VỀ ĐA THỨC JONES CỦA NÚT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

***

DƯ THÀNH HƯNG

VỀ ĐA THỨC JONES CỦA NÚT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

***

DƯ THÀNH HƯNG

VỀ ĐA THỨC JONES CỦA NÚT

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số : 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. VŨ THẾ KHÔI

Hà Nội - 2012

Mục lục

Mục lục i

Lời cảm ơn ii

Lời mở đầu iii

Chú dẫn lịch sử v

1 Kiến thức chuẩn bị 11.1 Nút và Link . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Đẳng luân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Biểu đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Các phép dịch chuyển Reidemeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Sự nhân tử hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Đồ thị phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Đa thức Jones 182.1 Ngoặc Kauffman và đa thức Kauffman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Đa thức Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Đa thức Jones của link thay phiên 33

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 44

i

Lời cảm ơn

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS.Vũ Thế Khôi (Viện Toán Học). Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giảiđáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biếtơn sâu sắc đến người thầy của mình.

Tôi xin cảm ơn phòng Hình học và Tô pô, Viện Toán học, đã giúp đỡ tạo điều kiệnrất nhiều cho tôi hoàn thành khoá học này. Và tôi cũng xin cám ơn nhóm seminar củaphòng Hình học và Tô pô, Viện toán học, đã giúp tôi bổ sung, củng cố các kiến thức vềLý thuyết nút.

Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoahọc Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạykhóa cao học 2007-2009, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốtquá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường.

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện,động viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.

Hà nội, tháng 7 năm 2012Người viết luận văn

Dư Thành Hưng.

ii

Lời mở đầu

Các nút (tổng quát hơn là các link) là những thứ hết sức phổ biến trong cuộcsống hằng ngày, được quan sát và nghiên cứu ở các mức độ và góc nhìn khác nhau.Chúng có thể được ngắm nhìn như là những sản phẩm tinh xảo của các nghệ nhân,hoặc như là giới hạn cuối cùng của sự phức tạp hình học, những cái mà có lẽ chẳng baogiờ gặp trong cuộc sống. Nghiên cứu các nút cũng có thể được gán cho những mục đíchứng dụng, chẳng hạn như trong sinh học phân tử, trong Vật lý thống kê, hay trong Lýthuyết trường lượng tử Tôpô. Nhưng cơ bản nhất, Lý thuyết nút thuộc về Tôpô hìnhhọc. Mục đích của các nghiên cứu Tôpô của các nút xuất phát từ cố gắng tìm hiểu cáctính chất hình học của không gian ba chiều thông qua các cấu hình thắt nút ở bêntrong nó. Điều này dẫn tới một số việc như nghiên cứu các tính chất hình học của nút,tìm hiểu sự liên quan giữa các nút với lĩnh vực Tôpô và hình học ba chiều, và đặc biệtlà xây dựng các bất biến để phân biệt hai nút cho trước. Đối tượng của Luận án nàylà một trong những bất biến quan trọng nhất trong Lý thuyết nút: Đa thức Jones củalink định hướng.

Bố cục luận văn gồm có ba chương:Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị về Lý thuyết nút vàlink trong không gian ba chiều, tập trung vào khía cạnh tổ hợp của nút và link. Ngoàira, một số khái niệm sơ cấp về đồ thị phẳng cũng được đưa vào mục cuối cùng.Chương 2: Đa thức Jones.Chương này gồm hai phần. Phần đầu là về ngoặc Kauffman của biểu đồ không địnhhướng và dạng hiểu chỉnh của chúng: Đa thức Kauffman của link định hướng. Một sốtính toán với các biểu đồ quan trọng được trình bày. Phần hai là về Đa thức Jones, thuđược từ đa thức Kauffman bằng một phép đổi biến. Các tính chất cơ bản của Đa thứcJones được chứng minh chi tiết. Trong phần này chúng tôi cũng nhấn mạnh việc đathức Jones có thể tính toán mà không cần thông qua ngoặc Kauffman.Chương 3: Đa thức Jones của link thay phiên.Mục đích của chương này là giải quyết một giả thuyết cổ điển trong Lý thuyết nút đãtồn tại gần 100 năm: Giả thuyết Tail thứ nhất. Đây được xem là một trong những ứng

iii

dụng đẹp nhất của đa thức Jones. Cuối chương là một ví dụ minh họa cho ý nghĩa củagiả thuyết Tait thứ nhất trong việc phân loại các link thay phiên.

Vì thời gian và trình độ có hạn, chúng tôi đã không thể trình bày các chủ đề rất lýthú và sâu sắc của đa thức Jones như mối liên hệ của nó với bất biến Arf, với đa thứcConway, định nghĩa đa thức Jones thông qua biểu diễn nhóm bện, các sự tổng quáthóa khác nhau của đa thức Jones và ứng dụng, ... . Đó là những chủ đề mà chúng tôisẽ tập trung nghiên cứu trong tương lai.

iv

Chú dẫn lịch sử

Về mặt lịch sử, các câu hỏi thô sơ về nút đã xuất hiện từ thời Hy Lạp cổ đại. Đếnthế kỉ 19, do những yêu cầu trong vật lý, Gauss, Kelvin, Listing, và một số người khácđã có những nghiên cứu nghiêm túc về các nút, nhưng tất cả chỉ dừng ở mức trực giác.Nói riêng, Gauss đã tìm ra số liên kết giữa các thành phần của link khi nghiên cứu lýthuyết điện từ. Cuối thế kỉ 19, một học trò của Kelvin là Tait đã đưa ra hai giả thuyếtnhằm phân loại các nút thay phiên. Từ đầu thế kỉ 20 cho đến đầu những năm 1980,cùng với sự ra đời và phát triển của Tôpô, Lý thuyết nút đã có những thành tựu đángkể theo các hướng đã nói trong Lời mở đầu. Ở khía cạnh phân loại, các bất biến nhưđa thức Alexander, đa thức Conway, bất biến Arf ... đã được tìm ra. Tuy nhiên, họ vẫnkhông thể chứng minh được các giả thuyết của Tait, dù nó được phát biểu khá đơngiản.

Năm 1984, Vaughan Jones tạo ra một cuộc cách mạng trong Lý thuyết nút bằngviệc tìm ra một bất biến đa thức mới mà ngày nay mang tên ông (công bố năm 1985).Sử dụng bất biến này, các nhà toán học nhanh chóng chứng minh được giả thyết Taitthứ nhất (giả thuyết thứ hai được chứng minh sau đó ba năm, nhưng không sử dụngđến đa thức Jones). Sự thực, lĩnh vực nghiên cứu của Jones không phải là Tôpô, mà làLý thuyết các đại số toán tử. Ông tìm ra bất biến đa thức mang tên mình một cách khátình cờ và phức tạp, dựa vào các đại số Von Neumann và Lý thuyết biểu diễn nhómbện. Sau đó không lâu, một chuyên gia về Lý thuyết nút là Kauffman tìm ra một cáchđịnh nghĩa đơn giản đa thức Jones dựa vào cấu trúc tổ hợp của biểu đồ, công bố năm1987 ([3]). Ý tưởng của Kauffman đến từ Vật lý thống kê. Sự đơn giản của cách địnhnghĩa này khiến cho việc xuất hiện muộn màng của đa thức Jones trở nên đáng ngạcnhiên, vì những nhà toán học khác đã bỏ công tìm nó trong hơn 50 năm, và một số bấtbiến họ tìm thấy như đa thức Conway, đa thức Alexander, bất biến Arf, ... có mối liênhệ mật thiết với nó. Với việc tìm ra bất biến đa thức mang tên mình, Jones được traohuy chương Fields năm 1990.

Như vây, đa thức Jones liên quan đến khá nhiều lý thuyết trong Toán học và Vậtlý: Tôpô hình học, Đại số toán tử, Lý thuyết biểu diễn, Vật lý thống kê. Nhưng vẫnchưa hết, khi xét sự tương giao giữa Lý thuyết nút với Tôpô ba chiều và Lý thuyếttrường lượng tử, đa thức Jones trở thành điểm xuất phát của một Lý thuyết có tên là

v

Bất biến lượng tử. Theo hướng này, năm 1988, Witten đã tìm ra một sự tổng quát hóacho đa thức Jones dựa vào tích phân đường Feynman. Công trình này góp phần đemlại huy chương Fields cho Witten năm 1990.

Đa thức Jones không chỉ có một sự tổng quát hóa của Witten, mà còn có nhiều sựtổng quát hóa khác. Sớm nhất là khoảng bốn tháng sau khi Jones công bố công trìnhvề đa thức Jones, sáu nhà toán học là Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd, Lickorish, vàYetter độc lập với nhau công bố một sự tổng quát hóa tự nhiên của đa thức Jones.Đó là một đa thức hai biến, được gọi là đa thức HOMFLY theo chữ cái đầu tiên củatên của sáu nhà toán học. Đến năm 2000, Khovanov đưa ra một tổng quát hóa đại sốcho đa thức Jones, gọi là đối đồng điều Khovanov. Với mỗi link định hướng, ông xâydựng được một phức đối xích phân bậc có đặc trưng Euler phân bậc chính là đa thứcJones chuẩn hóa. Nếu hai link giống nhau thì hai phức tương ứng sẽ đồng luân. Sauđó Bar-Natan đơn giản hóa đáng kể Lý thuyết của Khovanov vào năm 2002. Năm 2007,lại là Khovanov, cùng với Rozansky, mở rộng lý thuyết của mình lên cho một trườnghợp đặc biệt của đa thức HOMFLY, gọi là đối đồng điều Khovanov-Rozansky. Và rấtgần đây, năm 2010, Peter Kronheimer và Tomas Mrowka đã chứng minh đối đồng điềuKhovanov hệ số nguyên phân biệt được nút tầm thường. Với đa thức Jones, điều tươngtự vẫn là một câu hỏi mở quan trọng. Chứng minh của Kronheimer và Mrowka đượccông bố trong một bài báo dài 125 trang, sử dụng những công cụ Toán học có nguồn gốctrong Vật lý, cụ thể là Lý thuyết Gauge. Hiện nay, cùng với việc cố gắng giải quyết bàitoán trên trong trường hợp đa thức Jones, người ta đang tìm kiếm một chứng minhđại số hoặc tổ hợp cho định lý của Kronheimer và Mrowka.

vi

CHƯƠNG 1

Kiến thức chuẩn bị

Mục đích của chương này trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản của Lý thuyếtnút. Các chứng minh dài và khó sẽ được bỏ qua kèm theo trích dẫn tài liệu tra cứucho nó. Ngoài ra, một vài khái niệm trong Lý thuyết đồ thị, những thứ cần thiết chochương ba, cũng được trình bày vắn tắt. Cuối mục 6 là một bảng các nút nguyên tố cósố điểm cắt không lớn hơn 8. Ngoài trừ mục cuối, nội dung chương này chúng tôi chủyếu dựa vào ba tài liệu [2], [8] và [9].

1.1 Nút và Link

Các nút là những thứ hết sức quen thuộc trong cuộc sống chúng ta. Nó xuất hiện khichúng ta buộc những kiện hàng, thắt dây giầy, hay các công việc tương tự khác. Cácnút có thể tháo ra, buộc lại theo các cách giống nhau hoặc khác nhau. Để nghiên cứutính thắt nút, phần bị thắt nút của sợi dây cần được làm nổi bật. Một cách làm điềuđó là phần bên ngoài chỗ thắt nút là một đoạn dây dài thẳng. Một cách tốt hơn là tagắn hai đầu của phần bên ngoài nút đó để tạo thành một vòng dây.

Lý thuyết nút nghiên cứu các tính chất Tôpô của các vòng bị nhúng vào trongkhông gian ba chiều. Ta cho phép một nút có thể làm cho bị biến dạng giống như tatác động lên một sợi dây mảnh, mềm mại, co giãn với hai đầu dính liền nhau.

Bây giờ là định nghĩa chính xác của nút:

Định nghĩa 1.1 Một nút là ảnh của một phép nhúng trơn S1 vào trong R3.

Như vậy một nút là một đa tạp con một chiều trong R3 vi phôi với S1, do đó có haiphép định hướng trên nó. Một nút cùng với một phép định hướng được gọi là nút địnhhướng. Nếu K là nút định hướng thì ta kí hiệu −K là nút định hướng nhận được từ Kbằng cách đảo hướng. Hiển nhiên −(−K) = K.

1.2. Đẳng luân

Định nghĩa 1.2 Một m-link (m ∈N) là một tập con của R3 có đúng m thành phần liênthông, mỗi thành phần liên thông là một nút. Một m-link định hướng là một m-linkvới mỗi thành phần là một nút định hướng.

Như vậy, các nút là các link một thành phần. Với mỗi m-link, ta có cả thảy 2m cáchđịnh hướng trên nó.

Một số ví dụ về các nút và link quan trọng được cho trong hình 1.1.

Hình 1.1: Vài ví dụ về nút và link.

Với mỗi link L cho trước, ta có thể xây dựng một link mới bằng phép đối xứng quamặt phẳng Oxy. Cụ thể ta ký hiệu L là ảnh của L qua ánh xạ: (x, y, z) → (x, y, −z).Rõ ràng L cũng là một m-link và được gọi là link gương của L.

1.2 Đẳng luân

Trong mục này chúng ta định nghĩa thế nào là hai nút tương đương. Một cách trựcgiác, hai nút là tương đương nếu chúng có thể biến đổi thành nhau mà không cần phảitháo nút ra rồi thắt nút lại theo một kiểu khác. Định nghĩa toán học của hình ảnhtrên như sau:

2

1.2. Đẳng luân

Định nghĩa 1.3 Link L1 được gọi là đẳng luân không gian với link L2 nếu tồn tại mộtvi phôi trong R3 biến L1 thành L2, và vi phôi này phải đồng luân trơn với ánh xạ đồngnhất theo lớp các vi phôi trong R3. Một vi phôi như thế được gọi là một phép đẳngluân từ L1 tới L2.

Từ đây về sau, ta sẽ dùng từ "đẳng luân" thay cho cụm từ "đẳng luân không gian".Theo định nghĩa, link L1 đẳng luân với link L2 khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ trơnF : R3 × [0, 1] 7→ R3 thỏa mãn hai điều kiện:

i) Với mỗi t ∈ [0, 1], ánh xạ ft := F( , t) : R3 7→ R3 là vi phôi.

ii) f0 = idR3 và f1(L1) = L2

Một họ vi phôi ft như thế được gọi là một dải đẳng luân từ L1 đến L2.

Mệnh đề 1.4 Quan hệ đẳng luân là quan hệ tương đương trên tập các link.

CHỨNG MINH. Hiển nhiên mọi link đều đẳng luân với chính nó.Giả sử ta có một link L1 đẳng luân với một link L2 . Theo định nghĩa, tồn tại dải

đẳng luân ft từ L1 tới L2. Ta sẽ chứng minh họ f−1t là một dải đẳng luân từ L2 tới L1.

Muốn thế ta chỉ cần chứng minh f−1t trơn theo biến t.

Xét ánh xạ G : R3 × [0, 1] 7→ R3 × [0, 1] cho bởi công thức: G(x, t) = ( ft(x), t).Vì ft là vi phôi với mọi t nên G là một song ánh trơn với ánh xạ ngược G−1(y, t) =

( f−1t (y), t). Tại một điểm (p, t) ∈ R3× [0, 1] bất kì, đạo hàm D(p, t)G có ma trận chính

tắc là ma trận: ∂ f1,t∂x1

(p) ∂ f1,t∂x2

(p) ∂ f1,t∂x3

(p) 0∂ f2,t∂x1

(p) ∂ f2,t∂x2

(p) ∂ f2,t∂x3

(p) 0∂ f3,t∂x1

(p) ∂ f1,t∂x2

(p) ∂ f3,t∂x3

(p) 00 0 0 1

( fi,t là hàm tọa độ thứ i của ft)

Vì ft là vi phôi với mọi t nên det(D(p, t)G) = det(Dp ft) 6= 0, tức là đạo hàm tại (p, t)là song ánh. Theo định lý hàm ngược, ánh xạ ngược G−1(y, t) = ( f−1

t (y), t) phải làánh xạ trơn trong một lân cận của G(p, t) = (q, t). Từ đó ta có f−1

t là ánh xạ trơntrong một lân cận của (q, t), và vì q chạy trên toàn bộ R3 nên f−1

t là ánh xạ trơn trênR3 × [0, 1].

Cuối cùng, giả sử L1, L2, L3 là ba link tùy ý sao cho L1 đẳng luân với L2, L2 đẳngluân với L3. Khi đó, theo định nghĩa, tồn tại các dải đẳng luân ft, gt từ L1 tới L2 và từL2 tới L3. Khi đó ánh xạ H : R3 × [0, 1] 7→ R3 xác định bởi:

H(x, t) =

F(x, 2t) t ∈ [0, 12 ]

G[F(x, 1), 2t− 1] t ∈ [12 , 1]

(1.1)

3

1.3. Biểu đồ

là một dải đẳng luân từ L1 tới L3. Do đó quan hệ đẳng luân có tính chất bắc cầu.

Dựa vào khái niệm đẳng luân, ta gọi các phần tử thuộc lớp đẳng luân của link gồmm đường tròn đồng phẳng và đôi một rời nhau là các m-link tầm thường. Dễ thấy mộtm-link là tầm thường khi và chỉ khi tất cả m thành phần của nó đều đẳng luân vớiđường tròn và với hai thành phần bất kì đều tồn tại một hình cầu chứa một thànhphần và không giao với cái còn lại.

Với một tập hợp "quen biết" X có một quan hệ tương đương ∼ trên nó, ta gọi ánhxạ

I : {tập các link} → X

là một bất biến đẳng luân của link nếu I(L) ∼ I(L′) nghiệm đúng với mọi cặp linkđẳng luân với nhau. Nếu bất biến I cũng là điều kiện đủ để hai link (nói riêng là hainút) đẳng luân thì nó được gọi là một bất biến (nút) hoàn hảo.

Như thế, để chứng minh hai link L và L′ không đẳng luân, cần và đủ là xây dựngmột bất biến I sao cho I(L) và I(L′) không tương đương. Bất biến thô sơ nhất chính làsố thành phần của link. Một bất biến khác ít thô sơ hơn một chút là phần bù của link.Hiển nhiên hai link đẳng luân thì phần bù của chúng sẽ đồng phôi. Điều ngược lạilà không đúng trong trường hợp tổng quát. Nhưng với trường hợp các nút thì khẳngđịnh ngược lại cũng đúng, tức là "hai phần bù đồng phôi" là điều kiện cần và đủ đểhai nút đẳng luân (đây là một định lý với chứng minh rất khó). Như thế, phần bù làmột bất biến nút hoàn hảo. Trong chương sau, ta sẽ trình bày một trong những bấtbiến quan trọng nhất trong Lý thuyết nút là Đa thức Jones. Tuy không phải bất biếnnút hoàn hảo, nó vẫn cho phép ta chứng minh một nút và nút gương của nó nói chungkhông đẳng luân với nhau.

Cuối cùng, với hai link định hướng, quan hệ đẳng luân giữa chúng được định nghĩahoàn toàn giống như trường hợp không định hướng, chỉ thêm yêu cầu phép đẳng luânphải là vi phôi phù hợp với định hướng trên chúng. Tất cả các định sự kiện về linkkhông định hướng vừa trình bày bên trên đều dễ dàng chuyển sang cho trường hợplink định hướng.

1.3 Biểu đồ

Một trong những cách thông dụng nhất để biểu diễn nút và link là chiếu chúng lênmặt phẳng. Dù có cung cấp một số thông tin về link, các phép chiếu là không đủ để takhôi phục lại link từ nó: chẳng hạn các thông tin về độ cao bị mất đi và ta không biếtsợi nào ở bên trên hay dưới một sợi dây khác. Hơn nữa, có một số phép chiếu là tốt hơnso với các phép chiếu khác.

4

1.3. Biểu đồ

Cho một link L và một phép chiếu song song từ R3 xuống R2 = Oxy. Với mongmuốn thu được nhiều thông tin nhất có thể, ta cần phép chiếu thỏa mãn bốn điều kiệnsau:

(i) Tiếp tuyến tại mọi điểm trên L qua phép chiếu vẫn phải là đường thẳng (tức làkhông suy biến thành một điểm).

(ii) Với n > 2, không tồn tại n điểm phân biệt của L qua phép chiếu trở thành mộtđiểm.

(iii) Tại hai điểm phân biệt của L được chiếu thành một điểm, hai tiếp tuyến quaphép chiếu không được trùng nhau. Nói cách khác, nếu hai cung rời nhau của Lqua phép chiếu trở thành hai cung giao nhau thì phép giao phải là giao hoành.

(iv) Tập các điểm trên mặt phẳng là ảnh của hai điểm phân biệt trên L phải hữuhạn.

Định nghĩa 1.5 Một phép chiếu song song từ không gian xuống mặt phẳng Oxy thỏamãn bốn điều kiện trên được gọi là phép chiếu chính quy đối với link L.

Trong định nghĩa phép chiếu chính quy theo một link cho trước, nói riêng, có hai tìnhhuống không được phép xảy ra: Thứ nhất ba điểm phân biệt của link được chiếu lêncùng một điểm (hình 1.2 a), thứ hai là hai cung rời nhau của link trở thành tiếp xúcnhau qua phép chiếu (hình 1.2 b).

Hình 1.2: Hai tình huống vi phạm tính chính quy của phép chiếu.

Nếu p là một phép chiếu chính quy đối với link L, thì các điểm trong p(L) là ảnhcủa hai điểm trong L được gọi là các điểm cắt. Theo định nghĩa phép chiếu chính quy,tập điểm cắt phải là hữu hạn. Khi phép chiếu p thay đổi, số lượng điểm cắt của p(L)nói chung cũng thay đổi, nhưng dĩ nhiên luôn bị chặn dưới bởi 0. Đại lượng

c(L) := minp{số lượng các điểm cắt của p(L)|p là phép chiếu chính quy theo L}

5

1.3. Biểu đồ

được gọi là số điểm cắt của L.Trong một lân cận mỗi điểm cắt, ta có hai cung giao nhau tại điểm cắt. Hai cung

này là ảnh của hai cung rời nhau trong L chứa hai điểm bị chiếu lên điểm cắt. Ảnhcủa cung chứa điểm có tọa độ z lớn hơn gọi là cung trên tại điểm cắt, ảnh của cung cònlại gọi là cung dưới tại điểm cắt.

Định nghĩa 1.6 Ảnh của link L qua một phép chiếu chính quy cùng với sự phân biệtcung trên, cung dưới tại mỗi điểm cắt được gọi là một biểu đồ của L. Nếu L là link địnhhướng thì ảnh của nó qua phép chiếu chính quy cũng có một định hướng cảm sinh.Biểu đồ với hướng cảm sinh đó được gọi là biểu đồ của link định hướng của L.

Nhận xét 1.7 Như vậy link là một đối tượng hình học trong không gian ba chiều, cònbiểu đồ của link là một đối tượng trong không gian hai chiều, mặc dù nhìn chúng khágiống nhau (hình 1.3).

Hình 1.3: Nút trefoil và biểu đồ.

Ta nêu ra hai tính chất đơn giản và quan trọng của biểu đồ link:

+ Nếu link L có một biểu đồ D thì link gương L có một biểu đồ giống hệt D, nhưngtại mỗi điểm giao thì cung trên và cung dưới đổi chỗ. Ta gọi nó là biểu đồ gươngcủa D và ký hiệu là D

+ Ta gọi hai link L1 và L2 là rời nhau mạnh nếu tồn tại một hình cầu chứa L1 vàkhông giao với L2. Khi đó sẽ có một phép chiếu chính quy theo L1 ∪ L2, kí hiệu làp, thỏa mãn: p(L1) ∩ p(L2) = ∅. Nói cách khác, L1 ∪ L2 sẽ có một biểu đồ là hợprời của hai biểu đồ của L1 và L2 cùng sinh ra từ phép chiếu ban đầu.

Định lý sau về sự tồn tại của các biểu đồ mà chứng minh có thể tìm trong [2]

6

1.3. Biểu đồ

Định lý 1.8 Sai khác một phép đẳng luân, mọi link đều có một phép chiếu chính quy,do đó nó có một biểu đồ.

Về trực giác, nếu một phép chiếu không chính quy với một linh, ta có thể sử dụng mộtsố phép nhiễu địa phương không làm thay đổi bản chất của link để phép chiếu thỏamãn ba yêu cầu đầu tiên trong định nghĩa phép chiếu chính quy. Yêu cầu thứ tư khóhình dung hơn, và đó là lí do vì sao người ta không chỉ đòi hỏi nút là đồng phôi vớiđường tròn. Đã có những ví dụ về những tập con trong R3 đồng phôi với S1 nhưngkhông có phép chiếu chính quy, vì yêu cầu thứ tư không thể thỏa mãn được.

Từ đây về sau, khi nói đến "biểu đồ" mà không nói gì hơn, ta luôn hiểu đó là biểuđồ của một link nào đó.

Hoàn toàn tương tự như với các link, ta cũng có thể định nghĩa quan hệ đẳng luângiữa hai biểu đồ (định hướng hay không định hướng) D1 và D2, cụ thể ta chỉ việc thayR3 bằng R2, thay L1, L2 bằng D1, D2 trong định nghĩa quan hệ đẳng luân của hailink. Khi đó hai biểu đồ được gọi là đẳng luân phẳng với nhau. Một cách trực giác, tahình dung hai biểu đồ đẳng luân phẳng với nhau là hai biểu đồ có cùng một "cấu trúctổ hợp" (hình 1.4).

Hình 1.4: Các biểu đồ đẳng luân phẳng.

Nhận xét 1.9 Dễ thấy nút tầm thường có thể có biểu đồ với số điểm cắt tùy ý, do đóbiểu đồ link không phải là bất biến đẳng luân của link.

Mệnh đề sau đây là một tính chất tổ hợp khá thú vị của biểu đồ, sẽ được sử dụngtrong chương ba. Trước hết, ta cần định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.10 Với mỗi tập U trong mặt phẳng có hữu hạn thành phần liên thônglà U1, U2, ..., Un (n > 1), ta gọi một phép tô màu kiểu bàn cờ cho U là một phép tô mỗitập Ui bằng một trong hai màu đen hoặc trắng thỏa mãn điều kiện: Nếu (∂Ui ∩ ∂Uj)

có một thành phần liên thông gồm nhiều hơn một điểm thì chúng phải có màu khácnhau.

Mệnh đề 1.11 Phần bù trong mặt phẳng của mọi biểu đồ đều có thể tô màu kiểu bàncờ.

CHỨNG MINH. Trước khi chứng minh mệnh đề, để cho gọn ta gọi một đường cong đơnđóng là một vòng (như vậy một nút là một vòng trơn trong R3). Trong một tập các vòng

7

1.4. Các phép dịch chuyển Reidemeister

phẳng, ta gọi một vòng là loại k (k = 0, 1, 2, ...) nếu nếu nó nằm trong đúng k miềnmở giới hạn bởi k vòng trong tập đang xét, và không tồn tại k + 1 miền mở giới hạn bởik + 1 vòng trong tập đang xét chứa α.

Bây giờ ta chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo số điểm cắt của biểu đồ. Nếu Dlà một biểu đồ không có điểm cắt, thì nó là một số hữu hạn các vòng phẳng đôi một rờinhau trên Oxy. Ta tô màu cho Oxy− D như sau: Chọn một màu bất kì bất kì, chẳnghạn màu đen, tô lên thành phần không bị chặn (có duy nhất một thành phần khôngbị chặn). Tiếp theo, tô màu trắng cho tất các thành phần nằm trong các miền bị giớihạn bởi các vòng loại 0. Sau đó tô đè màu đen lên tất cả các thành phần nằm trongcác miền bị giới hạn bởi các vòng loại 1. Rồi lại tô đè màu trắng lên tất cả các thànhphần nằm trong miền bị giới hạn bởi các vòng loại 2, ... . Cứ tiếp tục như thế ta đượcmột cách tô màu kiểu bàn cờ cho Oxy− D.

Giả sử mệnh đề đúng với mọi biểu đồ có ít hơn n điểm cắt. Với mỗi biểu đồ D có nđiểm cắt, tại lân cận đủ nhỏ của một điểm cắt bất kì, ta dựng thêm hai cung như hìnhbên dưới:

Tạm thời bỏ qua hai cung trên dưới của điểm cắt đó và sử dụng hai cung mới, ta đượcmột biểu đồ có n− 1 điểm cắt. Theo giả thiết quy nạp, phần bù của nó có thể tô màukiểu bàn cờ. Thực hiện điều này, sau đó xóa màu đã tô trên hai cung trên dưới tại điểmcắt, rồi dùng màu của hai miền có biên chứa hai cung mới (hai miền này có màu giốngnhau) tô lên hai cung mới và tô đè lên hai miền đối nhau giới hạn bởi hai cung mới vàhai cung trên dưới tại điểm cắt. Dễ thấy đó là cách tô màu bàn cờ cho Oxy− D.

Ta kết thúc mục này bằng định nghĩa sau về một loại biểu đồ đặc biệt.

Định nghĩa 1.12 Một biểu đồ được gọi là liên thông nếu nó là tập liên thông trongmặt phẳng. Một biểu đồ không liên thông được gọi là biểu đồ tách. Một link tách làlink có một biểu đồ tách.

Từ định nghĩa ta suy ra một link là tách khi và chỉ khi một số thành phần của link vàcác thành phần còn lại là rời nhau mạnh.

1.4 Các phép dịch chuyển Reidemeister

Bài toán cơ bản trong Lý thuyết nút là phân lại các link theo quan hệ đẳng luân. Nhưđã nói ở trên, để chứng minh hai link không đẳng luân với nhau, người ta sử dụng cácbất biến đẳng luân của link. Việc chứng minh hai link đẳng luân với nhau nói chunglà khó hơn, vì không dễ gì xây dựng được dải đẳng luân như định nghĩa. Một cách tự

8


nhiên, người ta mong muốn thông qua biểu đồ của hai link để chứng minh chúng làđẳng luân. Công việc này đòi hỏi phải phân tích cấu trúc tổ hợp của biểu đồ một cáchkĩ lưỡng.

Trước hết, ta nhận thấy rằng trong quá trình đẳng luân, cấu trúc tổ hợp của biểuđồ không bị thay đổi. Cụ thể, các tình huống sau không bao giờ xuất hiện:

(i) Một điểm cắt mất đi, hoặc một điểm cắt mới xuất hiện.

(ii) Xuất hiện hai cung trong biểu đồ tiếp xúc với nhau.

(iii) Xuất hiện ba cung trong biểu đồ giao nhau tại một điểm.

Tương ứng với ba tình huống trên là ba phép dịch chuyển Reidemeister được mô tảtrong hình dưới đây:

Phép dịch chuyển Reidemeister thứ nhất cho phép đưa thêm vào hoặc xóa đi mộtđiểm cắt trong biểu đồ. Phép dịch chuyển Reidemeister thứ hai cho phép thêm vàohoặc xóa đi hai điểm cắt trong biểu đồ bằng cách "trượt" hai cung lại gần nhau haytách ra xa nhau. Trong khi dịch chuyển, sẽ có thời điểm hai cung tiếp xúc nhau. Phépdịch chuyển Reidemeister thứ ba cho phép trượt một cung trong biểu đồ từ một phíacủa điểm cắt sang phía bên kia. Trong khi dịch chuyển, sẽ có thời điểm cung trượt điqua điểm cắt.

Định lý Reidemeister nói rằng ba phép dịch chuyển nói trên cùng với phép đẳngluân phẳng giữa các biểu đồ chính là điều kiện cần và đủ cho tính đẳng luân của link.Chúng tôi không viết ra đây chứng minh định lý này vì nó khá phức tạp. Những aiquan tâm có thể tìm thấy chứng minh trong hầu hết các giáo trình về Lý thuyết nút,chẳng hạn như [2].

Định lý 1.13 (Reidemeister) Cho L1 và L2 là hai link không định hướng có hai biểuđồ tương ứng là D1 và D2. Khi đó, L1 và L2 đẳng luân với nhau khi và chỉ khi D1 nhậnđươc từ D2 qua một số hữu hạn các phép dịch chuyển Reidemeister và một phép đẳngluân phẳng.

Ta lấy hai ví dụ để minh họa cho định lý Reidemeister. Đầu tiên là một ví dụ đơngiản:

9


Ví dụ thứ hai phức tạp hơn. Ta áp dụng định lý Reidemeister để chứng minh nútsố tám đẳng luân với nút gương của nó:

Định lý Reidemeister có thể viết dưới dạng ký hiệu:

{tập các link }/ quan hệ đẳng luân không gian = {tập các biểu đồ link}/ quan hệđẳng luân phẳng và ba phép dịch chuyển Reidemeister.

Đẳng thức trên cho phép ta xác định các lớp đẳng luân của link thông qua các lớpđẳng luân phẳng của biểu đồ, modulo các phép dịch chuyển Reidemeister. Đối với việcnghiên cứu hình học của các link, đẳng thức trên có một vai trò quan trọng. Lý do làvế bên trái của nó có bản chất Tôpô, còn vế phải theo một nghĩa nào đó là mang bảnchất Tổ hợp. Do đó nó cho phép sử dụng các kỹ thuật của Tổ hợp để thu được các hiểubiết về Tôpô của link. Đây cũng là một ý tưởng then chốt trong toàn bộ lý thuyết nút.

Với những phép dịch chuyển gần gũi với ba phép dịch chuyển trên, ta có mênh đềsau:

Mệnh đề 1.14 Các phép biến đổi dưới đây đều suy ra từ ba phép dịch chuyển Reide-meister.

CHỨNG MINH. Với phép dịch chuyển thứ nhất ta có:

Ta chứng minh phép dịch chuyển thứ hai:

10

1.5. Sự nhân tử hóa

Phép dịch chuyển thứ ba chứng minh hoàn toàn tương tự như với phép dịch chuyểnthứ hai nên ta bỏ qua.

Tương tự, với trường hợp các link định hướng ta cũng có các phép dịch chuyểnReidemeister định hướng như trong hình 1.5, cũng như định lý Reidemeister:

Hình 1.5: Các phép dịch chuyển Reidemeister định hướng.

Định lý 1.15 Cho L1 và L2 là hai link định hướng có hai biểu đồ tương ứng là D1 vàD2. Khi đó, L1 và L2 đẳng luân với nhau khi và chỉ khi D1 nhận đươc từ D2 qua một sốhữu hạn các phép dịch chuyển Reidemeister định hướng và một phép đẳng luân giữahai biểu đồ định hướng.

1.5 Sự nhân tử hóaMục này ta sẽ trình bày một cách xây dựng các link mới từ hai link cho trước. Trongtrường hợp link là nút định hướng, cách xây dựng này rất giống cách lấy tích của haisố nguyên.

Với hai nút K1, K2 bất kì, ta có thể thu được hai nút mới bằng cách xóa đi một cungkhá nhỏ trên hai nút K1, K2 rồi gắn đầu mút của chúng lại. Hiển nhiên có hai cáchgắn, mỗi cách gắn cho ta một nút mới, kí hiệu là K và K′. Trong trường hợp tổng quátK và K′ không đẳng luân với nhau. Rõ ràng cách xây dựng hai nút K1 và K2 không phụthuộc vào vị trí cung bị xóa, mà chỉ phụ thuộc vào cách gắn. Thủ tục vừa trình bàyđược gọi là phép nhân hai nút K1 và K2. Cả hai nút K và K′ đều được gọi là tích của K1

với K′, và được kí hiệu: K = K1#K2; K′ = K1#K2.Để làm cho phép nhân hai nút trở thành đơn trị, ta chỉ việc định hướng cho K1, K2

và chọn cách gắn phù hợp với định hướng của K1 và K2. Khi đó nút tích sẽ là một nútđịnh hướng (hình 1.6). Dễ dàng kiểm tra lúc này phép nhân là giao hoán và kết hợp.

11


Tổng quát hơn, nếu L1 và L2 tương ứng là m1-link và m2-link, ta xây dựng hai(m1 + m2− 1)-link, gọi là hai link tích của L1 và L2 và cũng được kí hiệu là L1#L2, nhưsau: các thành phần của hai link này gồm (m1− 1) thành phần của L1, (m2− 1) thànhphần của L2, và một thành phần cuối cùng là tích của hai thành phần còn lại trongL1 và L2. Như thế có thể sẽ có 2m1m2 link đôi một không đẳng luân là tích của L1, L2.Nếu hai link L1, L2 đều định hướng thì sẽ có thể sẽ có m1m2 link định hướng đôi mộtkhông đẳng luân là tích củaL1, L2.

Nếu L = L1#L2 ta cũng nói L1 và L2 là hai nhân tử của L.

Hình 1.6: Tích hai nút định hướng.

Một câu hỏi tự nhiên: Làm thế nào để nhận biết một link L cho trước là tích củahai link nào đó? Để trả lời, ta lấy một mặt cầu S giao với L tại đúng hai điểm, và đềulà giao hoành. Chọn một cung đơn, trơn α trên S nối hai điểm đó lại (việc chọn α khôngquan trọng vì những cung như thế đều đẳng luân với nhau). Đặt U1, U2 là hai thànhphần của R3 − S. Ta định nghĩa hai link mới như sau:

Li = (L ∩Ui) ∪ α i = 1, 2.

Lúc này, rõ ràng L = L1#L2.Thủ tục vừa trình bày bên trên gọi là sự nhân tử hóa link L. Ta cũng dễ thấy hai

link không đẳng luân vẫn có thể có cùng một khai triển thành tích các nhân tử.Một ví dụ về sự nhân tử hóa của nút được cho trong hình 1.7.

Hình 1.7: Một nút phân tích được thành tích của nút trefoil và nút số tám.

12


Hiển nhiên mỗi link đều là tích của nó với nút tầm thường. Một link không tầmthường, không tách được gọi là link nguyên tố nếu nó không thể phân tích thành tíchcủa hai link không tầm thường. trang sau là một bảng liệt kê tất cả các nút nguyên tốvới số điểm cắt không quá 8, không kể các nút gương của chúng.

Áp dụng y nguyên thủ tục trên cho các biểu đồ, chỉ khác thay vì dùng một mặtcầu thì ta dùng một đường cong đơn đóng trên mặt phẳng Oxy, ta đi đến định nghĩasự nhân tử hóa của biểu đồ. Ngoài ra ta không phải chọn cung nối hai điểm giao màdùng luôn một trong hai cung của đường cong đó. Một biểu đồ liên thông của một linkkhông tầm thường được gọi là biểu đồ nguyên tố nếu nó không thể viết thành tích củahai biểu đồ khác biểu đồ link tầm thường. Một biểu đồ liên thông của một link khôngtầm thường được gọi là nguyên tố rõ ràng nếu nó không thể viết thành tích của haibiểu đồ có điểm cắt (tức là nếu viết nó dưới dạng tích hai biểu đồ thì một trong hainhân tử sẽ không có điểm cắt).

13


14

1.6. Đồ thị phẳng

1.6 Đồ thị phẳng

Ta kết thúc chương này bằng một số sự kiện trong Lý thuyết đồ thị phẳng, nhữngthứ sẽ được dùng trong chương ba. Vì mục đích sử dụng, những đối tượng và nhữngtính chất được định nghĩa trong mục này có thể kém tổng quát hơn so với những địnhnghĩa thông thường của chúng.

Cho một đồ thị phẳng Γ là cho:

+ Một tập không rỗng V(Γ) gồm một số hữu hạn các điểm trên một mặt phẳng, gọilà các đỉnh của Γ.

+ Một tập không rỗng E(Γ) gồm một số hữu hạn cung đơn trên mặt phẳng nối haiđỉnh khác nhau của Γ và không đi qua một đỉnh nào khác, cùng với một số hữuhạn các vòng trên mặt phẳng, mỗi vòng đi quá đúng một đỉnh của Γ. Các phầntử của E(Γ) được gọi là các cạnh của đồ thị Γ. Khi cần phân biệt, các vòng sẽ đượcgọi là cạnh khép kín.

Chú ý theo định nghĩa, hai đỉnh trong đồ thị có thể không có cạnh nối hoặc cũng có thểcó nhiều hơn một cạnh nối. Cũng vậy, một đỉnh có thể không có hoặc có nhiều hơn mộtcạnh khép kín đi qua. Sử dụng thuật ngữ hình học, nếu giữa hai đỉnh có một cạnh nốithì hai đỉnh đó cũng được gọi là hai đầu mút của cạnh đó. Nếu một đỉnh có một cạnhkhép kín đi qua thì ta cũng gọi đỉnh đó là đầu mút của cạnh khép kín. Một đồ thị concủa Γ là đồ thị với tập đỉnh là tập con của V(Γ), và tập cạnh là tập con của E(Γ).

Với mỗi đồ thị phẳng Γ, tập hợp (∪α∈E(Γ)α) được gọi là thể hiện hình học của Γ. Đólà một tập hợp trong mặt phẳng. Từ đây về sau, ta sẽ đồng nhất các đồ thị phẳngvới thể hiện hình học của chúng.

Một đồ thị phẳng Γ được gọi là liên thông nếu nó là tập liên thông trong mặt phẳng.Một đỉnh v của đồ thị phẳng liên thông Γ được gọi là đỉnh tách nếu

(Γ− v

)không phải

là tập liên thông trong mặt phẳng. Ta thấy ngay nếu Γ có số đỉnh lớn hơn một thì cácđỉnh là mút của cạnh khép kín luôn là đỉnh tách. Nếu đỉnh tách v không là mút củamột cạnh khép kín, thì Γ và v có dạng như trong hình 1.8, trong đó Γ1, ..., Γk là các đồthị con liên thông của Γ với Γi ∩ Γj = ∅ ∀ i 6= j, và giữa hai đỉnh bất kì thuộc hai đồthị khác nhau luôn không có cạnh nối.

Trong chương ba, ta sẽ cần một bổ đề đơn giản sau liên quan đến đỉnh tách của đồthị phẳng:

Bổ đề 1.16 Cho Γ là đồ thị phẳng liên thông không có đỉnh tách. Giả sử tồn tại mộtcạnh của Γ có tính chất: Nếu xóa bỏ phần trong cạnh đó (tức là không xóa các đỉnhtrong cạnh đó) ta nhận được đồ thị mới vẫn liên thông nhưng có đỉnh tách. Khi đó việcco rút cạnh này về một đỉnh sẽ thu được đồ thị mới vẫn không có đỉnh tách.

15


Hình 1.8: Đỉnh tách v của đồ thị phẳng liên thông không có cạnh khép kín Γ.

Ở đây, trong trường hợp cạnh không khép kín, phép co rút một cạnh về một đỉnh làphép xóa đi phần trong của cạnh rồi đồng nhất hai đỉnh. Nếu cạnh là khép kín thì chỉlà việc xóa phần trong cạnh đó.

CHỨNG MINH. Hiển nhiên Γ không thể chỉ có một đỉnh vì khi đó xóa phần trong mộtcạnh không làm đỉnh tách xuất hiện. Nếu Γ có hai đỉnh thì cũng dễ dàng chứng minhnó không thể thỏa mãn hai điều kiện của bổ đề. Do đó, đồ thị Γ thỏa mãn điều kiệnbổ đề sẽ có ít nhất ba đỉnh, và do đó không có cạnh khép kín. Gọi cạnh bị xóa phầntrong là e, và gọi v là đỉnh tách xuất hiện sau khi xóa phần trong e. Khi đó, rõ ràngΓ, v, e, phải có dạng như hình 1.9, trong đó Γ1, Γ2 là hai đồ thị con liên thông khônggiao nhau của Γ, và v11, v20 là cặp đỉnh duy nhất thuộc Γ1, Γ2 mà có cạnh nối. Chú ýv10 có thể trùng với một trong các đỉnh v11, ...., v1n1, còn v20 có thể trùng với một trongsố các đỉnh v21, ...., v2n2 .

Từ dạng hình học của Γ ta thấy kết luận của bổ đề là hiển nhiên đúng.

Đồ thị phẳng mà ta quan tâm chính là biểu đồ link trong mặt phẳng Oxy. Để thuđược một đồ thị phẳng từ biểu đồ link, trên các thành phần có điểm cắt, ta lấy cácđiểm cắt làm đỉnh, các cạnh sẽ là các cung trong biểu đồ. Với các thành phần của biểuđồ là các vòng phẳng, ta lấy một điểm bất kì trên đó làm đỉnh. Đỉnh này là đầu mútcủa một cạnh khép kín.Từ cách xây dựng trên ta thấy ngay nếu mọi thành phần liên thông của biểu đồ đều cóđiểm cắt, thì với đồ thị tương ứng, mọi lân cận đủ nhỏ của mọi đỉnh đều có dạng nhưhình bên dưới:

16


Trong trường hợp này, có thể chứng minh dễ dàng bằng quy nạp theo số đỉnh rằng sốcạnh của đồ thị sẽ gấp hai lần số đỉnh.

17

CHƯƠNG 2

Đa thức Jones

Lý thuyết về đa thức Jones do Vaughan Jones tìm ra năm 1984 cho phép gắn mỗi linkđịnh hướng (trường hợp nút thì không cần định hướng) với một đa thức Laurent hệ sốnguyên (là một biểu thức kiểu đa thức nhưng trong đó có cả lũy thừa âm và dương củabiến số). Ngay sau đó, Kauffman đã đưa ra cách định nghĩa khá đơn giản thông quacấu trúc tổ hợp của biểu đồ link. Và như đã nhấn mạnh chương 1 mục 1.4, phép gắnnày sẽ được chứng minh không phụ thuộc vào việc chọn biểu đồ, vì nó bất biến với baphép biến đổi Reidenmeister định hướng. Nói cách khác, nó là một bất biến đẳng luâncủa link định hướng. Với hai link định hướng cho trước, bằng các tính toán trên cácbiểu đồ, nếu đa thức Jones của chúng khác nhau thì hai link không đẳng luân. Đâylà công việc khá đơn giản với những biểu đồ không có nhiều điểm cắt. Nói riêng, ta sẽthấy nút trefoil và nút gương của nó không đẳng luân với nhau.

Chương này chúng tôi chủ yếu dựa vào bài báo gốc [4] và các tài liệu [5], [9] để trìnhbày cách tiếp cận của Kauffman cũng như tính toán đa thức Jones cho một số trườnghợp đơn giản.

2.1 Ngoặc Kauffman và đa thức Kauffman

Định nghĩa 2.1 Ngoặc Kauffman, kí hiệu⟨ ⟩

, là một ánh xạ từ tập biểu đồ link khôngđịnh hướng trong mặt phẳng đến tập các đa thức Laurent hệ số nguyên Z[A, A−1]

thỏa mãn ba đẳng thức:

(i)⟨ ⟩

= 1

(ii)⟨

D t⟩= (−A2 − A−2)

⟨D⟩

(iii)⟨ ⟩

= A⟨ ⟩

+ A−1⟨ ⟩.

2.1. Ngoặc Kauffman và đa thức Kauffman

Trong định nghĩa trên, là biểu đồ của nút tầm thường không có điểm cắt (nó đơn

giản là một vòng trong Oxy), D t là biểu đồ bao gồm biểu đồ D cùng với biểu đồ của

một nút tầm thường không có điểm cắt và không giao với D.Ta liệt kê một số tính chất đơn giản của ngoặc Kauffman suy trực tiếp từ định

nghĩa:

+ Nếu biểu đồ bị biến đổi, ngoặc Kauffman nói chung cũng thay đổi. Tuy nhiên cóthể thấy rằng vì ngoặc Kauffman chỉ phụ thuộc vào cấu trúc tổ hợp của biểu đồ,nên nếu hai biểu đồ đẳng luân phẳng với nhau thì ngoặc Kauffman của chúngsẽ trùng nhau.

+ Nếu một biểu đồ không có điểm cắt, thì nó chỉ là một số hữu hạn các vòng trênmặt phẳng Oxy đôi một rời nhau. Khi đó, từ hai đẳng thức (i) và (ii), ngoặcKauffman của nó sẽ là (−A−2 − A2)m−1 với m là số lượng các vòng.

+ Đẳng thức (iii) cho biết ngoặc Kauffman của một biểu đồ n điểm cắt sẽ được biểudiễn bằng một tổng tuyến tính của 2n ngoặc Kauffman của các biểu đồ không cóđiểm cắt, và với các biểu đồ không có điểm cắt thì ta đã tính được.

+ Trong vế trái của đẳng thức (iii), nếu hai cung trên và cung cung dưới đổi vị trícho nhau thì ở vế phải, A và A−1 cũng sẽ đổi chỗ cho nhau. Ta thu được điều nàybằng cách áp dụng đẳng thức (iii) sau khi quay biểu đồ một góc π/2. Do đó, nếuD là biểu đồ gương của biểu đồ D, là biểu đồ thu được bằng cách hoán đổi vị trícung trên và cung dưới tại mọi điểm cắt trong D cho nhau, thì

⟨D⟩

sẽ là đa thứcLaurent thu được từ

⟨D⟩

bằng cách hoán đổi vị trí của A và A−1 cho nhau(tức

là⟨

D⟩(A) :=

⟨D⟩(A−1)

).

Sự tồn tại của ngoặc Kauffman sẽ được chứng minh trong chương sau bằng cáchxây dựng công thức tường minh. Việc nó là duy nhất có thể chứng minh khá đơngiản dựa vào quy nạp theo số điểm cắt của biểu đồ như sau: Giả sử tồn tại hai ánhxạ⟨ ⟩

1,⟨ ⟩

2 từ tập biểu đồ không định hướng vào Z[A, A−1] đều thỏa mãn ba đẳngthức trong định nghĩa 2.1. Nếu D là biểu đồ không có điểm cắt thì như đã thấy ở bêntrên,

⟨D⟩

1 =⟨

D⟩

2 = (−A−2 − A2)m−1 với m là số thành phần liên thông của D. Giảsử đẳng thức

⟨D⟩

1 =⟨

D⟩

2 đúng với mọi biểu đồ D có số điểm cắt nhỏ hơn n. Khi đó,với mỗi biểu đồ D có n điểm cắt, áp dụng đẳng thức (iii) trong định nghĩa 2.1 và giảthiết quy nạp ta có

⟨D⟩

1 =⟨

D⟩

2.

Bây giờ, ta hãy xem ngoặc Kauffman thay đổi như thế nào đối với các phép dịchchuyển Reidenmeister.

Bổ đề 2.2 Nếu ta biến đổi một biểu đồ bằng phép dịch chuyển Reidenmeister thứ nhất,thì ngoặc Kauffman của nó thay đổi như sau:

19


CHỨNG MINH. Ta chứng minh đẳng thức đầu tiên:

Đẳng thức thứ hai chứng minh hoàn toàn tương tự

Như vậy ta thấy ngoặc Kauffman của một biểu đồ không bất biến với phép biến đổiReidenmeister thứ nhất.

Hai đẳng thức trong Bổ đề 2.2 thường xuyên được sử dụng để tính ngoặc Kauffmancủa các link. Chẳng hạn ta áp dụng nó để tính ngoặc Kauffman của Hopf link và củanút trefoil:

Bổ đề 2.3 Nếu ta thay đổi một biểu đồ bằng phép biến đổi Reidenmeister thứ hai hoặcthứ ba thì ngoặc Kauffman của nó không thay đổi. Tức là

CHỨNG MINH. (i) Áp dụng liên tiếp đẳng thức thứ ba trong định nghĩa ngoặc Kauff-man, ta có:

(ii) Áp dụng đẳng thức (iii) trong định nghĩa ngoặc Kauffman vào điểm cắt "chínhgiữa", ta được:

20


Vì ngoặc Kauffman bất biến với phép đẳng luân phẳng cũng như phép dịchchuyển Reidenmeister thứ hai (vừa chứng minh) nên ta có các đẳng thức:

Thay vào đẳng thức ban đầu ta được:

Vì ngoặc Kauffman không bất biến với phép dịch chuyển Reidenmeister thứ nhất,do đó nó không phải là một bất biến đẳng luân của link. Tuy nhiên ta có thể chỉnh sửanó một chút để được một bất biến. Định nghĩa dưới đây là sự chuẩn bị cho việc hiệuchỉnh:

Định nghĩa 2.4 Với mỗi biểu đồ (định hướng) D của một link định hướng, ta gán chomỗi điểm cắt của D một trong hai giá trị 1 hoặc −1 và gọi chúng tương ứng là điểmcắt dương hoặc điểm cắt âm như hình 2.1 bên dưới. Khi đó số writhe của D, kí hiệuw(D), là tổng: w(D) = ∑i εi, trong đó tổng chạy trên tất cả các điểm cắt trong D, cònεi = ±1 là dấu của các điểm cắt trong D.

Hình 2.1: dấu của điểm cắt

Từ định nghĩa trên, ta thấy nếu đảo hướng tất cả các thành phần của D thì w(D)

không đổi. Hình dưới đây chỉ ra số writhe của một vài biểu đồ link:

Nhận xét 2.5 Nếu biến đổi D bằng các phép dịch chuyển Reidenmeister định hướngthứ hai và thứ ba thì w(D) cũng không đổi. Thật vậy, với phép dịch chuyển Reiden-meister định hướng thứ hai, dấu của hai điểm cắt mới (hoặc của hai điểm cắt bị mất

21

2.2. Đa thức Jones

đi) luôn ngược nhau. Với phép dịch chuyển Reidenmeister định hướng thứ ba, dấucủa hai điểm cắt mới luôn trùng với dấu của hai điểm cắt cũ một cách tương ứng.Tuynhiên, dễ thấy nếu biến đổi D bằng phép dịch chuyển Reidenmeister định hướng thứnhất thì w(D) sẽ tăng thêm hoặc giảm đi 1.

Bây giờ ta có định lý sau, là sự hiệu chỉnh của ngoặc Kauffman:

Định lý 2.6 Với mỗi biểu đồ D của link định hướng L, đa thức Kauffman của L

X(L) = (−A)−3w(D)⟨|D|⟩

là bất biến với cả ba phép dịch chuyển Reidenmeister định hướng, trong đó |D| là biểuđồ không định hướng nhận được từ D bằng cách bỏ qua hướng trên nó. Như vậy, X(L)không phụ thuộc vào việc chọn biểu đồ của link định hướng L, và nó là một bất biếnđẳng luân của L.

CHỨNG MINH. Theo bổ đề 2.3 ta suy ra⟨|D|⟩

bất biến đối với hai phép dịch chuyểnReidenmeister định hướng thứ hai và thứ ba. Kết hợp với nhận xét 2.5 ta có đa thứcKauffman sẽ bất biến với hai phép dịch chuyển đó.

Ta chứng minh đa thức Kauffman bất biến với phép biến đổi Reidenmeister địnhhướng thứ nhất. Giả sử D′ là biểu đồ thu được từ D qua một phép dịch chuyển Reiden-meister định hướng thứ nhất. Trong trường hợp D′ mất đi một điểm cắt có dấu là −1thì ta có w(D′) = w(D) + 1. Khi đó, theo bổ đề 2.2 ta được

⟨D′⟩= −A3⟨D

⟩. Thay vào

X(L) sẽ dẫn đến điều phải chứng minh. Trường hợp ngược lại hoàn toàn tương tự.

Vì số writhe của nút định hướng không đổi nếu ta đảo hướng, nên ta có thể nói đếnđa thức Kauffman của nút không định hướng. Theo chứng minh trên nó là bất biếnđẳng luân của nút không định hướng, do đó nó cho phép phân biệt một số nút. Chẳnghạn, từ ngoặc Kauffman của trefoil ta thu được:

Như vậy trefoil và ảnh gương của nó không đẳng luân với nhau.

2.2 Đa thức Jones

Định nghĩa 2.7 Đa thức Jones V(L) của link định hướng L là đa thức Laurent hệ sốnguyên nhận được từ đa thức Kauffman của L bằng cách đổi biến A−2 = t1/2. Tức là:

V(L) =((−A)−3w(D)

⟨D⟩)

t1/2:=A−2 ∈ Z[t−1/2, t1/2]

22


trong đó D là một biểu đồ định hướng tùy ý của L.

Trong định nghĩa trên, t1/2 có nghĩa là nếu ta lấy bình phương thì sẽ được t. ViệcV(L) ∈ Z[t−1/2, t1/2] sẽ được chứng minh sau (hệ quả 2.12).

Nhận xét 2.8 Vì đa thức Kauffman là bất biến đẳng luân của link định hướng, nênđa thức Jones cũng là bất biến của link định hướng. Hơn nữa, vì đa thức Kauffmancủa link định hướng không thay đổi nếu ta đảo hướng tất cả các thành phần, nên đathức Jones cũng vậy. Do đó ta có thể nói về đa thức Jones của nút không định hướng.

Hai đẳng thức (i) và (iii) trong mệnh đề sau là một đặc trưng của đa thức Jones (vềmặt lịch sử chúng được dùng để định nghĩa đa thức Jones trước khi Kauffman tìm rađịnh nghĩa đa thức Jones như ta đã trình bày):

Mệnh đề 2.9 Đa thức Jones của link định hướng thỏa mãn ba tính chất:

(i) V(nút tầm thường) = 1

(ii) Nếu link định hướng L và một nút tầm thường định hướng O là rời nhau mạnhthì:

V(L ∪O) = (−t−1/2 − t1/2)V(L)

(iii) Nếu L+, L− và L0 là ba link định hướng có ba biểu đồ tương ứng D+, D− vàD0 giống hệt nhau, ngoại trừ tại lân cận của một điểm như được chỉ ra tronghình(2.2), thì ta có đẳng thức sau, thường gọi là quan hệ skein:

t−1V(L+)− tV(L−) + (t−1/2 − t1/2)V(L0) = 0

Hình 2.2: Ba biểu đồ D+, D− và D0

CHỨNG MINH. (i) Đẳng thức là hiển nhiên.

(ii) Vì hai L và O rời nhau mạnh nên L∪O có một biểu đồ dạng DL tDO, với DL, DO

là các biểu đồ của L và O. Vì đa thức Jones là bất biến đẳng luân nên ta có thể coiDO là đường tròn trong mặt phẳng. Theo đẳng thức (ii) trong định nghĩa ngoặcKauffman và từ định nghĩa đa thức Jones ta có điều cần chứng minh.

(iii) Theo định nghĩa ngoặc Kauffman, ta có hai đẳng thức:

23


⟨ ⟩= A

⟨ ⟩+ A−1⟨ ⟩

.⟨ ⟩= A−1⟨ ⟩

+ A⟨ ⟩

.

Nhân A vào hai vế đẳng thức đầu, nhân −A−1 vào đẳng thức thứ hai, rồi cộngvế với vế ta được:

A⟨ ⟩

− A−1⟨ ⟩= (A2 − A−2)

⟨ ⟩Sử dụng các kí hiệu như trong phát biểu của mệnh đề, đẳng thức trên có viết lạithành: A

⟨|D+|

⟩− A−1⟨|D−|⟩ = (A2 − A−2)

⟨|D0|

⟩. Nhân hai vế đẳng thức này

với (−A3)−w(D0) và chú ý w(D+)− 1 = w(D0) = w(D−)− 1, ta được:

A4(−A3)−w(D+)⟨|D+|

⟩+ A−4(−A3)−w(D−)

⟨|D−|

⟩= (A2−A−2)(−A3)−w(D0)

⟨|D0|

⟩⇔ A4X(L+) + A−4X(L−) = (A2 − A−2)X(L0)

Đổi biến A−2 := t1/2 trong đẳng thức trên cho ta điều cần chứng minh.

Việc định nghĩa đa thức Jones bằng hai đẳng thức (i) và (iii) rồi suy ra các tính chấtkhác được thực hiện trong [7]. Còn bây giờ là một hệ quả tức khắc hai của đẳng thức(i) và (ii):

Hệ quả 2.10 Tất cả các m-link tầm thường định hướng đều có đa thức Jones trùngnhau:

V(m-link tầm thường định hướng) = (−t−1/2 − t1/2)m−1,

do đó ta có thể nói đến đa thức Jones của m-link tầm thường không định hướng.

Với đa thức Jones, các đẳng thức trong mệnh đề 2.9 có vai trò tương tự như cácđẳng thức trong định nghĩa ngoặc Kauffman đối với đa thức Kauffman, dù rằng chúngkhông độc lập với nhau (đẳng thức (ii) có thể suy ra từ hai đẳng thức còn lại). Nó chophép ta tính toán đa thức Jones của link định hướng mà không cần thông qua ngoặcKauffman. Phương pháp này dựa vào quan hệ skein để quy việc tính đa thức Jones củalink định hướng về việc tính các đa thức Jones của các link tầm thường. Hiển nhiênsau một số hữu hạn lần xóa bỏ điểm cắt, ta sẽ thu được biểu đồ link tầm thường. Tuynhiên, trong quan hệ skein không chỉ có phép xóa điểm cắt mà còn có cả phép biếnđổi điểm cắt bằng cách hoán đổi vị trí cung trên và cung dưới tại điểm cắt (gọi tắt làphép biến đổi điểm cắt). Do đó, để chứng tỏ rằng đa thức Jones có thể tính được bằngphương pháp này, ngoài việc phải tính được đa thức Jones của link tầm thường, taphải chứng minh định lý sau:

Định lý 2.11 Mọi biểu đồ của một m-link bất kì đều có thể trở thành một biểu đồ củam-link tầm thường sau một số hữu hạn lần áp dụng phép biến đổi điểm cắt.

24


CHỨNG MINH. Đầu tiên xét trường hợp m = 1, tức là L là một nút. Với mỗi biểu đồcủa nút đang xét, ta bỏ qua cấu trúc cung trên, cung dưới tại mỗi điểm cắt và gọi đólà một cái bóng của nút (nó là một đường cong đóng trên mặt phẳng, nếu có tự cắt thìđều là giao hoành). Lấy một đường thẳng l trong mặt phẳng Oxy không giao với cáibóng của L, rồi dịch chuyển song song cho đến khi nó chạm vào một điểm P thuộc cáibóng. Lấy hai điểm A, B là hai hình chiếu vuông góc của P với các tọa độ z của cả haiđều dương, và tọa độ z của A lớn hơn của B. Cho một điểm chuyển động từ A đến Bvới quỹ đạo là cái bóng của L sao cho khoảng cách của điểm đó đến mặt phẳng Oxygiảm dần đều. Khi đó quỹ đạo chuyển động của điểm này hợp với đoạn thẳng AB lànút tầm thường có hình chiếu vuông góc trùng với cái bóng đang xét của L. Phân biệtcung trên, cung dưới tại lân cận các điểm tự cắt của cái bóng của L để nó trùng với cáccung trên, cung dưới tại các điểm cắt của biểu đồ nút tầm thường vừa xây dựng, ta cóđiều cần chứng minh.

Hình 2.3: biến đổi điểm cắt của biểu đồ nút trefoil để được biểu đồ nút tầm thường

Với trường hợp m > 1, ta chỉ việc áp dụng lập luận trên cho từng thành phần củalink. Chú ý để các nút tầm thường mà ta xây dựng tạo nên một m-link tầm thường, tachỉ cần chọn các điểm Ai, Bi thỏa mãn tọa độ z của Ai nhỏ hơn tọa độ z của Bi+1.

Để minh họa, ta tính đa thức Jones của nút trefoil bằng phương pháp nói trên. Lấymột hướng trên nó rồi áp dụng quan hệ skein cho một điểm cắt bất kì trong một biểuđồ của trefoil, ta thu được một biểu đồ nút tầm thường và một biểu đồ Hopf link:

Tiếp tục áp dụng quan hệ skein cho biểu đồ Hopf link ta được một biểu đồ nút tầmthường và biểu đồ của 2-link tầm thường định hướng:

25


Đến đây, theo đẳng thức (i) và (ii) ta thu được:

Do đó

Ta thấy tính toán này, sau phép đổi biến t−1/4 = A, trùng với tính toán đa thứcKauffman của nút trefoil ở trong mục trước.

Một hệ quả tức khắc của quan hệ skein và định lý 2.11 là:

Hệ quả 2.12 Với mọi link định hướng L ta luôn có V(L) ∈ Z[t−1/2, t1/2]. Điều nàytương đương với việc đa thức Kauffman X(L) của link định hướng L thuộc vào Z[A−2, A2].

CHỨNG MINH. Chứng minh dựa vào quy nạp theo số điểm cắt của biểu đồ.

Theo hệ quả 2.12, rõ ràng việc đổi biến A−2 = t1/2 để thu được đa thức Jones từ đathức Kauffman không tự nhiên bằng việc đổi biến ±A±2 = t. Ngoài lí do lịch sử, việcvẫn sử dụng phép đổi biến đó có lẽ là vì với các nút, trường hợp quan trọng nhất củalink, thì phép đổi biến này là tốt nhất. Điều này được phát biểu trong định lý 2.13 dướiđây:

Định lý 2.13 a) Nếu m là số lẻ thì m-link định hướng L có đa thức Jones V(L) chỉchứa các lũy thừa nguyên của t. Nói riêng điều này đúng nếu L là một nút.

b) Nếu m là số chẵn thì m-link định hướng L có đa thức Jones V(L) chỉ chứa cáchạng tử có dạng t(2k−1)/2, k ∈ Z.

CHỨNG MINH. Đầu tiên, nếu L là m-link tầm thường thì theo hệ quả 2.10 ta có:

V(L) = (−t−1/2 − t1/2)m−1 = t(m−1)/2(−t−1 − 1).

Do đó định lý đúng trong trường hợp này.Ta chứng minh bằng quy nạp theo số điểm cắt của biểu đồ. Nếu L có biểu đồ không

có điểm cắt thì nó là link tầm thường, nên nó thỏa mãn định lý. Giả sử định lý đúngvới mọi link định hướng có một biểu đồ với số điểm cắt nhỏ hơn n (n > 0). Nếu L cómột biểu đồ D có n điểm cắt thì ta đưa nó về biểu đồ của link tầm thường bằng cácháp dụng liên tiếp quan hệ skein. Vì định lý là đúng với các link tầm thường, nên ta chỉcòn phải kiểm tra rằng định lý vẫn đúng trong quá trình biến đổi các điểm cắt của D.

26


Kí hiệu L+, L−, L0 là ba link định hướng với các biểu đồ tương ứng D+, D−, D0

như trong qua hệ skein, với số điểm cắt của D+ và D− là n, còn số điểm cắt của D0 là(n− 1). Theo giả thiết quy nạp, định lý đúng với L0, và ta cần chứng minh nếu định lýđúng với một trong hai link L+ hoặc L− thì nó sẽ đúng với cái còn lại.Không mất tổng quát ta coi định lý đúng với L−. Kí hiệu m+, m−, m0 lần lượt là sốthành phần của ba link L+, L−, L0 và nhận xét thấy rằng m+ = m− = m0 ± 1 (hình2.4). Do đó m+, m− có tính chắn lẻ ngược với m0. Áp dụng điều này vào quan hệ skein,ta có điều cần chứng minh.

Hình 2.4: Hai trường hợp m+ = m0 + 1 và m+ = m0 − 1

Nhận xét 2.14 Đa thức Laurent nhận được từ đa thức Kauffman bằng phép đổi biến−A−2 = t được gọi là đa thức Jones chuẩn hóa. Trong một số vấn đề, chẳng hạn đốiđồng điều Khovanov (một sự tổng quát hóa đại số cho đa thức Jones), người ta dùngphiên bản chuẩn hóa của đa thức Jones.

Như đã biết, đa thức Jones không thay đổi nếu ta đảo hướng tất cả các thành phầncủa link. Câu hỏi đặt ra là nếu ta chỉ đảo hướng một số thành phần của link thì đathức Jones thay đổi như thế nào? Định nghĩa sau là sự chẩn bị cho câu trả lời:

Định nghĩa 2.15 Với mỗi m-link định hướng L (m > 1) chứa hai thành phần L1 vàL2, lấy một biểu đồ D của L và kí hiệu hai biểu đồ cảm sinh của L1, L2 là D1, D2. Tagọi số liên kết của hai thành phần L1 và L2, kí hiệu lk(L1, L2), là tổng

lk(L1, L2) =12 ∑i εi,

trong đó εi = ±1 là dấu của điểm cắt, còn tổng chạy trên các điểm cắt mà hai cung tạiđiểm cắt thuộc vào hai biểu đồ khác nhau D1, D2.

Không khó khăn gì để kiểm tra số liên kết giữa hai thành phần là bất biến với cácphép dịch chuyển Reidenmeister định hướng, do đó nó được định nghĩa không phụthuộc vào việc chọn biểu đồ của link. Nói riêng nó là bất biến đẳng luân của các 2-link.

Bây giờ ta trả lời câu hỏi trên trong trường hợp đảo hướng một thành phần củalink:

Mệnh đề 2.16 Với mỗi m-link định hướng L (m > 1) gồm các thành phần L1, L2, ..., Lm

đặt L′ là link định hướng nhận được từ L bằng cách đảo hướng L1 và giữ nguyên hướngtrên các thành phần khác. Khi đó V(L′) = t−3 ∑m

i=2 lk(L1, Li)V(L).

27


CHỨNG MINH. Chuyển về đa thức Kauffman, đẳng thức cần chứng minh tương đươngvới X(L′) = A12 ∑m

i=2 lk(L1, Li)X(L). (∗)Lấy một biểu đồ D của L là ảnh của một phép chiếu p, khi đó L′ có một biểu đồ D′

nhận được từ D bằng cách đảo hướng trên p(L1). Do đó

(∗) ⇔ (−A)−3w(D′)⟨|D′|⟩ = A12 ∑mi=2 lk(L1, Li)(−A)−3w(D)

⟨|D|⟩

⇔ (−A)−3w(D′) = A12 ∑mi=2 lk(L1, Li)(−A)−3w(D) (∗∗)

Đặt w1(D) = ∑i εi với ε = ±1 là dấu của điểm cắt, còn tổng chạy trên các điểmcắt mà cả hai cung tại điểm cắt đó hoặc cùng thuộc L1 hoặc cùng không thuộc L1.Khi đó rõ ràng 2 ∑m

i=2 lk(L1, Li) = w(D) − w1(D). Ta cũng định nghĩa w1(D′) tươngtự. Vì việc đảo hướng của hai cung tại điểm cắt không là thay đổi dấu điểm cắt, nênw1(D) = w1(D′). Và vì điểm cắt bị đảo dấu nếu ta chỉ đảo hướng một cung, nên2 ∑m

i=2 lk(L1, Li) = w(D)− w1(D) = −[w(D′)− w1(D′)]. Thay vào (∗∗) và giản ước tacó

(∗∗) ⇔ (−A)−3[w(D′)−w1(D′)] = A12 ∑mi=2 lk(L1, Li)(−A)−3[w(D)−w1(D)]

⇔ A6 ∑mi=2 lk(L1, Li) = A12 ∑m

i=2 lk(L1, Li)A−6 ∑mi=2 lk(L1, Li)

⇔ A6 ∑mi=2 lk(L1, Li) = A6 ∑m

i=2 lk(L1, Li)

Mệnh đề chứng minh xong.

Quy nạp theo số thành phần đảo hướng, ta có là lời giải của câu hỏi đặt ra bêntrên:

Hệ quả 2.17 Cho một (p+ q)-link định hướng với các thành phần L1, L2, ..., Lp, M1, M2, ..., Mq,đặt là (L ∪M). Kí hiệu (−L ∪M) là link định hướng nhận được từ (L ∪M) bằng cáchđảo hướng các thành phần L1, L2, ..., Lp. Khi đó ta có:

V(−L ∪M) = t−3λV(L ∪M) với λ = ∑pi=1 ∑

qj=1 lk(Li, Mj).

Một số tính chất cơ bản khác của đa thức Jones được liệt kê trong định lý sau:

Định lý 2.18 1) Với m-link định hướng L bất kì ta luôn có V(L)(1) = (−2)m−1. Nóiriêng, không tồn tại link định hướng có đa thức Jones triệt tiêu.

2) Nếu L là link phản xạ của link định hướng L thì đa thức Jones V(L) sẽ nhậnđược từ V(L) bằng cách đổi vai trò của t và t−1.

3) Nếu link định hướng L có phân tích L = L1#L2 thì

V(L) = V(L1).V(L2).

4) Nếu L1 và L2 là hai link định hướng rời nhau mạnh thì

28


V(L1 ∪ L2) = (−t1/2 − t−1/2)V(L1)V(L2)

CHỨNG MINH. 1) Áp dụng quan hệ skein vào một điểm cắt của L, không quan tâmđiểm cắt là dương hay âm, ta được V(L)(1) = V(L′)(1) với L′ là link mới nhậnđược từ L bằng phép biến đổi điểm cắt. Lại áp dụng quan hệ skein cho L′ để cóV(L)(1) = V(L′)(1) = V(L”)(1). Cứ tiếp tục làm như thế cho đến khi nhận đượcm-link tầm thường ta suy ra V(L)(1) = V(m-link tầm thường)(1) = (−2)m−1.

2) Nếu L có một biểu đồ là D thì L sẽ có một biểu đồ là D nhận được từ D bằng cáchhoán đổi vị trí của cung trên và cung dưới tại mọi điểm cắt trong D. Như đã biết,⟨

D⟩

nhận được từ⟨

D⟩

bằng cách hoán đổi vị trí giữa A và A−1. Kết hợp với địnhnghĩa đa thức Kauffman và đa thức Jones ta có điều cần chứng minh.

3) Ta chứng minh kết luận đúng với đa thức Kauffman của L, do đó hiển nhiên sẽđúng với đa thức Jones.

Lấy một phép chiếu lên mặt phẳng Oxy chính quy đối với L và kí hiệu D, D1, D2

là các biểu đồ của L, L1, L2 . Khi đó rõ ràng w(D) = w(D1) + w(D2). Do đóX(L) = (−A)−3w(D)

⟨D⟩= (−A)−3w(D1).(−A)−3w(D2)

⟨D⟩.

Ta còn phải chứng minh⟨

D⟩=⟨

D1⟩.⟨

D2⟩. Quy nạp theo số điểm cắt của D.

Đẳng thức này hiển nhiên đúng nếu D không có điểm cắt. Giả sử đẳng thứcđúng với số điểm cắt nhỏ hơn n − 1. Nếu D có n điểm cắt thì ta áp dụng đẳngthức (iii) trong định nghĩa ngoặc Kauffman vào một điểm cắt trong D (khôngmất tổng quát có thể giả sử nó thuộc D1):⟨

D⟩= A

⟨D′⟩+ A−1⟨D′′

⟩trong đó D′, D” là hai biểu đồ thu được từ D sau khi áp dụng đẳng thức (iii). Lúcnày, D′ và D′′ chỉ có n− 1 điểm cắt, do đó theo giả thiết quy nạp ta có⟨

D′⟩=⟨

D′1⟩⟨

D2⟩;⟨

D′′⟩=⟨

D′′1⟩⟨

D2⟩

trong đó D′1, D′′1 là hai biểu đồ thu được từ D1 sau khi áp dụng đẳng thức (iii).Thay vào đẳng thức trên rồi rút

⟨D2⟩

làm nhân tử chung, ta thu được điều cầnchứng minh.

4) Chứng minh đẳng thức này tương tự như chứng minh đẳng thức trong mục (4)bên trên nên ta bỏ qua..

Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là đa thức Jones có phải là bất biến hoàn hảo của link địnhhướng không? Tức là việc hai link định hướng có đa thức Jones trùng nhau có suy rađược hai link đó đẳng luân hay không? Câu trả lời là không, ngay cả trong trường hợpcác nút. Có những ví dụ về hai nút không đẳng luân nhưng có đa thức Jones trùngnhau, chẳng hạn như hai nút trong hình bên dưới:

29


Trong ví dụ này cả hai nút đều có đa thức Jones là (t−2 − t−1 + 1− t + t2)2, tuy nhiênmột bất biến đa thức khác có tên là đa thức Alexander của chúng khác nhau, nênchúng không đẳng luân.

Một ví dụ khác thú vị hơn là nút Kinoshita-Terasaka với nút Conway như ở hình2.5. Trong ví dụ này, nút Conway thu được từ nút Kinoshita-Terasaka bằng thủ thuậtđược gọi là phép đột biến như sau: Lấy một hình cầu B với biên giao hoành với nút K-Ttại đúng bốn điểm, và bằng cách nhiễu loạn nếu cần, ta có thể giả sử bốn điểm giaonày là hai cặp điểm đối xứng qua đường thẳng bắc - nam của B. Ta giữ nguyên phầnbù R3− B, và tháo rời B ra rồi quay nó quanh trục bắc - nam một góc π, sau đó lắp trởlại để thu được nút Conway. Người ta đã chứng minh được nhóm cơ bản của hai phầnbù của hai nút này không đẳng cấu, do đó phần bù của chúng không đồng phôi, nênchúng không thể đẳng luân.

Hình 2.5:

Ta có thể chứng minh V(nút K-T) = V(nút Conway) mà không cần tính toán cụthể: Lấy một hướng trên nút Kinoshita-Terasaka rồi lấy các biểu đồ D và D′ của nútKinoshita-Terasaka và nút Conway. Vì phép quay B không ảnh hưởng đến dấu của cácđiểm cắt, nên w(D) = w(D′). Việc còn lại là phải chứng minh

⟨D⟩=⟨

D′⟩. Điều này

là rõ ràng khi ở chương sau ta có một công thức tường minh của⟨

D⟩.

Việc đa thức Jones không phân biệt được tất cả các nút dẫn đến câu hỏi nhẹ hơn:Đa thức Jones có thể phân biệt được nút tầm thường hay không? Nói các khác, có tồntại hay không một nút không tầm thường có đa thức Jones là 1? Câu hỏi này đến nayvẫn còn để mở. Tuy nhiên, với các link định hướng tổng quát thì câu hỏi trên đã có lờigiải đáp. Năm 2003, ba nhà toán học Eliahou, Kauffman, và Thistlethwaite đã đưa ra

30


phép xây dựng các họ vô hạn các m-link định hướng không tầm thường (m > 1) có đathức Jones trùng với đa thức Jones của m-link tầm thường ([3]). Ví dụ đơn giản nhấtcó lẽ là link bên dưới (với một trong hai cách định hướng).

31


Hình 2.6:

32

CHƯƠNG 3

Đa thức Jones của link thay phiên

Trong chương này, một trong những ứng dụng nổi bật nhất (và rất sơ cấp) của đa thứcJones được trình bày. Đó là lời giải của một giả thuyết được P.G. Tait đưa ra từ năm1898, còn gọi là giả thuyết Tait thứ nhất, về số điểm cắt tối thiểu của một biểu đồ nútthay phiên. Cụ thể giả thuyết Tait thứ nhất phát biểu như sau:

Nếu nút K có một biểu đồ thay phiên với n điểm cắt, trong đó không điểm cắt nàobỏ qua được (ta sẽ định nghĩa sau), thì mọi biểu đồ của K đều có không ít hơn n điểmcắt (tức là c(K) = n).

Gần 90 năm sau khi Tait đưa ra giả thuyết của mình, Kauffman, Murasugi vàThistletwaite mới tìm ra các chứng minh khác nhau dựa vào đa thức Jones, đều côngbố trên tạp chí Topology trong cùng một năm ([3], [7], [10]). Ba cách chứng minh củahọ là khá khác nhau. Đây được xem là một tiến bộ quan trọng trong việc phân loạitoàn bộ các link thay phiên. (Đến năm 1991, Menasco và Thistletwaite công bố chứngminh giả thuyết Tait thứ hai). Trong chương này chúng tôi theo [5] để trình bày chứngminh của Kauffman cho giả thuyết Tait thứ nhất, ở đó một số lập luận của Kauffmanđược thay đổi. Kết quả này cũng có thể tìm thấy trong [2] với sự trình bày rất gần vớichứng minh ban đầu của Kauffman, nhưng diễn giải chi tiết hơn. Chúng tôi sẽ khôngđề cập đến giả thuyết Tait thứ hai trong chương này vì chứng minh của nó không sửdụng đa thức Jones.

Đầu tiên, ta chứng minh sự tồn tại của ngoặc Kauffman. Sở dĩ ta đưa định lý nàyvào đây vì phép chứng minh của nó cần thiết cho chương này hơn là chương hai.

Định lý 3.1 Ngoặc Kauffman luôn tồn tại với mọi biểu đồ.

CHỨNG MINH. Ta chứng minh bằng cách xây dựng trực tiếp ngoặc Kauffman.Với mỗi biểu đồ ta đánh số các điểm cắt của nó. Với một biểu đồ D có n điểm cắt đượcđánh số 1, 2, ... , n, ta gọi một trạng thái của D là một hàm s : {1, 2, ... , n} →{1, −1}. Như vậy, D có cả thảy 2n trạng thái. Với mỗt trạng thái s, tại điểm cắt thứ i

của D, dựa vào dấu của s(i) ta sẽ phá hủy điểm cắt này theo một trong hai cách nhưhình 3.1. Kí hiệu sD là biểu đồ thu được sau khi phá hủy tất cả điểm cắt của D, nó

Hình 3.1: hai cách phá hủy điểm cắt

đơn giản là một số các đường cong đơn đóng trong mặt phẳng và đôi một rời nhau. Kíhiệu |sD| là số lượng các đường cong đó và đặt⟨

D⟩= ∑s A∑n

i=1 s(i)(−A−2 − A2)|sD|−1

trong đó tổng lấy trên tất cả 2n trạng thái của D.Ta còn phải chứng minh

⟨D⟩

thỏa mãn ba đẳng thức trong định nghĩa ngoặc Kauff-man. Hai đẳng thức đầu tiên dễ dàng kiểm tra trực tiếp. Để kiểm tra đẳng thức thứba, xét tại điểm cắt thứ j bất kì, ta chỉ việc tách tổng trên thành hai tổng trong đó một

tổng lấy trên các s thỏa mãn s(j) = 1. Rõ ràng tổng đó chính là A⟨ ⟩

, tổng còn lại

là A−1⟨ ⟩.

Một loại link đặc biệt được nghiên cứu trong chương này là các link thay phiênđược định nghĩa dưới đây:

Định nghĩa 3.2 Một biểu đồ của link L được gọi là thay phiên nếu một người xuấtphát từ một điểm bất kì trên một thành phần bất kì của L rồi đi trọn vẹn thành phầnđó, thì ảnh của người đó trong biểu đồ khi qua các điểm cắt sẽ đi theo các cung thayđổi một cách đều đặn: ..., cung trên, cung dưới, cung trên, cung dưới, ... . Một link nếucó một biểu đồ thay phiên cũng được gọi là link thay phiên. Ta cũng coi một link cóbiểu đồ không có điểm cắt là link thay phiên.

Ví dụ về các link thay phiên rất nhiều, chẳng hạn nút trefoil, Hopf link, nút số tám.Hiển nhiên tính thay phiên là bất biến đẳng luân của link. Để một link là không thayphiên, điều kiện cần là mọi biểu đồ của nó phải có ít nhất hai điểm cắt. Việc chứngminh một link không thay phiên nói chung là việc không đơn giản.

Ta vẫn giả sử D là một biểu đồ có n điểm cắt. Đặt s+, s− là hai trạng thái s+(i) =1 ∀i và s−(i) = −1 ∀i. Hiển nhiên s+ là trạng thái duy nhất thỏa mãn ∑n

i=1 s+(i) = n,và s− là trạng thái duy nhất thỏa mãn ∑n

i=1 s−(i) = −n.

Định nghĩa 3.3 Một biểu đồ D được gọi là đầy đủ dương nếu |s+(D)| > |sD| với mọitrạng thái s thỏa mãn ∑n

i=1 s(i) = n− 2.Một biểu đồ D được gọi là đầy đủ âm nếu |s−(D)| < |sD| với mọi trạng thái s thỏa

mãn ∑ni=1 s(i) = 2− n.

34

Một biểu đồ D được gọi là đầy đủ nếu nó vừa là biểu đồ đầy đủ dương, vừa là biểuđồ đầy đủ âm.

Tuy có vẻ phức tạp, thực ra việc kiểm tra một biểu đồ D có n điểm cắt có phải làbiểu đồ đầy đủ hay không là khá đơn giản: Ta gán trạng thái s+ cho D (tức là mọiđiểm cắt của D đều được gán giá trị 1) rồi phá hủy các điểm cắt của D theo quy tắctrong hình 3.1. Nếu hai cung thay thế hai cung cũ trong việc phá hủy một điểm cắtkhông bao giờ cùng thuộc một thành phần của s+(D) thì D là biểu đồ đầy đủ dương.Thật vậy, các trạng thái s thỏa mãn ∑n

i=1 s(i) = n− 2 là các trạng thái nhận được từs+ sau khi đổi giá trị một điểm cắt thành −1, các điểm cắt khác giữ nguyên giá trị +1(như vậy có tất cả n trạng thái s như thế). Với một trạng thái s như thế, ta gán nó chomột bản sao của D, và gán trạng thái s+ cho D. Phá hủy đồng thời các điểm cắt của Dvà bản sao theo hai trạng thái s+ và s sao cho điểm cắt duy nhất có giá trị khác nhauđược phá cuối cùng. Cho đến trước khi điểm cắt đang xét bị phá, số thành phần tạora theo cả hai cách phá hủy hiển nhiên là bằng nhau. Sau khi phá hủy điểm cắt cuốicùng, cách phá hủy theo s+ sẽ tạo ra hai thành phần (hình 3.2 a), và điều này kéo theocách phá hủy theo s chỉ tạo ra một thành phần (hình 3.2 b).Như vậy, để kiểm tra tính đầy đủ dương của biểu đồ D, ta chỉ cần kiểm tracác thành phần của s+(D) xem có thành phần nào tự đối diện với chính nóqua một điểm cắt hay không. Việc kiểm tra tính đầy đủ âm của biểu đồ hoàntoàn tương tự.

Hình 3.2:

Một ứng dụng khác của nhận xét đó là phép chứng minh mệnh đề sau:

Mệnh đề 3.4 Biểu đồ link thay phiên rút gọn là biểu đồ đầy đủ.

Ở đây, biểu đồ rút gọn là biểu đồ thỏa mãn tính chất: Không tồn tại một vòng trên mặtphẳng Oxy giao với biểu đồ tại duy nhất một điểm, và điểm đó là điểm cắt trong biểuđồ. Ta có thể hình dung biểu đồ rút gọn là biểu đồ không có điểm cắt giống như mộttronghai kiểu trong hình 3.2. Hai điểm cắt như trong hình 3.2 được gọi là điểm cắt bỏqua được. Nếu biểu đồ link có điểm cắt bỏ qua được, thì dĩ nhiên ta có thể xóa bỏ điểmcắt đó bằng cách quay một nửa link và giữ nguyên nửa còn lại.

CHỨNG MINH. Với mỗi biểu đồ thay phiên đầy đủ D, ta tô màu kiểu bàn cờ với haimàu đen và trắng cho Oxy − D. Tính thay phiên của D suy ra các thành phần của

35

Hình 3.3: Điểm cắt bỏ qua được

s+D là các vòng phẳng bao quanh tất cả các miền được tô cùng màu (chẳng hạn màuđen) với các góc đã được làm trơn. Điều này tương đương với việc các cung mới xuấthiện khi phá hủy các điểm cắt luôn thuộc vào những miền được tô màu đen (hình 3.4).Tương tự, các thành phần của s−D là các vòng phẳng bao quanh tất cả các miền màutrắng. Lại vì biểu đồ không có điểm cắt bỏ qua được, nên không có miền nào trongOxy− D tự đối diện với chính nó qua một điểm cắt, vì nếu không ta sẽ có một vòngđi qua điểm cắt đó và nằm trọn trong miền đối diện với chính nó qua điểm cắt. Theonhận xét bên trên ta có điều cần chứng minh.

Hình 3.4: phá hủy các điểm cắt theo trạng thái s+ của link thay phiên

Với mỗi đa thức Laurent P, kí hiệu lũy thừa lớn nhất và nhỏ nhất xuất hiện trong P làM(P) and m(P). Ngay sau đây, ta sẽ đưa ra một số đánh giá của M

⟨D⟩

và m⟨

D⟩, lũy

thừa lớn nhất và nhỏ nhất của A xuất hiện trong ngoặc Kauffman của một số biểu đồD.

Bổ đề 3.5 Nếu D là một biểu đồ có n điểm cắt thì

(i) M⟨

D⟩≤ n + 2|s+D| − 2. Nếu D là biểu đồ đầy đủ dương thì ta có dấu đẳng thức.

(ii) m⟨

D⟩≥ −n− 2|s−D|+ 2. Nếu D là biểu đồ đầy đủ âm thì ta có dấu đẳng thức.

CHỨNG MINH. (i) Với mỗi trạng thái s của D, đặt:⟨D|s⟩= A∑n

i=1 s(i)(−A−2 − A2)|sD|−1

do đó⟨

D⟩= ∑s

⟨D|s⟩. Từ đó suy ra M

⟨D⟩≤ maxsM

⟨D|s⟩. Vì ∑n

i=1 s+(i) = nnên M

⟨D|s+

⟩= n + 2|s+D| − 2. Do dó bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu

36

M⟨

D|s+⟩= maxsM

⟨D|s⟩.

Nhận xét rằng một trạng thái s bất kì ta luôn có thể xem nó có "khởi đầu" làs+, rồi biến đổi một cách từ từ về trạng thái s. Cụ thể, đó là một dãy trạng tháis0, s1 , , , sk sao cho s0 = s+, sk = s và sj(i) = sj−1(i) với mọi i ∈ {1, 2 , , , n},ngoại trừ tại duy nhất một giá trị ij, mà với nó sj−1(ij) = 1 = −sj(ij). Vì sjDvà sj−1D là hai biểu đồ giống hệt nhau, ngoại trừ tại lân cận của một điểmcắt của D, nên |sjD| = |sj−1D| ± 1. Cùng với việc ∑n

i=1 sj(i) = n − 2j, ta suy raM⟨

D|sj−1⟩− M

⟨D|sj

⟩bằng 0 hoặc bằng 4. Như thế, M

⟨D|sj−1

⟩≥ M

⟨D|sj

⟩, và

vì s0 = s+, sk = s nên với M⟨

D|s0⟩≥ M

⟨D|s⟩. Vì s là bất kì nên M

⟨D|s+

⟩=

maxsM⟨

D|s⟩.

Bây giờ, nếu D là biểu đồ đầy đủ dương thì như đã lập luận ở trước |s1D| =|s+D| − 1. Do đó M

⟨D|sj

⟩giảm ngay ở bước đầu tiên khi j chuyển từ 0 đến 1,

và không bao giờ tăng lên trong các bước sau (vì sau mỗi bước chuyển trạngthái, ∑n

i=1 s(i) giảm đi 2, còn |sD| cùng lắm chỉ tăng lên 1). Do đó trong biểu diễn⟨D⟩= ∑s(A∑n

i=1 s(i)(−A−2 − A2)|sD|−1), từ có bậc M⟨

D|s+⟩

trong⟨

D|s+⟩

khôngbao giờ bị triệt tiêu bởi các từ trong

⟨D|s⟩

với s 6= s+, và đẳng thức xảy ra.

(ii) Nhận xét rằng với mọi biểu đồ D ta luôn có M⟨

D⟩= −m

⟨D⟩

và |s+D| = |s−D|.Từ đó, áp dụng chứng minh trên cho biểu đồ gương D ta sẽ nhận được điều phảichứng minh.

Hệ quả 3.6 Nếu D là biểu đồ đầy đủ có n điểm cắt thì

M⟨

D⟩−m

⟨D⟩= 2n + 2|s+D|+ 2|s−D| − 4

Để có thêm các đánh giá , ta cần có các thông tin về |s+D| và |s−D|. Hai bổ đề sau đâylà sự chuẩn bị cho điều đó

Bổ đề 3.7 Nếu D là một biểu đồ liên thông có n điểm cắt thì

|s+D|+ |s−D| ≤ n + 2

CHỨNG MINH. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Hiển nhiên bổ đề là đúng nếun = 0. Giả sử bổ đề đúng với mọi biểu đồ D có ít hơn n điểm cắt. Chọn một điểm cắtbất kì trong D. Với ít nhất một trong hai cách phá hủy điểm cắt bằng hai cung khônggiao nhau như trong hình 3.1, biểu đồ D′ nhận được sẽ vẫn là liên thông. Không mấttổng quát ta có thể coi điểm cắt này được phá hủy bằng cách trạng thái dương. Khi đó|s+D| = |s+D′| và |s−D| = |s−D′| ± 1. Sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

|s+D|+ |s−D| = |s+D′|+ |s−D′| ± 1 ≤ (n− 1) + 2± 1 ≤ n + 2.

Bổ đề 3.8 Cho D là một biểu đồ liên thông có n điểm cắt. Khi đó

37

(i) Nếu D là biểu đồ thay phiên thì |s+D|+ |s−D| = n + 2.

(ii) Nếu D là biểu đồ nguyên tố rõ ràng và không thay phiên thì |s+D|+ |s−D| < n+ 2.

CHỨNG MINH. (i) Trước hết ta nhắc lại công thức Euler cho đồ thị phẳng liên thôngG, mà chứng minh có thể tìm trong chương 10 của [1]:

|V(G)| − |E(G)|+ |F(G)| = 2

trong đó |E(G)|, |V(G)| lần lượt là số đỉnh, số cạnh của G, còn |F(G)| là số thànhphần liên thông của phần bù của G.

Bây giờ vì D có thể xem là một đồ thị phẳng liên thông n đỉnh. Như đã nóitrong mục 6 chương 1, số cạnh của D sẽ là 2n. Lại vì D là biểu đồ thay phiên,|s+D|+ |s−D| là số thành phần liên thông của phần bù của D trong mặt phẳng(ta tô màu kiểu bàn cờ cho các miền này và có thể coi |s+D| là số các miền tô màuđen, |s−D| là số các miền tô màu trắng). Áp dụng công thức Euler cho D ta đượcđiều cần chứng minh.

(ii) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Nếu n = 2 thì do biểu đồ không thay phiênvà nguyên tố rõ ràng nên nó chỉ có thể là biểu đồ của 2-link tầm thường. Khi đó|s+D|+ |s−D| = 3 < 4.

Giả sử kết luận đúng với mọi biểu đồ có số điểm cắt nhỏ hơn n (n > 2). Vì D làkhông thay phiên nên tồn tại hai điểm cắt liên tiếp sao cho khi đi qua hai điểmcắt đó, cả hai lần ta đều đi theo cung dưới hoặc cung trên. Gọi c là điểm cắt thứba tiếp theo. Như đã trình bày, c có thể bị phá hủy bằng một trong hai cách:dương và âm. Từ giả thiết D là nguyên tố rõ ràng, ta phá hủy c bằng cách nào thìbiểu đồ mới nhận được cũng liên thông. Thật vậy, giả sử ta phá hủy c theo cáchdương rồi thu được hai thành phần rời nhau. Khi đó D phải có dạng như hình3.3 b, tức là c là điểm cắt bỏ qua được. Lấy một vòng bao quanh phần X nhưngkhông bao quanh c. Vì D nguyên tố rõ ràng nên X không có điểm cắt. Tương tựY cũng không có điểm cắt. Điều đó có nghĩa D chỉ có một điểm cắt, và ta có mâuthuẫn.

Bây giờ ta tô màu kiểu bàn cờ lên phần bù của D trong mặt phẳng sao cho miềnkhông bị chặn bị tô màu trắng. Thiết lập một đồ thị phẳng Γ như sau:

Số đỉnh của Γ bằng số vùng tô đen của Oxy− D, và ta đặt tương ứng mỗi vùngđó với một đỉnh của Γ. Với hai vùng tô đen đối nhau tại một điểm cắt, ta dựngmột cạnh nối hai đỉnh tương ứng trong Γ. Với miền tô đen tự đối với chính nó quamột điểm cắt, ta dựng một cạnh khép kín đi qua đỉnh ứng với miền đó

Dễ dàng chứng minh đồ thị Γ xây dựng như trên sẽ liên thông nếu D là biểu đồliên thông. Ngoài ra, từ cách xây dựng trên ta thấy việc phá hủy một điểm cắt

38

trong biểu đồ bằng hai cách sẽ tương ứng với việc một cạnh trong Γ bị xóa điphần trong hoặc bị co rút một về một đỉnh.

Ta tiếp tục chứng minh. Đầu tiên ta khẳng định tính nguyên tố rõ ràng của Dtương đương với việc Γ không có đỉnh tách (ta chỉ cần chiều ngược lại, nhưng vẫnchứng minh cả chiều xuôi). Thật vậy, giả sử D nguyên tố rõ ràng nhưng Γ lại cóđỉnh tách. Nếu đỉnh tách có cung khép kín đi qua thì, tương đương với nó, phầnbù của D có một thành phần tô đen tự đối diện qua một điểm cắt. Khi đó hiểnnhiên điểm cắt này sẽ là bỏ qua được, dẫn đến mâu thuân như trên đã chỉ ra.Trường hợp Γ không có cạnh khép kín, nếu ta gọi đỉnh tách là v thì Γ có dạngnhư hình 3.5 bên trái, với Γ1, ..., Γk là các đồ thị con liên thông của Γ thỏa mãn:Γi ∩ Γj = ∅ ∀ i 6= j, và giữa hai đỉnh bất kì thuộc hai đồ thị khác nhau luônkhông có cạnh nối. Ta phá hủy tất cả các điểm cắt nằm trên biên thành phần tôđen tương ứng với v sao cho các cạnh tương ứng trong đồ thị Γ bị xóa phần trong.Sau khi xóa các điểm cắt, đồ thị tương ứng nhận được sẽ không liên thông, vànhư nhận xét trên thì biểu đồ nhận được từ D sau khi phá hủy các điểm cắt cũngkhông liên thông. Điều này mâu thuẫn với điều ta đã chứng minh: Tính nguyêntố rõ ràng của một biểu đồ liên thông kéo theo việc phá hủy các điểm cắt của nóbằng cách nào thì biểu đồ nhận được cũng vẫn liên thông.

Hình 3.5: Đồ thị Γ trở thành không liên thông khi biểu đồ bị xóa một số điểm cắt

Ngược lại (đây là cái ta cần), nếu Γ không có đỉnh tách nhưng D không nguyêntố rõ ràng. Khi đó D có dạng như hình 3.6 bên trái, với cả hai bên X và Y đềucó điểm cắt. Không mất tổng quát, ta xem miền giữa bị tô màu đen. Như thếnó phải đối diện với các miền tô đen không trùng với nó qua các điểm cắt. Gọiđỉnh tương ứng với miền tô đen này là v, ΓX là đồ thị con của Γ ứng với miền tôđen trong X, ΓY là đồ thị con ứng với các miền tô đen trong Y. Như thế Γ và v cóthể hiện hình học như trong hình 3.6 bên phải, do đó nó là đỉnh tách của Γ. Mâuthuẫn.

Cuối cùng, gọi đồ thị tương ứng sau phép xóa điểm cắt c là Γ′. Như đã nhận xét,Γ′ nhận được từ Γ sau khi xóa phần trong một cạnh hoặc co rút một cạnh về mộtđỉnh. Theo bổ đề 1.16, nếu xóa một cạnh e của Γ làm xuất hiện một đỉnh tách v,thì phép co rút nó sẽ không có hiệu ứng đó. Điều đó có nghĩa sẽ có một kiểu xóa

39

Hình 3.6: Nếu D không nguyên tố rõ ràng thì Γ có đỉnh tách

c dẫn đến Γ′ vẫn không có đỉnh tách. Theo chứng minh ngay trên, biểu đồ tươngứng sau khi xóa c là D′ cũng sẽ nguyên tố rõ ràng. Ta cũng đã chứng minh D′

vẫn liên thông, và nó cũng không thay phiên vì nó vẫn giữ hai điểm cắt liên tiếpcủa D mà ta nói bên trên. Theo giả thiết quy nạp thì |s+D′|+ |s−D′| < n + 1, vàtừ đó ta có điều phải chứng minh.

Định lý 3.10 dưới đây chính là kết quả của Kauffman, Murasugi và Thistletwaite màta nhắc đến đầu chương. Một định nghĩa cần thiết được nêu ra trước khi ta trình bàyđịnh lý:

Định nghĩa 3.9 Với mỗi đa thức Laurent V biến t, ta gọi biên độ của V, kí hiệuB(V), là hiệu số giữa số mũ lớn nhất và nhỏ nhất của t xuất hiện trong V.

(Như thế

B(V) = M(V)−m(V))

Định lý 3.10 (Kauffman, Murasugi, Thistletwaite) Cho D là một biểu đồ liên thôngcó n điểm cắt của link định hướng L. Như thường lệ, đa thức Jones của L được kí hiệulà V(L). Khi đó:

(i) B(V(L)) ≤ n.

(ii) Nếu D là biểu đồ thay phiên và thu gọn, thì B(V(L)) = n.

(iii) Nếu D là một biểu đồ nguyên tố và không thay phiên, thì B(V(L)) < n.

CHỨNG MINH. (i) Nhắc lại rằng đa thức Jones V(L) thu được từ đa thức Kauff-man X(L) = (−A)−3w(D)

⟨|D|⟩

qua phép đổi biến t = A−4. Do đó, 4B(V(L)) =

B⟨|D|⟩= M

⟨|D|⟩− m

⟨|D|⟩

(ở đây, M⟨|D|⟩, m

⟨|D|⟩

tính theo lũy thừa của A).Theo hai bổ đề 3.5 và 3.7 ta có:

4B(V(L)) ≤ 2n + 2|s+D|+ 2|s−D| − 4 ≤ 4n

(ii) Nếu D là biểu đồ thay phiên và thu gọn, thì nó là đầy đủ. Khi đó, bất đẳngthức trong bổ đề 3.5 trở thành đẳng thức. Kết hợp với phần (i) bổ đề 3.8 ta được4B(V(L)) = 4n.

(iii) Nếu D là biểu đồ nguyên tố thì nhân tử là biểu đồ nút tầm thường không có ảnhhưởng gì đến đa thức Jones, nhưng có thể chứa điểm cắt. Vì vậy, không mất tổng

40

quát ta có thể xem D là biểu đồ nguyên tố rõ ràng. Theo phần (ii) bổ đề 3.8 ta cóB(V(L)) < n.

Bằng cách lấy một hướng trên link rồi sử dụng định lý 3.10, ta được:

Hệ quả 3.11 Nếu link L có một biểu đồ liên thông, thay phiên, thu gọn, với n điểm cắt,thì nó sẽ không có biểu đồ nào có ít hơn n điểm cắt (tức là c(L) = n). Mọi biểu đồ khôngthay phiên và nguyên tố của L đều có số điểm cắt lớn hơn n.

Hiển nhiên kết luận đầu tiên của hệ quả 3.11 là sự tổng quát hóa của giả thuyếtTait thứ nhất.

CHỨNG MINH. Lấy một hướng trên L. Vì L có một biểu đồ liên thông, thay phiên, thugọn nên theo phần (ii) định lý 3.10 ta có B(V(L)) = n. Nếu L có một biểu đồ với m điểmcắt thì từ phần (i) của định lý 3.10 ta thu được n = B(V(L)) ≤ m. Còn nếu L có mộtbiểu đồ nguyên tố và không thay phiên với m điểm cắt, thì từ phần (iii) của định lý3.10 suy ra n = B(V(L)) < m.

Một trong những ý nghĩa của giả thuyết Tait thứ nhất là nó cho ta một tiêu chuẩnđể chứng minh một link không thay phiên. Chẳng hạn từ bảng các nút nguyên tốtrong chương 1, ta thấy ba nút 819, 820 và 821 có đa thức Jones với biên độ nhỏ hơntám. Theo kết quả trên, nếu chúng có biểu đồ thay phiên, thì các biểu đồ này phải cósố điểm cắt nhỏ hơn tám. Tuy nhiên, các nút có biểu đồ có bảy điểm cắt hoặc nhỏ hơnđã được liệt kê trong bảng, và không có nút nào có đa thức Jones trùng với đa thứcJones của một trong ba nút trên. Do đó ba nút này không có biểu đồ thay phiên, tứclà chúng không phải là nút thay phiên.

Cuối cùng, ta nêu ra hai hệ quả khác của định lý 3.10.

Hệ quả 3.12 Nếu link L có phân tích L = L1#L2 với L1, L2 là hai link thay phiên,không tách, thì

c(L) = c(L1) + c(L2).

(Trường hợp tổng quát vẫn là một câu hỏi mở rất cổ điển trong lý thuyết nút.)

CHỨNG MINH. Bằng cách dịch chuyển nhân tử L1 ra phía sau một điểm cắt của L2

nếu cần, ta suy ra L là một link thay phiên. Hiển nhiên L cũng là link không tách. Dođó, nếu ta lấy một hướng trên L thì B(V(L)) = c(L). Lại vì V(L) = V(L1)V(L2) nênB(V(L)) = B(V(L1)) + B(V(L2)) = c(L1) + c(L2), và ta có điều cần chứng minh.

Hệ quả 3.13 Nếu L là link định hướng, thay phiên, không tách, và đẳng luân với linkgương của nó, thì c(L) là số chẵn.

CHỨNG MINH. Từ hai đẳng thức:

41

V(L)(t−1) = V(L)(t).

V(L)(t) = V(L)(t) (vì L và L đẳng luân).

ta suy ra V(L) là đa thức Laurent với các lũy thừa đối xứng. Do đó B(V(L)) = c(L)phải là số chẵn.

Nhận xét 3.14 Ta thấy có một sự tương tự thú vị giữa đa thức Jones với một bất biếnđa thức khác là đa thức Alexander. Trong khi đa thức Alexander cung cấp các thôngtin về giống của các link thay phiên không tách ([5]), thì đa thức Jones cung cấp cácthông tin về số điểm cắt của loại link này.

42

Kết luận

Các công việc chính mà luận văn đã hoàn thành như sau:

+ Trình bày các khái niệm cơ bản của Lý thuyết nút.

+ Trình bày cách tiếp cận tới đa thức Jones của Kauffman. Các tính chất cơ bảncủa đa thức Jones cùng với các tính toán được trình bày tỉ mỉ và chi tiết.

+ Trình bày chứng minh giả thuyết Tail thứ nhất.

43

Tài liệu tham khảo

[1] J.A. Bondy, U.S.R. Murty, Graph Theory, Graduate Texts in Math. 244,Springer-Verlag, (2008).

[2] P. R. Cromwell, Knots and Links, Cambridge University Press, (2004).

[3] S. Eliahou, L.H. Kauffman, M.B Thistlethwaite, Infinite families of links withtrivial Jones polynomial, Topology. 42 (2003) 155− 169.

[4] L.H. Kauffman, State models and the Jones polynomial, Topology.26 (1987) 395− 407.

[5] W. B. R. Lickorish, An Introduction to Knot Theory, Graduate Texts in Math.175, Springer-Verlag, 1997.

[6] K. Murasugi, Jones polynomials and classical conjectures in knot theory, Topol-ogy. 26 (1987) 187− 194.

[7] K. Murasugi, Knot Theory and Its Applications, (translated from the Japaneseby Bohdan Kurpita), Birkhauser, (1996).

[8] T. Ohtsuki, Quantum Invariants. A Study of Knots, 3-Manifolds, and Their Sets, Series on Knots and Everything. 29, World Scientific Publishing, (2002).

[9] V. V. Prasolov, A. B. Sossinsky, Knots, Links, Braids and 3-Manifolds. An in-troduction to the new invariants in low-dimensional topology, Translations ofMathematical Monographs. 154, American Mathematical Society, (1997).

[10] M.B. Thistlethwaite, A spanning tree expansion of the Jones polynomial, Topol-ogy. 26 (1987) 297− 309.

44

Documents

VỀ ĐA THỨC JONES CỦA NÚT