Upload
mistvan57
View
35
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Vectori si valori proprii
Citation preview
Vectori proprii şi valori proprii
Coordonatori ştiinţifici
Prof. Univ. Dr. Ioan Purdea,
Asist. Univ. Dr. Camelia Dicu
prof. Isac Monica
CUPRINS
Introducere
Capitolul I. Elemente introductive § 1.1. Spaţii vectoriale § 1.2. Subspaţii vectoriale § 1.3. Transformări liniare § 1.4. Baze. Dimensiuni Capitolul II. Vectori proprii şi valori proprii § 2.1. Transformări liniare şi matrici § 2.2. Vectori proprii şi valori proprii § 2.3. Implementări Maple
Bibliografie2
Capitolul IElemente introductive
§ 1.1. Spaţii vectoriale
3
Definiţie. Fie un corp𝕂 . O pereche ordonată formată dintr-un grup abelian (V,+) şi o funcţie φ: x V → V se numeşte 𝕂 -spaţiu 𝕂vectorial (liniar) stâng sau spaţiu vectorial (liniar) stâng peste 𝕂 dacă verifică următoarele axiome:
φ(α+β, x) = φ(α, x) + φ(β, x)
φ(α, x+y) = φ(α, x) + φ(α, y)
φ(αβ, x) = φ(α, φ(β, x))
φ(1, x) = x
pentru orice α, β є şi 𝕂 x, y є V.
Elementele din se numesc 𝕂 scalari iar cele din V se numesc vectori. Funcţia φ se numeşte operaţie externă pe V sau înmulţire cu scalari, iar adunarea din V se numeşte operaţie internă sau adunarea vectorilor.
Observaţie. Dacă corpul este comutativ, atunci orice -spaţiu 𝕂 𝕂
vectorial stâng este -spaţiu vectorial drept şi invers. De aceea se poate 𝕂
renunţa la adjectivul „stâng” sau „drept”.
Exemple.
(Mm,n( ), ) este spaţiul vectorial real al matricilor de tipul (m,n) cu ℝ ℝ
elemente numere reale. ( [ℝ X], ) este spaţiul vectorial real al polinoamelor înℝ nedetermi-nata X, cu coeficienţi reali.
4
§ 1.2. Subspaţii vectoriale
Definiţie. Fie V un -spaţiu vectorial. O submulţime nevidă A a 𝕂
lui V se numeşte subspaţiu vectorial al lui V dacă A este un K-spaţiu
vectorial şi au loc următoarele:
i. oricare ar fi a1, a2 є A avem a1+a2 є A;
ii. oricare ar fi α є , oricare ar fi a𝕂 є A avem α·a є A .
Exemplu.
Pentru orice spaţiu vectorial V submulţimile {0} şi V sunt
subspaţii ale lui V. Orice subspaţiu al lui V diferit de {0} şi V se
numeşte subspaţiu propriu.
5
Teorema de caracterizare a subspaţiului.
Fie V un – spaţiu vectorial şi A 𝕂 o submulţime a lui V.
Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
1° A este subspaţiu al lui V.
2° A verifică condiţiile:
α) A ≠ ∅;
β) a1, a2 є A a⇨ 1-a2 є A;
γ) α є , a𝕂 є A ⇨ αa є A.
3° A verifică condiţiile:
α) A ≠ ∅ ;
β´) a1, a2 є A a⇨ 1+a2 є A;
γ) α є , a𝕂 є A ⇨ αa є A.
4° A verifică condiţiile:
α) A ≠ ∅;
β´´) α1, α2 є ,𝕂 a1, a2 є A ⇨ α1a1+α2a2 є A.
6
§ 1.3. Transformări liniare
Definiţie. Fie 𝕂 un corp şi V, V´ două 𝕂 – spaţii vectoriale. O
funcție f : V → V´ se numeşte transformare liniară , funcţie liniară
sau aplicaţie liniară dacă
f ( x1 + x2) = f ( x1 ) + f ( x2 )
f ( αx ) = α f ( x )
oricare ar fi x1, x2, x є V şi oricare ar fi α є 𝕂.
Observaţie.
O funcţie f : V → V´ este liniară dacă şi numai dacă
f (α1x1+α2x2 ) = f (α1x1 ) + f (α2x2 )
oricare ar fi x1, x2 є V şi oricare ar fi α1, α2 є 𝕂.
7
§ 1.4. Baze. Dimensiuni.1.4.1. Bază
Definiţii. a) Fie V un 𝕂 - spaţiu vectorial. Un sistem finit de vectori
{x1, x2, … , xn}din V se numeşte liniar independent dacăα1x1+ … + αnxn = 0 ⇨ α1 = … = αn = 0 ,
oricare ar fi α1, …, αn є .𝕂
b) Fie V un 𝕂 - spaţiu vectorial. Un sistem finit de vectori
{x1, x2, … , xn} din V se numeşte liniar dependent dacă există scalarii α1, …, αn, nu toti nuli, astfel încât α1x1+ … + αnxn =0 .
c) O submulţime finită a lui V se numeşte liberă dacă elementele
sale sunt liniar independente; în caz contrar ea se numeşte legată.
8
Definiţie. Fie V un 𝕂 - spaţiu vectorial. O submulţime X din
V se numeşte bază a lui V dacă X este liberă şi X generează pe V, adică
V = <X>.
Exemple. Vectorii e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, …, 0), … , en = (0, 0, …, 1) formează o bază în 𝕂n numită baza canonică.
Toate bazele lui V au acelaşi număr de vectori. Acest cardinal
se numeşte dimensiunea lui V şi se notează cu dimV. Observaţie.
Fie spaţiul vectorial V finit dimensional. Spunem că dimV=n
dacă şi numai dacă există n vectori în V liniar independenţi şi orice
n+1 vectori din V sunt liniar dependenţi.
9
Capitolul IIVectori proprii şi valori proprii
§ 2.1. Transformări liniare şi matricilor
Fie f :V → V' o transformare liniară determinată de scalarii αij, 1≤ i ≤ m , 1≤ j ≤ m din relaţiile:
f (u1) = α11v1 + α21v2 + … + αm1vm
f (u2) = α12v1 + α22v2 + … + αm2vm
…………………………………….
f (un) = α1nv1 + α2nv2 + … + αmnvm.
Notăm cu [ f ]u,v matricea de tipul (m,n) care are coloanele
formate din coordonatele vectorilor f (u1), … , f (un) în baza v,
adică 10
Definiţii.
a) Matricea [ f ]u,v se numeşte matricea transformării liniare f în
perechea (u,v) de baze ordonate sau matricea asociată lui f .
b) Fie un corp comutativ, V un -spaţiu vectorial. Fie𝕂 𝕂
u = (u₁, u₂, ... , un) o bază a lui V şi u'i є V, (i = 1, ... , n). Spunem că
u' = (u'₁, u'₂, ... , u'n) este o bază a lui V dacă şi numai dacă există o
matrice inversabilă unică S = (sij) є Mn( ) (numită 𝕂 matricea de trecere
de la baza u la baza u') astfel încât 11
(j = 1, … ,n), adică (u'₁, u'₂, ... , u'n) = (u₁, u₂, ... , un)S .
Teoremă. Fie u = (u₁, u₂, ... , un) şi u' = (u'₁, u'₂, ... , u'n),
respectiv v=(v₁, v₂, ..., vm) şi v' = (v'₁, v'₂, ... , v'm), baze ordonate ale
-spaţiului vectorial V şi V'. Dacă S este matricea de trecere de la 𝕂 u
la u' şi T este matricea de trecere de la v la v' atunci
[ f ]u',v' = T‾¹ · [ f ]u,v · S
12
§ 2.2. Vectori proprii şi valori proprii
Definiţii.
a) Un vector nenul x є V se numeşte vector propriu al lui f dacă există
un scalar λ astfel încât f(x)=λx, adică (f-λ·1V)(x)=0.
b) Scalarul λ se numeşte valoare proprie a endomorfismului f
corespunzătoare vectorului x.
Teoremă.
Într-un spaţiu liniar, orice transformare liniară are cel puţin un
vector propriu.
13
Observaţie. Unui vector propriu îi corespunde o singură valoare proprie.
Teoremă. Fie f : V ⟶ V o transformare liniară. Dacă v
= (v1, v2, ... , vn) este o bază a lui V şi A=(aij) є 𝕄n( ) este matricea lui 𝕂
f în baza v, adică A=[f]v, atunci valorile proprii λ ale lui f coincid cu
rădăcinile din ale ecuaţiei det( A-λ∙I𝕂 n ) = 0, adică ale ecuaţiei
= 0
numită ecuaţia caracteristică a matricii A. Calculând determinantul din
membrul stâng al ecuaţiei obţinem o expresie polinomială de
gradul n în λ numită polinomul caracteristic al transformării
liniare f în baza v sau polinomul caracteristic al matricei A=[f]v.14
Definiţii.
a) O matrice A є 𝕄n( ) se numeşte 𝕂 matrice diagonală dacă este de
forma:
unde λ₁, λ₂, λ₃, ... , λn є K sunt valori proprii ale lui A.
b) Un endomorfism fєEnd𝕂V se numeşte diagonalizabil dacă există o
bază v = (v₁, v₂, ... , vn) a lui V astfel încât [f]v să fie diagonală.
c) O matrice A є 𝕄n( ) se numeşte 𝕂 diagonalizabilă dacă există un
endomorfism fєEnd𝕂V diagonalizabil şi o bază v = (v₁, v₂, ... , vn) a
lui V astfel încât A=[f]v.
Teoremă. Un endomorfism fєEnd𝕂V este diagonalizabil dacă şi numai dacă are o bază v = (v₁, v₂, ... , vn) formată numai din vectori proprii ai lui f. 15
§ 2.3. Implementări Maple
Comenzile pentru calculul valorilor proprii şi a vectorilor proprii sunt incluse în pachetul linalg. Comanda
> charmat(A, lambda);
întoarce matricea caracteristică asociată lui A, adică λIn-A.
Comanda
> charpoly(A, lambda);
întoarce polinomul caracteristic asociat lui A, adică det(λIn-A).
Comanda
> eigenvals(A);
întoarce secvenţa valorilor proprii asociate lui A.
Comanda
> Eigenvals(A);
întoarce un tablou ce conţine valorile proprii ale lui A.16
Comanda > eigenvects(A);
întoarce vectorii şi valorile proprii asociate lui A.
Exemplul.> with(linalg);
> A : = matrix( 3, 3, [1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 5, 6 ]);
A : = > charmat(A, lambda);
> charpoly(A, lambda); λ3 - 9 λ2
> eigenvals(A); 0, 0, 9
17
Bibliografie:
1. Ioan Purdea, Ioana Pop, Algebră, Editura Gil, Zalău , 2003
2. Ioan Purdea, Cosmin Pelea, Probleme de algebră, Editura
Fundaţiei pentru Studii Europene, Bucureşti, 2005
3. Gh. Pic, Algebra superioară, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1966
4. Dorin Andrica, Dorel I. Duca, Ioan Purdea, Ioana Pop,
Matematica de bază, Editura Studium, Cluj-Napoca, 2004
5. Ion D. Ion, Nicolae Radu, Algebră, Editura Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1991
6. Grigore G. Călugăreanu, Lecţii de algebră, Biblioteca Facultăţii
de Matematică, Cluj-Napoca, 1994
7. I. M. Ghelfand, Lecţii de algebră liniară, Editura tehnică, 1953 18