OSNOVE SPREGNUTIH KONSTRUKCIJA školska2019/2020

Vežbe3: Analiza spregnutih konstrukcija prema teoriji elastičnosti

Određivanje vrednosti skupljanja i tečenja betona kod spregnutog nosača

Primer 1:

U poprečnom preseku spregnutog nosača, koji je dat na skici, deluje normalna sila N i moment

savijanja M. Odrediti napone u karakterističnim tačkama (1-5) preseka za vreme t=to i t→∞.

a) Koristiti algebarsku vezu EM metode za σ-ε za beton

b) Prema Evrokodu 4

Podaci:

N = -2000 kN M = 6000 kNm

Betonski deo preseka:

Ec0 = 32 GPa φ = 3.4 εcs= - 330 x10-6

Čelični nosač i armatura:

Ea = Es = 210 GPa

Primer 2:

Za spregnuti nosač poprečnog preseka prikazanog na slici, odrediti:

a) vrednost koeficijenta tečenja za t=∞, tj. φ(∞, t0)

b) vrednost koeficijenta tečenja za t=90 dana, tj. φ(90, t0)

c) vrednost dilatacije skupljanja za t=∞, tj. εcs(∞)

d) vrednost dilatacije skupljanja za t=90 dana, tj. εcs(90)

Klasa betona C25/30

Vrsta cementa 32.5N

Relativna vlažnost: element u unutrašnjosti objekta RH=50%

Starost betona u trenutku opterećenja: t0 = 28 dana

Početak sušenja betona: ts = 3 dana

PRIMER 1 - REŠENJE:

BETONSKA PLOČA:

površina:

sopstveni moment inercije:

odstojanje težišta betonske ploče od gornje ivice betonske ploče:

ČELIČNI PROFIL:

površina:

položaj težišta od gornje ivice profila:

odstojanje težišta profila od gornje ivice ploče:

sopstveni moment inercije čeličnog profila:

ARMATURA:

površina:

težište armature od gornje ivice betonske ploče:

SPREGNUT PRESEK t=t0

bezdimenzionalni koeficijent redukcije:

redukovana površina preseka:

površina idealizovanog preseka:

težište idealizovanog preseka u odnosu na gornju ivicu betonske ploče:

moment inercije idealizovanog preseka:

NAPONI U TRENUTKU t=t0

_____11 o

io

o

io

oa z

I

M

A

N

2

2

22 11.3)72.27(92.8627156

106000

14.1689

2000

cm

kNz

I

M

A

No

io

o

io

oa

___________

111222 a

co

io

o

io

o

cc

nz

I

M

A

N

n

2

2

55 73.0)72.51(92.8627156

106000

14.1689

2000

56.6

11

cm

kNz

I

M

A

N

no

io

o

io

o

cc

2

2

32 53.3)72.33(92.8627156

106000

14.1689

2000

cm

kNz

I

M

A

No

io

o

io

os

2

2

41 50.4)72.47(92.8627156

106000

14.1689

2000

cm

kNz

I

M

A

No

io

o

io

os

EM METODA: vreme t

Fiktivne sile:

𝑁𝜑 = 𝑁 + 𝑛𝑠 =

𝑀𝜑 = 𝑀 + 𝑚𝑠 =

EM METODA: naponi u trenutku t usled TEČENJA

211 37.11)25.119(7.590095535.841 cm

kNz

I

M

A

N

iia

2

2

22 18.10)75.67(7.5900955

105.6800

35.841

2000

cm

kNz

I

M

A

N

iia

2222 35.0)18.10(875.28

111

cm

kN

nz

I

M

A

N

na

tiitc

2

2

55 45.0)75.91(7.5900955

105.6800

35.841

2000

875.28

11

cm

kNz

I

M

A

N

n iitc

2

2

33 88.10)75.73(7.5900955

105.6800

35.841

2000

cm

kNz

I

M

A

N

iis

2

2

44 49.12)75.87(7.5900955

105.6800

35.841

2000

cm

kNz

I

M

A

N

iis

EM METODA: naponi u trenutku t usled SKUPLJANJA

211 73.0)25.119(7.590095535.841 cm

kNz

I

m

A

n

i

s

i

sa

2

2

22 64.3)75.67(7.5900955

101378

35.841

1728

cm

kNz

I

m

A

n

i

s

i

sa

2

62,22 11.0)10330(10273.7)64.3(

875.28

11

cm

kNE

ncseffca

tc

209.0)610330(210273.7

)75.91(7.5900955

2101378

35.841

1728

875.28

1

,5

1

5

cm

kN

cseffcEz

iI

sm

iA

sn

tnc

2

2

33 77.3)75.73(7.5900955

101378

35.841

1728

cm

kNz

I

m

A

n

i

s

i

ss

2

2

44 10.4)75.87(7.5900955

101378

35.841

1728

cm

kNz

I

m

A

n

i

s

i

ss

EC4 METODA: naponi u trenutku t usled TEČENJA

𝐸𝑐,𝑒𝑓𝑓 =𝐸𝑐0

1 + 𝛹 ∙ 𝜑=

𝑛𝑡𝑐 =𝐸𝑎

𝐸𝑐,𝑒𝑓𝑓=

𝐴𝑖 = 𝐴𝑎 + 𝐴𝑠 +𝐴𝑐

𝑛𝑡𝑐= 823.46𝑐𝑚2

𝑒𝑖 =𝐴𝑎 ∙ 𝑒𝑎 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑒𝑠 +

1

𝑛𝑡𝑐∙ 𝐴𝑐 ∙ 𝑒𝑐

𝐴𝑖= 93.48𝑐𝑚2

𝐼𝑖 = 𝐼𝑎 + 𝐴𝑎 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑎)2 + 𝐴𝑠1 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑠1)2 + 𝐴𝑠2 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑠2)2 +

1

𝑛𝑡𝑐∙ [𝐼𝑐 + 𝐴𝑐 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑐)2] = 5783880𝑐𝑚4

𝑁 = 𝑁0 = −2000 𝑘𝑁

𝑀 = 𝑀0 − 𝑁0 ∙ 𝑒 = 𝑀0 − 𝑁0 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑖0) = 6000 − (−2000) ∙ (93.48 − 51.72) ∙ 10−2 =

6835.15 𝑘𝑁𝑚

211 46.1152.117578388046.823

2000

cm

kNz

I

M

A

N

iia

2

2

22 64.10)48.69(5783880

1015.6835

46.823

2000

cm

kNz

I

M

A

N

iia

2222 34.0)64.10(10.31

111

cm

kN

nz

I

M

A

N

na

tciitcc

2

2

55 43.0))48.93(5783880

1015.6835

46.823

2000(

10.31

11

cm

kNz

I

M

A

N

n iitcc

2

2

33 35.11)48.75(5783880

1015.6835

46.823

2000

cm

kNz

I

M

A

N

iis

2

2

44 0.13)48.89(5783880

1015.6835

46.823

2000

cm

kNz

I

M

A

N

iis

EC4 METODA: naponi u trenutku t usled SKUPLJANJA

𝐸𝑐,𝑒𝑓𝑓 =𝐸𝑐0

1 + 𝛹 ∙ 𝜑=

𝑛𝑡𝑠 =𝐸𝑎

𝐸𝑐,𝑒𝑓𝑓=

𝐴𝑖 = 𝐴𝑎 + 𝐴𝑠 +𝐴𝑐

𝑛𝑡𝑠= 974.28𝑐𝑚2

𝑒𝑖 =𝐴𝑎 ∙ 𝑒𝑎 + 𝐴𝑠 ∙ 𝑒𝑠 +

1

𝑛𝑡𝑐∙ 𝐴𝑐 ∙ 𝑒𝑐

𝐴𝑖= 93.48𝑐𝑚2

𝐼𝑖 = 𝐼𝑎 + 𝐴𝑎 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑎)2 + 𝐴𝑠1 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑠1)2 + 𝐴𝑠2 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑠2)2 +

1

𝑛𝑡𝑠∙ [𝐼𝑐 + 𝐴𝑐 ∙ (𝑒𝑖 − 𝑒𝑐)2] = 6637364.5𝑐𝑚4

Fiktivne sile u preseku usled skupljanja:

𝑛𝑠 = 𝐸𝑐,𝑒𝑓𝑓 ∙ 𝐴𝑐 ∙ 𝜀𝑐𝑠 = 11.15 ∙ 102 ∙ 7200 ∙ 10−4 ∙ (−330 ∙ 10−6) = −1728 𝑘𝑁

težište betonske ploče u odnosu na težišnu osu y: 𝑧𝑐 = −68.87𝑐𝑚

𝑚𝑠 = 𝑛𝑠 ∙ 𝑧𝑐 = −2649.2 ∙ (−68.87 ∙ 10−2) = 1824.4 𝑘𝑁𝑚

211 86.013.1305.663736428.974 cm

kNz

I

m

A

n

i

s

i

sa

2

2

22 28.4)87.56(5.6637364

104.1824

28.974

2.2649

cm

kNz

I

m

A

n

i

s

i

sa

2

62,22 14.0)10330(1015.11)28.4(

83.18

11

cm

kNE

ncseffca

tsc

2

622

,55 11.0)10330(1015.11)87.80(5.6637364

104.1824

28.974

2.2649

83.18

11

cm

kNEz

I

m

A

n

ncseffc

i

s

i

s

tsc

2

2

33 45.4)87.62(5.6637364

104.1824

28.974

2.2649

cm

kNz

I

m

A

n

i

s

i

ss

2

2

44 83.4)87.76(5.6637364

104.1824

28.974

2.2649

cm

kNz

I

m

A

n

i

s

i

ss

PRIMER 2 - REŠENJE:

Beton klase C25/30 → fck =25MPa 𝑓𝑐𝑑 =25

1,5= 16.67 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑐𝑚 = 31 𝐺𝑃𝑎

Koeficijent tečenja

a) određivanje vrednosti koeficijenta tečenja za t=∞, tj. φ(∞, t0)

obim dela preseka izloženog vazduhu (sušenju):

površina betona

nominalna dimenzija poprečnog preseka betonskog elementa (mera za brzinu i intenzitet

procesa isušivanja betona):

Konačna vrednost φ(∞, t0) se određuje sa slike, za ℎ0=200 mm, RH = 50 %, t0=28 dana, C25/30 i

cement 32.5N:

φ(∞, t0)=2.6

b) određivanje vrednosti koeficijenta tečenja za t=90 dana, tj. φ(90, t0)

koeficijent tečenja se određuje kao (EC2, ANNEX B)

φ(t, t0)= φ0∙β(t, t0), gde je

φ0 nominalna vrednost koeficijenta tečenja

β(t, t0) koeficijent kojim se uzima u obzir vremenski razvoj deformacije tečenja, počev od

trenutka nakon opterećivanja (za t0=0, β(t, t0)=0; za t=0, β(∞, t0)=1); izraz za izračunavanje je

dat kasnije

Nominalna vrednost koeficijenta tečenja φ0 određuje se na osnovu izraza:

φ0= φRH∙β(fcm) ∙ β(t0) gde je

φRH faktor kojim se uzima u obzir uticaj relativne vlažnosti na nominalnu vrednost

koeficijenta tečenja

fcm = fck + 8MPa = 33 MPa je srednja čvrstoća betona. Dakle, u posmatranom

primeru je

𝜑𝑅𝐻 = 1 +1 − 50/100

0.1√2003 = 1.855

β(fcm) је faktor kojim se uzima u obzir uticaj čvrstoće betona na nominalnu vrednost

koeficijenta tečenja

𝛽(𝑓𝑐𝑚) =16.8

√𝑓𝑐𝑚

=16.8

√33= 2.925

β(t0) је faktor kojim se uzima u obzir uticaj starosti betona u trenutku opterećivanja

betona na nominalnu vrednost koeficijenta tečenja

𝛽(𝑡0) =1

(0.1 + 𝑡00.20)

U ovom izrazu, uticaj tipa cementa na nominalnu vrednost koeficijenta tečenja se može uzeti

u obzir uzimanjem modifikovane starosti betona 𝑡0:

gde je α koeficijent koji zavisi od vrste cementa (α= -1 za klasu cementa S, α= 0 za klasu

cementa N i α= 1 za klasu cementa R); 𝑡0,𝑇 je starost betona u trenutku opterećivanja

modifikovana uticajem temperature na početku opterećivanja. Ovaj uticaj povišene ili smanjene

temperature (u rasponu od 0 do 80°C) na zrelost betona može se uzeti u obzir na sledeći način:

gde je Т(Δti) temperatura u °C u periodu vremena Δti, a Δti je broj dana kada je temperatura bila

T. U našem primeru, usvojeno je 𝑡0,𝑇 = 𝑡0 = 28 dana, pa je modifikovana starost betona

𝑡0 = 28 ∙ (9

2+281.2 + 1)0

=28 dana ≥ 0.5

U konkretnom primeru, vrednost faktora β(t0) je

𝛽(28) =1

(0.1+280.2)=0.49

Konačno, nominalna vrednost koeficijenta tečenja je

φ0= φRH∙β(fcm) ∙ β(t0)=1.855∙2.925∙0.49=2.66

Koeficijent kojim se uzima u obzir vremenski razvoj deformacije tečenja β(t, t0) određuje se na

osnovu izraza:

gde je:

t starost betona u posmatranom trenutku (u danima)

βH koeficijent koji zavisi od relativne vlažnosti i nominalne dimenzije poprečnog

preseka:

U konkretnom primeru je:

𝛽𝐻 = 1.5[1 + (0.012 ∙ 50)18] ∙ 200 + 250 = 550 < 1500

𝛽(90,28) = [(90 − 28)

(550 + 90 − 28)]

0.3

= 0.503

Konačno, koeficijent tečenja se pri starosti betona od 90 dana iznosi

φ(t, t0)= φ0∙β(t, t0)=2.66∙0.503=1.34

što je približno polovina konačne vrednosti koeficijenta tečenja.

Deformacija skupljanja

c) određivanje vrednosti dilatacije skupljanja za t=∞, tj. εcs(∞)

Ukupna dilatacija skupljanja εcs jednaka je zbiru dilatacije skupljanja usled sušenja εcd i sopstvene

(autogene) dilatacije skupljanja εca:

εcs= εcd + εca

Konačna vrednost dilatacije usled sušenja εcd, ∞=kh∙ εcd, 0

gde se vrednost εcd, 0 može očitati iz tabele (za betone spravljene od cementa klase N, tabela je

preuzeta iz EC2)

ili sračunati preko izraza

U primeru je:

𝛽𝑅𝐻 =

𝜀𝑐𝑑,0 =

Koeficijent kh zavisi od nominalne dimenzije preseka h0 i može se odrediti na osnovu tablice

Dakle, u našem primeru, h0=200mm pa je kh=0.85. Konačna vrednost dilatacije skupljanja usled

skupljanja iznosi

εcd, ∞=

Konačna vrednost sopstvene dilatacije skupljanja εca je jednaka:

𝜀𝑐𝑎(∞) = 2.5(𝑓𝑐𝑘 − 10)10−6 =

Ukupna konačna vrednost dilatacije skupljanja iznosi:

εcs(∞)=

d) određivanje vrednosti dilatacije skupljanja za t=90 dana, tj. εcs(t)

Ukupna dilatacija skupljanja u trenutku t određuje se kao:

εcs(t)= εcd(t) + εca(t)

Vrednost dilatacije usled sušenja εcd(t) određuje se kao

𝜀𝑐𝑑(𝑡) = 𝛽𝑑𝑠(𝑡, 𝑡𝑠) ∙ 𝑘ℎ ∙ 𝜀𝑐𝑑,0

𝛽𝑑𝑠(𝑡, 𝑡𝑠) =(𝑡 − 𝑡𝑠)

(𝑡 − 𝑡𝑠) + 0.04√ℎ03

gde je ts starost betona, u danima, kada počinje isušivanje betona; obično se uzima da se poklapa sa

krajem negovanja betona. U ovom primeru je:

𝛽𝑑𝑠(90,3) =(90−3)

(90−3)+0.04√2003=0.435

𝜀𝑐𝑑(𝑡) = 0.435 ∙ 0.85 ∙ 5.12 ∙ 10−4 = 1.89 ∙ 10−4

Autogena dilatacija skupljanja je:

𝜀𝑐𝑎(𝑡) = 𝛽𝑎𝑠(𝑡)𝜀𝑐𝑎(∞)

𝛽𝑎𝑠(𝑡) = 1 − 𝑒𝑥𝑝(−0.2 ∙ 900.5) = 0.85

𝜀𝑐𝑎(∞) = 3.75 ∙ 10−5

𝜀𝑐𝑎(90) = 0.85 ∙ 3.75 ∙ 10−5 = 3.19 ∙ 10−5

Ukupna dilatacija skupljanja u trenutku t određuje se kao:

𝜀𝑐𝑠(𝑡) = 1.89 ∙ 10−4 + 3.19 ∙ 10−5 = 2.209 ∙ 10−4