Variable Compleja

TEORIA DEFUNCIONESDE VARIABLECOMPLEJA

A. L. Cauchy (17891857)

Editado por

Bienvenido Cuartero y Francisco J. Ruizsobre apuntes del Area de Analisis matematico

B. Riemann (18261866) K. Weierstrass (18151897)

La teora moderna de las funciones analticas ha tenido cuatro fundadores: Gauss,Cauchy, Riemann y Weierstrass.Gauss no publico nada en vida; por as decir, no haba comunicado nada a nadie y susmanuscritos no se han reencontrado hasta mucho despues de su muerte. No ha ejercidopor ello ninguna influencia.Los otros tres geometras que han contribuido a crear la nocion nueva de funcion hanseguido caminos bien diferentes.Cauchy ha precedido a los otros y les ha mostrado el camino; pero no obstante las tresconcepciones se mantienen distintas y esto es una gran suerte, pues tenemos as tresinstrumentos entre los que podemos elegir y cuya accion podemos combinar a menudo.. . .La teora de Cauchy contena en germen a la vez la concepcion geometrica de Riemann y laconcepcion aritmetica de Weierstrass, y es facil comprender como poda, al desarrollarseen dos sentidos diferentes, dar nacimiento a una y a otra.Para Riemann, la imagen geometrica juega el papel dominante; una funcion no es mas queuna de las leyes segun las cuales pueden transformarse las superficies; uno busca repre-sentarse estas transformaciones y no analizarlas; su posibilidad misma no es establecidamas que por un razonamiento sumario al que no se ha podido, mucho mas tarde, dar rigormas que al precio de modificaciones profundas y rodeos complicados.Weierstrass se situa en el extremo opuesto; el punto de partida es la serie de potencias, elelemento de la funcion que esta confinado en un crculo de convergencia; para proseguir lafuncion fuera de este crculo, tenemos el procedimiento de la continuacion analtica; tododeviene as una consecuencia de la teoria de series y esta teora esta establecida sobrebases aritmeticas y solidas. Nos desembarazamos de las dudas que, en el siglo pasadoy en la primera mitad de este, asaltaban a menudo a los pensadores a proposito de losprincipios del calculo infinitesimal, y tambien de las que poda provocar por sus lagunasla teora de funciones analticas de Lagrange . . . (Henri Poincare, La obra matematica de Weierstrass, en Acta mathematica 22 (1899),pp. 118.)

INDICE

0 NMEROS COMPLEJOS: CONOCIMIENTOS PREVIOS 1. Introduccin 2. Propiedades algebraicas de los nmeros complejos 3. El plano complejo 4. Raices n-simas de un nmero complejo 5. La topologa de C 6. Compactificacin de C 7. Continuidad de las funciones de variable compleja

1 FUNCIONES HOLOMORFAS 1. Introduccin 2. Derivabilidad de las funciones de variable compleja 3. Condiciones de Cauchy-Riemann 4. Funciones holomorfas. Funciones armnicas 5. Apndice: clculo de armnicas conjugadas y mtodo de Milne-

Thomson 2 FUNCIONES ANALTICAS

1. Introduccin 2. Series en C: generalidades 3. Series de potencias 4. Funciones analticas 5. Principio de prolongacin analtica

3 FUNCIONES ELEMENTALES BSICAS 1. Introduccin 2. Funcin exponencial 3. Funciones seno y coseno 4. Determinaciones del argumento y del logaritmo 5. Exponenciales y potencias arbitrarias 6. Otras funciones elementales

4 INTEGRACIN DE CAMINOS 1. Introduccin 2. Integracin de funciones complejas en intervalos reales 3. Curvas y caminos en C 4. Integracin de funciones complejas sobre caminos 5. Integrales dependientes de un parmetro complejo

5 INDICE DE UN PUNTO RESPECTO DE UN CAMINO CERRADO 1. Introduccin 2. Definicin y primeras propiedades 3. Interpretacin geomtrica del ndice 4. Ejemplos y ejercicios 5. Apndice: superficies de Riemann

6 TEORA LOCAL DE CAUCHY 1. Introduccin 2. Teorema y frmula de Cauchy 3. Consecuencias de la frmula de Cauchy 4. Avance: el teorema de Cauchy y el clculo de integrales reales 5. Apndice: sumacin de series.

7 TEORA GLOBAL DE CAUCHY 1. Introduccin

2. Ciclos. Homologa 3. Teorema nomolgico de Cauchy 4. Conexin simple

8 CEROS Y SINGULARIDADES. SERIES DE LAURENT 1. Introduccin 2. Ceros de una funcin holomorfa 3. Singularidades aisladas 4. Funciones meromorfas 5. Singularidades en el infinito 6. Series de Laurent 7. Ejercicios resueltos

9 TEOREMA DE LOS RESIDUOS. APLICACIONES 1. Introduccin 2. Prlogo: residuos 3. El teorema de los residuos 4. Aplicacin al clculo de integrales y a la sumacin de series 5. Aplicaciones a la localizacin de ceros 6. Valores locales de una funcin holomorfa 7. Teorema de la aplicacin abierta 8. Teoremas de la funcin inversa 9. Ejercicios resueltos

CAPITULO 0

Numeros complejos:conocimientos previos.

0.1 INTRODUCCION

Recopilamos en este captulo las propiedades basicas de los numeros complejos,ya vistas a lo largo de cursos anteriores. Como libros de consulta pueden usar-se, por ejemplo, Apostol, T.M.: Analisis Matematico (segunda edicion). Reverte,Barcelona (1991) (algunas explicaciones estan mas detalladas en Apostol, T.M.:Calculus, vol. I (segunda edicion). Reverte, Barcelona (1989)); para practicar conoperaciones y representaciones graficas, Spiegel, M.R.: Variable compleja. Mc-Graw Hill (coleccion Schaum) (1971).

Comencemos recordando que se defina

C = {(a, b) : a, b R}con las operaciones

SUMA: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)PRODUCTO: (a, b).(c, d) = (ac bd, bc + ad)

Observese que, como conjunto, C es en realidad R2. La novedad (y lo intere-sante como veremos) esta en introducir el producto, pues se comprueba facilmenteque C con las dos operaciones anteriores se obtiene un cuerpo conmutativo, con(0, 0) y (1, 0) como elementos neutros respectivos.

Ademas, el cuerpo C contiene al cuerpo R. Precisemos esta afirmacion:

- La aplicacion a R (a, 0) C es un homomorfismo inyectivo decuerpos.

Esta identificacion de R como subcuerpo de C nos permite usar la notacionsimplificada a = (a, 0), y observando que todo elemento (a, b) C se puedeescribir como

(a, b) = (a, 0).(1, 0) + (b, 0)(0, 1),si denotamos i = (0, 1), con esta nueva nomenclatura, tenemos

(a, b) = a + ib.

1

2 Numeros complejos: conocimientos previos.

Esta forma de escribir un numero complejo (forma binomica) hace mas facilla multiplicacion. En efecto, teniendo en cuenta que

i2 = (0, 1).(0, 1) = (1, 0) = 1comprobamos que

(a, b).(c, d) = (ac bd, bc + ad)se traduce en

(a + ib).(c + id) = ac bd + i(bc + ad),donde para hacer esta operacion solo hace falta recordar las reglas habituales de lamultiplicacion y las identificaciones anteriores.

Cuando se utiliza una sola letra para denotar un numero complejo, se sueleelegir la z, y si z = a + ib con a, b R, los numeros a, b se llaman partes real eimaginaria de z, respectivamente. Escribiremos entonces a = e z, b = m z.

Desde el punto de vista algebraico, la principal ventaja de C es que solucionael defecto algebraico de R de no ser algebraicamente cerrado, es decir, de queexistan ecuaciones polinomicas con coeficientes reales que no tienen solucionesreales. El ejemplo mas aparente es x2 + 1 = 0. Esto ya no va a ocurrir en C.

0.2 PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

Recogiendo de manera abreviada lo que acabamos de exponer, resulta:

1. C es un espacio vectorial sobre R de dimension 2 ({1, i} es la base canonica).2. C es un cuerpo conmutativo que contiene un subcuerpo isomorfo a R.

3. Existe un elemento de C solucion de z2 + 1 (precisamente i es solucion).Pero, mucho mas general, C es algebraicamente cerrado, i.e., todo polinomio

con coeficientes complejos tiene una solucion en C.

Este hecho no es facil de demostrar con argumentos elementales pero, masadelante, sera una consecuencia sencilla del analisis que desarrollaremos sobre C.

Ademas, C es el menor cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a R.Con mayor precision, si un cuerpo algebraicamente cerrado contiene un subcuerpoisomorfo a R, debe contener un subcuerpo isomorfo a C.

4. Aplicacion conjugacion. La aplicacion de C en C definida por

z = a + ib z = a ib

Numeros complejos: conocimientos previos. 3

tiene las siguientes propiedades:

4.1. Es un isomorfismo de cuerpo (z + w = z + w, zw = zw).4.2. Es una proyeccion (z = z).4.3. Deja fijo el cuerpo R (z = z si y solo si z R).

5. Aplicacion modulo. La aplicacion de C en R+ definida por

z = a + ib |z| = +

zz = +

a2 + b2

tiene las siguientes propiedades:

5.1. |z| 0, |z| = 0 z = 0.5.2. |z + w| |z| + |w| (desigualdad triangular).5.3. |zw| = |z||w|.Una consecuencia de estas propiedades es la que suele llamarse desigualdad

triangular inversa,

5.4. |z w| ||z| |w||.6. En C no existe un orden total compatible con la estructura algebraica que

extienda el orden de R.

En efecto, si este fuera el caso los elementos i y 0 deberan ser comparables.Entonces, o i > 0, en cuyo caso por la compatibilidad con el producto tendramosi2 = 1 > 0, o i < 0, en cuyo caso y por la misma razon, tambien se tendrai2 = 1 > 0, con lo cual, obviamente, no se extiende el orden de R.

Observaciones.

1. En la construccion de los numeros se busca siempre solucionar un defecto,pero con una propiedad de minimalidad. As, en los contenidos

N Z Q R C,

Z es el menor grupo que contiene a N, Q es el menor cuerpo que contiene aZ, R es el menor cuerpo completo que contiene a Q y C es el menor cuerpoalgebraicamente cerrado que contiene a R.

2. Hay otros contextos matematicos que llevan a construcciones de C, es decira la construccion de cuerpos isomorfos a nuestro C. Dos ejemplos son lossiguientes:

b= Im z

O a = Re z

|z |

z=(a,b )


i) Sea R[x] el anillo de polinomios en una variable con coeficientes reales(con las operaciones habituales). Sea I el ideal maximal generado por elpolinomio x2 +1. Entonces, el espacio cociente R/I, con las operacionesinducidas, resulta ser un cuerpo conmutativo isomorfo a C.

ii) Sea M(2 2; R) el anillo de las matrices 2 2 con coeficientes reales,con las operaciones habituales. El subanillo

M = {(

a bb a

): a, b R}

es un cuerpo conmutativo isomorfo a C.

0.3 EL PLANO COMPLEJO

Debido a la identificacion entre C y R2, todo numero complejo z = a + ib lo pode-mos representar en el plano como el punto de coordenadas (a, b). Pero ademas,es de gran interes la llamada representacion polar de un numero complejo. Ob-servemos que todo punto del plano z = 0 queda unvocamente determinado porsu distancia al origen y por el angulo que forma el segmento [0, z] con el eje real.Dicha distancia ya sabemos que es el modulo, y el angulo va a dar lugar al conceptode argumento de un numero complejo.

Mirando la figura, tenemos las igual-dades

e z = |z| cos , m z = |z| sen ,de donde

z = |z|(cos + i sen ) = |z|ei .Aqu hemos utilizado la notacion

ei = cos + i sen .De momento, la igualdad anterior sedebe interpretar como una definicion,aunque mas adelante se corresponderacon el valor en i de la funcion expo-nencial compleja.

Notemos que en este punto damos por bueno que las funciones seno y cosenodel Analisis matematico se corresponden con las funciones definidas graficamenteen Trigonometra, sin que para ello tengamos ninguna justificacion rigurosa. Paraser totalmente honestos, ni siquiera tenemos hasta ahora una definicion rigurosade las funciones seno y coseno: nos hemos conformado con admitir su existen-cia y propiedades. Volveremos sobre este punto cuando estudiemos las funcioneselementales basicas.


Observacion importante.

La definicion de modulo no plantea ninguna ambiguedad, pero no as la delangulo (o argumento) puesto que y + 2k con k Z hacen el mismo papel.Esto nos hace abordar las siguientes precisiones sobre la definicion de argumento.

Definicion. Dado z C \ {0},arg z = { R : cos = e z/|z|, sen = m z/|z|}.

Por tanto, arg z es un conjunto! Pero es obvio que es de la forma

{0 + 2k : 0 arg z, k Z}.Es decir, conocido un argumento de z, cualquier otro se diferencia de este

en un multiplo entero de 2 . De esta forma, en cualquier intervalo semiabiertode longitud 2 , [, + 2) o (, + 2 ], R, existe un unico elementoperteneciente al conjunto arg z. A este elemento se le denota por

Arg[,+2) z (respectivamente, por Arg(,+2 ] z).

Normalmente, se toma el intervalo (, ] y se escribe simplementeArg(, ] z = Arg z.

A este argumento se le llama argumento principal (precaucion: en algunostextos se llama argumento principal al que esta en el intervalo [0, 2)).

La expresion ei , R (recuerdese que, de momento, es cos + i sen pordefinicion) tiene las mismas propiedades algebraicas que la exponencial real.

eiei = ei(+), , R,(ei)n = ein, R, n N,

(ei)1 = ei(), R.0.4 RAICES n-ESIMAS DE UN NUMERO COMPLEJO

La representacion polar tiene especial importancia en este estudio, pues usandola,es facil ver que, dado z = 0 y n N, la ecuacion wn = z tiene exactamente nsoluciones, que son:

w = |z|1/nei Arg z+2kn , k = 0, 1, 2, . . . , n 1.Si queremos alguna notacion, n

z debera denotar el conjunto de estos n

elementos, aunque en algunos textos, n

z indica solamente el valor |z|1/nei Arg zn (quenosotros llamaremos raz n-esima principal).


0.5 LA TOPOLOGIA DE C

La topologa (estandar) en C viene dada por la aplicacion modulo, que al cumplirlas propiedades 5.1, 5.2 y 5.3, tiene las propiedades de una norma y como tal dalugar a una distancia

d(z, w) = |z w|Mirado en R2, esta es la distancia eucldea. Por tanto, la topologa de C es,exactamente, la topologa eucldea de R2. Nos limitaremos a recordar los aspectosde esta topologa que seran de interes en el desarrollo de la asignatura.

1. Dado un punto z0 C y un > 0,D(z0; ) = {z C : |z z0| < }

se llama disco (abierto) de centro z0 y radio . Es lo que en espacios metricosabstractos se denomina bola. La familia de todas las bolas centradas en unpunto z0, (D(z0; ))>0 es una base de entornos del punto z0.

2. Un subconjunto de C es abierto si es entorno de todos sus puntos. Es decir,si

z , > 0 tal que D(z; ) .3. Una sucesion zn z0 si (por definicion)

> 0, n0 N n n0, |zn z0| < .Es muy facil comprobar que

zn z0 e zn e z0 m zn m z0.Por tanto, la convergencia de una sucesion de numeros complejos se remiteal estudio de la convergencia de dos sucesiones de numeros reales. A partirde aqu es sencillo ver que (C, d) es un espacio metrico completo. Es decir,toda sucesion de Cauchy es una sucesion convergente.

4. Un subconjunto A C es cerrado si su complementario es abierto, o equi-valentemente, coincide con su clausura A. Recordemos que z A si

> 0, D(z; ) A = .Como estamos en un espacio metrico, es interesante observar que esta propie-dad se puede caracterizar por sucesiones:

z A (zn) A zn z.5. Un subconjunto A C es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Como

consecuencia se cumple el teorema de Bolzano-Weierstrass:

Toda sucesion acotada posee una subsucesion convergente.

6. Conexion. Recordemos la definicion, en general.

O

z

w

O

(a)

(b) .

O

z1

z2

zn


Definicion. Un espacio topologico X se dice conexo si no es union de dos conjuntosabiertos no vacos disjuntos (o, equivalentemente, si los unicos subconjuntos de Xcerrados y abiertos a la vez son y X ).

Un subconjunto X C se considera espacio topologico con la topologainducida (o relativa) de C. Los abiertos en X son la interseccion de los abiertos deC con X .

Para el concepto de conexion por arcos, hace falta recordar algun conceptoprevio.

i) Una curva en C es una aplicacion : [a, b] C continua. (a) y (b)son los puntos inicial y final de la curva (se dice tambien que la curva une lospuntos (a) y (b)). El subconjunto de C, ([a, b]) se llama soporte de lacurva. Se dice que la curva esta contenida en un subconjunto A de C, si loesta el soporte.

ii) Un arco es una curva inyectiva.

iii) Dados z, w C, z = w, el arco : [0, 1] C tal que t (1 t)z + tw,se llama segmento de extremos z y w. Efectivamente, el soporte de este arcoes el segmento con dichos extremos.

Esta notacion que usamos confunde la curva con su soporte, lo cual no es muyconveniente como se vera en captulos posteriores. Pero, para los aspectos queestamos aqu tratando no importa esta confusion.

iv) Dados z1, z2, . . . zn C, llamaremos poligonal de vertices z1, z2, . . . zn a launion de los n 1 segmentos consecutivos que unen zi y zi+1. Es facil verque esta union corresponde a una curva y si los segmentos no se cruzan es unarco.

v) Un conjunto A C se dice conexo por arcos si dos cualesquiera de suspuntos pueden unirse por un arco contenido en A. Analogamente se puede darla definicion mas especfica de conexo por poligonales.

En C y para abiertos, tenemos el siguiente:


Teorema. Sea abierto de C. Son equivalentes:

i) es conexo.

ii) es conexo por arcos.

iii) es conexo por poligonales.

Tambien podramos haber anadido es conexo por poligonales de ladosparalelos a los ejes.

Es importante la hipotesis de que sea abierto. Si la quitamos, la implicacioni i) i) sigue siendo cierta, pero el subconjunto de C,

A = [i, i] {x + iy : y = sen(1/x), x (0, 1)}es un conjunto conexo que no es conexo por arcos.

7. Componentes conexas. Sea = X C. Una componente conexa (o,simplemente, componente) de X es un subconjunto conexo de X y maximal.

Es decir, X1 es componente conexa de X si X1 X , X1 es conexo y no existeA conexo tal que X1 A X .

Sobre componentes conexas recordaremos lo siguiente:

7.1. Si X es conexo, su unica componente conexa es X .

7.2 Las componentes son disjuntas.

7.3 Cada subconjunto conexo de X esta contenido en una (y solo una) com-ponente.

7.4 Si C es abierto, cada componente conexa de es un abierto de Cy existen, a lo mas, un numero contable de componentes conexas.

7.5 Si X C es un conjunto acotado, C\X = Xc posee una sola componenteno acotada.

0.6 COMPACTIFICACION DE C

En este apartado, vamos a introducir el punto del infinito complejo, , con elobjetivo de manejar conceptos como

lim zn = , limz f (z) = , limzz0 f (z) = .

En C solo aparecera un punto del . Los conceptos + y estan asociadosa R debido a que es un cuerpo totalmente ordenado.

La forma rigurosa de proceder es utilizando el teorema de compactificacionde Alexandrov de topologa general, aunque posteriormente el concepto se manejacon facilidad. El resultado general dice lo siguiente:


Teorema. Cualquier espacio topologico localmente compacto puede ser sumergidoen un espacio compacto X , de forma que X \ X consta de un solo punto.

Dicho de otra forma, al espacio X le podemos anadir un punto que no esta enX , al que se suele denotar , y al espacio X {} se le dota de una topologaque restringida a X es la de X , y ademas con esta topologa X {} es un espaciocompacto.

Examinemos los detalles de este procedimiento para nuestro caso particularde C.

- C es un espacio localmente compacto (es Hausdorff y cada punto tiene unentorno relativamente compacto).

- Anadimos un punto y denotaremos C = C {}.- Si G es la topologa de C, es decir, G es el conjunto de los abiertos de C,

definimos la topologa en C como

G = G {C \ K : K compacto de C}.

Notese que estos conjuntos que anadimos son los entornos abiertos del puntodel .Se comprueban, sin mucha dificultad, los siguientes hechos:

a. G es una topologa en C.b. G|C = G.c. (C,G) es compacto.

La descripcion de esta topologa por base de entornos es muy sencilla:

- Si el punto es un z0 C, una base de entornos son los discos D(z0, ).- Si el punto es , una base de entornos es {C \ D(0, R)}R>0.

Teniendo en cuenta como es esta base de entornos del punto del , veamosque significa zn , cuando {zn} C.

zn R > 0, n0 N n n0, zn C \ D(0, R).

Como zn C \ D(0, R) significa |zn| > R, la definicion anterior es equivalentea que la sucesion de numeros reales |zn| tienda a +.

(0,0,1)

s = ( x1, x 2, x3)

(s) = ( , , 0) x 1 1 x 3

x2 1 x3


Observacion.

Es un hecho teorico importante que esta topologa de C es metrizable. Esdecir, se puede definir una metrica en C que da lugar a dicha topologa. No esfacil describir una tal metrica, de hecho, no tiene mucho que ver con la metricade C. Se puede demostrar que no existe ninguna metrica en C que de lugar a latopologa de C y que extienda la metrica de C. No obstante, y por completar esteestudio, en el siguiente apartado obtendremos una de estas metricas.

9. Representacion geometrica de C. La esfera de Riemann.

El plano no puede ser una representacion geometrica de C, pues no quedasitio para dibujar el punto del . No obstante, en la practica, conviene imaginarseal punto del como algo que esta mas alla en todas las direcciones, es decir, comola circunferencia de un crculo imaginario de centro el origen y radio +.

Una buena representacion geometrica la dio Riemann utilizando la esferaunidad de R3. Denotamos por

S = {(x1, x2, x3) R3 : x21 + x22 + x23 = 1}a dicha esfera y la dotamos de la topologa relativa que le da la eucldea de R3.Vamos a identificar C con S algebraicamente (obteniendo una biyeccion entreambos) y topologicamente (dicha biyeccion sera homeomorfismo).

La biyeccion es muy intui-tiva si nos fijamos en la figuraadjunta. Se proyectan los puntos(x1, x2, x3) de S desde el polonorte (0, 0, 1) sobre el planodel ecuador x3 = 0 y a (0, 0, 1)[unico punto que queda sin ima-gen] se le asocia el punto del in-finito C.

Denotando por : S C a esta biyeccion, es un sencillo problema degeometra elemental obtener expresiones explcitas de y 1:

(x1, x2, x3) = x1 + i x21 x3 , si (x1, x2, x3) S \ {(0, 0, 1)},

y (0, 0, 1) = .

1(z) = ( 2e z|z|2 + 1 ,2m z|z|2 + 1 ,

|z|2 1|z|2 + 1 )

y 1() = (0, 0, 1).Se prueba que:


Teorema. La aplicacion , llamada proyeccion estereografica, es un isomorfismoentre los espacios topologicos S (con la topologa eucldea relativa de R3) y C(con la topologa G).

Una vez tenemos este resultado, como S es metrico (con la metrica eucldead3), podemos tener una metrica sobre C como imagen de la eucldea por laaplicacion ,

d(z1, z2) = d3(1(z1), 1(z2)).Esta metrica se denomina distancia cordal (es la longitud de la cuerda que une lospuntos 1(z1), 1(z2)).

Haciendo las operaciones tenemos:

Proposicion. C es metrizable y una de las metricas que origina su topologa es

d(z1, z2) = 2|z1 z2|((1 + |z1|2)(1 + |z2|2))1/2 , z1, z2 C,

d(z, ) = 2(1 + |z|2)1/2 , z C,

d(, ) = 0.

0.7 CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Por funcion compleja de variable compleja, entendemos una funcion cuyo do-minio es un subconjunto de C y los valores que toma estan en C. Es decir,

f : A C C.

Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja,

u(z) = e f (z), v(z) = m f (z).

Identificando C con R2, las funciones u y v pueden ser vistas como funcionesde dos variables reales que toman valores en R y, as, es muy frecuente escribir

f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy A.

Es decir, tener una funcion compleja de variable compleja es tener dos funcionesreales de dos variables reales.

Los conceptos de lmite y continuidad de funciones son totalmente analogosa los ya conocidos para R, as como sus propiedades, ya que en la definicion de


estos solo interviene el modulo, que tiene las mismas propiedades tanto en R comoen C.

Sea f : A C C y sea z0 C un punto de acumulacion de A. Es decir,

D(z0; ) (A \ {z0}) = , > 0

(notese que el punto z0 puede pertenecer al dominio A o no).

Diremos quelim

Azz0f (z) = C

si (por definicion)

> 0, > 0 (0 < |z z0| < z A) | f (z) | < .

Como C es un espacio metrico, esta definicion (, ) es equivalente a la definicionpor sucesiones. Es decir, a que ocurra

(zn) A \ {z0} zn z0 f (zn) .

Con las notaciones anteriores, diremos que f es continua en z0 A si

limAzz0

f (z) = f (z0).

Notese que en este caso z0 debe estar en el dominio de la funcion.

Observacion.

Principalmente, trataremos con funciones f : C C, definidas en abierto de C. Entonces, todo punto z0 es de acumulacion de y considerandos suficientemente pequenos, no nos tenemos que preocupar de que los zs estenel dominio. En este caso, acudiendo a la definicion, tendremos:

f es continua en z0 si y solo si > 0 > 0 tal que D(z0; ) y |z z0| < | f (z) f (z0)| < .

Diremos que f es continua en si lo es en z0, z0 .A partir de ahora, supondremos que el dominio de las funciones es siempre

un abierto de C.


Las propiedades de los lmites y funciones continuas (con demostracionesanalogas a la de R) se pueden resumir en los siguientes apartados.

Sean f, g : C C y z0 tal que

limzz0

f (z) = , limzz0

g(z) = .

Entonces:

1. Si f (z) = u(z)+ iv(z) = u(x, y)+ iv(x, y), z = x + iy , z0 = x0 + iy0,

limzz0

f (z) = lim(x,y)(x0,y0)

u(x, y) = e lim(x,y)(x0,y0)

v(x, y) = m .

2.limzz0

(f (z) + g(z)) = + .

3.limzz0

(f (z) g(z)) = .

4. Si = 0,limzz0

f (z)

g(z)=

.

5. Si f y g son continuas en z0, tambien lo son las funciones f + g y f g.Asimismo, lo es f/g siempre que g(z0) = 0.

Observacion.

Cualquier otra propiedad conocida en R que solo tenga que ver con el usodel modulo y la estructura de cuerpo, tambien sera cierta en C. Por ejemplo, ellmite del producto de una funcion que tienda a 0 por otra funcion acotada en unentorno del punto, es 0. No son ciertas, porque ni siquiera tienen sentido en general,propiedades que tienen que ver con el orden, como la regla del sandwich.

Lmites infinitos y en el infinito.

Sea f : A C C, tal que es punto de acumulacion del dominio A.Por la definicion de los entornos del vista anteriormente, esto querra decir que:

R > 0, A (C \ D(0; R)) =


En estas condiciones, podemos hablar de lmites en el , considerando la topologade C.

6. Diremos quelim

Azf (z) = C

si (por definicion)

> 0, R > 0 (|z| > R z A) | f (z) | <

o, equivalentemente, por ser C espacio metrico, la definicion por sucesiones,

(zn) A zn f (zn) .

7. Diremos quelim

Azf (z) =

si (por definicion)

S > 0, R > 0 (|z| > R z A) | f (z)| > S.

o, equivalentemente,

(zn) A zn f (zn) .

8. Si f : A C C y z0 es un punto de acumulacion de A, diremos que

limAzz0

f (z) =

si (por definicion)

R > 0, > 0 (0 < |z z0| < z A) | f (z)| > R.

o, equivalentemente,

(zn) A \ {z0} zn z0 f (zn) .

Tambien se cumplen las propiedades habituales, de las que senalamos comomuestra las dos siguientes:


i) Silimzz0

f (z) = C \ {0} y limzz0

g(z) = 0entonces

limzz0

f (z)

g(z)= .

ii) Silimzz0

f (z) = C \ {0} y limzz0

g(z) = entonces

limzz0

(f (z)g(z)

) = .

Y tambien se producen los casos de indeterminacion habituales.

Es un buen ejercicio listar todas estas propiedades y demostrar, siguiendo lasdefiniciones, algunas de ellas.

Ejemplos.

1. Las funciones constantes ( f (z) = C, z C) y la funcion identidad( f (z) = z, z C) son funciones continuas en todo punto de C.

2. Por operaciones con funciones continuas (suma y multiplicacion), todo poli-nomio

Pn(z) = anzn + an1zn1 + . . . a1z + a0, ai Ces una funcion contnua en todo C.

3. Toda funcion racional, puesta como cociente de dos polinomios, R(z) =P(z)/Q(z), en forma irreducible, es continua en C salvo en los ceros delpolinomio Q.

4. En el mismo ejemplo anterior, si es un cero de Q, entonces P() = 0 y

limz

P(z)

Q(z)= .

5.

limz

3z + 5z2 + 1 = 0, limz

6z3 + 52z3 + 4z + 1 = 3.

6. La funcion argumento principal

Arg : z C \ {0} Arg z (, ]( C)


es continua en C \ (, 0].En cualquier punto z0 (, 0) no es continua, pues si

zn z0 m zn > 0, entonces Arg zn

y sizn z0 m zn < 0, entonces Arg zn .

De forma analoga, la funcion Arg[,+2) es continua en C \ {rei : r 0}.

Imagenes continuas de conexos y compactosFinalmente, recordemos un par de resultados topologicos que usaremos con

frecuencia.Sea f : A C C continua y X A. Si X es conexo, f (X) es conexo. Si

X es compacto, f (X) es compacto.

CAPITULO 1

Funciones holomorfas

1.1 INTRODUCCION

La definicion y primeras propiedades de la derivacion de funciones complejas sonmuy similares a las correspondientes para las funciones reales (exceptuando, comosiempre, las ligadas directamente a la relacion de orden en R, como por ejemploel teorema del valor medio). Sin embargo, iremos comprobando poco a poco quela derivabilidad compleja es una condicion mucho mas fuerte que la derivabilidadreal, o incluso que la diferenciabilidad de las funciones de dos variables reales. Laexplicacion final la encontraremos en resultados posteriores.

Para las primeras secciones de este captulo puede usarse como libro de con-sulta el texto de Open University: Complex Numbers / Continuous Functions /Differentiation. The Open University Press, Milton Keynes (1974); para las finales,ver Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968).

1.2 DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

1. Definicion y primeras propiedades.

Como C es un cuerpo y tiene sentido la division, podemos imitar literalmentela definicion de derivabilidad de funciones reales.

Definicion. Sea abierto de C. Sea f : C y sea z0 . Diremos que fes derivable en z0 si existe

limzz0

f (z) f (z0)z z0 = f

(z0) C.

Al valor de dicho lmite f (z0) lo llamaremos derivada de f en z0.

Observacion. Aunque, formalmente, la definicion es como en R, la existenciade lmite es aqu mas exigente, al tener que existir de cualquier modo que nosacerquemos a z0 por el plano. Esto hara que las funciones derivables en C seanmejores que las derivables en R, y que podamos desarrollar una teora mucho masredonda para estas.

Para empezar, listamos las propiedades de derivabilidad que se demuestranimitando punto por punto lo que se hace en R.

17

18 Funciones holomorfas

1. f derivable en z0 f continua en z0.2. Si f y g son derivables en z0,

i) f + g es derivable en z0 y ( f + g)(z0) = f (z0) + g(z0).ii) f g es derivable en z0 y ( f g)(z0) = f (z0)g(z0) + g(z0) f (z0).

iii) (Si f (z0) = 0), 1/ f es derivable en z0 y (1/ f )(z0) = f (z0)/ f (z0)2.3. Regla de la cadena. Sean f : 1 C, g : 2 C con f (1) 2.

Si f derivable en z0 y g es derivable en f (z0), entonces g f es derivable enz0, y

(g f )(z0) = g( f (z0)) f (z0).

4. Derivacion de la funcion inversa en un punto. Sea f : C inyectiva,derivable en z0 con f (z0) = 0. Supongamos ademas que f () es abierto yque f 1 es continua en f (z0). Entonces, f 1 es derivable en f (z0) y

( f 1)(

f (z0)) = 1

f (z0).

Veamos, a modo de ejemplo, como este ultimo resultado se prueba igual quepara funciones reales:

La derivabilidad de f en z0 es equivalente a la continuidad en z0 de la funciong : C dada por

g(z) ={ f (z) f (z0)

z z0 si z \ {z0};f (z0) si z = z0.

Esta funcion permite escribir para todo z

f (z) f (z0) = g(z)(z z0),

y como ahora g es continua en z0 con g(z0) = f (z0) = 0, se verificara g(z) = 0en un entorno de z0. Poniendo w0 = f (z0), si tomamos w f () y z = f 1(w),

w w0 = g(

f 1(w)) (

f 1(w) f 1(w0)),

y, teniendo en cuenta que f 1 es continua en w0, para w en un entorno reducidode w0,

1

g(

f 1(w)) = f

1(w) f 1(w0)w w0 ;

Funciones holomorfas 19

usando nuevamente la continuidad de f 1 en w0 y la de g en z0 = f 1(w0), vemosque existe

limww0

f 1(w) f 1(w0)w w0 =

1

f (z0).

Ejemplos de funciones derivables.

1. Las funciones constantes son derivables en todo punto de C con derivada 0.La funcion identidad es derivable en todo C y su derivada es constantemente1.

2. Por operaciones algebraicas con funciones derivables, todo polinomio es deri-vable en C y su derivada tiene la misma expresion que en R. Del mismo modo,toda funcion racional, puesta en forma irreducible, es derivable en todo Csalvo los ceros del denominador.

1.3 CONDICIONES DE CAUCHY-RIEMANN

El problema que ahora vamos a tratar es exclusivo del contexto de C. Ya sabemosque dar una funcion de variable compleja es dar dos funciones reales de dos variablesreales. Nos vamos a preguntar por la relacion que existe entre la derivabilidad dela funcion compleja y la diferenciabilidad de estas dos funciones.

En este apartado emplearemos sin mas comentarios la notacion:

f : C, f (z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y),z = x + iy , z0 = x0 + iy0 .

Tenemos:

Teorema. f es derivable en z0 si y solo si

i) u, v son diferenciables en (x0, y0).

ii) Se cumplen las llamadas condiciones de Cauchy-Riemann:

u

x

(x0,y0)

= vy

(x0,y0)

,u

y

(x0,y0)

= vx

(x0,y0)

.

Demostracion. Antes de entrar en ella, modifiquemos un poco las notaciones.Primero, es claro que f derivable en z0 se puede escribir de la forma

limh0

f (z0 + h) f (z0) h. f (z0)h

= 0. (1)


Por otra parte, recordemos la nocion de diferenciabilidad. u diferenciable en(x0, y0) significa que existe una forma lineal

L : R2 R (k, l) L(k, l) = ak + bl

tal que

lim(k,l)(0,0)

u(x0 + k, y0 + l) u(x0, y0) L(k, l)k2 + l2 = 0.

Recuerdese ademas que

a = ux

(x0,y0)

, b = uy

(x0,y0)

.

) Supongamos que f es derivable en z0 y sea su derivada f (z0) = + i.Escribimos h = k + il para el parametro complejo h.

(1) implica que

limh0

f (z0 + h) f (z0) h. f (z0)|h| = 0. (2)

porque (2) se obtiene de (1) multiplicando por h/|h| que es una funcion acotada.Ahora,

f (z0 + h) f (z0) h. f (z0)|h| =

u(x0 + k, y0 + l) u(x0, y0) (k l)k2 + l2

+i v(x0 + k, y0 + l) v(x0, y0) (k + l)k2 + l2

(3)luego, las partes real e imaginaria de esta expresion tienen que tender a 0 cuandoh 0 (o, lo que es lo mismo (k, l) (0, 0)).

Pero esto quiere decir exactamente que u y v son diferenciables en (x0, y0)con

u

x

(x0,y0)

= = vy

(x0,y0)

yu

y

(x0,y0)

= = vx

(x0,y0)

.

) Si u y v son diferenciables en (x0, y0) y se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann, llamamos

u

x

(x0,y0)

= = vy

(x0,y0)

yu

y

(x0,y0)

= = vx

(x0,y0)


y se tiene que cumplir que la expresion en (3) tiende a 0.

Por tanto, se cumple (2) y de aqu (1) (otra vez porque (1) se obtiene de (2)multiplicando por |h|/h). As, f es derivable en z0 con derivada f (z0) = + i.

Observacion.

De paso, hemos visto en la demostracion que la derivada de f se puede obtenera partir de las derivadas parciales de u y de v,

f (z0) = ux

(x0,y0)

i uy

(x0,y0)

= vy

(x0,y0)

i uy

(x0,y0)

= ux

(x0,y0)

+ i vx

(x0,y0)

= vy

(x0,y0)

+ i vx

(x0,y0)

.

Observacion.

En el teorema anterior vemos que el concepto de derivabilidad compleja esmas exigente que el de diferenciabilidad real. Si miramos a f como funcion de R2

en R2, ser diferenciable significa sin mas que lo sean sus dos componentes u y v,mientras que ser derivable exige, ademas de esto, que se cumplan las condicionessobre las derivadas parciales de u y v que establecen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Algunas de las consecuencias de este hecho se veran al final del captulo.

NOTA. En Levinson, N.; Redheffer, R.M.: Curso de variable compleja. Reverte,Barcelona (1990), pags. 77 y ss. se da una interpretacion fsica de las condicionesde Cauchy-Riemann, en terminos del estudio del flujo bidimensional de un fluidoideal.

Para una interpretacion geometrica de las condiciones de Cauchy-Riemann yotras muchas consideraciones interesantes sobre la derivada y demas conceptos,con un enfoque muy original, v. Needham, T.: Visual Complex Analysis. ClarendonPress, Oxford (1997).

1.4 FUNCIONES HOLOMORFAS. FUNCIONES ARMONICAS.

Definicion. Sea abierto de C. Sea f : C. Diremos que f es holomorfaen un punto z0 (o tambien, que z0 es un punto regular para f ) si f es derivableen todos los puntos de un entorno de z0. Diremos que f es holomorfa en si f esholomorfa en z0, z0 .

Claramente, f es holomorfa en f es derivable en todos los puntos de (pues al ser abierto, es entorno de todos sus puntos).


Denotaremos

H() = { f : C : f es holomorfa en }.

Por otra parte, recordemos el concepto de funcion armonica.

Definicion. Sea abierto de R2. Sea u : R. Diremos que u es armonicaen si u es de clase C2 (i.e., u tiene derivadas parciales hasta el orden 2 y soncontinuas) y cumple

u = 2u

x2+

2u

y2= 0

en todo punto del abierto .

Gracias a las condiciones de Cauchy-Riemann tenemos:

Corolario. Si f H(), f = u + iv, y u, v son de clase C2, entonces u, v sonarmonicas en .

Demostracion. Por las condiciones de Cauchy-Riemann, se tiene

2u

x2=

x

(u

x

)=

x

(v

y

),

2u

y2=

y

(u

y

)=

y

(v

x

)

y, como u es de clase C2, las derivadas cruzadas coinciden y tenemos que u esarmonica. Analogamente se razona con v.

Observacion.

Veremos mas adelante que si f H() entonces f es indefinidamente deri-vable, lo cual implicara que la hipotesis C2 del corolario es innecesaria.

Las condiciones de Cauchy-Riemann nos van a permitir obtener funcionesholomorfas a partir de funciones armonicas en abiertos de R2. Empecemos con lasiguiente definicion:

Definicion. Dada u armonica en un abierto de R2, diremos que v es armonicaconjugada de u en si f = u + iv es holomorfa en . O, equivalentemente, porlas condiciones de Cauchy-Riemann, v satisface las condiciones

vx = uy, vy = uxen todo punto de .

Es inmediato demostrar que una funcion armonica conjugada de otra es,asimismo, armonica.


Ejemplo 1.

Tomemos la funcionu(x, y) = ex cos y.

Es una comprobacion inmediata que dicha funcion es armonica en todo R2. Paratratar de encontrar una armonica conjugada, planteamos las ecuaciones:

vx (x, y) = uy(x, y) = ex sen y

vy(x, y) = ux (x, y) = ex cos yEs facil resolver este sistema, obteniendo que la funcion

v(x, y) = ex sen y

es solucion en todo R2. Por tanto, hemos obtenido que la funcion

f (z) = ex cos y + iex sen y, z = x + iy

es una funcion holomorfa en todo C. Si utilizamos la notacion polar, podemosponer

f (z) = ex eiy

Con lo que esta funcion compleja parece tener derecho a llamarse la funcionexponencial compleja. En efecto lo sera, aunque la introduciremos de forma oficialcon las series de potencias.

Que hayamos podido resolver el sistema en el ejemplo anterior no ha sidocasual. En efecto, vamos a ver en el siguiente resultado que para ciertos abiertosde C, una funcion armonica siempre tiene armonica conjugada.

Teorema. Sea abierto estrellado de R2. Sea u armonica en . Entonces, existev armonica conjugada de u en .

Demostracion. El resultado es una simple aplicacion del lema de Poincare paraabiertos estrellados. Recordemos que este resultado dice que toda forma diferencialcerrada es exacta. Entonces, dada nuestra funcion u, consideramos la forma

(x, y) = uy(x, y)dx + ux (x, y)dy

El ser u armonica implica que es una forma cerrada. Entonces, es exacta, locual quiere decir (por definicion) que existe una funcion v diferenciable tal quevx = uy y vy = ux . Luego v es armonica conjugada de u.


Observacion.

Mas adelante veremos que el teorema anterior es cierto en abiertos mas gene-rales (los simplemente conexos). Pero, con el siguiente ejemplo, vamos a demostrarque no es ampliable a abiertos cualesquiera.

Ejemplo 2.

Sea el abierto = C \ {0} y sea la funcion

u(x, y) = 12

log(x2 + y2)

que se comprueba sin dificultad que es armonica en .

Esta funcion u no tiene armonica conjugada en .

En efecto, si existiera v armonica conjugada de u en , consideramos lafuncion de variable real

g(t) = v(cos t, sen t), t [0, 2 ].

g es una funcion continua en [0, 2 ] (por composicion de funciones continuas). Laderivamos por la regla de la cadena para funciones de varias variables y utilizamoslas ecuaciones de Cauchy-Riemann, obteniendo

g(t) = vx (cos t, sen t) sen t + vy(cos t, sen t) cos t= uy(cos t, sen t) sen t + ux (cos t, sen t) cos t = 1.

Esto implica que g(t) = t + C , lo cual no puede ser porque g(0) = g(2).Sin embargo, en un abierto estrellado como C \ (, 0], por el teorema ya

probado, la funcion anterior debe tener armonica conjugada o, lo que es lo mismo,ser la parte real de una funcion holomorfa. Esta funcion holomorfa cuya parte reales u veremos mas adelante que es la funcion logaritmo principal.

4. Consecuencias de las condiciones de Cauchy-Riemann.

Las condiciones de Cauchy-Riemann nos permiten obtener con facilidad va-rios resultados para funciones holomorfas, apoyandonos en el conocimiento defunciones reales de dos variables.

1. Sea una region (i.e., abierto y conexo) de C. Si f es holomorfa en yf (z) = 0 para todo z , entonces f es constante.


En efecto, si f = u + iv, f = ux iuy = vy + ivx = 0 en implica queux = uy = vy = vx = 0 y esto, ya sabemos que implica u, v constantes y,por tanto f constante.

2. Sea region. Si f es holomorfa en y e f (z) = C (o m f (z) = C) paratodo z , entonces f es constante.En efecto, si u = cte, entonces ux = uy = 0. Luego, por Cauchy-Riemann,tambien sera vx = vy = 0, lo que implica v =cte. Por tanto, f es constante.Analogamente se razonara si fuera constante la parte imaginaria.

3. Sea region. Si f es holomorfa en y | f (z)| = C para todo z , entoncesf es constante.

En efecto, la hipotesis es u2 + v2 = cte. Derivando en esta expresion conrespecto a x e y, tenemos

2uux + 2vvx = 0, 2uuy + 2vvy = 0.

Si utilizamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann tendremos

2uux 2vuy = 0, 2uuy + 2vux = 0

Multiplicando la primera u y la segunda v, nos da

(u2 + v2)ux = 0,

de donde ux = 0. De forma parecida se obtiene uy = vx = vy = 0. Por tanto,u y v son constantes y en consecuencia lo es f .

Observacion.

Notese como las condiciones de Cauchy-Riemann impiden que una funcionholomorfa pueda tomar valores de forma caprichosa. A poco que exista una ligazonentre las partes real e imaginaria, esta fuerza a que la funcion holomorfa sea cons-tante.

Por ejemplo, resultados de esta naturaleza seran:

i) Si f = u + iv es holomorfa en region y u3 = v entonces f C .ii) Si f = u + iv es holomorfa en region y 5u + 2v = cte entonces f C .

Comprobamos as que la derivabilidad en C es muy exigente, y no solo a nivellocal.


1.5 APENDICE: CALCULO DE ARMONICAS CONJUGADASY METODO DE MILNE-THOMSON

La Teora de funciones analticas constituye un autentico filon

de metodos de gran eficacia para resolver importantes problemas

de Electroestatica, Conduccion del calor, Difusion, Gravitacion,

Elasticidad y Flujo de corrientes electricas. La gran potencia del

Analisis de variable compleja en tales campos se debe, principal-

mente, al hecho de que las partes real e imaginaria de una funcion

analtica satisfacen la ecuacion de Laplace.

Este parrafo, tomado de LevinsonRedheffer, loc. cit., pag. 77, da idea de que labusqueda de funciones holomorfas con parte real (o parte imaginaria) conocidases una cuestion importante en muchas aplicaciones de la teora de funciones devariable compleja.

Hemos visto una solucion de este problema mediante el calculo de funcionesarmonicas conjugadas siguiendo lo que, a falta de otro nombre mejor, podemosdenominar el metodo real: dada una funcion u armonica en un abierto conexo de R2, nos son conocidas las derivadas parciales de su armonica conjugada v (siexiste!) a traves de las condiciones de Cauchy-Riemann, de manera que el calculo deprimitivas de funciones reales de una variable real [o, equivalentemente, el calculode las funciones potenciales de la forma diferencial uy(x, y) dx + ux (x, y) dy]nos lleva, en casos sencillos al menos, a expresiones explcitas para la(s) funcion(es)v. Este procedimiento es facilmente automatizable, y resulta comodo llevarlo acabo mediante programas de calculo simbolico como Mathematica.

Esquematicamente, podramos proceder as: dada u(x, y),1.- calcular la derivada parcial de u respecto de x , ux (x, y);2.- calcular la derivada parcial de u respecto de y, uy(x, y);3.- integrar uy(x, y) respecto de x, es decir, obtener una primitiva W (x, y)

de uy(x, y) como funcion solo de x ;4.- calcular su derivada parcial respecto de y, Wy(x, y);5.- calcular (y) = ux (x, y) Wy(x, y)6.- integrar (y) respecto de y, es decir, obtener una primitiva (y) de (y);7.- calcular W (x, y) (y): esta sera una funcion v(x, y) armonica conjugada

de u (y las demas diferiran de ella en la adicion de una constante real).

Tengase en cuenta que Mathematica no proporciona constantes de integracion.Ademas, el numero de funciones cuyas primitivas puede calcular explcitamentees limitado.


Hay tambien un metodo complejo para tratar el problema, el denominadometodo de MILNE-THOMSON (ver Phillips, E.G.: Funciones de variable com-pleja. Dossat, Madrid (1963), p. 1718, y Needham, T.: Visual Complex Analysis.Clarendon Press, Oxford (1997), pp. 512513), que, aunque precise ciertas condi-ciones restrictivas, proporciona directamente las funciones holomorfas f con partereal prefijada u. Su justificacion se basa en resultados importantes que probaremosposteriormente: toda funcion holomorfa es analtica (y su derivada tambien), y dosfunciones analticas en un abierto conexo son iguales si y solo si coinciden enun conjunto de puntos de que tenga al menos un punto de acumulacion dentrode ; por ejemplo, en un segmento abierto (principio de prolongacion analtica).

Sea, pues, un abierto conexo de R2 que corte al eje real, con lo cual lainterseccion de con R contendra al menos un segmento abierto (por que?)

Dada entonces una funcion u armonica en , notemos que la funcion g dadaen por f1(x + iy) = ux (x, y) i uy(x, y) es holomorfa en (por que?).Supongamos que sabemos encontrar una funcion g holomorfa en tal que g(x) =f1(x) = ux (x, 0)i uy(x, 0) para todo x (x, 0) R: entonces g(z) = f1(z)por el principio de prolongacion analtica, y la parte real de g difiere de u en unaconstante real (por que?). La funcion f = g + C , para una constante real Cadecuada, tiene como parte real u.

El metodo de Milne-Thompson es tambien facilmente traducible a Mathe-matica. Pero tanto si se usa este metodo como el anterior, sigue siendo necesarioverificar los resultados obtenidos y valorar el alcance de los procedimientos em-pleados, muy especialmente debido a que los programas de calculo simbolico, engeneral, no tienen en cuenta el dominio de las funciones que intervienen, mani-pulando tan solo nombres de funciones o funciones dadas por formulas, pordecirlo de alguna manera. Como ejemplo recomendamos vivamente al lector quepruebe a aplicar los metodos descritos a la malvada funcion u(x, y) = ln(x2+y2),definida y armonica en R2 \ {(0, 0)}. Cuales son sus armonicas conjugadas, segunMathematica?

NOTA. El metodo de Milne-Thompson puede esquematizarse as: dada u(x, y),1.- calcular la derivada parcial de u respecto de x , ux (x, y);2.- calcular la derivada parcial de u respecto de y, uy(x, y);3.- calcular ux (x, 0), es decir, sustituir y por 0 en ux (x, y);4.- calcular uy(x, 0), es decir, sustituir y por 0 en uy(x, y);5.- sustituir x por z en ux (x, 0) i uy(x, 0) para obtener f1(z);6.- integrar f1(z) respecto de z, es decir, obtener una primitiva g(z) de f1(z);7.- calcular f (z) = g(z) e g(x0) + u(x0, 0) para cualquier x0 R.

Entonces f (z) + ic, c R, son las funciones holomorfas con parte real u;8.- si se busca una funcion armonica conjugada de u, hallar la parte imaginaria

de f (z).

CAPITULO 2

Funciones analticas

2.1 INTRODUCCION

Para definir las series de potencias y la nocion de analiticidad a que conducen, solose necesitan las operaciones de suma y multiplicacion y el concepto de lmite. Estonos dice que las series de potencias en C son otro concepto que podemos definirexactamente igual que en R y gozara de las mismas propiedades y con identicasdemostraciones que en R (si no dependen de la ordenacion de R!).

Por tanto, este captulo (al menos, los dos primeros apartados) va a ser un sim-ple repaso de lo que conocemos en R, pero puesto en el contexto de C. Los detallespueden consultarse en Apostol, T.M.: Analisis Matematico (segunda edicion). Re-verte, Barcelona (1991).

2.2 SERIES EN C: GENERALIDADES.

1. Dada una sucesion (zn)n=0 C, la serie infinita

n=0zn se dice convergente

si

limN

N

n=0zn C.

Al valor de dicho lmite se le denota tambien por

n=0zn y se le llama suma

de la serie.

2. Criterio de convergencia de Cauchy.

n=0zn converge > 0, n0 N si n > m > n0,

n

k=mzk

< .

3. Decimos que la serie

n=0zn converge absolutamente si converge la serie de

numeros reales

n=0|zn| (recordemos que podemos poner mas abreviadamente

n=0|zn| < +).

28

Funciones analticas 29

Toda serie absolutamente convergente es convergente, pero el recproco no escierto.

4. La serie

n=0zn converge si y solo si convergen las dos series de numeros reales

n=0e zn y

n=0

m zn . Ademas

n=0zn =

n=0e zn + i

n=0

m zn.

5. Producto de Cauchy de series.

Consideremos dos series de numeros complejos,

n=0an ,

n=0bn . Para cada

k N {0}, definimos

ck =

n+m=kanbm =

k

n=0anbnk = a0bk + a1bk1 + . . . + akb0.

La serie

k=0ck se llama producto de Cauchy de las series

n=0an y

n=0bn .

En principio, esta es una definicion formal, que no atiende a la convergenciade las series que intervienen. Si efectuaramos la multiplicacion de las sumasinfinitas de an y bm , colocando todos los sumandos del producto an bm en unatabla (infinita) de doble entrada, asociandolos segun las diagonales secundarias, elresultado es la serie producto de Cauchy de las iniciales; cada sumando productoan bm interviene una y una sola vez, sin ausencias ni repeticiones. Cabe esperar, portanto, que cuando sea lcito reagrupar terminos (si disponemos de las propiedadesconmutativa y asociativa), partiendo de series convergentes lleguemos a una serieconvergente con suma el producto de las sumas. Un resultado bastante satisfactorio,que sera todo lo que necesitemos, es el siguiente.

Teorema (Mertens). Si las series

n=0an y

n=0bn son absolutamente convergentes,

entonces la serie

k=0ck es absolutamente convergente y ademas,

(

n=0an

) (

n=0bn

)

=

k=0ck .

30 Funciones analticas

6. Convergencia uniforme. Criterio M de Weierstrass.

Recordemos la siguiente:

Definicion. Sean fn, f : A C C. Diremos que fn f uniformementeen A si

> 0, n0 N si n n0, | fn(z) f (z)| < , z A,

EquivalentementesupzA

| fn(z) f (z)| 0.

Es claro que la convergencia uniforme implica la convergencia puntual encada punto de A.

Definicion. Dado abierto de C, y fn, f : C, diremos que fn fcasi uniformemente en si fn f uniformemente sobre cada subconjuntocompacto de .

Como el lmite uniforme de funciones continuas es una funcion continua y lacontinuidad es una propiedad local, tenemos:

Proposicion. Sea abierto de C, y fn, f : C. Si para cada n N, lasfunciones fn son continuas en y fn f casi uniformemente en , entoncesf es continua en .

Para series de funciones, se tienen las definiciones analogas (como limite delas funciones sumas parciales).

El siguiente resultado sera de uso frecuente.

Criterio M de Weierstrass. Dadas fn : A C C. Si podemos encontraruna sucesion (Mn) de numeros positivos tal que

| fn(z)| Mn, z A

n=0Mn < +

entonces,

n=0fn(z) converge uniformemente y absolutamente en A.


2.3 SERIES DE POTENCIAS

Definicion. Dado a C, llamaremos serie de potencias centrada en a a todaserie de la forma

n=0an(z a)n = a0 + a1(z a) + a2(z a)2 + . . . ,

donde los coeficientes (an) C.El primer problema es saber para que puntos de C converge. Es claro que,

sean cuales sean los coeficientes, una serie de potencias siempre converge en a.

El siguiente resultado (con demostracion totalmente analoga a la de R) dejaclaro este problema de convergencia de una serie de potencias.

En el enunciado utilizamos la notacion D(a; +) = C.Teorema 1 (Abel). Sea

n=0 an(z a)n una serie de potencias centrada en a.

Entonces, existe un numero R [0, +] tal que1.

n=0 an(za)n converge absolutamente y casi uniformemente en D(a; R).

2.

n=0 an(z a)n no converge en C \ D(a; R).3. Formula de Cauchy-Hadamard: R = (lim sup |an|1/n

)1.

Observaciones.

i) R se llama radio de convergencia de la serie de potencias y D(a; R) discode convergencia. Si R = 0, la serie solo converge en z = a, y si R = +,la serie converge en todo punto de C.

En los casos intermedios 0 < R < +, el teorema asegura que la serieconverge en el disco abierto, y no converge en el exterior del disco. No seafirma nada en relacion a lo que ocurre en la frontera {z : |z a| = R}. Esteproblema del comportamiento en la frontera de una serie de potencias, debeser analizado en cada caso particular.

ii) Notese que R no depende de a. A efectos de convergencia, lo que le ocurre ala serie viene determinado por los coeficientes (an). Por ello, es suficiente queestudiemos series centradas en 0,

anzn , pues los resultados se trasladaran

de forma obvia a la serie

an(z a)n .


iii) Toda serie de potencias con radio R > 0, define una funcion

f (z) =

n=0an(z a)n, z D(a; R),

que, al ser lmite casi uniforme de funciones continuas, es una funcion continuaen D(a; R).

iv) En muchos casos, la formula de Cauchy-Hadamard se simplifica, si recor-damos el siguiente resultado sobre lmites.

Dada una sucesion (an), con an = 0, n, si lim

n|an+1||an| [0, +],

el valor de dicho lmite coincide con lim sup |an|1/n . Por tanto, en los casos enque esto ocurra (en la practica sera frecuente), tendremos la siguiente formulapara el radio de convergencia,

R = limn

|an||an+1| .

v) Aun en casos en que no sepamos calcular el radio por la formula de Cauchy-Hadamard, las dos primeras partes del teorema de Abel dan muy buena infor-macion.

Por ejemplo, si sabemos que la serie converge en un punto concreto z0 C,forzosamente debe ocurrir que R |a z0|.Del mismo modo, si la serie no converge en un punto z1 C, forzosamenteR |a z1|.Para estudiar el comportamiento de una serie de potencias en los puntos de la

frontera de su crculo de convergencia es suficiente en los casos mas sencillos elsiguiente criterio.

Criterio de Dirichlet. Sea (an) una sucesion de numeros reales, no creciente yconvergente a 0. Sea

bn una serie de numeros complejos cuyas sumas parciales

forman una sucesion acotada. Entonces la serie

anbn es convergente.

En lo que sigue, por abreviar notacion y teniendo en cuenta la observacion ii),bastara que consideremos series de potencias centradas en 0. El numero R colocadosin mas al lado de la serie, sera su radio de convergencia.

El primer resultado que vemos a continuacion nos indica que las series depotencias, definen funciones muy buenas desde un punto de vista analtico (sonindefinidamente derivables) y desde un punto de vista algebraico (se puede derivartermino a termino).


Teorema 2. Sea

n=0 anzn , R (0, +]. Sea f (z) = n=0 anzn , |z| < R.

Entonces,

i) f es derivable en D(0; R), y ademas

f (z) =

n=1nanz

n1, |z| < R.

ii) f es indefinidamente derivable en D(0; R), y para cada k N,

f (k)(z) =

n=kn(n 1) . . . (n k + 1)anznk, |z| < R.

iii) Para cada k N {0},ak = f

(k)(0)

k!.

iv) La serie antiderivada o primitiva termino a termino

n=0

ann + 1 z

n+1

converge en D(0; R) a una funcion cuya derivada es f .Observacion.

Notese que las distintas series que aparecen en el enunciado tienen el mismoradio de convergencia que la de partida, pues es muy sencillo probar que:

Si

n=0 anzn tiene radio R y P es cualquier polinomio y k N, las series

n=0an+k zn,

n=0P(n)anz

n

tienen radio R.

El apartado iii) del teorema nos dice que los coeficientes vienen determinadospor el valor de las derivadas sucesivas de f en 0. Como para conocer estas, solohace falta conocer f en un entorno de 0, es inmediato el siguiente


Corolario. Si dos series de potencias

n=0 anzn y

n=0 bnz

n con radios R1, R2 >0 son tales que coinciden en un entorno de 0, entonces

an = bn, n N {0}.

Hemos ignorado en lo anterior el comportamiento en la frontera del crculode convergencia. Si la serie converge en un punto z tal que |z| = R hay algunarelacion entre la suma de la serie en tal punto y la suma en los puntos interiores?He aqu una respuesta parcial.

Teorema del lmite de Abel. Sea f (z) = n=0 anzn , |z| < R, R (0, +).Supongamos que la serie converge tambien para z = R. Entonces existe el lmiteradial (a traves del segmento (0, R)) de la funcion f y vale

limxR

0


4. Composicion. Si para un z D(0; R2),

n=0|bnzn| < R1, entonces tiene

sentido la funcion composicion f g, y ademas

f g(z) =

n=0k z

k

en un entorno del origen.

La demostracion de estos dos ultimos resultados es bastante farragosa.Teoricamente nos dicen que la division y composicion de series de poten-cias son series de potencias, pero en la practica son de difcil aplicacion.

4. Cambio de centro. Sea f (z) = n=0 anzn , R > 0 y sea b D(0; R).Entonces, > 0 tal que

f (z) =

n=0bn(z b)n, |z b| < .

Es decir, dada una serie de potencias, en cualquier punto de su disco deconvergencia, se puede poner como otra serie de potencias centrada enese punto.

Principio de identidad de series de potencias.

Teorema 3. Sea f (z) = n=0 anzn , R > 0. Sea E = {z D(0; R) : f (z) = 0}.Son equivalentes:

i) E = D(0; R) (es decir, f es identicamente nula).ii) an = 0, n

iii) E D(0; R) = (i.e., E tiene puntos de acumulacion en D(0; R)).Demostracion. i) i i) es consecuencia inmediata del corolario del teorema

2 y la implicacion i) i i i) es obvia.Veamos que i i i) i). Llamemos A = E D(0; R) = . A es cerrado en

la topologa relativa de D(0; R) porque E siempre es un cerrado de C. Si vemosque tambien A es abierto en D(0; R) (o, lo que es lo mismo, en C, pues D(0; R)es abierto), por conexion tendremos que A = D(0; R) y de aqu es muy facil verque E = D(0; R), lo que concluira la demostracion.

Sea pues a A (notemos que, por continuidad, f (a) = 0) y veamos que aes un punto interior, es decir, existe un disco D(a; ) A.


Por el cambio de centro, f sera una serie de potencias en un entorno de a,

f (z) =

n=1bn(z a)n, en D(a; ) D(0; R)

(la serie empieza en 1, pues f (a) = 0).Si bn = 0, n tendremos claramente que D(a; ) A.En otro caso, sea bk el primer coeficiente que no se anula. Entonces,

f (z) = (z a)k

n=kbn(z a)nk = (z a)k g(z)

donde g es una funcion continua (pues es una serie de potencias) con g(a) = 0, loque implica que g(z) = 0 en un entorno U de a. Por tanto, f (z) = 0 en U \ {a},lo que contradice que a E . Luego, forzosamente, tiene que ocurrir bn = 0, n,y esto demuestra el resultado.

El teorema anterior afirma que si una serie de potencias se anula en un sub-conjunto del disco abierto de convergencia que tenga algun punto de acumulacionen dicho abierto, entonces la serie es identicamente nula.

2.4 FUNCIONES ANALITICAS

Definicion. Sea = un abierto de C. Una funcion f : C se diceanaltica en a , si existe una serie de potencias centrada en a con radio R > 0tal que

f (z) =

n=0an(z a)n, |z a| < .

Es decir, f coincide con una serie de potencias en un entorno de a.

f se dice analtica en si lo es en cada punto a .

Ejemplos.

1. Todo polinomio es una funcion analtica en C. En efecto, siempre podemoscambiar de base y expresar, para cualquier a C,

P(z) = a0 + a1z + . . . + anzn = b0 + b1(z a) + . . . + bn(z a)n.


2. Gracias al resultado de cambio de centro, toda serie de potencias f (z) =

n=0anz

n con radio R > 0 es analtica en D(0; R). Analogamente, f (z) =

n=0an(z a)n es analtica en D(a; R).

3. La funcion racional f (z) = 11 z es analtica en C \ {1}. En efecto, es claro

que es analtica en 0, pues

1

1 z =

n=0zn, |z| < 1.

Pero, utilizando esta misma suma, si a C \ {1},1

1 z =1

1 a (z a) =1

1 a1

1 ( za1a )1

1 a

n=0

(z a1 a

)n=

n=0

(z a)n(1 a)n+1

siempre que

z a1 a

< 1. Es decir, en el entorno de a, |z a| < |1 a|.De forma parecida, descomponiendo en fracciones simples, no es difcil probarque toda funcion racional es analtica en su dominio de definicion, esto es, entodo C menos los ceros del denominador.

Proposicion. Si f es analtica en entonces f es holomorfa. Es mas, f esindefinidamente derivable en .

Demostracion. Es claro, pues la derivabilidad es una propiedad local y ya sabemosque una serie de potencias es indefinidamente derivable.

Operaciones con funciones analticas.

1. La suma y el producto de funciones analticas son analticas.

2. Si f es analtica en a y f (a) = 0 entonces 1/ f es analtica en a.3. Sean f : C, g : 1 C con f () 1. Si f es analtica en a y g

es analtica en f (a), entonces g f es analtica en a.Observacion.

Estos resultados son consecuencia de las correspondientes operaciones paraserie de potencias. No merece la pena insistir en la demostracion porque, masadelante, veremos que, en C, una funcion es analtica si y solo si es holomorfa, ypara funciones holomorfas ya conocemos las propiedades 1, 2 y 3.


2.5 PRINCIPIO DE PROLONGACION ANALITICA

El siguiente resultado va a ser consecuencia del principio de identidad de series depotencias.

Teorema (P.P.A.). Sea una region de C. Sea f : C analtica en . Sonequivalentes:

i) f 0 en .ii) a con f (n)(a) = 0, n N {0}.

iii) f = 0 en un subconjunto de con punto de acumulacion en .Demostracion.

i) i i) Inmediato.i i) i i i) En un entorno de a, D(a; ),

f (z) =

n=0an(z a)n y an = f

(n)(a)

n!.

As, f = 0 en todo D(a; ) al menos, y obviamente D(a; ) tiene punto deacumulacion en .

i i i) i) Por hipotesis, un subconjunto de E = f 1(0) tiene puntos deacumulacion en , luego tambien los tiene el propio E , de modo que E = .Usemos el clasico argumento de conexion.

E es cerrado en .E es abierto en . En efecto, sea a E . En un entorno de a,

D(a; ) ,f (z) =

n=0an(z a)n.

Esta serie se anula en un conjunto con punto de acumulacion en D(a; ) (precisa-mente el punto a E D(a; )). Por tanto, por el principio de identidad paraseries de potencias la serie es nula. As, f = 0 en D(a; ), es decir, D(a; ) E ,de donde se deduce facilmente que D(a; ) E .

Entonces, como es conexo, E = . Luego todo z esta en E y deaqu, como f es continua, f (z) = 0.

..a


Corolario. Sea una region de C. Sean f y g funciones analticas en . Sonequivalentes:

i) f g en .ii) a con f (n)(a) = g(n)(a), n N {0}.

iii) f = g en un subconjunto de con punto de acumulacion en .Demostracion. Basta tomar la funcion f g.

Si denotamos, para abierto

A() = { f : C : f es analitica en },tenemos esta otra consecuencia:

Corolario. Sea region. Sean f, g A() tales que la funcion f g 0 en .Entonces, o f 0 en , o g 0 en . Dicho de otra manera,A() es un dominiode integridad.

Demostracion. Si para un z0 , f (z0) = 0, entonces, por continuidad, f = 0 enun entorno de z0. Luego debe ser g = 0 en dicho entorno, y como este tiene puntosde acumulacion en , por el teorema, g 0 en .Observacion.

Segun la definicion, si f A(), en un punto a , coincide en un entornode a con una serie de potencias centrada en a con R > 0. A su vez, esta serietambien es analtica y, por tanto, por el P.P.A., tendremos que la igualdad

f (z) =

n=0an(z a)n

es valida en la componente conexa de D(a; R) que contiene al punto a.

(Cuidado: aunque y D(a; R) sonconexos, su interseccion D(a; R) notiene por que serlo, como se ve en la figura,de manera que hay que evitar la tentacionnatural de escribir la igualdad para todoz de la interseccion; puede haber desigual-dad en los puntos de las componentes co-nexas de la interseccion que no contenganal punto a.)

CAPITULO 3

Funciones elementales basicas

3.1 INTRODUCCION

La familiaridad que hemos llegado a tener con funciones como la exponencial,el logaritmo, las funciones trigonometricas, pueden habernos hecho olvidar queen realidad nunca hemos establecido una definicion analtica rigurosa de ellas.Mediante consideraciones graficas, en algunos casos, o confiando en la autoridadde turno en otros, hemos aceptado ciertas propiedades (entre ellas, nada menos quesu existencia), de las que hemos ido deduciendo las demas.

Con nuestros conocimientos actuales, este es un buen momento y un buenlugar para ofrecer esa definicion rigurosa mediante series de potencias en el campocomplejo y mostrar como de la definicion van saliendo las propiedades que nosson tan conocidas. No es esta, desde luego, la unica via de construccion posible(pueden introducirse tambien mediante integrales indefinidas, o como solucionesde ciertas ecuaciones o sistemas de ecuaciones diferenciales), pero indudable-mente es la mas adecuada al presente curso.

3.2 FUNCION EXPONENCIAL

Funcion exponencial

La serie de potencias+

n=0

zn

n!tiene radio de convergencia +, por lo que podemos

definir en todo C una funcion como suma de tal serie.

Definicion 3.1. Se llama funcion exponencial a la definida por

exp : z C exp(z) =+

n=0

zn

n! C.

El numero exp(1) se denota por e, y suele escribirse ez en lugar de exp(z)[notacion justificada por la propiedad que probaremos a continuacion en (1.4)].

40

Funciones elementales basicas 41

Propiedades de la exponencial compleja.(1.1) La funcion exponencial es derivable (indefinidamente) y su derivada es ella

misma: para cada z C,exp(z) = exp(z).

(1.2) exp(0) = 1.(1.3) Para cada z C,

exp(z) = 1exp(z)

con lo que, en particular, exp(z) = 0. Ademas, para cualesquiera z, w C,exp(z + w) = exp(z) exp(w).

(1.4) Dados n N y z C, exp(nz) es el producto de n factores iguales a exp(z),exp(nz) = exp(z) n exp(z);

en particular, exp(n) = e n e.(1.5) Para cada x R, tambien exp(x) R.

Demostracion. (1.1) Basta aplicar la regla de derivacion de una funcion definidamediante una serie de potencias.

(1.2) Obvio.(1.3) Puede verse directamente a partir de la definicion y de la multiplicacion de

series de potencias. Otra demostracion que usa solo las propiedades diferencialesde la exponencial es la siguiente:

Para un w cualquiera en C previamente fijado, definamos

f : z C f (z) = exp(z) exp(z + w) C.Derivando de acuerdo con (1.1),

f (z) = exp(z) exp(z + w) + exp(z) exp(z + w) = 0,luego como C es conexo, f toma constantemente el valor f (0) = exp(w).

Si el w elegido es 0, esto significa que exp(z) exp(z) = 1 cualquiera quesea z C. Por consiguiente, volviendo al caso general, de exp(z) exp(z + w) =f (0) = exp(w) podemos despejar

exp(z + w) = exp(z) exp(w).(1.4) Se prueba por induccion sobre n utilizando (1.3).(1.5) Si x R, los terminos de la serie que define exp(x) son todos reales.La restriccion de exp a R puede verse entonces como una aplicacion de R en R.

Denotaremos provisionalmente por Exp esta funcion, de modo que Exp : R R,y la llamaremos exponencial real. Recogemos sus propiedades mas importantes.

42 Funciones elementales basicas

Propiedades de la exponencial real.(1.6) Para cada x R,

Exp(x) > 0.

(1.7) La funcion exponencial real es estrictamente creciente y convexa. En particu-lar, es inyectiva.

(1.8) Se tienelim

x+ Exp(x) = + , limx Exp(x) = 0.En consecuencia, el conjunto imagen de la funcion exponencial real es (0, +).

Demostracion. (1.6) Exp(x) = (Exp(x/2))2 0 y Exp(x) = 0.(1.7) La derivada primera y la derivada segunda de la funcion exponencial

real (que son iguales a ella misma) son estrictamente positivas.(1.8) Puesto que la funcion exponencial real es estrictamente creciente,

e = Exp(1) > Exp(0) = 1,luego lim

nExp(n) = +. Nuevamente por la monotona de la funcion exponencial,

esto basta para probar que

limx+ Exp(x) = +.

Finalmente,

limx Exp(x) = limy+ Exp(y) = limy+

1

Exp(y)= 0.

Aplicando el teorema de los valores intermedios (Darboux) se sigue que lafuncion exponencial aplica R sobre (0, +).

Observese que, segun la exposicion anterior, todas las propiedades basicas dela funcion exponencial se deducen realmente de (1.1) y (1.2), que en este sentidopueden ser consideradas sus propiedades fundamentales. Esto no es tan sorpren-dente sin pensamos en la unicidad de solucion de la ecuacion diferencial y = ycon la condicion inicial y(0) = 1.

En lo que sigue volveremos ya a la notacion tradicional, ez , para la exponencialde z.

Funcion logartmica real

Una vez conocidas las propiedades basicas de la funcion exponencial real, pode-mos definir la funcion logartmica real como su funcion inversa, y deducir de ahsus propiedades. No puede procederse de la misma manera con la exponencialcompleja, como se vera mas adelante.


Definicion 3.2. La funcion logartmica real

ln : x (0, +) ln x R

es la inversa de la funcion exponencial, de modo que ln x = y si y solo si ey = x.Por tanto, esta caracterizada por cumplir

ln(ex ) = x cualquiera que sea x R

yeln x = x cualquiera que sea x (0, +) .

Sus propiedades son consecuencia de las de la funcion exponencial.

Propiedades del logaritmo real.(2.1) La funcion logartmica real es derivable indefinidamente, y su derivada es la

funcion 1/x .(2.2) ln 1 = 0, ln e = 1.(2.3) Para cada x (0, +),

ln1

x= ln x .

(2.4) Dados x, y (0, +),

ln(xy) = ln x + ln y .

(2.5) Dados n N y x (0, +),

ln(xn) = n ln x .

(2.6) El conjunto imagen de la funcion logartmica real es R.(2.7) La funcion logartmica real es estrictamente creciente y concava. En particular,

es inyectiva.(2.8) Se tiene

limx+ ln x = +, limx0+ ln x = .

Demostracion. Recordar las propiedades de la funcion inversa estudiadas parafunciones reales de variable real.


3.3 FUNCIONES SENO Y COSENO

Funciones complejas seno y coseno

Definicion 3.3. La funcion seno esta definida por

sen : z C sen z =

n=0

(1)nz2n+1(2n + 1)! C ,

y la funcion coseno por

cos : z C cos z =

n=0

(1)nz2n(2n)!

C .

Estas funciones estan bien definidas, pues las series de potencias que figuranen las formulas tienen radio de convergencia +. Recordando la definicion de lafuncion exponencial, las relaciones siguientes son inmediatas:

sen z = eiz ei z

2i, cos z = e

iz + ei z2

para cada z C, con lo que la funcion exponencial aparece como mas elementalque el seno y el coseno, en el sentido de que estas son combinaciones lineales deexponenciales.

Propiedades del seno y coseno complejos.(3.1) El seno y el coseno son funciones derivables indefinidamente y se cumple

para todo z C

sen(z) = cos z, cos(z) = sen z.

(3.2) El seno es una funcion impar, mientras que el coseno es una funcion par: esdecir, cualquiera que sea z C se tiene

sen(z) = sen z, cos(z) = cos z .

(3.3) Para todos z, w C,

sen(z + w) = sen z cos w + cos z sen w,cos(z + w) = cos z cos w sen z sen w.


(3.4) Para cada z C essen2 z + cos2 z = 1 .

Demostracion. (3.1), (3.2), (3.3)Se siguen directamente de la definicion mediante series de potencias o a partir

de la expresion en terminos de exponenciales.(3.4)Se deduce de (3.2) y (3.3), tomando w = z.

Es instructivo ver como tambien puede probarse esta identidad usando derivacion:definiendo f : z C f (z) = sen2 z + cos2 z C, a partir de (3.1) obtenemos

f (z) = 2 sen z cos z 2 cos z sen z = 0para todo z de C, luego f toma constantemente el valor f (0) = 1.

De las formulas anteriores se deducen mediante los calculos de costumbreotras muchas frecuentemente utilizadas; por ejemplo, las que se recogen en elsiguiente ejercicio.

Ejercicio. Dados z, w C, comprobar quesen(z w) = sen z cos w cos z sen w;cos(z w) = cos z cos w + sen z sen w;sen z cos w = 1

2[sen(z + w) + sen(z w)];

sen z sen w = 12

[cos(z + w) cos(z w)];

cos z cos w = 12

[cos(z + w) + cos(z w)];sen 2z = 2 sen z cos z;cos 2z = cos2 z sen2 z = 2 cos2 z 1;sen 3z = 3 sen z 4 sen3 z;cos 3z = 4 cos3 z 3 cos z

y cualquier otra de las relaciones conocidas sobre las funciones seno y coseno.

Funciones seno y coseno reales

Las funciones seno y coseno toman valores reales sobre R, luego podemos verlas restricciones de estas funciones a R como funciones reales de variable real.Estudiemos sus propiedades, para comprobar que coinciden con las que se lesatribuyen habitualmente. Ya hemos encontrado algunas de ellas. Para continuar, loprimero que necesitamos es definir el numero real .


Propiedades del seno y coseno reales.(4.1) La funcion seno tiene ceros reales positivos, es decir,

{x > 0 : sen x = 0} = .

Este conjunto posee un elemento mnimo, que denotaremos por :

def= min{x > 0 : sen x = 0} .

En el intervalo (0, ), el seno toma valores estrictamente positivos.

(4.2) cos = 1; cos 2

= 0; sen 2

= 1.(4.3) Para conocer la funcion seno en R es suficiente conocerla en el intervalo[

0,

2

]. En concreto,

(4.3.1) para cada x R es

sen ( x) = sen x = sen(x + );

(4.3.2) para cualesquiera x R y k Z,

sen(x + 2k) = sen x,

es decir, el seno real es una funcion periodica de periodo 2 .(4.4) Para conocer la funcion coseno en R es suficiente conocerla en el intervalo[

0,

2

]. En concreto,

(4.4.1) para cada x R es

cos ( x) = cos x = cos(x + );

(4.4.2) para cualesquiera x R y k Z,

cos(x + 2k) = cos x,

es decir, el coseno real es una funcion periodica de periodo 2 .

(4.5) La restriccion de la funcion seno al intervalo[

2,

2

]es una aplicacion

estrictamente creciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [1, 1].(4.6) La restriccion de la funcion coseno al intervalo [0, ] es una aplicacion es-

trictamente decreciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [1, 1].(4.7) Dado x R, se verifica sen x = 0 si y solo si para algun k Z es x = k .


(4.8) Dado x R, se verifica cos x = 0 si y solo si para algun k Z es x = 2

+k .Demostracion. (4.1) Agrupando sumandos convenientemente, es claro que

sen x > x x3

3!> 0 siempre que 0 < x 1

y que

sen 4 < 4 43

3!+ 4

5

5! 4

7

7!+ 4

9

9!< 0,

de donde se deduce que el seno no se anula en (0, 1] pero que, segun el teorema deBolzano, debe anularse al menos en un punto comprendido entre 1 y 4. Por tanto,esta perfectamente determinado el numero real

= inf{x > 0 : sen x = 0}y es mayor o igual que 1 (luego > 0). Para asegurar que es el mnimo del conjunto,o sea, que pertenece a el, basta tener en cuenta que es punto adherente del conjuntoy emplear la continuidad del seno.

As sen x = 0 para todo x (0, ) y por continuidad el seno debe mantenerel signo en todo este intervalo. De acuerdo con la primera desigualdad que hemosescrito, debe ser estrictamente positivo en el.

(4.2) Como sen2 + cos2 = 1, se deduce que cos2 = 1 y por tantocos = 1 o cos = 1. Pero si cos = 1, como cos 0 = 1, el teorema de Rolledara la existencia de algun punto t (0, ) en el que se anulara la derivada delcoseno, con lo cual sera sen t = 0 contra lo que acabamos de probar.

Puesto que cos = 2 cos2 2

1, debe ser cos 2

= 0, lo que obliga a quesen2

2= 1. Como 0 <

2< , sen

2debe ser positivo y por tanto igual a 1.

(4.3) Las igualdades de (4.3.1) son consecuencia de las formulas de adicion yde los valores previamente calculados. La de (4.3.2) se comprueba por induccion.

Con esto, conociendo los valores del seno en el intervalo[0,

2

], podemos

obtener los valores en el intervalo[

2,

]usando que sen x = sen ( x); por ser

el seno impar, pasamos entonces a todo el intervalo [, ] y ya por periodicidada todo R.

(4.4) Similar al apartado anterior.(4.5) Para cada x R la igualdad sen2 x+cos2 x = 1 asegura que | sen x | 1,

| cos x | 1. Como sen 2

= 1 y por tanto sen(

2

)= 1, la continuidad del seno

y la propiedad de Darboux dan como conjunto imagen de[

2,

2

]exactamente

el intervalo [1, 1].


Para demostrar que el seno (que es continua) es estrictamente creciente en[

2,

2

], usamos que es estrictamente positiva en (0, ). En consecuencia, el

coseno (que en cada punto x tiene por derivada sen x) sera estrictamente decre-ciente en [0, ], lo que permite afirmar que los valores que alcanza en el intervalo[0,

2

)son estrictamente mayores que cos

2= 0; como el coseno es par, lo mismo

vale en(

2,

2

); y finalmente, como el coseno es la derivada del seno, vemos

que este ultimo es estrictamente creciente en[

2,

2

].

(4.6) Repasar la demostracion anterior.(4.7) Es inmediato que si para algun k Z es x = k , se verifica que

sen x = 0.Recprocamente, sea x R tal que sen x = 0. Para un k Z sera

x ((

k 12

),

(k + 1

2

)

]. Entonces t = x k

(

2,

2

]y sen t =

sen x cos k cos x sen k = 0, luego forzosamente t = 0 y x = k .(4.8) Similar a la anterior.

Funciones trigonometricas y Trigonometra

Tenemos ahora dos versiones de las funciones seno y coseno: la version analticaque venimos explorando y la version geometrica de la Trigonometra (=medida deangulos). La coherencia entre ambas versiones la prueba la siguiente proposicion,que a su vez justifica las afirmaciones que hicimos al definir los argumentos de unnumero complejo no nulo.

Proposicion. Dados x , y R tales que x2 + y2 = 1, existe un R de modoque

cos = x, sen = y .Ademas, para que un R cumpla igualmente que

cos = x, sen = y,es necesario y suficiente que exista un k Z tal que = + 2k .Demostracion. Como x [1, 1], existe al menos un t R tal que cos t = x .Entonces sen2 t = y2, de donde o bien sen t = y, y tomaramos = t , o biensen t = y, y bastara tomar = t .

Por periodicidad, igualmente cos(+2k) = x , sen(+2k) = y para todok Z.

Supongamos ahora que encontramos R para el que cos = x , sen = y.Entonces

sen( ) = y x x y = 0,


luego por (4.7) existira un m Z tal que = m . Si m fuese de la forma2k + 1, k Z, resultara cos( ) = 1, mientras que

cos( ) = x x + y y = x2 + y2 = 1,por lo que debe ser m = 2k para algun k Z y finalmente = + 2k .

Graficamente, esta proposicion significa que para cada punto sobre la circun-ferencia T de centro el origen y radio unidad, hay un numero real que mide elangulo que forma el radio correspondiente al punto con el eje de abscisas, y quedicho numero esta unvocamente determinado salvo multiplos enteros de 2 . Unainterpretacion algebraica nos dira que la aplicacion t R eit T (que es unhomomorfismo entre el grupo aditivo R y el grupo multiplicativo T) es suprayectivay tiene por nucleo el semigrupo 2Z, de modo que T es isomorfo al grupo cocienteR/2Z (para este enfoque, ver Cartan, H.: Theorie elementaire des fonctionsanalytiques dune ou plusieurs variables complexes. Hermann, Paris (1961).)

3.4 DETERMINACIONES DEL ARGUMENTO Y DEL LOGARITMO.

Querramos definir la funcion logaritmo como la inversa de la funcion exponencial.Pero nos encontramos con el problema, a diferencia de R, de que la funcion expo-nencial no es inyectiva en C. Puesto que el logaritmo es una potente herramientaen la teora de funciones de variable compleja, vamos a estudiarlo en todo detalle.

Valores de la exponencial compleja

Proposicion.(5.1) Dado z C, sea x = e z, y = m z. Entonces

ez = ex+iy = ex (cos y + i sen y)(5.2) Para cada z C

e (ez) = ee z cos(m z), m (ez) = ee z sen(m z),ez

= ee z, m z arg (ez) .(5.3) La exponencial compleja no es inyectiva: es periodica de periodo 2 i . Con

mayor precision, dados z, w C, se tiene ez = ew si y solo si z = w + 2k ipara algun k Z.

(5.4) El conjunto imagen de C mediante la exponencial es C \ {0}. Ademas, paracada w C \ {0}, ez = w si y solo si

z = ln |w| + i( + 2k), k Z, arg w.


Demostracion. (5.1) Segun la formula de adicion

ez = ex eiy,y las formulas que ligan seno y coseno con exponenciales dan

cos y + i sen y = eiy .(5.2) Aplicar lo anterior.(5.3) Si z = w + 2k i para algun k Z, ez = ew e2k i = ew.Recprocamente, sea ez = ew. Tomando modulos,

ee z = ez = |ew| = ee w,luego por la inyectividad de la exponencial real

e z = e w.Pero entonces

cos(m z) + i sen(m z) = cos(m w) + i sen(m w),o sea

cos(m z) = cos(m w), sen(m z) = sen(m w),lo que, segun hemos visto en la proposicion anterior, solo es posible si m z =

m w + 2k para algun k Z.

(5.4) Dado w C \ {0}, sea arg w yz = ln |w| + i.

Obviamente ez = w, y cualquier otro complejo cuya exponencial coincida con wsera de la forma z + 2k i para algun k Z por lo que acabamos de probar en(5.3).

Esta informacion engloba asimismo informacion sobre el comportamiento deotras funciones. Por ejemplo:

Corolario. Los unicos ceros del seno y el coseno son sus ceros reales. Expresadode otro modo, si z C,sen z = 0 z = k, k Z, cos z = 0 z =

2+ k, k Z.

Demostracion. Notese que

sen z = 0 eiz = ei z e2i z = 1 = e0,cos z = 0 eiz = ei z e2i z = 1 = ei .

Determinaciones del argumento y del logaritmo.

La no inyectividad de la funcion exponencial C obliga a ser muy cuidadosos a lahora de abordar una definicion de logaritmo.


Definicion. Dado 0 = z C, diremos que w es un logaritmo de z si exp w = z.Por tanto, un numero complejo tiene infinitos logaritmos, pero sabemos a

que formula responden: misma parte real (el logaritmo real de |z|) y como parteimaginaria un argumento de z,

exp w = z w = ln |z| + i( + 2k), k Z, arg z.

Podramos definir el conjunto

log z = {w : exp w = z}

y se tendra la igualdad entre conjuntos,

log z = ln |z| + i arg z

Cuando queramos tener una funcion logaritmo, bastara fijar una funcion argu-mento. Por ejemplo, si tomamos el argumento principal, tendramos la funcionlogaritmo principal. Sin embargo, necesitamos conceptos mas flexibles.

Definicion. Sea = region, tal que 0 / .1. Diremos que : R es una determinacion del argumento en si:

i) es continua en .

ii) (z) arg z, z , (i.e., ei(z) = z|z| ).

2. Diremos que f : C es una determinacion del logaritmo en si:i) f es continua en .

ii) f (z) log z, z , (i.e., e f (z) = z).Estos dos conceptos estan muy relacionados. En efecto,

Proposicion 1. Sea = region, tal que 0 / . Entonces, es una determinacion del argumento f (z) = ln |z| + i(z) es una determi-nacion del logaritmo.

Demostracion.

) Si es continua, es claro que f (z) = ln |z| + i(z) es continua, y

e f (z) = |z|ei(z) = |z|(z/|z|) = z.


) Si f es una determinacion del logaritmo, en cada z , su parte real debeser ln |z| y su parte imaginaria (z) = f (z) ln |z|

ies una determinacion del

argumento, pues es continua y

ei(z) = e f (z)e ln |z| = z/|z|.

Proposicion 2. Sea = region, tal que 0 / .i) Si 1, 2 son dos determinaciones del argumento, entonces

k Z, 1(z) = 2(z) + 2k, z .

ii) Si f1, f2 son dos determinaciones del logaritmo, entonces

k Z, f1(z) = f2(z) + 2k i, z .

Demostracion. i) Si 1(z), 2(z) arg z entonces, para cada z , 1(z) 2(z) = 2k(z) , con k(z) entero. La funcion k : Z es continua, y como es region, su rango debe ser conexo y subconjunto de Z, luego solo puede ser unpunto. Es decir, k(z) k es constante.

ii) Consecuencia de i), o directamente de forma similar.

Ejemplos.

1. El ejemplo mas aparente es Arg z, que es una determinacion del argumentoen la region C \ (, 0].La correspondiente determinacion del logaritmo en C \ (, 0]

Log z = ln |z| + i Arg z

se llama funcion logaritmo principal.

Notese que el dominio de definicion de esta funcion es C \ {0}, pero solo escontinua en C \ (, 0]. Su restriccion a (0, +) es el logaritmo real.

2. Analogamente, fijado R, la funcion Arg[,+2) es una determinacion delargumento en C \ {rei : r 0}. Y, la correspondiente determinacion dellogaritmo es Log[,+2) z = ln |z| + i Arg[,+2).

3. Las anteriores no son, obviamente, las unicas determinaciones del argumentoy del logaritmo. Veamos algun ejemplo mas:

=

Funciones elementales

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