distribuzione

• È quindi interessante anche misurare quanto le misure siano disperse intorno al valore medio.siano disperse intorno al valore medio.

• Vi sono diverse misure della dispersione dei dati:

• Intervallo (in inglese; range)

valore massimo – valore minimo

• È una misura un po’ “sensibile” dato che dipende

35

È una misura un po sensibile dato che dipende completamente da due sole osservazioni

• Esempio: calcolare l’intervallo per i due campioni A e B introdotti precedentemente


• Intervallo (o Estensione) Interquartile EIQ

EIQ (t til ) ( i til )EIQ = (terzo quartile) – (primo quartile)

• È più “stabile” del semplice intervallo (perché?)

• Esistono altre misure della dispersione che sono usate.

• Per la loro implementazione è necessario prima definire la seguente grandezza:

36

definire la seguente grandezza:

• che rappresenta la distanza della singola prova rispetto al trend centrale.

xxd ii −=



• È facile dimostrare che:NN

• Infatti:

( ) 011

=−=∑∑== i

ii

i xxd

( )1 1 1 1

0N N N N

i i ii i i i

x x x x x N x N x N x= = = =

− = − = − = − =∑ ∑ ∑ ∑

37

• Deviazioni positive e negative dal valore centrale si annullano. È quindi necessario prendere tale deviazione in valore assoluto


• Scarto assoluto medio

1 1

1 1N N

i ii i

SAM d x xN N= =

= = −∑ ∑


Statistica descrittivaDispersione di una distribuzione di dati

• Scarto quadratico medio:21 N

• In genere la formula utilizzata è una piccola modifica dello scarto quadratico medio:

• Varianza

( )2

1

1i

iSQM x x

N =

= −∑

1 N La somma dei

39

( )22

1

11

N

ii

s x xN =

= −− ∑

La somma dei quadrati è divisa

per (N-1) anziché N

Statistica descrittivaDispersione di una distribuzione di dati

• Varianza: perché dividere per (n-1)?• La dimostrazione matematica rigorosa è molto articolata e

lcomplessa.• È possibile dare comunque un’interpretazione intuitiva di tale

necessità, ricorrendo a dei casi estremamente semplici.• Si consideri, per esempio, un campione di dati costituito da N = 1

osservazione.La media fornisce un’idea di quale sia il trend centrale della popolazione da cui proviene.

• Ma in tale campione, la dispersione è nulla e non si può concludere niente sulla dispersione della popolazione.

40

concludere n ente sulla d spers one della popolaz one.• In maniera empirica, si può affermare che, per un generico

campione di dimensione N, si hanno (N-1) elementi di informazione che possono essere sfruttati per la varianza (detti anche gradi di libertà): Un grado di libertà è stato già sfruttato per il calcolo della media



• Deviazione standard• È la radice quadrata della varianza• È la radice quadrata della varianza

• Utile perché ha le stesse dimensioni della variabile x presa in considerazione

( )2

1

11

N

ii

s x xN =

= −− ∑

41

p• È compresa tra il minimo ed il massimo dei valori

assoluti degli scarti

i id x x= −


• Da notare che:

( )22 2 21 1N N⎛ ⎞∑ ∑• Dimostrazione:

( )22 2 2

1 1

1 11 1i i

i is x x x N x

N N= =

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟− − ⎝ ⎠

∑ ∑

( ) ( )22 2 2

1 1

2 2 2 2

1 1 21 1

1 1

N N

i i ii i

N N N N N

s x x x x x xN N= =

= − = − + =− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑2 2 2 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1

1 12 21 1

1 121 1

i i i ii i i i i

N N

i ii i

x x x x x x x NxN N

x Nx Nx x NxN N

= = = = =

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ CVD



• Per una distribuzione classificata, si può stimare la varianza:varianza

• Per grandi dimensioni del campione (N » 1)

( ) ( )2 22

1 1

11 1

p p

j j j jj j

Ns x x N f x x fN N= =

= − = −− −∑ ∑

( )22

1

p

j jj

s x x f=

= −∑

43

• Analogamente la deviazione standard

( )2

11

p

j jj

Ns x x fN =

= −− ∑


• Esercizio:• Si calcoli la varianza per i dati degli stipendi • Si calcoli la varianza per i dati degli stipendi

universitari sia per il campione femminile sia per il campione maschile

• Nel secondo caso, ricorrere ai dati raggruppati per classi

44


Altri indici di posizione e dispersione campionari

• Il momento campionario di ordine k è definito come:

• Il momento centrale campionario di ordine k è definito come:

∑=

=n

i

kik x

Nm

1

1~

45

( )∑=

−=n

i

kik xx

NM

1

1~

Altri indici di posizione e dispersione campionari

• Indice campionario di asimmetria

• Indice campionario di curtosi

33

~

sM

=β

46

( )224

~

sM

=γ


Statistica descrittivaSommario

• Con la statistica descrittiva è possibile ricavare informazioni sulla popolazione da un campione finito di dati:

• Distribuzioni frequenze del campioneDistribuzioni frequenze del campione• Sono stati introdotti gli scalari fondamentali per una caratterizzazione

preliminare di un campione• Media, varianza per una variabile di un campione

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