Variables Aleatorias ContinuasEs la que puede tomar cualquier valor fraccionario en un rango determinado de valores, Dado que existe un número infinito de medidas fraccionarias posibles, no se pueden enlistar todos los posibles valores con su probabilidad correspondiente. Proporciona una probabilidad a cada valor posible y estas probabilidades deben sumar 1. A la gráfica de este tipo se le denomina curva de probabilidad.

Distribución Normal de ProbabilidadEs una distribución normal de probabilidad que es al mismo tiempo Simétrica y Mesokurtica (que no es plana ni puntiaguda) se describe a la curva de probabilidad que presenta la distribución normal como una campana, es por ello que a esta grafica se le conoce comúnmente como campana de gauss.

Importancia Las mediciones que se obtienen en diversos procesos tienen esta clase de distribución Puede utilizarse para aproximar otras distribuciones de probabilidad tales como: binomial y poisson Las distribuciones como media muestral y la proporción muestral tienen distribución normal cuando el

tamaño de la muestra es grande sin importar la forma de distribución de origen La curva de probabilidad está dada por la fórmula: = constante 3.1416e= constante 2.7183= desviación estándar de la distribuciónPara calcular el área bajo la curva normal estándar desde 0 a z utilizaremos la tabla que se encuentra en el apéndice 5.

Esta es una distribución normal en la que u=0 y =1 y nos dice que cualquier valor x de una población con distribución normal puede convertirse a su valor estándar equivalente a z con la fórmula:

Punto Percentil Para Valores con Distribución NormalU n punto percentil en una curva normal estándar nos sirve para hacer el proceso inverso, es decir, encontrar el valor de X.

Punto percentil es mayor que la media

Se busca en la tabla el valor más cercano a 0.40 este valor resulta ser 0.3997. esto quiere decir que el valor z asociado con esta área es de 1.28 por lo tanto 20.900= 1.28

Aproximación Normal a Probabilidades BinomialLa distribución normal se puede utilizar para aproximar las probabilidades de algunas variables aleatorias discretas.

Cuando es difícil calcular las probabilidades exactas Cuando el tamaño de n es grande

n= número de ensayos u observacionesp = probabilidad de éxito en cada uno de los ensayosBIA= indica la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ocurra el evento ADonde:n = Tamaño de la muestraZ = Nivel de confianza*p = probabilidad de que el evento se realice (.5)q = probabilidad de que el evento no se realice (1-.5)N = Poblacióne = error de estimación

Una regla conveniente es que tal aproximación resulta aceptable cuando n≥30 y tanto np como nq≥5Cuando la distribución de probabilidad normal se usa como base para aproximar un valor de probabilidad binomial, la media y desviación estándar se basan en el valor esperado y en la varianza del número de éxitos de la distribución binomial

Ejemplo: Se ha observado que para un grupo grande de prospectos de venta el 20% de los que un vendedor visita en forma personal realizan la compra. Si un representante de ventas visita a 30 prospectos, puede determinarse que la probabilidad de que 10 a más de ellos realicen una compra utilizando las probabilidades binomiales del apéndice z.La regla indica que las aproximaciones son aceptables cuando n> 30 y tanto np>5 como nq>

Si sacamos la solución ocupando el método de distribución binomialP(X ≥ 10|n=30,p=0.20)=0.0355+0.0161+0.0064+ 0.0022+0.0007+0.0002+…=0.0611Hagamos ahora lo mismo, pero ocupando la curva normal¿Es n≥30?, si n = 30¿Es np≥5?, si, np = 30(0.20) = 6¿Es nq ≥5?, si, nq = 30(0.80) = 24Para la corrección por continuidad tenemos que tomar a X ≥10, por lo que se debe restar 0.5 y queda de la siguiente forma

Para llevar a cabo una probabilidad binomial usando curvas normales, se debe considerar algo que se conoce como corrección por continuidad.

Aproximación normal a probabilidades de poissonCuando la media de una distribución Poisson es relativamente grande, puede utilizarse la distribución normal de probabilidad para aproximar probabilidades tipo poisson. Una regla practica consiste en afirmar que esa aproximación es aceptable cuando >10.0La media y la desviación estándar de la distribución normal de probabilidad se basan en el valor esperado y la varianza del número de eventos de un proceso poisson, esta media es:

La desviación estándar es:

Ejemplo8 el número promedio de solicitudes de servicio que se reciben en un departamento de reparación de maquinaria por cada turno de 8 horas es 10.0 puede determinarse la probabilidad de que se reciban más de 15 solicitudes en un turno de 8 horas al azar utilizando el apéndice 4:Si utilizamos el método de poisson visto anteriormenteP(X>15|λ=10.0)=P(X=16)+P(X=17)+…=0.0217+0.0128+0.0071+0.0037…=0.0488

Como el valor de la media es (cuando menos) 10 la aproximación normal al valor de probabilidad poisson resulta ser aceptable la aproximación normal a del valor de probabilidad poisson es: Hagamos ahora lo mismo, pero ocupando la curva normal, ya que λ≥10

La corrección por continuidad que se aplicó en el ejemplo8 es del mismo tipo que la corrección que se describió para la aproximación normal de probabilidades binomiales. Las reglas que se revisaron en la sección 7.4 con respecto al 0.5 que se suma o se resta a la x se aplican de igual manera a la situación en la que se utiliza la distribución normal para aproximar probabilidades de poisson.

Problemas Binomiales 2Se sabe que 70% de las personas que acuden a un importante centro comercial realizan al menos una compra. En una muestra de n = 50 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 40 personas realicen una o más compras cada una?

Problemas Binomiales 1Se ha encontrado que el 70% de las personas que entran a un centro comercial realizan cuando menos una compra, para una muestra de n=50 personas, ¿ cual es la probabilidad de que cuando menos 40 de ellas realicen una o mas compras?Solución:Puede utilizarse la aporximancion normal del valor binomial de probabilidad que se requiere porque n> 30, np>5 y nq>5

Para la situación que se describe en el problema 7.9 ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 30 de entre 50 personas muestreadas realicen cuando menos una compra? Al considerar que el problema 7.9= u=35.0 y =3.24,

Problemas de Poisson 1Se sabe que las solicitudes de servicio llegan en forma aleatoria en forma estacionario a un promedio de 5 solicitudes por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban mas de 50 solicitudes de servicio durante un turno de 8 horas?

Con referencia la problema 7.11 ¿Cuál es la probabilidad de que reciban un turno de 8 horas, 35 o menos solicitudes de servicio?

Problemas de Poisson2Se sabe que las llamadas de servicio llegan aleatoriamente y en calidad de proceso estacionario a un promedio de 5 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en un turno de 8 horas se reciban al menos 50 llamadas de servicio?Puesto que λ=5x8=40 y excede a 10, entonces podemos usar la distribución normal de probabilidad, para aproximar el valor de probabilidad de Poisson

La Distribución Exponencial de ProbabilidadSi los eventos ocurren en el contexto de un proceso de Poisson, la extensión temporal o espacial entre eventos sucesivos sigue entonces una distribución exponencial de probabilidad.

Dado que tiempo o espacio son continuos una medida de este tipo es una variable aleatoria continua. Como en el caso de toda variable aleatoria continua, carece de sentido preguntarse: "¿Cuál es la probabilidad de que la primera solicitud de servicio llegue en exactamente un minuto?" Por el contrario, debemos establecer un intervalo dentro del cual habrá de ocurrir el evento, tal como lo haríamos preguntando: "¿Cuál es la probabilidad de que la primera solicitud de servicio llegue en el curso de un minuto?"

Puesto que el proceso de Poisson es estacionario, y por lo tanto existe una probabilidad igual de que el evento ocurra a todo lo largo del periodo relevante, la distribución exponencial se aplica si lo que nos interesa es el tiempo (o espacio) hasta el primer evento, el tiempo entre dos eventos sucesivos o el tiempo hasta que ocurra el primer evento después de un punto temporal seleccionado.

Cuando λ es el número medio de ocurrencias en el intervalo de interés, la probabilidad exponencial de que el primer evento ocurra en el curso del intervalo temporal o espacial establecido es:P(T < t) = 1 - e – λ

De igual manera, la probabilidad exponencial de que el primer evento no ocurra dentro del intervalo temporal o espacial establecido es:P(T > t) = e - λ

Para las dos fórmulas anteriores puede obtenerse el valor de e – λ en el apéndice 3

El valor esperado y la varianza de una distribución exponencial de probabilidad, donde la variable es el tiempo T y λ corresponden a una unidad de tiempo o espacio (como una hora), son:

E [T] = 1 Valor esperado λ

V (T) = 1 Varianza λ²

Ejemplo: 9 en un departamento de reparación de maquinaria se reciben 5 solicitudes por hora en promedio comenzando la observación en cualquier punto del tiempo, la probabilidad de que se reciba la primera solicitud de servicio dentro de un lapso de media hora es:

Problemas Puntos Percentiles 1El tiempo que se requiere para reparar cierto tipo de transición automotriz en un taller mecánico tiene distribución normal con media u=45 min y desviación estándar =8.0min.¿Qué asignación de tiempo de trabajo se requiere para que haya una probabilidad del 75% de que la reparación de las transmisiones se lleve a cabo dentro de ese tiempo? Ilustre la proporción de área correspondiente?SoluciónTal como se ilustra en la gráfica entre la media y el punto percentil 75 se incluye una proporción de área del 0.2500. Por lo tanto, el primer paso en la solución implica determinar el valor de z requerido encontrando el área en el cuerpo de la tabla del apéndice 5 que este más cercano a 0.2500. El área más próxima es 0.2486, con z 0.75= +0.67. Después, se convierte este valor de z en el valor que se requiere de x, de la siguiente manera:X= u+ z =45+(0.67)(8.0)= 50.36 min.

Problemas Puntos Percentiles 2El tiempo que se requiere para reparar cierto tipo de transición automotriz en un taller mecánico tiene distribución normal con media u=45 min y desviación estándar =8.0min.¿Cuál es la asignación de tiempo de trabajo que se requiere para que haya una probabilidad de solo el 30% de que pueda terminarse el trabajo de reparación dentro de ese lapso? Ilustre la proporción de área correspondiente.SoluciónComo una proporción de área de 0.30 se encuentra a la izquierda del valor desconocido de x en la grafica se sigue que hay una proporción de 0.20 entre ese punto percentil y la media. Consultando el apéndice 5 se encuentra que la proporción del área mas cercana a ese valor es 0.1985, el cual corresponde un valor de z 0.30= -0.52 el valor de z es negativo porque el punto percentil se encuentra del lado izquierdo de la media. Finalmente, se convierte el valor de z al valor que se requiere de X.

Problema Distribución exponencialEn promedio cada dos días llega un barco a determinado muelle. ¿Cuál es la probabilidad de que, después de la salida de un barco, pasen cuatro días antes de llegada del siguiente?Solución:Promedio por dos días = 1.0Promedio por dia = 0.5λ = promedio de periodo de cuatro días= 4x 0.5 = 2.0 P(T>4) e- = e =0.13534 (del apéndice 3)

Cada rollo de 500 metros de lámina de acero tiene dos defectos en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que, al desenrollar la lámina de acero, se encuentre el primer defecto en el primer segmento de 50 metros?Solución:Promedio por rollo de 500 metros = 2.0λ = promedio por segmento de 50 metros = P(T>50)=1- e- = 1-e =1-0.81873=0.18127 (del apéndice 3)