Vectores en R2 y R3Anteriormente vimos que un vector es un objeto matemtico con direccin y magnitud. La palabra vectores se refiere a los elementos de cualquier Rn. En R1 = R el vector es un punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3).En R2:1. la suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R2, entonces a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).2. el producto escalar se define por: sea R y a un vector en R2 , entonces a = (a1, a2) = ( a1, a2). Veamos el significado geomtrico de la suma de vectores y el producto escalar en R2.

Observa que si a = (a1, a2) y b = (b1, b2), entonces la suma de los vectores a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2). El cual se obtiene trasladando la representacin de los vectores a y b. De manera, que se puede obtener a + b dibujando un paralelogramo. A esta regla de suma se le llama la regla del paralelogramo.

Para el producto escalar a, se puede observa que si > 0 se alarga o se acorta el vector a por un factor . Si < 0 se invierte la direccin del vector a.En R3:1. la suma de vectores se define por: sean a, b R3, entonces a + b = (a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).2. el producto escalar se define por: sea R y a un vector en R3 , entonces a = (a1, a2, a3) = ( a1, a2, a3). Definicin: Sean a y b vectores en Rn, tal que a = (a1, a2, a3, , an) y b = (b1, b2, b3, , bn). El producto interno de a y b representado por a b , es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes, esto es: a b = = (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + + an bn).Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero.Ejemplo (para discusin): Halla el producto interno de:1. a = (1, 1) y b = (1, -1) en R22. a = (3, 5) y b = ( 6, 10) en R23. a = (2, -3, 6) y b = ( 8, 2, -3) en R34. a = (1, -2, -3) y b = (2, -5, 4) en R3Definicin: Sea a = (a1, a2, a3, , an) un vector en Rn, la norma (magnitud o longitud) del vector , representada de la forma a a , se define como la raz cuadrada no negativa de a a = . Esto es:

Ejemplos (para discusin): Calcula la norma de:1. a = (2, 2) en R2 2. a = (1, 3, -2) en R3 Notas:1. El vector cero tiene magnitud cero. Como el punto inicial y el punto terminal coinciden, se dice que el vector no tiene direccin.2. Como la lnea recta es la distancia ms corta entre dos puntos, se dice que: a + b a + b.3. Ejemplo para discusin: Sean a = (1, 5) y b = (3, 1). Compara a + b y a + b.Definicin: Sean a y b vectores en Rn, donde a = (a1, a2, a3, , an) y b = (b1, b2, b3, , bn). La distancia entre a y b representada por d(a, b) est definida por:

Ejemplos (para discusin): Halla la distancia de:1. a = (1, 7) y b = (6, -5) en R22. a = (3, -5, 4) y b = (6, 2, -1) en R3Ejercicios:1. Halla el producto interno a b de:a) a = (3, -5, 2) y b = (4, 1, -2)b) a = (1, -8, 0, 5) y b = (3, 6, 4, 0)c) a = (3, -1) y b = (2, 4)2. Halla el valor de k para que los vectores a = (1, k, -3) y b = (2, -5, 4) sean vectores ortogonales.3. Halla la norma de los siguientes vectores:a) (2, -7)b) (3, -12, -4)2. Determina el valor de k tal que a = 39 si a = (1, k, -2, 5).3. Un vector unitario a es un vector cuya norma (longitud o magnitud) es 1. Verifica si el vector es un vector unitario.4. Halla la distancia entre:a. (1, 5) y (1, 1) en R2b. (3, 4, 5) y (2, 3, 5) en R3c. (-2, -1, 2) y (-5, 1, 2) en R35. Halla el valor de k tal que d(a, b) = 6 si a = (2, k, 1, -4) y b = (3, -1, 6, -3).6. Demuestra que a2 = siendo a un vector en Rn.7. Demuestra que = , donde a y b son vectores en Rn.http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/Vectores%20en%20R2%20y%20R3.htm

Mdulo (vector)Saltar a: navegacin, bsqueda En fsica, se llama mdulo de un vector a la norma matemtica del vector de un espacio eucldeo ya sea este el plano eucldeo o el espacio tridimensional. El mdulo de un vector es un nmero que coincide con la "longitud" del vector en la representacin grfica.El concepto de norma de un vector generaliza el concepto de mdulo de un vector del espacio eucldeo.ClculoDado un vector del espacio eucldeo tridimensional expresado por sus componentes, , su mdulo es el nmero real dado por la expresin:

La intensidad o mdulo de un vector es la longitud del segmento que lo representa, por lo que habr de ser proporcional al valor de la magnitud medida.Propiedades Relacin con el producto escalar: El mdulo de la suma de dos vectores est relacionado con el producto escalar y los mdulos respectivos de los vectores: Desigualdad triangular. El mdulo de la suma de dos vectores es menor o igual que la suma de mdulos: http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_%28vector%29 En geometra, el paralelismo es una relacin que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensin mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y dems).En geometra clsica, las rectas o planos paralelos son los equidistantes entre s y por ms que los prolonguemos no pueden encontrarse. En geometra afn, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F est contenido en G G est contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afn) (V = ), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si tienen un mismo vector director.Obsrvese que, en un espacio afn tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y tambin que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.As, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningn punto.De manera anloga, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ningn punto.Rectas paralelasLas rectas a, b del plano P son paralelas, si son los equidistantes entre s y por ms que los prolonguemos no pueden encontrarse, o por traslacin se les puede hacer coincidir.NotacinDado el conjunto R de las rectas en el plano, diremos que dos recta a, b de R son paralelas y lo notaremos:

Siendo correcta la notacin:

Axioma de unicidadEl axioma que distingue a la geometra eucldea de otras geometras es el siguiente:En un plano, por un punto exterior a una recta pasa una y slo una paralela a dicha recta.PropiedadesArtculo principal: Relacin de equivalencia.Siendo a, b, c rectas en el plano P, se cumple: Reflexiva: Toda recta es paralela a s misma:

Simtrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:

Estas dos propiedades se deducen de la interseccin de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad. Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:

Luego la relacin de paralelismo entre rectas del plano es una relacin de equivalencia.Teoremas En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre s. Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las parelelas de esta (en un plano).Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.http://es.wikipedia.org/wiki/Paralelismo_%28matem%C3%A1tica%29matricesDefiniciones y notacionesUna matriz es una arreglo bidimensional de nmeros (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las lneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las lneas verticales. A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n-por-m (escrito ) donde . El conjunto de las matrices de tamao se representa como , donde es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamao de una matriz siempre se da con el nmero de filas primero y el nmero de columnas despus. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamao y las mismas entradas.A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila sima y la columna sima se le llama entrada o entrada -simo de la matriz. En estas expresiones tambin se consideran primero las filas y despus las columnas.Casi siempre se denotan a las matrices con letras maysculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minsculas para denotar las entradas de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz que se encuentra en la fila sima y la columna sima se le denota como , donde y . Cuando se va a representar explcitamente una entrada la cul est indexada con un o un con dos cifras se introduce una coma entre el ndice de filas y de columnas. As por ejemplo, la entrada que est en la primera fila y la segunda columna de la matriz de tamao se representa como mientras que la entrada que est en la fila nmero 23 y la columna 100 se representa como .Adems de utilizar letras maysculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemticos. As es una matriz, mientras que es un escalar en esa notacin. Sin embargo sta notacin generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer sta distincin tipogrfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.Otra notacin, en si un abuso de notacin, representa a la matriz por sus entradas, i.e. o incluso .Otra definicin, muy usada en la solucin de sistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna. Un vector fila o vector rengln es cualquier matriz de tamao mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamao .Finalmente a las matrices que tienen el mismo nmero de filas que de columnas, i.e. , se les llama matrices cuadradas y el conjunto se denota o alternativamente .EjemploDada la matriz

es una matriz de tamao . La entrada es 7.La matriz

es una matriz de tamao : un vector fila con 9 entradas.Operaciones bsicasLas operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en lgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son nicas.Suma o adicinSean . Se define la operacin de suma o adicin de matrices como una operacin binaria tal que y donde en el que la operacin de suma en la ltima expresin es la operacin binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada es igual a la suma de los elementos y lo cual es .Veamos un ejemplo ms explcito. Sea

No es necesario que las matrices sean cuadradas:

A la luz de stos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamao. La suma de matrices en el caso de que las entradas estn en un campo sern la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. sto es as ya que stas son propiedades de los campos en los que estn las entradas de la matriz. A continuacin se presentan las propiedades.PropiedadesSean , donde es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operacin binaria Asociatividad

Demostracin. Dada la definicin de la operacin binaria se sigue el resultado ya que debido a que para todo . Conmutatividad

Demostracin Dada la definicin de la operacin binaria se sigue el resultado ya que debido a que para todo . Existencia del elemento neutro aditivoExiste tal que

Demostracin Tmese tal que para cualquier (dnde este ltimo es el elemento neutro aditivo en el campo, el cual existe necesariamente). Entonces para cualquier se sigue que ya que para cualquier , dado que las entradas estn en un campo. Existencia del inverso aditivoExiste tal que

a esta matriz se le denota por .Demostracin Dada tmese tal que . Entonces ; luego, por las propiedades de campo donde es el inverso aditivo de en el campo para cualquier .

En efecto, stas propiedades dependen el conjunto en el que estn las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los campos usados son (los nmeros reales) y (los nmeros complejos).Por como se defini la operacin binaria adicin se dice que sta operacin es una operacin interna por lo que se cumple intrinsecamente la propiedad de que es cerrado bajo adicin. Con stas propiedades se tiene que es un grupo abeliano.En el caso en que el conjunto al que pertenecen las entradas de la matriz sea un anillo , la operacin de adicin de matrices contina dotando de estructura de grupo abeliano a , ya que bajo un anillo se tiene que es un grupo abeliano. En el caso de que las entradas estn en un grupo , ste necesita ser un grupo abeliano para que la adicin de matrices siga dotando de estructura de grupo abeliano a .Producto por un escalarSean y . Se define la operacin de producto por un escalar como una funcin tal que y donde en donde el producto es la operacin binaria correspondiente pero en el campo . Por ejemplo, la entrada es igual al producto .Veamos un ejemplo ms explcito. Sea y

Tambin es inmediato observar que el producto por un escalar da como resultado una matriz del mismo tamao que la original. Tambin el producto por un escalar depender de la estructura algebraica en la que las entradas estn. En el caso de que estn en un campo sern dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra respecto de suma en el campo), asociatividad y una propiedad concerniente al producto por el elemento neutro multiplicativo del campo. A continuacin se presentan las propiedades.PropiedadesSean y , donde es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operacin producto por un escalar Asociatividad

Demostracin. Dada la definicin de la operacin se sigue el resultado ya que debido a que para todo . Distributividad respecto de la suma de matrices

Demostracin Dada la definicin de la operacin se sigue el resultado ya que debido a que para todo . Distributividad respecto de la suma en el campo

Demostracin Dada la definicin de la operacin se sigue el resultado ya que debido a que para todo . Producto por el neutro multiplicativo del campo

Demostracin Dada la definicin de la operacin se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

Por como se defini la operacin de producto por escalares se dice que es cerrado bajo producto por escalares. Con stas propiedades y las de la adicin se tiene que es un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por escalares definidas antes.En el caso de que las entradas y los escalares no estn en un campo sino en un anillo entonces no necesariamente existe el neutro multiplicativo. En caso de que exista, con lo cual el anillo es un anillo con uno, se dice que es un mdulo sobre .

Ahora, a partir de las propiedades bsicas se puede demostrar inmediatamente que

Demostracin Dada la definicin de la operacin se sigue el resultado ya que para todo .

Demostracin Dada la definicin de la operacin se sigue el resultado ya que para todo debido a que para todo .

Demostracin Dada la definicin de la operacin se sigue el resultado ya que como en un campo no hay divisores de cero entonces para todo implica que o para todo , i.e. . No es posible un caso en el que slo algunas entradas de la matriz sean cero y el escalar sea no nulo ya que en esos casos estaramos diciendo que hay divisores de cero y llegaramos a una contradiccin, ya que la suposicin es que las entradas y los escalares estn en un campo.

Demostracin Dada la definicin de la operacin se sigue el resultado ya que debido a que para todo .Este ltimo resultado permite usar la notacin sin riesgo de ambigedad.Producto

Diagrama esquemtico que ilustra el producto de dos matrices y dando como resultado la matriz .Artculo principal: Multiplicacin de matrices.Artculo principal: Aplicacin lineal.El producto de matrices se define de una manera muy peculiar y hasta caprichosa cuando no se conoce su origen. El origen proviene del papel de las matrices como representaciones de aplicaciones lineales. As el producto de matrices, como se define, proviene de la composicin de aplicaciones lineales. En este contexto, el tamao de la matriz corresponde con las dimensiones de los espacios vectoriales entre los cuales se establece la aplicacin lineal. De ese modo el producto de matrices, representa la composicin de aplicaciones lineales.En efecto, en ciertas bases tenemos que se puede representar como donde es la representacin de un vector de en la base que se ha elegido para en forma de vector columna. Si tenemos dos aplicaciones lineales y entonces y , luego la aplicacin se representar como donde es el producto de las representaciones matriciales de . Ntese que la composicin no se puede dar entre cualquier aplicacin sino entre aplicaciones que vayan de , en particular debe de haber una relacin entre las dimensiones de los espacios vectoriales. Una vez dicho sto podemos definir el producto de la siguiente manera.Sean y . Se define el producto de matrices como una funcin tal que y donde para toda , es decir . Por ejemplo, la entrada .Veamos un ejemplo ms explcito. Sean y

dnde la matriz producto es como habamos establecido en la definicin: una matriz .Sin tomar en cuenta la motivacin que viene desde las aplicaciones lineales, es evidente ver que si ignoramos la definicin de la funcin de producto de matrices y slo se toma en cuenta la definicin de las entradas, el producto no estar bien definido, ya que si no tiene el mismo nmero de columnas que de filas entonces no podremos establecer en donde acaba la suma: si la acabamos en el mayor de stos nmeros habr sumandos que no estn definidos ya que una de las matrices no tendr mas entradas, mientras que si tomamos el menor habr entradas de alguna de las matrices que no se tomen en cuenta. As es necesario que tenga el mismo nmero de columnas que de filas para que exista.Como se puede suponer tambin, las propiedades de sta operacin sern ms limitadas en la generalidad ya que adems de las limitaciones impuestas por la naturaleza de las entradas est esta limitacin respecto a tamao. Es claro, adems, que el producto de matrices no siempre es una operacin interna.PropiedadesSean matrices con entradas en , donde es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para el producto de matrices (considerando que los productos existan) Asociatividad

Demostracin. Dada la definicin de la operacin se sigue el resultado ya que, si , y por lo que donde debido a que para todo . Aqu estamos considerando que es , es y es . Distributividad respecto de la suma de matrices por la derecha

Demostracin Dada la definicin de la operacin se sigue el resultado ya que debido a que para todo . Aqu estamos considerando que es , es y es . Distributividad respecto de la suma de matrices por la izquierda

Demostracin Dada la definicin de la operacin se sigue el resultado ya que debido a que para todo . Aqu estamos considerando que es , es y es .

El producto de matrices no es conmutativo, si lo fuera la composicin de funciones lineales sera conmutativa y eso en general no sucede. Obviamente existen casos particulares de algunos tipos de matrices en los que si hay conmutatividad. En el caso en que tengamos tendremos que el producto entre matrices en tambin est en . En ese caso adems de espacio vectorial es un lgebra sobre un campo. En el caso de que el conjunto al que pertenecen las entradas sea un anillo conmutativo con uno entonces adems de mdulo es un lgebra sobre un anillo. Mas an con el producto de matrices es un anillo.RangoArtculo principal: Rango de una matriz.El rango de una matriz es la dimensin de la imagen de la aplicacin lineal representada por , que coincide con la dimensin de los espacios vectoriales generados por las filas o columnas de .TraspuestaArtculo principal: Matriz traspuesta.La traspuesta de una matriz , donde no es necesariamente un campo, es una matriz tal que . Por ejemplo la entrada .Veamos un ejemplo ms explcito. Sea

entonces su traspuesta es

As, informalmente podramos decir que la traspuesta es aquella matriz que se obtiene de la original cambiando filas por columnas. Las notaciones usuales para denotar la traspuesta de una matriz son .La trasposicin de matrices tiene las siguientes propiedades (donde ahora si el conjunto de entradas debe ser al menos un anillo conmutativo):

Si representa una aplicacin lineal, entonces la matriz describe la traspuesta de la aplicacin lineal.Matrices cuadradas y definiciones relacionadasUna matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo nmero de filas que de columnas. El conjunto de todas las matrices cuadradas n-por-n junto a la suma y la multiplicacin de matrices, es un anillo que generalmente no es conmutativo.M(n,R), el anillo de las matrices cuadradas reales, es un lgebra asociativa real unitaria. M(n,C), el anillo de las matrices cuadradas complejas, es un lgebra asociativa compleja.La matriz identidad In de orden n es la matriz n por n en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los dems elementos son iguales a 0. La matriz identidad se denomina as porque satisface las ecuaciones MIn=M y InN=N para cualquier matriz M m por n y N n por k. Por ejemplo, si n = 3:

La matriz identidad es el elemento unitario en el anillo de matrices cuadradas.Los elementos invertibles de este anillo se llaman matrices invertibles o matrices no singulares. Una matriz A n por n es invertible si y slo si existe una matriz B tal queAB = In = BA.En este caso, B es la matriz inversa de A, identificada por A-1 . El conjunto de todas las matrices invertibles n por n forma un grupo (concretamente un grupo de Lie) bajo la multiplicacin de matrices, el grupo lineal general.Si es un nmero y v es un vector no nulo tal que Av = v, entonces se dice que v es un vector propio de A y que es su valor propio asociado. El nmero es un valor propio de A si y slo si AIn no es invertible, lo que sucede si y slo si pA() = 0, donde pA(x) es el polinomio caracterstico de A. pA(x) es un polinomio de grado n y por lo tanto, tiene n races complejas mltiples races si se cuentan de acuerdo a su multiplicidad. Cada matriz cuadrada tiene como mucho n valores propios complejos.El determinante de una matriz cuadrada A es el producto de sus n valores propios, pero tambin puede ser definida por la frmula de Leibniz. Las matrices invertibles son precisamente las matrices cuyo determinante es distinto de cero.El algoritmo de eliminacin gaussiana puede ser usado para calcular el determinante, el rango y la inversa de una matriz y para resolver sistemas de ecuaciones lineales.La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal, lo que equivale a la suma de sus n valores propios.Una matriz de Vandermonde es una matriz cuadrada cuyas filas son las potencias de un nmero. Su determinante es fcil de calcular.Las matrices en la ComputacinLas matrices son utilizadas ampliamente en la computacin, por su facilidad y liviandad para manipular informacin. En este contexto, son una buena forma para representar grafos, y son muy utilizadas en el clculo numrico. En la computacin grfica, las matrices son ampliamente usadas para lograr animaciones de objetos y formas.Teora de matricesLa teora de matrices es un rama de las matemticas que se centra en el estudio de matrices. Inicialmente una rama secundaria del lgebra lineal, ha venido cubriendo tambin los temas relacionados con la teora de grafos, el lgebra, la combinatoria y la estadstica.Matrices relacionadas con otros temasUna matriz puede identificarse a una aplicacin lineal entre dos espacios vectoriales de dimensin finita. As la teora de las matrices habitualmente se considera como una rama del lgebra lineal. Las matrices cuadradas desempean un papel particular, porque el conjunto de matrices de orden n (n entero natural no nulo dado) posee propiedades de estabilidad de operaciones.Los conceptos de matriz estocstica y matriz doblemente estocstica son herramientas importantes para estudiar los procesos estocsticos, en probabilidad y en estadstica.Las matrices definidas positivas aparecen en la bsqueda de mximos y mnimos de funciones a valores reales, y a varias variables.Es tambin importante disponer de una teora de matrices a coeficientes en un anillo. En particular, las matrices a coeficientes en el anillo de polinomios se utilizan en teora de mandos.En matemticas puras, los anillos de matrices pueden proporcionar un rico campo de contraejemplos para conjeturas matemticas.http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_%28matem%C3%A1ticas%29#Definiciones_y_notaciones

Matriz traspuestaDada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A(A + B)t = At + Bt(A)t = At(A B)t = Bt AtMatriz diagonalEn una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalarUna matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html

Determinante (matemtica)Saltar a: navegacin, bsqueda En Matemticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definicin indica una serie de propiedades matemticas y generaliza el concepto de determinante hacindolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el nmero de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.Matriz adjuntaLa matriz adjunta es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:El signo es + si i+j es par.El signo es - si i+j es impar.

Ejemplo

http://www.ditutor.com/determinantes/matriz_adjunta.html

Matriz invertibleSaltar a: navegacin, bsqueda En matemticas, en particular en lgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A1, tal que:,donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.La inversin de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible

Espacio vectorialEspacios VectorialesDefinicin: Un espacio vectorial real V (real se refiere a que los escalares son nmeros reales en vez de complejos) es un conjunto de objetos, llamados vectores, con dos operaciones definidas: la suma vectorial y la multiplicacin escalar, que satisface las siguientes condiciones:1. Si x,y V, entonces x + y V (Clausura bajo la adicin o suma). 2. Para todo x, y, z V tenemos que (x + y) + z = x + (y + z) (Asociativa bajo la suma). 3. Existe un vector cero, 0 V tal que para todo x V tenemos que x + 0 = 0 + x = x (Existencia del vector cero). 4. Si x V existe un vector x en V tal que x + (-x) = 0 (Existencia del inverso aditivo). 5. Si x,y V entonces x + y = y + x (Conmutativa de la suma). 6. Si x V y a es un escalar, entonces a x V (Clausura para el producto por un escalar). 7. Si x,y V y a es un escalar, entonces a (x + y) = a x + a y (Primera propiedad distributiva: suma de vectores). 8. Si x V y a, b son escalares, entonces (a + b) x = a x + bx (Segunda propiedad distributiva: suma de escalares). 9. Si x V y a,b son escalares, entonces a (b x) = (ab) x (Asociativa de la multiplicacin escalar). 10. Para todo vector x V, tenemos que 1x = x (El escalar 1 se llama el elemento identidad de la multiplicacin). Esta definicin tiene muchos detalles que debe leer con cuidado. Fjese que hay dos conjuntos {V, escalares} con dos ceros {0, 0} que No son iguales. Hay dos operaciones de suma que debes distinguir: suma entre vectores (+) y entre escalares (+). Igualmente con la multiplicacin de vector por un escalar () y la multiplicacin entre escalares. Como las operaciones de Suma +, y multiplicacin por un escalar en el espacio V se definen de forma diferente en cada espacio vectorial a menudo estas generalizaciones (o abstraccin) de las operaciones se denotan usando otros smbolos para No confundirles con la suma y multiplicacin de nmeros reales, matrices u otros. Por ejemplo en el texto se denota: a) suma b) producto escalar Estas 10 propiedades nos dicen que V es una generalizacin de el espacio euclidieano que hemos estudiado hasta ahora: n Ejemplos:1. Sea V = {u= (x, y)x, y }, con las operaciones: a) suma de vectores: para u = (x1,y1), v= (x2,y2) entonces u + v = (x1 + x2,y1+ y2) b) producto por un escalar: para a , u = (x1,y1) V, a u= (a x1, a y1). Entonces V es un espacio vectorial, es decir satisface las 10 propiedades anteriores que definen al espacio vectorial. 2. Sea V = {u =(x, y) y 0}, con las operaciones definidas como en el ejemplo anterior. V consiste de los pares ordenados en 2 que estn en los Cuadrantes I y II. V no es un espacio vectorial porque para el vector (1, 1) no existe el inverso (-1, -1) ya que (-1, -1) no es elemento de V. Adems si a < 0 entonces au= ( ax, ay) no es elemento de V. 3. Sea V = n = {u =(x1, x2, x3, , xn)xi para i = 1, 2, 3, , n}, con la suma de vectores y multiplicacin por un escalar tpicas, entonces V es un espacio vectorial. 4. Sea V = {0}, con suma y multiplicacin tpicas, satisface las diez propiedades. Es un espacio vectorial. Usualmente se conoce como el espacio vectorial trivial. 5. Sea V = {1}, con suma y multiplicacin tpicas. No es un espacio vectorial pues 1 + 1 = 2. 2 no es elemento de V (no satisface la propiedad de la clausura en la adicin ni tampoco otras propiedades cuando a < 0). 6. Sea V = {(x, y)y = mx, donde m constante, x arbitrario}, con la suma entre puntos y producto por un escalar igual al primer ejemplo. Vemos que V consiste de todos los puntos en la recta y = mx que pasa por el origen con pendiente m. V es un espacio vectorial. 7. Sea V = {(x, y)y = 2x + 1, x }, con la suma y producto del primer ejemplo. Vemos que V es el conjunto de todos los puntos en la recta y = 2x + 1. V no es un espacio vectorial, pues no satisface la propiedad de clausura: sean (x1, y1), (x2, y2) V, entonces: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)= (x1 + x2, 2x1 + 1 + 2x2 + 1)= (x1 + x2, 2(x1+x2)+ 2) lo cual no es elemento de V8. Sea V = Pn, el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado n 1, con la suma y multiplicacin por un escalar tpica de polinomios. Si p Pn, entonces p = p(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0, donde ai es real. Pn es un espacio vectorial. 9. Sea V = M23, el conjunto de matrices de orden 2 x 3 con elementos reales, con la suma y producto por un escalar de matrices. M23 es un espacio vectorial. 10. Sea V = Mmn, el conjunto de matrices de orden m x n con elementos reales, entonces es un espacio vectorial. 11. Sea V = C[0, 1], el conjunto de funciones continuas con valores reales definidos en el intervalo cerrado [0, 1], con la suma y multiplicacin por un escalar tpica entre funciones. Entonces C[0, 1] es un espacio vectorial. Para ejemplos donde se define la suma entre vectores y la multiplicacin por un escalar en formas no-tpicas vea los ejemplos 2-ejemplo 4 en la siguiente pgina:http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/LinAlg/VectorSpaces.aspx. En estos ejemplos se demuestra que usando estas nuevas operaciones de suma y multiplicacin los conjuntos definidos en los ejemplos 2 al 4 No forman un espacio vectorial. Teorema de Propiedades de un Espacio Vectorial: Sea V un espacio vectorial, entonces: a 0 = 0, para todo en el conjunto de los nmeros reales 0 x = 0, para todo vector x en el conjunto V si a x = 0, entonces a = 0 x = 0 ( ambos) (-1) x = -x, para todo vector x V Nota: Aunque se cumplen todas las propiedades del teorema el espacio de la matrices V = Mmn, Compare la tercera parte del teorema de propiedades con lo siguiente. En x,y Mmn, note que x y = 0 NO implica que x = 0 y = 0 ( ambos). Por ejemplo, si:

ni la matriz A ni la matriz B son matrices con todos los elementos ceros, sin embargo AB = 0. Sin embargo esta No es la tercera propiedad. Cul es la diferencia?Ejercicios:1. Determina si el conjunto V = {(x, y)x 0} con las operaciones usuales de suma y multiplicacin escalar en 2 es un espacio vectorial. 2. Verifica en detalles que {(x, 0) x es un nmero real} es un espacio vectorial. Combinacin linealSaltar a: navegacin, bsqueda Un vector se dice que es combinacin lineal de un conjunto de vectores si se puede expresar como suma de los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , es decir:.As, es combinacin lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de .Ejemplo:El vector (20, 12, 37) es una combinacin lineal de los vectores (1, 3, 5) y (6, 2, 9):

Otro ejemplo:: Se dice que es combinacin lineal de y de , porque podemos escribir sin ms que despejar la . De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podra expresar como combinacin lineal de las otras dos.Los escalares dicen cunto de cada vector del conjunto necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formar el vector en cuestin.http://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal

Definicin dependientes Dado un conjunto finito de vectores , se dice que estos vectores son linealmente dependientes si existen nmeros , todos no iguales a cero, tales que:

Ntese que el smbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo . El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales nmeros no existen, entonces los vectores son linealmente independientes. La definicin anterior tambin puede extenderse a un conjunto infinito de vectores, concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente.Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal as:Un conjunto de vectores de un espacio vectorial es linealmente independiente si Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente indepedientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinacin lineal de los dems.2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo tambin lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinacin de los dems, escogiendo solamente unos cuantos, no podrn ser combinacin de los otros.3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, tambin lo es todo conjunto que lo contenga.4. Un conjunto de vectores son linealmente paralelos s y slo s son paralelos.5. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si los componentes entre ellos son proprcionales, bien sea directa o inversamente proporcional. Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene algn vector que es combinacin lineal de los dems, si metemos este conjunto de vectores en otro ms grande, seguimos teniendo el vector que es combinacin lineal de otros, por tanto, el conjunto ms grande ser linealmente dependiente.

En lgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinacin lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, 1, 1), (1, 0, 1) y (3, 1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.http://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal

BASES Y DIMENSINDefinicin: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.Propiedades de las bases.1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo ms pequeo posible).2. Adems es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo ms grande posible).3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinacin lineal de ella, de manera nica para cada vector.Ejemplos de bases.1. La base cannica (o base natural, o base estndar) de n:e1 = (1,0,. . . ,0)e2 = (0,1,. . . ,0)........en = (0,0,. . . ,1)- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.- Son sistema generador de n porque todo vector (a1,a2,. . . ,an) n se puede expresar como combinacin lineal de ellos:(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)2. Otra base de 3 distinta de la cannica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.- Son sistema generador de 3 porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner como combinacin lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos ,, que satisfagan (a,b,c)= (1,0,0)+ (1,1,0)+(0,2,-3) Se obtiene un sistema:+= a +2=b-3 = cen las incgnitas ,,, que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c. 3. (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) en 3 no forman base porque no son linealmente independientes (su determinante es nulo).Neila Campos LGEBRA LINEAL Espacios Vectoriales 214. Base de un subespacio. En 3, consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que los vectores (3,2,0) , (1,1,0) forman una base de S. - Son linealmente independientes, porque uno no es mltiplo del otro. - Son un sistema generador de S: Dado un vector genrico de S, de la forma (a,b,0), lo podemos poner como combinacin lineal de (3,2,0), (1,1,0). Para ello, buscamos que cumplan:(a,b,0)= (3,2,0)+ (1,1,0) 3+= a S. C. D. para cualesquiera a,b.2= b 5. Extender un conjunto para que forme base. Es (1,0,2), (1,0,1) base de 3?- Son linealmente independientes, porque uno no es mltiplo del otro.- Pero no son un sistema generador de 3, porque no es cierto que todo vector de 3 pueda ponerse como combinacin lineal de ellos. Por ejemplo, el (0,1,0) no se puede poner (resulta un sistema incompatible).Por tanto no son base de 3. Puede obtenerse una base de 3 de algn modo?S, aadiendo algn otro vector de manera que siga siendo independiente de los anteriores, por ejemplo (0,1,0). As el conjunto (1,0,2), (1,0,1), (0,1,0) es linealmente independiente, y genera 3, por tanto es base de 3.6. Reducir un conjunto para que forme base. Es (2,0,0), (0,3,0), (4,1,0) base de S=plano XY de 3 ?- Son un sistema generador de S, pero no son independientes (su determinante es nulo).Por tanto no son base de S. Puede obtenerse una base de S de algn modo?Teorema y definicin: Dimensin.Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo nmero de vectores. Se llama dimensin de dicho espacio o subespacio.Ejemplos de dimensin.1. n tiene dimensin n, pues tiene una base de n elementos (p.ej. la cannica).2. M2x2= {matrices 2x2 con trminos reales} tiene dimensin 4. Una base de M2x2 es:0001 , , , 0010010010003. P2= {polinomios de grado2 con coeficientes reales} tiene dimensin 3. Una base de P2 es, por ejemplo, la formada por los tres polinomios siguientes:1+0x+0x2 , 0+x+0x2, 0+0x+x2 (es decir, los polinomios 1, x, x2).Otra base: 1+2x+3x2, 4+x2, 3x5x2.S. Estos tres vectores tienen rango 2, por tanto uno de ellos es combinacin lineal de los dems y puede suprimirse: por ejemplo suprimimos (4,1,0), ya que al quitarlo no baja el rango. (Tambin podra quitarse cualquiera de los otros dos). Los restantes vectores (2,0,0), (0,3,0) siguen generando el mismo subespacio S y son independientes. Son por tanto base de S.Neila Campos LGEBRA LINEAL Espacios Vectoriales 22 Por tanto, la dimensin es el mximo nmero de vectores independientes que podemostener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el mximo rango que puede tener un Es tambin el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.conjunto de vectoresde dicho espacio.Propiedades de la dimensin.1. Significado fsico de la dimensin: el espacio tiene dimensin 3, los planos dimensin 2, las rectas dimensin 1, el punto dimensin 0. El subespacio {0} es el nico de dimensin 0.2. La dimensin de un subespacio en n, coincide con el nmero de parmetros libres en su forma paramtrica. (1 parmetro=recta, 2 parmetros= plano...)3. Si S y T son subespacios y S est contenido en T, entonces dim S dim T.Adems, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir.4. El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensin del subespacio que generan.Es decir: si v1,v2,. . . vn generan un cierto subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r, entonces dim S = r.(Si un cierto conjunto de vectores tienen rango 2, entonces generan un plano; etc.)Ejemplo.En 3, sea S el subespacio generado por: (1,0,2), (0,1,2), (3,3,3), (2,2,0).Observamos que el rango de este conjunto (= rango de la matriz que forman, por filas o por columnas) es 3. As por la propiedad 4 , tenemos que dim S = 3. Pero como estamos en 3, por la propiedad 3 ha de ser S=3.Teorema:.Sea S un espacio o subespacio de dimensin m. Entonces, Si tenemos m vectores linealmente indep. en S, tambin sern sistema generador de S. Si tenemos m vectores que generan S, tambin sern linealmente independientes.Por tanto, si tenemos un conjunto formado por tantos vectores como indica la dimensin, dichos vectores sern a la vez linealmente independientes y sistema generador, o bien ninguna de las dos cosas.As pues, para probar que son base, bastara probar solamente una de las dos cosas: que son linealmente independientes, o que son sistema generador.Esto solamente se puede aplicar cuando conocemos la dimensin del espacio y cuando tenemos tantos vectores como indica la dimensin.Teorema. En un espacio o subespacio de dimensin m, un conjunto de ms de m vectores nunca puede ser linealmente independiente. un conjunto de menos de m vectores nunca puede ser sistema generador.As pues, por ejemplo, 3 vectores en 2 podrn ser o no sistema generador de 2, pero nunca podrn ser linealmente independientes.Del mismo modo, 2 vectores en 3 podrn ser linealmente independientes o no, pero nunca sern sistema generador de 3 (aunque s podrn serlo de un subespacio ms pequeo).http://personales.unican.es/camposn/espacios_vectoriales2.pdf

FUNCIONES VECTORIALESLeccin 2.2. Curvas en RnUna aplicacin F : IRn, donde I es un subconjunto de R se llama una funcin vectorial. Puestoque para cada t I, F( t ) Rn, entoncesF( t ) ( f 1( t ), f 2( t ), ..., f n( t ) )Las funciones f i : IR, i 1, 2, ...n son las funciones componentes de F. Es por ello que todaslas propiedades de F, como veremos, reposan en las propiedades de las funciones componentes.Ejemplos:1. F( t ) P tA, t R, P y A vectores fijos de Rn es una funcin vectorial que representa unarecta enRn.2. F( t ) ( cos t, sent ), t R es una funcin vectorial que representa una circunferencia decentro cero y radio uno enR2.3. F( t ) ( t, t2 ), t R es una funcin vectorial que representa una parbolaLa imagenF( I ) es un subconjunto de Rn y determina una curva en l. Es claro que que una curvaenRn puede estr determinada por diferentes funciones vectoriales, por ejemplo:( t ) ( t, t 2 ), t 0 y ( t ) ( t2, t 4 ), definen la misma curva en enR2. No obstante,aunque es un abuso, para simplificar la escritura, identificaremos la curva con la funcin que ladefine.

Derivabilidad de funciones vectorialesLa derivada de funciones vetoriales se define de la misma manera como la conocemos para funcionesde variable y valor real. As:F( a ) limtaF( t a ) F( a )t (2.2.2)Cmo se indica en la figura, el vector F( a ) es el vector direccin de la recta tangente a la curvadefinida por F y que pasa por el punto F( a ). Si pensamos que F( t ) determina el desplazamiento deuna particula en el espacio Rn a medida que el tiempo t transcurre, entonces F( a ) mide la velocidaddel desplazamiento.http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.texPage 3 of 7Figura No. 1Es muy fcil deducir de (2.2.1) y (2.2.2) queF( a ) ( f 1( a ), ..., f n( a ) ) ( 2.2.3 )La derivacin de funciones vectoriales satisface las siguientes propiedades:1. ( F G )FG.2. ( u.F ) u.F u.F, con u :RR.3. F, G F, G F, G.4. ( F G )FG F G.5. ( F u ) u.F( u ), con u : RR.Como consecuencia de la propiedad 3. anterior tenemos el siguienteTeorema (2.2.1): Sea F una funcin vectorial definida en algn intervalo I. Si F( t ) c,para todo t, entoncesF( t ), F( t ) 0.El Teorema nos dice que el vector posicin de la curva y su vecror tangente son perpendiculares parahttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.texPage 4 of 7todo valor t.Si pensamos que es una partcula que se mueve a lo largo de la curva que describe la imagen de unafuncin vectorial F, entonces F( t ) es el vector que mide la posicin de la partcula, F( t ) ser elvector velocidad y F( t ) ser el vector aceleracin. Es costumbre nombrar, entonces,F( t ) V( t ), vector velocidad y F( t ) A( t ), vector aceleracin. Adems denotaremosv( t ) V( t ) que representa la rapidez de la partcula, as mismo denotaremosa( t ) F( t ) .

IntegracinLa integracin de funciones vectoriales la definimos as:abF( t )dt (abf 1( t )dt, ..., abf n( t )dt ). ( 2.2.4 )Como en el caso de funciones de variable y valor real, tenemos ac los teoremas fundamentales del clculo que enunciaremos sin demostracin pues sta sigue los mismos pasos que la que conocemos enlos primeros cursos de clculo.Teorema (2.2.2) (PrimerTeorema Fundamental del Clculo). Sea F : a, b Rn continuay sea c a, b . Entonces la funcinG( x ) cxF( t )dtcumple que G( x ) F( x ).Teorema (2.2.3) (Segundo Teorema Fundamental del Clculo). Supongamos que Fescontinua en ( a, b ). Entonces para cada c, x ( a, b ) tenemos queF( x ) F( c ) cxF( t )dt.http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.pdf