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Lista de exercícios resolvidos com exemplos simples e intermediarios de integração no plano complexo. Para quem cursa a disciplina de variáveis complexas. Para visualizar este e mais exercícios de graça acesse: http://diegoalvez2015.blogspot.com.br/
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Integral Complexa Diego A. Oliveira
Exercıcios Resolvidos: Integral Complexa
Compilado dia 17/11/2013.
Este documento se encontra sujeito a constantes revisoes.
Integral de contorno
1. Calcule
∫c
f(z)dz com f(z) = z2, sob a curva C = {z = reiθ : 0 ≤ θ ≤ π}
Solucao:Pela definicao de integral complexa:
∫c
f(z)dz =
∫ π
0
(reiθ)2 · rieiθdθ = ir3∫ π
0
e3iθdθ =ir3e3iθ
3i
∣∣∣∣∣π
0
=ir3e3iπ
3i− ir3e3i·0
3i
=ir3e3iπ
3i− ir3
3i=
ir3
3i(e3iπ − 1)
Como e3πi = cos(3π) + isen(3π) e como sen(3π) = 0 e cos(3π) = −1 entao:
ir3
3i(e3iπ − 1) =
ir3
3i(−1− 1) = −2ir3
3i
2. Calcule
∫c
2x− y + ix2dz com 0 ≤ t ≤ 1
Solucao:
1
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Seja z(t) = t+ it entao:∫c
2x− y + ix2dz =
∫ 1
c
(t− it)(1 + i)dt =1 + 5i
6=
1
6+
5
6i
3. Seja C um contorno qualquer ligando z1 e z2, de forma que z(t), 0 ≤ t ≤ b
com z(a) = z1 e z(b) = z2 mostre que
∫c
1dz = z1 − z2
Solucao:∫c
1dz =
∫ b
a
1 · z′(t)dt =∫ b
a
z′(t)dt = z(t)
∣∣∣∣∣b
a
= z(b)− z(a) = z1 − z2 C.Q.D.
4. Calcule
∫c
(2x+ 3yi)dz onde c e a curva y = x2 + 1.
Solucao:A curva de integracao e:
Chamando x = t entao y = t+ 1, z = t+ (t2 + 1)i, dz = 1+ 2it com 1 ≤ t ≤ 2portanto:∫
c
(2x+ 3yi)dz =
∫ 2
0
(2t+ 3i(t2 + 1))(1 + 2it)dt = −32 +74
3i
5. Calcule
∫c
(x2+y2+3+(2xy+2)i)dz onde c e o segmento que liga os pontos
(1; 1) e (0; 1) no plano complexo.
Solucao:
2
Integral Complexa Diego A. Oliveira
A curva de integracao e:
Chamando x = t (com 0 ≤ t ≤ 1) entao z = t+ i e dz = 1dt, logo:∫c
(x2 + y2 + 3 + (2xy + 2)i)dz =
∫ 1
0
(t2 + 4(2t+ 2)i)dt =13
3+ 3i
6. Calcule
∫c
dz
z − 1onde c e o segmento que liga os pontos (0; 2) e (0; 1) no
plano complexo.
Solucao:A curva de integracao:
Note que sobre esse segmento a funcao f(z) =1
z − 1e analıtica num espaco
conexo, portanto pode ser integrada sem a necessidade de uma parametrizacao.
∫c
dz
z − 1=
∫ 2i
i
dz
z − 1= ln(z − i)
∣∣∣∣∣2i
i
3
Integral Complexa Diego A. Oliveira
= ln(2i− 1)− ln(i− 1) = ln
(2i− 1
i− 1= ln(1.5− 0.5i)
)onde ln(1.5− 0.5i) = ln(2.5) + i(5.96RAD)
7. Calcule
∫c
(z2 − z) onde c e o segmento que liga os pontos (0; 2) e (0; 1) no
plano complexo.
Solucao:Pelas equacoes de Cauchy Rieman f(z) = z2 − z e analıtica em todo o plano.
Prova
∂u
∂x= 2x− 1 ⇒ ∂v
∂y= 2x− 1
∂u
∂y= −2y ⇒ ∂v
∂x= 2y
onde u = x2 − x− y2 e v = 2xy − y
entao assim como no exemplo anterior podemos resolver a integral sem a ne-cessidade de parametrizacao.
∫c
(z2 − z)dz =
∫ 2i
i
= (z3
3− z2
2)
∣∣∣∣∣2i
i
= 0.5− 7
3i
8. Calcule
∫ 2+4i
1+i
z2dz.
a) Ao longo da parabola x = t, y = t2, com 1 ≤ t ≤ 2.
4
Integral Complexa Diego A. Oliveira
b) Ao longo da reta ligando 1 + i e 2 + i.c) Ao longo da reta ligando 1 + i a 2 + i e em seguida 2 + 4i
Solucao:Se x = t e y = t2 entao z = t+ it2 assim
∫ 2+4i
1+i
z2dz =
∫ 2
1
(t+ it)2(1 + 2it)dt =(t+ it2)3
3
∣∣∣∣∣2
1
=−86
3− 6i
Solucao:A reta que liga os pontos (1;1) e (2;4) no plano complexo tem equacao igual a
y = 3x− 2 onde para x = t e y = 3t− 2 temos z = t+ (3t− 2)i entao∫ 2+4i
1+i
z2dz =
∫ 2
1
(t+ 3ti− 2i)2(1 + 3i)dt = −86
3− 6i
O fato de (A) e (B) terem o mesmo resultado ocorre pois f(z) = z2 e analıticaem todo o plano e por isso seu resultado depende apenas do ponto inicial e final enao de sua trajetoria.
Solucao:O caminho de integracao e:
Dado pela integral ∫AB∪BC
z2dz =
∫AB
z2dz +
∫BC
z2dz
5
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Porem como o integrando e uma funcao analıtica podemos considerar apenaso ponto inicial e final.
assim ∫AB∪BC
z2dz =
∫ 2
1
z2dz = −86
3− 6i
9. Mostre que
∫c
dz
(z − a)ndz =
Solucao:Seja “c” um circulo qualquer de raio R centrado em z = a, e c1 uma circun-
ferencia que envolva a singularidades entao f(z) = (z − a)−n e analıtica dentro esobre a fronteira da regiao limitada pelo contorno “c” e “c1” de modo que podemosescrever: ∫
c
dz
(z − a)n=
∫ 2π
0
iReiθ
(Reiθ)ndθ
chamando u = Reiθ entao du = iReiθdθ logo se n = 1∫ 2π
0
iReiθ
(Reiθ)ndθ =
∫ 2π
0
du
un= ln(u)
∣∣∣∣∣2π
0
6
Integral Complexa Diego A. Oliveira
= ln(Re2πi)− ln(Rei0) = ln
(Re2πi
Rei0
)= ln(e2πi) = 2πi
Porem se n ≥ 2 entao:
=
∫ 2π
0
du
un=
u−n+1
−n+ 1
∣∣∣∣∣2π
0
=(Reiθ)−n ·Reiθ
1− n
∣∣∣∣∣2π
0
=Reiθ
(Reiθ)n(1− n)
∣∣∣∣∣2π
0
=1
(Reiθ)n−1(1− n)
∣∣∣∣∣2π
0
como e2πi ou e0i sao iguais a zero entao:
=1
(Rn−1)(1− n)− 1
(Rn−1(1− n)= 0
Finalizando a demonstracao.
10. Qual a solucao se da integral do exercıcio 9 para n = 0,−1,−2, ...?
Solucao:Para n = 0,−1,−2, ... o integrando sera 1, (z−a), (z−a2), ... que sao analıticas
em todo plano, logo pelo Teorema de Cauchy a integral e zero.
11. Calcule
∫|z|=1
dz
z − 3.
Solucao:Como z = 3 nao esta no interior do circulo |z| = 1 entao a integral e zero, pois
alem de ser analıtica dentro e sob o contorno de integracao e uma curva fechada.
7
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Formula integral de Cauchy
1. Usando a formula integral de Cauchy resolva:
a)
∫|z|=1
ez
(z − 2)2dz
b)
∫|z|=3
ez
(z − 1)(z − 2)dz
c)
∫|z|=2
z
(z − 1)2(z − 4)dz
Solucao:Como a singularidade ocorre apenas para z = 2 que nao pertence ao circulo
|z| = 1 entao a integral e zero, pois se trata de uma integral de uma funcao analıticasob uma curva fechada.
Solucao:As singularidades do integrando ocorrem para z = i e z = 2 ambos no interior
de |z| = 3. Portanto pela formula integral de Cauchy:∫|z|=3
ez
(z − 1)(z − 2)dz = 2πi
(ei
1− 2+
e2
(2− i)
)Solucao:O contorno considerado e o circulo de raio 2 onde apenas a singularidade z = 1
do integrando se encontra.
8
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Logo pela formula integral de Cauchy:∫|z|=2
z
(z − 1)2(z − 4)dz = 2πif ’(1) = 2πi
(1
1− 4
)=
2πi
3
2. Calcule
∫|z+i|=4
dz
z − 3
Solucao:Como z = 3 pertence ao interior de |z + i| = 4 usando a formula integral de
Cauchy ∫c
dz
z − 3= 2πif(3) = 2πi
onde f(z) = 1 e a funcao constante.
3. Calcule
∫c
cos(z)
z − πdz e
∫c
ez
z(z + 1)onde c e o circulo |z − 1| = 3.
Solucao: ∫c
cos(z)
z − πdz = cos(π) · 2πi = −2πi
e tambem
∫c
ez
z(z + 1)=
∫c
ez(1
z− 1
z + 1
)dz =
∫c
ez
zdz −
∫c
ez
z + 1dz = 2πi(1− e−1)
4. Calcule
∫c
5z2 − 3z + 2
(z − 1)3dz, onde c e uma curva simples qualquer envolvendo
z = 1.
Solucao:Pela formula integral de Cauchy (abaixo),
fn(a) =n!
2πi
∫c
f(z)
(z − a)n+1dz
9
Integral Complexa Diego A. Oliveira
com n = 2, f(z) = 5z2 − 3z + 2 entao f ′′(z) = 10 e portanto∫c
5z2 − 3z + 2
(z − 1)3dz = 10πi
10
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Integrais Improprias e o Teorema do Resıduo
As integrais complexas mais comuns e que podem ser resolvidas pelo Teoremado Resıduo tambem podem ser agrupadas em diferentes tipos o que facilita muitoa sua resolucao uma vez que cada tipo possui um contorno especıfico de integracaoou seu integrando possui uma caracterıstica particular que facilita o processo deintegracao.
TIPO UMAs integrais do tipo um sao as integrais da forma:∫ ∞
−∞f(x)dx
Onde:1 – As singularidades da funcao nao estao no eixo real.
2 – Existe um M, R e p > 1 tal que |f(z)| ≤ M
|z|p
1. Calcule
∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx.
Solucao:Primeiro observamos que a condicao (1) e verdadeira pois as singularidades de
f(z) nao estao no eixo real.Para mostrar a segunda condicao lavaremos em consideracao que z = Reiθ
onde R = |z| entao
|f(z)| =
∣∣∣∣∣ 1
1 +R4e4iθ
∣∣∣∣∣≤ 1
|R4e4iθ| − 1≤ 1
R4 − 1≤ 2
R4
onde M = 2 e p = 4, logo essa e uma integral do tipo I.
Nesses casos o contorno de integracao escolhido e sempre o semi-circulo noplano superior de raio infinto.
11
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Como as raızes de z4 + 1 = 0 ocorrem apenas para eπi/4, e3πi/4, e5πi/4, e7πi/4.Contudo apenas os dois primeiros estao dentro da regiao limitada pelo contorno,logo apenas eles serao levados em conta pelo Teorema do Resıduo.∫ ∞
−∞f(x)dx = 2πi[Res(f, eπi/4) +Res(f, e3πi/4)
onde
Res(f, eπi/4) =1
4(eπi/4)3, Res(f, e3πi/4 =
1
4(e3πi/4)3
E finalmente, ∫ ∞
−∞f(x)dx = 2πi
(− i
2√2
)=
π√2
Para o calculo do resıduo usaremos a formula
Res(f, z0) = limz→z0(z − z0)1
z4 + 1
12
Integral Complexa Diego A. Oliveira
TIPO DOISSao integrais onde f(x) = P (x)
D(x)onde gr(D(x))− gr(P (x)) ≤ 2 e D(x) nao tem
raızes racionais.
1. Calcule
∫ ∞
0
x2
(x2 + 1)(x2 + 4)dx
Solucao:Como o integrando e uma funcao par entao∫ ∞
0
x2
(x2 + 1)(x2 + 4)dx =
1
2
∫ ∞
−∞
x2
(x2 + 1)(x2 + 4)dx
Seja f(z) =z2
(z2 + 1)(z2 + 4)achamos as singularidades no plano complexo
para z = ±i e z = ±2i estabelecendo o contorno de integral abaixo1 vemosque as unicas singularidades que pertence a regiao do contorno sao z = 1 e z = 2iportanto serao os unicos levados em consideracao pelo Teorema do resıduo.
Assim pelo Teorema do Resıduo
1
2
∫ ∞
−∞
x2
(x2 + 1)(x2 + 4)dx =
1
2
∫ R
−R
x2
(x2 + 1)(x2 + 4)dx+
1
2
∫Cr
z2
(z2 + 1)(z2 + 4)dx
= πi(Res(f, i) +Res(f, 2i)) = πi
(i
6− i
3
)=
π
6
onde
1No caso de uma integral tipo dois sera usado sempre esse contorno.
13
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Res(f, i) = limz→i(z − i)z2
(z2 + 1)(z2 + 4)= i
6
Res(f, 2i) =(z − 2i)z2
(z2 + 1)(z2 + 4)= − i
3.
2. Calcule
∫ ∞
0
dx
x4 + 1.
Solucao:Como essa tambem e uma integral do tipo II o contorno de integracao sera
tambem o semi circulo situado no plano superior.
Onde z1 = eπ4i e z2 = e
3π4i sao as singularidades dentro do contorno, portanto
as unicas que serao levadas em conta pelo Teorema do resıduo.Como o integrando e uma funcao par entao:
∫ ∞
0
dx
x4 + 1=
1
2
∫ ∞
−∞
dx
x4 + 1=
2πi
2+ (Res(f, e
π4i) +Res(f, e
3π4i) =
π√2
4
Onde
Res(f, eπ4i) = lim
z→eπ4 i
(z − eπ4i)
z4 + 1= 1
4e−
3π4
Res(f, e3π4i) = lim
z→e3π4 i
(z − e3π4i)
z4 + 1= 1
4= e−
9π4i
3. Calcule
∫ ∞
−∞
x2
(x2 + 1)2(x2 + 2x+ 2)dx
Solucao:
14
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Os resıduos de f(z) existem para z = i e z = i − 1 sendo singularidades deordem 1 e 2 respectivamente.
Aplicando a formula oferecida pelo Teorema do Resıduo∫ ∞
−∞f(x)dx = 2πi(Res(f, z1) + ...+Res(f, zn))
onde z1, ..., zn sao as singularidades de f(z) e Res(f, zn) e igual
Res(f, zn) =1
(n− 1)!limz→zn
[(d
dz
)n−1
· ((z − zn)f(z))
]sendo n a ordem do resıduo teremos:
Res(f, i) = limz→i =z(z − i)2
(z + i)2(z − i)2(z2 + 2z + 2)=
9i− 12
100
Res(f, i− 1) = limz→(i−1) =z(z − (i− 1))
(z + i)2(z − i)2(z2 + 2z + 2)=
3− 4i
25
assim∫ ∞
−∞
x2
(x2 + 1)2(x2 + 2x+ 2)dx = 2πi
(9i− 12
100+
3− 4i
25
)=
7π
50
15
Integral Complexa Diego A. Oliveira
TIPO TRES
Sao integrais da forma
∫ 2π
0
F (senθ,cosθ)dθ onde F (senθ,cosθ) e uma funcao
racional de senθ ou cosθ.
1. Calcule
∫ 2π
0
dθ
5 + 3senθ.
Solucao:Para resolvemos as integrais do tipo III devemos transformar o integrando para
que este fique em funcao de z.
Considerando z = eiθ entao dz = ieiθdθ e como senθ = z−z−1
2ientao:∫ 2π
0
dθ
5 + 3senθ=
∫c
dzzi
5 + 3(z−z−1
2i
) =
∫c
2
3z2 + 10iz − 3dz
O fato de usarmos z = eiθ ao inves de z = |R|eiθ ocorre pois nesses casos deintegracao o contorno escolhido e sempre o circulo de raio um.
Onde agora aplicamos o Teorema do Contorno, para a singularidade z = − i3
∫ 2π
0
=
∫c
2
3z2 + 10iz − 3dz = 2πi
(limz→− i
3
(z +
i
3
)(2
3z2 + 10iz − 3
))=
π
2
16
Integral Complexa Diego A. Oliveira
perceba que o termo entre parenteses e o Res(f,− i3).
2. Mostre que
∫ 2π
0
cos3θ
5− 4cosθdθ =
π
12
Solucao:Realizado a transformacao chegamos a:∫ 2π
0
cos3θ
5− 4cosθdθ = − 1
2i
∫c
z6 + 1
z3(2z − 1)(z − 2)dz
onde aplicando o Teorema do Resıduo , com as singularidades em z = 0 e z = 12
de ordem 3 e 1 respectivamente, dentro do circulo unitario.
− 1
2i
∫c
z6 + 1
z3(2z − 1)(z − 2)dz = 2πi(Res(f, 0) +Res(f,
1
2)) =
π
12
onde
Res(f, 0) = 1
2!limz→0
[(ddz
)2 ((z − 0)3
(z6 + 1
z3(2z − 1)(z − 2)
))]= 21
8
Res(f, 12) = limz→ 1
2
((z − 1
2)
(z6 + 1
z3(2z − 1)(z − 2)
))= −65
24
3. Mostre que
∫ 2π
0
dθ
A+Bsenθ=
2π√A2 + (−B)2
, se A > |B|.
Solucao:Tomando como contorno de integracao a circunferencia de raio unitario e real-
izando a transformacao de θ para z temos
∫ 2π
0
dθ
A+Bsenθ=
∫c
2
Bz2 + 2Aiz −Bdz = 2πi
(Res
(f,
−A+√A2 −B2
Bi
))
=2π√
A2 −B2
17
Integral Complexa Diego A. Oliveira
cujos polos podem ser encontrados fazendo Bz2 + 2Aiz − B = 0 pelo metodode Viete para equacoes quadraticas fornecendo dois valores (z0 e z1), para assingularidades do integrando.
onde
Res
(f,
−A+√A2 −B2
Bi
)= limz→z0(z − z0)
(2
bz2 + 2Aiz −B
)=
1√A2 −B2i
Perceba que z0 =−A+
√A2 −B2
Bi pertence a circunferencia unitaria pelo
seguinte raciocınio
∣∣∣∣∣−A+√A2 −B2
Bi
∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣√A2 −B2 − A
Bi ·
√A2 −B2 + A√A2 −B2 + A
∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣ −B√
A2 −B2 + Ai
∣∣∣∣∣< 1
se A > |B|.
De modo analogo pode se verificar que Z1 (a segunda raiz), nao pertence aregiao da circunferencia unitaria.
18
Integral Complexa Diego A. Oliveira
TIPO QUATROSao conhecidas como integrais de Fourier e sao da forma:∫ ∞
−∞f(x)cos(x)dx ou
∫ ∞
∞f(x)sen(x)dx
Toda integral de Fourier pode ser escrita na forma geral como∫ ∞
−∞f(x)e±ikx
com k > 0. Tambem nesse tipo de integral as partes imaginarias e reais do inte-grando determinam toda a integral, e isso sera usado para resolucao dos proximosexercıcios.
1. Calcule
∫ ∞
0
cos(nx)
x2 + 1dx com n > 0.
Solucao:
Como cosθ = eiθ+e−iθ
2entao a parte real de cosθ = eiθ
2assim:∫ ∞
0
cos(nx)
x2 + 1dx =
1
2
∫ ∞
−∞
cos(nx)
x2 + 1dx =
1
4
∫ ∞
−∞
eizm
z2 + 1dz
Que como ja vimos e a forma de geral de uma integral de Fourier.Aplicando a formula do resıduo sobre o semi circulo no plano superior, (usamos
sempre essa regiao de integracao para as integrais do tipo IV), a seguir
19
Integral Complexa Diego A. Oliveira
entao
1
4
∫ ∞
−∞
eizm
z2 + 1=
2πi
4(Res(f, i)) =
π
4e−m
onde
Res(f, i) = limz→i
((z − i)
eizm
(z − i)(z + i)
)= e−m
2i
20
Integral Complexa Diego A. Oliveira
TIPO CINCOAs integrais do tipo cinco sao da forma∫ ∞
0
cos(tx2)dx e
∫ ∞
0
sen(tx2)dx
com t ∈ Z. Sao tambem conhecidas como integral de fresnel.Assim com as integrais do tipo IV as integrais de fresnel podem ser resolvidas
apenas levando em conta a parte imaginaria ou real do integrando. Isso implicaque tanto a funcao cos(tx2)dx como sen(tx2)dx podem ser substituıdas pela funcaoeitx
2que e a parte imaginaria e real respectivamente das funcoes citadas.
1. Mostre que as integrais
∫ ∞
0
cos(x2)dx e S =
∫ ∞
0
sen(x2)dx convergem para
12
√π2.
Solucao:
Seja C =
∫ ∞
0
cos(x2)dx e S =
∫ ∞
0
sen(x2)dx como suas partes imaginarias ou
suas parte reais do integrando definem toda a integral entao podemos substituirambos os integrandos por eix
2que e a parte real e imaginaria de cos(x2) e sen(x2)
respectivamente logo
I =
∫ ∞
0
eix2
dx ≡ Re
∫ ∞
0
cos(x2)dx ≡ Im
∫ ∞
0
sen(x2)dx
Para o calculo da integral I vamos considerar o seguinte contorno de integracao
21
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Como a funcao f(z) = eiz2e analıtica dentro e fora da regiao de contorno de
acordo com o Teorema de Cauchy podemos escrever∫c
eizdz =
(∫Cx
+
∫Cr
+
∫Cl
)eiz
2
dz = 0 (1)
Calculando a integral ao longo do caminho Cr chegamos a conclusao que seuresultado e zero. ∣∣∣∣∣
∫Cr
eiz2
dz
∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∫ π
4
0
eiR2(cos2θ+isen2θ)iReiθdθ
∣∣∣∣∣onde nessa passagem usamos z2 = R2(cos2θ + isen2θ).
∣∣∣∣∣∫ π
4
0
eiR2(cos2θ+isen2θ)iReiθdθ
∣∣∣∣∣≤∫ π
4
0
Re−R2sen2θdθ ≤∫ π
4
0
Re−R2 4θπ dθ =
π
4R
(1− e−R2
)
ou seja quando R → ∞ entao
∫Cr
ez2
dz → 0
Para Calcular as integrais ao longo do caminho Cx e Cl devemos levar emconte que o segmento Cx = [0;R] existe apenas sobre o eixo real portanto temparte imaginaria nula (z = x).∫
Cx
eiz2
dz =
∫ R
0
eix2
dx (2)
Ja o segmento Cl tem componentes tanto no eixo real como no imaginario epode ser escrito como z = re
π4i entao:∫
Cl
eitz2
dz =
∫ 0
R
ei(r2eiπ/2) · e
π4idr = e
π4i
∫ 0
R
ei(r2eiπ/2)dr (3)
como eπ2i = i entao:
eπ4i
∫ 0
R
e−r2dr = −1
2
√π
2− i
√π
2(4)
22
Integral Complexa Diego A. Oliveira
Como a integral ao longo de Cr tende a zero quando R tende ao infinito darelacao (1) e (4) implica que:∫ R
0
eix2
dx = −eπ4i
∫ 0
R
e−r2dr = eπ4i
√π
2=
1
2
√π
2+ i
√π
2(5)
∫ R
0
eix2
dx =1
2
√π
2+ i
√π
2
Como no nosso contorno de integracao (figura) R → ∞ e lembrando que aintegral ao longo de Cx tem parte imaginaria nula entao conclui-se que na verdade:∫ R
0
eix2
dx =1
2
√π
2
23
Integral Complexa Diego A. Oliveira
TIPO SEISNesse grupo estao as integrais que possuem pelo menos uma singularidade no
eixo real.
1. Calcule
∫ ∞
0
sen(x)
xdx.
Solucao:Assim como nos outros casos onde o integrando e funcao trigonometrica o valor
dessa integral pode ser obtido apenas considerando sua parte imaginaria ou realassim: ∫ ∞
0
sen(x)
xdx =
∫ ∞
0
eix
xidx
Note que sen(x) = Im = (eix).Como o integrando e uma funcao par entao:∫ ∞
0
eix
xidx =
1
2
∫ infty
−∞
eix
xidx
passando a funcao para o plano complexo e integrando ao longo do contorno(abaixo).
Entao
1
2
∫ ∞
−∞
eix
xidx =
1
2
∫ ∞
−∞
eiz
zidz =
1
2
(∫CR
+
∫[−R;−r]
+
∫Cr
+
∫[r;R]
)=
πi
2iRes((f, z0))
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Integral Complexa Diego A. Oliveira
Onde z0 e a singularidade da funcao f(z) = eiz
z.
Como Res(f, z0) = limz→z0 = 1 entao∫ ∞
−∞
eiz
zdz =
π
2
25