vectores aleatorios continuos

Universidad Técnica Federico Santa María versión 1.5 Pág.

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Departamento de Matemáticas Profesor Alejandro Fernández

197

Vectores aleatorios bidimensionales continuos ( .... cbav

): Comencemos por definir el concepto de vector aleatorio bidimensional continuo:

DEFINICIÓN:

Sea M un espacio muestral continuo, se dice que X es un vector

aleatorio bidimensional (ó bivariado) continuo a la función:

IRIRMX :

Tal que

IRIRyxMAyxX , ,,1

siendo M un espacio muestral continuo .

El vector aleatorio

X puede representarse por:

IRIRMYXX :),(

,es decir,

))(),(()( MYMXMX

Obs.:

X .... cbav

ssí X e Y son v.a.c. unidimensionales.

DEFINICIÓN:

Sea ),( YXX

un .... cbav

, se define la densidad probabilística

conjunta (f.d.p.c.) denotada por ),( yxf X a


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198

X

XX

fyx

IRxIRRDf

,

,0:

satisfaciendo las siguientes condiciones:

1) DyxyxfX , 0,

2) 1),(),( dydxyxIyxf DX

Una vez definida la función de densidad conjunta del .... cbav

X

podemos definir otras funciones importantes.

DEFINICIÓN:

Sea ),( YXX

un .... cbav

, con función de densidad probabilística

conjunta fX , se definen las funciones de densidad marginales como:

1) la de X como dyyIyxfxfYDXX )(),()( XDx

2) la de Y como dxxIyxfyfXDXY )(),()( YDy

Estas funciones deben cumplir las siguientes condiciones:

i ) 1)()( dxxIxfXDX

ii) 1)()( dyyIyfYDY


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199

DEFINICIÓN:

Sea ),( YXX

un .... cbav


conjunta fX , se define la función de distribución conjunta como:

yYxXIPyFy

IRIRF

X

X

;),(x),(x

1,0:

y

DX

x

X dydxyxIyxfyYxXIPyF ),(),(;),(x

DEFINICIÓN:

Sea ),( YXX

un .... cbav

, con fX , )(xf X y )(yfY funciones de

densidad probabilística conjunta y de densidad marginal de X y de Y

respectivamente, se definen las funciones de distribución marginal:

1) de X como:

)()(

,0:

xXIPxFx

IRF

X

XX

donde

x

xDXX dxxIxfxXIPxF )()()()(


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200

2) de Y como

)()(

,0:

yYIPyFy

IRF

Y

YY

donde

y

YDYY dyyIyfyYIPyF )()()()(

Nota: ,xFxF XX y yFyF XY ,

DEFINICIÓN:

Sea ),( YXX

un .... cbav



respectivamente. Se define la función de densidad condicional de X dado

Y= y como:

)()(

),(y

yf

yxfyYXf

Y

X

con 0)(yfY

Nota: )(y solo indica la dependencia que tiene de y


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201

Análogamente se define la función de densidad probabilística condicional

de Y dado X= x como:

)(

)(

),(x

xf

yxfxXYf

X

X

si 0)(xf X

Nota: )(x solo indica la dependencia que tiene de x

TEOREMA:

Sea ),( YXX

un .... cbav



respectivamente.

Entonces las v.a.c. X e Y son independientes ssi

f x y f x f yX X Y ( , ) ( ) ( ) Dyx ),(

COROLARIO: Si X e Y son v.a.c. independientes

)()/( xfyYXf X y )()/( yfxXYf Y

Obs: todas las definiciones y teoremas dados para el caso bidimensional pueden generalizarse a más dimensiones en forma natural.


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202

Esperanza de vectores aleatorios bivariados continuos y sus

propiedades.

DEFINICIÓN:

Sea ),( YXX

un .... cbav


conjunta f x yX ( , ) y sea IRIRIRDg : , una

función continua entonces si

dydxyxIyxfyxg DX),(),(),(

< ,

se define la esperanza de g(x,y) como número dado por:

dydxyxIyxfyxgyxgE DX),(),(),(),( (**)

**************************************************** Nota:

Si Xyxg ),( (**) da la esperanza marginal de X : XE

Si Yyxg ),( (**) da la esperanza marginal de Y : YE

Si 2),( Xyxg (**) da la esperanza de X 2 : 2XE

Si 2),( Yyxg (**) da la esperanza de Y 2 : 2YE

Si 2])[(),( XIEXyxg (**) da la varianza marginal de X : XV

Si 2])[(),( YIEYyxg (**) da la varianza marginal de Y : YV

Si XYyxg ),( (**) da la esperanza de XY : XYE

DEFINICIÓN:

Sea ),( YXX

un .... cbav


conjunta f x yX ( , ) .Sea X e Y variables aleatorias continuas tal que existe


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203

la esperanza de cada una de ellas, se llama la covarianza de X e Y al número denotado por:

YIEXIEXYIEYIEYXIEXIEYXCov ),(

PROPIEDADES

E kX = kE X k constante.

E k = k k constante.

E X+Y = E X +E Y X e Y v.a.

E aX+bY = aE X +bE Y X, Y v.a. y a,b constantes.

E XY = E X E Y si X,Y son v.a. independientes.

V kX = k 2 V X k constante.

V k = 0 k constante.

V X+Y = V X +V Y +2COV(X,Y) X,Y v.a.

V X+Y = V X +V Y si X e Y son v.a. independientes.

V aX+bY =a 2 V X +b 2 V Y +2abCov(X,Y) X,Y v.a. y a,b constantes.

Cov(X1,X2) = Cov(X2,X1)

Cov(X,X) = V X

Si X1, X2 son independientes, entonces Cov(X1,X2) = 0

i

n

i

ii

n

i

i XEXE11

X i v.a. y i con i=1,2......n constantes.

),(211

jij

ji

ii

n

i

ii

n

i

i XXCovXVXV

********************************************************

DEFINICIÓN:

Sea ),( YXX

un .... cbav


conjunta f x yX ( , ) y covarianza de X e Y. Se define el coeficiente de

correlación al número:


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204

2

xy

2xD

YVXV

YXCovXY

)(

),(

Nota: 1. El coeficiente de correlación mide el grado de asociación que

tienen las variables aleatorias X e Y. 2. Si X e Y son independientes entonces la correlación es cero.

3. Una propiedad es que su valor está en el intervalo -1,1 . 4. Si Z=aX+b y W=cY+d donde a,b,c,d son constantes

entonces

XYZWac

ac

Ejemplo:

Encuentre el valor de K para que esta función sea una f.d.p.c.

Considerando la región D encerrada por 2

xy y 2x , como en la

figura 1 2

),()(),( 22 yxIxyxKyxf D


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205

Entonces:

Ahora la función de densidad marginal de X es

Tarea para el lector: Comprobar que:

1

2

0

2

0

22

x

dydxxyxK

Kdxxyyx

x

1

3

12

0

2

0

32

Kdx

xx 1

242

2

0

43

K

xx 1

1208

2

0

54

34

15K

2

0

22

34

15

x

X dyxyxxf

2

0

32

334

15

x

X

xyyxxf

xIxx

xf X 2,0

43

24234

15

12,0 dxxIxfX


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206

Y la función de densidad marginal de Y es

Como tarea para el lector se propone comprobar que:

Esperanzas Condicionales

DEFINICIÓN:

Sea ),( YXX

.... cbav

con f.d.p.c. f x yX ( , ) y sea

)(/ xf yYX la función de densidad condicional de X dado Y = y, se

define la esperanza condicional de X dado Y = y como el número:

dxxIxxfyY

XE DyYX )()(/

***********************************************************************

2

2

22

34

15

y

Y dxxyxyf

2

2

223

2334

15

y

Y

yxxyf

yIyyy

yfY 1,0

423

223

8

3

8

34

15

11,0 dyyIyfY


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207

DEFINICIÓN:

Sea ),( YXX

.... cbav

con f.d.p.c. f x yX ( , ) y sea

)(/ yf xXY la función de densidad condicional de Y dado X = x, se

define la esperanza condicional de Y dado X =x como el número:

dyyIyyfxX

YE DxXY )()(/

**********************************************************************

DEFINICIÓN:

Sea ),( YXX

.... cbav

con f.d.p.c. f x yX ( , ) y sea )(/ xf yYX

la función de densidad condicional de X dado Y = y, se define la varianza condicional de X dado Y = y como el número positivo:

22

yYXE

yYXE

yYXV

en que

dxxIxfxyY

XE DyYX )()(/

22

*************************************************************


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208

DEFINICIÓN:

Sea ),( YXX

.... cbav

con f.d.p.c. f x yX ( , ) y sea )(/ yf xXY la

función de densidad condicional de Y dado X = x, se define la varianza condicional de Y dado X =x como el número positivo:

22

xXYE

xXYE

xXYV

en que

dyyIyfyxX

YE DxXY )()(/

22

IE ( xxy ) = dyxx

xyxy

x

2

0

43

22

242

)( =

2

043

224

24

1

2

12

1

4

1 x

xx

yxxy

= )12(

)2(62

22

xx

xyy =

)12(8

)8(3

x

xx

IE ( xxy 2) = dy

xx

xyxy

x

2

0

43

222

242

)( =

43

325

24

1

2

13

1

5

1

xx

yxxy

= )12(5

)53(82

23

xx

xyy =

)12(20

)203(2

x

xx

Calculo de la Varianza:

V ( xxy ) = IE ( xxy 2) + (IE ( xxy ))

2

= )12(20

)203(2

x

xx2

2

)12(20

)203(

x

xx = 2

2

12

9603176

x

xx

----------------O-----------------


____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________


209

4473

335522

33448

43

223

8

3

83

1

4

1

223

8

3

8

23

234

423

23

423

3242

2 423

22

yyy

yyyy

yyy

yxx

yyy

xyx

dx

yyy

xyxx

yyxIE

y

44735

88131356

334440

543

223

8

3

84

1

5

1

223

8

3

8

23

245

423

24

423

4252

2 423

2222

yyy

yyyy

yyy

yxx

yyy

xyx

dx

yyy

xyxx

yyxIE

y

Calculo de la Varianza

yyxV yy

xIE2

2

yyxIE

44735

8813135623

245

yyy

yyyy2

23

234

4473

335522

yyy

yyyy

223

234578

44735

612304813142252

yyy

yyyyyyy

Distribución Multinormal. (Normal K-variada) Anteriormente se estudió la distribución normal de una variable

aleatoria. El concepto de distribución normal puede extenderse para incluir varias variables aleatorias y en particular la distribución normal k-variada se emplea de manera extensa para describir el comportamiento probabilístico de dos o más variables.


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210

Definición:

Se dice que el vector x

(x1,x2,x3,.....xk) se distribuye como una normal k-variante ssi su f.d.p.c. se distribuye de la siguiente forma:

xx

kx exxxf1

2

1

21

2

1,...,

donde k21 x,........x,xx

k21 ,......,,

xxIE/

=

k*k

2k

k23222

k1312121

x,xcov.......x,xcov

x,xcov........x,xcovx,xcov

Esta última matriz se conoce como matriz de varianzas y covarianzas, ella es simétrica pues la Cov( Xi , Xj )= Cov( Xj , Xi ) para todo i distinto de j.

Observación:


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211

Todas las f.d.p. marginales son normales de dimensiones menores.

Lo interesante de esta distribución es el poder encontrar las distintas marginales de la distribución normal k-variada .

Ejemplo:

1.1.-Encontrar las f.d.p. marginales 431 ,,1

xxxf x , 652 ,,

2xxxf x

provenientes de una normal k-variada con k=6 con vector de medias

6,4,1,2,3,1

y cuya matriz de varianzas y covarianzas es:

2

24

023

1302

01415

203601

Para encontrar estas marginales cabe recordar que como estas también se distribuyen en forma normal, solo se debe buscar en los subíndices pedidos el respectivo vector de medias y dejar las filas y columnas relacionadas de la matriz de varianzas y covarianzas de acuerdo a las marginales pedidas.

Entonces tenemos que la distribución para el primer caso será:

11431 ,,,1

Nxxxf x

donde 1,2,11

y

3

02

361

1


____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________


212

y para el segundo

22652 ,,,2

Nxxxf x

donde 6,4,32

y

2

24

201

2

Un caso particular en normales k-variadas es la normal bivariada la cual se representa de la siguiente forma:

,Nx,xf 221y

donde 21 ,

22

2121 x,xcov

o bien,

2

2

2

2 2

1 2

1

2 12

1,

y

y

y

y

x

xXY

x

x

XY

xxxx

XYyx

Yeyxf

donde

XIEx , YIEY , )(2 XVarX , )(2 YVarY y

XY es el coeficiente de correlación entre las variables X e Y definido con

anterioridad ( 1XY ).

Nota: ahora bien, si hacemos XY =0 logramos obtener las condiciones

necesarias de independencia entre las variables X e Y en la distribución normal bivariada, ésta además de ser necesaria, es una condición suficiente por lo siguiente:


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____________________________________________________________________________________________


213

22

2

1

2

1

2

1,

y

y

x

xxx

yx

Xeyxf =

22

2

1

2

1

2

1

2

1 y

y

x

xx

y

x

x

ee

Por lo tanto se obtiene que

f x y f x f yX X Y ( , ) ( ) ( ) Dyx ),(

donde )( )( yfyxf YX son las funciones de densidad marginales

normales univariadas de X e Y respectivamente.

Propiedades.

1.- XIEx , YIEY son las esperanzas marginales

2.-2, xxNX &

2, yyNY

3.-22

11

1; xy

y

xXYx XY

yNyY

Xf ;

22

11

1; yx

x

y

XYy XYxN

xXYf

4.- x

x

y

XYyy

y

xXYx x

xXYIEy

yYXIE 1

11

1

,

5.-22

1

22

1

1 , 1 yXYx xXYV

yYXV XY


____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________


214

Observación:

Si sabemos que X se distribuye en forma Normal con parámetros

2

1;xN y la variable Y también se distribuye Normal con parámetros

2

2;yN entonces la variable Z= X+Y también se distribuirá normal con

parámetros YXNZ yx ,cov2;~ 2

2

2

1 .

Un caso especial es cuando las variables son independientes lo que

implicaría que la covarianza es 0 por lo tanto 2

2

2

1;~ yxNZ

Ejercicio Resueltos.

1.-Sea ,~,,, 4321

Nxxxxfx con 1,3,2,1

y

4

716

439

2104

Encontrar la distribución de Z=3x1+x2+x3-2x4.

Desarrollo.- i)Método 1.-

2,~ NZ

E[Z]= = 3E[x1]+E[x2]+E[x3]-2 E[x4] = 3*1+2-3-2*1 =0


____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________


215

V[Z]= 9V(X1)+ V(X2)+ V(X3)+4V(X4)+2[cov(3X1 ,X2) + 3cov(X1 ,X3) + cov(3X1,-2X4) + cov(X2 ,X3) + cov(X2 ,-2X4) + cov(X3,-2X4)] V[Z]= 9*4+9+16+4*4+2( 3*0+3*(-1)-6*2+3-2*4-2*(-7))= 65

65,0~ NZ

ii) Método 2. En forma matricial.

Z=[x1, x2, x3, x4]

2

1

1

3

4321 x,x,x,xZ

2

1

1

3

1,3,2,1ZE

2

1

1

3

=3+2-3-2=0

V[Z]= E[(Z-E[Z])’(Z-E[Z])]= E[(XA-

A)’(XA-

A)]= E[A’(X’-

’)(X-

)A]

= A’ E[(X-

)’(X-

)]A =A´’ A

1,3,2,1ZV

4742

71631

4390

2104

2

1

1

3

2,1,1,3ZV

5

30

4

7

V[Z]=21+4+30+10=65


____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________


216

2.-Durante años en un test de conocimiento se efectúan dos evaluaciones con 3 preguntas cada una. Los rendimientos en las seis

preguntas se pueden asociar a un vector normal ,~ 6

NX donde

654321 x,x,x,x,x,xX

en que xi se asocia al resultado de la pregunta i

con i=1,2,...,6. La evaluación 1 corresponde a la suma de las preguntas impares y

la evaluación 2 corresponde a la suma de las preguntas pares.

Datos: 11,13,14,9,12,10

6

25

006

2404

10215

032014

a) Determinar la probabilidad que la evaluación 2 sea mayor que 32. b) Determinar la probabilidad que la evaluación 2 sea mayor que la

evaluación 1. c) Si 30 alumnos rinden las 2 evaluaciones, ¿Cuál es la probabilidad que

al menos 6 alumnos tengan una evaluación 1 menor que la 2?. Desarrollo.-

a) Se sabe que la evaluación 2 está compuesta por la suma de las respuestas pares, por lo tanto, si definimos W y S como:

W = la evaluación 1 y S = la evaluación 2


____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________


217

Pregunta2 2

222 ,~2

Nxfx

Pregunta4 2

444 ,~4

Nxfx

Pregunta6 2

666 ,~6

Nxfx

Por lo que E[X2+X4+X6]= 2+ 4+ 6 =12+14+11 = 37 V[X2+X4+X6]= V(X2)+V(X4)+V(X6)+2 [cov(X2,X4)+cov(X2,X6)+ cov(X4,X6)] =5+6+6+2*2+2*1+2*0 =23

23,37~ NS entonces para el cálculo de la probabilidad tenemos lo

siguiente:

043.1123

3732

23

3732 ZP

SPSP

= 1- (-1.0426) = 0.8515

b)Si hacemos R = S-W entonces tenemos que encontrar la probabilidad de que R>0 y como sabemos que R se distribuye en forma Normal sólo falta encontrar sus parámetros.

23,37~ NS y 15,32~ NW

WSVVNR wsws ,cov2;~

Para el cálculo de la varianza de S con W tenemos lo siguiente: Cov[X2+X4+X6 , X1+X3+X5 ]= [cov(X2,X1) + cov(X2,X3) + cov(X2,X5) + cov(X4,X1) + cov(X4,X3) + cov(X4,X5) + cov(X6,X1) +cov(X6,X3) + cov(X6,X5)]

Cov[S ,W ]= (1-1+0-2+0+0+0+2-2)= -2 V(R)=42


____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________


218

42,5~ NR

772.0142

50

42

50 ZP

RPRP = 1- (-0.772) = 0.7799

c)Debido a que en general una persona no puede dar dos veces la misma evaluación es que el método para resolverlo sería una hipergeométrica,por ello ésta probabilidad se puede aproximar a una distribución binomial con los siguientes parámetros:

7799,0;30~ BinB

IP[x 6] = 6xP1

=xx

x x

305

0

)2201.0()7799.0(30

1

= 1

3.- Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio bidimensional distribuído

como una normal bivariada tal que X1 y X2 están correlacionados positivamente y de modo que verifican las siguientes condiciones:

1. IP[X1<1] = 0,8413 X~N (u , ) y >0

2. IP[X2>6] = 0,0228 3. V[X1]=1 y V[X2]=2 4. V[X1/X2=x2] = 0,75

a) Calcule IP[0 < X2 < 4 / X1 = 2]. b) Encuentre la matriz de varianzas y covarianzas.

Desarrollo.-

a) V[X1]= 12 =1 V[X2]= 2

2 =2


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____________________________________________________________________________________________


219

V[X1/X2=x2] = 12 (1- 2)=0,75

=0.5

IP[0 < X2 < 4 / X1 = 2] = IP[ X2 < 4 / X1 = 2] IP [X2 < 0 / X1 = 2].

22

111

22211

1

2

2121;~ XX

X

X

X XXXXxN

xXX

f

2

3);2(

2

212N

Para calcular 1 y 2 :

0

841,01

1

1

1

1

1

111

xIPxIP

1716,3226

023,06

16

2

21

21

2

221

u

uuxIPxIP

IP [X2<4 / X1 = 2 ] = 0.3163 IP [X2 < 0 / X1 = 2] = 0

0,31630-0.3163 2] X / 4 X [0 12IP

b)


____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________


220

22

22

21

2

2

21

2

1 21 XX

4.-Ciertas vigas tienen secciones rectangulares cuyas dimensiones, largo y ancho se pueden representar mediante una distribución normal bivariada

con vector de media 15,10

en [cm] y matriz de varianzas y

covarianzas

1

05.0

Los límites de tolerancia para el largo de la viga son (9.3; 10.7) y

para el ancho son (14,16). Una viga se considera defectuosa si el largo o el ancho está fuera de los límites de tolerancia. Se tomo una muestra de

tamaño n=15. ¿Cuál es la IP de que 11 de estas vigas no sean defectuosas?

Desarrollo.-

Se aprecia claramente que existe independencia entre el largo y el ancho por lo que la probabilidad de que las vigas no cumplan los requerimientos será la multiplicación de las marginales las cuales también se distribuyen en forma normal.

Sea X=Largo y Y=ancho f x y f x f yX X Y ( , ) ( ) ( )

Si son defectuosas tenemos


____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________


221

5.0,10~ NX

5.0

107.10

5.0

103.917.103.913.97,10 ZIPXIPXXIP

= 32266.0989.0989.01989.0989.01 ZIP

1,15~ NY

1

1516

1

15141161411416 ZIPYIPYYIP

= 68268.0111111 ZIP

2202735.068268.032266.0sdefectuosaIP

7797265.02202735.01sdefectuosaseannoIP

Como las vigas son reemplazadas, la probabilidad pedida sigue una distribución hipergeométrica pero esta es factible aproximarla a una distribución binomial.

779,0;30~ BinB

IP[x=11] = 20874.0)221.0()779.0(11

15 111511

5.- Sea (X,Y) V

.a.n.b. con 10,5

y 12=1, 2

2=25 y >0. Si la

IP(4<Y<16/X=5)=0.954, encuentre la matriz de varianzas y covarianzas.


____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________


222

251;10N

251;551

55N

1;xN5x

yf

2

2

2y

2x

x

y

y

5

42

15

6954.1

15

62

954.015

6

15

6954.0

15

1016Z

15

104P

22

2222

Luego 25

41

6.-Sea 321 x,x,xX

v.a.3-normal con vector de medias 2,2,1

y matriz

de varianzas y covarianzas =diag(1,9,4). Si Y1 = 3X1+2X2-X3 e

Y2=2X1-X2. Encuentre E[Y1/Y2] y V[Y1/Y2]

Desarrollo.-

Si Y1 = 3X1+2X2-X3 y1 =E[Y1] = E[3X1] + E[2X2] - E[X3] =5

Y si Y2 = 2X1-X2 y2= E[Y2] = E[2X1] - E[X2]] =0


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____________________________________________________________________________________________


223

V[Y1]= 9V(X1)+ 4V(X2)+ V(X3) = 9+36+4=49 V[Y2]= 4V(X1)+ V(X2) = 4+9=13

013

75 2

22

2

1

21122

1

y

yyY

Yy

y

y

yyy

21

21

21,cov

yy

yy

yy

cov(y1,y2)=cov(3X1,2X1)+cov(3X1,-X2)+cov(2X2,2X1)+cov(2X2,-X2)+

cov(-X3 ,2X1) + cov(-X3 ,-X2) = 6cov(X1 ,X1) – 2(X2 ,X2)= 6-18 = -12

475.0

137

12,cov

21

21

21

yy

yy

yy

222

1

13

125 y

yYY

13

49349

1349

14411 22

22

1121 yyyyY

YV

4 0 -3 0 0 4 0 2 0


____________________________________________________________________________________________

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224

7.- Sea ,~ 5

NX donde 1,2,3,4,1

y = 9 0 0

4 -1 9

Sean 543131

32

4

21 23

2;

2XXXXYe

XX

YX

XY

a) Encuentre la distribución de Y1, Y2, Y3 respectivamente. b) ¿Y1 e Y2 son independientes?.

c) Determine la IP (Y1> 2Y2).

Desarrollo.- a) i)Para desarrollar estos ejercicios lo primero que hay que hacer es

calcular las marginales respectivas y luego usar las propiedades de la normal bivariada.

41;22

2

24N

1;xN2x

xf

22424

22x

2244x4

4x

2x242x

4

2

2

1

22

2x,xcov

4x2x

4224

3,2N44

11;22

2

2

2

14N

2xx

f4

2


____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________


225

ii)

91;122

33N

1;xN2x

xf

23131

23x

2311x1

1x

3x313x

1

3

2

1

23

3,cov

13

1331

xx

xx

3,4

94

4

11;12

2

3

2

13~

21

3 NNx

xf

iii) 23354313 ,NXXX2X3Y

y3 =E[Y3] = E[3X1] - E[2X3] + E[X4] + E[X5]=3-6-2+1 = -4 V[Y3 ]= 9V(X1)+ 4V(X3)+ V(X4)+ V(X5)+ 2[cov(3X1 ,-2X3) + cov(3X1 ,X4) + cov(3X1 ,X5) + cov(-2X3 ,X4) + cov(-2X3 ,X5) + cov(X4 ,X5)]=

= 36+36+4+9+2(18-1) = 119

119,4~3 NY

b) Y1 e Y2 son independientes ya que se aprecia claramente en la matriz

de varianzas y covarianzas que X2 no está relacionado ni con X3 ni con X1 y lo mismo pasa con X4.

c) IP(Y1>2Y2) = IP(R>0) con R =Y1 – 2Y2

Y1 N (-2,3) Y2 N (9/4,3) y como de la pregunta b) sabemos que son independientes, tenemos que:

15,2

13~ NR


____________________________________________________________________________________________

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226

???115

2

130

15

2

13

0 ZIP

R

IPRIP

= 1- (¿???) =????

Ejercicios Propuestos.- 1.-Sean X e Y las desviaciones horizontal y vertical (sobre un plano) respectivamente, de un vehículo espacial tripulado, con respecto al aterrizaje de éste en el mar. Supóngase que X e Y son 2 variables aleatorias que se distribuyen en forma normal e independientes con

medias x = y=0 y varianzas iguales. ¿ Cuál es la máxima desviación estándar permitible de X e Y, que cumpliría con los requerimientos de la Nasa de tener una probabilidad de 0.99, de que el vehículo aterrice a no más de 500 ft del punto elegido, tanto en dirección vertical como horizontal?.

Respuesta: x= y<177.97 pies.

2.-Sea Y,XX

vector normal bivariado. Se conoce:

a)P(X<5)=0.5 b)P(X<6) = 0,8413= P(Y<15)

c)P(Y<5) = 0.1587 = 1-P(X<6) d)P[4 < Y < 16 / X = 2]= e)Si X aumenta entonces Y aumenta

Calcule la IP(3<X<3.6/Y=5).

Respuesta:0.13

3.-Sea Y,XX

v

.a. n. bivariado tal que :

i) 22

3x

xXY

ii) 3y5

3

yYX

a) Demuestre que YxX

Y


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227

b) Calcule E[X], E[Y], xy .

Respuesta.-

x = -18

y = 25

xy = -0.95

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vectores aleatorios continuos