VARIOG

VARIOGRAM SEBAGAI ALAT ANALISIS STRUKTUR DATA LAPANGAN

1. PERHITUNGAN VARIOGRAM

Variogram dihitung dengan suatu rumus yang sederhana yaitu perbedaan

rata-rata antara dua titik conto dengan jarak tertentu. Oleh karena

perbedaan tersebut kemungkinan < 0 atau > 0, agar perbedaan rata-rata

tersebut selalu > 0 maka perlu diaplikasikan perhitungan statistik yang

berdasarkan pada perbedaan kuadrat.

Delfiner mendefinisikan bahwa perbedaan kuadrat tersebut diasumsikan

sebagai ekspektasi [z(xi) - z(xi+h)], sehingga definisi variogram menjadi :

2(h) = var [z(xi) - z(xi+h)]

dimana : 2(h) = variogramvar = varians.

1.1 Variogram eksperimental

Dari fungsi tersebut dapat didefinisikan semivariogram sebagai berikut :

(h) = i=1

N

z x z x

N

i i h( ) ( )

. (h)

2

2

dimana : (h) = (semi)variogram untuk arah tertentu dan jarak hh = 1d, 2d, 3d, 4d (d = jarak antar conto)z(xi) = harga (data) pada titik xi

z(xi+h) = data pada titik yang berjarak h dari xi

N(h) = jumlah pasangan data.Sebagai contoh data kadar emas (dalam ppm) di sepanjang urat dengan

jarak pengambilan conto (d) setiap 2 m :

variogram sebagai alat analisis struktur data lapangan - 1

harga 7 9 8 10 9 11 11 13 11 12 16 12 10 11 10 12 15 ppm ÃÄÄÅÄÄÅÄÄÅÄÄÅÄÄÅÄÄÅÄÄÅÄÄÅÄÄÅÄÄÅÄÄÅÄÄÅÄÄÅÄÄÅÄÄÅÄÄ´

lokasi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

(2) = [(7-9)2+(9-8)2+(8-10)2+(10-9)2+(9-11)2+.....+ (10-12)2+(12-15)2]/2x16 ppm2

= (4+1+4+1+4+0+4+4+1+16+16+4+1+1+4+9)/2x16 = 74/32 = 2,31ppm2

(4) = (1+1+1+1+4+4+0+1+25+0+36+1+0+1+25)/2x15 = 101/30 = 3,36 ppm2

(6) = (9+0+9+1+16+0+1+9+1+4+25+4+4+16)/2x14 = 99/28 = 3,54 ppm2

(8) = (4+4+9+9+4+1+25+1+1+1+25+0+16)/2x13 = 100/26 = 3,85 ppm2

(10) = (16+4+25+1+9+25+1+9+0+4+16+9)/2x12 = 119/24 = 4,96 ppm2

(12) = (16+16+9+4+49+1+1+4+1+0+1)/2x11 = 102/22 = 4,64 ppm2

(14) = (25+4+16+25+9+1+0+9+1+9)/2x10 = 99/20 = 4,95 ppm2

(16) = (16+9+64+4+1+0+1+1+16)/2x9 = 112/18 = 6,22 ppm2

(18) = (25+49+16+0+4+1+1+4)/2x8 = 100/16 = 6,25 ppm2

(20) = (81+9+4+1+1+1+16)/2x7 = 113/14 = 8,07 ppm2

(22) = (25+1+9+0+9+16)/2x6 = 60/12 = 5,00 ppm2

(24) = (9+4+4+4+36)/2x5 = 57/10 = 5,70 ppm2

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

h (m)

(h

) p

pm

2

Gambar 1. Variogram eksperimental dan varians populasi(garis mendatar, menunjukkan harga 5,25 ppm2)

Perhitungan di atas dilakukan pada pasangan conto yang harus tepat pada

jarak h dan tepat arah 00, sedangkan pada prakteknya sering dijumpai pola

pengambilan conto yang tidak reguler, untuk itu perlu diberikan suatu


tolerasi untuk kedua variabel tersebut, sehingga muncul istilah angle classes

(q±a/2) dan distance classes (h±Dh) (David, 1977).

Jadi semua titik conto yang berada pada search area yang didefinisikan

dengan angle classes (q ± a/2) dan distance classes (h±Dh) akan dianggap

sebagai titik-titik conto yang berjarak h dari titik xo pada arah termaksud (Gambar 1.2).

Gambar 2. Arah variogram (q), search area dengan angle of classes (q ±a/2) dan distance classes (h±Dh) (David, 1977)

Alogaritma perhitungan variogram adalah sebagai berikut :

· Setiap titik conto mempunyai kesempatan untuk menjadi titik origin (x i).

Titik-titik lainnya dihitung dengan perbedaan kuadratnya [z(xi) -


z(xi+h)]2. Jarak antara titik origin (xi) dan titik lainnya (xi+h) harus

berada pada distance classes (h±Dh). Jika titik xi+h berada di luar

daerah distance classes dan angle classes, maka perbedaan kuadrat

tidak dihitung. Demikian perhitungan ini berulang-ulang ke setiap titik

xi+h.

· Selanjutnya prosedur nomor satu titik-titik lainpun diberi kesempatan

menjadi titik origin xi.

· Untuk posedur 1 dan 2 hitung jumlah pasangannya N(h) yang memenuhi

syarat di atas dan juga jumlahkan secara kumulatif semua perbedaan

kuadratnya S[z(xi)-z(xi+h)]2. Dengan rumus di atas, maka dapat

dihitung (semi)variogram untuk jarak pasangan h=1d.

· Variogram untuk jarak pasangan h selanjutnya (2d, 3d, 4d, ... dst.)

lakukan kembali dengan prosedur 1 sampai dengan 3. Dengan

demikian akan didapat hasil perhitungan variogram untuk setiap jarak

h.

· Plot grafik variogram dengan sumbu X adalah h sedangkan sumbu Y nya

adalah harga variogram untuk jarak h yang bersangkutan.

1.2 Variogram teoritis

Experimental variogram khususnya sangat berguna untuk menganalisis

stuktur suatu endapan bahan galian dan tidak dapat langsung digunakan

dalam perhitungan cadangan. Untuk itu perlu adanya model variogram

teoritis untuk difitkan dengan eksperimental variogram. Model teoritis ini

diekspresikan dengan suatu model matematis.

Model matematis yang banyak digunakan dan umumnya terjadi pada

endapan mineral adalah model sferis (David, 1977, Barnes, 1979). Fungsi

matematisnya berbentuk polinomial sederhana, dimana variogram akan


mencapai suatu nilai yang tetap (finite) untuk h yang tidak terbatas. Nilai

finite ini dinamakan sill (Gambar 1.3).

Gambar 3. Model variogram sferis

(h) = C0 + C [3/2 h/a - 1/2 (h/a)3] h ó a

(h) = C0 + C h > a

(h) = 0 h = 0

dimana : a = range of influence (daerah pengaruh)C0 = nugget varianceC0+C = sill = 2 = varians populasi

Bila ditarik garis tangent dari origin (0), maka garis tersebut akan me-

motong sill pada posisi 2/3 a dan ini dapat digunakan untuk memperkirakan

harga range of influence.


1.3 Fitting variogram

Ada dua metoda yang umumnya digunakan untuk memfit variogram

eksperimental dengan variogram teoritisnya yaitu metoda visual dan metoda

least square. Dengan metoda visual (manual) biasanya sudah cukup

memuaskan, dan banyak digunakan oleh para ahli geostatistik (David,

1979). Karena sense yang banyak berperan dalam melakukan fitting

tersebut, maka dalam pekerjaan ini pengalaman akan sangat menentukan

kualitas fitting. Tujuan utama dari fitting ini adalah untuk mengetahui

parameter geostatistik seperti a, C, dan C0.

Berikut ini beberapa pedoman penting dalam melakukan fitting :

· Variogram yang mempunyai pasangan conto yang sangat sedikit agar

diabaikan.

· Nugget variance (C0) didapat dari perpotongan garis tangential dari

beberapa titik pertama variogram dengan sumbu Y.

· Sill (C0+C) kira-kira sama dengan atau mendekati varians populasi. Garis

tangensial di atas akan memotong garis sill pada jarak 2/3 a,

sehingga selanjutnya dapat dihitung harga a (David, 1977, Clark,

1979, Leigh and Readdy, 1982)

· Interprestasi nugget variance untuk variogram dengan sudut toleransi

1800 (variogram rata-rata) akan sangat membantu untuk

memperkirakan besarnya nugget variance (David, 1979)


· Nugget variance diambil dari multiple variogram (dalam berbagai arah).

Dalam multiple variogram, best spherical line sebaiknya lebih mendekati

variogram yang mempunyai pasangan conto yang cukup.


Documents

VARIOG