L’equazione di van der Pol.

Balthazar van der Pol (1889-1959) era un ingegnere olandese che, soprattutto negli anni fra il1920 e il 1930 studio le oscillazioni di circuiti elettronici realizzati con valvole a vuoto, non solosperimentalmente ma anche teoricamente, proponendo e analizzando appropriati modelli mate-matici. Il suo nomee rimasto legato, in particolare, a una equazione differenziale non lineare delsecondo ordine del tipo

d2X(θ)dθ2 +µ[X(θ)2−1]

dX(θ)dθ

+X(θ) = 0 (1)

nella qualeµ e un parametro reale,θ la variabile indipendente, adimensionale, che possiamointerpretare come un tempo normalizzato o un angolo,X = X (θ) la variabile dipendente, adimen-sionale, che possiamo interpretare come il rapporto fra una grandezza elettrica (corrente, tensione. . . ) e una grandezza costante di normalizzazione ad essa omogenea. L’esistenza di soluzioni pe-riodiche dell’equazione di van der Pol puo essere riconosciuta utilizzando metodi di integrazionenumerica come negli esempi, realizzati conMathematica, che sono riportati nel filevdp0.pdf.

Figura 1: Risoluzione dell’equazione di van der Pol ottenuta per integrazione numerica con unvalore diµ ”piccolo”.

Figura 2: Risoluzione dell’equazione di van der Pol ottenuta per integrazione numerica con unvalore diµ ”grande”.

Prima di interpretare con un circuito l’equazione di van der Pol,e utile per quanto segue,anche come esempio delle analisi da svolgere in casi piu complessi, un breve studio dell’equazionestessa. Comee noto, lo stato di riposo si ottiene imponendo l’annullarsi delle derivate rispetto altempo e in questo semplice caso si riconosce subito che il valore di riposo della variabileX eXR =0. Nel seguito ci converra, generalmente, scrivere le equazioni differenziali dei circuiti usandocome variabili le variazioni delle grandezze fisiche rispetto al loro valore di riposo: indicandole variazioni con lettere minuscole si dovrebbe quindi porreX = XR + x e ricavare l’equazionecui deve soddisfarex. Nel semplice caso presente risulta ovviamentex = X e l’equazione inx eidentica alla 1. La corrispondente equazione linearizzata nell’intorno dello stato di riposo si ricava

1

considerando ”piccole” le variazioni, cioe trascurandone le potenze superiori alla prima:

d2xdθ2 −µ

dxdθ

+x = 0 (2)

Si sa che l’integrale generale di una siffatta equazionee

C1ep1θ +C2ep2θ (3)

conC1 eC2 costanti arbitrarie ep1,2 radici dell’equazione caratteristica:

s2−µ s+1 = 0 (4)

cioe

p1,2 =µ±

√µ2−4

2(5)

Si osservi quindi che:

1. perµ< 0 lo stato di riposoe stabile,

2. perµ> 0 lo stato di riposoe instabile ede questo che ci interessa per gli oscillatori,

3. per 0< µ < 2 le radici sono complesse coniugate con parte reale positiva e quindi lesoluzioni dell’equazione linearizzata hanno andamento oscillante con ampiezza crescenteesponenzialmente,

4. perµ> 2 le radici sono reali positive e quindi le soluzioni dell’equazione linearizzata hannoandamento che tende esponenzialmente all’infinito.

Gli esempi di soluzione numerica dell’equazione di van der Pol mostrati sopra corrispondono, nel-l’ordine, ai casi 3. e 4.; si noti come la forma d’onda risulti, a regime, quasi sinusoidale nel primocaso e dotata di rapide variazioni (scatti) nel secondo. Naturalmente, al variare del parametro siottengono tutti i casi intermedi, ma nelle applicazioni interessano normalmente soltanto questi duetipi di forme d’onda e si usa quindi distinguere gli oscillatori periodici in due categorie:oscilla-tori sinusoidali, caratterizzati dall’innesco oscillante, eoscillatori di rilassamento, caratterizzatidall’innesco esponenziale delle oscillazioni.

2

Definiamo l'equazione di van der Pol:

vanderpol := x@θD − µ H1 − x@θD2L x′@θD + x′′@θD;

Procuriamoci una soluzione numerica per un valore "piccolo" del parametro m, in un certo intervallo e con certe condiz-ioni iniziali:

Flatten@NDSolve@8Hvanderpol ê. µ → 0.5L == 0, x@0D == 0, x′@0D == 0.01<,

x, 8θ, 0, 1000<, MaxSteps → 50000DD

sol1 = x@θD ê. %;

8x → InterpolatingFunction@880., 1000.<<, <>D<

Vediamone una prima parte:

Plot@Evaluate@sol1D, 8θ, 0, 75 <, PlotRange → All,

PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, PlotPoints → 250D;

10 20 30 40 50 60 70

-2

-1

1

2

Si nota un transitorio oscillante con tendenza a portarsi su un regime di forma simile a una sinusoide. Una valutazione

approssimata dello spettro di ampiezza si può ottenere applicando la DFT a un frammento abbastanza lungo, lontano dal

transitorio iniziale e campionato abbastanza frequentemente:

T = 900; Tc = Tê 1024;

xlist = Table@sol1, 8θ, 50, 50 + T − Tc, Tc<D;

L = Length@%D

1024

ftlist = 2 Take@Abs@Fourier@xlist, FourierParameters → 81, −1<DD, 82, L ê2 + 1<DêL;

ListPlot@ftlist, PlotJoined → True, PlotRange → All,

PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, AxesOrigin −> 80, Automatic<D;

Max@ftlistD

Flatten@Position@ftlist, %DD@@1DD

ω1 = % 2. πêT

100 200 300 400 500

0.5

1

1.5

2

1.9957

141

0.984366

Si nota una fondamentale di ampiezza circa 2 con pulsazione w1 di poco inferiore all'unità, e una piccola terza armon-

ica. Una più accurata valutazione della pulsazione fondamentale si può ottenere calcolando numericamente il periodo

come differenza fra due successivi attraversamenti dell'asse q=0:

FindRoot@sol1 � 0, 8θ, 40 π<D

FindRoot@sol1 � 0, 8θ, 42 π<D

ω0 =2 π

��������������������������������������������������Hθ ê. %L − Hθ ê. %%L

8θ → 124.613<

8θ → 130.994<

0.984721

Confrontiamo infine la soluzione di regime con una sinusoide di ampiezza 2 e pulsazione w0:

uno = Plot@sol1, 8θ, 150, 200<, PlotRange → All,

PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 1D<, PlotPoints → 250, DisplayFunction → IdentityD;

due = Plot@Evaluate@2 Sin@ω0 θDD, 8θ, 150, 200<, PlotRange → All,

PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, PlotPoints → 250, DisplayFunction → IdentityD;

Show@8uno, due<, DisplayFunction → $DisplayFunction, Frame → TrueD;

150 160 170 180 190 200

-2

-1

0

1

2

Con un valore "grande" del parametro:

Flatten@NDSolve@8Hvanderpol ê. µ → 10.L == 0, x@0D == 0, x′@0D == 0.01<,

x, 8θ, 0, 1000<, MaxSteps → 50000DD

sol2 = x@θD ê. %;

8x → InterpolatingFunction@880., 1000.<<, <>D<

Plot@Evaluate@sol2D, 8θ, 0, 75 <, PlotRange → All,

PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, PlotPoints → 250D;

10 20 30 40 50 60 70

-2

-1

1

2

La forma d'onda va rapidamente a regime ed è dotata di rapide transizioni ("scatti") intercalate da andamenti più

"rilassati".

Vediamone lo spettro di ampiezza, come nel caso precedente:

T = 900; Tc = Tê 1024;

xlist = Table@sol2, 8θ, 50, 50 + T − Tc, Tc<D;

L = Length@%D

1024

ftlist = 2 Take@Abs@Fourier@xlist, FourierParameters → 81, −1<DD, 82, L ê2 + 1<DêL;

ListPlot@ftlist, PlotJoined → True, PlotRange → All,

PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, AxesOrigin −> 80, Automatic<D;

100 200 300 400 500

0.5

1

1.5

2