Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Definisi
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
Misalkan matriks 𝑚 × 𝑛 :
Vektor – vektor
1 11 12 1
2 21 22 2
1 2
[ ]
[ ]
[ ]
n
n
m m m mn
r a a a
r a a a
r a a a
=
=
=
Pada 𝑅𝑛 yang dibentuk dari baris-baris
Matriks A disebut sebagai vektor baris.
Sedangkan vektor – vektor
11 12 1
21 22 2
1 2
1 2
, , ,
n
n
n
m m mn
a a a
a a ac c c
a a a
= = =
Pada 𝑅𝑚 yang dibentuk dari kolom-kolom
matriks A disebut sebagai vektor kolom.
Definisi
Jika A adalah matriks 𝑚 × 𝑛 maka subruang dari 𝑅𝑛
yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut
ruang baris dari A, dan subruang dari 𝑅𝑚 yang
direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut
ruang kolom dari A. Ruang solusi dari sistem
persamaan yang homogen 𝐴𝑥 = 0 yang merupakan
subruang dari 𝑅𝑛 disebut ruang null dari A.
Teorema
Jika A dan B adalah matriks-matriks yang ekuivalen baris,
maka
a. Suatu himpunan vektor-vektor kolom dari A tertentu adalah
bebas linear jika dan hanya jika vektor – vektor kolom yang
bersesuaian dari B adalah bebas linear
b. Suatu himpunan vektor-vektor kolom dari A tertentu
membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari A jika dan
hanya jika vektor-vektor kolom yang bersesuaian dari B
membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari B.
Teorema
Jika suatu matriks R berada dalam bentuk eselon baris, maka
vektor vektor baris dengan 1 utama membentuk suatu basis
untuk ruang baris dari R dan Vektor-vektor kolom dengan 1
utama dari vektor-vektor baris membentuk Suatu basis untuk
ruang kolom dari R
Teorema
Jika A adalah matriks sebarang, maka ruang baris dan ruang
kolom dari A memiliki dimensi yang sama.
Definisi
Dimensi umum dari ruang baris dan ruang kolom dari
suatu matriks A disebut rank dari A (notasi : rank(A));
dimensi ruang nul dari A disebut sebagai nulitas dari
A (notasi : nulitas(A))
Teorema
Jika A adalah matriks dengan 𝑛 kolom, maka
𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 + 𝑛𝑢𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 𝐴 = 𝑛
1 2 1 1
1 2 3 1
1 2 2 1
A
− − −
= − −
Vektor baris
Vektor kolom
Misalkan matriks :
dengan melakukan OBE diperoleh :
Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE
matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :
1 1
1 , 3
1 2
− −
Basis ruang baris diperoleh dengan cara,
Mentransposkan terlebih dahulu matriks A,
lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :
Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki
satu utama berseseuaian dengan matriks 𝐴𝑡.
Ini berarti,
matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :
1 1
2 2,
1 3
1 1
− −
− −
Contoh :
Diberikan SPL homogen :
2p + q – 2r – 2s = 0
p – q + 2r – s = 0
–p + 2q – 4r + s = 0
3p – 3s = 0
Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas
Jawab :
SPL dapat ditulis dalam bentuk :
2 1 2 2 0
1 1 2 1 0
1 2 4 1 0
3 0 0 3 0
− −
− − − −
−
1 0 0 1 0
0 1 2 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
−
−
1 0
0 2
0 1
1 0
p
qa b
r
s
= +
dengan melakukan OBE diperoleh :
Solusi SPL homogen tersebut adalah :
dimana a, b merupakan parameter.
Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :
1 0
0 2,
0 1
1 0
Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas.
Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.
Terimakasih