VECTOI~ES:_-stedya se encuentra familiarizado con el trabajo con escalares. Por~:emplo, doce pesos más doce pesos son veinticuatro pesos. Un pesoes una cantidad escalar. No la afecta ninguna otra cosa que su mag-nsrud o tamaño. Usted puede admirarse de que una fuerza de docer-ewtons más otra fuerza de tloce newtons pueda ser igual a una fuer-'.1 de doce newtons. Los vectores están regulados, tanto por sus di-recciones como por sus magnitudes. Así, cuando se suman vectores,- oce más doce puede ser igual a cualquier valor entre cero y veinti-..,;.atro.Los científicos constantemente están en contacto con canti-

cades vectoriales. El comprender los vectores es fundamental paraI!"':!¡endermuchos principios básicos de Física.

:: 1 Cantidades Vectoriales

_,;)5 científicos tienen que ver tanto con cantidades escalares comocea cantidades vectoriales. Una cantidad escalar queda completa--ente descrita por su magnitud. La magnitud está formada por un- ..;.:neroy una unidad adecuada. La masa, el volumen y la distancia

n cantidades escalares. Ejemplos de estas cantidades escalares son. g. 121 Y15 km. Cada una está formada por un número y una uni-ad. Una cantidad vectorial se caracteriza por ambos factores. su.agnitud y su dirección. La fuerza es una cantidad vectorial porqueempre actúa en una dirección. Una fuerza se describe completa-

,....ente cuando se indican tanto su magnitud como su dirección..ras cantidades vectoriales son la velocidad y el ímpetu.Las ·cantidades escalares se suman de acuerdo con las reglas de la

-::mética ordinaria. Así. 2 1más 2 1 son 4 1. Pero la suma de dos- tidades vectoriales depende tanto de su dirección como de su

OBJETIVO: Usted conoceráy comprenderá el significado yuso del álgebra vectorial. la quese necesita para resolver rápiday satisfactoriamente los proble-mas que requieren el uso devectores.

Las cantidades escalares s610tienenmagnitud.

Las cantidades vectoriales tienentanto magnitud como díreccíén .

...Las escalares se suman algebraica-mente.

Los vectores se suman gráficamen-te por adici6n vectorial.

Una cantidad vectorial puederepresentarse como una Iínea ter-minada en punta. o flecha (su lon-gitud indica la magnitud la flechaindica la direcci6n).

I¡I

I

FIGURA 5-1. Algunos vecto-res típicos.

Al sumar dos vectores col6quese lacola de un vector en la cabeza delotro.

Al sumar dos vectores se dibuja untercer vector de la cola del primeroa la cabeza del segundo. Este vectores la resultante de la suma de losdos vectores.

72 VECTORES

magnitud. Considere un avión que vuela rumbo al Este a 90 km/h.Al mismo tiempo, este avión recibe la acción de un viento que soplahacia el Sur a 50 km/h. El avión tiene dos velocidades, pero ellas nose pueden sumar algebraicamente. El avión no vuela cori una veloci-dad de 140 km/h. Ni su dirección es Este ni Sur. Las magnitudes ydirecciones de las dos velocidades dan lugar a un vector suma quedebe determinarse por medio de un proceso llamado suma vectorial.

5:2 Suma de Vectores - Método GráficoCada cantidad vectorial se puede repre~entar por un segmento de'recta dirigido. La longitud de la flecha representa la magnitud de lacantidad. La dirección de la flecha representa la dirección dela cantidad. Este segmento de recta en forma de flecha se llama vec-tor. La Fig. 5:1 muestra algunos vectores típicos.

Escala:1 cm = 10 N

VELOCITY

30 km/h Sur

Escala:1 cm = 10 km/h actúa N.E.

VELOCITY~ Escala: 1 mm = 1 km/h

IIIIt 1111 11111111111111111 111"1111 1111 1111111111"'-56 km/h Este

1 mm = 1 m

40 km S.O_

El vector suma de cualesquiera dos vectores, se puede encontrargráficamente. En la Fig. 5-2, los vectores ~ y brepresentan las dos ve-locidades del avión que vuela hacia el Este a 90 km/h y que es empu-jado por el viento hacia el Sur a 50 km/h. Los vectores se suman co-locando la cola de uno de los vectores en la cabeza del otro vector.No se cambia ni la dirección ni la longitud de ninguno de los vecto-res. Se dibuja un tercer vector conectando la cola del primer vectorcon la e...abeza del segundo vector. El tercer vector se llama resultantede ~ y b. La resultante siempre se dibuja desde la cola del primervector hacia la cabeza del segundo vector. Para determinar la mag-nitud de la resultante, mida su longitud y. valúela ~e acuerdo con lamisma escala usada para dibujar los vectores ~ y b. Su dirección seencuentra usando un transportador. En la Fig. 5-2, la velocidad re-sultante es de 103 km/h en la dirección de 290 al Sur del Este.

/SUMA DE VECTORES-METODO GRAFICO 73

~ _,. ~a+b=c

Escala: 1 división = 10 km/h

En la suma algebraica, el orden de la adición es indiferente. Estornbién es cierto en el caso de-la suma de vectores. La cola del vec-r a puede colocarse en la cabeza del vector b. La Fig. 5-3 ilustrace la suma debe ser la misma.

=scala: 1 división = 10 km/h

~e = 103 km/h·

29° ~del E

29° Sdel E

~a = 90 km/h E

~ ~ ~a+b=c

~ ~ ...lo.

b+a=c

:::uando dos cantidades vectoriales actúan en las mismas direc-::es o en direcciones opuestas, su suma numérica es igual a su su-a.:gebraica. Esto es, si un avión vuela a 90 km/h en dirección al.. el viento sopla a 50 km/h, también en dirección al Este, su ve-

d es de 140 km/h hacia el Este. Si el viento sopla en direccióne y el avión debe volar en contra de él, la velocidad del avión es

~ krn/h + (-50 km/h) = 40 km/h hacia el Este. Se coloca elmenos frente a 50 km/h, para indicar que su velocidad es

_'~a a la velocidad de 90 km/h.

.: a: 1 división = 10 km/h

90.km/h E

I I '1 .. ,50 km/h

, I 1EI ..

I I I I I I I I ..Resultante = 40 km/h E-50 km/h EResultante = 140 km/h E

FIGURA 5-2. Suma vectorial.

Cualquiera que sea el orden en quese sumen los vectores, la sumasiempre será la misma.

FIGURA 5-3. La suma vecto-rial de ¡; + a es igual que lasuma vectorial de a + b.

FIGURA 5-4. Cuando dosvectores actúan en la mismadirección o en direccionesopuestas, su resultante es nu-méricamente igual a la sumaalgebraica de las dos .

90 km/h E

I I I I 1"

-

19m

7~ ~m

1----- 29 m -----1

FIGURA 5-5. La distancia to-tal que una persona camina alcruzar esta autopista, por me-dio del paso para peatones esde 33 m. El desplazamientodesde un pie de la escalera alotro pie de la escalera, direc-tamente a través de la auto-pista, mide 29 m.

La distancia es una cantidad escalary el desplazamiento es una cantidadvectorial.

Escala: 1 división = 1 km

FIGURA 5-6. Un andarín ca-mina una distancia de 4 km.Su desplazamiento es de 2.8km al noroeste.

La rapidez es una cantidad escalar;la velocidad es una cantidad vecto-rial.

}O/III Marganp-----------------~~--~~~--~--~--

5:3 Distancia y Desplazamiento

La distancia y el desplazamiento no son lo mismo. La distancia esuna cantidad escalar. El desplazamiento es una cantidad vectorial.Veamos la diferencia entre las dos cantidades. Suponga que sale desu casa a caminar una mañana. Si recorre 2 km en dirección delOeste y después da la vuelta y camina 2 km en dirección del Norte,habrá andado una distancia total de 4 km. Pero usted no estará a 4km de su casa. Por el contrario, estará a un poco más de 2.8 km alNoroeste de su casa. La distancia es la longitud verdadera del cami-no recorrido. En este caso la distancia es de 4 km. El desplazamientoes muy diferente a la distancia. Se llama desplazamiento a una línearecta que va desde la posición de partida a la posición final. Paradescribir el desplazamiento se deben dar la longitud de la línea y sudirección. En este caso el desplazamiento es de 2.8 km hacia el No-roeste.

5:4 Rapidez y Velocidad

La rapidez de un cuerpo en movimiento es la distancia que recorrepor unidad de tiempo. La rapidez se indica en kilómetros por hora ometros por segundo. No se menciona la dirección. La rapidez es unacantidad escalar.

La velocidad de un cuerpo en movimiento es la distancia que re-corre por unidad de tiempo en una dirección dada. Recuerde que a:indicar la velocidad se dan tanto la magnitud como la dirección. Lavelocidad es una cantidad vectorial. La rapidez es la magnitud de lavelocidad.

SUMA VECTORIAL DE FUERZAS 75

5:5 La Independencia de las Cantidades VectorialesCuando se suman vectores producen un efecto resultante, aunquenunca cambia el valor de ninguno de ellos. Considere un bote demotor cuya proa se dir~ hacia el Este a 8 mi s, y cruza un río que'-uye hacia el Sur a 5 mis. El bote se moverá 8 m hacia el Este en unsegundo. También se moverá 5 m en dirección Sur en el mismo se-zundo. La velocidad hacia el Sur no puede cambiar la velocidad ha-era el Este. Tampoco la velocidad hacia el Este cambia la velocidaden dirección Sur. Cada velocidad es independiente de la otra y actúacomo si fuera la única. Esto es lo que se llama independencia de laselocidades. Todas las cantidades vectoriales se comportan de la

misma manera.En la Fig. 5-7, las dos velocidades del bote se representan por vec-

.ores. Cuando estos vectores se suman, se ve que la velocidad resul-'ante es de 9.4 mis en la dirección de 32° al Sur del Este. En un se-;undo, esta velocidad resultante lleva al bote de motor 8 m en direc-c.ón del Este y 5 m en dirección del Sur. Usted puede pensar que elcote está moviéndose 8 mis hacia el Este y 5 mis hacia el Sur al mis--::lO tiempo, Usted también puede pensar en el bote, como si se mo-~era 9.4 mis en dirección 32° al Sur del Este. Ambas formas de in-zicarlo significan exactamente lo mismo.

Suponga que el río que va a cruzar el bote, tiene 80 m de ancho.Como la velocidad del bote es de 8 mi s hacia el Este en todo mo--nento, el bote tardará 10 s en cruzar el río, al mismo tiempo que se--á arrastrado 50 m corriente abajo durante los 10 s. Sin embargo, de~.mguna manera esto cambia la velocidad con que cruza el río.

~ve = 8 mis

N

Escala: 1 cm = 1 mis

; :6 Suma Vectorial de Fuerzas:"'osvectores fuerza, y otras clases de vectores, se suman de la misma-:anera que los vectores velocidad. Las fuerzas que actúan sobre un-mmo punto, al mismo tiempo, se llaman fuerzas concurrentes. En. sistema MKS de medidas, la unidad de fuerza es el newton (N).

Los vectores actúan independiente-mente.

•

5 misFIGURA 5-7. Un bote que re-corre 9.4 mis en dirección de32° al Sur del Este, tambiénpuede describirse diciendoque se movió hacia el Este a 8mis, y hacia el Sur a 5 mis almismo tiempo.

Las fuerzas concurrentes actúansobre el mismo punto al mismotiempo.

El newton es la unidad MKS defuerza.

Ejemplo: Suma Vectorial de FuerzasUna fuerza de 40 N Yotra de 60 N actúan concurrentemente eoun punto P~a fuerza de 60 N actúa en dirección Este. La fuerza de 40 N actúa en la dirección de 60° al Norte del Este. ¿Cues la magnitud y la dirección de su resultante?

Solución:La suma de las dos fuerzas se encuentra moviendo el vectorparalelamente a sí mismo, hasta que la cola de bse localizala cabeza del vector ~. Enseguida se dibuja la resultante ~interpreta en términos de la escala usada.

76 VECTORES

•FIGURA 5-8

Escala: 1 cm = 10 N

..

PROBLEMASDibuje diagramas uectoriales para resolver cada problema. Usetransportador, un lápiz de punta afilada y una regla métrica.

1. Un avión vuela en dirección Norte a 100 mis, y es empujado I:.~cia el Oeste por un viento fuerte de 50 mis. Determine la velocdad resultante del avión (rapidez y dirección).

2. Un excursionista deja el campamento y camina 10 km en dirección Norte. El desplazamiento en este punto es de 10 km NorteEl excursionista recorre después 10 km hacia el Este. Esto agre;E'Zun segundo desplazamiento de 10 km hacia el Este del primerdesplazamiento. (a) ¿Cuál es la distancia total que caminópersona? (b) Determine el desplazamiento total desde el pUl:de partida.

3. La proa de un bote de motor está dirigida hacia el Este cuancse mueve a 16 mi s perpendicularmente a las aguas de un río qfluye en dirección Sur a 9 mis. (a) ¿Cuál es la velocidad resi;tan te (rapidez y dirección) del bote? (b) Si el río tiene 136 m -anchura, ¿qué tiempo tardará el bote en llegar al otro lado?¿Qué tanto avanza el bote corriente abajo cuando llega al ozrzlado del río?

SUMA VECTORIAL DE FUERZAS 77

4. Un aeroplano vuela en dirección Oeste a 120 km/h. Al mismotiempo, el viento sopla en dirección Norte a 40 km/h. ¿Cuál esla velocidad resultante del aeroplano?

5. Un vendedor deja su oficina y maneja 26 km hacia el Norte a lolargo de una autopista recta. Después s~pasa a otra autopista endirección 30° al Norte del Este. El conductor sigue en esa auto-pista por una distancia de 62 km y después se detiene. ¿Cuál es eldesplazamiento total de esta persona a partir de la oficina?

6. Dos jugadores de fútbol patean la pelota exactamente al mismotiempo. El pie de uno de los jugadores ejerce una fuerza de 60 Nhacia el Norte. El pie del otro ejerce una fuerza de 80 N hacia elEste. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza resultanteque actúa sobre la pelota?

7. Dos fuerzas, cada una de 60 N, actúan concurrentemente sobreun punto P. Determine la magnitud de la fuerza resultante queactúa sobre el punto P, cuando el ángulo que hay entre las fuer-zas es:(a) 0°(b) 30°(c) 60°

8. En el Probo 7, ¿qué pasa con la resultante de las dos fuerzas, amedida que el ángulo entre ellas aumenta?

9. Un equipo que estudia el clima lanza un globo para recabar da-tos útiles. La fuerza asc~nsional del globo lo acelera hacia arribaa 15 m/s2• Un viento lo acelera horizontalmente a 6.5 m/s",¿Cuál es la magnitud y dirección (con respecto a la Horizontal)de la aceleración resultante?

10. Un meteorito pasa entre la Luna y la Tierra. Una fuerza gravita-cional de 600 N jala al meteorito hacia la Luna. Al mismo tiem-po, una fuerza gravitacional de 480 N lo jala hacia la Tierra. Elángulo entre las dos fuerzas es de 130°. La fuerza de la Lunaactúa perpendicularmente a la trayectoria original del meteorito.¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza resultante que ac-túa sobre el meteorito? Indique léldirección refiriéndola a la tra-yectoria original del rpeteorito. (El diagrama siguienteno es un diagrama vectorial, sólo intenta mostrar la dirección.)

(d) 90°(e) 180°

Meteorito480 N

Tierra

Luna

FIGURA 5-9. Para el Proble-ma 10.

o

El teorema de Pitágoras puedeusarse para determinar la longituddel tercer lado de un triángulo rec-tángulo.

I

lI

.'

78 VECTORES

5:7 Suma de Vectores - Métodos MatemáticosLa suma vectorial de cualesquiera dos vectores puede determinarsematemáticamente, así como gráficamente. Si dos vectores actúanperpendicularmente, se forma un triángulo rectángulo cuando lacola de uno de los vectores se coloca sobre la cabeza del segundo vec-tor. Entonces, la magnitud de la resultante se encuentra usando elteorema de Pitágoras,

e2 = a2 + b2

La dirección de su resultante se encuentra usando la definiciónde la tangente:

tan () = lado opuestolado adyacente

~a = 90 km/h

•

~b = 50 km/h

FIGURA 5·10 Escala: 1 cm = 10 km/h

De nuevo considere el aeroplano que vuela en dirección Este a 90km/h, Y que recibe la acción de un viento hacia el Sur de 50 km/h.¿En qué dirección y con qué rapidez se mueve realmente el aero-plano?

c2 = a2 + b2

.-=~--~~--~~--~~e = V (90 km/h) 2 + (50 km/h) 2

= VIO 600 km/h= 103 km/h

Para encontrar la dirección de la resultante determine la tangentedel ángulo ():

tan () = lado opuestolado adyacente50 km/h90 km/h

= 0.566por lo que, e = 29°

Ejemplo: Suma Vectorial de Fuerzas No PerpendicularesUna fuerza de 40 N Y otra fuerza de 60 N actúan concurrente-mente en un punto P. La fuerza de 60 N actúa en dirección Es-te. La fuerza de 40 N actúa en dirección de 60° al Norte del Es-te. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la resultante? B

~SUMA DE VECTORES-METODOS MATEMATICOS 79

En este caso, tan (J = 0.566. La Tabla A-1 en el Apéndice A indicaque 0.566 es la tangente de 29°. Por lo tanto, el ángulo (J es de 29°.La resultante se describe como 103 kmih a 29° al Sur del Este.

Cuando dos vectores no actúan en ángulo recto, la dirección y lamagnitud de la resultante se determinan por medio de la ley de loscosenos y la ley de los senos (Secs. 1:6 y 1:7).

La ley de los cosenos y la ley de lossenos pueden usarse para en-contrar el tercer lado de cualquiertriángulo.

p._--~~~--------~b = 60 N Este ~

b = 60 N

Escala: 1 cm 10 N FIGURA 5-11

Solución:Para determinar la magnitud de e use la ley de los cosenos:

c2 = a2 + b2 - 2ab cos e= (40 N) 2 + (60 N) 2 - 2 (40 N) (60 N) (-0.50)

e = y1600 + 3600 + 2400 N= y7600 N= 87N

Para determinar la dirección de e use la ley de los senos, conel objeto de obtener el ángulo A:

•

a esenA - sene

A a sen esen = ---e

40 N X sen 1200

87N40 N X 0.866

87N= 0.398

Angulo A = 23o

Así, la dirección de e es de 23° al Norte del Este.

Se usa siempre el mismo procedí-miento, independientemente delnúmero de vectores que se suman.

El orden de la suma vectorial es In-diferente.

FIGURA 5-12. Determinaciónde la resultante de tres fuerzasconcurrentes.

....l.a

80 VECTORES

PROBLEMASResuélvalos gráfica o matemqcicamente, de acuerdo con las indica-ciones de su instructor.11. Una fuerzade 100 N Yotra de 50 N actúan sobre un punto P. La

fuerza de 100 N actúa en dirección Norte. La fuerza de 50 N ac-túa. hacia el Este. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerzaresultante?

12. Un bote de motor se mueve a 40 mis. Su proa tiene una direc-ción perpendicular a la de las aguas de un río de 320 m deancho. (a) Si el agua fluye con la rapidez de 8 mis, ¿cuál es la ve-locidad del bote con respecto a la orilla? (b) ¿Qué distanciatendrá que recorrer el bote para llegar a la orilla opuesta?

13. Un bote dirige su proa perpendicularmente a la corriente de unrío de 40 m de ancho y se mueve con la rapidez de 8 mis. (a)¿Cuál es la velocidad resultante del bote? (b) ¿Qué distanciatendrá que recorrer el bote para cruzar el río? (c) ¿A qué distan-cia corriente abajo llegará el bote a la orilla opuesta?

14. Un aeroplano vuela a 150 km/h con su proa dirigida 30° al Surdel Este. Al mismo tiempo sopla un viento de 50 km/h en direc-ción de 25° al Oeste del Sur. ¿Cuál es la velocidad resultante delavión con respecto a la Tierra?

15. Dos fuerzas de 10 N actúan concurrentemente sobre el punto P.Determine la magnitud de su resultante cuando el ángulo entreellas es de (a) 0°, (b) 30°, (e) 90°, (d) 120°, (e) 180°.

5:8 Suma de Varios Vectores

Es frecuente que tres o más fuerzas actúen concurrentemente sobreun mismo punto. Para determinar la resultante de tres o más vecto-res, siga el mismo procedimiento para sumar dos. Coloque los vec-tores cabeza con cola. (El orden de la suma es indiferente.) En laFig. 5-12a, las tres fuerzas !t, by e, actúan concurrentemente sobre elpunto P. En la Fig. 5-12b Ye se suman los vectores gráficamente;note que la resultante es la misma en ambas partes, aunque se usa-ron dos órdenes diferentes en la suma. Al colocar los vectores cabezacon cola, sus direcciones deben mantenerse.

(e) ....l.

a

....l.

a

Linda Briscoe

5:9 EquilibrioCuando dos o más fuerzas actúan concurrentemente sobre un cuer-po y su suma vectorial es cero, el cuerpo se encuentra en equilibrio.Un ejemplo de equilibrio es el caso en el que dos fuerzas iguales ac-túan en direcciones opuestas sobre el mismo punto P (Fig. 5-13).

Para un segundo ejemplo, considere tres fuerzas actuando sobreun punto P (Fig. 5-14a). Las fuerzas de 3 N Yde 4 N forman entre síun ángulo recto. Su resultante es una fuerza de 5 N hacia la de-recha. El vector e es una fuerza de 5 N hacia la izquierda. La resul-tante de estas dos fuerzas de 5 N es cero. Por lo tanto, las tres fuerzas

(a)

~e = 5 Np

no producen una fuerza neta sobre el punto P; por ello, P está enequilibrio. Cuando se suman los tres vectores cabeza con cola, for-man un triángulo cerrado (Fig. 5-14b). No se puede dibujar la resul-tante, porque el vector suma es cero.

Escala: 1 cm = 10 N

30 N

R=O

30 N

FIGURA 5-13. En esta coh-tienda de tirar, el perro jalacon una fuerza de 30 N. La es-tudiante ejerce otra fuerza de30 N en dirección opuesta. Lafuerza resultante es cero.

El equrlíbrio corresponde a una re-sultante de fuerzas nula

FIGURA 5-14. Los vectoresen equilibrio dan una resul-tante de cero.

FIGURA 5-15. Debido a quetodas las fuerzas que actúanconcurrentemente sobre elpuente están en equilibrio, és-te permanece inmóvil.

Una fuerza e.::¡ulllbrante contrarrestalas fuerzas que actúan en un puntodado, para producir equilibrio.

La equíllbrente es numéricamenteigual a la resultante, pero opuestaen dírecclén.

I

I·1

FIGURA 5-16. Determinaciónde la equilibrante de dos fuer-zas que actúan formando unángulo de 900 entre sí.

Dick Smith

•

5:10 La EquilibranteCuando dos o más fuerzas actúan sobre un punto y su suma vectorialno et cero, se puede determinar una fuerza equilibrante. Laequilibrante es la fuerza única adicional que, cuando se aplica en elmismo punto que las otras fuerzas, producirá el equilibrio. En laFig. 5-16, la equilibrante es una fuerza de 5 N, cuya dirección esopuesta a la dirección de la resultante.

Para determinar la equilibrante de dos o más fuerzas concurren-tes, primero se determina la resultante. La equilibrante es una fuer-za igual en magnitud a la resultante, pero de dirección opuesta.

z(")

111.0

Escaia: 1 cm = 1 N

COMPONENTES PERPENDICUlARES DE LOS VECTORES 83

PROBLEMAS /

16. Una fuerza de 50 N actúa en dirección Oeste. ¿Qué fuerza únicala equilibra?

17. Dos fuerzas actúan concurrentemente sobre un punto P. Una delas fuerzas es de 60 N en dirección Este. La segunda fuerza es de80 N en dirección Norte. (a) Encuentre la magnitud y direcciónde su resultante. (b) ¿Cuál es la magnitud y dirección de suequilibrante?

18. Una fuerza de 60 N actúa en dirección de 30° al Este del Norte,y una segunda fuerza de 60 N que actúa en dirección de 60° alEste del Norte, son concurrentes. (a) Determine la fuerza resul-tante. (b) ¿Cuál es la magnitud y dirección de su equilibrante?

19. Una fuerza de 60 N actúa a 45° al Oeste del Sur. Otra fuerza de80 N actúa a 45° al Norte del Oeste. Las dos fuerzas se aplicanen el mismo punto. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de unatercera fuerza que hace que las dos anteriores queden enequilibrio?

20. Una fuerza de 30 N que actúa en dirección Norte y otra de 40 Nque actúa a 30° al Este del Norte son concurrentes sobre el pun-to P. ¿Cuál es la magnitud y la djrección de una tercera fuerzaque haga que las dos fuerzas queden en equilibrio?

5:11 Componentes Perpendiculares de los Vectores•Con el fin de mover un objeto en una dirección dada, puede ser ne-

cesario aplicar una fuerza en una dirección muy diferente. La fuer-za que se aplique puede considerarse como la suma de dos o másfuerzas. Las fuerzas que juntas dan una fuerza resultante, se llamanfuerzas componentes.

William Maddox

"

Cuando se suman las fuerzas com-ponentes se obtiene la fuerza resul-tante.

FIGURA 5-17. Un bote sedesplaza por un canal, al ja-larlo por medio de un caballoque camina a lo largo de laorilla, delante del bote. Sepuede pensar que la tensiónde la cuerda que va del bote alcaballo es la suma de dosfuerzas componentes. Una deestas fuerzas opera en la di-rección del canal y la otra endirección de la orilla.

FIGURA 5-18. Descomposi-ción de una fuerza en suscomponentes vertical y hori-zontal.

Una fuerza única puede descompo-nerse en componentes perpendicu-lares.

A medida que cambia la direcciónde una fuerza. cambia la magnitudde ambas fuerzas componentes.

II

I~

FIGURA 5-19. Las compo-nentes horizonal y vertical deuna fuerza dependen de su di-rección.

84 VECTORES

(a) (b)

Escala: 1 división = 10 N

~F. = 25 N

Considere el trineo de la Fig. 5-18a. Se ejerce una fuerza de 50 Nsobre una cuerda mantenida a un ángulo de 30° con la horizontal.El propósito de la fuerza de 50 N es la de jalar el trineo hacia adelan-te. Sin embargo, no toda la fuerza de 50 N lo hace. Parte de la fuer-za actúa en dirección de abajo hacia arriba. La única fuerz~ que ja-la al trineo hacia adelante, es la componente horizontal (Fh) de lafuerza de 50 N.

Los valores de las componentes horizontal y vertical de Fpuedendeterminarse dibujando primero un grupo de ejes perpendiculares(Fig. 5-18b). Uno de los ejes representa la dirección horizontal. Elotro ree.resenta la dirección vertical. El vector que representa lafuerza'(F) aplicada a la cuerda se dibuja en el ángulo que forma copel !je horizontal. Para descomponer la fuerza en las componentes Fv

y Fh, dibuje líneas perpendiculares a cada eje, hacia el extremo delvector fuerza. Las magnitudes de las dos compopentes se encuentranentonces, ...en t~rminos de la escala usada para F. (Note que la resul-tante de Fv y Fh es la fuerza original F.)

El tamaño de la componente horizontal aumenta cuando la per-sona que jala el trineo baja la cuerda. Pero si el ángulo entre la cuer-da y la horizontal aumenta a 60°, la componente horizontal decrecea 25 N. Así, las magnitudes de las componentes cambian a medidaque la dirección de la fuerza cambia.

Escala: 1 cm = 10 N

."""I~o •20 1" >--1----1- --t ~ u.

z

_,.F, = 43 N

COMPONENTES PERPENDICUlARES DE LOS VECTORES 85

Al descomponer los vectores velocidad y desplazamiento hágaseque uno de los ejes represente la dirección Norte-Sur. También há-gase que el segundo eje represente la dirección Este-Oeste.

Ejemplo: Descomponer un Vector Velocidad ensus Componentes

Un viento con la velocidad de 40 km/h sopla hacia ~Oo al Nortedel Este. ¿Cuál es la componente hacia el Norte de la veloci-dad del viento? ¿Cuál es su componente hacia el Este?

-'>.

VN = 20 km/h

E-'>.

VE = 34.8 km/h

Escala: 1 cm = 5 km/h•

Soludón:Para determinar la componente hacia el Norte (VN) , use larelación

v\·sen 30° = _.v

Entonces, v!. = v sen 30°= 40 km/h X 0.50= 20 km/h

Para determinar la componente hacia el Este (VE)' use larelación

VI"cos 30° = _.v

Entonces, VE = V cos 30°= 40 km/h X 0.87= 34.8km/h

PROBLEMAS21. Una caja pesada se jala sobre un piso de madera con una cuer-

da. La cuerda forma un ángulo de 600 con el piso. Se mantieneuna tensión de 30 N sobre la cuerda. ¿Cuál es la fuerza que real-mente jala la caja sobre el piso?

•

FIGURA 5-20. Descomposi-ción de ven componentes ha-cia el Norte y Este,

..

Las componentes de un vector nosiempre se encuentran en ángulorecto.

FIGURA 5-21. I)escomposi-ción de la fuerza R en las com-ponentes ay b que no son per-pendiculares entre sí.

A B

Peso= 40 N

86 VECTORES

22. La cuerda en el Probo 21 se baja hasta que forma un ángulo de30° con el piso. Se mantiene una fuerza de 80 N sobre la cuerda.¿Qué fuerza jala realmente a la caja sobre el piso?

23. Un aeroplano vuela a 30° al Norte del Oeste a 500 km/h. ¿Conqué rapidez se mueve el aeroplano hacia (a) el Norte, (b) elOeste?

24. Un barco zarpa del puerto de Norfolk. Mantiene una direcciónde 45° al Norte del Este por una distancia de 100 km. ¿Cuántoskilómetros ha avanzado el barco desde Norfolk hacia el (a) Nor-te, (b) Este?

25. Una podadora de pasto se empuja con una fuerza de 70 N apli-cada al mango. Determine la componente horizontal de estafuerza cuando el mango forma un ángulo con el pasto de (a)60°, (b) 40°, (c) 30°.

26. Un tirante de alambre mantiene una torre de televisión en su lu-gar. El alambre forma un ángulo de 40° con la torre. Además,dicho alambre se encuentra bajo la tensión de 4000 N. (a) ¿Quéfuerza tiende a soportar la torre? (b) ¿Qué fuerza tiende a jalarla torre?

27. Un esquiador es remolcado por una lancha rápida. El esquiadorse mueve a un lado de la lancha de tal manera que la cuerda deremolque forma un ángulo de 55° con la estela del bote. La ten-sión en la cerda es de 350 N. ¿Cuál sería la tensión en la cuerda~iel esquiador se encontrara directamente atrás del bote?

5:12 Componentes No Perpendiculares de Vectores

En la Seco5:11, un vector se descompone en dos componentes per-pendiculares. No obstante, un vector cualquiera puede descompo-nerse en componentes que tomen cualquier dirección, mientras susuma vectorial sea igual al vector original. En algunos casos, puedeser necesario descomponer un vector en componentes que no se en-cuentren en ángulo recto entre sí. {

Un anuncio comercial que pesa 40 N se sostiene con las cuerdas A \y B (Fig. 5-21a). Sobre dicho anuncio actúan tres fuerzas. Son lafuerza en la cuerda A, la fuerza en la cuerda B, Yla fuerza debida a

Escala: 1 división = 10 N

(b)

....:..W

(e)

...:. ..;. ~a+b+W=O

Suma de las fuerzas = O~F = O

VECTORES 87

la gravedad (el peso del anuncio). El peso del anuncio (40 N) actúaen la dirección vertical, hacia abajo. Como el anuncio 'está enequilibrio, las fuerzas en las dos cuerdas deben producir una resul-tante (R) de 40 N en dirección vertical (hacia arriba), para balan-cear el peso del anuncio. Así pues, se conoce la magnitud y la direc-ción de la resultante de las dos fuerzas que ejercen las cuerdas, aun-

.que la fuerza real sobre cada cuerda no se conoce.La Fig. 5-21b muestra cómo el vector R se puede descomponer en

dos componentes para determinar la fuerza en cada cuerda. Se di-bujan tres líneas. Estas son el vector conocido R y dos líneas querepresentan las direcciones de las cuerdas A y B.

Después el vector R se descompone en dos componentes - una enla dirección de la cuerda A y la otra en la dirección de la cuerdaB -. Esto se logra construyendo un paralelogramo. Las líneas detrazos en el diagrama representan los lados paralelos que deben di-bujarse para completar el paralelogramo. Estas líneas de trazos in-tersecan las líneas en la dirección de las cuerdas A y B. Al hacerlo,definen las c~mponentes de R. Después se interpretan las dos com-ponentes a y b en términos de la escala del diagrama, para determi-nar la fuerza sobre cada cuerda.

En este caso, encontramos que la fuerza en cada cuerda es de 40N. El hecho de que la fuerza en cada cuerda sea igual al peso se debea los ángulos escogidos. Con otros ángulos, las fuerzas en las cuerdasvariarían. Note que cuando los vectores a, by W se suman, como enla Fig. 5-21c, forman un triíngulo cerrado, lo que indic~n vectorsuma de cero. Así, el anuncio está en equilibrio. El hecho de que nohay fuerza neta implica que no existe aceleración.

Las cantidades pueden ser o cantidades escalares o cantidades vectoriales. Las canti-dades escalares sólo tienen magnitud. Las cantidades vectoriales tienen tanto magni-tud como dirección. Las cantidades escalares se suman algebraicamente. Las cantida-des vectoriales se suman por un método especial llamado suma vectorial.

Una cantidad vectorial se puede representar por un segmento de recta en forma deflecha llamado vector. En la suma vectorjal, los vectores se suman cabeza con cola. Elvector suma, o resultante, se dibuja desde la cola del primer vector a la cabeza del últi-mo vector. Los vectores se pueden sumar en cualquier orden. El orden en que se su-men no afecta su suma,

Los vectores, cuando se suman, producen una resultante. Sin embargo, cada vectorpermanece completamente independiente de los otros. La resultante-simplemente in-dica el efecto combinado de los vectores.

Cuando dos o más fuerzas actúan concurrentemente sobre un cuerpo y su sumavectorial es nula, el cuerpo está en equilibrio. Si su suma vectorial no es cero, el cuerpono está en equilibrio. En este caso existe una fuerza adicional, única, que puede apli-carse al cuerpo para producir el equilibrio. Esta fuerza adicional se llama equili-brante.

Un vector se puede descomponer en vectores componentes, o simplemente compo-nentes. Estas componentes, cuando se suman, dan una resultante, que es el vector ori-ginal. Las componentes pueden seleccionarse en cualquier dirección, siempre que susuma vectorial sea igual al vector original.

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RESUMEN ,

88 VECTORES

PREGUNTAS 1. Distíngase entre cantidades vectoriales y cantidades escalares.2. ¿Cómo se suman siempre los vectores?3. Cuando dos vectores se suman, ¿cuál es la regla para dibujar el vector resultante?4. Un bote se mueve a 10 mis. Su proa se dirige perpendicularmente a la corriente

del río que fluye a 3 mis. ¿Cuál es la velocidad resultante del bote a través del río?5. ¿Qué significa el término fuerzas concurrentes?6. ¿Cómo cambia la resultante de dos vectores mientras el ángulo entre los dos vecto-

res aumenta?7. Una podadora de pasto se empuja por un campo con pasto. ¿Puede aumentarse la

componente horizontal de la fuerza sin cambiar la fuerza total aplicada al mangode la podadora? ¿Cómo?

8. ¿Cuál es la suma de tres vectores que forman un triángulo cerrado? Suponga quelos vectores son vectores fuerza. ¿Qué implica esto con respecto al objeto sobre elque actúan las fuerzas?

9. ¿Cómo se puede determinar la equilibrante de dos o más fuerzas concurrentes?10. Un jardinero se puede dar cuenta de que es más fácil jalar una podadora de pasto,

que empujarla a través del mismo prado. Explíquelo.

PROBLEMAS 1. ¿Cuál es el vector suma de una fuerza de 65 N en dirección Este y otra fuerza de 30N dirigida al Oeste?

2. Un "avión vuela hacia el Norte a 200 km/h. Un viento sopla en dirección Este a 50km/h. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la velocidad resultante del avión?

3. Un bote se mueve a 8 mis con la proa dirigida perpendicularmente a un río de240 m de .ncho. El río fluye a 4 mis. (a) ¿Cuál es la rapidez resultante del botecon respecto al agua? (b) ¿Qué tiempo le toma al bote cruzar el río? (e) ¿Qué tanlejos se encontrará el bote '\:orriente abajo cuando llegue al otro lado?

4. Determine la magnitud de la resultante de una fuerza de 40 N Yotra fuerza de 70N que actúan concurrentemente cuando el <1uguloentre ellos es de(a) 0° (d) 90°(b) 30° (e) 180°(e) 60°

5. Tres personas tratan de levantar un anuncio pesado hasta el techo de un edificiopor medio de tres cuerdas atadas al anuncio. La persona A se encuentra parada

" directamente arriba del anuncio y jala la cuerda justo hacia arriba. La persona By la persona e están a los lados de la persona A. Sus cuerdas forman ángulos de30° con la cuerda de la persona A. A cada cuerda se le aplica una fuerza de 100N. ¿Cuál es la fuerza neta hacia arriba que actúa sobre el anuncio?

6. Un electrón en el tubo de imagen de un televisor se encuentra sujeto a una fuerzamagnética de 2.6 x 10-2' N que actúa horizontalmente, y una fuerza eléctrica de3.0 X 10-2' N en dirección vertical. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultanteque actúa sobre el electrón?

7. Un avión se mueve en dirección de 40° al Norte del Este por una distancia de 300km. ¿Qué tan lejos hacia el Norte y qué tanto hacia el Este se mueve el avión?

8. Un vehículo descendente que llega a la superficie de la Luna, tiene una velocidadvertical hacia la superficie del satélite de la Tierra de 30 mis. Al mismo tiempodesarrolla una velocidad horizontal de 55 mis. (a) ¿Con qué rapidez se mueve elvehículo a lo largo de su trayectoria descendente? (b) ¿Qué ángulo forma con lavertical esta trayectoria?

9. Una podadora de pasto se empuja a través de un prado aplicando una fuerza de90 N a su mango. El mango forma un ángulo de 60° con la horizontal. (a) ¿Cuáles

VECTORES 89

son las componentes horizontal y vertical de la fuerza? (b) El mango se baja de talmanera que forma un ángulo de 30° con la horizontal. ¿Cuáles son las componen-tes horizontal y vertical de la fuerza?

10. Se ejerce una fuerza de 90 N sobre una caja pesada por medio de una cuerda. Lacuerda se mantiene a un ángulo de 45 o con la horizontal. ¿Cuáles son las compo-nentes vertical y horizontal de la fuerza de 90 N?

11. Un río fluye en dirección al Sur. El piloto de un barco dirige la proa a 27° al Nortedel Oeste y con ello puede cruzar el río a 6 mis. (a) ¿Cuál es la rapidez de lacorriente? (b) ¿Cuál es la rapidez del barco?

12. Una lámpara para el alumbrado público de una calle pesa 150 N. Se encuentrasostenida por dos alambres que forman un ángulo de 1200 entre si. ¿Cuál es latensión de cada uno de estos alambres?

13. Si el ángulo entre los alambres en el Probo 12 se cambia a 60°, ¿cuál es la tensiónde cada uno de los alambres?

14. Tres fuerzas actúan concurrentemente en el punto P. La fuerza a tiene una mag-nitud de 80 N Y se dirige a 30° al Este del Norte. La fuerza btiene la magnitud de70 N Y se dirige directamente al Este. La fuerza ~ tiene una magnitud de 40 N Y sedirigf a 450 al Sur del Este. (a) Sume gráficamente estas tres fuerzas en el ordena + b + ~. (b) Sume gráficamente las tres fuerzas en el orden ~ + r. + a. (c) ¿Quése nota con respecto a los resultados obtenidos en este caso?

1. En las ferias campestres, el "hombre fuerte" lleva a cabo una proeza, en la que co-loca a cuatro o cinco personas en cada extremo de una cuerda larga, sostiene elcentro de la cuerda con sus dientes y desafía a la gente a que lo jale hacia adelan-te. El tiene mucho cuidado tle no permitir que el ángulo que se forma entre las dospartes de la cuerda que se encuentran a uno y otro lado de#l, baje de 1400. Dibu-je un esquema vectorial que represente esta suerte. Uselo para explicar por qué eljalón de la gente no puede mover al hombre fuerte hacia adelante.

2. Su vecino está quitando las piedras de un lote arenoso antes de utilizarlo. Ustedadvierte que su vecino se encuentra frente a una operación muy difícil, al empujaruna carretilla llena de piedras a través del lote. Ahora que usted es un experto envectores, ¿qué consejo podría dar a su vecino para que su trabajo sea mucho mássencillo?

,-Bonner, y cols., Principies of Physical Science (Physics and Physical Science Series).

Reading, Mass., Addison-Wesley Publishing Co., lnc., 1971, Cap. 3.Daich, C. B., Learn Science Througli Ball Carnes. New York. Sterling Publishing

Co., 1972.Gans, Carl, "How Snakes Move". Scienufic American, junio, 1970.Haber-Schaim, Uri, y cols., PSSC Pbysics, 4a. Ed., Boston, D.C. Heath and CO.,

1970, Cap. 10.March, Robert H., Physics for Poets. New York, McGraw-Hill Book Co., 1970,

Cap. 3.Rutherford, F. j., Y cols., The Project Physics Course, Text Ed. New York, Holt,

Rinehart and Winston, Inc., 1970, Cap. 3.

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