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Cap´ ıtulo 7 Variables Aleatorias Bidimensionales En nuestro estudio hasta ahora, solo nos interesaba el an´alisis de una va- riable en un experimento dado. En estos casos indic´ abamos el resultado del experimento con un solo “n´ umero” x. Sin embargo en algunos experimentos aleatorios es posible observar varias caracter´ ısticas al mismo tiempo. Son ejemplo de la anterior: 1) Observaci´ on de varias propiedades de un material como (dureza y con- tenido). Aqu´ ı (d,c) es un resultado del experimento. 2) Observaci´ on de las facciones raciales (peso, estatura, color de los ojos y el pelo de una persona). En este caso (p,e,o,l) es un resultado del experimento. 3) Cantidad de lluvia total (u) y promedio (p) de temperaturas en octubre. (u,p) es un resultado del experimento. 4) Producci´ on y consumo. 5) Ventas y utilidades. 6) Gastos en publicidad, valor de la renta. 7) Rendimiento y deserci´ on escolar. 8) Salario, horas de trabajo. 1

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probabilidad

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  • Captulo 7

    Variables AleatoriasBidimensionales

    En nuestro estudio hasta ahora, solo nos interesaba el analisis de una va-riable en un experimento dado. En estos casos indicabamos el resultado delexperimento con un solo numero x. Sin embargo en algunos experimentosaleatorios es posible observar varias caractersticas al mismo tiempo.Son ejemplo de la anterior:

    1) Observacion de varias propiedades de un material como (dureza y con-tenido). Aqu (d,c) es un resultado del experimento.

    2) Observacion de las facciones raciales (peso, estatura, color de los ojosy el pelo de una persona). En este caso (p,e,o,l) es un resultado delexperimento.

    3) Cantidad de lluvia total (u) y promedio (p) de temperaturas en octubre.(u,p) es un resultado del experimento.

    4) Produccion y consumo.

    5) Ventas y utilidades.

    6) Gastos en publicidad, valor de la renta.

    7) Rendimiento y desercion escolar.

    8) Salario, horas de trabajo.

    1

  • 2 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    Definicion 7.0.1. Sea (,=, P ) un espacio de probabilidad. Definamos comovector aleatorio, variable multidimensional o variable aleatoria multivariadaa una funcion X de en Rm que sea -medible o sea, la funcion:

    X(w) = (X1(w), X2(w), ..., Xm(w))

    es tal que para todo i = 1, 2, ...,m y todo Ii R, se tiene X1(Ii) =

    Observacion 7.0.1. Queda implicito que X1, X2, ..., Xp son v.a. en el mismoespacio de probabilidad (,=, P ). As,

    {w : X1(w) x1, X2(w) x2, ..., Xm(w) xm} =mi=1

    {w : Xi(w) xi}

    tambien es un evento dado que es la interseccion de elementos de la -algebra=.

    Definicion 7.0.2. Sea experimento y espacio muestral asociado a .Sean X, Y variables aleatorias que asignan un numero real a cada .Llamamos (X, Y ) una variable aleatoria bidimensional (v.a.b.) [o vector alea-torio bidimensional].

    Graficamente.

    Figura 7.1: vector aleatorio bivariado

    Si notamos con h = (X, Y ) podemos decir que una v.a.b h no es mas queuna funcion

  • 3h : R2 (X, Y )() = (X(), Y ())

    Si X1, X2, X3, ..., Xn son n familias aleatorias, cada una de las cuales asignaa cada un unico numero real [X1 = X1(), ..., Xn = Xn()], entoncesla n upla (X1, X2, ..., Xn) es una variable aleatoria n dimensional.

    Observacion 7.0.2. As como en el caso unidimensional RX representa elrecorrido de X, RXY es el recorrido de (X, Y ) en el caso bidimensional.RXY sera entonces un subconjunto del plano euclidiano, pues cada uno delos resultados X(), Y () se podra representar como un punto (X, Y ) delplano.

    Definicion 7.0.3. El vector (X, Y ) es una variable aleatoria bidimensionaldiscreta (v.a.b.d.) si los posibles valores de (X, Y ) son finitas o infinitas nu-merables. Es decir los posibles valores de (X, Y ) se pueden representar como(xi, yi), i = 1, 2, ..., n, ... j = 1, 2, ...,m, ...

    El vector (X, Y ) es una variable aleatoria bidimensional continua (v.a.b.c.)si pueden tomar todos los valores en un conjunto no-numerable del planoeuclidiano.

    En el caso discreto los valores de (X, Y ), (xi, yi) se ubica en el plano eucli-diano tal como se muestra a continuacion.

    En el caso caso continuo (X, Y ) puede tomar, por ejemplo, todos los valoresen el rectangulo. {(X, Y )/a X b, c Y d}o todos los valores en el circulo {(X, Y )/X2 + Y 2 1}.

    Observacion 7.0.3.

    a) El vector (X, Y ) es una v.a.b. si representa un resultado del experimen-to en el cual han medido las caractersticas numericas X y Y .

  • 4 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    Figura 7.2: variable aleatoria bidimensional discreta

    Figura 7.3: variable aleatoria bidimensional continua

    Figura 7.4: variable aleatoria bidimensional continua

    b) Como en el capitulo anterior, puede suceder que una de las componentesde (X, Y ) sea discreta mientras que la otra sea continua. Sin embargoen la mayora de los casos interesa que ambas variables sean discretaso ambas sean continuas.

    c) Muchos veces, las dos variablesX y Y consideradas en conjunto, puedenser el resultado de un experimento [Ejemplo: Peso o Estatura de unapersona], pero no es necesario que esta conexion exista. Por ejemplo, Xpodra ser la corriente que circula por un circuito y Y la temperaturaambiente.

  • 7.1. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE (X,Y) 5

    7.1. Distribucion de Probabilidad de (X,Y)

    Definicion 7.1.1.

    a) Sea (X, Y ) una v.a.b.d. a cada resultado (xi, yj) asociamos un numero(xi, yj) que representa P [X = xi, Y = yj] el cual satisface las siguien-tes condiciones:

    i. (xi, yj) 0 para toda (xi, yj).

    ii.j=1

    i=1

    (xi, yj) = 1.

    La funcion definida para toda (xi, yj) RXY es llamada funcionde probabilidad de (X,Y). El conjunto de ternas (xi, yi, (xi, yj))i = 1, 2, ..., n, ... j = 1, 2...,m, ... se denomina distribucion de pro-babilidad conjunta de (X,Y)

    b) Sea (X, Y ) una v.a.b.c. que tomas todos sus valores en una region Bdel plano euclidiano. La funcion de densidad de probabilidad conjuntaf es una funcion que cumple las siguientes condiciones:

    1. f(x, y) 0 para toda (x, y) B,2.

    B

    f(x, y) dxdy = 1.

    Observacion 7.1.1.

    1) Consideremos una masa total unitaria distribuida en una region delplano. En el caso discreto toda la masa esta ubicada en un numerofinito o a lo mas infinito enumerable de puntos, con masa (xi, yi) enel punto (xi, yi) para todo i, j.En el caso continuo la masa se encuentra ubicada en una region B delplano.

    2) La condicion

    B

    f(x, y) dxdy = 1 significa que el volumen total bajo

    la superficie z = f(x, y) es igual a 1.

  • 6 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    3) f(x, y) no representa la probabilidad de nada! Para x y y pequenosy positivos se encuentra que

    f(x, y)xy = P [x X x+ x, y Y y + y]

    f(x, y) da la densidad conjunta de masa!

    4) Se considera f(x, y) = 0 para (x, y) 6 B. Este hecho nos permiteconsiderar a f definida para todo (x, y) del plano de modo que

    B

    f(x, y) dxdy =

    f(x, y)dxdy = 1.

    5) La distribucion de probabilidad conjunta de (X, Y ) es inducida porsucesos asociados a , el espacio muestral original. Sin embargo nosinteresaran siempre los (x, y) en RXY para as obtener (x, y).No obstante, si es posible especificar P (A) para todo A , se puededeterminar la probabilidad con sucesos asociados a RXY . Es decir siB RXY se tiene:

    P (B) = P [(X(), Y ()) B] = P [{ /(X(), Y ()) B}].

    Esta ultima probabilidad se refiere a sucesos en . Se puede considerarentonces que los sucesos B y { /(X(), Y ()) B} son equiva-lentes.

    Figura 7.5: Sucesos bivariados equivalentes

  • 7.1. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE (X,Y) 7

    En caso que (X, Y ) sea discreta, tenemos

    P (B) =

    B(xi, yi).

    Si (X, Y ) es continua

    P (B) =

    B

    f(x, y) dxdy.

    Ejemplo 7.1.1. Considere el experimento consistido en tomar una monedade 50 pesos y una de 20 pesos. Son las dos variables: X : Numero de carasen la moneda de 50 y Y : Numero de caras en la de 20 pesos.Hallar: RX , RY , RXY y hacer la densidad de probabilidad de (X, Y ). Graficar!

    Solucion:

    Claramente RX = {0, 1} = RY y RXY = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}Y |X 0 1

    0 14

    14

    1 14

    14

    Como obtenemos (1, 1)?

    (1, 1) = P [X = 1, Y = 1] = P{ /(X, Y )() = (1, 1)} = P{cc} = 14, en

    forma similar se procede en los otros casos.

    La grafica de la distribucion de probabilidad es como sigue:

    Ejemplo 7.1.2. Se lanza un par de dados corrientes. Sean X y Y las varia-bles definidas como sigue:X(a, b) = max(a, b) y Y (a, b) = a+ b.

    Obtener la distribucion de probabilidad conjunta (X, Y ).

  • 8 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    Figura 7.6: Grafico Ejemplo v.a.b.d.

    Solucion

    Claramente RX = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y RY = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

    X|Y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 1

    360 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    2 0 236

    136

    0 0 0 0 0 0 0 0

    3 0 0 236

    236

    136

    0 0 0 0 0 0

    4 0 0 0 236

    236

    236

    136

    0 0 0 0

    5 0 0 0 0 236

    236

    236

    236

    136

    0 0

    6 0 0 0 0 0 236

    236

    236

    236

    236

    136

    Como obtenemos (1, 2)?

    En este caso debemos buscar el elemento de , espacio muestral asociado a, cuyo maximo sea 1 y cuya suma sea 2. Luego (1, 2) = P{(X = 1, Y =1)} = P{(1, 1)} = 1

    36

    Veamos ahora otro caso:(1, 3) = P{(X = 1, Y = 3)} = P{} = 0(3, 4) = P{(X = 3, Y = 4)} = P{(1, 3), (3, 1)} = 2

    36

    (3, 5) = P{(X = 3, Y = 5)} = P{(2, 3), (3, 2)} = 236

  • 7.1. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE (X,Y) 9

    Ejemplo 7.1.3. Dos variables X y Y tienen la siguiente distribucion deprobabilidad conjunta.

    Y |X 1 2 31 1

    1216

    0

    2 0 14

    15

    3 118

    14

    215

    Hallar.

    a) (2, 1); (3, 2); (3, 4)

    b) Sea B = {X > Y }. Hallar P (B).c) Calcular P [X + Y < 7]

    Solucion:

    a) (2, 1) = P{(X = 2, Y = 1)} = 16,

    (3, 2) = P{(X = 3, Y = 2)} = 15,

    (3, 4) = P{(X = 3, Y = 4)} = 0.b) P (B) = P{X > Y } = X>Y (x, y) = (2, 1) + (3, 1) + (3, 2) =

    16

    + 0 + 15

    = 1130.

    c) Similar.

    Ejemplo 7.1.4. Suponga que un grupo de 10 personas se encuentran clasifi-cados en las clases A, B, C y D de tal forma que el numero de personas porclases es:

    A 3 individuosB 3 individuosC 2 individuosD 2 individuos.

    Se selecciona al azar un grupo de 3 personas. Sean, las v.a.

  • 10 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    X # de personas de la clase AY # de personas de la clase B.

    Encuentre la funcion de distribucion del vector (X, Y ).Solucion:Existen

    (103

    )= 120 formas distintas de seleccionar el grupo de 3 personas.

    Sea n(i, j) =(

    3i

    )(3j

    )(4

    3ij), para i, j = 0, 1, 2, 3; i + j 3, el numero de

    formas de seleccionar 3 individuos, siendo i de la clase A y j de la clase B.Entonces, la funcion de distribucion conjunta discreta es:

    P (X = i, Y = j) =n(i, j)

    120=

    (3i

    )(3j

    )(4

    3ij)

    120.

    Luego,

    P (X = 0, Y = 0) =

    (30

    )(30

    )(4

    300)

    120=

    4

    120,

    P (X = 1, Y = 0) =

    (31

    )(30

    )(4

    310)

    120=

    18

    120,

    P (X = 2, Y = 0) =

    (32

    )(30

    )(4

    320)

    120=

    12

    120,

    P (X = 3, Y = 0) =

    (33

    )(30

    )(4

    330)

    120=

    1

    120,

    P (X = 0, Y = 1) =

    (30

    )(31

    )(4

    301)

    120=

    18

    120,

    P (X = 1, Y = 1) =

    (31

    )(31

    )(4

    311)

    120=

    36

    120,

    P (X = 2, Y = 1) =

    (32

    )(31

    )(4

    321)

    120=

    9

    120,

    P (X = 3, Y = 1) =

    (33

    )(31

    )(4

    331)

    120=

    0

    120= 0,

    P (X = 0, Y = 2) =

    (30

    )(32

    )(4

    302)

    120=

    12

    120,

  • 7.1. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE (X,Y) 11

    P (X = 1, Y = 2) =

    (31

    )(32

    )(4

    312)

    120=

    9

    120,

    P (X = 2, Y = 2) =

    (32

    )(32

    )(4

    322)

    120=

    0

    120= 0,

    P (X = 3, Y = 2) =

    (33

    )(32

    )(4

    332)

    120=

    0

    120= 0,

    P (X = 0, Y = 3) =

    (30

    )(33

    )(4

    303)

    120=

    9

    120,

    P (X = 1, Y = 3) =

    (31

    )(33

    )(4

    313)

    120=

    0

    120= 0,

    P (X = 2, Y = 3) =

    (32

    )(33

    )(4

    323)

    120=

    0

    120= 0,

    P (X = 3, Y = 3) =

    (33

    )(33

    )(4

    333)

    120=

    0

    120= 0.

    Entonces,

    Y |X 0 1 2 3 Y = y0 4/120 18/120 12/120 1/120 35/1201 18/120 36/120 4/120 0 63/1202 12/120 4/120 0 0 21/1203 1/120 0 0 0 1/120

    X = x 35/120 63/120 21/120 1/120 1.0

    As,

    P (0 X 1, Y = 1) =1

    x=0

    P (X = x, Y = 1)

    = P (X = 0, Y = 1) + P (X = 1, Y = 1)

    =18

    120+

    36

    120=

    54

    120.

  • 12 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    P (Y 1) =3

    x=0

    P (X = x, Y 1)

    = P (X = 0, Y 1) + P (X = 1, Y 1) + P (X = 2, Y 1)+ P (X = 3, Y 1)= P (X = 0, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1) + P (X = 1, Y = 0)

    + P (X = 1, Y = 1) + P (X = 2, Y = 0) + P (X = 2, Y = 1)

    + P (X = 3, Y = 0) + P (X = 3, Y = 1)

    =98

    120.

    Ejemplo 7.1.5. Sea (X, Y ) un v.a.b.c. con la siguiente fdp conjunta

    f(x, y) =

    {k si 5000 x 10000, 4000 y < 90000 caso contrario.

    a) Hallar el valor de k que hace que f sea una buena fdp conjunta.

    b) Sea B = {X Y }. Hallar P (B).

    Solucion:

    a) En este caso usaremos el hecho

    f(x, y) dxdy = 1. Luego,

    f(x, y) dxdy =

    90004000

    100005000

    f(x, y) dxdy = 1

    9000

    4000

    5000k dy = 1

    (5000)2k = 1 k = 1

    50002.

  • 7.1. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE (X,Y) 13

    b)

    P (B) = P [X Y ] = 1 P [X Y ]

    = 1 9000

    5000

    y5000

    (5000)2 dxdy

    =17

    25.

    Figura 7.7: Grafico ejemplo 1 v.a.b.c.

    Ejemplo 7.1.6. Sea (X, Y ) la v.a.b.c. con fdp conjunta dada por:

    fXY (x, y) =

    {x2 + xy

    3si 0 x 1, 0 y < 2

    0 caso contrario

    a) Verificar que

    f(x, y) dxdy = 1

    b) Sea B = {X + Y 1}. Hallar P (B).

    Solucion:

  • 14 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    a)

    f(x, y) dxdy =

    20

    10

    (x2 +xy

    3) dxdy

    =

    20

    [x3

    3+x2y

    6

    ]10

    dy

    =

    20

    (1

    3+y

    6

    )dy

    =y

    3+y2

    12

    20

    =2

    3+

    4

    12= 1.

    b)

    P (B) = P [X + Y 1] = 1 P [X + Y 1]

    = 1 1

    0

    1x0

    (x2 +

    xy

    3

    )dydx

    = 1 772

    =65

    72.

    Figura 7.8: Grafico Ejemplo 2 v.a.b.c.

  • 7.2. FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULATIVA DE LA V.A.B. (X, Y )15

    7.2. Funcion de Distribucion Acumulativa de

    la v.a.b. (X, Y )

    Definicion 7.2.1. Sea (X, Y ) una variable aleatoria bidimensional. La fun-cion de distribucion acumulativa (f.d.a.) de F de la variable aleatoria bidi-mensional (X, Y ) viene dada por:

    F (X, Y ) = P [X x, Y y] < x

  • 16 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    i) y R Si x1 < x2, entonces F (x1, y) F (x2, y)ii) x R Si y1 y2, entonces F (x, y1) F (x, y2)

    Teorema 7.2.2. Si x1 < x2 y y1 < y2, entonces P [x1 < X < x2, y1 < Y x > 2 por lo tanto se debe tomar en cuenta que 2 < x 0; se define la funcion de probabilidadde X = xi dado Y = yj como:

    (xi|yj) = P [X = xi|Y = yj] = P (X = xi, Y = yj)g(yj)

    . (7.3)

  • 32 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    La funcion de distribucion condicional de X = xi dado Y = yj sera:

    F (x0|yj) = P [X x0|y = yj] =

    xix0

    (xi, yj)

    g(yj).

    2. Sea (X, Y ) una v.a.b. discreta con funcion de probabilidad (x, y). Sea(xi) la funcion de probabiidad marginal de la v.a.d. X, si para X = xi,(xi) > 0; se define la funcion de probabilidad de Y = yj dado X = xicomo:

    g(yj|xi) = P [Y = yj|X = xi] = P [X = xi, Y = yj](xi)

    . (7.4)

    La funcion de distribucion condicional de Y = yj dado X = xi sera:

    F (yj|xi) = P [y yj|X = xi] =

    Yy0

    (xi, yj)

    (xi).

    Definicion 7.4.2. Sea (X, Y ) una v.a.b continua con f.d.p conjunta f(x, y),g y h las fdp marginales de X y Y respectivamente.Entonces,

    1. Si h(y) > 0, la fdp condicional de X para Y = y dada, esta definidapor:

    g(x|y) = f(x, y)h(y)

    . (7.5)

    La fda de X para Y = y dada, esta definida por:

    F (x|y) = x

    g(z|y)dz. (7.6)

    2. Si g(x) > 0, la fdp condicional de Y para X = x dada, esta definidapor:

    h(y|x) = f(x, y)g(x)

    . (7.7)

    la fdp condicional de Y para X = x dada, esta definida por:

    F (y|x) = y

    h(z|x)dz. (7.8)

  • 7.4. DISTRIBUCION CONDICIONAL 33

    Ejemplo 7.4.1. Con referencia a la tabla siguiente hallar las distribucionescondicionales de X dado Y = 2 y de Y dado X = 3.

    Y |X 1 2 3 i1 1

    1216

    0 312

    2 0 19

    15

    1445

    3 118

    14

    215

    79180

    j536

    1936

    13

    1,0

    Solucion:

    Distribucion de X condicionada a Y = 2.Llamando q(y) la funcion de probabilidad de la v.a. Y, entonces q(2) =1445. Luego,

    (xi|2) = P [X = xi|Y = 2] = P (X=xi,Y=2)q(2) ; es decir,(x1|2) = (1|2) = (1,2)q(2) = 014/45 = 0,(x2|2) = (2|2) = (2,2)q(2) = 1/914/45 = 45126 ,(x3|2) = (3|2) = (3,2)q(2) = 1/514/45 = 4570 .

    En resumen:

    x 1 2 3(xi|2) 0 45126 4570

    Note que

    i (xi|2) = 1,0

    Llamando (x) la funcion de probabilidad de la v.a. X, se tiene que(3) = 1

    3, entonces la distribucion de Y condicionada a X = 3 es:

    q(yj|3) = P [Y = yj|X = 3] = (3,yj)(3) ; es decir,q(y1|3) = q(1/3) = (3,1)(3) = 01/3 = 0,q(y2|3) = q(2/3) = (3,2)(3) = 1/51/3 = 35 ,

  • 34 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    q(y3|3) = q(3/3) = (3,3)(3) = 2/151/3 = 515 .

    En resumen:

    y 1 2 3q(yj|3) 0 35 615

    Note que

    j q(yj|3) = 1,0

    Calcular la distribucion de Y condicionada a X = 1; X = 2.

    Ejemplo 7.4.2. Sea la v.a.b.c. (X, Y ) con fdp conjunta dada por:

    f(x, y) =

    {x2 + xy

    3si 0 x 1 ; 0 y 2

    0 en otra parte.

    Hallar g(x|y) y h(y|x).

    Solucion:

    a)

    g(x|y) = f(x, y)h(y)

    .

    ahora,

    h(y) =

    f(x, y) dx =

    10

    (x2 +xy

    3) dx =

    y

    6+

    1

    3.

    Luego,

    g(x|y) = x2 + xy

    3y6

    + 13

    =6x2 + 2xy

    y + 2, si 0 x 1; 0 y 2.

    b)

    h(y|x) = f(x, y)g(x)

    Ahora,

    g(x) =

    f(x, y) dy =

    20

    (x2 +xy

    3) dy = 2x2 +

    2

    3x.

  • 7.4. DISTRIBUCION CONDICIONAL 35

    Luego,

    h(y|x) = x2 + xy

    3

    2x2 + 23x

    =3x+ y

    6x+ 2, si 0 y 2; 0 x 1.

    Verificar que tanto g(x|y) como h(y|x) son fdp. Recuerde, basta verificar que

    g(x|y) dx = 1 y

    h(y|x) dy = 1.

    Ejemplo 7.4.3. Sea fXY (x, y) = x+y para 0 x 1 ; 0 y 1 encontrar:a) fX|Y ,

    b) FX|Y ,

    c) FXY .

    Solucion:

    a) Encontremos la marginal de Y

    fY (y) =

    10

    (x+ y) dy =

    (x2

    2+ y

    )|10 =

    1

    2+ y =

    1 + 2y

    2; 0 y 1.

    fX|Y (x|y) = fXY (x, y)fY (y)

    =x+ y1+2y

    2

    =2(x+ y)

    1 + 2y; 0 x 1, 0 y 1.

    b)

    FX|Y (x|y) = x

    fX|Y (z|y) dz = x

    0

    2(z + y)

    2y + 1dz

    =1

    2y + 1

    [z2 + 2yz

    ]x0

    =x2 + 2xy

    2y + 1.

    Ejemplo 7.4.4. La funcion de densidad conjunta de cierto proceso es:

    fXY (x, y) =

    {Cxye

    x+y si x > 0 ; y > 0

    0 c.c

    con > 0 un parametro de la distribucion, encontrar:

  • 36 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    a) El valor de C,

    b) FY |X ,

    c) FXY ,

    d) P (X + Y > ).

    Solucion:

    a)

    R2

    Cxye

    x+y dxdy = 1

    C

    xyex+y dxdy = C

    0

    0

    xyex+y dxdy

    = C

    0

    0

    xyex e

    y dxdy

    = C

    ( 0

    xex dx

    )( 0

    yey dy

    )= C

    (2) (2)

    = C(4)

    C = 14.

    b)

    fY |X(x, y) =fXY (x, y)

    fX(x)=

    {14xye

    x+y

    fX(x)si x, y > 0

    0 caso contrario.

  • 7.4. DISTRIBUCION CONDICIONAL 37

    entonces,

    fX(x) =

    0

    fXY (x, y) dy

    =

    0

    xy

    4e

    x+y dy

    = lmr

    4(ye yx (xe x ) 2e y (xe x )

    )r0

    = 4(2e0(xe

    x ))

    =x

    2e

    x .

    Luego,

    fY |X(x, y) =

    xy

    4e

    x e

    y

    x2e

    x

    si x, y > 0

    0 caso contrario

    =

    {y2e

    y si x, y > 0

    0 caso contrario.

    c) FXY (x, y) =

    x

    y

    fuv(u, v) dudv

    i. Si x 0 o y 0 FXY (x, y) = 0ii. Si x > 0 y y > 0

    FXY (x, y) = x

    y

    fuv(u, v) dudv

    =

    0

    0

    fuv(u, v) dudv +

    x0

    y0

    fuv(u, v) dudv

    =

    x0

    y0

    fuv(u, v) dudv

    =

    x0

    y0

    4uveu e

    v dudv

    = 4( x

    0

    ueu du

    )( y0

    vev dv

    )= 4

    (ueu 2eu )x0

    (ve v 2e v )y0

    = 4(xex + 2e

    x 2)(ye y + 2e y 2).

  • 38 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    d) La region de interes es: D = {(X, Y ) R2 | X < , Y X},entonces

    P (X + Y > ) = P1 + P2,

    donde,

    P1 =

    x

    x

    fXY (x, y) dydx

    =

    0

    x

    4xyex+y dydx

    =

    0

    4xex

    ( x

    yey dy

    )dx

    = 4

    0

    xex

    [(ye y 2e y

    )x

    ]dx

    = 4

    0

    xex

    [( x)ex + 2ex

    ]dx

    = 4

    0

    xex

    [( x)ex + 2ex

    ]dx

    = 4

    0

    [( x)xe1 + x2e1] dx

    = 4e1

    0

    [x2 x2+ x2] dx

    = 4e1

    0

    [2x2 x2] dx

    = 4e1[x22 x

    3

    3

    ]0

    = 4e1[4

    4

    3

    ]=

    2

    3e1

  • 7.4. DISTRIBUCION CONDICIONAL 39

    y

    P2 =

    0

    4xyex+y dydx

    = 4(

    xex dx

    )( 0

    yey dy

    )= 4

    [(lmr

    (xe x 2e x )|r)(

    lmr

    (e y2e y )|r0)]

    = 4(2e1 + 2e1)(2)

    = 4(22e1)(2)

    = 2e1.

    Luego,

    P (X + Y > ) = P1 + P2 =2

    3e1 + 2e1 =

    8

    3e1.

    Ejemplo 7.4.5. La v.a.b. (X, Y ) tiene fdp conjunta

    f(x, y) =

    {e(x+y) si x > 0; y > 0

    0 en otro caso.

    Hallar:

    a) Funcion de distribucion conjun-ta.

    b) Funciones de densidad margi-nales y condicionales.

    c) P (X < 2|Y = 3)d) h(y|X = 3)

    e) g(x|Y = 4)

    f) P (X < 1, Y < 2)

    g) P (1 < X + Y < 3)

    h) P (X < Y |X < 2Y )Solucion:La probabilidad se encuentra distribuida en el primer cuadrante

    a) F (x, y) = 0 para x < 0, y < 0Para x > 0, y > 0

    F (x, y) =

    x0

    y0

    e(u+v) dvdu = x

    0

    eu du y

    0

    ev dv

    = (1 ex)(1 ey).

  • 40 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    b) g(x) =

    0

    f(x, y) dy =

    0

    e(x+y) dy = ex

    0

    ey dy = ex, para

    x > 0.

    h(y) =

    0

    f(x, y) dx =

    0

    e(x+y) dx = ey

    0

    ex dx = ey, para

    y > 0.g(x|y) = f(x,y)

    h(y)= e

    (x+y)ey = e

    x, para x > 0, y > 0.

    h(y|x) = f(x,y)h(y)

    = e(x+y)ex = e

    y, para x > 0, y > 0.

    c) P (X < 2|Y = 5) = 2

    0

    g(x|5) dx = 2

    0

    ex dx = 1 e2

    d) h(y|X = 3) = ey, para y > 0.e) g(x|Y = 4) = ex, para x > 0.f) P (X < 1, Y < 2) =

    Rf(x, y) dxdy, donde

    R = {(x, y) D|x < 1; y < 2}.

    As,

    P (X < 1, Y < 2) =

    10

    20

    eyex dydx = 2

    0

    ey dy 1

    0

    ex dx

    = (1 e2)(1 e1).

    g) P (1 < X + Y < 3) =

    R

    f(x, y) dxdy, donde

    R = {(x, y) D|1 < x+ y < 3}.

    Como el comportamiento de (X, Y ) no es uniforme en R, asumimos elhecho de que R = R1 R2 (Note que R1 R2 = ), entonces:

    P (1 < X + Y < 3) =

    R1

    f(x, y) dxdy +

    R2

    f(x, y) dxdy

    =

    10

    3x1x

    exey dxdy + 3

    1

    3x0

    eyex dxdy

    = 2e1 4e3.

  • 7.5. DISTRIBUCION UNIFORME 41

    h) P (X < Y |X < 2Y ) = P (X < Y X < 2Y )P (X < 2Y )

    =P (X < Y )

    P (X < 2Y )

    P (X < Y ) =

    R1

    f(x, y) dxdy, donde R1 = {(x, y) D|x < y}

    P (X < 2Y ) =

    R2

    f(x, y) dxdy, donde R2 = {(x, y) D|x < 2y}.

    Entonces, P (X < Y ) =

    0

    y0

    exey dxdy =1

    2y

    P (X < 2Y ) =

    0

    2y0

    exey dxdy =2

    3

    P (X < Y |X < 2Y ) = 1/22/3

    =3

    4.

    7.5. Distribucion Uniforme

    Una variable aleatoria continua bidimensional (X, Y ) esta distribuida unifor-memente en una region R del plano euclidiano si

    f(x, y) =

    {Constante Para (x, y) R

    0 en otra parte

    f(x, y) dydx = 1 y f(x, y) = k, entonces k

    dydx Area R

    = 1,

    entonces k = 1Area R

    , donde Area R > 0.

    Ejemplo 7.5.1. Supongase que (X, Y ) es una v.a.c.b. distribuida uniforme-mente en la region R siguiente

    a) Hallar f(x, y).

    b) Encontrar las funciones de densidad marginal de X y Y.

    Solucion:

    a) f(x, y) = 1Area R

    ; Area R =

    10

    (x x2) dx = 16

    . Luego,

    f(x, y) =

    {116

    = 6 si (x, y) R0 en otra parte.

  • 42 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    b) fdp marginal de X.

    f(x, y) dy =

    xx2

    6 dy = 6(x x2) si 0 x 1

    fdp marginal de Y .

    h(y) =

    f(x, y) dx =

    yy

    6 dx = 6(y y), si 0 y 1.

    7.6. Variables Aleatorias Independientes

    Intuitivamente, X, Y son variables aleatorias independientes si el resultadode X de ninguna manera influye en el resultado de Y . Precisemos en mejorforma lo anterior:

    Definicion 7.6.1. Sea (X, Y ) una variable aleatoria bidimensional discre-ta. Decimos que X, Y son variables aleatorias independientes si (xi, yj) =(xi) q(yj) para todo i, j. (esto es, si la funcion de probabilidad conjunta esigual al producto de las marginales).

    En consecuencia se tiene el siguiente resultado:

    Teorema 7.6.1. Sea (X, Y ) una v.a.b. discreta. X y Y son independientessi y solo si (xi|yj) = (xi) para todo i, j (o lo que es equivalente, si y solosi q(yj|xi) = q(yj) para todo i, j).

  • 7.6. VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES 43

    Demostracion. Sean X y Y independientes, entonces (xi, yj) =(xi) q(yj) para todo i, j. Luego: (xi|yj) = (xi,yj)q(yj) = (xi)

    Supongamos que (xi|yj) = p(xi). Como (xi|yj) = (xi,yj)q(yj) , entonces(xi, yj) = (xi) q(yj).Ejemplo 7.6.1. Corrobore si las variables X y Y dadas en la tabla siguienteson independientes.

    Y |X 1 2 3 q(yj)1 1

    1216

    0 312

    2 0 19

    15

    1445

    3 118

    14

    215

    79180

    (xi)536

    1936

    13

    1

    Solucion: Para probar que X y Y son independientes tenemos que probarque (xi, yj) = (xi) q(yj) para todo i, j.Debemos por lo tanto comprobar si esta igualdad se cumple con cada uno delos 9 puntos con probabilidad dada. Entonces,

    (x1, y1) = (1, 1) =112. Ahora,

    (x1) = (1) =536

    q(y1) = q(1) =312

    } (x1) q(y1) = 5

    36 3

    12=

    5

    144

    Luego (x1, y1) 6= (x1) q(y1).Habiendo encontrado un punto que no satisfaga la condicion podemos afirmarque X y Y no son independientes.

    Observacion 7.6.1. Antes de dar la definicion de independencia estocasticapara v.a.b. continuas, veamos lo siguiente:

    Sea (X, Y ) una v.a.b. continua con funcion de densidad conjunta f(x, y).Sea R = {(x, y) R2|f(x, y) > 0}, esto es, la region del plano donde esta dis-tribuida la probabilidad.Supongamos que R es tal que x R1 R mientras que y R2 R demodo que R1 no esta afectado por los valores que toma la v.a. en Y = y,

  • 44 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    asimismo R2 no esta afectado por los valores que toma la v.a. en X = x,en estas condiciones R es una region rectangular, R = R1 R2, esto esR = {(x, y)|a x b, c y d} con a,b,c,d constantes. Si R es de estaforma decimos que es un ESPACIO PRODUCTO (o que la variable aleatoriabidimensional (X, Y ) tiene distribucion en el espacio producto).

    Ejemplo 7.6.2.

    R es un espacio producto, R = {(x, y)| 1 x 5, 1 y 4}.

    D no es un espacio producto, D = {(x, y)| 0 x 2, 0 y 63x2}.

    En general, R es un espacio producto si esta limitada solo por rectas paralelasa los ejes; en caso contrario dejara de ser un espacio producto; as, la region Danterior no es un espacio producto, pues esta limitada por la recta 3x+2y = 6que no es paralela al eje x ni al eje y.

    Definicion 7.6.2. Sea (X, Y ) un v.a.b.c. con fdp conjunta f(x, y). Las va-riables aleatorias X y Y son estocasticamente independiente si y solo si

    f(x, y) = g(x) h(y),

  • 7.6. VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES 45

    donde g(x) y h(y) son las fdp marginales de X y Y respectivamente, y ademasla region donde se distribuye la probabilidad es un espacio producto.

    Como consecuencia, tenemos ahora el siguiente resultado.

    Teorema 7.6.2. Sea (X, Y ) una variable aleatoria bidimensional continua.Las variables aleatorias X y Y son independientes si y solo si g(x|y) = g(x)(o lo que es equivalente si y solo si h(y|x) = h(y) para todo (x, y)).

    Demostracion. Supongamos que X y Y son independientes, entoncesf(x, y) = g(x) h(y). Luego, g(x|y) = f(x,y)

    h(y)= g(x)h(y)

    h(y)= g(x).

    Se hace en forma similar.

    De las definiciones anteriores se sigue que para X y Y v.a.i.

    FXY (x, y) = PXY (X x, Y y) = PX(X x)PY (Y y) = FX(x)FY (y).

    Para X y Y v.a.d. independientes se sigue que.

    P (X = x, Y = y) = P (X = x)P (Y = y).

    para todo x en el rango de X y todo y en el rango de Y.En conclusion, se puede decir que si X y Y son v.a.i. con fdp conjunta fXYy marginales fX(x) y fY (y), entonces

    fXY (x, y) = fX(x)fY (y),

    para todo x, y R. Recprocamente, si la condicion anterior se cumple,entonces las variables aleatorias son independientes. En general, las v.a. X yY son independientes si existen m1(x) y m2(y), funciones reales tales que

    fXY (x, y) = m1(x)m2(y), x, y R.

    Teorema 7.6.3. Para X y Y v.a.i se tiene que para Z = X + Y,

    MX+Y (t) = MX(t)MY (t).

  • 46 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    Demostracion.

    MZ(t) = E[etZ ] = E[et(X+Y )] = E[etX+tY ]

    =

    R

    Retx+tyfXY (x, y)dxdy

    =

    RetxfX(x)dx

    RetyfY (y)dy

    = MX(t)MY (t).

    Ejemplo 7.6.3. Supongamos que (X, Y ) tiene fdp conjunta dada como sigue:

    f(x, y) =

    {e(x+y) si x 0, y 0

    0 en otra parte.

    Seran X y Y estocasticamente independientes?

    Solucion:

    g(x) =

    f(x, y) dy =

    0

    exey dy = ex

    0

    ey dy = ex y

    h(y) =

    f(x, y) dx =

    0

    exey dx = ey

    0

    ex dx = ey.

    Luego, f(x, y) = ex ey = g(x)h(y) y como la probabilidad esta definida enel primer cuadrante que es un espacio producto, entonces X y Y son variablesaleatorias independientes.

    Ejemplo 7.6.4. Supongase que (X, Y ) tiene fdp conjunta f(x, y) = 8xy,para 0 x y 1. Seran X y Y independientes?

    Solucion:

  • 7.6. VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES 47

    La probabilidad esta definida en R, pero este no es un espacio producto, porlo tanto X y Y no son independientes.

    Ademas,

    g(x) =

    f(x, y) dy =

    1x

    8xy dy = 4x(1 x2) si 0 x 1.

    h(y) =

    f(x, y) dx =

    y0

    8xy dx = 4y3 si 0 y 1.Pero,g(x) h(y) = 4x(1 x2) 4y3 6= f(x, y).

    Observacion 7.6.2. Si se conoce la fdp conjunta es posible determinar enforma unica las fdp marginales g(x) y h(y), pero el conocimiento de las fdpmarginales no determinan la fdp conjunta, a menos que se sepa que la variablealeatoria X y Y son independientes, en cuyo caso g(x) h(y) = f(x, y).

    Teorema 7.6.4. Sean X, Y variables aleatorias con funcion de densidadconjunta f(x, y) y region de distribucion conjunta de probabilidad R. Enton-ces, X y Y son variables aleatorias independientes si y solo si R es un espacioproducto y f(x, y) = m(x) (y), donde m(x) es una funcion no negativa dex solamente y (y) es una funcion no negativa de y solamente.

    Demostracion. Sean X y Y independientes, entonces R es un espacioproducto y ademas f(x, y) = g(x) h(y) donde g(x) 0 y h(y) 0. Esco-giendo m(x) = g(x) y (y) = h(y) tenemos que f(x, y) = m(x) (y).

    Supongamos que R es un espacio producto y f(x, y) = m(x) (y)(m(x) y (y) con las condiciones dadas), entonces

    g(x) =

    f(x, y) dy =

    m(x) (y) dy

    = m(x)

    (y) dy

    = m(x) k1,

  • 48 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    donde k1 =

    (y) dy es una constante. Asimismo,

    h(y) =

    f(x, y) dx =

    m(x) (y) dx

    = (y)

    m(x) dx

    = (y) k2,

    donde k2 =

    m(x) dx es una constante.

    Luego, g(x) h(y) = k1k2m(x) (y) = k1k2f(x, y). Ahora basta probar quek1k2 = 1.

    En efecto:

    1 =

    f(x, y) dxdy =

    m(x) (y) dxdy

    =

    [

    m(x) dx

    ][

    (y) dy

    ],

    pero m(x) = 1k1g(x) y (y) = 1

    k2h(y), entonces

    1 =

    [1

    k1

    g(x) dx

    ][

    1

    k2

    h(y) dy

    ]=

    [1

    k1 1][

    1

    k2 1]

    =1

    k1k2 k1k2 = 1,

    as, g(x) h(y) = 1 f(x, y) entonces, X y Y son variables aleatorias indepen-dientes.

    Definicion 7.6.3. Las variables aleatorias X1, X2, . . . , Xm son variablesaleatorias independientes si

    fX1X2...Xm(x1, x2, . . . , xm) = fX1(x1) fX2(x2) fXm(xm),

  • 7.6. VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES 49

    o tambien, si

    FX1X2...Xm(x1, x2, . . . , xm) = FX1(x1) FX2(x2) FXm(xm).

    Proposicion 7.6.1. Sean X1, X2, ..., Xk v.a.i. Entonces,

    i) La coleccion {Xi1, ..., Xij} {X1, X2, ..., Xk} tambien son indepen-dientes.

    ii) Cualesquiera funciones f1(x1), ..., fk(xk) tambien son independientes.

    iii) Cualesquiera funciones f(x1, x2, ..., xj) y g(xj+1, xj+2, ..., xk) de sub-conjuntos disjuntos tambien son independientes.

    Observacion 7.6.3. Note que para X y Y v.a.i.

    fX|Y (x|y) = fXY (x, y)fY (y)

    =fX(x)fY (y)

    fY (y)= fX(x).

    Demostracion. i) Por hipotesis de independencia, para X1, X2, ..., Xk,

    FX1...Xk(x1, x2, ..., xk) =kj=1

    FXj(xj).

    Ahora, hagamos xi para todo i = 1, 2, ..., k, i 6= i1 o i2, ..., ij.Entonces por definicion de funcion de distribucion marginal conjuntay propiedades de la funcion de distribucion univariada, se tiene.

    FXi1...Xij(xi1, ..., xij) =

    jl=1

    Fxil(xil),

    de donde sigue el resultado.

    ii) Se deja como ejercicio.

    iii) por i) {X1, X2, ..., Xj} y {Xj+1, Xj+2, ..., Xk} son independientes, en-tonces por (ii) se sigue el resultado.

  • 50 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    7.7. Momentos

    Sea (X1, X2, ..., Xk)t un vector aleatorio con fdp conjunta f. Sea g(X1, X2, ..., Xk)

    una funcion de valor real definida sobre Rk y asumamos que g tambien esuna v.a.

    Definicion 7.7.1. 1. Si (X1, X2, ..., Xk) es de tipo discreto dondex1

    , ...,xk

    |g(x1, ..., xk)||P (X1 = x1, X2 = x2, ..., Xk = xk)|

  • 7.7. MOMENTOS 51

    Demostracion. Es semejante al caso univariado, se deja como ejercicio.

    Es semejante al caso univariado, se deja como ejercicio.

    3) Inicialmente verifiquemos que la esperanza existe.

    kj=1

    g(xj)

    f(x1, x2, ..., xk)kj=1

    dxj

    =

    [|g(xj)f(xj)]kj=1

    dxj

    =

    |g(x1)|f(x1) dx1

    |g(x2)|f(x2) dx2

    |g(xk)|f(xk) dxk

    =kj=1

    |g(xj)|f(xj) dxj

  • 52 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    que dura la atencion por parte del funcionario encargado. Si la fdp conjuntadel vector (X, Y ) es:

    fXY (x, y) =

    {ey si 0 y x

  • 7.8. COVARIANZA Y CORRELACION 53

    El voltaje esperado

    La probabilidad de que el voltaje este por encima de 2 voltios.

    Solucion:

    La fdp conjunta es:

    fIR(i, r) = hI(i)gR(r) =2ir2

    9para 0 i 1 , 0 r 3,

    entonces,

    E(V ) = E(IR) = E(I)E(R) =

    [2

    10

    idi

    ] [1

    9

    30

    r2dr

    ]= 1,0

    P (V > 2) = 1 P (V 2)= 1

    ir2

    fIR(i, r) didr

    = 1ir2

    2ir2

    9didr

    Para resolver la doble integral, del grafico relacionado se tiene que

    P (V > 2) = 1[ 2

    r=0

    1i=0

    2

    9ir2 didr +

    3r=2

    2r

    i=0

    2

    9ir2 didr

    ]

    = 1 29

    [4

    3+ 2

    ]= 1 20

    27

    =7

    27.

    7.8. Covarianza y Correlacion

    Definicion 7.8.1. Si E[(XX)(Y Y )] existen, es llamada la covarianzaentre X y Y , donde X = E(X) y Y = E(Y ).

  • 54 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    Figura 7.14: Region para ir 2 voltios.

    En lo que sigue escribiremos

    XY = cov(X, Y ) = E[(X X)(Y Y )].Observacion 7.8.1. i) Note que

    XY = cov(X, Y ) = E[(XX)(YY )] = E[(YY )(XX)] = cov(Y,X) = Y X .

    ii) XX = cov(X,X) = E[(X X)(X X)] = E[(X X)2] = var(X).iii)

    XY = E[(X X)(Y Y )] = E[XY XY YX + XY ]= E(XY ) XE(Y ) YE(X) + XY= E(XY ) XY Y X + XY= E(XY ) XY= E(XY ) E(X)E(Y )= E(XY ) XY .

  • 7.8. COVARIANZA Y CORRELACION 55

    iv) Para X y Y v.a.i.

    XY = E(XY ) E(X)E(Y ) = E(X)E(Y ) E(X)E(Y ) = 0.

    v) cov(X, Y ) = 0 no implica que X y Y son v.a.i.

    Ejemplo 7.8.1. Sea X una v.a. simetrica con E(X) = 0 y sea Y = X2

    entonces,

    Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = E(XX2) = E(X3) = 0

    y sin embargo X y Y estan fuertemente asociados.

    vi) Si E(X2)

  • 56 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    1.

    fY (y) =

    0

    1

    ye

    x+y2

    y dx

    =1

    y

    0

    exy e

    y2

    y dx

    =1

    y

    0

    exy eydx

    =1

    yey

    0

    exy dx

    =1

    yey[yexy ]|0

    =ey.

    E(Y ) =

    0

    0

    y1

    ye

    x+y2

    y dxdy

    =

    0

    ey[

    0

    exy dx

    ]dy

    =

    0

    1

    yey

    [yexy

    ]|2y0 dy

    =

    0

    1

    yey

    [ye2 + y] dy=

    0

    ey(yexy |0 dy

    =

    0

    yeydy

    =(2)

    0

    12

    (2)y21eydy

    =(2) = 1.

  • 7.8. COVARIANZA Y CORRELACION 57

    E(Y 2) =

    0

    0

    y21

    ye

    x+y2

    y dxdy

    =

    0

    yey[

    0

    exy dx

    ]dy

    =

    0

    yey(yexy |0 dy

    =

    0

    y2eydy

    =(3)

    0

    13

    (3)y31eydy

    =(3) = 2.

    As, V (Y ) = E(Y 2) E2(Y ) = 2 1 = 1.2.

    fX|Y (x|y) =fXY (x, y)fY (y)

    =1/ye

    x+y2

    y

    ey

    =

    1ye

    xy ey

    ey

    =1

    ye

    xy .

    E(X|Y = y) =

    xfX|Y (x|y)dx

    =

    0

    x1

    ye

    xy dx

    =1

    y

    0

    xe yx

    =1

    y

    (2)

    (1/y)2

    0

    (1/y)2

    (2)x21e yxdx

    =1

    y

    (2)

    (1/y)2.

  • 58 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    3.

    E(XY ) =

    0

    0

    xy1

    ye

    x+y2

    y dxdy

    =

    0

    ey[

    0

    xe1yxdx

    ]dy

    =

    0

    ey[

    (2)

    (1/y)2

    0

    (1/y)2

    (2)x21e yxdx

    ]dy

    =

    0

    eyy2dy

    =(3)

    0

    13

    (3)y31eydy

    =(3) = 2.

    E(X) =

    0

    0

    x1

    ye

    x+y2

    y dxdy

    =

    0

    1

    yey

    [ 0

    xexy dx

    ]dy

    =

    0

    1

    yey

    [(2)

    (1/y)2

    0

    (1/y)2

    (2)x21e yxdx

    ]dy

    =

    0

    1

    yeyy2dy

    =

    0

    yeydy

    =(2)

    0

    12

    (2)y21eydy

    =(2) = 1.

    Sabemos que E(Y ) = 1. As,

    cov(X, Y ) =E(XY ) E(X)E(Y )=2 (1)(1)=1.

  • 7.8. COVARIANZA Y CORRELACION 59

    4.

    P (X < 2Y ) =

    0

    2y0

    1

    ye

    x+y2

    y dxdy

    =

    0

    1

    yey

    [ 2y0

    exy dx

    ]dy

    =

    0

    1

    yey

    [yexy

    ]|2y0 dy

    =

    0

    1

    yey

    [ye2 + y] dy=

    0

    ey e2

    0

    eydy

    = ey|0 e2(ey)|0=1 e2.

    Teorema 7.8.1 (Desigualdad de Cauchy). Sean X y Y v.a con E(X2) 0. Se tiene que:

    0 E[(X + Y )2] = E[2X2 + 2XY + 2Y 2]= 2E(X2) + 2E(XY ) + 2E(Y 2)

    = 2E(X2) + 2E(XY ) + 2

    = [E(X2) + 2E(XY ) + 2]

    = [E(Y 2)E(X2) 2E(XY )E(XY ) + E(XY )E(XY )]= [E(X2)E(Y 2) E(XY )E(XY )]= [E(X2)E(Y 2) E2(XY )].

    Entonces, como > 0, se sigue que E(X2)E(Y 2) E2(XY ) 0, entonces|E(XY )|2 E(X2)E(Y 2).Veamos que |E(XY )|2 = E(X2)E(Y 2) si y solamente si existen constantesreales a y b no simultaneamente iguales a cero, tales que P (aX+bY = 0) = 1. Si [E(XY )]2 = E(X2)E(Y 2), entonces E(X + Y )2 = 0. Por tanto

  • 60 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    con probabilidad 1, se tiene que X + Y = 0. Si > 0, se puede tomara = y b = . Si = 0, entonces a = 0 y b = E(XY ) = 1.

    Ahora, si existen constantes reales a y b distintas de cero ambas, talesque aX + bY = 0, con probabilidad 1, entonces aX = bY con probabilidad1.

    |E(XY )|2 = |1aE(aXY )|2 = b

    2

    a2|E(Y 2)|2

    =b2

    a2E(Y 2)E(Y 2)

    = E

    (bYa

    )2E(Y 2)

    = E(X2)E(Y 2).

    Observacion 7.8.2. Si X y Y son v.a entonces |X| y |Y | tambien lo son ypor tanto

    |E(|X||Y |)|2 E(|X|2)E(|Y |2) (E(|XY |))2 E(X2)E(Y 2).Ahora, como X X y Y Y tambien son v.a. entonces,

    (E(|(X X)(Y Y )|))2 E(X X)2E(Y Y )2

    E(|(X X)(Y Y )|) V ar(X)

    V ar(Y )

    Cov(X, Y ) V ar(X)V ar(Y )

    Cov2(X, Y ) V ar(X)V ar(Y ) Cov

    2(X, Y )

    V ar(X)V ar(Y ) 1

    Cov(X, Y )V ar(X)V ar(Y )

    1.Teorema 7.8.2. Sean X y Y variables aleatorias reales con varianza finita.Entonces,

    V ar(X + Y )

  • 7.8. COVARIANZA Y CORRELACION 61

    Demostracion. Como V ar(X), V ar(Y ) < , entonces E(X2), E(Y 2) < .Luego,

    E(X + Y )2 = E(X2) + 2E(XY ) + E(Y 2)

    E(X2) + 2E(|XY |) + E(Y 2)E(X2) + 2E(X2 + Y 2) + E(Y 2)

  • 62 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    ii) (X, Y ) = (Y,X).

    iii) (X,X) = 1 y (X,X) = 1.

    iv) |(X, Y )| = 1 si y solamente si existen constantes reales a y b no si-multaneamente cero, tales que (aX + bY = 0) = 1.

    Ejemplo 7.8.3. Para la fdp conjunta dada en el Ejemplo 7.8.2. se tiene que

    E(X2) =

    0

    0

    x21

    ye

    x+y2

    y dxdy

    =

    0

    1

    yey

    [ 0

    x2exy dx

    ]dy

    =

    0

    1

    yey

    [(3)

    (1/y)3

    0

    (1/y)3

    (3)x31e

    1yxdx

    ]dy

    =

    0

    y2eydy

    =(3)

    0

    13

    (3)y31eydy

    =(3) = 2.

    As,

    V ar(X) =E(X2) E2(X)=2 1=1.

    Entonces,

    (X, Y ) =Cov(X, Y )V ar(X)V ar(Y )

    =1

    (1)(1)

    =1.

  • 7.9. ESPERANZA CONDICIONAL 63

    7.9. Esperanza Condicional

    Definicion 7.9.1. Sea el v.a.b. discreto (X, Y ). El valor esperado de X dadoY = y se define por:

    E(X|Y = y) =x

    xfX|Y (x|y)

    para todos los y para los cuales P (Y = y) > 0.

    En forma analoga, el valor esperado de Y dado X = x se define por:

    E(Y |X = x) =y

    yfY |X(y|x)

    para todos los x para los cuales P (X = x) > 0.

    Definicion 7.9.2. Sea el v.a.b. continuo (X, Y ). El valor esperado condicio-nal de X dado Y = y se define por:

    E(X|Y = y) =

    xfX|Y (x|y) dx

    para todos los y con fY (y) > 0.

    En forma analoga, el valor esperado de Y dado X = x se define por:

    E(Y |X = x) =

    yfY |X(y|x)

    para todos los x para los cuales fX(x) > 0.

    Ejemplo 7.9.1. Sean X y Y v.a.i. con distribucion de Poisson de parametros1 y 2 respectivamente. Calcular el valor esperado de X bajo la condicionde que X + Y = n con n Z+ {0} fijoSolucion

    fX|X+Y=n(x|X+Y = n) = P (X = x, Y = n x)P (X + Y = n)

    =P (X = x)P (Y = n x)

    P (X + Y = n)

  • 64 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    Ahora,

    P (X + Y = n) =nl=0

    P (X = l, Y = n l) =nl=0

    P (X = l)P (Y = n l)

    =nl=0

    e1l1l!

    e2nl2(n l)!

    = e(1+2)1

    n!

    nl=0

    n!

    l!(n l)!l1

    nl2

    = e(1+2)1

    n!

    nl=0

    (n

    l

    )l1

    nl2

    = e(1+2)(1 + 2)

    n

    n!.

    As,

    fX|X+Y=n(x|X + Y = n) =e1

    x1

    x!e2

    nx2

    (nx)!e(1+2) (1+2)

    n

    n!

    =n!

    x!(n x)!x1

    nx2

    (1 + 2)n

    =

    (n

    x

    )(1

    1 + 2

    )x(2

    1 + 2

    )nx=

    (n

    x

    )px(1 p)nx,

    donde p = 11+2

    y 1 p = 1 11+2

    = 21+2

    . Entonces, se concluye que

    X|X + Y = n Bin(n,

    11 + 2

    ) E(X|X + Y = n) = n 1

    1 + 2.

    Ejemplo 7.9.2. Sean X y Y v.a. con fdp conjunta,

    fXY (x, y) =

    {x+ y si 0 < x < 1 y 0 < y < 10 caso contrario.

    Entonces,

    fX|Y (x|y) ={

    x+y12

    +ysi 0 < x < 1

    0 caso contrario.

  • 7.9. ESPERANZA CONDICIONAL 65

    As,

    E(X|Y = y) = 1

    0

    xx+ y12

    + ydx =

    112

    + y

    10

    (x2 + xy) dx

    =2

    2y + 1

    (1

    3x3 +

    1

    2x2y

    )|10

    =2

    2y + 1

    (1

    3+

    1

    2y

    )=

    1

    3

    3y + 2

    2y + 1.

    Ejemplo 7.9.3. Sean X y Y v.a. con fdp conjunta

    fXY (x, y) =

    {ey si 0 < x < y0 caso contrario.

    Encuentre E(X|Y = y).Solucion:

    fX|Y (x|y) ={

    1y

    si 0 < x < y

    0 caso contrario.

    E(X|Y = y) = y

    0

    x1

    ydx =

    1

    y

    x2

    2|y0 =

    y

    2.

    Definicion 7.9.3. Sean X y Y v.a. reales y h una funcion real tal que h(X)es una v.a. se define:

    E[h(X)|Y = y] =

    x

    h(x)P (X = x|Y = y) si X, Y son v.a.d.Rh(x)fX|Y (x|y) dx si X, Y son v.a.c.

    Ejemplo 7.9.4. Sean X y Y v.a con fdp conjunta

    fXY (x, y) =

    {12yexy si x > 0 , 0 < y < 2

    0 caso contrario.

  • 66 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    Entonces,

    fY (y) =1

    2, si 0 < y < 2

    yfX|Y (x, y) = yexy, si x > 0

    para h(X) = eX2 , se tiene que:

    E[h(X)|Y ] = E[eX2 |Y ] =

    0

    ex2 yexy dx

    = y

    0

    e(12y)x dx

    = y1

    12 ye

    ( 12y)x|0 si y >

    1

    2

    =y

    12 y (0 1)

    =y

    y 12

    =2y

    2y 1 .

    En particular

    E[h(X)|Y = 1] = 2(1)2(1) 1 = 2.

    Teorema 7.9.1. Sean X y Y variables aleatorias reales definida sobre (,=, P )y h una funcion real tal que h(X) es una v.a. Si E[h(X)] existe, entonces.

    E[h(X)] = EY [EX [h(X)|Y ]].Demostracion. i) para X y Y variables aleatorias discretas:

    EY [EX [h(X)|Y ]] =y

    EX [h(X)|Y ]P (Y = y)

    =y

    x

    h(x)P (X = x|Y = y)P (Y = y)

    =x

    h(x)y

    P (X = x;Y = y)

    =x

    h(x)P (X = x)

    = E[h(X)].

  • 7.9. ESPERANZA CONDICIONAL 67

    ii) para X y Y variables aleatorias continuas:

    EY [EX [h(X)|Y ]] =REX [h(X)|Y ]fy(y) dy

    =

    R

    [Rh(x)fX|Y (x|y) dx

    ]fy(y) dy

    =

    Rh(x)

    [RfX|Y (x|y)fy(y) dy

    ]dx

    =

    Rh(x)

    [RfXY (x, y) dy

    ]dx

    =

    Rh(x)fX(x) dx

    = E[h(X)].

    Observacion 7.9.1. Si (,=, P ) es un espacio de probabilidad y si A =es fijo, entonces:

    P (A) = E(IA(X)) = EY [EX [IA(X)|Y ]].

    Ejemplo 7.9.5. Sean X y Y v.a.i. con densidades fX(x) y fY (y) respecti-vamente. Calcular P (X < Y ).

    Sea A = {(X, Y )|X < Y }, entonces:

    P (A) = E[IA] = EY [EX [IA|Y ]]=

    REX [IA|Y ]fy(y) dy

    =

    RP (A|Y )fY (y) dy

    =

    RP (X < Y )fY (y) dy

    =

    RFX(y)fY (y) dy

    siendo FX(.) la fda de la v.a. X.

  • 68 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    Ejemplo 7.9.6. Sea Y una variable aleatoria con distribucion de Poissonde parametro . Suponga que Z es la variable aleatoria definida por:

    Z :=Yi=1

    Xi

    donde las variables aleatorias X1, X2, son independientes entre si e inde-pendientes de Y . Hallar E(Z) bajo los supuestos que

    1. Las variables aleatorias X1, X2, son identicamente distribuidas condistribucion Bernoulli de parametro p (0, 1).

    2. Las variables aleatorias X1, X2, son identicamente distribuidas condistribucion Uniforme en el intervalo (0,b).

    Solucion:

    1.

    E

    [Yi=1

    Xi

    ]= E

    [E

    [Yi=1

    Xi|Y]]

    =j

    E

    [Yi=1

    Xi|Y = yj] P (Y = yj).

    Note que X1, , Xj son independientes con distribucion Bernoulli, porlo que

    E

    [Yi=1

    Xi|Y = yj]

    = E

    [yji=1

    Xi

    ]=

    yji=1

    E(Xi) =

    yji=1

    p = pyj, final-

    mente

    E

    [Yi=1

    Xi

    ]=j

    pyjP (Y = yj) = pj

    yjP (Y = yj) = pE(Y ) = p.

    As,

    E(Z) = p.

  • 7.9. ESPERANZA CONDICIONAL 69

    2.

    E

    [Yi=1

    Xi

    ]= EY

    [EX

    [Yi=1

    Xi|Y = yj]]

    = EY

    [EX

    [yji=1

    Xi

    ]]

    = EY

    [yji=1

    EX [Xi]

    ]

    = EY

    [yji=1

    b

    2

    ]

    =j

    b

    2yjP [Y = yj]

    =b

    2EY (Y )

    =b

    2.

    As,

    E(Z) =b

    2.

    Entonces, si la v.a. representa el numero de personas por hora quellegan a una central telefonica, suponga que Y Po(20) y Z es el dinerorecaudado cada hora, entonces Z :=

    Yi=1 Xi donde Xi repreenta el

    dinero gastado por el i-esimo individuo que entra a la central telefonica.Luego, si Xi U(0, 5000), entonces el recaudo esperado cada hora es

    E(Z) =20 5000

    2= 50000.

    Teorema 7.9.2. Si X, Y, Z son v.a.s reales definidas sobre (,=, P ) y si h esuna funcion real tal que h(X) es una v.a. entonces, se tiene que la esperanzacondicional satisface las siguientes condiciones,

    i) E(X|Y ) > 0 si x 0 c.s.ii) E(1|Y ) = 1.

  • 70 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    iii) si X y Y son v.a.i. entonces E(X|Y ) = E(X).

    iv) E[Xh(y)|Y ] = h(y)E(X|Y ).

    v) E(X + Y |Z) = E(X|Z) + E(Y |Z) para , R.

    Demostracion. Caso discreto

    i)

    E(X|Y ) =j:xj0

    xjP (xj|y) +j:xj

  • 7.9. ESPERANZA CONDICIONAL 71

    v)

    E(X + Y |Z) =x

    y

    (x+ y)P (X = x, Y = y|Z = z)

    = x

    y

    xP (X = x, Y = y|Z = z)

    + x

    y

    yP (X = x, Y = y|Z = z)

    = x

    xy

    P (X = x, Y = y|Z = z)

    + y

    yx

    P (X = x, Y = y|Z = z)

    = x

    P (X = x|Z = z) + x

    P (Y = y|Z = z)

    = E(X|Z) + E(Y |Z).

    Caso continuo

    i)

    E(X|Y ) =R+xfX|Y (x|y) dx+

    RxfX|Y (x|y) dx

    =

    R+xfX|Y (x|y) dx

    0.

    ii) E(1|Y ) =R

    1fX|Y (x|y) dx = 1.

    iii) E(X|Y ) =RxfX|Y (x|y) dx =

    RxfX(x) dx = E(X).

  • 72 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    iv)

    E(Xh(y)|Y ) =Rxh(y)fX|Y (x|y) dx

    = h(y)

    RxfX|Y (x|y) dx

    = h(y)E(X|Y ).

    v)

    E(X + Y |Z) =R

    R(x+ y)fXY |Z(x, y|z) dxdy

    =

    Rx

    [RfXY |Z(x, y|z) dy

    ]dx

    +

    Ry

    [RfXY |Z(x, y|z) dx

    ]dy

    =

    RxfX|Z(x|z) dx+

    RyfY |Z(y|z) dy

    = E(X|Z) + E(Y |Z).

    Teorema 7.9.3. Sean X y Y variables aleatorias independientes, entoncesE(Y |X = x) = E(Y ) para toda X.Demostracion. Se sabe que X y Y son independientes si y solo si,

    fXY (xy) = fX(x) fY (y)

    o equivalentemente,

    fY |X(y|x) = fXY (x, y)fX(x)

    y note que E(Y |X = x) = y yfY |X(y|x) = y yfY (y) = E(Y ).Teorema 7.9.4. E(X) = EY [EX(X|Y )].

  • 7.9. ESPERANZA CONDICIONAL 73

    Demostracion. Caso discreto para X y Y v.a.d.

    EY [EX(X|Y )] =y

    EX(X|Y )P (Y = y)

    =y

    x

    xP (X = x|Y = y)P (Y = y)

    =x

    xy

    P (X = x, Y = y)

    =x

    xP (X = x)

    = E(X).

    Caso continuo para X y Y v.a.c.

    EY [EX(X|Y )] =REX(X|Y )fY (y) dy

    =

    R

    [RxfX|Y (x|y) dx

    ]fY (y) dy

    =

    Rx

    [RfX|Y (x|y)fY (y) dy

    ]dx

    =

    Rx

    [RfXY (x, y) dy

    ]dx

    =

    RxfX(x) dx

    = E(X).

    Teorema 7.9.5. La varianza condicional de Y dado X = x se deja escribircomo:

    V (Y |X) = E [(Y E(Y |X))2|X] = E(Y 2|X) [E(Y |X)]2.Demostracion. Afirmacion:

    E[(Y E(Y |X))2 |X] = E [(Y 2 2Y E(Y |X) + E2(Y |X)) |X]

    = E(Y 2|X) 2E(Y |X)E(Y |X) + E2(Y |X)= E(Y 2|X) [E(Y |X)]2.

  • 74 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    En una forma mas explicita:Caso discreto:

    V (Y |X) = E{[Y E(Y |X)]2|X}=y

    [y E(Y |X)]2P (y|X = x)

    =y

    [y2 2yE(Y |X) + E2(Y |X)]P (y|X = x)

    =y

    y2P (y|X = x) 2E(Y |X)y

    yP (y|X = x) + E2(Y |X)y

    P (y|X = x)

    = E(Y 2|X) 2E(Y |X)E(Y |X) + E2(Y |X)= E(Y 2|X) 2E2(Y |X) + E2(Y |X)= E(Y 2|X) [E(Y |X)]2.

    Caso continuo:

    V (Y |X) = E{[Y E(Y |X)]2|X}=

    R[y E(Y |X)]2fY |X(y|x) dy

    =

    R[y2 2yE(Y |X) + E2(Y |X)]fY |X(y|x) dy

    =

    Ry2fY |X(y|x) dy 2E(Y |X)

    RyfY |X(y|x) dy + E2(Y |X)]

    RfY |X(y|x) dy

    = E(Y 2|X) 2E(Y |X)E(Y |X) + E2(Y |X)= E(Y 2|X) [E(Y |X)]2.

    Teorema 7.9.6. V (Y ) = E[V (Y |X)] + V [E(Y |X)].Demostracion.

    V (Y ) = E[(Y E(Y ))2] = E[E[(Y E(Y ))2|X]].ahora,

    E[E[(Y E(Y ))2|X]] = E[E[(Y E(Y |X) + E(Y |X) E(Y ))2|X]]= E[E[(Y E(Y |X))2|X]] + E[E[(E(Y |X) E(Y ))2|X]]+

    2E[E[(Y E(Y |X))(E(Y |X) E(Y ))|X]]

  • 7.9. ESPERANZA CONDICIONAL 75

    pero,

    E[(Y E(Y |X))2|X] = V (Y |X),

    tambien,

    E[E[(E(Y |X) E(Y ))2|X]] = E[E[(E(Y |X) E[E(Y |X)])2|X]]= E[V (E(Y |X))]

    y por ultimo,

    E[(Y E(Y |X)))(E(Y |X) E(Y )|X)]= (E(Y |X) E(Y ))E[(Y E(Y |X))|X]= (E(Y |X) E(Y ))(E(Y |X) E(E(Y |X)|X))= (E(Y |X) E(Y ))(E(Y |X) E(Y |X)) = 0

    por tanto,

    V (Y ) = E[V (Y |X)] + V [E(Y |X)] + 0 = E[V (Y |X)] + V [E(Y |X)].

    Otra demostracion mas detallada para el teorema anterior sigue acontinuacion.

    Demostracion. Caso discretoPor definicion E(V ar(Y |X)) + V ar(E(Y |X)) es:

  • 76 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    E(V ar(Y |X)) + V ar(E(Y |X))

    = E[E(Y 2|X) E2(Y |X)]+ V ar [

    y

    yP (Y = y|X = x)]

    = E[E(Y 2|X)] E [E2(Y |X)]+ V ar [

    y

    yP (Y = y|X = x)]

    = E

    [y

    y2P (Y = y|X = x)] E

    {y

    yP (Y = y|X = x)}2

    + E

    {y

    yP (Y = y|X = x)}2 E2 [

    y

    yP (Y = y|X = x)]

    =x

    {y

    y2P (Y = y|X = x)} P (X = x)

    {

    x

    {y

    y2P (Y = y|X = x)} P (X = x)

    }2

    =x

    y

    y2P (X = x|Y = y){

    x

    y

    y2P (X = x|Y = y)}2

    =y

    y2x

    P (X = x|Y = y){

    y

    yx

    P (X = x|Y = y)}2

    =y

    y2P (Y = y){

    y

    yP (Y = y)

    }2= E(Y 2) E2(Y )= V ar(Y ).

    Caso continuo

  • 7.9. ESPERANZA CONDICIONAL 77

    E(V ar(Y |X)) + V ar(E(Y |X))= E(E(Y 2|X) (E(Y |X))2) + V ar

    {

    yfY |X(y|x) dy}

    = E

    {

    y2fY |X(y|x) dy} E

    {[

    yfY |X(y|x) dy]2}

    + E

    {[

    yfY |X(y|x) dy]2} E2

    {

    yfY |X(y|x) dy}

    = E

    {

    y2fY |X(y|x) dy} E2

    {

    yfY |X(y|x) dy}

    =

    {

    y2fY |X(y|x) dy}fX(x) dx

    {

    {

    yfY |X(y|x) dy}fX(x) dx

    }2=

    y2fY |X(y|x)fX(x) dydx{

    yfY |X(y|x)fX(x) dydx}2

    =

    y2fXY (x, y) dxdy {

    yfXY (x, y) dxdy

    }2=

    y2{

    fXY (x, y) dx

    }dy

    {

    y

    {

    fXY (x, y) dx

    }dy

    }2=

    y2fY (y) dy {

    yfY (y) dy

    }2= E(Y 2) E2(Y )= V ar(Y ).

    Teorema 7.9.7. E[V (Y |X)] = E[Y 2] E[[E(Y |X)]2].

  • 78 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    Demostracion. Caso discreto

    E[V (Y |X)] = E[E(Y 2|X) E2(Y |X)]=x

    [E(Y 2|X) E2(Y |X)]P (X = x)

    =x

    E(Y 2|X)P (X = x)x

    E2(Y |X)P (X = x)

    =x

    E(Y 2|X)P (X = x)x

    E2(Y |X)P (X = x)

    = E[E(Y 2|X)] E[E(Y |X)]2= E[Y 2] E[[E(Y |X)]2].

    Caso continuo

    E[V (Y |X)] = E[E(Y 2|X) E2(Y |X)]=

    R[E(Y 2|X) E2(Y |X)]fX(x) dx

    =

    RE(Y 2|X)fX(x) dx

    RE2(Y |X)fX(x) dx

    = E[E(Y 2|X)] E[E(Y |X)]2= E[Y 2] E[[E(Y |X)]2].

    Teorema 7.9.8. V [E(Y |X)] = E{[E(Y |X)]2} [E(Y )]2.

  • 7.9. ESPERANZA CONDICIONAL 79

    Demostracion. Caso discreto

    V [E(Y |X)] = E{E(Y |X) E[E(Y |X)]}2= E{E(Y |X) E(Y )}2=x

    {E(Y |X) E(Y )}2P (X = x)

    =x

    {[E(Y |X)]2 2E(Y |X)E(Y ) + E2(Y )}P (X = x)

    =x

    [E(Y |X)]2P (X = x) 2E(Y )x

    E(Y |X)P (X = x)

    + E2(Y )x

    P (X = x)

    =x

    [E(Y |X)]2P (X = x) 2E(Y )E[E(Y |X)] + E2(Y )

    =x

    [E(Y |X)]2P (X = x) 2E(Y )E(Y ) + E2(Y )

    =x

    [E(Y |X)]2P (X = x) E2(Y )

    = E[E(Y |X)]2 [E(Y )]2.

  • 80 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    Caso continuo

    V [E(Y |X)] =R{E(Y |X) E[E(Y |X)]}2fX(x) dx

    =

    R{E(Y |X) E(Y )]}2fX(x) dx

    =

    R{[E(Y |X)]2 2E(Y |X)E(Y ) + E2(Y )}fX(x) dx

    =

    R[E(Y |X)]2fX(x) dx 2E(Y )

    RE(Y |X)fX(x) dx

    + E2(Y )

    RfX(x) dx

    =

    R[E(Y |X)]2fX(x) dx 2E(Y )E[E(Y |X)] + E2(Y )

    =

    R[E(Y |X)]2fX(x) dx 2E(Y )E(Y ) + E2(Y )

    =

    R[E(Y |X)]2fX(x) dx E2(Y )

    = E[E(Y |X)]2 [E(Y )]2.

    Ejemplo 7.9.7. Sea X y Y variables aleatorias con funcion de densidad deprobabilidad conjunta dada por

    fXY (x, y) =

    {8xy si 0 < y x < 10 en otro caso.

    Calcular:

    a) E(X|Y = y).

    b) E(X2|Y = y).

    c) V ar(X|Y = y).

    Solucion:

  • 7.9. ESPERANZA CONDICIONAL 81

    a)

    E(X|Y = y) =

    xfX|Y (x|y) dx.

    Ahora, fX|Y (x|y) = f(x, y)fY (y)

    . Entonces,

    fY (y) =

    f(x, y) dx =

    1y

    8xy dx

    = 8y

    1y

    x dx

    = 4y(1 y2).

    As, fX|Y (x|y) = 8xy4y(1 y2) =

    2x

    1 y2 con 0 < y < 1, y x < 1.Luego,

    E(X|Y = y) = 1y

    x 2x1 y2 dx = 2

    1y

    x2

    1 y2 dx

    =2

    1 y2 1y

    x2 dx

    =2

    3 (1 y

    3)

    (1 y2) .

    b)

    E(X2|Y = y) =

    x2fX|Y (x|y) dx

    =

    1y

    x2 2x1 y2 dx

    = 2

    1y

    x3

    1 y2 dx

    =2

    1 y2 1y

    x3 dx

    =1

    2 (1 y

    4)

    (1 y2)=

    1

    2(1 + y2).

  • 82 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    c)

    V ar(X|Y = y) = E(X2|Y = y) E2(X|Y = y)=

    1

    2(1 + y2) 4

    9 (1 y

    3)2

    (1 y2)2

    =9(1 + y2)(1 y2)2 8(1 y3)2

    18(1 y2)2

    =9(1 y4)(1 y2) 8(1 y3)2

    18(1 y2)2 .

    Ejemplo 7.9.8. Suponga que X e Y son variables aleatorias discretas cuyadistribucion conjunta de probabilidad esta dada por:

    X|Y 1 2 31 1

    1216

    02 0 4

    12112

    3 112

    112

    16

    Verificar que E(E(X|Y )) = E(X).

    Solucion:

    E(X) =x

    xP (X = x) = P (X = 1) + 2P (X = 2) + 3P (X = 3)

    =3

    12+ 2 5

    12+ 3 4

    12

    =3 + 1012

    12

    =25

    12.

  • 7.9. ESPERANZA CONDICIONAL 83

    E(E(X|Y )) = E{

    x

    xP (X = x, Y = y)

    P (Y = y)

    }

    = E

    {P (X = 1, Y = y)

    P (Y = y)+ 2

    P (X = 2, Y = y)

    P (Y = y)+ 3

    P (X = 3, Y = y)

    P (Y = y)

    }= E

    (P (X = 1, Y = y)

    P (Y = y)

    )+ 2E

    (P (X = 2, Y = y)

    P (Y = y)

    )+

    3E

    (P (X = 3, Y = y)

    P (Y = y)

    )=y

    P (X = 1, Y = y)

    P (Y = y) P (Y = y) + 2

    y

    P (X = 2, Y = y)

    P (Y = y) P (Y = y)

    + 3y

    P (X = 3, Y = y)

    P (Y = y) P (Y = y).

    =y

    P (X = 1, Y = y) + 2y

    P (X = 2, Y = y) + 3y

    P (X = 3, Y = y)

    = P (X = 1, Y = 1) + P (X = 1, Y = 2) + P (X = 1, Y = 3)

    + 2P (X = 2, Y = 1) + 2P (X = 2, Y = 2) + 2P (X = 2, Y = 3)

    + 3P (X = 3, Y = 1) + 3P (X = 3, Y = 2) + 3P (X = 3, Y = 3)

    =1

    12+

    1

    6+ 0 + 2(0) + 2 4

    12+ 2 1

    12+ 3 1

    12+ 3 1

    12+ 3 1

    6

    =25

    12= E(X).

    Ejemplo 7.9.9. Suponga que X es una variable aleatoria discreta con fun-cion de densidad dada por fX(x) =

    x3, x = 1, 2 y que Y es una variable

    aleatoria tal que fY |X(y|x) =(xy

    )(12

    )xpara y = 0, , x y x = 1, 2.

    Hallar

    a) la distribucion conjunta de X y Y .

    b) E(X|Y ).Solucion:

    a) Como fY |X(y|x) = fXY (x,y)fX(x) fXY (x, y) = fX(x)fY |X(y|x)

  • 84 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    P (X = x, Y = y) = P (X = x)P (Y = y|X = x), Y = 0, , x yx = 1, 2. Notemos que:

    P (X = 1, Y = 0) = P (X = 1)P (Y = 0|x = 1) = 13 1

    2= 1

    6

    P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1)P (Y = 1|x = 1) = 13 1

    2= 1

    6

    P (X = 1, Y = 2) = P (X = 1)P (Y = 2|x = 1) = 13 0 = 0

    P (X = 2, Y = 0) = P (X = 2)P (Y = 0|x = 2) = 23 1

    4= 1

    6

    P (X = 2, Y = 1) = P (X = 2)P (Y = 1|x = 2) = 23 2

    4= 2

    6

    P (X = 2, Y = 2) = P (X = 2)P (Y = 2|x = 2) = 23 1

    4= 1

    6

    Entonces, la funcion de distribucion conjunta de X y Y esta dada por:

    X|Y 0 1 21 1

    616

    02 1

    626

    16

    b) Para E(X|Y = y) tenemos:

    E(X|Y = y) =x

    xP (X = x, Y = y)

    P (Y = y)

    =P (X = 1, Y = y)

    P (Y = y)+ 2

    P (X = 2, Y = y)

    P (Y = y).

    Entonces,

    E(X|Y = 0) = P (X=1,Y=0)P (Y=0)

    + 2P (X=2,Y=0)P (Y=0)

    =1626

    + 2 1626

    = 12

    + 1 = 32

    E(X|Y = 1) = P (X=1,Y=1)P (Y=1)

    + 2P (X=2,Y=1)P (Y=1)

    =1636

    + 2 1636

    = 13

    43

    = 53

    E(X|Y = 2) = P (X=1,Y=2)P (Y=2)

    + 2P (X=2,Y=2)P (Y=2)

    = 016

    + 2 1616

    = 2.

    Ejemplo 7.9.10. Si X tiene una distribucion de Bernoulli de parametro py si E(Y |X = 0) = 1 y E(Y |X = 1) = 2. A que es igual E(Y )?

    Solucion: Como X Ber(p) P (X = x) = px(1 p)1x con x = 0, 1.Ademas,

    E(Y |X = x) =y

    yP (X = x, Y = y)

    P (X = x), P (X = 0) = 1 p, P (X = 1) = p.

  • 7.9. ESPERANZA CONDICIONAL 85

    Note que,

    1 = E(Y |X = 0) =y

    yP (X = 0, Y = y)

    P (X = 0)=y

    yP (X = 0, Y = y)

    1 p .Entonces,y

    yP (X = 0, Y = y) = 1 pAhora,

    2 = E(Y |X = 1) =y

    yP (X = 1, Y = y)

    P (X = 1)=y

    yP (X = 1, Y = y)

    p

    Entonces,y

    yP (X = 1, Y = y) = 2p.

    Por lo que

    E(Y ) =y

    yP (Y = y) =y

    yP (X = 0, Y = y) +y

    yP (X = 1, Y = y)

    = 1 p+ 2p= 1 p.

    Ejemplo 7.9.11. Suponga que la funcion de densidad de probabilidad con-junta de la variable aleatoria X e Y esta dada por

    f(x, y) =

    {ey para x > 0,y > x0 en otro caso.

    Calcular:

    a) P (X > 2|Y < 4).

    b) E(X|Y = y).

    c) E(Y |X = x).

    Solucion

  • 86 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    a)

    P (X > 2|Y < 4) = P (X > 2, Y < 4)P (Y < 4)

    =

    2

    42ey dxdy

    0

    40ey dxdy

    =2

    2(ey dy

    4

    0ey dy

    =2e24e0

    =1

    2e2.

    b) E(X|Y ) =

    xfX|Y (x|y) dx = y

    0

    xfX|Y (x|y) dx.

    Ahora, fY (y) =

    y0

    f(x, y) dx =

    y0

    ey dx = yey, entonces

    fX|Y =ey

    yey=

    1

    y, si 0 < x < y.

    As, E(X|Y ) = y

    0

    x

    (1

    y

    )dx =

    y

    2.

    c) E(Y |X) =

    yfY |X(y|x) dy = x

    yfY |X(y|x) dyNote que,

    fX(x) =

    x

    ey dy = ex, entonces fY |X =ey

    ex= exy.

    Luego,

    E(Y |X) = x

    yexy dy = ex x

    yey dy

    = ex[xex+ ex]

    = (x+ 1).

    Covarianza Condicional

    Definicion 7.9.4. Sean X, Y y Z variables aleatorias. La covarianza con-dicional de X y Y dado Z se define por:

    cov(X, Y |Z) = E[(X E(X|Z))(Y E(Y |Z))|Z].

  • 7.9. ESPERANZA CONDICIONAL 87

    Teorema 7.9.9. Sean X, Y y Z variables aleatorias. Entonces,

    cov(X, Y |Z) = E(XY |Z) E(X|Z)E(Y |Z).

    Demostracion.

    cov(X, Y |Z) = E[(X E(X|Z))(Y E(Y |Z))|Z]= E[(XY XE(Y |Z) Y E(X|Z) + E(X|Z)E(Y |Z))|Z]= E(XY |Z) E(XE(Y |Z)|Z) E(Y E(X|Z)|Z) + E((E(X|Z)E(Y |Z))|Z).

    Como E(Y |Z) y E(X|Z) dependen de Z, usamos el teorema visto sobreesperanza condicional y se tiene que

    cov(X, Y |Z) = E(XY |Z) E(Y |Z)E(X|Z) E(X|Z)E(Y |Z) + E(X|Z)E(Y |Z)E(1|Z) 1

    = E(XY |Z) E(X|Z)E(Y |Z).

    Teorema 7.9.10. cov(X, Y ) = E[cov(X, Y |Z)] + cov[E(X|Z), E(Y |Z)].Demostracion. Como E(XY |Z) E(X|Z)E(Y |Z) = cov(X, Y |Z),note que

    E[cov(X, Y |Z)] = E(E(XY )|Z) E(E(X|Z)E(Y |Z))= E(XY ) E(E(X|Z)E(Y |Z)). (7.1)

    Ahora,

    cov(E(X|Z), E(Y |Z)) = E(E(X|Z)E(Y |Z)) E(E(X|Z))E(E(Y |Z))= E(E(X|Z)E(Y |Z)) E(X)E(Y ). (7.2)

    Al sumar las expresiones en (7,1) y (7,2) se obtiene

    E[cov(X, Y )|Z] + cov(E(X|Z), E(Y |Z)) = E(XY ) E(E(X|Z)E(Y |Z))+E(E(X|Z)E(Y |Z)) E(X)E(Y )

    = cov(X, Y ).

  • 88 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    7.10. Distribucion del Mnimo y del Maximo

    Teorema 7.10.1. Considere el conjunto X1, X2, ..., Xm de v.a.i. con fdaF1, F2, ..., Fm respectivamente. Las expresiones de la funcion de distribucionde Y1 = min(X1, X2, ..., Xm) y Ym = max(X1, X2, ..., Xm) son dadas respec-tivamente por:

    FY1 = 1mi=1

    [1 FXi(z)]

    y

    FYm =mi=1

    FXi(z).

    Demostracion. i)

    P (Y1 > z) = P (min{X1, X2, ..., Xm} > z)= P (X1 > z,X2 > z, ..., Xm > z)

    = P (X1 > z)P (X2 > z), ..., P (Xm > z)

    = [1 P (X1 z)][1 P (X2 z)], ..., [1 P (Xm z)]

    =mi=1

    [1 P (Xi z)]

    =mi=1

    [1 FXi(z)]

    FY1(z) = P (Y1 z) = 1 P (Y1 > z) = 1mi=1

    [1 FXi(z)].

    Si X1, X2, ..., Xm son identicamente distribuidas, entonces:

    FY1 = 1 [1 FX(z)]m

    fY1 = mfX(z)[1 FX(z)]m1.

  • 7.10. DISTRIBUCION DEL MINIMO Y DEL MAXIMO 89

    ii)

    FYm(z) = P (Ym z) = P (max{X1, X2, ..., Xm} z)= P (X1 z,X2 z, ..., Xm z)= P (X1 z)P (X2 z)...P (Xm z)

    =mi=1

    FXi(z).

    Si X1, X2, ..., Xm son identicamente distribuidas, entonces.

    FYm(z) = [FX(z)]m fYm = mfX(z)[FX(z)]m1.

    Ejemplo 7.10.1. Considere un sistema de n bateras identicas operandosimultaneamente en el sistema. Considere ahora que el tiempo de vida decualquiera de ella tiene la misma funcion de densidad dada por:

    fX(x) =

    {1ex si x > 0

    0 caso contrario

    con fdaFX(x) = 1 ex para x > 0.

    Encuentre la distribucion del tiempo de falla cuando el sistema se encuentraen serie y cuando el sistema se encuentra en paralelos.Solucion:

    i) Si el sistema se encuentra en serie (ver figura), entonces el tiempo devida del sistema esta definido por:

    Y = min{X1, X2, ..., Xm},

    entonces:

    fY (y) = n1

    ey [1 (1 ey )]n1 = n

    ey e(n1)

    y =

    n

    eny .

    y1 Exp(

    n

    ) E(Y1) = n

    .

  • 90 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    Figura 7.15: Sistema de n bateras en serie.

    Figura 7.16: Sistema de n bateras en paralelo.

    ii) Si el sistema se encuentra en paralelo (ver figura), entonces el tiempode vida del sistema esta definido por:

    Y = max{X1, X2, ..., Xm},

    fXn(y) = n1

    ey (1 ey )n1

    =n

    ey (1 ey )n1; y > 0.

    E(Yn) =

    0

    yn

    ey (1 ey )n1 dy

    = n 1

    0

    ln(1 u)un1 du.

    7.11. Transformaciones Inyectivas de Vecto-

    res Aleatorios

    Extendemos ahora la transformacion de v.a. unidimensionales al caso de vec-tores aleatorios, donde nuevamente el objetivo es, a partir del vector aleatorio

  • 7.11. TRANSFORMACIONES INYECTIVAS DE VECTORES ALEATORIOS91

    X con funcion de distribucion FX, encontrar la funcion de distribucion delvector Y = (Y1, Y2, ..., Ym) donde Y = g(X).Suponiendo que g : Rm Rn, con m < n es una funcion que se puederepresentar en la forma g = (g1, g2, ..., gk), entonces, si g es diferenciable encada punto x Rm, el jacobiano de g es:

    Jg(X) = det

    g1(X)x1

    g1(X)x2

    g1(X)xn

    ......

    . . ....

    gn(X)x1

    gn(X)x2

    gn(X)xn

    6= 0,donde det() denota la funcion determinante y la matriz en su argumento esdenominada matriz jacobiana, definida por g(X)

    Xt.

    S g : U V es inyectiva tal que V = g(U), entonces g es biyectiva, luegoexiste g1 : V U tal que si Y V , Jg(g1(Y)) 6= 0. Entonces, resultaque g1 es diferenciable en y V y se tiene que.

    Jg1(y) =1

    Jg(g1(y)).

    Teorema 7.11.1. Sea X = (X1, X2, ..., Xn) un v.a.c. con fdp conjunta fX(x).Sea Y = g(X) = (g1(X), g2(X), ..., gn(X)), es decir, Yi = gi(X) para todoi = 1, 2, ..., n donde g : U V es una funcion inyectiva. Suponga quepara todo i = 1, 2, ..., n, gi(X) tiene derivadas parciales continuas y ademasque g1i (Y) existe y tambien es continua de tal forma que para todo y =(y1, y2, ..., yn) V se tiene que Jg1(y) 6= 0. Entonces,

    fY(y) = fX(g1(y))|Jg1(y)|IV (y),

    donde V = g(U) e IV es la funcion indicadora del conjunto V .

    Ejemplo 7.11.1. Consideremos el vector aleatorio X con densidad conjuntafX1,X2(x1, x2) = I(0,1)(x1)I(0,1)(x2) y las transformaciones Y1 = X1 + X2 ,Y2 = X1 X2. Encontrar fY1Y2(y1, y2).Solucion:

    g : R2 R2(X1, X2) (X1 +X2, X1 X2).

    Entonces,

    y = (y1, y2) = g(x1, x2) = (g1(x1, x2), g2(x1, x2)) = (x1 + x2, x1 x2).

  • 92 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    Ahora, y1 = x1 +x2 y y2 = x1x2 y1 +y2 = 2x1 x1 = y1+y22 , tambieny1 y2 = 2x2 x2 = y1y22 , luego,

    g1 : R2 R2

    es tal que

    (y1, y2) g1(y1, y2) = (g11 (y1, y2), g12 (y1, y2)) =(y1 + y2

    2,y1 y2

    2

    ).

    As,

    Jg1(y) = det

    (g11 (y1,y2)

    y1

    g11 (y1,y2)y2

    g12 (y1,y2)y1

    g12 (y1,y2)y2

    )= det

    (12

    12

    121

    2

    )= 1

    2.

    Entonces, la fdp del v.a.c. (Y1, Y2) viene dado por:

    fY1Y2(y1, y2) = fX1,X2(y1 + y2

    2,y1 y2

    2

    ) 12 IV (y1, y2)

    = 1 12IV (y1, y2)

    =1

    2IV (y1, y2).

    Para la nueva region de integracion se tiene que:

    0 < x1 < 1 0 < y1 + y22

    < 1 0 < y1 + y2 < 2y

    0 < X2 < 1 0 < y1 y22

    < 1 0 < y1 y2 < 2entonces la nueva region de integracion queda definida por:

    V = {(y1, y2)|0 < y1 + y2 < 2, 0 < y1 y2 < 2}.Ejemplo 7.11.2. Sea la fdp conjunta

    fX1X2(x1, x2) = 4x1x2I(0,1)(x1)I(0,1)(x2).

    Suponga que Y1 =X1X2

    y Y2 = X1X2. Encuentre la fdp del vector (Y1, Y2).

  • 7.11. TRANSFORMACIONES INYECTIVAS DE VECTORES ALEATORIOS93

    Solucion:Sean y1 = g1(x1, x2) =

    x1x2

    y y2 = g2(x1, x2) = x1x2

    y1y2 = x21 yy2y1

    = x22

    x1 = g11 (y1, y2) = (y1y2)12 y x2 = g

    12 (y1, y2) =

    (y2y1

    ) 12. Entonces,

    Jg1(y) = det

    (g11 (y1,y2)

    y1

    g11 (y1,y2)y2

    g12 (y1,y2)y1

    g12 (y1,y2)y2

    )

    = det

    y122

    2y121

    y121

    2y122

    y122

    2y121

    1

    2y121 y

    122

    =

    1

    4

    (1

    y1+

    1

    y1

    )=

    1

    2y1.

    fY1,Y2(y1, y2) = 4(y1y2)12

    (y2y1

    ) 12 12y1

    IV (y1, y2)=

    2y2y1IV (y1, y2).

    Ahora, la nueva region de integracion viene dada por:

    0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1 0 < (y1y2) 12 < 1 y 0 0}. Luego, g11 (x) =

    y y g12 (x) =

    y.

    En este caso, v1 = v2 = R+,

    Jg11 (y) = 1

    2y

    12 y Jg12 (y) =

    1

    2y

    12 .

  • 98 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    Entonces, se sigue que

    fY (y) =12pie

    12y

    12 Iv1(y) + 12pie 12y

    12 Iv2(y)

    =12pie

    12yI{y:y>0}(y).

    Y Gamma(12, 1

    2) = 21.

    7.13. Distribucion de Sumas, Diferencias, Pro-

    ductos y Cocientes de v.a.

    Ejemplo 7.13.1. Para el v.a. (X, Y ) tiene fdp conjunta fXY (x, y).

    a) Encontrar la fdp conjunta de Z = X + Y y W = X Yb) Encontrar la fdp marginal de Z

    c) Encontrar la fdp marginal de W

    Solucion:

    a) X = Z+W2

    y Y = ZW2 Jg1(z, w) = 12 . Entonces,

    fZW (z, w) =1

    2fXY

    (z + w

    2,z w

    2

    ).

    b)

    fZ(z) =

    R

    1

    2fXY

    (z + w

    2,z w

    2

    )dw

    =

    RfXY (u, z u) du, tomando u = z+w2 ,

    RfXY (z u, u) du, tomando u = zw2 .

    Si X y Y son v.a.i.

    fZ(z) =

    fX(z u)fY (u) du =

    fX(u)fY (z u) du.

  • 7.13. DISTRIBUCION DE SUMAS, DIFERENCIAS, PRODUCTOS Y COCIENTES DE V.A.99

    c)

    fW (w) =

    R

    1

    2fXY

    (z + w

    2,z w

    2

    )dz

    =

    RfXY (u, u w) du, tomando u = z+w2 ,

    RfXY (u+ w, u) du, tomando u =

    zw2

    .

    Ejemplo 7.13.2. Sean X y Y v.a.i. con fdp

    fX(x) =

    {1 si 1 < x < 20 c.c

    fY (y) =

    {12

    si 3 < y < 50 c.c

    z = x+ y

    fZ(z) =

    fX(u)fY (z u) du

    =

    1I(1,2)(u)1

    2I(3,5)(z u) du

    =1

    2

    I(1,2)(u)I(3,5)(z u) du

    1 < u < 23 < z u < 5z u = 3 z = u+ 3z u = 5 z = u+ 5

    fZ(z) =

    12

    z31

    du si 4 < z < 5

    12

    21

    du si 5 < z < 6

    12

    2z5

    du si 6 < z < 7

    =

    12(z 4) si 4 < z < 5

    12

    si 5 < z < 612(7 z) si 6 < z < 7

    Ejemplo 7.13.3. Sean X y Y variables aleatorias con fdp conjuntafXY y sea Z = XY entonces, para encontrar la fdp de Z definimos

  • 100 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    Z = g1(X, Y ) = XY y tomamos (por conveniencia)W = g2(X, Y ) = Y.De aqu se obtiene que

    g(z, w) = (xy, y) g1(z, w) = ( zw, w). Entonces, Jg1(z, w) =

    1w.

    As, la fdp conjunta de (Z,W ) es:

    fZW (z, w) =

    1w f ( zw,w) .

    Entonces,

    fZ(z) =

    1

    |w|f( zw,w)dw =

    1

    |v|f(v,z

    v

    )dv.

    Sean X y Y variables aleatorias tal que P (Y = 0) = 0 y con fdp conjun-ta fXY . Para encontrar la fdp de Z =

    XY, definimos Z = g1(X, Y ) =

    XY

    ytomamos (por conveniencia) W = g2(X, Y ) = Y. De aqu se obtiene que

    g(z, w) =(xy, y) g1(z, w) = (zw,w) . Entonces, Jg1(z, w) = w.

    As, la fdp conjunta de (Z,W ) es:

    fZW (z, w) = |w| f (zw,w) .

    Entonces,

    fZ(z) =

    |w|f (zw,w) dw.

    Ejemplo 7.13.4. Sean X y Y v.a.i con distribucion U(0, 1) para Z = XY

    fZ(z) =

    1

    |v|fxy(v,z

    v

    )dv

    =

    1

    |v|fx(v)fy(zv

    )dv

    =

    1

    vI(0,1)(v)I(0,1)

    (zv

    )dv 0 < v < 1 0 < z

    v< 1 z < u < 1

    =

    1z

    1

    vdv

    = ln|v| 1z = ln|z| = lnz1

  • 7.14. DISTRIBUCION T-STUDENT 101

    7.14. Distribucion t-Student

    Sean U y V v.a.i. normal estandar y chi-cuadrado con p grados de libertadrespectivamente, entonces la fdp conjunta de U y V es:

    fUV (u, v) =1

    (2pi)12e

    u2

    21

    ( p2

    )2p2vp21e

    12 < u

  • 102 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    T tp.

    Teorema 7.14.1. Sea X una variable aleatoria con distribucion t-student,entonces E(T ) = 0 para P > 2 y V (T ) = p

    p2 para P > 2.

    Demostracion. Hallemos E(T ). Sea k =(p+1

    2)

    (p2)pip

    E(T ) =

    |t|k

    (1 +

    t2

    p

    )( p+12

    )

    dt

    =

    0

    tk

    (1 +

    t2

    p

    )( p+12

    )

    dt 0

    tk

    (1 +

    t2

    p

    )( p+12

    )

    dt

    = 2k

    0

    t

    (1 +

    t2

    p

    )( p+12

    )

    dt

    Sea u = 1 + t2

    pdu = 2

    ptdt p

    2du = tdt,

    t = 0 u = 0 t u

    E(T ) = kp

    0

    u(p+12

    ) dt = kpu(

    p+12

    )+1

    (p+12

    ) + 1

    0

    = kpu

    p2 1

    2+1

    p2 1

    2+ 1

    0

    =

    (2kp

    1 p)u

    12

    (1p)0

    =

    (2kp

    1 p)u

    12

    up2

    0

    = 0

    ya que,

    lmu

    u12

    up2

    = lmu

    u12

    pup21 =

    1

    plmu

    1

    up21u

    12

    =1

    plmu

    1

    u12

    (p1) = 0, si p 2.

    As, E(T ) = 0

    Para V (T ) tenemos que, V (T ) = E(T 2)E2(T ) = E(T 2) ya que E(T ) = 0.

  • 7.14. DISTRIBUCION T-STUDENT 103

    As,

    V (T ) = E(T 2) =

    t2k

    (1 +

    t2

    p

    )( p+12

    )

    dt

    = 2k

    0

    t2(

    1 +t2

    p

    )( p+12

    )

    dt

    Sea u = t2

    p du = 2

    ptdt ademas, pu = t2 p

    2tdu = dt tambien,

    pu = t

    p2pudu = dt

    p

    2udu = dt. Entonces,

    E(T 2) = k

    0

    pu (1 + u)(p+12

    )

    pudu

    = kpp

    0

    u12 (1 + u)

    12 p

    2 du

    = kp32

    0

    u(12

    +1)1 (1 + u)(12

    +1)( p21) du

    = kp32

    0

    u321 (1 + u)(

    32

    )( p21)

    ( 32, p21)

    = kp32

    (32)(p

    2 1)

    (32

    + p2 1) du.

    Reemplazando el valor de k tenemos que:

    V (T ) = E(T 2) =(p+1

    2)

    (p2)pip

    p32 (3

    2)(p

    2 1)

    (p2

    + 12)

    =p

    32 (1

    2+ 1)(p

    2 1)

    (p2 1)(p

    2 1)pip 12

    =p(1

    2)(1

    2)

    (p2 1)pi

    Como (12) =pi, entonces, V (T ) =

    p2

    pi

    (p2 1)pi =

    p2p2

    2

    =p

    p 2 .

    Observacion 7.14.1. Cuando p = 1 entonces sigue la distribucion cauchy.

  • 104 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    7.15. Distribucion F-Fisher

    Sean U y V v.a.i chi-cuadrado con m y n grados de libertad respectivamente,entonces la fdp conjunta de U y V es:

    fUV (u, v) =1

    (m2

    )2m2

    um21e

    u2

    1

    (n2)2

    n2

    vn21e

    v2 0 < u 4.

    Demostracion. Encontremos la esperanza de Xk, entonces

    E(Xk) =(mn

    )m2

    (m2, n

    2)

    0

    x(m2

    +k)1(

    n

    mx+ n

    )m+n2

    dx.

    Sea

    y =n

    mx+ n dy = n

    ( m(mx+ n)2

    )dx

    ndy = m ( nmx+n

    )2dx ndy = my2dx dx = n

    my2dy y = n

    mx+n

    x = nm

    (1yy

    ). Ahora, cuando x 0 y 1 y cuando x y 0.

  • 7.15. DISTRIBUCION F-FISHER 105

    E(Xk) = (mn

    )m2

    (m2, n

    2)

    01

    [n

    m

    (1 yy

    )](m2

    +k)1(y)

    m+n2

    ( nmy2)dy

    =(mn

    )m2

    (m2, n

    2)

    ( nm

    )m2

    +k1 10

    (1 y)(m2 +k)1 ym+n2 +1m2 k2 dy

    =(mn

    )k

    (m2, n

    2)

    10

    (1 y)(m2 +k)1 y(n2k)1 (n

    2k,m

    2+k)

    dy

    E(Xk) = (mn

    )k

    (m2, n

    2)(n

    2 k, m

    2+ k)

    =( nm

    )k (n2

    + m2

    )

    (n2)(m

    2) (

    n2 k)(m

    2+ k)

    (n2

    + m2

    )

    =( nm

    )k (n2 k)(m

    2+ k)

    (n2)(m

    2)

    .

    Ahora, encontremos la esperanza de X. Entonces,

    E(X) =( nm

    ) (n2 1)(m

    2+ 1)

    (n2)(m

    2)

    =( nm

    ) (n2 1)(m

    2)(m

    2)

    (n2 1 + 1)(m

    2)

    =( nm

    )(m2

    ) (n2 1)

    (n2 1)(n

    2 1)

    =n

    2

    (2

    n 2).

    E(X) = nn 2 , n > 2.

    Ahora, encontremos la varianza de X.

  • 106 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    E(X2) =( nm

    )2 (n2 2)(m

    2+ 2)

    (n2)(m

    2)

    =( nm

    )2 (n2 2)(m

    2+ 1)(m

    2)(m

    2)

    (n2 1)(n

    2 2)(n

    2 2)(m

    2)

    =( nm

    )2 (m+2)m4

    (n2)(n4)4

    =( nm

    )2 (m+ 2)m(n 2)(n 4)

    =n2(m+ 2)

    m(n 2)(n 4) .

    V (X) = n2(m+ 2)

    m(n 2)(n 4) n

    n 2=n2((m+ 2)(n 2) (n 4)m)

    m(n 2)2(n 4)=n2(mn 2m+ 2nmn+ 4m 4)

    m(n 2)2(n 4) V (X) = 2n

    2(m+ n 2)m(n 2)2(n 4) .

    7.16. Funcion Generadora de Momentos Mul-

    tivariada (FGMM)

    Definicion 7.16.1. SeanX1, X2, ..., Xn v.a.i. definidas en (,=, P ) y t1, t2, ..., tnnumeros reales definimos la FGMM por:

    MX1,X2,...,Xn(t1, t2, ..., tn) = E[etX]

    = E[et1X1+...+tnXn

    ],

    donde X = (X1, X2, ..., Xn)

    y t

    = (t1, t2, ..., tn) desde que la esperanza seafinita para los tj tomados en una vecindad de cero.La funcion caracterstica multivariada se define en forma analoga por:

    X1,X2,...,Xn(t1, t2, ..., tn) = E(eitX) = E(ei(t1X1+...+tnXn)).

  • 7.16. FUNCION GENERADORA DE MOMENTOS MULTIVARIADA (FGMM)107

    Teorema 7.16.1. Sean X1, X2, ..., Xn v.a.i. y FGM respectivamente igualesa MXj(t), para j = 1, 2...n y t en alguna vecindad de cero. Sea Y = X1 +X2 + ...+Xn, entonces la FGM de Y es dada por:

    MY (t) =nj=1

    MXj(t).

    Demostracion.

    MY (t) = E(etX1+tX2+...+tXn)

    =

    R...

    Retx1+tx2+...+txnfX1...Xn(x1...xn)

    nj=1

    dxj

    =

    R...

    Retx1+tx2+...+txnfX1(x1fX2(x2)...fXn(xn)

    nj=1

    dxj

    =

    Retx1fX1(x1) dx1

    Retx2fX2(x2) dx2...

    RetxnfXn(xn) dxn

    = MX1(t)MX2(t)...MXn(t)

    =nj=1

    MXj(t).

    Teorema 7.16.2. Sean X1, X2, ..., Xn v.a con FGMM MX1...Xn(t1...tn) conlos tj tomados en una vecindad de cero. Entonces, las variables aleatoriasX1, X2, ..., Xn son independientes, si y solamente si la FGMM puede ser es-crita como:

    MX1X2...Xn(t1t2...tn) =nj=1

    MXj(tj)

  • 108 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    Demostracion.

    MY (t) = E(etX1+tX2+...+tXn)

    =

    R...

    Retx1+tx2+...+txnfX1...Xn(x1...xn)

    nj=1

    dxj

    =

    R...

    Retx1+tx2+...+txnfX1(x1fX2(x2)...fXn(xn)

    nj=1

    dxj

    =

    Retx1fX1(x1) dx1

    Retx2fX2(x2) dx2...

    RetxnfXn(xn) dxn

    = MX1(t)MX2(t)...MXn(t)

    =nj=1

    MXj(t).

    Se deja como ejercicio.

    Ejemplo 7.16.1. Sean X1, X2, ..., Xn v.a.i con distribucion Ber(p) en-tonces para Y = X1 +X2 + ...+Xn

    MY (t) = E(etY ) = E(etX1+tX2+...+tXn)

    =nj=1

    MXj(t)

    =nj=1

    (pet + q)

    = (pet + q)n.

    Y = Bin(n, p).

    Sean X1, X2, ..., Xn v.a.i con distribucion Exp(), ( > 0) entonces

  • 7.16. FUNCION GENERADORA DE MOMENTOS MULTIVARIADA (FGMM)109

    para Y = X1 +X2 + ...+Xn,

    MY (t) = E(etY ) = E(etX1+tX2+...+tXn)

    =nj=1

    MXj(t)

    =nj=1

    t t <

    =

    (

    t)n

    .

    Y = Gamma(n, ).

    Sean X1, X2, ..., Xn v.a.i. con distribucion N(0, 1) entonces, para Y =X21 +X

    22 + ...+X

    2n

    MY (t) = E(etY ) = E(etX

    21+tX

    22+...+tX

    2n)

    =nj=1

    MX2j (t)

    =nj=1

    ( 12

    12 t) 1

    2

    , t 34)

    d) P (X > 12, Y > 3

    4)

    e) P (X > 12|Y > 3

    4)

    f) P (X < 15|Y = 1

    3)

  • 112 CAPITULO 7. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

    2. Sea (X, Y ) un v.a. bivariado con fdp conjunta dada por

    f(x, y) =

    24y(1 x y) En el triangulo limitado por los ejes

    ordenados y la recta x+ y = 10 caso contrario

    a) fdp marginales

    b) fdp condicionales

    c) P (Y < 13|X = 1

    3)

    d) P (Y < 23|X = 1

    3)

    e) P (Y < 1|X = 13)

    f) P (X > 12|Y > 1

    2)

    g) P (X < 12|Y > 1

    2)

    3. El v.a. bivariado (X, Y ) tiene distribucion dada por:

    X r Y 2 3 4

    1 112

    16

    0

    2 16

    0 13

    3 112

    16

    0

    a) Son independientes X y Y ?

    b) Encuentre:

    i) P (X = Y )

    ii) P (X = 2 o Y = 4)

    iii) P (X + Y 4)iv) P (Y > 2,5|X < 3)

    4. El v.a. bivariado (X, Y ) tiene fdp conjunta

    f(x, y) =

    {141 < x < 1; 1 < y < 1

    0 caso contrario

    a) Son X y Y independientes?

    b) Encuentre:

    i) P (2X Y > 0)ii) P (X2 + Y 2 < 1)

  • 7.17. EJERCICIOS 113

    5. El v.a. bivariado (X, Y ) tiene fdp conjunta

    f(x, y) =

    {1 0 < x < 1; 0 < y < 10 caso contrario

    Encuentre:

    a) P (X < 12)

    b) P (X + Y < 1)

    c) P (X > 2Y )

    d) P (X > 12, Y < 1

    2)

    6. X y Y tienen densidad conjunta

    f(x, y) =

    {3x 0 < y < x; 0 < x < 10 caso contrario

    a) g(x|y)b) P (0 < X < 3

    4|Y = 1

    2)

    7. La densidad conjunta de X, Y es

    f(x, y) =

    {4xye(x

    2+y2) x > 0; y > 00 caso contrario

    a) Esta bien definida?

    b) Encuentre g(x) y h(y)

    c) Son independientes X y Y ?