Variáveis de Estado e Equações de Estado Desenvolvimento ......observe que, segundo o modelo, h afeta T! (e também Fi1, Fi2 afetam T) equações adicionais (constitutivas) equações

Variáveis de Estado e Equações de EstadoDesenvolvimento de Modelos Matemáticos

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Roteiro

1 Variáveis de Estado e Equações de EstadoVariáveis de EstadoEquações nas Variáveis de Estado

2 Desenvolvimento de Modelos MatemáticosEstado EstacionárioComportamento Dinâmico

3 ExemplosTanque de NívelTanque de MisturaTanque de Mistura TérmicaReator Bioquímico

4 Atividades Complementares



Variáveis e Equações de Estado

A caracterização do comportamento de um sistema requer:1 quantidades dependentes fundamentais: descrevem o estado

do sistema2 equações nas variáveis fundamentais: descrevem como o

estado do sistema varia com o tempo e no espaço(comportamento dinâmico e no espaço)



Variáveis de Estado

Quantidades fundamentais de interesse na Engenharia Química:

massa massa específica, pressãoenergia ⇐= concentração, vazão

momento temperatura, etcnem sempre podem ser medidas

medidas direta e convenientemente paraconvenientemente determinar as

quantidadesfundamentais

VARIÁVEISDE ESTADO



Equações de Estado

Relacionam as variáveis de estado (variáveis dependentes) com otempo e a posição (variáveis independentes):

princípio de conservação EQUAÇÕES−→ DE

(massa, energia, momento) ESTADO

EQUAÇÕES E modelo matemáticoVARIÁVEIS −→ doDE ESTADO processo



Equações de Estadocontinuação

Como resultado obtém-se:comportamento dinâmico: equações diferenciais (+ algébricas)comportamento estacionário: equações algébricas (+ diferenciais:

posição)

Na representação de muitos processos químicos com equações e va-riáveis de estado (Espaço de Estados), todas as equações diferenciaisordinárias não-lineares do modelo matemático do sistema são equa-ções de primeira ordem. O número dessas equações diferenciais éigual a ordem do sistema.



Modelos Matemáticos

O projeto de controladores requer uma representação matemática dosfenômenos físicos e químicos envolvidos.Portanto, a modelagem é uma etapa muito importante no controle deprocessos.A modelagem pode ser realizada através dos seguintes enfoques:1. experimental: perturba-se o processo já existente e observa-se o

seu comportamentodispendioso (pode requerer um grande número de experimentos)lento e cansativo, podendo ser perigososistema pode ainda não existirvalidade limitada (válido somente para as condições dosexperimentos)pouca informação física do processo (parâmetros com pouco ounenhum significado físico)modelo é fácil de construir e usar

eqs. de diferençaModelos Matemáticos (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 7 / 40


Modelos Matemáticoscontinuação

2. teórico: o comportamento é obtido a partir da aplicação dosprincípios básicos da engenharia química(termodinâmica, cinética, fenômenos de transporte, etc)

valores dos parâmetros físicos desconhecidos ou com errosprocesso muito complexo (dificuldade na aplicação dos princípiosbásicos)faixa ampla de aplicação

balanços de quantidade de movimento,energia e massa

⇓eqs. diferenciais e algébricas (DAE)

entrada| {z }através dasfronteiras do

sistema

+

geração| {z }dentro dosistema

-

saída| {z }através dasfronteiras do

sistema

-

consumo| {z }dentro dosistema

=

acúmulo| {z }dentro dosistema

3. híbrido: teoria associada ao experimentoModelos Matemáticos (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 8 / 40


Modelos Matemáticosestudo de caso

Tanque de Aquecimento com Agitação

quantidades fundamentais1 massa total de líquido no tanque2 energia total no tanque

variáveis de estado1 massa total: m = ρV = ρAh2 energia total: E = U + K + P

tanque estático: dKdt = dP

dt = 0 → dEdt = dU

dtpara líquidos: dU

dt ≈dHdt com

H – entalpia total eH = ρVCp(T − Tref) = ρVCpTonde Cp – calor específico e Tref –temperatura de referência: Tref = 0

3 variáveis de estado: h e T

Estudo de CasoF i 1

T i 1

F T,T

F s t

Q h

C o n d e n s a d o

V a p o r

F i 2

T i 2

T s t



Modelos Matemáticosestudo de caso (continuação)


parâmetros constantes: ρ, A, Cp

equações de estado1. balanço de massa total (BM)

dmdt

= ˙mi1 + ˙mi2− m

d(ρAh)

dt= ρFi1 + ρFi2− ρF

Adhdt

= Fi1 + Fi2− F

Estudo de CasoF i 1

T i 1

F T,T

F s t

Q h

C o n d e n s a d o

V a p o r

F i 2

T i 2

T s t

observe que, segundo o modelo, T não afeta h! (e também Ti1, Ti2 eFst não afetam h)





equações de estado2. balanço de energia total (BE)

dEdt

= ˙Ei1 + ˙Ei2 + Q − E

d(ρAhCpT )

dt= ρCpFi1Ti1+ρCpFi2Ti2+Q−CpρFT

Ad(hT )

dt= Fi1Ti1 + Fi2Ti2 +

QρCp

− FT

Estudo de CasoF i 1

T i 1

F T,T

F s t

Q h

C o n d e n s a d o

V a p o r

F i 2

T i 2

T s t

aplicando a regra da multiplicação: d(hT )dt = T dh

dt + h dTdt

AhdTdt

= Fi1Ti1 + Fi2Ti2 +Q

ρCp− FT −Fi1T − Fi2T + FT︸︷︷︸

BM:−TAdh/dt





AhdTdt

= Fi1(Ti1− T ) + Fi2(Ti2− T ) +Q

ρCp

observe que, segundo o modelo, h afeta T ! (e também Fi1, Fi2afetam T )

equações adicionais (constitutivas)equações que expressam o equilíbrio termodinâmico, taxas dereação, transportes de calor, massa e quantidade de movimento,etc:

transporte de energia: Q = UAt(Tst − T ), com UAt = aFstb

transporte de quantidade de movimento: F = k√

h





equações de estadoApós a inclusão das equações constitutivas tem-se:

dhdt

= −k√

hA

+Fi1A

+Fi2A→ BM

dTdt

= −1A

Fi1 + Fi2 + aFstb

ρCp

h

T +1A

Fi1Ti1h

+1A

Fi2Ti2h

+1A

aFstb

ρCp

Tsth→ BE



Estado Estacionário ("Steady-State")

Solução das equações (algébricas) obtidas do modelo dinâmicofazendo-se x = 0:

0 = f(xs, us)

ondef é linear: solução única e trivialf é não-linear:

solução pode não ser única (múltiplos estados estacionários →CSTR)pode exigir métodos numéricos adequados



Estado Estacionário ("Steady-State")graus de liberdade

Análise do Número de Graus de Liberdade

O número de graus de liberdade disponível para a solução de umconjunto de equações é igual a

f = V(ariáveis) − E(quações)

Pode-se ter:f < 0: em geral não há solução para o modelof = 0: o modelo pode ser resolvido para as n variáveisdependentes xi . Normalmente, as m entradas são especificadas.f > 0: infinitas soluções são possíveis



Estado Estacionário ("Steady-State")estudo de caso


equações estacionárias

hs =1k2 (Fi1s + Fi2s)

2

Ts =1

Fi1s + Fi2s + aFstbs

ρCp

(Fi1sTi1s + Fi2sTi2s +

aFstbs

ρCpTsts

)



Estado Estacionário ("Steady-State")estudo de caso (continuação)


número de graus de liberdade

V: Fi1s, Ti1s, Fi2s, Ti2s, Fsts, Tsts, hs, Ts = 8E: f1(xs, us) = 0, f2(xs, us) = 0 = 2

(−)

f = 6

especificando Fi1s, Ti1s, Fi2s, Ti2s, Fsts, Tsts → f = 0,calcula-se hs, Ts





parâmetros:k = 2 · 10−1 m5/2/mina = 3, 556 · 103 kcal/min2/3.m.oCb = 1/3ρ = 1 · 103 kg/m3

Cp = 1 kcal/kg.oCA = 1 m2

especificações:Fi1s = 1 · 10−1 m3/minTi1s = 18 oCFi2s = 1 · 10−1 m3/minTi2s = 20 oCFsts = 3 · 10−2 m3/minTsts = 120 oC

Como resultado do sistema de equações:hs = 1m e Ts = 104, 5oC





comportamento estacionário

∆Fi1s = 10% Fi1s

{∆hs = 0, 1025m∆Ts = −0, 6580oC

∆Fsts = 50% Fsts

{∆hs = 0m∆Ts = 1, 6898oC

∆Fi1s = −10% Fi1s

{∆hs = −0, 0975m∆Ts = 0, 6681oC

∆Fsts = −50% Fsts

{∆hs = 0m∆Ts = −3, 2763oC

Sobre não-linearidades:são observadas em ambas as variáveis h e T , para ambas asperturbações em Fi1 e Fstquanto maior a amplitude da perturbação, mais a não-linearidadese destaca



Estado Dinâmico

Resolução do modelo dinâmico conhecendo-se parâmetros econdições iniciais.


modelo dinâmico

dhdt

= −k√

hA

+Fi1A

+Fi2A

dTdt

= −1A

Fi1 + Fi2 + aFstb

ρCp

h

T +1A

Fi1Ti1h

+1A

Fi2Ti2h

+1A

aFstb

ρCp

Tsth

condições iniciais: h(t = 0) = hs, T (t = 0) = Ts

parâmetros: ρ, A, Cp, k , a, b



Estado Dinâmicoestudo de caso


0 10 20 30 40 50 600.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

Degrau em Fi1 (± 10%)

t (min)

h (

m)

degrau +degrau −

0 10 20 30 40 50 60103.5

104

104.5

105

105.5

t (min)

T (

oC

)

degrau +degrau −



Estado Dinâmicoestudo de caso (continuação)


0 10 20 30 40 50 600.9

0.95

1

1.05

1.1

Degrau em Fst (± 50%)

t (min)

h (

m)

degrau +degrau −

0 10 20 30 40 50 60101

102

103

104

105

106

107

t (min)

T (

oC

)

degrau +degrau −



Estado Dinâmicoestudo de caso (continuação)

Sobre não-linearidades:as não-linearidades ficam também evidentes a partir da análisedinâmica do sistema, principalmente com uma maior amplitudeda perturbação




Exemplo: Tanque de NívelObtenha o modelo de um tanque de nível de seção reta uniforme deárea A, ao qual é adaptado uma resistência ao fluxo, tal como umaválvula. Suponha que a vazão volumétrica F , através da resistência,se relaciona com a altura de líquido h pela relação F = k

√h. Uma

vazão volumétrica Fo de líquido e massa específica constante ρalimenta o tanque.




Exemplo (continuação)

F o

h( A ) hkF =

Figura: Tanque de nível




Solução

Balanço de Massa Global

dmdt

= mo − m

d(ρAh)

dt= ρFo − ρF

ρAdhdt

= ρFo − ρF

dhdt

=Fo

A− F

A




Equações Auxiliares: fenômenos de transporte

F = k√

h

Modelo Não-Linear: equação de estado (espaço de estado)

dhdt

=Fo

A− k

√h

A, h(0) = hs

onde k√

h é um termo não-linear.




Exemplo: Tanque de MisturaObtenha o modelo de um tanque de mistura de volume constante V ,do qual uma corrente contendo sal dissolvido escoa com uma vazãovolumétrica constante F . Uma corrente de líquido com concentraçãode sal Co alimenta o tanque.





F

C( V )

C o

FC

Figura: Tanque de mistura




SoluçãoBalanço de Massa por Componente: sal

dmdt

= mo − m

d(VC)

dt= FCo − FC

VdCdt

= F (Co − C)

dCdt

=FV

(Co − C)

Modelo Linear: equação de estado (espaço de estado)

dCdt

=FV

(Co − C), C(0) = Cs




Exemplo: Tanque de Mistura TérmicaObtenha o modelo de um tanque de mistura térmica de volumeconstante V , do qual uma corrente escoa com uma vazão volumétricaconstante F . Uma corrente de líquido com temperatura To alimenta otanque.





F

T( V )

T o

FT

Figura: Tanque de mistura térmica




Solução

Balanço de Energia Totalconsiderando

energia total: E = U + K + Ptanque estático: dK

dt = dPdt = 0 → dE

dt = dUdt

para líquidos: dUdt ≈

dHdt com H – entalpia total e

H = ρVCp(T − Tref) = ρVCpTonde Cp – calor específico e Tref – temperatura de referência:Tref = 0




Balanço de Energia Total

dEdt

= Eo − E

d(ρVCpT )

dt= ρCpFTo − ρCpFT

ρVCpdTdt

= ρCpF (To − T )

dTdt

=FV

(To − T )

Modelo Linear: equação de estado (espaço de estado)

dTdt

=FV

(To − T ), T (0) = Ts




Exemplo: Reator BioquímicoObtenha o modelo de um reator bioquímico tanque-contínuo com mis-tura perfeitamente agitada, isotérmico e com volume constante. Umacorrente com substrato puro alimenta o reator.

FS f

V F SX




Solução

Balanço de Massa por Componente: biomassa

dmX

dt= mXf − mX + RX

dVXdt

= FXf − FX + VrX

dXdt

=FV

Xf −FV

X + rX

Definindo D = F/V , taxa de diluição, e considerando nenhuma bio-massa na alimentação, Xf = 0, tem-se

dXdt

= −DX + rx




Balanço de Massa por Componente: substrato

dmS

dt= mSf − mS − RS

dVSdt

= FSf − FS − VrS

dSdt

=FV

Sf −FV

S − rS

dSdt

= (Sf − S)D − rS




Equações Auxiliares: cinética bioquímica

rX = µX , com µ = µmáxSkm+S+k1S2 – inibição por substrato

Y =rX

rS, com Y = biomassa produzida

substrato consumido → rS = rXY

Modelo Não-Linear: equações de estado (espaço de estado)

dXdt

= (µ− D)X , X (0) = Xs

dSdt

= (Sf − S)D − µXY

, S(0) = Ss

com µ =µmáxS

km + S + k1S2

apresentando vários termos não-lineares: µX , S2.



Leitura I

Leitura Complementar

Próxima aula:

apostila do Prof. Wua, capítulos 8 e 9 (volume I).

livro do Stephanopoulosb, capítulos 8 e 9.

livro do Marlinc , capítulo 4.

livro do Seborg et al.c , capítulo 3.

aKwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB. Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, 2002.

bStephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory and Practice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA,1984.

cMarlin, T. E., Process Control. Designing Processes and Control Systems for Dynamic Performance. 2nd Edition, McGraw-Hill,New York, USA, 2000.

d Seborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Doyle III, F. J., Process Dynamics and Control. 3rd Edition, John Wiley, New York,USA, 2011.



Vídeos I

e-Lessons Prof. MarlinModelling and Analysis for Process Control - Part I. Laplace Transform Solutionof Differential EquationsModelling and Analysis for Process Control - Part II. Transfer Functions and BlockDiagrams


http://www.pc-education.mcmaster.ca/PC_Ed%20eLearn/cc-Chap_04_Part_I_Marlin_eLearn%20(Web)/index.html

http://www.pc-education.mcmaster.ca/PC_Ed%20eLearn/cc-Chap_04_Part_I_Marlin_eLearn%20(Web)/index.html

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