Variáveis Aleatórias O cálculo de probabilidades é mais expedito quando a cada acontecimento corresponde um número. Uma variável aleatória, X(.) é uma

Variáveis Aleatórias

O cálculo de probabilidades é mais expedito quando a cada acontecimento corresponde um número.

Uma variável aleatória, X(.) é uma função que a cada acontecimento do espaço de resultados, faz corresponder um valor real, x = X().

Variáveis aleatórias discretas

O contradomínio é um conjunto finito ou infinito numerável.

Variáveis aleatórias contínuas

O contradomínio é um conjunto infinito não numerável.

Tempo que um tentilhão se demora numa árvore de Clethra arborea = {t: t > 0} X() = {xi: xi > 0}

Temperatura média diária no Parque Florestal da Macela a três altitudes = {(t1, t2, t3): 0 < ti < 25} Y() = {ti: ti = max(t1, t2, t3)} Z() = {ti : ti = min(t1, t2, t3)}

Larvas de Mythimna unipuncta (lagarta das pastagens) capturadas ao acaso, parasitadas por Apanteles militaris (himenóptero parasitóide), por nemátodos, ou saudáveis = {(A, N, S): A+N+S = 1 ⋀ 0 ≤ A, N, S ≤ 1} Y() = {A+N (parasitadas)} Z() = {S (saudáveis)}


Vigor de Clethra arborea

= {Morta, Pouco, Razoável, Bom, Excelente}

X() = {1, 2, 3, 4, 5}

Gosto pela matemática

= {Nenhum, Pouco, Algum, Gande, Muito Grande}

X() = {1, 2, 3, 4, 5}

Género

= {Masculino, Feminino}

X() = {0, 1}


Variáveis aleatórias bidimensionais

Uma VA diz-se bidimensional se for uma função que a cada elemento de faz

corresponder um elemento de ℝ2.

O par ordenado (x, y) ℝ2,

A = {X(Yx, y)}

Generalizando, podem considerar-se variáveis aleatórias n-dimensionais.

Exemplo: captura aleatória de um tritão-de-crista num charco.

X - comprimento total do tritão.

Y - comprimento da cabeça do mesmo tritão.

Z - sexo do tritão capturado.


Função de Probabilidade Lançamento de um dado = {1, 2, 3, 4, 5, 6} X - número da face virada para cima P(X=1) = 1/6P(X=2) = 1/6 f(x) = P(X=x), função de probabilidade de X Domínio em ℝ e conjunto chegada [0,1]

X x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 x = 5 x = 6

f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Se f(x) é uma Função de Probabilidade de uma VA discreta X, que assume valores x1, x2, ..., xn, então a função f(x) é definida por P(X=x) se X = xf(x) =

0 se X ≠ x É uma função de probabilidade de uma VA discreta X, qualquer função f(.) com domínio em ℝ e conjunto chegada em [0,1], que satisfaça as seguintes propriedades: a) 0≤ f(x) ≤ 1 x ℝ n nb) Se n é finito então f(xi) = 1; Se n é infinito então f(xi) ----> 1 i=1 i=1


{

Variável aleatória X - Número de amostras de 1 m2 até que apareça uma lagarta da pastagem. x = 1, 2, 3, ..., n, ... P(X = x) = P N, N, N, ... , L - A amostragem pára quando surge a primeira lagarta.

p é a probabilidade de aparecer uma lagarta

1-p é a probabilidade de não aparecer lagarta P(X = x) = (1-p) x-1. p Calcular as probabilidades se p = 0,2


{

Função de distribuição

Qual a probabilidade de X assumir um conjunto de valores? Probabilidade que seja necessário fazer até 5 amostras para encontrar uma larva: P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 5= f(xi) i=1


Função de distribuição, F(.) de uma VA F(x) = P(X ≤ x) Tem conjunto de chegada em [0,1] e a) 0 ≤ F(x) ≤ 1 , x ℝ

b) F(x2) ≥ F(x1), x1, x2 com x2 > x1

c) lim F(x) = 0 e lim F(x) = 1

x - ∞ x + ∞

d) P( x1 < X < x2) = F(x2) - F(x1) , x1, x2 com x2 > x1


Função de distribuição Gráfico em degrau

O caso do lançamento do dado


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 1 2 3 4 5 6

Valores de X

Pro

bab

ilid

ade

Distribuição Binomial Provas de Bernoulli

p probabilidade de sucesso

q = 1 - p probabilidade de insucesso x sucessos em n provas f(x) = P(X=x) = nCx px.q n-x Distribuição de Poisson X pode tomar os valores 0, 1, 2, 3, .... f(x) = P(X=x) = x.e-/x!


{

Função de probabilidade conjunta da VA (X, Y) f(x,y) = P(X=x, Y=y) 1. 0 ≤ f(x, y) ≤ 1 (x,y) ℝ2

n m2. = f(xi, yj) = 1 i=1 j=1 Função de probabilidade marginal mde X, fX(x) = f(x, yj) j=1

nde Y, fY(y) = f(xi,y)

i=1


Função de probabilidade conjunta da VA (X, Y)


Tem

Cancro

Não tem

Cancro

Fumador 0,5 0,2 0,7

Não

Fumador

0,1 0,2 0,3

0,6 0,4 1

X

Y

Fu

nçã

o d

e p

rob

abil

idad

e m

arg

inal

de

X

Função de probabilidade marginal de Y

Variáveis aleatórias independentes X e Y são variáveis aleatórias discretas Se os acontecimentos X = x e Y = y são independentes para todo o x e todo o y, então X e Y são variáveis aleatórias independentes P(X=x, Y=y) = P(X=x) . P(Y=y) f(x,y) = f1(x) . f2(y)


ESPERANÇA MATEMÁTICA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

nE(X) = x1P(X=1) + ... + xnP(X=xn) = xiP(X=xi)

i=1 P(X=xi) = f(xi)

nE(X) = x1f(x1) + ... + xnf(xn) = xif(xi)

i=1 Quando as probabilidades são todas iguais E(X) = (x1 + x2 + ... + xn)/n x = esperança de X ou média de X


1. Se c é uma constante

E(cX) = cE(X) 2. E(X±Y) = E(X) ± E(Y) 3. X e Y independentes E(XY) = E(X) . E(Y) 4. E(c) = c 5. E[g(X)] = [g(x) . f(x)]


A VARIÂNCIAA VARIÂNCIA Var (X) = E[(X-)2] x 2

x 2 = E[(X-)2] = (xi-)2 f(xi) x 2 = E[(X-)2] = E(X2) - [E(X)]2 1. Se c é constante Var (cX) = c2 Var(X) 2. X e Y são independentes Var (X±Y) = Var(X) + Var(Y)


A VARIÂNCIAA VARIÂNCIA 3. Var (c) = 0 4. Variável aleatória padronizada X* = (X-)/ E(X*) = 0 Var(X*) = 1 5. X e Y não são independentes Var (X±Y) = Var(X) + Var(Y) ± 2 Cov (X,Y)


CovariânciaCovariância Cov (X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = E[(X-x)(Y-y)] n nE(XY) = [xi . yj . f(xi, yj)]

i=1 j=1 Se X e Y forem independentes, então Cov (X, Y) = 0 Coeficiente de correlação linear

_______________xy = Cov(X,Y) / √ Var(X) . Var(Y) = xy / (x y)


MomentosMomentos O momento central de ordem r de uma variável aleatória r = E[(X-)r] r = 0, 1, 2, ... A Variância é o segundo momento central nr = (xi-)r f(xi) i=1 O momento de ordem r em relação à origem r' = E[(X)r] r = 0, 1, 2, ...


Prova de Bernoulli

Experiência aleatória A, sucesso, com probabilidade p

Ā, insucesso, com probabilidade q =1 - p

= {A, Ā} Sucessão de provas de Bernoulli 1- Dois resultados possíveis e exclusivos;2- p é constante em todas as provas;3 - As provas são independentes. Função de probabilidade P(X=x) = f(x) = px (1-p)1-x , x = 0, 1 E(X) = p Var (X) = pq



amostrar

A distribuição binomial Conjunto finito de objectos que possuem determinada qualidade com probabilidade p Baseia-se numa sucessão de provas de Bernoulli X - número de sucessos em n provas de Bernoulli X b (x; n; p) Função de probabilidade f(x) = P(X=x) = nCx px.qn-x x = 0, 1, 2, ..., n n e p são os parâmetros E(X) = np Var (X) = npq


A distribuição multinomial Mais de dois resultados possíveis em n provas. 1. k resultados possíveis mutuamente exclusivos; 2. Cada um com uma probabilidade associada; 3. As provas são independentes. Xi - número de vezes em n, em que ocorre Ai Acontecimentos A1, A2, ..., Ak , com probabilidades p1, p2, ... , pk P(X1=n1, X2=n2, ..., Xk=nk) = [n!/(n1! n2! ... nk!)].(p1

n1 p2n2 ... pk

nk) Onde n e pi são os parâmetros


A distribuição binomial negativa Provas de Bernoulli X- número de provas a realizar até se obterem k sucessos x - número de provas k - número de sucessos Uma vez que a experiência termina com o kº sucesso, então há (k-1) sucessos em (x-1) provas. P(sucesso) = p X bn (x; k; p) P(X = x) = x-1Ck-1 pk.qx-k x = k, k+1, ... E(X) = k/p Var (X) = k(1-p)/p2


Na V.A. binomial x é o número de sucessos em n provas (n é fixo).

Na V.A. binomial negativa x é o número de provas e k é o número de sucessos (k é fixo).


Bioestatística

A variável aleatória binomial corresponde a uma repetição de n provas de Bernoulli.

Atenção !!

A distribuição geométrica ou de Pascal

Provas de Bernoulli X - número de provas a realizar até se obter um sucesso P(sucesso) = p P(X=x) = (1-p)x-1 p E(X) = 1/p Var (X) = (1-p)/p2

É um caso particular da distribuição binomial negativa


A Distribuição hipergeométrica Amostragem sem reposição X - número de sucessos ocorridos em n extracções sem reposição. X h (x; M; n; p) M - Número total de objectos; p - Probabilidade de sucesso; n - Número de extracções.

P(X=x) = [MpCx . M(1-p)Cn-x] / MCn

x = 0, 1, 2, ..., n E(X) = np Var (X) = npq(M-n)/(M-1)


A Distribuição de Poisson X pode tomar os valores 0, 1, 2, 3, .... f(x; ) = P(X=x) = x.e-/ x! O processo de Poisson Ocorrência de um acontecimento num intervalo de tempo ou de espaço. 1) Número de ocorrências em intervalos não sobrepostos são v.a. independentes; 2) O número de ocorrências depende da dimensão do intervalo e não da sua posição; 3) A probabilidade de se verificarem duas ou mais ocorrências é negligenciável. E(X) = Var(X) = A distribuição binomial converge para a distribuição de Poisson quando n e p 0 com = npq


Na v.a. de Poisson considera-se a ocorrência de acontecimentos em intervalos de espaço ou de tempo.

Ex: qual é a probabilidade de ter amostras com 0, 1, 2, 3, ... , n lagartas da pastagem.


Bioestatística

Na v.a. binomial considerava-se a ocorrência de sucessos (Ex: amostras com lagarta das pastagens) e de insucessos (Ex: amostras sem lagarta das pastagens).

Atenção !!

Documents

Variáveis Aleatórias O cálculo de probabilidades é mais expedito quando a cada acontecimento corresponde um número. Uma variável aleatória, X(.) é uma