Upload
andaya-yaya
View
233
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/23/2019 Vektor Web
1/42
Vektor
Vektor memiliki besaran dan arah.Beberapa besaran fsika yang
dinyatakan dengan vektorseperti :
perpindahan, kecepatandanpercepatan.
Skalar hanya memiliki besaran saja,contoh : temperatur, tekanan, energi,
massadan waktu.
7/23/2019 Vektor Web
2/42
Susunan Koordinat Ruang-n
a. Ruang dimensi satu (R
!
R O P E A
Titik O mewakili bilangan nol ditulis O(0),titik E mewakili bilangan 1 ditulis E(1).
P(2/5) atin!a P mewakili bilangan 2/5 dan Pdiletakkan ke aa" E (aa" #ositi#)se"ingga OP $ 2/5 satuan.
7/23/2019 Vektor Web
3/42
b. Ruang dimensi dua (R"!
Setiap pasangan bilangan riel(koordinat titik! dapat di#akili oleh
sebuah titik pada suatu bidang rata,
yang membentuk susunan koordinat
di dalam ruang dimensi dua, ditulis R".
7/23/2019 Vektor Web
4/42
c. Ruang dimensi tiga (R$!
7/23/2019 Vektor Web
5/42
d. Ruang dimensi n (Rn!
Secara umum untuk Rn
adalahpengembangan lebih lan%ut dari R$
dengan n adalah bilangan bulat
positip, maka suatu titik di dalam Rn
dinyatakan sebagai n-urutan bilangan
riel.
&ontoh : 'itik (%1,%2, &&&.%n)
7/23/2019 Vektor Web
6/42
)eometri dan *l%abar Vektor)eometri dan *l%abar Vektor
Vektor dalam Bidang (R"!'idang atesian %, !
*e+nisi gais !ang memiliki aa", !ang men!atakan #e#inda"an satu titik (A) ke titik !ang lain (').
otasi
Titik A titik awal atau eko
Titik ' titik ak"i atau ke#ala
Y
B
A
x
AB
7/23/2019 Vektor Web
7/42
um#ulan titik-titik dalam bidang meu#akan kum#ulanekto !ang be#angkal #ada titik awal di titik asal O.
Pada umumn!a untuk men!atakan ekto denganmenggunakan koodinat.
onto" titik A$(,2), maka #enulisan ekto a + $(,2)
ekto b + $(-
1,)
ekto c +$(2,-1)
OA
OB
OCA
B
C
O
7/23/2019 Vektor Web
8/42
en%umlahan ektor
s a b= +
7/23/2019 Vektor Web
9/42
engikuti hukum :
omutati
a b b a+ = +
7/23/2019 Vektor Web
10/42
Assosiati
( ) ( )a b c a b c+ + = + +
7/23/2019 Vektor Web
11/42
ekto adala" ekto !angmemiliki besaan !ang samadengan ekto teta#ibelawanan aa", bila
di3umla"kan akanmeng"asilkan
b
( ) ( ) 0b b+ =
b
7/23/2019 Vektor Web
12/42
om#onen ekto
meu#akan #o!eksi ekto #ada sumbusistem koodinat
om#onen ekto a cos dan sinx ya a a a = =
disebut komponen skalar atau
komponen
7/23/2019 Vektor Web
13/42
Pen3umla"an ekto dengankom#onen , setia# kom#onen
sama dengan kom#onen
s a b= + s
a b+
x x x
y y y
z z z
s a b
s a b
s a b
= +
= +
= +
7/23/2019 Vektor Web
14/42
'esa ekto
"usus untuk #en3umla"an 2 ekto (), besa ekto da#at di4ai
dengan umus
*alam #e"itungan ekto dibutu"kan umustigonometi
*alil 4osinus
*alil sinus
a 2 2 dan tan xx yy
aa a a
a= + =
s2 2 2 coss a b ab = + +
dana b
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc
b a c ac
c a b ab
= +
= +
= +
sin sin sin
a b c
= =
a
b
c
/
0
1
7/23/2019 Vektor Web
15/42
Vektor satuan:Koordinat Kartesius
ekto satuan #ada aa" #ositi sumbux,ydanzdibei tanda , dani j k
7/23/2019 Vektor Web
16/42
ita da#at tulis ekto dan sebagai
beikut
a b
disebut kom#onen ekt x ya a i a j= +
x yb b i b j= +
7/23/2019 Vektor Web
17/42
erkalian ektor : Perkalian vektor dengan skalar :
ika ekto dikalikan dengan skala sakanmeng"asilkan ekto bau dengan besanilai absolute s dengan aa" 3ika s#ositi, dan belawanan aa" 3ika snegati.ekto dibagi dengan sbeati kita
mengkalikan dengan 1/s.
Perkalian vektor dengan vektor :6eng"asilkan skala 74ala Podu4t
*ikenal sebagai: 2ot product
a
aa
a
7/23/2019 Vektor Web
18/42
Pekalian titik dan #ekalian silanganta ekto satuan dalam koodinat
katesius i . i $ 3 . 3 $ k . k $ 1
i . 3 $ 3 . k $ 8 . k $ 0
i % i $ 3 % 3 $ k % k $ 0
i % 3 $ k 9 3 % i $ - k
i % k $ - 3 9 k % i $ 3
k % 3 $ - i 9 3 % k $ i
7/23/2019 Vektor Web
19/42
2ituliskan secara komponen bagiansebagai berikut :
. ( cos )( ) ( )( cos )a b a b a b = =
Scalar product berlaku hukum komutati3
4ika ditulis dalam ektor satuan, maka perkalian scalar :
2iperoleh hasil akhir sebagai berikut :. .a b b a=
. ( ).( )x y z x y z
a b a i a j a k b i b j b k
= + + + +
. x x y y z za b a b a b a b= + +
7/23/2019 Vektor Web
20/42
enghasilkan ektor :
Dengan besar cadalah :
sinc ab =
xa b c=
Besaran xa b ditulis x 0a b =
jika //a b
dan maksimum jika a b
7/23/2019 Vektor Web
21/42
Aa" dai ekto tegak luus bidang !angbeisi ekto
c
dana b
dikenal sebagai hukum tangan kanan.
x ( x )b a a b=
7/23/2019 Vektor Web
22/42
Penulisan dalam ekto satuan
x ( ) x ( )x y z x y za b a i a j a k b i b j b k = + + + +
x ( x ) 0x x x xa i b i a b i i= =
x ( x )x y x y x ya i b j a b i j a b k = =
Hasil akhir :
x ( ) ( ) ( )y z y z z x z x x y x ya b a b b a i a b b a j a b b a k = + +
7/23/2019 Vektor Web
23/42
aa muda" untuk #ekalian silangdengan mengunakan metode
deteminan
x y z
x y y
i j k
a x b = a a a
b b b
7/23/2019 Vektor Web
24/42
aa lain eduksi mati%
% 2%2
7/23/2019 Vektor Web
25/42
Vektor dalam ruang (R$!
Pen3umla"an ekto dengan kom#onen
ekto satuan
7/23/2019 Vektor Web
26/42
onto"
*iketa"ui u3ung ekto A teletak #ada titik (2,2,2),ekto ' #ada titik (1,2,) dan masing-masingbe#angkal di titik (0,0,0) #ada uang katesius dimensi di bawa" ini
7/23/2019 Vektor Web
27/42
awab ekto a dan b diuaikan #ada sumbu%, ! dan :
7/23/2019 Vektor Web
28/42
7/23/2019 Vektor Web
29/42
erkalian titik (dot product!
7/23/2019 Vektor Web
30/42
ika v$ (1, 2, 0) dan w$ (w1, w2, w0)adala" 2 ekto tak nol. *an ; adala" sudut
antaa vdan w, maka "ukum 4osinusmeng"asilkan
7/23/2019 Vektor Web
31/42
7/23/2019 Vektor Web
32/42
7/23/2019 Vektor Web
33/42
7/23/2019 Vektor Web
34/42
onto"
aila" u " v dengan u$ (1, 2, -2) dan v$
(, 0, 1)awab 1 2 -2
3 0 1
( )
2 -2 1 -2 1 2 x ! , ,
0 1 3 1 3 0
2, ", #
=
=
7/23/2019 Vektor Web
35/42
7/23/2019 Vektor Web
36/42
7/23/2019 Vektor Web
37/42
Vektor di ruang dimensi n (Rn!
7/23/2019 Vektor Web
38/42
onto" soal
1 *ua bua" ekto betitik tangka#sama saling menga#it dengan sudut . ikabesa ekto
dua kali ekto dan , "itung