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Chapter 2
Chapter 2
向量分析
(Vector Analysis)
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Chapter 2
§2-1 介紹
• 純量(Scalar) : e, I , , 向量(Vector): , , , ,
1.對於一個給定的幾何物理定律要採用坐標系描述。
2.但物理定律和定理是保持不變與坐標系統無關。
3.本章中三大主題:
a.向量代數
b.正交坐標系統
c.向量微積分
mWcWE H B D J
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Chapter 2
§2-2向量加法和減法
Figure2-1 向量A用圖形表示
AaA A
AA
A
A
A
AaA
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Chapter 2
Figure2-2 向量條件
BAC
(1) Commutative law :
(2) Associate law :
ABBA
CBACBA
)()(
(交換律)
(結合律)
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Chapter 2
Figure2-3 向量條件
向量減法 :
)( BABA
BaB B)(
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Chapter 2
§2-3向量積
Figure2-4 說明 A 和 B 的向量積
ABABBA cos
2AAA
A A A ABBA
CABACBA
)(
)( kAaAkA
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Chapter 2
例子 2-1
證明三角形的餘弦定理
Figure2-5 說明例子2-1
cos222 ABBAC
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Chapter 2
cos2
),cos(2
2
)()(
22
22
2
ABBA
ABBA
BABBAA
BABACCC
ABAB
例子2-1 證明三角形的餘弦定理
Figure2-5 說明例子2-1
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Chapter 2
2-3.2 Vector or cross product (向量積或叉積)
Figure2-6 向量積
ABn ABaBA sin
BAAB
CABACBA
)(
CBACBA
)()(
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Chapter 2
§2-3.3純量三重積(Scalar triple product)
Cyclic permutation (循環互換)
)()()( BACACBCBA
)()()()()()( ABCBACCABACBBCACBA
1sinBCCB
21cossin ABCVolume
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Chapter 2
321
321
321
4
2
3
aaaC
aaaB
aaaA
0....(3) 2 4 0
0.....(2) 3 1 4 0
(1) 0....... 6 0
CB
CA
BA
-42
-134
-6
11
7
210
304
011
4-10
1-04
6-11
,11
58-
210
304
011
24-0
31-4
06-1
,11
8
210
304
011
214-
301-
016-
1, 2, 32-3.1 a a a 為三度空間正交基底.向量 . . . CBA
為
若三向量兩兩垂直.求 ? . .
Solve :
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Chapter 2
§2.4正交座標系統
三種正交的坐標系統:
1.笛卡爾(或直角)坐標(Cartesian coordinate)
2.圓柱坐標(Cylindrical coordinate)
3.球面坐標(Spherical coordinate)
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Chapter 2
§2.4.1 直角座標
),,(),,( 321 zyxuuu
yxz
xzy
zyx
aaa
aaa
aaa
111 zayaxapo zyx
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Chapter 2
zzyyxx AaAaAaA
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
aaa
BA
1321 hhh
dxdydzdv
dxdyds
dxdzds
dydzds
z
y
x
zzyyxx BABABABA
dzadyadxald zyx
h : metric coefficient
(度規係數)
zzyyxx BaBaBaB
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Chapter 2
Figure2-11 直角座標的微分體積
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Chapter 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
-2 3
4 2
?
a a a
A a a a
B a a a
A B
例題2-3補充假設 、 、 為一組正交基底
則向量 在 方向的分量為何
321
)321(
)321(
)321(
222
21
16
21
8
21
32
2421
8
2421
1
21
8cos
2421
1
21
21
8
21
624coscos
21214
: solve
aaa
aaa
aaaAu
aaaB
u
B
BAABABA
B
B
B
B
A
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Chapter 2
x y za a a A B C例題: 、 、 為一組正交基底,若有三向量、、 分別為
? ).1( CBACBACABA
、、、求zy
zyx
zyx
aaC
aaaB
aaaA
23
32
1 1 -1
. A B C 2 -3 1
0 3 -2
6 6 3 4 1
C
-211-3-121 A. BA
2 3 0
1 1 1
.
zyx aaa
CAB
zyx
zyx
aaa
aaa
32
3232
BACCABCBAD
.
zyx aaa
51510CAB 523CA
zy aa
46 BAC -21-3-2BA
BAC-CAB
CBA
zyx aa9-a10
Solve:
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Chapter 2
x(2) a = A + B + C ? 求 , ,
: x y za a a A B C例題補充 、 、 為一組正交基底,若有三向量、、 分別為
zy
zyx
zyx
aaC
aaaB
aaaA
23
32
x y
Sol:
A+ B + C=( +2 )a +( -3 +3 )a +(- + -2 ) a
2 0 1
-3 3 0
-1 2 0
1 2 0 1 1 0 1 2 0
0 3 3 1 0 3 1 3 1
0 1 2 1 0 2 1 0 13 3 2 1 33, 1,
1 2 0 1 2 0 1 2 01 1 1
1 3 3 1 3 3 1 3 3
1 1 2 1 1 2 1 1 2
z
2
: 3 1 2Ans
, ,
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Chapter 2
給定 , 找出單位向量的表達示
像是 , (a) (b) , 假設 位於xy平面
例子2-4
30
2-,
30
5,
30
1
30
1
14251[2][1]
052-
....[2]505-
....[1]-202
0
1 2- 5
0||(a)
1:runit vecto
yx2
2
222
2y
2x
2
2y
2x
BBBB
BBBBBB
BB
BBBB
BBBB
BBB
aaa
AB
ABAB
BBB
zz
zzzz
yx
zxzx
zyzy
zyx
zyx
z
得到代入跟將
可得
的話,則
Solve:
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Chapter 2 29
2,
29
5 1
25
29
125
41
5
2 05-2
0
plane)- xy0(in the :)(
xy2
y
2y
2y
2y
2x
z
BBB
BBBB
BBBB
ABAB
Bb
yxxy
的話,則
解shared by:www.cnantennas.com
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Chapter 2
例子2-5 (a)寫出向量點 到點 的直角坐標表示式 。
(b)這條線的長度是多少?
252
)23()423(
)(
1221
zyx
zyxzyx
aaa
aaaaaa
OPOPPP
a
33
2)5(2
)(
222
2121
PPPP
b
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Chapter 2
§2.4-0 正交座標系統
正交曲面座標系統滿足:
321 uuu aaa
132 uuu aaa
213 uuu aaa
0133221 uuuuuu aaaaaa
1332211 uuuuuu aaaaaa
332211 uuuuuu AaAaAaA
2
3
2
2
2
1 uuu AAAAA
三度空間:三個面的描述
3
2
1
u
u
u 常數
常數
常數
1ua
: base vector
(for examples)
(正交曲線座標系統: Orthogonal coordinate system)
(單位向量)
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Chapter 2
對於向量微積分在電磁學裡的應用
1.微分長度
iii duhdl , hi : metric coefficient
Eq. ),(),( 21 ruu
2222 : duhrddldud
rh 2
)()()( 333222111
332211
duhaduhaduha
dladladlald
uuu
uuu
233
222
211
23
22
21
duhduhduh
dldldldl
(度規係數)
dl
d
h
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Chapter 2
2.微分體積
3.微分面積
微分面積 垂直於單位向量 :
321321
321
dududuhhh
dldldldv
eq
dsasd n
dsaJ
sdJdI
n
1ua
3232321 duduhhdldlds
31312 duduhhds
21213 duduhhds
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Chapter 2
),,(),,( 321 zruuu
aaa
aaa
aaa
rz
rz
zr
§2.4.2圓柱坐標
zzrr AaAaAaA
zzrr BABABABA
zzrr BaBaBaB
(m) (rad), : 不是真正長度徑度
圖2-10 圓柱座標。(a)一個圓柱面;一個以Z軸為一邊的半平面,和一個垂直Z軸的平面。(b)圓柱面和在(a)中的二個平面的交點定出P點的位置。
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Chapter 2
dzardadrald zr
dzrdrddv
rdrdds
drdzds
dzrdds
z
r
rh
hh
2
31 1shared by:www.cnantennas.com
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Chapter 2
直角坐標和圓柱座標向量分量之間的關係
z
r
z
y
x
A
A
A
A
A
A
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
xxrr
xx
aaAaaA
aAA
zzyyxx
zzrr
AaAaAa
AaAaAaA
)0( xz aa
cos xr aa
sin)2
cos( xaa
sincos AAA rx
sin)2
cos( yr aa
cos yaa
cossin AAA ry
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Chapter 2
從圓柱坐標變換為直角坐標
zz
ry
rx
sin
cos
zz
x
y
yxr
1
22
tan
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Chapter 2
範例 2-6
假設一個向量場在圓柱座標中的表示式為 52cos3 zr araaA
(a)在點P(4,600,5)的場為何?(b)在直角坐標中表示在P處的場
(c)直角坐標中表示點P的位置! P
A
0 0
( ) 3 / 2 8 5
( ) 7.68 2.7 5
( )(4cos60 ,4sin60 ,5) (2,2 3,5)
r z
r z
a A a a a
b A a a a
c
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Chapter 2
§2.4.3 球座標
圖2-13 (a)一個球面,一個正圓錐,和一個含Z軸的半平面。(b)在(a)中的球、圓錐,和半平面的交點定義了P點。
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Chapter 2
),,(),,( 321 Ruuu
aaa
aaa
aaa
R
R
R
§2.4.3 球座標
AaAaAaA RR
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Chapter 2
sin
1
3
2
1
Rh
Rh
h
dRaRdadRald R sin
ddRdRdv
RdRdds
dRdRds
ddRdsR
sin
sin
sin
2
2
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Chapter 2
圖 2-14 在球座標中的微分體積
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Chapter 2
(x,y,z) (R,,)
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Chapter 2
球坐標可轉變為直角坐標
cossinRx 222 zyxR
sinsinRy z
yx 22
1tan
x
y1tan
),,( zyx
cosRz
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Chapter 2
dzadyadxald zyx
dzardadrald zr
dRaRdadRald R sin
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Chapter 2
r
z
ds
ds drdz
ds
dv rdrd dz
2sin
Rds R d d
ds
ds RdRd
dv
r zdl a dr a d a dz
R
dl a dR a d a d
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Chapter 2
範例2-7
在球座標中表示單位向量 。 za
cos
sin
0
Thus,
cos sin
z R
z
z
z R
a a
a a
a a
a a a
.
.
.
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Chapter 2
範例2-8 假設被侷限在半徑為2和5(cm)的二個球面之間的電子雲的電荷密度為
求出包含在此區域中的總電荷。
, cos103 32
4
8
mCR
)(8.1)4/2(sin)2/(10*8.1
2/)2cos1(cos.. cos)cos(10*9.0
cossin3010*3
cossin1
10*3
cos)10*3
(
sin
2
0
6
222
00
6
2
0
2
0
8
205.0
02.0 20
2
0
8
05.0
02.00
2
0
2
4
8
2
C
spd
dd
ddRdR
Q
dvQdvQ
R
ddRdRdv
Solve :
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Chapter 2
R.2-11什麼是度規係數?
R.2-14純量和純量場之間的區別是什麼?
R.2-15向量和向量場之間的區別是什麼?
回顧問題: shared by:www.cnantennas.com
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Chapter 2
S
n
S
dsaAsdA
(double integral)
正方向:向外 取決於在其中開口表面的周邊
被穿過的方向
is a constant na
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Chapter 2
§ 2.5純量場的梯度(Gradient of a scalar field) 定義:一個純量場V(u1,u2,u3)在給定的點上空間變化率(會是一個向量)
└─→如溫度、海拔、電位
P1→P2:沿著法線向量
P1→P3:沿著另一個向量
nd
nddl
dn :兩個等位面之間的最短距離,等位面:
cdVV
cV
1
1
dV/dl :電位對空間的變化率
(數學上稱為方向導數)
V=V(x,y,z)
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Chapter 2
gradn
dVV a
dn
n
dVV a
dn
方向導數: cos
n l
l
dV dV dn dV
dl dn dl dn
dVa a
dn
V a
,ldVdlaVdV l
)( dlald l
dn
dV : maximum1cos
定義:一個純量V的最大空間變率的大小和方向的向量
稱為該純量V的梯度( grad V)
dn
dV
dl
dV
dl
dV
dl
dV 01cosmax )()()(
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Chapter 2
3
3
2
2
1
1
dll
Vdl
l
Vdl
l
VldVdV
332211
321
321
321
duhaduhaduha
dladladlald
uuu
uuu
)()( 321
321321321dladladla
l
Va
l
Va
l
VadV uuuuuu
321321 l
Va
l
Va
l
VaV uuu
l
dVV a
dl
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Chapter 2
直角坐標
),,,(),,( 321 zyxuuu 1321 hhh
)V( z
ay
ax
a
z
Va
y
Va
x
VaV
zyx
zyx
za
ya
xa zyx
332211
321
uha
uha
uha uuu
向量微分運算:
一般形式:
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Chapter 2
EXAMPLE 2-9
電場強度 可由純量電位V的負梯度導出;亦即, .
若 E
VE
E
4sin (a) 0
yeVV x cos (b) 0REV
)16
(12
1E
2
1*)
4(
2
1EE where
Ea]2
1
4a-
2
1a[E
]2
1
4a-
2
1a[eV(1,1,0)E
y]4
cos4
a-y4
sina[eV
y]4
cose4
ay4
sinea[--V
y4
sine]Vz
ay
ax
a-[V-E
2
0
2
0
Eyx0
yx
1-
0
yx
x-
0
x-
y
x-
x0
x-
0zyx
161
4a-a
)16
(12
1E
]2
1
4a-
2
1a[E
E
Ea
2
yx
2
0
yx0
E
Solve:
1
00 eVEset
,決定在(1,1,0)點的
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Chapter 2
cos (b) 0REV
sincos : Because
E-
]sincos[-E
)](-sincos[-E
cos]EsinR
-[E
0
0
0
0
θRZ
Z
θR
θR
φθR
aaa
a
aa
aa
RR
aR
aa
If
Solve :
000 )()cos(-E (c) EazEz
aREz
aV zzz
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Chapter 2
R.2-15純量場的梯度在物理上的定義是什麼?
回顧問題: shared by:www.cnantennas.com
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Chapter 2
§ 2.6 向量場的散度(Divergence of a vector field)
向量場的空間導數
(a) 由密度 (b) 由長度 (c) 均勻場
源點的存在:正的淨散度
匯點的存在:負的淨散度 均勻場:散度為0
為了表示磁場的變化圖形
div A 是一個測量源點強度的量度
0 A
0 A
通量線(Flux lines)
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Chapter 2
散度(Divergence )的定義 向量場 的散度之定義:
A
當圍繞該點的體積趨近於0時,單位體積
的淨向外通量:代表向量的空間導數
A
vA
v
sdAlimdiv
0
(散度是純量)
(Scalar quantity)
(空間導數: Spatial derivative ) A
(純量)
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Chapter 2
vA
v
sdAlimdiv
0
(Scalar quantity)
0 A
0 A
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Chapter 2
直角坐標系統
sdAsdA
bottomtopfaceleft faceright faceback facefront
vA
v
sdAlimdiv
0
zzyyxx AaAaAaA
(eq.2.98)
zyzyx
xA
zyaAsAsdA
x
x
000
spacefront spacefront spacefront
facefront
,,2
(a.)
P(x0,+ ,y0,z0) 2
x
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Chapter 2
對函數進行泰勒級數展開:
0,0,0000000
2,,,,
2zyx
x
xx
x
AxzyxAzy
xxA
000 ,,
2zy
xxAx
高次項
zyx
AxzyxA
zyzyx
xAsdA
zyx
x
x
x
H.O.T.2
,,
,,2
0,0,0000
000
facefront
zyzyx
xA
zyaAsAsdA
x
x
000
faceback faceback faceback
faceback
,,2
)(
(b.)
(a.)
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Chapter 2
0,0,0000000
2,,,,
2zyx
x
xx
x
AxzyxAzy
xxA 高次項
zyxx
AsdA zyx
x
0,0,0
faceback facefront
)x
H.O.T.(
(a)+(b):
x
A
zyx
zyxxx
A
vAdiv
xzyx
x
vvx
0,0,0
00
)H.O.T.
(
limsdA
lim)(
0, as
的泰勒級數展開為
000 ,,
2zy
xxAx
zyx
AxzyxA
zyzyx
xAsdA
zyx
x
x
x
H.O.T.2
,,
,,2
0,0,0000
000
faceback
(b.)
0v
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Chapter 2
Substitution of (eq.2-107) to (eq.2-98) yields:
z
A
y
A
x
AA
zyx
div
AA
div
321
3
231
2
132
1321
1Ahh
uAhh
uAhh
uhhhA
In spherical coordinate
A
RA
RAR
RRA R
sin
1sin
sin
11 2
2
General form:
)..( , ,in sorder termhigher),,( 000TOHzyxzyx
z
A
y
A
x
AsdA zyx
zyx
(eq.2.107)
sin 1 321 RhRhh
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Chapter 2
例題2-10
求出到任一點的位置向量的散度。
x y z
Solve:
(a)
op a x a y a z
Ax Ay Az A
x y z
x y z (op) 3
x y z
直角座標。任意點的位置向量可表為:
R
2
2
2
2
(b)
op a R
1 1 1 sin
sin sin
1 3R 3
R
RA
A R A AR R R R
球座標。此時的位置向量為
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Chapter 2
例題2-11 在很長的載流導線外的磁通量密度 是環狀的且和導線軸心距離成反比。求
B
? B
重合。依題意標系中的解:令長導線和圓柱座 z
r
kaB
中,向量場的散度可由在圓柱座標 zr ,,
式 110-2 1
321
3
231
2
132
1321
Ahh
uAhh
uAhh
uhhhA
式得到 114-2 11
B z
BB
rrB
rr
zr
式得到,由,且其中, 114-2 0 zr BBr
kB
0B
z
r
BAhzu
BArhu
BAhru
333
222
111
1
1
因圓柱座標,所以代入
Bzr
zBBrr
rrB 1111
11
1
0 所以微分是沒有無散度場(Divergenceless field)
稱為螺旋場(Solenoidal field).
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Chapter 2
§ 2.7散度定理(高斯定理) (Divergence Theorem)
一個向量場散度體積分等於該向量通過包圍這個體積之
表面的總向外通量
SV
sdAdvA
sd
: outward normal
適用於有邊界表面的任意體積
Bounded by a surface sj
(垂直往外)
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Chapter 2
jS
jj sdAVA
從定義 A
in Eq. (2.98)得出
SV
N
j
jSV
N
j
jjV
sdAdVA
sdAVAjjj
limlim1
01
0
)(1
N
j
jVV
它將一個向量散度的體積分轉換為向量在封閉表面上的積分
散度定理是向量分析中一個重要的等式。
div A 是一個測量源點強度的量度
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Chapter 2
例題 2-12
給定 ,在一個單位邊長的立方體上
驗證散度定理這個立方體位於直角坐標的第一個象限中,
其中一個角的位置是在原點上。
yzaxyaxaA zyx
2
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Chapter 2
• (a)前面 : x=1,
• (b)背面: x=0,
dydzaxds
dydzdydzxdsA 2
11
0
1
0
1
0
1
0
dydzdsA
0 dsAdydzads x
Solve :首先我們對這立方體的六個面計算其面積分。
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Chapter 2
• (c)左面:y=0
• (d)右面:y=1,
0 xydxdzdsAdxdzads y
dxdzads y
xdxdzxydxdzdsA
2
1
2
1 1
0
21
0
1
0
1
0 dzxxdxdz
Solve :首先我們對這立方體的六個面計算其面積分。
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Chapter 2
• (e)下面:z=0,
• (f)上面:z=1,
dxdyads z
0 yzdxdydsA
dxdyads z
ydydxyzdxdydsA
2002
1
2
11 dsA六個面加總
2
1
2
1 1
0
21
0
1
0
1
0 dxyydydx
Solve :首先我們對這立方體的六個面計算其面積分。
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Chapter 2
• 散度:
)1082(,
z
A
y
A
x
AA zyx
yxyxxyzz
xyy
xx
32)()()( 2代入
VdvAxxdxx
dxyxydydxyx
dzdydxyxdxdydzyx
2
2
4
2
1
2
3)
2
1
2
3()
2
13(
)2
13()3(
)3()3(
1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
yzaxyaxa zyx 2A已知shared by:www.cnantennas.com
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Chapter 2
例題 2-13
給定 ,決定散度定理由在 和
中心在原點的球面,如圖2-21所示,所包圍的球殼區域中是否成立。
kRaF R
1RR 122 RRRR
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Chapter 2
)-(4 F
sin)(- F
sina - , :
sin)( F
sina , :
3
1
3
2s
1
3
1
0
1
2
0
11
2
3
2
0
2
2
0
22
4-
4
2
2
2
2
RRksd
ddRkRsd
ddRsdRR
ddRkRsd
ddRsdRR
kR
kR
R
R
兩個結果相加,得到
在內表面上
在外表面上
內表面
外表面
解 : shared by:www.cnantennas.com
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Chapter 2
2
3
2
2
R
2 3
2 2
2 R2
0 0 R1
22
0 0 1
( , , )
1 1 1sin
sin sin
F F F
1 1F F k 3k
F d 3 sin
1 R 3 sinR3
R
R
R
AA R A A
R R R R
R RR R R R
v kR dRd d
k R d d
球座標 中的散度
本題只對 分量的 求出 可得
3 32 1 ( - ) 4k R R
2sindv R dRd d
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Chapter 2
R.2-18 一個向量場的散度所代表的物理定義?
R.2-21 描述散度定理
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Chapter 2
§ 2.8 向量場的旋度(Curl of a vector field)
1.流源(Flow source): div A 是量度流源強度的大小
2.渦流源(Vortex source) :周圍向量場的旋轉
A 環繞路徑C的環場積
C
ldAc
兩種流源:
環場積(Circulation)的物理意義與向量A是代表那一種場有關
例1:渦水槽:水向下旋轉水槽排水管導致流體速度的循環。
例2:若向量A代表電場強度,則環場積為環繞封閉路徑的電動勢
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Chapter 2
例題 2-14
給訂一個向量場 ,求出它環繞圖2-22所示的路徑OABO的環場積。
xaxyaF yx 2
B
AldF
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Chapter 2
xdyxydxdF
dyadxad yx
2
2
2
222
9
9
30
30
3
xy
yx
y
x
yx
xaxyaF yx 2
219
1sin9273
1
3sin999
3
1
929
1
3
0
120
32
32
3
0
20
3
2
yyyx
dyydxxxdFB
A
2
3
2
1
2
3
1
2
1
9
u
duu
dxxx
xdxdu
xdxdu
xu
2
1
2
9 2
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Chapter 2
dxxydF )cos2sin(3
dald
xxyaxxyaF r
3
)cos2sin()sin2cos(
219
)cossinsin9
2cos1cos2 , )cos2cossin3(9
)cos6cossin9(3
2/
0
3
22/
0
22
2/
0
22
d
ddFB
A
解題用圓柱座標系統會更簡單,你可以試試看!
0
2
1 0 0
0 cos sin-
0 sin cos
x
xy
F
F
F
z
r
z
r
z
y
x
A
A
A
A
A
A
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
求反矩陣!
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Chapter 2
向量場A的旋度,記為curl A
S
ldAaAcurl C
n
S
max
0lim
or A
是一個向量,它的大小是單位面積 的最大淨環場積(當面積趨近於0時),而它的方向是使淨環場積為最大面積的法線方向。
A
Right hand rule
(2.125)
(右手定則)
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Chapter 2
S
ldHaHHcurl C
n
S
max
0lim
(2.125)
circulation
0C
H dl
I
rdar
Ia
ldH
ncirculatio
C
2
2
0
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Chapter 2
的組成在任意 方向
A
ua
uu C
uS
uu ldAS
AaA 1
lim0
4 3, 2, 1, Sides
1lim
0ldA
zyA
zyx
2-126
使用2-126式 找出直角坐標中的三個分量 A
(微分矩形平行於y-z平面區域)
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Chapter 2
Side1 :
4 3, 2, 1, Sides
1lim
0ldA
zyA
zyx
zzyyxx aAaAaAA
,zald z
,,2
, 000 zzy
yxAldA z
能用泰勒級數展開:
TOHy
AyzyxAz
yyxA zyx
zzz ..
2,,,
2, 0,0,0000000
000 ,
2, z
yyxAz
,..2
,, 0,0,0000
1 side
zTOHy
AyzyxAldA zyx
zz
(a)
Eq.2-127
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Chapter 2
能用泰勒級數展開:
TOHy
AyzyxAz
yyxA zyx
zzz ..
2,,,
2, 0,0,0000000
000 ,
2, z
yyxAz
,..2
,, 0,0,0000
3 side
zTOHy
AyzyxAldA zyx
zz
Side3 : ,zald z
,,2
, 000 zzy
yxAldA z
(b)
,..
0,0,0
3& 1 side
zyy
TOH
y
AldA zyx
z
(a)+(b):
,..
0,0,0
4& 2 side
zyz
TOH
z
AldA zyx
x
Eq.2-133
Eq.2-132
Similarly,
(積分方向顛倒為負)
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Chapter 2
y
A
x
Aa
x
A
z
Aa
z
A
y
AaA
xy
z
zx
y
yz
x
zyx
zyx
AAA
zyx
aaa
A
33 22 11
321
3 2 1
321
hh
1
321
AhAhAh
uuu
haaa
hhhA
uuu
一般型式:
最後:
That is :
替代 Eqs.(2-132) and (2-133) in Eq. (2-127), 能夠推論:
z
A
y
AA
yzx
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Chapter 2
例題2-15
表示 如果
(a) 在圓柱座標裡,k是一個常數
(b)
rkaA
0 A
RfaA R
0
0k 0
z
r
ar a a
r
1A
, A
,
A rA A
z
r
ar a a
r
1A
00ar
ka0aA ,137)-(2
1hr,h1,hz);,(r,)u,u,(u,)(
:
zr
zr
zr
zr
321321
可得對題目所給的
可得式由
在圓柱座標中
解
a
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Chapter 2
0
0 0 f(R)
R
Rsina Ra a
sinR
1A
,A
,
ARsin RA A
R
Rsina Ra a
sinR
1A
00a0a(f(R))aA
,
;RsinhR,h1,h);,(R,)u,u,(u,(b)
R
2
R
R
2
R
321321
得帶入題目所給的
因此
在球座標中
一個沒有旋度的向量稱為無旋場或保守場(irrotational field) (無旋場或保守場)
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Chapter 2
R.2-22 一個向量場的旋度的物理意義是什麼?
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Chapter 2
§ 2.9 Stoke’s定理 一個非常小的面積差 jS
jC
jj dlASA
S
N
j
jjS
sdASAj
10
lim
C
N
jCS
ldAldAjj
10
lim
CS
ldAsdA
一個向量場的旋度在一個開放的表面上的面積分等於向量沿著包圍該表面的路徑的封閉線積分
以Cj為邊界範圍
左:
右:
(2.141)
(2.142)
結合 Eqs.(2.141) and (2.142), 我們得到:
0S
sdA
注意 :對任一個封閉表面S,
(Based on 2.125)
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Chapter 2
例題 2-16
給一個 , 驗證 Stokes’s theorem 超過四分之一圓形的磁盤的半徑3在第一象限,如圖Fig.2-21
(Example 2-14, page 39).
xaxyaF yx 2
dxdyadsasd zzz
290
30
yx
y
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Chapter 2
)2(2
02
2
:Solve
xaxaa
xxy
zyx
aaa
F
xaxyaFyaFxaF
的面積分F首先求
zzz
zyx
yxyx
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Chapter 2
)1)(2
1(9)( )2
1(9]92
9[
]6
27
2
271sin9[
]62
9
3sin99[
)]9(2
192[
)2
12(
)2)(1(
))2((
1
3
0
312
223
0
9
0
23
0
9
0
3
0
9
0
3
0
2
2
2
sdF
yy
yyy
dyyy
dyxx
dxdyx
dxdyaxa
sdF
s
y
y
zz
y
s
首先
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Chapter 2
theorem')2)(1(
)2)(2
1(9
)2
1(9142
00
)(
)1)(2
1(9)(
3
0
0
3
0
0
sStoke
ldFldF
ldF可知由例題
ldFdxdy
ldFdxaFdyaFldF
sdF
B
AABOA
B
A
B
A
B
Ax
A
yB
s
可知滿足
其次
就像散度定理一樣, Stokes’s 定理是向量分析的一個重要關係式!
以後經常用到!!!!!!
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Chapter 2
R.2-22 1.用文字敘述 Stokes’s定理.
2.該於何時使用Stokes’s 定理?
回顧問題:
Stokes’s 定理的應用永遠是在一個具有邊緣的開放表面上!
最簡單的開放表面是一個二維平面或圓盤圓周輪廓。
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Chapter 2
§ 2.10兩個零恆等式的特性
2.10.1 恆等式 I 0 V
1.任何純量場梯度的旋度恆等於零
CSdVldVsdV 0
2.恆等式I的反向敘述
if VEE
0
若一個無旋度的向量場永遠可以表為成一個純量場的梯度
證明:
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Chapter 2
2.10.2恆等式II
1 21 2
1 2
:
0
V S
n nS S
C C
A
A dv A ds
A a ds A a ds
A dl A dl
對 取體積分
0 A
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Chapter 2
2.10.2恆等式II(Identity II)
恆等式II的反向敘述
if ABB
0
若一個向量場是無散度的,則它可以表示為另一個向量場的旋度.
A
: 向量磁位
0 A
A
稱為 “向量磁位(Vector potential)”
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Chapter 2
例題 2-17
給一個向量方程式
zycazxcazcyaF zyx 321 23
(a)如果向量 是無旋場.計算常數
(b)決定純量場函數V,使其負梯度等於
, , 21 cc 3cF
F
: 0
: 0
F
F
螺旋的場
無旋轉的場
2.11 :場的分類和赫姆霍茲定理
(Solenoidal field)
(Irrotational field)
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Chapter 2
Homework
P2.1
P.2.12
P2.17
P2.19
P2.21
P2.23
P2.29
P2.32
P2.34
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