VEKTÖRLER · AB b b a a= + − −(1 2 1 2, ,) ( ) r AB b a b a= − −(1 1 2 2,) r AB B A= − r İki Noktanın Tanımladığı Vektör Tanım: İki boyutlu uzayda (düzlemde)

1

1 BOumlLUumlM

VEKTOumlRLER

2

TanımMatematik istatistik mekanikhellip gibi ccedileşitli bilim dallarında uzunluk alan hacim yoğunluk kuumltle elektriksel yuumlkhellip gibi buumlyuumlkluumlkler cebirsel kurallara goumlre ifade edilirler

Bu tuumlr ccedilokluklara ldquoSkalerrdquo

buumlyuumlkluumlkler denir

3

Tanım hareket hız kuvvethellip gibi hem youmlnuuml hem

doğrultusu hem de buumlyuumlkluumlğuuml olan ccedilokluklara

ldquoVektoumlrel Buumlyuumlkluumlklerrdquo denir

4

Vektoumlrel Buumlyuumlkluumlğuumln Matematiksel Tanımı

bull Youmlnluuml doğru parccedilalarına

vektoumlr denir

bull A Başlangıccedil noktası

bull B Bitim noktasıdır

A

B

ABu =r

bull yada u ile goumlsterilir

u

GENEL TANIMLARTanım Başlangıccedil ve bitim noktaları ccedilakışık olan vektoumlre

SIFIR vektoumlruuml denir

AAr

ya da 0r

Sıfır vektoumlruuml sonsuz sayıda doğrultu ve youmlne sahiptir

Tanım Sabit bir başlangıccedil noktasına sahip olan vektoumlre

KONUMYER vektoumlruuml denir

Tanım Başlangıccedil noktası sabit bir doğru uumlzerinde değişen

vektoumlre KAYAN vektoumlr denir

Tanım Eğer başlangıccedil noktası uumlzerinde hiccedilbir kısıt yoksa

SERBEST vektoumlr denir 6

GENEL TANIMLAR

u

u -u

vTanım u ile v gibi iki vektoumlruumln youmlnleri aynı ve buumlyuumlkluumlkleri eşit ise EŞİT vektoumlrlerdir u=v

Tanım u ile youmlnuuml zıt fakat buumlyuumlkluumlğuuml eşit olan vektoumlr

-u ile goumlsterilir

VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına birleştiren vektoumlrduumlr

( )1 2u u=u ( )1 2v v=v ise

( )1 1 2 2u v u v+ = + +u v

Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr vu

w

VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama

u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu

Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir

Paralelkenar Youmlntemi

VEKTOumlREL İŞLEMLER n Adet Vektoumlruumln Toplanması

v1

v2

v3 v4

vnV

Tanım Vektoumlrler sırası ile birinin başlangıccedil noktası

diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir

ve ilk vektoumlruumln başlangıccedil noktasını son vektoumlruumln

bitim noktası ile birleştiren vektoumlr TOPLAM ya da

BİLEŞKE vektoumlr olarak adlandırılır

1 2 n= + + +v v v vL

( )11 21 1 1 2 n n n nnv v v v v v= + + + + + +v L K L

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlruumln Bir Skaler İle Ccedilarpımı

u ku

Tanım Bir u vektoumlruuml ve k+

isin bir skaler olmak uumlzere ku

ccedilarpımı u vektoumlruuml ile aynı youmlnde ve uzunluğu u vektoumlruumln k

katı olan bir vektoumlrduumlr

Bir vektoumlruumln bir skaler ile ccedilarpım sonucu yine bir vektoumlrduumlr

-ku u


Eğer k minusisin ise elde edilen ndashku vektoumlruuml u vektoumlruuml ile aynı

doğrultuda fakat zıt youmlndedir

VEKTOumlREL İŞLEMLER Vektoumlrlerin Farkı

Tanım Bir u vektoumlruumlnuumln ku ccedilarpımında k=-1 ise (-1)u

vektoumlruumlne u vektoumlruumlnuumln toplamaya goumlre tersi denir

u+(-u)=0

Tanım u ve v her hangi iki vektoumlr ise bunların farkı

vektoumlrlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde

edilen vektoumlrduumlr

u+(-v)=u-v=w

( )1 1 n nu v u v= minus minusw K uv

u+v

-vw


w fark vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin tanımladığı Paralelkenarın

diğer koumlşegenidir


İki Noktanın Tanımladığı VektoumlrTanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2) B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Bu iki noktanın tanımladığı vektoumlruumln elemanları AB OB OA= minus

rr r

( )AB OB OA= + minusrr r

( ) ( )1 2 1 2 AB b b a a= + minus minusr

( )1 1 2 2AB b a b a= minus minusr

AB B A= minusr

İki Noktanın Tanımladığı Vektoumlr

Tanım İki boyutlu uzayda (duumlzlemde) A(a1a2) B(b1b2) noktaları verilmiş olsun Duumlzlemdeki her K noktası iccedilin

KB KA ABminus =rr r

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU NORMU

Tanım Bir u vektoumlruumlnuumln uzunluğu vektoumlr elemanlarının

karelerinin toplamının karekoumlkuumlduumlr ve u ile tanımlanır

2 2 21 2 n

u u u= + + +u L

Uzunluk skaler bir değerdir

VEKTOumlRUumlN UZUNLUĞU NORMU Geometrisi

Uumlccedil boyutlu konum vektoumlruumlnuumln

uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA= = +

r r rr

2 22

OB BC CA= + +r rr

2 2 2x y z= + +

Uzunluk

2 2 2r x y z= + +r

BİRİM (NORMALİZE) VEKTOumlRTanım Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)rsquoe eşit olan

vektoumlrlere BİRİM vektoumlr denir Bir u vektoumlruuml

N =u

uu

İşlemi ile birim vektoumlre doumlnuumlştuumlruumllebilir Bir u vektoumlruuml birim

vektoumlr ve uzunluğu cinsinden yazılabilir

N=u u u

NORMALİZE VEKTOumlRTanım Bir vektoumlruumln normalize edilmesi uzunluğunun bir

birim olacak şekilde oumllccedileklenmesidir Bu amaccedilla vektoumlruumln tuumlm

bileşenleri vektoumlruumln uzunluğuna boumlluumlnuumlrler

( )1 2 nu u u=u K

2 2 21 2 n

u u u= + + +u L

ise

1 2 nN

uu u =

uu u u

K

İki Nokta Arasındaki Mesafe

Tanım Uumlccedil boyutlu uzayda iki nokta P1(x1y1z1) ve P2(x2y2z2) verilmiş olsun Bu iki nokta arasındaki mesafe 1 2P P vektoumlruumlnuumln

( )1 2 2 1 2 1 2 1 x x y y z z= minus minus minusP P

uzunluğu olarak belirlenir ve d ile goumlsterilir

( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d x x y y z z= = minus + minus + minusP P

İki Nokta Arasındaki MesafeVEKTOumlRLERİN ANALİTİK

İNCELENMESİTanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sistemde başlangıccedil (orijin) O

(000) noktasını (100) (010) ve (001) noktalarına

birleştiren vektoumlrlere sırası ile ox oy oz eksenlerinin BİRİM

vektoumlrleri denir i j k ile goumlsterilirler

( )100=i ( )010=j ( )001=k

Tanım n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektoumlrleri

e1 e2hellipen

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Tanım Uumlccedil boyutlu kartezyen sisteminde başlangıccedil O (000)

noktasını bir A noktasına birleştiren OAr

vektoumlruumlne A

noktasının KONUM vektoumlruuml adı verilir


OA OB BC CA= = + +rr r rr

OB OD OE= + +r r r


Teorem Uumlccedil boyutlu uzaydaki her hangi bir ( )1 2 3 u u u=u

vektoumlruuml i j k birim vektoumlrlerinin doğrusal derlemesi olarak

yazılabilir

1 2 3u u u= + +u i j k

Bu ifadeye u vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir


Teorem n-boyutlu uzaydaki her hangi bir ( )1 2 nu u u=u K

konum vektoumlruuml e1 e2hellipen birim vektoumlrlerinin doğrusal

derlemesi olarak yazılabilir

1 1 2 2 n nu u u= + + +u e e eL

Bu ifadeye u konum vektoumlruumlnuumln ANALİTİK goumlsterimi denir


Teorem ( )1 2 3 1 2 3 u u u u u u= + + =u i j k

( )1 2 3 1 2 3 v v v v v v= + + =v i j k ve k isin olmak uumlzere

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3u v u v u v+ = + + + + +u v i j k

( )1 2 3 1 2 3 k ku ku ku ku ku ku= + + =u i j k

28

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ İki Boyut

Ox

y

ir

jr

P

M(xy) ( )M x y

OM OP PM= +r r r

OP x= ir

PM y= jr

OM x y= +i jr

29

ir j

r

z

y

x

O

kr

OM xi y j zk= + +uuuur rr r

[ ]OM x y z=uuuur

M(xyz)

Şekil5

VEKTOumlRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Uumlccedil Boyut Vektoumlrlerin Ccedilarpımı

1 Skaler Ccedilarpım

2 Vektoumlrel Ccedilarpım

Skaler Ccedilarpım

Tanım ur

ve vr

gibi sıfırdan farklı iki vektoumlruumln skaler ccedilarpımı

uvrr

ile goumlsterilir

uv u v Cosθ=rr r r

0 θ πlt lt

θ vektoumlrler arasındaki accedilıdır

Oumlnemli Ccedilarpım sonucu skaler bir buumlyuumlkluumlktuumlr

Skaler ccedilarpım İccedil (inner) Ccedilarpım ya da Nokta (dot) Ccedilarpım

olarak da adlandırılır

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamıuv OAOB=r rrr

OC OB=r r

OC OB=r r

OCCos

OAθ =

r

r

OC OA Cosθ=r r

uv OB OA Cosθ=rrrr

uv u v Cosθ=rr r r

Skaler Ccedilarpım Geometrik Anlamı1İki vektoumlr birbirine dik (ortogonal) ise θ=π2 olup skaler

ccedilarpım

uv u v Cosθ=rr r r

0=

2 İki vektoumlruumln youmlnleri aynı ise θ=0 olup skaler ccedilarpım

uv u v Cosθ=rr r r

u v=r r

3 İki vektoumlruumln youmlnleri zıt ise θ=π olup skaler ccedilarpım

uv u v Cosθ=rr r r

u v= minusr r

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r

Skaler ccedilarpımının analitik ifadesi

( )( )1 2 3 1 2 3uv u i u j u k v i v j v k= + + + +r rr r r rrr

1 1 1 2 1 3u v ii u v ij u v ik= + +rrr rr r

2 1 2 2 2 3u v ji u v jj u v jk+ + +rrr rr r

3 1 3 2 3 3u v ki u v kj u v kk+ + +r r rrr r

Skaler Ccedilarpım Analitik AnlamıBirim vektoumlrlerin skaler ccedilarpımı

1ii jj kk= = =rrrr rr

ve 0ij ik jk= = =r rrr r r

Skaler ccedilarpım sonucu

1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr

Genel durum n-boyutlu vektoumlrler iccedilin

1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr

L

1

n

r r

r

u v=

=sum

İki Vektoumlr Arasındaki Accedilı

uvCos

u vθ =

rr

1 1 2 2 n nu v u v u v

Cosu v

θ+ + +

=L

u

v

Ortogonal (Dik) Vektoumlrlern- boyutlu iki vektoumlr

( )1 2 nu u u u=r

K ( )1 2 nv v v v=r

K

Birbirine Ortogonal (dik) ise

1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr

L

38

Skaler Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr

sıfır olmayan uumlccedil vektoumlr olmak uumlzere

uvvuarrrr

) =

)() 22 uuuuubrrrrr

==

wuvuwvucrrrrrrr

)() +=+

)()()() vmuvumvumdrrrrrr

== (m skaler)

11) =rArr= uuuerrr

0) =hArrperp vuvufrrrr

Vektoumlrel Ccedilarpım

ur

vv

vurr

and

θ

Tanım Sıfırdan farklı ur

ve vr

gibi iki

vektoumlruumln vektoumlrel ccedilarpımı

u vandr r

ya da u vtimesr r

ile goumlsterilir

w u v e u v Sinθ= and =r r r r r r

Vektoumlrel ccedilarpımın sonucu bir vektoumlrduumlr

Doğrultusu ur

ve vr

vektoumlrlerinin

oluşturduğu duumlzleme diktir

Vektoumlrel Ccedilarpım Paralelkenarın Alanı

u ve v vektoumlrleri duumlzlemde bir paralelkenar tanımlar Paralelkenarın alanı A olsun Şekilden goumlruumllebileceği gibi

sinθu paralelkenarın yuumlksekliği

v paralelkenarı taban uzunluğunu

verir

( )( )A taban yuumlkseklik=

sinθ= v u

Vektoumlrel Ccedilarpım Sonuccedil

u ve v vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımından elde edilen = andw u v vektoumlruumlnuumln uzunluğu u ve v vektoumlrlerinin

tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir

Birim Vektoumlrlerin Vektoumlrel CcedilarpımıDairesel Permuumltasyon

0i iand =r r

i j kand =rr r

i k jand = minusrr r

j i kand = minusrr r

0j jand =r r

j k iand =rr r

k i jand =r r r

k j iand = minusr r r

0k kand =r r

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesiUumlccedil boyutlu iki vektoumlruumln

( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r


( ) ( )1 2 3 1 2 3u v u i u j u k v i v j v kand = + + and + +r rr r r rr r

1 1 1 2 1 3u v i i u v i j u v i k= and + and + andrr r r r r

2 1 2 2 2 3u v j i u v j j u v j k+ and + and + andrr r r r r

3 1 3 2 3 3u v k i u v k j u v k k+ and + and + andr r r rr r

Vektoumlrel Ccedilarpım Analitik İfadesi

Birim vektoumlrlerin vektoumlrel ccedilarpımları kullanılarak

( ) ( ) ( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1u v u v u v i u v u v j u v u v kand = minus + minus + minusrr rr r

( )2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 u v u v u v u v u v u v= minus minus minus

Not Determinant konusu ile ilişkilidir


Teorem Eğer u ve v uumlccedil boyutlu uzaydaki iki vektoumlr ise 1 ( ) 0and =u u v

andu v vektoumlruuml u vektoumlruumlne ortogonaldir 2 ( ) 0and =v u v

andu v vektoumlruuml v vektoumlruumlne ortogonaldir

3 ( )22 2 2

and = minusu v u v u v

Lagrange oumlzdeşliği

Vektoumlrel Ccedilarpım Determinant İfadesi

222

11121

zyx

zyx

kji

vv

rrr

rr=and

Uumlccedilluuml Vektoumlrel CcedilarpımTanım u

r vr

ve wr

vektoumlrlerinin uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımı

( ) ( ) ( )u v w uw v uv wand and = minusr r r r r r rr r

Uumlccedilluuml vektoumlrel ccedilarpımın sonucu yine bir vektoumlrduumlr

( )u v wand andr r r

ccedilarpım vektoumlruuml

vr

ve wr

vektoumlrlerinin oluşturduğu duumlzleme paralel

v wandr r

ikili vektoumlrel ccedilarpım vektoumlruumlne dik bir vektoumlrduumlr

48

Vektoumlrel Ccedilarpımın Oumlzellikleriwvurrr


uvvuarrrr

andminus=and)

wuvuwvubrrrrrrr

and+and=+and )()

)()()() vmuvumvumcrrrrrr

and=and=and (m skaler)

0) paraleldirvileuvudrrrrr

hArr=and

e) ur ve v

r vektoumlrlerinin vektoumlrel ccedilarpımının değeri

(skaler buumlyuumlkluumlğuuml) ur ve v

r vektoumlrleri uumlzerine

kurulan PARALELKENARrsquoın alanını verir

Karışık CcedilarpımTanım u

r vr

ve wr

aynı duumlzlemde bulunmayan uumlccedil vektoumlr

olmak uumlzere

( )u v w u v w Cosθand = andr r r r r r

ccedilarpımına karışık ccedilarpım denir

Karışık ccedilarpım v wandr r

vektoumlruuml ile ur

vektoumlruumlnuumln skaler ccedilarpımı

olduğu iccedilin sonuccedil bir skalerdir

Karışık Ccedilarpım Geometrik Anlamı


( )u v w v w u Cosθand = andr r r r r r

İlk bileşen v wandr r

OBCD paralelkenarının alanı

İkinci bileşen u Cosθr

paralelyuumlzuumln yuumlksekliği

Karışık Ccedilarpım ur

vr

ve wr

vektoumlrleri uumlzerine kurulan paralelyuumlzuumln hacmine eşittir

52

Karışık Ccedilarpım Determinat İfadesi

333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu =andrrr

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml

bull Vektoumlrel İzduumlşuumlm

bull Skaler İzduumlşuumlm

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuumlox ekseni iccedilin birim vektoumlr e

r olsun

OAr

vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki vektoumlrel izduumlşuumlmuuml

izd OA OB=r r

OB OB e=r r r

OB OA Cos eθ=rr r

OAr

vektoumlruumlnuumln ox ekseni uumlzerindeki skale izduumlşuumlmuuml

OB OA Cosθ=rr

ya da

OB OA e=rr r

Vektoumlrlerin İzduumlşuumlmuuml Geometrik

56

BİRİNCİBOumlLUumlM BİTTİİİİİİİ

GENEL TANIMLARTanım Başlangıccedil ve bitim noktaları ccedilakışık olan vektoumlre

SIFIR vektoumlruuml denir

AAr

ya da 0r

Sıfır vektoumlruuml sonsuz sayıda doğrultu ve youmlne sahiptir

Tanım Sabit bir başlangıccedil noktasına sahip olan vektoumlre

KONUMYER vektoumlruuml denir

Tanım Başlangıccedil noktası sabit bir doğru uumlzerinde değişen

vektoumlre KAYAN vektoumlr denir

Tanım Eğer başlangıccedil noktası uumlzerinde hiccedilbir kısıt yoksa

SERBEST vektoumlr denir 6

GENEL TANIMLAR

u

u -u

vTanım u ile v gibi iki vektoumlruumln youmlnleri aynı ve buumlyuumlkluumlkleri eşit ise EŞİT vektoumlrlerdir u=v

Tanım u ile youmlnuuml zıt fakat buumlyuumlkluumlğuuml eşit olan vektoumlr

-u ile goumlsterilir

VEKTOumlREL İŞLEMLER ToplamaTanım u ve v gibi ili vektoumlruumln toplamı v vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını u vektoumlruumlnuumln bitim noktasına yerleştirdikten sonra u vektoumlruumlnuumln başlangıccedil noktasını v vektoumlruumlnuumln bitim noktasına birleştiren vektoumlrduumlr

( )1 2u u=u ( )1 2v v=v ise

( )1 1 2 2u v u v+ = + +u v

Vektoumlrlerin toplamı yine bir vektoumlrduumlr vu

w

VEKTOumlREL İŞLEMLER Toplama

u+v toplam vektoumlruuml u ve v vektoumlrlerinin oluşturduğu

Paralelkenarın koumlşegenlerinden birine eşittir



v1

v2

v3 v4

vnV






1 2 n= + + +v v v vL



u ku






-ku u







u+(-u)=0




u+(-v)=u-v=w


u+v

-vw






rr r




AB B A= minusr



KB KA ABminus =rr r




2 2 21 2 n

u u u= + + +u L




uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA= = +

r r rr

2 22

OB BC CA= + +r rr

2 2 2x y z= + +

Uzunluk

2 2 2r x y z= + +r



N =u

uu



N=u u u




( )1 2 nu u u=u K

2 2 21 2 n

u u u= + + +u L

ise

1 2 nN

uu u =

uu u u

K





( ) ( ) ( )2 2 2







( )100=i ( )010=j ( )001=k


e1 e2hellipen




vektoumlruumlne A




OB OD OE= + +r r r




yazılabilir

1 2 3u u u= + +u i j k






1 1 2 2 n nu u u= + + +u e e eL





( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3u v u v u v+ = + + + + +u v i j k


28


Ox

y

ir

jr

P

M(xy) ( )M x y

OM OP PM= +r r r

OP x= ir

PM y= jr

OM x y= +i jr

29

ir j

r

z

y

x

O

kr


[ ]OM x y z=uuuur

M(xyz)

Şekil5




Skaler Ccedilarpım

Tanım ur

ve vr


uvrr

ile goumlsterilir

uv u v Cosθ=rr r r

0 θ πlt lt






OC OB=r r

OC OB=r r

OCCos

OAθ =

r

r

OC OA Cosθ=r r

uv OB OA Cosθ=rrrr

uv u v Cosθ=rr r r


ccedilarpım

uv u v Cosθ=rr r r

0=


uv u v Cosθ=rr r r

u v=r r


uv u v Cosθ=rr r r

u v= minusr r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r










1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr


1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr

L

1

n

r r

r

u v=

=sum


uvCos

u vθ =

rr

1 1 2 2 n nu v u v u v

Cosu v

θ+ + +

=L

u

v


( )1 2 nu u u u=r

K ( )1 2 nv v v v=r

K


1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr

L

38



uvvuarrrr

) =

)() 22 uuuuubrrrrr

==

wuvuwvucrrrrrrr

)() +=+


== (m skaler)

11) =rArr= uuuerrr



ur

vv

vurr

and

θ


ve vr

gibi iki


u vandr r

ya da u vtimesr r

ile goumlsterilir



Doğrultusu ur

ve vr

vektoumlrlerinin






verir


sinθ= v u





0i iand =r r

i j kand =rr r



0j jand =r r

j k iand =rr r

k i jand =r r r


0k kand =r r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r















3 ( )22 2 2




222

11121

zyx

zyx

kji

vv

rrr

rr=and


r vr

ve wr






vr

ve wr


v wandr r


48



uvvuarrrr

andminus=and)

wuvuwvubrrrrrrr

and+and=+and )()




hArr=and

e) ur ve v






r vr

ve wr


olmak uumlzere















vr

ve wr


52


333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu =andrrr





r olsun

OAr


izd OA OB=r r

OB OB e=r r r

OB OA Cos eθ=rr r

OAr


OB OA Cosθ=rr

ya da

OB OA e=rr r


56



v1

v2

v3 v4

vnV






1 2 n= + + +v v v vL



u ku






-ku u







u+(-u)=0




u+(-v)=u-v=w


u+v

-vw






rr r




AB B A= minusr



KB KA ABminus =rr r




2 2 21 2 n

u u u= + + +u L




uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA= = +

r r rr

2 22

OB BC CA= + +r rr

2 2 2x y z= + +

Uzunluk

2 2 2r x y z= + +r



N =u

uu



N=u u u




( )1 2 nu u u=u K

2 2 21 2 n

u u u= + + +u L

ise

1 2 nN

uu u =

uu u u

K





( ) ( ) ( )2 2 2







( )100=i ( )010=j ( )001=k


e1 e2hellipen




vektoumlruumlne A




OB OD OE= + +r r r




yazılabilir

1 2 3u u u= + +u i j k






1 1 2 2 n nu u u= + + +u e e eL





( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3u v u v u v+ = + + + + +u v i j k


28


Ox

y

ir

jr

P

M(xy) ( )M x y

OM OP PM= +r r r

OP x= ir

PM y= jr

OM x y= +i jr

29

ir j

r

z

y

x

O

kr


[ ]OM x y z=uuuur

M(xyz)

Şekil5




Skaler Ccedilarpım

Tanım ur

ve vr


uvrr

ile goumlsterilir

uv u v Cosθ=rr r r

0 θ πlt lt






OC OB=r r

OC OB=r r

OCCos

OAθ =

r

r

OC OA Cosθ=r r

uv OB OA Cosθ=rrrr

uv u v Cosθ=rr r r


ccedilarpım

uv u v Cosθ=rr r r

0=


uv u v Cosθ=rr r r

u v=r r


uv u v Cosθ=rr r r

u v= minusr r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r










1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr


1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr

L

1

n

r r

r

u v=

=sum


uvCos

u vθ =

rr

1 1 2 2 n nu v u v u v

Cosu v

θ+ + +

=L

u

v


( )1 2 nu u u u=r

K ( )1 2 nv v v v=r

K


1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr

L

38



uvvuarrrr

) =

)() 22 uuuuubrrrrr

==

wuvuwvucrrrrrrr

)() +=+


== (m skaler)

11) =rArr= uuuerrr



ur

vv

vurr

and

θ


ve vr

gibi iki


u vandr r

ya da u vtimesr r

ile goumlsterilir



Doğrultusu ur

ve vr

vektoumlrlerinin






verir


sinθ= v u





0i iand =r r

i j kand =rr r



0j jand =r r

j k iand =rr r

k i jand =r r r


0k kand =r r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r















3 ( )22 2 2




222

11121

zyx

zyx

kji

vv

rrr

rr=and


r vr

ve wr






vr

ve wr


v wandr r


48



uvvuarrrr

andminus=and)

wuvuwvubrrrrrrr

and+and=+and )()




hArr=and

e) ur ve v






r vr

ve wr


olmak uumlzere















vr

ve wr


52


333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu =andrrr





r olsun

OAr


izd OA OB=r r

OB OB e=r r r

OB OA Cos eθ=rr r

OAr


OB OA Cosθ=rr

ya da

OB OA e=rr r


56







rr r




AB B A= minusr



KB KA ABminus =rr r




2 2 21 2 n

u u u= + + +u L




uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA= = +

r r rr

2 22

OB BC CA= + +r rr

2 2 2x y z= + +

Uzunluk

2 2 2r x y z= + +r



N =u

uu



N=u u u




( )1 2 nu u u=u K

2 2 21 2 n

u u u= + + +u L

ise

1 2 nN

uu u =

uu u u

K





( ) ( ) ( )2 2 2







( )100=i ( )010=j ( )001=k


e1 e2hellipen




vektoumlruumlne A




OB OD OE= + +r r r




yazılabilir

1 2 3u u u= + +u i j k






1 1 2 2 n nu u u= + + +u e e eL





( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3u v u v u v+ = + + + + +u v i j k


28


Ox

y

ir

jr

P

M(xy) ( )M x y

OM OP PM= +r r r

OP x= ir

PM y= jr

OM x y= +i jr

29

ir j

r

z

y

x

O

kr


[ ]OM x y z=uuuur

M(xyz)

Şekil5




Skaler Ccedilarpım

Tanım ur

ve vr


uvrr

ile goumlsterilir

uv u v Cosθ=rr r r

0 θ πlt lt






OC OB=r r

OC OB=r r

OCCos

OAθ =

r

r

OC OA Cosθ=r r

uv OB OA Cosθ=rrrr

uv u v Cosθ=rr r r


ccedilarpım

uv u v Cosθ=rr r r

0=


uv u v Cosθ=rr r r

u v=r r


uv u v Cosθ=rr r r

u v= minusr r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r










1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr


1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr

L

1

n

r r

r

u v=

=sum


uvCos

u vθ =

rr

1 1 2 2 n nu v u v u v

Cosu v

θ+ + +

=L

u

v


( )1 2 nu u u u=r

K ( )1 2 nv v v v=r

K


1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr

L

38



uvvuarrrr

) =

)() 22 uuuuubrrrrr

==

wuvuwvucrrrrrrr

)() +=+


== (m skaler)

11) =rArr= uuuerrr



ur

vv

vurr

and

θ


ve vr

gibi iki


u vandr r

ya da u vtimesr r

ile goumlsterilir



Doğrultusu ur

ve vr

vektoumlrlerinin






verir


sinθ= v u





0i iand =r r

i j kand =rr r



0j jand =r r

j k iand =rr r

k i jand =r r r


0k kand =r r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r















3 ( )22 2 2




222

11121

zyx

zyx

kji

vv

rrr

rr=and


r vr

ve wr






vr

ve wr


v wandr r


48



uvvuarrrr

andminus=and)

wuvuwvubrrrrrrr

and+and=+and )()




hArr=and

e) ur ve v






r vr

ve wr


olmak uumlzere















vr

ve wr


52


333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu =andrrr





r olsun

OAr


izd OA OB=r r

OB OB e=r r r

OB OA Cos eθ=rr r

OAr


OB OA Cosθ=rr

ya da

OB OA e=rr r


56




uzunluğunun karesi

2 2 22r OA OC CA= = +

r r rr

2 22

OB BC CA= + +r rr

2 2 2x y z= + +

Uzunluk

2 2 2r x y z= + +r



N =u

uu



N=u u u




( )1 2 nu u u=u K

2 2 21 2 n

u u u= + + +u L

ise

1 2 nN

uu u =

uu u u

K





( ) ( ) ( )2 2 2







( )100=i ( )010=j ( )001=k


e1 e2hellipen




vektoumlruumlne A




OB OD OE= + +r r r




yazılabilir

1 2 3u u u= + +u i j k






1 1 2 2 n nu u u= + + +u e e eL





( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3u v u v u v+ = + + + + +u v i j k


28


Ox

y

ir

jr

P

M(xy) ( )M x y

OM OP PM= +r r r

OP x= ir

PM y= jr

OM x y= +i jr

29

ir j

r

z

y

x

O

kr


[ ]OM x y z=uuuur

M(xyz)

Şekil5




Skaler Ccedilarpım

Tanım ur

ve vr


uvrr

ile goumlsterilir

uv u v Cosθ=rr r r

0 θ πlt lt






OC OB=r r

OC OB=r r

OCCos

OAθ =

r

r

OC OA Cosθ=r r

uv OB OA Cosθ=rrrr

uv u v Cosθ=rr r r


ccedilarpım

uv u v Cosθ=rr r r

0=


uv u v Cosθ=rr r r

u v=r r


uv u v Cosθ=rr r r

u v= minusr r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r










1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr


1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr

L

1

n

r r

r

u v=

=sum


uvCos

u vθ =

rr

1 1 2 2 n nu v u v u v

Cosu v

θ+ + +

=L

u

v


( )1 2 nu u u u=r

K ( )1 2 nv v v v=r

K


1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr

L

38



uvvuarrrr

) =

)() 22 uuuuubrrrrr

==

wuvuwvucrrrrrrr

)() +=+


== (m skaler)

11) =rArr= uuuerrr



ur

vv

vurr

and

θ


ve vr

gibi iki


u vandr r

ya da u vtimesr r

ile goumlsterilir



Doğrultusu ur

ve vr

vektoumlrlerinin






verir


sinθ= v u





0i iand =r r

i j kand =rr r



0j jand =r r

j k iand =rr r

k i jand =r r r


0k kand =r r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r















3 ( )22 2 2




222

11121

zyx

zyx

kji

vv

rrr

rr=and


r vr

ve wr






vr

ve wr


v wandr r


48



uvvuarrrr

andminus=and)

wuvuwvubrrrrrrr

and+and=+and )()




hArr=and

e) ur ve v






r vr

ve wr


olmak uumlzere















vr

ve wr


52


333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu =andrrr





r olsun

OAr


izd OA OB=r r

OB OB e=r r r

OB OA Cos eθ=rr r

OAr


OB OA Cosθ=rr

ya da

OB OA e=rr r


56







( )100=i ( )010=j ( )001=k


e1 e2hellipen




vektoumlruumlne A




OB OD OE= + +r r r




yazılabilir

1 2 3u u u= + +u i j k






1 1 2 2 n nu u u= + + +u e e eL





( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3u v u v u v+ = + + + + +u v i j k


28


Ox

y

ir

jr

P

M(xy) ( )M x y

OM OP PM= +r r r

OP x= ir

PM y= jr

OM x y= +i jr

29

ir j

r

z

y

x

O

kr


[ ]OM x y z=uuuur

M(xyz)

Şekil5




Skaler Ccedilarpım

Tanım ur

ve vr


uvrr

ile goumlsterilir

uv u v Cosθ=rr r r

0 θ πlt lt






OC OB=r r

OC OB=r r

OCCos

OAθ =

r

r

OC OA Cosθ=r r

uv OB OA Cosθ=rrrr

uv u v Cosθ=rr r r


ccedilarpım

uv u v Cosθ=rr r r

0=


uv u v Cosθ=rr r r

u v=r r


uv u v Cosθ=rr r r

u v= minusr r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r










1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr


1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr

L

1

n

r r

r

u v=

=sum


uvCos

u vθ =

rr

1 1 2 2 n nu v u v u v

Cosu v

θ+ + +

=L

u

v


( )1 2 nu u u u=r

K ( )1 2 nv v v v=r

K


1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr

L

38



uvvuarrrr

) =

)() 22 uuuuubrrrrr

==

wuvuwvucrrrrrrr

)() +=+


== (m skaler)

11) =rArr= uuuerrr



ur

vv

vurr

and

θ


ve vr

gibi iki


u vandr r

ya da u vtimesr r

ile goumlsterilir



Doğrultusu ur

ve vr

vektoumlrlerinin






verir


sinθ= v u





0i iand =r r

i j kand =rr r



0j jand =r r

j k iand =rr r

k i jand =r r r


0k kand =r r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r















3 ( )22 2 2




222

11121

zyx

zyx

kji

vv

rrr

rr=and


r vr

ve wr






vr

ve wr


v wandr r


48



uvvuarrrr

andminus=and)

wuvuwvubrrrrrrr

and+and=+and )()




hArr=and

e) ur ve v






r vr

ve wr


olmak uumlzere















vr

ve wr


52


333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu =andrrr





r olsun

OAr


izd OA OB=r r

OB OB e=r r r

OB OA Cos eθ=rr r

OAr


OB OA Cosθ=rr

ya da

OB OA e=rr r


56





yazılabilir

1 2 3u u u= + +u i j k






1 1 2 2 n nu u u= + + +u e e eL





( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3u v u v u v+ = + + + + +u v i j k


28


Ox

y

ir

jr

P

M(xy) ( )M x y

OM OP PM= +r r r

OP x= ir

PM y= jr

OM x y= +i jr

29

ir j

r

z

y

x

O

kr


[ ]OM x y z=uuuur

M(xyz)

Şekil5




Skaler Ccedilarpım

Tanım ur

ve vr


uvrr

ile goumlsterilir

uv u v Cosθ=rr r r

0 θ πlt lt






OC OB=r r

OC OB=r r

OCCos

OAθ =

r

r

OC OA Cosθ=r r

uv OB OA Cosθ=rrrr

uv u v Cosθ=rr r r


ccedilarpım

uv u v Cosθ=rr r r

0=


uv u v Cosθ=rr r r

u v=r r


uv u v Cosθ=rr r r

u v= minusr r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r










1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr


1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr

L

1

n

r r

r

u v=

=sum


uvCos

u vθ =

rr

1 1 2 2 n nu v u v u v

Cosu v

θ+ + +

=L

u

v


( )1 2 nu u u u=r

K ( )1 2 nv v v v=r

K


1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr

L

38



uvvuarrrr

) =

)() 22 uuuuubrrrrr

==

wuvuwvucrrrrrrr

)() +=+


== (m skaler)

11) =rArr= uuuerrr



ur

vv

vurr

and

θ


ve vr

gibi iki


u vandr r

ya da u vtimesr r

ile goumlsterilir



Doğrultusu ur

ve vr

vektoumlrlerinin






verir


sinθ= v u





0i iand =r r

i j kand =rr r



0j jand =r r

j k iand =rr r

k i jand =r r r


0k kand =r r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r















3 ( )22 2 2




222

11121

zyx

zyx

kji

vv

rrr

rr=and


r vr

ve wr






vr

ve wr


v wandr r


48



uvvuarrrr

andminus=and)

wuvuwvubrrrrrrr

and+and=+and )()




hArr=and

e) ur ve v






r vr

ve wr


olmak uumlzere















vr

ve wr


52


333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu =andrrr





r olsun

OAr


izd OA OB=r r

OB OB e=r r r

OB OA Cos eθ=rr r

OAr


OB OA Cosθ=rr

ya da

OB OA e=rr r


56


29

ir j

r

z

y

x

O

kr


[ ]OM x y z=uuuur

M(xyz)

Şekil5




Skaler Ccedilarpım

Tanım ur

ve vr


uvrr

ile goumlsterilir

uv u v Cosθ=rr r r

0 θ πlt lt






OC OB=r r

OC OB=r r

OCCos

OAθ =

r

r

OC OA Cosθ=r r

uv OB OA Cosθ=rrrr

uv u v Cosθ=rr r r


ccedilarpım

uv u v Cosθ=rr r r

0=


uv u v Cosθ=rr r r

u v=r r


uv u v Cosθ=rr r r

u v= minusr r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r










1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr


1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr

L

1

n

r r

r

u v=

=sum


uvCos

u vθ =

rr

1 1 2 2 n nu v u v u v

Cosu v

θ+ + +

=L

u

v


( )1 2 nu u u u=r

K ( )1 2 nv v v v=r

K


1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr

L

38



uvvuarrrr

) =

)() 22 uuuuubrrrrr

==

wuvuwvucrrrrrrr

)() +=+


== (m skaler)

11) =rArr= uuuerrr



ur

vv

vurr

and

θ


ve vr

gibi iki


u vandr r

ya da u vtimesr r

ile goumlsterilir



Doğrultusu ur

ve vr

vektoumlrlerinin






verir


sinθ= v u





0i iand =r r

i j kand =rr r



0j jand =r r

j k iand =rr r

k i jand =r r r


0k kand =r r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r















3 ( )22 2 2




222

11121

zyx

zyx

kji

vv

rrr

rr=and


r vr

ve wr






vr

ve wr


v wandr r


48



uvvuarrrr

andminus=and)

wuvuwvubrrrrrrr

and+and=+and )()




hArr=and

e) ur ve v






r vr

ve wr


olmak uumlzere















vr

ve wr


52


333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu =andrrr





r olsun

OAr


izd OA OB=r r

OB OB e=r r r

OB OA Cos eθ=rr r

OAr


OB OA Cosθ=rr

ya da

OB OA e=rr r


56



ccedilarpım

uv u v Cosθ=rr r r

0=


uv u v Cosθ=rr r r

u v=r r


uv u v Cosθ=rr r r

u v= minusr r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r










1 1 2 2 3 3uv u v u v u v= + +rr


1 1 2 2 n nuv u v u v u v= + + +rr

L

1

n

r r

r

u v=

=sum


uvCos

u vθ =

rr

1 1 2 2 n nu v u v u v

Cosu v

θ+ + +

=L

u

v


( )1 2 nu u u u=r

K ( )1 2 nv v v v=r

K


1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr

L

38



uvvuarrrr

) =

)() 22 uuuuubrrrrr

==

wuvuwvucrrrrrrr

)() +=+


== (m skaler)

11) =rArr= uuuerrr



ur

vv

vurr

and

θ


ve vr

gibi iki


u vandr r

ya da u vtimesr r

ile goumlsterilir



Doğrultusu ur

ve vr

vektoumlrlerinin






verir


sinθ= v u





0i iand =r r

i j kand =rr r



0j jand =r r

j k iand =rr r

k i jand =r r r


0k kand =r r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r















3 ( )22 2 2




222

11121

zyx

zyx

kji

vv

rrr

rr=and


r vr

ve wr






vr

ve wr


v wandr r


48



uvvuarrrr

andminus=and)

wuvuwvubrrrrrrr

and+and=+and )()




hArr=and

e) ur ve v






r vr

ve wr


olmak uumlzere















vr

ve wr


52


333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu =andrrr





r olsun

OAr


izd OA OB=r r

OB OB e=r r r

OB OA Cos eθ=rr r

OAr


OB OA Cosθ=rr

ya da

OB OA e=rr r


56



( )1 2 nu u u u=r

K ( )1 2 nv v v v=r

K


1 1 2 2 0n nuv u v u v u v= + + + =rr

L

38



uvvuarrrr

) =

)() 22 uuuuubrrrrr

==

wuvuwvucrrrrrrr

)() +=+


== (m skaler)

11) =rArr= uuuerrr



ur

vv

vurr

and

θ


ve vr

gibi iki


u vandr r

ya da u vtimesr r

ile goumlsterilir



Doğrultusu ur

ve vr

vektoumlrlerinin






verir


sinθ= v u





0i iand =r r

i j kand =rr r



0j jand =r r

j k iand =rr r

k i jand =r r r


0k kand =r r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r















3 ( )22 2 2




222

11121

zyx

zyx

kji

vv

rrr

rr=and


r vr

ve wr






vr

ve wr


v wandr r


48



uvvuarrrr

andminus=and)

wuvuwvubrrrrrrr

and+and=+and )()




hArr=and

e) ur ve v






r vr

ve wr


olmak uumlzere















vr

ve wr


52


333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu =andrrr





r olsun

OAr


izd OA OB=r r

OB OB e=r r r

OB OA Cos eθ=rr r

OAr


OB OA Cosθ=rr

ya da

OB OA e=rr r


56






0i iand =r r

i j kand =rr r



0j jand =r r

j k iand =rr r

k i jand =r r r


0k kand =r r


( )1 2 3 u u u u=r

( )1 2 3 v v v v=r















3 ( )22 2 2




222

11121

zyx

zyx

kji

vv

rrr

rr=and


r vr

ve wr






vr

ve wr


v wandr r


48



uvvuarrrr

andminus=and)

wuvuwvubrrrrrrr

and+and=+and )()




hArr=and

e) ur ve v






r vr

ve wr


olmak uumlzere















vr

ve wr


52


333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu =andrrr





r olsun

OAr


izd OA OB=r r

OB OB e=r r r

OB OA Cos eθ=rr r

OAr


OB OA Cosθ=rr

ya da

OB OA e=rr r


56






3 ( )22 2 2




222

11121

zyx

zyx

kji

vv

rrr

rr=and


r vr

ve wr






vr

ve wr


v wandr r


48



uvvuarrrr

andminus=and)

wuvuwvubrrrrrrr

and+and=+and )()




hArr=and

e) ur ve v






r vr

ve wr


olmak uumlzere















vr

ve wr


52


333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu =andrrr





r olsun

OAr


izd OA OB=r r

OB OB e=r r r

OB OA Cos eθ=rr r

OAr


OB OA Cosθ=rr

ya da

OB OA e=rr r


56



r vr

ve wr


olmak uumlzere















vr

ve wr


52


333

222

111

)(

zyx

zyx

zyx

wvu =andrrr





r olsun

OAr


izd OA OB=r r

OB OB e=r r r

OB OA Cos eθ=rr r

OAr


OB OA Cosθ=rr

ya da

OB OA e=rr r


56






r olsun

OAr


izd OA OB=r r

OB OB e=r r r

OB OA Cos eθ=rr r

OAr


OB OA Cosθ=rr

ya da

OB OA e=rr r


56


Documents

VEKTÖRLER · AB b b a a= + − −(1 2 1 2, ,) ( ) r AB b a b a= − −(1 1 2 2,) r AB B A= − r İki Noktanın Tanımladığı Vektör Tanım: İki boyutlu uzayda (düzlemde)